Matrici Matematice

Capitolul I

Elemente introductive

1.1. Definitia matricii

O matrice este alcatuita din linii si coloane. Liniile sunt notate cu m, iar coloanele cu n. Numarul linilor si al coloanelor nu trebuie neaparat sa fie egale. Exista si cazuri particulare de matrici si mai exact matricile patratice.

Mulțimea matricelor cu m linii și n coloane cu elemente din R se notează: Mm,n(R). În cazul în care numărul de linii este egal cu numărul de coloane, matricea se numește pătratică. Mulțimea matricelor pătratice cu n linii și n coloane se notează Mn(R). Matricele se notează cu litere mari ale alfabetului latin.

O matrice care are o singură linie se numește matrice linie, iar o matrice care are o singură coloană se numește matrice coloană.

Matrice diagonală este o matrice care are elemente nenule numai pe diagonala principală, celelalte elemente fiind egale cu 0.

Matrice triunghiulară. O matrice care are toate elementele de sub diagonala principală egale cu zero se numește triunghiulară superior, adică amn = 0, pentru m > n. O matrice care are toate elementele de deasupra diagonalei principale egale cu zero se numește triunghiulară inferior, adică amn = 0, pentru m < n.

1.2. Operatii cu matrici

Adunarea matricelor

Două matrice se pot aduna numai dacă sunt de același tip, adică au același număr de linii, respectiv coloane și au elementele din același inel.

Proprietatile adunarii

1. Asociativitatea :

Є Oricare ar fi matricele A, B, C Є Mm,n(R), (A + B) + C = A + (B + C).

Această proprietate rezultă din faptul că R este un inel, unde operația aditivă este asociativă și atunci: oricare ar fi aij, bij, cij, cu 1 ≤ i ≤ m și 1 ≤ j ≤ n elementele matricelor A, B și C, (aij + bij) + cij = aij + (bij + cij).

2. Comutativitatea:

Oricare ar fi matricele A și B Є Mm,n(R), A + B = B + A.

Această proprietate rezultă din faptul că legea "+" este comutativă în R, adică oricare ar fi aij și bij, cu 1 ≤ i ≤ m și 1 ≤ j ≤ n elementele matricelor A și B, aij + bij = bij + aij.

3. Elementul neutru:

Dacă se notează cu 0 elementul neutru al legii "+" din inelul R, atunci matricea Om,n este element neutru pentru adunarea matricelor pentru că, oricare ar fi matricea A Є Mm,n(R), A + Om,n = Om,n + A = A. Această matrice se numește matricea nulă.

4. Toate elementele sunt simetrizabile:

Oricare matrice A din Mm,n(R) are un opus, notată cu (- A). Dacă elementele matricei A sunt aij, 1 ≤ i ≤ m și 1 ≤ j ≤ n, elementele matricei (- A) sunt (- aij) 1 ≤ i ≤ m și 1 ≤ j ≤ n, care există, având în vedere că R este un inel, deci un grup comutativ față de "+". Atunci A + (- A) = (- A) + A = Om,n.

Având proprietățile 1–4, mulțimea matricelor Mm,n(R) împreună cu adunarea formează o structură de grup abelian.

Inmultirea matricelor

Două matrice se pot înmulți dacă numărul de coloane ale primei matrice este egal cu numărul de linii ale celei de a doua. Matricea rezultat are numărul de linii egal cu al primei matrice, iar numărul de coloane egal cu al celei de a doua matrice.

Sistemul de inmultire a matricelor este unul simplu. Fiecare linie din prima matrice se inmulteste cu fiecare coloana din cea dea a doua matrice.

Acelasi procedeu se aplica si la matricele de gradul 3, 4 si asa mai departe. Matricele nu trebuie sa fie neaparat patratice, trebuie sa respecte doar conceptul ca prima matrice sa aiba numarul coloanelor egal cu numarul linilor din cea de a doua matrice.

Proprietatile inmultirii

1. Asociativitatea: Oricare ar fi matricele A Є Mm,n(R); B Є Mn,p(R) și C Є Mp,r(R), (A · B) · C = A · (B · C). Proprietatea se demonstrează prin calcul.

2. Dacă se consideră numai matrice pătratice de ordin n, atunci pentru mulțimea Mn(R), matricea notată In este element neutru la înmulțire, adică oricare ar fi A Є Mn(R), A · In = In · A = A. Matricea In se numește matricea unitate de ordin n și are toate elementele 0, cu excepția celor de pe diagonala principală, care sunt 1.

3. Înmulțirea matricelor pătratice este distributivă față de adunare. Oricare ar fi matricele A, B, C Є Mn(R), A · (B + C) = A · B + A · C și (A + B) · C = A · C + B · C. Această proprietate se verifică de asemenea prin calcul.

1.3. Determinantul unei matrici

Determinantul unei matrici se poate calcula prin doua metode:

Prima metoda se numeste regula lui Sarrus si consta in adaugarea primelor doua linii la finalul determinantul si inmultirea numerelor pe diagonale.

Aceasta metode se foloseste pentru a calcula determinantul mai usor si este folosita de foarte multi oameni pentru ca se aplica usor si este eficienta.

A doua metoda de calcul se numeste regula triunghiului si consta in inmultirea numerelor in forma de triunghi incepand din fiecare colt al determinantului.

Prima oara se inmultesc numerele de pe diagonala principala si pornind din colturile opuse acesteia, inmultind numerele se formeaza doua triunghiuri. Dupa acea, cu semnul "-", se aplica acelasi sistem incepand cu diagonala secundara.

1.4. Rangul unei matrici

Fie matricea A din mulțimea Mm,n(K), unde K este un corp comutativ. Se consideră k linii și k coloane ale acestei matrice. Elementele care se găsesc la intersecția lor formează un determinant de ordin k, numit minor de ordin k al matricei A. Dacă matricea A ≠ Om,n, atunci matricea are elemente nenule, există minori nenuli. Mulțimea minorilor matricei este finită, înseamnă că există un număr natural r, 1 ≤ r ≤ min (m, n), astfel încât să existe cel puțin un minor de ordin r nenul, iar toți minorii care există de ordin mai mare decât r să fie nuli.

Fie matricea A din mulțimea Mm,n(K), nenulă. Se spune că matricea A are rangul r (se notează rangA = r), dacă A are un minor de ordin r nenul, iar toți minorii de ordin mai mare decât r sunt nuli. Se consideră că matricea nulă are rangul 0.

O matrice are rangul n daca si numai daca determinantul acelei matrici este diferit de 0. In caz contrar rangul scade in functie de un determinant principal pe care il alegem. Daca determinantul principal este si el diferit de 0 atunci rangul matricii va fi n-1. In caz contrar se aplica acelasi algoritm prezentat mai sus.

Proprietatile rangului

1. Dacă matricea A Є Mm,n(R) , atunci rangA ≤ min{m,n}.

2. RangA⋅B ≤ min{rangA, rangB}.

3. Rangul unei matrice nu se schimbă dacă:

a) se transpune matricea;

b) se înmulțesc elementele unei linii sau coloane cu un număr nenul;

c) se permută între ele două linii sau coloane;

d) se adaugă la elementele unei linii (coloane) elementele unei alte linii (coloane), eventual înmulțite cu un număr oarecare.

Metode pentru determinarea rangului unei matrici

Metoda I

Determinarea rangului unei matrice se poate face cu ajutorul următoarei teoreme :

Fie A o matrice nenulă din Mm,n(K). Numărul natural r este rangul matricei A dacă și numai dacă există un minor de ordin r nenul, iar toți minorii de ordin r + 1 care există sunt nuli. Pentru determinarea rangului se caută mai întâi un minor de ordin 2 nenul. Dacă nu există, dar matricea are elemente nenule, atunci rangul este 1. După găsirea acestuia se formează minori de ordin 3 prin adăugarea câte unei linii și coloane la minorul de ordin 2. Dacă toți minorii astfel formați sunt nuli, atunci rangul este 2. Dacă există minor de ordin 3 nenul, prin adăugarea de linii și coloane se formează minorii de ordin 4. Dacă toți aceștia sunt nuli, rangul este 3, dacă nu, se continuă la fel.

Metoda II

Această metodă se bazează pe efectuarea de transformări elementare asupra matricei. Conform proprietăților rangului, două matrice echivalente au același rang.

Procedeul practic de aflare a rangului unei matrice constă în:

1. Se alege un element pivot din matrice.

2. Se efectuează transformări elementare cu linia pe care stă pivotul asupra celorlalte linii până când pe coloana sa se obțin numai zerouri.

3. Dacă pe coloana pivotului s-au obținut zerouri, pe linia sa se înlocuiesc toate elementele cu zero.

4. Se continuă până când pe fiecare linie și coloană există cel mult un element nenul. Această formă a matricei se numește quasidiagonală. Dacă această matrice s-ar mai transforma prin permutări de linii și coloane, elementele nenule ar putea fi aduse pe diagonala principală, obținându-se forma diagonală.

5. Rangul matricei este numărul de elemente nenule din matricea quasidiagonală obținută.

Matricea inversabila

Fie K un corp comutativ și Mn(K) mulțimea matricelor pătratice de ordin n cu elemente din corpul K. O matrice A din Mn(K) se numește inversabilă dacă există o matrice B din Mn(K) astfel încât: A · B = B · A = In.

O matrice are inversa daca si numai daca determinantul matricii este diferit de 0. Primul pas in calcularea inversei unei matricii este acela de a calcula determinantul. In cazul in care determinantul este diferit de 0 se trece la urmatorul pas. Se calculeaza transpusa matricii respective. Matricea transpusa este acea matrice in care linia din matricea A devine coloana. Dupa calcularea acestei matrici se calculeaza matricea adjuncta(A*). Formula de calcul pentru fiecare element este urmatoare: aij= [(-1)^i+j]*∆p, unde ∆p este determinantul principal format prin eliminarea liniei si coloanei termenului respectiv. Semnele alterneaza in aceasta matrice: incepe cu + si continua alternand + cu -, astfel afland semnele fiecarui termen din matricea respectiva. Dupa calcularea acestei matrici, formula pentru aflarea inversei este urmatoarea: A^-1=1/detA*(A*).

1.5. Aplicatii ale matricelor in informatica

Matricea legăturilor (matricea conexiunilor,

matricea booleană)

x1 x2

x7

x3

x6

x4

x5

Matricea legaturilor pentru acest graf este urmatoarea:

Matricea de incidență

Matricea de incidență este o matrice cu n linii (numărul vârfurilor) ș i m coloane (numărul arcelor), notate cu uj, în ordinea în care apar în mulțimea L. Elementele sunt definite astfel :

Matricea lungimilor

Dacă arcelor li se atribuie câte o valoare, graful se numește capacitat și se definește matricea lungimilor, care se obține din matricea legăturilor prin înlocuirea valorilor 1 cu lungimea arcelor corespunzătoare.

Matricea drumurilor

Matricea drumurilor D sau matricea conexă terminală are elementele definite astfel:

Elementele din matricea drumurilor care se găsesc în matricea conexiunilor se notează 1*.

Numărul de vârfuri care pot fi atinse plecând din vârful xi se numește puterea de atingere a lui xi.

Operațiile de adunare (sau) și înmulțire (și) booleană pe mulțimea {0, 1} respectă regulile:

Algoritmul lui Y. C. Chen pentru construirea matricei drumurilor (terminală)

1) Fie matricea C a conexiunilor. Fie elementele nenule de pe prima linie : c1i, c1j, …, c1m. Se adună boolean liniile i, j, …, m la prima linie.

Se presupune că au mai apărut și alte elemente nenule pe prima linie : c1p, c1q, …, c1r. Se adună boolean în continuare și liniile p, q, …, r la prima linie.

Se repetă pasul 2) până se obține una dintre situațiile :

Prima linie conține numai elemente 1 în afară eventual de poziția de pe diagonala principală.

Nu se mai pot genera elemente 1 noi prin operațiile descrise.

Se repetă procedeul de mai sus pentru fiecare linie din C.

Fie graful dat prin matricea conexiunilor C :

Pe linia 1 există elemente nenule pe coloanele lui x2, x3 și x5. Se adună boolean liniile 2, 3 și 5 la linia 1:

Apare un element nou cu valoarea 1 pe coloana lui x4, deci se adună și linia 4 la linia 1 :

Nu mai apare alt element nou 1, deci se continuă cu linia 2. Elementul nenul este pe coloana 5, deci se adună boolean linia 5 la linia 2. Linia 5 fiind de zerouri, nu apare nici o schimbare, deci se continuă cu linia 3. Se adună linia 4 la linia 3:

Elementul nou 1 este pe coloana 2, deci se adună linia 2 la linia 3:

A apărut un element 1 nou pe coloana 5, dar linia 5 are numai zerouri. Se continuă cu linia 4, la care se adună linia 2:

A apărut un 1 pe coloana 5, dar linia 5 este de zerouri. Pe linia 5 nu avem elemente egale cu 1, deci algoritmul s-a încheiat.

Se marchează cu asterisc elementele 1 din matricea C. Se completează cu coloana puterii de atingere:

Matricea terminală triangularizată superior TTS

Dacă graful este făr ă circuite, se pot aranja toate elementele 1 deasupra diagonalei principale, formă numită triangularizată superior.

Procedeu de triangularizare

Se scrie puterea de atingere a fiecărui vârf.

Se ordonează liniile în ordinea descrescătoare a puterilor.

Se ordonează coloanele în aceeași ordine și se obține matricea terminală triangularizată superior.

Se scrie matricea drumurilor din exemplul precedent:

Se ordonează liniile în ordinea descrescătoare a puterilor de atingere:

Se ordonează coloanele în aceeași ordine și se obține matricea terminală triangularizată superior:

Capitolul II

Sisteme de ecuatii lineare

2.1. Definitia sistemelor de ecuatii lineare

Def.Un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute are forma

unde se numesc coeficientii necunoscutelor , iar termenii liberi.

Def.Se numeste solutie a sistemului orice cuplu (s1 , s2) care este solutie pentru fiecare din ecuatiile sistemului.

Studiul solutiilor unui sistem de ecuatii liniare conduce la trei probleme:

– existenta solutiilor (conditiile in care un sistem admite solutii)

– gasirea unei metode de obtinere a solutiilor

– determinarea tuturor solutiilor

Un sistem care nu are nici o solutie se numeste incompatibil.Daca sistemul poseda solutii se spune ca este compatibil (determinat cu o solutie si nedeterminat cu mai mult de o solutie)

Doua sisteme sunt echivalente daca sunt amandoua incompatibile sau sunt amandoua compatibile si au aceleasi solutii.

Metoda de rezolvare a unui sistem liniar consta in a inlocui sistemul dat printr-un nou sistem care este echivalent cu primul , dar care poate fi rezolvat mai usor.

Transformari aupra ecuatiilor unui sistem

O1)Adunarea unei ecuatii a sistemului la o alta ecuatie a sistemului

O2)Inmultirea ecuatiilor sistemului prin factori nenuli

O3)Schimbarea ordinii ecuatiilor intr-un sistem

Metode de rezolvare

1.Metoda combinatiilor liniare (metoda reducerii)

2.Metoda substitutiei

3.Metoda eliminarii (Gauss)

4)Regula lui Cramer

A = – matricea sistemului (formata din coeficienti necunoscutelor)

– determinantul sistemului

(se obtine din inlocuind coeficientii lui x , prin coloana termenilor liberi)

(se obtine din inlocuind coeficientii lui y , prin coloana termenilor liberi)

5)Metoda matricii inverse

A =

AX = C – scrierea matriciala a sistemului

Sisteme liniare omogene

Sistemul in care termenii liberi sunt zero se numeste sistem liniar omogen.

Intotdeauna acest sistem este compatibil avand cel putin solutia banala (cu toate componentele egale cu zero) x = y = 0.

Daca atunci (formulele lui Cramer) sistemul are numai solutia banala.In acest caz sistemul este compatibil determinat.

Daca atunci sistemul are si alte solutii diferite de cea banala.Sistemul este compatibil nedeterminat.

Sisteme de trei sau patru ecuatii cu doua necunoscute

Se poate rezolva sistemul format din doua ecuatii ale sistemului dat ,apoi se verifica daca solutiile obtinute sunt si solutii ale celorlalte ecuatii ale sistemului.

Sisteme de trei ecuatii cu trei necunoscute

Def.Un sistem de trei ecuatii cu trei necunoscute are forma , unde ai , bi , ci se numesc coeficientii necunoscutelor , iar di termenii liberi ai sistemului.

Def.Se numeste solutie a sistemului orice triplet (s1 , s2 , s3) care este solutie pentru fiecare ecuatie a sistemului.

Interpretare geometrica

Cum fiecare ecuatie a sistemului este ecuatia unui plan in spatiul cartezian Oxyz , se poate interpreta geometric sistemul compatibil determinat prin concurenta planelor intr-un punct , iar sistemul compatibil nedeterminat prin ocncurenta planelor dupa o dreapta (sistem simplu determinat) sau dupa un plan (sistem dublu nedeterminat – cele trei plane coincid).In fine sistemul incompatibil corespunde celorlalte situatii ale planelor in spatiu (plane paralele , doua plane paralele intersectate de al treilea , plane concurente doua cate doua , fara punct comun pentru cele doua drepte etc.)

Doua sisteme sunt echivalente daca sunt amandoua incompatibile sau sunt amandoua compatibile si au aceleasi solutii.

Metode de rezolvare

1)Metoda combinatiilor liniare

2)Metoda eliminarii (Gauss)

Utilizand metoda lui Gauss (de eliminare succesiva a necunoscutelor prin transformari elementare) se ajunge de la sistemul initial la unul echivalent avand urmatoarea forma tiunghiulara :

Etapele necesare de parcurs pentru a obtine forma triunghiulara a sistemuli (S)

si tabloul

Daca , atunci prima ecuatie a sistemului ramane pe loc , iar zerourile de pe prima coloana le obtinem cu transformarile :

– ecuatia se inlocuieste prin ecuatia

– ecuatia se inlocuieste prin ecuatia

Pentru a obtine zeroul de pe colana a doua se face transformarea :

– ecuatia se inlocuieste prin ecuatia

Daca a1 = 0 , atunci se ia drept ecuatie L1 o alta ecuatie care sa aiba coeficientul lui x diferit de zero (se face o schimbare a doua ecuatii intre ele)

Pentru sistemul (S) doua matrici joaca un rol important in studiul lui.

– matricea sistemului

– matricea extinsa a sistemului

3) Regula lui Cramer

– determinantul sistemului

(se obtine din inlocuind coeficientii lui x , prin coloana termenilor liberi)

(se obtine din inlocuind coeficientii lui y , prin coloana termenilor liberi)

(se obtine din inlocuind coeficientii lui z , prin coloana termenilor liberi)

4) Metoda matricii inverse

AX = C – scrierea matriciala a sistemului

Daca

Sisteme liniare omogene

Sistemul se numeste sistem liniar omogen

Intotdeauna acest sistem este compatibil avand cel putin solutia banala (cu toate componentele egale cu zero) x = y = z = 0.

Daca atunci (formulele lui Cramer) sistemul are numai solutia banala.In acest caz sistemul este compatibil determinat.

Daca atunci sistemul are si alte solutii diferite de cea banala.Sistemul este compatibil nedeterminat.

Sisteme de m ecuatii cu n necunoscute

Au forma :(2)

Daca un sistem are solutii , atunci il numim compatibil (determinat daca are exact o solutie si nedeterminat daca sistemul are mai mult de o solutie)

Sistemul (2) se numeste omogen daca are toti termenii liberi egali cu zero.Sistemul astfel obtinut

se numeste sistemul omogen asociat sistemului (2).

Coeficientii necunoscutelor formeaza o matrice de tip m x n

numita matricea sistemului (2)

Daca si sunt coloana necunoscutelor si respectiv coloana termenilor liberi , atunci sistemul (2) se poate scrie sub forma matriciala AX = C.

Doua sisteme sunt echivalente daca sunt amandoua incompatibile sau sunt amandoua compatibile si au aceleasi solutii.

2.2. Rezolvarea sistemelor de ecuatii lineare

Regula lui Cramer

În acest paragraf se consideră sisteme de ecuații liniare care au numărul de ecuații egal cu numărul de necunoscute, adică matricea sistemului este o matrice pătratică de ordin n. Dacă matricea A este nesingulară, adică are determinantul nenul, atunci sistemul se numește sistem Cramer.

Fie urmatorul sistem de ecuatii lineare cu matricea A formata:

Regula lui Cramer presupune calcularea solutiilor ecuatiei cu ajutorul matricii si a determinantului.

Daca determinantul matricii sistemului este diferit de 0, atunci sistemul se numeste sistem compatibil determinat ( S.C.D), iar gasirea solutiilor se face cu ajutorul regulii lui Cramer.

Aceasta regula presupune calcularea determinantilor formati prin inlocuirea, pe rand, a fiecarei coloane cu coloana termenilor liberi. Prima solutie, x1, se calculeaza prin formula x1=∆x1/detA, unde ∆x1 se afla modificand prima coloana cu coloana termenilor liberi. Astfel se afla prima solutie a ecuatiei. In continuare, se aplica acelasi algoritm pentru aflarea lui x2, x3, …. , xn, inlocuind pe rand fiecare coloana cu coloana termenilor liberi.

Teorema lui Rouche

Aceasta teorema se aplica sistemelor de ecuatii lineare in cazul in care determinantul matricii sistemului este 0.

In primul rand se calculeaza determinantul matricii si in cazul in care acesta este 0, se alege un alt determinant numit determinant principal. Acesta se alege din orice colt al determinantului matricii. Daca determinantul principal este diferit de 0 se calculeaza si determinantul caracteristic care este format din determinantul principal si se continua cu adaugarea coloanei termenilor liberi. Daca acest determinant este egal cu 0, atunci sistemul este compatibil nedeterminat (S.C.N) si se aplica teorema lui Rouche. In caz contrar, sistemul va fi incompatibil.

Daca sistemul este S.C.N aflarea solutiilor se face astfel:

Se aleg necunoscutele secundare si se noteaza cu litere din alfabetul grecesc. Restul necunoscutelor se for considera principale. In fiecare ramura a sistemului se inlocuiesc necunoscutele secundare cu literele grecesti, dupa care sistemul va fi redus la un sistem de n necunoscute principale si n ecuatii. Dupa care se rezolva sistemul, iar solutiile vor fi scrise in functie de literele grecesti date anterior.

Aceasta teorema este o teorema care ajuta foarte mult la rezolvarea sistemelor, mai ales a celor care au mai mult de 3 necunoscute.

Teorema Kronecker – Cappeli

Sistemul (S) este compatibil dacă și numai dacă rang A = rang Ā.

Presupunem că sistemul este compatibil, deci există elementele xj^0 din corpul K. Aceasta înseamnă că ultima coloană a matricei Ā este o combinație liniară a celorlalte coloane. Dacă A are rangul r, atunci există minori de ordin r nenuli și toți minorii de ordin r + 1 ai lui A sunt nuli. Ā are o coloană în plus față de A, dar care este combinație liniară a coloanelor lui A, deci orice minor de ordin r + 1 în care apar elemente din această coloană este nul, iar minorii de ordin r ai lui A nenuli sunt minori și pentru Ā, de unde rezultă că și rangul lui Ā este tot r, ca și rangul lui A.

Presupunem că rang A = rang Ā. Există deci un minor al matricei A de ordin r nenul și toți minorii de ordin r + 1 sunt nuli. Printr-o renumerotare a liniilor și coloanelor se poate presupune că acest minor este diferit de 0.

Pentru rezolvarea unui sistem de ecuații liniare se determină mai întâi rangul matricei A, iar apoi rangul matricei Ā. Dacă rangul matricei Ā este diferit de rangul matricei A, conform teoremei Kronecker – Capelli, sistemul este incompatibil.

Dacă rang A = rang Ā, sistemul este compatibil și se caută soluțiile. Minorul de ordin r care a dat rangul matricei A se declară minor principal. Ecuațiile ai căror coeficienți intră în minorul principal se declară ecuații principale, iar celelalte ecuații sunt ecuații secundare. Necunoscutele ai căror coeficienți intră în minorul principal sunt necunoscute principale, iar celelalte sunt necunoscute secundare și se notează parametric. Se scrie sistemul format din ecuațiile principale, care este un sistem Cramer, și se rezolvă cu regula lui Cramer, aflându-se soluția în funcție de parametri.

Soluțiile sistemului depind de n – r parametri. Pentru calculul rangului matricei Ā se procedează astfel: minorul de ordin r nenul care a dat rangul lui A se completează cu

coloana termenilor liberi și cu câte o linie din cele rămase, obținând n – r minori de ordin r + 1 care se numesc minori caracteristici. Condiția ca rangul matricei Ā să fie r este ca toți acești minori să fie nuli. Teorema lui Kronecker – Capelli este echivalentă cu teorema lui Rouche.

Metoda eliminării totale Gauss-Jordan

Metoda eliminării totale (sau complete) Gauss-Jordan constă în aplicarea de transformări liniare asupra matricei extinse a sistemului până când aceasta se aduce la forma diagonală în care elementele de pe diagonală sunt 1 sau 0. Se aplică aceleași procedee ca și la transformarea unei matrice în matricea unitate.

În final, dacă sistemul este de tip Cramer, în partea stângă este matricea unitate, iar termenii liberi obținuți în dreapta constituie soluția sistemului.

CAPITOUL III

APLICAREA MATRICELOR INTR-UN PROGRAM

3.1. Motivatia alegerii temei

Am ales aceasta pentru ca matricile au o importanta mare in creearea unor anumite programe. Sunt usor de utilizat, iar structurile din programul cu care am ales sa fac sunt usor de conceput si sunt destul de simple. Programul ales pentru aplicarea matricelor este "Texmaker". Este un program din gama LaTex cu care am si editat aceasta lucrare. Am prezentat, intr-un program, principalele caracteristici ale matricelor: operatii cu acestea, determinantul matricii, transpusa si chiar si matricea inversabila.

3.2. Codul programului

\documentclass{article}

\usepackage{amsmath}

\newcommand{\inv}{^{\raisebox{.2ex}{$\scriptscriptstyle-1$}}}

\begin{document}

\begin{equation}

Q_{l} = \begin{pmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i \\

\end{pmatrix}

\begin{ecuation}

W_{2} = \begin{pmatrix}

x & y & z \\

q & w & r \\

v & n & m \\

\end{pmatrix}

\begin{ecuation}

S_{3} = Q_{1}+ W_{2} = \begin{pmatrix}

a+x & b+y & c+z \\

d+q & e+w & f+r \\

g+v & h+n & i+m \\

\end{pmatrix}

\begin{ecuation}

P_{4} = Q_{1}* W_{2} = \begin{pmatrix}

ax+bq+cv & ay+bw+cn & az+br+cm \\

dx+eq+fv & dy+ew+fn & dz+er+fm \\

gx+hq+jv & gy+hw+jn & gz+hr+jm \\

\end{pmatrix}

\[

\delta =

\begin{vmatrix}

1 & x_0 & x_0^2 & \dots & x_0^n \\

1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^n \\

\hdotsfor{5} \\

1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^n

\end{vmatrix}

=

\prod_{0\leq j < i \leq n} (x_{i} – x_{j})

\]

\[

\begin{bmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i\\

\end{bmatrix}^T

=

\begin{bmatrixT}

a & d & g \\

b & e & h \\

c & f & i \\

\end{bmatrixT}

\]

\[

\begin{bmatrix}

X^{-1}\ne X\inv

\]

\end{bmatrix}

\end{document}

3.3. Utilizarea structurilor din program

\documentclass{article}

\usepackage{amsmath}

Acestea sunt principalele comenzi de deschidere a unui program pe care dorim sa il aplicam. Prima comanda "documentclass{article}" creeaza un document in care se va face programul respectiv. Ceea de a doua este o comanda pentru a utiliza simboluri matematice, in special matrici pentru ca asta am facut in program.

Q_{l} = \begin{pmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i \\

Aici este prezentata o matrice in aplicatia "Texmaker". Am definit matricea si am denumit-o Q_{1} iar comanda "begin{pmatrix} incepe compilarea si creearea matricii impuse. {pmatrix} consta intr-o matrice cu paranteze rotunde. Exista si matrici cu paranteze patrate iar comanda este {bmatrix}.

W_{2} = \begin{pmatrix}

x & y & z \\

q & w & r \\

v & n & m \\

Cea de a doua matrice a fost definita prin aceiasi comanda ca la prima, doar ca au fost schimbate numerele. Cu ajutorul celor doua matrici avem posibilitatea de a aduna si de a inmulti, ambele operatii punandu-le in program si vor fi explicate.

S_{3} = Q_{1}+ W_{2} = \begin{pmatrix}

a+x & b+y & c+z \\

d+q & e+w & f+r \\

g+v & h+n & i+m \\

Aceasta structura a fost creata pentru a aduna doua matrici. In program am definit 2 matrici si anume Q_{1} si W_{2}, iar aici am prezentat cum se calculeaza suma a doua matrici. S-a adunat fiecare element de pe aceiasi pozitie din prima si a doua matrice. Aceasta comanda este usoara si s-a creat prin simpla adunare a celor doua matrici definite in "Texmaker".

P_{4} = Q_{1}* W_{2} = \begin{pmatrix}

ax+bq+cv & ay+bw+cn & az+br+cm \\

dx+eq+fv & dy+ew+fn & dz+er+fm \\

gx+hq+jv & gy+hw+jn & gz+hr+jm \\

Aceasta comanda prezinta produsul a celor doua matrici. S-a realizat prin inmultirea elementului de pe prima linie a primei matrici cu primul element al celei de a doua matrice dupa care s-a adunat facandu-se acelasi proces cu celelalte numere de pe celelalte linii si coloane.

\[

\delta =

\begin{vmatrix}

1 & x_{0} & x_{0}^{2} & \dots & x_{0}^{n} \\

1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \dots & x_{1}^{n} \\

\hdotsfor{5} \\

1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \dots & x_{n}^{n}

\end{vmatrix}

=

\prod_{0\leq j < i \leq n} (x_{i} – x_{j})

\]

Aceasta structura prezinta un determinant de grad n. Se foloseste pentru a afla daca o matrice poate sa aiba inversa sau nu si se mai foloseste si in aflarea rangului unei matrici. Daca determinantul va fi 0 rangul va fi n-1 depinzand de un alt determiannt ales. Comanda "hdotsfor{5} a fost folosita pentru a pune "puncte puncte" reprezentand faptul ca determinantul are un numar infinit.

Daca vom rula aceasta comanda in programul "Texmaker" intr-un document .pdf se va afisa urmatoarea structura:

\begin{bmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i\\

\end{bmatrix}^T

=

\begin{bmatrixT}

a & d & g \\

b & e & h \\

c & f & i \\

\end{bmatrixT}

Folosind aceasta structura vom determina transpusa. Aceasta matrice a fost creata prin faptul ca linia din matrice a devenit coloana in transpusa. Cu ajutorul acestei matrici vom afla matricea inversabila

\[

X^{-1}\ne X\inv

\]

Aceasta este structura pentru matricea inversabila. Aceasta matrice se calculeaza cu formula urmatoare: X^-1=1/detX*(X*)