Implementarea Unei Abordări Greedy

Université de Lorraine

Centre de Recherche en Automatique de Nancy

Lucrare de licență

Implementarea unei abordări " Greedy " pentru localizarea surselor electromagnetice cu o antenă vectorială ne-colocalizată.

Profesor coordonator(FR) : SEBASTIAN MIRON, Maître de Conférences

Centre de Recherche en Automatique de Nancy, France

Profesor coordonator(RO) : Prof. univ. dr. ing. George Culea

Universitatea ”Vasile Alecsandri” din Bacău

Student : ȚÎRDEA MIHAIL

Universitatea “Vasile Alecsandri” Bacău, România

Introducere

În literatura prelucrării de antenă , direcția de sosire , DOA – direction of arival, ( engleză ) denotă direcția de incidență a unei unde pe o antenă de senzori.

Recent, tehnicile de detectare a direcției de sosire au avansat din sinergia dintre abordarea obișnuită a interferometriei și noua abordare „produs vectorial” pentru estimarea vectorului Poynting.

Abordarea „produs vectorial” măsoară unda electromagnetică incidentă pentru fiecare dintre cele șase componente electromagnetice ale sale, la un moment dat într-un punct, pentru a obține un produs vectorial dintre vectorul câmpului electric și vectorul câmpului magnetic măsurate.

Acest lucru aduce la estimarea vectorului Poynting pentru sursa ( unda) incidentă, care ( după normalizare) indică direcția de sosire (azimut și elevație).

Un astfel de algoritm ( ”vector Poynting” ) pentru estimarea DOA a surselor electromagnetice polarizate este studiat în această lucrare.

Acest lucru necesită fizic un senzor vectorial electromagnetic, adică trei dipoli electrici identici, orientați ortogonal, plus trei bucle magnetice orientate la fel, ortogonal.

Dacă cele 6 componente sunt colocalizate într-un punct în spațiu e nevoie de o izolare electromagnetică exceptională între cele șase antene component ale sale, pentru a minimiza cuplarea reciprocă între aceste antene. Aceasta implică o complexitate considerabilă și costuri hardware ridicate.

În această lucrare arătăm cum se poate aplica estimatorul Poynting pentru estimarea direcției de sosire a unei surse polarizate, în cazul în care cei trei dipoli și bucle sunt dispersate în spațiu.

O asemenea abordare nouă are o mare valoare practică în reducerea cuplării reciproce, în simplificarea hardware a antenelor și în extinderea deschiderii spațiale pentru mărirea rezoluției unghiulare și pentru detectarea surselor incidente pe antenă.

Capitolul 1

Semnale electromagnetice polarizate

Câmpul electromagnetic radiat de o antenă este compus din câmp electric și câmp magnetic. Liniile celor două câmpuri sunt perpendiculare între ele. Polarizarea este definită ca orientarea liniilor de câmp electric. Există mai multe tipuri de polarizare, cele mai importante fiind cea liniară și cea circulară. Tipul de polarizare depinde de antena de emisie care a generat unda respectivă.

Polarizarea undelor electromagnetice

Polarizarea caracterizează undele electromagnetice (care sunt unde transversale) din punct de vedere al direcției de oscilație a vectorului intensitate a câmpului electric (sau a vectorului intensitate a câmpului magnetic). Starea de polarizare a undei electromagnetice este definitå de relația dintre amplitudinile și fazele celor două câmpuri transversale independente, și . În unda electromagnetică, vectorii intensitate a câmpului electric , vectorul intensitate a câmpului magnetic și versorul direcției de propagare formeazå un triedru drept (Figura 1).

Figura 1. Triedru drept

Polarizarea liniară

Polarizarea liniară este cea în care liniile de câmp electric sunt dispuse într-un singur plan. În practică sunt folosite în principal două tipuri de polarizare liniară:

Polarizarea verticală, la care liniile de câmp electric sunt dispuse în plan vertical.

Polarizarea orizontală, în care liniile de câmp electric sunt dispuse în plan orizontal.

(Exemplu: antena de dirijare a complexului de rachete S 75 „Volkhov”, cod NATO: „SA–2”).

Un alt caz de polarizare liniară este cel al polarizării oblice sau înclinate, cele mai întâlnite fiind cele la + 45° și – 45°. (Exemplu: antena de dirijare a complexului de rachete S 125 „Neva”, cod NATO: „SA-3M”).

Undele polarizate liniar sunt generate de antene simple, cum ar fi antena dipol. O antenă va recepționa cantitatea maximă de energie când are aceeași polarizare cu a undei respective, altfel spus cu a antenei de emisie care a produs unda. În caz contrar semnalul va fi recepționat cu pierderi importante sau chiar deloc.

Undele polarizate liniar sunt generate de antene simple, cum ar fi antena dipol. O antenă va recepționa cantitatea maximă de energie când are aceeași polarizare cu a undei respective, altfel spus cu a antenei de emisie care a produs unda. În caz contrar semnalul va fi recepționat cu pierderi importante sau chiar deloc.

În sistemele radar de supraveghere cea mai utilizată în condiții normale este polarizarea orizontală, mai ales când terenul din apropierea radarului este variat, inclusiv cu copaci și clădiri la orizont. Polarizarea verticală este folosită în general când radarul se află în vecinătatea unei suprafețe mari de apă, iar antena este dispusă la o înălțime mică față de suprafața apei, pentru a reduce efectele propagării pe căi multiple.

Figura 2. Polarizarea liniară

Polarizarea circulară

Polarizarea circulară este aceea în care vârful vectorului câmp electric descrie un cerc. O rotație completă corespunde unei perioade a undei electromagnetice. Polarizarea circulară se obține în cazul în care câmpul electric are componente în ambele planuri, vertical și orizontal, ambele componente având aceeași amplitudine, iar între ele există un defazaj de 90°. Producerea polarizării circulare se poate realiza utilizând două antene, una polarizată orizontal, iar cealaltă vertical, și introducând un defazaj de 90° între semnalele radiate cu cele două antene. Amplitudinea celor două semnale este egală. În cazul în care amplitudinile componentelor din cele două planuri sunt diferite se obține o polarizare eliptică.

Pentru a asigura o recepție maximă a semnalelor, antena de recepție trebuie să aibă aceeași polarizare cu cea de emisie. În caz contrar, semnalul este recepționat cu pierderi importante, de ordinul a 20 la 30 dB.

Polarizarea circulară poate fi cu rotire spre stânga sau spre dreapta. Undele polarizate circular își schimbă sensul de rotație în urma reflexiei de la picăturile de ploaie sferice. La recepție, antena elimină undele cu sensul de polarizare opus, reducând astfel recepția reflexiilor de la precipitații. Undele reflectate de la ținte cu formă complexă, cum sunt avioanele, vor avea atât componente cu sens schimbat, cât și componente cu același sens. Primele vor fi eliminate, iar cele din urmă vor fi recepționate, asigurând astfel detecția țintei respective.

Astfel, polarizarea circulară poate fi folosită în radiolocație pentru detecția țintelor pe fondul reflexiilor de la picăturile de ploaie. În astfel de situații se realizează trecerea radarului pe polarizare circulară, reflexiile de la picăturile de ploaie fiind eliminate. Odată cu ele însă se pierde și o parte din semnalul ecou, ceea ce are ca efect negativ reducerea distanței de descoperire.

Figura 3. Polarizarea circulară spre dreapta – vârful vectorului E descrie un cerc

Polarizarea eliptică

O undă electromagnetică este polarizată eliptic dacă vectorii intensitate electrică – și intensitate magnetică – au amplitudini diferite și sunt defazați cu 90 º.

În cazul polarizării eliptice, cele două plane de oscilație se rotesc în jurul unei axe formată de direcția de propagare, acestea rămânând tot timpul perpendiculare. Proiecția mișcării vârfului vectorului intensitate electrică – pe un plan perpendicular pe direcția de deplasare este o elipsă. În funcție de sensul de rotație, polarizarea eliptică poate fi spre stânga sau spre dreapta.

O undă electromagnetică este polarizată eliptic spre stânga dacă un observator ce o percepe venind spre el, vede vârful vectorului intensitate electrică – rotindu-se în sensul acelor de ceasornic (spre dreapta).

O undă electromagnetică este polarizată eliptic spre dreapta, dacă un observator ce o percepe ca venind spre el, vede vârful vectorului intensitate electrică – E rotindu-se în sens invers acelor de ceasornic (spre stânga).

Figura 4. Tipuri de polarizare

Efectul Faraday. Depolarizarea

Tipul de polarizare al unei unde se poate modifica în urma reflexiei de la ținte sau de la alte obiecte, inclusiv particulele atmosferice. Depolarizarea caracterizează modificarea orientării vectorului câmp electric în urma reflexiei. Gradul de depolarizare poate fi determinat în urma unei analize vectoriale, mai precis măsurând componentele recepționate în cele două planuri, orizontal și vertical.

Radarele cu multiplă polarizare pot emite și recepționa simultan pe mai multe tipuri de polarizare. Radarele meteo polarimetrice pot emite și recepționa simultan pe polarizare orizontală și verticală. În plus, acestea pot emite doar pe o singură polarizare și recepționa pe ambele tipuri. Pentru a descrie modul de lucru se utilizează uneori următoarele abrevieri:

HH – emisie pe polarizare orizontală și recepție tot pe polarizare orizontală,

VV – emisie pe polarizare verticală și recepție tot pe polarizare verticală,

HV – emisie pe polarizare orizontală și recepție pe polarizare verticală, și

VH – emisie pe polarizare verticală și recepție pe polarizare orizontală.

Figura 5. Rotația polarizării datorită efectului Faraday

Capitolul 2

Antene

O antenă este un dispozitiv electric ce transformă curenții electrici variabili în unde radio și invers. Aceasta este utilizată de obicei ca emițător, sau receptor radio. În transmisie, un emițător radio furnizează un curent electric variabil cu.o frecvență din domeniul radio la bornele antenei, iar antena radiază energia curentului electric sub formă de unde electromagnetice (unde radio). La recepție, antena captează o parte din energia unei unde electromagnetice, pentru a produce o mică tensiune la terminalele sale. Aceasta se aplică unui receptor, pentru a fi amplificată.

Primele antene au fost construite în 1888 de către fizicianul german Heinrich Hertz în experimentele sale de pionierat pentru a dovedi existența undelor electromagnetice prezise de teoria lui James Clerk Maxwell. Hertz a plasat antene dipol în punctul focal al unui reflector parabolic, atât pentru emisia cât și pentru recepția undelor radio. Rezultatele cercetărilor lui au fost publicate în Annalen der Physik und Chemie (vol. 36, 1889).

De obicei, o antenă constă într-un aranjament de conductori metalici, conectați electric (de multe ori printr-o linie de transmisie) la receptor sau emițător. Un curent variabil prin antenă va crea un câmp magnetic variabil în jurul elementelor antenei, în timp ce sarcina electrică din aceasta, de asemenea variabilă, creează un câmp electric variabil de-a lungul elementelor. Aceste câmpuri variabile în timp radiază departe de antena, în spațiu sub forma unei unde electromagnetice formate dintr-un ansamblu de câmpuri electrice și magnetice variabile, transversale. În schimb, în timpul recepției, câmpurile electrice și magnetice ale unei unde radio exercită forțe asupra electronilor din elementele antenei, făcându-i sa se miște într-un sens și invers, creând curenți oscilanți în antenă.

Indiferent dacă antenele sunt utilizate pentru emisie sau pentru recepție, un parametru important al acestora îl reprezintă câștigul. Unele antene sunt directive, aceasta însemnând că o cantitate mai mare de energie este radiată într-o anumită direcție decât în celelalte. Raportul dintre cantitatea de energie radiată pe direcția principală și cea radiată de o antenă nedirectivă (radiator izotrop) poartă denumirea de câștigul antenei. Dacă o antenă ce are un anumit câștig la emisie este folosită ca antenă de recepție, ea va avea același câștig și la recepție.

2.1.1 Caracteristica de directivitate

Majoritatea antenelor radiază mai multă energie într-o anumită direcție decât în celelalte. O astfel de antenă poartă numele de radiator anizotrop. Măsurând cantitatea de energie radiată în diverse puncte din jurul unei antene se poate stabili diagrama de radiație a acesteia și se pot face comparații între diferite antene.

Energia radiată de o antenă formează un câmp electromagnetic ce are o anumită distribuție în spațiu. Această distribuție a energiei radiate în spațiu poartă numele de caracteristică (diagramă) de directivitate. Caracteristica de directivitate este de fapt o reprezentare grafică în spațiu a energiei radiate de către o antenă. Pentru a determina caracteristica de directivitate, energia radiată este măsurată în puncte aflate la aceeași distanță dar pe direcții diferite față de antenă. Forma caracteristicii de directivitate depinde de tipul de antenă utilizat.

Pentru reprezentarea caracteristicii de directivitate sunt utilizate două tipuri de grafice, unul în coordonate polare, celălalt în coordonate rectangulare. Graficul în coordonate polare s-a dovedit foarte util în studiul caracteristicilor de directivitate. Diagrama este reprezentată circular, exact cum apare în realitate. Cercurile reprezintă niveluri de intensitate a energiei radiate. Un exemplu de astfel de grafic este reprezentat în Figura 6.

Figura 6. Caracteristica de directivitate în coordonate polare

Lobul principal reprezintă zona de radiație maximă a caracteristicii de directivitate (de obicei aflată între punctele de -3dB față de intensitatea maximă). În Figura 6 lobul principal se află pe direcția nord.

Lobii secundari (laterali) sunt lobi de putere mai mică, dispuși pe alte direcții față de lobul principal. Acești lobi reprezintă energia radiată pe direcții nedorite și nu pot fi complet eliminați. Nivelul lobilor secundari reprezintă un parametru important ce caracterizează diagrama de directivitate. Acest parametru este definit ca diferența dintre puterea lobului principal și cea a celui secundar și este exprimat în Decibeli. Lobul secundar aflat pe direcția diametral opusă față de cel principal se numește lob posterior.

Următorul grafic, din Figura 7, este o reprezentare a aceleiași caracteristici de directivitate, dar în coordonate rectangulare. Într-un grafic în coordonate rectangulare, caracteristica este reprezentată pe două axe perpendiculare. Axa orizontală corespunde cercurilor din graficul în coordonate polare, adică nivelurile de intensitate. Axa verticală reprezintă direcția de radiație. Valorile pot fi reprezentate pe o scală liniară sau pe una logaritmică.

Figura 7. Caracteristica de directivitate în coordonate rectangulare

Lățimea caracteristicii de directivitate

Lățimea caracteristicii de directivitate este definită ca unghiul în care este radiată o putere egală cu cel puțin jumătate din valoarea maximă. Limitele acestui unghi sunt deci punctele în care energia radiată are o putere cu 3 dB mai mică față de valoarea maximă. Acest unghi mai este numit și unghiul la 3 dB, fiind notat cu Θ (mai rar φ). Unghiul Θ reprezintă unghiul dintre cele două linii roșii din figurile de mai sus. Lățimea caracteristicii Θ poate fi exprimată atât în plan orizontal (ΘAZ), cât și în plan vertical (ΘEL).

2.1.2 Suprafața efectivă

Suprafața efectivă (apertura) reprezintă aria echivalentă de radiație a unei antene. Aceasta este un parametru de bază al antenei, ce influențează și ceilalți parametri. Între câștigul antenei și suprafața efectivă există următoarea relație:

unde,

λ = lungimea de undă

= suprafața efectivă

A = suprafața geometrică a antenei

= randamentul suprafeței antenei

Randamentul suprafeței antenei depinde de distribuția radiației (iluminării) pe toată suprafeța antenei. Dacă distribuția este liniară atunci = 1. Randamentul ridicat obținut printr-o iluminare uniformă are ca dezavantaj un nivel ridicat al lobilor secundari. Astfel, în cazul antenelor reale proiectate să aibă niveluri reduse ale lobilor secundari, randamentul suprafeței este subunitar (< A).

2.1.3 Antene vectoriale

O antenă vectorială sau un vector este o configurație de senzori vectoriali care ne permit captarea celor 6 componente ale câmpului electromagnetic dispuse și interconectate într-un model spațial predefinit pentru a obține un tipar de radiații direcțional.

Antene compuse din elemente de antenă mici ating aceeași performanță ca a unei antene mari, schimbând problemele de alimentare electrică cu simplitatea mecanică.

În practică, realizarea unui asemenea senzor este foarte dificilă deoarece are nevoie ca vectorii scalari sa aibă același centru geometric și efectul de cuplare dintre senzorii scalari sa fie minim.

Vectorii pot fi construiți în diferite configurații geometrice.

O rețea liniară este cea mai elementară formă de aranjament în care centrul elementelor vectorului sunt aliniate într-o linie dreaptă.

Figura 8. Rețea liniară de antene

Avantajul unei asemenea configurații este aranjamentul simplu, dezavantajul fiind devierea razelor într-un singur plan posibil.

Exemple :

PAR-80 deviere orizontală

RRP-117 deviere verticală

Large Vertical Aperture ( LVA ) antenă cu model de fascicul fix

O rețea planară este aceea în care centrul elementelor vectorului sunt într-un singur plan. Rețelele planare pot fi circulare, pătratice sau de o formă arbitrară.

Aceste rețele sunt formate dintr-o serie de elemente radiatoare, fiecare cu propriul defazor comandat. Elementele sunt dispuse în același plan, într-o structură tip matrice, pe rânduri și coloane.

Avantaje: deplasarea electronică a caracteristicii este posibilă în ambele planuri; este posibilă formarea digitală a caracteristicii de directivitate.

Dezavantaje: structură mai complicată și necesitatea unui număr mult mai mare de defazoare comandate electronic.

Exemple: AN-FPS-85 și Thomson Master-A

Figura 9 Rețea planară de antene

Modelul radiației matricei este determinat de modelul radiației fiecărui element individual, orientarea și poziția sa relativă în spațiu, de asemenea amplitudinea și faza curenților alimentați. Dacă fiecare element al matricei este o sursă izotropică atunci modelul de radiație a matricei depinde exclusiv de forma geometrică și curenții alimentați, astfel modelul obținut este numit „factor de matrice ”.

Dacă fiecare element al matricei este similar dar non-izotopic, după principiul „multiplicare model”, modelul radiației poate fi calculat ca produsul dintre factorul matricei și modelele individuale ale elementului.

Figura 10. Ilustrare a unei antene cu elementele sale localizare arbitrar în spațiu.

Figura 10 ne arată o matrice cu M elemente distribuite arbitrar în spațiu. Considerăm un semnal de bandă îngustă având frecvența care sosește la un unghi θ și ɸ în referință cu axa z și axa x, respectiv. Semnalul de bandă îngustă poate fi exprimat ca

=

Unde u(t) și v(t) sunt funcții de timp variabile lent care definesc amplitudinea și faza, respectiv a .

În contextul vectorilor, „variabile lent” implică faptul că variațiile amplitudinii și fazei ca funcții a poziției spațiale sunt neglijabile pentru măsurarea vectorului. Aproximarea

este validă pentru tot timpul necesar ca semnalul sa traverseze toată suprafața matricei.

Asumând faptul că mediul de propagare nu are efect major asupra semnalului care îl parcurge de la o margine a matricei la cealaltă, semnalul primit la senzorii dintr-o parte diferă doar prin întârziere. După cum observăm din figura 10, întârzierea depinde de poziția relativă a senzorilor și de unghiul de sosire.

Undele sunt formate prin deplasarea fazei semnalului emis a fiecărui element radiant, pentru a oferi interferențe constructive / destructive astfel incât să orienteze undele in direcția dorită. O astfel de antenă se numește vector fazat.

Figura 11. Figura 12.

În figura 11, ambele elemente radiante sunt alimentate cu aceeași fază. Semnalul este amplificat prin interferențe constructive in direcția principală. Claritatea undei este îmbunătățită prin interferența distructivă.

În figura 12, semnalul este emis de elementul radiant superior cu o defazare de 22 grade mai târziu decât a elementului radiant inferior. Din acest motiv direcția principală a semnalului însumat este deplasat ușor în sus.

2.2 Modelarea semnalelor captate de către o antenă vectorială

În scopul dezvoltării algoritmilor de tratare pentru acest tip de date, modelele matematice trebuie adoptate pentru semnale multi-componente.

Figura 13. Stările de polarizare a câmpului electric

Figura 14. Observarea unui câmp de unde polarizat de o antenă vectorială

2.2.1 Modelarea geometrică

Urmează analiza relației dintre polarizarea parametrilor surselor deterministe și semnalele înregistrate de un senzor vectorial. În literatura de specialitate există diferite modele de polarizare, adaptate la undele electromagnetice cu 6 componente sau seismice. Noi prezentăm în această parte cazul general al unui câmp vectorial, înregistrat de un senzor cu 3 componente.

Considerăm un senzor care are 3 componente plasat la originea unui reper de coordonate direct ( Oxyz) având componente orientate pe vectorii acestei baze . Polarizarea unei unde care ajunge la senzor este caracterizată de 4 parametri : unghiurile ( azimut) și ( altitudine) ( Figura 15), care definesc planul de polarizare și 2 unghiuri și , care descriu orientarea și excentricitatea elipsei de polarizare.( Figura 16).

Figura 15. Baza ortonormală în planul de polarizare { v1, v2 }

Facem următoarele ipoteze :

I 1. Distanța dintre senzor și sursă ( considerat punct ) este mult mai mare decât lungimea de undă maximă a semnalului și dimensiunea captorului este mai mică decât lungimea de undă maximă din semnal. Aceste considerații pot fi rezumate din ipoteza undei plane primită pe senzor.

I 2. Semnalul este limitat de bandă; există 2 valori de frecvență vm și vM, așa cum frecvența v este conținută în semnal, avem vm < v < vM.

I 3. Polarizarea undelor este staționară și este la fel pentru toate frecvențele.

Figura 16. Parametrii elipsei de polarizare

În scopul de a păstra o notașie simplă și compactă, precum și modelul defazării direct în domeniul de timp, vom lucra cu semnale analitice. Pentru a găsi semnalele reale asociate, luăm în considerare părțile reale ale acestor semnale complexe.

Dacă

semnalul înregistrat de senzorul vectorial, cu contribuie la semnalul polarizat pe cele 3 componente ale senzorului și b(t) – termenul zgomotului adițional.

Orientarea planului de polarizare este dată de vectorul unitate ∈ R3 (1.12), perpendicular pe planul de coordonate Oxyz :

Odată ce polarizarea este identificată, putem exprima într-o bază ortonormală a planului de polarizare ca :

cu , care determină componentele y în planul definit de V.

Vectorii unitate v1, v2 aleși trebuie să aibă următoarele constrângeri:

Baza { v1, v2 } poate fi contruită din derivatele parțiale n în raport cu ca :

Expresia matricei V devine :

Este simplu de arătat prin calcul că v1, v2 și n formează un triedru direct.

Să considerăm cazul general cu extremitatea vectorului câmpului vectorial incident care descrie o elipsă în planul de polarizare definit în (1.15). Orientarea axei mari a elipsei în acest plan este dată de unghiul în raport cu vectorul v1 ( 1.13 ).

Fie {u1, u2} baza ortonormală planului a planului de polarizare definit de cele 2 axe ale elipsei ( 1.13). Apoi, matricea de transformare între {v1, v2} și {u1, u2} este dată de matricea de rotație :

Excentricitatea elipsei de polarizare este caracterizată de unghiul ( 1.13); componentele semnalului exprimat în baza {u1, u2} sunt proporționale cu și .

Dacă este semnalul analitic (complex) emis de către sursă, expresia semnalului în planul de polarizare devine :

Dacă (1.17) este introdus în (1.12) putem nota :

vectorul de transfer dintre semnalul complex al sursei și axa de polarizare a elipsei, obținând, pentru semnalul înregistrat de către senzorul vectorial ( 1.10) următoarea expresie :

(,

Semnul lui determină de asemenea tipul de polarizare eliptică ( dreapta sau stânga).

Notănd : p( ) = Q( ) , ecuația (1.19) devine :

(,

Matricea V( definită în planul de polarizare al vectorului p( descrie polarizarea undei în planul de polarizare.

În acest subcapitol am ilustrat modelarea undei unde plane înregistrată de un senzor cu 3 componente. În cazul general a K unde ajungând la o rețea iregulară cu Nx captori și Nc componente, descrierea matematică este mult mai complicată și numărul de parametri gestionați crește în proporție de KNC. Reprezentarea devine foarte dificilă și nu este reflecată în această lucrare.

Capitolul 3

Localizarea surselor electromagnetice cu ajutorul unei antene vectoriale

Un senzor vectorial electromagnetic este compus din trei dipoli electrici identici, orientați ortogonal, plus trei bucle magnetice orientate la fel, ortogonal. Acest senzor vectorial electromagnetic are ca scop măsurarea în mod distinct tututor celor 3 componente carteziene ale câmpului electric incident și tuturor celor 3 componente carteziene ale câmpului magnetic incident, ca un vector (6×1), în același punct spațial, în același moment de timp.

Un asemenea senzor vectorial electromagnetic poate fi idealizat, neluând în considerare cuplarea reciprocă între cele 6 componente colocalizate ale antenei. Această matrice idealizată este concatenarea vectorului câmpului electric e (3×1) cu vectorul câmpului magnetic h (3×1)

unde

denotă unghiul de elevare a sursei incidente măsurat de la axa pozitivă z,

simbolizează unghiul azimut măsurat de la axa pozitivă x,

[0, se referă la unghiul auxiliar de polarizare ,

– reprezintă faza de polarizare,

și conțin componentele câmpurilor electrice și magnetice,

respectiv {X, Y, Z} axele sistemului de coordonate atașat.

Observăm că depinde doar de unghiurile de sosire, g depinde doar de parametrii de polarizare. De asemenea ,

Având e și h, vectorul Poynting normalizat pentru sursa incidentă poate fi calculat

,

unde ”x” simbolizează produsul vectorial, ” ” denotă norma Frobenius a unui vector și {u, v, w} sunt proiecțiile sursei incidente de-a lungul celor 3 axe carteziene. Diferite scheme pentru detectarea DOA bazate pe matricea senzorială au fost propuse în ultimele 2 decenii. În orice caz, modelul matematic al ecuației (1) presupune irealist că cuplarea reciprocă dintre cele șase componente ale senzorului vectorial este neglijabilă. În practică, cuplarea mutuală poate fi redusă folosind echipamente de izolare electromagnetică foarte costisitoare, dar nu poate fi complet suprimată. O variantă alternativă, mult mai ieftină în comparație cu izolarea electromagnetică este folosirea antenelor cu componente ne-colocalizate. Pe lângă reducerea drastică a cuplării reciproce, acest model de asemenea extinde deschiderea spațială pentru mărirea rezoluției unghiulare, rezultând în estimări DOA mai precise. Cu toate acestea, utilizarea acestor configurații ne-colocalizate ridică problema delicată a adaptării algoritmilor de căutare deja dezvoltați pentru antene vectoriale colocalizate. Un algoritm de estimare DOA, care adoptă metoda vector Poynting pentru senzor vectorial non-colocalizat a fost propus în [1]. Această metodă funcționează doar pentru câteva configurații geometrice ale antenelor, pentru care cei trei dipoli și trei bucle sunt plasate pe două linii drepte, paralele și respectă o distanță particulară între elemente.

Un algoritm de estimare a DOA utilizând o configurație geometrică mai generală a fost propus în [Yazid Merah, Sebastian Miron, David Brie de adaugat la surse] și este descris în continuare.

3.1 O configurație matriceală generalizată cu elementele senzorului vectorial ne-colocalizate

Pornind de la un senzor vectorial colocalizat, situat în punctul în sistemul de coordonate (OXYZ), considerăm matricea obținută prin deplasarea spațială simetrică a fiecărei pereche dipol / buclă de-a lungul unei drepte care trece prin punctul c, ilustrat în figura 17. Astfel, punctul c poate fi utilizat ca o referință comună de fază pentru toate elementele de bază ne-colocalizate ale senzorului vectorial răspândit. Distanțele dipolilor/buclelor în raport cu centrul lor de fază sunt ( figura 17), și lungimea proiecțiilor lor pe cele trei axe sunt notate cu cu .

3.2 Vectorul Poynting ne-colocalizat.

Deplasarea spațială a celor șase componente ale senzorului vectorial introduce defazaje suplimentare în exprimarea matricei colector dată de ecuația (1).

Figura 17. Geometria spațială generalizată a senzorului vectorial non-colocalizat

Astfel, matricea colector a senzorului vectorial deplasat este :

Expresia vectorului Poynting ne-colocalizat poate fi calculat similar ecuației (2) și după câteva manipulări matematice obținem:

Așa cum era de așteptat, expresia vectorului Poynting nu depinde de poziția matricei în sistemul de coordonate, ci numai de poziția relativă a antenei. Dacă notăm coeficienții u, v și w în partea exponențială în (4) cu , respectiv poate fi rescris ca :

În secțiunea următoare vom adresa problema estimării lui u, v și w din.

3.3 Estimarea parametrilor

Înaine de a prezenta abordarea algoritmică pentru estimarea lui u, v și w, identificarea modelului (5) trebuie studiată.

3.3.1 Identificare a parametrilor

În comparație cu cazul colocalizat, valorile lui sunt valori complexe, parametrii de interes fiind prezenți atât în modul cât și în exponent ( fază ). Prin urmare, estimarea lui u, v și w din poate genera ambiguități de semn; de exemplu, pot exista cazuri unde . Acest neajuns poate fi evitat prin luarea în considerare a relațiilor comune dintre cele trei elemente ale vectorului

Descriem în continuare o condiție suficientă pentru identificarea direcției parametrilor în (5)

Teorema 1 Dacă semnul lui u este cunoscut și distanța dintre cele 6 antene este următoarea : (τ), (τ τ) (τ τ τ) , atunci u, v și w pot fi identificate unic din .

Această condiție este valabilă și în cazul în care u este înlocuit de v sau w , și/sau dacă rolurile din sunt interschimbate. Dintr-un punct de vedere geometric, condițiile Teoremei 1 implică , și , ceea ce înseamnă că dipolii și buclele sunt situate în două planuri paralele, și oricare dintre ele sunt non-colineare. Este necesar să fixăm semnul lui u pentru a elimina ambiguitatea legată de lipsa de informații cu privire la faza sursei. O ipoteză similară este făcută în [1].

3.3.2 Estimarea parametrilor

În această lucrare am folosit algoritmul ESPRIT Uni-Vectorial prepus în [4], pentru simulările numerice prezentate în acest capitol. Cu toate acestea, orice algoritm de estimare a parametrilor, capabil de a estima sursa vectorului de direcție ar putea fi folosit în acest scop. Odată ce vectorul de direcție este estimat, vectorul Poynting corespunzător poate fi calculat cu ușurință prin produs vectorial în (2). Apoi, estimarea direcției (u, v, w) poate fi formulată ca o problemă de minimizare, pentru care funcția obiectiv este dată de

Algoritmul prezentat în [1] se ocupă numai doar de o configurație particulară a matricei unde cei 3 dipoli și 3 bucle sunt paralele cu una dintre axele de coordonate. Oricum, minimizarea lui produce o problema de optimizare non-convexă și neliniară. O procedură de minimizare simplă este utilizarea unui algoritm de optimizare locală, caz în care este vital să găsim un punct de start convenabil. O soluție este utilizarea modulelor elementelor lui ca punct de start. Dacă semnele lui u, v și w sunt necunoscute, cele 8 combinații posibile de semne trebuie testate ca inițializare, iar cea mai mică valoare ale lui să fie stabilită ca soluție.

Cu toate acestea, chiar și pentru semnale moderate până la raporturi de zgomot, odată cu mărirea distanței dintre senzori, numărul de minime locale ale funcției obiectiv crește, de asemenea, această metodă eșuează aproape sistematic, ceea ce va fi prezentat în secțiunea următoare.

Propunem în continuare o metodă de minimizare care depășește probleme descrise mai sus, evitând în același timp căutări extensive a parametrilor pe matrice. Ideea pe care este bazată metoda este utilizarea unei schimbări de variabile (6) care permite determinarea periodicitățile de faza ale valorilor lui . Făcând acest lucru, problema de minimizare se reduce la o căutare discretă printr-o grilă de dimensiuni reduse, garantând găsirea minimului global în (6). Într-o anumită măsură, procedura de optimizare propusă poate fi văzută ca o extensie a algoritmului din [1] pentru o matrice generalizată.

Definind vectorii , cu și . Condiția de identificare în propunerea 1 garantează că A este o matrice reală 3×3 nesingulară. Dacă notăm , funcția obiectiv (6) poate fi rescrisă ca :

unde ” simbolizează produsul Hadamard ( element cu element) a 2 vectori. Considerăm un nou vector în așa mod ca , definind o nouă funcție obiectiv

Cum A este inversibilă, dacă este un minimizator pentru , atunci este minimizator pentru . Presupunem că u, v și w sunt valori pozitive, și considerăm doar partea exponențială din (8):

unde ”./” denotă divizarea element cu element și ”|.|” – operația de modul, element cu element. Dacă este minimizator a funcției de cost (9), atunci oricare [], cu este un minimizator pentru (9). Ideea este că minimizatorul global pentru este unul dintre minimizatorii pentru . Astfel, metoda propusă pentru minimizarea funcției de cost (7) poate fi rezumată după cum urmează :

Se efectuează schimbarea variabilelor

Găsim un minimizator pentru . Orice algoritm de optimizare locală poate fi folosit pentru atingerea acestui scop.

Găsim minimizatorul global pentru așa cum

Domeniul de căutare pentru este limitat de și , cu

În cazul în care semnele de direcție a cosinusurilor sunt necunoscute anterior, toate combinațiile posibile de semn trebuie verificate în (9); cea cu cel mai scăzut cost este păstrată ca soluție finală.

Calculăm minimizatorul pentru funcția de cost inițială ca Un pas în optimizarea locală poate fi adăugat pentru , în scopul de a obține estimări mai precise ale lui u, v și w.

Prin utilizarea unei transformări liniare a parametrilor de interes, algoritmul propus transformă o problemă de căutare parametru continuu într-o căutare pe o grilă de dimensiuni reduse, cu un pas , într-un domeniu mărginit.

Pentru a evita o căutare exhaustivă în acest domeniu mărginit, în această lucrare de licență propunem o metodă de tip ”descindere de gradient” care va lua în calcul doar o vecinătate a punctului de calcul curent. Această tehnică va permite ( după cum se va vedea în simulări ), să reducem în mod drastic timpul de calcul față de căutarea exhaustivă propusă în [13].

Figura 18. Domeniul inițial de căutare

În figura 18, zona de culoare roșie este punctul de start, delta = 3 – mărimea matricii, zona de culoare verde – minimul local. La găsirea unui nou minim local, acesta este considerat centrul unei noi matrici, de dimensiune delta, după care se efectueaza o nouă căutare ( figura 19 și 20 ).

Punctul de start este ales cu ajutorul funcției randi

delta =3;

ii_up = randi([1+delta, length(up_vec)-delta]);

ii_vp = randi([1+delta, length(vp_vec)-delta]);

ii_wp = randi([1+delta, length(wp_vec)-delta]);

Figura 19. Pasul 2 al algoritmului de căutare propus. Minimul local devine centrul unei noi matrici de dimensiune delta

Figura 20. Pasul 3 al algoritmului de căutare propus

O secvență de program care definește domeniul de căutare de mărime delta și începe parcurgerea matricei pas cu pas este :

//delta

level =15;

//Definirea coordonatelor punctului de start

ii_up = randi([1+level, length(up_vec)-level]);

ii_vp = randi([1+level, length(vp_vec)-level]);

ii_wp = randi([1+level, length(wp_vec)-level]);

//Definirea Matricei de căutare redusă ( este schimbată pentru fiecare ”trial”

i_vec= (ii_up-level):(ii_up+level);

v_vec= (ii_vp-level):(ii_vp+level);

w_vec= (ii_wp-level):(ii_wp+level);

for i_up=i_vec

for i_vp=v_vec

for i_wp=w_vec;

Jp(i_up,i_vp,i_wp)=norm(p- (A\[up_vec(i_up);vp_vec(i_vp);wp_vec(i_wp)]).* …

[exp(-1i*2*pi/lambda*up_vec(i_up));…

exp(-1i*2*pi/lambda*vp_vec(i_vp));…

exp(-1i*2*pi/lambda*wp_vec(i_wp))]);

if Jp(i_up,i_vp,i_wp) < MIN

MIN=Jp(i_up,i_vp,i_wp);

ind_umin = i_up;

ind_vmin = i_vp;

ind_wmin = i_wp;

up_vec_min=up_vec;

vp_vec_min=vp_vec;

wp_vec_min=wp_vec;

pp_min=pp;

end

end

end

end

În caz că nu găsim o valoare mai mică decât minimul local, în domeniul de căutare delta, acesta este declarat minim global.

Pentru următoarele exemple, au fost folosiți parametrii :

vectorul RSB cu punctele : -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45

numărul surselor : 2

numărul încercărilor : 25

θ =

Figura 21. Graficul sursei 1 pentru delta=18

Figura 22. Graficul sursei 2 pentru delta=18

Figura 23. Graficul comun pentru sursele 1 și 2 , delta=18

După cum observăm în figura 21, figura 22 și figura 23, pentru delta = 18, obținem o acuratețe de 99%, salvând 60.4% în cost de timp în comparație cu algoritmul exhaustiv.

Odată cu mărirea distanței dintre senzori, numărul de minime locale ale funcției obiectiv crește, această metodă eșuând aproape sistematic pentru delta mai mic de 15 ( figura 25, figura 26,

Figura 24. Graficul sursei 1 pentru delta = 15

Figura 25. Graficul sursei 2 pentru delta = 15

Figura 26. Graficul comun pentru sursele 1 și 2 , delta=15

Figura 27. Graficul sursei 1 , delta=10

Figura 28. Graficul sursei 2 , delta=10

Figura 29. Graficul comun pentru sursele 1 și 2 , delta=10

Concluzii

Scopul acestei lucrări este de arăta cum se poate aplica estimatorul Poynting pentru estimarea direcției de sosire a unei surse polarizate.

Noua abordare propusă are valoare practică în reducerea cuplării reciproce datorită dispersării în spațiu a celor trei dipoli și trei bucle. De asemenea, construirea unei astfel de antene este mai simplă în comparație cu cea colocalizată din punct de vedere a structurii hardware, prețul fiind mai avantajos, nefiind necesare izolările costisitoare.

Merită menționat că vom avea și o extindere a deschiderii spațiale, rezultând în mărirea rezoluției unghiulare, fapt care ne oferă posibilitatea de a distinge separat sursele aflate foarte aproape una de cealaltă.

În urma simulărilor, am putut observa o îmbunătățire de peste 60% față de metoda exhaustivă propusă în [1] obținând rezultate similare cu o precizie de 99% . Odată cu mărirea distanței dintre senzori ( delta ), numărul de minime locale ale funcției obiectiv crelte, această metodă eșuând aproape sistematic. O valoare optimă delta pentru acest algoritm este 18.

Configurația matriceală a antenei vectoriale ne-colocalizate prezentată în această lucrare generalizează schema de achiziție introdusă în [1], în același timp permițând folosirea abordării ”produs vectorial” pentru estimarea direcției de sosire a surselor electromagnetice polarizate. De asemenea am formulat problema estimării direcției cosinusurilor ca o minimizare a funcției obiectiv neliniară și am arătat că minimul global poate fi obținut prin efectuarea unei schimbări de variabilă și o căutare discretă pe o matrice de dimensiune redusă.

Referințe

[1] K. T. Wong and X. Yuan, “Vector cross-product directionfinding with an electromagnetic vector-sensor of six orthogonally oriented but spatially noncollocating dipoles/loops,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 59, no. 1, pp. 160–171, Jan. 2011.

[2] A. Nehorai and E. Paldi, “Vector-sensor array processing for electromagnetic source localization,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 42, no. 2, pp. 376–398, Feb. 1994.

[3] B. Hochwald and A. Nehorai, “Polarimetric modeling and parameter estimation with applications to remote sensing,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 43, no. 2, pp. 376–398, Feb. 1995.

[4] K. T. Wong and M. D. Zoltowski, “Uni-vector-sensor ESPRIT for multisource azimuth, elevation, and polarization estimation,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 45, no. 10, pp. 1467–1474, Oct. 1997.

[5] K.-C. Ho, K.-C. Tan, and B. T. G. Tan, “Efficient method for estimating directions-of-arrival of partially polarized signals with electromagnetic vector sensors,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 45, no. 10, pp. 2485–2498, Oct. 1997.

[6] K.-C. Ho, K.-C. Tan, and A. Nehorai, “Estimating directions of arrival of completely and incompletely polarized signals with electromagnetic vector sensors,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 47, no. 10, pp. 2845–2852, Oct. 1999.

[7] K. T. Wong and M. D. Zoltowski, “Closed-form direction finding and polarization estimation with arbitrarily spaced electromagnetic vector-sensors at unknown locations,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 48, no. 5, pp. 671–681, May 2000.

[8] K. T. Wong and M. D. Zoltowski, “Self-initiating MUSICbased direction finding and polarization estimation in spatiopolarizational beamspace,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 48, no. 8, pp. 1235–1345, Aug. 2000.

[9] M. D. Zoltowski and K. T. Wong, “Closed-form eigenstructure-based direction finding using arbitrary but identical subarrays on a sparse uniform cartesian array grid,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 48, no. 8, pp. 2205–2210, Aug. 2000.

[10] M. Hurtado and A. Nehorai, “Performance analysis of passive low-grazing-angle source localization in maritime environments using vector sensors,” IEEE Trans. Aerosp. Electron. Syst., vol. 43, no. 2, pp. 780–789, Apr. 2007.

[11] X. Gong, Z. Liu, Y. Xu, and M. I. Ahmad, “Direction-of-arrival estimation via twofold mode-projection,” Signal Process., vol. 89, no. 5, pp. 831–842, May 2009.

[12] X. Guo, S. Miron, D. Brie, S. Zhu, and X. Liao, “A CANDECOMP/PARAFAC perspective on uniqueness of DOA estimation using a vector sensor array,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 59, no. 7, pp. 3475–3481, July 2011.

[13] Yazid Merah, Sebastian Miron, David Brie “A GENERALIZED ACQUISITION SCHEME FOR VECTOR CROSS-PRODUCT DIRECTION FINDING WITH SPATIALLY SPREAD VECTOR-SENSOR COMPONENTS” , Centre de Recherche en Automatique de Nancy, Universite´ de Lorraine, CNRS, Boulevard des Aiguillettes B.P. 239 F-54506 Vandœuvre le`s Nancy, France.