Dialog Intre Matematica Si Teologie

UNIVERSITATEA „BABEȘ-BOLYAI” – CLUJ-NAPOCA

FACULTATEA DE TEOLOGIE ORTODOXĂ

DIALOG ÎNTRE MATEMATICĂ ȘI TEOLOGIE

Student: Pralea Ștefn

Anul I Consiliere pastorală și asistență psihosocială

Cluj-Napoca

2016

Scopul

Trăim într-o perioadă puternic secularizată, în care observăm cu stupoare că formarea și pregatirea intelectuală și morală a tinerilor lasă de dorit. Vedem cum preocupările intelectuale (matematice) dar nici cele de etică morală (teologie) nu mai sunt cum erau o dată.

Dat fiind faptul, am dori ca această lucrare să identifice legăturile și modalitățile de dialog dintre cele două științe, precum și aplicabilitatea matematicii în teologie pe care celebrul și inegalabilul matematicean, fizicean, astronom și filosof, Galileo Galilei o numește: ,,Limba cu care Dumnezeu a scris universul”.

Introducere

Așa cum spuneam la începutul acestui lucrări, societatea în care trăim este o societate secularizată, societate în care tinerii nu mai au înclinații de natura didactica dar nici morală. Prin cursul de față pe care l-am intitulat ,,Iraționalitate în matematică și teologie”, doresc să arăt legătura între aceste două științe, pe care îndrăznesc să le denumesc știinte exacte.

Mulți din cei care vor citi această lucrare își vor pune întrebarea: Există vre-o legătură între matematică și teologie, între această știință a numerelor și Dumnezeu? Dacă stăm și privim cu atenție vedem că această lipsă de legătură este doar aparentă. Este ca și cum două curbe nu se intersectează deloc în planul real, cel al privirii superficiale, al prejudecății, al ignoranței, dar au o multitudine de intersecții în planul complex – cel al realității adevărate, profunde.

Matematica te învață o cumințenie, un respect față de taină, de taina realității. Una dintre provocările matematicii este cum să modeleze realitatea. Din Antichitate până astăzi, asta se încearcă. Constant, fizicienii cer modele de la matematicieni: „Am problema asta, am experimentul acesta, explicați-l voi, fundamentați-l riguros“. Aceasta a făcut-o Einstein, care a folosit pentru Teoria Relativității un model matematic descoperit cu 50 de ani înaintea lui de un mare matematician, Bernhard Riemann. Matematica vine să modeleze realitatea. Toți știm că matematica este grea. Și asta pentru că realitatea este greu de modelat. Nici acum nu putem să o modelăm cum trebuie. Știința lucrează doar cu aproximări ale realității.

Încergand să arate legatura dintre matematică și teologie, marele Euclide a spus: ,, Legile naturale sunt doar gandiri matematice ale lui Dumnezeu”.

Dacă aruncăm o privire de ansamblu asupra vieții anumitor personalități din veacul al IV-lea, pe care Biserica îi numește sfinți, vedem că pe lângă preocupările lor de natură religioasă au existat și preocupări ștințifice cu precădere matematice. În acest sens îi amintim pe Sfântul Vasile cel Mare, Sfântul Ioan Damaschinul, Sfântul Ioan Gură de Aur, Sfântul Ambrozie cel Mare și Sfântul Maxim Mărturisitorul.

Așadar am putea spune că matematica este strâns legată de teologie, iar acest lucru îl dovedește însuși cosmosul, legile perfecte și fără eroare care domină acest spațiu infinit.

Acceptând acest lucru, acceptăm existența lui Dumnezeu, iar dacă acceptăm tot ceea ce am spus până acum, că matematica este strâns legată de teologie, că legile naturii sunt gandiri matematice ale lui Dumnezeu, că matematica este limba cu care Dumnezeu a scris universul, trebuie să acceptăm că matematica este o știință descoperită de mintea omului.

Dacă am ajunge cu toții la concluzia că Matematica este descoperită de mintea omului, atunci ar trebui să acceptăm că altcineva a creat-o, o persoană inteligentă mai presus de oameni. De fapt ar trebui să recunoaștem că a fost creată de Dumnezeu și transmisă prin inspirație divină oamenilor.

Dacă am conveni toți că Matematica este inventată de om, atunci L-am scoate pe Dumnezeu din ecuație, și am confirma indirect că lumea în care trăim s-a creat de la sine, întâmplător.

Ești interesat de un om când ceva din sufletul tău te leagă de el. Ești interesat de un obiect, de un fenomen, când ceva din viața și felul tău de a fi te leagă de acel obiect sau fenomen.

Chiar dacă am afla răspunsul la această întrebare totuși el nu poate fi considerat un argument absolut în favoarea existenței lui Dumnezeu. De fapt nu există niciun argument absolut în acest Univers prin care noi să demonstrăm existența Lui Dumnezeu, și asta pentru că El este în afara oricărui lanț cauzal logic și fizic. Dumnezeu, necreat fiind, Infinit, Nemărginit în Putere și Înțelepciune, nu-L vom putea afla niciodată în Creație, ci vom putea doar intui existența Lui. Toată Creația, tot Universul ne oferă miliarde de ocazii pentru a ne urca cu mintea și a înțelege că tot ce ființează are un Creator. Avem miliarde de dovezi dar totuși n-avem niciuna. Dumnezeu poate fi cunoscut, înțeles și întâlnit doar prin credință.

Poți doar să crezi că Dumnezeu există, și niciodată să demonstrezi existența Lui. Dacă ar exista un argument absolut prin care să demonstrezi tuturor că Dumnezeu există atunci oamenii ar fi fost constrânși să-i accepte existența. Dar în realitate Dumnezeu este Smerit, Blând și Iubitor și nu se impune în fața nimănui ci lasă la alegerea fiecăruia să-l accepte sau nu.

Presupunând ipoteza că Matematica este o știință inventată de mintea umană, apar câteva întrebări:

Dacă Matematica este inventată cum oare de se aplică atât de bine lumii în care trăim?

Dacă noi oamenii nu am contribuit cu nimic la apariția Universului și a Pământului pe care trăim, cu toate frumusețile lui, cum oare ceva din mintea noastră, ceva inventat de noi, se leagă atât de bine cu observațiile și experimentele pe care le facem ulterior în lumea înconjurătoare?

Dacă matematica este un limbaj abstract inventat de mintea omului cum de cu ajutorul ei pot fi descrise așa concis fenomenele fizicii, astronomiei, biologiei, anatomiei, geografiei, chimiei, medicinii, etc?

Omul a conceptualizat și a dat denumire numerelor din necesitatea de a conviețui în natură și de a trăi în comuniune cu ceilalți. Vă voi da un exemplu imaginar pentru a înțelege mai bine:

,,A rupt un fruct din copac și i-a dat denumirea de măr. Bine știind că o are și pe femeia sa lângă el a mai rupt unul și pentru ea. Bucuroși de gustul merelor, femeia îl roagă a doua zi să mai aducă iarăși măr, dar din necesitatea de a-i sugera soțului că vrea și ea unul, au inventat un termen pentru conceptul de doi. Și uite așa au ajuns să aibă nevoie să denumească o mulțime formată dintr-un măr și un alt măr. Când a apărut primul copil, au simțit nevoie să denumească o mulțime formată din două mere și un alt măr, și i-au spus trei. Și tot așa mai departe”.

Pe baza acestor denumiri: omul a observat că această mulțime de două mere poate avea multe corespondente în lume: două mâini, două picioare, doi ochi, două urechi, doi părinți (mamă și tată) și în felul acesta numărul doi a intrat în limbajul lui pe baza observației și a necesităților. La fel s-a întâmplat și cu celelalte numere 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…100…1000…10000…etc.

Tot în acest fel omul a deprins mental ce înseamă adunarea. Când a apărut al doilea copil bărbatul a aflat că dacă mai adaugi un măr la mulțimea de trei, vor deveni o mulțime aparte, diferită de prima, și va avea patru mere. La fel și scăderea, atunci când a trebuit să aducă piersici din grădină familiei la masă, dar copiilor nu le plăceau pentru că au puf, și a trebuit să învețe să scoată dintr-o mulțime de patru, două piersici, și să constate că va rămâne cu o mulțime de doi. A învățat astfel că 4 -2 = 2.

La fel s-a întâmplat și cu înmulțirea și împărțirea, dar și cu celelalte calcule algebrice.

Ce este fascinant este faptul că deși numerele sunt concepte inventate de noi, între ele există relații matematice, incredibil de complexe, de netăgăduit, pe care noi doar le-am descoperit și de care ne minunăm. Știam de exemplu că după 3 urmează 4 și apoi 5, dar am descoperit apoi că 32 + 42 =52 .

Știm prin numărare că totalul zilelor dintr-un an este 365 dar am descoperit uimiți că:

365 = 102 + 112 + 122 dar în același timp 365 = 132 + 142.

La fel, știați că 100 = 13 + 23 + 33 + 43.

În șirul numerelor întregi prime (care nu se împart la 2 / au forma 2n-1): 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, etc, există o proprietate care ne lasă cu gura căscată: Sumă oricărui număr de termeni succesivi (începând cu 1), formează întotdeauna pătratul unui număr.

De exemplu:

1+3 = 22

1+3+5 = 32

1+3+5+7 = 42

1+3+5+7+9 = 52

1+3+5+7+9+11 = 62

1+3+5+7+9+11+13 = 72

1+3+5+7+9+11+13+15 = 82

etc….

La fel Șirul lui Fibonacci: „0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…” unde fiecare termen al șirului se formează prin adunarea celor doi anterior (5 = 2+3, 8= 5+3, 13=5+8, etc.). Ce este fascinant la acest șir e faptul că dacă împărțim un element al Șirului Fibonacci la precedentul său obținem rezultatul 1,61803….. Acest lucru este valabil cu cât numărul din șir este mai mare (233:144=1,61803, 377:233=1,61803, 610:377 = 1,61803 etc.).

Există multe teorii ale numerelor care au fascinat pur și simplu mințile matematicienilor, și care, ,,colac peste pupăză”, nu sunt doar teorii ci se regăsesc minunat în structura lumii în care trăim, așa cum raportul de aur din Șirul lui Fibonacci(1,61803) se găsește în cochilia melcului, în dispunerea semințelor florii soarelui, în așezare solzilor de pe aripile unui fluture, în forma valurilor mării, în așezarea frunzelor pe o tulpina unei plante (fenomen numit fitotaxie), în structura cristalelor anumitor aliaje pe baze de aluminiu, și în multe alte locuri.

Pentru mine răspunsul la întrebarea: „Este matematica inventată sau descoperită?” ține de credința fiecărui om.

Iraționalitate în teologie și matematică

Teologia ortodoxă afirmă existența a doi poli ai iraționalității, unul profund negativ, anti-rațional, care se manifestă prin fabricarea artificială a unor false raționalități cu scopul de a le eluda pe cele reale care stucturează ființa celor ce ființează în lume și altul profund pozitiv, care se manifestă prin activare prin lucrarea harului, si care tine de o depășire în sensul de plinătate a raționalității, prin unirea cu puterea de lucrare a lui Dumnezeu. Aceasta din urma este un supra-rational făcut posibil prin acceptarea inițiativei lui Dumnezeu în noi care ne cheamă către îndumnezeire.

Pentru Biserica Ortodoxă, „ Treimea este temeiul de nezdruncinat al întregii cugetări religioase, al oricărei evlavii, al oricărei vieți duhovnicești, al oricărei trăiri. Pe Ea o căutăm atunci când îl căutăm pe Dumnezeu, atunci când căutăm deplinătatea ființei, sensul și scopul existenței”, spune V. Lossky. Punctul la care ajunge teologia apofatică, un capăt nesfârșit, este chiar Treimea.Dogma despre Sfânta Treime este specifică creștinismului. Ea este baza tuturor simboalelor de credință și condiționează toate adevărurile creștine. Teologia creștină nu cunoaște o divinitate abstractă : Dumnezeu nu poate fi conceput în afara celor trei Persoane.

Este drept că Sfânta Treime este un mister ce nu poate fi înțeles pe deplin de mintea omenească. Noi însă îl acceptăm întrucât ni-l propovăduiește Biserica și avem conștiința că el ne-a fost împărtășit de Iisus Hristos, spre binele nostru. Îl primim pe baza mărturiilor Revelației.

Pe scurt definirea dogmei Sfintei Treimi constă în: Dumnezeu- este o ființă în trei Persoane. Dumnezeu – Tatăl, Dumnezeu- Fiul și Dumnezeu-Duhul Sfânt. De aceea, cuvintele și expresiile create pentru expunerea ei se referă fie la unitate, adică la ființa lor, fie la Treime, adică la cele trei Persoane.

Dacă ar fi să expunem în limbaj matematic am spune astfel:

1+1+1 în calcul matematic ne dă rezultatul 3 , pe când în teologie lucrurile stau diferit: 1+1+1=1(Tatăl+Fiul+Sfântul Duh= un singur Dumnezeu, o singură ființă în trei Persoane).

Așadar în teologie trei este egal cu unu și unu este egal cu trei, deși am afirmat aceste lucruri, totuși nu putem să le concepem logic și rational, deoarece ele țin de o gândire itațională, însă acolo unde se sfârșește știința omului începe atotștiința lui Dumnezeu.

Considerăm că după toate cele expuse anterior se cuvine să avem și o explicație, am spune noi cât de puțin logică, de aceea în cele ce urmează vom expune câteva aspect generale referitoare la dogma Sfintei Treimi

Aspecte generale

dogma referitoare la Sfânta Treime este adevărul fundamental, propriu și specific al religiei creștine.

conform învățăturii creștine, Sfânta Treime ca principiu existențial, creator și proniator, țintă supremă comuniune perfectă, este temeiul întregii ordini spirituale, materiale, morale, personale și sociale.

în acest timp, împlinirea ființială și morală a omului și a creaturii, în general, nu este altceva decât apropierea progresivă sau comuniunea de viață cu Sfânta Treime.

învățătura principală despre Sfânta Treime este aceea că Dumnezeu este unic, unul singur ca esență divină, dar în același timp întreit ca persoane.

cu alte cuvinte, Dumnezeu este realitatea personală, unică și supremă dar și întreită.

întrucât esența divină este unică, indivizibilă și imuabilă, fiecare persoană a Sfintei Treimi este Dumnezeu adevărat, egal și nedespărțit, de celelalte, fără să se contopească, dar și fără să se separe vreodată.

învățătura despre Sfânta Treime exprimă caracterul personal și întreit al lui Dumnezeu.

mai presus de toate, Existența Supremă și atotputernică este absolută pentru că este personală.

dacă Dumnezeu nu ar fi persoană, n-ar fi de fapt Dumnezeu, pentru că un absolut impersonal n-ar putea fi simțit de conștiința omului ca forță, ca absolut.

inconștiența, chiar dacă e uriașă, nu se poate impune conștiinței, cum este omul.

de altfel, o forță nu e simțită ca autoritate, ca responsabilitate, dacă e impersonală.

apoi, din caracterul personal al lui Dumnezeu reiese de fapt caracterul Lui întreit-personal.

caracterul de persoană iubitoare atrage cu necesitate existența tri-personală, adică deplin iubitoare.

evident că Dumnezeu ca persoană nu poate fi concepută decât ca Iubire, Iubirea Supremă.

iubirea într-o singură persoană este însă egoistă, iubirea numai între două persoane nu este egoistă, însă este încă închisă și deci subiectivă.

numai printr-o a treia persoană, iubirea celor doi se deschide și se obiectivează, este ca și un echilibru geometric care nu poate fi realizat, nu e stabil decât prin trei puncte de sprijin.

caracterul obiectiv, complet, autentic al iubirii numai prin trei persoane reiese și din exemplificarea cu iubirea famliala: soții realizează cel mai deplin, mai complet și mai obiectiv iubirea care-i leagă, prin copilul lor.

prin ei, însăși iubirea soților se schimbă, se deschide, se concretizează.

autenticitatea și deplinătatea iubirii numai prin trei persoane a fost dedusă și din relația personală eu-tu-el.

un eu nu comunică, nu se deschide, nu este obiectiv în fața unui tu, decât printr-un el.

această realitate se impune covârșitor mai ales când avem în vedere că relația lor este o relație de iubire.

de asemenea, mai deducem necesitatea iubirii Supreme de a fi o Existență tri-personală și din caracterul de responsabilitate al iubirii.

iubirea este în mod esențial responsabilitate.

desigur că Dumnezeu este responsabil numai față de Sine însuși.

însă responsabilitatea Lui este obiectivă tocmai pentru că se evidențiază în trei persoane care există fiecare în fața celorlalte și prin celelalte.

învățătura despre Dumnezeu unul în ființa și Dumnezeu întreit în persoane sunt fețe ale aceleiași realități.

după cum ființa nu e separată de persoană, tot așa nici doctrina despre ființa și unitatea lui Dumnezeu nu trebuie separată de trinitatea persoanelor și invers.

dogma despre Sfânta Treime este specifică creștinismului.

Fericitul Augustin spunea că mintea și voința omenească nu au de nicăieri profituri mai abundente ca în studierea acestei dogme.

prin studierea ei dobândim posibilitatea unei priviri asupra ființei și a vieții intime a lui Dumnezeu.

iubirea și fericirea de care sunt pătrunse Persoanele divine se revarsă și asupra celor care sunt uniți cu Dumnezeu.

Iubirea e în funcție de existența altuia, ea este comunitară, ea nu poate exista acolo unde există o singură persoană.

De aceea, dacă Dumnezeu este iubire, urmează ca în El există mai multe Persoane între care există o veșnică mișcare de iubire de la una la alta.

dogma Sfintei Treimi ne ferește de a confunda pe Dumnezeu cu lumea, de a-L considera ca neavând nici un raport cu noi, ea ne arată că Dumnezeu e transcendent și imanent, că El e mai presus de lume dar e și în lume.

Mai mult chiar, El coboară la noi cu una din Persoanele Sale.

În concluzie, ceea ce se pare a fi irațional din punct de vedere teologic, poate devein rational în masura în care noi ne deschidem inimile spre Dumnezeu și încercăm să ne făurim false raționalități, cu scopul de a elucida iraționalitate, care totuși depășește și este mai presus de rașiunea noastră umană.

Legături între matematică și teologie

În repetate rînduri, știința ne-a obișnuit cu dezvăluirea unor forme, regularități și simetri de o frumusețe extraordinară. Cu toții am trait și am receptat frumusețea unui răsărit sau a unui apus de soare. Este indiscutabil că multe din scenele sau situațiile din viața noastră ne scot în fața ochilor și a simțurilor frumuseți nebănuite din lumea înconjurătoare. Matematica a făcut mai mult de atât. A trecut de perdeaua acestor frumuseți de primă instanță și a descoperit într-un mod neașteptat; regularitate, frumuseșe, simetri, complexe neașteptate în interstițiile materiei (spațiu (gol) situat între părțile unui corp sau ale unui sistem de corpuri aflate unul lângă altul pe o anumită porțiune din suprafața lor, fără a se atinge), sau în ariile vaste ale universului în care trăim.

Odată cu aceste descoperiri, au ieșit la iveală două lucruri de o importanță deosebită:

Puterea extraordinară a rațiunii omenești de a construi structuri matematice

O compatibilitate aparte, între teologie și matematică.

Matematica, am spune că face inteligibil nevăzutul. În matematică, precum și în teologie, efortul este de a găsi scânteia care aprinde întreaga cunoaștere.

Celebrul poet american William Wallace, spunea astfel: ,,Matematica, te face să vezi lumea într-un grăunte de nisip și eternitatea într-o oră”.

Garantul compatibilității dintre matematică ca știință si teologie este Biserica. Atât teologul cat si omul de știință trebuie să se încreadă în Biserică, "stalpul si temelia adevărului" (I Tim. 3,15). Căci izvorul cunoașterii creștine este Revelația, pe care Biserica o actualizează în mersul ei pentru a fi de folos în fiecare epocă și a raspunde diferitelor mentalități și aspirații umane. Revelația răspunde nevoii de cunoaștere a omului, iar Biserica, în calitatea ei de organism care păstrează și transmite Revelația, susține și promovează cunoașterea creștină asupra lumii.

Matematica poate deveni chiar mărturisitoare a tainelor suprarationale sau măcar să le intuiască, atunci cand manifestă smerenie în cercetare și recunoaște că mai presus de rigurozitatea legilor și formulelor sale, mai presus de demonstrațiile sale analitice, există realitatea Adevărului revelat. Dacă teologia este o mărturie a experienței directe, nemijlocite cu Adevărul-Hristos, o expresie a acestui Adevăr, matematica, pe culmile ei cele mai înalte, poate da mărturie despre asumarea tainei, despre trăirea unui fior religios, despre bucuria mirării în fața unei lumi ce nu poate fi cucerită exclusiv prin raționalitat". Trebuie să menționăm ceea ce celebrul matematicean E. Wigner spunea: ,,imensa utilitate a matematicii în ștințele naturii se află la limita misterului și nu există pentru ea nici o explicație rațională. Miracolul adegvării limbajului matematic la formularea legilor fizicii este un dar minunat pe care noi nu îl înțelegem și nu îl merităm. Trebuie să fim recunoscători pentru el și să sperăm că va rămâne valabil în cercetările viitoare și se va extinde mereu spre încântarea noastră, dar poate că și spre uimirea noastră în ramuri largi ale științei”. Iar Paul Darvies afirma: ,,este foarte straniu că matematicienii sunt călăuziți de simțul estetic al elaborării unor structuri matematice, pe care fizicienii abia mai târziu le găsesc”.

În concluzie trebuie să amintim de celebra relație a lui Euler, care exprimă atât de frumos relația dintre matematică și natura inconjuratoare precum și aceea dintre matematică și teologie.

+1=0

La prima vedere pare o chestiune banală însă dacă privim cu atenție observămcă e reprezintă baza logaritmilor naturali. Despre logaritmii naturali se consideră că exprimă relația noastră cu natura înconjurătoare în sensul că omul reduce ritmurile naturii după o lege logaritmică. Π este simbolul circularității. Toate cercurile au această proprietate, raportul dintre lungime și diametru este acelați. I este simbolul imaginar. 1reprezintă unitatea. 0 reprezintă absența.

Iată, întro exprimare atât de concisă se pun în legătură simboluri atât de importante: logaritmul- relația cu lumea, circularitatea, imaginarul, unitatea, absența.

CONCLUZII

,,Ceea ce omul a descoperit, Dumnezeu a creat”

Lucrarea de față pleacă de la această idee, care cred eu că stă la baza tuturor cercetărilor științifice din orice domeniu. Un lucru esențial a fost acela de a sublinia și a scoate în evidență legătura dintre matematică și teologie și modul în care cele două se contopesc.

Pe parcursul acestei lucrări am urmărit sublinierea acestor caracteristici comune, fie prin regăsirea unor însușiri proprii unui domeniu în celălalt domeniu, fie prin prezentarea însușirilor proprii ambelor domenii.

Printre însușirile epistemologice comune teologiei și științei, la loc de frunte se află caracterul axiomatic, fundamental teologiei dar și științei. Sub acest aspect am evidențiat caracterul nedemonstrabil și principial atât al dogmelor (care sunt revelate), cât și al axiomelor matematice.

În acest fel am evidențiat necesitatea benefică a gândirii logice susținută atât de teologi importanți cât și de cercetători de valoare. Tot în acest context au fost scoase la iveală și preocupări matematice (de calitate) ale Sfinților Părinți cum ar fi Sf. Vasile cel Mare, Sf. Ioan Damaschinul, Sf. Ioan Gură de Aur, Sf. Ambrozie cel Mare și Sf. Maxim Mărturisitorul.

Bibliografie

Sfânta Scriptură, Ed. Institutului Biblic și de Misiune al Bisericii Ortodoxe Române, București, 2001.

Beers V. Gilbert ,,Biblia cu ilustrații pentru ochițorii micuți” Ed. Girasol, București, 2007

Livio Mario, ,,Este Dumnezeu matematician?”, Ed. Humanitas, București, 2011

Florenski Pavel,,Stâlpul și Temelia Adevărului”, Ed. Polirom, Iași, 1999

Topolog Ion ,, Urmașii lui Euclid”, Ed. Albatros, București, 1999

Byrne Oliver ,,The first six books of the elements of Euclid”, Ed. Taschen, England, 2008

Abaci Liber ,,O carte de calcule”, traducere în limba engleză de Laurence Sigler, Ed. Springer, 2002

Ambrozie Sfânt ,,Tâlcuiri la facere” Ed. Cartea Ortodoxă, București, 2007

Fecioru Dumitru ,,Viața Sfântului Vasile cel Mare” în PSB, vol. 17. IBMBOR, București, 1986

Marcus Solomon ,,Provocarea Științei” în seria Idei contemporane, Ed. Politică, București, 1988

Gangea Mircea ,,Ecuații și inecuații iraționale, exponențiale, logaritmice, algebrice de grad superior, trigonometrice” manual școlar de probleme și exerciții, Ed. Polirom, Iași, 1998

Isidor Todoran, Ioan Zăgrean, ,,Teologia dogmatică”, manual pentru seminariile teologice, Ed. IBMBOR, București, 1991

Articole

Andrei Ionescu, ,,Iraționalul în teologie”, în ziarul lumina, luna iulie, 2008.

Web

http://ziarullumina.ro/lumina-cunostintei/gandirea-matematica-la-frontierele-cunoasterii.