Determinarea Mm Copy

Diverse

Determinarea Mm Copy

Byadmin ianuarie 1, 2024

Cuprins

CAPITOLUL I Introducere
CAPITOLUL II Determinarea modelului matematic (MM) aferent 1/4 suspensie activă
CAPITOLUL III Determinarea MM sub forma funcției de transfer
CAPITOLUL IV Modelarea sistemului de suspensie activa.Raspunsul sistemului in bucla deschisa
CAPITOLUL V Proiectarea controlerelor PI/PD/PID pentru sistemul de suspensie activa.

Analiza raspunsului in bucla inchisa
CAPITOLUL VI Proiectarea controlerelor PI/PD/PID pentru suspensia activa utilizand locul geometric al radacinilor(root locus
CAPITOLUL VII Analiza in domeniul frecventa a sistemului,diagramele Bode

CAPITOLUL VIII Proiectarea unui controler optimal LQR

CAPITOLUL IX Control robust fuzzy ¼ suspensie activa

CAPITOLUL X Proiectarea unui controler optimal liniar Hinfinit met.1

CAPITOLUL XI Proiectarea unui controler optimal Hinfinit met.2
CAPITOLUL XII. Proiectarea unui controler optimal Hinfinit prin sinteza MU met.3
CAPITOLUL XIII Concluzii

Bibliografie

[1] Boldea, Ion, Tutelea, L. Electric Machines: Steady State, Transients, and Design With MATLAB (1st Edition), Mixed media product – November, 2009, p. 22

[2]Preitl, St., Precup, R.-E., Preitl Zs, Structuri și algoritmi pentru conducerea automată a proceselor, Vol.1, Editura Orizonturi Universitare, Timișoara, 2009, p. 31;

[3]Preitl, Zs. Model Based Design Methods for Speed Control Applications, Doctoral Thesis, Politehnica University of Timișoara, 2008, Editura Politehnica, 2008, Seria 1: Automatică, nr.8, p. 19;

[4]Voicu, M. Introducere în automatică. Editura Polirom, Iași, 2002, p. 35;

[5]Preitl, St., Precup, R.-E.(editori). Tehnici de proiectare a structurilor de reglare automata. Aplicații. Editura Orizonturi Universitare, Timișoara, 2008, p. 51;

[6]Kiencke, U., Nielsen, L. Automotive Control Systems For Engine, Driveline, and Vehicle, SpringerVerlag Berlin Heidelberg 2005, p. 29;

[7]Preitl, St. , Precup, R.-E. Introducere in conducerea fuzzy a proceselor, Editura Tehnica, Bucurest, 1999, p. 82;

[8]Preitl, St. , Precup, R.-E. Introducere in conducerea fuzzy a proceselor, Editura Tehnica, Bucurest, 1999, p. 82;

[9]Rădac M-B, Precup R-E, Preitl St et al Tire slip fuzzy control of a laboratory anti-lock braking system. In: Proc European Control Conference 2009, ECC ’09, Budapest, Hungary, p. 940;

[10] Balas, G.J., and A.K. Packard, “The structured singular value μ-framework,” CRC Controls Handbook, Section 2.3.6, January, 1996,pp. 671-688.

[11] Ball, J.A., and N. Cohen, “Sensitivity minimization in an H∞ norm:

Parametrization of all suboptimal solutions,” International Journal of Control,

Vol. 46, 1987, pp. 785-816.

[12] Bamieh, B.A., and Pearson, J.B., “A general framework for linear

periodic systems with applications to H∞ sampled-data control,” IEEE

Transactions on Automatic Control, Vol. AC-37, 1992, pp. 418-435.

[13] Doyle, J.C., Glover, K., Khargonekar, P., and Francis, B., “State-space

solutions to standard H2 and H∞ control problems,” IEEE Transactions on

Automatic Control, Vol. AC-34, No. 8, August 1989, pp. 831-847.

[14] Fialho, I., and Balas, G.J., “Design of nonlinear controllers for active

vehicle suspensions using parameter-varying control synthesis,” Vehicle

Systems Dynamics, Vol. 33, No. 5, May 2000, pp. 351-370.

[15] Francis, B.A., A course in H∞ control theory, Lecture Notes in Control

and Information Sciences, Vol. 88, Springer-Verlag, Berlin, 1987.

[16] Glover, K., and Doyle, J.C., “State-space formulae for all stabilizing

controllers that satisfy an H∞ norm bound and relations to risk sensitivity,”

Systems and Control Letters, vol. 11, pp. 167-172, August 1989. International

Journal of Control, Vol. 39, 1984, pp. 1115-1193.

[17] Hedrick, J.K., and Batsuen, T., “Invariant Properties of

Automotive Suspensions,” Proceedings of The Institution of Mechanical

Engineers, 204 (1990), pp. 21-27.

[18] Lin, J., and Kanellakopoulos, I., “Road Adaptive Nonlinear Design of

Active Suspensions,” Proceedings of the American Control Conference, (1997),

pp. 714-718.

[19] Athans, M. The Role and Use of the Stochastic Linear-Quadratic-Gaussian Problem

in Control System Design. IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 22, no. 5,

1977. pp. 815 – 821.

[20] Haddad, A. and Kokotovic, P. Stochastic Control of Linear Sigularly Perturbed Systems.

IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 16, no. 6, 1971. pp. 529 – 552.

[21] Wang, J., Zolotas, A. C. and Wilson, D. A. Active Suspensions: A Reduced-Order

H1 Control Design Study. Mediterranean Conference on Control and Automation,

July 27-29 2007, Athens, Greece. Conference paper. 7 p.

[22] Porumamilla, H. W.: Modeling and Control of Active Automobile Suspension. Iowa

State University. 2003. 188 p.

[23] Kaleemullah, M., Faris, W. F. and Hasbullah, F. Design of Robust H1, Fuzzy and

LQR Controller for Active Suspension of a Quarter Car Model. 4th International

Conference on Mechatronics, Kuala Lumpur, Malaysia, 17-19 May 2011. Conference

paper. 6 p.

[24] Fallah, M., Bhat, R. and Xie, W-F. H1 Robust Control of Active Suspensions: A

Practical Point of View. American Control Conference Hyatt Regency Riverfront, St

Louis, MO, USA, June 10-12 2009. Conference paper. 6 p.

[25] Lasiecka, I. and Triggiani, R. Di_erential and Algebraic Riccati Equations with Application

to Boundary/Point Control Problems: Continuous Theory and Approximation

Theory. Springer Science + Business Media. 1991. 171 p.

[26] Gu, D-W., Petkov, P. Hr., and Konstantinov, M. M. Robust Control Design with

MATLAB (Advanced Textbooks in Control and Signal Processing). Springer London.

2005. 380 p.

[27] Balas, G., Chiang, R., Packard, A. and Safonov, M. Robust Control Toolbox. For Use

with MATLAB. User's Guide. 3rd ed. The MathWorks. 2006. 655 p.

[28] Fialho, I. and Balas, G.J. Design of Nonlinear Controllers for Active Vehicle Suspensions

Using Parameter-Varying Control Synthesis. Vehicle Systems Dynamics, Vol. 33,

No. 5, May 2000, pp. 351-370.

[29] Doyle, J. C., Glover, K. Khargonegar, P. P., and Francis, B. A. State-Space Solutions

to Standard H2 and H1 Control Problems. IEEE Transactions on Automatic Control,

Vol. 34, No. 8, August 1989. 17 p.

CAPITOLUL I

INTRODUCERE

Odată cu creșterea vitezelor de deplasare, echiparea automobilelor cu sisteme de

suspensie din ce în ce mai evoluate, capabile să realizeze o “barieră” de vibrații și zgomote

între sistemul de rulare și caroserie, a devenit o necesitate, cu atât mai mult cu cât viteza de

deplasare pe drumuri denivelate nu este limitată de performanțele sistemului de propulsie, ci

de calitatea suspensiei. Una dintre cele mai importante realizări în acest domeniu a fost

introducerea între roată și caroserie a unui mecanism cu bare articulate -mecanism de

ghidare, care determină poziția roții față de caroseria automobilului și, totodată, preia forțele

care apar la contactul roată –sol, asigurând înclinarea necesară caroseriei în curbă și

urmărirea suprafeței căii de rulare de către roți. Aceste mecanisme împreună cu partea elastică

și cea de amortizare formează sistemul de suspensie al automobilului.

Pentru un sistem de suspensie dat, comportamentul dinamic poate fi modificat prin

modificarea caracteristicilor arcurilor și amortizoarelor, precum și prin modificarea

proprietăților flexiblocurilor din articulații. Sistemele de suspensie pasive au limitări inerente,

ca o consecință a alegerii caracteristicilor elastice și de amortizare în vederea asigurării unui

comportament acceptabil pe întreaga gamă de frecvențe de lucru. După cum este cunoscut din

teoria sistemelor liniare, un sistem masă-arc-amortizor cu grad mare de amortizare are un

comportament acceptabil în apropierea frecvenței de rezonanță, dar necorespunzător departe

de aceasta, în timp ce un sistem cu amortizare joasă se comportă invers. Necesitatea obținerii

unui compromis între aceste cerințe contradictorii justifică cercetarea sistemelor inteligente de

suspensie, în cazul cărora caracteristicile elastice și de amortizare pot fi controlate în buclă

închisă, utilizând surse de putere externă și actuatori controlați în feedback.

În cazul suspensiilor pasive, caracteristicile sistemului rămân constante, iar răspunsul

este dependent doar de mărimile fizice care afectează răspunsul în mod direct. În plus,

răspunsul sistemului de suspensie inteligentă depinde și de mărimile fizice care nu afectează

comportamentul în mod direct. Un exemplu de mărime (fizică) care afectează direct răspunsul

sistemului de suspensie este viteza de comprimare/destindere a amortizorului, în timp ce

viteza mișcării de ruliu a caroseriei poate fi considerată ca exemplu de mărime care nu

afectează direct funcția suspensiei automobilului. Inteligența unui sistem de suspensie este

caracterizată de existența unui controler care preia date din dinamica automobilului și

transmite semnale către sistemul de suspensie în sensul îmbunătățirii comportamentului

(control în feedback, care lipsește în cazul suspensiilor pasive).

Conform celor precizate, sistemele de suspensie ale automobilelor pot fi clasificate în

trei categorii:

-sisteme pasive -sunt realizate din elemente elastice și disipative (amortizoare),

comportarea dinamică (regim tranzitoriu și regim staționar) a acestui sistem fiind dată de

caracteristicile elementelor menționate (se precizează faptul că acest comportament nu

poate fi modificat în timpul funcționării);

-sisteme semiactive-conțin elemente comandate, prin modificarea on-line a caracteristicii

de amortizare modificându-se comportamentul dinamic al suspensiei, ceea ce permite o

mai bună funcționare a acesteia; este important de menționat faptul că strategia de sinteză

dinamică semiactivă nu introduce forțe exterioare în sistem;

-sisteme active-au în componență elemente elastice și de amortizare, alături de care apar

și sisteme de acționare (motoare hidraulice, pneumatice etc.), modificarea comportamentului dinamic al sistemului realizându-se prin forța exterioară introdusă de sistemul de acționare.

Cerințele tot mai mari în dinamica construirii mașinilor , siguranța in timpul deplasării și confortul in timpul rulării sunt provocări cu care industria auto trebuie să se confrunte atunci când proiecteaza produse noi . În plus , aspectul prietenos și eficiență energiei au devenit factori importanti pe care clienții ii iau in considerare atunci când cumpără o mașină nouă . Pentru a satisface aceste cereri , dezvoltarea eficienta a asistenței șoferului si economisire de energiei are nevoie de dinamica sistemelor de control . În 1999 a prezentat lumii un sistem de suspensie controlat activ numit Corpul de Control activ ( ABC ), care a fost folosit cu succes în mai multe modele Mercedes-Benz CL- , SL- și modelele S –Class dar acum un sistem nou , îmbunătățit este în curs de dezvoltare . În această teză , noul sistem de acționare a suspensiei este modelat și diverse controlere optime sunt testate. Sistemele de suspensie pasive constau din diferite tipuri de arcuri sau amortizoare de șoc și ele pot izola destul de bine vehiculul de lovituri și vibrații. Cu toate acestea , atunci când optimizam un sistem de suspensie pasiv , din punct de vedere fizic limitele posibile vor fi atinse și prin urmare, suspensia pasiva va fi întotdeauna un compromis între confort , manipulare și stabilitatea plimbarii. In suspensie activă sistemele de servomotoare controlate electronic sunt folosite pentru a oferi semnicativ mai multa eficienta performanței. În funcție de modul în care este construit sistemul și controlat activ sistemul poate folosi o cantitate semnificativa de energie.Avantajul metodelor de control sofisticate , cum ar fi controlul optim , este că consumul de energie poate fi luat în considerare în proiectarea de control și sancțio-nat.Principiul de bază al controlului optimal este de a opera utrolere optime sunt testate. Sistemele de suspensie pasive constau din diferite tipuri de arcuri sau amortizoare de șoc și ele pot izola destul de bine vehiculul de lovituri și vibrații. Cu toate acestea , atunci când optimizam un sistem de suspensie pasiv , din punct de vedere fizic limitele posibile vor fi atinse și prin urmare, suspensia pasiva va fi întotdeauna un compromis între confort , manipulare și stabilitatea plimbarii. In suspensie activă sistemele de servomotoare controlate electronic sunt folosite pentru a oferi semnicativ mai multa eficienta performanței. În funcție de modul în care este construit sistemul și controlat activ sistemul poate folosi o cantitate semnificativa de energie.Avantajul metodelor de control sofisticate , cum ar fi controlul optim , este că consumul de energie poate fi luat în considerare în proiectarea de control și sancțio-nat.Principiul de bază al controlului optimal este de a opera un sistem dinamic la costuri minime. Funcția de cost este de multe ori definita ca o sumă ponderată a abaterilor de masuratori cheie de la valorile dorite cu posibilitatile lor suplimentare de a se concentra pe frecvențe interesante. Această teză se va concentra pe așa numita metoda Hinfinit ,metodă care poate fi utilizată pentru a analiza performanta in cel mai rău caz al sistemului .

Scopul principal al tezei este de a gasi o structură adecvată de controler optimal pentru

nou sistem de suspensie. Controlul trebuie sa fie făcut într-un mod de energie eficienta , fără a pierde confortul plimbarii . Pentru a atinge acest scop final , mai multe sub obiective poat fi definite:

*definirea ecuațiilor sistemului neliniar care descriu comportamentul sistemului .

*crearea unui model linearizat a sistemului de suspensie și compararea performanțelor sale cu modelul neliniar.

*combinând modelul sistemului de suspensie pentru un așa numit model de sfert de masina pentru a crea un model de sistem complet .

*aplicarea metodelor optimale Hinfinit în bucle de control diferite și compararea

performanțele lor.

Crearea modelul liniarizat al sistemului este o parte importantă a proiectului .Ecuatiile neliniare originale conțin o serie de parametri care sunt prea complexi pentru a fi utilizati cu modelul liniarizat și aproximările sale simple trebuiesc să fie evaluate .

CAPITOLUL II

Determinarea modelului matematic (MM) aferent 1/4 suspensie activă

Reprezentarea grafică a sistemelor. Pentru caracterizarea intuitivă dar și de detaliu a structurii unui sistem – SF sau SD – se utilizează reprezentările prin scheme bloc.

Cele doua tipuri de scheme bloc de bază sunt:

Schemele bloc funcționale. Aceste scheme redau – prin reprezentări specifice diferitelor domenii ale tehnicii – structura funcțională – și parțial – și structura constructivă a sistemului; pe baza acestor scheme, se pot deduce principiile funcționale ale sistemului și uneori se pot construi chiar și MM aferente SF.

Schemele bloc informaționale. Aceste scheme redau – prin reprezentări specifice domeniului automaticii – structura informațională a sistemului; aceste scheme au utilitate deosebită în analiza și dezvoltarea SCA.

Schemele bloc informaționale ale unui SF se întocmesc pe baza ecuațiilor primare care caracterizează fenomenele din sistem; ele trebuie să evidențieze:

– mărimile SF care sunt accesibile masurărilor și după care se poate asigura conducerea;

– mărimile prelucrate în cadrul DC.

Posibilități de determinare a MM asociate proceselor (SF). Prezentările care urmeaza se refera în cea mai mare parte la partea continuală a PC. Dependent de proprietățile instalației tehnologice, mărimile continuale ale procesului pot fi influențate în mod diferit, inclusiv cu acțiuni de tip bipozițional sau tripozițional.

Complexitatea MM prin care se caracterizează comportarea proceselor va fi – de regulă – în concordanță cu scopul pentru care se determină MM. Trebuie evidențiat faptul că, în scrierea MM trebuie acceptate o serie de ipoteze simplificatoare (chiar și în cazul unor PC simple).

MM aferent unui SF (PC) se consideră corespunzător din punct de vedere al scopului propus dacă MM determinat satisface mai multe cerințe:

– MM conține un număr limitat de parametrii și valorile numerice aferente acestor parametrii se pot determina pe cale analitică sau experimentală (parametrizare);

– MM este suficient de general (generalitate), în sensul că MM să caracterizeze toate SF din aceeași categorie (în aceleași ipoteze simplificatoare);

– MM să poata fi adus (structural) la una din formele de bază de MM-II sau MM-ISI.

Pentru ca MM aferent unui SF (PC) să fie tehnic utilizabil la dezvoltarea unui SCA, el trebuie să satisfacă și următoarele două cerințe suplimentare:

– MM să redea proprietățile esențiale ale PC, proprietăți necesare în dezvoltarea structurii SCA, în acord cu obiectivele definite;

– Să fie cât mai simplu; pentru MM relativ simple au fost definite modele tipizate numite modele tip benchmark; pentru astfel de modele au fost dezvoltate metdode de proiectare a DC, bine precizate. Observație: Primul aspect se conectează la ideea că un același PC va putea fi caracterizat, de exemplu:

– în faza de proiectare a regulatoarelor, prin MM simplificate;

– în faza de verificare a funcționării SCA, prin intermediul “celor mai detaliate MM disponibile”.

Există o varietate foarte mare de metode de identificare experimentală și de estimare a parametrilor.

Luând ca bază diferite puncte de vedere si MM utilizate în caracterizarea unui SF / PC pot fi diferite și pot fi încadrate în diferite categorii (clase de MM).

Astfel, se disting:

(1) – MM parametrice (reprezentări sub forme analitice în domeniul timp sau în operațional ) și – MM neparametrice (reprezentări sub forma unor caracteristici grafice);

(2) – MM cu timp continuu (MM-C) și – MM cu timp discret (MM-D);

(3) – MM cu structură constantă / parametri constanți în timp și – MM cu structură variabilă sau / și parametri variabili în timp ș.a.

(4) Dependent de numărul intrărilor și ieșirilor SF, MM se vor categorisite în: – MM monovariabile, care caracterizeză sisteme cu o intrare și o ieșire (SISO – Single Input-Single Output) sau numai unul din canalele de transfer ale sistemului ui → yj ; – MM multivariabile (MIMO – Multi Input-Multi Output), care caracterizează “complet / global” sistemul.

Scrierea acestor MM și apoi tratarea sistemică a sistemelor dinamice (SD) multivariabile este mai dificilă decât cea a sistemelor monovariabile.

În principiu, MM asociat unui SF poate fi determinat pe mai multe căi. Pe cale analitică (construcția modelului), bazat pe “cunoștințe a priori” despre SF; ea poartă și denumirea de identificare analitică (IA).

Determinarea pe cale analitică a MM bazat pe legile fizico-chimice ce caracterizează fenomenele din procesele tehnice constituie – de regulă – apanajul tehnologului de proces, în colaborare cu inginerul automatist.

Pe cale experimentală (experimental-analitică), bazat pe “informații ulterioare” despre SF; ea poartă și denumirea de identificare experimentală (IE). Determinarea pe cale analitică a MM bazat pe legile fizicochimice ce caracterizează fenomenele din procesele tehnice constituie – de regulă – apanajul inginerului automatist în colaborare cu tehnologul de proces; unele aspecte legate de determinarea pe cale analitică a modelelor matematice vor fi detaliate si în continuare. Determinarea pe cale analitică a MM asociate unui SF (identificarea analitică, IA). Determinarea pe cale analitică a MM este calea a-priori de stabilire a unui MM aferent PC și presupune parcurgerea mai multor etape:

definirea PC d.p.d.v. al conducerii (intrări, ieșiri, stări) și al relatiilor sale cu mediul înconjurător;

întocmirea schemei bloc informaționale aferente PC;

stabilirea ipotezelor simplificatoare care pot fi adoptate la scrierea ecuatiilor primare;

Scrierea ecuațiilor de bilanț de materie (masa, energie) aferente PC, caracterizarea interconexiunilor din proces, întocmirea schemei bloc informaționale aferente; ca rezultat se obține MM primar al PC sub forma unor ecuații diferențiale; utilizarea nemijlocită a acestora se dovedește adeseori greoaie;

Precizarea ipotezelor simplificatoare în care MM primar poate fi adus la forme mai simple, prin: – liniarizarea ecuațiilor neliniare (liniarizabile) sau – uneori – omiterea unor neliniarități neesențiale; concentrarea parametrilor specifici s.a.;

“reducerea ordinului” MM liniarizat prin renunțarea la evidențierea efectelor datorate unor constante de timp foarte mici (in raport cu constantele de timp dominante ale PC).

Reordonarea ecuațiilor în vederea stabilirii formei finale a MM (MM-II, MM-ISI); adeseori se dovedește utilă si întocmirea unei noi scheme bloc informaționale aferente. MM obținut poate servi ca bază pentru:

determinarea valorilor parametrilor SF pe cale analitică sau experimental-analitică;

fundamentarea unori proceduri de IE a PC.

Verificarea corectitudinii MM și validarea acestuia. Aceasta operație trebuie derulată în acord cu scopul pentru care a fost creat MM. Procedeul de validare depinde de informațiile disponibile relative la PC real. Din punct de vedere al utilizării nemijlocite în conducerea automată sunt importante în primul rând MM parametrice. Totuși, ideea nu trebuie absolutizată, studiul sistemelor în domeniul pulsație are la baza modele neparametrice si este de actualitae (de exemplu, modelele din domeniul pulsatie pot fi utilizate eficient in proiectarea DC, in studiile de analiza a stabilitatii SCA, in studiile de sensibilitate si de robustete a SCA s.a.).

Modelele matematice parametrice sunt caracterizate: – printr-o ―structură matematică” (dependența funcțională) specifica, sub forma unor MM intrare-ieșire (MM-II) sau sub forma MM intrare-stare-ieșire (MM-ISI); – prin parametrii (coeficienți) care caracterizează structura. Determinarea pe cale experimentală a valorilor parametrilor care descriu MM (cu structura presupusă cunoscută) aferent PC este o activitate specifică, susținută de către inginerul automatist în colaborare cu tehnologul de proces.

Estimarea parametrilor (EP) aferent unui PC este o activitate specifică orientată fie spre determinarea unor MM cu timp Discret (MM-t-D), fie – la o structura data a MM – la determinarea valorilor parametrilor MM; EP se bazeaza pe (1) diferite tehnici de măsurare (in faza primara) și (2) tehnici de prelucrare informațională a informațiilor (soft-computing). Observatie.

În automatică tehnicile de EP se bazează pe prelucrarea numerică a informațiilor prelevate din sistem sub forma eșantioanelor (secvențelor de eșantioane ale) mărimilor de intrare sau de ieșire, fapt pentru care metodele de EP sunt bazate eminamente pe MM-t-D de forma

: n m v a y k v b u k 0 0 ( ) ( ) N k cu m ≤ n sau forme particulare ale acesteia, care au denumiri specifice.

Cum MM este un MM liniar, atașarea neliniarităților specifice PC poate fi o problemă delicată.

Procedurile de EP sunt tratate în lucrări de specialitate numai cu titlu informativ. Estimarea Parametrilor este una din problemele fundamentale care trebuie soluționată și în cazul diagnostizării și localizării în timp util a defectelor posibile dintr-un SCA (PC) (early detection and localization of faults); pe această bază trebuie apoi dezvoltate strategiile care să asigurare funcționarea sigură a SCA.

Dacă soluțiile de conducere clasice au la bază doar monitorizarea evoluției unor mărimi caracteristice ale PC și generarea unor semnale de avertizare (luminoasă, acustica) respectiv de intervenție în vederea salvării funcționării PC, soluțiile moderne presupun realizarea unor structuri informaționale de prelucrare a informațiilor măsurate relative la PC (bazate pe tehnicile soft-computing) care să asigure detectarea timpurie a posibilităților și a tendințelor de defectare a PC (forward-diagnosis).

Tehnicile de detectare a erorilor pot fi aplicate însă și la reconstrucția cauzelor care au condus la defectarea PC (backward-diagnosis). Există numeroase metode de estimare a parametrilor MM cu timp discret, din cadrul cărora se amintesc următoarele:

Metoda celor mai mici pătrate (metoda CMMP):

– metode recursive;

– metode CMMP ponderate.

Metoda aproximării stochastice;

Metoda celor mai mici pătrate generalizată (metoda CMMP generalizată);

– varianta nerecurentă (nerecursivă) a metodei CMMP generalizată;

– varianta recurentă a metodei CMMP generalizată.

Metoda variabilei instrumentale, în variante nerecurentă și în variante recurentă;

Metoda verosimilității maxime (Maximum-Likelihood-Methods, MLM);

Metode Bayes;

Metode combinate si alte metode.

Ele se pot gasi dezvoltate în detaliu în cadrul unor capitolelor dedicate ale teoriei sistemelor si al prelucrarii semnalelor, constructia modelelor matematice aferente, identificarea și estimarea parametrilor proceselor (automatizate), diagnostizarea defectiunilor s.a.

Determinarea pe cale experimentală a MM aferentă PC (identificarea experimentală, IE). IE reprezintă o etapă de cunoaștere a-posteriori a MM aferent PC; MM va fi determinat prin IE pe următoarele baze:

Informațiile primare furnizate de o IA efectuată a-priori;

Rezultate strict experimentale; în acest caz cunoștințele primare despre PC pot fi minimale, MM poartă denumirea de MM black-box sau grey-box.

Într-o aplicație de IE, metoda de identificare va fi adoptată dependent de cunoștințele primare despre proces, de aparatura la dispoziție, de metodele de prelucrare a informației disponibile (algoritmii de prelucrare a informației primare si algoritmii de determinare a MM) și de experiența de identificare.

Etapa I. Prelucrarea informațiilor primare despre proces, echipamente de IE disponibile s.a. și pe această bază, alegerea metodei de IE, a metodelor de prelucrare analitică și a echipamentelor de IE.

Organizarea experimentelor legate de IE. Etapa a II-a. Generarea semnalului de probă:

GST – generator de semnal de test uT(t);

efectuarea măsurărilor de regim dinamic;

înregistrarea simultană a mărimilor u(t) și y(t), eventual și a altor mărimi;

tratarea înregistrărilor (filtrarea de zgomote de masura suprapuse peste semnalul util, extragerea componentelor continue, extragerea “trendurilor variabile” din semnalul masurat ș.a.).

Etapa a III-a. Prelucrarea rezultatelor primare bazat pe cunoștințele primare relative la structura MM; de exemplu: – la o structură acceptată a MM, se prelucrează înregistrările pentru determinarea valorilor parametrilor MM; – daca se dispune de un MM neparametric, urmeaza ca prin prelucrarea MM neparametric să se determine un MM parametric și mai departe se determină valorile parametrilor; – în cazul în care se identifică direct un MM-II-t-D, se estimează nemijocit valorile parametrilor acestuia. Etapa a IV-a. Verificarea corectitudinii MM obținut și validarea acestuia în concordanță cu scopul pentru care a fost determinat MM. Referitoare la practica IE a PC sunt utile și următoarele precizări:

IE a unui PC poate fi efectuată:

– cu funcționarea PC în circuit deschis, în afara buclei de reglare;

– cu funcționarea PC conectat în buclă de reglare; în acest caz însă, determinarea MM aferent PC este mai dificila si poate fi supusă unor restricții.

MM primare obținute prin IE sunt adesori MM neparametrice și au următoarele particularități:

– Valabiliatea MM determinate experimental este limitată, legată de punctul de funcționare în care s-a făcut IE;

– MM neparametrice sunt modele care caracterizează global PC în relația u → y, fără evidențierea structurii interne a PC; ca efect, MM parametrice asociate vor avea parametrii care pot să nu caracterizeze parametrii interni ai PC;

– MM parametrice care se construiesc sunt relativ simple; și ele au adeseori structura construită orientat spre a fi ușor utilizabile în scopul propus.

Identificarea experimentală presupune adeseori prelucrarea primară a semnalului preluat din proces; aceasta presupune alegerea adecvată a perioadei de eșantionare si prefiltrarea semnalelor masurate (inclusiv extragerea unor componente continue legate de punctul de funcționare al PC ș.a.).

MM obținut prin IE poate fi cu timp continuu sau cu timp discret, dependent de tehnologia de identificare și în acord cu scopul pentru care s-a determinat MM. Conversia MM continuale în MM cu timp discret și invers are la bază tehnici și relații bine precizate, valabile în anumite condiții specifice.

MM determinat se validează în acord cu scopul propus prin verificarea concordanței dintre evoluția MM si evoluția PC real la un acelasi tip de semnal de testare.

În acest scop se poate utiliza următoarele tehnici:

– simularea pe calculator (analogic sau numeric) a comportamentului MM;

– realizarea unor modele la scară redusă ale PC pe baza MM determinat și studiul comportamentului acestora ș.a.

Detalierile de identificare și de modelare trebuie puse întodeauna în acord cu scopul pentru care se construiește MM. Acesta scop poate fi:

– într-o primă etapă, pur informativ, pentru o mai bună cunoaștere a PC și (eventual) îmbunătățirea calității conducerii;

– proiectarea structurilor și a algoritmilor de conducere a PC; rezultatul proiectării și, în consecință, performanțele SCA vor depinde de corectitudinea MM al PC;

– simularea comportării și verificarea unor soluții de reglare s.a.m.d.. Adeseori, în caracterizarea diferitelor clase de procese se apelează MM simplificate care, în relația intrare ieșire pot aproxima suficient de bine comportarea procesului.

După cum s-a menționat, astfel de modele tipizate – utilizate și în proiectarea soluțiilor de conducere (dar uneori și în validarea soluțiilor de conducere) – poartă denumirea de MM de tip benchmark.

Un “proces” (PC) reprezintă un ansamblu de fenomene de transfer și de transformare de materie și energie ce au loc într-un sistem, orientat spre obținerea unui „produs” de calitate corespunzătoare (în sens general, indiferent de domeniu tehnic sau netehnic, de exemplu: energetică, chimie, mecanică, biosisteme ș.a.).

În vederea caracterizării PC prin MM acestor transformări li se asociază un conținut informațional.

Procesele legate de modificările și transformările în timp ale masei determină modificări în starea energetică a sistemului. Astfel, în structura sistemelor fizico-chimice (procese) apar modificări care – dependent de natura lor – pot fi descrise de diferite tipuri de ecuații diferențiale.

în caracterizarea acestor modificări unele tipuri de fenomene sunt mai importante (esențiale) altele sunt mai puțin esențiale; drept urmare pot fi distinse “canale de transfesr esențiale” și “canale de transfer colaterale” (sau neesențiale).

CAPITOLUL III

Determinarea MM sub forma funcției de transfer

Funcția de transfer a unui sistem dat prin MM-II

a) În cazul particular al sistemelor monovariabile liniare, aflate în condiții inițiale nule, forma canonică a unui MM-II este dată de ecuația :

(3.1)

cu observația că m≤n, din condiția de cauzalitate.

Pe baza acestei ecuații se obține dependența operațională dintre intrarea și ieșirea sistemului liniar cu timp continuu SL-C, în condiții initiale nule, prin aplicarea transformatei Laplace:

(3.2)

adică, (3.3)

Se introduce noțiunea de funcție de transfer aferentă unui sistem, ca fiind raportul în operațional dintre mărimea de ieșire și cea de intrare a sistemului, în condiții inițiale nule:

(3,4)

, raport de doua polinoame, cu m≤n, din condiția de cauzalitate și

(3.5)

b) Dacă sistemul este multivariabil, se definește matricea de transfer H(s) ca fiind

(3.6)

unde U(s) și Y(s) sunt transformatele Laplace (imaginile în operațional) ale vectorilor u(t) și y(t). Considerând că sistemul are r intrări și q ieșiri, U(s) este un vector de dimensiune (r,1), Y(s) un vector de dimensiune (q,1), iar H(s) o matrice de transfer cu dimensiunea (q,r). Elementele matricii de transfer, H(j,i) se numesc funcții de transfer.

(3.7)

în care,

(3.8)

-deci intre fiecare ieșire Yj (j=1,…,q) și intrare Ui (i=1,…,r) a sistemului se scrie cate o funcție de transfer. În total, sistemul va admite qxr astfel de funcții.

În cazul particular al sistemelor SISO, matricea de transfer se reduce la un singur element, care este funcția de transfer (f.d.t.) a sistemului, definitǎ anterior.

Matricea de transfer a unui sistem MIMO , dat prin MM-ISI:

(3.9)

matricea de transfer se calculează astfel:

(3.10)

În cazul particular al sistemelor SISO cu o intrare și o ieșire, funcția de transfer este:

(3.11)

Observație: Funcția de transfer și MM-II sunt unice pentru un sistem dat, în schimb există mai multe MM-ISI care pot fi atașate sistemului, datorită posibilităților multiple de alegere a variabilelor de stare.

Realizarea sistemică a funcției de transfer (trecerea de la funcția de transfer la MM-ISI).Asocierea unui MM-ISI unui sistem caracterizat prin funcție de transfer se numește realizare sistemică a funcției de transfer.

Realizările sistemice permit:

evidențierea unor proprietăți ale sistemului;

simularea pe calculator numeric a comportării sistemului;

dezvoltarea unor structuri de reglare sau a unui algoritm de reglare;

calculul unor indicatori de calitate.

Se pleacă de la funcția de transfer în forma generală, cu m=n:

(3.12)

Rezultă:

(3.13)

Se introduc variabilele de stare:

(3.14)

(3.15)

(3.16)

Dupa înlocuiri repetate și revenire în domeniul timp, se obține:

(3.17)

(3.18)

(3.19)

(3.20)

Ceea ce corespunde tocmai MM-ISI. Matricial, relațiile se scriu:

(3.21)

(3.22)

La scrierea acestor relații s-a ținut cont de teorema derivatei în operațional

, (3.23)

respectiv

(3.24)

exemple:

Să se determine realizarea sistemică aferentă sistemului de ordinul

(3.25)

Ω=y- IE (3.26)

ua=u- IN (3.27)

f.d.t : (3.28)

n = grad A(s) =2

Forma generală a MM-ISI

(3.29)

Sistemul fiind de ordinul 2,va admite două mărimi de stare si matricial se scrie:

(3.30)

(3.31)

(3.32)

(3.33)

deci MM-ISI se scrie:

(3.34)

Să se asocieze o realiză sistemică sistemului caracterizat prin f.d.t.:

(3.35)

deci n=3

Matricile realizării sistemice vor fi:

(3.36)

(3.37)

(3.38)

(3.39)

MM-ISI:

(3.40)

Modelarea matematică a sistemelor cu interconexiuni în domeniul operațional. În majori-tatea cazurilor, sistemele existente în natură sunt la rândul lor compuse din subsisteme, inter-conectate între ele in diverse moduri. Pentru a putea trata sistemul ca întreg este necesară cu-noașterea comportării atât a subsistemelor cât și a sistemelor rezultate în urma interconectării. Din acest motiv este important studiul interconexiunilor între subsisteme pentru a ajunge ca în final să se obțină modelul matematic al sistemului ca întreg.

Problema determinării modelului matematic al unui sistem complex, având în componență subsisteme interconectate între ele se poate rezolva dacă se cunosc modelele matematice ale subsistemelor componente și modul de conectare a acestora (structura siste-mului). Prin conectarea mai multor subsisteme, se obține un sistem echivalent care:

prezintă aceleași mărimi de intrare;

prezintă aceleași mărimi de ieșire;

are aceleași proprietăți cu sistemul inițial.

Observație: Pentru obținerea modelului matematic al sistemului este obligatoriu să se lucreze cu același tip de modele ale subsistemelor componente (fie MM-II, MM-ISI sau funcție de transfer). Vom folosi variabila unificată λ deoarece relațiile ce urmează a fi prezentate sunt valabile atât la sisteme cu timp continuu cât și la sisteme cu timp discret, cu precizarea:

(3.41)

CAPITOLUL IV

Modelarea sistemului de suspensie activa.Raspunsul sistemului in bucla deschisa

Modelarea suspensiei active a unui automobile este o problema de reglare interesanta.Cand sistemul de supensie este realizat ,modelul ¼ (o roata din 4 )este utilizat pentru a simplifica problema.O reprezentare simplificata este data in figura de mai jos:

In continuare este realizata analiza raspunsului in bucla deschisa a sistemului in reprezentare de stare,in figura 1.

%date,ipoteze de lucru

%constanta de elasticitate arc suspensie

K1=80000 N/m;

%constanta de elasticitate pneu

K2=500000 N/m;

%constanta de frecare vascoasa amortizor

D1=350; N.s/m

%constanta de frecare vascoasa pneu

D2=15020;N.s/m

%masa ¼ Bus

M=2500 kg;

%masa rotii si subsistemului de suspensie

M=320 kg;

A=[0 1 0 0

-(D1*D2)/(M*m) 0 ((D1/M)*((D1/M)+(D1/m)+(D2/m)))-(k1/M) -(D1/M)

D2/m 0 -((D1/M)+(D1/m)+(D2/m)) 1

k2/m 0 -((k1/M)+(k1/m)+(k2/m)) 0];

B=[0 0

1/M (D1*D2)/(M*m)

0 -(D2/m)

(1/M)+(1/m) -(k2/m)];

C=[0 0 1 0];

D=[0 0];

figure(1);

step(A,0.1*B,C,D,2)

title('Raspunsul sistemului in reprezentare de stare la o denivelare de 10 cm a drumului');

Fig.1 Raspunsul in bucla deschisa.

Din reprezentarea raspunsului in bucla deschisa pentru o forta treapta unitara emisa de motor sistemul este subamortizat,astfel pasagerii autobuzului vor simti o oscilatie foarte mica,eroare de regim stationar fiind mica.Autobuzul are un timp tranzitoriu mare pana la atingerea starii stationare,problema putand fi rezolvata prin introducerea unui controler si a unei reactii negative.Din raspunsul sistemului in reprezentare functie de transfer este prezentat cazul in care sistemul raspunde la o intrare treapta unitara a fortei exercitate de componenta activa a suspensiei si astfel se poate observa ca pasagerii autobuzului vor simti o mica oscilatie,intrucat valoarea erorii de regim stationar este aproximativ 1.25e-4m (0.12mm).Timpul tranzitoriu are o durata mare 15.7 si astfel se impune utilizarea unui controler si a unei reactii.

num1=[M+m D2 k2];

den1=[M*m M*(D1+D2)+D1*m D1*D2+M*(k1+k2)+m*k1 D1*k2+k1*D2 k1*k2];

Hs1=tf(num1,den1);

num2=[-M*D2 -M*k2 0 0];

den2=[M*m M*(D1+D2)+D1*m D1*D2+M*(k1+k2)+m*k1 D1*k2+k1*D2 k1*k2];

Hs1=tf(num2,den2);

figure(2);

step(num1,den1);

title('Raspunsul in bucla deschisa la aplicarea unei forte Fu treapta unitara si h=0');

xlabel('timp');

ylabel('deplasare [m]');

disp('In acest caz cand sistemul raspunde la o intrare treapta unitara a fortei exercitate de componenta activa a suspensiei')'

disp('se poate observa ca pasagerii autobuzului vor simti o mica oscilatie,intrucat valoarea erorii de regim stationar este aproximativ 1.25e-4 m(0.12mm)');

Fig.2 Raspunsul in bucla deschisa.

In acest al doilea caz cand autovehiculul trece peste o denivelare de 0.15m a drumului din raspuns se poate observa ca regimul tranzitoriu este foarte mare 15s pasagerii resimtind perturbatia un timp indelungat si cu o amplificare mai mare decat la impactul initial,fapt ce se poate observa din suprareglajul ridicat datorita impactului initial.

CAPITOLUL V

Proiectarea controlerelor PI/PD/PID pentru sistemul de suspensie activa.Analiza raspunsului in bucla inchisa.

In ceea ce priveste proiectarea controlerelor PI/PD/PID pentru sistemul de suspensie activa auto s-au impus niste cerinte de proiectare care vor determina acordarea parametrilor controlerelor.Pornind de la functiile de transfer determinate anterior,ne propunem sa determinam functia de transfer a perturbatiei care ne va fi utila la calculul functiei de transfer in bucla inchisa in contextul utilizarii unui controler.Astfel avem,

(5.1)

(5.2)

Cum,

(5.3)

Pentru determinarea functiei de transfer a sistemului in circuit inchis se considera referinta r=0,eroare Ɛ=-(x1-x2),iar functia de transfer se considera de la h la y=x1-x2.Astfel pentru controlerul PI avem,

(5.4)

din structura se poate scrie:

(5.5)

(5.6)

Efectuand calculele necesare obtinem functia de transfer a sistemului in circuit inchis pentru un controler PI data de:

(5.7)

unde denp este in final :

(5.8)

Parametrii controlerului PI pentru suspensia activa sunt kp=83210 si ki=624 iar raspunsul sistemului este prezentat in figura 1,

Fig.1 Raspunsul sistemului in bucla inchisa cu controler PI

Pornind de la cele doua functii de transfer ale sistemului in raport cu forta activa si in raport cu perturbatia si tinand cont de functia de transfer a controlerului PD,se determina functia de transfer in circuit inchis,pentru parametrii Kp=83210 si Kd=2080.

(5.9)

și ținând cont de condiția de cauzalitate

(5.10)

și pentru

(5.11)

elementul derivator real fiind :

(5.12)

Astfel functia de transfer in circuit inchis utilizata si la simulare este,

(5.13)

unde denp este in final :

(5.14)

Raspunsul sistemului in circuit inchis utilizand un controler PD este prezentat in figura 2.

Fig. 2 Răspunsul sistemului in bucla inchisă cu controler PD

In figura 2 se observa o imbunatatire a raspunsului sistemului care se incadreaza in limitele impuse pentru proiectare si pentru suprareglaj (3.5%) si pentru timpul tranzitoriu (2.7s).In continuare se prezinta raspunsul sistemului la o intrare treapta utilizand un controler PID.se fac aprecieri ale raspunsului tinand cont de varierea parametrilor specifici ai controlerului si se prezinta functia de transfer in bucla inchisa,a sistemului cu controler PID care a fost utilizata si la simularea raspunsului.

(5.15)

unde denp este in final:

(5.16)

Raspunsul sistemului in circuit inchis cu controler PID este,

Fig.3 Răspunsul sistemului in bucla inchisă cu controler PID

Se observa ca performantele in bucla inchisa pentru controlerul PID s-au imbunatati fata de controlerele PD SI PI.Putem trage niste concluzii generale in ceea ce priveste proiectarea controlerelor pentru sistemul propus,concluzii care sunt bazate pe verificarea si modificarea parametrilor controlerelor pe parcursul simularilor.Valorile pentru parametrii controlerului PID in simulare au fost Kd=20800,Kp=83210 si Ki=62400.Mai josa este prezentata o sinteza a efectelor fiecarui parametru al unui controler PID

Parametru timp creștere suprareglaj timp stabilizare eroare regim staționar

Kp scade crește variație mică scade

Ki scade crește crește se anulează

Kd scade scade scade fără efect

CAPITOLUL VI

Proiectarea controlerelor PI/PD/PID pentru suspensia activa utilizand locul geometric al radacinilor(root locus)

Proiectarea utilizand locul geometric al radacinilor poate fi utilizata pentru a determina valoarea factorului de amplificare k,care determina un comportament in bucla inchisa satisfacator.Se determina astfel un controler proportional care va oferi un raspuns gradual devierilor de la referinta.Daca k este prea mare poate determina aparitia instabilitatilor.Daca prin reprezentarea grafica a locului radacinilor nu se poate indeplini criteriile de performanta impuse prin ajustarea lui k atunci bucla inchisa se redimensioneaza prin adaugarea unui controler aditional Gc(s) functiei de transfer a buclei deschise.Controlerul se alege astfel incat locul radacinilor sa treaca prin regiunea potrivita a planului complex.Controlerul P insa nu are notiunea timpului si actiunile sale sunt determinate numai de valoarea curenta a erorii.Insa un controler potrivit realitatii trebuie sa faca corectii pe baza valorilor trecute si viitoare rezultand astfel utilizarea controlerelor de tip PI/PD/PID.Se ajusteaza cele 3 gainuri astfel incat sa aiba o reducere a erorii si in acelas timp un raspuns dinamic acceptabil. Locul rădăcinilor este o procedură grafică ce arată migrarea rădăcinilor ecuației caracteristice atunci când variază un parametru al sistemului. Pentru aceasta, în Matlab se utilizează funcția rlocus.

Programul Matlab corespunzator este:

m1=2500;

m2=320;

k1 = 80000;

k2 = 500000;

b1 = 350;

b2 = 15020;

nump=[(m1+m2) b2 k2];

denp=[(m1*m2) (m1*(b1+b2))+(m2*b1) (m1*(k1+k2))+(m2*k1)+(b1*b2) (b1*k2)+(b2*k1) k1*k2];

G1=tf(nump,denp);

num1=[-(m1*b2) –(m1*k2) 0 0];

den1=[(m1*m2) (m1*(b1+b2))+(m2*b1) (m1*(k1+k2))+(m2*k1)+(b1*b2) (b1*k2)+(b2*k1) k1*k2];

G2=tf(num1,den1);

numf=num1;

denf=nump;

F=tf(numf,denf);

R=roots(denp);

rlocus(G1);

z=-log(0.05)/sqrt(pi^2+(log(0.05)^2));

sgrid(z,0);

Prin rularea programului se obtine locul radacinilor:

>> R

R =

-23.9758 +35.1869i

-23.9758 -35.1869i

-0.1098 + 5.2504i

-0.1098 – 5.2504i

Fig. 1 Locul radacinilor sistemului fara compensator

Din graficul de mai sus putem observa ca exista doua perechi de poli si zerouri care sunt apropiati si fiind aproape de axa imaginara pot duce sistemul la limita de stabilitate.Urmatorul pas este de a plasa polii si zerourile cat mai departe in semiplanul stang pentru a evita instabilitatea.Se impune plasarea a doua zerouri foarte aproape de cei doi pli de pe axa imaginara din reprezentarea pentru sistemul fara compesator pentru a realiza anularea pol-zero.De asemenea este recomandata plasarea a doi poli departe de axa reala pentru a obtine un raspuns rapid.Va fi necesara adaugarea a doua zerouri aproape de cei doi poli pe axa complexa pentru a trasa locul radacinilor,conducand acesti poli la zerourile compensatorului in locul zerourilor procesului.Pentru a trage locul radacinilor spre stanga va fi nevoie de doi poli plasati departe in semiplanul stang.

Z1=3+3.5i;

z2=3-3.5i;

p1=30;

p2=60;

numc=conv([1 z1],[1 z2]);

denc=conv([1 p1],[1 p2]);

C=tf(numc,denc);

rlocus(C*G1)

Fig. 2 Locul radacinilor sistemului cu filtru

axis([-40 10 -30 30])

z=-log(0.05)/sqrt(pi^2+(log(0.05)^2))

sgrid(z,0)

Fig. 3 Locul radacinilor sistemului cu filtru-detalii

Pana in acest moment am realizat mutarea locului radacinilor peste linia care marcheaza o amortizare de 5% si astfel putem alege un gain,k,care sa satisfaca cerintele impuse.Astfel se doreste un suprareglaj si un timp de raspuns cat mai mici.Pentru a realiza acest lucru trebuie sa alegem un punct pentru k aproape de axa reala si departe de axa imaginara sau punctul in care locul radacinilor traverseaza linia imaginara si astfel va trebuie sa alegem un gain care se afla pe locul radacinilor aproape de zerouri si de axa suprareglarii procentuale.Alegand punctul selected_point pe diagrama anterioara paralel cu axa imaginara din locul radacinilor obtinem gain-ul si polii,selected_point=-1.9186+11.3469i k=4.2478e+007 si poles=1.0e+003*[-0.0640+1.2047i-0.0640-1.2047i-0.0021+0.0113i-0.0021-0.0113i-0.0030+0.0035i-0.0030-0.0035i].In continuare este prezentat raspunsul sistemului in bucla inchisa cu compensator la perturbatie treapta cu amplitudine 0.1

k = 1.0030e+08;

sys_cl=F*feedback(G1,k*C);

t=0:0.01:2;

step(0.1*sys_cl,t)

title(‘raspunsul in bucla inchisa la o perturbatie de 0.1m treapta’);

Fig 4 Răspunsul sistemului in buclă inchisă

Din raspunsul sistemului cu cimpensator la o denivelare de 10 cm a drumului se poate observa ca deviatia maxima este de 4.5mm si sistemul se stabilizeaza in 2 secunde,deci sunt indeplinite cerintele,este un raspuns satisfacator.

CAPITOLUL VII

Analiza in domeniul frecventa a sistemului,diagramele Bode si Nichols

Proiectarea in domeniul frecventa presupune utilizarea caracteristicilor Bode ale functiei de transfer in bucla deschisa pentru a estima raspunsul in bucla inchisa.Adaugarea unui controler sistemului determina modificarea caracteristicilor Bode astfel incat raspunsul in bucla inchisa va fi deasemenea schimbat.In figura 1 sunt trasate caracteristicile Bode si in figura 2 caracteristica Nichols.

w = logspace(-1,2);

bode(G1,w)

figure(2);

nichols(G1,w);

Fig. 1 Caracteristicile Bode ale sistemului in bucla deschisa

Fig. 2 Caracteristica Nichols a sistemului in bucla deschisa

Stabilitatea,prin ea insasi nu este suficienta,ea trebuie sa fie completa prin masurarea gradului de stabilitate.Marginea de faza si marginea de amplificare sunt astfel de masuri ale gradului de stabilitate al unui sistem.Marginea de faza reprezinta defazajul suplimentar care poate fi injectat in sistemul in bucla inchisa pentru a-l aduce la instabilitate,iar marginea de amplificare reprezinta amplificarea suplimentara care poate fi introdusa in sistemul de bucla inchisa pentru a-l aduce la instabilitate.In cazul de fata in cazul sistemului in bucla deschisa marginile de faza si amplificare sunt infinite,dupa cum se poate observa in figura 3.

Fig. 3 Marginile de faza si amplificare infinite

In continuare pornind de la caracteristicile Bode de mai sus se propune sinteza unui controler.Se poate observa in caracteristici ca caracteristica de faza este concava in zona de 5rad/sec.Se incearca adaugarea unei faze pozitive acestei zone astfel incat caracteristica de faza sa ramana peste linia de -180 de grade.Din moment ce o margine de faza mare determina un suprareglaj mic,se impune adaugarea a minimum 140 de grade caracteristicii de faza in zona de 5rad/sec.Stiind ca un controler lead poate introduce doar 90 de grade in caracteristica se va folosi un controler two-lead.Pentru obtinerea lui T si a se determina nevoia de faza pozitiva (70 de grade de la fiecare controler pentru a obtine 140 de grade).Se determina frecventa unde suplimentul de faza va fi adaugat (5rad/sec).Se determina constanta a din ecuatia care determina de fapt spatiul necesar intre zeroul si polul pentru maximul de fazei adaugate (a=0.031).In final se determina T si aT,de fapt frecventele care asigura ca maximul de faza va fi adaugat la frecventa dorita (T=1/W*sqrt(a)=1.13 si aT=sqrt(a)/W=0.035).In continuare este redat raspunsul in bucla inchisa,figura 4.

Fig. 4 Raspunsul in bucla inchisa cu controler

Amplitudinea răspunsului este mult mai mică decât cerința la sută depășire și timpul de soluționare , de asemenea, este mai mic de 5 secunde. Din moment ce se poate observa o amplitudine de răspuns la ieșire de mai puțin de 0,0001 m sau 1 % din mărime de intrare după 4 secunde. Prin urmare, putem spune că timpul de stabilizare este de 4 secunde. Din caracteristica Bode de mai sus , vom vedea ca o crestere a castigului va crește frecvența de tranziție și , prin urmare, face răspunsul mai repede . Vom crește câștigul și să vedem dacă putem obține un răspuns mai bun .Acum vom modifica in fisierul i numc așa cum se arată mai jos pentru a genera următorul grafic,figura 5.

numc = 4*conv([T 1], [T 1]);

denc = conv([aT 1], [aT 1]);

C = tf(numc,denc);

sys_cl = F*feedback(G1,K*C);

t=0:0.01:5;

step(0.1*sys_cl,t)

axis([0 5 -.01 .01])

Fig. 5 Răaspunsul treapta

Se poate observa in figura ca amplitudinea raspunsului este mult mai mica decat valoarea impusa precum si timpul de stabilizare este sub valoarea impusa.Deci conditiile impuse la proiectare sunt satisfacute.

CAPITOLUL VIII

Proiectarea unui controler optimal LQR

Aceasta metoda de sinteza presupune proiectarea unui controler liniar optimal pentru un indice de performanta patratic.In continuare este redat un scurt breviar teoretic despre proectarea optimala care prezinta si formalismul pentru sisteme liniare utilizat in simulare,prin functiile Matlab specifice.Fie un sistem dinamic liniar:

(8.1)

unde,A si B matrici constante,reale,de dimensiuni convenabile.Daca sistemul este de stare complet controlabila,atunci exista o infinitate de comenzi u(t) care sa asigure tranzitia din orice stare initiala in orice stare finala,intr-un interrval de timp finit.Din aceasta infinitate de posibilitati vom alege o comanda u(t) care sa asigure minimizarea unui criteriu de forma:

(8.2)

unde (A,B) este controlabil si (A,Q) observabil si unde u(t) este comanda aplicata,T este durata impusa tranzitiei,unde xf=0 este starea finala impusa;acest criteriu evidentiaza energia de comanda consumata pentru a realiza tranzitia impusa si eroarea starii fata de starea finala impusa xf=0,ponderate prin matricile constante pozitiv definite R si respectiv Q.Gasirea comenzii optimale se bazeaza pe rezolvarea sistemului de ecuatii Hamilton Jacobi obtinut pe cazul particular al sistemului dinamic liniar.Considerand criteriul integral de mai sus se obtine functia

Hamilton:

(8.3)

și setul de ecuații Hamilton:

(8.4)

(8.5)

(8.6)

cu condițiile la limită:

,care precizează condiția inițială (8.7)

,care precizează că starea finală este nulă si durata tranziției este T (8.8)

Dezavantajul sistemului de ecuatii Hamilton este ca oferă pentru solutia u*(t) o expresie în funcție de timp,greu de implementat in practica.De aceea se prefera exprimarea comenzii u*(t) ca o lege de reglare dupa stare,usor de implementat in practică.

(8.9)

unde de fapt s-a ales :

(8.10)

Folosind această formă a lui ,din sistemul de ecuații Hamilton rezultă o relație de calcul pentru matricea K(t) de tipul unei ecuații diferențiale Riccati:

(8.11)

Faptul ca matricea K este variabila in timp incomodeaza in aplicatiile practice.Se poate utiliza o matrice K invariata in timp (constanta),dar in aceasta situatie tranzitia nu va avea loc intr-un interval de timp finit T.Se poate asigura doar ca starea sistemului sa tinda asimptotic catre starea finala zero impusa.Acest lucru nu incomodeaza in practica.Durata tranzitiei va fi conside-rata aproximativ egala cu durata regimului tranzitoriu.In regim permamnent sistemul este destul de aproape de starea finala impusa;faptul ca nu se gaseste exact in starea finala impusa nu inco-modeaza in aplicatie.

In aceasta situatie se sintetizeaza o comanda liniara dupa stare:

(8.12)

unde K este o matrice constantă,simetrică,pozitiv definită care rezultă din ecuația Riccati algebrică:

(8.13)

Observație:

Ecuația algebrică Riccati rezultă din ecuația diferențială Riccati pentru cazul K constant,adică K=0.

Pentru proiectarea unui regulator liniar optimal pentru un indice de performanță pătratică vom utiliza următorul program Matlab:

a=[ 0 1 0 0

-6.571 0 -25.26 -0.14

46.94 0 -48.17 1

1563 0 -1845 0];

b=[ 0 0

0.0004 6.571

0 -46.94

0.003525 -1563];

c=[0 0 1 0];

d=[0];

q=[1000 0 0 0;0 1 0 0; 0 0 1 0;0 0 0 1];

r=[0.01 0.01 ; 0.01 0.1];

k=lqr(a,b,q,r);

k1=k(1);

k2=k(2);

k3=k(3);

A=a-b*k;

B=b*k1;

C=c;

D=d;

t=0:0.01:10;

[y,x,t]=step(A,B,C,D,1,t);

subplot(2,1,1)

plot(t,y);

grid;

title('Raspunsul sistemului optimal');

xlabel('t sec');

ylabel('iesirea y');

subplot(2,1,2)

plot(t,x);

grid;

title('Curbele x1, x2, x3, x4 functie de timp');

xlabel('t sec');

ylabel('x1, x2, x3, x4');

In urma rularii fisierului lqreg.m obtinem:

Fig. 1 Răspunsul sistemului cu regulator LQR

Obtinerea unui controler ce stabilizeaza sistemul

Vom utiliza tehnica plasării (alocării) poli-zerouri pentru a stabiliza sistemul și a avea caracteristicile dinamice dorite.

Vom utiliza o schemă de reglare cu reacție de la stare:

Etape:

1)Se verifica daca sistemul este complet controlabil dupa stare ,adica se verifica rangul matrici M=[B;AB;A^2B;A^3B]

2)Se determina ecuatia caracteristica a sistemului

3)Se aleg localizarile dorite pentru poli-dorim ca sa avem un timp tranzitoriu cat mai mic si o amortizare rezonabila

4)Se determina matricea K a amplificarilor cu reactie dupa stare cu relatia:

unde matricea de transformare T este dată de relația: în care M este matricea de controlabilitate.

iar: , în care sunt coeficienți ai polinomului caracteristic:

Urmand pasi mentionati anterior in cazul sistemului cu suspensie activa obtinem:

ca sistemul este controlabil dupa stare
(rangul matrici M fiind egal cu 4)

in urma calcularii determinantului ce ne ofera ecuatia caracteristica a sistemului si a identificarilor obtinem valorile parametrilor a1,a2,a3,a4 ca fiind:
a1=48.17125;
a2=1837.93;
a3=1402.97;
a4=25444.484;

s-au ales localizarile polilor :
p1=-5+j*3,464
p2=-5-j*3,464
p3=-10
p4=-10

-s-a calculat valoarea matricii K a amplificarilor dupa stare dupa ce in prealabil s-au calculat W,T,inv(T),obtinandu-se urmatoarea valoare:

Pasi au fost parcursi si in cadrul programului Matlab urmator:

m1 = 2500;

m2 = 320;

k1 = 80000;

k2 = 500000;

b1 = 350;

b2 = 15020;

A=[0 1 0 0

-(b1*b2)/(m1*m2) 0 ((b1/m1)*((b1/m1)+(b1/m2)+(b2/m2)))-(k1/m1) -(b1/m1)

b2/m2 0 -((b1/m1)+(b1/m2)+(b2/m2)) 1

k2/m2 0 -((k1/m1)+(k1/m2)+(k2/m2)) 0];

B=[0 ;

1/m1 ;

0 ;

-(1/m1)+(1/m2)]

C=[ 0 0 1 0];

D=[0 ];

[num1,den1]=ss2tf(A,B,C,D);

MI=[B A*B A^2*B A^3*B];

rang=rank(MI);

I=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1];

a1=48.17125;

a2=1837.93;

a3=1402.97;

a4=25444.484;

l1=60; l2=11410; l3=7050; l4=10000;

W=[a3 a2 a1 1; a2 a1 1 0; a1 1 0 0; 1 0 0 0];

T=MI*W;

T1=inv(T);

k=[l4-a4 l3-a3 l2-a2 l1-a1]*T1;

Implementarea datelor obtinute in Simulink in baza urmatoarei scheme conduc la obtinerea rezultatelor din figura 2:

Fig.2 Schema Simulink a controlerului optimal

Fig.3 Răspunsul sistemului

CAPITOLUL IX

Control robust fuzzy ¼ suspensie activa

Un sistem de suspensie activa auto este mecanismul care conectează fizic corpul masinii la roțile lor , cu alte cuvinte un sistem de suspensie izoleaza corpul mașinii de tulburările rutiere și de tulburările de inertie asociate cu viraje,frânare sau accelerare.

Fig . 1 ilustrează modelul 1/4 a suspensiei active a unui autoturism care este cel mai frecvent utilizat pentru studii de control al suspensii active.

.

Fig.1 modelul 1/4 a suspensiei active a unui autoturism

Ecuațiile de mișcare pentru modelul de mașină în ecuația de stat sunt reprezentate de :

(9.1)

Pentru a transforma ecuațiile de mișcare ale mașinii ¼ intr-un model de spațiu de stare, următoarele variabile de stare sunt considerate :

(9.2)

unde: x1(deplasarea corpului)=zb-zw,

x2(deplasarea rotii)=zw-zr

x3(viteza absoluta a corpului)=

x4(viteza absoluta a rotii)=

Apoi, ecuațiile de mișcare ale modelului ¼ pentru suspensia activa poat fi scrise în forma spațiului de stare după cum urmează :

(9.3)

(9.4)

(9.5)

fa=forta de comanda;

zr=deplasarea intrarii rutiere

Sistemele de control fuzzy se bazeaza pe reguli sau pe baza cunoașterii sistemului,

sisteme care au un set de reguli IF- THEN.Normele reprezintă un mecanism de decizie de control pentru a ajusta efectele provenite din sistem.Controlerele fuzzy au reușit în multe probleme de control practice unde teoriile convenționale au dificultăți de implementare.Figura .2 prezintă în tabelul de reguli ale funcțiilor membru ale controlerului fuzzy.

Abrevierile folosite corespunde dupa cum urmeaza :

NV-negativ foarte mare

NB-negativ mare

NM-negativ mediu

NS-negativ mic

ZE-zero

PS-pozitiv mic

PM-pozitiv mediu

PB-pozitiv mare

PV-pozitiv foarte mare

Fig. 2

Controlul fuzzy a fost propus să abordeze problemă de suspensie auto pentru parametrii de mediu necunoscuti. Cu toate acestea,suma mare a regulilor fuzzy face analiza complexa.Unii cercetatorii au propus un design a controlul fuzzy bazat pe un slide mode control (SMC).Deoarece o singură variabilă este definită ca variabila de intrare fuzzy, principalul avantaj al FSMC(fuzzy slide mode control) este că are nevoie de mai puține reguli fuzzy decât FC(fuzzy control). Mai mult decât atât,sistemul FSMC are mai mult robustețe împotriva variației parametrului Deși FC și FSMC sunt ambele metode eficiente,dezavantajul lor major este că reguli fuzzy ar trebui să fie reglate în prealabil de către consumul de timp,proceduri de incercare și erori. Tradițională SMC reprezintă forma simplă a controlului robust . Deoarece sistemul este de ordinul întâi,funcția de comutare este selectata ca :

Fig. 3 Faza plan a SMC

Unde λr referinta alunecarii rotii de intrare.Miscarea de alunecare apare atunci cand ajunge subspatiul definit ca s=0.

(9.6)

(9.7)

a1:-ks/Ms (9.8)

a2:-bs/Ms (9.9)

L:un castig de control referitor la Ms

(9.10)

bmin:bus gol

bmax:bus plin

(9.11)

K satisface condiția de alunecare atunci cand sistemul de stare este pe subspatiul de comutare , lovirea controlului este zero.

(9.12)

Să presupunem există n reguli in baza de cunoștințe fuzzy și fiecare dintre ele are următoarea formă :

Regula i: daca s este Si atunci u este αi+βis

unde u este variabila de ieșire al sistemului fuzzy ; S sunt funcțiile de membru și ( αi , βi ) sunt actiunile de control singleton.Prin metoda centrului de greutate :

(9.13)

unde wi este regula greutatii de ardere ith , α=[α1, …., αn]T si β =[β1, …., βn]T

Pentru a îndeplini obiectivul de a concepe un sistem de suspensie activa , adică cresterea confortului plimbarii și manevrabilitatii , există trei parametri care trebuiesc respectati în aceste simulări. Cei trei parametri sunt devierea rotii,sarcina dinamica a anvelopei și accelerarea caroserie.

Modelul matematic al sistemului și modulul propus al controlerului de alunecare sunt definite în prealabil in ecuațiile de mai sus au fost simulate pe calculator, cu ajutorul MATLAB si SIMULINK.Figura 4 ilustrează clar modul in care suspensia activă poate absorbi în mod eficient inceputul vibrației vehiculului la 1,6 sec . în timp ce sistemul pasiv absorbe la 2,25 sec.

Fig. 4 Răspunsul sistemului cu suspensie pasiva și a sistemului de control robust fuzzy pe drum neted.(IR-intrarea rutiera;DTL-incarcarea dinamica a pneului;Body Acc.- accelerarea caroseriei ;SWS-spatiul de lucru a suspensiei;)

Mai mult decât atât deformarea roții este de asemenea, mai mica in sistemul suspensiei active.Accelerarea caroseriei în sistemul de suspensie activă este redusă în mod semnificativ, ceea ce garantează un mai bun confort in plimbare.Efortul controlerului este ilustrat în Fig 5.

Fig. 5 Semnal de control Fuzzy pentru drum neted

Un alt model comun a intrării rutiere presupune ca vehiculul sa mearga cu o viteza constantă înainte peste:

i) un profil de drum aleator , care este aproximat de o intrare zgomot alb integrat .

ii)profilul rutier w ( t ) reprezintă un singur cucui care acționează ca tulburări , dată de funcția cosinus :

(9.14)

Unde α este înălțimea denivelarii , t1 și t2 sunt limitele de timp inferioară și superioară a denivelarii. Figura 6 arată înălțimea denivelarii de 10 cm.

Fig. 6 Răspunsul sistemului de suspensie activa cu control fuzzy robust si pasiv pe rugozitatea rutiera reala.

Fig. 7 Răspunsul sistemului de suspensie activa cu control fuzzy robust si pasiv pe profilul rutier cosinus.

In fig . ( 6,7 ) rezultatele confirmă soliditatea controlerului proiectat propus cu diferite condiții ale drumului.Prin urmare, este clar că sistemele de suspensie activa îmbunătățește confortul plimbarii în timp ce păstrând caracteristicile manipularii drumului , comparativ cu sistemul de suspensie pasiva.

CAPITOLUL X

Proiectare unui controler optimal liniar Hinfinit

Designul de controlere de suspensie liniare care pun accentul fie confortul pasagerului sau pe deformarea suspensie. Controlorii din această secțiune sunt proiectati folosind sinteza liniara H∞ . Așa cum este standard în cadrul H∞ ,obiectivele de performanță sunt realizate prin norma minimizarii funcției de transfer ponderate.

Funcțiile de ponderare au două scopuri în cadrul H∞ : acestea permit comparația directă a obiectivelor de performanță diferite, cu aceeași normă și ele permit informațiilor de frecvență să fie încorporate în analiză. O diagramă bloc a interconexiunii de proiectare de control H∞ pentru

problemă suspensie active este prezentat mai jos in figura 1.

Fig. 1 diagramă bloc a interconexiunii de proiectare de control H∞ pentru problemă suspensie active

Măsura de ieșire sau feedback-ul semnalului y este deformarea suspensiei x1-x3 . Controlerul acționează pe acest semnal pentru a produce intrarea de control ,forță de acționare hidraulica fs . Blocul Wn servește pentru a modela senzorul de zgomot în canal de măsurare . Senzorul Wn este setat la o valoare de zgomot de 0,01 m .

Wn=0.01;

Într-un design mai realist , Wn ar fi dependent de frecvență și ar servi

pentru a modela zgomotul asociat cu senzorul de deplasare .Greutatea Wref este

folosita pentru a scala amploarea tulburărilor rutiere . Să presupunem că perturbațiile maxime rutiere sunt 7 cm și,prin urmare, alegem Wref = 0,07 .

Wref = 0,07 ;

Conținutul magnitudinii și frecvenței forței de control fs sunt limitate de funcția de ponderare Wact. Alegem:

(10.1)

Magnitudinea creșteri în greutate peste 50 rad / s , în scopul de a limita de lățime de bandă în buclă închisă .

Wact = (100/13)*tf([1 50],[1 500]); (10.2)

Prima proiectare a unui controler Hinfinit

Scopul funcțiilor de ponderare Wx1 si Wx1-x3 este de a menține devierea masinii și deformarea suspensiei mica pe frecvența dorită. În prima proiectarea , proiectam controlerul pentru confortul pasagerilor , și, prin urmare devierea caroserie auto x1 este penalizata.

Wx1 = 8*tf(2*pi*5,[1 2*pi*5]); (10.3)

Amploarea greutatii este mai mare de 5 × 2π rad / s pentru a respecta o bine-cunoscuta

regulă de proiectare H∞ a degetului mare care necesită ca ponderile de performanță să se rostogolească inaintea unei bucle zero deschise ( 56,7 rad / s , în acest caz ). Greutatea devierii suspensie Wx1-x3 nu este inclusa în această formulare a problemei de control.

Puteți construi ponderaea H∞ modelul planului pentru proiectarea de control , notata

qcaric1 , folosind comanda sysic . Semnalul de comandă corespunde ultimei intrari qcaric1 , fs . Accelerația caroserie , care este zgomotosa , este semnalul măsurat și corespunde ultimei iesirii a qcaric1.

systemnames = 'qcar Wn Wref Wact Wx1';

inputvar = '[ d1; d2; fs ]';

outputvar = '[ Wact; Wx1; qcar(3)+Wn ]';

input_to_qcar = '[ Wref; fs]';

input_to_Wn = '[ d2 ]';

input_to_Wref = '[ d1 ]';

input_to_Wact = '[ fs ]';

input_to_Wx1 = '[ qcar(1) ]';

qcaric1 = sysic;

Un controlor H∞ este sintetizat cu comanda hinfsyn . Există o intrare de comandă,o forța de acționare hidraulica , si un semnal de măsurare ,accelerația caroseriei .

ncont = 1;

nmeas = 1;

[K1,Scl1,gam1] = hinfsyn(qcaric1,nmeas,ncont);

CL1 = lft(qcar([1:4 3],1:2),K1);

sprintf('H-infinit controller K1 achieved a norm of %2.5g',gam1)

ans =

H-infinit controller K1 achieved a norm of 0.61043

Putem analiza controlerul H∞ prin construirea unui feedback în buclă închisă a unui sistem CL1. Graficul magnitudinile Bode a suspensie pasive și a suspensiei active sunt prezentate în figura 2:

bodemag(qcar(3,1),'k-.',CL1(3,1),'r-',logspace(0,2.3,140))

Fig. 2 Graficul magnitudinile Bode a suspensie pasive și a suspensiei active

CAPITOLUL XI

A doua proiectare a unui controler Hinfinit

În doua proiectare, proiectam controlerul pentru a menține functia de transfer a suspensiei deformate mica. Prin urmare, perturbarea rutiera a devierii suspensie x1- x3 se penalizează prin intermediul funcției de ponderare Wx1x3 . Greutatea marimei Wx1x3 iese peste 10 rad / s pentru a se rostogoli înainte de o buclă deschisă de zero ( 23.3 rad / s) în proiectarea .

Wx1x3 = 25*tf(1,[1/10 1]);

Greutatea devierii auto Wx1 nu este inclusa în această formulare a problemei de control. Putem construi H∞ modelul de plante ponderat pentru proiectare controlerului,

notat qcaric2 , folosind comanda sysic . Ca o alternativă , putem crea qcaric2 folosind obiecte iConnect . Același control și măsurătorile sunt utilizat ca în primul desen.

M = iconnect;

d = icsignal(2);

fs = icsignal(1);

ycar = icsignal(size(qcar,1));

M.Equation{1} = equate(ycar,qcar*[Wref*d(1); fs]);

M.Input = [d;fs];

M.Output = [Wact*fs;Wx1x3*ycar(1);ycar(2)+Wn*d(2)];

qcaric2 = M.System;

Cea de a doua de comandă H∞ este sintetizata cu comanda hinfsyn .

[K2,Scl2,gam2] = hinfsyn(qcaric2,nmeas,ncont);

CL2 = lft(qcar([1:4 2],1:2),K2);

sprintf('H-infinit controller K2 achieved a norm of %2.5g',gam2)

ans =

H-infinit controller K2 achieved a norm of 0.89949

Ne amintim că acest design de control H∞ subliniază minimizarea devierea suspensiei peste confortul pasagerilor , în timp ce primul designul H∞ era axat pe confortul pasagerilor .

Putem analiza controlerul H∞ prin construirea unui feedback în buclă închisă,un sistem CL2 . Graficul magnitudinilor Bode ale funcției de transfer de la perturbarea rutiera a suspensie deformate atât pentru ambele controlere și pentru sistemul de suspensie pasiv sunt prezentate în figura 1.

bodemag(qcar(3,1),'k-.',CL1(3,1),'r-',CL2(3,1),'b.',… logspace(0,2.3,140))

Fig. 1 Graficul magnitudinilor Bode ale funcției de transfer de la perturbarea rutiera a suspensie deformate atât pentru ambele controlere cît și pentru sistemul de suspensie pasiv

Liniile punctate și solide în figură 1 sunt răspunsurile in frecvență în buclă închisă

care rezultă din diferitele funcții de ponderare performante selectate .Se observa reducerea suspensiei deformate in vecinatatea frecventei tirehop, ω1 = 56,7 rad / s , iar creșterea corespunzătoare în frecventa accelerarii răspunde în apropiere. De asemenea , în comparație cu proiecta 1 , o reducere a deformarii suspensiei a fost realizata pentru frecvențe mai mici de rattlespace, ω2 = 23,3 rad / s .

Al doilea design de control H∞ atenuează ambele moduri de rezonanță , în timp ce

primul controlor isi concentreaza eforturile pe primul mod , frecvența rattlespace la 23.3 rad / s .

bodemag(qcar(2,1),'k-.',CL1(2,1),'r-',CL2(2,1),'b.',…

logspace(0,2.3,140))

Fig. 2

Toate analizele pana acum au fost în domeniul de frecvență .Caracteristicile de performanță in domeniul timp sunt critice pentru succesul suspensiei active a unui bus. Graficele timpului de raspuns a două controlorilor H∞ sunt prezentate în următoarele figuri . Cele punctate , și liniile punctate solide corespund suspensie pasive , controlor H∞ 1 , iar controler 2 , respectiv . Toate răspunsurile corespund perturbatiei rutiere r ( t )

r(t) = a(1 – cos8πt), 0 ≤ t ≤ 0.˜25sec

= 0 otherwise

unde a = 0,025 corespunde la denivelare drumului cu un vârf de magnitudine 5 cm . Se observa

că răspunsul la o accelerare de proiectare de la 1 la 5 cm este foarte bun ;cu toate acestea, deformarea suspensiei este mai mare decât pentru proiectarea a doua Asta pentru ca deformarea

suspensie nu a fost sancționată în acest design.Raspunsul deformarii suspensiei la o proiectare 2 la un cucui de 5 cm este bun ; cu toate acestea raspunsul accelerației la un cucui de 5 cm este mult inferiora fata proiectarea 1 ( a se vedea figura ).din nou, acest lucru se datorează faptului că deplasarea caroserie și accelerarea nu au fost sancționate în design 2 .

time = 0:0.005:1;

roaddist = 0*time;

roaddist(1:51) = 0.025*(1-cos(8*pi*time(1:51)));

[p1,t] = lsim(qcar(1:4,1),roaddist,time);

[y1,t] = lsim(CL1(1:4,1),roaddist,time);

[y2,t] = lsim(CL2(1:4,1),roaddist,time);

subplot(221)

plot(t,y1(:,1),'b-',t,y2(:,1),'r.',t,p1(:,1),'k–',t,…

roaddist,'g-.')

title('Body Travel')

ylabel('x_1 (m)')

subplot(222)

plot(t,y1(:,2),'b-',t,y2(:,2),'r.',t,p1(:,2),'k–')

title('Body Acceleration')

ylabel('Accel (m/s/s)')

subplot(223)

plot(t,y1(:,3),'b-',t,y2(:,3),'r.',t,p1(:,3),'k–')

title('Suspension Deflection')

xlabel('Time (sec)')

ylabel('x_1 – x_3 (m)')

subplot(224)

plot(t,y1(:,4),'b-',t,y2(:,4),'r.',t,p1(:,4),'k–')

title('Control Force')

xlabel('Time (sec)')

ylabel('fs (10kN)')

Fig. 3 . Graficele timpului de raspuns a două controalere H∞

Modele 1 și 2 reprezintă capetele extreme ale spectrului compromis de performanță .

Această secțiune descrie sinteza H∞ pentru a atinge obiectivele de performanță pe sistemul de suspensie activă . La fel, dacă nu chiar mai important , este proiectarea controlerelor robuste pentru eroare model sau incertitudine .

Scopul fiecărei proiectari de control este de a atinge specificatiile de performanța dorite privind modelul nominal , precum și alte planuri care sunt aproape de modelul nominal.

Cu alte cuvinte , obiectivele de performanță pe care dorim să le realizezam

în prezența erorii model sau incertitudine,se numește performanță robustă .

În secțiunea următoare , vom proiecta un controler care realizează performanță robust utilizând metodologia de proiectare de control μ – sinteză , suspensie activa servește din nou ca exemplu . În loc de asumarea unei stari perfecte acționare , un model de nominal de acționare cu eroare de modelare este introdus în problemă de control .

CAPITOLUL XII

Proiectare unui controler optimal Hinfinit prin sinteza μ

Controlorii suspensiei active H∞ proiectati în secțiunea anterioară a ignorat dinamica de acționare hidraulica . În această secțiune , vom include ca prima comanda un model al dinamicii de acționare hidraulica , precum și un model de incertitudine pentru a ține seama de diferențele dintre modelul dispozitivului de acționare și elementul de acționare dinamica reala .

Modelul nominal pentru dispozitivul de acționare hidraulică este:

Modelul de acționare în sine este incert . Puteți descrie modelul de acționare a

eroarii ca un set de modele posibile folosind o funcție de ponderare. La frecvență redusă,

sub 4 rad / s , aceasta poate varia până la 10% din valoarea sa nominala .În jurul valorii de 4 rad / s variație procentuală începe să crească și ajunge la 400 % la aproximativ 800 rad / s . Modelul incertitudinii este reprezentat de greutate Wunc , care corespunde variației de frecvență a incerti-tudinii modelului și incertitudinea LTI obiect dinamic Δunc definit ca unc.

Wunc = 0.10*tf([1/4 1],[1/800 1]);

unc = ultidyn('unc',[1 1]);

actmod = actnom*(1+ Wunc*unc)

USS: 2 States, 1 Output, 1 Input, Continuous System

unc: 1×1 LTI, max. gain = 1, 1 occurrence

Modelul de acționare actmod este un sistem de spațiu de stat incert. Următoarele

diagrame Bode prezinta modelul nominal de acționare , actnom , notată cu un simbol "+", si de 20 de modele de acționare aleatoare descrise de actmod.

bode(actnom,'r+',actmod,'b',logspace(-1,3,120))

Fig 1 Modelul nominal si 20 de modele de actionare aleatoare

Modelul incert de acționare actmod reprezintă modelul de actionare hidraulic utilizat pentru control. Proiectarea diagramei de interconectare de control revizuită este in figura 2:

Fig. 2 Proiectarea diagramei de interconectare de control revizuită.

Proiectam controlerul pentru confortul pasagerilor , ca și în primul caz de proiectare a controlerului H∞, prin urmare deformarea caroseriei x1 se sanctioneaza cu Wx1.Ponderea modelului de incertidudine H∞ pentru proiectarea controlerului, notat qcaricunc , foloseste comanda sysic. Așa cum a fost descris anterior , semnalul de control corespunde ultimei intrari qcaric1 , fs . Accelerația caroseriei , care este zgomotosa , este semnalul măsurat și corespunde ultimei ieșirii qcaricunc.

systemnames = 'qcar Wn Wref Wact Wx1 actmod';

inputvar = '[ d1; d2; fs ]';

outputvar = '[ Wact; Wx1; qcar(2)+Wn ]';

input_to_actmod = '[ fs ]';

input_to_qcar = '[ Wref; fs]';

input_to_Wn = '[ d2 ]';

input_to_Wref = '[ d1 ]';

input_to_Wact = '[ fs ]';

input_to_Wx1 = '[ qcar(1) ]';

qcaricunc = sysic;

Un controlor μ – sinteză este sintetizat utilizând interaria D – K cu comanda dksyn. Procedura repetarii D – K este o aproximare a μ – sinteza care încearcă să sintetizeze un controlor care atinge performanțe robuste. Există o intrare de control , forță de acționare hidraulica și un semnal de măsurare , accelerarea caroseriei .

[Kdk,CLdk,gdk] = dksyn(qcaricunc,nmeas,ncont);

CLdkunc = lft(qcar([1:4 2],1:2)*blkdiag(1,actmod),Kdk);

sprintf('mu-synthesis controller Kdk achieved a norm of

%2.5g',gdk)

ans =

mu-synthesis controller Kdk achieved a norm of 0.53946

Putem analiza performanța controlerului μ – sinteză prin construirea feedback sistemului buclă închisă CLdkunc . Graficele magnitudinii Bode ale sistemul de suspensie pasiva și suspensie activă pe modelul nominal de acționare cu H∞ proiectarea 1 și controller μ – sinteză sunt prezentate în figura 3.Reținem că operatorul μ – sinteză controleaza mai bine atenuarea primului mod rezonant în detrimentul performanței scăzute sub 3 rad / s .

bodemag(qcar(3,1),'k-.',CL1(3,1),'r-',CLmuunc.Nominal(3,1),'b.',…

logspace(0,2.3,140))

Fig 3 Graficele magnitudinii Bode ale sistemul de suspensie pasiva și suspensie activă pe modelul nominal de acționare cu H∞ proiectarea 1 și controller μ – sinteză.

Este important să înțelegem cum controlam robust ambele controlere care sunt în prezența modelului eroare . Putem simula sistemul de suspensie activa cu H∞ proiectarea 1 și controller μ – sinteză . Sistemele incerte in buclă închisă ,CL1unc și CLdkunc , sunt formate cu K1 și KDK , respectiv .Pentru fiecare sistem incert , 40 de modele aleatoare din setul modelului sunt simulate .Cum putem vedea , ambele controlere sunt robuste și performeaza bine în pre-zența actionarii modelului de eroare . Controlerul μ – sinteză KDK atinge o performanta mult mai buna decât H∞ proiectarea 1 .

CL1unc = lft(qcar([1:4 2],1:2)*blkdiag(1,actmod),K1);

[CLdkunc40,dksamples] = usample(CLdkunc,40);

CL1unc40 = usubs(CL1unc,dksamples);

nsamp = 40;

for i=1:nsamp

[ymusamp,t] = lsim(CLmuunc40(1:4,1,i),roaddist,time);

plot(t,ymusamp(:,1),'b')

hold on

end

[ymusamp,t] = lsim(CLmuunc.Nominal(1:4,1),roaddist,time);

plot(t,ymusamp(:,1),'r+',t,roaddist,'m–')

Fig. 4 40 de modele aleatoare ale controlerului DK

for i=1:nsamp

[y1samp,t] = lsim(CL1unc40(1:4,1,i),roaddist,time);

plot(t,y1samp(:,1),'b')

hold on

end

[y1samp,t] = lsim(CL1unc.Nominal(1:4,1),roaddist,time);

plot(t,y1samp(:,1),'r+',t,roaddist,'m–')

Fig. 5 40 de modele aleatoare ale controlerului DK : Hinfinit proiectarea 1

CAPITOLUL XIV

Concluzii

In lucrare au fost dezvoltate si cercetate multe metode de control diferite pentru suspensia activa in vederea îmbunătățirii controlului acesteia. Majoritatea acestor abordări necesită modele de sistem , iar in unele dintre ele nu se pot obține performanțe satisfăcătoare în modificările diferitelor condiții de drum , în timp ce metodele de calcul soft ca control fuzzy nu au nevoie de un model de precis.

Simularile pe computer, sunt efectuate pentru a verifica fezabilitatea controlerului proiectat fuzzy pentru suspensia activa comparat cu un sistem de suspensie pasiva. Pe baza simularii, se poate concluziona că controlul sistemului de suspensie activă funcționează bine , fata de un sistem de suspensie pasiv. Acest controler proiectat este simplu și ușor de implementat.Rezultatele de simulare au arătat ca control Fuzzy este foarte eficient si poate fi folosit in vehiculele fabricate în viitor. Rezultatele sistemului de suspensie activă bazate pe logica controlerului fuzzy arată , de asemenea, stabilitatea îmbunătățită a modelului unui ¼ bus. Logica controlerului fuzzy are performante bune de obicei mai buna decât controlerul PID.

Sensibilitate H∞ si sinteza μ , au fost investigate și proiectate pentru utilizare într-un sistem de suspensie activa auto, reprezentarea folosind un model de ¼ masina și un model de dispozitiv de acționare hidraulica. Controlerul LQR a fost cel mai simplu controler proiectat. Designul său este, în principiu drept înainte , cu cativa parametri alesi.Cu toate acestea , această simplitate înseamnă că există mai puțin marja de îmbunătățire pentru controler nu prea multe

se poate face dacă nu îndeplinește cerințele de robustete.

Pe de altă parte ,sensibilitatea H∞ a fost mai complexa in a fi proiectata.Alegerea ponderii funcții este o procedură foarte complexă și delicată. Alegerea greutăților poate duce cu ușurință la performanțe scăzute sau controlere irealizabile. Acest lucru înseamnă , de asemenea, că există o mare marjă de îmbunătățire, prin schimbarea funcțiilor de ponderare.

Controlerul de sinteză μ avut cel mai bun ansamblu de performanță.Sistemul de feedback realizat cu stabilitate robustă și performanță , iar controlerul a lucrat bine atunci când este utilizat cu sistemul neliniar . Performanțele sale au fost îmbunătățite atunci când a fost comparat cu un sistem pasiv ( necontrolat) , cu amplitudini mult reduse si timpi de stabilizare . Este de asemenea important să se constate că , deși forțele de acționare și curenții de pilotare nu au fost alesi pentru minimizare, au fost păstrate la niveluri relativ scăzute în orice moment.

Metoda interativa DK pentru identificarea controlerului sinteza μ ia o mare parte din timpul de calcul , în special pentru sistemele de ordin mare și nu garantează că un controlor fezabil este găsit . De asemenea ,controlerul rezultat este de obicei de ordin foarte mare , care necesită o tehnică de reducere pentru al face utilizabil .Proiectarea controlerului sinteza μ permite , de asemenea,utilizarea funcțiilor de ponderare , să contribuie la realizarea cerințelor mai specifice de performanță . Această procedură nu a fost utilizată în acesta lucrare.