Dea. Eficienta Si Productivitate

Capitolul 1

Eficiența și productivitate

Frontiere de producție și eficiența productivă

În activitatea economică (mai ales în unitățile de producție) se impune măsurarea performanței înregistrate; aceasta se face calculând productivitatea și eficiența productivă.

Productivitatea unei unități de producție este egală cu raportul dintre output și input. Dacă ambele sunt scalare, este foarte simplu; dar dacă sunt vectori, atunci trebuie să se calculeze outputul agregat (ca o combinație liniară de outputuri, folosind coeficienții de importanță) și inputul agregat.

Eficiența unei unități de producție se exprimă comparând, de exemplu, valorile observate ale outputului unității cu valori potențial realizabile (maxime); aceasta pentru imputuri cunoscute. Eficiența se mai poate calcula, comparând inputul minim (potențial) cu inputul observat; aceasta în condițiile unui output cunoscut.

Eficiența productivă are două componente: eficiența fizică (tehnică) și eficiența alocativă (de preț).

Posibilități de măsurare a eficienței productive -Definiții.

Eficiența tehnică se referă la abilitatea producătorului (sau unității de producție) de a evita risipa, fie producând cât mai mult output pentru un input dat, fie consumând cât mai puțin input pentru un output dat.

Eficiența alocativă ține seama de costul (prețul) inputului și de prețul sau utilitatea outputului. Componenta alocativă se referă la abilitatea producătorului de a combina inputurile și outputurile în proporții optime, ținând seama de preț. În acest context se introduce un obiectiv economic: profit sau cost.

Definiții care formalizează cele două componente ale eficienței au fost date în anii `50.

Definiția Koopmans (1951): Un producător este eficient dacă:

a) o creștere a cantității în oricare dintre outputuri impune fie o reducere a cantității din cel puțin un alt output, fie o creștere a cantității din cel puțin un input;

b) o scădere a cantității dintr-un input impune fie o creștere a cantității din cel puțin un alt input, fie o reducere a cantității din cel puțin un output.

Conform acestei definiții, producătorii ineficienți tehnic pot produce aceeași cantitate de output cu cel puțin un input în cantitate mai mică, fie pot utiliza aceeași cantitate de input pentru a obține cel puțin un output în cantitate mai mare.

Definiția Debreu (1951) & Farrell (1957): Această definiție introduce o măsură a ineficienței tehnice care se bazează pe evoluția reducerii proporționale maxime în toate inputurile care încă permite producerea outputului dat. în acest context, valoarea 1 a acestei măsuri indică starea de eficiență a producătorului iar valori între 0 și 1 exprimă gradul de ineficiență.

Fie vectorul de inputuri x și vectorul de outputuri y. Tehnologia de producție poate fi considerată ca o relație între x și y. fixând y, numim L(y) mulțimea inputurilor x ce asigură producerea aceluiași output y.

Din figura 1 se observă că L(y) este mărginită; odată cu producătorul P conține și orice producător Q aflat în cadranul din dreapta sus. În raport cu producătorul P, producătorul Q face risipa în privința folosirii lui x1 cât și în folosirea lui x2. eficiența lui L(y) este:

(1)

Relația de ordine înseamnă că fiecare componentă a lui x’ este mai mică sau egală decât fiecare componentă corespondentă a lui x.

Isocuanta lui L(y) se definește astfel:

(2)

Aceasta înseamnă că atunci când funcția de producție este de forma prezentată în Figura 4:

Măsura Debreu – Farrell în spațiul inputului

Măsura Debreu – Farrell în spațiul inputului se definește astfel:

Se observă că:

dacă

dacă

dacă .

Observând figura 5 se poate spune că P’ nu este eficient (el nu aparține lui ) dar este eficient în sens Debreu – Farrell. Nu este eficient în sensul definiției lui pentru că are o risipă în resursa 2, risipă care aici este interpretată ca o abatere (slack).

Eficiența Debreu – Farrell înseamnă de fapt că .

Măsura Debreu – Farrell în spațiul outputului

Pentru definirea eficienței Koopmans se construiește o reprezentare în spațiul outputului. Pentru x fixat, definim R(x) mulțimea outputurilor posibile ce pot fi tehnologic realizate cu inputurile x. Dacă spațiul outputurilor este bidimensional, adică :

Eficiența mulțimii R(x) se definește astfel:

Isocuanta mulțimii R(x) se definește ca:

.

Măsura Debreu – Farrell în spațiul outputului se definește ca:

. Dacă . P’ este eficient Debreu – Farrell în output: , dar nu este eficient, pentru că din aceleași resurse x s-ar putea obține un output mai mare.

Proprietăți ale distanței Debreu- Farrell:

Proprietatea 1: este omogenă de grad -1 în inputuri:

Proprietatea 2: este monoton descrescătoare în inputuri:

Proprietatea 3: nu depinde de unitățile de măsură alese pentru inputuri.

De reținut că măsura Debreu – Farrell în spațiul outputului are aceleași proprietăți (omogena de grad -1 în outputuri, monoton descrescătoare în outputuri, nu depinde de unitățile de măsură ale outputurilor).

Figura 8 prezintă o analogie între definiția Koopmans și definiția Debreu – Farrell:

Pentru un producător eficient, reducerea cantității din inputul trebuie să fie însoțită de creșterea cantității din inputul sau de o reducere a outputului . În spațiul outputului, pentru un producător eficient, creșterea cantității dintr-un output trebuie însoțită de scăderea cantității dintr-un alt output sau de folosirea unei cantități mai mari de resurse .

Se poate observa că, în mulțimea eficientă și în spațiul inputurilor și în spațiul outputurilor, orice producător eficient Koopmans este eficient și Debreu – Farrell.

Eficiența alocativă (de preț)

Pentru definirea eficienței alocative trebuie să specificăm mai întâi un obiectiv economic și niște „prețuri”. Dacă obiectivul este minimalizarea costurilor, atunci o măsură a eficienței este:

.

Introducem vectorul , care reprezintă vectorul costurilor inputurilor și vectorul , care reprezintă vectorul prețurilor outputurilor.

Funcția de cost minim este egală cu costul de frontieră:

(minimalizarea costurilor inputurilor, cu proprietatea că z este realizabil din x din punct de vedere tehnologic).

Funcția de output (sau profit) maxim este:

(maximizarea venitului din vânzarea outputului, cu proprietatea că z este realizabil din x din punct de vedere tehnologic), unde este un vector de parametri care explică tehnologia de producție.

Dorim să determinăm curba de cost de nivel minim:

, unde este eficient de măsură .

Există două situații diferite în prezentarea eficienței alocative.

a)

Definiție: Eficiența în .

Eficiența Debreu – Farrell (Eficiența tehnică): .

Eficiența alocativă:

Rezultă că eficiența în cost este egală cu produsul eficiențelor tehnică și alocativă:

Propoziție: Un producător este eficient în cost dacă și numai dacă este eficient tehnic și eficient alocativ.

Direcția de descreștere a inputurilor (în ambele sensuri) pentru a ajunge în punctul de eficiență maximă este

b)

adică

Eficiența Deubreu – Farrell (Eficiența tehnică ):

Eficiența de slack (abatere):

Rezultă că eficiența în cost în această situație este produsul dintre eficiența tehnică, eficiența slack și eficiența alocativă:

Propoziție: Un producător este eficient în cost dacă și numai dacă este eficient tehnic, slack și alocativ.

Capitolul 2

O abordare econometrica a masurarii eficientei

S-au propus doua metode distincte de estimare a eficientei in productie. Acest capitol prezinta o abordare econometrica si un rezumat al acestor tehnici.

2.1 Cadrul econometric si definitii

Frontiera de productie si functiile de cost si calcularea masurarilor eficientei incep cu Farrell (1957). Putem folosi analiza eficientei tehnice in termenii abaterilor fata de un ideal, frontiera izocuanta. Aceasta abordare duce la o abordare econometrica in care ineficienta este identificata cu perturbatiile dintr-un model de regresie.

Estimarea empirica a functiilor de productie a inceput cu mult inaintea lui Farrell, in jurul anilor 1928 odata cu lucrarea lui Cobb Douglas. Pana in anii 1950, functiile de productie au fost folosite pe calelarga drept procedeu (mecanism) pentru studierea distributiei functionale a venitului intre capital si forta de munca la nivel macroeconomic. Alte contributii: Dean (1951), Johnston (1959), Nerlove (1963) – s-au concentrat mai mult asupra costurilor decat asupra productiei. Samuelson (1938), sephard (1953) – au studiat relatia dintre cele doua.

Lucrarile empirice privind productia si costul au fost tratate independent de tratarea frontierelor de productie. Metoda celor mai mici patrate sau cateva variante au fost folosite pentru a construi o functie prin mijlocul unui nor de puncte, iar valorile reziduale de ambele semne nu au fost tratate special, luandu-se ca atare. Acest argument poate face ca acesti estimtori de mediere sa fie estimarea mediei mai mult dect cea mai buna tehnologie. Argumentele lui Farrell furnizeaza o baza pentru redirectionarea atentiei de la functia de productie la abaterile de la aceasta functie, specificand regresia si tehnicile corespunzatoare.

Se considera date specificarile privind structura de productie bine definita, adica neteda, continua, continuu diferentiabila, iar productia sau functia de transformare se considera qvasi-concava. Se presupune ca producatorii sunt cei ce preiau preturile de pe piata inputurilor, astfel incat preturile pot fi tratate ca exogene.

In acest capitol procesul de productie este modelat cu o frontiera de productie cu un singur output,

(2.1)

unde Q este outputul, x o multime de inputuri, o multime de parametri care reprezinta obiectul estimarii, si i reprezinta producatorul i. Ipoteza pentru un singur output este doar de convenienta. Logaritmam:

(2.2)

Se presupune ca eficienta tehnica intra in modelul de productie multiplicativ, sau aditiv dupa logaritmare, adica, in general:

(2.3)

In continuare, sunt discutate cateva modele pentru . O trasatura comuna este ca modelul pentru are o medie diferita de zero ceea ce reflecta abaterea sistematica a outputului actual de la norma teoretica.

Ne intereseaza in mod deosebit specificarea si estimarea modelelor pentru , iar estimarea lui si drept caracteristici ale procesului de productie sunt in plan secundar.

O ipoteza comuna tuturor analizelor este aceea ca este o variabila aleatoare de medie constanta. Astfel, modelul poate fi scris:

(2.4)

Din moment ce acesta este un model de regresie cu toate caracteristicile modelului clasic, parametrii sai pot fi estimati consistent prin metoda obisnuita a celor mai mici patrate. Dar modelul pentru , chiar in contextul de mai sus, poate fi destul de corect introdus. Astfel, o mare parte din ceea ce va urma se preocupa fie de modelul in care sa folosim estimarile consistente prin cele mai mici patrate fie de cum sa modificam estimarea tehnica pentru a justifica natura speciala a perturbatiei.

2.2 Frontiera de productie determinista

2.2.1 Estimarea folosind programarea matematica

Dupa initiativa lui Farrell, Aigner si Chu (1968) au sugerat o functie de productie log-liniara (Cobb-Douglas),

(2.5)

in care este o perturbatie aleatoare intre 0 si 1. Logaritmand, obtinem

(2.6)

unde , , , si . Ultima dintre acestea este definita pentru consistenta cu formularile modelului definit in materialul care urmeaza. Partea nestochastica din partea dreapta este vazuta ca frontiera. Ea este etichetata drept “determinista” deoarece componenta stochastica a modelului este pe de-a-ntregul continuta in termenul (in)eficientei, . Masura Farrell a ineficientei tehnice este atunci:

(2.7)

Aigner si Chu au sugerat doua metode de estimare care restrictioneaza (conditioneaza) reziduurile sa fie negative:

Programarea liniara:

(2.8)

cu conditia

Programarea patratica:

(2.9)

cu conditia

.

In timp ce aceste proceduri chiar produc estimari, ele au dezavantajul ca nu produc erori standard pentru estimari, astfel ca este greu sa ajungem la o concluzie. Eficienta acestor estimatori este pusa sub semnul intrebarii cu toate ca nu au fost gasite expresiile pentru matricile lor de covarianta asimptotica. Pentru scopurile noastre, principalul dezavantaj este ca fara o specificare mai detaliata, consistenta estimarilor nu poate fi verificata nici chiar asa cum verificam consistenta estimatiilor lui . Estimatorii de programare pot avea calitatea robustetii la erori de specificatie (de exemplu, distributia lui ), desi si aceasta ramane de verificat.

2.2.2. Estimarea prin metoda verosimilitatii maxime

Schmidt (1976) a observat ca criteriile de optimizare Aigner-Chu pot fi interpretate ca functii de lo-verosimilate pentru modele in care reziduurile dintr-un membru sunt distribuite exponential,

(2.10)

si semi-normal,

(2.11)

Aceasta se face pentru a dota estimatorii de programare cu o origine statistica. Apare o problema si anume ca gradientul celor doua log-verosimilitati are asteptari diferite de zero si ca Hessian-ii celor doua log-verosimilitati sunt singulari.

Este clar ca abordarea Aigner-Chu indeplineste scopul original. Dupa calcularea estimatorilor de programare in acest mod, putem compara reziduurile individuale,

(2.12)

Intre ele sau cu un standard absolut pentru a evalua gradul (in)eficientei tehnice reprezentate in esantion. Una din masuri ce caracterizeaza intregul esantion va fi

Ineficienta medie= (2.13)

Pentruo functie Cobb-Douglas sau alta functie log-liniara, contrapartida la masura lui Farrell va fi exp(), deci o alta statistica folositoare va fi

Ineficienta proportionala medie= (2.14)

Problema statistica cu estimatorii Schmidt apare ca o violare a conditiilor dintre cele mai obisnuite de regularitate, acelea ca intervalul variabilei dependente observate este dependent doar de parametrii estimati. Greene (1980) a aratat ca aceasta interpretare a fost prea ingusta si a propus un model bazat pe distributia gamma.

(2.15)

Modelul frontierei gamma produce un MLE, cu toate proprietatile cunoscute. In principiu, log-verosimilitatea poate fi maximizata prin metode cunoscute (cu restrictii asupra lui P si ).

2.2.3. Metoda ajustata a celor mai mici patrate

Parametrii pantei in toate modelele de frontiera pot fi estimati consistent prin deplasarea in sus a dreptei celor mai mici patrate suficient ca cel mai mare reziduu sa fie zero. Termenul constant corectat este “”. Masura eficientei rezultante este

(2.16)

Astfel, estimatorii absoluti ai masurilor de eficienta in acest model sunt calculabili direct folosind metoda obisnuita a celor mai mici patrate. In modelul frontierei gamma, “”, estimarea OLS a lui converge catre

(2.17)

Deci o alta abordare, daca este posibila, va fi sa corectam termenul constant folosind estimatii ale lui P si . Aceasta posibilitate va fi considerata mai jos.

Modelul gamma furnizeaza estimatii individuale ale eficientei tehnice.

(2.18)

Poate fi estimata cu reziduurile corectate aratate mai sus. O estimare a

(2.19)

este furnizata cu metoda celor mai mici patrate cu variante reziduale. Combinarea celor doua produce o medie standardizata

(2.20)

De retinut ca functiile estimatiilor OLS pot fi folosite pentru a obtine estimatii ale parametrilor structurali de baza. In special, estimatii consistente ale lui

(2.21)

si

(2.22)

sunt usor de calculat. Folosind aceasta corectie a termenului constant din metoda celor mai mici patrate obtinem ceea ce numin estimatorul COLS. Contrapartidele pentru cateva din celelalte modele sunt examinate mai jos. Pentru scopul actual, un alt parametru util de estimat este

(2.23)

2.3 Frontiera de productie stochastica

2.3.1 Modelul

Frontiera stochastica de productie este motivata de ideea ca abaterea de la “frontiera” de productie poate sa nu fie in totalitate sub controlul agentului care este studiat. In interpretarea frontierei deterministe din sectiunea trecuta, de exemplu, un numar neobisnuit de mare de echipamente leatoare esueaza, sau chiar daca este vreme rea, poate apare analistului ca ineficienta. Mai rau, orice eroare sau imperfectiune in specificarea modelului se poate transforma in masuri de ineficienta crescuta. Aceasta este o consecinta nedorita a specificatiei frontiere deterministe. O interpretare mai rezonabila este aceea ca orice producator individual se confrunta cu propria sa frontiera de productie si ca frontiera este aleator plasata pe intreaga multime de elemente stochastice care pot intra in model inafara controlului producatorului. O formulare adecvata in termenii unei functii de productie generale este:

(2.24)

(2.25)

Unde si nerestrictionat.

2.3.2. Specificare și estimare

Complementara perturbației dintr-un membru în modelul frontierei deterministe este ui. Membrul perturbației compuse ui este în mod obișnuit presupusă a fi valoarea absolută a unei variabile normal distribuite. Pentru un termen al ineficienței distribuit semi-normal, funcția de log-verosimilitate pentru acest model:

(2.26)

unde și Φ(.) este funcția de repartiție cumulată (cdf) a distribuției normale standard. Parametrul λ încorporează modelul ineficienței. Modelul regresiei simple rezultă din λ = 0. Implicația ar fi că fiecare firmă lucrează pe frontiera sa. Aceasta nu implică faptul că cineva poate testa ineficiența prin mediile obișnuite, deoarece valoarea polară, λ = 0 este la limita spațiului parametrului, nu în interior. Astfel, diferite tipuri standard de teste, cum ar fi testul multiplicatorului Lagrange (LM), au șanse mari de a ridica probleme.

Mai trebuie ținut cont de ceva. Modelul de mai sus este parametrizat în termeni de λ și 2. Se pare că coeficientul variantelor ar fi un indicator folositor pentru contribuția componentei ineficienței la toată varianta. Dar varianta variabilei aleatoare trunchiate repartizate normal ui este , nu . În descompunerea variantei totale în două componente, contribuția lui ui este .

În plus, pentru scopurile estimării, este mai convenabilă folosirea parametrizării totale. Ca și în cazul modelului gamma, există corecții la cele mai mici pătrate care pot fi calculate pe baza reziduurilor OLS. În particular, folosind momentele de ordin 2 și 3 ale reziduurilor m2 și m3, ecuațiile momentelor sunt:

(2.27a)

(2.27b)

Din moment ce , corecția termenului constant OLS este

(2.28)

Acești estimatori obținuți prin metoda celor mai mici pătrate corectată sunt consistenți, dar ineficienți în comparație cu estimatorii obținuți prin metoda verosimilității maxime. Rămâne de determinat gradul în care aceștia sunt ineficienți.

Waldman (1982) a evidențiat un anumit aspect al modelului semi-normal. În mod obișnuit, există două rădăcini ale funcției de log-verosimilitate, una la estimațiile celor mai mici pătrate obișnuită și alta la MLE. În teorie, repartiția perturbației compuse este înclinată către stânga. Dar, dacă modelul nu este bine specificat, poate apare cazul în care reziduurile OLS sunt înclinate în direcția opusă. În acest caz, rezultatele OLS sunt și cele ale MLE, și în consecință cineva poate estima termenii dintr-un membru ca fiind 0,0. Dacă apare acest caz, estimarea COLS a lui este nedefinită.

Ipoteza semi-normalității a atras multe critici și au fost sugerate câteva alternative. Meeusen și Van den Broeck au prezentat log-verosimilitatea și au asociat rezultatele pentru o perturbație distribuită exponențial.

(2.29)

și

(2.30)

Estimatorii obținuți prin cele mai mici pătrate corectate sunt calculați folosind

(2.31)

deci

(2.32)

(2.33)

și

(2.34)

Stevenson (1980) a afirmat că media zero presupusă în modelul lui Aigner, Lovell și Schmidt a fost o restricție necesară. El a furnizat rezultate pentru o distribuție trunchiată și opusă distribuției semi-normale. Adică, termenul de eroare dintr-un membru ui este dat ca fiind variabila obținută prin trunchierea la zero a distribuției variabilei cu media posibil diferită de zero. Log-verosimilitate relevantă este

(2.35)

În termenii parametrizării precedente, . Pentru interpretare, μ nu este informativ. Motivul este acela că scalarea variabilei de bază este arbitrară; unitățile lui μ sunt acelea ale lui , și nu unități naturale. Valoarea normalizată ar trebui dată dacă este folosită această variantă a modelului. Estimarea prin metoda verosimilității maxime prezintă o dificultate neobișnuită. Valoarea de început pentru iterații va fi dată de estimații pentru modelul semi-normal și de 0 pentru μ. Rămâne de analizat dacă acest nivel suplimentar de generalitate este garantat. Beneficiul este în mod evident relaxarea unei restricții posibil eronate. Costurile par să fie acelea că log-verosimilitatea este relativ netedă în μ. Astfel, estimarea unui μ diferit de zero mărește adeseori considerabil erorile standard ale altor parametri și, aproape frecvent, împiedică (întârzie) sau previne convergența iterațiilor. Deci nu există aplicații ale modelului normal trunchiat în afară de cel de față, de aceea este dificil să schițăm niște concluzii generale. Este de asemenea neclar cum restricționarea lui μ la zero afectează estimările eficienței.

Stevenson a mai furnizat câteva rezultate distribuția gamma/normală, dar și-a limitat atenția la forma Erlang (valoarea întreagă a lui P), care restricționează foarte mult modelul. Beckers și Hammond (1987) au derivat pentru început log-verosimilitatea. Greene (1990) a furnizat o formulare alternativă care evidențiază relația dintre modelul gamma și modelul exponențial considerat mai sus

(2.36)

unde atunci când z este distribuit normal cu media și dispersia . Termenii suplimentari sunt neglijabili dacă P egalează 1, furnizând modelul exponențial. Estimatorii prin metoda celor mai mici pătrate corectată sunt:

(2.37)

Modelele exponențial și normal trunchiat nu sunt mai greu de abordat decât modelul semi-normal. Formularea dată de Greene pentru modelul gamma a adus câteva diferențe semnificative față de specificarea semi-normală dintr-o aplicație empirică. Formulările lui Becker și Hammond (1987) s-au dovedit mai practice, dar aceasta rămâne de demonstrat. Dacă este așa, flexibilitatea crescătoare a densității gamma pentru ineficiență ar trebui să fie favorabilă.

În sfârșit, Kopp și Mullahy (1989) au dezvoltat estimatorii obținuți prin metoda generală a momentelor (GMM) pentru modelul frontierei stohastice care nu necesită decât ca distribuția lui vi să fie simetrică, ca repartiția lui ui să fie definită pe jumătatea pozitivă a axei reale, și ca momentele lui ui și vi până la ordinul șase să fie finite. Aceasta conferă un nivel mare de generalitate. În ipotezele făcute până aici, estimările prin metoda celor mai mici pătrate obișnuită din modelul cu termen constant ajustat satisfac ipotezele teoremei Gauss-Markov.

2.3.3. Estimarea reziduului ineficienței

Componenta ineficienței ui trebuie observată indirect. Reziduul, , estimează εi nu ui. Jondrow, Lovell, Materov și Schmidt (1982) prezintă o formă explicită pentru modelul semi-normal:

(2.38)

unde Φ(.) = densitatea repartiției normale standard. Pentru modelul normal trunchiat, complementara este obținută prin înlocuirea lui cu . Expresiile pentru modelele exponențial și gamma sunt:

(2.40)

și respectiv

(2.41)

Acestea permit estimații nedeterminate și neconsistente ale lui ui. (Sunt inconsistente datorită lui N care poate fi oricare, varianta estimării rămâne diferită de zero, și nu deoarece ele converg către cantități diferite.)

Inconsistența lui ui este din păcate datorită faptului că scopul exercițiului cu care am început este de a estima ineficiența. Problema este similară cu aceea de a previziona variabila dependentă într-un model de regresie liniară. Predicția de regresie are eroarea medie pătratică minimă dată, dar nu există vreo asigurare cum că previziunea este bună în sens absolut. Aceeași logică se aplică aici. Putem scrie:

(2.42)

Acum, dacă partea „sistematică” a acestei regresii este un bun predictor în sens absolut, se reflectă în măsura corelației:

(2.43)

Aceasta poate fi mare sau mică. Forma precisă (explicită) a expresiei rămâne să fie dezvoltată și, în orice eveniment, rezultatul fără dubii dependent de date. Lucrurile se îmbunătățesc în cazul unui panel de date. În contextul ecuației precedente, într-un panel de date suntem capabili să calculăm o medie a zgomotului diferită de expresia lui ui. Deci vom avea o observație asupra lui ui plus un termen care tinde la zero.

În final, pentru modelele în care logaritmul rezultatului (outputului) apare în partea stângă, rezultatul lui Battese și Coelli (1988) pentru modelul cu efecte aleatoare pe un panel în cazul unei singure observații este:

(2.44)

unde și .

Ambele estimații se pot baza pe estimații prin metoda celor mai mici pătrate corectată, cât și pe estimațiile parametrilor prin metoda verosimilității maxime.

2.4. Costurile de producție și alte formulări

2.4.1. Necesitatea diminuării costului de producție

Economia, ca stiință și activitate practică, precum și comportamentul economic, ca expresie a implicării agenților economici în această realitate, se raportează, în esență, la necesitatea gospodăririi optime a resurselor obiectiv limitate în vederea satisfacerii cât mai depline și echilibrate a trebuințelor nelimitate și în continuă diversificare.

Unitățile economice, în activitatea pe care o desfășoară, atrag și utilizează factorii de producție – munca, natura și capitalul. Expresia bănească a consumurilor factorilor de producție utilizați pentru producere și desfacerea bunurilor economice se numește cost de producție. Cunoașterea nivelului, structurii și dinamicii costului este indispensabilă producătorului pentru desfășurarea unei activități optime.

Costul de producție este expresia în bani a factorilor de producție consumați pentru fabricarea și desfacerea mărfurilor. Alături de alte categorii bănești ca prețul, creditul, etc., costul de producție asigură măsurarea în bani a consumului de factori de producție la nivelul unității economice, fiind un instrument în gestionarea rațională a factorilor de producție, necesari oricărui întreprinzător.

Producătorul are ca obiectiv fie maximizarea profitului, fie determinarea combinației factorilor de producție astfel încât să se realizeze o anumită cantitate de produse la un cost minim.

Desfășurarea activității unei firme poate fi sintetizată prin utilizarea unor indicatori care ne informează asupra evoluției în timp a acesteia. Societatea, având statutul de monopol pe piață, produsele și serviciile care se execută sau se prestează se facturează pe baza prețurilor și tarifelor stabilite.

În sistemul conceptelor economice care se folosesc în țările cu economie de piață, costul de producție ocupă un loc deosebit de important, prin funcțiile pe care le îndeplinește. Costul de producție constituie criteriul principal de fundamentare a deciziilor întreprinzătorilor privind asimilarea în fabricație a noilor produse. Numai prin estimare simultană cât mai exact a cheltuielilor de producție și a prețului prezumtiv de vânzare a mărfurilor se poate aprecia dacă veniturile obținute vor depăși cheltuielile și se va obține rata de rentabilitate acceptabilă. De aceea, calcularea costului de producție se impune a se face înainte de a se trece la producția propriu-zisă, ca o componentă esențială a proiectului tehnico-economic.

Costul de producție este și un indicator de referință a nivelului eficienței economice. Urmărirea nivelului real al cheltuielilor de producție oferă agenților economici posibilitatea să cunoască volumul factorilor de producție consumați și eficiența acestor consumuri, comparativ cu normele de cheltuieli prevăzute sau cu nivelul consumurilor realizate de către firmele concurente. Prin toate acestea, costurile stimulează întreprinderile să introducă progresul tehnic, să ridice calificarea lucrătorilor, să organizeze științific producția și munca, să gospodărească cu eficiență maximă factorii de producție.

Ca parte componentă a prețului de vânzare, costul de producție constituie indicatorul esențial pentru stabilirea prețului oferit de vânzător în actul de negociere a mărfii cu agenții economici cumpărători. Cunoscând nivelul exact al cheltuielilor de producție, vânzătorul va ști între ce limite poate să negocieze prețul de vânzare, astfel încât să-și recupereze aceste cheltuieli și să obțină și un profit.

Factorii de care depinde evoluția costului mediu:

consumul de factori de producție pe unitatea de produs;

nivelul productivității;

prețul factorilor de producție utilizați, care se formează pe piață, adică prețul la care se achiziționează materii prime, materiale, mașini, combustibili, utilaje, salariile ce trebuie plătite lucrătorilor etc.

2.4.2. Importanța reducerii costului:

Comportamentul producătorului rațional față de cost rezultă direct din scopul obiectiv al activității sale — maximizarea profitului — care trebuie să se bazeze pe raționalitate în mobilizarea și alocarea resurselor, pe spirit de competiție și cunoaștere bazată pe calcul economic. Pentru a-și spori profitul, el ar trebui să măreasca volumul producției vândute. Cum orice întreprinzător se confruntă cu unele restricții, printre care caracterul limitat al resurselor economice și cu prețurile factorilor de producție și ale mărfurilor date de piață, în condițiile concurenței perfecte, va putea să-și realizeze scopul reducând consumurile specifice cu factorii de producție sau, altfel spus, mărind randamentul factorilor. Deciziile producătorului depind de elasticitatea cererii. În situația unei cereri elastice, el va maximiza producția cu costul total global; în condițiile unei cereri inelastice, va minimiza costul total global pentru obținerea unei producții date. În acest ultim caz, are loc o eliberare de resurse economice cu care agentul economic va trece la organizarea fabricării unor noi produse, lărgind oferta de bunuri și/sau servicii. Reducerea costurilor materiale de producție exprimă, în аce1ași timp, gospodărirea rațională a resurselor naturale — petrol, gaze naturale, minereu de fier, lemn etc. — grija pentru mediul natural, responsabilitatea pentru dezvoltarea economico-socială durabilă.

Până aici, s-au făcut mici observații privind reprezentările alternative ale tehnologiei incluzând funcțiile de cost, profit, venit și de distanță. Să considerăm, de exemplu, frontiera de cost stochastic:

(2.45)

Ajungem la un model cu eroare compusă. Orice erori în deciziile de producție vor trebui traduse (transformate) în costuri de producție mai mari decât norma teoretică. La fel, în contextul funcției de profit și venit, orice eroare de optimizare va fi în mod necesar transformată în profituri sau venituri mai mici pentru producție. Dar, în același timp, natura stochastică a frontierei de producție implică faptul că frontiera teoretică de cost minim va fi de asemenea stochastică.

Interpretarea termenilor ineficienței este complicată puțin prin abordarea duală a estimării. Să presupunem că în partea productivă a modelului, reprezentarea termenului eroare dintr-un membru ca o pură reflecție a ineficienței tehnice este potrivită. Calculul este condiționat de inputurile alese, deci dacă alegerea inputurilor este ea însăși eficientă alocativ sau nu este unul din rezultate, deci unul important. În ceea ce privește costul, oricum, orice eroare de optimizare, tehnică sau alocativă, trebuie să arate costuri mai ridicate. Un producător, pe care îl considerăm ca operând tehnic eficient printr-o măsură a funcției de producție, va trebui să apară ineficient față de funcția de cost. Câteva aplicații recente care s-au bazat pe funcțiile de cost au făcut aceasta mai explicit prin descompunerea suplimentară a termenului stochastic în/din funcția de cost pentru a obține:

(2.46)

unde, este strict atribuit ineficienței alocative. Această descompunere este studiată în următoarea secțiune.

În absența veniturilor constante la scală, chiar cu o eficiență alocativă, există o ambiguitate în interpretarea erorii dintr-un membru din membrul costului. Să luăm o funcție de producție Cobb-Douglas fără ineficiență alocativă. Dacă funcția de producție este Cobb-Douglas:

(2.47)

Atunci:

unde (2.48)

și

De aceea, economiile la scală (>1) tind să diminueze efectul ineficienței tehnice. Evident, simpla interpretare a erorii dintr-un membru din membrul costului ca o măsură Farell a ineficienței este nepotrivită chiar dacă măsura este redefinită în termenii costurilor, nu în cei ai outputului. Adică, cineva va trebui să aleagă să facă costuri, mai mult decât output, față de care se calculează standardul eficienței. Cel puțin în acest context aceasta nu este mai mult decât o problemă de interpretare. Pe de cealaltă parte, este clar că prin anumite prelucrări suplimentare, eficiența estimată obținută în contextul unei funcții de cost poate fi trasnformată într-o măsură Farell a ineficienței tehnice, adică prin înmulțirea ei cu .

Pentru cazul simplu de mai sus în care funcția de producție este liniar omogenă, efectul economiilor la scală se poate îndepărta prin rescalarea perturbației estimate. Este posibilă o ajustare corespunzătoare în modelul translog (transformatei logaritmice). Să presupunem că funcția de producție este omotetică, dar nu este omogenă, și, ca mai înainte, ca:

(2.49)

Atunci,

(2.50)

Formularea de mai sus a lui Scmidt este în mod clar un caz special. Chiar dacă este liniară în . Așa cum este atunci când funcția de producție este omogenă, ineficiența tehnică poate fi transferată funcției de cost într-o manieră foarte complicată. De exemplu, în modelul translog (transformatei logaritmice) cu frontiera de producție omotetică,

(2.51)

Substituita duce la

(2.52)

Cel de-al doilea termen apare în termenul ineficienței. În alte modele ne așteptăm să apară ceva similar. Ipoteza obișnuită ca din funcția frontierei de cost poate varia independent de poate fi problematică. Rezultatul faptului că este exogen, în estimarea unei funcții de cost a apărut mai devreme de 1963 la Nerlove. Argumente similare se aplică și unei funcții de profit. Aceasta nu implică formularea, dar cineva ar putea avea în gând posibilele ambiguități în interpretarea acestor alternative ale modelului. Ar avea mai mult sens, atunci, să reetichetăm rezultatul din membrul costului drept „ineficiența costului”. Interpretarea strictă a ineficienței tehnice în sens Farell poate fi problematică. Argumentul că există o frontieră a costului care se aplică oricărui producător dat nu este validă. Deviațiile de la frontiera costului pot fi atunci interpretate drept totalul ineficienței tehnice și alocative. În același timp, ambele ineficiențe au o interpretare comportamentală, și oricare ar fi efectul indus care este transferat în membrul producției. Aceeași logică este transferată asupra unei funcții de profit. Logica acestui argument este că tehnicile de estimare care descompun ineficiența costului într-o ineficiență tehnică și într-o măsură corectă Farell a ineficienței tehnice pot omite să ia în considerare influența directă a outputului însuși, asupra ineficienței reziduale odată ce este luată în considerare ineficiența alocativă.

2.5. Măsurarea eficienței alocative

Este clar din cele de dinainte că măsurarea eficienței alocative, adică măsura în care alegerile inputului eșuează în satisfacerea echivalenților marginali pentru minimizarea costului, este în aparență ținta modelului frontierei de producție. Au fost sugerate câteva abordări (studii) ale măsurării ineficineței alocative.

Funcția de cost furnizează un cadru comod pentru analizarea ineficienței alocative. Este o specificare comodă pentru tehnologiile cu output multiplu. În al doilea rând, lema lui Shephard furnizează direct o mulțime de alegeri ale inputului care sunt și tehnic și alocativ eficiente.

Kopp și Diewert (1982) abordează problema analizând cererile care minimizează costul implicate de lema lui Shephard. Izocuanta eficientă este notată , iar alegerea inputului actual este notată . Vectorul inputului tehnic eficient, relativ la este notat astfel încât măsura Farell a eficienței tehnice a lui este , unde arată lungimea vectorului . Linia arată indicele prețului observat. Punctul de input al eficienței tehnice alocative, știind outputul Q, și vectorul de input observat al prețului, , este . Costurile de producție în punctul sunt aceleași ca în punctul , astfel că măsura eficienței alocative este . Să observăm că este pur și simplu o cotă de nivel. Măsurile dau creșterea numai în costuri atribuite unui mix de input suboptimal. Prin construcție, mixul de inputuri în este același cu cel în . „Eficiența totală” sau „eficiența costului” este atunci .

Aceste măsuri ale eficienței pot fi calculate dacă cei doi vectori de input, și , pot fi deduși din informații cunoscute. Kopp și Diewert sugerează următoarele: să obținem o estimare a funcției de cost minim, să zicem , unde denotă vectorul input observat al prețurilor. Notăm prin costul minim al producției y la . Componentele vectorului pot fi deduse cu următoarele ecuații:

Mixul de input (coeficientul (indicele) inputului factorilor) al lui și este același.

i=1,…., N-1 (2.53)

Costul total de producție la este același cu acela la .

(2.54)

Membrul drept al tuturor celor N ecuații este observat, ultimul ca un cost previzionat din frontiera costului estimat. Ne amintim că raportul este cunoscut. Soluția pentru este conținută în:

(2.55)

Vectorul soluție este de ori ultima coloană a inversei matricei din stânga, care dă vectorul coloană , unde este partea de cost a factorului și este un element al vectorului de input al prețului la care minimizează costurile.

Putem calcula eficiența totală. Pentru a calcula componenta eficienței alocative avem nevoie de vectorul . Kopp și Diewert au observat că există un anumit vector al prețurilor pentru care este eficient alocativ. Ei au sugerat derivarea simultană a celor N-1 prețuri relative în și cele N elemente ale lui prin folosirea:

Egalitatea mixului de inputuri ale factorilor și

i=1, …., N-1 (2.56)

Sistemul cererii implicat de lema lui Shephard:

i=1, …, N (2.57)

Aceasta furnizează o mulțime de N-1 ecuații liniare și N ecuații neliniare pentru obținerea celor N cereri de factori și celor N-1 prețuri relative de input. Știind , componenta eficienței alocative a eficienței totale se poate calcula. Kopp și Diewert și-au ilustrat tehnica cu o funcție Cobb-Douglas de cost, neomotetică și transformată logaritmic. Elementele soluției pentru îndeplinesc aceeași relație de proporționalitate ca și , adică 1. Rezolvarea și pentru elementele rămase, este posibilă cu o funcție de cost Cobb-Douglas. Schmidt și Lovell (1979) dau relația explicită:

(2.58)

unde, și .

Pentru parametrii funcției de cost, este posibil să deducem direct parametrii funcției de producție. Sistemul pentru elementele nescalate ale lui este atunci terminat (închis) prin substituirea lui într-o funcție de producție, și inversând cu valoarea cunoscută a lui Q pentru a rezulta a N-a ecuație,

(2.59)

Frontiera costului folosită de către Kopp și Diewert este o extindere a funcției de cost neomotetice a lui Christensen și Greene (1976),

(2.60)

unde „t” este indicatorul pentru perioadele de timp – ei au folosit date de genul seriilor de timp agregate. Restricțiile diferiților parametri au necesitat impunerea ipotezei omogenității de grad zero a prețurilor inputurilor. Sistemul cererii este:

(2.61)

Parametrii funcției de cost sunt estimați primii, in cazul lor prin utilizarea unei tehnici de regresie aparent iterativa. Funcția de cost este atunci folosită in cei doi pași discutați mai sus, A doua mulțime de ecuații de rezolvat (iterativ, prin metoda iui Newton) este :

Sistemul de 2N-1 ecuații poate fi redus la unul de N ecuații prin substituirea ultimelor N-1 ecuatii in membrul stâng al primelor N-1. Necunoscutele sunt cele N-1 preturi relative si . Se mai poate face reducerea la.N-1 ecuații prin împărțirea lui din primele N-1 ecuații la pentru a obține ai si apoi impartind termenul costului nu prin ci prin care egalează după lema lui Shephard. Desigur ca este mai simpla substituire a celo N ecuații in primele N-1.

Kopp si Diewert au argumentat ca ca aceasta tehnica a fost aplicabila doar funcțiilor de cost ale frontierei deterministe.Daca funcția de cost ar fi fost frontiera stochastica, singura diferența de calcul ar fi adăugarea unei estimări a lui la .

Rezultatul acestui exercițiu depinde de valoarea folosita pentru . Aceasta, la rândul ei, depinde de cum este tratata natura frontierei funcției de cost. Cum modelul lor a fost estimat printr-o varianta a celor mai mici pătrate, sunt necesare mai multe corecții.

In cuvintele autorului, „pentru a transforma media rezultanta a funcției de cost intr-o frontiera, am alterat cativa parametri de ordin mai mare si termenul liber Rezultatul este o funcție non-neutral deplasata care are caracteristicile unei frontiere intregi”. Merita sa evidențiem importanta ajustării funcției de cost in estimările finale. Sa observam de exemplu, ca ajustarea proporționala a lui tranforma unitate cu unitate intr-o estimare a eficientei tehnice estimate. Metoda lui Kopp si Diewert este o soluție creativa la problema măsurării ineficientei tehnice si alocative.

O a doua posibilitate este de a estima, direct, sistemul cererii si masusura eficientei tehnice. Ca un simplu exemplu, Schmidt (1977) prezintă următorul sistem al cererii derivat dintr-un model al frontierei stochastice:

Implicația este aceea ca cererile de factori sunt toate mărginite inferior de către cererea de factori care minimizează costul asociata cu outputui pe frontiera stochastica. Acesta este un rezultat nesatisfacator care implica faptul ca rapoartele (coeficienții "ratios") factorilor sunt eficiente (eficienți). Pe de alta parte, o confirma si observația anterioara, ineficienta aloeativa ar trebui modelată separat de ineficienta, tehnica.

O abordare alternativa este aceea referitoare la cererile care minimizează costul,

unde partea determinista a membrului drept RHS este cererea de factori care minimizează costul, si reprezintă abaterea, sau ineficienta alocativa. Având aceasta formulare, ar putea fi mai convenabil sa modelam . Schmidt (1986) a extins modelul lui Cobb-Douglas de mai sus pentru a include un sistem al cererii:

unde are repartiție normală multivariată. Sistemul cererii poate fi estimat împreună cu frontiera de cost. Dificultatea în acest caz, care este recurent, este ca relația intre și perturbația din modelul frontierei de cost fac estimările foarte complicate chiar și in cel mai simplu dintre modele.

Un număr de studii au poziționat funcțiile de cost si sistemele de cereri asociate:

unde este costul pentru cel de-al „j”-lea factor. Exemplele includ pe Greene (1980), Kumbhakar (1991) și Ferrier și Lovell (1990). Greene presupune că există o legătura între și dar acest model le tratează ca fiind independente (și-l omite pe ). Următorii modelatori au încercat să formuleze astfel de relații. Ferrier si Lovell au impus restricția

cu și , care rezolvă problema. Dar ei au mai presupus ca ineficientele alocative sunt aceleași pentru toate observațiile, ceea ce limitează generalitatea metodei. Kumbhakar extinde modelul lui Frrier si Lovell prin impunerea condițiilor din lema lui Shephard asupra perturbațiilor în funcția de cost. El a impus relația , apoi a determinat implicațiile pentru și a formulat log-verosimilitatea.

Rezultatul sau este specific unei funcții de cost translog (transformata logaritmic) corespunzând unei funcții de producție neomotetice, dar acest model pare sa se fi dovedit destul de general pentru analiză.

Câteva studii recente au abordat ineficienta in tennenii unei firme maximizatoare de profit folosind fie o funcție de producție si condițiile de ordinul I pentru maximizarea profitului fie o funcție de profit si, prin lema Hitelling, sistemul cererii implicit. Prima

abordare este ilustrata de Kalirajan (1990), al cărui sistem de estimare a constat in funcția de producție transformata logaritmic,

si intr-o mulțime de „condiții de productivitate marginală”,

Termenii ineficientei sunt u, componenta tehnica, si vectorul w, componentele aîocative. O funcție a log-verosimilitatii este formulata pe baza unei repartiții normale combinate pentru w si o evoluție independenta a lui v si u. A doua abordare este ilustrata de Kumbhakar (1987), care formulează si estimează o funcție de profit pe baza unei funcții de producție Gobb-Douglas si a unei mulțimi de ecuații ale cererii care sunt de fapt aceleași cu ale lui Kalijaran. Alte referințe care simt bazate pe aceasta abordare includ Kumbhakar (1989), Seale (1990), si Kumbhakar si Bhattacharyya (1991). Ultimul a studiat o noua abordare pe baza unei funcții de profit "umbra" (shadow profit function) care provine din funcția profitului "frontiera" atunci când producătorul este ineficient.

întrebări de genul cum sa integram funcția inițiala si sistemul, cererii in aceeași măsura in funcție de profit, cost si funcțiile de producție. Specificarea unui sistem al cererii conținând perturbații in ambii membri derivați prin diferențiere dintr-o funcție de cost care conține o perturbatie agregata într-un membru reprezintă o problema greoaie. Sa consideram formularea sugerata de către Kumbhakar:

unde a reprezintă mulțimea termenilor ineficienței alocative care apar în ecuațiile factorului,

Dificil este sa justificăm forma quadratică in a in funcția de cost si forma liniara in a in ecuații fara sa presupunem ca a este doar o frunctie liniara de ln w. Diferențierea se face in funcție de ln w, nu de a.

O specificare care este corespunde cu lema lui Shephard si care permite'variația independenta a ineficientei alocative si a preturilor inputului ramane sa fie operationalizata. Sa consideram următorul candidat: Fie a un vector N51 al perturbatiilor, distribuit normal cu media 0 si matricea de covarianta, unde N este numărul de factori de producție. Fie funcția de cost

unde

v – variația stochastica a frontierei;

u – ineficiența tehnică, u0;

A – ineficiența alocativă, A0.

Prin lema lui Shephard,

Din moment ce suma factorilor este 1, înseamnă ca și ca

ceea ce era de așteptat, știind ca funcția de cost si cele distribuite pe fiecare factor sunt pe deplin determinate de cele N-l preturi relative. Caracteristicile lui A sunt ușor deschise.

Scriem:

unde .

Exponentul variabilei distribuite normal are o distribuție log-normala, si produs de log-normale este distribuit log-normal A | w are o repartiție normală de medie

și dispersie .

Aceasta prinde esența formulărilor lui Schmidt si Kumbhakar, dar inca permite eficientei a si preturilor factorului w sa varieze independent. A este heteroscedastica.

Exista un număr de probleme de rezolvat inainte ca aceasta sa fie făcuta operaționala. Luând in considerare doar funcția de cost, perturbatia compusa este suma de normala, log-normala, si oricare repartiție este presupusa pentru u, de obicei normala truncheata. Relația intre perturbatia in funcția de cost, A, si ecuații, &,A, ramane de stabilit.Condiționata de w:

Așteptarea interioară este

Variabila dintre paranteze este distribuită log-normal. Medie este completarea unei expresii date înainte, dar omițând . Notăm această medie . Reunind termenii,

Semnul acestei expresii este nedeterminat, deoarece este o funcție de wt si ai este distribuit normal. Având aceasta așteptare notata #, ecuația este

Aceasta completează specificarea. Evident ca procedurile de estimare raman o problema dificila. Estimarea combinata a ecuațiilor prin proceduri SURE este improbabil ca va furniza estimații consistente ale parametrilor. Deși perturbatia are media zero, termenul constant este o funcție de w care diferă de-a lungul observatiilor.Estimarea prin

cele mai mici pătrate a funcției de cost este de asemeni inconsistenta. In cele mai multe cazuri, termenul ineficientei A este dependent de w. De aceea, din moment ce A are o medie neconcordanta, nu înseamnă ca cele mai mici pătrate vor transfera pur si simplu termenul constant in acest model. Formularea unui estimator prin metoda verosimilității maxime a informației complete pare a fi o problema complicata, dar poate furniza singura modalitate inafara acestor restricții. Se pare ca acele dificultăți asupra succesiunii (ordinii) anterioare trebuie inevitabil însoțite de o specificare completa interna si consistenta. Pe de alta parte, problema nu pare inabordabila. Sistemul translog este in mod special la îndemâna pentru aceasta specificare datorita maleabilitatii repartiției funcțiilor de distribuție log-normala.

O alta. abordare a estimării ineficientei alocative este examinarea cererilor observate pentru a stabili daca ele sunt cereri minimizatoare de cost consistente cu preturile observate. Invers., cineva poate încerca sa stabilească mulțimea de preturi pentru care cererile de factori observate minimizează costul. Abaterile acestor "preturi percepute'' de la preturile actuale observate sunt luate drept prezenta a ineficientei alocative. Exemple au dat Sickles, Good si Johnson (1986) si Eakin si Kniesner (1988). Eakin si Kniesner estimează o transformata logaritmiea a funcției de cost si sistemul cererii de forma:

Parametrii reprezintă abaterile prețurilor umbră de la prețurile actuale, astfel că ei sunt măsurile ineficienței în acest model.

Estimarea simultana a ineficientei tehnice si alocative ramane o cale relativ bătuta in literatura de acest gen. Rezultatele lui Kumbhakar sugerează ca este posibil sa calculam un estimator combinat, ("joint estimator"). Dar, ramane problema împăcării estimării ineficientei alocative furnizate de o funcție de cost estimată cu măsura Farreli.

Daca funcția de producție este neomotetica, aceasta relație ramane obscură.

Capitolul 3

DEA. Eficienta si productivitate

3.1. Tehnici de programare matematica in masurarea eficientei

Masurarea eficientei productive are importanta teoretica si practica; masurarea eficientei tine seama de testarea empirica a argumentelor teoretice si de planificarea economica ce imbunatateste productivitatea in industria privata. Abordarea lui Farell, inspirata dupa Koopmans (1951), a fost bazata pe multimea posibilitatilor de productie plecand de la vectorii input-output. Acest cadru a fost generalizat pentru mai multe output-uri si reformulat ca o problema de programare matematica de Charnes, Cooper so Rhodes, aparand programarea matematica folosita la masura eficientei cunoscuta cu Data Envelopment Analysis (DEA).

Charnes, Cooper si Rhodes descriu in studiile lor metodologia DEA ca un „ model de programare matematica aplicat pe datele observate care deschide o noua modalitate de obtinere a estimatiilor empirice din relatiile de extrem care constituie o piatra de temelie a economiei moderne.Incepand cu acel articol au aparut in literatura numeroase modele DEA.

DEA cu varietatea sa de modele actuale acopera o mare parte din diferitele abordari ale masurii eficientei. In dscutia ce urmeaza vom clasifica diferitele modele cu respectarea tipului suprafetei infasuratorii, masura eficientei, orientare sau focar si efectul schimbarilor de scala.

3.1.1. Suprafata infasuratoare

Functia de productie poate fi interpretata ca formand baza pentru descrierea relatiilor input-output in firma. Alternativ, functia de productie constituie o frontiera pentru multimea posibilitatilor de productie. Calcularea eficientei se face relativ la aceasta frontiera daca ea este cunoscuta. Totusi, in practica, se dispune doar de date – un set de observatii pentru fiecare unitate de decizie (DMU), corespunzator realizarii nivelului de output pentru un nivel dat de input. Scopul initial este sa deteremine fiecare multime a DMU-ului ca reprezentare a datelor observate, forma functiei de productie empirice sau suprafata infasuratorii.

Presupunem ca exista n DMU-uri pe care vrem sa le evaluam. Fiecare DMU consuma o cantitate variabila de m input-uri diferite pentru producerea a s output-uri diferite. DMU-ul l consuma cantitatea xil>0 din input-ul i si produce cantitatea yrl>0 din output-ul r. Vom folosi notatiile Xl si Yl care reprezinta vectorul valorilor de intrare si de iesire pentru DMUl.

Fiecare din modelele DEA determina acele decizii din cele n decizii de productie care determina suprafata infasuratoare. Suprafata infasuratorii este raportata la functia empirica de productie sau frontiera eficienta. DEA furnizeaza o analiza cuprinzatoare a eficientei relative pentru situatia multi-input, multi-output din evaluarea fiecarui DMU si masurarea performantelor la suprafata infasuratorii altor DMU-uri. Decizia care determina suprafata este denumita eficienta in terminologia DEA, iar cea care nu determina suprafata este denumita ineficienta si analiza furnizeaza masura eficientei lor relative.

Exista doua tipuri primare de suprafete infasuratoare in DEA: cu randamente constante (CRS) si cu randamente variabile (VRS).

3.1.2. Suprafete infasuratoare cu randamente variabile

Suprafata infasuratoare VRS reprezinta o portiune din hiperplanurile Rm+scu fetele formei particulare a partii exterioare convexe; contine punctele(Yj,Xj),j=1,..n.

Ecuatia generala pentru hiperplanul Rm+s cu parametrii (μ1, μ2,…,μs, -ν1, -ν2,…, -νm) este data de .Un hiperplan este un hiperplan suport daca si numai daca toate punctele (Yj, Xj) se afla deasupra sau dedesubtul hiperplanului, si in plus, hiperplanul trece prin cel putin unul din puncte. Aceste conditii pot fi scrise astfel:

pentru toti j

pentru toti k

Prima conditie identifica ca portiunea partii exterioare convexe cu demonstrarea valorii celui mai inalt nivel de output si/sau celui lai scazut nivel de input, in timp ce conditia a doua asigura ca hiperplanul trece prin cel putin unul din puncte.

Conditiile precedente se refera la urmatoarea problema de programare liniara pentru DMUl.(Reamintim ca xij si yrj sunt valori observabile deci cunoscute; variabilele sunt μr, νi si ω). Pentru o solutie fezabila (μr, νi , ω) DMUj intotdeauna de afla pe sau sub hiperplan , cu respectarea restrictiilor asupra lui j. Astfel, multimea de restrictii asigura ca toate punctele se afla sub hiperplan. Obiectivul functiei masoara distanta de la DMUl la acest hiperplan. Maximizarea obiectivului functiei alege hiperplanul care m inimizeaza aceasta distanta.Observam ca valoarea functiei obiectiv este nonpozitiva; de aici o valoare optima zero indica faptul ca DMUl se afla pe hiperplan. DMU-ul ineficient se afla sub cel mai apropiat suport al hiperplanului si astfel corespunde unei valori a functiei obiectiv diferita de zero.

VRSM(Yl,Xl):

pentru j=1,…,n

μr≥1 pentru r=1,…,s

νi≥1 pentru i=1,…,m

Observam ca pentru a anliza DEA este nevoie de solutiile a n probleme de programare liniara de forma de mai sus, una pentru fiecare decizie de productie l. Solutia optima a fiecarui program, VRSM(Yl,Xl), este dat de un vector de dimensiune s-μ1, de un vector de dimensiune m- ν1 si o variabila ω1. In literatura, aceste valori sunt explicatii ca multiplicatori virtuali. Astfel, problema de programare liniara, VRSM, este atribuita spre partea multiplicatorului. Programul se adreseaza direct caracterizarii eficientei: o decizie de productie 1 este eficienta daca se afla pe hiperplanul care determina fateta μ1y-ν1+ω1=0 a suprafetei infasuratoare.

Fiecare din cele n multimi de valori obtinute, { μ1, ν1, ω1}, 1=1,2,…,n sunt coeficientii sau perpendicularele pentru hiperplanul suport care defineste fatetele suprafetei infasuratoare. Cititorii nu vor presupune ca din cele fiecare n programe VRSM (Yl,Xl) conduc la hiperplanuri distincte; in realitate, hiperplanul suport pentru un DMU eficient foloseste ca un hiperplan suport de inchidere pentru un DMU ineficient.

Precedenta problema multiplicatoare conduce la o identificare partiala a structurii fetei de baza. In particular, DMU-ul eficient care se afla pe hiperplanul suport este asociat cu restrictiile obligatorii. O mai buna reprezentare a acestei fatete se poate face rezolvand problema duala.

Din rezolvarea problemei de programare liniara in forma primara si duala se dovedeste ca solutiile sunt echivalente.

Programul liniar dual are urmatoarea forma:

VRSE(Yl,Xl):

r=1,…,s

i=1,…,m

j=1,…,n

r=1,…,s

i=1,…,m

Solutia optima la VRSE(Yl,Xl) pentru DMUl este data de vectorul de dimensiune s a deficientei de output s1, de vectorul de dimensiune m a excesului de input, e1 si de vectorul de dimensiune n, λ1. O examinare in amanunt a solutiei optimale pentru DMUl arata daca este eficienta si se afla pe suprafata infasuratoare. Stim, din teoria de dualitate a programarii liniare, ca fiecaruia din acest λlj>0 se afla pe hiperplan in (μ1,ν1), de asemenea avem:

Fiecare decizie de productie j={j/ μ1Yj- ν1Xj+ω=0} este eficienta si se afla pe hiperplanul μ1y- ν1x+ ω1=0 care definesc o fateta a suprafetei infasuratoare.

Vectorul λ1defineste un punct care este o combinatie convexa a deciziilor ce se afla pe o fateta a suprafetei

infasuratoare. Daca λ1j=1, λ1j=0 pentru j≠1, atunci DMUl se afla pe suprafata infasuratoare si este eficienta. Astfel pentru o DMU1 eficienta. Pentru o DMU1 care este ineficienta, adica nu se afla pe suprafata infasuratoare, ne vom referi la punctul ca la un punct proiectat.

Din restrictii reiese ca punctul proiectat poate fi echivalent in expresie cu:

Aceasta explica referirae noastra la anterioara la vectorul s1 ca vector al deficientei de output si la vectorul e1 ca vector al excesului de input. Acesti vectori determina distanta dintre DMU (Y1,X1) si punctl lor proiectat pe suprafata infasuratoare. Deoarece problema VRSE exprima punctul proiectat ca combinatie de DMU-uri pe suprafata infasuratoare, aceasta problema de programare liniara de termina forma infasuratorii.

Relatia dintre deficienta de output, excesul de input si multiplicatori este dat de urmatoarele conditii din teoria duala a programarii liniare.

slr>0=>μlr=1 r=1,…,s

eli>0=>νli=1 i=1,…,m

3.1.3. Suprafete infasuratoare cu randamente constante

O suprafata infasuratoare CRS consta in hiperplanul Rm+s ca fetele formei particulare a partii exterioare conice a punctelor (Yj,Xj), j=1,…,n. In contradictie cu suprafata anterioara, toate hiperplanurile suport pentru o infasuratoare CRS trec prin origine.

Astfel ω=0, si ecuatia pentru hiperplan se reduce la .Astfel o forma a fetei hiperplanului este suprafata infasuratoare CRS daca si numai daca:

pentru toti j

pentru toti k

Programul multiplicator CRS care urmeaza este consecinta directa a conditiilor de mai sus pentru suprafata infasuratoare CRS.

CRSM(YL,XL):

pentru j=1,…,n

μl≥1 pentru r=1,…,s

νi≥1 pentru i=1,..,m

Pentru analiza DEA este nevoie de solutiile a n probleme de programare liniara de forma de mai sus, una pentru fiecare decizie de productie 1. Solutia optima a problemei multiplicatoare pentru DMUl este dat de un vector de dimensiune s-μl, de un vector de dimensiune m-νl si o variabila ωl. Pentru o infasuratoare CRS, DMUl este eficient dacase afla pe hiperplanul care determina fateta μly-νlx=0 a suprafetei infasuratoare. Fiecare din cele n multimi de valori obtinute, {μl, νl},l=1,2,…,n sunt coeficientii sau perpendicularele care definesc o fateta a suprafetei infasuratoare.

Programul liniar dual are urmatoarea forma:

r=1,…,s

i=1,……,m

j=1,…….,n

r=1,……..,s

i=1,……..,m

Valorile optimal ale variabilelor, pentru problema înfășurătoare a deciziei de producție l, sunt date de vectorul de dimensiune s a deficienței de output sl, de vectorul de dimensiune m a excesului de input, el și de vectorul de dimensiune n, . Știm, din teoria de dualitate a programării liniare, că fiecăruia din acești , corespondența restricției duale j este obligatorie, adică,

Astfel, fiecare decizie de producție este eficientă și se află pe hiperplanul care definește o fațetă a suprafeței înfășurătoare. Hiperplanul, care trece prin origine, definește o fațetă a suprafeței înfășurătoare. Pentru că DMU1 să fie efficient trebuie neaparat să se afle pe acestă fațetă.

Ca înainte, vectorul definește un punc care se află pe suprafața înfășurătoare. La fel ca în cazul înfășurătorii CRS, punctual este o combinație liniară a deciziilor de producție eficiente care sa află pe fațeta suprafeței înfășurătoare. Pentru o DMU1 care este ineficientă, adică nu se află pe suprafața înfășurătoare, ne vom referi la punctul ca la un punct proiectat. Din restricții reiese clar că punctual poate fi echivalent cu:

3.1.4. O bază pentru măsurarea eficienței

Reamintim că analiza DEA reclamă soluția a n problem de programare liniară pentru fiecare decizie de producție. În evaluarea deciziei 1 rezolvăm problema de programare liniară pentru suprafața înfășurătoare particular [ oricare VRSE ( Yl, Xl ) sau CRSE ( Y1, X1 )], și obținem:

Un hiperplan care determină o fațetă a suprafeței înfășurătoare;

Un punct proiectat care se află pe fațeta determinată de hiperplan;

Măsurarea eficienței pentru decizia de producție 1 se referă la distanța dintre punctul ( Y1, X1)

și punctual proiectat pe suprafața înfășurătoare.

Deoarece pe fațeta care definește planul , avem

Astfel punctele și ( Y1, X1 ) se află pe planuri paralele care diferă prin constanta :

Distanța reflectă mărimea diferenței dintre punctual observat ( Y1, X1) și punctual proiectat respectând valorile și este valoarea minimă a funcției obiectiv.

Pentru modelele VRS și CRS relația dintre punctual observant și punctual proiectat este complet determinată de vectorul (s, e1). Creșterea outputului sau reducerea inputului recomandate de (s, e1) pot consta dintr-o component de creștere/descreștere proporțional global care ar putea fi aplicată în primă fază și apoi reziduul creșterii output-ului/scăderea input-ului pentru a obține eficiența.

Aceste component proporționale pot fi determinate introducând scalarul ce reprezintă creșterea proporțională și scalarul ce reprezintă scăderea proporțională. Putem scrie

s1=Y1 + e1=X1 +

Astfel, vectorul de output poate fi proporțional sporit de scalarul iar reziduul este dat de . Similar, vectorul de input pentru decizia 1 poate fi descrescut proporțional ( în fiecare component ) de factorul . Reziduul descrescut în fiecare variabilă de intrare individual este dat de . Cei doi factori proporționali de proporționalitatr pot fi dați de:

și determină măsura în care ineficiența poate fi îmbunătățită de creșterea output-ului proporțională și de reducerea input-ului proporțională. Creșterea și descreșterea proporțională servește la explicarea parțială a diferenței totale dintre punctual observant (Y1, X1) și punctul proiectat . Avem:

Discrepanța totală constă din component proporțională a creșterii în output, component proporțională a descreșterii în input și componentele reziduale neproporționale a creșterii în output și descreșterii în input. Punctul proiectat sau calea spre frontier poate fi obținută printr-un punct intermediar și apoi obținut punctual proiectat cu rezidurile .

3.1.5. Despre modele orientate

Discuția precedent cu privire la reducerea sau creșterea proporționale își are locul în contextual teoriei înfășurătorilor VRS și CRS. În aceste modele deficiența de output și excesul de input sunt considerate comparabile prin aceea ca nici uneia dintre acestea nu ar trebui să I se acorde mai multă importanță decât celeilalte.

În modele orientate suprafața înfășurătoare rămâne aceeași – fie VRS, fie CRS. Totuși, o mulțime de variabile ( input sau output ) reține ( previne ) o altă întrucât mișcarea proporțională către frontier este prima realizată în acest spațiu. Pentru proiectarea orientată input, este căutată o proiectare astfel că reducerea proporțională de input, , este maximizată. Analog, pentru proiectarea orientată output, este căutată o proiectare astfelca creșterea proporțională de input, . Aceasta identifică un punct intermediary pentru orientarea input sau un punct intermediary pentru orientarea output.

În loc să ținem seama de mărimea creșterii și descreșterii proporționale, am putea caracteriza în mod echivalent orientările input-ului și output-ului în termenii proporției rezultante a vectorului de input sau output după ce s-a efectuat creșterea sau descreșterea. Deoarece prin această caracterizare se obține o formulare mult mai compact și în plus predominant, în literature de specialitate folosim notația:

Adică maximizarea lui este echivalentă cu minimizarea lui și maximizarea lui este echivalentă cu maximizarea lui .

Restricțiile asupra input-ului și output-ului sub forma matriceală pot fi rescrise:

(a)

(b)

Modelele orientate folosesc fie (a) sau (b) și identifică eficiența în două etape. Pentru o orientare asupra input-ului, această identificare constă din doi pasi; mai întâi se obține punctual intermediar și apoi punctul de proiecție următor este obținut rezolvând CRSE sau VRSE. Pentru o orientare asupa output-ului abordarea în doi pași determină mai întâi punctual intermediar din care se obține următorul punt de proiecție rezolvând VRSE. După cum va fi discutat, preemtiunea efectuată în prima etapă produce un punct proiectat care poate diferi de cel obținut mai sus pentru modelul standard de VRS sau CRS.

Modelul constă în două etape printr-un singur model non-Archimedic într-un pas, în care preemețiunea e realizată prin intermediul unui infintezimal. În aceste modele non-Archimedice într-un singur pas, implicită este abordarea în două stadia. În timp ce abordarea non-Archimedică într-un singur pas poate avea valoare ca o construcție de modelare, abordarea explicit în două etape evită dificultățile de calcul.

DEA conține o varietate de modele alternative legate unul de altul pentru evaluarea performanțelor. Datorită folosirii pe scară largă a acestei metodologii, totuși, modelele au apărut în ziare acoperind o serie de zone de interes. Discuțiile din acest capitol pun la un loc o serie de dezvoltări și le prezintă intr-un cadru de lucru standard unificator de facilitează comunicarea și colaborarea interdisciplinară.

Pentru modele examinate există două suprafete înfășurătoare posibile (VRS sau CRS), trei orientări posibile (egală, spre input sau spre output), și forme fie standard fie units-invariant. Selecția unui model constă astfel din alegerea (1) unei suprafețe înfășurătoare, (2) a unei orientări, (3) și a formei de invariant (limitele inferioare ale multiplicatorilor). Fiecare din aceste 12 modele posibile poate fi extins mai departe (în continuare) pentru a încorpora variabilele categorice, variabile nediscreționare și/sau multiplicatori inhibați.

Totuși modelele DEA nu acoperă în mod exhaustive aria de discuții. Mai există multe alte modele disponibile, putându-se include aici modelul multiplicative orientat către input al lui Banker și Maindiratta (1986) și modelul raporturilor (proporțiilor) conice a lui Charnes, Cooper, Huang și Sun (1990). Un număr de extensii teoretice adiționale la modelele DEA de bază au apărut déjà în literature de specialitate. Acestea variază (se întind) de la tehnica de analiză a ferestrei lui Charnes, Clark, Copper și Golany (1985) pentru analiza perfomanței unui DMU în timp, până la rezultatele recente ale lui Ali, Cook și Seiford (1991) care permit includerea relațiilor ordinale între multiplicatori pentru modelarea efectelor în timp.

Orientarea empirică a DEA și absența unor presupuneri apriorice au dus la folosirea acesteia într-o serie de studii ce implică estimarea frontierei eficiente în sectorul non.profit, în sectorul reglat ( controlat) și în cel rpivat. Cercetătorii din diverse domenii au recuconscut rapid că DEA este o metodologie excelentă pentru măsurarea eficienței productive și se așteaptă ca dezvoltările teoretice viitoare să aducă DEA și abordările mai tradiționale ale econometriei mai aproape ca niciodată.

3.2. Legătura dintre eficiență și productivitate

În vederea măsurării poductivității ne îndreptăm atenția asupra dezvoltării relative recente bazate pe măsurarea productivității totale a factorilor și pe relația dintre productivitate si eficiență. Scopul este de a surprinde opțiunile practice cu accent pe acelea care include explicit considerații legate de eficiență.

Considerând eficiența ca o componentă a productivității putem da o definiție particular a productivității. Cu toate că se consider în general creșterea productivității și progresul ethnic ca fiind simultane, există suficiente argument în favoarea realizării unei distincții între cele două concept, creșterea productivității se definește drept schimbarea netă în output datorată schimbării în eficiență și modificării tehnice, unde prima este înțeleasă ca fiind schimbarea în distanța față de frontiera tehnologică ți ultima este înțeleasă ca fiind schimbarea în frontiera de producție.

În continuare vom încerca să clarificam diferența între abordările bazate pe frontieră și cele nebazate pe frontiera în măsurarea productivității. Abordările bazate pe frontieră includ în mod explicit conceptul de ineficiență și evaluări ale schimbării eficienței.

3.2.1. Măsurarea productivității

În continuare ne vom referi la posibilitățile de măsurare ale eficienței productive într-o perioadă dată și ale modificărilor performanței în timp. Noțiunea particulară de performanță analizată este dată de productivitatea totală a factorilor. Aceasta reprezintă un indicator al outputului reportat la un indicator al folosirii inputurilor totale. Productivitatea totală a factorilor reprezintă, deci, o generalizare a măsurării productivității unui singur factor cum ar fi productivitatea muncii care reprezintă raportul dintre output și muncă. Creșterea productivității totale a factorilor se referă la modificarea productivității în timp.

Fie două perioade și . Outputurile în fiecare perioadă sunt și . Presupunem o calitate constantă a outputului în ambele perioade. Inputurile consumate în cele două perioade sunt și . Pentru fiecare perioadă de timp mulțimea producțiilor reprezintă transformarea inputurilor în outputul .

(3.1)

și în mod asemănător pentru . Mulțimea S descrie toate perechile fezabile input-output la un moment dat. tehnologia de producție poate fi asemenea descrisă printr-o funcție de producție în fiecare perioadă:

(3.2)

și în mod asemănător pentru perioada . Presupunem modificarea proporțională a inputurilor ( considerate ca fiind independente), atunci funcția de producție la momentul t și poate fi rescrisă ca:

(3.3)

Se observă că structura tehnologiei nu se modifică în timp, cu toate acestea funcția de producție poate fi modificată între perioadele t și prin intermediul parametrului A.

Productivitatea totală a factorilor (TFP) la momentul t se definește ca raport între outputul produs la momentul t și inputurile totale folosite la momentul t:

(3.4)

și asemănător pentru , adică productivitatea totală a factorilor măsoară „ producția medie”. creșterea productivității totale a factorilor se definește ca fiind:

(3.5)

În această expresie productivitatea totală a factorilor constă în rapoarte de „funcții agregator” adică un indicator. De fapt dacă și unde inputul și outputul sunt scalare, indicatorul din expresia anterioară devine , care reprezintă o formă foarte simplă a indicatorului productivității totale a factorilor.

Figura 3.1 ilustrează un caz foarte simplu: un singur output este produs plecând de șa un singur input pentru tehnologie cu randamente la scară constante. În figură se pleacă de la două observații ale inputurilor și outputurilor și care sunt pe frontiera sau granița mulțimilor și , adică producția este eficientă tehnic in sens Farrell. și reprezintă productivitatea medie în perioadele de timp respective, ele sunt de asemenea egale cu pantele tehnologiei frontierei. În această diagramă creșterea productivității este egală cu raportul dintre pantele și . În general creșterea productivității înseamnă modificarea producției medii. Se observă că, în cazul special în care producția observată se află pe frontiera de producție creșterea productivității și modificarea tehnică (schimbarea în frontiera de producție) sunt identice.

Se poate rescrie acest indicator al creșterii productivității totale a factorilor în modificări procentuale ca:

(3.6)

care arată ca o formă discretă a măsurării creșterii productivității totale a factorilor. Revenind la figura 3.1, această definiție poate fi interpretată ca modificarea procentuală în output , mai puțin modificarea procentuală în inputuri. În termeni de distanță de-a lungul axei , modificarea procentuală în folosirea inputurilor între perioada și corespunde diferenței procentuale . Astfel creșterea productivității va fi echivalentă cu distanța .

Această formulare concordă de asemenea cu următoarea definiție dată de Jorgenson și Griliches (1967) :

„ Rata creșterii productivității totale a factorilor reprezintă diferența între rata de creștere a productivității și rata de creștere inputurilor reale.”

Figura 3.1. Modificarea productivității în absența ineficienței tehnice

Această creștere a productivității totale a factorilor poate fi privită ca o modificare în outputul net plecând de la modificarea în folosirea inputurilor sau ca o schimbare în tehnologie în perioada în raport cu , adică . Mai general modificarea tehnică și creșterea productivității sunt similare în cazul particular în care producția este eficientă din punct de vedere tehnic.

Mai departe să presupunem că, în loc de legătura input output observată pe frontiera tehnologică, aceasta se situează sub această frontieră în ambele perioade și . Această situație este arătată în figura 3.2. în abordarea tradițională nonfrontiera pentru măsurarea productivității, se presupune că producția observată în perioadele și este echivalentă cu frontiera de producție, adică frontierele mulțimilor și se presupun a fi printre aceste puncte observate.

Figura 3.2. Modificarea productivității în prezența ineficienței tehnice

În figura 3.2 există o diferență între outputul observat și outputul maxim potențial în fiecare perioada, adică:

(3.7)

și

(3.8)

În scopul măsurării acestei diferențe este necesar să corectăm outputul observat și să-l aducem pe frontiera tehnologică în fiecare perioadă. Adică trebuie să corectăm ineficiența tehnică cu ajutorul funcției de distanță a outputului. Conform Shephard (1970) și Fare (1988) funcția distantă output este definită ca:

(3.9)

și asemănător . Această funcție descrie complet tehnologia și este egală cu indicatorul Farrell pentru eficiența tehnică. Dacă ne întoarcem la figura 3.2 outputul fezabil maxim este obținut prin creșterea outputului pe cât posibil în partea de sus, în timp ce se va rămâne în mulțimea producțiilor din perioada apropiată. În termeni de distanță de-a lungul axei avem . Știind că outputul potențial maxim depășește outputul observat în perioada t, rezultă că . Valoarea funcției distantă este 1 dacă și numai dacă outputul observat este egal outputul potențial, adică dacă si numai dacă nu există ineficiență tehnică.

În ideea de a exprima funcția distantă plecând de la funcția de producție, se consideră:

(3.10)

Idem:

(3.11)

În perioada t outputul potențial maxim este egal cu:

(3.12)

iar outputul potențial maxim în :

(3.13)

Se observă că părțile din dreapta ale relațiilor 3.12 și 3.13 sunt identice cu părțile din dreapta ale funcțiilor de producție din ecuația 3.3, fiind în acord cu ipoteza că funcția de producție furnizează outputul fezabil maxim. Partea stângă a relațiilor 3.12 și 3.13 poate fi de asemenea gândită ca un output corectat pentru ineficiența tehnică deoarece funcția distantă este egală cu indicatorul Farrell pentru eficiența tehnică.

Dacă definim productivitatea totală a factorilor ca raport între output și folosirea inputurilor, vom obține relația 3.14.

(3.14)

și asemănător pentru din 3.13. Creșterea productivității totale a factorilor devine:

(3.15)

Acesta înseamnă creșterea productivității totale a factorilor este rezultatul modificării frontierei de producție și schimbării eficienței în perioada în raport cu perioada t măsurată ca funcție distantă.

Raportul din figura 3.2 se interpretează ca o modificare a pantei tehnologiei între cele două perioade. Se observă că aceasta este o interpretare a frontierei, deoarece panta tehnologiei este determinată de punctul de pe granița unde outputul este proiectat de funcția distantă, adică la nivelurile outputului eficient-corectate între perioadele t și , adică modificarea tehnică care este definită ca modificarea tehnică a frontierei.

Interpretarea raportului funcțiilor distanța se face în mod diferit. În figura 3.2 este echivalent cu raportul dintre și . În termeni de distanță pe axa z și . Astfel raportul celor două funcții distanța este egal cu modificarea în distanța outputului față de frontiera tehnologică între perioadele t și , adică modificarea eficienței tehnice în timp.

Indicatorul de producție Malmquist introdus în capitolul 3.4 este echivalent cu ecuația 3.15, adică este un rezultat al modificării tehnice (modificări în frontiera de producție) și al modificării eficienței. Mai poate fi definit și în termeni de funcții de distanța pentru output.

Înlocuind și din ecuațiile 3.12 și 3.13, modificarea tehnic procentuală are expresia:

(3.16)

Formula 3.16 seamănă cu formula contabilă a creșterii productivității, deși a fost ajustată pentru modificarea eficienței. Ecuația 3.16 exprimă schimbarea procentuală a modificării tehnice , și conține acum un termen al funcției distanța pentru a evalua modificarea tehnică la nivelul frontierei. Modificarea tehnică și cea a productivității nu mai sunt identice. Trebuie notat ca mutarea termenului funcției distanța în partea stângă furnizează modificarea procentuală echivalentă cu ecuația 3.15, deoarece termenii rămași în partea dreaptă a relației 3.16 sunt echivalenți cu definiția modificării procentuale a creșterii productivității totale a factorilor.

Acest lucru este asemănător cu descompunerea creșterii productivității propuse de Nishimiyu și Page (1982). În figura 3.2 creșterea productivității în termeni de modificări procentuale este echivalentă cu în termeni de distanța de-a lungul axei y. Aceasta mai este egală și cu modificarea observată a outputului mai puțin modificarea în inputuri, adică . Mai trebuie notat că reprezintă mărimea outputului care ar fi putut fi produsă ca inputurile și tehnologia respectivă și cu același grad de ineficiență tehnică din perioada t. După Nishimizu și Page, această mărime a creșterii productivității totale a factorilor poate fi descompusă în modificarea tehnică și modificarea în eficiența (evaluată pentru ) ca .

Definiția contabilă a creșterii pentru creșterea productivității totale a factorilor este diferența între rata creșterii în output și rata creșterii inputurilor, adică diferența între primii doi termeni din partea dreaptă a ecuației 3.16. În prezența ineficienței, aceasta nu este sinonimă cu modificarea tehnică, unde modificarea tehnică este înțeleasă a fi modificarea în frontiera tehnologiei.

Se observă că această măsură a creșterii productivității totale a factorilor în formularea inițială care ignoră eficiența nu mai poate fi interpretată ca modificarea tehnică până când nu mai există ineficiență tehnică sau până când eficiența tehnică nu se mai modifică în timp. Dacă , atunci aceste două mărimi din 3.5 și 3.6 egalează 3.15 și 3.16. în calculul productivității totale a factorilor folosind abordarea contabilă a creșterii, componentele inputului sunt folosite pentru a agrega inputurile într-un indicator al inputului . Această presupunere ipoteza că nu există ineficiență tehnică, abordarea contabilă a creșterii poate furniza estimării eronate dacă componentele intrărilor nu sunt determinate pe baza minimizării costului, adică dacă ineficiența alocativă există.

În concluzie se poate spune ca într-o economie în care există ineficiența, creșterea productivității totale a factorilor este definită ca efectul net al schimbării în eficiența și modificarea în frontiera de producție, ultima reprezentând modificarea tehnică. Distincția între aceste două concepte este foarte important. Dacă ineficiența există și este ignorată, creșterea productivității nu ne va spune despre modificarea tehnică. Aceasta poate fi importantă din perspectiva unei politici economice, o încetinire în creșterea productivității datorată ineficienței crescute sugerează politici diferite față de cazul unei încetiniri datorată unei bariere în modificarea tehnică.

Poate fi efectul barierelor institutionale in libera circulatie a inovatilor. In acest caz politicile de inlaturare a acestor bariere pot fi mai eficiente in cresterea productivitatii decat politicile directionate catre inventii.

Alti autori sustin ca productivitatea este afectata atat de modificarile in eficienta cat si de cele in frontiera de productie, Nishimizu si Page dand chiar o definitie pentru cresterea productivitatii:

“Se defineste progresul tehnologic ca o modificare in cea mai buna frontiera din practica. Modificarea productivitatii este echivalenta cu capacitatea de a actiona, de a raspandi noi cunostinte tehnologice, de a imbunatatii practica manageriala, ca si adaptarea pe termen scurt la socurile externe intreprinderii, cum ar fi modificarea eficientei tehnice.”

3.2.2. Masurarea productivitatii totale a factorilor atunci cand se ignora ineficienta

Abordarile existente privind masurarea eficientei fac ipoteza ca outputul observat reprezinta cea mai buna solutie practica. In acest context mai este presupus ca outputul observant este in fiecare perioada eficient tehnic in sens Farrell. Aceste concepte realizeaza o actualizare a abordarilor nonfrontiera, inclusive ajustari pentru conditiile de comercializare, factorii de productie ficsi, utilizarea capacitatii de productie sau competitie imperfect.

Se vor analiza doua tipuri de modele, primele ignora ineficienta si masoara cresterea productivitatii folosind modele neparametrice, aici fiind incluse modelele contabile de cresterea.

Modele neparametrice care ignora ineficienta

Modelul Solow furnizeaza un rezumat al conceptelor privind masurarea productivitatii totale a factorilor, incluzand abordarea contabila a cresterii.

Scopul este de a determina o “metoda simpla de separare a variantei outputului per capita datorata modificarii tehnice de cea datorata modificarilor in folosirea capitalului per capita”.

Presupunem ca reprezinta outputul din perioada t si reprezinta vectorul intrarilor folosite in perioada t pentru a produce outputul scalar . Functia de productie poate fi scrisa:

unde masoara schimbarile in functia de productie in timp. Scopul este acela al calcularii lui . Presupunem ca este omogena de gradul I si ca intrarile sunt platite la valoarea productiilor lor manageriale , unde este vectorul preturilor intrarilor in perioada t si este pretul outputului in perioada t. Aceasta ultima ipoteza presupune ca producatorii maximizeaza profitul, implicand inexistenta ineficientei tehnice sau alocative. Daca diferentiem 3.17 obtinem:

Aceasta conduce la definitia contabila a cresterii productivitatii deoarece cresterea reziduala in output nu este justificata de cresterea intrarilor.

Pentru a obtine relatia 3.20 Solow face presupunerea ca derivatele pot fi exprimate prin modificari discrete. Formularea in timp continuu 3.20 este echivalenta cu un indicator descompus al cresterii productivitatii. Daca ratele de crestere continue din 3.20 sunt inlocuite prin diferente logaritmice discrete, adica si componentele intrarilor sunt calculate ca medii aritmetice, indicatorul din 3.20 devine echivalent cu indicatorul Tornqvist pentru cresterea productivitatii totale a factorilor.

Modelul Solow furnizeaza bazele pentru ceea ce se numeste abordarea neeparametrica, nonfrontiera in masurarea productivitatii care include atat abordarea bazata pe indicatorul numeric cat si cea bazata pe cresterea contabila. In forma discrete a ecuatiei 3.10 la fel ca si la indicatorul Tornqvist toate datele necesare pentru a calcula sunt observabile, nici o estimatie nu este necesara. Rezultatele lui Diewert mai arata ca aproximarea discreta a cresterii productivitatii (indicatorul Tornqvist) nu surprinde nu numai productivitatea multifactoriala dar este si exacta pentru tehnologia logaritmata. Aceste forme neparametrice sunt usor de aplicat datorita calculelor usoare si modelarii flexibile pentru tehnologia de baza.

Se observa ca nu se tine cont de posibila ineficienta. In modelul contabil de crestere (la fel ca si abordarea corespunzatoare indicatorilor numerici), ineficienta tehnica este ignorata. Folosirea partilor componente ale intrarilor pentru agregarea inputului se bazeaza pe faptul ca preturile inputurilor sunt corecte, adica nu exista ineficienta alocativa. Aceasta ar putea cauza erori, prin urmare ar trebuie folosite preturile umbra pentru agregare sau sa fie folosite masuri alternative pentru productivitate in care sa nu fie incluse informatii referitoare la pret, asa cum este indicatorul Malmquist.

Abordarea econometrica ce ignora eficienta

Modelul Solow furnizeaza ecuatia contabila a cresterii si este echivalent cu diversi indicatori de productivitate neparametrici. Aceste abordari sunt simple din punctul de vedere al calculelor (nu avem parametrii de estimat) dar acest lucru se realizeaza la un anumit cost. Acest cost include faptul ca nu se tine seama de masurari sau de erori si nici de departarea fata de productia eficienta. Marile rezultate pentru cresterea productivitatii pot fi eronate si nu exista nici un indiciu referitor la precizia cu care cresterea productivitatii este masurata.

O alta abordare este parametrizarea functiei de productie si estimarea:

pentru . Parametrii estimati sunt folositi apoi pentru determinarea modificarii tehnice ca . Considerand ca nu avem nici o schimbare in ineficienta tehnica aceasta este echivalenta cu cresterea productivitatii totale a factorilor. Pe de alta parte, parametrii estimati pot fi folositi pentru a obtine o estimatie productiilor marginale ale intrarilor. Productiile marginale estimate si datele cantitative referitoare la intrari si iesiri vor fi folosite pentru a calcula un indicator (de exemplu, Tornqvist).

Aceasta abordare econometrica are avantajul admiterii unei erori de masurare dar poate introduce si o eroare de specificare. Numarul parametrilor ce trebuie estimat poate de asemenea ridica probleme, lucru care este depasit in modelele neparametrice.

Dualitatea intre cost si functiile de productie poate fi exploatata in formularea progresului tehnic folosind functia de cost, care s-a dovedit folositoare in abordarea econometrica a masurarii productivitatii. Una din dificultati in abordarea functiei de productie este faptul ca outputul este scalar. Functia de cost, care este duala functiei de productie, permite outputuri multiple, constituind o complementare utila pentru functia de productie. Eficienta tehnica si alocativa este:

unde inputurile sunt alese astfel incat sa minimizeze costul la momentul t pentru un output dat , preturile intrarilor si o tehnologie data.

In ipoteza randamentelor la scara constante pentru descrierea tehnologiei, a unui output scalar si o modificare tehnica neutral, functia de cost poate fi scrisa:

unde este functia de eficienta care surprinde modificarea tehnica.

In cazul randamentelor la scara constante, adica in cazul in care nu exista ineficienta alocativa sau tehnica, modificarea tehnica este sinonima cu cresterea productivitatii totale a factorilor. Daca ineficienta tehnica sau alocativa este prezenta atunci 3.26 conduce la o marime eronata a cresterii productivitatii totale a factorilor.

Alte reprezentari ale tehnologiei cum ar fi functii de venit pot fi deasemenea estimate si folosite pentru a obtine econometric o evaloare a cresterii productivitatii totale a factorilor. Atat timp cat ineficienta este ignorata, posibilitatea obtinerii de rezultate eronate se mentine.

Scopul acestui capitol a fost de a furniza o scurta imagine a abordarilor in masurarea productivitatii, in mod particular ale acelora care tin seama de ineficienta. O alta modalitate de a privi aceasta clasificare este impartirea acestor abordari in doua mari categorii: bazate pe frontiera si cele nebazate pe frontier. In cadrul fiecarui grup se pot clasifica modelele in parametrice si neparametrice, unde ultimele sunt privite ca incluzand abordarile bazate pe programarea liniara iar primele include atat modele atat modele stohastice cat si deterministe.

Comparand abordarea parametrica stohastica a frontierei cu alte abordari ale frontierei folosite in masurarea productivitatii totale a factorilor, ajungem la concluzia ca: Abordarile parametrice deterministe ale frontierei au avantajul faptului ca admit socuri aleatoare si erori de masurare. Ambele abordari parametrice ale frontierei includ o specificare a erorii cu toate ca pot fi minimizate prin alegerea unei forme functionale flexibile. Numarul parametrilor ce trebuie estimati poate constitui o problema pentru abordarea stohastica a frontierei mai ales atunci cand avem un numar mare de inputuri si de outputuri. Specificarea structurii erorii in abordarile stohastice ale frontierei nu este foarte exacta, asemenea specificari pot introduce alte surse potentiale de eroare.

In raport cu abordarile parametrice stohastice ale frontierei, abordarile neparametrice ale frontierei au avantajul unei erori de specificare minime dar nu admit erori de masurare sau socuri aleatoare. Modelele neparametrice ale frontierei au avantajul faptului ca sunt potrivite pentru analizele pe seturi de date discrete. Acest lucru evita eroarea de aproximare introdusa in modelele parametrice care presupun continuitate. Din punct de vedere al calculelor acestea sunt mai usoare decat abordarile stohastice ale frontierei, cu toate ca numarul de problemelor de programare liniara ce trebuie rezolvat in abordarile frontierei neparametrice poate fi mare.

O consecinta este acea ca abordarea neparametrica furnizeaza o mare cantitate de informatii individuale: masuri ale eficientei specifice ale producatorului in fiecare perioada si component ale modificarii eficientei specifice a producatorului si ale modificari tehnice pentru fiecare pereche de perioade consecutive. In plus exista informatii specifice producatorului pentru fiecare perioada despre valorile duale, solutiile de baza etc.

Comparand abordarea bazata pe frontiera cu abordarea nebazata pe frontier in masurarea productivitatii totale a factorilor ajungem la concluzia ca: Abordarile neparametrice nebazate pe frontiera au avantajul unei intelegeri si a unor calcule mai usoare. Nu avem parametrii de estimat si nici probleme de programare de rezolvat. Sunt potrivite pentru calcule in cazul unui numar mare de outputuri si inputuri. Indicatorul Tornqvist este totusi compatibil cu o forma functionala flexibila a tehnologiei. Pe de alta parte acestea sunt vulnerabile in fata erorilor, aceste abordari sunt bazate pe presupunerile de eficienta tehnica si alocativa. Daca acestea sunt incalcate indicatorii de productivitate rezultati vor fi eronati. Abordarile neparametrice nebazate pe frontiera au avantajul (relativ la componentele parametrice) evitarii erorilor de specificare desi au costul ignorari erorilor de masurare.

Pentru a concluziona masurarea productivitatii totale a factorilor are avantajul unei interfete cu abordarea masurarii eficientei (sau frontierei). Contributia pricipala este realizarea explicita a posibilelor perturbatii aparute din ignorarea ineficientei.

`

Capitolul 4

Alocații optimale in sens Pareto

Vom considera o economie constituita din I consumatori si doua bunuri – un bun privat si un bun public. Bunul public este produs cu ajutorul bunului privat după tehnologia cu randamente descrescătoare, definita prin:

y = g(z), g’ > 0, g” < 0

unde cantitatea de input de bun privat z este considerata pozitiva.

Funcția de utilitate a consumatorului i (i = 1,2,…,I) nota , depinde de consumul de bun privat si de consumul de bun public .este strict concava, diferențiabilă si strict crescătoare.

Fie W resursele de bun privat. Vom caracteriza mai întâi alocațiile de resurse Pareto optimale, adică soluțiile următorului program:

max (4.1)

(4.2)

-y + g(z) 0 (4.3)

y0, z0, 0, i=1,2,…,I

Fie si multiplicatorii asociați restricțiilor (4.2) si (4.3).

Condițiile de primul ordin (care sunt si suficiente conform ipotezelor de mai sus, se duc astfel: fie

i=1,2,…,I,

Eliminând ,si intre relațiile de mai sus, si obținem:

(4.4)

Relația (4.4) poarta numele de condiția lui Bowen-Lindahl-Samuelson, si ca suma ratelor marginale de substituție intre bunul public bunul privat trebuie sa fie egala cu rata marginala de transformare intre bunul public si bunul privat.

Vom reprezenta optimele Pareto intr-o economie cu doi agenți prin

g(z) = z in triunghiul lui Kolm.

Luând un triunghi echilateral de înălțime W, fiecare triplet (),astfel încât , poate fi reprezentat ca un punct din triunghi.

Figura 4.1. Triunghiul lui Kolm

Curbele de indiferenta ale agentului 1 (respectiv 2) pot fi reprezentate in sistemul de coordonate BA, BC (respectiv CA, CB).

Figura 4.2. Curbe de indiferenta

Figura 4.3. Optime Pareto

4.1. Echilibru cu subscripție

Presupunem ca resursele inițiale de bun privat fac obiectul unei atribuiri private, ,i=1,2, …, I. Sa ne imaginam ca fiecare consumator subscrie voluntar la producția de bun public printr-o suma . Producția de bun public este atunci :

Fiind date subscripțiile celorlalți consumatori = (, …, ,,…,), consumatorului i rezolva programul:

max

sau

Un echilibru cu subscripție este un echilibru Nash pentru jocul definit prin funcțiile obiectiv si spatiile strategiilor , adică I-upul (), astfel ca :

, pentru orice .

Condițiile de primul ordin se scriu:

de unde

, pentru orice i .

Evident acestea sunt diferite de condițiile lui Bowen-lindahl-Samuelson.

Agentul i va contribui la producția de bun public pana când costul marginal in bun privat (1/dg/dz)) va fi egal cu rata marginala de substituție.

Cum , consumatorul va accepta sa plătească in plus o suma de care va verifica inegalitatea:

adică

Consumatorul nu tine cont de faptul ca de producția pe care el o finanțează profita si alți agenți.

Acest raționament este adevărat pentru fiecare consumator si, in consecința, mulțimea consumatorilor contribuie mai puțin decât ar fi de dorit la optimalitatea paretiană.

Insuficienta (neoptimalitatea paretiană) producției de bun public prin mecanismul subscripției voluntare poate deveni dramatic atunci când numărul agenților este mare.

Acest lucru va fi analizat in exemplul urmator:

Exemplul 1.

Fie

Optimele Pareto (egalitare) se obțin maximizând

cu restricția

Atunci:

de unde

si

deci

Rezulta ca

si i=1,2,…,I

In echilibrul cu subscripție, agentul i maximizează expresia yln y+ln cu restricțiile:

sau

max

de unde condiția de primul ordin devine:

sau

Însumam după i si obținem

si

( este același oricare ar fi i).

Comportamentul individual presupus mai sus îl determina pe fiecare agent sa contribuie numai in măsura in care el profita direct, de unde suboptimalitatea echilibrului cu subscripție pentru producția de bun public.