Corpurile Solide

Cap. 1 ELEMENTE GENERALE

1.1. Noțiuni introductive

Corpurile solide sunt corpurile care au volum și formă bine determinate, adică distanțele dintre diferite puncte ale unui corp solid rămân constante sau se modifică foarte puțin sub acțiunea unor forțe exterioare mari. Acest lucru se datorează faptului că între moleculele componente ale corpului se manifestă forțe de coeziune mari menținându-se o strânsă legătură între ele.

Fluidele sunt corpuri care sub acțiunea unor forțe exterioare relativ mici suferă deformații foarte mari și în stare de repaus ele nu opun rezistență la schimbarea lentă a formei. Acest lucru se datorează forțelor de coeziune intermoleculare mici, ceea ce duce la faptul că moleculele fluidelor au o mare mobilitate.

Fluiditatea este proprietatea comună tuturor fluidelor de a-și modifica forma în mod continuu sub acțiunea unor forțe exterioare mici.

Noțiunea de “corpuri fluide” cuprinde atât lichide cât și gaze.

Lichidele sunt fluide puțin compresibile deoarece forțele de coeziune intermoleculară sunt relativ mari în comparație cu cele de la gaze. Ca o consecință a acestui fapt se mențin legături strânse între molecule componente vecine, astfel încât corpurile lichide au volum bine definit (sunt practic incompresibile). Datorită fluidității forma corpurilor lichide corespunde cu cea a vasului în care sunt conținute.

Gazele sunt fluide compresibile deoarece forțele de coeziune intermoleculară sunt atât de mici încât nu se mai menține o legătură strânsă între moleculele componente.

În consecință dacă sunt introduse într-un anumit spațiu gazele ocupă prin expansiune tot spațiul. Gazele sunt corpuri cu volum și formă definite numai de volumul și forma spațiului în care se află.

1.2. Concepte folosite în mecanica fluidelor

1.2.1. Mediul fluid continuu

Mecanica fluidelor face abstracție de structura atomo-moleculară a materiei (aceasta este structură discontinuă). Se utilizează ipoteza structurii continue, adică ipoteza continuității mediului fluid. Fluidul studiat se consideră un mediu continuu care ocupă un anumit spațiu unde variația mărimilor fizice care-l caracterizează este continuă. Mediul fluid continuu poate fi :

omogen dacă în condiții de presiune și temperatură constantă are densitate constantă (aceeași în toate punctele sale).

neomogen dacă densitatea are valori diferite în diferite puncte ale sale.

izotrop dacă în jurul unui punct pe direcții diferite are aceleași proprietăți

anizotrop dacă are proprietăți diferite pe direcții diferite în jurul unui punct.

În general, în mecanica fluidelor sunt studiate medii fluide continue, omogene și izotrope.

1.2.2. Modelul de fluid

Modelul de fluid este o schematizare prin care corpul fluid este considerat mediu continuu și izotrop și căruia i se atribuie numai principalele proprietăți macroscopice ale fluidului real pe care îl reprezintă.

Exemple de modele de fluid :

a. Fluidul ideal – este modelul de fluid pentru care nu se iau în considerare forțele de vâscozitate (modelul lui Euler).

b. Fluidul incompresibil – este modelul de fluid la care volumul unei anumite mase de fluid nu se schimbă la variații ale presiunii. Ca urmare, densitatea este constantă în toate punctele domeniului de fluid (modelul lui Pascal).

c. Fluidul ușor – este modelul de fluid la care se neglijează forțele masice comparativ cu cele de suprafață.

d. Fluidul newtonian – este modelul fluidului vâscos având mărimea vâscozității constantă indiferent de mărimea gradientului de viteză (modelul lui Newton).

1.2.3. Particula de fluid

Particula de fluid este o porțiune detașată dintr-un corp fluid având formă oarecare și dimensiuni arbitrare și care păstrează proprietățile macroscopice ale fluidului din care a fost detașată.

Referitor la dimensiunile particulei se fac următoarele observații:

particula de fluid trebuie să fie suficient de mare, astfel încât fenomene legate de coeziunea intermoleculară să nu se manifeste în exteriorul ei.

particula de fluid trebuie să fie suficient de mică, încât să poată fi considerată o cantitate elementară, față de corpul fluid din care face parte.

Un corp fluid este constituit dintr-un număr foarte mare de particule de fluid, acestea fiind dispuse în structura lui astfel încât să ocupe complet și compact întregul domeniu în care se află corpul fluidului (mediul fluid continuu).

Forma și dimensiunile particulei de fluid se aleg în funcție de sistemul de coordonate la care se raportează fluidul.

1.3. Forțe și tensiuni în mecanica fluidelor

1.3.1. Forțe

Se consideră în interiorul unui fluid în mișcare un domeniu D, delimitat de suprafața S (fig.1.1). Asupra fluidului din domeniul D acționează forțe: interioare, exterioare, masice (volumice) și de suprafață (de contact).

Forțele interioare reprezintă acțiuni referitoare la ceea ce se întâmplă în interiorul domeniului D. Aceste acțiuni pot fi forțe de acțiune intermoleculare (pentru molecule) sau forțe de natura atracției universale între particulele componente. Aceste forțe sunt egale și de sens contrar două câte două, iar rezultanta lor este nulă.

Forțele exterioare sunt cauzate de acțiuni din afara domeniului D. Ele sunt de două categorii:

forțe masice

forțe de suprafață

Forțele masice sunt rezultatul acțiunii unor câmpuri de forțe în care se află fluidul (de exemplu: câmpul gravitațional, câmpul forțelor de inerție, câmpul magnetic etc.) asupra fluidului din domeniul D. Mărimea acestora este proporțională cu cantitatea de fluid din domeniu. Dacă această cantitate este considerată ca și o masă atunci forțele se vor numi masice, iar pentru volum se vor numi volumice. Forța masică unitară, numită și accelerația forțelor masice, este forța masică ce acționează asupra unității de masă de fluid.

(1.1)

Forța masică unitară depinde, în cazul general, de poziția particulei în spațiu și de timp: . Componentele forței masice unitare în raport cu un sistem de axe triortogonal Oxyz sunt:

. (1.2)

Forța masică rezultantă care acționează asupra unei mase de fluid oarecare dintr-un domeniu D, este:

. (1.3)

Forțele de suprafață sunt introduse în urma înlăturării fluidului exterior domeniului D pentru a menține fluidul din D în aceeași stare de mișcare sau repaus în care se află. Ele acționează strict asupra fluidului din vecinătatea suprafeței S și nu au nici o acțiune în interiorul suprafeței S (fig.1.2). Se numesc forțe de contact pentru că se manifestă strict la contactul dintre particulele din interiorul domeniului D și cele din exterior aflate în vecinătatea suprafeței S.

Forțele de suprafață se pot datora și acțiunii suprafețelor solide cu care fluidul vine în contact sau acțiunii unui alt fluid la suprafața de separație dintre ele. În acest caz, aceste suprafețe fac parte componentă din suprafața S care mărginește domeniul D.

Deoarece aceste forțe se manifestă numai în zona suprafeței S, mărimea lor nu depinde de cantitatea de fluid din interiorul domeniului considerat, ci numai de mărimea ariei suprafeței pe care se manifestă. Ele sunt forțe distribuite continuu pe suprafața ce delimitează domeniul considerat și se raportează la unitatea de suprafață.

1.3.2. Tensiuni (Eforturi unitare)

Se consideră un element de arie ΔA în jurul unui punct P de pe suprafața S. Ansamblul forțelor de suprafață ce acționează pe acest element de suprafață se poate reduce, teoretic, la un torsor (cuplu de vectori forță și moment) compus din forța rezultantă de suprafață și momentul rezultant , care acționează în punctul P. Datorită dimensiunilor reduse ale elementului de arie ΔA, efectul momentului , comparativ cu efectul forței rezultante este neglijabil, astfel că se poate considera că .

Deoarece forțele de suprafață sunt repartizate continuu pe suprafața S și aria ΔA este elementară, se poate admite că mărimea forțeieste proporțională cu mărimea elementului de arie ΔA, și că când ΔA, adică ΔA. Astfel se poate scrie: (1.4)

este efortul unitar sau tensiunea ce acționează pe elementul ΔA . acest efort unitar definește starea de tensiune într-un punct oarecare al fluidului studiat. în cazul general al fluidelor reale în mișcare, vectorul efort unitar formează cu normala exterioară la suprafață un unghi oarecare, fiind un tensor care raportat la un sistem de axe triortogonal Oxyz poate fi exprimat prin matricea:

(1.5)

Dintre cele nouă componente, trei sunt eforturi normale la suprafață (), iar celelalte șase sunt eforturi tangențiale. Conform principiului dualității eforturilor unitare tangențiale, componentele tangențiale ale efortului unitar sunt egale ca mărime două câte două: .

1.3.3. Presiunea statică

În jurul unui punct P de pe suprafața S, se consideră o arie elementară ΔA (fig.1.3). Dacă fluidul se află în repaus, atunci forța de suprafață rezultantă ∆, care acționează în punctul P al ariei elementare ΔA, este o forță normală de compresiune. Această afirmație se demonstrează prin reducere la absurd, ținându-se cont de proprietatea de fluiditate.

a) În cazul în care forța ∆ nu ar fi normală la suprafață ci ar acționa sub un unghi oarecare ea s-ar putea descompune după direcția normală și o direcție tangențială Componenta tangențială ar pune în mișcare particulele de fluid asupra cărora acționează, ceea ce contravine ipotezei repausului fluidului (un fluid se află în repaus dacă toate particulele componente se află în repaus).

b) Dacă ∆ ar fi de tracțiune, ea ar disloca de pe stratul superficial particule asupra cărora acționează, ceea ce contrazice ipoteza repausului fluidului.

Rezultă că ∆este forță normală de compresiune.

Definiție: Presiunea statică (p) în interiorul unui fluid în repaus este raportul între rezultanta forțelor de suprafață care acționează pe aria infinit de mică în jurul punctului P și aria ΔA.

(1.6)

unde este versorul normalei exterioare la suprafața ΔA.

Observație: Semnul “minus” din relația de mai sus arată faptul că forța de suprafață rezultantă este o forță de compresiune. Rezultă că valoarea presiunii (p) este întotdeauna pozitivă. Presiunea p este o mărime scalară, ce nu depinde de orientarea suprafeței elementare ΔA în jurul punctului P.

Pentru a demonstra caracterul scalar al presiunii statice se detașează dintr–o masă de fluid în repaus o particulă de forma unui tetraedru având trei muchii paralele cu axele de coordonate ale unui sistem triortogonal Oxyz și dimensiuni dx, dy, dz (fig.1.4). Sistemul de coordonate se alege cu originea în punctul P considerat. Asupra particulei acționează:

forțe masice, care pot fi exprimate cu relația: , unde reprezintă accelerația forțelor masice iar dm masa particulei.

forțe de presiune, calculate prin produsul între valoarea presiunii statice pe suprafață și aria suprafeței (reprezentate în figura alăturată)

Se scrie ecuația de echilibru a particulei (condiția de repaus):

(1.7)

unde α, β, γ sunt unghiurile formate de normala și axele Ox, Oy, Oz.

(1.8)

Proiecțiile ariei dA pe planele de coordonate sunt:

(1.9)

Iar volumul tetraedrului:

(1.10)

Sistemul devine:

(1.11)

Trecând la limită, adică tetraedrul tinde spre volum zero, spre punctul p (ceea ce înseamnă că dx, dy, dz tind la zero), sistemul devine: px = py = pz = p.

Se observă că acest rezultat nu depinde de înclinarea feței ABC și nici de orientarea în spațiu a sistemului de coordonate Oxyz. Deci valoarea presiunii statice depinde numai de poziția punctului P în masa de fluid. Într-un fluid în repaus presiunea formează un câmp scalar.

1.3.4. Unități de măsură ale presiunii

În sistemul internațional de mărimi și unități (S.I.), dimensiunea presiunii este dată conform relației de definiție a acesteia:

. (1.12)

Unitatea de măsură a presiunii în S.I. este:

și se numește pascal. (1.13)

În practică se utilizează și alte unități de măsură ale presiunii, destinate unor domenii de lucru mai restrânse. Câteva dintre acestea sunt:

m.c.a. – metru coloană de apă – reprezintă presiunea corespunzătoare unei coloane de apă, la temperatura de 4 °C, având înălțimea de un metru;

mm.c.Hg. este presiunea corespunzătoare unei coloane de mercur, la temperatura de 0 °C, având înălțimea de 1 mm. Se mai numește și torr;

At sau atm – atmosfera fizică – este presiunea atmosferică la nivelul mării și este egală cu presiunea exercitată de o coloană de mercur, la temperatura de 0 °C, având înălțimea de 760 mm;

at – atmosfera tehnică – reprezintă presiunea exercitată de un corp cu masa 1 kg, pe o arie de 1 cm2, în câmp gravitațional.

Relațiile de transformare între unitățile de măsură ale presiunii sunt date în tabelul 1.1. (s-au utilizat valorile: g = 9,81 m/s2 – pentru accelerația gravitațională și ρHg = 13600 kg/m3 – densitatea mercurului la t = °C).

Tabelul 1.1. Conversia unităților de măsură ale presiunii

Cap. 2 PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

2.1 Proprietăți comune lichidelor și gazelor

Se consideră o masă de fluid m care ocupă un volum V la o presiune p și temperatură T (fig. 2.1). Se consideră în jurul unui punct P un element de fluid de volum ΔV cu masa Δm .

Se definesc :

2.1.1 Densitatea

Densitatea în punctul P este limita raportului dintre m și V.

(2.1)

În cazul unui fluid omogen, reprezintă masa unității de volum.

(2.2)

2.1.2 Greutatea specifică

Greutatea specifică în punctul P este limita raportului dintre G si V.

(2.3)

În cazul unui fluid omogen, reprezintă greutatea unității de volum.

(2.4)

2.1.3 Volumul specific

Volumul specific este, pentru fluidul omogen, volumul unității de masă.

(2.5)

2.1.4 Compresibilitate izotermă. Elasticitatea.

Compresibilitatea izotermă este proprietatea comună a fluidelor de a-și micșora volumul sub acțiunea unei creșteri de presiune la temperatură constantă (fig. 2.2).

(2.6)

variația relativă a volumului;

Semnul minus arată că variațiile p și V sunt de semne contrare.

V=Vfinal – Vinitial

p=pfinal – pinitial

Vfinal =Vinițial (1-p) (2.7)

Elasticitatea: este proprietatea fluidelor de a reveni la volumul inițial după ce a fost înlăturată creșterea de presiune care a determinat comprimarea (T=ct.)

Se definește modulul de elasticitate al unui fluid:

(2.8)

2.1.5 Dilatarea / contracția termică.

Este proprietatea comună tuturor fluidelor de a-și crește volumul la creșterea temperaturii, presiunea rămânând constantă. Contracția apare odată cu scăderea temperaturii, la presiune constantă.

p = constant; (2.9)

– coeficient de dilatare termică izobară.

2.1.6 Adeziunea (aderența) la suprafețe solide.

Este proprietatea fluidelor de a adera la suprafețele solidelor cu care vin în contact (fig. 2.3). Aderarea se face ca urmare a forțelor de coeziune între moleculele corpului solid și cele ale corpului fluidului.

Proprietatea se pune în evidență atunci când lichidul curge pe lângă un corp solid. Mărimea forței de adeziune depinde de natura corpului solid, a stării suprafeței solide (rugozitate) și temperatură.

Experimental s-a constat că în apropierea suprafețelor solide există un strat de fluid foarte subțire (sub 0,01 mm), care aderă la suprafața solidă și care nu participă la mișcarea generală a fluidului, având deci viteza nulă =0.

2.1.7 Vâscozitatea fluidelor.

Este proprietatea comună tuturor fluidelor de a se opune curgerii (modificării formei) prin apariția unor forțe în interiorul fluidelor, de natura forțelor de frecare între straturile elementare de fluid vecine aflate în mișcare relativă. Aceste forțe de frecare au tendința de a anula mișcarea relativă.

Analiza vâscozității se face pe baza următorului experiment (fig. 2.4):

Se consideră o placă plană de dimensiuni infinite (P0), în repaus, care mărginește un fluid cu densitatea . Se pune problema deplasării orizontale cu viteza v la distanța h față de placa fixă a unei plăci plane mobile (P1) având o arie finită A.

Greutatea plăcii mobile este considerată neglijabilă, iar între cele două plăci presupunem că fluidul se deplasează în straturi paralele orizontale. Forța F cu care trebuie să acționăm asupra plăcii mobile va fi egală în acest caz cu forța de frecare vâscoasă între straturile de fluid. Experimental se constată că expresia forței F este:

(2.10)

Se definesc:

Între două straturi de fluide vecine aflate unul față de altul la distanța elementară dy și care alunecă unul peste altul, tensiunea tangențială este:

– legea lui Newton. (2.11)

– tensiunea tangențială de vâscozitate

– coeficient dinamic de vâscozitate.

Valoarea acestui coeficient este în funcție de natura fluidului (fig. 2.5). și el caracterizează proprietatea de vâscozitate a fluidului. Toate fluidele prezintă proprietatea de vâscozitate, dar nu toate respectă legea lui Newton, adică își mențin vâscozitatea constantă indiferent de mărimea gradientului de viteză .

1. fluidul ideal (=0)

2. solid elastic

3. fluid newtonian (=constant)

4. fluid dilatant ( creste cu )

5. fluid pseudoplastic ( scade cu )

6. fluid vâsco-plasitc .

Fluidul ideal este un model de fluid cu care se operează în unele probleme de mecanica fluidelor, probleme în care proprietatea de vâscozitate poate fi neglijată. Forțele de vâscozitate sunt mici în comparație cu alte forte care intervin în desfășurarea fenomenului studiat, astfel că ele nu sunt luate în considerare.

2.2 Proprietăți specifice lichidelor

2.2.1 Tensiunea superficială.

Corpurile lichide au un volum bine determinat, iar forma lor este dată de vasul în care sunt așezate.

În cazul unei molecule M1 situată în interiorul lichidului, asupra ei acționează forțe intermoleculare de coeziune (fig. 2.6). Aceste forțe se anulează reciproc două câte două, rezultă că molecula M1 se află în echilibru. Raza de interacțiune moleculară este foarte mică m (distanța pe care acționează aceste forțe intermoleculare). Asupra moleculei M2, aflată în vecinătatea suprafeței de separație, acțiunea moleculelor de lichid se manifestă printr-o forță rezultantă, normală la suprafața de separație.

Suprafața liberă a lichidului apare ca o membrană tensionată și aria ei tinde să se micșoreze. Forțele care acționează asupra moleculelor de pe suprafața liberă pot fi înlocuite cu un sistem de forțe tangențiale care acționează asupra moleculelor din membrană.

Datorită faptului că stratul molecular este foarte subțire, tensiunea superficială se determină ca fiind raportul dintre forța tangențială și conturul suprafeței libere, rezultă ; . (2.12)

Aceste tensiuni se manifestă atunci când suprafața este curbă (teoria membranelor tensionate subțiri).

2.2.2 Capilaritatea

Această proprietate este în strânsă legătură cu proprietățile de adeziune și tensiune superficială. Un tub capilar este un tub cu. Se pune problema determinării diferenței de nivel h între suprafața libera a lichidului din vas și cea din tubul capilar:

(2.13)

(2.14)

.Există două posibilități (fig. 2.7):

lichidul urcă în tubul capilar (udă pereții vasului), atunci când forțele de adeziune sunt mai mari decât cele de coeziune.

lichidul coboară în tubul capilar (nu udă pereții vasului), atunci când forțele de adeziune sunt mai mici decât cele de coeziune.

2.2.3 Absorbția și degajarea gazelor

Absorbția gazelor este proprietatea lichidelor de a încorpora în mod spontan gaze cu care vin în contact. Cantitatea de gaze absorbite crește cu creșterea presiunii și scăderea temperaturii. Degajarea gazelor este proprietatea lichidelor de a elibera în mod spontan gazele absorbite odată cu creșterea temperaturii și scăderea presiunii.

2.2.4 Cavitația

Fenomenul de cavitație este fenomenul de implozie a bulelor de gaze și vapori de lichid formate ca urmare a scăderii presiunii în anumite puncte ale lichidului la valori mai mici decât presiunea de vaporizare.

Dacă presiunea scade la valoarea presiunii de vaporizare a lichidului, procesul de degajare a gazelor este însoțit de vaporizare. În general dacă o masă de lichid are zone în care presiunea scade sub valoarea presiunii de vaporizare atunci apar bule numite cavități care conțin un amestec de gaze degajate și de vapori de lichid (un sistem bifazic). Dacă presiunea crește din nou se produce dispariția bruscă (implozia) acestor cavități prin recondensarea vaporilor și prin redizolvarea gazelor în masa lichidă. Dispariția bruscă a incluziunilor de gaze și vapori constituie fenomenul de cavitație. Ea este însoțită de o serie de fenomene fizice și chimice neelucidate în mod corespunzător, cu efecte nefavorabile asupra materialelor solide cu care lichidul vine în contact și a instalației hidraulice respective (distrugerea materialului solid și scăderea considerabilă a performantelor instalației hidraulice). Dintre fenomenele însoțitoare ale cavitației se pot arăta:

creșterea pronunțată a presiunii locale (circa 108 Pa) care generează eroziunea mecanică locală a materialelor și producerea de zgomote puternice și vibrații;

apariția unor jeturi de vapori și creșterea temperaturii locale, producând slăbirea rezistenței materialului solid și favorizând eroziunea mecanică;

punerea în libertate de atomi de oxigen (în cazul apei) care sunt foarte activi din punct de vedere chimic, generând coroziunea chimică a materialului;

crearea unei diferențe de potențial între bulele gazoase și lichid și apariția unor scântei electrice care pot iniția un proces de eroziune electrică a materialului solid.

Având în vedere efectele nefaste ale cavitației, la proiectarea mașinilor și instalațiilor hidraulice se va urmări ca presiunea din masa de lichid să nu scadă sub valoarea presiunii de vaporizare corespunzătoare temperaturii de regim. Scăderea presiunii sub aceasta valoare conduce la apariția cavitației.

2.3. Proprietățile specifice gazelor

2.3.1. Proprietăți mecanice.

2.3.1.1. Gazele sunt considerate din punct de vedere al mecanicii fluidelor ca și fluide ușoare (forțele masice sunt mult mai mici în comparație cu cele de presiune).

2.3.1.2. Gazele sunt considerate ca fiind fluide compresibile pentru că în foarte puține cazuri se face abstracție de compresibilitatea gazelor.

2.3.2. Proprietăți termice.

Mărimi de stare (parametrii de stare )- p,V,T.

Ecuația fundamentală de stare pV = mRT pentru m = 1 Kg rezultă pV=RT=const. În aplicațiile din mecanica fluidelor trebuie să ținem cont de parametrii de stare ai gazelor.

Ecuația generală: (2.15)

Cap. 3 STATICA FLUIDELOR

Statica fluidelor studiază repausul corpurilor fluide și interacțiunile dintre fluidele în repaus și suprafețele solide cu care vin în contact. Un corp fluid este considerat în repaus dacă toate particulele componente sunt în repaus. Mediul fluid este considerat continuu, omogen și izotrop.

Asupra fluidului în repaus acționează forțe masice (volumice) ca urmare a unor câmpuri de forțe (gravitaționale, magnetice, electrice) în care fluidul se poate afla și forțe de suprafață normale, de compresiune caracterizate prin efortul unitar de compresiune (presiunea statică).

3.1 Ecuațiile staticii fluidelor. Ecuațiile lui Euler pentru repausul fluidelor

Ecuațiile lui Euler pentru repausul fluidelor se deduc din condiția de echilibru a tuturor forțelor care acționează asupra unei mase de fluid oarecare, omogen și izotrop aflată în repaus (fig. 3.1).

(3.1)

Se delimitează din masa de fluid o particulă paralelipipedică infinit de mică cu laturile dx, dy, dz paralele cu axele unui sistem de coordonate triortogonal astfel încât să respecte ipotezele conceptului de particulă de fluid.

Se consideră că peste tot în elementul delimitat de fluid, densitatea este aceeași. Se mai consideră că în punctul M (centrul paralelipipedului) valoarea presiunii este p, iar aceasta variază liniar pe direcția axelor de coordonate x, y, z.

Dimensiunile particulei fiind elementare considerăm că pe toate cele șase fețe ale paralelipipedului, presiunea este uniform distribuită. De asemenea, forțele interioare corespunzătoare paralelipipedului delimitat sunt două câte două de module egale și sensuri opuse, anulându-se reciproc.

Asupra fluidului acționează forțe de suprafață, al căror modul este produsul între valoarea presiunii și aria suprafeței și forțe masice, proporționale cu masa și caracterizate printr-o forță de masă elementară rezultantă . Componentele forței masice elementare rezultante pe direcțiile axelor de coordonate sunt:

(3.2)

Scriind ecuațiile de echilibru al forțelor, proiectate pe cele trei axe obținem:

(3.3)

Ecuațiile lui Euler pentru statica fluidelor sunt:

(3.4)

Ecuația staticii fluidelor (forma vectorială)

(3.5)

3.2 Ecuația fundamentală a staticii fluidelor:

Se obține din ecuațiile staticii fluidelor prin înmulțirea acestora cu dx, respectiv dy, respectiv dz, urmată de adunarea acestora:

(3.6)

Se notează U – potențialul forțelor masice

Rezultă expresiile:

Ecuația fundamentală a staticii sub formă diferențială:

(3.7)

Ecuația fundamentală a staticii sub formă integrală:

(3.8)

Forme particulare ale ecuației fundamentale a staticii fluidelor:

a) În cazul fluidelor incompresibile (cum se consideră lichidele):

(3.9)

b) În cazul fluidelor ușoare (cum se consideră gazele):

(3.10)

3.3 Consecințe ale ecuației fundamentale ale staticii fluidelor

Definiție: O suprafață pe care potențialul forței masice este constant se numește suprafață echipotențială.

1. În interiorul unei mase de fluid în repaus, suprafețele echipotențiale sunt suprafețe izobare, izocore și izoterme.

(3.11)

2. Într-un fluid în repaus, suprafețele echipotențiale nu au nici un punct comun, nu sunt nici secante, nici tangente (fig. 3.2,a).

3. Într-un fluid în repaus presiunea crește în sensul descreșterii potențialului forței masice (fig. 3.2,b). Suprafața de separație dintre 2 fluide inmiscibile (fig. 3.3) este o suprafață echipotențială (fluide de densitate diferită)

4. Principiul lui Pascal – într-o masă de fluid în repaus, în cazul în care forțele masice sunt neglijabile în raport cu cele de presiune, presiunea este practic constantă. O variație de presiune într-un punct al unei mase de fluid în repaus se transmite integral în toate punctele masei de fluid.

3.4. Repausul absolut al fluidelor în câmpul gravitațional

Se consideră o masă de fluid în repaus în câmpul gravitațional (fig. 3.4). Asupra sa acționează numai forțe masice datorate acestui câmp.

Ecuația generală a staticii fluidelor are expresiile:

(3.12)

(3.13)

În câmp gravitațional ecuațiile (3.12) devin:

(3.14)

Forme particulare ale ecuației fundamentale a staticii în câmpul gravitațional:

1. fluid incompresibil (cazul lichidelor)

relația (1) devine

(3.15)

Ultima formă obținută a ecuației, se numește ecuația fundamentală a hidrostaticii fluidelor (statica lichidelor)

2. fluide ușoare (cazul gazelor)

(3.16)

3.5. Consecințe ale ecuației fundamentale a hidrostaticii

1. În cazul lichidelor în repaus în câmpul gravitațional, suprafețele echipotențiale sunt plane orizontale.

(3.17)

2. Suprafața de separație dintre două lichide inmiscibile (care nu se amestecă reciproc) în repaus, în câmp gravitațional este o suprafață echipotențială și prin urmare un plan orizontal.

3. Principiul vaselor comunicante (fig. 3.5). În cazul fluidelor aflate în câmpul gravitațional, suprafața de separație lichid – gaz (suprafața liberă a lichidului) este o suprafață echipotențială. Această proprietate se utilizează la măsurarea nivelului apei în rezervoare sau bazine.

4. Presiunea crește în sensul descreșterii potențialului forțelor masice.

5. Principiul lui Pascal: în ipoteza neglijării greutății proprii a lichidului, o variație de presiune într-un punct din interiorul unui lichid în repaus se transmite cu aceeași intensitate în toate punctele sale. Considerând două puncte (1) și (2) în interiorul unui fluid, o variație de presiune în (1) conduce la o variație de presiune , în (2):

(3.18)

(3.19)

6. Ecuația presiunii și reprezentarea grafică a variației presiunii într-un lichid în repaus: presiunea are o variație liniară cu adâncimea (fig. 3.6).

Considerăm un lichid aflat în repaus într-un vas:

(3.20)

Considerăm 2 lichide inmiscibile, conținute într-un tub în formă de U, atunci suprafața de separație este suprafață echipotențială. Consecința poate fi utilizată la determinarea densității unui lichid oarecare în raport cu un lichid etalon.

(3.21)

3.6. Acțiunea fluidelor în repaus pe suprafețe solide

3.6.1. Elemente generale

Acțiunea fluidelor în repaus pe suprafețe solide cu care se află în contact constă într-un sistem de forțe de presiune distribuite continuu pe suprafața respectivă, această acțiune este egală și de sens contrar cu acțiunea suprafeței solide asupra fluidului. În calculele din practică se operează cu rezultanta acestor forțe numită forță de presiune statică rezultantă.

Se consideră un fluid în repaus care se află în contact cu o suprafață de o anumită arie A.

(3.22)

Acțiunea unui fluid în repaus pe o suprafață solidă poate fi exprimată printr-un torsor, adică printr-un cuplu de vectori reprezentând forța de presiune statică rezultantă și momentul de presiune rezultant. Expresiile celor 2 vectori pot fi integrate dacă se cunosc: legea de variație a normalei, respectiv presiunii pe suprafața considerată.

3.6.2. Acțiunea fluidelor în repaus pe suprafețe solide plane.

În acest caz versorul normalei este constant ca orientare pe întregul domeniu.

(3.23)

Față de un punct de referință O, numit pol, momentul forței de presiune rezultante este: . (3.24)

unde este vectorul de poziție al punctului de aplicație al forței rezultante de presiune (numit și centrul de presiune al suprafeței).

Conform teoremei lui Varignon: (3.25)

3.6.3. Acțiunea lichidelor în repaus pe suprafețe solide plane

(3.26)

Se consideră cazul general al unui perete înclinat față de orizontală cu un unghi α, în contact cu un fluid de densitate ρ si greutate specifică γ (fig. 3.7). La suprafața liberă a lichidului se presupune că acționează presiunea atmosferică.

Se atașează un sistem de axe triortogonal Oxyz cu axa Oy în planul suprafeței libere și cu planul yOz în planul peretelui solid. Asupra suprafeței solide, în centrul de presiune va acționa forța de presiune rezultantă.

Forța de presiune rezultantă în acest caz este egală cu greutatea unei prisme de lichid având baza egală cu aria suprafeței considerate și înălțimea egală cu adâncimea centrului de greutate al suprafeței față de planul presiunii atmosferice.

(3.28)

(3.29)

Paralel cu sistemul de axe ales Ozy, se alege un alt sistem , cu originea în centrul de greutate (G) al suprafeței considerate. Față de acest nou sistem de axe notăm cu momentul de inerție axial (tabelul 3.1.) și respectiv, cu pe cel centrifugal.

Obținem coordonatele centrului de presiune:

În cazul particular al suprafețelor plane orizontale (fig. 3.5), mărimea forței depinde numai de mărimea ariei A, a suprafeței solide considerate și de adâncimea H, nu și de cantitatea de lichid din vas, adică de forma vasului (paradoxul hidrostatic).

Tabelul 3.1. Momente de inerție corespunzătoare diverselor suprafețe

3.6.4. Acțiunea gazelor în repaus pe suprafețe solide plane

(3.30)

Forța de presiune statică în cazul unui gaz în repaus are mărimea egală cu produsul dintre presiunea efectivă și aria suprafețelor solide plane considerate. Orientarea ei este normală și sensul dinspre fluid înspre suprafața solidă. Centrul de presiune coincide în acest caz cu centrul de greutate al suprafeței.

3.6.5. Acțiunea fluidelor în repaus pe suprafețe curbe deschise

Suprafețele curbe se caracterizează prin faptul că versorul normalei este variabil în diferite puncte ale suprafeței. Din acest motiv, integrarea directă a expresiei vectorului de poziție al centrului de presiune și a expresiei forței de presiune este dificilă.

Se înlocuiește forța de presiune cu un sistem de trei forțe rezultante de presiune care sunt paralele cu axele de coordonate (fig.3.6). În cazul general, aceste trei forțe nu sunt concurente. Considerăm o suprafață curbă deschisă care mărginește un fluid omogen și izotrop având densitatea ρ și greutatea specifică γ. Alegem un sistem de coordonate cu axa Oz vertical în jos și xOy în plan orizontal. Forța de presiune elementară rezultantă ce acționează pe suprafața dA se descompune în:

(3.31)

Prin integrare se obține:

(3.32)

3.6.6. Acțiunea lichidelor în repaus pe suprafețe curbe deschise

(3.33)

unde Vxoy este volumul corpului mărginit de suprafața A, dreptele de proiecție ale conturului suprafeței A pe planul orizontal și proiecția sa pe planul orizontal.

(3.34)

Fig. 3.6. Acțiunea lichidelor în repaus pe suprafețe curbe deschise

Forța rezultantă de presiune care acționează asupra unei suprafețe curbe deschise poate fi înlocuită cu un sistem de 3 forțe rezultante de presiune care sunt paralele cu axele de coordonate și au mărimile date de relațiile de mai sus (Fpx, Fpy, Fpz) și punctele de aplicație după cum urmează:

Dreapta suport a componentei Fpx (paralelă cu Ox) trece prin centrul de presiune al proiecției suprafeței considerate pe yOz; punctul său de aplicație se află la intersecția dreptei suport cu suprafața curbă considerată; sensul este dinspre fluid pe suprafața solidă.

Fpy are dreapta suport paralelă cu Oy care trece prin centrul de presiune al proiecției suprafeței considerate pe xOz; punctul de aplicație la intersecția suprafeței cu suprafața solidă și direcția dinspre fluid înspre suprafața solidă;

Dreapta suport a componentei Fpz trece prin centrul de greutate al volumului delimitat de suprafața curbă considerată, dreapta de proiecție a suprafeței curbe pe xOy și proiecția suprafeței pe același plan; punctul de aplicație la intersecția suprafeței cu suprafața solidă și sensul dinspre fluid spre suprafața solidă.

3.6.7. Acțiunea gazelor în repaus pe suprafețe curbe deschise

Utilizând modelul fluidului ușor, în repaus presiunea unui gaz este constantă. Rezultă:

(3.35)

3.6.8. Acțiunea fluidelor în repaus pe suprafețele solide curbe închise.

Împărțim suprafața curbă închisă în două suprafețe curbe deschise ce au aceeași proiecție pe planul lateral xOz:

(3.36)

În mod asemănător, pe direcția verticală, rezultă:

(3.37)

Asupra unui corp (suprafața solidă curbă închisă) cufundat într-un lichid acționează o forță rezultantă de presiune ascensională și care are valoarea egală cu greutatea volumului de fluid dezlocuit de acel corp (fig.3.7). Pe direcțiile axelor Ox și Oy rezultantele forțelor sunt nule, la fel și pe orice direcție orizontală.

Fig. 3.7. Acțiunea lichidelor în repaus pe suprafețe curbe închise

Pentru gaze, această forță se ia în considerare numai la valori foarte mari ale volumului dezlocuit.

Observație: Deși mărimea forței rezultante este dată de produsul dintre greutatea specifică și volum, forța nu e de natură masică, ci este de suprafață.

Relațiile stabilite sunt valabile și în cazul în care suprafața solidului se află la suprafața de separație dintre două fluide inmiscibile (care nu se amestecă unul cu altul). În acest caz, pentru calculul forței, se tratează separat fracțiunile din corp ce plutesc în fiecare dintre cele două fluide.

Cap. 4 CINEMATICA FLUIDELOR

4.1. Noțiuni introductive. Metode de studiu în cinematica fluidelor.

Cinematica fluidelor studiază mișcarea fluidelor fără a lua în considerare forțele care determină sau modifică parametrii mișcării. În consecință, rezultatele obținute sunt valabile atât pentru lichide ideale cât și pentru fluide vâscoase.

Cinematica fluidelor are la bază modelul fluidului continuu, iar metodele de studiu admit că masa de fluid în mișcare se compune dintr-un număr foarte mare de particule de fluid, care ocupă complet și compact spațiul în care se află curentul de fluid. Studiul mișcării unei particule de fluid este similar cu studiul mișcării punctului material din mecanica clasică.

Mișcarea unui fluid este cunoscută dacă în fiecare moment se cunosc mărimile: pozițiile particulelor componente, vitezele si accelerațiile lor pe intervalul de timp pe care se studiază mișcarea. La acestea se adaugă legile de variație a mărimilor de stare (volum/densitate, presiune, temperatură )

Pentru a cunoaște aceste mărimi se apelează la metodele:

Metoda Lagrange studiază mișcarea propriu-zisă a fiecărei particule de fluid componentă a corpului fluid. Ea stabilește inițial ecuațiile traiectoriei particulei de fluid, apoi din acestea se deduc ecuațiile vitezei și accelerației. Desfășurarea mișcării în timp și spațiu se raportează la un sistem de referință.

Fiecare particulă de fluid se identifică prin poziția inițială la momentul t0 definită prin coordonatele (xoi, yoi, zoi) sau vectorul de poziție al particulei (fig.4.1).

Fig. 4.1. Metoda Lagrange de studiu în cinematica fluidelor

Traiectoria unei particule de fluid este definită prin ecuațiile de coordonate:

(4.1)

Pentru descrierea completă a mișcării unei mase de fluid cu n particule sunt necesare n sisteme de ecuații. Aplicarea acestei metode la mișcarea generală a unui corp fluid constituit dintr-un număr foarte mare de particule, devine imposibil de soluționat din punct de vedere matematic. De aceea, metoda Lagrange se aplică studiului mișcării unor particule individualizate de fluid sau pentru cazuri particulare de curgere.

Metoda Euler studiază indirect mișcarea particulelor componente, ea având ca obiect de studiu câmpul vitezelor ca un câmp vectorial și evoluția lui în timp și în spațiul ocupat de fluid în mișcare. Conform acestei metode, prin fiecare punct al spațiului de coordonate (xi, yi, zi) și în fiecare moment din intervalul considerat trece câte o particulă de fluid cu o anumită viteza vi. La momentul următor de timp t”, vitezele particulelor în punctele respective devin vi” (fig.4.2).

Fig. 4.2. Metoda Euler de studiu în cinematica fluidelor

Câmpul vitezelor este definit în raport cu un sistem de referință Oxyz prin sistemul de ecuații:

(4.2)

În aceste ecuații, x, y, z, reprezintă coordonatele punctelor din spațiu ocupate de fluid, spre deosebire de metoda Lagrange, unde acestea sunt coordonatele particulelor de fluid. Pentru a descrie mișcarea unei mase de fluid este necesar să se cunoască vitezele în toate punctele domeniului ocupat de fluid, precum si legile de variație ale acestora în timp f1, f2, f3. Metoda se folosește la studiul formelor generalizate de mișcare.

Ecuațiile diferențiale ale traiectoriei sunt:

(4.3)

X=F1(x,y,z,t); Y=F2(x,y,z,t); Z=F3(x,y,z,t) (4.4)

Ecuațiile accelerațiilor se obțin prin derivarea în raport cu timpul a ecuațiilor vitezelor:

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

Accelerația este derivata totală a vitezei în raport cu timpul. În expresia ei, se numește accelerație locală și reprezintă variația locală a vitezei în raport cu timpul, ceilalți 3 termeni () reprezintă accelerația de transport și exprimă variației vitezei în funcție de timp prin intermediul coordonatelor spațiale.

4.2. Noțiuni fundamentale în cinematica fluidelor

1. Curentul de fluid – este o masă de fluid în mișcare.

2. Linia de curent – reprezintă linia tangentă la vectorii viteză ai particulei aflate în punctele acestor linii la un moment dat (fig.4.3). În cazul mișcării permanente liniile de curent rămân constante în timp.

Fig. 4.3. Linia de curent

Totalitatea linilor de curent formează spectrul liniilor de curent. Liniile de curent ocupă în întregime spațiul în care se află fluidul. În general liniile de câmp nu se intersectează și nu au nici un punct comun.

3. Traiectoria unei particule de fluid – este drumul parcurs de particule de fluid în mișcarea sa într-un anumit interval de timp (fig.4.4). Sistemul de ecuații vectoriale al traiectoriei particulei de fluid este:

(4.9)

Fig. 4.4. Traiectoria unei particule de fluid

În mișcarea permanentă, adică parametrii mișcării sunt constanți în timp, ecuațiile diferențiale ale traiectoriei sunt identice cu ecuațiile linilor de curent, adică în mișcarea permanentă, particulele se mișcă pe liniile de curent (traiectoriile particulelor coincid cu liniile de curent). Prin integrarea ecuațiilor diferențiale se obțin ecuațiile parametrice ale mișcării și după determinarea constantelor de integrare din condiția la limită se obțin ecuațiile traiectoriei particulei de fluid. Acestea permit în continuare aplicarea metodei Lagrange pentru studiul mișcării.

(4.10)

4. Suprafața de curent – este suprafața constituită din totalitatea liniilor de curent care se sprijină pe o curbă oarecare, deschisă (fig.4.5).

5. Tubul de curent – este suprafața formată din liniile de curent ce se sprijină pe o curbă închisă (fig.4.6). Deoarece liniile de curent nu se intersectează rezultă că toate particulele de fluid aflate în interiorul unui tub de curent, într-o anumită secțiune a sa, rămân în continuare în interiorul tubului pe toată lungimea lui. În mișcarea permanentă tubul de curent își menține constante în timp atât forma cât și dimensiunea ca și cum ar fi o conductă cu pereți rigizi.

6. Vena de fluid – constituie conținutul unui tub de curent, ea reprezentând un curent de secțiune finită în mișcare pe o singură direcție.

7. Tubul elementar de curent – este un tub subțire de curent de secțiune transversală elementară. Dimensiunea lui este suficient de mică, astfel încât să se poată considera că în secțiunea transversală toate particulele au aceeași viteză.

8. Firul de fluid – este conținutul unui tub elementar de curent. Firul de fluid materializează liniile de curent care trece prin acel punct.

9. Secțiunea unui tub de curent – este o suprafață oarecare străbătută de toate liniile de curent din interiorul tubului.

10. Secțiunea transversală a unui tub de curent – este secțiunea normală la toate liniile de curent din interiorul unui tub de curent (fig. 4.7). Ea este o suprafață plană dacă liniile de curent sunt paralele între ele.

11. Perimetrul udat: este lungimea conturului unei secțiuni transversale a unui curent de fluid mărginită de pereți solizi (fig.4.8).

Fig. 4.8. Perimetrul udat

12. Raza hidraulică – este raportul dintre aria secțiunii transversale a unui curent și perimetrul udat. În cazul conductelor sub presiune:

13. Debitul unui curent de fluid – este cantitatea de fluid care trece printr-o secțiune transversală a unui curent în unitatea de timp (fig.4.9). Ecuațiile definesc debitul volumic (a); masic (b) ; gravific/gravitațional (c).

14. Viteza medie a unui curent de fluid într-o anumită secțiune este raportul dintre debitul volumic de fluid și aria secțiunii.

(4.12)

4.3. Clasificarea mișcării fluidelor

4.3.1. După criteriul desfășurării mișcării în spațiu :

a) Mișcarea tridimensională – este cazul cel mai general de mișcare, iar componentele vitezei și accelerației sunt exprimate prin relația lui Euler:

(4.13)

Din aceste ecuații, prin diferențiere se obțin ecuațiile diferențiale ale traiectoriei și prin derivare în raport cu timpul, cele ale accelerației:

(4.14)

(4.15)

b) Mișcarea bidimensională – în cazul acesta, componentele după axa Oz sunt nule, mișcarea desfășurându-se după 2 direcții:

(4.16)

(4.17)

(4.18)

În cazul mișcării bidimensionale se înscrie și mișcarea axial simetrică ce apare în conducte (sistemul de coordonate ales este cel cilindric).

c) Mișcarea liniară – este cazul mișcării după o singură axă, componentele celelalte fiind nule.

(4.19)

4.3.2. După criteriul desfășurării mișcării în timp

a) Mișcare nepermanentă (nestaționară) – caracterizată prin faptul că parametrii mișcării depind atât de timp cât și de spațiu. Ecuațiile pentru mișcarea nepermanentă sunt cele din cazul general de mișcare (paragraful 4.3.1) și cu particularitățile de la (a ,b, c) în cazul mișcării nepermanente, tridimensionale, bidimensionale și liniare .

Un caz particular al mișcării nepermanente este mișcarea semipermanentă în cazul în care vitezele rămân constante ca direcție în fiecare punct al spațiului și variază numai ca mărime. Un exemplu de mișcare semipermanentă este mișcarea periodică în care parametrii mișcării sunt funcții periodice de timp.

b) Mișcare permanentă (staționară) – în care parametrii mișcării nu depind de timp ci numai de coordonatele spațiului.

(4.20)

(4.21)

(4.22)

(4.23)

Un caz particular al mișcării permanente este mișcarea uniformă (a=0). Mișcările permanente se întâlnesc în cazul curgerii în conducte și canale în regim permanent. Liniile de curent sunt paralele, iar vectorul vitezei este constant de-a lungul lor.

4.3.3. Criteriul naturii pereților tubului de curent :

curgerea prin conducte sub presiune (fig.4.10,a) – se caracterizează prin faptul că pereții tubului de curent sunt solizi;

curgerea cu suprafață liberă, prin albie naturală (fig.4.10,b) sau canale (fig.4.10,c);

curgerea sub formă de jet – adică pe tot exteriorul curentului de fluid acționează presiunea atmosferică (fig.4.10,d).

Fig. 4.10. Clasificarea curgerii conform criteriului

naturii pereților tubului de curent:

a) curgerea prin conducte sub presiune;

b) curgerea cu suprafață liberă, prin albie naturală

c) curgerea cu suprafață liberă, prin canaledeversoare;

d) curgerea sub formă de jet.

4.3.4. Clasificarea conform aspectului fizic al curgerii.

Experiența lui Reynolds

Mișcarea laminară se produce la viteze relativ mici, ea se caracterizează prin faptul că se desfășoară în straturi elementare paralele care alunecă unele peste altele fără să existe schimb de particule între straturi. Deplasarea particulelor se desfășoară pe traiectorii regulate și constante în timp având un aspect ordonat.

Fig. 4.11. Clasificarea curgerii conform aspectului fizic al acesteia

Mișcarea turbulentă se produce la viteze mari și particulele de fluid trec de pe un strat elementar pe altul, deplasarea lor făcându-se neregulat, iar aspectul fizic este dezordonat. Clasificarea se face în funcție de numărul lui Reynolds (fig.4.11).

(4.24)

Din punct de vedere matematic:

Re < 2310 – regim laminar

2310 < Re < 4000 – regim tranzitoriu

4000 < Re – regim turbulent

(4.25)

Mișcarea unei particule de fluid. Mișcarea unei particule de fluid care se deplasează între punctele 1 și 2 ale unei linii de curent se compune din translație, rotație și deformație, adică în mișcarea sa particula de fluid își modifică poziția, orientarea și forma (fig.4.12).

Fig. 4.12. Componentele mișcării unei particule de fluid

Translația particulei de fluid caracterizată prin distanța corespunzătoare pe care se face deplasarea și constă în schimbarea poziției sale în timp.

Rotația particulei de fluid caracterizată prin unghiul cu care aceasta se rotește în timpul deplasării și constă în schimbarea orientării sale în timp.

Deformația particulei de fluid constă în modificarea dimensiunilor sale în timp. Deformația are o componentă liniară și una unghiulară. Cele două categorii de deformație sunt descrise prin modificarea raportului dintre dimensiuni (lungimi și unghiuri ) ce caracterizează mărimea și forma particulei de fluid în deplasarea din punctul 1 în punctul 2 pe o linie de curent.

4.4. Ecuația de continuitate în cazul general de mișcare

Ecuația de continuitate reprezintă principiul conservării masei aplicat mișcării fluidului în ipoteza continuității mediului fluid.

Variația într-un interval de timp determinat a masei de fluid conținută într-un volum dat trebuie să fie egală cu diferența dintre masa de fluid care intră în volumul considerat și masa de fluid care iese din volumul considerat în același interval de timp. Dacă masa de fluid care intră în volumul considerat este mai mică decât masa care iese din acel volum, nu se produce o discontinuitate în masa fluidului ci variază masa din interiorul volumului prin variația densității fluidului din acel volum. Acest lucru poate fi exprimat analitic printr-o ecuație numită ecuație de continuitate.

Fig. 4.13. Ecuația de continuitate. Volum elementar de fluid

Ecuația de continuitate în cazul general de mișcare: Se consideră o masă de fluid compresibilă de densitate în mișcare nepermanentă, tridimensională. Printr-o suprafață închisă, fixă în spațiu, de forma unui paralelipiped dreptunghic, având laturile de dimensiuni elementare dx, dy, dz cu laturile paralele cu axele unui sistem de coordonate Oxyz se delimitează un volum de control în interiorul masei de fluid (fig.4.13).

Expresia ecuației de continuitate se obține din condiția de egalitate a diferenței dintre masa de fluid care intră în volumul de control, pereții acestuia fiind considerați permeabili și cea care iese din volumul de control într-un interval de timp, cu variația masei de fluid în volumul de control în același interval de timp.

Prin exprimarea diferenței dintre masa de fluid care intră în volumul de control și cea care iese din acesta în intervalul de timp elementar dt se obține :

(4.26)

(4.27)

În același interval de timp dt masele de fluid din interiorul volumului de control variază prin modificarea valorii densității, de la valoarea dxdydz la:

(4.28)

Conform principiului conservării masei de fluid:

(4.29)

(4.30)

(4.31)

Cazuri particulare :

a) mișcarea permanentă (4.32)

b) fluide incompresibile (4.33)

4.5. Ecuația de continuitate pentru un tub de curent

Se consideră un tub de curent în interiorul căruia se află o masă de fluid compresibil, omogen și izotrop în mișcare nepermanentă (fig.4.14). Se delimitează un volum de control V, mărginit de pereții tubului și de două secțiuni transversale A1 și A2, așezate la o distanță oarecare L una de alta măsurată pe axa tubului.

Fig. 4.14. Ecuația de continuitate pentru un tub de curent

Prin aria elementară dA aparținând secțiunii A1, intră în volumul de control debitul masic elementar:

(4.34)

Prin aria elementară dA aparținând secțiunii A2, iese din volumul de control debitul masic elementar:

(4.35)

Produsul între debitele masice și intervalul de timp elementar dt reprezintă valorile masei de fluid care intră respectiv iese din volumul de control prin ariile elementare dA aparținând secțiunilor A1, respectiv A2, în același interval de timp dt, conform relațiilor:

(4.36)

(4.37)

Prin integrarea expresiilor maselor de fluid pe secțiunea de intrare A1 respectiv cea de ieșire A2 se obține:

(4.38)

(4.39)

Diferența dintre masa de fluid care intră în volumul de control și cea care iese din volumul de control este:

(4.40)

Considerând mediul fluid continuu și conform principiului conservării masei, această diferență se regăsește în variația masei de fluid ca urmare a variației densității în interiorul volumului de control în același interval de timp dt.

Masa unui volum elementar de fluid dV variază, ca urmare a variației densității acestuia în intervalul de timp dt de la valoarea la

Pentru întregul volum de control V, variația masei de fluid ca urmare a variației densității este:

(4.41)

Conform principiului conservării masei: și deci:

(4.42)

Intervalul de timp dt este diferit de zero. Prin împărțire cu dt se obține:

(4.43)

sau:

. (4.44)

Ecuația continuității în cazul unui tub de curent, demonstrează că diferența dintre debitul masic ce intră în volumul de control și cel care iese din volumul de control este egală cu variația în unitatea de timp a masei de fluid din interiorul tubului de curent.

Cazuri particulare :

a) mișcarea permanentă: (4.45)

sau : (4.46)

unde v reprezintă viteza medie în secțiune.

În cazul mișcării permanente a unui fluid compresibil, printr-un tub de curent, debitul masic este constant în orice secțiune a tubului.

b) fluide incompresibile:

(4.47)

sau : (4.48)

În cazul mișcării permanente a unui fluid incompresibil, printr-un tub de curent, debitul volumic este constant în orice secțiune a tubului.