Cercuri Remarcabile

CAPITOLUL 1. CERCURI REMARCABILE

1.1. Cercul circumscris unui triunghi

1.1.1. Proprietăți

Teoremă. În orice triunghi mediatoarele laturilor sunt concurente.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC, d1 și d2 mediatoarele laturilor AB și BC. Dacă presupunem că d1 și d2 nu sunt concurente, atunci și cum , rezultă că și. Pe de altă, d1 fiind mediatoarea laturii AB, avem , ceea ce ne arată că prin B trec două perpendiculare distincte pe dreapta d1, și anume , , ceea ce este fals.

Prin urmare dreptele d1 și d2 sunt concurente. Fie . Din proprietatea punctelor mediatoarei unui segment rezultă că și , adică , de unde rezultă că punctul O aparține și mediatoarei d3 a laturii AC.

Deci, d1, d2, d3, mediatoarele laturilor triunghiului ABC sunt concurente în punctul O.

Observația 1. Pentru că , vârfurile A, B, C ale triunghiului sunt egal depărtate de punctul O, deci se găsesc pe un cerc cu centrul O și de rază .

Definiție. Fiind dat triunghiul ABC, cercul care conține vârfurile triunghiului se numește cercul circumscris triunghiului.

Definiție. Punctul de intersecție al mediatoarelor laturilor unui triunghi se numește centrul cercului circumscris triunghiului.

Observația 2. Centrul cercului circumscris unui triunghi se află în interiorul triunghiului, dacă triunghiul este ascuțitunghic, în exteriorul triunghiului, dacă triunghiul este obtuzunghic și coincide cu mijlocul ipotenuzei în cazul în care triunghiul este dreptunghic.

Definiție. Triunghiul având vârfurile în proiecțiile unui punct M pe laturile unui triunghi oarecare se numește triunghi podar al punctului M considerat.

Definiție. Într-un triunghi ABC în care M este un punct oarecare din planul său, picioarele cevienelor AM, BM, CM sunt vârfurile unui triunghi denumit triunghiul pedal al punctului M.

Proprietatea 1. Raza cercului circumscris unui triunghi oarecare ABC este , unde a, b, c, sunt lungimile laturilor, S este aria triunghiului, iar R este raza cercului circumscris triunghiului dat.

Demonstrație. Din formula ariei triunghiului și folosind teorema sinusurilor, , avem , de unde .

Proprietatea 2. Fiind dat triunghiul ABC, atunci triunghiul podar al centrului cercului circumscris triunghiului ABC este triunghiul median al acestuia.

Demonstrație. Triunghiul median este triunghiul care are vârfurile în mijloacele laturilor triunghiului dat. Evident, dacă D, E și F sunt proiecțiile centrului O al cercului circumscris triunghiului ABC, pe laturile triunghiului, atunci D, E și F sunt și mijloacele segmentelor BC, CA și AB și, în consecință DEF fiind triunghiul podar al centrului cercului circumscris triunghiului ABC este, în același timp, triunghiul median al acestuia.

Proprietatea 3. Dacă este triunghiul pedal al centrului cercului circumscris triunghiului ABC, atunci , , .

Demonstrație. Fie triunghiul pedal al punctului O, centrul cercului circumscris triunghiului ABC, iar , , punctele de intersecție ale dreptelor AO, BO și CO cu cercul circumscris triunghiului ABC.

Avem: . Analog, . Dacă aplicăm teorema sinusurilor în triunghiurile și obținem , respectiv , de unde rezultă:

.

La fel obținem , .

Proprietatea 4. Dacă este triunghiul pedal al centrului O al cercului circumscris triunghiului ABC, atunci , , .

Demonstrație. Dacă aplicăm teorema lui Van-Aubel pentru triunghiul ABC și cevienele , , obținem:

.

La fel obținem , .

Proprietatea 5. Dacă O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, atunci pentru orice punct M din planul triunghiului avem .

Demonstrație. Din obținem , iar din obținem . Din (*) și (**) rezultă .

Particularizări. 1) Dacă , atunci avem .

2) Dacă , atunci , unde G este centrul de greutate al triunghiului.

3) Dacă , atunci .

Proprietatea 6. Dacă O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC și G centrul de greutate, atunci .

Demonstrație. Dacă în relația lui Leibniz, , luăm , atunci avem succesiv:

,

,

.

Observație. Din rezultă că . Inegalitatea devine egalitate dacă și numai dacă triunghiul ABC este echilateral.

Proprietatea 6. Dacă O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC și H ortocentrul triunghiului, atunci .

Demonstrație. Fie triunghiul ABC, cu H ortocentrul, O centrul cercului circumscris cu raza R, P piciorul înălțimii AH și A1 punctul unde AH intersectează a doua oară cercul circumscris triunghiului.

Știm că , (vezi 1.3.4.). Aplicăm teorema lui Stewart în triunghiul și avem:

.

Cum și , avem succesiv:

,

,

,

,

.

1.1.2. Aplicații

A. Folosind notațiile uzuale în triunghiul ABC, să se arate că:

1. ;

2. .

Rezolvare. 1. Din , folosind teorema sinusurilor și teorema cosinusului și ținând cont că: , (vezi 1.2.3.),

avem:

.

2. Într-adevăr, , de unde rezultă:

,

adică: și, deci, .

B. Să se arate că în orice triunghi nedreptunghic este adevărată relația .

Rezolvare. Considerăm triunghiul nedreptunchic ABC și O centrul cercului circumscris triunghiului.

a) Dacă triunghiul este ascuțitunghic atunci punctul O aparține interiorului triunghiului dat și avem , și .

Avem succesiv:

,

,

.

Demonstrăm că cel puțin una din inegalitățile , , este strictă. Într-adevăr, dacă presupunem contrariul avem , deci , adică , ceea ce reprezintă o contradicție. Înseamnă că .

b) Dacă triunghiul ABC este obtuzunghic, atunci punctul O nu aparține interiorului triunghiului dat. Să luăm, de exemplu, și atunci avem , și .

Avem succesiv:

,

,

.

Avem, evident, , , . Demonstrăm că una din inegalitățile , este strictă. Presupunem, prin absurd, că și și atunci , adică , deci , ceea ce contrazice ipoteza. Înseamnă că .

C. Să se arate că în orice triunghi dreptunghic este adevărată relația , egalitatea având loc când triunghiul este și isoscel.

Rezolvare. Considerăm triunghiul ABC cu și atunci , adică . Avem egalitate dacă , adică atunci când , deci când triunghiul dreptunghic este isoscel.

1.2. Cercurile tritangente

1.2.1. Teorema de concurență a bisectoarelor

Lemă. Bisectoarele a două unghiuri interne de aceeași parte a unei secante sunt concurente.

Demonstrație. Considerăm unghiurile și două unghiuri interne de aceeași parte a secantei BC.

Fie [BM și [CN bisectoarele unghiurilor ABC și BCD. Presupunem prin reducere la absurd că cele două bisectoare nu sunt concurente. Atunci înseamnă că sunt paralele și, deci, (1).

Cum , rezultă că

,

adică , ceea ce contrazice relația (1).

Teorema 1. În orice triunghi, bisectoarele interioare sunt concurente.

Demonstrația 1. Fie [AD, [BE, [CF bisectoarele unghiurilor triunghiului ABC. În conformitate cu lema precedentă, unghiurile A și B, fiind unghiuri interne de aceeași parte a secantei AB, rezultă că bisectoarele [AD și [BE sunt concurente. Fie I punctul de concurență. Știm că bisectoarea este locul geometric al punctelor egal depărtate de laturile unghiului. Punctul I aparținând bisectoarei [AD este egal depărtat de laturile AB și AC ale unghiului A, deci (2). Punctul I aflându-se și pe bisectoarea [BE rezultă că (3). Din relațiile (2) și (3) avem , adică [CI este bisectoare a unghiului C. Am demonstrat, astfel, că cele trei bisectoare ale unghiurilor triunghiului ABC sunt concurente în punctul I.

Demonstrația 2. Folosind teorema bisectoarei interioare pentru bisectoarele [AD, [BE, [CF, avem: , , . Prin înmulțire aceste relații ne dau , adică , relație care, în conformitate cu reciproca teoremei lui Ceva, ne arată că bisectoarele [AD, [BE, [CF sunt concurente.

Observație. Punctul de concurență al bisectoarelor interioare ale unghiurilor unui triunghi aparține interiorului triunghiului.

Teorema 2. Două bisectoare exterioare și una interioară, trecând fiecare prin câte un vârf al triunghiului, sunt concurente.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC și Ia punctul de intersecție al bisectoarelor exterioare triunghiului cu vârfurile în B și C.

Considerăm D, E și F proiecțiile punctului Ia pe latura BC și pe prelungirile laturilor AB și AC ale triunghiului dat.

Ținând cont că bisectoarea este locul geometric al punctelor egal depărtate de laturile unghiului, avem , și de aici rezultă , ceea ce ne arată că Ia este egal depărtat și de laturile unghiului BAC, adică Ia aparține și bisectoarei unghiului BAC și, prin urmare, Ia este punctul de concurență al celor trei bisectoare, două exterioare cu vârfurile în B și C și una interioară cu vârful în A.

La fel se procedează și în celelalte două cazuri și obținem punctele Ib și Ic.

1.2.2. Cercul înscris și cercurile exînscrise. Proprietăți

Punctul I de intersecție al bisectoarelor unghiurilor unui triunghi având aceeași distanță r față de cele trei laturi ale triunghiului este centrul unui cerc tangent interior la cele trei laturi. Cercul se numește cerc înscris în triunghi, iar punctul I este centrul cercului înscris triunghiului.

Punctul Ia de intersecție al bisectoarelor exterioare cu vârfurile în B și C și al bisectoarei interioare cu vârful în A, având aceeași distanță ra față de latura BC și față de prelungirile laturilor AB și AC ale triunghiului ABC, este centrul unui cerc tangent la o latură și la prelungirile celorlalte două laturi. Cercul se numește cerc exînscris în triunghi corespunzător vârfului A, iar punctul Ia este centrul cercului exînscris triunghiului.

Înseamnă că unui triunghi ABC îi corespund un cerc înscris și trei cercuri exînscrise , , .

Cercul înscris întru-un triunghi și cele trei cercuri exînscrise se numesc cercuri tritangente.

Observație. Dacă este înscris în triunghiul ABC, iar , , sunt proiecțiile punctului I pe laturile BC, CA, AB, atunci triunghiul se numește triunghiul de contact al triunghiului ABC.

Proprietatea 1. Dacă este cercul înscris în triunghiul ABC, atunci , , .

Demonstrație. Dacă triunghiul este triunghiul de contact al triunghiului ABC, atunci în triunghiul dreptunghic avem , de unde obținem . Analog, , .

Proprietatea 2. Dacă este cercul înscris în triunghiul ABC, iar R este raza cercului circumscris, atunci , , .

Demonstrație. Știm că . Înseamnă că ,

Analog, , .

Proprietatea 3. Dacă triunghiul ABC este înscris într-un cerc , iar I și Ia sunt, respectiv, centrul cercului înscris și al celui exînscris, atunci , unde A' este mijlocul arcului . Demonstrație. Dacă A' este mijlocul arcului atunci punctele A, I, A' și Ia sunt coliniare.

Patrulaterul ABA'C fiind inscriptibil avem:

și cum , deducem că

.

Pe de altă parte avem:

.

Înseamnă că triunghiul A'BI este isoscel și, prin urmare, .

La fel arătăm că triunghiul A'IC este isoscel, de unde și, în consecință, . Știm că bisectoarea interioară și cu cea exterioară de același vârf sunt perpendiculare, de unde rezultă că patrulaterul IaCIB este inscriptibil având două unghiuri opuse drepte.

Din faptul că patrulaterul IaCIB este inscriptibil și deducem că .

Observație. Proprietatea 3 o putem enunța și astfel: Dacă triunghiul ABC este înscris într-un cerc , iar I, Ia și A' sunt, respectiv, centrul cercului înscris, al celui exînscris și mijlocul arcului , atunci punctele B, I, C, Ia sunt conciclice.

Proprietatea 4. Triunghiul ABC este triunghiul ortic al triunghiului IaIbIc.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC, iar Ia, Ib, Ic centrele cercurilor exînscrise.

Într-adevăr, bisectoarea interioară CIc este perpendiculară pe bisectoarea exterioară IbIa, bisectoarea interioară BIb este perpendiculară pe bisectoarea exterioară IcIa, iar bisectoarea interioară AIa este perpendiculară pe bisectoarea exterioară IbIc. Pentru că punctele A, B, C sunt picioarele înălțimilor triunghiului IaIbIc deducem că triunghiul ABC este triunghiul ortic al triunghiului IaIbIc.

Observație. 1. Triunghiul IaIbIc se numește triunghiul antisuplementar corespunzător triunghiului ABC.

2. Centrul cercului înscris în triunghiul ABC este ortocentrul triunghiului IaIbIc.

3. Înălțimile unui triunghi sunt bisectoarele triunghiului ortic al triunghiului dat.

Proprietatea 5. Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC, atunci .

Demonstrație. Notăm cu D intersecția dintre bisectoarea AI și latura BC a triunghiului ABC.

Atunci avem:

.

Proprietatea 6. Dacă Ia este centrul cercului exînscris triunghiului ABC, atunci .

Demonstrație. Știm că patrulaterul IaCIB este inscriptibil (vezi proprietatea 3).

Înseamnă că:

.

Proprietatea 7. Lungimile segmentelor determinate de punctele de contact ale cercului înscris sunt date de relațiile:

,

,

.

Demonstrație. Fie D, E, F punctele de contact ale cercului înscris triunghiului ABC cu laturile BC, CA, AB.

Notăm , , , , unde a, b, c sunt lungimile laturilor BC, CA, AB.

Avem , de unde , dar cum , , , deducem , , .

Proprietatea 8. Dacă este cercul înscris în triunghiul ABC, atunci .

Demonstrație. Fie DEF triunghiul de contact al triunghiului ABC, atunci în triunghiul dreptunghic AEI avem , iar dacă folosim proprietatea precedentă avem , deci . Analog, , .

Proprietatea 9. Dacă este cercul înscris în triunghiul ABC, atunci , unde p este semiperimetrul triunghiului.

Demonstrație. Știm că și atunci avem:

.

Proprietatea 10. Lungimile segmentelor determinate de punctele de contact ale cercurilor exînscrise sunt date de relațiile:

, , ,

, , ,

, , .

Demonstrație. Avem . La fel obținem .

Rezultă că , adică și, deci, și .

Analog obținem și relațiile pentru celelalte două vârfuri.

Consecință. Pe dreapta suport a fiecărei laturi a triunghiului se află patru puncte de contact; ele sunt două câte două simetrice în raport cu mijlocul laturii, adică avem:

, ,

, ,

, .

Altfel spus: punctele de contact sunt, două câte două, puncte izotomice.

Într-adevăr, relațiile de mai sus sunt demonstrate la proprietatea 7 și proprietatea 10.

Proprietatea 11. Distanța dintre punctele exterioare de contact de pe o latura a triunghiului este egală cu suma celorlalte două laturi, adică:

, , .

Demonstrație. Într-adevăr, avem , iar dacă folosim relațiile și , putem scrie și deci . Analog se obțin și relațiile , .

Proprietatea 12. Distanța dintre punctele interioare de contact de pe o latura a triunghiului este egală cu diferența celorlalte două laturi, adică:

, , .

Demonstrație. Avem , adică, . Analog, , .

Proprietatea 13. Distanțele de la punctul de contact al cercului înscris la punctele de contact exteriore sunt date de formulele:

, ,

, ,

, .

Demonstrație. Într-adevăr, , de unde rezultă , adică .

Avem, de asemenea, . Analog obținem: , , , .

Proprietatea 14. Distanțele între punctele de contact ale cercurilor exînscrise sunt date de formulele:

, , ,

, , ,

, , .

Demonstrație. Avem , adică . Din , rezultă , adică

, iar din , rezultă , adică . Analog se deduc și celelalte relații.

Proprietatea 15. Dacă este cercul înscris în triunghiul ABC, atunci , unde G este centru de greutate al triunghiului.

Demonstrație. Dacă în relația lui Leibniz, , luăm și ținem cont că , și , atunci avem:

,

deci .

Consecință. Din rezultă imediat inegalitatea .

1.2.3. Aplicații

A. Folosind notațiile uzuale în triunghiul ABC, să se arate că:

1) .

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8).

Rezolvare. 1) Avem: , de unde rezultă imediat .

Avem de asemenea:

.

Analog obținem și celelalte relații.

2) Știm că , , . Atunci avem:

.

3) Avem , sau , adică , deci .

4) Avem:, adică . În mod analog, .

Înmulțind cele trei relații, obținem:

,

de unde rezultă: .

Cum și relația precedentă devine: care este echivalentă cu: de unde rezultă .

5) Am demonstrat anterior că: ceea ce conduce la:

.

6) Știm că , oricare ar fi x și y numere reale strict pozitive, de unde obținem inegalitatea oricare ar fi x, y, z numere reale strict pozitive. Dacă în această inegalitate luăm , , , obținem . Cum , , , , rezultă .

7) Avem:

,

adică . Analog obținem și . Prin adunarea egalităților obținem succesiv:

,

.

Cum , , , obținem:

,

.

Egalitatea are loc dacă și numai dacă , adică atunci când triunghiul ABC este echilateral.

8) Folosim inegalitatea . Dacă adunăm 3 la ambii membri ai inegalității și ținem con că , , , , atunci avem succesiv:

,

,

,

,

.

B. Folosind notațiile uzuale în triunghiul ABC, să se arate că:

.

Rezolvare. Avem .

Observație. Relația o putem scrie și astfel sau sau .

C. Folosind notațiile uzuale în triunghiul ABC, să se arate că: 1.;

2. ;

3. ;

4.

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. .

Rezolvare. 1. Întra-adevăr, din rezultă succesiv:

,

,

,

,

.

2. Folosim identitatea: și avem:

,

,

.

3. Avem succesiv:

,

,

,

,

.

4. Folosim identitatea:

și avem:

.

5. Folosim identitatea:

și avem succesiv:

,

,

.

6. Avem:

,

,

,

,

.

7. Folosind formulele pentru și obținem:

.

8. Avem, iar după ce înlocuim și , obținem:

,

,

,

.

9. Avem .

Mai putem scrie:

,

de unde rezultă succesiv:

,

,

,

.

1.2.4. Calculul lungimilor bisectoarelor în funcție de laturile triunghiului

Fie ABC un triunghi oarecare, [AD bisectoarea interioară a unghiului BAC, unde D(BC).

Atunci: , unde prin la am notat lungimea bisectoarei AD, iar p este semiperimetrul triunghiului.

Într-adevăr, conform teoremei bisectoarei avem: . De aici rezultă și se obține DC. Analog BD. Scriem relația lui Stewart în triunghiul ABC cu și obținem:

,

de unde:

.

Se înlocuiesc în această relație BD, DC cu expresiile obținute și rezultă , de unde, ținând seama că p, avem .

Obținem ușor, prin permutări ciclice, lungimile bisectoarelor interioare corespunzătoare celorlalte două unghiuri: , .

Lungimea a bisectoarei exterioare este:

.

Într-adevăr, dacă în triunghiul ABC considerăm AE bisectoarea exterioară unghiului A, a cărei lungime o notăm , conform teoremei bisectoarei exterioare avem , de unde obținem , sau . Înseamnă că . Analog, .

Scriem relația lui Stewart în triunghiul ABE cu și obținem:

,

de unde avem:

.

Făcând calculele, obținem succesiv:

,

,

,

,

.

Deci sau .

Analog, prin permutări ciclice, obținem lungimile bisectoarelor exterioare ale celorlalte două unghiuri: , .

1.2.5. Calculul lungimilor bisectoarelor în funcție de razele cercurilor exînscrise

Fie triunghiul ABC în care folosim notațiile uzuale. Cunoaștem că , , , iar . Înseamnă că , deci . Analog obținem și .

Notăm , și și atunci avem:

Dacă în acest sistem împărțim prima ecuație la a doua, iar a doua la a treia obținem și , de unde și . Folosim aceste două relații în a doua ecuație din sistem și atunci avem , adică , iar dacă ținem cont că , atunci avem , sau . Analog, și (*). Din aceste ultime relații și ținând cont că , rezultă sistemul:

Dacă adunăm primele două ecuații ale sistemului obținem . Analog, și (**).

Știm că lungimea bisectoarei interioare corespunzătoare unghiului A este și dacă folosim relațiile (*) și (**) obținem și analoagele.

Formula bisectoarei exterioare este și dacă ținem seama de relațiile (*) și (**) avem și analoagele.

1.2.6. Calculul ariei unui triunghi în funcție de raza cercului înscris și razele cercurilor exînscrise

Știm că .

Dacă ținem cont că și , atunci avem:

,

deci .

1.3. Cercul lui Euler

1.3.1. Dreapta lui Euler

Teoremă. În orice triunghi ABC, ortocentrul H, centrul de greutate G și centrul O al cercului circumscris triunghiului sunt situate pe o aceeași dreaptă (numită dreapta lui Euler) și .

Demonstrația 1. În triunghiul ABC, fie A′ mijlocul segmentului [BC], A′′ punctul diametral opus lui A, H ortocentrul, iar O centrul cercului circumscris.

Pentru că unghiurile și sunt înscrise într-un semicerc sunt unghiuri drepte și avem și . Cum și , rezultă că BHCA′′ (1). Din și , rezultă A′′BCH (2). Din (1) și (2) rezultă că patrulaterul BHCA′′ este paralelogram și cum A′ este mijlocul segmentului , înseamnă că A′ este și mijlocul segmentului [HA′′], (3), punctele H, A′, A′′ fiind coliniare.

Punctul O este mijlocul segmentului și din relația (3) avem că A′ este mijlocul segmentului [HA′′], rezultă că OA' este linie mijlocie în triunghiul A''HA, deci OA′AH (4) și OA′AH. Fie G=HOAA′. Din OA′AH avem că triunghiurile AHG și A′OG sunt asemenea și , de unde rezultă că AG=2GA′ și cum AA' este mediana triunghiului ABC, înseamnă că G este tocmai centrul de greutate al triunghiului ABC. Prin urmare punctele H, G și O sunt coliniare și HG=2GO.

Demonstrația 2. În triunghiul ABC, fie A′ mijlocul laturii [BC], , B' mijlocul laturii , , H ortocentrul, iar O centrul cercului circumscris.

Triunghiurile AHB și A′OB′ sunt asemenea (ca triunghiuri ce au laturile paralele). Deoarece , rezultă .

Fie G centrul de greutate al triunghiului ABC. Unim G cu H și G cu O. Centru de greutate al triunghiului fiind G, rezultă că , iar HAG. Înseamnă că triunghiurile AHG și A′OG sunt asemenea, de unde HGA, adică semidreptele [GH și [GO sunt în prelungire și HG=2GO.

1.3.2. Cercul lui Euler

Teorema 1. Într-un triunghi, mijlocele laturilor, picioarele înălțimilor și mijloacele segmentelor cuprinse între vârfuri și ortocentru sunt situate pe un cerc (numit cercul lui Euler sau cercul celor nouă puncte sau cercul medial).

Demonstrație. În triunghiul ABC luăm A' , B', C' mijloacele laturilor, A1, B1, C1 picioarele înălțimilor, H ortocentrul și A2, B2, C2 mijloacele segmentelor , , . Trebuie să demonstrăm că cele nouă puncte A' , B', C', A1, B1, C1, A2, B2, C2 sunt conciclice.

Într-adevăr, pentru că punctele A2, C2 sunt mijloacele segmentelor , avem, iar punctul A' fiind mijlocul laturii BC, înseamnă că dreapta C2A' este paralelă cu BH. Dar pentru că BH este înălțime a triunghiului, face cu latura AC un unghi drept, ceea ce implică . La fel avem că .

Pentru că și , triunghiurile dreptunghice și se înscriu în același cerc, având ca diametru ipotenuza comună A2A'. Pe acest cerc se află și punctul A1 pentru că . Analog găsim că punctele B', B1 și C', C1 se află pe același cerc cu punctele A2, B2, C2, A', A1 și teorema este astfel demonstrată.

Observația 1. Perpendicularele ridicate pe laturile unui triunghi, în mijlocul segmentelor cuprinse între picioarele înălțimilor și mijloacele laturilor, sunt concurente în centrul cercului lui Euler.

Într-adevăr, segmentele A1A', B1B', C1C' sunt coarde în cercul lui Euler și înseamnă că perpendicularele prin mijlocul acestora sunt concurente în centrul cercului lui Euler.

Observația 2. Segmentele care unesc mijlocele laturilor unui triunghi, respectiv, cu punctele euleriene ale înălțimilor care pornesc din vârfurile opuse sunt diametre în cercul lui Euler.

Prin puncte euleriene înțelegem mijloacele segmentelor determinate de ortocentrul triunghiului și vârfurile acestuia. Într-adevăr, segmentele A'A2, B'B2, C'C2 sunt diametre în cercul lui Euler.

Observația 3. Într-un triunghi, triunghiul cu vârfurile în punctele euleriene și triunghiul median (sau complementar, care are vârfurile în mijloacele laturilor triunghiului dat) sunt simetrice și invers omotetice având centrul de simetrie și centrul de omotetie în O9, centrul cercului lui Euler.

Fie F o figură și O un punct din planul acesteia. Dacă unim O cu diferite puncte A, B, C,… ale figurii F și dacă luăm pe dreptele OA, OB, OC,… segmentele , , ,…, astfel ca:

,

obținem o figură F' numită omotetica figurii F.

Constanta k se numește raport de omotetie, iar punctul O se numește centru de omotetie.

Punctele A și A', B și B', C și C' etc. se numesc puncte omoloage, iar dreptele AB, A'B' etc., care în figurile omotetice F și F' unesc două puncte omoloage se numesc drepte omoloage.Dacă punctele A și A', B și B', C și C' etc. sunt de aceeași parte, respectiv, pe dreptele OA, OB, OC etc., atunci figurile F și F' se numesc direct omotetice, iar in caz contrar se numesc invers omotetice.

Într-adevăr, dacă ținem seama de faptul că punctele A' și A2, B' și B2, C' și C2 sunt diametral opuse, proprietatea de mai sus este verificată.

Observația 4. Cercul circumscris unui triunghi dat este cercul lui Euler al triunghiului anticomplementar (triunghiul ale cărui laturi sunt paralele cu ale triunghiului dat și trec prin vârfurile acestuia).

Într-adevăr, triunghiul ABC este anticomplementarul triunghiului A'B'C' și proprietatea este dovedită.

Observația 5. Cercul circumscris triunghiului ortic al unui triunghi ABC este cercul lui Euler al triunghiului ABC.

Teorema 2. Raza cercului lui Euler este egală cu jumătatea razei cercului circumscris.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC, iar A', B', C' mijloacele laturilor BC, CA, AB.

Considerăm (O) cercul circumscris triunghiului ABC cu raza R și (O9) cercul lui Euler cu raza R9.

Triunghiul median A'B'C' și triunghiul ABC având laturile respectiv paralele, rezultă că cele două triunghiuri sunt asemenea, iar raportul laturilor lor este egal cu , același ca și raportul razelor cercurilor (O) și (O9). Înseamnă că .

1.3.3. Proprietăți ale cercului lui Euler

Proprietatea 1. Centrul cercului lui Euler al unui triunghi dat se află pe dreapta lui Euler și împarte segmentul determinat de ortocentrul triunghiului și centrul cercului circumscris acestuia în părți egale ().

Demonstrație. Considerăm triunghiul ABC. Fie A' , B', C' mijloacele laturilor, A1, B1, C1 picioarele înălțimilor, H ortocentrul, A2, B2, C2 mijloacele segmentelor , , , O9 centrul cercului lui Euler. Arătăm întâi că distanța dintre mijlocul unei laturi și centrul cercului circumscris este egală cu jumătatea distanței dintre vârful opus laturii considerate și ortocentru. Într-adevăr, punctele A′, C′ fiind mijloacele laturilor BC și BA, implică și . De asemenea, punctele A2, C2 fiind mijloacele laturilor HA și HC ale triunghiului HAC, implică și . Pe de altă parte, mediatoarele și înălțimile ce cad pe aceleași laturi fiind paralele, dreptele OA′ și OC′ sunt, respectiv, paralele cu AH și CH. Triunghiurile OA′C′ și HA2C2, având câte o latură congruentă și paralelă, iar celelalte laturi paralele două câte două, sunt congruente, de unde rezultă că . Cum A2 este mijlocul segmentului , avem . La fel și . Pentru că înălțimea CC1 și mediatoarea OC′ sunt paralele, iar mai sus am arătat că , segmentele și au un punct comun O′ care le împarte în câte două parți egale, adică și . Însă, este un diametru al cercului lui Euler, de unde rezultă că și .

Observație. Pentru punctele H, O9, G și O situate pe dreapta lui Euler avem următoarele relații: .

Știm că (1), iar din proprietatea 1 avem (2). Din relațiile (1) și (2) rezultă: .

Proprietatea 2. Punctele H, O9, G și O (ortocentrul, centrul cercului lui Euler, centrul de greutate și centrul cercului circumscris) de pe dreapta lui Euler formează o diviziune armonică.

Pentru ca H, O9, G și O să formeze o diviziune armonică trebuie ca .

Știm că , și , de unde: , iar .

Din ultimele două egalități rezultă .

Definiție. Dreptele AB și CD sunt antiparalele în unghiul O, format de dreptele AC și BD, dacă (sau ).

Proprietatea 3. Într-un triunghi, tangentele la cercul celor nouă puncte care trec, respectiv, prin mijlocul unei laturi și prin punctul eulerian al înălțimii ce cade pe această latură sunt paralele cu tangenta la cercul circumscris în vârful opus laturii considerate și cu latura corespunzătoare triunghiului ortic.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC și (O) cercul circumscris triunghiului, iar (O9) cercul celor nouă puncte (cercul lui Euler).

Avem: , , iar A2A' este perpendiculară pe tangentele duse în A2 și A' la cercul (O9). Înseamnă că tangentele duse în A2 și A' la cercul (O9) sunt paralele cu tangenta AT la cercul (O).

Dreptele AT și B1C1 sunt antiparalele cu latura BC în unghiul A pentru că , subîntind același arc, și , pentru că patrulaterul BCB1C1 este inscriptibil. Deducem că dreptele AT și B1C1 sunt paralele.

Consecința 1. Tangentele la cercul celor nouă puncte duse prin mijloacele laturilor sunt antiparalele acestor laturi în unghiurile opuse ale triunghiului dat.

Consecința 2. Diametrele cercului celor nouă puncte care trec prin punctele euleriene sunt mediatoarele triunghiului ortic.

Consecința 3. Diametrele cercului celor nouă puncte care trec prin mijloacele laturilor cad perpendicular pe laturile corespunzătoare ale triunghiului ortic și în mijlocul lor.

Consecința 4. Deoarece , , , iar este triunghiul ortic corespunzător triunghiului dat ABC, deducem că perpendicularele duse din vârfurile unui triunghi pe laturile triunghiului ortic corespunzător sunt concurente în centrul cercului circumscris triunghiului dat.

Proprietatea 4. Cercul lui Euler al unui triunghi dreptunghic trece prin vârful unghiului drept și este tangent în acest punct cercului circumscris.

Demonstrație. Triunghiul dreptunghic ABC, cu măsura unghiului A de 900, are ortocentrul în A. Dacă O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC de rază R, înseamnă că centrul cercului lui Euler al triunghiului ABC este mijlocul medianei AO, deci A este un punct pe cercul lui Euler.

Cum , deducem că cercul lui Euler al triunghiului ABC este tangent interior cercului circumscris triunghiului ABC.

Proprietatea 5. Dacă H este ortocentrul triunghiului ABC, atunci triunghiurile ABC, AHB, BHC și CHA au același cerc al lui Euler.

Demonstrație. Deoarece picioarele înălțimilor triunghiului ABC coincid cu picioarele înălțimilor triunghiurilor AHB, BHC și CHA, deducem că triunghiurile ABC, AHB, BHC și CHA au același triunghi ortic și, în consecință, au același cerc al lui Euler.

1.3.4. Relația lui Euler

În triunghiul ABC distanța dintre centrul cercului înscris I și circumscris O este dată de relația lui Euler: , R și r fiind razele cercurilor.

Într-adevăr, considerând triunghiul ABC cu O centrul cercului circumscris, I centrul cercului înscris, P și Q punctele în care dreapta OI intersectează cercul circumscris, L punctul în care bisectoarea AI intersectează a doua oară cercul circumscris, M punctul diametral opus lui L, D proiecția lui I pe latura AB, avem din asemănarea triunghiurilor dreptunghice ADI și MBL: .

De aici avem:(1). Avem, de asemenea .

Dar .

Așadar triunghiul IBL este isoscel, cu .

Relația (1) devine: (2). Scriem puterea punctului I față de cercul circumscris în două moduri: . Dacă ținem cont că și înlocuim în (2), avem: , adică , de unde .

Relația se numește relația lui Euler.

Consecință. În orice triunghi (cu egalitate pentru triunghiul echilateral, dacă O=I ).

Observația 1. În general, fiind date două cercuri nu există un triunghi înscris primului și circumscris celui de al doilea. Ca acest lucru să se întâmple trebuie ca între raze și distanța centrelor să aibă loc relația . Dar, cu aceasta, triunghiul nu este determinat. Deci dacă există un triunghi circumscris unui cerc și înscris în alt cerc, atunci există o infinitate de astfel de triunghiuri.

Observația 2. Dacă în locul cercului înscris considerăm cercurile exînscrise, obținem analog, , , .

Distanța dintre centrul cercului circumscris și ortocentru. În triunghiul ABC de laturi a, b, c, distanța dintre centrul cercului circumscris, O, și ortocentrul H este dată de relația: .

Într-adevăr fie G centrul de greutate al triunghiului și A' mijlocul laturii BC. Aplicăm relația lui Stewart în triunghiul AOA'; notăm cu lungimea medianei din A și ținem seama că .

Avem: .

În triunghiul BOC, OA΄ fiind mediană, avem:

și ținând cont că , avem succesiv:

,

,

,

.

Dar cum , obținem .

Consecință. În orice triunghi avem . Egalitatea are loc pentru triunghiul echilateral.

Distanța dintre centrul cercului înscris și ortocentru. În triunghiul ABC de laturi a, b, c, distanța dintre centrul cercului înscris, I, și ortocentrul H este dată de relația: , unde R este raza cercului circumscris, iar r raza cercului înscris.

Considerăm triunghiul ABC și fie I1 și I2 punctele de tangență ale cercului înscris cu laturile BC și AB, iar A1 piciorul înălțimii duse din A. Cum AI este bisectoarea unghiului A, iar , avem (1). Avem, de asemenea, , sau . Pe de altă parte, și deci . Din triunghiul dreptunghic A1I1I avem (2). Din teorema sinusurilor aplicată triunghiului ABC avem , iar dacă folosim această relație în triunghiul AA1B avem , deci (3). În triunghiul BA1H avem sau , de unde:

,

deci (4).

Înseamnă că:

,

de unde, făcând calculele, obținem succesiv:

,

,

,

(5).

Pentru triunghiul AIA1 aplicăm relația lui Stewart și avem:

(6).

Dacă în relația (6) folosim rezultatele obținute în (1), (2), (3), (4), (5), după efectuarea calculelor obținem .

1.4. Cercurile lui Lemoine

1.4.1. Punctul lui Lemoine

Definiție. Se numește simediană a triunghiului ABC, simetrica unei mediane în raport cu bisectoarea dusă din același vârf.

Pentru că două drepte simetrice față de bisectoarea unui unghi se numesc izogonale, înseamnă că simedianele triunghiului, sunt izogonalele medianelor sale.

În triunghiul ABC, simetrica medianei AD în raport cu bisectoarea AE este AF, simediană a triunghiului ABC. Înseamnă că BAFCAD și DAE FAE.

Teorema 1. Într-un triunghi, distanțele unui punct oarecare al unei simediane de laturile vârfului din care pleacă simediana sunt proporționale cu aceste laturi.

Demonstrație. Într-adevăr, dacă E', F' și E, F sunt proiecțiile mijlocului A' al laturii BC a triunghiului ABC pe laturile AC, AB și ale unui punct oarecare N al simedianei AA'' pe aceleași laturi AC, AB, pentru că mediana AA' și simediana AA'' sunt drepte izogonale avem (1) (vezi proprietatea 2, 1.4.2).

Pe de altă parte, mediana AA' împărțind triunghiul ABC în două triunghiuri cu arii egale, implică: sau (2). Din (1) și (2) obținem , ceea ce trebuia demonstrat.

Teorema 2. Dacă în triunghiul ABC, BB1 și sunt înălțimile duse din vârfurile B și C, AF este simediană (simetrica medianei AD în raport cu bisectoarea AE), iar AFB1C1=A2, atunci AA2 este mediană a triunghiului AB1C1 și .

Demonstrație. Din BAFCAD și DAEFAE rezultă căBADCAF. Deoarece m(BC1C)=m(BB1C)=900 înseamnă că patrulaterul BCB1C1 este inscriptibil.

În această situație AC1B1ACB și AB1C1ABC.

Avem :

ΔAB1C1ΔABC(1),

ΔAC1A2ΔACD(2),

ΔAB1A2ΔABD(3).

Din (1), (2) și (3) rezultă că și cum , înseamnă că.

Dacă notăm aria triunghiului ABC cu , xm(BAF)m(CAD) și ym(BAD)m(CAF), atunci avem , adică (4).

Amplificând relația (4) cu produsul ABACAD găsim:

,

deoarece SΔABD=SΔADC ((BD)(DC), iar înălțimile duse din A pe bazele BD și DC sunt congruente).

Așadar: =(5) și teorema este demonstrată.

Teorema 3 (Lemoine). Simedianele unui triunghi sunt concurente (într-un punct numit punctul lui Lemoine).

Demonstrația 1. Fie A1, B1, C1 picioarele înălțimilor duse din vârfurile triunghiului ABC, iar A2, B2, C2 mijloacele segmentelor (B1C1), (C1A1), (A1B1). Considerăm simedianele AA2F, BB2M, CC2N, luând AA2BC=F, BB2AC=M, CC2AB=N.

Analog cu relația (5) din teorema precedentă, avem relațiile:

(6),

(7).

Ținând cont de relațiile (5), (6) și (7) avem:

.

Din faptul că , aplicând reciproca teoremei lui Ceva în triunghiul ABC referitor la dreptele AA2F, BB2M și CC2N, rezultă că AA2F, BB2M și CC2N sunt concurente.

Am demonstrat astfel că simedianele AA2F, BB2M și CC2N sunt concurente într-un punct pe care îl notăm K, numit punctul lui Lemoine.

Demonstrația 2. În triunghiul ABC simedianele fiind prin definiție, simetricele medianelor în raport cu bisectoarele triunghiului sunt izogonalele medianelor.

Medianele fiind concurente, izogonale lor, adică simedianele, vor fi, de asemenea, concurente (în conformitate cu teorema izogonalelor a trei drepte concurente).

Teorema 4 (Lhuilier). Într-un triunghi, o antiparalelă oarecare dusă unei laturi în raport cu unghiul opus este împărțită în două segmente congruente de simediana care cade pe latura opusă și reciproc, mijlocul antiparalelei dusă unei laturi a triunghiului aparține simedianei ce cade pe acea latură.

Demonstrație. Necesitatea. În triunghiul ABC, fie EF antiparalela laturii BC în unghiul A. Dacă N este intersecția acestei antiparalele cu simediana AA'', trebuie să arătăm că .

Într-adevăr, antiparalelele EF și BC ne dau: . Simediana AA'' și mediana AA', fiind drepte izogonale implică Triunghiurile AFN și ACA', având câte două unghiuri egale, sunt asemenea. La fel și triunghiurile AEN și ABA' sunt asemenea. Din asemănarea acestor triunghiuri obținem: și . Dacă înmulțim aceste egalități avem: . Pentru că (dreptele EF și BC sunt antiparalele), iar, egalitatea precedentă se reduce la .

Suficiența. Fie N mijlocul antiparelelei FE și notăm cu N' punctul de intersecție al antiparalelei cu simediana AA''. Conform teoremei directe N' este mijlocul segmentului FE și din faptul că atât N cât și N' se află în mijlocul segmentului FE rezultă că , deci N aparține simedianei AA''.

Observație. Teorema de mai sus o putem enunța astfel: simediana unui vârf al unui triunghi este locul geometric al mijloacelor antiparalelelor cu latura opusă.

Dăm și o altă demonstrație acestei teoreme. Dacă în triunghiul ABC cu antiparalela B'C' efectuăm o simetrie în raport cu bisectoarea unghiului BAC, B' se transformă în B1, iar C' în C1.

Cum triunghiurile AB'C' și AB1C1 sunt congruente, având câte două laturi și unghiul cuprins între ele respectiv congruente, rezultă că unghiul AB1C1 este congruent cu unghiul ABC (amândouă fiind congruente cu unghiul AB'C'), deci B1C1 este paralelă cu BC.

Înseamnă că printr-o simetrie în raport cu bisectoarea unghiului BAC, segmentul antiparalel (B'C') devine segmentul paralel [B1C1] la latura BC a triunghiului. Pe de altă parte mulțimea mijloacelor segmentelor paralele este mediana din A. Prin simetrie în raport cu bisectoarea, mediana devine simediană și reciproc.

1.4.2. Proprietăți ale punctului lui Lemoine

Proprietatea 1. Într-un triunghi, punctul lui Lemoine și centrul de greutate sunt puncte izogonale.

Demonstrație. Într-adevăr, întru-un triunghi, punctul lui Lemoine K fiind intersecția simedianelor, centrul de greutate G fiind punctul de intersecție al medianelor, iar simedianele și medianele fiind drepte izogonale, rezultă că punctele K și G sunt puncte izogonale (în raport cu triunghiul dat).

Proprietatea 2. Triunghiul podar al punctului lui Lemoine și triunghiul podar al centrului de greutate sunt înscrise în același cerc. Punctul lui Lemoine K al unui triunghi este simetricul centrului de greutate G, în raport cu centrul cercului podar al punctului G.

Demonstrație. a). Dacă pe dreptele izogonale AD și AD' ale unghiului BAC se consideră punctele oarecare M și N ale căror proiecții pe laturile AC și AB sunt punctele E și E', F și F', atunci .

Într-adevăr, în patrulaterele AEMF și AF'NE' laturile AE și AE', AF și AF' sunt suprapuse, iar laturile ME și NF', MF și NE' sunt paralele, de unde rezultă că aceste patrulatere sunt asemenea și din proporționalitatea laturilor obținem: . Din egalitatea ultimelor două rapoarte rezultă că .

b). Din egalitatea primelor două rapoarte avem , ceea ce implică faptul că proiecțiile E, F, E', F' ale punctelor oarecare M, N situate pe izogonalele AD și AD', pe laturile unghiului BAC considerat, sunt conciclice. Centrul cercului care trece prin aceste patru proiecții se află, evident, în mijlocul segmentului MN, pentru că se află la intersecția mediatoarelor coardelor EE' și FF'.

c). Fie triunghiul ABC în care ducem câte o ceviană prin vârfurile B și C, având punctul de intersecție în M și fie N punctul de intersecție al izogonalelor acestor ceviene considerate. Notăm cu D, D', F, F' proiecțiile lui M și N pe laturile BC și AB, iar cu E, E' proiecțiile lui M și N pe AC.

Conform celor de mai sus, rezultă punctele D, D', F, F' sunt conciclice, la fel și punctele E, E', F, F'. Dacă mai ținem seama și de faptul că centrul cercului primelor patru puncte se află în mijlocul segmentului MN, unde se află și centrul cercului celorlalte patru puncte, rezultă că toate cele șase puncte sunt conciclice. Am obținut astfel că proiecțiile punctelor izogonale pe laturile unui triunghi sunt situate pe un cerc având centrul în mijlocul segmentului care unește punctele izogonale.

Dacă ținem seama că triunghiul podar al unui punct este triunghiul determinat de proiecțiile punctului pe laturile triunghiului dat, atunci putem spune că într-un triunghi oarecare, triunghiurile podare a două puncte izogonale sunt înscrise în același cerc, cu centrul cercului aflat în mijlocul segmentului determinat de punctele izogonale.

Caz particular 1. Putem considera punctul lui Lemoine K și centrul de greutate G al triunghiului ABC drept puncte izogonale și atunci triunghiul podar al punctului lui Lemoine și triunghiul podar al centrului de greutate sunt înscrise în același cerc, iar centrul cercului se află în mijlocul segmentului KG. Deci punctul lui Lemoine K al triunghiului ABC este simetricul centrului de greutate G, în raport cu centrul cercului podar al punctului G. Astfel proprietatea 2 este demonstrată.

Caz particular 2. Ortocentrul H și O, centrul cercului circumscris triunghiului ABC, sunt puncte izogonale. Înseamnă că triunghiurile ortic și median ale lui ABC sunt înscrise în același cerc (cercul celor nouă puncte sau cercul lui Euler), având centrul în mijlocul segmentului HO.

Proprietatea 3. Punctului lui Lemoine este centrul de omologie al triunghiului dat și al celui tangențial.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC, punctul lui Lemoine K și triunghiul tangențial A''B''C''.

Triunghiurile ABC și A''B''C'' sunt omologice pentru că au vârfurile două câte două pe trei drepte AA'', BB'', CC'' concurente în punctul lui Lemoine, care este, astfel, centrul de omologie al triunghiului dat și al celui tangențial.

Proprietatea 4. Punctul lui Lemoine K al unui triunghi dat este centrul de omologie al acestui triunghi și al triunghiului median celui ortic.

Demonstrație. Conform teoremei 4, o simediană trece prin mijlocul antiparalelelor duse laturii pe care cade această simediană, în raport cu unghiul opus, iar pe de altă parte, laturile triunghiului sunt antiparalele laturilor triunghiului ortic. Înseamnă că punctul lui Lemoine K al unui triunghi dat este centrul de omologie al acestui triunghi și al triunghiului median celui ortic.

Proprietatea 5. Distanțele punctului lui Lemoine K la laturile triunghiului ABC sunt proporționale cu lungimile a, b, c, ale acestor laturi.

Demonstrație. Dacă notăm cu x, y, z, distanțele punctului K la laturile BC, AC, AB, folosind teorema 1 pentru punctul lui Lemoine obținem imediat că:.

Notând cu aria triunghiului ABC, relația precedentă devine:

.

Proprietatea 6. Fiind dat triunghiul ABC și triunghiul său tangențial , atunci dreptele , , sunt concurente în punctul lui Lemoine K al triunghiului ABC.

Demonstrație. Cum , , , avem , de unde rezultă, conform reciprocei teoremei lui Ceva, că , , sunt concurente. Notăm punctul de concurență cu K. Prin ducem antiparalela PQ la latura BC, , . Din rezultă că triunghiul este isoscel, deci . Analog, triunghiul este isoscel și . Din , , deducem că , și, în conformitate cu teorema lui Lhuilier, rezultă că aparține simedianei din A a triunghiului ABC, deci este simediană a triunghiului ABC. Analog, , sunt simediane ale triunghiului ABC. Cum , , sunt concurente în punctul K, deducem că acesta este punctul lui Lemoine al triunghiului ABC.

Proprietatea 7. Punctul lui Gergonne al triunghiului ABC este punctul lui Lemoine al triunghiului de contact al triunghiului ABC.

Demonstrație. Fie DEF triunghiul de contact al triunghiului ABC și , punctul fiind punctul lui Gergonne al triunghiului ABC. Conform proprietății precedente, punctul este punctul lui Lemoine al triunghiului ABC.

Proprietatea 8. Suma distanțelor de la un punct X situat în planul triunghiului ABC la laturile acestuia este minimă dacă X este punctului lui Lemoine.

Demonstrație. Fie x, y, z distanțele punctului X la laturile BC, CA, AB, iar a, b, c lungimile laturilor triunghiului ABC. Folosind identitatea lui Lagrange avem:

. Dacă ținem cont că , unde este aria triunghiului ABC, atunci suma este minimă când , adică atunci când . Înseamnă că suma este minimă atunci când distanțele punctului X la laturile triunghiului ABC sunt proporționale cu lungimile a, b, c ale acestor laturi, adică atunci când punctul X este chiar punctul lui Lemoine.

1.4.3. Cercurile lui Lemoine

Teorema 1. Paralelele la laturile unui triunghi, duse prin punctul lui Lemoine, intersectează laturile în șase puncte situate pe un cerc, numit primul cerc al lui Lemoine.

Demonstrație. Paralelele DE, FG, IJ la laturile triunghiului ABC, duse prin punctul lui Lemoine K, determină paralelogramele ADKF, BJKE, CGKI. Fie M punctul de intersecție al diagonalelor paralelogramului ADKF. Cum M se află pe simediana AK la mijlocul segmentului DF, deducem că dreapta DF este antiparalelă la BC (vezi teorema lui Lhuilier, 1.4.1.).

La fel arătăm că IG este antiparalelă la AB și JE la AC.

Din și rezultă , de unde obținem că DFJE este trapez isoscel.

La fel obținem că FDIG și JEGI sunt trapeze isoscele. DFJE fiind un trapez isoscel, rezultă că D, F, J, E sunt puncte conciclice.

Cercul ce trece prin punctele D, F, J, E va trece și prin punctul I, pentru că patrulaterul JFDI este inscriptibil, dreptele DF și IJ fiind antiparalele (FD este antiparalelă cu BC, înseamnă că este antiparalelă și cu IJ paralelă cu BC).

Înseamnă că punctele E, J, F, D, I sunt conciclice.

De asemenea cercul ce trece prin aceste puncte va trece și prin G, pentru că trapezul isoscel DIGF este inscriptibil. Înseamnă că hexagonul DFJEGI este inscriptibil.

Observația 1. Segmentele DF, IG și JE sunt congruente și sunt antiparalele la laturile triunghiului ABC.

Observația 2. Antiparalelele DF, IG și JE trec prin mijloacele segmentelor simedianelor cuprinse între vârfuri și punctul lui Lemoine K.

Proprietatea 1. Centrul L al primului cerc al lui Lemoine este mijlocul segmentului OK ce unește centrul cercului circumscris cu punctul lui Lemoine.

Demonstrație. Tangenta în A la cercul circumscris triunghiului ABC este paralelă cu DF și atunci raza OA este perpendiculară pe antiparalela DF. Înseamnă că perpendiculara ML dusă pe DF prin mijlocul lui AK trece prin mijlocul L al lui OK.

Proprietatea 2. Primul cerc al lui Lemoine și cercul lui Brocard sunt concentrice.

Demonstrație. Deoarece cele două cercuri au centrele în mijlocul segmentului OK, deducem că cercurile sunt concentrice.

Proprietatea 3. Segmentele determinate de primul cerc al lui Lemoine pe dreptele BC, CA, AB sunt proporționale cu cuburile lungimilor laturilor triunghiului ABC.

Demonstrație. Din asemănarea triunghiurilor ABC și FJK obținem: (1), unde este înălțimea triunghiului ABC dusă din vârful C, iar z este înălțimea triunghiului FJK, chiar distanța de la punctul Lemoine K la latura AB. Înseamnă că (2). Din (1) și (2) obținem: , iar dacă ținem cont că , avem: , de unde: . Analog obținem: , . Înseamnă că , de unde deducem că segmentele determinate de primul cerc al lui Lemoine pe dreptele BC, CA, AB sunt proporționale cu cuburile lungimilor laturilor triunghiului ABC. De aceea primul cerc al lui Lemoine mai este denumit cu termenul latin triplicatio ratio.

Proprietatea 4. Triunghiurile DJG și FEI sunt congruente și asemenea cu triunghiul ABC.

Demonstrație. Avem următoarele egalități de măsuri de unghiuri:

, ,

.

Înseamnă că triunghiurile DJG și ABC sunt asemenea. Analog, arătăm că , , , de unde deducem că și triunghiurile FEI și ABC sunt asemenea. Cum (diagonale în trapezul isoscel DFJE) și (diagonale în trapezul isoscel GIJE), deducem că . Am arătat astfel că triunghiurile DJG și FEI sunt congruente și asemenea cu triunghiul ABC.

Teorema 2. Antiparalelele la laturile unui triunghi, duse prin punctul lui Lemoine, intersectează laturile triunghiului în șase puncte situate pe un cerc, numit al doilea cerc al lui Lemoine, având centrul în punctul lui Lemoine.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC, K punctul lui Lemoine și ducem prin K antiparalelele DE , FG și HI la AB.

Din ABIH patrulater inscriptibil rezultă (1), iar din AGFC inscriptibil rezultă (2). Din (1) și (2) obținem că triunghiul KIF este isoscel și (3).

Teorema lui Lhuilier implică faptul că punctul lui Lemoine K este mijlocul fiecărei antiparelele.

Din (3) și știind că punctul lui Lemoine K este mijlocul antiparelelor IH și GF rezultă că punctul K este centrul unui cerc cu diametrele GF și IH. Procedând analog obținem că triunghiul KEH este isoscel. K fiind și mijlocul segmentului DE, și ținând cont că , rezultă că segmentele DE, GF și HI sunt congruente și au același mijloc K.

Proprietatea 5. Segmentele laturilor triunghiului care se găsesc în interiorul celui de al doilea cerc al lui Lemoine sunt proporționale cu cosinusurile unghiurilor triunghiului considerat.

Demonstrație. Într-adevăr, pentru că în triunghiul isoscel KIF, în care , R' fiind raza celui de al doilea cerc al lui Lemoine, avem: , adică sau . La fel obținem că: și . Deci . De aceea al doilea cerc al lui Lemoine se mai numește cercul cosinusurilor.

Proprietatea 6. Triunghiurile DFH și EGI au laturile paralele două câte două și perpendiculare pe laturile triunghiului ABC.

Demonstrație. Cum FG și HI sunt diametre în cercul al doilea al lui Lemoine, avem , de unde rezultă și , . Analog obținem, , , și , , .

Proprietatea 7. Sunt adevărate relațiile , și .

Demonstrație. Patrulaterele , , fiind dreptunghiuri, deducem imediat că , și .

Proprietatea 8. Triunghiurile DFH și EGI sunt congruente și asemenea cu triunghiul ABC.

Demonstrație. Avem , , deci . Patrulaterul fiind dreptunghi obținem . Analog, . Avem, de asemenea, . Înseamnă că triunghiurile DFH și EGI sunt congruente și asemenea cu triunghiul ABC.

1.5. Cercul lui Taylor

1.5.1. Cercul lui Taylor. Proprietăți

Fie Ha, Hb, Hc picioarele înălțimilor triunghiului ABC cu ortocentrul H. Notăm cu D, D' proiecțiile punctului Ha pe laturile AB și AC, cu E, E' proiecțiile punctului Hb pe laturile BC și BA și cu F, F' proiecțiile punctului Hc pe laturile CA și CB.

Proprietatea 1. Segmentele DD', EE' și FF' sunt antiparalele, respectiv, cu laturile BC, CA, AB.

Demonstrație. Din , și , rezultă că .

Patrulaterul BCHbHc fiind inscriptibil, deducem că HcHb este antiparalelă cu latura BC, dar cum , înseamnă că și segmentul DD' este antiparalel cu latura BC.

Analog, segmentul EE' este antiparalel cu latura CA și segmentul FF' este antiparalel cu latura AB.

Proprietatea 2. Dreptele DD', EE', FF' trec prin mijloacele laturilor triunghiului ortic HaHbHc al triunghiului ABC.

Demonstrație. În triunghiul dreptunghic HcFHb, cu avem . Înseamnă că în triunghiul dreptunghic HcFHb dreapta FF' trece prin mijlocul A' al ipotenuzei HbHc.

La fel, în triunghiul dreptunghic HcF'Ha, dreapta FF' trece prin mijlocul B' al ipotenuzei HaHc. Deci FF' trece prin mijlocele segmentelor HcHb și HcHa.

Analog arătăm că DD' trece prin mijloacele B' și C' ale segmentelor HaHc și HaHb, iar EE' trece prin mijloacele C' și A' ale segmentelor HbHa și HbHc.

Proprietatea 3. Segmentele DD', EE' și FF' sunt congruente între ele.

Demonstrație. Calculând lungimea segmentului FF', avem:

,

unde p0 este semiperimetrul triunghiului ortic HaHbHc.

Analog obținem și și, prin urmare, segmentele DD', EE' și FF' sunt congruente.

Observația 1. , adică segmentele DD', EE', FF' au lungimile egale cu semiperimetrul triunghiului ortic.

Proprietatea 4. Dreptele D'E, E'F și F'D sunt paralele cu laturile triunghiului ABC.

Demonstrație. Pentru că , rezultă că EHaHbD' este un patrulater inscriptibil și, deci, (1). Din faptul că și patrulaterul HaBAHb este inscriptibil rezultă că (2), iar din relațiile (1) și (2) obținem , adică dreptele D'E și AB sunt paralele. Analog, arătăm că și .

Proprietatea 5. Proiecțiile pe laturile unui triunghi ale picioarelor înălțimilor sunt situate pe același cerc.

Demonstrație. Dreapta FF' este antiparalelă la latura AB (vezi proprietatea 1) și cum D'E este paralelă cu AB (vezi proprietatea 4) înseamnă că dreptele FF' și D'E sunt antiparalele, deci punctele D', F, F', E sunt conciclice.

Din rezultă (3), din faptul că dreptele EE′ și AC sunt antiparalele avem (4), iar pentru că dreapta FF′ este antiparalela dreptei AB obținem (5) și, în sfârșit, folosind încă odată paralelismul dreptelor E′F și BC avem (6). Relațiile (3), (4), (5), (6) conduc la , de unde avem .

Știm că dreptele E'F și BC sunt paralele și dacă ținem seama că , avem:

,

adică patrulaterul EF'E'F este inscriptibil, de unde rezultă că punctul E' aparține cercului ce trece prin D', F, F', E. La fel arătăm că și punctul D aparține cercului ce trece prin D', F, F', E.

Deci punctele D, D', E', E, F, F' sunt conciclice.

Definiție. Cercul care conține proiecțiile pe laturile unui triunghi ale picioarelor înălțimilor triunghiului dat se numește cercul lui Taylor.

Observația 2. Triunghiurile A'E'F și A'F'E sunt isoscele. De asemenea, triunghiurile B'F'D, B'D'F și C'D'E, C'E'D sunt isoscele.

Proprietatea 6. Triunghiurile DEF și D′E′F′ sunt congruente între ele și asemenea cu triunghiul ABC.

Demonstrație. Folosind cercul lui Taylor și faptul că DD', EE', FF' sunt antiparalele cu laturile triunghiului ABC, avem:

,

,

,

de unde rezultă că (7).

Folosind cercul lui Taylor și faptul că D'E, E'F și F'D sunt paralele cu laturile triunghiului ABC, iar DD', EE', FF' sunt antiparalele cu laturile triunghiului ABC, avem:

,

,

,

de unde rezultă (8). Relațiile (7) și (8) ne arată că triunghiurile DEF și D′E′F′ sunt asemenea între ele și asemenea cu triunghiul ABC, iar dacă ținem seama că triunghiurile asemenea DEF și D′E′F′ sunt înscrise în același cerc obținem imediat că acestea sunt și congruente între ele.

1.5.2. Punctul lui Taylor

Definiție. Centrul cercului lui Taylor se numește punctul lui Taylor.

Notăm cu (T) cercul lui Taylor cu centrul în T.

Proprietatea 1. Punctul lui Taylor este centrul cercului înscris în triunghiul median (triunghiul complementar) al triunghiului ortic HaHbHc corespunzător triunghiului ABC dat.

Demonstrație. Triunghiurile A'E'F și A'F'E fiind isoscele (vezi observația 2 de la 1.5.1.), înseamnă că bisectoarea unghiului E'A'F sau a unghiului B'A'C' este perpendiculară pe mijlocul coardei E'F a cercului lui Taylor, de unde rezultă că bisectoarea unghiului B'A'C' trece prin centrul cercului lui Taylor. La fel, și bisectoarele unghiurilor A'B'C', respectiv, A'C'B' trec prin centrul cercului lui Taylor. Prin urmare, centrul cercului înscris în triunghiul A'B'C' este centrul cercului lui Taylor. Am arătat, astfel, că punctul lui Taylor este centrul cercului înscris în triunghiul median (triunghiul complementar) A'B'C' al triunghiului ortic HaHbHc corespunzător triunghiului ABC dat.

Proprietatea 2. Perpendicularele duse prin mijloacele laturilor HbHc, HcHa și HaHb ale triunghiului ortic HaHbHc pe laturile BC, CA și AB ale triunghiului ABC sunt concurente în punctul lui Taylor T.

Demonstrație. Dreptele E'F și BC fiind paralele, triunghiurile A'E'F și A'F'E isoscele, iar A' fiind mijlocul segmentului HbHc, rezultă că bisectoarea unghiului F'A'E sau B'A'C' este perpendiculară pe BC. La fel arătăm că bisectoarea unghiului A'B'C' este perpendiculară pe CA, iar bisectoarea unghiului A'C'B' este perpendiculară pe AB. Cum bisectoarele unghiurilor triunghiului A'B'C' sunt concurente în punctul lui Taylor T, înseamnă că proprietatea este demonstrată.

Proprietatea 3. Dreptele lui Simson ale vârfurilor triunghiului median față de triunghiul ortic și dreptele lui Simson ale vârfurilor triunghiului ortic față de triunghiul median sunt concurente în punctul lui Taylor.

Demonstrație. Fie dat triunghiul ABC în care avem triunghiul ortic HaHbHc și triunghiul median A1B1C1. Știm că, în cercul celor nouă puncte (cercul lui Euler), triunghiurile ortic și median sunt triunghiuri S (vezi , pag. 184). Determinăm dreapta lui Simson a punctului A1 față de triunghiul HaHbHc.

Perpendiculara dusă din A1 pe HbHc trece prin mijlocul A' al segmentului HbHc (diametrele cercului celor nouă puncte care trec prin mijloacele laturilor triunghiului dat cad perpendicular pe laturile corespunzătoare ale triunghiului ortic și în mijlocul lor). Înseamnă că dreapta lui Simson a punctului A1 față de triunghiul HaHbHc este perpendiculara dusă din mijlocul segmentului HbHc pe B1C1, adică pe BC, dreapta lui Simson a punctului B1 față de triunghiul HaHbHc este perpendiculara dusă din mijlocul segmentului HaHc pe A1C1, adică pe AC, iar dreapta lui Simson a punctului C1 față de triunghiul HaHbHc este perpendiculara dusă din mijlocul segmentului HaHb pe A1B1, adică pe AB. Rezultă, conform proprietății 2, că dreptele Simson ale punctelor A1, B1, C1 față de triunghiul HaHbHc sunt concurente în punctul lui Taylor T. Folosindu-ne de proprietățile triunghiurilor S, obținem că cele trei drepte Simson ale vârfurilor triunghiului median față de triunghiul ortic sunt concurente în punctul lui Taylor T, același în care sunt concurente și dreptele Simson ale punctelor Ha, Hb, Hc relativ la triunghiul median A1B1C1.

Proprietatea 4. Punctul lui Taylor T este situat la mijlocul segmentului determinat de ortocentrul triunghiului median A1B1C1 și ortocentrul triunghiului ortic HaHbHc.

Demonstrație. Cunoaștem că, fiind date două triunghiuri S, punctul de intersecție al dreptelor lui Simson pentru fiecare triunghi este mijlocul segmentului determinat de ortocentrele acestor triunghiuri (vezi , pag. 181) și, deci, ținând cont de proprietatea 3, rezultă că punctul lui Taylor T este situat la mijlocul segmentului determinat de ortocentrul triunghiului median A1B1C1 și ortocentrul triunghiului ortic HaHbHc.

Observație. Cum ortocentrul triunghiului median este O, centrul cercului circumscris triunghiului ABC, putem spune că punctul lui Taylor T este situat la mijlocul segmentului determinat de centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC și ortocentrul triunghiului ortic HaHbHc.

1.6. Cercurile lui Tucker

1.6.1. Proprietăți ale cercurilor lui Tucker

Teoremă. Extremitățile a trei antiparalele congruente ale triunghiului ABC sunt pe un același cerc, numit cercul lui Tucker.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC și punctele D, E' pe latura AB, E și F' pe latura BC, F și D' pe latura CA, astfel încât DD', EE', FF' să fie, respectiv, antiparalele , CA, AB și . Considerăm cercul ce trece prin D, E', E.

Vom arăta că și punctele F', F, D' aparțin acestui cerc. Avem și , de unde rezultă că și cum , înseamnă că E și D' se află la aceeași distanță de dreapta AB, cu alte cuvinte . Înseamnă că patrulaterul DE'ED' este trapez isoscel, adică punctele D, E', E, D' sunt conciclice.

La fel demonstrăm că și punctele F și F' aparțin cercului ce trece prin D, E', E.

Am arătat, astfel, că extremitățile antiparalelelor congruente, DD', EE', FF', aparțin aceluiași cerc, numit cercul lui Tucker.

Observația 1. Pentru fiecare triunghi putem construi o infinitate de cercuri ale lui Tucker.

Proprietatea 1. Un cerc al lui Tucker formează cu laturile triunghiului ABC trei coarde paralele la laturi și trei coarde antiparalele.

Într-adevăr, coardele paralele cu laturile triunghiului sunt D'E, E'F, F'D, iar coardele antiparalele sunt DD', EE', FF'.

Proprietatea 2. Triunghiurile DEF și D'E'F' sunt congruente între ele și asemenea cu triunghiul de referință ABC.

În cercul lui Tucker avem .

Analog,

,

,

și astfel este demonstrată asemănarea triunghiurilor DEF, D'E'F' și ABC. Avem, de asemenea, ca diagonale ale trapezului isoscel DE'ED'. Analog, obținem: și , ceea ce ne arată că triunghiurile DEF și D'E'F' sunt congruente.

Proprietatea 3. Centrele cercurilor lui Tucker ale unui triunghi dat se află pe dreapta care unește punctul lui Lemoine K cu centrul O al cercului circumscris triunghiului.

Fie A', B', C' mijloacele antiparalelelor congruente DD', EE', FF' la laturile triunghiului ABC. Înseamnă că AA', BB', CC' sunt simedianele triunghiului ABC (vezi teorema lui Lhuilier, 1.4.1.), care sunt concurente în punctul lui Lemoine K, iar triunghiurile ABC și A'B'C' sunt omotetice cu centrul de omotetie K.

Dacă ducem perpendicularele din vârfurile triunghiului ABC pe antiparalelele DD', EE', FF' constatăm că aceste perpendiculare sunt izogonalele înălțimilor triunghiului dat. Cum izogonalele a trei ceviene concurente sunt concurente, iar izogonalul ortocentrului este centrul cercului circumscris triunghiului dat, deducem că perpendicularele duse din vârfurile triunghiului ABC pe antiparalelele DD', EE', FF' sunt concurente în centrul O al cercului circumscris triunghiului ABC.

Centrul T al cercului lui Tucker se află la intersecția perpendicularelor duse în mijloacele A', B', C' ale coardelor congruente DD', EE', FF', de unde rezultă că T se află la distanțe egale de punctele A', B', C', adică T este și centrul cercului circumscris triunghiului A'B'C'.

Pentru că O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, iar T este centrul cercului circumscris triunghiului A'B'C' și ținând cont că triunghiurile ABC și A'B'C' sunt omotetice cu centrul de omotetie în K, deducem că punctele K, T și O sunt coliniare.

Observația 2. Dacă un triunghi A'B'C' este omotetic cu ABC având centrul de omotetie în punctul lui Lemoine K al triunghiului ABC, atunci laturile celor două triunghiuri se intersectează în șase puncte situate pe un cerc al lui Tucker.

1.6.2. Hexagoanele lui Tucker

Definiție. Hexagonul ale cărui vârfuri sunt punctele de intersecție ale laturilor unui triunghi cu trei antiparalele congruente ale sale se numește hexagon al lui Tucker.

Vârfurile unui hexagon al lui Tucker se află pe un cerc al lui Tucker. Înseamnă că, în conformitate cu teorema lui Pascal, punctele de intersecție ale laturilor opuse ale unui hexagon al lui Tucker se găsesc pe o dreaptă p, numită dreapta lui Pascal a acestui hexagon.

Teoremă. Dreapta lui Pascal a unui hexagon al lui Tucker este axa radicală a cercului lui Tucker și a cercului circumscris triunghiului dat.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC în care DD′, EE′, FF′ sunt trei antiparalele congruente și, deci, DD′FF′EE′ este un hexagon al lui Tucker.

Considerăm cercul circumscris patrulaterului BCD′D și dacă ținem seama că antiparalela DD′ este axa radicală a acestui cerc și a cercului lui Tucker DD′FF′EE′, iar axa radicală a aceluiași cerc circumscris patrulaterului BCD′D și a cercului circumscris triunghiului ABC este dreapta F′E, atunci axa radicală a cercului lui Tucker DD′FF′EE′ și a cercului circumscris triunghiului ABC trece prin punctul de intersecție al dreptelor DD′ și F′E, care sunt laturi opuse în hexagonul lui Tucker DD′FF′EE′.

Punctul de intersecție al dreptelor DD′ și F′E este pe dreapta lui Pascal p. La fel obținem și în cazul celorlalte două perechi de laturi ale hexagonului DD′FF′EE′. Înseamnă că axa radicală a cercului lui Tucker și a cercului circumscris triunghiului dat ABC coincide cu dreapta lui Pascal a hexagonului lui Tucker DD′FF′EE′.

1.6.3. Cercuri ale lui Tucker particulare

Fiecare cerc al lui Tucker trece prin punctele de intersecție ale laturilor triunghiului cu trei antiparalele congruente ale sale.

Dacă aceste antiparalele trec prin mijloacele A'', B'', C'' ale segmentelor simedianelor cuprinse între vârfuri și punctul lui Lemoine K, atunci cercul lui Tucker se transformă în primul cerc al lui Lemoine (vezi 1.4.3.).

Dacă antiparalelele trec prin punctul lui Lemoine K al triunghiului, atunci cercul lui Tucker se transformă în al doilea cerc al lui Lemoine (vezi 1.4.3.).

Cercul lui Taylor este, de asememea, un cerc al lui Tucker pentru că antiparalelele DD′, EE′, FF′ sunt congruente (vezi 1.5.1.).

În consecință, putem considera cercurile lui Lemoine și cercul lui Taylor ca cercuri ale lui Tucker particulare.

1.7. Cercul lui Brocard

1.7.1. Punctele lui Brocard

Teorema 1. Fie triunghiul ABC și D, E, F puncte arbitrare pe laturile [BC], [AC], [AB], atunci cercurile circumscrise triunghiurilor AEF, BFD, CDE au un punct comun.

Demonstrație. Considerăm cercurile circumscrise triunghiurilor AFE, BDF care se retaie în M. Patrulaterele AFME și BDMF fiind inscriptibile, avem și , de unde obținem .

Înseamnă că și patrulaterul MDCE este inscriptibil, deci cercul circumscris triunghiului CDE trece și el prin punctul M de intersecție a celorlalte două cercuri.

Observație. În triunghiul ABC, punctele D, E, F sunt proiecțiile punctului comun M, pe laturi, sub același unghi φ și același sens.

Dacă D tinde către B, E tinde către C și F tinde către A, iar cercul AEF devine un cerc care trece prin C și este tangent în A la AB.

Cercul care trece prin vârful C al unui triunghi ABC și este tangent în A la latura AB se numește cerc adjunct și îl notăm . La fel obținem și cercurile adjuncte , și , , .

Teorema 2. În triunghiul ABC, cercurile adjuncte , , au un punct comun Ω; analog, cercurile adjuncte , , au un punct comun Ω′ (Ω și Ω′ sunt punctele lui Brocard ale triunghiului ABC).

Demonstrație. Considerăm cercul ce trece prin A și este tangent, în B, laturii [BC] și cercul ce trece prin B și este tangent, în C, laturii [AC], iar punctul lor de intersecție.

Vom arăta că prin trece și al treilea cerc și, astfel, teorema va fi demonstrată. Notăm . Într-adevăr, (subîntind același arc de cerc) și (subîntind același arc). Rezultă că , deci aparține și cercului ce trece prin C și este tangent laturii [AB] în A.

Analog, considerăm cercurile , și fie punctul lor de intersecție, iar . Prin raționament similar obținem că aparține și cercului .

Construcția punctelor lui Brocard. Fie triunghiul ABC și cercul adjunct , care este tangent laturii BC în B și trece prin A. Dacă ducem prin B o paralelă la AC, care taie cercul în C', atunci dreapta CC' intersectează cercul adjunct în punctul lui Brocard .

Într-adevăr, avem: (1), (subîntind același arc) (2). Din (1) și (2) obținem , de unde deducem că este un punct al lui Brocard. Analog procedăm pentru construcția celuilalt punct al lui Brocard .

1.7.2. Unghiul lui Brocard

Dacă folosim notațiile uzuale și aplicăm teorema sinusurilor în triunghiul AΩB avem:

,

iar cum , înseamnă că (1) și de aici avem (2).

Aplicând teorema sinusurilor în triunghiul AΩC avem: (3). Dacă aplicăm teorema sinusurilor în triunghiul ABC avem , de unde rezultă (4). Din (3) și (1) rezultă (5). Din (2) și (5) avem (6). În relația (6), folosind (4) și formule de trigonometrie, obținem succesiv:

,

,

,

,

,

,

,

.

Analog obținem și pentru al doilea punct Brocard Ω′, și anume , unde . Înseamnă că . Unghiul îl numim unghiul lui Brocard.

Altfel. Considerăm triunghiul ABC cu punctul lui Brocard Ω și cercul adjunct . Prin A ducem paralela care taie cercul adjunct în D. Dreapta BD intersectează cercul adjunct în Ω . Arătăm că B, Ω și D sunt coliniare. Într-adevăr, avem:

(1),

(2).

Din (1) și (2) obținem:

,

adică punctele B, Ω și D sunt coliniare.

Ducem AA' și DD' perpendiculare pe BC și în triunghiul DD'B avem (3), iar dacă ținem seama că (subîntind același arc) și că , atunci avem:

(4).

Ținând cont că , din relațiile (4) și (3) avem

.

Observație. Prin înmulțirea fiecărui membru al egalității cu obținem:

.

Folosind formula , S fiind aria triunghiului, iar R raza cercului circumscris, atunci avem .

Maximul unghiului lui Brocard. Dacă ABC este un triunghi, atunci are loc:. Într-adevăr, folosind cunoscuta inegalitate a lui Euler , obținem:

.

Aplicând inegalitatea mediilor:

,

și inegalitatea Caucky – Buniakovski – Schwartz:

,

avem:

,

adică sau .

Din relația și folosind inegalitatea , obținem , de unde rezultă că .

Prin urmare maximul unghiului lui Brocard este și este atins în cazul în care triunghiul este echilateral.

1.7.3. Proprietăți ale punctelor lui Brocard

Proprietatea 1. În orice triunghi, punctele lui Brocard sunt puncte izogonale.

Demonstrație. Din faptul că și din

, ,

rezultă că punctele Brocard Ω și Ω′ sunt puncte izogonale.

Proprietatea 2. Într-un triunghi echilateral punctele lui Brocard coincid, iar .

Demonstrație. Dacă în triunghiul echilateral ABC, cu , ținem cont că

,

atunci punctele lui Brocard Ω și Ω′ coincid, iar .

Proprietatea 3. Distanțele de la punctul la vârfurile triunghiului ABC, , , , sunt proporționale cu , , .

Demonstrație. Într-adevăr folosind teorema sinusurilor în triunghiurile AC și ABC avem , de unde .

Analog, obținem: și . Înseamnă că , , sunt proporționale cu , , .

Se arată în același mod că distanțele , , sunt proporționale cu , , .

Proprietatea 4. Distanțele punctului la laturile AB, BC, CA ale triunghiului ABC sunt proporționale cu , , .

Demonstrație. Fie x, y, z distanțele punctului la laturile AB, BC, CA. Avem , de unde și folosind (vezi proprietatea 3), avem . Analog obținem: și . Înseamnă că x, y, z sunt proporționale cu , , .

Se arată în același mod că distanțele punctului la laturile AB, BC, CA ale triunghiului ABC sunt proporționale cu , , .

1.7.4. Triunghiurile podare ale punctelor lui Brocard

Definiție. Triunghiul având vârfurile în proiecțiile unui punct M pe laturile unui triunghi oarecare se numește triunghi podar al punctului M considerat.

Definiție. Într-un triunghi ABC în care M este un punct oarecare din planul său, picioarele cevienelor AM, BM, CM sunt vârfurile unui triunghi denumit triunghiul pedal al punctului M.

Definiție. Două triunghiuri care au vârfurile două câte două pe trei drepte concurente se numesc triunghiuri omologice.

Definiție. Se numește triunghi circumpedal triunghiul cu vârfurile pe cercul circumscris triunghiului ABC omologic cu triunghiul ABC.

Teorema 1. Într-un triunghi ABC, pentru orice punct P, triunghiurile podare și circumpedale sunt asemenea.

Demonstrație. În planul triunghiului ABC înscris în cercul (O) considerăm punctul P și fie triunghiul podar DEF și triunghiul circumpedal A′B′C′. Din patrulatere inscriptibile BFPD și DPEC deducem:

,

.

Adunând egalitățile , obținem .

Analog, mai obținem că și că . Triunghiurile DEF și A′B′C′ sunt asemenea pentru că au unghiurile respectiv congruente. Astfel, teorema este demonstrată.

Teorema 2. Dacă în triunghiul ABC triunghiurile XYZ și X′Y′Z′ sunt triunghiurile podare ale punctelor lui Brocard Ω și Ω′, atunci avem și .

Demonstrație. În cercul circumscris triunghiului ABC, cu punctul lui Brocard , avem următoarele egalități de arce , unde D, E și F sunt punctele în care semidreptele A, B și C intersectează cercul circumscris triunghiului ABC. Înseamnă că , , și prin urmare . Din teorema precedentă știm că în triunghiul ABC triunghiul podar XYZ pentru punctul Brocard este asemenea cu triunghiul circumpedal DEF, dar cum , rezultă că .

Analog, avem în triunghiul ABC triunghiul podar X′Y′Z′ pentru punctul Brocard care este asemenea cu triunghiul circumpedal D′E′F′, unde D', E' și F' sunt punctele în care semidreptele A, B și C intersectează cercul circumscris triunghiului ABC, iar cum, rezultă că .

Observația 1. Triunghiurile podare și respectiv cele circumpedale ale punctelor lui Brocard sunt congruente, adică , respectiv .

Într-adevăr, știm că în orice triunghi, triunghiurile podare a două puncte izogonale sunt înscrise într-un același cerc (vezi , pag. 110), și cum triunghiurile XYZ și Z'X'Y' sunt triunghiuri podare ale punctelor izogonale și , înseamnă că vârfurile lor sunt pe același cerc. De asemenea, am arătat mai sus că și , de unde avem . Din faptul că triunghiurile XYZ și Z'X'Y' sunt asemenea și sunt înscrise în același cerc rezultă că sunt congruente.

La fel, congruența triunghiurilor circumpedale DEF și F'D'E' rezultă din faptul că sunt triunghiuri asemenea și sunt înscrise în același cerc circumscris triunghiului ABC.

Observația 2. Triunghiurile circumpedale ale punctelor lui Brocard sunt congruente cu triunghiul considerat. Pentru că triunghiul considerat ABC este asemenea cu triunghiurile circumpedale FDE și E'F'D', toate trei fiind înscrise în același cerc, rezultă congruența lor și anume .

1.7.5. Triunghiurile pedale ale punctelor lui Brocard

Teoremă. Dacă în triunghiul ABC triunghiurile KLM și K′L′M′ sunt triunghiurile pedale ale punctelor lui Brocard Ω și Ω′, atunci avem și .

Demonstrație. Aplicăm teorema sinusurilor în triunghiurile ABK și ACK și avem: și , de unde și apoi (*).

Cum și știind că:

,

,

,

obținem:

.

Deci . Înlocuim această relație în (*) și obținem , adică .

Procedăm analog pentru triunghiul pedal K′L′M′ al punctului lui Brocard și obținem .

1.7.6. Triunghiurile și cercul lui Brocard

Definiție. Dacă paralelele lui Lemoine (paralelele la laturile triunghiului duse prin punctul lui Lemoine K) intersectează mediatoarele triunghiului ABC în A1, B1, C1, atunci triunghiul A1B1C1 se numește primul triunghi Brocard.

Definiție. Dacă O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, iar A2, B2, C2 sunt proiecțiile lui O pe simedianele triunghiului, atunci triunghiul A2B2C2 se numește al doilea triunghi Brocard.

Definiție. Cercul cu diametru OK se numește cercul lui Brocard.

Proprietatea 1. Cercul lui Brocard este circumscris celor două triunghiuri Brocard.

Demonstrație. Într-adevăr, unghiurile , , fiind unghiuri drepte, rezulta că primul triunghi Brocard A1B1C1 este înscris în cercul lui Brocard.

La fel, pentru că unghiurile , , sunt drepte, rezultă că al doilea triunghi Brocard A2B2C2 este înscris în cercul lui Brocard.

Proprietatea 2. Triunghiurile CA1B, AB1C, BC1A sunt trei triunghiuri isoscele asemenea.

Demonstrație. Notăm cu A′, B′, C′ mijloacele laturilor BC, AC și AB și cu x, y, z distanțele punctului K la laturile BC, AC și AB.

Știm că distanțele punctului lui Lemoine K la laturile triunghiului ABC sunt proporționale cu lungimile a, b, c, ale acestor laturi, adică . Cum , , , înseamnă că , de unde avem (1). Folosind relația (1) obținem imediat că triunghiurile dreptunghice BA′A1, CB′B1, AC′C1 sunt asemenea. Dacă ținem seama că , , și că triunghiurile dreptunghice BA′A1, CB′B1, AC′C1 sunt asemenea rezultă că triunghiurile CA1B, AB1C, BC1A sunt triunghiuri isoscele asemenea.

Proprietatea 3. Dreptele AB1, BC1, CA1 sunt concurente într-un punct Brocard.

Demonstrație. Distanțele punctului lui Lemoine K la laturile triunghiului ABC sunt proporționale cu lungimile a, b, c, ale acestor laturi, adică . Dacă ținem seama că , , , avem (2). În triunghiurile dreptunghice A1A′C, B1B′A, C1C′B ținem seama de (2) și avem:

,

adică

sau

,

unde este unghiul lui Brocard.

Rezultă că dreptele AB1, BC1, CA1 sunt ceviene care determină punctul lui Brocard Ω′.

Analog demonstrăm că dreptele A1B, B1C, C1A sunt concurente în celălalt punct al lui Brocard Ω.

Proprietatea 4. Primul triunghi Brocard este asemenea cu triunghiul de referință.

Demonstrație. Unghiurile sub care se văd, de pe cercul lui Brocard și din punctul K, laturile triunghiului A1B1C1, primul triunghi Brocard, sunt congruente cu , , .

Dacă paralela lui Lemoine KC1 intersectează laturile AC și BC în L, respectiv M, iar paralela lui Lemoine KB1 intersectează laturile AB și BC în P, respectiv Q, atunci avem , iar (am folosit proprietățile paralelelor tăiate de o secantă).

Pentru unghiul C1KA1 observăm că:

,

adică

.

Deci unghiurile sub care se văd, de pe cercul lui Brocard și din punctul K, laturile triunghiului A1B1C1 sunt congruente cu , , sau altfel spus, unghiurile triunghiului A1B1C1 sunt, respectiv, congruente cu unghiurile triunghiului ABC. Înseamnă că triunghiurile A1B1C1 și ABC sunt asemenea.

Proprietatea 5. Cercul lui Brocard trece prin punctele lui Brocard.

Demonstrație. Din asemănarea triunghiurilor isoscele CA1B, AB1C (vezi proprietatea 2) rezultă că sau . Cum unghiurile CA1O și OA1Ω′ sunt suplementare, rezultă că , de unde avem că cercul lui Brocard trece prin punctul lui Brocard Ω′.

La fel arătăm că cercul lui Brocard trece și prin punctul lui Brocard Ω.

Proprietatea 6. Punctele lui Brocard sunt simetrice în raport cu diametrul OK.

Demonstrație. Într-adevăr, în cercul lui Brocard, avem . Cum dreptele KB1 și AC sunt paralele, rezultă că , deci .

Analog obținem .

Din rezultă că punctele Ω și Ω′ sunt simetrice în raport cu OK.

Proprietatea 7. În orice triunghi, axa radicală a celor două cercuri ale lui Lemoine este tangentă cercului lui Brocard.

Demonstrație. Prin punctul lui Lemoine K al triunghiului ABC ducem paralela, respectiv, antiparalela la latura BC, care intersectează laturile AB și AC, respectiv, în punctele B1, B2 și C1, C2. Din și rezultă că patrulaterul B1B2C1C2 este inscriptibil și, deci, (*).

Cum primul cerc al lui Lemoine trece prin B1 și C1, iar al doilea cerc al lui Lemoine trece prin B2 și C2, din relația (*) rezultă că punctul lui Lemoine K este un punct al axei radicale a celor două cercuri. Axa radicală este perpendiculară în K pe linia centrelor celor două cercuri, care este chiar dreapta OK, deoarece centrul primului cerc al lui Lemoine este mijlocul segmentului OK, iar centrul celui de al doilea cerc al lui Lemoine este K. Știind că cercul lui Brocard are ca diametru pe OK, deducem că cercul lui Brocard este tangent în K axei radicale a celor două cercuri ale lui Lemoine.

1.7.7. Punctele lui Brocard într-un triunghi isoscel

Teorema 1. Într-un triunghi isoscel, mediana și simediana unghiurilor congruente se intersectează într-un punct Brocard.

Demonstrație. Fie triunghiul isoscel ABC cu . Ducem CM mediana unghiului C și BN simediana unghiului B și notăm cu și cu . Din faptul că CM este mediană, BN este simediană, iar , rezultă: (1) și (2). Dacă aplicăm teorema lui Ceva în triunghiul ABC, ținând cont că CM este mediană, obținem: , adică (3). Din relația (3), conform reciprocei teoremei lui Thales aplicată în triunghiul ABC, rezultă că dreptele PN și AB sunt paralele, de unde obținem: (4) și (5). Aplicând relațiile (2) și (5) în patrulaterul ΩPCN rezultă că acesta este inscriptibil și, în consecință, avem (6).

Relațiile (1), (4) și (6) duc la relația:

,

deci Ω este un punct Brocard.

La fel se arată că mediana unghiului B și simediana unghiului C se intersectează în celălalt punct Brocard.

Teorema 2. Dacă ABC este un triunghi isoscel cu , iar ω este unghiul lui Brocard, atunci .

Demonstrație. Fie triunghiul ABC cu , Ω un punct Brocard al triunghiului și ω unghiul lui Brocard.

Folosind teorema sinusurilor, teorema cosinusului și formulele și , avem succesiv:

,

,

,

,

,

,

.

Dacă în relația luăm , obținem , adică .

Consecință. Dacă ABC este un triunghi dreptunghic isoscel cu , , iar ω este unghiul lui Brocard, atunci .

Am arătat mai sus că pentru un triunghi isoscel avem . Dacă luăm , relația precedentă devine , sau , adică .

1.8. Cercurile lui Apollonius

Definiție. Fie și bisectoarele interioară respectiv exterioară ale unghiului A în triunghiul ABC, cu , . Cercul descris pe segmentul ca diametru se numește cercul lui Apollonius relativ la vârful A (sau cercul lui Apollonius al laturii BC).

Teoremă. Locul geometric al punctelor M din planul triunghiului ABC pentru care este cercul lui Apollonius al laturii BC.

Demonstrație. Considerăm punctele M din planul triunghiului ABC care satisfac relația și dacă aplicăm teorema bisectoarei interioare triunghiului ABC pentru unghiul A avem , de unde obținem că , adică este bisectoare interioară unghiului BMC, . Analog, dacă folosim teorema bisectoarei exterioare, obținem că este bisectoare exterioară unghiului BMC, . Înseamnă că și cum D și sunt puncte fixe, deducem că M aparține cercului ce are ca diametru segmentul .

Reciproc, arătăm că orice punct M al cercului ce are ca diametru segmentul îndeplinește condiția . Într-adevăr, dacă aplicăm teorema bisectoarei interioare, respectiv, teorema bisectoarei exterioare obținem . Construim și , , , apoi aplicăm teorema lui Thales în triunghiurile EBC și și avem: și .

Din relațiile (1), (2) și (3) deducem că și cum rezultă că . Dacă în (2) folosim , iar în (3) folosim și dacă ținem seama de teorema bisectoarei interioare, , respectiv de teorema bisectoarei exterioare, , atunci avem .

Observația 1. Evident, un triunghi are trei cercuri ale lui Apollonius.

Definiție. Două cercuri secante sunt ortogonale (se taie ortogonal) când tangentele la aceste cercuri în unul din punctele comune fac între ele un unghi drept.

Proprietatea 1. Cercurile lui Apollonius corespunzătoare laturilor unui triunghi sunt ortogonale cercului circumscris triunghiului.

Demonstrație. Considerăm triunghiul ABC și fie și bisectoarele interioară respectiv exterioară ale unghiului A, cu , . Dacă este cercul circumscris triunghiului ABC, atunci notăm cu T punctul în care tangenta în A la acest cerc intersectează dreapta BC.

Avem:

.

Înseamnă că și cum triunghiul este dreptunghic în A, deducem că T este mijlocul ipotenuzei . Evident că cercul lui Apollonius al laturii BC și cercul circumscris triunghiului ABC sunt ortogonale. Analog arătăm că și cercurile lui Apollonius ale laturilor AB și AC sunt ortogonale cercului circumscris triunghiului ABC.

Observația 2. Centrul cercului lui Apollonius al laturii BC este punctul de intersecție al tangentei cercului circumscris triunghiului dusă în vârful A cu latura opusă, BC.

Proprietatea 2. Centrele celor trei cercuri ale lui Apollonius sunt coliniare.

Demonstrație. Știm că tangentele la cercul circumscris unui triunghi ABC în vârfurile lui taie laturile opuse în puncte situate pe o aceeași dreaptă

numită dreapta lui Lemoine. Cum punctele în care tangentele la cercul circumscris unui triunghi în vârfurile lui taie laturile opuse sunt chiar centrele celor trei cercuri ale lui Apollonius (vezi Observația 2), deducem că aceste centre, , , , sunt coliniare, aflându-se pe dreapta lui Lemoine.

Proprietatea 3. Cele trei cercuri ale lui Aollonius ale triunghiului ABC se intersectează în două puncte W și W'.

Demonstrație. Fie W și W' punctele comune ale cercurilor lui Apollonius corespunzătoare vârfurilor A și B. Atunci, pentru punctul W, avem și , adică , de unde avem , deci W aparține și cercului lui Apollonius corespunzător vârfului C. Analog procedăm pentru punctul W'.

Observația 3. Punctele comune W și W' ale cercurilor lui Aollonius ale triunghiului ABC se numesc puncte izodinamice. Primul, W, se află în interiorul cercului circumscris triunghiului ABC, iar al doilea, W', se află în exteriorul cercului circumscris triunghiului ABC.

Observația 4. Axa radicală a cercurilor lui Apollonius ale triunghiului ABC este dreapta WW'.

Proprietatea 4. Raza cercului lui Apollonius corespunzător vârfului A al triunghiului ABC este .

Demonstrație. În triunghiul ABC, fără a restrânge generalitatea, considerăm AC>AB. Din teorema bisectoarei interioare avem , de unde sau (*). Din teorema bisectoarei exterioare avem , de unde sau (**). Folosindu-ne de relațiile (*) și (**) obținem succesiv:

,

,

,

.

Analog, și .

Proprietatea 5. Axa radicală a unui cerc al lui Apollonius corespunzător unui vârf al triunghiului ABC și a cercului circumscris triunghiului ABC este simediana corespunzătoare acelui vârf al triunghiului.

Demonstrație. Fie ABC triunghiul dat, O centrul cercului circumscris triunghiului, centrul cercului lui Apollonius corespunzător vârfului A, iar T punctul în care se intersectează a doua oară cele două cercuri. Axa radicală a celor două cercuri este AT. Notăm cu și proiecțiile punctului T pe laturile AB și AC. Pentru că T aparține cercului lui Apollonius corespunzător vârfului A, avem (1), iar dacă aplicăm teorema sinusurilor în triunghiurile ABT și ACT avem și (2), unde R este raza cercului circumscris triunghiului ABC.

Înseamnă că, folosind relațiile (1) și (2), obținem (3). În triunghiurile dreptunghice și avem și (4). Din relațiile (3) și (4) deducem , deci , adică distanțele de la punctul T la laturile BC și AC ale triunghiului ABC sunt respectiv proporționale cu acestea, ceea ce ne duce la concluzia că AT este simediana din A.

Altfel spus, axa radicală a cercului lui Apollonius corespunzător vârfului A și a cercului circumscris triunghiului ABC este simediana din A.

Proprietatea 6. Punctul lui Lemoine are puteri egale față de cercurile lui Apollonius.

Demonstrație. Dacă este coarda comună a cercului circumscris triunghiului ABC și a cercului lui Apollonius corespunzător vârfului A, este coarda comună a cercului circumscris triunghiului ABC și a cercului lui Apollonius corespunzător vârfului B, iar este coarda comună a cercului circumscris triunghiului ABC și a cercului lui Apollonius corespunzător vârfului C, atunci, în conformitate cu proprietatea precedentă, , , sunt simedianele triunghiului ABC.

Știm că simedianele sunt concurente în K, punctul lui Lemoine.

Cum puterea punctului K față de cercul circumscris triunghiului ABC ne dă , rezultă imediat că punctul K are puteri egale față de cercurile lui Apollonius.

Proprietatea 7. Dreapta OK este axa radicală a cercurilor lui Apollonius corespunzătoare vârfurilor triunghiului ABC.

Demonstrație. Dacă O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, iar R raza cercului, atunci, ținând cont că cercurile lui Apollonius corespunzătoare vârfurilor triunghiului ABC sunt ortogonale cercului circumscris, rezultă că puterea punctului O față de cercurile lui Apollonius este egală cu , deci O aparține axei radicale a cercurilor lui Apollonius. Cum și punctul K are puteri egale față de cercurile lui Apollonius, deducem că și K aparține axei radicale. Înseamnă că OK este axa radicală a cercurilor lui Apollonius corespunzătoare vârfurilor triunghiului ABC.

Observația 5. Punctele W, W', O și K se află pe axa radicală a cercurilor lui Apollonius corespunzătoare vârfurilor triunghiului ABC.

1.9. Cercul ortocentroidal

Definiție. Prin vârful A al triunghiului ABC ducem două cercuri tangente la latura BC în vârfurile B și C și notăm cu al doilea punct de intersecție al lor. Procedând la fel și pentru celelalte două vârfuri B și C obținem punctele și . Cercul circumscris triunghiului se numește cercul ortocentroidal al triunghiului ABC.

Proprietatea 1. Punctele , , sunt situate pe medianele triunghiului ABC.

Demonstrație. Considerăm triunghiul ABC și notăm cu punctul de intersecție al dreptelor și BC. Folosind puterea punctului față de cele două cercuri care se intersectează în A și obținem , de unde , deci este mediană.

Proprietatea 2. Punctele , , sunt situate respectiv pe cercurile circumscrise triunghiurilor BHC, AHC și AHB, unde H este ortocentrul triunghiului ABC.

Demonstrație. Din (unghiuri înscrise în același arc) și (unghiuri înscrise în același arc) obținem .

Prin urmare , dar pentru că , deducem că , deci punctul este situat pe cercul circumscris triunghiului BHC. Analog, punctele , sunt situate respectiv pe cercurile circumscrise triunghiurilor AHC și AHB.

Proprietatea 3. Dacă în triunghiul ABC notăm și , atunci patrulaterul este inscriptibil.

Demonstrație. Avem , deci patrulaterul este inscriptibil.

Proprietatea 4. Punctele , , sunt situate pe un cerc de diametru HG, unde H este ortocentrul, iar G este centrul de greutate al triunghiului ABC.

Demonstrație. Fie înălțimea dusă din vârful B al triunghiului ABC, . Din deducem că patrulaterul este inscriptibil și atunci . Cum (vezi proprietatea 2), deducem că , deci patrulaterul este inscriptibil, de unde rezultă că . Înseamnă că și ( aparține medianei ), adică se află pe cercul de diametru HG. La fel arătăm că și punctele , se află pe același cerc de diametru HG.

Observație. Putem acum defini cercul ortocentroidal al triunghiului ABC ca cercul cu diametru HG, unde H este ortocentrul, iar G este centrul de greutate al triunghiului ABC.

Consecința 1. Punctul aparține cercului circumscris triunghiului ce are ca vârfuri mijlocul segmentului AH, mijlocul segmentului și punctul A. La fel punctele și aparțin, respectiv, cercurilor circumscrise triunghiurilor ce au ca vârfuri mijloacele segmentelor BH și CH, mijlocul segmentelor și și, respectiv, punctele B și C.

Consecința 2. Punctul aparține cercului circumscris triunghiului ce are ca vârfuri ortocentrul triunghiului dat ABC, mijlocul înălțimii duse din B și mijlocul înălțimii duse din C. La fel, punctele și aparțin, respectiv, cercurilor circumscrise triunghiurilor ce au ca vârfuri ortocentrul triunghiului dat ABC, mijloacele înălțimii duse din A și C și, respectiv, mijloacele înălțimilor duse din A și B.

1.10. Cercurile lui Lucas

Teorema 1. Să se arate că există trei cercuri tangente interior la cercul circumscris triunghiului ABC în vârfurile A, B, C și tangente între ele două câte două.

Demonstrație. Considerăm problema rezolvată și fie , , cercurile tangente interior cercului circumscris triunghiului dat ABC și tangente între ele două câte două. Pentru că cercurile , , sunt tangente interioare cercului , deducem că , , . Aplicând teorema cosinusului în triunghiurile și OBC obținem:

,

.

Cum (cercurile , fiind tangente), , iar , avem:

,

de unde (1).

Analog, (2), (3). Dacă înmulțim relațiile (1), (2) și (3) obținem succesiv:

,

,

iar dacă ținem seama că , , unde S este aria triunghiului ABC, iar înălțimea corespunzătoare laturii , atunci avem:

(4).

Dacă împărțim relația (4) la (1) obținem sau . Analog și (am folosit notațiile uzuale în triunghiul ABC).

Înseamnă că cercurile cu centrele situate pe razele OA, OB, OC cu razele , , sunt cercurile căutate.

Observația 1. Cercurile , , se numesc cercurile lui Lucas interioare triunghiului ABC.

Observația 2. Cercurile lui Lucas interioare au razele , , , unde , , sunt lungimile înălțimilor triunghiului ABC, iar R este raza cercului circumscris triunghiului ABC.

Teorema 2. Să se arate că există trei cercuri tangente exterior la cercul circumscris triunghiului ABC în vârfurile A, B, C și tangente între ele două câte două.

Demonstrație. Considerăm problema rezolvată și fie , , cercurile tangente exterior la cercul circumscris triunghiului dat ABC și tangente între ele două câte două. Procedând ca la demonstrația teoremei precedente putem determina razele acestor cercuri: , , , unde , , sunt lungimile înălțimilor triunghiului ABC, iar R este raza cercului circumscris triunghiului ABC.

Înseamnă că cercurile cu centrele situate pe semidreptele OA, OB, OC cu razele , , sunt cercurile căutate.

Observația 3. Cercurile , , se numesc cercurile lui Lucas exterioare triunghiului ABC.

Observația 2. Cercurile lui Lucas exterioare au razele , , , unde , , sunt lungimile înălțimilor triunghiului ABC, iar R este raza cercului circumscris triunghiului ABC.

Proprietate. Cercurile lui Lucas , , , , , sunt tangente la cercurile Apollonius ale laturilor triunghiului ABC.

Demonstrație. Știm că cercurile lui Apllonius corespunzătoare laturilor unui triunghi ABC sunt ortogonale cercului circumscris triunghiului. Atunci, evident cercurile lui Lucas , , , , , sunt tangente la cercurile lui Apollonius ale laturilor triunghiului ABC.

1.11. Cercul lui Adams

Teorema lui Adams. Fie triunghiul ABC și D, E, F punctele de tangență ale cercului înscris în triunghi. Dreptele AD, BE, CF sunt concurente în punctului lui Gergonne . Dacă prin punctul ducem paralelele la laturile triunghiului DEF care intersectează laturile triunghiului ABC în punctele P, Q, R, S, T, U, atunci punctele P, Q, R, S, T, U aparțin unui cerc concentric cu cercul înscris în triunghiul ABC.

Demonstrație. Considerăm I centrul cercului înscris în triunghiul ABC și cum , , , pentru a arăta că P, Q, R, S, T, U aparțin unui cerc concentric cu cercul înscris în triunghiul ABC, este suficient să arătăm că ele se află la aceeași distanță față de punctul I, iar pentru aceasta trebuie să arătăm că .

Avem (1), ca tangente la cercul înscris triunghiului ABC, deci triunghiul AFE este isoscel si cum , rezultă că (2), iar din (1) și (2) deducem că . Analog, și (3). Ducem prin A o paralelă la BC și notăm , , , . Din asemănarea triunghiurilor CDE și AXE, ținând seamă că , deducem că și analog, , deci . Din , și rezultă că , de unde obținem și atunci . Analog deducem și (4). Din relațiile (3) și (4) avem , deci P, Q, R, S, T, U aparțin unui cerc concentric cu cercul înscris în triunghiul ABC.

Observație. Cercul ce conține cele șase puncte P, Q, R, S, T, U se numește cercul lui Adams corespunzător triunghiului ABC.

Proprietatea 1. Centru cercului lui Adams este centrul cercului înscris în triunghiul ABC.

Demonstrație. Din congruența triunghiurilor , , , , și rezultă , deci centrul cercului lui Adams este punctul I, centrul cercului circumscris triunghiului ABC.

Proprietatea 2. Avem , și .

Demonstrație. Cum triunghiul AUR este isoscel, iar dreptele AR și AU sunt tangente la cercul înscris în triunghiul ABC, deducem că . Analog, și .

Observație. Putem defini cercul lui Adams astfel: perpendicularele din punctul lui Gergonne al unui triunghi ABC pe AI, BI, CI intersectează pe AB și AC, BC și BA, CA și CB în șase puncte situate pe un cerc numit cercul lui Adams.

Proprietatea 3. Fie triunghiul ABC și punctele P, Q, R, S, T, U de pe cercul lui Adams corespunzător triunghiului ABC. Dacă , , , atunci cercul lui Adams corespunzător triunghiului ABC este primul cerc al lui Lemoine corespunzător triunghiului XYZ.

Demonstrație. Punctul lui Gergonne corespunzător triunghiului ABC este punctul lui Lemoine corespunzător triunghiului de contact DEF și cum laturile triunghiului DEF și XYZ sunt paralele, iar aparținând simedianei din D a triunghiului DEF aparține și simedianei din X a triunghiului XYZ. Analog, aparține simedianei din Y, respectiv, simedianei din Z a triunghiului ABC. Înseamnă că este punctul lui Lemoine al triunghiului XYZ. Cum paralelele duse prin la laturile triunghiului XYZ intersectează triunghiul în punctele P, Q, R, S, T, U , înseamnă că punctele P, Q, R, S, T, U sunt situate pe primul cerc al lui Lemoine. Deci cercul lui Adams corespunzător triunghiului ABC este primul cerc al lui Lemoine corespunzător triunghiului XYZ.

Proprietatea 4. Cercul lui Adams al triunghiului ABC este omotetic cu primul cerc al lui Lemoine al triunghiului de contact DEF față de punctul lui Gergonne , având raportul de omotetie .

Demonstrație. Notăm cu L, L', M, M', N, N' punctele de intersecție ale paralelelor duse prin punctul lui Gergonne al triunghiului ABC la laturile triunghiului de contact DEF cu laturile acestuia. Înseamnă că punctele L, L', M, M', N, N' aparțin primului cerc al lui Lemoine al triunghiului de contact DEF. Cum paralelogramele și au latura comună, deducem că . Analog, , , , , . Am demonstrat astfel că cercul lui Adams (care conține punctele P, Q, R, S, T, U) al triunghiului ABC este omotetic cu primul cerc al lui Lemoine (care conține punctele L, L', M, M', N, N') al triunghiului de contact DEF cu centrul de omotetie în punctul lui Gergonne și având raportul de omotetie .

1.12. Cercurile lui Neuberg

Teoremă. Dacă triunghiul ABC are baza fixă BC, atunci locul geometric al vârfului A, cu unghiul lui Broacard al triunghiului constant, este un cerc (numit cercul lui Neuberg).

Demonstrație. Fie mijlocul segmentului BC. Notăm cu M punctul de intersecție dintre mediatoarea laturii BC și paralela prin A la latura BC. Din teorema medianei avem , adică , iar din formula unghiului lui Brocard avem , unde este lungimea medianei din vârful A, iar S este aria triunghiului ABC.

Avem succesiv:

,

,

,

.

Luăm pe un punct astfel încât și atunci avem . Aplicăm teorema lui Pitagora generalizată în triunghiul și obținem:

,

,

,

.

Înseamnă că locul geometric căutat este un cerc, cu centrul în și cu raza , notat și numit cercul lui Neuberg corespunzător vârfului A al triunghiului ABC.

Observația 1. Dacă în triunghiul ABC luăm baza fixă AC, respectiv AB, cu același unghi Brocard al triunghiului, obținem cercurile lui Neuberg , respectiv , unde și .

Observația 2. Triunghiul ale cărui vârfuri sunt centrele cercurilor lui Neuberg se numește triunghiul lui Neuberg.

Proprietatea 1. Razele cercurilor lui Neuberg ale unui triunghi ABC sunt proporționale cu lungimile laturilor triunghiului.

Demonstrație. Din , și obținem .

Proprietatea 2. Distanțele centrelor cercurilor lui Neuberg ale triunghiului ABC la centrul cercului circumscris sunt proporționale cu cuburile lungimilor laturilor corespunzătoare ale acestui triunghi.

Demonstrație. Avem , iar în triunghiul dreptunghic avem , deci .

Înseamnă că , adică .

Analog, și .

Dacă ținem cont că , iar (vezi unghiul lui Brocard), atunci avem succesiv:

,

.

Avem , iar dacă folosim acest rezultat în relația precedentă obținem , deci . Analog, și . În sfârșit, avem .

Observația 3. Din , și , deducem că:

,

,

,

.

Proprietatea 3. Este adevărată relația .

Demonstrație. Din , și rezultă că , deci .

Proprietatea 4. Cercul lui Neuberg este ortogonal cu cercurile cu raza a și centrele în punctele B și C.

Demonstrație. Arătăm, mai întâi, că cercul lui Neuberg este ortogonal cu cercul cu raza a și centrul în punctul B.

Într-adevăr, aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic și avem:

,

.

Cum , obținem , deci cercul lui Neuberg este ortogonal cu cercul cu raza a și centrul în punctul B. La fel obținem că cercul lui Neuberg este ortogonal și cu cercul cu raza a și centrul în punctul C.

Observația 4. Proprietăți analoge obținem și pentru cercurile lui Neuberg și .

1.13. Cercurile lui Carnot

Definiție. Cercurile care trec prin ortocentrul unui triunghi oarecare și prin câte două vârfuri se numesc cercuri Carnot.

Teoremă. Într-un triunghi, cercurile Carnot sunt congruente cu cercul circumscris triunghiului.

Demonstrație. Fie triunghiul ABC în care H este ortocentrul, iar cercurile BHC, CHA, AHB sunt cercurile Carnot.

Arătăm că cercul BHC este congruent cu cercul (O) circumscris triunghiului ABC. Într-adevăr, punctul Ah, unde înălțimea AA1 taie cercul (O), este simetricul lui H în raport cu latura BC (știm că punctele simetrice ale ortocentrului unui triunghi în raport cu laturile sunt pe cercul circumscris). Triunghiurile BHC și BAhC fiind congruente, cercurile circumscrise lor sunt, de asemenea, congruente. Dar cercul BHC este cercul Carnot considerat, iar cercul BAhC este chiar cercul (O). Analog se arată că cercurile Carnot AHB și AHC sunt congruente cu cercul (O).

Notăm cu OA, OB și Oc centrele cercurilor Carnot BHC, AHC și AHB.

Observația 1. Cercurile Carnot sunt simetrice cercului circumscris triunghiului dat în raport cu laturile corespunzătoare.

Observația 2. Cele trei cercuri Carnot ale unui triunghi sunt simetrice, două câte două, în raport cu înălțimile corespunzătoare.

Observația 3. Cercul circumscris triunghiului OaObOc și cercul circumscris triunghiului ABC sunt congruente.

Observația 4. Punctele H și O ale triunghiului ABC sunt, respectiv, centrul cercului și ortocentrul triunghiului OaObOc.

Observația 5. Patrulaterul OOaHA și similarele sunt paralelograme.

1.14. Cercul lui Van Lamoen

Fie triunghiul ABC, cu centrul de greutate G, iar triunghiul median al triunghiului ABC. Notăm cu , , , , , centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor , , , , , . Notăm, de asemenea, , , .

Proprietatea 1. Patrulaterul este paralelogram.

Demonstrație. Cum este mediatoarea segmentului AG, deducem că , iar din faptul că este mediatoarea segmentului , deducem că . Înseamnă că . Analog, . Am demonstrat, astfel că este paralelogram.

Observație. Punctul P este mijlocul segmentului .

Proprietatea 2. Punctele D, P, G, E sunt coliniare.

Demonstrație. Notăm cu , , , mijloacele segmentelor , , , . Pentru că , , sunt linii mijlocii în triunghiurile , ABC, avem , , , deci . Înseamnă că triunghiurile și sunt omotetice, cu centrul de omotetie în . Rezultă că punctele D, G și E sunt coliniare. Cum P este situat pe dreapta DE, deducem că D, P, G și E sunt coliniare.

Proprietatea 3. Centrul cercului circumscris triunghiului ABG este în punctul D.

Demonstrație. Pentru că , sunt mediatoarele segmentelor AG și BG deducem că D este centrul cercului circumscris triunghiului ABG.

Observație. Punctul D aparține mediatoarei segmentului AB.

Proprietatea 4. Dreapta este simediana unghiului . Demonstrație. Din și deducem că . Cum , avem că:

(*) (având același complement). Patrulaterul este inscriptibil, având unghiurile din și de 900, și prin urmare (**). Din (*) și (**) deducem că (***). Deoarece P este mijlocul segmentului , rezultă că DP este mediană a triunghiului și dacă folosim relația (***), deducem că dreapta este simediana unghiului .

Proprietatea 5. Dreapta trece prin mijlocul segmentului .

Demonstrație. Considerăm cercurile circumscrise triunghiurilor și . Notăm . Ducem și . Triunghiurile și fiind isoscele ( și ) avem , , iar dacă ținem cont că , rezultă că . Cum deducem că , deci este linie mijlocie în trapezul și prin urmare Q este mijlocul segmentului .

Proprietatea 6. În triunghiul , este antiparalelă laturii .

Demonstrație. Dreapta este simediană în triunghiul și împarte segmentul în segmente de lungimi egale, . Atunci, în conformitate cu teorema lui Lhuilier, rezultă că este antiparalelă laturii .

Proprietatea 7. Punctele , , și sunt conciclice.

Demonstrație. Din faptul că este antiparalelă laturii , deducem că patrulaterul este inscriptibil, deci, , și sunt conciclice și notăm cercul circumscris patrulaterului .

Proprietatea 8. Punctele , , , , respectiv , , , sunt conciclice.

Demonstrație. Procedăm ca la proprietatea precedentă.

Notăm cu cercul pe care se află punctele , , , și cu cercul ce conține punctele , , , .

Teorema lui Van Lamoen. Punctele , , , , , sunt conciclice.

Demonstrația 1. Presupunem, prin absurd că cele trei cercuri , , nu coincid. Ele fiind secante două câte două, axele radicale , , sunt concurente într-un punct. Contradicție. Pentru că axele radicale , , ale perechilor de cercuri considerate mai sus nu sunt concurente, rezultă că cercurile , , coincid, deci punctele , , , , , sunt conciclice.

Observație. Cercul ce trece prin punctele , , , , , se numește cercul lui Van Lamoen. Cercul a fost descoperit, cu ajutorul calculatorului, de olandezul Van Lamoen, în anul 2000.

Demonstrația 2. Atunci când G este centrul de greutate al triunghiului ABC, triunghiurile ABG, BCG, CAG sunt echivalente, cum echivalente sunt și cele șase triunghiuri determinate de vârfurile triunghiului, centrul de greutate și mijlocul laturilor, adică:

,

unde S este aria triunghiului ABC. Considerăm hexagonul , în care avem și , de unde . Analog, și . Înseamnă că hexagonul are laturile opuse, paralele două câte două.

Calculăm următoarele diagonalele ale hexagonului:, , .

Considerăm triunghiul de arie , cu centrul cercului circumscris triunghiului în și cu rază . Folosind formula în triunghiul , avem succesiv:

,

,

,

.

Analog, .

În triunghiul isoscel avem:

.

Analog, .

Avem succesiv:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul , apoi folosim formula medianei, , și avem succesiv:

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Analog, și , deci .

Hexagonul are laturile opuse paralele două câte două, , , și diagonale principale cu lungimi egale . S-au format trei trapeze isoscele, , , .

Avem:

,

,

,

.

Din și considerând secanta avem:

,

,

(*).

Cum suma măsurilor unghiurilor triunghiului este 1800 și dacă folosim (*), avem succesiv:

,

,

,

(**).

Dacă în patrulaterul folosim (**) avem:

.

Deducem că patrulaterul este inscriptibil și, prin urmare punctele , , , sunt conciclice. Cum trapezele isoscele și sunt, de asemenea, inscriptibile rezultă că și punctele , , , , respectiv, , , , sunt conciclice. Înseamnă că punctele , , , , , sunt conciclice.

1.15. Cercul lui Conway

Teoremă. Dacă în prelungirea laturilor triunghiului ABC se construiesc segmentele , , , atunci punctele , , , , , sunt conciclice.

Demonstrație. Notăm , , și cu a, b, c lungimile laturilor BC, CA, AB. Avem , , , deci triunghiurile , , sunt isoscele si, prin urmare, , , .

Ținem cont că , avem succesiv:

,

,

.

Înseamnă că patrulaterul este inscriptibil, iar punctele , , , sunt conciclice. Analog, patrulaterele și sunt inscriptibile și punctele , , , și , , , sunt, respectiv, conciclice. Prin urmare, punctele , , , , , sunt conciclice.

Observație. Punctele , , , , , aparțin aceluiași cerc numit cercul lui Conway după numele matematicianului englez John Horton Conway.

Proprietatea 1. Centrul cercului lui Conway este punctui I, centrul cercului înscris în triunghiul ABC.

Demonstrație. Triunghiurile , fiind isoscele, rezultă că bisectoarele AI și BI sunt în același timp și mediatoare ale segmentelor și , deci I, centrul cercului înscris în triunghiul ABC este și centrul cercului lui Conway corespunzător triunghiului ABC.

Proprietatea 2. Avem , , .

Demonstrație. Din și rezultă că . Analog dovedim că , .

Proprietatea 3. Dacă r este raza cercului înscris în triunghiul ABC, iar p semiperimetrul, atunci raza cercului lui Conway corespunzător triunghiului ABC este .

Demonstrație. Considerăm triunghiul isoscel , în care și ducem . Cum , iar , din triunghiul dreptunghic avem:

,

,

.