Aspecte Didactice Referitoare la Predarea Învătarea Patrulaterelor

Coordonator: Absolvent:

Conf. univ. dr. Horvat-Marc Andrei Lucian (Farcaș) Cristina

Baia Mare

2016

INTRODUCERE

Matematica este aplicată în viața de zi cu zi în domenii variate, de la științele naturii, până la științele sociale, precum de la științele economice până la artă. Principiile matematice sunt aplicate pentru rezolvarea de probleme din majoritatea domeniilor, dovedind astfel cât de mult servesc acestea nevoilor concrete ale oamenilor și cât de necesare sunt pentru formarea tinerilor și pentru educarea omului, în general.

Prin predarea geometriei în școală, ca ramură a matematicii, se urmărește ca, pe lângă însușirea cunoștințelor de geometrie din programă, elevii să-și dezvolte facultățile psihice, gândirea critică, activă, inițiativa personală în gândire. În însușirea de cunoștințe se urmărește ca acestea să nu fie reținute, pur și simplu, doar pentru a fi reproduse, ci să devină un instrument de lucru în rezolvarea de noi probleme, pentru a descoperi pe baza lor lucruri noi. Pentru aceasta, profesorii trebuie să găsească metode și strategii didactice adecvate care să-i stimuleze pe elevi, să le stârnească curiozitatea și plăcerea de a descoperi lucruri noi pentru ei, prin efort personal, folosind cunoștințe anterioare.

În acest sens, prin lucrarea de față, am încercat să subliniez câteva aspecte didactice referitoare la predarea-învățarea unor noțiuni de geometrie, și anume, a patrulaterelor.

Lucrarea este structurată pe patru capitole. Am început primul capitol,„REPERE TEORETICE”, cu definirea procesului de învățământ, precum și a proceselor de predare, învățare, evaluare, subliniind relația de interdependență dintre acestea. Apoi, am analizat semnificațiaconceptului de metodă în procesul de învățământ și am realizat o clasificare a metodelor după mai multe criterii.

În al doilea capitol, „METODE, MIJLOACE ȘI PROCEDEE DE PREDARE-ÎNVĂȚARE UTILIZATE ÎN MATEMATICĂ”, am analizat câteva metodele, mijloacele și tehnicile de predare-învățare, dintre cele mai utilizate în matematică.

În capitolul al treilea, „ASPECTE DIDACTICE REFERITOARE LA PREDAREA-ÎNVĂȚAREA PATRULATERELOR”, am descris câteva exemple de aplicare a metodelor și procedeelor didactice prezentate în capitolul anterior în predarea-învățarea unor lecții despre patrulatere. Astfel, am exemplificat aplicarea unor metode de expunere a cunoștințelor precum descrierea și explicația, îmbinate cu folosirea exemplelor și contraexemplelor în predarea patrulaterului convex.

Apoi, am descris, un exemplu de aplicare a metodei „Schimbă perechea” în predarea-învățarea paralelogramului, finalizat cu un model de realizare a unui ciorchine, pentru relizarea feedback-ului și asigurarea retenței.

În continuare, am prezentat un model de aplicare a metodei „Mozaic” în predarea-învățarea paralelogramelor particulare și am realizat „Diagrama Venn Euler” pentru analizarea asemănărilor și deosebirilor dintre acestea.

De asemenea, am prezentat un exemplu de aplicare a metodei „Știu/Vreau să știu/Am învățat”, combinată cu metoda problematizării, la predarea ariilor patrulaterelor.

Ultimul capitol, cuprinde probleme rezolvate cu patrulatere cu un grad de dificultate mai ridicat, ce pot fi folosite pentru pregătirea elevilor capabili de performanță.

1. REPERETEORETICE

Procesul de învățământ ca interacțiuneîntreprocesele depredare-învățare-evaluare

Procesul de învățământ reprezintă un sistem constituit dintr-un ansamblu de componente și interacțiuni între acestea, care de-alungul timpului au fost supuse unor transformări, mai mult sau mai puțin radicale, privind conținuturile și scopurile cărora i-au fost subordonate, adaptându-se mereu schimbărilor din societate.

Componentele procesului de învățământ sunt: factori interni și externi (resurse umane, obiective și competențe pedagogice, conținuturi, forme de realizare), condiții care influențează factorii (relații profesor-elev și elev-elev, timpul și spațiul în care se desfășoară activitatea didactică), precum și procese efective (predare, învățare, evaluare și strategii didactice).

În cadrul procesului de învățământ, cunoașterea se realizează pe baza interacțiunilor între predare, învățare și evaluare, între activitatea profesorului și activitatea elevului, astfel încât conținuturile predate să devină mai apoi, prin învățare, achiziții personale ale elevilor.

În cele ce urmează voi defini, pe scurt, procesele de predare, învățare și evaluare, evidențiind relația de interdependență dintre acestea.

Predarea este definită ca un ansamblu de acțiuni și operații sistematice realizate de către profesor în vederea organizării și desfășurării optime a învățării, fiind în principiu, o acțiune de comunicare didactică care nu poate fi înlocuită complet prin studiul individual al elevului.

Din punct de vedere psihologic, învățarea poate fi definită ca fiind „procesul evolutiv de esență informativ-formativă ce constă în dobândirea (recepționarea, stocarea și valorificarea internă) de către individ, într-o manieră activă, explorativă a experienței de viață și, pe această bază, în modificarea selectivă și sistematică a conduitei”(P. Golu).

Din punct de vedere pedagogic, învățarea școlară este un proces sistematic și gradual care se desfășoară conform unor obiective și pe baza unor strategii didactice proiectate și desfășurate de către profesor într-un cadru organizat.

Evaluarea este un proces complex având rolul de a compara rezultatele activității instructiv-educative cu obiectivele propuse, cu rezultatele anterioare și cu resursele utilizate, putându-se astfel determina măsura în care obiectivele planificate au fost atinse, progresul realizat de către elevi și, nu în ultimul rând, eficiența strategiilor și metodelor de predare-învățare folosite. Astfel, o evaluare corectă a rezultatelor furnizează profesorului, dar și elevilor, informațiile necesare ameliorării și reglării proceselor de predare-învățare.

Semnificația conceptului de metodă în procesul de învățământ

Cuvântul ”metodă”, provenit din termenul grecesc „methodos” („metha” – către, spre și „odos” – cale, drum) semnifică „calea care duce către”… aflarea adevărului, atingerea unui scop, obținerea unui rezultat.

Prin prisma activității didactice, metoda de învățământ reprezintă „o modalitate de acțiune, un instrument cu ajutorul căruia elevii, sub îndrumarea profesorului sau în mod independent, își însușesc și aprofundează cunoștințe, își formează și dezvoltă priceperi și deprinderi intelectuale și practice, aptitudini, atitudini“ pe parcursul procesului didactic (M. Ionescu, M. Bocoș). În ceea ce privește profesorul, metoda reprezintă ocale de organizare și de dirijare a activității de învățare a elevului, „un instrument didactic cu ajutorul căruia îi determină pe cei aflați pe băncile școlii la un demers de asimilare activă a unor noi cunoștințe și forme comportamentale, de stimulare, în același timp, a dezvoltării forțelor lor cognitive, intelectuale”(I. Cerghit).

Potrivit lui I. Cerghit, „sub raport structural și funcțional, metoda este considerată a fi un ansamblu organizat de procedee sau moduri de realizare practică a operațiilor care stau la baza acțiunii”, procedeele fiind considerate „niște detalii sau componente particulare” ale metodei.

Metodele de predare-învățare reprezintă un set de procedee pe care profesorul sau elevul le folosește ca pe niște instrumente în procesul de predare, respectiv de învățare, în mod conștient, controlat și intenționat.

Figura de mai jos reprezintă conceptualizarea metodelor de predare-învățare.

Ansamblul de metode, mijloace și tehnici didactice alese pentru formarea competențelor și realizarea scopului și obiectivelor didactice definesc strategia didactică.

Clasificarea metodelor de predare-învățare

La o primă analiză, o clasificare a metodelor de învățământ poate să pară ușoară. Totuși, datorită ritmului crescut al evoluției metodologiei didactice clasificarea acestora s-a dovedit a fi un demers deloc facil. Mereu apar procedee și tehnici noi, iar domeniile de intersecție dintre metodele existente creează noi metode mai complexe.

Literatura de specialitate oferă mai multe taxonomii ale metodelor de învățământ, operând cu mai multe criterii de clasificare:

Foarte mult folosit este criteriul istoriccare clasifică metodele în douăgrupe: metode tradiționale(clasice) și metode moderne.

Tradiționale sunt considerate a fi metodele centrate pe profesor (ca sursă de informații), bazate pe comunicarea unidirecțională, având ca scop transmiterea de cunoștințe, care induc elevilor o atitudine pasivă și care, în general, cultivă autoritatea profesorului.

Prin comparație, metodele moderne sunt centrate pe elevi și pe activitate, se bazează pe comunicarea multidirecțională și pun accentul pe dezvoltarea gândirii, a formării de aptitudini și deprinderi. Acestea încurajează implicarea elevilor în actul educativ, precum și inițiativa și creativitatea acestora.

Un alt criteriu de clasificare este gradul de dirijare a învățăriicare împart metodele în:

metode algoritmice (în care activitatea de învățare este dirijată);

metode semialgoritmice (activitate cu posibilități de autoorganizare);

metode euristice (activitate creativă, prin investigații personale și căutări independente).

Din punct de vedere al modalităților de învățare promovatemetodele au fost clasificate în:

metode de învățare prin receptare;

metode de învățare prin descoperire;

metode de învățare prin acțiune practică;

metode de învățare prin creație.

Dupămodul de realizare a activității metodele pot fi clasificate în:

metode frontale;

metode de învățare în grup;

metode de activitate în perechi;

metode individuale.

Dupăfuncția didactică principalămetodele pot fi:

metode de predare și comunicare;

metode de fixare și consolidare;

metode de verificare și apreciere a rezultatelor activității școlare.

În funcție degradul de generalitate și de sfera de aplicabilitate metodele sunt clasificate în metode generale (precum expunerea, prelegerea, conversația, lucrările practice, etc.) valabile în predarea celor mai multe discipline și metode particulare (speciale) restrânse la predarea unor discipline de învățământ.

Exemplele de clasificare ar putea continua, însă taxonomiile interesează mai puțin, în lucrarea de față urmărindu-se evidențierea unor aspecte didactice privind predarea-învățarea noțiunilor și rezultatelor matematice referitoare la patrulatere.

METODE, MIJLOACE ȘI PROCEDEE DE PREDARE-ÎNVĂȚARE UTILIZATE ÎN MATEMATICĂ

Metode de expunere a cunoștințelor

Considerate ca făcând parte din metodele tradiționale de predare-învățare, metodele expozitive lasă impresia că nu ar mai fi în conformitate cu noile tendințe ale pedagogiei care pun accentul pe participarea activă și conștientă a elevului.

Totuși, în unele situații ele se mai folosesc. Transmiterea sistematică și continuă a unor cunoștințe reprezintă o cale simplă și rapidă de instruire, permițând ca într-un timp scurt să se comunice și să se recepteze un volum mare de informații.

Un avantaj al acestor metode ar fi faptul că, în expunerea profesorului, elevii găsesc un model coerent de gândire și exprimare științifică, de tratare a unei situații problemă. De asemenea, o expunere bine structurată îi ajută pe elevi să-și dezvolte capacitatea de a-și organiza cunoștințele la un nivel superior de abstractizare și să-i disciplineze intelectual.

Metodele expozitive prezintă însă și dezavantaje: profesorul comunică niște cunoștințe gata elaborate, impuse în mod autoritar, elevii fiind nevoiți să accepte, să înțeleagă și să rețină informațiile primite. Astfel, unei activități intense a profesorului îi corespunde o activitate redusă a elevului care, de cele mai multe ori, duce la plictiseală și la deficiențe ale atenției.

Prin urmare, profesorul trebuie să se coboare la nivelul cunoștințelor elevilor, să organizeze în așa fel lecția încât să-i determine să gândească odată cu el.

Metodele de expunere a cunoștințelor sunt povestirea, descrierea, explicația, prelegerea și cursul.

Povestirea este o metodă expozitivă puțin folosită în matematică. La debutul unor capitole noi se pot introduce, pentru trezirea interesului, câteva elemente de istorie sau elemente biografice ale unor matematicieni celebri folosindu-se povestirea.

Descrierea este o metodă de expunere prin care se înfățișează în mod direct aspecte ale unei realități, care prezintă caracteristicile unui obiect, a unui fapt, sau acțiuni insistându-se asupra aspectelor de formă, dimensiune, relații. Descrierea se bazează pe observare intuitivă, însă profesorul poate interveni prin dirijarea acestei observări.

Explicația este forma expunerii cea mai mult folosită în predarea matematicii și în care predomină argumentarea rațională. Explicația „se bazează pe declarație, adică profesorul pornește de la enunțarea unei reguli, legi, teoreme și numai după aceea se analizează argumentele sau cauzele și se prezintă exemplele”.

Prelegerea este o formă a expunerii care se folosește destul de rar și mai mult la clasele de liceu, având caracterul unei înlănțuiri logice de raționamente cu ajutorul căruia profesorul comunică un material informațional nou.

Prelegerea se folosește de obicei, atunci când tema impune o expunere continuă, iar fragmentarea ar afecta înțelegerea.

Cursul (magistral) este o formă de prelegere folosită în invățământul superior.

Oricare dintre metodele de expunere s-ar folosi, pentru a putea fi eficiente, ele trebuie îmbinate cu alte forme de predare.

Metoda conversației

Conversația didactică rezidă în dialogul dintre profesor și elev, rolul profesorului fiind cel al unui partener care pune întrebări, dar care și răspunde la întrebări.

Deși este considerată ca fiind o metodă tradițională, metoda conversației implică o participare activă a elevilor, aceștia fiind solicitați să răspundă întrebărilor profesorului și, de asemenea, să pună întrebări în legătură cu tema predată. Astfel gândirea elevilor este stimulată în vederea însușirii de noi cunoștințe, de fixare sau de sistematizare a acestora, ș.a.m.d.

Clasificarea formelor de conversație

a).După numărul de persoane cărora li se adresează întrebările, conversația poate fi: individuală (dialogul se poartă între profesor și un singur elev) sau frontală (întrebările sunt adresate întregii clase).

b).După obiectivele urmărite putem avea:

– conversație introductivă, folosită în momentele captării atenției și reactualizarea cunoștințelor anterior dobândite;

– conversația în cadrul prezentării materialului nou;

– conversația pentru fixarea cunoștințelor;

– conversația pentru recapitularea cunoștințelor;

– conversația pentru evaluarea cunoștințelor.

c).După tipul de raționament pe care-l face elevul când răspunde la întrebări, conversația poate fi euristică sau catehetică.

Conversația euristică

Dacă întrebările profesorului se adresează gândirii și sunt astfel formulate încât conduc la efectuarea unor raționamente în urma cărora să rezulte, ca o concluzie, adevărul pentru elev, sau prin analiza mai multor posibilități să identifice și alte soluții, atunci este vorba despre conversație euristică.

În cadrul conversației euristice, profesorul orientează în permanență gândirea elevului, astfel încât prin formularea întrebărilor ”din aproape în aproape” să ajungăla descoperirea noilor cunoștințe.

Utilizarea conversației euristice este condiționată de cunoștințele anterioare ale elevului, care să-i permită să dea răspuns la întrebările ce i se pun.

În conversația catehetică întrebările se adresează memoriei, răspunsurile constituind reproduceri ale noțiunilor învățate anterior. Funcția principală a conversației catehetice este constatarea nivelului cunoștințelor elevilor la un moment dat.

Metoda exercițiului

Metoda exercițiului constă în efectuarea unor acțiuni și operații în mod conștient și repetat, cu scopul de a forma deprinderi și priceperi, precum și de a consolida anumite cunoștințe.

Învățarea prin acțiune este foarte importantă în formarea tinerilor, de aceea metoda exercițiului este o metodă comună tuturor disciplinelor, tuturor ciclurilor școlare și tuturor formelor de organizare a activității. Astfel, în utilizarea metodei exercițiului, activitatea poate fi organizată pe grupe, folosind fișe de lucru, sau frontal, cu clasa, dar și individual.

În cazul muncii independente, se pot folosi exerciții cu grad de dificultate diferențiat, în funcție de achizițiile anterioare ale fiecărui elev. Dacă activitatea se desfășoară frontal, atunci un elev va lucra la tablă, iar ceilalți vor lucra independent, comparând doar rezultatele obținute cu cele de la tablă. În acest caz profesorul trebuie să urmărească activitatea elevilor din bănci pentru a se evita ca aceștia să devină simpli copiatori, caz în care aceștia încetează să mai gândească.

Practica școlară folosește o gamă largă de tipuri de exerciții. Astfel, după funcțiile indeplinite exercițiile pot fi introductive, operatorii,aplicative, de observație, de asociere, de formare a automatismelor, de dezvoltare, de consolidare, de evaluare, de exprimare concretă sau de exprimare abstract, etc.

După gradul de intervenție al profesorului, exercițiile pot fi dirijate, semidirijate sau autodirijate sau combinate.

După subiecți, exercițiile se împart în exerciții individuale, de echipă sau frontale.

După sarcina didactică, există exerciții de comunicare, euristice, de problematizare, de algoritmizare, etc.

Indiferent de tipul de exerciții utilizate calitatea învățării va crește dacă sunt respectate câteva norme:

profesorul trebuie să cunoască structura, valoarea și limitele exercițiului înainte de a-l propune elevilor;

elevii să fie conștienți de scopul în care se efectuează exercițiul și să conștientizeze modelul acțiunii ce trebuie să o învețe;

succesiunea exercițiilor să fie gradual în funcție de dificultate;

exercițiile să aibă continuitate în timp, folosindu-se un ritm optim pentru a înlesni formarea automatismelor, fără a se omite alternanța exersării cu pauzele necesare refacerii potențialului neurofiziologic;

exercițiile trebuie să fie variate și clar formulate, urmărindu-se corectitudinea efectuării acestora pentru a evita formarea unor deprinderi greșite;

controlul și autocontrolul trebuie făcute în așa fel încât intervenția profesorului să scadă treptat, iar gradul de independență a elevilor în realizarea exercițiilor să crească.

Foarte importantă în predarea noțiunilor teoretice de matematică este folosirea exemplelor. Un exemplu prezentat convingător asigură reținerea noțiunilor predate, înlăturând eventualele nelămuriri.

În matematică se folosesc mult și contraexemplele cu ajutorul cărora se demonstrează că o anumită proprietate nu este întotdeauna adevărată.

De exemplu, ”Un paralelogram cu diagonalele perpendiculare este pătrat.” este o propoziție falsă, întrucât perpendicularitatea diagonalelor nu este o condiție suficientă pentru ca un paralelogram să fie pătrat. Acest fapt se poate demonstra cu ajutorul unui contraexemplu: rombul este un paralelogram cu diagonalele perpendiculare fără a fi pătrat.

Metode active de predare-învățare

Metodele active sunt acele metode, centrate pe elev, astfel încât elevul să nu fie un simplu spectator în actul didactic, ci să fie implicat activ în procesul educativ.

Metodele care pun elevul în situația de a găsi singur, prin propria activitate, o proprietate, un algoritm de calcul, o metodă de rezolvare a unei probleme sau a unui grup de probleme, exemple sau contraexemple, fără a-i fi fost prezentate înainte de către profesor la clasă, sunt considerate a fi metode active. Aceste metode au rolul de a dezvolta gândirea creativă a elevilor și vizează latura formativă a educației.

Voi descrie în continuare câteva metode active, des folosite în matematică.

Munca independentă a elevului

Munca sau studiul individual nu pot fi decât active, ,,în sensul angajării gândirii independente și a libertății de a opera transferuri de cunoștințe, de a pune probleme, de a emite ipoteze și de a găsi soluții, de a descoperi idei.” (I. Cerghit)

În general elevii nu lucrează independent decât dacă li se solicită acest lucru. De aceea, pentru a forma elevilor deprinderi și priceperi de a lucra independent,profesorii utilizează periodic diferite forme de muncă independentă, cum ar fi temele pentru acasă, fișele de lucru, scurte lucrări de control pentru verificarea sau fixarea cunoștințelor.

Munca independentă a elevului poate să fie individuală sau pe grupe.

Pentru o învățare eficientă munca individuală ar trebui să fie diferențiată în funcție de nivelul cunoștințelor fiecărui elev, ceea ce presupune o bună cunoaștere a acestora. Astfel, exercițiile și problemele propuse pentru a fi rezolvate individual de către elevi ar putea fi grupate pe categorii cu grade diferite de dificultate: pentru elevi slabi, buni și foarte buni.

Munca pe grupe vine în completarea activității independente a elevilor. Grupele formate pot fi omogene, când elevii au nivel apropiat de pregătire sau eterogene când există diferențe mai mari privind nivelul de pregătire al elevilor.

Munca cu manualul

Manualele sunt cărți fundamentale pentru elevi, acestea conținând informațiile necesare atingerii nivelului de pregătire obligatorie al elevilor.

De cele mai multe ori elevii obișnuiesc să învețe după notițele din clasă și folosesc manualul doar pentru rezolvarea exercițiilor și problemelor propuse ca temă pentru acasă. Capacitatea de a gândi a elevilor se dezvoltă mai ales prin activitate proprie, astfel că munca cu manualul oferă, pe lângă asimilarea unor cunoștințe noi, și formarea unor deprinderi de activitate intelectuală. Prin urmare, profesorul are obligația de a-l îndruma pe elev să folosească manualul.

De exemplu, profesorul poate rezolva o teoremă la tablă după care le poate cere elevilor să studieze o altă variantă de demonstrație a teoremei din manual, făcând analize și comparații. Sau li se poate cere elevilor să studieze din manual teoria (pentru lecțiile ușoare și scurte) sau modele de exerciții rezolvate.

Modelarea

Modelarea, ca metodă didactică folosită în predarea-învățarea matematicii,reprezintă un mod de lucru prin care gândirea elevului este dirijată spre descoperirea adevărului cu ajutorul modelelor, utilizându-se raționamentul prin analogie. Cu ajutorul modelării se dezvoltă spiritul de observație, capacitatea de abstractizare, flexibilitatea.

Modelarea poate fi similară sau analogică.

Modelarea similară presupune reproducerea unui sistem de aceeași natură cu originalul, care pune în evidență particularități ale sistemului original și care înlesnește cunoașterea acestuia.

Deși acest tip de modelare se pretează mai mult la științele naturii, se poate folosi și în matematică; schițele sau reprezentările grafice pot fi considerate modele.

De exemplu, pentru a calcula cantitatea de pavaj (în formă cubică) necesară pentru a pava curtea unei case, se realizează o schiță model a curții. Aceasta permite calculul cantității de pavaj cu ajutorul noțiunilor despre arii.

Rezultatul obținut se transferă asupra originalului.

Modelarea analogică diferă de modelarea similară prin faptul că modelul nu presupune o asemănare perfectă cu originalul, ci doar o analogie. Astfel, această metodă constă în realizarea unui sistem a cărui descriere matematică este aceeași cu cea a sistemului original și cu ajutorul căruiase găsesc soluții ce se pot aplica sistemului original.

Exemplu: Pentru funcția , , cu și , determinați pozițiile rădăcinilor x1, x2 ale ecuației față de intervalul [].

i). Cazul x1< x2<

Modelul grafic

sau

Modelul logic

ii). Cazul x1<<x2<

Modelul grafic

sau

Modelul logic

Se poate continua, în mod analog, cu restul cazurilor.

Problematizarea și învățarea prin descoperire

În zilele noastre, când știința și tehnica se dezvoltă cu o viteză amețitoare, când, de la o generație la alta, apar noi și noi profesii, oamenii se văd nevoiți să învețe toată viața pentru a se putea adapta noilor cerințe. Astfel școala trebuie să-i formeze pe elevi în așa fel încât să se poată orienta singuri într-un câmp de probleme noi.

Se impune astfel nevoia ca, în procesul de predare-învățare, să se pună cât mai mult accentul pe acele metode și strategii care îi stimulează pe elevi să-și însușească în mod conștient și creativ, prin eforturi personale de gândire și acțiune, noi cunoștințe și metode de investigare, care le dezvoltă spiritul de observare și capacitatea de analiză și sinteză.

Acest lucru se poate face prin problematizare, o metodă de predare-învățare care îl scoate pe elev din ,,postura unui simplu receptacul de cunoștințe gata sistematizate” și-l pune în situația de a le redescoperi prin eforturi proprii de gândire.

Problematizarea dă naștere unor stări conflictuale în gândire, elevul trebuind să realizeze diferența dintre cunoștințele sale anterioare și o nouă informație. Aceste stăriconflictuale poartă denumirea de „situații-problemă” (sau „întrebări-problemă”) care, odată rezolvate, vor conduce la descoperirea unor noi proprietăți ale obiectului studiat.

Situațiile-problemă sunt organizate și structurate logic de către profesor, pe baza obiectivelor și competențelor specifice urmărite și în concordanță cu conținuturile învățării, dar în așa fel încât întrebările să apară în mintea elevului fără ca acestea să fieformulate de către profesor, iar redescoperirea să fie doar semidirijată.

Există mai multe tipuri de situații-problemă:

când existăun dezacord între cunoștințele elevului și ceea ce i se cere pentru rezolvarea noii probleme;

când elevul trebuie să selecteze din achizițiile sale anterioare pe acelea cu valoare operațională, conștientizând că uneori acestea sunt insuficiente fiind necesară completarea informației;

când i se cere elevului să aplice cunoștințele în situații noi.

Etapele problematizării sunt:

prezentarea informațiilor preliminare de către profesor care-l pun în temă pe elev (oral, în scris, grafic, etc.);

identificarea și definirea situației-problemă de către elev, care-și însușește enunțul și caută corespondențe între date;

formularea de către elev a unor ipoteze în vederea aflării soluției;

verificarea succesivă a ipotezelor până la găsirea uneia care să conducă la descoperirea soluției.

În concluzie, rezultatul final al problematizării este întotdeauna descoperirea soluției.

Descoperirea apare astfel ca o consecință a problematizării și constă în găsirea de către elev, printr-un procedeu propriu (de analiză, inducție sau generalizare) a unei demonstrații, proprietăți, teoreme, a unui procedeu de calcul, etc.

Există trei modalități principale de învățare prin descoperire:

inductivă (de la particular la general);

deductivă (de la general la particular);

prin analogie (prin asemănare sau modelare).

Instruirea programată

Instruirea programată a fost inspirată din ideile ciberneticii, astfel că procesul de predare-învățare-evaluare a fost regândit prin prisma principiului comandă-control-reglare (autoreglare).

În instruirea programată materia de învățat este fragmentată în secvențe mici și accesibile (unități didactice), înlănțuite logic și gradual din punct de vedere al dificultății. De asemenea, după fiecare secvență sunt fixate întrebări de control (exerciții sau probleme) ce pot fi rezolvate pe baza unității didactice parcurse.

Procesul instruirii programate presupune elaborarea unor fișe sau manuale care să cuprindă unitățile didactice și un program al acțiunilor pas cu pas. În zilele noastre, aproape toate școlile sunt dotate cu laboratoare de informatică, astfel că fișele și manualele programate pot fi înlocuite cu calculatorul. În ultimul timp profesorii au beneficiat de foarte multe cursuri și programe de formare unde au învățat să utilizeze calculatorul și diferite aplicații cu ajutorul cărora să creeze softuri educaționale care respectă prinncipiile și etapele instruirii programate.

În practica pedagogică se cunosc trei tipuri de programare liniară: programare liniară (elaborată de Skinner), programare ramificată (de tip Krowder) și programare mixtă.

În programarea liniară, materialul de învățat este împărțit în cele mai mici unități didactice, iar fiecare unitate didactică este urmată de întrebarea (exercițiul, problema) de control la care elevul trebuie să formuleze răspunsul. În etapa următoare răspunsul este comparat cu cel corect, după care se trece la secvența următoare care are aceeași structură.

În programarea ramificată, unitățile didactice prezintă dificultăți mai mari, iar elevul (după însușirea informației) trebuie să aleagă răspunsul corect din mai multe răspunsuri date. Un eventual răspuns greșit este urmat de o informație suplimentară, după care este obligat să aleagă din nou răspunsul corect; abia după ce l-a găsit poate trece la unitatea didactică următoare.

În figura următoare am reprezentat schematic cele două tipuri de programare.

Programarea de tip mixt presupune combinarea celor două tipuri de programare prezentate.

Principalele avantaje ale învățării prin instruirea programată sunt participarea activă a elevului în procesul de instruire, informarea operativă asupra rezultatelor învățării necesare atât elevului, cât și profesorului, corectarea imediată și pas cu pas, precum și ameliorarea rezultatelor slabe prin revizuirea unităților de învățare și adaptarea acestora la dificultățile de asimilare ale elevilor.

Instruirea programată are și unele dezavantaje: fragmentarea excesivă a materialului de învățat poate conduce la diminuarea capacității de sinteză a elevilor și la schematizarea gândirii acestora.

Metode interactive de predare-învățare

Metodele interactive sunt metode active care se bazează pe învățarea în grup. Aceste metode stimulează interacțiunea dintre ideile elevilor, dintre personalitățile lor, solicitând participarea și efortul fiecărui elev, ceea ce conduce la o învățare activă, conștientă.

Interactivitatea implică atât cooperarea, cât și competiția, componente care stimulează productivitatea elevilor ajutându-i să-și descopere propriile valori, capacități sau limite. Învățarea interactivă dezvoltă competențele elevilor de a lucra în echipă, de a deveni competitivi, stimulează gândirea divergentă, gândirea critică, precum și creativitatea acestora. Lucrul în echipă îi învață pe elevi să interacționeze, să se implice și să-și aducă contribuția prin împărtășirea ideilor și experienței lor, să aibă încredere, să se susțină și să nu gândească individualist, să aibă curajul să-și asume riscuri și să-și controleze teama de eșec. De asemenea, interactivitatea duce la „educarea stăpânirii de sine și a unui comportament tolerant față de opiniile celorlalți, înfrângerea subiectivismului și acceptarea gândirii colective”. (C. Oprea)

Toate acestea au rolul de a-i pregăti pe elevi pentru viață și pentru activitatea lor profesională viitoare.

În cele ce urmează voi prezenta câteva dintre metodele de predare-învățare interactivă ce pot fi aplicate cu succes și la disciplina matematică.

Brainstorming-ul

Brainstorming-ul (engl. brain=creier, engl. storming=furtunos), cunoscut și ca „metoda asaltului de idei” sau „evaluarea amânată” a fost inițiat de către Alex F. Osborn și prezintă numeroase asemănări cu o veche metodă indiană, Prai Barshana, care în traducere etimologică înseamnă strategie ce nu admite nici un fel de critică.

Metoda constă în emiterea unui număr cât mai mare de idei privind modul de rezolvare a unei probleme și dezvoltarea ulterioară de noi idei emise în cadrul discuțiilor de grup. Obținerea acestor idei se bazează pe stimularea creativității în cadrul grupului, într-o atmosferă lipsită de critică, neinhibatoare. Scopul acestei metode este de a da frâu liber imaginației, a ideilor originale, a părerilor neconvenționale, provocând o reacție în lanț, constructivă, de creare a „ideilor pe idei.” În acest sens, o idee sau sugestie, aparent fără legătură cu problema în discuție, poate oferi premise apariției altor idei din partea celorlalți participanți. Există și un moment de evaluare plasat la finalul exercițiului, motiv pentru care metoda mai poartă și denumirea de „metoda evaluării amânate”.

Etapele metodei

Prezentarea temei și a sarcinii de lucru.

Solicitarea exprimării într-un mod cât mai rapid, în fraze scurte și concrete, fără cenzură, a tuturor ideilor (se acceptă toate ideile și nu se vor admite referiri critice sau observații negative).

Înregistrarea tuturor ideilor în scris (pe tablă sau flipchart).

Anunțarea unei pauze „de așezare a ideilor” (de la 15 minute până la o zi dacă activitatea se poate extinde pe o durată mai lungă).

Reluarea ideile emise pe rând și se gruparea lor pe categorii, simboluri, cuvinte cheie, imagini care reprezintă diferite criterii.

Analiza critică, evaluarea, argumentarea și contraargumentarea ideilor emise anterior la nivelul clasei.

Selectarea ideilor cele mai originale sau a celor mai apropiate de soluții fezabile pentru problema supusă atenției.

Afișarea ideilor rezultate în forme cât mai variate și mai originale.

Avantajele metodei sunt stimularea gândirii creative, obținerea unui volum mare de idei care ulterior generează calitate, dezvoltarea relațiilor interpersonale, exprimarea liberă și asumarea opiniilor, crearea unui climat stimulativ pentru învățare.

Starbursting-ul

Starbursting-ul (engl. star=stea; engl. burst=a exploda) este o metodă nouă de dezvoltare a creativității, similară brainstorming-ului. Începe din centrul conceptului și se împrăștie în afară, cu întrebări, asemeni exploziei stelare.

Se scrie ideea sau problema pe o foaie de hârtie și se înșiră cât mai multe întrebări care au legătură cu ea. Un bun punct de plecare îl constituie cele de tipul: Ce?, Cine?, Unde?, De ce?, Când?.

Întrebările inițiale pot genera altele, neașteptate, care cer și o mai mare concentrare.

Scopul metodei este de a obține cât mai multe întrebări și astfel cât mai multe conexiuni între concepte.

Etapele metodei

Propunerea unei probleme sau teme de studiat. Colectivul clasei poate fi organizat pe echipe.

Echipele elaborează o listă cu cât mai multe întrebări și cât mai diverse referitoare la tema abordată.

Comunicarea rezultatelor muncii de grup.

Evidențierea celor mai interesante întrebări și aprecierea muncii în echipă.

Metoda starbursting reprezintăo modalitate de stimulare a creativității individuale și de grup, fiindușor de aplicat oricărei vârste și unei game extinse de domenii.

Tehnica 6 / 3 / 5

Tehnica 6/3/5 este asemănătoare brainstorming-ului. Ideile noi însă se scriu pe foi de hârtie care circulă între participanți, motiv pentru care se mai numește și metoda brainwriting. Tehnica se numește 6/3/5 pentru că există 6 membri în grupul de lucru, care notează pe o foaie de hârtie câte 3 soluții fiecare, la o problemă dată, timp de 5 minute (însumând 108 răspunsuri, în 30 de minute, în fiecare grup).

Etapele metodei

Împărțirea clasei în grupe a câte 6 membri fiecare.

Formularea problemei și explicarea modalității de lucru. Fiecare elev primește câte o foaie de hârtie împărțită în trei coloane.

Desfășurarea activității în grup. În această etapă are loc o îmbinare a activității individuale cu cea colectivă. Pentru problema dată, fiecare dintre cei 6 participanți, are de notat pe o foaie, 3 soluții în tabelul cu 3 coloane, într-un timp maxim de 5 minute. Foile migrează apoi de la stânga spre dreapta până ajung la posesorul inițial. Cel care a primit foaia colegului din stânga, citește soluțiile deja notate și încearcă să le modifice în sens creativ, prin formulări noi, adaptându-le, îmbunătățindu-le și reconstruindu-le continuu.

Analiza soluțiilor și reținerea celor mai bune. Se centralizează datele obținute, se discută și se apreciază rezultatele.

Avantajele aplicării tehnicii 6/3/5

oferă elevilor mai puțin comunicativi posibilitatea de a se exprima;

similar brainstorming-ului, stimulează construcția de „idei pe idei”;

încurajează solidaritatea în grup și competiția între grupuri, îmbinând munca individuală cu cea de echipă;

are caracter formativ-educativ, dezvoltând atât spiritul de echipă cât și procesele psihice superioare (gândirea cu operațiile ei: analiza ideilor emise de ceilalți, comparația, sinteza, generalizarea și abstractizarea; dezvoltă imaginația, creativitatea, calitățile atenției etc).

Dezavantajele

– rezultă din constrângerea participanților de a răspunde într-un timp fix;

– pot exista fenomene de contagiune negativă între răspunsuri;

– elevii pot fi influențați de soluțiile anterioare, intrând într-un blocaj creativ.

Metoda Philips 6/6

Metoda Philips 6/6 a fost elaborată de către profesorul de literatură J. Donald Philips (de unde provine și numele) care a testat-o la Universitatea din Michigan. Este similară brainstorming-ului și tehnicii 6/3/5, însă se individualizează prin limitarea discuției celor 6 participanți la 6 minute. Acest fapt are ca scop intensificarea producției creative, ca și în cazul tehnicii 6/3/5.

Se pare că e foarte utilă metoda în educarea adulților. Grupurile sunt conduse de „un conducător de discuții“ (moderator) și își desfășoară activitatea pe 3 coordonate: pregătirea, desfășurarea și valorificarea producției de idei. Reuniunea se întinde pe două ore și presupune două faze: discuția pe grupe și dezbaterea în plen.

Etapele metodei

Constituirea grupurilor de câte 6 (4 membri + 1 secretar + 1 conducător de grup). Secretarul fiecărui grup are în plus, sarcina de a consemna ideile colegilor. Conducătorul este cel care dirijează dezbaterea în cadrul grupului și prezintă concluziile.

Înmânarea temei/problemei ce urmează a fi dezbătută în particular, de către fiecare grup și motivarea importanței acesteia.

Desfășurarea discuțiilor pe baza temei, în cadrul grupului, timp de 6 minute. Acestea pot fi libere, în sensul că fiecare membru propune un răspuns și la sfârșit se rețin ideile cele mai importante sau pot fi discuții progresive în care fiecare participant expune în cadrul grupului său o variantă care e analizată și apoi se trece la celelalte idei.

Colectarea soluțiilor elaborate.Conducătorii fiecărui grup expun ideile la care au ajuns, ele sunt predate în scris coordonatorului colectivului (profesorului).

Discuția colectivă este urmată de decizia colectivă în ceea ce privește soluția finală, pe baza ierarhizării variantelor pe tablă. Dezbaterea în plen este reuniunea propriu-zisă și debutează cu expunerile liderilor; intervențiile sunt libere; se realizează selecția și ierarhizarea soluțiilor.

Încheirea discuției se face în urma prezentării din partea profesorului a concluziilor privind participarea la desfășurarea activității și a eficienței demersurilor întreprinse. Evaluarea generală a ideilor este realizată de către profesor; el sintetizează informațiile și susține motivațional interacțiunea participanților.

Avantajele metodei Philips 6/6

-sunt similare brainstorming-ului și tehnicii 6/3/5, în ceea ce privește facilitarea comunicării, obținerea într-un timp scurt a numeroase idei, prin intensificarea demersului creativ și prin stimularea imaginației tuturor participanților;

– permite întărirea coeziunii grupului și angajează elevii în (auto)evaluare;

– cooperarea din interiorul echipei se îmbină cu competiția dintre grupuri.

Dezavantajele apar atunci când numărul elevilor nu este multiplu de 6 și mai pot fi create de limita de timp impusă, de 6 minute.

Metoda Turul galeriei

Turul galeriei este o metodă interactivă de grup folosită pentru rezolvarea unei situații problematice în mod creativ. Elevii emit soluții la o problemă sau întrebare care a fost analizată și dezbătută anterior.

Etapele metodei

Clasa este împărțită în echipe de câte 3 sau 4 elevi, care vor lucra împreună la soluționarea unei probleme.

Soluția găsită în urma interacțiunii membrilor fiecărei echipe va fi notat, de către aceștia, pe coli de flip-chart, care vor fi postate pe pereții clasei ca într-o „galerie de artă”.

Fiecare echipă vine în fața posterului propriu, iar la semnalul profesorului se deplasează, în sensul acelor de ceasornic, parcurgând toată „galeria” în calitate de „vizitatori” sau „critici”. Un elev dintre membrii echipelor poate avea rolul de „ghid”, acesta rămânând în fața posterului propriu pentru a da eventuale explicații „vizitatorilor”.

Rolul deplasării elevilor nu este numai acela de a urmări soluțiile propuse de către ceilalți colegi, ci și acela de a veni cu completări, întrebări sau observații referitor la acestea.

După încheierea „turului galeriei”, echipele revin la locul inițial și își reexaminează posterele din prisma observațiilor colegilor. Acest moment al lecției este echivalent cu fixarea cunoștințelor din lecția tradițională, deoarece elevii își lămuresc unele probleme apărute pe parcursul derulării lecției prin discuțiile cu ceilalți colegi. În această etapă, rolul profesorului este acela de a coordona desfășurarea discuțiilor și de a oferi informații suplimentare unde este necesar.

Avantajele metodei constau în stimularea învățării prin implicarea directă a tuturor elevilorîn analizarea problemei și emiterea soluțiilor. Metoda permite aplicarea unor procedee prin care să fie puși în valoare și elevii care necesită condiții educative speciale.

Dezavantajul ar fi faptul că metoda necesită un timp lung de lucru pentru realizarea posterelor de către elevi, analizarea lor de către colegi și, la final, discutarea cu întreaga clasă.

Metoda Mozaic

Metoda Mozaic (cunoscută și sub numele de „Jigsaw puzzle” – inițiată de Harold Aarons) este o metodă de învățare care îmbină învățarea individuală cu învățarea în echipă.

Etapele metodei

Profesorul stabilește tema de învățat (o temă mai amplă) pe care o împarte în 4 sau 5 subteme, pe care le va numerota cu numere de la 1 la 4 (sau 5).

Clasa este împărțită în grupuri de învățare formate dintr-un număr de elevi egal cu numărul de subteme stabilite în etapa anterioară. Fiecare elev va primi un număr de la 1 la 4 (sau 5, dacă s-au ales cinci subteme), cu precizarea că urmează să devină „expert” în subtema aferentă numărului său care îi revine să o studieze, în mod independent. Grupurile vor primi fișe cu tema și cele 4 sau 5 subteme propuse, dar și alte materiale didactice necesare.

Fiecare elev studiază, în mod independent, subtema ce-i revine. Acest studiu individual poate fi făcut în clasă sau, pentru a economisi timp, poate constitui o temă pentru acasă înaintea aplicării metodei mozaicului.

După parcurgerea etapei de studiu individual, experții cu același număr părăsesc grupurile de învățare inițiale și se reunesc, la o altă masă, în grupuri de experți. Aceștia vor dezbate împreună subtema ce au avut-o de învățat, asigurându-se că au înțeles și că și-au însușit corect materialul și stabilind totodată modalitatea în care vor prezenta cunoștințele asimilate colegilor lor din grupul inițial. Fiecare expert trebuie să conștientizeze faptul că trebuie să se instruiască cât mai bine, fiind responsabili pentru propria învățare, dar și pentru predarea materialului colegilor din grupurile de învățare inițiale.

După ce grupurile de experți și-au încheiat lucrul, fiecare individ se întoarce la grupul său inițial pentru a preda celorlalți membri materialul pregătit. La rândul lui, fiecare „expert” trebuie să rețină cunoștințele pe care le expun experții celorlalte subteme. Elevii vor fi încurajați să discute, să-și exprime punctele de vedere, să pună întrebări, astfel încât să-și clarifice orice nelămurire pentru a asimila corect întreg materialul. Dacă, după discuțiile din grupul de învățare, rămân nelămuriți asupra vreunei părți dintr-o subtemă, pot adresa întrebarea întregului grup de experți în subtema respectivă sau profesorului. Scopul final al fiecărei grupe de învățare este ca fiecare membru să stăpânească conținutul întregii teme.

În ultima etapă, profesorul reamintește tema centrală și subtemele, apoi le cere elevilor să prezinte oral, în ordinea inițială, materialul cuprins în fiecare subtemă, așa cum l-au asimilat în cadrul grupului de "experți". Astfel tema va fi prezentată în ansamblul ei, în ordine logică.

Pentru realizarea feedback-ului activității, profesorul poate aplica un test sau poate adresa întrebări pentru a verifica gradul de înțelegere a noului conținut, capacitatea de analiză, sinteză, de argumentare a afirmațiilor făcute.

Este foarte important ca profesorul să monitorizeze predarea, pentru a fi sigur că informația se transmite corect și că poate servi ca punct de plecare pentru diverse întrebări, stimulează cooperarea, asigură implicarea, participarea tuturor membrilor.

Metoda Știu/Vreau să știu/Am învățat

Metoda de predare Știu/Vreau să știu/Am învățat presupune utilizarea achizițiilor anterior dobândite ale elevilor în procesul de predare-învățare a noilor cunoștințe.

Metoda constă în completarea unui tabel cu trei coloane, precum cel din exemplul de mai jos, prin activități de grup sau individual.

Completarea tabelului se realizează în trei etape.

În prima etapă are loc accesarea cunoștințelor anterioare folosind brainstorming-ul, reactualizându-se astfel, ceea ce elevii știu despre tema ce urmează a fi predată. Aceste cunoștințe vor fi sintetizate și structurate cu ajutorul profesorului, după care vor fi notate în coloana Știu.

În a doua etapă se încearcă determinarea a ceea ce se dorește a învăța. În acest sens, elevii vor analiza ceea ce știu și vor încerca să identifice puncte comune în cunoștințele lor care pot fi extinse sau generalizate, raportându-se la tema ce trebuie discutată. Apoi, aceștia vor fi ajutați să formuleze întrebări despre ceea ce nu știu sau nu sunt siguri, întrebări ce vor fi notate în coloana Vreau să știu a tabelului.

Pentru a afla răspunsurile la întrebările formulate, profesorul le poate pregăti elevilor fișe teoretice pe care să le studieze, sau, le poate cere să lectureze lecția din manual. La matematică, însă, se pretează foarte bine pregătirea unor sarcini de lucru care să conducă la descoperirea răspunsurilor acestor întrebări.

În a treia etapă, după lecturarea textului sau după realizarea sarcinilor de lucru, profesorul va reveni asupra întrebărilor notate în coloana a doua și va verifica care întrebări și-au găsit răspunsul. Aceste răspunsuri, dar și alte informații descoperite, în legătură cu care nu au pus întrebări, vor fi notate în coloana Am învățat.

Dacă au rămas întrebări fără răspuns sau cu răspuns parțial, profesorul le poate sugera elevilor lecturi sau explicații suplimentare.

Instruirea asistată de calculator

În zilele noastre, calculatorul a devenit un instrument indispensabil pentru toți cei care își doresc să fie în pas cu dezvoltarea științei, economiei și a societății în general. În sistemul de învățământ românesc s-a înțeles necesitatea ca fiecare elev să învețe să utilizeze calculatorul. De aceea s-a adoptat o strategie națională de informatizare a sistemului de învățământ prin care s-au dotat majoritatea școlilor cu laboratoarede informatică, s-au introdus discipline obligatorii sau opționale de tehnologie a informațiilor și comunicațiilor (TIC) încă din ciclul gimnazial, astfel încât fiecare elev să aibă oportunitatea de a învăța să opereze cu un calculator și cu diferite programe.

Instruirea și autoinstruirea asistată de calculator se referă la utilizarea calculatorului în procesul de învățământ, în scopuri didactice.

În matematică și științe, calculatorul poate reprezenta liantul dintre teorie și practică, cu ajutorul acestuia putându-se exploata diferite modele în care anumite elemente sunt parametri variabili ce modifică calitățile intrinseci. De asemenea, se pot realiza eficient simulări ale unor experimente și fenomene, diagrame sau hărți interactive, grafice, animații, etc.

Odată cu dezvoltarea și perfecționarea noilor tehnologii ale informației și comunicării s-au dezvoltat și mai multe tipuri de aplicații pentru instruirea asistată de calculator care, prin prisma procesului de predare-învățare-evaluare, pot avea rolul de resursă pentru activitatea educativă sau suport în administrarea resurselor și timpului.

Astfel, se pot distinge două tipuri de aplicații ce se pot utiliza în actul educativ:

-softul folosit ca suport pentru activitățile didactice, precum utilitarele și softul tematic (cum este, spre exemplu, platforma AeL, de care majoritatea școlilor beneficiază ca urmare a strategiei naționale de informatizare a învățământului românesc);

-softul educațional propriu-zis, constând în aplicații elaborate pentru a-i ajuta pe elevi să dobândească competențe pentru demonstrații, simulări, experimente.

Soft educațional poate fi considerat și forma electronică a unui conținut teoretic, prezentat printr-un program care oferă o interfață cu utilizatorul ce permite o modalitate de lucru interactivă (bazată pe meniuri, ferestre, butoane, etc.).

Un soft educațional performant trebuie să atragă prin calitatea prezentării, să asigure necesarul de informații pentru o anumită temă, să asigure interacțiunea dintre calculator și utilizator, să se poată adapta în funcție de caracteristicile utilizatorului (de exemplu, programe care să prezinte mai multe niveluri de dificultate, trecerea la un nivel superior presupunând parcurgerea nivelurilor anterioare). Elaborarea softului educațional se bazează pe metode didactice obișnuite, precum instruirea programată, algoritmizarea, metoda demonstrației, utilizarea modelelor (modele matematice, grafice, diagrame, etc.).

Avantaje și dezavantaje

Un avantaj major al instruirii asistate de calculator este faptul că, prin intermediul acesteia, se poate realiza o educație individualizată, bazată pe profilul intelectual al fiecărui elev. Elevul este pus în situația de a interacționa și comunica rapid, într-un mediu care permite o difuzare mare de conținuturi și o flexibilitate a timpului, oferindu-i-se în același timp un feedback permanent.

Totodată, instruirea asistată de calculator permite o abordare interdisciplinară a conținuturilor prin asociere cu alte domenii, facilitându-se astfel o înțelegere mai profundă a materialului de studiat.

Un alt avantaj al instruirii asistate de calculator este reducerea, în mod simțitor, a timpului necesar predării și însușirii cunoștințelor.

Datorită ritmului tot mai crescut al dezvoltării științei și tehnologiei, în societatea actuală s-a impus tot mai mult ideea necesității ca învățarea să nu se limiteze doar la învățarea școlară, ci la menținerea acesteia pe tot parcursul vieții, dezvoltându-se astfel, conceptul de „învățare continuă”. Din acest punct de vedere, instruirea asistată de calculator poate aduce o contribuție semnificativă la pregătirea elevilor pentru învățarea continuă.

Pe lângă această serie de avantaje, instruirea asistată de calculator are și unele limite. Există riscul ca, prin individualizarea excesivă a învățării, „să se piardă obișnuința discuțiilor, a argumentării și contraargumentării, de a se reduce capacitatea de exprimare verbal a elevilor”. (I. Cerghit)

De asemenea, materialul de învățat este prea mult segmentat și atomizat, iar activitatea mentală a elevului este mereu dirijată, pas cu pas, ceea ce împiedică dezvoltarea capacităților creative ale acestuia.

ASPECTE DIDACTICE REFERITOARE LA PREDAREA-ÎNVĂȚAREA PATRULATERELOR

O primă întâlnire a elevilor de gimnaziu cu patrulaterele are loc în clasa a V-a, în capitolul ”Elemente de geometrie”, unde sunt prezentate, pe scurt, noțiunile de bază folosite în geometrie: punct, dreaptă, segment, unghi, figuri geometrice și corpuri geometrice. La acest nivel, noțiunile sunt prezentate doar prin descriere și desen, competențele specifice ce se doresc a fi dezvoltate rezumându-se doar la identificarea unor elemente de geometrie și recunoașterea acestora într-o configurație dată, desenarea lor și interpretarea relaționării acestora cu unitățile de măsură studiate. Apoi, noțiunile referitoare la patrulatere sunt aprofundate în clasa a VII-a, unde le este dedicat un capitol întreg.

În cele ce urmează voi prezenta câteva exemple cu scopul de a evidenția unele aspecte didactice referitoare la predarea-învățarea patrulaterelor: metode de predare-învățare, strategii didactice, tehnici și procedee, modalități de utilizare a calculatorului în actul de predare-învățare, și așa mai departe.

Exemplul 1: Patrulater. Patrulater convex

Studiul patrulaterelor începe cu definirea noțiunilor de patrulater, patrulater convex, descrierea elementelor acestora, definirea interiorului și exteriorului unui patrulater și enunțareaproprietății referitoare la suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex.

Fiind noțiuni relativ simple și clare, pe care elevii și le însușesc cu ușurință, încă de la prima prezentare, în introducerea acestora se pot folosi metode de expunere a cunoștințelor precum descrierea și explicația, îmbinate cu folosirea exemplelor și contraexemplelor.

Deși utilizarea acestor metode implică o participare redusă din partea elevilor, ele sunt uneori necesare, mai ales la începutul unor capitole noi, întrucât elevii învață, din expunerea profesorului, să utilizeze limbajul matematic, să-și organizeze, structureze și sistematizeze cunoștințele, își dezvoltă gândirea logică și capacități de abstractizare, disciplinându-i astfel din punct de vedere intelectual. Totuși, pentru a evita menținerea elevilor într-o stare de pasivitate pe tot parcursul lecției, se poate folosi pe alocuri conversația euristică, problematizarea sau alte metode active.

Profesorul începe lecția folosind expunerea didactică.

PATRULATERE

Se dau patru puncte A, B, C, D astfel încât oricare trei dintre ele să fie necoliniare. Reuniunea de segmente [AB]∪[BC]∪[CD]∪[DA] reprezintă o figură geometrică cu patru laturi.

b) c)

Fig. 1

Profesorul le cere elevilor să analizeze figurile de mai sus și să stabilească ce diferențe există între acestea. Apoi le poate explica că figurile geometrice cum sunt 1.a) și 1.b), în care laturile nu se intersectează, se numesc patrulatere. De asemenea le poate cere să încerce definirea patrulaterelor, pe baza explicațiilor date și prin analogie cu definiția triunghiului studiată într-un capitol anterior.

Definiție:

Fie punctele A, B, C, D astfel încât oricare trei dintre ele sunt necoliniare. Figura geometrică determinată de reuniunea de segmente [AB]∪[BC]∪[CD]∪[DA], cu proprietatea că oricare dintre segmentele (AB), (BC), (CD) și (DA) sunt disjuncte, se numește patrulater și se notează ABCD.

Profesorul le atrage atenția elevilor asupra importanței notației.

Observație:

Este importantă ordinea punctelor în notația unui patrulater.

De exemplu, notația ABDC înseamnă [AB]∪[BD]∪[DC]∪[CA], adică o altă figură geometrică decât ABCD care reprezintă reuniunea de segmente [AB]∪[BC]∪[CD]∪[DA].

În continuare, profesorul le poate cere elevilor să identifice elementele patrulaterului folosind analogia cu elementele triunghiului și noțiunile studiate în clasa a V-a.

Elementele patrulaterului

Patrulaterul ABCD are:

patru vârfuri (punctele A, B, C, D)

patru laturi (segmentele[AB], [BC], [CD], [DA])

patru unghiuri (, , , sau, simplu, , , , dacă nu se creează confuzii)

Două vârfuri ale unui patrulater care nu determină o latură se numesc vârfuri opuse (de exemplu, vârfurile A și C, respectiv B și D pentru patrulaterul ABCD). De asemenea, unghiurile care au vârfurile în vârfuri opuse ale patrulaterului se numesc unghiuri opuse.

Două laturi care nu au puncte comune se numesc laturi opuse ([AB] și [CD], respectiv [BC] și [AD]).

Segmentele determinate de două vârfuri opuse se numesc diagonale ([AC] și [BD]).

Interiorul și exteriorul unui patrulater

Definiție:

Mulțimea tuturor punctelor din plan determinată de intersecția semiplanelor (AB,C, (BC,A, (CD,B și (DA,B se numește interiorul patrulaterului ABCD și se notează Int(ABCD).

Mulțimea punctelor din plan care nu aparțin interiorului patrulaterului ABCD și nici laturilor sale se numește exteriorul patrulaterului ABCD și se notează Ext(ABCD).

Laturile patrulaterului nu fac parte nici din interiorul, nici din exteriorul acestuia.

Exemplu:

În figura 2, porțiunea hașurată cu linii oblice reprezintă interiorul patrulaterului ABCD, iar porțiunea hașurată cu linii orizontale reprezintă exteriorul patrulaterului ABCD.

Patrulater convex

Definiție:

Dacă într-un patrulater diagonalele se intersectează (au un punct comun) atunci patrulaterul se numește patrulater convex, iar dacă diagonalele sunt disjuncte, atunci patrulaterul se numește patrulater concav.

Pentru a evita plictiseala indusă de folosirea metodelor expozitive pe o perioadă mai lungă, profesorul poate folosi metoda experimentului pentru deducerea proprietății referitoare la suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex, urmată de problematizare pentru demonstrarea acestei proprietăți.

Astfel, profesorul împarte elevilor patrulatere convexe confecționate din carton și le cere să măsoare unghiurile acestora și să determine suma măsurilor acestora. Vor observa că, indiferent care sunt măsurile unghiurilor patrulaterelor, cu toții au obținut că suma măsurilor acestora este egală cu 360o. Profesorul le explică că este o proprietate a tuturor patrulaterelor convexe, enunță această proprietate și cere elevilor să o demonstreze, mai întâi individual și apoi, frontal, la tablă.

Exemplul 2: Paralelogramul

În predarea paralelogramului, profesorul ar putea ca, după definirea lui, să-i lase pe elevi să descopere singuri proprietățile acestuia, folosind în acest scop o metodă interactivă.

Profesorul definește paralelogramul.

Definiție:

Patrulaterul în care laturile opuse sunt paralele două câte două se numește paralelogram.

Profesorul le propune elevilor ca, pornind de la definiție, să deducă proprietăți ale paralelogramului. Pentru această activitate poate folosi „metoda schimbării perechii”.

Astfel, elevii sunt împărțiți în două grupuri egale ca număr de participanți (dacă numărul elevilor este impar, doi dintre aceștia pot lucra în tandem). Băncile sunt aranjate în cerc, iar elevii se așază față în față, formând două cercuri concentrice.

Elevii aflați față în față se vor consulta și împreună vor încerca, timp de câteva minute, să deducă proprietăți ale paralelogramului, notându-și rezultatele obținute. Apoi, elevii aflați în cercul exterior se vor deplasa în sensul acelor de ceasornic, schimbându-se astfel, perechile. Noii parteneri își vor împărtăși soluțiile găsite, argumentându-le, iar dacă vor considera că sunt corecte și le vor însuși. Schimbarea perechilor se continuă până se ajunge la partenerii inițiali.

În acestă etapă profesorul are rol de observator, dar dacă elevii nu se descurcă poate interveni cu unele sugestii care să-i ajute. De exemplu, ar putea să le sugereze să traseze diagonalele paralelogramului și să analizeze triunghiurile care se formează.

În etapa următoare clasa se regrupează și se analizează, împreună cu profesorul, proprietățile deduse, adăugându-se, dacă este cazul, și alte proprietăți.

Pentru o mai bună reținere, concluziile obținute pot fi schematizate prin realizarea unui ciorchine.

Exemplul 3: Paralelograme particulare

Pentru predarea paralelogramelor particulare, și anume, rombul, dreptunghiul și pătratul, se pretează metoda mozaicului.

Profesorul împarte materialul de studiat în trei subteme pe trei fișe expert.

FIȘA EXPERT 1

ROMBUL

Definiție: Paralelogramul în care două laturi alăturate sunt congruente se numește romb.

Observație:

Fiind un paralelogram, rombul are toate proprietățile paralelogramului.

Astfel, în romb: -laturile opuse sunt paralele două câte două;

-laturile opuse sunt congruente două câte două;

-unghiurile opuse sunt congruente două câte două;

-oricare două unghiuri consecutive sunt suplementare;

-diagonalele se înjumătățesc.

Relația suplimentară pe care o verifică laturile sale face ca rombul să aibă câteva proprietăți în plus.

Teorema 1: Toate laturile unui romb sunt congruente.

Teorema 2: Diagonalele unui romb sunt perpendiculare.

Teorema 3: Diagonalele unui romb sunt bisectoare ale unghiurilor rombului.

FIȘA EXPERT 2

DREPTUNGHIUL

Definiție: Paralelogramul cu un unghi drept se numește dreptunghi.

Observație:

Fiind un paralelogram, dreptunghiul are toate proprietățile paralelogramului.

Astfel, în dreptunghi: -laturile opuse sunt paralele două câte două;

-laturile opuse sunt congruente două câte două;

-unghiurile opuse sunt congruente două câte două;

-oricare două unghiuri consecutive sunt suplementare;

-diagonalele se înjumătățesc.

Relația suplimentară pe care o verifică unghiurile sale face ca dreptunghiul să aibă câteva proprietăți în plus.

Teorema 1: Unghiurile unui dreptunghi sunt congruente, având măsura de 90o.

Teorema 2: Diagonalele unui dreptunghi sunt congruente.

FIȘA EXPERT 3

PĂTRATUL

Definiție: Paralelogramul cu un unghi drept și două laturi alăturate congruente se numește pătrat.

Observație:

Fiind un paralelogram, pătratul are toate proprietățile paralelogramului.

Astfel, în pătrat: -laturile opuse sunt paralele două câte două;

-laturile opuse sunt congruente două câte două;

-unghiurile opuse sunt congruente două câte două;

-oricare două unghiuri consecutive sunt suplementare;

-diagonalele se înjumătățesc.

Relația suplimentară pe care o verifică laturile și unghiurile sale face ca pătratul să aibă câteva proprietăți în plus.

Teorema 1: Toate laturile unui pătrat sunt congruente.

Teorema 2: Diagonalele unui pătrat sunt perpendiculare.

Teorema 3: Diagonalele unui pătrat sunt bisectoare ale unghiurilor pătratului.

Teorema 4: Unghiurile unui pătrat sunt congruente, având măsura de 90o.

Teorema 5: Diagonalele unui pătrat sunt congruente.

Profesorul le aduce la cunoștință elevilor că vor lucra pe grupe și că fiecare elev va avea o sarcină de studiu prin care trebuie să devină „un expert” și că va trebui să predea colegilor de grupă cunoștințele asimilate.

Clasa se împarte în grupe de câte trei elevi. Fiecărui elev din grupă i se va atribui un număr de la 1 la 3.

Profesorul discută pe scurt titlul și subiectul lecției și explică că materialul de învățat a fost împărțit în trei subteme. Elevii cu numărul 1 vor părăsi grupul inițial și se vor regrupa formând grupul de experți 1. La fel vor proceda și elevii cu numărul 2, respectiv 3 formându-se astfel, grupurile de experți 2, respectiv 3. Grupurile de experți nu ar trebui să aibă mai mult de 4 sau 5 membri. Dacă numărul elevilor din clasă este mai mare se pot forma câte două grupuri de experți din fiecare număr.

Elevii din grupul de experți 1 vor primi Fișa expert 1, care conține prima subtemă, cei din grupul de experți 2 vor primi Fișa expert 2 cu cea de-a două subtemă, iar cei din grupul de experți 3 vor primi Fișa expert 3, cu a treia subtemă. Sarcina acestora este de a învăța materialul de pe fișele expert aferente. Vor citi materialul și apoi îl vor discuta și îl vor analiza împreună astfel încât să și-l însușească cât mai bine și corect. Apoi, fiecare expert se va întoarce în grupul inițial. În această etapă fiecare membru al grupurilor inițiale este expert într-una dintre subteme. Ei vor preda, în ordine, materialul studiat celorlalți colegi.

Strategiile de predare vor fi stabilite de fiecare grupă de experți în parte.

Profesorul atrage atenția elevilor că, la sfârșitul lecției, fiecare dintre ei va trebui să fi învățat întreg materialul, de aceea trebuie să pună experților întrebări pentru a-și lămuri orice neclarități în legătură cu subtemele ce le-au fost predate. Dacă expertul din grupa sa nu reușește să-l lămurească poate adresa întrebările întregului grup de experți sau profesorului.

La final, elevii vor prezenta cele trei subteme în plen, în ordine, astfel încât întreaga lecție să fie trecută în revistă în unitatea ei logică.

O modalitate de sistematizare și fixare a proprietăților paralelogramelor particulare o poate constitui analizarea asemănărilor și deosebirilor dintre acestea. Acest lucru se poate realiza folosind Diagrama Venn Euler.

Exemplul 4: Ariile patrulaterelor

În programa școlară și în manuale, majoritatea noțiunile de matematică sunt prezentate în spirală, în sensul că se revine asupra lor în clase succesive, pentru a fi dezvoltate și aprofundate. În predarea unor astfel de noțiuni se poate folosi cu succes metoda Știu/Vreau să știu/Am învățat.

În cele ce urmează am să prezint un exemplu de aplicare a acestei metode, combinată cu metoda problematizării, la lecția Ariile patrulaterelor la clasa a VII-a.

Profesorul anunță și notează pe tablă titul lecției, Aria patrulaterelor, apoi informează elevii cu privire la competențele specifice ce se urmăresc a fi dobândite la finalul lecției, conform programei școlare în vigoare:

utilizarea proprietăților calitative și metrice ale patrulaterelor în rezolvarea unor probleme;

alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării calculelor de arii;

interpretarea informațiilor deduse din rezolvări în corelație cu anumite situații practice.

Bineînțeles, profesorul poate adapta formularea acestor competențe la nivelul de înțelegere al elevilor.

Profesorul cere elevilor ca, în pereche cu colegul de bancă, să facă o listă cu tot ce știu despre ariile suprafețelor până în acest moment. În acest timp pe tablă sau pe o coală de tip flip-chart se va realiza tabelul Știu/Vreau să știu/Am învățat.

Se va cere perechilor să spună, pe rând, ce au scris pe liste, iar apoi, cu ajutorul profesorului, elevii vor sintetiza pe categorii aceste informații și le vor nota în coloana „Știu”.

În continuare, elevii for fi îndrumați să formuleze întrebări despre ceea ce nu știu sau nu sunt siguri. Întrebările vor fi notate în coloana „Vreau să știu”.

Pentru aflarea răspunsului acestor întrebări se va aplica metoda problematizării. Mai întâi, profesorul le reamintește elevilor definiția suprafeței poligonale:

Suprafața poligonală este reuniunea unui număr finit de suprafețe triunghiulare cu interioarele disjuncte două câte două.

Exemplu:

În desenul de mai jos, ABCD este un patrulater convex. Considerând reuniunea suprafețelor triunghiulare [ABC] și [ACD] obținem suprafața patrulateră [ABCD].

Prin urmare, aria suprafeței [ABCD] vafi suma ariilor suprafețelor triunghiulare [ABC] și [ACD].

Apoi, profesorul le cere elevilor ca, folosind același raționament și formulele ariilor triunghiului să deducă formule de calcul pentru ariile paralelogramului, rombului și a trapezului.

Un model de completare a tabelului Știu/Vreau să știu/Am învățat ar putea fi:

PROBLEME REZOLVATE

Problema 1

În triunghiul isoscel ABC, punctul M este mijlocul bazei [BC], perpendiculara în A pe AB intersectează perpendiculara în C pe BC în punctul E, iar perpendiculara în C pe AC intersectează pe AM în D.

Demonstrați că:

a). patrulaterul AECD este trapez isoscel.

b). patrulaterul AEDB este dreptunghi.

Soluție

a). Din AMBC și CEBC CEAD. (1)

Cum ∆ABC este isoscel, rezultă că mediana [AM] este și bisectoare, de unde .

Avem că (2)

Din (1) și (2) rezultă că ADCE este trapez isoscel.

b). Dacă ADCE este trapez isoscel rezultă că AC = DE. Dar, ∆ABC fiind isoscel, rezultă că AC = AB, de une avem că:

[AB] [DE] (1)

De asemenea, din ADCE trapez isoscel rezultă și că [AE] [DC].

Dar, în triunghiul isoscel ∆ABC, dreapta suport a medianei [AM] este și mediatoarea segmentului [BC], de unde rezultă că [BD] [DC].

Obținem astfel că:

[AE] [DB] (2)

Din (1) și (2) și din EAAB rezultă că AEDB este dreptunghi.

(q.e.d.)

Problema 2

Fie ABCD un patrulater convex, M mijlocul segmentului (AB) și N mijlocul segmentului (CD). Arătați că MN

Soluție

Construim segmentul [ME] astfel încât ME AD și ME =AD.

Deducem astfel că AMED este paralelogramAMDE și AM = DE.(1)

Construim segmentul [MF] astfel încât MF BC și MF =BC.

Deducem astfel că MBCF este paralelogram CF BM și CF = BM . (2)

Cum A, M, B coliniare și AM = BMDECF este paralelogram.

Dar, diagonalele în paralelogram se înjumătățesc, prin urmare punctul N este mijlocul segmentului (EF).

Se disting două cazuri în funcție de coliniaritatea sau necoliniaritatea punctelor M, E, F.

Cazul I:

Presupunem că punctele M, E, F sunt necoliniare.

În continuare vom folosi o proprietate a medianei unui triunghi pe care o vom demonstra mai jos:

Orice mediană a unui triunghi este mai mică sau egală decât media aritmetică a laturilor triunghiului, alăturate ei.

Demonstrație:

Construim M’ simetricul punctului M față de punctul N MN = M’N.

În   ∆ MEM’, MM’< ME + EM’

2MN < ME + EM’

Dar, EM’ = MF (∆MNF∆M’NE (L.U.L)) 2MN < ME + MF MN.

Prin urmare, [MN] este mediană în triunghiul ∆EMF MN.

Dar, ME = AD și MF = BCMN (q.e.d.)

Cazul II:

Presupunem că punctele M, E, F sunt coliniare.

În acest caz figura devine:

Avem că MEAD, MF BC, iarM, E, F sunt coliniare ceea ce implică, conform proprietății de tranzitivitate a relației de paralelism, că ADBC.

În concluzie când punctele M, E, F sunt coliniare avem egalitate în relația dată.

Problema 3

Fie ABC un triunghi în care și . Pe segmentul [BC] se ia punctul D astfel încât . Arătați că [AB][CD].

Soluția 1

Construim triunghiul echilateral ∆ABM astfel încât punctul M se află în semiplanul opus semiplanului (BC, A. Considerăm punctul N[BC] astfel încât [AN][NC], de unde deducem că∆ANC este isoscel, ceea ce implică faptul că .

Observăm că .

Dar, , de unde deducem că

(1)

Cum

(2)

Din (1) și (2) deducem că patrulaterul ABMN este inscriptibil, de unde putem deduce că .

Dar, cum , deducem mai departe că , unde {P}=MN∩AC.

Triunghiul ∆ANC fiind isoscel, deducem că NP este mediatoarea segmentului [AC], ceea ce implică faptul că MA = MC și, prin urmare ∆ AMC isoscel.

Atunci, ∆BMC este isoscel MC = MB. (3)

∆CMD este isoscel MC = DC. (4)

Din (3) și (4) deducem că DC = MB, dar cum MB = AB DC = AB.

(q.e.d.)

Soluția 2

Aplicând teorema sinusurilor în triunghiul ∆ ABD avem că:

AD

Dar,AD= (1)

Aplicând teorema sinusurilor în triunghiul ∆ ACD avem că:

Cum AD (2)

Dar, (3)

Din (1), (2) și (3) AB = CD.

(q.e.d.)

Problema 4

Fie ABCD un patrulater convex. Să se determine un punct P în interiorul lui, astfel încât suma PA2 + PB2 + PC2 + PD2 să fie minimă.

Soluție

Fie E, F, G respectiv H, mijloacele laturilor AB, BC, DC, respectiv AD.

Cum [EH] și [FG] sunt linii mijlocii în triunghiurile ∆ ABD și ∆ CBD rezultă că EH BDFG și EH = FG = , de unde deducem că patrulaterul EFGH este paralelogram.

Notăm cu a, b, c, d lungimile segmentelor [MA], [MB], [MC],[MD]și cu α, β, γ, δ, lungimile segmentelor [PG], [PH], [PE], [PF].

În triunghiurile ∆PAD și ∆PBC aplicăm teorema medianei

și

.

Adunând cele două relații obținem .

Întrucât suma este constantă, rezultă că expresia este minimă când este minimă.

Fie M mijlocul segmentului [HF]. Aplicând teorema medianei în triunghiul ∆ HPF obținem că:

Deducem astfel, că este minimă când segmentul [PM] este minim, adică când P = M; deci P este mijlocul segmentului [HF].

Procedând în mod analog în triunghiurile ∆ PAB și ∆PCD, obținem că expresia dată este minimă când P este mijlocul segmentului [EG].

Dar, EFGH este paralelogram, astfel că mijloacele segmentelor [HF] și [EG] coincid.

În concluzie, suma PA2 + PB2 + PC2 + PD2 este minimă când punctul P coincide cu intersecția diagonalelor paralelogramului EFGH.

Problema 5

Fie ABCD un patrulater înscris în cercul de centru O. Pe laturile [AB] și [CD] se consideră punctele F și E astfel încât EO = FO. Se notează cu M și N punctele de intersecție ale dreptelor AD și, respectiv BC cu dreapta EF și cu P simetricul lui M față de mijlocul segmentului [AE]. Să se demonstreze că triunghiurile ∆FBN și ∆CEP sunt asemenea.

Soluție

Cum EO = FO rezultă că punctele E și F au aceeași putere față de cercul dat, de unde deducem că:

ED · EC = FB ·FA (1)

În continuare vom demonstra că MO NO.

Notăm cu H punctul de intersecție al dreptelor AM și BN.

Aplicând teorema lui Menelaus pentru patrulaterele ECBF și EDAF cu transversalele AM și, respective BN obținem relațiile:

(2)

(3)

Aplicând proprietatea puterii pentru punctul H, exterior cercului, rezultă că: ∆DHC∆ BHA

(4)

Prin înmulțirea relațiilor (2) și (3) și ținând seama de relația (4), după simplificare, obținem:

.

Cum OE = OF și (ca suplemente de unghiuri congruente) rezultă că ∆ OEM ∆ OFN MO = NO.

Prin urmare, punctele M și N sunt egal depărtate de central cercului de unde rezultă că puterile lor față de cercul dat sunt egale, adică:

MD · MA = NC · NB (5)

Aplicând teorema lui Menelaus pentru patrulaterul ABCD cu transversala EF, obținem:

Aplicând relațiile (1) și(5), după simplificări obținem:

(6)

Deoarece punctul P este simetricul punctului M față de mijlocul segmentului [AE], avem că EMAP este paralelogram, de unde rezultă că . Rezultă că (unghiuri corespondente).

Din asemănarea triunghiurilor ∆DHC și ∆BHArezultă că . Astfel avem că, și, folosind relația (6) și faptul că MA = EP (laturi opuse în paralelogram), rezultă că triunghiurile ∆FBN și ∆ CEP sunt asemenea.

(q.e.d.)

BIBLIOGRAFIE