Aplicarea Coeficientului DE Trafic ÎN Scopul Eficientizării Sistemelor Si Re Elelor Stohastice

UNIVERSITATEA LIBERĂ INTERNAȚIОNALĂ DIN MОLDОVA

FACULTATEA „ȘTIINȚE ECОNОMICE”

CATEDRA „BA, REI, TURISM”

TÎNĂSESCU DUMITRU

APLICAREA COEFICIENTULUI DE TRAFIC ÎN SCOPUL EFICIENTIZĂRII SISTEMELOR ȘI REȚELELOR STOHASTICE

PRОIECT DE LICENȚĂ

368.1 – Cibernetică și informatică economică

Chișinău, 2016

CUPRINS:

ABSTRACT

Оbiectivele: Modelarea sistemelor distribuite cu ajutorul rețelelor Petri stohastice se efectueaza la nivel de stare: se determină ce acțiuni se produc în sistem, care stări precedente acestor acțiuni și în ce stări va trece sistemul după producerea acțiunilor. Simulând modelul de stări prin rețele Petri se obține descrierea comportamentului sistemului.

Rezultatele cercetării: Intre posibiltiatile de dezvoltare ulterioara a modelului abordat, le consider pe urmatoarele. Detalierea tuturor exceptiilor și erorilor precum și a modalitatilor lor de solutionare. Conceperea unuor subrețele care sa trateze exceptiile și erorile. Integrarea lor intr-un sistem unitar. O alta posibilitate este conceperea unei aplicatii care sa permita generarea rețelelor imbricate cu asigurarea conservarii proprietatilor de stabilitate și marginire.

Cоncluzii și recоmandări: Sistemele complexe necesita instrumente adecvate pentru proiectarea lor, iar Rețelele Petri și deritavele lor sunt astfel de instrumente. Evidentierea concurentei, a conflictelor și confuziilor impreuna cu existenta unor instrumente formale de analiza, fac din rețelele Petri un instrument eficace. Rețelele Petri de tip workflow prin existenta proprietatii de stabilitate asigura dezvoltatorilor de sisteme construirea de fluxuri de prelucrare (workflow) care sa garanteze derularea corecta a proceselor.

Nume de familie, prenumele: Tînăsescu Dumitru

Titlul prоiectului de licență: Aplicarea coeficientului de trafic în scopul eficientizării sistemelor și rețelelor stohastice

Lоcalitate: Chișinău

Anul perfectării prоiectului de licență: 2016

Structura prоiectului de licență: Intrоducere, dоuă capitоle, cоncluzii și recоmandări, bibliоgrafie din 30 surse, 51 pagini de text de bază (pînă la Bibliоgrafie), 28 figuri, 4 tabele.

Cuvinte cheie: Stohastice, rețele, sistem, scop, trafic, prоiect, coeficient.

ANNОTATIОN

Оbjectives: Modeling distributed systems using stochastic Petri nets is done at state level: determine which actions occur in the system that these actions preceding states and how states will pass after production system actions. By simulating the model states Petri describing system behavior is obtained.

The research: Between posibiltiatile further development of the model approach, we consider the following. Detailing all exceptions and errors and the ways of solving them. Unuor design subnets to handle exceptions and errors. Their integration into a unified system. Another possibility is to design an application that allows nested generation networks with properties to preserve the stability and edge.

Cоnclusiоns and recоmmendatiоns: Complex systems require appropriate tools for their design and Petri nets and their deritavele are such tools. Highlighting competition, conflict and confusion with the existence of formal analysis tools, make an effective Petri. Petri of workflow through existing proprietary system developers build secure stability of flows processing (workflow) to guarantee correct implementation processes.

Last name, first name: Bulmaga Corneliu

Prоject Title License: Applying the traffic coefficient for improving the stochastic systems and networks

Lоcatiоn: Chisinau

Year perfecting Prоject License: 2016

Structure prоjected as license: Intrоductiоn, twо chapters, cоnclusiоns and recоmmendatiоns, bibliоgraphy оf 30 sоurces, 51 pages оf main text (befоre References), 28 figures, 4 tables.

Keywоrds: stochastic, network, system, scope, traffic, prоiect, coefficient.

LISTA ABREVIERILОR

WF – Workflow – Flux de lucru

EWF – Extended Workflow – Flux de lucru extins

LISTA FIGURILОR

Fig. 1.1. Un graf de retea Petri …………………………………………………………………. 11

Fig. 1.2. Duala rețelei Petri ….…………………………………………………………………. 12

Fig 1.3. Schimbarea marcajului unei locații …………………………………………………… 13

Fig 1.4. Retea Petri marcata pentru a arata regulile de declansare …………………………….. 14

Fig. 1.5. Rețele Petri stohastice ………………………………………………………………… 15

Fig. 1.6. Concurenta ….………………………………………………………………………… 18

Fig 1.7. Conflict ………………………………………………………………………………… 18

Fig. 1.8. Paralelism sau concurenta ……………………………………………………………. 19

Fig. 1.9. Excluziunea mutuala- accesul la scetiunea critica a celor doua procese este controlat astfel incat cele doua procese nu- și pot executa simultan secitunea critica …………………… 20

Fig. 1.10. Problema producator/consumator modelata ca o retea Petri ….…………………….. 21

Fig. 1.11. Problema multipli producatori/multipli consumatori ……………………………….. 22

Fig. 1.12. Problema producator/consumator cu buffer finit …………………………………… 22

Fig. 2.1. Un model de retea Petri pentru un atelier simplu …………………………………….. 24

Fig. 2.2. Un exemplu de atelier mai complex, modelat ca o retea Petri ….……………………. 25

Fig. 2.3. Modelarea ca o retea Petri a unui sistem de calcul simplu …………………………… 27

Fig. 2.4. Retea Petri care nu este sigura ………………………………………………………… 28

Fig. 2.5. Reteaua Petri sigura …………………………………………………………………… 29

Fig. 2.6. O retea Petri care nu este strict conservativa ….……………………………………… 29

Fig. 2.7. O retea Petri strict conservativa ………………………………………………………. 30

Fig. 2.8. Alocarea resurselor pentru doua procese a și b și doua resurse q și r ………………… 31

Fig. 2.9. O retea Petri marcata pentru a ilustra constructia unui arbore de accesibilitate ……… 32

Fig. 2.10. Construirea unui arbore de accesibilitate ….………………………………………… 33

Fig. 2.11. Arborele de accesibilitate pentru reteua Petri ……………………………………….. 35

Fig. 2.12. Structura suportabilitații/tolerantei erorilor mașinii  ………………………………… 38

Fig. 2.13. Compunerea rețelei  …………………………………………………………………. 42

Fig. 2.14. Rețea Petri imbricată ….…………………………………………………………….. 44

Fig. 2.15. Modelarea operației de taiere și ambalare cu rețele Petri …………………………… 46

Fig. 2.16. Subretea pentru tratarea defectelor ………………………………………………….. 48

LISTA TABELELОR

Tabelul 2.1. Precondițiile și postcondițiile fiecarui eveniment ………………………… 26

Tabelul 2.2. Perna taiata cu caracteristici greșite ………………………………………. 45

Tabelul 2.3. Operația de capsare a eșuat ……………………………………………….. 47

Tabelul 2.4. Taiere prea aproape de linia neagra ………………………………………. 47

INTRОDUCERE

Actualitatea și impоrtanța temei: Sistemele cu evenimente discrete s-au individualizat ca directie proprie de cercetare în ultimii 20 – 30 de ani, avand un impact considerabil asupra dezvoltarii tehnologice din diverse arii ale ingineriei, cum ar fi: sisteme de fabricatie, sisteme de transport, sisteme de comunicatii, sisteme de operare și platforme software dedicate, precum și asupra controlului de tip procedural a numeroaselor clase de procese automatizate. Domeniul sistemelor cu evenimente discrete se constituie dintr-o serie de resurse distincte ca: teoria automatelor și a limbajelor formale, teoria rețelelor Petri, teoria sistemelor de așteptare, teoria algebrica a sincronizarii, analiza perturbatiilor.

În general, rețele Petri sunt considerate mai dificil de abordat, dar trasatura mea definitorie o constituie predilectia pentru tot ceea ce inseamna o provocare, prin urmare în Rețelele Petri am vazut o oportunitate în acest sens.

Scоpul prоiecului de licență: Modelarea sistemelor distribuite cu ajutorul rețelelor Petri stohastice se efectueaza la nivel de stare: se determină ce acțiuni se produc în sistem, care stări precedente acestor acțiuni și în ce stări va trece sistemul după producerea acțiunilor. Simulând modelul de stări prin rețele Petri se obține descrierea comportamentului sistemului.

Оbiectivele prоpuse: Rețelele Petri au cunoscut o dezvoltare vertiginoasa, deoarece bineficiaza de trei atuuri fundamentale: simplitate, generalitate, adaptabilitate.

Analiza rezultatelor obtinute prin simulare permite sa cunoastem starile în care s-a aflat sau nu sistemul, care sunt, în principiu, starile neaccesibile, insa o astfel de analiza nu ofera informatii despre caracteristicile numerice care determina starile sistemului.

Studierea tehnicilor de analiza a rețelelor Petri temporizate cum ar fi: tehnica invariantilor, structurile de accesibilitate și de acoperire.

Decidabilitatea unor probleme puse în legatura cu rețelele Petri temporizate: viabilitate, marginire, accesibilitate, acoperire, pseudo-viabilitate.

Definirea rețelelor Petri temporizate cu salturi și a structurilor de acoperire respective.

Decidabilitatea unor probleme puse în legatura cu rețele Petri temporizate cu salturi: accesibilitate, acoperire, marginire, viabilitate, reducere.

Definirea rețelelor fluxuri de lucru temporizate precum și a proprietatilor acestora: corectitudinea, marginirea, viabilitatea.

Definirea multimii proceselor pentru rețele Petri temporizate.

Metоdоlоgia cercetării: s-a ținut cont de literatura de specialitate studiată, de rezultatele, propunerile și fundamentul teoretic al îndrumătorilor contemporani.

Proiectul de licență presupune un mod de cercetare, cunoaștere, utilizare și de posibilă transformare a realităților, în concordanță cu nevoile societății. Sub acest aspect, proiectul constituie o cercetare înzestrată cu un ansamblu de principii, procedee și tehnici de investigare. Mijloacele și metodele cognitive, analiza ipotezelor, analiza datelor statistice au fost aplicate concomitent pentru obținerea rezultatului.

Revista literaturii de specialitate: Mоtivele care stau la bază studierii acestei teme au fоst în nenumărate rînduri prezentate în lucrările de specialitate, numerоase articоle științifice din sfera sistemelor și rețelelor stohastice.

CAPITОLUL 1. DEFINIȚII FUNDAMENTALE A REȚELELOR STOHASTICE

1.1. Structura unei rețele Petri

O retea Petri este compusa, din patru parti  – o multime de locații S;

                                                                    – o multime da tranzitii T;

                                                                    – o functie de intrare I;

                                                                    – o functie de iesire O;

Functiile de intrare și iesire sunt relatii intre T și S.

Funcția de intrare I este o functie de la o tranzitie  la o colectie de locații  care poarta numele de locații de intrare ale tranzitiei.

Functia de iesire O este o functie de la o tranzitie  la o colectie de locații  care poarta numele de locații de iesire ale tranzitiei.

Teoria rețelelor Petri a fost initiata în incercarea sa de a dezvolta o teorie matematica adecvata studierii sistemelor distribuite în care comunicarea, sincronizarea, paralelismul și concurenta ocupa un loc important [3, p.103]. Aplicatiile rețelelor Petri în domenii ingineresti, social-economice sau invatamant le-au propulsat în centrul atentiei cercetatorilor la foarte scurt timp de la aparitia lor [9, p.314]. Comparate cu alte modele orientate în mod direct spre modelarea limbajelor de programare concurente, rețelele Petri si-au dovedit eficienta și intr-un cadru de acest gen.

Definitia 1: O structura de retea Petri C este un 4 – tuplu C = (P, T, I, O), unde:

–        P= este o multime finita de locații, n ≥ 0;

–        T= este o multime finita de tranzitii, m ≥ 0;

Multimea locațiilor și multimea tranzitiilor sunt disjuncte P∩T=.

–        I:T  este functia de intrare, o functie de la multimea tranzitiilor la colectia de locații.

–        O:T este functia de iesire, o functie de la multime tranzitiilor la colectia de locații.

Definitia 2:Definim functia de intrare I și functia de iesire O dupa cum urmeaza:

I:T unde: 

                                               #(t

Definitia 3: Un graf de retea Petri este un “multigraf orientat bipartit” G= (V,A) unde V=este o multime de varfuri și A= este un multiset de arce directionate  .

Reteua V poate fi partitionata în doua rețele disjuncte P și T astfel incat

V= P si pentru fiecare arc distinct  daca  atunci fie .

Mai jos vom reprezenta grafic un graf de reta Petri care corespunde urmatoarei structuri reprezentata ca un 4-tuplu C = (P, T, I, O), unde:

–        P =

–        T =

–        

–        

Fig. 1.1. Un graf de retea Petri [elaborat de autor]

Duala unei rețele Petri C = (T, P, I, O) rezultata din interschimbarea locațiilor și tranzitiilor [7, p.312]. Structura grafului se pastreaza, interschimband cercurile și barele grafului pentru a indica schimbarea suferita [8, p.200]. Cea de-a doua figura 1.2 indica duala rețelei din figura 1.1. Duala este o afirmatie, un punct de vedere, des utilizat în teoria grafurilor și de asemenea un concept interesant vizavi de rețelele Petri, dar fiind un proces mai complicat, fiind greu de definit mai ales duala unei rețele Petri marcate, nu s-a folosit în cercetarea asupra rețelelor Petri, mai jos incercam sa aprofundam rețelele Petri marcate [30, p.119].

Fig. 1.2. Duala rețelei Petri [elaborat de autor]

Marcajele rețelelor Petri

Un marcaj este o asignare de jetoane a locațiilor unei rețele Petri. Conceptul de jeton este fundamental în teoria rețelelor Petri (la fel locațiile și tranzitiile) [25]. Jetoanele sunt asignate locațiilor unei rețele Petri și pot fi gandite ca apartinand acestora.

Definitia 4:Un marcaj  al unei rețele Petri C = (P, T, I, O) este o functie de la multimea locațiilor P la multimea numerelor naturaleN, și anume .

Marcajul  poate fi, de asemenea, definit ca un vector n-dimensional  unde n= card(P), 

Definitiile apartenente uni marcaj ca o functie și ca un vector se bazeaza, în mod evident, pe relatia .Deoarece numarul de jetoane care poate asignate unei locații a unei rețele Petri este nemarginit, exista o infinitate de marcaje pentru o retea Petri. Multimea tuturor marcajelor pentru o retea Petri cu n locații este multimea tuturor vectorilor n- dimensionali din . Aceasta multime infinita este bineinteles nenumarabila.

Reguli de functionare pentru rețele Petri

Functionarea unei rețele Petri este controlata de numarul și distributia jetoanelor în reteaua Petri. O retea Petri se executa prin declansarea tranzitiilor [21, p.103]. O tranzitie se declanseza prin mutarea jetoanelor din locațiile de intrare și crearea de noi jetoane care sunt distribuite în locațiile de iesire [27, p.121]. O tranzitie este posibila daca fiecare dintre locațiile sale de intrare contine un numar de jetoane mai mare sau egal cu numarul de arce de la acea locatie la tranzitie. în locațiile de intrare sunt jetoane care permit o tranzitie ele fiind jetoane de validare.

Definitia 5: O tranzitie dintr-o retea Petri marcata C= (P, T, I, O) cu marcajul  este permisa daca pentru toate .

O tranzitie se declanseaza prin mutarea tuturor jetoanelor posibile din locațiile de intrare și depozitarea lor în fiecare locatie de iesire, cate un jeton pentru fiecare arc de la tranzitie la locatie [22, p.55].

Definitia 6: O tranzitie   intr-o retea Petri marcata cu marcajul se poate declansa de fiecare data cand este posibila. Declansarea unei tranzitii  posibile produce un nou marcaj  definit de relatia: 

Fig 1.3. Schimbarea marcajului unei locații [elaborat de autor]

Fiecare locatie poate sa nu fie intrare sau iesire a tranzitiei, bineinteles în figura avem doar cazul în care multiplicarea este zero sau unu.

Exemplu: avem urmatoarea figura:

Fig 1.4. Retea Petri marcata pentru a arata regulile de declansare [elaborat de autor]

Tranzitiile  sunt posibile.

Deci, consideram reteaua Petri marcata, ca în figura 1.4. Cu acest marcaj, trei tranzitii sunt posibile și anume , tranzitia tnefiind posibila deoarece nu se afla nici un jeton în nici una din locațiile aferente și anume care sunt amandoua intrari ale tranzitiei t. Putem observa ca declansarea lui muta cate un jeton din fiecare intrare și depoziteaza cate un jeton în fiecare iesire [28, p.195].

1.2. Spatiul starilor unei rețele Petri stohastice

–       Starea unei rețele Petri este definita de marcajul;

–        Spatiul starilor unei rețele Petri este multimea tuturor marcajelor, adica , schimbarea de stare cauzata de declansarea unei tranzitii este definita de o functie de schimbare δ numita functie de tranzitie.

Definitia 7: funcția de tranzitie δ:  pentru o retea Petri C = (P, T, I, O) cu marcajul  și tranzitiile este definita daca și numai daca .

Fig. 1.5. Rețele Petri stohastice [elaborat de autor]

Data fiind o retea Petri C = (P, T, I, O) cu marcajul initial , putem executa reteaua Petri prin declansari succesive de tranzitii. Declansarea unei tranzitii posibile  în marcajul initial produce un nou marcaj . în marcajul nou, putem declansa orice tranzitie posibila, și anume , ceea ce determina aparitia unui nou marcaj . și de aici putem continua cu aceasta operatie atata timp cat exista cel putin o tranzitie posibila în fiecare marcaj [11, p.58]. Daca ajungem la la un marcaj în care nici o tranzitie nu este posibila, atunci nici o tranzitie nu poate sa se declanseze, și deci functia de tranzitie este nedefinita pentru toate tranzitiile, de aici deducem ca executia trebuie sa se opreasca [19, p.928].

Definitia 8: Pentru o retea Petri C = (P, T, I, O) cu marcajul , un marcaj  este „direct accesibil”din  daca exista o tranzitie  astfel incat .

Definitia 9: Multimea de accesibilitate  pentru o retea Petri C = (P, T, I, O) cu marcajul  este cea mai mica multime de marcaje definita dupa cum urameaza:

– 

– daca 

Pentru rețelele Petri cu topologia și marcajul initial indicat, sa se precizeze care dintre tranzitii sunt validate și marcajul ce rezulta dupa executarea fiecareia din aceste tranzitii în cazurile urmatoare:

1. rețelele au capacitati infinite;

2. rețelele au capacitati finite dupa cum urmeaza:

(i) pentru reteaua din fig. 1.4. (a): K(p1) = K(p3) = 2, K(p2) = 1;

(ii) pentru reteaua din fig. 1.4. (b): K(p1) = K(p2) = K(p3) = 1;

(iii) pentru reteaua din fig. 1.4. (c): K(p1) = 2, K(p2) = 3, K(p3) = K(p4) = 1.

Solutie:

1. Aplicand regula simpla a tranzitiei rețelei din fig. 1.4.(a) cu marcajul initial M0 = (2, 1, 0) se obtine:

• tranzitia t1 este validata deoarece M0 (p1) > W(p1, t1); prin executarea lui t1 se ajunge din M0 la marcajul 1 M = (1, 2, 0);

• tranzitia t2 este validata deoarece  M0(p2) = W(p2, t2); prin executarea lui t2 se ajunge din M0 la marcajul 2 M = (3, 0, 0);

• tranzitia t3 este validata deoarece  M0(p1) > W(p1, t3)  și M0( p2) =W(p2, t3); prin executarea lui t3 se ajunge din M0 la marcajul 3 M = (1, 0, 1). (b) cu marcajul initial M0 = (1, 1, 0) rezulta:

• tranzitia t1 este validata deoarece M0(p1) > W( p1, t1); prin executarea lui t1 se ajunge din M0 la marcajul 1 M = (1, 2, 0);

• tranzitia t2 este validata deoarece  M0( p2) =W( p2, t2 ); prin executarea lui t2 se ajunge din M0 la marcajul 2 M = (3, 0, 0);

• tranzitia t3 este validata deoarece  M0( p1) > W( p1, t3) și  M0 (p2) = W(p2, t3); prin executarea lui t3 se ajunge din M0 la marcajul 3 M = ( 1, 0, 1). (c) cu marcajul initial M0 = (2, 0, 0, 1), aplicarea regulii simple a tranzitiei conduce la:

• tranzitia t1 este validata deoarece  M0 (p1) > W (p1, t1); prin executarea lui t1 se ajunge din M0 la marcajul  1 M = (0, 3, 0, 2);

• tranzitia t5 este validata deoarece  M0 (p4) = W(p4, t5); prin executarea lui t2 se ajunge din M0 la marcajul  2 M = (4, 0, 0, 0).

2. Tinand cont de marcajele la care s-ar ajunge prin executarea tranzitiilor validate determinate la punctul 1 și de capacitatile finite precizate ale pozitiilor, prin aplicarea regulii stricte a tranzitiei se obtine:

(i) pentru reteaua din fig.1.5.(a), singura tranzitie validata este t3 deoarece:

M0 (p1) > W ( p1, t3), M0 (p2) = W (p2, t3) și K (p3) > M0( p3) + W (t3, p3); prin executarea lui t3 se ajunge din M0 la marcajul 3 M =(1, 0, 1);

(ii) pentru reteaua din fig.1.5.(b) sunt validate:

• tranzitia t2 deoarece M0(p2) = W(p2, t2); prin executarea lui t2 se ajunge din M0 la marcajul 2 M = (3, 0, 0);

• tranzitia t3 deoarece  M0 (p1) > W(p1, t3), M0 (p2) = W(p2, t3) și K (p3) = M0(p3) + W(t3, p3); prin executarea lui t3 se ajunge din M0 la marcajul 3 M = (1, 0, 1);

(iii) pentru reteaua din fig.1.5.(c) nici una dintre tranzitii nu este validata [4, p.113].

Concurenta și conflicte

O problema este paralelismul inerent, în modelul de retea Petri, doua evenimente care sunt permise și nu interactioneaza se pot produce independent, nu este necesara sincronizarea evenimentelor, decat daca acest lucru este cerut de catre sistemul care este modelat [19, p.115].

O alta caracteristica majora a rețelelor Petri este natura lor asincrona, nu exista o masura inerenta pentru fluxul de timp intr-o retea Petri. Din punct de vedere logic definim o ordine partiala a aparitiei evenimentelor [1, p.275]. Evenimentele consuma cantitati diferite de timp în viata reala și variabilitatea lor este reflectata în modelele realizate cu ajutorul rețelelor Petri prin faptul ca se realizeaza controlul secventei de evenimente fara a depinde de notiunea de timp. Astfel în figura 1.5 evenimentul „un job este terminat” trebuie sa fie ulterior evenimentului „a inceput un job”, totusi nici o informatie nu este data și nici necesara, referitor la cantitatea de timp necesara pentru executarea unei sarcini [14, p.103]. Ordinea aparitiei evenimentelor este una este una din cele mai multe permise de structura de baza, acestea conduc la un nedeterminism aparent în executia rețelelor Petri stohastice, daca la orice moment este posibila mai mult de o tranzitie, atunci oricare dintre cele cateva tranzitii posibile poate fi urmatoarea ce se va declansa [2, p.313].

Declansarea nederteminista și nesimultana a tranzitiilor în modelarea sistemelor concurente este indicata de figura 1.6, în acesta situatie cele doua tranzitii posibile nu se afecteaza reciproc în nici un fel [15].  

Fig. 1.6. Concurenta [elaborat de autor]

Fig 1.7. Conflict [elaborat de autor]

In figura 1.7 avem situatia în care simultaneitatea este mai dificil de manevrat, care poate fi controlata prin definirea de evenimente care nu apar simultan.

Cu toate aceste informatii pe care le-am mentionat putem intelege complet sistemele ce urmeaza sa fie modelate cu ajutorul rețelelor Petri stohastice pentru a realiza o modelare corecta a comportamentului sistemului [6, p.203]. Din nefericire, multe dintre cercetarile asupra rețelelor Petri s-au axat asupra proprietatilor unei rețele date sau ale unei clase de rețele.

1.3. Elemente comportamentale

Paralelism

Paralelismul (sau concurenta) îl putem introduce acum în mai multe moduri, consideram cazul a doua procese concurente, fiecare dintre ele putand fi reprezentat printr-o retea Petri, de aceea reteaua Petri compusa, care este pur și simplu reuniunea rețelelor petri pentru fiecare din cele doua procese, poate reprezenta executia concurenta a celor doua procese [29].

In figura 1.8  este exemplificat grafic procesul de paralelism sau concurenta.

Fig. 1.8. Paralelism sau concurenta [elaborat de autor]

Coordonare

Paralelismul este util în solutionarea unei probleme numai daca procesele concurente pot coopera în solutionarea problemei. O astfel de cooperare presupune informatii și resurse comune pentru procese. Acest acces  comun trebuie controlat pentru a asigura functionarea corecta a sistemului [10, p.65]. Diverse probleme de coordonare s-a propus în literatura pentru a ilustra tipurile de probleme care pot aparea intre procesele ce coopereaza [13, p.175].

Problema excluziunii mutuale

Plecam de la presupunerea ca anumite procese au acces comun la o variabila, inregistrare, fisier sau alta data interna. Putem citi valoarea datei la care se are acces comun sau putem scrie o noua valoare, aceste doua operatii sunt de obicei operatii primare, adica pentru a modifica valoarea datei cu acces comun, un proces trebuie mai inatai sa citeasca vechea valoare, apoi sa calculeze noua valoare și în cele din urma sa scrie în loc noua valoare [5, p.89]. Dar pot sa apara probleme daca doua procese incearca sa execute în acelasi timp aceasta secventa de instructiuni. Pentru a preveni acest tip de probleme, este necesara folosirea unui mecanism pentru excluziunea mutuala care este o tehnica de a defini un cod de intrare și iesire astfel incat un singur proces sa poata avea acces la o resursa comuna la un moment dat [18, p.353]. Codul care apeleaza obiectul cu acces comun și are nevoie de protectie pentru a nu intra în interferenta cu alte procese se numeste sectiune critica [24, p.76]. Deci avem ca în momentul în care un proces isi executa portiunea sa „critica” asteapta mai intai ca nici un alt proces sa nu isi execute aceasta portiune apoi „blocheaza” accesul la acesta, prevenind accesul altui proces în portiunea sa critica. în cele din urma intra în portiunea sa critica, o executa și atunci cand o paraseste o „deblocheaza” pentru a permite altor procese sa o acceseze [23, p.123]. Aceasta problema este rezolvata cu ajutorul unei rețele Petri cum avem în figura de mai jos:

Fig. 1.9. Excluziunea mutuala- accesul la scetiunea critica a celor doua procese este controlat astfel incat cele doua procese nu- și pot executa simultan secitunea critica [elaborat de autor]

Locatia m reprezinta permisiunea de a intra în sectiunea critica. Pentru ca un proces sa intre în sectiunea critica, trebuie sa aiba un  jeton în  care sa anunte ca se doreste intrarea în sectiunea critica, și de asemenea trebuie sa existe un jeton în m care sa semnalizeze permisiunea de a intra, daca ambele procese doresc sa intre simultan atunci tranzitiile  sunt în conflict și numai una dintre ele se poate declansa.

Problema producator-consumator

Aceasta problema  implica de asemenea un obiect la care avem acces comun, doar ca de aceasta data acest obiect este specificat a fi un buffer. Procesul producator creeaza obiecte care sunt puse în buffer, procesul consumator asteapta pana cand un obiect a fost pus în buffer, îl ia de acolo și îl consuma [12].

Fig. 1.10. Problema producator/consumator modelata ca o retea Petri [elaborat de autor]

O varianta la aceasta problema este problema multipli producatori/ multipli consumatori, mai multi producatori produc articole care sunt plasate intr-un buffer comun pentru mai multi consumatori [20, p.217]. Figura 1.10 reprezinta reteaua Petri solutie a acestei probleme unde pornim sistemul cu s jetoane în locatia initiala a procesului producator și t jetoane în locatia initiala a procesului producator și t jetoane în locatia initiala a procesului consumator.

O alta varianta este problema producator/consumator pentru un buffer finit. în aceasta versiune a problemei producator/ consumator, se cunoaste ca buffer-ul dintre producator și consumator este finit, adica are numai n locații pentru articole [16, p.95]. De aceea producatorul nu poate intodeauna sa produca atat de rapid  pe cat doreste, dar trebuie sa astepte daca consumatorul este incet și buffer-ul plin.

Figura de mai jos este o solutie la aceasta problema. Bufferul finit este reprezentat de doua locații: B reprezinta numarul de articole care au fost produse dar nu au fost inca consumate iar C reprezinta numarul de locații libere în buffer, initial C are n jetoane și B nici unul [26].

Fig. 1.11. Problema multipli producatori/multipli consumatori [elaborat de autor]

Daca bufferul se umple, atunci C nu va avea nici un jeton, iar B va avea n jetoane. în acest punct, daca producatorul incearca sa puna un alt articol în buffer, va fi oprit deoarece nu exista nici un jeton în C pentru a valida aceasta tranzitie.

Fig. 1.12. Problema producator/consumator cu buffer finit [elaborat de autor]

CAPITОLUL 2. APLICAREA COEFICIENTULUI DE TRAFIC ÎN SISTEMELE ȘI REȚELELE STOHASTICE

Modelarea cu ajutorul rețelelor Petri stohastice

Rețelele Petri au fost proiectate și folosite mai ales pentru modelare. Multe sisteme, dar mai ales cele cu componente separate, pot fi modelate cu ajutorul rețelelor Petri, sistemele pot fi de tipuri diferite: computer hardware, sisteme fizice, computer software. în particular rețelele Petri pot modela fluxul de informatii sau alte resurse dintr-un sistem.

Evenimente și condiții

Evenimentele și condițiile permit reperzentarea unui sistem din punctul de vedere al rețelelor Petri, și putem defini sau detalia aceste doua aspecte, în felul urmator:

–        Evenimentele sunt actiuni care au loc în sistem, aparitia lor fiind controlata de starea sistemului, ea putand fi descrisa ca o multime de condiții.

–        Condițiile fiind un predicat sau o descriere logica a starii sistemului, de aici avem ca o conditie poate fi fie adevarata fie falsa.

–        Precondiții  reprezinta faptul ca evnimentele sunt actiuni,ele se pot produce și pentru ca ele sa se poata produce este necesar ca anumite condiții sa fie adevarate.

–        Aparitia evenimentului poate determina ca precondițiile sa nu mai fie adevarate, și poate stabili ca alte condiții, numite postcondiții sa fie adevarate.

 Exemplu: consideram problema modelarii unui atelier simplu, atelierul asteapta pana cand apare un ordin și apoi îl prelucreaza și îl trimite afara pentru distribuire. Condițiile pentru sistem sunt:

a)     Atelierul este în așteptare.

b)     A sosit un ordin și este în așteptare.

c)     Atelierul prelucreaza ordinul.

d)     Prelucrarea ordinului sa incheiat.

Evenimentele pot fi:

1.     Sosirea unui ordin.

2.     Atelierul incepe prelucrarea ordinului.

3.     Atelirul termina prelucrarea ordinului.

4.     Ordinul este trimis spre distribuire:

–        Precondițiile evenimentului 2 sunt evidente: a și b.

–        Postconditia evenimentului 2 este c.

O astfel de reprezentare asupra unui sistem poate fi usor modelata ca o retea Petri, condițiile sunt modelate ca locații și evenimentele sunt modelate prin tranzitii. Intrarile unei tranzitii sunt precondițiile evenimentului corespunzator, iesirile sunt postcondițiile. Aparitia unui eveniment eclanseaza tranzitia corespunzatoare, o conditie adevarata este data de existenta unui jeton  în locatia corespunzatoare condiției, cand o tranzitie declanseaza, muta jetoanele de validare reprezentand indeplinirea postcondițiilor.

Avem mai jos  reteaua Petri din figura 2.1 care este un model de retea Petri pentru exemplul de mai sus cu atelierul.am etichetat fiecare tranzitie și locatie cu evenimentul sau conditia corespunzatoare.

Fig. 2.1. Un model de retea Petri pentru un atelier simplu [elaborat de autor]

Bineinteles ca putem modela și sisteme mai complicate, atelierul poate avea trei masini diferite  și doi operatori  și . Operatorul  poate opera masinile , iar operatorul  poate opera masinile . Lucrarile necesita doua stagii de prelucrare, mai intai acestea trebuie prelucrate de mașina , apoi de oricare dintre celelalte doua masini.

Deci avem sistemul cu urmatoarele condiții:

a)     A sosit o lucrare și asteapta sa fie prelucrata de  .

b)     O lucrare a fost prelucrata de si asteapta sa fie prelucrata și de celelalte masini.

c)     Prelucrarea lucrării s-a terminat.

d)     Mașina este libera.

e)     Mașina este libera.

f)      Mașina  este libera.

g)     Operatorul  este liber.

h)     Operatorul  este liber.

i)      Mașina  este operata de .

j)      Mașina este operata de .

k)     Mașina  este opearata de .

l)      Mașina este operata de .

Reteaua Petri stohastice pentru acest sistem este reprezentata în figura de mai jos:

Fig. 2.2. Un exemplu de atelier mai complex, modelat ca o retea Petri [elaborat de autor]

Aici pot aparea urmatoarele evenimente:

1)     Soseste un ordin.

2)     Operatorul  porneste prelucrarea lucrării pe mașina .

3)     Operatorul  termina prelucrarea lucrării pe mașina .

4)     Operatorul   porneste prelucrarea lucrării pe mașina .

5)     Operatorul  termina prelucrarea lucrării pe mașina .

6)     Operatorul  porneste prelucrarea lucrării pe mașina .

7)     Operatorul  termina prelucrarea lucrării pe mașina .

8)     Operatorul  porneste prelucrarea lucrării pe mașina .

9)     Operatorul  termina prelucrarea lucrării pe mașina .

10) Ordinul de livrare este trimis.

Tabelul 2.1. Precondițiile și postcondițiile fiecarui eveniment [elaborat de autor]

Un exemplu similar poate fi prezentat pentru un sistem de calcul care proceseaza sarcini de la un dispozitiv de intrare și scoate rezultatele pe un dispozitiv de iesire, sarcinile apar pe dispozitivul de intrare, cand procesorul este liber și se afla o sarcina pe dispozitivul de intrare atunci incepe prelucrarea sarcinii. Dupa ce prelucrarea este completa, acesta este trimisa pe dispozitivul de iesire, iar procesorul continua operatia cu o alta sarcina daca mai exista vreuna disponibila sau asteapta pana cand o noua sarcina pe dispozitivul de iesire, acest sistem poate fi modelat ca în figura de mai jos:

Proprietati și caracteristici

Am ilustrat puterea rețelelor Petri, ele sunt capabile sa modeleze o mare varietate de sisteme, reprezentand corect interactiunile intre diferitele tipuri de actiuni care pot aparea.

Totusi modelarea ca atare are o utilitate marginita, este necesara analiza sistemului modelat, aceasta modelare conducand catre concluzii importante asupra comportamentului sistemului modelat, de aceea în acest capitol vom prezenta tehnici de analiza pentru rețelele Petri.

Fig. 2.3. Modelarea ca o retea Petri a unui sistem de calcul simplu [elaborat de autor]

Siguranta

Pentru o retea Petri care modeleaza un dispozitiv real, una dintre cele mai importante proprietati este siguranta, o locatie din reteaua Petri este sigura daca numarul de jetoane din acea locatie nu este niciodata mai mare decat 1.

O locatie a unei rețele Petri C=(P,T,I,O) cu marcajul initial  este sigura daca pentru toate , o retea este sigura daca fiecare locatie din retea este sigura.

Fig. 2.4. Retea Petri care nu este sigura [elaborat de autor]

Atata timp cat o locatie nu este intrare multipla sau iesire multipla a unei tranzitii, este posibila fortarea acelei locații ca sa fie sigura, tranzitiile care folosesc ca intrare sai iesire, se modifica dupa cum urmeaza:

–        daca  atunci se adauga .

–        daca  atunci se adauga 

Scopul acestei noi locații  este acela de a reprezenta conditia „ este goala ”, de aceea cele doua sunt complementare, adica are un jeton numai daca nu are nici unul, și invers.

Orice tranzitie care muta un jeton din  trebuie sa depoziteze unul în si viceversa.

O locatie care are o multiciplitate de doi pentru o tranzitie va primi doua jetoane la declansarea tranzitiei respective, și de aceea nu poate sa fie sigura, de exemplu în figura 2.4 avem o retea Petri simpla pe care o fortam sa fie sigura figura 2.5.

O locatie € P a unei rețele petri C=(P,T,I,O) cu un marcaj initial  este k-sigura daca pentru fiecare . O locatie care este 1-sigura este numita simplu sigura.

De aici o locatie este marginita daca este kj – sigura pentru unii kj. O retea Petri este marginita daca toate locațiile sale sunt marginite.

Fig. 2.5. Reteaua Petri sigura [elaborat de autor]

Conservativitatea

Rețelele Petri pot fi folosite pentru a modela sisteme de alocare a resurselor, ele pot modela cererile, alocarile și eliberarile pentru dispozitivele de intrare/iesire dintr-un sistem computational.

Fig. 2.6. O retea Petri care nu este strict conservativa [elaborat de autor]

Fig. 2.7. O retea Petri strict conservativa [elaborat de autor]

Conservativitatea este o proprietate importanta, aratam ca jetoanele care reprezinta resursele nu sunt nici create și nici distruse, ca sa facem acest lucru cel mai simplu ar fi sa cerem ca numarul de jetoane sa fie constant.

O retea Petri C=(P,T,I,O) cu marcajul initial  este strict conservativa daca pentru toate .

  Pentru o vedere mai larga, totusi consideram figura 2.6 care reprezinta o retea strict conservativa deoarece declansarea oricarei tranzitii t1 sau t2 va micsora numarul de jetoane cu 1, în timp ce declansarea oricarei dintre tranzitiile t3 sau t4 va adauga un jeton la marcaj, convertim reteaua Petri din figura 2.6 la reteaua Petri din figura 2.7 care este strict conservativa.

O retea Petri C=(P,T,I,O) cu marcajul initial  este conservativa cu respectarea unui vector de ponderi daca pentru toate . O retea Petri este strict conservativa cu respectarea vectorului de ponderi (1,,1),rețelele Petri sunt conservative cu respectarea vectorului de ponderi (0,,0).

Viabilitatea

Consideram un sistem cu doua resurse diferite q și r și doua procese a și b, daca ambele procese au nevoie de ambele resurse, va fi nevoie sa le foloseasca în comun, pentru asta vom cere fiecarui proces sa ceara o resursa și mai tarziu sa o elibereze. Procesul a cere mai intai resursa q și apoi resursa r, eliberand în final atat resursa q cat și resursa r, procesul b  similar, doar ca cere mai intai resursa r și apoi resursa q, figura 2.8 ilustreaza aceste doua procese și alocarea resurselor cu ajutorul unei rețele Petri.

Secvente de declansare

O alta abordare a analizei se concentreaza mai mult asupra secventelor de tranzitii ce se declanseaza doar asupra starilor. Aceasta abordare este legata de viabilitate. Putem determina daca o secventa anume de tranzitii ce se declanseaza este posibila, sau daca este posibila orice secventa dintr-o multime de secvente ce se declanseaza, aceste intrebari ca de analiza introduc conceptul de limbaj al rețelelor Petri.

Fig. 2.8. Alocarea resurselor pentru doua procese a și b și doua resurse q și r [elaborat de autor]

Accesibilitate și acoperire

Multe dintre problemele pe care le-am mentionat pana acum se concentreaza asupra marcajelor accesibile. Probabil cea mai simpla problema este problema accesibilitatii.

Problema accesibilitatii – o retea Petri cu marcajul initial  și un marcaj .

Problema acoperirii- o retea Petri C cu marcajul initial  exista un marcaj accesibil .

O alta utilizare a probemelor de tip accesibilitate ar fi sa ridicam la patrat continutul unor locații, concentrandu-se numai asupra potrivirilor sau acoperind continutul unor cateva locații importante, aceste probleme pot fi complicate în continuare daca vom dori sa stim accesibilitatea sau acoperirea pentru o multime de marcaje, problemele rezultate astfel se numesc problema accesibilitatii multimii și problema acoperirii multimii.

Tehnici de analiza

Exista doua tehnici majore de analiza a rețelelor Petri, ele ofera mecanisme de solutionare pentru cateva dintre problemele anterioare, tehnica principala folosita pentru analiza rețelelor Petri este arborele accesibilitate, cealalta tehnica presupunand ecuatii cu matrice.

Arbore și accesibilitate

Arborele de accesibilitate reprezinta multimea de accesibilitate a unei rețele Petri, pentru a ilustra cele afirmate vom considera figura 2.9, marcajul initial este (1 0 0), în acest marcaj doua tranzitii sunt posibile t1 și t2, deoarece consideram intreaga multime de accesibilitate, definim noi noduri în arborele de accesibilitate  pentru marcajele care rezulta din declansarea ambelor tranzitii.

Fig. 2.9. O retea Petri marcata pentru a ilustra constructia unui arbore de accesibilitate [elaborat de autor]

Daca aceasta procedura, adica cea din figura de mai jos, este repetata la infinit fiecare marcaj accesibil va fi eventual produs. Totusi, arborele de accesibilitate rezultat s-ar putea foarte bine sa fie infinit și deci arborele de accesibilitate sa fie infinit. în figura de mai jos observam foarte bine acest ciclu infinit.

Fig. 2.10. Construirea unui arbore de accesibilitate [elaborat de autor]

Reducerea la o reprezentare finita poate fi realizata prin mai multe metode. Trebuie sa gasim o metoda de a limita noile marcaje (numite noduri de frontiera) introduse la fiecare pas, aceasta operatie este facilitata de nodurile moarte, adica acele marcaje în care nici o tranzitie nu este posibila, ele se numesc noduri terminale.

Mai exista o metoda care poate fi folosita pentru a reduce arborele de accesibilitate la o reprezentare finita, pentru aceasta consideram o secventa σ de tranzitii care se declanseaza, care incepe cu un marcaj μ, cu exceptia faptului ca are cateva jetoane „suplimentare” în unele locații, ceea ce inseamna ca , deoarece decansarile tranzitiilor nu sunt afectate de jetoanele suplimentare, secventa σ poate fi declansata din nou, incepand din  și terminand în . Deoarece efectul secventei de tranzitii σ a fost sa adauge  jetoane la marcajul μ, la aceasta noua declansare va mai aduga inca  jetoane la marcajul , astfel incat . Reprezentam numarul infinit de marcaje care rezulta din aceste tipuri de bucle folosind un simbol special ω, pe care îl putem gandi ca „infinit” și care reprezinta un numar de jetoane care poate fi facut arbitrar de mare. Pentru orice constanta a, definim operatiile , singurele necesare pentru construirea arborelui de accesibiliate.Algoritmul incepe prin definirea marcajului initial ca radacina a arborelui, și initial, nod de frontiera. Atata timp cat exista noduri de frontiera, ele sunt procesate de algoritm.

Fie x un nod de frontiera ce urmeaza sa fie procesat atunci:

Daca exista un alt nod y în arbore care nu este nod de frontiera și are acelasi marcaj asociat adica  atunci nodul x este un nod duplicat.

Daca nici o tranzitie nu este posibila pentru marcajul μ[x], atunci x este nod terminal.

Pentru toate tranzitiile tj € T care sunt posibile în μ[x] creeaza un nou nod z în arborele de accesibilitate. Marcajul μ[z] asociat cu acest nou nod este pentru fiecare locatie pi:

a)     daca  

b)     daca exista un nod y pe drumul de la radacina la nodul x cu .

c)     Altfel, .

Un arc etichetat tj este directionat de la nodul x la nodul z, nodul x este redefinit ca un nod interior; nodul z devine un nod frontiera. Cand toate nodurile au fost clasificate ca terminale, duplicate sau interioare, algoritmul se opreste.

Siguranta și marginire

–        O retea Petri este sigura daca numarul de jetoane din fiecare locatie este cel mult 1.

–        O retea Petri este marginita daca exista un intreg k astfel incat numarul de jetoane din fiecare locatie sa nu fie mai mare de k.

–        O retea Petri este  marginita daca și numai daca simbolul ω nu pare niciodata în arborele sau de accesibilitate.

Aparitia simbolului ω ca parte a unui arbore de accesibilitate arata ca numarul de jetoane este „potential nelimitat” ; exista o secventa de tranzitii ce se declanseaza care poate fi repetata de un numar arbitrar de ori pentru a creste numarul de jetoane la un numar arbitrar nelimitat, acest simbol indicand prin pozitia sa care locatie nu este marginita.

Fig. 2.11. Arborele de accesibilitate pentru reteua Petri [elaborat de autor]

Conservativitate

O retea Petri este conservativa daca nu pierde sau castiga jetoane, ci doar le muta. De aceea doua jetoane pot fi interpretate ca un jeton care mai tarziu determina o tranzitie sa se declanseze, creeand doua jetoane, un vector de ponderi defineste valoarea unui jeton în fiecare locatie; ponderile sunt nenegative, o retea Petri este conservativa cu respectarea unui vector de ponderi daca suma ponerilor jetoanelor este contanta peste toate marcajele accesibile.

Conservativitatea poate fi efectiv testata folosind arborele de accesibilitate, acesta fiind finit, suma ponderilor poate fi calculata pentru fiecare marcaj, iar daca sumele sunt aceleasi pentru fiecare marcaj accesibil, atunci reteaua este conservativa cu respectarea ponderilor date, iar daca sumele nu sunt egale reteaua nu este conservativa.

Acoperirea

O ultima problema care poate fi rezolvata cu ajutorul arborelui de accesibilitate este cea a acoperirii. Determinam pentru un marcaj dat  daca un marcaj  este accesibil, dat fiind un marcaj initial μ, construim arborele de accesibilitate, apoi cautam orice nod x, cu , daca nu se gaseste un astfel de nod, marcajul  nu este acoperit de nici un marcaj accesibil, iar daca este gasit un astfel de nod, μ[x] da un marcaj accesibil care acopera.

Drumul de la radacina la marcajul acoperitor defineste secventa de tranzitii care conduce de la marcajul initial la marcajul acoperitor, iar marcajul asociat cu acel nod defineste marcajul acoperitor. Din nou simbolul ω trebuie tratat ca reprezentand o multme infinita de valori, daca o componenta a marcajului acoperitor este ω, atunci va exista o bucla în drumul de la radacina la marcajul acoperitor, e necesar sa parcurgem aceasta bucla de un numar de ori suficient de mare pentru a creste componentele corespunzatoare astfel incat sa nu fie mai mici decat marcajul dat.

Detectarea și tratarea erorilor

Se recomanda ca depistarea erorilor sa se faca intr-o faza incipienta, pentru ca o soluționare a acestora intr-o faza ulterioara sa fie cat mai facila. Metodologiile elaborate pana în prezent, considera detectarea erorilor numai la nivelul echipamentelor, atat timp cat tratarea lor este executata pe cel mai apropiat nivel.

Erorile care pot sa apara sunt:

–        Blocaje/deadlock (aflarea intr-o stare care nu permite executarea altui proces);

–        Ciclare/livelock (posibilitatea executarii proceselor, dar fara progres);

–        Procese moarte/dead task care nu pot fi executate niciodata.

In cazul sistemelor de producție automata putem considera doua tipuri de detectare a erorilor:    – Erori determinate prin monitorizarea parametrilor dispozitivelor specifice;

– Erori ce nu pot fi determinate direct în etapa de monitorizare.

In general, metodele de detectare a erorilor pot fi grupate în trei categorii:

       Bazate pe model/model-based: starea actuala și viitoare (dintr-un model matematic) sunt comparate pentru determinarea erorii;

       Bazate pe cunoaștere/knowledge-based: modele calitative sunt asociate cu modele euristice pentru determinarea cauzei erorii;

       Bazate pe semnal/Signal-based: analiza spectrala nu poate fi incorporata în orice model.

Din punct de vedere teoretic, metoda bazata pe model ajunge la un grad inalt de maturitate, pentru sistemele liniare de control cu mici incertitudini. Modelarea bazata pe cunoaștere este aplicata cu succes în detectarea erorilor.

In cazul metodei bazata pe cunoaștere, detectarea și tratarea erorilor se poate face în urmatorii pași:

       Detectare;

       Culegerea datelor parametrilor operaționali date de senzori;

       Identificarea starii operaționale (normale sau anormale);

       Determinarea cauzei erorii;

       Tratare.

Detectarea erorilor

Etapa de extragere a datelor implica aparate de masura, pentru masurarea fenomenelor fizice (daca este posibil, fara interferența cu acestea). în general, culegerea datelor este un proces continuu și care nu poate depista situațiile anormale.

Etapa de identificare afecteaza analiza extragerii datelor la recunoașterea poziției/starii  parametrilor. Aceasta determina o discrepanța intre generația actuala și generația ulterioara.

Etapa de diagnosticare trebuie sa determine cauzele erorilor. Metodele de diagonsticare pot fi grupate in:

– Symptom-based unde cunoștințele/experiența despre istoria proceselor sau experiența/cunoașterea statistica este organizata în cadru sistemelor expert care asociaza intrari cu simptome euristice.

– Raționament calitativ(qualitative reasoning) sistemele fizice pot fi descrise de o structura în ordinea determinarii comportamentelor date de condițiile inițiale. Descrierea comportamentului poate fi un graf ce conține starile sistemului.

Construcția grafului care descrie aceste comportari ce pot fi solutionate/executate în doua etape:

– Bazate pe cunoașterea umana despre procese, care stabilesc relațiile dintre variabile și definesc criterii de alegere pentru starile urmatoare.

– Bazate pe inregistrarea datelor, unde pot fi aplicate aproximari probabilistice pentru cautarea celei mai probabile rețele de incredere (interval).

Tratarea erorilor

Tratarea erorilor trebuie sa fie adecvata pentru fiecare nivel al sistemului de producție. în nivelul de echipament, erorile trebuie sa fie determinate și, daca este posibil, mașina defecta trebuie reparata automat.

In functie de tipul erorii, se selecteaza o procedura de reparare. în general, cea mai buna selectare a unei proceduri trebuie sa aiba la baza evitarea valorilor la limita a parametrilor și evitarea efectelor colaterale.

Procesul de solutionare a erorilor poate fi realizat în doua moduri:

– Ajustarea parametrilor operaționali fara schimbarea/reorganizarea structurii logice a mașinii;

– Utilizarea resurselor redundante.(acest tip al redundanței poate da o performanța scazuta care este neadecvata și conduce la o creștere a complexitații).

Figura 2.12 arata structura suportabilitații/tolerantei erorilor mașinii  bazate pe ajustarea parametrilor operaționali. De retinut este faptul ca se presupune ca erorile se produc numai pe obiectele de control (analizate). în general, interacțiunea umana este luata  în considerare în etapa de monitorizare și comanda dispozitivelor de luare a deciziilor pe durata proceselor normale. Interacțiunea umana poate de asemenea sa fie efectuata în fazele de programare și mentenanța.

Controlorul și supervizorul coexista în aceasta structura. Supervizorul verifica performanța și controlorul definește procedurile care conduc la secvențele/operațiile care repara erorile. în general, informația de la controlor la supervizor conține semnale filtrate sau caracteristici extrase; astfel, tratarea informației este distribuita, permițand interpretari locale și selectarea informației trimise.

Fig. 2.12. Structura suportabilitații/tolerantei erorilor mașinii [elaborat de autor]

In momentul apariției unei probleme la nivelul celulei de producție, pentru tratarea erorii, se identifica alte echipamente din aceeași celula care pot sa efectueze în intregime sau parțial funcțiile echipamentului neoperativ, acestea preiau sarcinile echipamentului defect, pana cand echipamentul respectiv ajunge operativ.

La nivelul producției, tratamentul erorilor este efectuat de reprogramarea rutelor fluxului de material în celule.

Metodologia care prevede mijloacele de modelare a sistemului considera detectarea, tratarea erorilor, și analiza proprietaților diferitelor soluții, ca fiind esențiale pentru proiectarea și implementarea unei autonomii și flexibilitați mai mari a sistemelor de producție.

Imbricarea rețelelor Petri

Se va proiecta un model pentru tratarea exceptiilor și a erorilor, pentru care  definim  rețele Petri extinse și imbricate. Pentru a construi un sistem mai flexibil al managementului fluxului de producție se poate utiliza rețelelor Petri imbricate . Pentru gasirea unei soluții este necesar sa se cunoasca toate etapele, situațiile de excepție și orice combinație a acestora, folosind abilitatea, modificarea structurala a proceselor, chiar inlocuirea subproceselor sau extinderea lor. Presupunem data o colecție (biblioteca) a protocoalelor care vor fi utilizate ca blocuri de baza pentru construcția unor protocoale mai complexe .

Rețelele Petri imbricate sunt rețele Petri în care jetoanele pot fi rețele Petri insași, numite rețele jeton (TN-Token Nets). Capacitatea de modificare a rețelelor jeton TN  are urmatoarele avantaje:

       Actualizarea colecției de protocoale;

       Modificarea proceselor continue;

       Capacitatea de modelare a deciziilor luate ca parți diferite.

Pentru a introduce rețele Petri imbricate, consideram un tip special de rețele colorate. Presupunem ca mulțimea U conține valoarea negru, corespunzatoare obiectelor ce nu conțin informații.

Intr-o rețea colorata, fiecare locație este mapata cu un tip, care este o submulțime a lui U. Mai presupunem ca L este mulțimea etichetelor pentru tranziții astfel incat τ L. Fiecarei etichete ii este asociat un numar natural unic, denumit rangul etichetei. Atunci definim mulțimea etichetelor de tranziție  . Eticheta τ este o eticheta ”silențioasa”/fara efect.

O rețea colorata peste universul U este un 6-uplu (P,T,F,ʋ,ρ,  ), unde

– P, T sunt doua multimi nevide (reprezentand multimea locațiilor și respectiv multimea tranzitiilor), PT = ;

– este mulțimea arcelor

– ʋ este o locație data ca o funcție cu dom(ʋ)=P, astfel incat ʋ(p)U, pentru orice p;

–  ρ este o funcție de tranziție cu dom(ρ)=T, astfel incat , pentru orice , unde  și ;

–  este o funcție de etichetare cu dom()= și ran().

Fiind data o rețea colorata N=(P,T,F,ʋ,ρ,  ) peste universul U, un marcaj pentru N este o funcție MN, astfel incat pentru orice pși orice u M(p,u)˃0 implica . Mulțimea tuturor marcajelor a rețelei colorate este data de .

O rețea cu marcaj colorat peste U este o pereche (N,M), unde N este o rețea colorata peste U și M  este un marcaj colorat din N.

O rețea colorata definește un sistem de tranziție care furnizeaza starile observabile ale rețelei.

O relație ternara este definita ca cea mai mica relație astfel incat  pentru orice (N;M) , și  Mai putem scrie și numai daca exista un marcaj astfel incat  în final, inseamna ca  exista o secvența astfel incat . în acest caz putem spune ca este accesibila în (N,M).

Rețele fluxuri de lucru extinse

Rețelele fluxuri de lucru (rețea WF) au o locație inițiala și una finala, și orice locație sau tranziție este o cale direcționata din locația inițiala spre cea finala. Extindem noțiunea rețea WF la un model special/excepție astfel incat tranzițiile trebuie sa termine execuția rețelei curente.

O rețea colorata N=(P,T,F,ʋ,ρ,  ) peste universul U este o rețea fluxuri de lucru extinsa cu locația inițiala i, și locația finala f și mulțimea tranzițiilor de excepție daca:

1. Ø;

2. ;

3. pentru oricedaca și numai daca daca și numai daca Ø;

4. pentru orice nod exista o cale/drum de la i la n;

5. pentru orice nod exista o cale de la n la un nod în .

Rețele EWF confera un numar de avantaje din mai multe puncte de vedere ale modelarii intre care menționam faptul ca acestea fac o distincție clara intre o terminare normala și o terminare generata de o excepție. Spre deosebire de rețelele tradiționale fluxuri de lucru WF, o atenție speciala se acorda mutarii tuturor jetoanelor prezente în sistem cand era intalnita o situație de exceptie, în rețelele EWF aceasta cerința nu se utilizeaza.

Fie N o rețea extinsa de fluxuri de lucru (EWF) cu o locație inițiala i și una finala f, și fie . Marcajul rețelei (N,M) este denumit inițial, respectiv final, daca și numai daca , respectiv . Inițializarea init(N) lui N este rețeaua marcata .

Stabilitatea rețelelor EWF

O alta proprietate naturala a rețelelor EWF este stabilitatea. Rețelele clasice WF. sunt stabile daca de la orice marcaj intermediar se ajunge la marcajul final. Proprietatea de soliditate/stabilitatea mai este uneori denumita terminare normala.

O rețea EWF N=(P,T,F,ʋ,ρ, ) cu o locație inițiala i și una finala f peste universul U se numește stabila daca și numai daca pentru orice 

1. Fiecare sau exista  a.i. pentru un ;

2. implica m=Ø pentru orice .

Din noțiunea de stabilitate formalizata în definiția 21, reiese faptul ca pentru orice stare posibila intotdeauna exista o posibilitate de a completa execuția pana intr-o stare finala, sau de a raporta o excepție. O a doua cerința a stabilitații este faptul ca nu se ajunge la o stare finala fara o execuție completa. în cazul rețelelor WF clasice, a doua condiție a stabilitații este redundanta.

O rețea WF este stabila daca și numai daca:

1.     Pentru orice stare M accesibila din starea inițiala i, exista o secvența de tranziții ce permite starii M sa ajunga în starea finalaf: 

2.      Starea f este numai starea accesibila din starea i cu cel puțin un jeton în locația f: 

3.     Nu exista tranziții moarte, adicaastfel incat .

Proprietatea de stabilitate reda dinamica rețelelor WF. Din prima cerința reiese faptul ca dintr-o stare intermediara (posibila din starea inițiala) intotdeauna se poate ajunge intr-o stare finala. A doua cerința specifica faptul ca în momentul în care avem un jeton în starea finala, toate celelalte locații trebuie sa fie goale/vide. în majoritatea cazurilor, noțiunea de terminare proprie/normala este asociata primelor doua cerințe ale definiției anterioare. A treia cerința a definiției, afirma faptul ca din starea inițiala prin intermediul unei tranziții  se poate ajunge la o noua locație (stare).

Fie N=( P, T, F ,ʋ, ρ, ) o rețea stabila EWF peste universul U. Fie ,  și . Fie   unde

        și 

       , pentru și și pentru orice .

Atunci rețeaua  este o rețea stabila EWF peste U.

Remarcam ca t este o tranziție de excepție avand , pentru orice .

Permite folosirea unei aproximari incrementale pentru a modela în primul rand cu o execuție normala evenimentul apoi adaugarea excepției.

Operații cu rețele EWF

Una dintre cele mai importante facilitați oferite de modelarea cu rețele Petri este evidențiera concurenței (paralelismului), sincronizarii și a conflictelor. Deoarece sistemele reale sunt complexe și este necesara o modularizare a lor se impune asigurarea unor facilitați de compunere.

Fig. 2.13. Compunerea rețelei [elaborat de autor]

Vom considera orice rețea ca fiind rețea EWF. Mulțimea tuturor rețelelor EWF marcate, sunt notate Nw (MW). Consideram numarul predicatelor și operațiilor pe rețele și rețele cu marcaj. Utilizam pentru a converti o rețea intr-o rețea cu marcaj, adaugand un marcaj inițial corespunzator și pentru orice rețea cu marcaj, putem verifica daca este un marcaj inițial și unul final.

Doua rețele pot fi combinate pentru a construi o noua rețea utilizind compunere secvențiala, paralela și alegere. Mai mult, compunerea paralela poate fi aplicata  rețelelor marcate și compunerea secvențiala rețelelor și rețelelor marcate. Operații similare sunt definite și pentru rețelele fluxuri de lucru.

Pentru orice N1,N2NW ,. Mai mult și + este asociativa, iar și + sunt comutative. Daca  sunt stabile atunci  sunt de asemenea stabile.

Rolul compunerii secvențiale este de a extinde procesul de rulare cu o noua funcționalitate. Astfel definim compunerea secvențiala ca o operație pe rețele cu marcaj și rețele (simple) dupa cum urmeaza , iar compunerea paralela: , unde  sunt rețele EWF cu marcaj.

Operațiile rețelelor cu marcaj satisfac urmatoarea:

Pentru orice {N1,M1),(N2,M2)Mw și NNw, (N1, M1) ·N  Mw, și (N1, M1) || (N2, M2)  Mw. mai mult, · este asociativa și || este comutativa.

Compunerea paralela și alegerea sunt congruente în raport cu EWF-bisimilaritea și compunerea secvențiala este  congruenta daca primul operator este stabil .

Fie rețele EWF, astfel incat . Atunci . Fie rețele EWF cu .

Atunci  și .

Imbricarea rețelelor

Consideram un univers inițial U0 ce conține valori de baza, cum ar fi valori intregi, valori compuse cum ar fi perechile/cuplu, liste și mulțimi ale valorilor compuse. Universul urmator și mulțimile rețelelor sunt definite recursiv prin urmatoarea:

Mulțimile N0, M0 ale rețelelor și marcajul rețelei de adancime zero este definit ca mulțimile rețelelor colorate și rețelelor marcate colorate cu peste universul U0. Pentru fiecare  n > 0 valoarea universului Un mulțimile Nn, Mn ale rețelelor și rețelelor marcate ale adancimii n sunt definite recursiv: Un= Un-1Mn-1 și Nn și Mn  ca mulțimea rețelelor colorate și a rețelelor cu marcaj color peste universul Un. mulțimea Nw = Un≥0 Nn,Mw = Un≥0 Mn și Uw = U0 Mw.

Observam ca definiția recursiva a noțiunii de rețea imbricata marcata de adancime n permite jetoanelor sa fie colorate de rețele imbricate de adancime n-1.

Consideram ca mulțimea U0 conține doar numere naturale. în figura 2.13 se folosește N1 ca jeton în rețeaua N0.

Fig. 2.14. Rețea Petri imbricată [elaborat de autor]

Fie L o colecție de protocoale a rețelelor EWF  stabile. Atunci, orice termen al rețelei imbricate EWF (cu marcaj) care se obține din L și o operație de compunere este stabil.

Consideram rețeaua Petri imbricata pentru doua operații/activitați desfașurate în cadrul Autoliv Lugoj. (producția de airbag-uri).

Operațiile de taiere și impachetare sunt prezentate detaliat pentru a permite formarea unei imagini complete asupra procesului. Pentru operația de taiere, etapele sunt:

1. Se va introduce bara metalica pentru fixare în rola de material tinand cont de sensul de de bobinare a rolei care se va instala pe mașina, se va ridica cu ajutorul motostivuitorului și se va fixa în suportul masinii.

2. Materialul trebuie aliniat astfel incat marginea materialului sa fie perpendicular pe senzor. Senzorul are rolul de aliniere automata a marginii materialului.

3. La incarcarea materialului în mașina. acesta va fi introdus minim pana la jumatatea mașinii dupa care se va realiza selectarea Datum-pointului pentru primele piese.

4. Taie perna cu punctul de referinta indicat folosind markerul.

5. Verificarea vizuala unor eventuale defecte:- defecte de țesatura și a invelisului de silicon referitoare la catalogul de standarde acceptate vor fi separate în cutia de rebuturi.

6. Ia elementul decupat și deschide gatul.

7. Introdu bara pentru a te asigura ca nu este lipit.

8. Pune perna în zona de așteptare a urmatoarei operații de la stația alaturata.

Operația de impachetare:

Inainte de a pune în cutie, pentru fiecare bucata se apasa pe butonul numaratorului pentru a urmari exact numarul de piese în cutie.

In cutia de plastic se așeaza o punga de plastic albastra în care se vor impatura produsele, scopul acesteia este sa protejeze airbagurile.

Se introduc 16 cortine în cutie, toate fiind orientate cu gatul intr-o singura parte.

Se pune un sul de carton în partea dreapta a cutiei

Aceași parte se impatura de 2 ori în cutie

Se pune un sul de carton în partea stanga a cutiei

Aceași parte se impatura de 2 ori în cutie

Dupa ce s-au pus în cutie 16 OPW-uri cu h-sock-urile introduse, se scoate eticheta de cutie,se ștampileaza și se pune deasupra OPW-urilor.

Ultima operație este reprezentata de impaturarea pungii deasupra produselor. Fiecare cutie se va pune  pe palet.

Modelarea celor doua operații cu rețele Petri este cea din figura 2.15.

Tabelul 2.2. Perna taiata cu caracteristici greșite [elaborat de autor]

                     a)                                                                               b)

Fig. 2.15. Modelarea operației de taiere și ambalare cu rețele Petri [elaborat de autor]

In figura 2.15. a) este prezentata o rețea imbricata, adica jetonul Rețea2 este rețeaua din figura 2.15. b).

Verificarea fluxului de lucru conține trei componente principale:

– Verificarea structurii (are ca scop studierea consistenței fluxului de lucru, adica determinarea ,daca este cazul, a blocajelor, ciclarii sau/și lipsa sincronizarii);

– Verificare temporara ( restricțiilor temporare le sunt atribuite importante specificații ale fluxului de lucru);

– Verificarea resurselor/ analiza performanțelor (verificarea resurselor are ca scop stabilirea starii resurselor pentru a nu aparea conflicte intre activitați).

Tabelul 2.3. Operația de capsare a eșuat [elaborat de autor]

Tabelul 2.4. Taiere prea aproape de linia neagra [elaborat de autor]

Din paragrafele anterioare, stabilitatea rețelei Petri implica o terminare normala, adica activitațile/operațiile sunt finalizate fara probleme.

In cazul în care nu exista stabilitate, avem o terminare anormala. Aceasta terminare anormala se datoreaza aparițiilor unor erori. Pentru remedierea acestora este necesara o detectare/determinare intr-un timp cat mai scurt, pentru ca activitațile care urmeaza sa poata fi duse la final (terminare proprie).

Similar ca în figura 2.16 se pot construi subrețele și pentru defectele scrise la punctele B și C.

Tratarea erorilor

In derularea unui proces/activitate de producție se produce o stare de excepție. în acel moment, se introduce intr-o locație un jeton cu un anumit atribut (culoare) și locația respectiva este intrare intr-o subrețea care trateaza excepția/eroarea respectiva (rețele imbricate).

Tranziția care declanșeaza excepția acționeaza daca atributul în cauza are o anumita culoare. Tranziția face verificarea culorii cu ajutorul funcției de etichetare.

In teoria clasica a rețelelor Petri, jetonul este la un moment dat un parametru al starii. în modelele construite și derivatele rețelelor Petri, în funcție de context, jetoanele primesc semnificații particulare, cum ar fi:

– Identificator, care identifica un obiect real;

– Atribute sau culori, care particularizeaza prin valorile lor anumite situații.

In funcție de context, prin Id-jeton vom ințelege un atribut (culoare), și unde va fi cazul vom specifica faptul ca Id-jeton identifica un obiect, iar acolo unde va fi cazul vom preciza ca jetonul va avea anumite atribute (culori).

Extensie pentru tratarea erorilor

Definim o rețea SM1WF în care pentru o roare specifica () intr-o anumita locație din rețeaua tranziția  care genereaza eroarea, plaseaza în locația  un jeton de culoare  .

Fig. 2.16. Subretea pentru tratarea defectelor [elaborat de autor]

Rețelei originale ii conectam de tip imbricare cate o subrețea pentru fiecare tip de eroare. Tranziția poate genera un numar de erori simultan. în acest caz Id-jeton reprezinta .

Numim rețea extinsa , o rețea SM1WF în care pentru fiecare defect  tranziției  care genereaza eroarea i se atașeaza o locație de ieșire , în care la momentul apariției eroriii prin acțiunea tranziției  se plaseaza un jeton cu culoarea  

Rețeaua  construita în definiția anterioara este stabila.

Pentru a demonstra stabilitatea rețelei, consideram ca toate jetoanele au aceeași culoare. în continuare, consideram ca rețeaua N (pe care o extindem la ) este o rețea SM1WF stabila și presupunem ca rețeaua extinsa nu este stabila. Atunci exista o secvența de tranziții  și un marcaj  ce poate fi atins din locația inițiala i , și marcajul  nu poate ajunge în starea finala f,  . Luam suficiente resurse   care sunt permise/accesibile tranzițiilor , atunci marcajul  este accesibil/atins în  dar nu este atins în , (nu are loc relația) ceea ce contrazice ipoteza stabilitații rețelei SM1WF, deci  rețeaua  este stabila.

Paleta extinsa de modelare și de instrumente de analiza oferita de rețelele Petri și derivatele lor a permis

– Sa modelam procesul, fluxul de prelucrarre

– Sa evidențiem particularitațile

– Sa dezvoltam modelul cu extensii pentru analiza și prelucrarea defectelor.

CОNCLUZII ȘI RECОMANDĂRI

Sistemele complexe necesita instrumente adecvate pentru proiectarea lor, iar Rețelele Petri și deritavele lor sunt astfel de instrumente. Evidentierea concurentei, a conflictelor și confuziilor impreuna cu existenta unor instrumente formale de analiza, fac din rețelele Petri un instrument eficace. Rețelele Petri de tip workflow prin existenta proprietatii de stabilitate asigura dezvoltatorilor de sisteme construirea de fluxuri de prelucrare (workflow) care sa garanteze derularea corecta a proceselor.

Aparitia cerintelor de evedientiere a exceptiilor și erorilor precum și tratarea lor este o cerinta normala pentru cei care proiecteaza sisteme complexe.

Lucrarea prezinta conceptele de baza, proprietatile și tehnicile de analiza pentru rețelele Petri clasice. Prin utilizarea rețelelor Petri de fluxuri extinse și a celor imbricate am construit un model de tratare a exceptiilor pentru un proces de fabricatie.

Intre posibiltiatile de dezvoltare ulterioara a modelului abordat, le consider pe urmatoarele:

Detalierea tuturor exceptiilor și erorilor precum și a modalitatilor lor de solutionare;

Conceperea unuor subrețele care sa trateze exceptiile și erorile;

Integrarea lor intr-un sistem unitar.

O alta posibilitate este conceperea unei aplicatii care sa permita generarea rețelelor imbricate cu asigurarea conservarii proprietatilor de stabilitate și marginire.

Condițiile esențiale ale funcționarii corecte a unui sistem sunt în esența: derularea normala, stabilitatea și acolo unde este posibil tratarea erorilor. Pentru rețelele Petri imbricate am dezvoltat treptat și demonstrat prin particularizare proprietațile legate de stabilitate. Sistemele reale utilizeaza resurse care sunt partajate în comun de componentele lor. Componentele concureaza intre ele pentru accesul la resurse și aceasta necesita eleborarea unor modele adecvate.

Utilizand notiunea de retea flux de lucru temporizata permite verificarea proprietatii de corectitudine a rețelei Petri. Considerand proprietatile de viabilitate și marginire drept unele din cele mai importante intr-un sistem distribuit sunt teoreme care fac legatura dintre aceste proprietati și proprietatea de corectitudine a unor clase mai restrictionate de rețele flux de lucru temporizate. Utilizand aceste teoreme se poate arata ca problema corectitudinii este decidabila pentru aceste clase. A fost introdusa notiunea de multime a proceselor unei rețele flux de lucru temporizate, precum și algoritmul determinarii acestei multimi. De se poate arata ca pentru o anumita clasa de rețele flux de lucru temporizate multimea proceselor ei coincide cu multimea proceselor rețelei flux de lucru suport respective.

In acest scop s-au preluat extensii ale rețelelor Petri. Particularitetile cerute de compexitatea sistemului modelat au impus utilizarea conceptelor rețelelor Petri colorate. Utilizand rețele workflow extinse și imbricate, s-a dezvoltat modelul în care exceptiile sunt elemente de rețele imbricate.

BIBLIОGRAFIE

Abate J., Whitt W. Solving Probability Transform Functional Equations for Numerical In: Inversion. Oper. Res. Lett., 1992, vol. 12, p. 275-281.

Asmussen S., Bladt M. Renewal theory and queueing algorithms for matrix-exponential distributions. In: Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Matrix-analytic methods in stochastic models. Dekker, New York, 1997, vol. 183, p. 313-341.

Baron T., Biji E. Statistică teoretică și economic. București: Editura Didactică și Pedagogică, 1999. 210 p.

Bladt M., Neuts M.F. Matrix-exponential distributions: calculus and interpretations via flows. In: Stochastic Models. 2003, vol. 19(1), p. 113-124.

Boja C., Ivan I. Metode statistice în analiza software. București: Editura ASE, 2004. 257 p.

Calin Iu. Matematici pentru economiști. Chișinău: CEP USM, 2006. 377 p.

Connolly T., Begg. C., Strachan A. Baze de date. Proiectare, implementare, gestionare. Bucuresti: Teora, 2001. 450 p.

Cotelea V. Modele și algoritmi de proiectare logică a bazelor de date. Chișinău: ASEM, 2009. 266 p.

Hernandez Michael J. Proiectarea bazelor de date. București: TEORA, 2003. 440 p.

Iacob A., Tănăsoiu O. Modele econometrice. Volumul I. București: Editura ASE, 2005. 150 p.

Jaba E. Statistica. Ediția a treia. București: Editura Economică, 2002. 146 p.

Lab 1 Procese stochastice. https://www.scribd.com/doc/50938740/Lab-1-Procese-stochastice (vizitat 24.04.2016)

Levy H., Sidi M. Polling systems: Applications, modeling, and optimization, În: IEEE Transactions on Communications, 1990, vol. 38, p. 175-176.

Madsen J. Private and Public School Partnerships: Sharing Lessons About Decentralization. Washington: Falmer Press, 1999. 209 p.

Metode stocastice de optimizare. http://ai.upb.ro/resources/files/IAR/IAR2_img.pdf (vizitat 06.05.2016)

Mișcoi Gh., Bejenari D., Usatîi L. Modele semimarkoviene de servire cu priorități. În: Analele Universității Libere Internaționale din Moldova, Seria Economie. Chișinău: ULIM, 2011, vol. 11, p. 95-105.

Mișcoi Gh., Mitev L. Caracteristice de performanță în evoluția modelelor de așteptare. În: Materialele Conferinței Științifice Internaționale “Modelarea matematică, optimizare și tehnologii informaționale”, ediția a III-a. Chișinău: ATIC, 2012, p. 115-127.

Mișcoi Gh., Mitev L. Metode analitice și numerice în analiza modelelor Polling. În: Materialele Conferinței Științifico-Practice Internaționale „Politici economice și financiare pentru o dezvoltare competitivă”. Chișinău: ULIM, 2013, p. 353-357.

Mishkoy Gh. On multidimensional Analog of Kendall-Takacs Equations and its Numerical Solution. In: Lecture Notes in Engineering and Computer Science, 2008, vol. 2, p. 928-932.

Mishkoy Gh., Giordano S., Bejan A., Benderschi O. Generalized Priority Models for QoS and CoS Network Technologies. În: Computer Science Journal of Moldova, 2007, vol. 15(2), p. 217-242.

Moraru S., Perniu L. Baze de date în aplicații web. București: Libris, 2004. 230 p.

Onicescu O. Teoria probabilităților și aplicații. București: Editura Didactică și pedagogică, 1978. 250 p.

Oprescu Gh., Andreia A., Marin D. Modele dinamice ale economiei de piață. Studii de caz. București: Editura FF Press, 1996. 265 p.

Panaitescu Gh. M. Modelarea și simularea sistemelor de producție. Curs pentru învățământul la distanță. Ploiești: Universitatea “Petrol-Gaze”, 2007. 248 p.

Proces stochastic. https://ro.wikipedia.org/wiki/Proces_stochastic (vizitat 02.05.2016)

Procese stochastice: elemente de teorie și aplicații. http://catalogue.nla.gov.au/Record/2603396 (vizitat 14.04.2016)

Rykov V., Mishkoy Gh. A new approach for analysis of polling systems. In: Proceedings of the International Conference Control Problems. Moscow, 2009, p. 174-175.

Shomrony M. Queues with System Disasters and Impatient Customers when System is Down. In: Queueing Systems, 2007, vol. 56(3/4), p.195-202.

Stochastic process. https://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_process (vizitat 15.03.2016)

Yue W., Takahashi Y., Takagi H. Advances in Queueing Theory and Networks Applications. New York: Springer, 2009, p. 119-146.

DECLARAȚIA PRIVIND ASUMAREA RĂSPUNDERII

Subsemntatul(a) __________________________________________________________

absоlvent(ă) al (a) Universității Libere Internațiоnale din Mоldоva, Facultatea _______________________________________ specialitatea____________________________ ____________________________ prоmоția ___________________________, declar pe prоpria răspundere, că lucrarea de licență cu titlul: ___________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

elabоrată sub îndrumarea dlui/dnei _________________________________________________,

pe care urmează să о susțin în fața cоmisiei, este оriginală, îmi aparține și îmi asum cоnținutul acesteia în întregime.

Declar că nu am plagiat altă lucrare de licență, mоnоgrafii, lucrări de specialitate, articоle etc., publicate sau pоstate pe internet, tоate sursele bibliоgrafice fоlоsite la elabоrarea lucrării de licență fiind mențiоnate în cоnținutul acesteia.

De asemenea, declar că sunt de acоrd ca lucrarea mea de licență să fie verificată prin оrice mоdalitate legală pentru cоnfirmarea оriginalității, cоnsimțînd inclusiv la intrоducerea cоnținutului acesteia într-о bază de date în acest scоp.

Data ________________________ Semnătură student ____________________

* Declarația se va cоmpleta de absоlvent cu pix sau stilоu cu cerneală albastră și se înserează în lucrarea de licență a studentului la sfîrșitul acesteia ca parte integrantă.

GRAFICUL CALENDARISTIC DE EXECUTARE A PRОIECTULUI DE LICENȚĂ

________________________________________________________

(numele și prenumele studentului/ei)

Tema prоiectului de licență ___________________________________________

______________________________________________________________________

Termenul limită de prezentare a prоiectului de licență la catedră ______________

Etapele executării prоiectului de licență:

Student (a)_______________________________

(semnătura)

Cоnducătоr științific ______________________________

(semnătura)