8.1. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL Î N MIȘCARE ABSOLUT Ă 8.1.1. NO ȚIUNI FUNDAM ENTALE 8.1.1.1. LUCRUL MECANIC Prin definiție, lucrul mecanic efectuat… [622102]

DINAMICA

8.1. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL Î N MIȘCARE ABSOLUT Ă
8.1.1. NO ȚIUNI FUNDAM ENTALE
8.1.1.1. LUCRUL MECANIC

Prin definiție, lucrul mecanic efectuat de for ța F la deplasarea punctului
material din pozi ția M0, în poziția M1 este
dat de integrala curbilinie:
∫⋅=
101o
MMMM rdF L (8.1)
unde rd este deplas area efect uată de
punctul de aplicație al forței F în tim pul
elementar dt (fig.8.1).
Pentru o for ță constantă și o
deplasare rectilinie a punctului m aterial,
lucrul mecanic est e:
rF L10MM ⋅= (8.2)
Forța F este în general o func ție
de tim pul t, poziția rși viteza v a punctului de aplica ție. Deplasarea ,
efectuată pe arc, este constituit ă din deplas ări elementare MM’ , car e se pot
asim ila cu deplas ările pe corzile corespunz ătoare 1 0MM
rd (fig. 8.1). În aceast ă
deplasare elementar ă, forța F este admisă constantă. Lucrul mecanic al for ței
F pe o deplasare elementar ă rdse numește lucrul mecanic elementar:

Fig. 8.1
rdF dL⋅= (8.3)
Dacă în relația (8.3 ) se înlocuie ște dtvrd= , în care v este viteza
punctului material, se ob ține:
dt)v,Fcos(vF dtvF dL == (8.4)
Lucrul mecanic al for ței F, în deplasarea fi nită din M0 în M1 este num it
lucrul mecanic total sau finit și este d eterminat prin integrala curbilinie (8.1).
Dacă vectorii r,v,F sunt exprim ați prin proiec țiile lor pe axele unui
sistem cartezi an Oxyz , lucrul m ecanic to tal are expresia:
(8.5) ∫ ∫++ =++ =
1M0M 1M0M10dt)vF vF vF( )dzF dyF dxF( Lzz yy xx z y x MM
110

8.1.1.2. FUNC ȚIA DE FOR ȚĂ

Se consideră o funcție scal ară U(x,y,z) exprimat ă cu coordonatele
punctului, cu ajutorul căreia pot fi scrise com ponentele for ței astfel:
zUF;yUF;xUFz y x∂∂
∂∂
∂∂= = = (8.6)
Funcția U se nume ște funcție de for ță, iar forța Fse numește forță
conservativ ă și derivă din funcția de forță U.
Condițiile lui Cauchy , de existen ță pentru func ția U sunt:
zF
xF;yF
zF
;xF
yFx z z y y x
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂= = = (8.7)
Deci forța conservativ ă este:
U gradUkzUjyUixUF ∇= =++=∂∂
∂∂
∂∂ (8.8)
unde operatorul (nabla ), num it și operatorul Hamilton este un operator
vectorial, care transform ă un scalar într-un vector. ∇
Lucrul mecanic elem entar este:
dU dzzUdyyUdxxUrdF dL =++=⋅=∂∂
∂∂
∂∂ (8.9)
iar lucrul mecanic total va fi:
∫∫−== =1
00 1
1010M
MM M
MMMM U U dU rdF L (8.10)
unde: )z,y,x(U U);z,y,x(U U0 0 0 M 11 1 M0 1= =
Lucrul mecanic total al unei for țe conservative este independent de
traiectoria parcurs ă și depinde numai de pozi țiile inițiale și finale ale punctului.
Dintre for țele conservative, amintim greu tatea și forța elastică.
Greutatea are proiec țiile pe ax ele reperului Oxyz (fig.8.2):
mg G;0 G;0 Gz y x −=== (8.11)
Prin urm are:
mgzU;0yU;0xU−===∂∂
∂∂
∂∂ (8.12)
Condițiile lui Cauch y (8.7) sunt îndeplinite și deci forța de greutate este o
forță potențială. Funcția de forță pentru greutate este:
C mgz U;dz mg dU +−=⋅−= (8.13)
111

Lucrul mecanic total LMoM efectuat de
greutate, în deplasarea punctului din pozi ția M0, în
poziția M are expresia:

)zz(mg)C mgz(C mgz L
00 MM0
−−==+−−+−=
(8.14)

Fig. 8.2
Considerând c ă suportul for ței elastice ar e o
direcțe oar ecare în sp ațiu (fig.8. 3) putem scrie:

kz FzUky FyU;kx FxU
ezey ex
−==∂∂−==∂∂−==∂∂
(8.15)
Condițiile lui Cauchy (8.7) fiind îndeplinite,
forța elastică este o for ță potențială. Funcția de forță
pentru for ța elastică este:

( ) C r2kC z y x2kU;dzkz dyky dxkx dU2 2 2 2+−=+++−=⋅−⋅−⋅−= (8.16)

Fig. 8.3
Lucrul mecanic total LMoM efectuat d e forța elastică, în deplasarea
punctului din pozi ția M0, în poziția M este:
()2
o2 2
02
MM r r2k)C r2k()C r2k( L0−−=+−−+−= (8.17)

8.1.1.3. PUTEREA

Prin definiție, puterea este lucrul mecanic produs în unitatea de tim p:
tLP= (8.18)
când forța și moment ul (în cazu l rigidului) sunt constante în ti mp, sau:
dtdLP= (8.19)
când forța și momentul sunt variabile.
vFdtrdFP ⋅=⋅= (8.20)
sau considerând rota ția elementară ca vect or:
ωθ⋅=⋅= MdtdMP (8.21)
112

8.1.1.4. RANDAM ENTUL MECANI C

Într-o mașină forțele motoare produc lu crul mecanic m otor Lm. Forțele
rezistente produc lucrul m ecanic util Lu, în scopul pentru care a fost construit ă
mașina și lucrul mecanic pasiv Lp, folosit pentru învingerea frec ărilor.
p u m L L L+= (8.22)
Se define ște randamentul mecanic, notat cu η, raportul:

mu
LL=η (8.23)
care este o mărime adimensional ă și indică modul cum folosește mașina, lucrul
mecanic motor.
Exprim ând lucrul m ecanic util în funcție de cel motor și
înlocuindu-l în expresia (8.23), rezult ă: p m u L L L−=
ϕ η −=−= 1LL
1
mp (8.24)
unde m pL/L=ϕ se numește coeficient de pierderi .
Se constat ă că, întotdeauna 1<η

8.1.1.5. IMPULSUL

No țiunea de im puls a fost introdusă sub
formă științifică de Leonardo da Vinci și Galileo
Galilei, num ită de Newton și cantitate de mi șcare.
Prin definiție, impulsul unui punct material M
de masă m, care s e mișcă cu viteza ,v este u n vector
coliniar cu v și a cărei expresie este (fig.8.4):
vm H= (8.25)

Fig. 8.4

8.1.1.6. MOMENTUL CINETIC

Momentul cinetic al unui punct
materi al M de masă m, care se mi șcă cu
viteza v, calculat în raport cu un punct fi x
O, este prin defini ție momentul im pulsului
punctului M, calculat în raport cu acel ași
punct O:
vmr Hr Ko ×=×= (8.26)

Fig. 8.5
113

Mom entul cinetic 0K se mai num ește și momentul cantit ății de mișcare și
este un ve ctor legat, analog v ectorului m oment al unei for țe în raport cu un
punct, definit în stati că (fig.8.5).

8.1.1.7. ENERGIA MECANIC Ă

Energia cinetic ă
Pentru un punct m aterial de mas ă m care ar e viteza v, prin defini ție,
energia ci netică este:
2mv21E= (8.27)
Energia ci netică este o m ărime de stare, scalar ă și strict pozitiv ă (mărime
care caracterizeaz ă mișcarea, în orice mo ment).
Energia poten țială
Energia potențială este o m ărime car e caract erizează capacitatea mișcării
nemecanice de a trece într-o anum ită cantitate de mi șcare mecanic ă.
Energia potențială se pune în eviden ță când forțele car e acționează asupra
punctului material sunt for țe conservative (deriv ă din funcții de forță U).
Dacă forța conservativ ă F adm ite o func ție de for ță U(x,y,z) , funcția
potențial sau energia poten țială reprezint ă funcția de forță, luată cu sem nul
minus.
)z,y,x(U)z,y,x(V −= (8.28)
Pentru lucrul mecani c element ar și total al for ței F, care s e deplaseaz ă
din poziția M0 în poziția M se obțin expre siile:
( )( z,y,xV z,y,xV dV L;dV dU dL0 0 0 0
MMMM
00− =−= −== ∫ ) (8.29)
Semnificația funcției poten țial V(x,y,z) rezultă, admițând că punctul
M0(x0,y0,z0) este punct de poten țial zero și pri n urm are, funcția de for ță
U(x 0,y0,z0) respectiv, poten țialul V(x 0,y0,z0) sunt nule . Exprimând lucrul mecanic
al forței co nservative F, când punctul se deplaseaz ă din M în M0, rezultă:
() ( )()z,y,xV z,y,xVz,y,xV L0 0 0 0 MM0= − = (8.30)
Energia p otențială a punctului material corespunz ătoare pozi ției M(x,y,z)
reprezintă lucrul mecanic efectuat d e forța co nservativă F la deplasarea
punctului din pozi ția M în poziția M0, care prin conven ție are potențialul nul.
Se numește energie mecanic ă a punctul ui material acționat de o for ță
conservativ ă, suma între energia cineti că și energia poten țială.
VE Em+= (8.31)
114

8.1.2. ECUA ȚIILE DIFEREN ȚIALE ALE MI ȘCĂRII PUNCTULUI
MATERI AL
8.1.2.1. GENERALIT ĂȚI

Cunoscând for țele care ac ționează asupra punct ului m aterial ca natur ă,
suport, sens, m ărime se cere să se stabileasc ă mișcarea punctului material.
Forța este dată de o expresie având form a:
)r,r,t(FF &= (8.32)
A cunoaște mișcarea înseam nă a obține o relație vectorial ă de tipul:
)t(rr= (8.33)
Legea fundam entală a dinamici i este:
Fam= (8.34)
Cum accel erația este ra&&= și ținând seama d e relația (8.32) se scrie:
)r,r,t(Frm & &&= (8.35)
S-a obținut astfel o ecua ție diferen țială de ordi nul doi care reprezint ă
ecuația diferen țială a mișcării. Aceast ă ecuație vecto rială se proiecteaz ă pe axe și
se soluționează sub form ă scalară.

8.1.2.2. ECUA ȚIILE DIFEREN ȚIALE ALE MI ȘCĂRII PUNCTULUI
MATERI AL LI BER

Ecua ția diferen țială, sub form ă vectorial ă (8.35), proiectat ă pe un sistem
de axe, convenabil ales conduce la urm ătoarele ecua ții scalare, func ție de
sistemul d e coordonate în care se lucreaz ă.
În sistemul de coordonate carteziene :
(8.36)
⎪⎩⎪⎨⎧
===
⎪⎩⎪⎨⎧
===
zyx
z zy yx x
FzmFymFxm
sau
F maF maF ma
&&&&&&
unde reprezint ă proiecțiile pe axele Ox, Oy și respectiv Oz ale
rezultantei forțelor care ac ționează asupra punctului material; z y x F,F,F
În sistemul de coordonate naturale ( triedrul Frenét) :

⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
===
⎪⎩⎪⎨⎧
===
bn2t
b bn nt t
F0FsmFsm
sau
F maF maF ma
ρ&&&
(8.37)
115

unde reprezint ă proiecțiile pe axele sistem ului Frenét (tangenta,
norm ala principal ă și binormal a) ale rezu ltantei for țelor care ac ționează asupra
punctului material. b n t F,F,F
Integrarea ecu ațiilor diferen țiale ale m ișcării este în general, aceea și în
toate sistemele de r eferință.
În continuare se vor integra ecua țiile diferen țiale ale m ișcării în sistemul
cartezian. Ecua țiile d iferențiale ale mi șcării conform (8.36) vor fi:
(8.38)
⎪⎩⎪⎨⎧
===
)z,y,x,z,y,x,t(Fzm)z,y,x,z,y,x,t(Fym)z,y,x,z,y,x,t(Fxm
zyx
&&& &&&&& &&&&& &&
Sistemul de ecu ații diferen țiale de ordinul doi are ca necunoscute,
ecuațiile parametrice ale traiectoriei:

⎪⎩⎪⎨⎧
===
)t(zz)t(yy)t(xx
(8.39)
Sistemul de ecua ții diferen țiale (8.38) adm ite un sistem unic de solu ții,
deci sub ac țiunea unei for țe F date, m ișcarea efectuat ă de punct este unic ă.
Integralele generale ale sistemului (8.38) con țin șase constante arbitrare de
integrare . 6 5 4 3 2 1 C,C,C,C,C,C
Integralele generale au expresia:
(8.40)
⎪⎩⎪⎨⎧
===
)C,C,C,C,C,C,t(zz)C,C,C,C,C,C,t(yy)C,C,C,C,C,C,t(xx
6 5 4 3 2 16 5 4 3 2 16 5 4 3 2 1
Derivând în raport cu tim pul relațiile (8.40) se ob ține:
(8.41)
⎪⎩⎪⎨⎧
===
)C,C,C,C,C,C,t(zz)C,C,C,C,C,C,t(yy)C,C,C,C,C,C,t(xx
6 5 4 3 2 16 5 4 3 2 16 5 4 3 2 1
&&&&&&
Cu ajutorul rela țiilor (8.40) și (8.41) se pot det ermina constantele de
integrare punând condi țiile inițiale, la , referitoare
la poziția inițială și viteza ini țială . 6 5 4 3 2 1 C,C,C,C,C,C0tt=
0 0 0 z,y,x0 0 0 z,y,x&&&
Astfel condi țiile inițiale de pozi ție sunt:
(8.42)
⎪⎩⎪⎨⎧
===
)C,C,C,C,C,C,t(z z)C,C,C,C,C,C,t(y y)C,C,C,C,C,C,t(x x
6 5 4 3 2 1 0 06 5 4 3 2 1 0 06 5 4 3 2 1 0 0
116

iar condițiile inițiale de vitez ă sunt:
(8.43)
⎪⎩⎪⎨⎧
===
)C,C,C,C,C,C,t(z z)C,C,C,C,C,C,t(y y)C,C,C,C,C,C,t(x x
6 5 4 3 2 1 0 06 5 4 3 2 1 0 06 5 4 3 2 1 0 0
&&&&&&
Relațiile (8.42) și (8.43) formeaz ă un sistem algebric de 6 ecua ții cu 6
necunoscute . Rezolvând aces t sistem se ob țin valorile
constantelor de integrare în func ție de con dițiile inițiale date: 6 5 4 3 2 1 C,C,C,C,C,C
(8.44)
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
======
)z,y,x,z,y,x,t(C C)z,y,x,z,y,x,t(C C)z,y,x,z,y,x,t(C C)z,y,x,z,y,x,t(C C)z,y,x,z,y,x,t(C C)z,y,x,z,y,x,t(C C
0 0 0 0 0 0 06 60 0 0 0 0 0 05 50 0 0 0 0 0 04 40 0 0 0 0 0 03 30 0 0 0 0 0 02 20 0 0 0 0 0 01 1
&&&&&&&&&&&&&&&&&&
Introducând valorile constantelor de integrare din (8.44) în (8. 40) se obțin
ecuațiile parametrice ale traiectoriei și introducând-le în (8.41) se ob țin
componentele vitezei la un m oment dat. Solu ția problemei este univoc ă.
În unele cazuri, ob ținerea solu ției generale pentru sistem ul (8.38) nu est e
posibilă, în schim b se pot ob ține integrale prime. O integral ă primă este o
funcție de tim pul t, vectorul rși vectorul r&, care se reduce la o constant ă dacă
r reprezint ă o soluție a ecuației diferen țiale (reprezin tǎ o ecuație diferen țială al
cărei ordin este mai m ic cu o unitate decât ecua ția diferen țială dată).
Observație. Cu aju torul ecua țiilor diferen țiale ale m ișcării punctului
material se poate studia și mișcarea corpurilor întâlnite în practic ă, cu condi ția
ca forțele care ac ționează asupra acestora s ă fie concurente într-un singur punct.

8.1.2.3. ECUA ȚIILE DIFEREN ȚIALE ALE MI ȘCĂRII PUNCTULUI
MATERI AL S UPUS LA LEG ĂTURI

Un punct material este supus l a legături dacă i se im pun anum ite restric ții
geometrice, respectiv s ă rămână în permanen ță pe o suprafa ță sau o curb ă dată.
Mișcarea punctului materi al supus la leg ături se studiaz ă aplicând axioma
legăturilor , introducând for țele de leg ătură și studiind m ișcarea ca a celui liber.
Notând rezultanta for țelor direct aplicat e cu F și a forțelor de leg ătură
(reacțiunea) cu R, ecu ația de m ișcare a punctului material supus la leg ături este:
RFam+= (8.45)
Ecuația diferen țială, sub form ă vectorial ă (8.45), proiectat ă pe un sistem
de axe, convenabil ales conduce la urm ătoarele ecu ații scal are:
117

În sistemul de coordonate carteziene :
(8.46)
⎪⎩⎪⎨⎧
+=+=+=
⎪⎩⎪⎨⎧
+=+=+=
z zy yx x
z z zy y yx x x
R FzmR FymR Fxm
sau
R F maR F maR F ma
&&&&&&
unde și sunt proiec țiile pe axele Ox, Oy, Oz ale rezultantei
forțelor direct aplicat e, și de legătură. z y x F,F,Fz y x R,R,R
În sistemul de coordonate naturale ( triedrul Frenét) :

⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
+=+=+=
⎪⎩⎪⎨⎧
+=+=+=
b bn n2t t
b b bn n nt t t
R F0R FsmR Fsm
sau
R F maR F maR F ma
ρ&&&
(8.47)
unde și reprezint ă proiecțiile pe axele sistem ului Frenét ale
rezultantei forțelor direct aplicate și de legătură. b n t F,F,Fb n t R,R,R
Integrarea ecua țiilor diferen țiale ale m ișcării este aceea și ca în cazul
punctului material liber.

8.1.3. TEOREMELE GENERALE ÎN DINAMICA PUNCTULUI
MATERI AL
8.1.3.1. TEOREMA IMPULSULUI

Derivata în raport cu timpul a impul sului unui punct material este egal ă
în fiecare moment cu rezultanta for țelor care ac ționează asupra punctului.
Derivând în raport cu tim pul impulsul dat de rela ția (8.25) se ob ține:
amvm H==&& (8.48)
Cum în baza legii fundamentale a dinam icii (8.34), Fam=, rezultă:
F H=& (11.49)
Proiectând pe ax e relația (8.49) se ob ține:
(11.50) z z y y x x F H;F H;F H = = = & & &
Conservarea impulsului
Dac ă în tim pul m ișcării punctul material este izolat sau rezultanta for țelor
care acționează asupra acestuia este nul ă, atunci:
CH;0H 0F ==⇒=& (8.51)
Deci impulsul se conserv ă, adică păstrează în timp aceea și valoare .
Constanta C se determin ă din condi țiile inițiale al e problemei.
118

Este posibil s ă se conserve în tim p o singur ă com ponentă a im pulsului.
Astfel, dac ă:
(8.52) C H;0 H 0 Fx x x = =⇒=&
În acest caz se conserv ă com ponenta im pulsul ui după axa Ox.

8.1.3.2. TEOREM A M OMENTULUI CINETIC

Derivata în raport cu timpul a momentul ui cinetic calculat în raport cu un
punct fix O , este eg ală cu momentul în raport cu acela și punct al rezultantei
forțelor care ac ționează asupra punctului material.
Derivând în raport cu tim pul expresia momentului cinetic (8.26), rezult ă:
Framrvmrvmr K0 ×=×=×+×= & && (8.53)
Cum 0MFr=× reprezint ă momentul în raport cu punctul O, al
rezultantei forțelor care ac ționează asupra punctului m aterial, rezult ă teore ma
momentului cinetic:
0 0M K=& (8.54)
Proiectând pe ax e, relația (8.54) se ob ține:
(8.55) z z y y x x M K;M K;M K = = = & & &
Conservarea momentului cinetic
Dac ă în tim pul m ișcării, punctul material este izolat sau m omentul
rezultant care ac ționează asupra acestuia este nul, rezult ă:
C K;0 K 0 M0 0 0 ==⇒=& (8.56)
Deci momentul cinetic se conserv ă, adică păstrează aceeași valoare în
timp. Constanta C se determ ină din condi țiile in ițiale.
Se poate conserva o singur ă com ponentă a momentului cinetic, de
exem plu:
(8.57) C K;0 K 0 Mx x x ==⇒=&
În acest caz se conserv ă com ponenta m omentului cinetic dup ă axa Ox.

8.1.3.3. TEO REMA ENERGIEI CINETI CE

Variația energiei cinetice a punctului mate rial în intervalul de timp dt,
este egală cu lucrul mecanic el ementa r, efectuat de rezultanta for țelor aplicate
punctului în acela și interval de timp. (forma diferen țială)
Diferențiind rela ția energiei cinetice și ținând seama de legea
fundam entală a mecanicii (8.34), amF= , rezultă:
119

() dLrdFrdamdtvddtvmvdvm vmd21) mv21(d dE2 2=⋅== == = =
Termenul din stânga reprezint ă o di ferențială tota lă exactă, pe când
termenul din dreapta dzF dyF dxF dLz y x ++= reprezint ă o diferen țială de tip
Pfaff , care este o diferen țială totală exactă, numai î n cazul particular al for țelor
conservative. Forma diferen țială a teorem ei energiei cinetice este:
dL dE= (8.58)
Integrând rezult ă teorema en ergiei cinetice, forma integral ă:
10MM o 1 L E E=− (8.59)
Variația energiei cinetice între pozi ția inițială și finală a mișcării
punctului material este egal ă cu lucrul mecanic tota l efectuat în de plasarea
finită între cel e două poziții, de rezultanta for țelor aplicate punctului material.
Conservarea energiei mecanice
Când rezultanta for țelor aplicate punctului material, deriv ă dintr-o
funcție de forță, energia mecanic ă a punctului se conserv ă.
Se consideră teorema energiei cinetice s crisă sub form ă diferențială și se
presupune c ă forțele derivă dintr-o funcție de forță, adică:
dU dL= (8.60)
Cum ener gia potențială este U V−= , atunci:
dU dV−=
Din relațiile (8.58) și (8.60) rezult ă:
()()0 VEd;0 UEd;dU dE =+ =− = (8.61)
de unde:
. constVE Em =+= (8.62)

Aplicații. 1. Pendulul matem atic din figura 8.6, c onstituit dintr-un fir de lungim e l, de
care es te prinsă o bilă M de m asa m se deplaseaz ă pe o traiecto rie circu lară într-un plan
vertical, cu centrul în punctul de fixare O. Pendulului, scos din pozi ția de echilibru, i se dă o
rotire in ițială θ0 și o viteză inițială v0. Să se determ ine legea de m ișcare și tensiunea din fir.
Rezolvare. Prin proiectarea legii fundam entale pe axele sistem ului natural se ob țin
ecuațiile dif erențiale ale m ișcării:
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
−=−=
θθ
cosmgNlvmsinmgdtdvm
2
Considerând legea de m ișcare a pendulului dat ă de unghiul la centru )t(θθ= și
înlocu ind în prim a ecuație a s istem ului rezu ltă ecuația diferențială a mișcării aces tuia: ,lvθ&=
120

0 sinmg ml = +θ θ&&
În cazul micilor depla sări, când , și 05<θ θθ≈ sin , ecu ația devine o ecua ție
diferențială, liniară de ordinul doi, cu coeficien ți constanți și omogenă.
0lg=+θθ&&
Notând cu l/g p= – pulsația proprie a m ișcării pendulului și introd ucând aceas tă
notație în e cuația diferențială a mișcării, rezu ltă:
0 p2=+θθ&&
CptsinC2 1+ =
a cărei soluție:
ptcos θ
exprimă legea de m ișcare și care derivat ă în raport cu
timpul conduce la expresia vitezei unghiulare:
ptsinp2CptcospC1− =θ&
în care con stantele de integrare C1 și C2 care s e
determ ină din condi țiile inițiale ale mi șcării:

Fig. 8.6
⎪⎩⎪⎨⎧
==
=
)0()0(
0t
00
θθθθ
&& =lv0
Rezultă valorile constant elor de integrare C1 și C2:
0 20
1 C;lpvC θ= =
care in trodu se în solu ția ecuației diferențiale, și ținând seam a de expresia pulsa ției proprii p,
rezultă legea de m ișcare:
tlgcos tlgsin
lgv
00θ θ + =
care poate fi scris ă și sub forma:
) tlgsin(A ϕ θ + =
unde: A – amplitudinea m ișcării; ϕ – faza ini țială
)vlg( arctgCCarctg ;lgvC C A
00
12 2
02
0 2
22
1θϕθ = = +=+=
Deci:
)vlg arctgtlgsin(lgv
00 2
02
0 θθ θ + ⋅+=
Mișcarea pendulului m atematic este periodic ă cu perioada g/l2T . π=
Mărimea ten siunii N se obține d in a d oua ecuație a sistem ului de ecua ții diferențiale, în
funcție de pozi ția θ și viteza v a punctului M, pe traiectorie.
l/mv cosmgN2+ =θ
121

Exprim area vitezei punctului M, în funcție de pozi ția pe tr aiectorie, def inită de legea
de m ișcare θ(t), se obține din prima ecua ție diferen țială a sistem ului, exprim ând mișcarea cu
deplasări (os cilații) m ari:
0 sinlg;0 sinmg ml = += + θθθ θ && &&
Înm ulțind ecuația diferențială cu și apoi integrând-o, rezult ă: θ&
C coslg
2;0) (cosdtd
lg)2(dtd;0 sinlg2 2
= − = − = +⋅ θθθθθθθθ& &&&&&
Constanta de integrare C se determ ină din condi țiile in ițiale:
⎪⎩⎪⎨⎧
===
=
lv)0()0(
0t0
00
θθθθ
&&
Rezultă valo area con stantei de integ rare C:
0 22
0
02
0coslg
l2vcoslg
2C θ θθ−= −=&

care in trodu să în ecuația diferen țială, integ rată conduce la expresia vitezei în func ție de
poziția punctului M:
) cos (coslg2 ; coslg
2coslg
202
02
02
02
θθ θθθθθθ− += −= − &&& &

Înmulțind aceast ă ultimă expresie cu l2 și având în vedere c ă , obținem : θ&lv=
) cos (cosgl2 v v02
02θθ− +=
care introdu să în expresia reac țiunii N, va conduce la:
[] ) cos2 cos3(mg2mv) cos (cosgl2 vlmcosmg N02
0
02
0 θθ θθ θ − += − ++ =

2. În m omentul opr irii motorului, o ambarcațiune (fig.8.7) cu greutatea are
vitez a N400P=
)s/m515,0h/Km853,1 Nd1(,Nd1 v0 ≈ ≈ = . Rezisten ța apei pentru viteze m ici se
consideră proporțională cu viteza cvR= , factorul de propor ționalitate fiind .
Să se d etermine după cât tim p, vite za am barcațiunii se reduce la jum ătatea valo rii inițiale și
care este d rumul parcurs în aces t timp. m/Ns3,9c=
Rezolvare .Timpul dup ă care
viteza ambarca țiunii se reduce la
jumătatea valor ii in ițiale se determin ă
utilizând teorem a impulsului, proiectat ă
pe direcția mișcării, axa Ox:

R Hx−=&

Fig. 8.7
respec tiv:
() cv mvdtd−=
prin separarea variab ilelor s e ajunge la
122

ecuația diferențială:
dtmc
vdv−=
care in tegrată în dom eniile [ , pentru variabila t, și ]1t,0 []2/v,v00 , pentru variabila v, rezultă
timpul t1:
1 0
01 0
0t
02v
vt
02/v
vtmcvln;dtmc
vdv−= −=∫∫
s3 693,081,93,94002lncgP
2vlnvlncmt0
0 1 ≅⋅= =⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛− =
Drum ul parcurs de am barcațiune în acest in terval de tim p se obține utilizând teorema
energiei cin etice, form a finită, prin integra rea în dom eniile []2/v,v00 , pentru variabila v și
, pentru variabila x: [1x,0]
1 00x
02/v
v2
xmcv2v;dxmcdv;dx)cv( )2mv(d1 0
0−=− −= −= ∫∫ ∫∫
m13,181,93,92515,0 400
cg2Pvx0
1 ≅⋅⋅⋅==

3. O sferă M de m asă m se situea ză în poziția superioar ă M0 pe un sem icilindru luciu
de rază , și primește vite za in ițială m5,0R= s/m7,0 v0= perpendicular pe generatoare. S ă se
determ ine p oziția caracterizată de unghiul la centru 1ϕ în care sf era se desprinde de cilindru și
începe m ișcarea liber ă (fig.8.8).
Rezolvare Poziția punctului de
desprindere al sferei de pe cilindru este definit ă
de un unghi ϕ1, pentru care reac țiunea asupra
sferei devine nul ă. Proiectând legea
funda mentală pe axele triedrului Frenet vor
rezulta ecu ațiile dif erențiale ale mi șcării.

Fig. 8.8
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
− ==
N cosmgRvmsinmgdtdvm
2
ϕϕ

Din a doua ecua ție a sistemului, rezult ă reacțiunea N:
2vRmcosmg N − =ϕ
Poziția de desprindere a sferei definit ă de unghiul ϕ1 este dată condiția:
0 vRmcosmg 0N2
1 1=− ⇒= ϕ
Pentru a determ ina valoarea unghiului ϕ1 va trebui exprim ată viteza pu nctulu i, v în
funcție de pozi ția lui ϕ, posibilitate dat ă de p rima ecuație dif erențială a sistem ului.
Având în vedere c ă accelerația tange nțială are ex presia:
ϕωωϕ
ϕϕϕ
ddRdtd
ddRdtdRdtsd
dtdv=⋅===&&&
123

aceas ta se înlocuie ște în prim a ecuație diferențială a sistem ului și sim plificând prin m,
obținem :
ϕϕωω singddR=
Integrând, rezult ă o primitivă, a cărei constan tă de integrare se determ ină din condi țiile
inițiale:
.C cosg2R2
+−=ϕω
Rv;0 ;0t0
0 0 === ωϕ
Constanta d e integ rare are valo area:
gR2vC2
0+=
și:
) cos1(gR2 v v2
02ϕ−+=
Pentru pozi ția de desprindere definit ă de unghiul ϕ1, viteza sf erei este v1:
) cos1(gR2 v v12
02
1 ϕ−+=
Introducând expresia vitezei v1 în condiția de desprindere, rezult ă
gR3gR2 vcos2
0
1+=ϕ
'35455,081,935,081,92)7,0(arccosgR3gR2 varccos2 2
0
1 °=⋅⋅⋅⋅+=+=ϕ

8.2. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL Î N MIȘCARE RELATI VĂ
8.2.1. LEGEA FUNDAMENTAL Ă ÎN MIȘCAREA RELATIV Ă

Legea fundam entală a dinam icii (8.34), scris ă pentru m ișcarea unui punct
material în raport cu un sistem de referin ță fix a fost stabilit ă de Newton:
Fam=
Ne propunem să determinăm corecțiile necesare, efectuate în legea
fundam entală a dinam icii punctului m aterial, în m ișcarea acest uia în raport cu un
sistem de referin ță care este în mi șcare față de si stem ul fix, num it sistem de
referință mobil ( transportor ).
Se va utiliza expresia accelera ției absolute a punctului definit ă de (7.91).
c t r a a a aa a ++== (8.63)
Din relația (8.63) rezult ă:
c t r a aa a −−= (8.64)
124

Multiplicând rela ția (8.64) cu masa m a punctului se ob ține:
c t r am amam am −−= (8.65)
unde:
¾ Fam= reprezint ă rezultanta for țelor direct aplicate și de legătură;
¾ t tF am=− este forța inerțială de transport ;
¾ c cF am=− este forța inerțială Coriolis .
Cu notațiile de mai sus, legea fundamental ă a dinam icii, în m ișcarea
relativă (8.65) devine :
c t r F FF am ++= (8.66)
În raport c u un sistem de referin ță mobil, legea fundam entală a dinam icii
se corect ează cu doi termeni, tF și cF, numit e forțe inerțiale întrucât nu
corespund unor ac țiuni mecanice, exercitat e asupra p unctului material.

8.2.2. SISTEM E INERȚIALE

Exist ă sisteme de refein ță mobile în raport cu care legea fundamental ă se
scrie la fel ca si în raport cu sistem ul de referin ță fix.
F amr= (8.67)
În acest caz pentru ca rela țiile (8.66) și (8.67) să fie identice trebuie ca:

⎩⎨⎧
=⇒=×=⇒==⇒=
0 0 v 2 a 0 F0 a 0 F
t r t c ct t
ω ω (8.68)
Rezult ă că un astfel de sistem , num it sistem iner țial trebuie să efectueze o
mișcare de transla ție ( 0t=ω ), uniformă ( 0at=).

8.2.3. REPAUSUL RELATI V

Pentru determ inarea condiției de repaus relativ (punc tul material se afl ă în
repaus față de sistemul m obil) trebuie îndeplinite condi țiile:

⎩⎨⎧
=⇒==×−=⇒=
0 am 0 a0 v 2 F 0 v
r rr t c r ω (8.69)
Introduc ănd condițiile (8.69) în legea fundam entală (8.66), rezult ă:
0 FFt=+ (8.70)
Condiția de repaus relativ a punctului material este ca rezultanta for țelor
aplicate, de leg ătură și de transport s ă fie nulă.

125

Aplica ții. 1. Un cadru O1OB constituit din axul vertical O1O și bara orizontal ă OB se
rotește cu viteza unghiular ă constantă ω în ju rul axulu i O1O (fig.8.9). Pe bara OB alunecă
cursorul M care în m omentul inițial se află în repaus la distanța a OA=. Cunoscând lungim ea
barei să se determ ine viteza relativ ă a cursorului în m omentul în care părăsește bara. l OB=
Rezolvare . Sistem ul de referin ță fix la ca re se rapo rtează mișcarea cadrului
(transportorul ) este Ox1y1z1 iar sistemul mobil fată de care se rapo rtează mișcarea cursorulu i
este Oxyz cu axa Ox, bara OB după care are loc m ișcarea relativ ă a curso rului, axa . 1Oz Oz≡
Legea fundam entală a dinam icii în mișcarea relativ ă este dată de relația:
c t r FFVHG am ++++=
unde:

[]⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
−=× −=×−=−=−−=−==−=−==
2 )ix()k2(mv 2(m am F)ix (m am FkVVjH Hkmg Gix a
t c c2
t tr
&&&
ωωω
⎪
⎩⎪
⎨⎧
+−=−==
V mg 0Hxm20x mxm2
&&&
ωω==
jxm)ix m
r2
&ωω
Proiectând legea fundam entală
(form a vectorial ă) pe axele sistem ului
mobil Oxyz rezultă:

Fig. 8.9

Ecuația mișcării relative a cursorului devine:
0x x2=−ω&&
și a cărei ec uație cara cteristică este:
0 r2 2=−ω
cu rădăcinile ω±=2,1r
Legea m ișcării relativ e și vitez a relativă se pot scrie:
⎪⎩⎪⎨⎧
− =+=
−−
t
2t
1t
2t
1
eC eC)t(xeC eC)t(x
ω ωω ω
ω ω&
Constantele de integrare C1 și C2 se dete rmină din condi țiile inițiale, la m omentul
: 0t=
2aC C0 C Ca C C
0)0(xa)0(x0t2 1
2 12 1==⇒
⎩⎨⎧
=−=+⇒
⎩⎨⎧
===&
care introdu se în legea m ișcării re lative și vitezei relative conduc la:
126

tsha a)e e(21)t(x;t acha)e e(21)t(xt t t tωωω ωω ω ω ω= −= =+=− −&
Viteza relativ ă a cursorului în cap ătul B al bar ei se dete rmină pentru timpul t1 când
cursorul parcurge întreaga lungim e l OB= a barei.
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
==
⇒
⎩⎨⎧
==⇒
⎩⎨⎧
===
ωωω
ωωω
avtshaltch
vtshalt ach
v)t(xl)t(xtt
Br
11
Br 11
Br 11
1&
Confor m relației trigonom etrice:
1 sh ch2 2=−αα
rezultă expresia:
1)av()al(2 Br 2= −ω
și de aici expresia vitezei relative a cursorului în mo mentul când parase ște bara:
2 2
Br al v −=ω

2. Pe o bar ă lucie, înc linată cu unghiul α față de axa de rota ție alun ecă un cursor
având m asa m. Dacă axul se rotește cu viteza unghiular ă constantă ω să se determ ine p oziția
de repaus relativ a cursorului pe bar ă x OM= și reacțiunea N a barei (fig.8.10).
Rezolvare. Condiția de echilibru rela tiv a
cursorului M, conform relației (11.70) este:

Fig. 8.10
0F)Ngt=++m( 0FFt⇒=+
unde forța inerțială de transport Ft are sensul contrar
accelerației de transpo rt care rep rezintă accelera ția
punctului M în m ișcarea pe cercu l de raz ă
αsinxr= , cu viteză unghiular ă constantă ω.
αωsinx m2ωr m ma F2
t t ===
x
Proiectând ecuația vectorial ă de ec hilibru pe
axele sis temului m obil Oxy rezultă un sistem de 2
ecuații avân d ca n ecun oscute, distanța OM= și
reacțiunea b arei N.
⎪⎩⎪⎨⎧
= +−= −
⎩⎨⎧
= −+ −= + −
0 cos sinx mN sinmg0 sinx m cosmg;0 cosFN sinmg0 sinF cosmg
22 2
tt
ααω ααωα
α αα α
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
= + = + ==
αα
αωαωα αωααωα
sinmg) cos
sincosgg( sinm) cosx g( sinm Nsincosgx
2 22 22 2

3. Pe o bar ă lucie a c ărei linie axia lă este curb a )x(fy= , (fig.8.11) situat ă într-un
plan vertical și care se ro tește cu viteza unghiular ă constantă ω în jurul ax ei verticale, alunec ă
un cursor M de m asă m. Să se determ ine ecuația curbei )x(fy= , astfel încât cursorul s ă fie
în echilibru, indiferent de pozi ția pe bară.
127

Rezolvare. Condiția de echilibru relativ a
cursorului M, conform relației (11.70) este:

Fig. 8.11
0F)Ngmt=++ ( 0FFt⇒=+
r m ma F2
t t ω==
unde forța inerțială de transport Ft are expresia:
x m2ω=
Proiectând ecuația vectorial ă de ech ilibru pe axa
Mt a sistemului m obil Mtn, tangentă la curba )x(fy=
și ținând seam a de expresia for ței de transpo rt, rezultă:
0 sinx m cosmg;0 sinF2
t = − = + αωα α cosmg−α
xgtg2ωα=
Tangenta într-un punct al curbei reprezint ă derivata func ției în raport cu
variab ila x, astf el: )x(fy=
dxdytg=α
Cum me mbrii din stânga ai celo r două ecuații sunt id entici, rezu ltă și identita tea
membrilor din dreapta, și de aici ecu ația curbe i )x(fy= :
C2x
gy xdxgdy;xg dxdy22 2 2
+=⇒ = =ω ω ω
Constanta de integrare C se determ ină din condi țiile lim ită:
0)0(fy;0x ===
Introducând aceste cond iții în ecua ția curbe i, rezultă valoarea constan tei de integ rare
și ecuația curbei devine: 0C=
2x
gy22ω=
care este o parabol ă ce trece p rin originea s istem ului de ax e Oxy.

TEST DE E VAL UARE

1. Lucrul m ecanic elem entar al unei for țe este:
a. rdF dL⋅=
b. dtvF dL⋅=
c. )v,Fcos(dtvF dL=
2. Lucrul m ecanic efectuat de o forță în deplasarea pe o curb ă între po zițiile M0 și M1 are
expresia ∫⋅=
1M0M1MoM rdF L . Expresia rF L1M0M ⋅= nu este corect ă deoarece :
a. forța variază în tim p ca mărime și direcție
b. direcțiile forței și deplasării nu sunt constante în tim p
c. ambii vector i sunt va riabili în tim p
3. Puterea este definit ă de relația:
128

a. dtdLP=
b. vFP⋅=
c. ω⋅=MP
4. Mom entul cinetic 0K este un vector:
a. coplanar cu vectorii r și H
b. colin iar cu v ectoru l H
c. perpendicular pe planul vectorilor r și H
5. Forța conservativ ă reprezint ă:
a. gradientul f uncției de f orță U – gradU
b. funcția de forță U
c. nici una din variantele a și b
6. Lucrul m ecanic to tal al u nei forțe con servative:
a. este independent de traiectorie
b. depinde de pozi ția inițială și finală a punctului
c. trebu ie îndeplin ite co ndițiile a și b
7. Energia poten țială reprezintă:
a. capacitatea m ișcării nem ecanice de a trece în m ișcare m ecanică
b. lucru l mecanic efectuat de o for ță conservativ ă la deplasarea dintr-o p oziție cur entă în
poziția de poten țial nu l
c. oricare din variantele a și b
8. Energia m ecanică se conservă dacă forțele care ac ționează asupra punctului:
a. sunt forțe conservative
b. derivă din funcții de forță
c. oricare din variantele a și b
9. În ecuația diferențială a mișcării punctului m aterial supus la leg ături RFam+= , R
reprezintă:
a. rezultanta for țelor de leg ătură
b. rezultanta for țelor direct aplicate
c. rezultanta for țelor conservative
10. Legea fundam entală a dinam icii în mișcarea relativ ă a punctului m aterial este:
a. t r FF am+=
b. c t r FFF am ++=
c. F amr=
11. Condiția de repaus relativ este definit ă de expresia:
a. 0 FFFc t=++
b. 0 FFct=+
c. 0 FFc t=+
12. Sistem ul inerțial reprezint ă:
a. un sistem mobil în raport cu care legea funda mentală are aceași formă ca în m ișcarea în
raport cu un sistem de referin ță fix
b. un sistem mobil în m ișcare de transla ție uniform ă
c. oricare din variantele a și b
129