7. Mișcarea permanentă în conducte sub presiune 7.1 Generalități privind transportul prin conducte Conducte le sunt sisteme sau ansambluri de… [625494]

7. Mișcarea permanentă în conducte sub presiune

7.1 Generalități privind transportul prin conducte
Conducte le sunt sisteme sau ansambluri de elemente montate pe un traseu stabilit, care
asigură transportul fluidelor sau al altor materiale între două puncte cu sarcini
energetice diferite. Un astfel de sistem cuprinde, pe lângă tubulatura propriu -zisă, și o
serie de echipamente cum ar fi armături, aparate de măsură și control etc.
Curgerea prin conducte are loc gravitațional sau, de cele mai multe ori, sub acțiunea
unui utilaj/echipament adecvat; utilajele care servesc la transferul energiei de la o
sursă exterioară la un fluid poartă denumirea generică de pompe (la tra nsportul
lichidelor), respectiv compresoare (la transportul gazelor). Pe lângă lichide și gaze,
prin conducte pot fi transportate și alte materiale aflate în stare pseudofluidă: șlam,
nămol ș.a.
Transportul prin pompare al lichidelor se face cu consum de energie electrică, însă
prezintă și o serie de avantaje ca de exe mplu: este posibilă trimiterea lichidului exact
la punctul dorit; transportul se face fără pierderi (în condiții normale de funcțio nare);
exploatarea funcționării sistemului de conducte nu pune probleme deosebite . De
asemenea, transportul prin conducte este mai sigur și mai economic în cazul unor
fluide ca țiței, etilen ă, propilen ă ș.a.
Principalele criterii de clasificare a conductel or sunt următoarele:
a) După forma secțiunii de curgere (Fig. 7.1) :
 conducte cu secțiune circulară, utilizate în special pentru transportul prin
pompare al lichidelor;

Fig. 7.1 Exemple de conducte cu diferite forme ale secțiunii de curgere

 conducte cu secțiune rectangulară, utilizate mai ales la instalațiile de
ventilație, la care fluidul de lucru este în stare gazoasă iar diferența de
presiune dintre interior și exterior nu este foarte mare;

 conducte cu secțiune ovoidală sau compusă, utilizate la si stemele de
canalizare, în care curgerea nu este sub presiune, ci are loc cu suprafață liberă.
b) Din punct de vedere hidraulic:
 conducte sub presiune, la care mișcarea are loc datorită diferenței de presiune
între intrare și ieșire ; din această categorie f ac parte și conductele forțate,
întâlnite în special la centralele hidroelectrice, asigurând transportul apei către
turbine, pe linia de cea mai mare pantă și pe traseul cel mai scurt, pentru a
limita pierderile de sarcină;
 conducte de egală presiune (grav itaționale), la care mișcarea are loc datorită
diferenței de nivel între intrare și ieșire
c) Din punct de vedere al raportului dintre lungime și diametru:
 conducte lungi, la care L/D = 200 ÷ 400 , iar pierderile de sarcină liniare
(distribuite) sunt consid erabil mai mari decât pierderile locale;
 conducte scurte , la care pierderile de sarcină locale sunt mult mai mari decât
cele liniare
d) După materialul din care sunt realizate:
 conducte metalice, care pot fi realizate din oțel, fontă, alamă, cupru etc.;
 conducte nemetalice, care pot fi realizate din mase plastice (polietilenă, PVC ,
ș.a.), beton, azbociment, fibră de sticlă etc.
e) După natura fluidului transportat:
 conducte pentru lichide, care pot transporta apă, ulei, țiței etc.;
 conducte pentru gaze, care pot transporta gaz metan, aer sub presiune, abur
etc.
 conducte pentru diverse amestecuri
f) Din punct de vedere constructiv:
 conducte simple (monofilare), care de cele mai multe ori sunt conectate în
serie (extremitatea aval a unui tronson este conec tată la extremitatea amonte a
tronsonului următor; debitul este constant, însă viteza variază de la un tronson
la altul, în funcție de diametru);
 conducte în rețea, care pot f i (Fig. 7.2) :
– ramificate (sisteme de distribuție centralizată a apei potabile, un de conducta
magistrală de alimentare se ramifică în conducte principale, care la rândul
lor se ramifică până ajung la consumatori);
– inelare (conductele formează ochiuri de rețea, având avantajul că orice
punct din rețea poate fi alimentat din două părți)
– mixte.

În funcție de materialul din care sunt executate și de caracteristicile geometrice,
conductele pot fi îmbinate cu mufe, cu flanșe, cu manșoane, cu coliere, prin sudură,
prin lipire sau prin alte procedee.
C₁ C₂
SC₁
C₂ C₃ C₄ C₅ C₆
SC₁ C₂
C₃
C₄
C₅
C₆
C₇ C₈

a) b) c)
Fig. 7.2 Exemple de rețele de conducte
a) rețea monofilară; b) rețea inelară; c) rețea mixtă

Ansamblul format din conducte, rezervoare, elemente de închidere/deschidere, pompe
etc., care asigură transportul și distribuția lichidul ui de la sursă la consumator se
numește sistem sau circuit hidraulic .

7.2 Aspecte tehnice și constructive pentru conductele sub presiune
Se admite introducerea pe piață și punerea în funcțiune a conductelor sub presiune
dacă, atunci când sunt instalate, întreținute corespunzător și utilizate conform scopului
lor, nu afectează securitatea și sănătatea persoanelor și a mediului; cerințele de
securitate se referă deopotrivă la proiectarea, fabricarea, verificarea, instalarea și
exploatarea conductelor sub pr esiune.
Elementele tehnice și constructive ale conductelor sunt stabilite prin standarde.
Principala caracteristică constructivă o reprezintă diametrul nominal al conductei sau
diametrul interior (dacă furnizorul nu precizează altfel) , de care depinde mărimea
secțiunii transversale de curgere. Diametrele nominale ale conductelor sunt stabilite
prin standarde și depind de materialul din care sunt realizate, destinație, tehnologia de
execuție etc.; lungimea tronsoanelor de conductă depin de, de asemenea, de material,
de tehnologia de execuție, de aspecte legate de transport și manevrare ș.a.
Mărimea grosimii peretelui conductei depinde de: materialul de execuție; tehnologia
de fabricație; diametrul conductei; presiunea de lucru etc.
În general, conductele sub presiune se fabrică astfel încât să reziste următoarelor game
de presiuni:
– conducte de joasă presiune: p ≤ 2,5 kgf/cm2
– conducte de medie presiune: p = 2,5 ÷ 10 kgf/cm2
– conducte de înaltă presiune: p > 10 kgf/cm2.

Principalele presiu ni standardizate ale conductelor sub presiune sunt:
– presiunea nominală (pn) – presiunea maximă la care se pot folosi conductele
– presiunea de lucru sau de regim ( pr) – presiunea maximă admisibilă la care
poate fi folosită conducta și elementele sale la o anumită temperatură a
fluidului transportat
– presiunea de încercare (pi) – presiunea la care se face încercarea hidraulică de
rezistență și etanșeitate,
iar principalele relaț ii dintre acestea sunt următoarele:
pr = p n dacă temperatura fluidului este T < 120oC
pr < p n dacă temperatura fluidului este T ≥ 120oC
pi > pn
În general, grosimea peretelui conductei depinde de: materialul de execuție ; tehnologia
de fabricație ; diametrul conductei ; presiunea de lucru.

7.3 Regimuri de curgere
Mișcarea permanentă este mișcarea în care mărimile caracteristice ale fluidului nu se
modifică în timp. Deși teoria curgerii permanente a fluidelor în conducte este destul de
bine înțeleasă, soluții teoretice au fost obținute doar pentru câteva situații particulare,
simple, ca de exemplu curgerea laminară în conducte circulare; în rest, majoritatea
problemel or de hidraulică se rezolvă cu relații empirice sau cu ajutorul unor observații
experimentale.
Curgerea fluidelor prin conducte poate avea loc în:
 regim laminar , corespunzător situațiilor în care mișcarea fluidului este
ordonată, î n straturi paralele, fără pulsații ale vitezei și presiunii; de ex emplu
fumul care iese dintr -o lumânare, pe primii centimetri parcurși, are o mișcare
ascensională netedă, ordonată, cu linii de curent paralele;
 regim turbulent , core spunzător situațiilor în care mișcarea particulelor de
fluid este dezordonată, cu pulsații ale vitezei și ale presiunii, atât ca mărime
cât și ca direcție.
Diferența între cele două regimuri de curgere a fost pusă în evidență pe cale
experimentală, de cătr e Osborne Reynolds1. Experimentul lui Reynolds (Fig. 7.3) a
constat în injectarea unui lichid colorat , în sensul curgerii, într -o conductă transparentă
prin care curgea apă și urmărirea liniilor de curent ale curgerii. Repetând experimentul
pentru diverse situații, Reynolds a pus în evidență prezența regimului laminar și a
celui turbulent, precum și a unui regim de tranziție între cele două.

1 Osborne Reynolds (1842 -1912) a fost un un om de știință britanic (originar din Irlanda),
matematician, fizician și inginer, specializat în dinamica fluidelor.

Tranziția de la regimul laminar la cel turbulent depinde, printre altele, de geometria
curgerii, tipul suprafeței de curgere, viteza medie a curgerii, tipul fluidului,
temperatura fluidului și a suprafeței de curgere.
injectare lichid
coloratvmed vmed
injectare lichid
colorat

a) regim laminar b) regim turbulent
Fig. 7.3 Experimentul Reynolds pentru evidențierea regimurilor de curgere

Astfel, în anul 188 3, Reynolds a descoperit că regimul de curgere depinde în primul
rând de raportul dintre forțele de inerție și forțele de v âscozitate ale fluidului; pentru
conducte circulare, acest raport, c unoscut sub numele de numărul Reynolds , este
adimensional și are forma:

𝑹𝒆=𝐯.𝑫
𝝂 (7.1)

Notațiile care intervin în relația anterioară au următoarea semnificație: v – viteza
medie de curger e [m/s], D – diametrul conductei [m], iar ν = μ/ρ – vâscozitatea
cinematică a fluidului (pentru apă la 20oC, ν = 1,01 x 10-6 m2/s = 1 cSt).
Numărul Reynolds la care curgerea devine turbulentă se numește nr. Reynolds cri tic,
iar pentru conducte circulare are valoarea Recr = 2320 ; viteza curgerii corespunzătoare
se numește viteză critică ( vcr).
În general, pentru rezolvarea problemelor practice, se consideră că (Fig. 7.4):
 dacă Re ≤ 2300 – regim laminar
 dacă 2300 ≤ Re ≤ 4000 – regim de tranziție
 dacă Re ≥ 4000 – regim turbulent .
La curgerea fluidului printr -o conductă, indiferent de gradul de turbulență a curentului ,
în vecinătatea pereților conducte i rămâne un strat inelar de fluid în care particulele se
deplasează cu viteze mici, numit strat laminar , în timp ce în restul secțiunii conductei
curgerea este turbulentă.

a) regim laminar b) regim de tranziție c) regim turbulent
Fig. 7.4 Ilustrarea grafică a regimurilor de curgere în conducte

7.4 Distribuția vitezei în secțiunea de curgere
Mișcarea unui fluid real într -o conductă este însoțită de pie rderi de sarcină cauzate în
primul rând de rezistența pe care pereții conductei o opun la înaintarea fluidului în
mișcare.
Ca urmare a aderenței la pereții conductei, precum și din cauza frecărilor interioare din
masa fluidului:
 efortul tangențial care se manifestă la peretele conductei este maxim, valoarea
acestuia scăzând pe măsura creșterii distanței față de perete (Fig. 7.5);
 viteza particulelor de fluid la perete este minimă, în timp ce în axul curgerii
aceasta este maximă (Fi g. 7.5).

Fig. 7.5 Variația efortului tangențial și a vitezei fluidului în secțiunea de curgere
a conductei

Distribuția efortului unitar tangențial este aceeași (funcție liniară în raport cu distanța
față de centrul conductei), indiferent de regimul de curgere din conductă, în timp ce
distribuția viteze i este diferită în regimul laminar față de regimul turbulent (Fig. 7.6).
În majoritatea cazurilor, peretele interior al conductei nu este perfect neted și, prin
urmare, în zonele mișcării turbulente, rugozitatea peretelui poate afecta în mod
semnificativ profilului vitezei și gradientului de presiune generat de frecare.
Rugozitatea este cauzată de natur a materialului conductei și de modul de confecționare
a acesteia; de asemenea, în timp, rugozitatea este influențată de fenomenele de
τ
τ
vmax

eroziune și coroziune. Rugozitatea poate fi creat ă și artificial, în scopuri
experimentale, prin lipirea unor granule de n isip pe peretele interior al conductei.

a) fluid ideal; b) fluid real, regim laminar c) fluid real, regim turbulent
Fig. 7.6 Distribuția vitezei la curgerea în conducte pentru diverse tipuri de fluide
și de regimuri de curgere

În general, se lucrează cu mai multe noțiuni privind rugozitatea conductelor:
– rugozitate absolută : Δ = înălțimea medie a proeminențelor pereților
conductei ;
– rugozitate relativă : Δ/D = raportul dintre rugozitatea absolută și diametrul
conductei ;
– rugozitate echivalentă : Δe = înălțimea granulelor de nisip care ar da efectul
observat al rugozității naturale.
Cercetările experimentale au demonstrat că efectul rugozității în cadrul mișcării
turbulente din conducte depinde de rugozitatea relativă Δ/D și de Re; această
dependență este atribuită substratului laminar existent în vecinătatea peretelui, astfel:
 dacă grosimea substratului laminar este suficient de mare pentru a acoperi
rugozitățile (ceea ce se întâmplă la valori relativ mici ale lui Re), efectul
rugozității este nul și conducta se numește conductă netedă (Fig. 7.7 a);

abcsubstrat laminar
zona mișcării turbulenteperete conductă
axul longitudinal al
conductei

Fig. 7.7 Efectul rugozității conductei asupra mișcării turbulente

v = cst.
vmax
vmax
vm
vm

 dacă în urma creșterii Re grosimea substratului laminar devine comparabilă cu
rugozitatea, iar cele mai proeminente asperități pătrund în zona mișcării
turbulente (Fig. 7.7 b), se trece în domeniul conductelor parțial rugoase
(mixte);
 la valori foarte mari ale Re, grosimea substra tului laminar este inferioară
înălțimii asperităților (Fig. 7.7 c), iar în acest caz conducta se numește
conductă rugoasă .

7.5 Pierderi de sarcină la mișcarea permanentă a lichidelor în conducte
La fluidele reale , de-a lungul curgerii apar pierderi de energie. De aceea, există
numeroase cazuri în care determinarea pierderilor de sarcină este cea mai importantă
problemă, ceea ce face ca studiul pierderilor de sarcină și influența factorilor care se
manifestă în mișcările fluidelor din situațiile practice să constituie una dintre
problemele importante ale hidraulicii.
Ecuația lui Bernoulli, scrisă între două secțiuni ale unei conducte prin care curge un
fluid real (cu vâscozitate nenulă), are forma:

𝑧1+𝑝1
𝛾+𝛼1.𝑣12
2𝑔=𝑧2+𝑝2
𝛾+𝛼2.𝑣22
2𝑔+ℎ𝑡 (7.2)

unde s -au folosit următoarele notații: z = cota axului conductei; p/γ = înălțimea
piezometrică; α ≈ 1 este coeficientul Coriolis, care ține seama de neuniformitatea
vitezei în secțiunea de curgere; cu ht s-au notat p ierderile totale de sarcină între cele
doua secțiuni de curgere, având două componente:
 pierderi de sarcină longitudinale sau distribuite, notate cu hd
 pierderi de sarcină locale , notate cu hl
astfel că:

ht = h d + h l [m] (7.3)

a) Pierderile de sarcină longitudinale sau distribuite apar ca urmare a manifestării
frecărilor dintre particulele fluidului și suprafața pereților conductei, fiind uniform
distribuite de -a lungul acesteia . Prin urmare, la fluidele reale linia energetică nu mai
este o linie orizontală, ci o linie a cărei aba tere de la orizontală măsoară consumul de
energie prin frecări.
Cercetările experimentale ale diverșilor oameni de știință au evidențiat că pierderea de
sarcină prin frecare (respectiv căderea de presiune Δp = γ.h d) depinde de mai mulți
factori, cei mai im portanți dintre aceștia fiind:
– lungimea și diametrul conductei ;
– viteza medie a curgerii (v); în funcție de regimul curgerii, dependența este
liniară în regim laminar, iar în regim turbulent dependența este aproape
parabolică (Fig. 7.8) .

Regim
laminar
Regim
turbulent
vcr v hd
hd~vhd~v1,75¸2
Fig. 7.8 Dependența pierderilor de sarcină de viteza medie

Rezultatele experimentale au demonstrat că pentru calculul pierderilor de sarcină
distribuite poate fi folosită expresia generală de forma:

𝒉𝒅=𝝀𝑳
𝑫𝒗𝟐
𝟐𝒈 [m] (7.4)

cunoscută și sub denumirea de relația Darcy -Weissbach2, unde:
λ = coeficientul pierderilor de sarcină distribuite / coeficientul de rezistență /
coeficientul Darcy
L = lungimea conductei [m]
D = diametrul conductei [m]
v = viteza medie a fluidului [m/s].
În cazul general, coeficientul pierderilo r de sarcină liniare ( λ) depinde de tipul
regimului de curgere, precum și de numărul Reynolds al mișcării ( Re) și de rugozitatea
relativă (Δ/D), respectiv:

𝜆=𝜆(𝑅𝑒,𝛥
𝐷) (7.5)
unde Re = v.D/ν este nr. Reynolds, Δ este rugozitatea absolută s au înălțimea medie a
proeminențelor pereților conductei.
În general, valorile rugozității corespunzătoare diverselor tipuri de materiale
constructive pentru conductele noi sunt date de furnizori. În timp, rugozitatea poate
crește din cauza corod ării interne a conductei, a agresivității apei, a depunerilor prin
sedimentare etc., funcție de rezistența materialului la aceste acțiuni. Câteva dintre

2 Frenchman Henry Darcy (1803 -1858) și German Julius Weisbach (1806 –1871), doi ingineri
cu contribuții importante în dom eniul mecanicii fluidelor și al hidraulicii.

valorile rugozității absolute utilizate calcule le uzuale sunt prezentate în tabelul
următor.

Tab. 7.1 Valori ale rugozității absolute pentru diferite tipuri de conducte
Tip conductă Stare conductă Δ (mm)
Oțel tras, vălțuit, fără cusături noi 0,03 ÷ 0,05
ruginite 0,10 ÷ 0,30
Oțel sudat noi 0,05 ÷ 0,20
întrebuințare medie 0,20 ÷ 1,20
cu grad mare de uzură 1,50 ÷ 3,00
Fontă noi 0,10 ÷ 0,20
întrebuințare medie 1,00 ÷ 1,50
cu grad mare de uzură 1,50 ÷ 3,00
Beton noi 0,20 ÷ 1,00
Alamă noi max. 0,002
Polietilenă și PVC noi 0,006 ÷ 0, 01

Pentru regimul laminar de curgere , coeficientul pierderilor de sarcină longitudinale
variază invers proporțional cu numărul Reynolds și se calculează cu o relație relativ
simplă, stabilită pe cale teoretică de Hagen -Poiseuille3:

λ=64
Re (7.6)

Pentru regimul de tranziție , ca urmare a instabilității curgerii, este dificil de stabilit o
relație de calcul general valabilă.
Pentru regimul turbulent , ca urmare a pulsațiilor v itezei apar forțe interioare
suplimentare, care complică cunoașterea fenomenului fizic. De aceea, coeficientul
pierderilor de sarcină cauzate de frecare se poate determina cu relații explicite sau
implicite, propuse de diverși autori și valabile în anumite condiții .
Cele mai multe relații de calcul pentru coeficientul pierderilor de sarcină longitudinale
(λ) au fost stabilite experimental, rezultate repre zentative fiind obținute de:
 Nikuradze : cercetările experimentale pe conducte cu rugozitate creată artificial
i-au permis evidențierea dependenței coeficientului λ de regimul de curgere din
conductă și de netezimea relativă a acesteia ( D/Δ).

3 Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797 -1884) – fizician și hidraulician german; Jean
Léonard Marie Poiseuille (1797 -1869) – medic și fizician francez, interesat în special de
studiul curgerii sângelui în corpul uman.

Reprezentare a grafică a rezultatelor experimentale, folosind scări logaritmice
(Fig. 7.9), pune în evidență următoarele patru zone distincte:
– zona I – regim laminar , în care punctele experimentale se înscriu pe o
dreaptă pe care λ = f(1/Re) ;
– zona II – regim turbulent , domeniul conductelor hidraulic netede;
– zona III – regim turbulent, domeniul de tranziție de la conductel e hidraulic
netede la conducte le rugoase (zona prepătratică);
– zona IV – regim turbulent dezvoltat, respec tiv domeniul conductelor
rugoase (zona pătratică).

Fig. 7.9 Diagrama Nikuradze

 Colebrook și White : cercetările experimentale pe conducte cu rugozitate tehnică
au evidențiat o dependență calitativă între coeficientul λ și numărul Re (Fig.
7.10), introducând noțiunea de rugozitate echivalentă (Δe), care reprezintă
înălțimea echivalentă a asperităților pereților conductei care produce aceeași
pierdere de sarcină pe diagrama Nikuradze . De regulă, pentru rugozitatea
echivalentă se folosesc valori stabilite experimental pentru diferite tipuri de
conducte (Tab. 7.2).

Fig. 7.10 Diagrama Colebrook – White

Tab. 7.2 Valori ale rugozității relative pentru diferite tipur i de conducte
Tip conductă Stare conductă Δe (mm)
interval val. medie
Tuburi din sticlă noi 0,001 ÷ 0,002 0,0015
Tuburi din oțel, fără
îmbinări noi 0,01 ÷ 0,02 0,014
Tuburi din oțel, sudate
noi 0,03 ÷ 0,12 0,05
după câțiva ani de
exploatare 0,15 ÷ 0,30 0,05
puțin ruginite 0,10 ÷ 0,20 0,15
ruginite 0,30 ÷ 0,70 0,50
foarte ruginite 0,80 ÷ 1,50 1
Tuburi din fontă noi, cu cămașă de bitum 0,08 ÷ 0,26 0,12
noi, fără cămașă de bitum 0,20 ÷ 0,50 0,30
vechi 0,50 ÷ 1,50 1
foarte vechi 1,50 ÷ 3,00 2
Tuburi din azbociment noi 0,05 ÷ 0,10 0,085
Tuburi din beton noi, din beton
precomprimat 0,02 ÷ 0,05 0,03
noi, din beton centrifugat 0,15 ÷ 0,30 0,20
vechi 0,30 ÷ 0,80 0,50
beton nesclivisit 1 ÷ 3 2
În afara diagramelor , au fost stabilite și relații de calcul pentru coeficientul pierderilor
de sarcină prin frecare , unele dintre cele mai des utilizate în calculul conductelor
circulare fiind prezentate în Tab. 7.3 ; se poate observa că , în unele dintre aceste relații ,
coefi cientul  apare în ambii termeni ai ecuați ei de calcul , ceea ce înseamnă că
valoarea coeficientului se determin ă prin metoda aproximațiilor succesive.

Tab. 7.3 Formule uzuale de calcul al coeficientului Darcy
Regim de
curgere Valori
Re Autor Formulă de calcul
Regim laminar Re < 2320 Hagen -Pioseuille λ=64
Re
Regim
turbulent neted
(Δ > δ l)
4000< Re
<23D/Δ Blasius λ=0,3164
Re0,25=1
√100.Re4
Konakov 𝜆=1
(1,8lg(Re)-1,5)2
Prandtl 1
√𝜆= 2lg(Re√𝜆)−0,8
Regim
turbulent mixt
(prepătratic)
(Δ ~ δ l) 23D/Δ< Re
<560D/Δ Altchul λ=0,11( Δe
D+68
Re)0,25

Colebrook -White 1
√𝜆=−2𝑙𝑜𝑔(𝛥𝑒
3,7𝐷+2,51
𝑅𝑒√𝜆)
Regim
turbulent rugos
(pătratic)
(Δ < δ l) Re >560D/Δ Prandtl -Nikuradze 1
√𝜆=2𝑙𝑜𝑔3,7𝐷
𝛥
Notații folosite:
Re = numărul Reynolds ∆ = rugozitate absolută Δe = rugozitate echivalentă
D = diametrul conductei D/∆ = netezime relativă δl = grosime strat laminar

Una dintre relațiile frecvent folosite pentru calculul coeficientului Darcy la curgeri în
regim turbulent este relația propusă de Altchul, în forma generală:

λ=0,11(Δe
D+68
Re)0,25
(7.7)

sau în forma simplificată

λ=0,11(Δe
D)0,25
(7.8)
care rezultă din relația generală (7.7) în care se poate neglija cel de al 2 -lea termen al
sumei din paranteză , dat fiind faptul că 68 << Re . În mod frecvent, pentru calcule
referitoare la regimul turbule nt de curgere în conducte , coeficientul pierderilor de
sarcină distribuite este λ = 0,02 ÷ 0,04 .

b) Pierderile de sarcină locale apar ca urmare a unor schimbări locale ale
geometriei conturului curentului (modificări bruște de secțiune, coturi etc.), când se
creează vârtejuri pentru întreținerea cărora este necesar un consum suplimentar de
energie.
În general, pierderile de sarcin ă locale depind de: viteza curentului ; geometria
obstacolului ; geometria secțiunii de curgere ; proprietățile fizice ale fluidului .
Relația generală de calcul a pierderilor de sarcină locale având forma:

𝒉𝒍=𝜁𝒗𝟐
𝟐𝒈 [m] (7.9)

unde ζ = coeficientul pierderilor de sarcină locale , v [m/s] = viteza medie a curgerii din
secțiunea imediat aval de elementul perturbator, iar g [m/s2] = accelerația
gravitațională.
În general, valorile coeficientului pierderilor de sarcină locale se stabilesc pe cale
experimentală, pentru diverse situații ; în tabelul următor sunt prezentate câteva
exemple.

Tab. 7.4 Valori uzuale pentru calcule în scop did actic (recomandări Kiselev)
Element
perturbator Coeficientul
pierderilor de
sarcină locale Element
perturbator Coeficientul
pierderilor de
sarcină locale
intrare în conductă
din rezervor ζ = 0,5 cot brusc la 90o ζ = 1,2
intrare în rezervor
din conductă ζ = 1 cot rotunjit la 90o ζ = 0,15
lărgire bruscă de
secțiune ζ = (𝜔2
𝜔1−1)2
vană fluture deschisă ζ = 0,1
îngustare bruscă de
secțiune ζ = 0,5(1−𝜔2
𝜔1)2
robinet deschis
parțial ζ = 5
difuzor ( D2 = 2D 1) ζ = 3 sorb/piesă de
aspirație ζ = 10
confuzor (D1 = 2D 2) ζ = 0,2

În instalații, la conductele cu lungimi foarte mari, pierderile prin frecare sunt
semnificativ mai mari decât pierderile locale, acestea din urmă putând fi neglijate;
conductele din această categorie se mai numesc și conducte hidraulic -lungi.
Pe de altă parte, atunci când pierderile locale sunt semnificativ mai mari decât cele
prin frecare, conductele se mai numesc și conducte hidraulic -scurte .

7.6 Calculul hidraulic al conductelor
În general, mișcarea apei în conducte (în sistemele de irigații, în cele de alimentare cu
apă etc.) are caracter nepermanent, ca urmare a variației în timp a condițiilor la limită,
respectiv a debitului sau a sarcinii hidraulice.
Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, calculele sunt simplificate , fără introducerea
unor erori sensibile , avându -se în vedere următoarele ipoteze simplificatoare :
 mișcarea apei are loc în regim permanent ;
 mișcarea este uniformă și unidimensională (parametrii mișcării pot fi
exprimați printr -o singură variabilă spațială , de ex emplu v = v(x, t) sau p =
p(x, t) );
 temperatura și vâscozitatea lichidului sunt constante în lungul curgerii .
Principalele tipuri de probleme de calcul hidraulic al conductelor se referă la:
 probleme de verificare :
 se calculează debitul Q în conductă, cunoscându -se sarcina H care trebuie
asigurată și elementele geometrice ale conductei (diametrul D, lungimea L,
rugozitatea echivalentă Δe);
 se calculează sarcina H, cunoscându -se debitul Q și elementele geometrice ale
conductei ;
 probleme de dimensionare :
 se calculează D, cunoscându -se Q, L, natura pereților conductei și cotele de
poziție .

7.6.1 Calculul hidraulic al conductelor legate în serie
Se consideră 2 tronsoane de conductă legate în serie, cu lungimi și diametre diferite,
pe traseul cărora sunt 3 rezistențe locale; conductele fac legătura între 2 rezervoare
poziționate la cote diferite (Fig. 7.1 1).
Considerându -se că regimul de curgere prin conducte este permanent, ecuația
energiei , scrisă între secțiunile corespunzătoare suprafeței libere a apei în rezervoare,
va avea forma:

a
b
cA
BH
L
1, D
1, 1
L2, D2, 2 zBzA QQ
Fig. 7.11 Conducte legate în serie

zA+pA
γ+vA2
2g=zB+pB
γ+vB2
2g+λ1L1
D1v12
2g+λ2L2
D2v22
2g+ζav12
2g+ζbv22
2g+ζcv22
2g (7.10)

unde s -a ținut cont de pierderile de sarcină distribuite corespunzătoare celor 2
tronsoane de conductă, de pie rderile de sarcină locale din secțiunile a, b și c, precum și
de faptul că:
zA și zB sunt cotele suprafeței libere a apei în fiecare rezervor, măsurate față de
un sistem de referință
vA = v B = 0 sunt vitezele în secțiunile A și B (se neglijează deoarece nivelul apei
în bazine este menținut constant)
pA = p B = p at sunt presiunile în secțiunile A și B (egale cu presiunea atmosferică)
Conform definiției debitului, rezultă că vitezele se pot calcula cu relațiile:

𝑣1=𝑄
𝜔1 și 𝑣2=𝑄
𝜔2 (7.11)

Prin urmare, sarcina hidraulică disponibilă între cele 2 rezervoare este:

H= zA – zB = λ1L1
D1𝑄2
2g.ω12+λ2L2
D2𝑄2
2g.ω22+ζa𝑄2
2g.ω12+ζb𝑄2
2g.ω22+ζc𝑄2
2g.ω22 (7.12)

H= zA – zB =𝑄2
2g(λ1L1
D11
ω12+λ2L2
D21
ω22+ζa1
ω12+ζb1
ω22+ζc1
ω22) (7.13)

În figura următoare se evidențiază grafic faptul că suma pierderilor de sarcină, locale
și distribuite, este egală cu sarcina totală .
De asemenea, se pot observa linia energetică (din cauza pierderilor de sarcină această
linie nu este orizontală) și linia piezometrică , care pe fiecare tronson de conductă este
mai coborâtă decât linia energetică cu mărimea segmentului corespunzător v2/2g.
a
b
cA
BHL
1, D
1, 1
L2, D2, 2 zBzAhla
hlbhlchd1
hd2v12/2g
v22/2glinia enegetica
linia piezometrica

Fig. 7.1 2 Liniile energetică și piezometrică, în cazul a două conducte înseriate

Relația (7.13) mai poate fi scrisă sub forma

H= 𝑴.Q2 (7.14)

care se mai numește caracteristica sistemului hidraulic , unde M reprezintă modul de
rezistență . Astfel, rezultă că m odulul de rezistență are 2 componente:
 una care însumează efectul pierderilor de sarcină distribuite, care se numește
modul de rezistență distribuită (M d):

𝑀𝑑 =1
2g(λ1L1
D11
ω12+λ2L2
D21
ω22) (7.15)

 una care însumează efectul pierderilor de sarcină locale, care se numește
modul de rezistență locală (M l):

Ml =1
2g(ζa
ω12+ζb
ω22+ζc
ω22) (7.16)

Prin urmare, forma generală a relației de calcul pentru modulul de rezistență este:

M =1
2g(∑ λiLi
Di1
ωi2𝒏
𝒊=𝟏 +∑ζj
ωj2𝒎
𝒋=𝟏)=𝑴𝒅+𝑴𝒍 (7.17)

iar sarcina hidraulică se poate scrie sub forma:

H = M.Q2= (Md+Ml)Q2 (7.18)

Deci, un sistem hidraulic alcătuit din conducte montate în serie se calculează ca o
conductă simplă al cărei modul de rezistență este egal cu suma modulelor de
rezistență ale tronsoanelor care o compun.
Pentru conductele hidraulic lungi, la care pierderile de sarcină locale sunt mici în
raport cu pierderile distribuite ( hl << h d) și pot fi neglija te, este util să se evalueze
eroarea de calcul astfel introdusă și să se verifice dacă această eroare este infe rioară
erorii maxime admisibile:
 eroarea pentru determinarea sarcinii hidrau lice H : eroarea introdusă la calculul
sarcinii trebuie să respecte condiția 𝜀𝐻 ≤𝜀𝐻𝑎𝑑𝑚; de obicei 𝜀𝐻𝑎𝑑𝑚≅2%.
 eroarea pentru determinarea debitului Q : eroarea introdusă la calculul debitului
trebuie să respecte condiția 𝜀𝑄 ≤𝜀𝑄𝑎𝑑𝑚; de obice i 𝜀𝑄𝑎𝑑𝑚≅10% .

7.6.2 Calculul hidraulic al conductelor legate în paralel
Se consideră un sistem de 3 conducte legate în paralel între punctele A și B ale unui
sistem hidraulic (Fig. 7.1 3).

Q QQ1
Q2
Q3H
HB=pB/γ HA=pA/γ
A Blinie piezometrică

Fig. 7.1 3 Conducte legate în paralel

Conform ecuației de continuitate, debitul de apă care intră în nodul de distribuție A
este egal cu suma debitelor care tranzitează tronsoanele montate în paralel, respectiv
este egal cu debitul ieșit prin nodul de colectare B.
Pentru oricare dintre conducte, în secțiunea A sarcina hidraulică este HA, iar în
secțiunea B sarcina este HB; prin urmare, între secțiunile A și B pierderea de sarcină
este aceeași:

H = H A – HB (7.19)

Aplicând ecuația energiei pe traseul fiecărei conducte, între punctele A și B, rezultă
diferențe de sarcină egale :

H = H1 = H2 = H3 (7.20)

H = M 1.Q12 = M 2.Q22 = M 3.Q32 (7.21)

ceea ce înseamnă că debitul fiecărei conducte se poate scrie sub forma :

Q1=√H
M1; Q2=√H
M2; 𝑄3=√H
M3 (7.22)

unde cu M s-a notat modulul de rezistență al fiecărei conducte.
Pe de altă parte, din ecuația con servării masei rezultă:

Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 (7.23)

Așadar, după efectuarea înlocuirilor, se obține:

Q
√H=1
√M1+1
√M2+1
√M3 (7.24)

Folosind relația de mai sus și cunoscând debitul total Q, se poate calcula sarcina H, iar
apoi pot fi determinate debitele fiecărei conducte.
Cu alte cuvinte, conductele legate în paralel pot fi înlocuite cu o conductă echivalentă
care transportă debitul Q și are modulul de rezistență echivalent dat de expresia:

1
√Me=1
√M1+1
√M2+1
√M3 (7.25)

respectiv:

Q
√H=1
√Me (7.26)

H = M e.Q2 (7.27)

Calculul de mai sus se poate aplica în același mod pentru un sistem format din oricâte
conducte legate în paralel.

7.6.3 Calculul hidraulic al rețelelor de conducte ramificate
O rețea ramificată (Fig. 7.1 4) este formată din tronsoane de conductă ce se
intersectează în noduri , pe traseul acest ora fiind poziționați și consumatorii.

9
SP
1 2 3 4

8

7 6
5 Q

Q1-2Q23
Q1-8 Q8-9Q3-4
Q1-6
Q6-5 Q6-7 -q2q3q4
q5 q6 q7q8 q9

Fig. 7.1 4 Schema de calcul a unei rețele ramificate

Calculul unei astfel de rețele presupune stabilirea sarcinii totale H pe care trebuie să o
asigure stația de pompare, pornindu -se de la următoarele date cunoscute:
 presiunea de serviciu la consumator ps; în cazul rețelelor de distribuție a apei
potabile, presiunea de serviciu este acea presiune ce trebuie asigurată de
operatorul apă -canal, în punctul de branșare, astfel încât să se asigure debitul
normat de apă la consumatorul amplasat în poziția cea mai dezavantajoasă;
presiun ea maximă admisă într -o rețea de distribuție este de 50 -60 m col. apă,
fiind condiționată de limita de rezistență a instalațiilor interioare din clădiri;
 debitul fiecărui consumator qi;
 lungimea fiecărui tronson de conductă Lj;
 înălțimea de poziție cores punzătoare fiecărui consumator zi, respectiv
înălțimea de poziție a sursei z0.
Etapele de calcul sunt prezentate succint în continuare.

a) Calculul debitului pentru fiecare tronson de conductă. Conform ecuației
continuității, suma algebrică a debitelor care intră și ies dintr -un nod este nulă, iar
debitul total al stației de pompare Q0 va fi egal cu suma debitelor consumatorilor.
Pentru scrierea ecuației continuității în noduri se pornește din a val spre amonte ; de
exemplu:

– în nodul 9: Q8-9 = q 9
– în nodul 8: Q1-8 = Q 8-9 + q 8 = q 9 + q 8
și se continuă astfel până în nodul din extremitatea amonte a rețelei, respectiv până la
stația de pompare.
Prin urmare, dacă în rețea sunt n puncte de consum, debitul de pe primul tronson de
conductă trebuie să fie egal cu suma tuturor debitelor consumate aval de acel tronson:

𝑄0=∑𝑞𝑖𝑛
𝑖=1 (7.28)

b) Calculul diametrului pentru fiecare tronson de conductă. Cunoscându -se
debitele fiecărui trons on de conductă din rețea, se pot calcula diametrele acestora.
Cu cât diametrul conductei este mai mare, cu atât cresc cheltuielile cu investiția și scad
cele cu exploatarea (ca urmare a scăderii pierderilor de sarcină, respectiv a scăderii
consumului de e nergie pentru pompare).
La diametre mici, investițiile presupun cheltuieli mai mici (Ci), în timp ce cheltuielile
de exploatare (Ce) cresc ; la diametre mari, cheltuielile cu investiția cresc, în timp ce
cheltuielile de exploatare scad.
Prin urmare, este necesară alegerea unui diametru pentru care se fac cheltuieli minime.
Cu alte cuvinte, diametrul unei conducte se alege în baza criteriului tehnic -economic,
conform căruia suma cheltuielilor de exploatare și a celor de investiție trebuie să fie
minimă (Fig . 7.15), iar acest diametru se numește diametru economic .
Practica a dovedit că, în general, diametrului economic al unei conducte îi corespunde
o viteză economică de transport (vec = 0,7 ÷ 1,5 m/s ). Prin urmare, pentru fiecare
tronson de conductă se alege o viteză economică din intervalul amintit, pentru care se
calculează diametrul economic cu relația:

𝐷𝑒𝑐=√4𝑄
𝜋𝑣𝑒𝑐 (7.29)

DiametruCheltuieli
DecCmin
CeCiCe + Ci
Fig. 7.1 5 Diametrul economic al unei conducte

Față de diametrul economic al unei conducte rezultat din calculul de dimensionare de
mai sus, se alege un diametru efectiv (Def) din gama standardizată a fiecărui
producător; apoi, viteza medie de curgere în conductă de recalculează în mod
corespunzător.

c) Calculul pierderilor de sarcină pentru fiecare tronson de conductă. În general,
se poate adopta regula conform căreia tronsoanele rețelei ramificate sunt conducte
hidraulic lungi (pentru care p ierderile locale de sarcină se pot neglija), iar pierderile de
sarcină prin frecare se calculează cu una din relațiile de mai jos:

ℎ𝑑=𝜆𝐿
𝐷𝑣2
2𝑔 (7.30)

sau

ℎ𝑑=𝑀.Q2 (7.31)

d) Calculul sarcinii totale . Se aplică ecuația energiei între secțiunea pompei (sau
secțiunea corespunzătoare rezervorului de alimentare, după caz) și punctele terminale
ale rețelei. Sarcina totală a stației de pompare va trebui să fi cel puțin egală cu cea mai
mare sarcină piezometri că calculată pentru consumatori.
Pentru ca în toate punctele de consum din rețea să fie asigurată cel puțin presiunea de
serviciu, sarcina pompei p0/γ, respectiv cota apei în rezervorul de alimentare, trebuie
să acopere valoarea maximă a pierderilor de sa rcină calculate pe traseele de curgere
ale rețelei.

Prin urmare, se calculează sarcina corespunzătoare fiecărui consumator de la
extremitățile rețelei, în acest fel asigurându -se și presiunea necesară consumatorilor
intermediari:

𝐻0−𝑖=(𝑧𝑖−𝑧0)+𝑝𝑠
𝛾+ℎ𝑡 0−𝑖 (7.32)

unde pierderile de sarcină ( ht) se consideră a fi predominant prin frecare (distribuite).
Sarcina hidraulică totală (H0) va fi egală cu cea mai mare valoare dintre sarcinile
calculate pe fiecare traseu.

7.6.4 Calculul hidraulic al conductelor cu consum uniform distribuit
Dacă numărul consumatorilor de -a lungul unei conducte cu diametru constant este
mare, aceștia fiind dispuși la distanțe mici, iar debitele consumate sunt aproximativ
egale, se poate accepta că debitul total consumat este uniform distribuit; cu alte
cuvinte, fiecărui consumator îi revine un debit specific

q = Q/L [m3/s.m] (7.33)

unde Q este debitul conductei, iar L este lungimea acesteia.
Un astfel de exemplu îl constituie aripa de aspersiune pe care sunt n+1 aspersoare, ce
împart lungimea aripii în n tronsoane. Pierderile de sarcină totale, pe întreaga aripă,
rezultă din însumarea pierderilor corespunzătoare fiecărui tronson, modulele de
rezistență M fiind egale. Prin urmare, diferența de sarcină între primul și ultimul
aspersor trebuie să acopere (să fie egală cu) pierd erile de sarcină totale pe aripă.
Linia piezometrică pentru conducta cu distribuție uniformă de debit este o curbă cu
conc avitatea în sus, datorită faptului că debitul descrește în lungul conductei.
Lungimea aripii de udare nu poate fi oricât de mare fără să fie afectată uniformitatea
udării; în practică, aripile de udare sunt realizate din tronsoane de 6 m lungime, cu
diamet re de 76 mm, 89 mm sau 101 mm, lungimile uzuale ale aripii fiind de 252 m,
306 m sau 396 m.

7.6.5 Calculul hidraulic al rețelelor inelare
Din punct de vedere hidraulic, rețelele inelare sunt rețele la care nu se cunoaște de la
început sensul debitelor pe artere/tronsoane; cu alte cuvinte, nu se cunoaște care dintre
cele două noduri care mărginesc artera este nod de intrare și care este nod d e ieșire,
pentru a putea fi scrisă corespunzător ecuația energiei.
În general, pentru calculul rețelelor inelare de conducte trebuie să fie respectate

concomitent următoarele condiții hidraulice:
– la fiecare nod: ΣQ i = 0, adică suma debitelor intrate într -un nod este egală cu
suma debitelor ieșite din acesta;
– la fiecare inel: Σht = 0 sau Σ(MQ2) = 0 , adică suma pierderilor de sarcină în
porțiunile unde apa curge în sens orar este egală cu suma pierderilor de sarcină
din porțiunile în care apa curge în sens invers.
Una dintre metodele des utilizate pentru calculul rețelelor inelare este metoda
aproximațiilor succesive, care presupune parcurgerea următorilor pași (vezi notațiile
din Fig. 7.1 6):
1
2
5 41
2
543
6Q1
Q2
Q5Q4Q1-4L1-2
Q2-5Q4-5Q1-2
L2-5
L4-5L1-4

Fig. 7.1 6 Schema unei rețele inelare de conducte

– pentru fiecare inel se alege un sens arbitrar pentru circulația debitelor pe
laturi;
– se estimează debitele pe fiecare latură/tronson de conductă Q1-2, Q 2-5, Q 4-5,
Q1-4;
– se aleg vitezele medii economice pentru fiecare latură ( v1-2, v2-5, v4-5, v1-4) și se
calculează diametrele, reținându -se valori standardizate ale acestora, după care
se recalculează vitezele medii;
– se calculează suma pierderil or de sarcină distribuite în inel ( ht = h 1-2 + h 2-5 –
h4-5 – h1-4), ținându -se cont de sensul de curgere ales inițial; se constată că ht ≠
0, pentru că debitele s -au ales arbitrar;
– se fac corecții ale sensurilor de curgere și calculul se reia pentru debitele
corectate, continuându -se până când se obține ht = 0.
Deși, cel puțin aparent, calculul rețelelor inelare este mai laborios, au fost puse la
punct programe de calcul eficiente, iar aceste rețele sunt larg folosite în practică
datorită fiabilității în exploatare. Astfel, dacă se produce o avarie pe una dintre arterele
rețelei inelare, pentru remedierea căreia este necesară întreruperea circulației lichidului
pe o arteră, consumatorii din nodurile adiacente arterei avariate pot fi în continuare
alimentați cu lichid provenit din celelalte artere care alimentează nodurile respective
(chiar dacă această alimentare se efectuează la parametri relativ diferiți de cei

corespunzători funcționării normale). În cazul rețelelor ramificate, o astfel de avarie
produsă pe una dintre artere, duce la oprirea alimentării consumat orilor aflați în
nodurile din aval.

7.6.6 Calculul hidraulic al conductelor instalațiilor de pompare
Un exemplu de instalație de pompare ce asigură transportul unui debit Q de la o cotă
energetică mai mică la una superioară este prezentat schematic în Fig. 7 .17.

Fig. 7.1 7 Schema unei instalații de pompare

Instalația este formată din:
– bazin de aspirație (b.a.) ;
– conductă de aspirație (între bazinul de aspirație și pompă), care poate fi
considerată conductă scurtă din punct de vedere hidraulic ;
– agregat de pompare;
– conductă de refulare (între pompă și bazinul de refulare), care poate fi
considerată conductă lungă din punct de vedere hidraulic ;
– bazin de refulare (b.r.).
De asemenea, conductele de aspirație și de refulare sunt prevăzute cu:
– dispozitive de închidere și de reglare a debitului: vane /robinete ;
Hg
Hgr
Hga
ha
Ha
Hr
H
Dr; Lr
Da; La
hr
b.r.
b.a.
1
2
3
4
za
zp
zr

– dispozitive contra curgerii inverse prin agregatul de pompare: clapete
– fitinguri și armături diverse: sorb (piesă de aspirație), confuzoare, difuzoare,
coturi, ramificații, supape etc.
În schema din Fig. 7.1 7 s-au folosit următoarele notații:
za – cota apei în bazinul de aspirație
zr – cota apei în bazinul de refulare cote sau înălțimi geodezice
zp – cota axului pompei
Hg a = z p – za – înălțimea geodezică pe aspirație
Hg r = z r – zp – înălțimea geodezică pe refulare
Hg = Hg a + Hg r – înălțimea geodezică totală (Hg = z r – za).

Se pune problema calculării înălțimii de pompare totale pe care trebuie să o asigure
instalația , pentru care se parcurg următoarele etape.
 Se scrie ecuația energiei între secțiunea corespunzătoare suprafeței apei în bazinul
de aspirație și secțiunea intrării în pompă:

z1+p1
γ+v12
2g=z2+p2
γ+v22
2g+ℎ𝑡 1−2 (7.34)

Având în vedere că:
z1 ≡ z a și z2 ≡ z p
p1 = p at și p2 ≠ p 1
v1 << v 2, deci v1 ≈ 0
v2 ≡ v a, unde va este viteza medie a apei în conducta de aspirație,
rezultă că ecuația (7.34) poate fi scrisă sub forma :

za+p𝑎𝑡
γ=zp+p2
γ+v𝑎2
2g+λ𝑎𝐿𝑎
𝐷𝑎𝑣𝑎2
2g+∑ ζ𝑖𝑛
𝑖=1𝑣𝑎2
2g (7.35)

respectiv

𝑝𝑎𝑡−𝑝2
𝛾=(𝑧𝑝−𝑧𝑎)+ℎ𝑎 (7.36)

unde s -a notat cu ha – pierderea de sarcină pe circuitul de aspirație:

ha=(1+λ𝑎𝐿𝑎
𝐷𝑎+∑ ζ𝑖𝑛
𝑖=1)𝑣𝑎2
2g=(1+λ𝑎𝐿𝑎
𝐷𝑎+∑ ζ𝑖𝑛
𝑖=1)𝑄2
2g.𝜔𝑎2 (7.37)

Deci:

𝑝𝑎𝑡−𝑝2
𝛾=𝐻𝑔𝑎+ℎ𝑎 (7.38)

sau

Ha = Hg a + h a înălțimea de aspirație (sarcina care se realizează la intrarea în
pompă).

De observat că

p2 < p at (7.39)

ceea ce înseamnă că presiunea la intrarea în pompă este o presiune vacuumetrică.
 Se scrie ecuația energiei între secțiunile 3 și 4, corespunzătoare ieșirii din pompă,
respectiv suprafeței apei în bazinul de refulare:

z3+p3
γ+v32
2g=z4+p4
γ+v42
2g+ℎ𝑡 3−4 (7.40)

Având în vedere că:
z3 ≡ z p și z4 ≡ z r
p4 = p at și p3 ≠ p 4
v4 << v r, deci v4 ≈ 0
v2 ≡ v a, adică viteza medie de curgere în conducta de aspirație
v3 ≡ v r, unde vr este viteza medie a apei în conducta de refulare,
rezultă că ecuația anterioară poate fi scrisă sub forma:

zp+p3
γ=zr+pat
γ+(λ𝑟𝐿𝑟
𝐷𝑟+∑ ζ𝑗𝑚
𝑗=1−1)𝑣𝑟2
2g (7.41)

𝑝3−𝑝𝑎𝑡
𝛾=(𝑧𝑟−𝑧𝑝)+ℎ𝑟 (7.42)

unde s -a notat cu hr – pierderea de sarcină pe circuitul de refulare și, ținând cont de
ecuația continuității, este dată de relația:

hr=(1+λ𝑟𝐿𝑟
𝐷𝑟+∑ ζ𝑗𝑚
𝑗=1)𝑣𝑟2
2g=(1+λ𝑟𝐿𝑟
𝐷𝑟+∑ ζ𝑗𝑚
𝑗=1)𝑄2
2g.𝜔𝑟2 (7.43)

Deci:

𝑝3−𝑝𝑎𝑡
𝛾=𝐻𝑔𝑟+ℎ𝑟 sau (7.44)

Hr = Hg r + h r (7.45)

care se numește înălțime de refulare . Se poate observa că

p3 > p at (7.46)

deci presiunea la ieșirea din pompă este o presiune manometrică . Prin urmare,
înălțimea totală de pompare are forma :

H = H a + H r (7.47)

Înlocuind mărimile care intervin în relați a de mai sus rezultă că:

H = Hg a + h a + Hg r + h r = Hg + h t (7.48)

unde:
Hg = Hg a + Hg r înălțimea geodezică de pompare
ht = h a + h r pierderile de sarcină totale pe circuitele de aspirație
și de refulare

Prin urmare, relația de calcul a înălțimii de pompare sau a sarcinii totale este:

H = Hg + M.Q2 (7.49)

și reprezintă energia hidraulică totală necesară pompării apei din bazinul de aspirație
în bazinul de refulare; reprezentarea grafică a acestei relații se numește caracteristica
conductei și are forma unei parabole cu vâr ful în punctul de coordonate (0, Hg) ; se
observă că dacă Q = 0 , rezultă că H = Hg.
La intersecția caracteristicii conductei cu cea a pompei, Hp = f(Q) , se găsește punctul
de funcționare a pompei (Fig. 7.1 8).
Punctul de funcționare F trebuie să se situeze în zona pentru care randamentul de
pompare η este maxim, iar puterea pompei este dată de relația:

𝑃= 𝛾.𝑄.𝐻
𝜂 [kW] (7.50)

Din relația anterioară se observă că la randament mare scade puterea, respectiv scade
energia electrică consumată și implicit costurile aferente.
H

H = Hg + M .Q2
H0 F

Hp = f(Q)
Hg η = f(Q)

Q0 Q
Fig. 7.1 8 Punctul de funcționare al agregatului de pompare

Este important ca pierderile totale în instalațiile de pompare să fie cât mai mici,
asigurându -se astfel atât scăderea consumului energetic pentru pompare, precum și
funcționarea pompei la o înălțime geodezică mai mare.
În mo d deosebit trebuie avut în vedere faptul că, la orice creștere a pier derilor de
sarcină pe circuitul de aspirație al unei pompe trebuie să se reducă corespunzător

înălțimea geodezică de aspirație ( Hg a). Din acest motiv, lungimea conductei de
aspirație trebuie să fie cât mai scurtă, diametrul ales să asigure o viteză de curgere care
sa nu depășească 1 ÷ 1,5 m/s, iar armăturile existente (piesă de aspirație, coturi) să
introduc ă pierderi locale de sarcin ă cât mai mici.
În anumite situații, funcționarea pompei la sarcină redusă poate favoriza apariția
fenomenului de cavitație . Apariția acestui fenomen este cauzată de creșterea debitului
pompat, respectiv a pierderilor de sarcină pe circui tul de aspirație și este însoțit de
erodarea rotorului pomp ei, zgomote și vibrații caracteristice ; din acest motiv, pentru
pompele centrifuge se poate admite o valoare maximă a lui Hg a de 6 ÷ 7 m.

Observați i:
 Viteza maximă admisă în rețelele de alimentare cu apă este de 3 m/s.
 Din considerente economice, v iteza apei în conducta de aspirație a unei instalații de
pompare este va = 1 ÷ 1,5 m/s, în timp ce în conducta de refulare v r = 2 ÷ 3 m/s .
 Viteza minimă admisă a apei în conducte orizontale de canalizare este de 0,7 m/s
pentru conducte închise și 0,5 m/s pentru canale deschise și rigole .
 Viteza maximă admisă a apei în conducte orizontale de canalizare este de 4 m/s
pentru conducte metalice, din PVC, ceramice și din beton armat , respectiv de 3 m/s
pentru c onducte din beton simplu și azbociment .

8. Mișcarea nepermanentă în conducte sub presiune

8.1 Generalități
Ca urmare a variației în timp a condițiilor la limită, mișcarea fluidelor în conducte sub
presiune este, de multe ori , o mișcare nepermanentă. Prin urmare, dimensionarea
conductelor instalațiilor trebuie făcută astfel încât acestea să reziste și în astfel de
situații, adică în condițiile de funcționare cele mai dificile.
Mișcarea nepermanentă a apei în conducte poate fi:
 mișcare lent varia tă, la care variația mărimilor caracteristice ale mișcării este
lentă și nu este însoțită de comprimarea apei în conductă (mișcarea este o
mișcare ondulatorie); poate să apară la deschiderea unei vane situate pe o
conductă de alimentare dintr -un rezervor;
 mișcare rapid varia tă cunoscută și sub denumirea de lovitură de berbec sau
șoc hidraulic , la c are variația mărimilor caracteristice ale mișcării este bruscă,
violentă, și este însoțită de comprimarea apei în conductă și de deformarea
pereților acesteia (mișcarea este o mișcarea oscilatorie); poate să apară la
închiderea bruscă a unei vane, la între ruperea neașteptată a alimentării cu
energie electrică etc.
Regimul nepermanent de mișcare a fluidelor apare ori de câte ori se schimbă regimul
de mișcare, adică ori de câte ori au loc modificări ale condițiilor la limită ale curgerii,
cum ar fi:
– închide rea sau deschiderea bruscă a unei vane;
– oprirea sau pornirea pompelor ș.a.
Regimul nepermanent poate introduce solicitări importante ale sistemului; în astfel de
situații pot apărea suprapresiuni care să întreacă de câteva ori sau zeci de ori presiunea
de regim, precum și depresiuni importante, în ambele cazuri putându -se ajunge la
distrugerea instalației dacă nu se iau măsuri de protecție .
Proprietatea lichidelor care este determinantă în desfășurarea fenomenelor de mișcare
nepermanentă este compresib ilitatea , respectiv proprietatea unui fluid de a -și modifica
volumul la variații ale presiunii conform relației:

𝛽 =−1
𝑉𝑑𝑉
𝑑𝑝 (8.1)

în care s -a notat cu β coeficientul de compresibilitate; de reținut variaț ia invers
proporțională a volumului în raport cu presiunea.
De asemenea, curgerea nepermanentă a fluidelor este influențată și de elasticitatea
pereților conductei și cea a fluidului în mișcare .
Fenomenul lovitura de berbec constă în apariția unei suprapresiuni, alternativ pozitivă
și negativă, care se adaugă presiunii din mișcarea de regim permanent (Fig. 8.1).

Fig. 8.1 Variația presiunii în conductă în timpul loviturii de berbec

La închiderea bruscă a vanei, dacă lichidul ar fi incompresibil și pereții conductei ar fi
rigizi, întreaga masa de lichid s -ar opri brusc.
În realitate, ca urmare a c ompresibilității apei, față de presiunea din regimul
permanent ( p0) se creează o suprapresiune ce se transmite sub forma unei unde în
direcția amonte ( undă directă ), astfel încât la rezervor curgerea va avea loc dinspre
conductă spre acesta; după un timp, suprapresiunea se transmite spre aval, sub forma
unei unde reflectate . Această mișcare de „du -te – vino” a undelor continuă o perioadă
de timp, cu scăderea treptată a amplitudinii fenomenului ca urmare a manife stării
frecărilor de pereții conductei, afectând integritatea pompei, a armăturilor de pe
conductă, a pereților conductei ș.a.
În general, fenomenul este însoțit de zgomote puternice și de vibrații importante, fiind
cu atât mai violent cu cât conducta e ste mai lungă și cu cât variația caracteristicilor
curgerii este mai rapidă.

8.2 Aspecte privind calculul hidraulic al conductelor la lovitur a de berbec
Calculul hidraulic al conductelor în situația apariției loviturii de berbec presupune
rezolvarea următoarelor probleme:
 calculul vitezei de propagare ( celeritate a) a undei de suprapresiune presupune
utilizarea relației:

𝑐 =𝑐0
√1+𝜀.𝐷
𝐸.𝛿=1425
√1+𝜀.𝐷
𝐸.𝛿 (8.2)
t
p
p0
+
+
+
–
–
Δp
-Δp
h0
vană
Q, p 0
L
undă directă
undă reflectată

unde ε și E sunt elasticitățile fluidului și pereților, iar δ este grosimea peretelui
conductei cu diametrul D;
– viteza maximă de propagare a undelor în apa din conductele metalice cu
pereți rigizi este c0 = 1425 m/s ; – viteza de propag are a undelor în apa din
conductele metalice cu pereți deformabili este c0 ≈ 1000 ÷ 1300 m/s.
 calculul suprapresiunii/subpresiunii maxime care se dezvoltă în timpul
fenomenului se face utilizân d relația conform căreia valoar ea maximă a lui Δp
variază direct proporțional cu celeritatea:

Δp = ±ρ.c. v0 (8.3)

unde ρ este masa specifică a fluidului, c este celeritatea, iar v 0 este viteza apei
în secțiunea vanei înainte de închiderea acesteia ; relația anterioară se mai
numește și relația lui Jukovski4
 fenomenul lovitura de berbec poate fi descris cu ajutorul unui sistem de
ecuații format din ecuația de continuitate și ecuația energiei; având în vedere
variabilitatea în timp și spațiu a mărimil or caracteristice ale mișcării rapid
variabile, cele două ecuații nu pot fi rezolvate analitic, integrarea acestora
făcându -se în baza unor ipoteze simplificatoare, rezolvarea numerică a
sistemului fiind posibilă numai cu programe speciale de calcul numeri c.
Rezolvarea problemelor de mai sus are drept scop final alegerea metodei/metodelor
adecvate pentru a limita efectele producerii loviturii de berbec.
Dacă se are în vedere, de exemplu, că pentru o conductă metalică, cu lungimea de 300
m, diametrul de 200 mm și grosimea pereților de 5 mm, lovitura de berbec se
manifestă cu o celeritate de 1200 m/s și o suprapresiune de 5 at, se poate aprecia că,
pentru a rezista acestei suprapresiuni, pereții conductei ar trebui să fie mult mai groși;
însă supradimensionarea conductei ar dăuna funcționalității acesteia și ar mări
considerabil și ineficient costurile de investiție și de exploatare.
În practică, calculele hidraulice privind mișcarea nepermanentă a apei în conducte sub
presiune se fac folosind metode exacte de calcul bazate pe modelul fluidului
compresibil, care presupun folosirea diferențelor finite. Programele de calcul
electronic utilizate trebu ie să fie validate fie prin prestigiul firmei care le -a conceput
și/sau comercializat, fie prin semnătura unui hidraulician recunoscut; corectitudinea
rezultatelor obținute depinde de pregătirea datelor de intrare, de ipotezele de calcul
considerate, precu m și de execuția (rularea) programului de calcul respectiv.
Principalele mijloace de limitare a efectelor loviturii de berbec sunt următoarele:

4 Nikolai Egorovici Jukovski (1847 -1921) a fost un matematician și fizician rus, unul dintre
fondatorii aerodina micii și hidrodinamicii moderne, fiind considera t părintele aviației ruse.
Este primul om de știință care a făcut studii privind fluxul curentul ui de fluid în jurul unui
solid, enunțând prima teorie a profilelor aerodinamice.

 limitarea pe cât posibil a lungimii conductei pe care există riscul producerii
loviturii de berbec (când este fezabilă);
 folosirea în instalații a unor conducte adecvate din punct de vedere al
rezistenței la presiunile create de lovitura de berbec;
 folosirea unor mijloace/dispozitive de protecție, care să permită preluarea
suprapresiunilo r din conductă sau stingerea acestora în timp:
– castel de echilibru, în general cu nivel liber, care se comportă ca un
tub piezometric cu secțiune mare , acționând ca un rezervor tampon care
suplinește deficitul din conducta protejată atunci când presiunea scade și preia
surplusul de apă din conductă atunci când presiunea crește ;
– rezervor cu pernă de aer; când presiunea în conducta protejată scade,
apa curge din hidrofor în conductă, fiind împinsă de către presiunea aerului
care scade odată cu coborârea nive lului apei din hidrofor ; atunci când
presiunea în conductă crește, apa curge din conductă în hidrofor, iar presiunea
din perna de aer crește; castelele și rezervoarele cu pernă de aer transformă
mișcarea rapid variabilă într -una lent varia tă, iar dimension area acestor
echipamente se face astfel încât supra – și subpresiunile să fie menținute în
limite considerate ca admisibile;
– ventil de aer, care este un dispozitiv ce permite introducerea de aer în
conductă imediat ce presiunea devine negativă . Ventilul de aer este un
dispozitiv extrem de ieftin în raport cu hidroforul sau castelul ; principalul său
dezavantaj îl constituie faptul că protecția pentru reducerea vacuumului e
realizată doar pe o lungime redusă de conductă , și anume în imediata
vecinătate a punctului unde se instalează ventilul;
– supape de suprapresiune (supape NEYRPIC) și de subpresiune (de
vacuum); funcționează pe același principiu ca și ventilul de aer, cu mențiunea
că presiunea de acționare poate fi reglată în prealabil ;
 folosirea unor van e cu închidere programată pe conductele de refulare ale
stațiilor de pompare ;
 folosirea unei conducte de ocolire , numită conductă de by -pass, care ocolește
clapet a de reținere de pe conducta de refulare a fiecărei pompe (Fig. 8.2) .

Fig. 8.2 Conducta de ocolire (by -pass)
Clapeta de reținere împiedică curgerea inversă a apei (dinspre bazinul de refulare către
pompă); la oprirea accidentală a pompei și inversarea curgerii, clapeta de reținere se

închide și apa poate curge în sens invers numai prin conducta de ocolire și, ca urmare
a faptului că diametrul conductei de ocolire este redus, curgerea inversă are un debit
mic iar pompa nu va fi afectată ș.a.

9. Curgerea apei prin orificii și ajutaje

9.1 Generalități
Curgerea prin orificii și ajutaje reprezintă cazuri de curgere sub presiune (în cele mai
multe cazuri) cu caracter local, după care curgerea este una cu nivel liber.
Prin orificiu se înțelege o deschidere practicată într -un peretele unui rezervor care este
delimitată de o curbă închisă și prin care lichidul se scurge (Fig. 9.1a).
Dacă la orificiu se atașează un tub de aceeași secțiune și cu lungime egală cu de 5 –6
ori dimensiunea mare a orificiului, se obține un ajutaj (Fig. 9.1b).

Δh h2
dh11 1
2
2
Δh h2
dh11 1
2
2 33
(5-6)d

a) b)
Fig. 9.1 Orificiu (a) și ajutaj (b)

Adâncimea la care este practicat orificiul/ajutajul față de nivelul liber din rezervor se
numește sarcină (h1).
Orificiile și ajutajele pot fi clasific ate după diverse criterii, care reprezintă tot atâția
factori ce influențează condițiile de curgere, ca de exemplu:
 după mărimea secțiunii de curgere:
– orificii/ajutaje mici ;
– orificii/ajutaje mari ;
 după forma secțiunii transversale de curgere:
– cu secțiune transversală circulară ;
– cu secțiune transversală rectangulară ;
– cu secțiune transversală triunghiulară;

 după forma muchiilor secțiunii transversale de curgere:
– cu muchii ascuțite ;
– cu muchii teșite;
– cu muchii rotunjite ;
 după raportul între înălțimea din secțiunea curgerii și înălțimea aval:
– curgere neînecată ;
– curgere înecată (p2 ≠ p at);
 după sarcina amonte față de secțiunea de curgere:
– curgere sub sarcină constantă ;
– curgere sub sarcină variabilă ș.a.

9.2 Curgerea prin o rificii
La curgerea neînecată printr -un orificiu cu secțiunea ω, liniile de curent de la peretele
rezervorului nu pot ocoli brusc muchiile practicate în perete și, prin urmare, vâna de
lichid are o contracție laterală, secțiunea reală de curgere fiind:

ωc = ε. ω (9.1)

și se numește secțiune contractată , iar ε se numește coeficient de contracție al
orificiului și are valoarea ε = 0,62 ÷ 0,64 .
 În cazul curgerii neînecate (Fig. 9.2), pentru calculul debitului ce poate fi
descărcat printr -un astfel de orificiu se pornește prin scrierea ecuației energiei între
secțiunea 1-1 (nivelul liber al apei în rezervor) și secțiunea 2-2 (secțiunea de ieșire a
apei prin orificiu sau secțiunea contractată):

z1
2 1
h
z2 1
2
SR

Fig. 9.2 Schema de calcul pentru curgerea prin orificiu neînecat

𝑧1+𝑝1
𝛾+𝑣12
2𝑔=𝑧2+𝑝2
𝛾+𝑣22
2𝑔+ℎ𝑡 1−2 (9.2)

În ecuația energiei de mai sus se ține cont de faptul că: p1 = p 2 = p at, h = z 1 – z2
(sarcina orificiului ), iar v1 << v 2; prin urmare, se poate considera că v1 ≈ 0, iar relația
anterioară devine:

ℎ=(1+𝜁)𝑣22
2𝑔 (9.3)

în care ζ este coeficientul pierderilor de sarcină locale (îngustare de secțiune). Deci,
viteza medie a apei în secțiunea orificiului va fi:

𝑣2=√2𝑔ℎ
1+𝜁=𝜑√2𝑔ℎ (9.4)

unde s -a notat cu 𝜑=1
√1+𝜁 coeficientul de viteză al orificiului , iar φ = 0,96 ÷ 0,98.
Prin urmare, debitul ce curge prin orificiu rezultă din relația:

𝑄=𝜔2.𝑣2=𝜀.𝜔.𝜑√2𝑔.ℎ (9.5)

sau

𝑸=𝝁.𝝎√𝟐𝒈.𝒉 (9.6)

unde s -a notat cu µ = ε.φ coeficientul de debit al orificiului , iar µ = 0,60 ÷ 0,63
pentru orificii circulare .

 În cazul curgerii înecate, la care p2 ≠ p at, viteza curgerii prin orificiu va depinde de
diferența Δh = h 1 – h2 care reprezintă diferența dintre sarcina amonte și cea aval de
orificiu (Fig. 9.1 .a); relația de calcul al debitului va fi :

𝑸=𝝁.𝝎√𝟐𝒈.∆𝒉 (9.7)

în care:
µ = ε. φ – coeficientul de debit , iar
𝜑=1
√1+𝜁 – coeficientul de viteză al orificiului .
Deoarece la curgerea înecată contracția în secțiunea orificiului este mai mică,
coeficientul de debit al orificiului înecat este cu 2÷3 % mai mic decât cel
corespunzător orificiului cu funcționare neînecată.

9.3 Curgerea pe sub stavile
Curgerea pe sub stavile constituie un caz particular al curgerii pr in orificii. Stavila este
o construcție mobilă sau parte mobilă a unei construcții, manevrată manual sau
mecanic, servind pentru a regla nivelul ape i într -o anumită secțiune, pentru a îndrepta
spre altă direcție cursul unei ape în albii prismatice ș.a.
Deschiderea unei stavile poate fi asimilată cu un orificiu mare, cu funcționare
neînecată (Fig. 9.3.a) sau înecată (Fig. 9.3.b). Se consideră că stavila este neînecată
dacă nivelul apei în bieful aval se găsește sub muchia superioară a orificiului.

hcaH
hcaH
hav

a) b)
Fig. 9.3 Schema de calcul a curgerii pe sub stavile

În cazul funcționării neînecate, viteza în secțiunea contractată este egală cu :

𝑣=𝜑√2𝑔(𝐻−ℎ𝑐) (9.8)

iar pentru calculul debitului se ține cont de faptul că secțiunea de curgere este afectată
de contracția secțiunii de curgere:

Q = ω.v = (h c.b)v = (ε.a.b) v (9.9)

Q=𝜺.𝒂.𝒃.𝝋√𝟐𝒈(𝑯−𝒉𝒄)=𝝁.𝒂.𝒃√𝟐𝒈(𝑯−𝒉𝒄) (9.10)

unde notațiile au următoarea semnificație :
hc = ε.a – adâncimea apei în secțiunea contractată, iar ε – coeficient de contracție
φ – coeficientul de viteză, care ia în calcul influența pierderilor locale
a – deschiderea stavilei
b – lățimea secțiunii de curgere.
Atunci când curgerea pe sub stavilă este înecată (Fig. 9.2.b), debitul se calculează cu
relația:

𝑸=𝝁.𝒂.𝒃√𝟐𝒈(𝑯−𝒉𝒂𝒗) (9.11)

în care hav este adâncimea apei în secțiunea din aval de stavilă.

9.4 Curgerea prin ajutaje
Din cauza lungimii ajutajului suficient de mare, după secțiunea contractată de ieșire,
vâna de lichid se lipește (revine aproape) de pereții ajutajului. Pentru calculul debi tului
unui ajutaj ca cel prezentat în figura următoare, se aplică ecuația energiei între
secțiunea 1-1 (nivelul liber al rezervorului) și secțiunea 3-3 (la ieșirea din ajutaj).

z1
2 1
h
z2 1
2
SR3
3
z3

Fig. 9.4 Schema de calcul pentru curgerea prin ajutaj neînecat

Deci:

𝑧1+𝑝1
𝛾+𝑣12
2𝑔=𝑧3+𝑝3
𝛾+𝑣32
2𝑔+ℎ𝑡 1−3 (9.12)
în care se ține cont de faptul că: p1 = p 3= p at, h = z 1 – z3, iar v1 << v 3, respectiv v1 ≈ 0.

Prin urmare, rezultă:

ℎ=𝑣32
2𝑔+ℎ𝑡 1−3 (9.13)

Pierderea de sarcină între secțiunile 1-1 și 3-3 este formată din:
– pierderea de sarcină locală la intrarea în ajutaj: ζ’.v 22/2g
– pierderea de sarcină locală la ieșirea din secțiunea contractată 2-2: ζ".v32/2g
– pierderea de sarcină distribuită pe lungimea ajutajului: 𝜆𝑙
𝑑𝑣32
2𝑔

Înlocuind în ecuația energiei, rezultă că:

ℎ=𝑣32
2𝑔+𝜁′𝑣22
2𝑔+𝜁′′𝑣32
2𝑔+𝜆𝐿
𝑑𝑣32
2𝑔 (9.14)

Deoarece secțiunea contractată este ω2 = ε.ω 3, din egalitatea Q2 = Q 3 (conform
ecuației de continuitate) rezultă că:

ω2.v2 = ω 3.v3 (9.15)

sau

ε.ω 3.v2 = ω 3.v3, (9.16)

Prin urmare:

ℎ=𝑣32
2𝑔+𝜁′𝑣22
2𝑔+𝜁′′𝑣32
2𝑔+𝜆𝐿
𝑑𝑣32
2𝑔=𝜀2.𝑣22
2𝑔+𝜁′𝑣22
2𝑔+𝜁′′𝜀2.𝑣22
2𝑔+𝜆𝐿
𝑑𝜀2.𝑣22
2𝑔=
=𝑣22
2𝑔(𝜀2+𝜁′+𝜁′′.𝜀2+𝜆𝐿
𝑑𝜀2) (9.17)

de unde rezultă:

𝑣2=√2𝑔.ℎ
√𝜀2+𝜁′+𝜁′′.𝜀2+𝜆𝐿
𝑑𝜀2=𝜑√2𝑔.ℎ (9.18)

în care s -a notat cu

𝝋=𝟏
√𝜺𝟐+𝜻′+𝜻′′.𝜺𝟐+𝝀𝑳
𝒅𝜺𝟐 (9.19)

coeficientul de viteză al ajutajului . Debitul ajutajului va rezulta din relația:

𝑄=𝜔2.𝑣2=𝜀.𝜔.𝜑√2𝑔.ℎ (9.20)

respectiv

𝑸=𝝁.𝝎√𝟐𝒈.𝒉 (9.21)

unde

µ = ε.φ (9.22)

este coeficientul de debit al ajutajului .
Pentru ajutajele de secțiune circulară µ = 0,81 ÷ 0,82 (față de 0,60 ÷ 0,63 în cazul
orificiului).
Prin urmare, ajutajul are o capacitate de descărcare cu cc a 30% mai mare decât cea a
orificiului , pentru aceeași sarcină. Această creștere de debit se explică fizic prin
crearea în secțiunea îngustată (contractată) a vânei de fluid a unei puternice depresiuni
care accelerează fluidul prin orificiu mărind debitul acestuia.
Pe baza expresiilor de calcul al debitelor efluente prin orificii și ajutaje se pot
determina, de exemplu:
– timpul de golire a unui rezervor;
– timpul necesar descărcării unui anumit debit prin golirea de fund a unui baraj;
– timpul de egalizare a nivelurilor între două rezervoare care comunică prin
orificii sau ajutaje etc.

De exemplu, pentru calculul timpului de golire a unui rezervor cu secțiune constantă ,
se consideră schema din Fig. 9.5.

Q(y) y H0 dy

Fig. 9.5 Schema de calcul a timpului de golire a unui rezervor

Inițial, orificiul de la baza rezervorului este obturat, iar în rezervor apa are adâncimea
H0. Deschizând brusc orificiul de secțiune ω, ne propunem să determinăm timpul
necesar golirii rezerv orului. Debitul care iese prin orificiu depinde de adâncimea apei,
Q(y), care scade în timp.
Din punct de vedere geometric, volumul de apă ce va curge prin orificiu se poate scrie
sub forma:

𝑑𝑉=𝐴.𝑑𝑦 (9.23)

Din punct de vedere hid raulic, același volum poate fi scris sub forma:

𝑑𝑉=𝑄(𝑦).𝑑𝑡=𝜇.𝜔√2𝑔.𝑦𝑑𝑡 (9.24)

Egalând ultimele două relații rezultă:

𝑑𝑡=𝐴.𝑑𝑦
𝜇.𝜔√2𝑔.𝑦 (9.25)

Prin integrarea relației anterioare rezultă relația de calcul al timpului de golire:

𝑡𝑔=∫𝐴.𝑑𝑦
𝜇.𝜔√2𝑔.𝑦𝐻0
0=∫𝐴
𝜇.𝜔√2𝑔𝑑𝑦
√𝑦=𝐻0
0𝐴
𝜇.𝜔√2𝑔∫𝑑𝑦
√𝑦=𝐴
𝜇.𝜔√2𝑔∫𝑦−1
2𝑑𝑦𝐻0
0𝐻0
0 (9.26)

respectiv:

𝑡𝑔=𝐴
𝜇.𝜔√2𝑔𝑦−1
2+1
−1
2+1|𝐻0
0=𝐴
𝜇.𝜔√2𝑔𝑦1
2
1
2|𝐻0
0=2𝐴
𝜇.𝜔√2𝑔√𝐻0 (9.27)

Dacă se înmulțește și se împarte relația de mai sus cu √𝐻0, rezultă:

𝑡𝑔=2𝐴.𝐻0
𝜇.𝜔√2𝑔√𝐻0=2𝑉𝑟𝑒𝑧
𝜇.𝜔√2𝑔.𝐻0=2𝑉𝑟𝑒𝑧
𝑄0=2𝑡0 (9.28)

unde Q0 – debitul inițial al orificiului, iar t0 – timpul în care se elimină din rezervor un
volum de lichid egal cu volumul rezervorului, în ipoteza că sarcina orificiului ar
rămâne H0 = const .

10. Mișcarea uniformă a curenților cu nivel liber

10.1 Generalități
Curgerea cu nivel liber se referă la curgerea lichidelor în albii, canale sau în conducte
umplute parțial și se caracterizează prin faptul că o parte din perimetrul care
delimitează secțiunea de curgere este în contac t cu atmosfera. Acest tip de curgere,
cunoscută în literatura de specialitate și drept curgere cu suprafață liberă , este
întâlnită frecvent în practică (curgerea în albiile râurilor, în canalele sistemelor de
irigații și /sau de drenaj, în sistemele de canalizare a apelor uzate și/sau a celor
pluviale , aducțiuni ), iar proiectarea acestui tip de sisteme reprezintă un domeniu
important al ingineriei.
În general, d inamica albiei râurilor este rezultatul acțiunii unui ansamblu de forțe și
factori, care se reflectă în distribuția verticală și orizontală a vitezelor, în debitel e
lichide și de aluviuni, în distribuția regimului termic în masa de apă etc.
Principalele tipuri de forțe care influențează curgerea apei în albiile râurilor sunt :
– forța gravitațional ă, care determină curgerea apei din amonte spre aval; forța
gravitațională ce acționează asupra unei picături de apă se descompune în
două componente : una paralelă cu direcția curgerii și alta perpendiculară pe
aceasta ;
– forța Coriolis , ca rezultat al influenței mișcării de rotație a Pământului , care
acționează perpendicular pe direcția de curgere a apei în râuri, determinând
abaterea ei spre dreapta în emisfera nordică și spre stânga în emisfera sudică;
de aceea, în majoritatea cazurilor, râurile din emisfera nordică au malul drept
mai înalt, asupra lui exercitându -se o eroziune mai puternică, în timp ce în
emisfera sudică se întâmplă invers;
– forța centrifugă, care se manifestă în zona meandrelor, fapt ce face ca , în
secțiune transversală, oglinda apei în partea concavă a malului să fie mai
ridicată, în timp ce malul concav este mai abrupt și este afectat de eroziune.
Atât în cazul albiilor naturale, cât și în cel al canalelor prismatice, se manife stă și forța
de frecare care se dezvoltă la peretele domeniului de mișcare , fiind rezultatul
vâscozității apei ; din acest motiv, viteza scade în apropierea fundului și a pereților
curgerii (Fig. 10.1 ).
Față de suprafața liberă, viteza maximă a curentului în secțiunea transversală se atinge
la aproximativ (0,20 – 0,25)h.

hvmed
vmax
≈0,2h
vf ≈ 0,6 vmax
Fig. 10.1 Distribuția vitezei în secțiune transversală

La canalele trapezoidale, efortul tangențial produs de frecarea apei cu suprafețele
solide nu are o distribuție uniformă pe perimetrul udat al secțiunii; efortul tangențial
maxim pe taluzuri este mai mic decât efortul tangențial maxim pe fundul canalului
(Fig. 10.2 ).

d
b/2h
τmax τmax
τmax

Fig. 10.2 Distribuția eforturilor tangențiale în canale trapezoidale

Distanța d față de fundul canalului, la care efortul tangențial este maxim, este 20 -30%
din adâncimea apei, coeficientul de reducere depinzând de lățimea la fund și de panta
taluzului.
În funcție de variabilitatea în timp a caracteristicilor curgerii, curgerea cu nivel liber
poate fi:
 permanentă , la care într -o secțiune dată a curgerii nu se produc modificări în
timp ale vitezei medii sau ale adâncimii;
 nepermanentă , la care caracteristicile curgerii dintr -o secțiune dată se
modifică în timp (de exemplu în cazul undelor de viitură).
În funcție de modul în care adâncimea curgerii variază în lungul acesteia, curgerea cu
nivel liber poate fi:
 uniformă , la care viteza și adâncimea curgerii (adâncime normală) rămân
constante; se întâlnește mai ales în cazul canalelor prismatice cu pantă
longitudinală și secțiune transversală constante;
izotahe (curbe de
egală viteză)

 neuniformă sau variată , la care neuniformitatea se manifestă în special ca
urmare a modificării semnificative a condițiilor de curgere în lungul acesteia,
ca de exemplu în cazul curgerii peste obstacole naturale sau artificiale
(deversoare, stavi le ș.a.) , al modificării bruște a traseului, al modificării bruște
a secțiunii de curgere etc. ; în funcție de cât de bruscă este modificarea, aceste
curgeri pot fi lent variate (de exemplu la modificarea lățimii secțiunii de
curgere ) sau rapid variate (de exemplu curgerea peste deverso are sau praguri,
îngustarea sau lărgirea bruscă a secțiunii ș.a. ).
În albii și canale, curgerea cu suprafață liberă este predominant turbulentă ; în zona de
contact a apei cu suprafața de curgere, curgerea poate fi laminară .
Albiile naturale se caracterizează prin variabilitatea în lungul acestora a:
– secțiunii de curgere ,
– traseului longitudinal ,
– vitezei ,
– tipului suprafeței patului și a pereților a lbiei, care influențează intensitatea
frecărilor ,
– pantei geometrice (panta fundului/talvegului) și a pantei hidraulice (panta
suprafeței apei)
și, prin urmare, relațiile de calcul nu sunt foarte simple. În schimb, pentru albiile
prismatice (canale), în car e se poate considera că are loc o curgere unidimensională și
uniformă, relațiile de calcul sunt semnificativ mai simple iar rezultatele sunt suficient
de relevante.
Aspectele ce urmează a fi tratate în continuare, privind mișcarea permanentă cu nivel
liber a apei, au la bază următoarele ipoteze simplificatoare :
 deși toate fluidele sunt compresibile, chiar și apa, la mișcarea permanentă cu
nivel liber se consideră că fluidul de lucru (apa) este incompresibil și omogen ;
 deși, în cele mai multe cazuri, curgerea fluidelor este tridimensională (viteza și
celela lte caracteristici ale mișcării variază în toate direcțiile), în majoritatea
cazurilor, cele mai multe modificări se produc în două direcții sau chiar numai
în una; as umarea faptului că modificările au loc într -o singură direcție,
respectiv în lungul curgerii, simplifică considerabil rezolvarea problemelor
practice de dimensionare și de verificare;
 chiar dacă în realitate curgerea în albii și canale prismatice are două
componente – curgerea lichidă (a apei) și curgerea solidă (a materialului
aluvionar ), în cele ce urmează nu se vor face referiri la transportul aluviunilor.

10.2 Mișcarea uniformă a curenților cu nivel liber în albii și canale
prismatice

10.2.1 Caracter istici generale
Fiind un caz particular al mișcării apei cu nivel liber, mișcarea în canale prismatice
poate fi aproximată cu o mișcare permanentă, uniformă și unidimensională. La
mișcarea uniformă liniile de curent sunt rectilinii și paralele, iar viteza medie ,
adâncimea și secțiunea undată sunt constante în lungul curentului (Fig. 10. 3).
Mișcarea unidimensională și uniformă se caracterizează prin faptul că mărimile
caracteristice mișcării depind numai de o variabilă spațială, iar panta talvegului i este
aceeași cu panta suprafeței libere I.
Paralelismul între liniile de curent și fundul albiei presupune constanța secțiunii de
curgere, respectiv a adâncimii apei în lungul curgerii, condiții care nu sunt respectate
pentru albii naturale; însă pentru canale prismatice, curgerea poate fi aproximată ca
fiind uniformă.
linie piezometricălinie energetică
h
i I
αv2/2g
v

Fig. 10. 3 Profil longitudinal printr -o albie în care apa curge în regim uniform
(h = const.; v = const; i = I = const.)

Elementele geometrice ale secțiunii de curgere se pot stabili ușor, folosind relații
simple din geometria plană:
 canal cu secțiune de curgere dreptunghiulară (Fig. 10. 4):

h
P
b

Fig. 10.4 Profil transversal printr -un canal cu secțiune dreptunghiulară

– secțiune de curgere [m2]:

𝝎 = 𝒃.𝒉 (10.1)

– perimetru udat [m], care reprezintă conturul pe care lichidul vine în contact
cu pereții rigizi ai secțiunii de curgere:

𝓟 = b + 2h (10.2)

– rază hidraulică [m]:

R = ω/𝓟 (10.3)

 canal cu secțiune de curgere trapezoidală (Fig. 10. 5):

α h
1:m

P
bmh mhB

Fig. 10.5 Profil transversal printr -un canal cu secțiune trapezoidală

– pantă a l taluzului :

m = ctgα (10.4)

– secțiune de curgere:

𝝎=(𝒃+𝒎.𝒉)𝒉 (10.5)

– perimetru udat :

𝓟=𝒃+𝟐𝒉√𝒎𝟐+𝟏 (10.6)

– rază hidraulică :

R = ω/ 𝓟 (10.7)

Observați i:
 Ca și în cazul curgerii în conductele sub presiune, la curgerea cu suprafață liberă
diferențierea între regimul laminar și cel turbulent de curgere se poate face și în funcție
de valoarea numărului Reynolds . Astfel, p entru curgerea cu suprafață liberă, numărul
Re se calculează cu relația 𝐑𝐞=𝐯.𝐃𝐡
𝛎, unde: v [m/s] – viteza medie de curgere ; ν
[m2/s] – vâscozitatea cinematică (νapă ≈ 1×10 -6 m2/s) ; Dh [m] – diametrul hidraulic și
se calculează cu relația Dh = 4 ω/ 𝓟 = 4R, R fiind raza hidraulică .
 Deoarece secțiunea transversală a curgerilor cu suprafață liberă este foarte
neregulată, raza hidraulică (R) reprezintă o dimensiune teoretică aplicabilă oricărei
forme a secțiunii de curgere și se definește ca raportul dintre aria secțiunii transversale
de curgere (ω) și perimetrul udat al acesteia ( 𝓟).

10.2.2 Ecuația fundamentală a mișcării uniforme a curenților cu nivel liber
Dacă se consideră un tronson al unui canal prismatic cu panta longitudinală
(geometrică ) i, de lungime l, în care curgerea apei este uniformă (panta longitudinală
este identică cu panta suprafeței libere), se poate scrie ecuația lui Bernoulli sub forma:

𝑧1+ℎ1+𝑣12
2𝑔=𝑧2+ℎ2+𝑣22
2𝑔+ℎ𝑡 (10.7)

În care notațiile au următoarea semnificație:
z1 și z2 – cotele fundului canalului, în cele două secțiuni transversale considerate
h1 = h 2 = h – adâncimea de curgere a apei
v1 = v 2 =v – viteza medie de curgere în secțiunile considerate
ht = i.l – pierderea de sarcină hidraulică pe lungimea tronsonului considerat.
Prin urmare, rezultă că relația anterioară mai poate fi scrisă sub forma:

𝑧1−𝑧2=𝑖.𝑙 (10.8)

Fiind vorba de o pierdere de sarcină prin frec are, prin analogie cu relația lui Darcy
valabilă pentru mișcarea apei în conducte sub presiune, s -ar putea scrie că:

ℎ𝑡=𝑖.𝑙=𝜆𝑙
ℎ𝑣2
2𝑔 (10.9)

unde s -a notat cu λ coeficientul de frecare longitudinală, care depinde de numărul
Reynolds al curgerii, de rugozitate, de forma secțiunii transversale de curgere ș.a.
Din relația (10.9) rezultă că viteza medie a curgerii este:

𝑣=√2𝑔.ℎ.𝑖
𝜆=√2𝑔
𝜆√ℎ.𝑖 (10.10)

Ca urmare a marii variabilități a coeficientului λ, pentru calculul vitezei medii în
secțiunea de curgere se folosește o relație determinată experimental de Chézy5, și
anume:

𝒗=𝑪√𝑹.𝒊 (10.11)

în care notațiile au următoarea semnificație:
R – raza hidraulică [m];
i – panta fundului canalului [/], care în mișcare uniformă este egală cu panta
suprafeței libere a curgerii
C – coeficientul Chézy [m0,5/s]; cea mai cunoscută relație de calcul a
coeficientului Chézy este relația stabilită de Manning, conform căreia acest
coeficient depinde de rugozitatea albiei/canalului n și de raza hidraulică R:

𝑪=𝟏
𝒏𝑹𝟏/𝟔 (10.12)
Forța de frecare depinde de natura peretelui pe care are loc mișcarea, de gradul de

5 Antoine de Chézy (1718 -1798) a fost un cunoscut inginer hidraulician france z. În ultimul an
de viață a fost director ale prestigioasei l`École nationale des ponts et chaussées.

acoperire cu vegetație etc. și se introduce în calcule sub forma unui coeficient numit
coeficient de rugozitate (coeficientul Manning6); în Tab. 10.1 sunt prezentate câteva
exemple de valori pentru coeficientul de rugozitate.
Ca urmare a varietății extrem de mari a albiilor naturale (forma secțiunii transversale,
gradul de umplere, gradul de acoperire cu vegetație, gradul de meandrare etc.), pentru
stabilirea rugozității utilizată în calcule se fac fie studii și măsurători în teren, fie se
optează pentru folosi rea unor valori preluate din studii realizate pe râuri similare,
aflate în condiții analoage cu cele ale sectorului de calcul.

Tab. 10.1 Valori ale rugozității pentru diferite tipuri de suprafețe ale canalelor și
albiilor
Caracterizarea suprafeței
canalului n Caracterizarea suprafeței
albiei n
Mortar de ciment 0,011 Albii curate, cu traseu
rectiliniu 0,025
Beton sclivisit 0,012 Albii din zona de câmpie, cu
condiții favorabile ale patului
de curgere 0,033
Zidărie din piatră 0,017 Albii din zona de câmpie, cu
unele sinuozități ale traseului,
cu neregularități ale patului de
curgere 0,040
Pavaj din piatră brută cu
muchii proeminente 0,0225 Albiile râurilor mici și
mijlocii, sinuoase, parțial
acoperite cu vegetație, având
curgere neuniformă 0,050
Canale din pământ 0,0275 Albiile râurilor montane, cu
sinuozități, căderi în trepte ș.a. 0,100

Debitul se calculează ca produs între viteza medie și mărimea secțiunii transversale :

𝑸= 𝝎.𝐯=𝝎.𝑪√𝑹.𝒊 [m3/s] (10.13)

sau, ținând cont de expresia lui C:

6 Robert Manning (1816 -1897) a fost un inginer scoțian, preocupat în special de verificarea și
aducerea la o formă cât mai simplă a unor cunoscute relații de calcul empirice din domeniul
hidraulicii.

𝑄= 𝜔.𝐶√𝑅.𝑖=1
𝑛𝜔.𝑅2/3√𝑖 (10.14)

În general, problemele care se pun în legătură cu calculul hidraulic al canalelor, în care
apa curge în regim uniform, sunt:
 probleme de dimensionare (determinarea caracteristicilor geometrice ale
canalului pentru un debit dat);
 probleme de verificare (determinarea capacității de transport a canalului
pentru caracteristici geometrice date).

10.2.3 Calculul secțiunii de curgere a canalelor. Secțiunea optim -hidraulică
Calculul secțiunii de curgere a unui canal constă în stabilirea elementelor geometrice
ale secțiunii de curgere corespunzătoare unui debit dat și pentru un traseu dat (o pantă
longitudinală dată); de asemenea, este impusă panta taluzului, în funcție de condițiile
de stabili tate și de natura protecției acestuia.
S-a demonstrat că, pentru o valoare dată a secțiunii de curgere, există un raport optim
b/h pentru care capacitatea de transport a canalului este maximă, iar această secțiune
se numește secțiune optim -hidraulică .
La canalele trapezoidale , debitul se calculează cu relația:

𝑄=𝜔.𝐶√𝑅.𝑖=𝜔1
𝑛𝑅1/6√𝑅.𝑖=𝜔
𝑛(𝜔
𝒫)2/3
√𝑖=𝜔5/3√𝑖
𝑛(1
𝒫)2/3
(10.15)

Din relația anterioară se poate observa că, pentru o valoare dată a secțiunii de curgere
(ω=const .), capacitatea maximă de curgere corespunde situației în care perimetrul
udat este minim, respectiv: 𝑄 = 𝑄𝑚𝑎𝑥 dacă 𝒫 = 𝒫min.
Deci, trebuie satisfăcute concomitent următoarele condiții:
– suprafața fiind constantă, trebuie ca 𝜕𝜔
𝜕ℎ=0,
– perimetrul udat este minim dacă 𝜕𝒫
𝜕ℎ=0.
Având în vedere că, pentru o secțiune transversală trapezoidală, ω = (b+m .h)h,
𝒫=𝑏+2ℎ√𝑚2+1, iar b și h sunt variabile, condițiile de mai sus devin, pe rând:

𝜕𝜔
𝜕ℎ=𝑑
𝑑ℎ(𝑏.ℎ+𝑚ℎ2)=𝑏𝑑ℎ
𝑑ℎ+ℎ𝑑𝑏
𝑑ℎ+2𝑚.ℎ𝑑ℎ
𝑑ℎ=𝑏+ℎ𝑑𝑏
𝑑ℎ+2𝑚.ℎ (10.16 )

𝜕𝒫
𝜕ℎ=𝑑𝑏
𝑑ℎ+2√𝑚2+1 (10.17)

Prin urmare, din rezolvarea sistemului de ecuații:

𝑏+ℎ𝑑𝑏
𝑑ℎ+2𝑚.ℎ=0
𝑑𝑏
𝑑ℎ+2√𝑚2+1=0 (10.18)

rezultă egalitatea:
𝑏+2𝑚.ℎ+ℎ(−2√𝑚2+1)=0 (10.19)

iar după împărțire cu h se obține:

𝒃
𝒉=𝟐(√𝒎𝟐+𝟏−𝒎) (10.20 )

care include elementele geometrice ale secțiunii optim -hidraulice .
Dacă se ține cont de această relație și se rescriu relațiile de calcul pentru debitul și
perimetrul udat, rezultă:

𝜔𝑜𝑝𝑡=(𝑏+𝑚.ℎ)ℎ=ℎ2(2√𝑚2+1−𝑚) (10.21)

𝒫𝑜𝑝𝑡=𝑏+2ℎ√𝑚2+1=2ℎ(2√𝑚2+1−𝑚) (10.22 )

Se poate observa că

𝝎𝒐𝒑𝒕
𝓟𝒐𝒑𝒕=𝒉
𝟐 (10.23)

ceea ce înseamnă că perimetrul udat al secțiunii optim -hidraulice trapezoidale este cel
circumscris unui s emicerc cu raza egală cu adâncime apei h (Fig. 10.6) ; folosind
notațiile din figură, se poate observa că ωsemicerc = πh2/2 și 𝒫semic erc = πh , adică raza
hidraulică este R = h/2 .

b h
Fig. 10. 6 Secțiune trapezoidală optimă

La canalele cu secțiune dreptunghiulară , la care m = 0 , condiția de optim -hidraulic
este:

b/h = 2 (10.24)

În general, respectarea condiției de optim hidraulic nu exclude o serie de dificultăți
tehnice, atunci când se impune respectarea și a altor cerințe, ca de exemplu:
– pentru un canal dimensionat optim din punct de vedere hidraulic poate rezulta
o adâncime prea mare, care ar presup une costuri nejustificat de mari, în
special atunci când săpăturile se realizează sub cota apei freatice ;
– pentru un canal dimensionat optim din punct de vedere hidraulic poate rezulta
o viteză medie prea mare, la care pereții canalului nu ar rezista; din a cest
motiv, se impun valori limită ale vitezei, în funcție de natura materialul din
care sunt realizați pereții (pietriș – 0,9 m/s; piatră spartă – 1,25 m/s; argilă
compactă – 1 m/s; roci dure – 3,75 m/s etc.);
– dacă viteza medie rezultată din calculul de d imensionare este prea mică (<0,25
m/s), există riscul să se producă depuneri importante de material solid, care
diminuează capacitatea de transport a canalului și favorizează dezvoltarea
florei subacvatice ș.a.

10.2.4 Calcu lul adâncimii normale a apei în canale prismatice
Cea mai rapidă metodă pentru determinarea adâncimii normale h0 a apei într -un canal
este metoda grafică. Dacă se dezvoltă relația de calcul a debitului:

𝑄=𝜔.v=𝜔.𝐶√𝑅.𝑖=𝜔.𝐶√𝑅√𝑖=𝐾√𝑖 (10.25)

se observă că acesta se poate scrie în funcție de panta longitudinală i și de modulul de
debit care are expresia:
𝑲=𝝎.𝑪√𝑹 (10.26)

Metoda presupune ca pentru valori date arbitrar lui h, menținând b = b 0, să se
calculeze modulul de debit corespunzător, iar apoi să reprezintă grafic valorile h =
f(K) astfel obținute (Fig. 10. 7).
Pe de altă parte , debitului Q al canalului cu panta longitudinală i îi corespunde un
modul de debit:

𝐾0=𝑄
√𝑖 (10.27)

h

[m] ω

[m2] 𝒫

[m] R

[m] C

[m0,5/s] K = ωCR1/2

[m3/s]

Fig. 10. 7 Metoda grafică pentru calculul adâncimii normale

Prin urmare, se intră în grafic cu valoarea K0 calculată folosind relația anterioară și se
citește valoarea h0 care îi corespunde .

10.2.5 Studiul energetic al curenților cu nivel liber
În cazul curenților cu nivel liber, energia specifică totală în secțiunea de curgere (Fig.
10.8) în raport cu un plan de referință oarecare are expresia:

𝑒= 𝑧+ℎ+𝑣2
2𝑔 (10.28)

în care:
z – cota fundului albiei (măsurată față de planul de referință 0 – 0)
h – adâncimea apei în secțiune
v – viteza medie a apei în secțiune.
h
K h0
K0

h h
0 0 zv2/2g
0’
0’

Fig. 10.8 Energia specifică totală în secțiune

Dacă se consideră că fundul canalului e cuprins în planul de referință (z = 0 ), rezultă
că energia specifică în secțiune poate fi scrisă sub forma :

𝑯= 𝒉+𝒗𝟐
𝟐𝒈 (10.29)

În relația anterioară se observă că:
– pentru h → 0 atunci ω → 0 , respectiv Q2/2g.ω2 → ∞ sau H → ∞
– pentru h → ∞ atunci ω → ∞ , respectiv Q2/2g.ω2 → 0 sau H → ∞,
ceea ce înseamnă că graficul H = f(h) are un punct de minim în care dH/dh = 0:

𝑑𝐻
𝑑ℎ= 𝑑
𝑑ℎ(ℎ+𝑣2
2𝑔)=𝑑
𝑑ℎ(ℎ+𝑄2
2𝑔.𝜔2)=1+𝑄2
2𝑔𝑑
𝑑ℎ(1
𝜔2) (10.30)

adică

𝑑𝐻
𝑑ℎ= 1+𝑄2
2𝑔(−2
𝜔3𝑑𝜔
𝑑ℎ) (10.31 )

Pentru secțiune de curgere dreptunghiulară, la care 𝑑𝜔= 𝐵.𝑑ℎ, rezultă că dω/dh =
B, iar derivata energiei în raport cu h va avea forma:

𝑑𝐻
𝑑ℎ= 1−𝐵.𝑄2
𝑔.𝜔3 (10.32 )

Revenind la condiția de minim conform căreia dH/dh = 0 , rezultă că:

1−𝐵.𝑄2
𝑔.𝜔3=0 (10.33)

Cu alte cuvinte, energia specifică în secțiune are valoare minimă ( H = H min) atunci
când

𝐵.𝑄2
𝑔.𝜔3=1 (10.34)

Dacă se face analiza dimensională a fracției din relația anterioară rezultă că aceasta nu
are unitate de măsură:

[𝐵.𝑄2
𝑔.𝜔3]=𝐿(𝐿3.𝑇−1)2
𝐿.𝑇−2(𝐿2)3=𝐿.𝐿6.𝑇−2
𝐿.𝑇−2.𝐿6=1 (10.35)

deci este un număr, care poartă denumirea de numărul Froude :

𝑭𝒓=𝑩.𝑸𝟐
𝒈.𝝎𝟑 (10.36)

sau, dacă se ține cont de relația Q = ω.v

𝑭𝒓=𝑩.𝒗𝟐
𝒈.𝝎=𝒗𝟐
𝒈.𝒉 (10.37)

sau, dacă se ține cont de relația q = Q/B :

𝑭𝒓=𝑩.𝑸𝟐
𝒈.𝝎𝟑=𝑩𝟑.𝒒𝟐
𝒈.𝝎𝟑=𝒒𝟐
𝒈.𝒉𝟑 (10.38)

Prin urmare, pentru Fr = 1 rezultă că H = H min, respectiv caracteristicile curgerii sunt
critice : adâncime critică (hcr); viteză critic ă (vcr); pantă longitudinală critică (icr =
Q2/K2cr). Numărul Froude este utilizat pentru diferențierea regimurilor de curgere în
albii (vezi Tab. 10.2) .
Tab. 10.2 Criterii pentru diferențierea regimului de curgere a apei în albii cu
nivel liber

Regimul de
mișcare Criteriul de apreciere a tipului de regim
Nr. Froude Adâncimea Viteza Panta
lent Fr < 1 h > h cr v < v cr i < i cr
critic Fr = 1 h = h cr v = v cr i = i cr
rapid Fr > 1 h < h cr v > v cr i > i cr

Valoarea adâncimii critice se poate determina și prin utilizarea metodei grafice (Fig.
10.9). Se pornește de la relația de definiție a sarcinii/energiei specifice, respectiv:

𝐻= ℎ+𝑣2
2𝑔 (10.39)

care mai poate fi scrisă și sub forma H = H 1 + H 2, adică:

𝐻1= ℎ și 𝐻2= 𝑣2
2𝑔 (10.40)

h
H H1
H2
H = H1 + H2
h = hcr regim critic hcrh > hcr regim lent
h < hcr regim rapid
Hmin

Fig. 10.9 Graficul energiei specifice și diferențierea regimurilor de curgere

Reprezentarea grafică a celor două componente H1 și H2, precum și a sumei acestora,
permite evidențierea rapidă a valorii minime a sarcinii, căreia îi corespunde valoarea
critică pentru h.
Pentru secțiunea de curgere dreptunghiulară , adâncimea critică a curgerii se
calculează pornindu -se de la definiția regimului critic ( Fr = 1 ), în care se ține cont de
faptul că B = b = const. , iar ω = b.h cr; prin urmare, rezultă:

𝑏.𝑄2
𝑔.𝑏3.ℎ𝑐𝑟3=1 (10.41)

iar dacă se notează cu q = Q/B debitul specific în secțiune, rezultă:

𝒉𝒄𝒓= √𝒒𝟐
𝒈𝟑 (10.42)

Pentru secțiunea de curgere trapezoidală , în condiții de r egim critic , se ține cont de
faptul că B = B cr = b + 2m .hcr, iar ω = ω cr = h cr(b+m .hcr) și rezultă astfel:

(𝑏+2𝑚.ℎ𝑐𝑟)𝑄2
𝑔.ℎ𝑐𝑟3(𝑏+𝑚.ℎ𝑐𝑟)3=1 (10.43)

respectiv

𝒉𝒄𝒓= √ (𝒃+𝟐𝒎.𝒉𝒄𝒓)𝑸𝟐
𝒈(𝒃+𝒎.𝒉𝒄𝒓)𝟑𝟑 (10.44)

Prin urmare, rezultă o relație de calcul de forma hcr = f(h cr).
În consecință, pentru calculul adâncimii critice la canale trapezoidale, se adoptă una
din următoarele metode:
a) metoda aproximațiilor succesive , conform căreia:
– se propune o valoare pentru adâncimea critică, notată cu hcr*;
– se calculează hcr utilizând relația anterioară;
– se calculează eroarea ε = │h cr – hcr*│;
– dacă ε ≤ ε adm, rezultă că adâncimea propusă este cea cri tică, iar dacă ε > ε adm.,
rezultă că trebuie propusă o altă adâncime hcr* = (h cr *
anterior + h cr anterior )/2, iar
calculul continuă în aceasată manieră atât cât este nevoie .
b) metoda grafică , conform căreia:
– se propun valori pentru adâncimea critică, notată cu hcr*;
– se calculează numerele Froude corespunzătoare;
– se reprezintă grafic hcr = f(Fr) ; la intersecția acestui grafic (Fig. 10. 10) cu
prima bisectoare a sistemului de coordonate (pentru care abscisa este egală cu

ordonata) se citește valoarea adâncimii critice.
Pentru o secțiune de curgere oarecare se aplică tot metoda grafică, secțiunea de
curgere aproximându -se cu o sumă de secțiuni regulate.
În concluzie, deși pentru curgerile cu nivel liber se poate ut iliza și criteriul numărului
Reynolds pentru diferențierea regimurilor de curgere, criteriul Froude este mult mai
util, având în vedere faptul că se poate demonstra că numărul Froude evidențiază
raportul dintre forțele de greutate și forțele de inerție.

Fig. 10. 10 Graficul pentru determinarea adâncimii critice la canele trapezoidale

Din punct de vedere fizic, regimul lent (Fr < 1) este specific curgerilor cu adâncime
mare și viteză redusă; aceasta înseamnă că în acest caz energia potențială este
superioară celei cinetice. Pe de altă parte, î n cazul regimului rapid (Fr > 1), curgerea
are adâncime mică și vitez ă mare, energia cinetica fiind predominantă, în detrimentul
celei potențiale.

hcr
*
Fr
hcr
h = f( Fr)

11. Mișcarea neuniformă a curenților cu nivel liber

11.1 Mișcarea neuniformă gradual varia tă a curenților cu nivel liber
Mișcarea gradual variată sau lent variată este acea mișcare la care liniile de curent nu
mai sunt perfect paralele între ele și cu suprafața liberă a apei. Din acest motiv, panta
suprafeței libere a apei ( I) în astfel de albii nu mai coincide cu panta geomet rică a
talvegului (i).
Astfel de situații se întâlnesc, de exemplu, la modificarea lățimii secțiunii de curgere, a
traseului longitudinal, a pantei fundului etc. (Fig. 11.1).

h1h0h2h3h1 h2h3B1B2 B3B0 B3
B1B2
B4
h0a) b)
c) d)
e)

Fig. 11.1 Modificarea condițiilor de curgere în albii oarecare

Dacă m odificarea caracteristicilor mișcării se face lent, mișcarea este neuniformă
gradual variată, iar dacă modificarea se face brusc, mișcarea este neuniformă rapid
variată.
Capacitatea de transport a unei albii cu mișcare gradual variată se poate calcula cu
relația Chézy:

𝑄=𝜔.𝐶√𝑅.𝐼 (11.1)

numai că panta suprafeței libere (I) nu este cunoscută (de exemplu, în sectorul de albie
situat în amonte de o construcție hidrotehnică, panta curgerii depinde de condițiile
impuse scurgerii în secțiunea construcției respective).
Problema care se pune la acest tip de mișcare este de a deter mina cotele suprafeței
libere a apei în lungul albiei/canalului, pentru un debit dat și în diferite condiții impuse
curgerii într -o secțiune aval (secțiunea unei stavile, a unui baraj, prag etc.) .
Ecuația diferențială generală a mișcării gradual variate, d edusă din ecuația energiei, se
referă la variația adâncimii h a apei, în funcție de distanța s în lungul curentului:

𝑑ℎ
𝑑𝑠=𝑖−𝑄2
𝜔2.𝐶2.𝑅(1−𝛼.𝐶2.𝑅
𝑔.𝜔.𝜕𝜔
𝜕𝑠)
1−𝛼.𝑄2
𝑔.𝐵
𝜔3 (11.2)

unde cu  s-a notat coeficientul Coriolis, care reprezintă corecția repartiției
neuniforme a vitezei în secțiune. În literatura de specialitate sunt propuse mai multe
relații de calcul pentru acest coeficient; p entru calcule mai puțin pretențioase se poate
considera ca  = 1 ÷ 1,3 în cazul albiil or prismatice, respectiv  = 1,6 ÷ 2 în cazul
albiilor neregulate și cu secțiuni compuse.
De menționat că rugozitatea care intră în calcul va fi o rugozitate compusă, rezultată
din faptul că în albie rugozitatea malurilor și cea a patului albiei nu sunt identice .
Pentru albii prismatice (cu secțiunea constantă în lungul curgerii) , la care ∂ω/∂s = 0 ,
ecuația de mai sus se reduce la forma:

𝑑ℎ
𝑑𝑠=𝑖−𝑄2
𝜔2𝐶2𝑅
1−𝐹𝑟=𝑖−𝐼
1−𝐹𝑟=𝑖−𝑄2
𝐾2
1−𝐹𝑟 (11.3)

unde :
Fr – numărul Froude al curgerii ;
K – modulul de debit corespunzător adâncimii h în mișcarea gradual variată.

În cazul mișcării gradual variate, nivelurile apei pot fi crescătoare, caz în care se
formează o curbă de stăvilire (curbă de remu) sau descrescătoare, caz în care se
formează o curbă de cădere .
Atunci când mărimile ce intră în relația de calcul anterioară nu se pot determina cu
ușurință, calculul cotelor suprafeței libere a apei, pentru orice tip de secțiune
transversală, se face cu ajutorul metodei diferențelor finite .

Metoda presupune parcurge rea următoarelor etape de calcul :
 împărțirea profilului longitudinal în tronsoane de albie cu caracteristici
geometrice și hidraulice cât mai uniforme (Fig. 11.2) , numite biefuri ;
 rezolvarea ecuației energiei pentru fiecare tronson, calculul pornindu -se din
secțiunea aval, pentru care se cunoaște cota suprafeței libere:

𝑧1−𝑧2=∆𝑧=𝛼.𝑣22−𝛼.𝑣12
2𝑔+𝑄2
𝐾𝑚2∆𝑠 (11.4)

în care α este coeficientul Coriolis , iar Km reprezintă valoarea medie a modulului de
debit pe tronsonul cuprins între secțiunile 1 și 2:

1
𝐾𝑚2=1
2(1
𝐾12+1
𝐾22) (11.5)

v12/2g z1
SRΔs
z2 v22/2ghr
11
22
iQh

Fig. 11.2 Schema de calcul a pantei hidraulice cu derivate parțiale

Calculul se realizează tabelar, conform modelului următor.

Tab. 11.3 Tabel de calcul
Nr.
profil Q Δs z1 ω1 1/K 12 z2 ω2 1/K 22 1/K m2 Δs.Q2/Km2 z2c
(m3/s) (m) (m) (m2) (m) (m2) (m) (m)
1
2
….

11.2 Curgerea peste deversoare

11.2.1 Caracteristicile geometrice și hidraulice ale deversoarelor
Deversoare le sunt construcții hidrotehnice dispuse într -un curent cu suprafață liberă în
scopul:
– menținerii unui nivel constant într-un anumit bief sau
– descărcării unui debit controlat, sau
– măsurării debitelor.
Practic, deversorul este un perete în care este practicată a deschidere prin care apa
curge cu nivel liber, în secțiunea respectivă realizându -se o discontinuitate a curgerii ;
prin urmare, curgerea apei peste un de versor este o curgere neuniformă, de regulă lent
variată, liniile de curent nemaifiind paralele în zona respectiva a curgerii.
Principalele caracteristici geometrice (constructive) ale deversoarelor (Fig. 11.3) sunt:
 profilul deversorului – secțiune verticală prin deversor , pe direcția curgerii ;
 secțiunea deversorului – parte a secțiunii transversale, prin deversor , prin care
curge apa;
 grosimea deversorului ( δ) – grosimea peretelui peste care are loc curgerea
apei;
 creasta deversorului – locul geometric al punctelor de ceea mai mică cotă ale
perimetrului secțiunii de curgere ;
 înălțimea peretelui deversor în bieful aval ( pav) sau înălțimea deversorului –
distanța de la creasta deversorului la fund ul aval al albiei/canalului ;
 înălțimea peretelui deversor în bieful amonte ( pam) sau pragul deversorului –
distanța de la creasta deversorului la fundul amonte al albiei/canalului.
δ H
pam
pav
hcz
hn

Fig. 11.3 Elementele geometrice ale unui deversor

Principalele caracteristici hidraulice ale deversoarelor (Fig. 11.3) sunt:
 sarcina deversorului ( H) – adâncimea apei amonte de deversor măsurată până
la creasta d eversorului;
 sarcina totală a deversorului (H0) – suma dintre sarcina deversorului și
elementul cinetic, unde v este viteza medie a curgerii în secțiunea
deversorului; H0 = H + v2/2g
 căderea la deversor ( z) – diferența dintre nivelele apei amonte și aval de
deversor;
 înălțimea de înecare a deversorului (hn), unde hn = z – H;
 adâncimea contractată în aval de deversor (hc) – înălțimea secțiunii efective de
curgere la contactul curentului de apă cu fundul albiei/canalului în aval de
deversor.

11.2.2 Clasificarea deversoarelor
a) După forma secțiunii de curgere (Fig. 11.4) :
 deversoare dreptunghiulare
 deversoare trapezoidale
 deversoare triunghiulare
 deversoare circulare.

HB B
H
bB
Hθ 2θ

a) dreptunghiular b) trapezoidal c) triunghiular
Fig. 11.4 Deversoare cu diverse secțiuni de curgere

b) După grosimea peretelui deversor (Fig. 11.5):
 deversoare cu perete subțire ( δ < 2H )
 deversoare cu perete gros ( 2H< δ < 5H )
 deversoare cu profil practic ( 2H< δ < 5H )
 deversoare cu prag lat ( δ > 5H )

p
δ
H
δ pH
δ pH
δ H
p
h
a) b) c) d)
Fig. 11.5 Deversoare cu diverse grosimi ale peretelui în care sunt practicate

c) După poziția față de direcția de curgere a apei (Fig. 11.6):
 deversoare normale
 deversoare oblice
 deversoare laterale
BB
θ
B

a) deversor normal b) deversor oblic c) deversor lateral
Fig. 11.6 Poziția în plan a deversoarelor

d) După forma în plan a crestei/muchiei deversorului (Fig. 11.7):
 deversoare liniare
 deversoare poligonale
 deversoare curbe
 deversoare circulare (pâlnie)

a) b) c) d)
Fig. 11.7 Forma în plan a deversoarelor

e) După influența nivelului aval asupra curgerii (Fig. 11.8):
 deversoare cu funcționare neînecată, la care nivelul aval nu influențează
curgerea peste deversor:
o cu lama liberă (aerul pătrunde sub lamă) sau
o cu lama depresionată (spațiul de sub lama deversantă nu este în
contact cu atmosfera)
 deversoare cu funcționare înecată, la care nivelul aval influențează curgerea
peste deversor

p1 H
hnhn cr
p1 H
hn
hn cr

a) funcționare neînecată b) funcționare înecată
Fig. 11.8 Influen ța nivelului aval asupra curgerii peste deversor

f) După forma liniilor de curent la peretele deversorului (Fig. 11.9):
 deversoare fără contracție laterală, la care lățimea canalului de acces a apei la
deversor este aceeași cu lățimea deversorului
 deversoare cu contracție lat erală, la care lățimea canalului de acces a apei la
deversor este mai mică decât lățimea deversorului

B
B
B0

a) fără contracție laterală b) cu contracție laterală
Fig. 11.9 Poziția în plan a deversoarelor

11.2.3 Expresia debitului la curgerea apei peste deversor
Pentru stabilirea relației de calcul a debitului deversorului se pornește de la ipoteza că
lama deversantă este considerată ca o sumă de lame elementare de înălțime 𝑑𝑧 și

lățim e 𝐵(𝑧) pe care viteza de curgere este considerată constantă (Fig. 11.10), iar
debitul teoretic elementar evacuat va fi:

𝑑𝑄=𝑣.𝑑𝜔=√2𝑔𝑧.𝐵(𝑧).𝑑𝑧 (11.6)

unde s -a ținut cont de formula lui Torricelli pentru calculul vitezei de curgere printr -un
orificiu 𝑣=√2𝑔.ℎ.
Această relație rezultă din aplicarea ecuației lui Bernoulli într -un punct de la suprafața
apei într -o secțiune amonte de deversor (în care viteza curgerii este semnificativ mai
mică decât cea din secțiunea imediat aval de lama deversorului) și un punct de la
suprafața apei într -o secțiune imediat aval de lama deversorului; se ține cont de faptul
că în ambele secțiuni presiunea este cea atmosferică și, deci, viteza la ieșirea din
deversor va depind e de diferența de cotă dintre cele două puncte h = z 1 – z2.

p H
zB(z)dz
B0

Fig. 11.10 Schema de clacul a debitului la deversor

Prin urmare, știind că 𝑧∈[0,𝐻], relația de calcul al debitului are forma:

𝑄=∫𝑑𝑄=∫𝜇√2𝑔.𝑧.𝐵(𝑧).𝑑𝑧=𝜇√2𝑔𝐻
0∫𝐵√𝑧.𝑑𝑧𝐻
0𝐻
0 (11.7)

sau

𝑸=𝝁√𝟐𝒈∫𝑩√𝒛.𝒅𝒛𝑯
𝟎 (11.8)

care reprezintă relația generală pentru calculul debitului unui deversor oarecare, sub
sarcina H. S-a notat cu μ – coeficientul de debit mediu al deversorului , care introduce
influența pierderii de sarcină locală la deversor și a contracției la pereții acestuia.

Pentru secțiune dreptunghiulară de curgere, pentru care B = const ., relația anterioară
se va particulariza sub forma:

𝑄=𝜇√2𝑔𝐵∫√𝑧.𝑑𝑧=𝐻
0𝜇.𝐵√2𝑔∫𝑧1/2.𝑑𝑧=𝐻
0 𝜇.𝐵√2𝑔2
3𝐻3/2 (11.9)

sau

𝑸=𝒎.𝑩√𝟐𝒈.𝑯𝟑/𝟐 (11.10)

unde s -a notat cu

𝒎=𝟐
𝟑𝝁 (11.11)

coeficientul de debit al deversorului dreptunghiular , care variază în limite destul de
largi, în funcție de caracteristicile geometrice și cele hidraulice ale deversorului
(m = 0,30 ÷ 0,55 ).
Pentru secțiune triunghiulară de curgere, unde B = B(z) , schema generală de calcul
este redată în Fig. 11.11.

zB
H
bθ

Fig. 11.11 Schema de clacul a debitului la deversorul triunghiular

Conform notațiilor din Fig. 11.11, tg θ se poate scrie în raport cu nivelul liber situat la
adâncimea H-z, respectiv :

𝑡𝑔𝜃=𝑏2⁄
𝐻−𝑧 (11.12)

de unde rezultă:

𝑏=2(𝐻−𝑧).𝑡𝑔θ (11.13)

iar relația de calcul a debitului va fi:

𝑄=𝜇√2𝑔∫𝐵.√𝑧.𝑑𝑧=𝐻
0𝜇√2𝑔∫2(𝐻−𝑧).𝑡𝑔𝜃.√𝑧.𝑑𝑧=𝐻
0
=2𝜇√2𝑔.𝑡𝑔𝜃∫(𝐻−𝑧)𝐻
0√𝑧.𝑑𝑧 (11.14)

respectiv

𝑄=2𝜇√2𝑔.𝑡𝑔𝜃(∫𝐻.𝐻
0√𝑧.𝑑𝑧−∫√𝑧.𝑑𝑧𝐻
0) (11.15)

unde termenii diferenței se calculează astfel:

∫𝐻.𝐻
0√𝑧.𝑑𝑧=∫𝐻.𝑧1/2.𝑑𝑧=𝐻𝑧1
2+1
1
2+1𝐻
0│0𝐻=2
3𝐻.𝐻3/2=2
3𝐻5/2 (11.16)

∫𝑧.𝐻
0√𝑧.𝑑𝑧=∫𝑧1+1
2.𝑑𝑧=∫𝑧3/2.𝑑𝑧𝐻
0=𝑧3
2+1
3
2+1𝐻
0│0𝐻=2
5𝐻5/2 (11.17)

Dacă se fac înlocuirile rezultă că:

𝑄=2𝜇√2𝑔.𝑡𝑔𝜃(2
3𝐻5/2−2
5𝐻5/2)=2𝜇√2𝑔.𝑡𝑔𝜃4
15𝐻5/2=8
15 𝜇√2𝑔.𝑡𝑔𝜃.𝐻5/2

𝑸=𝒎′√𝟐𝒈 .𝑯𝟓/𝟐.𝒕𝒈𝜽 (11.18)

unde s -a notat cu

𝒎′=𝟖
𝟏𝟓 𝝁 (11.19)

coeficientul de debit al deversorului triunghiular (m’ < m ).
Acest deversor este foarte indicat pentru măsurarea debitelor mici, dată fiind
sensibilitatea mai mare a acestui deversor în raport cu H.
Pentru secțiune trapezoidală de curgere, relația de calcul a debitului deversorului
rezultă din însumarea debitului pentru secțiune dreptunghiulară și a celui pentru
secțiune triunghiulară:

𝑸=𝒎.𝑩√𝟐𝒈.𝑯𝟑/𝟐+ 𝒎′√𝟐𝒈.𝑯𝟓
𝟐.𝒕𝒈𝜽=√𝟐𝒈𝑯𝟑/𝟐(𝒎.𝑩+𝒎′.𝑯.𝒕𝒈𝜽) (11.20)

Coeficienții de debit ai deversoarelor au valori subunitare, stabilite pe cale
experimentală sau prin calcul, punând în evidență în special influența formei profilului
deversorului , a formei secțiunii de curgere , a grosimii peretelui deversorului.
Cele mai uzuale valori folosite în calcul sunt:
 deversor cu muchie ascuțită m = 0,42
 deversor cu profil practic fără vacuum m = 0,45
 deversor cu profil practic cu vacuum m = 0,50
 deversor cu prag lat m = 0,35 .

11.2.4 Expresia adâncimii contractate la curgerea apei peste deversor
Adâncimea contractată formată la descărcarea peste un deversor se poate calcula tot
cu ajutorul ecuației energiei, scrisă între o secțiune imediat amonte de devers or și
secțiunea contractată:

𝑧1+𝑝1
𝛾+𝑣12
2𝑔=𝑧2+𝑝2
𝛾+𝑣22
2𝑔+ℎ𝑡 1−2 (11.21)

în care se ține cont că :
p1 = p 2 = p at
𝑧1=𝑝𝑎𝑚+𝐻
𝑧2=ℎ𝑐
ℎ𝑡1−2=𝜁𝑣22
2𝑔
și unde v1<<v 2, deci v12/2g ≈ 0 , iar v2 = Q/B.h c.

Prin urmare, ecuația energiei va avea forma:

𝑝𝑎𝑚+𝐻=ℎ𝑐+𝑣22
2𝑔+𝜁𝑣22
2𝑔 (11.22)

𝑝𝑎𝑚+𝐻=ℎ𝑐+(1+𝜁)1
2𝑔(𝑄
𝐵.ℎ𝑐)2
(11.23)

de unde rezultă că:

ℎ𝑐2=𝑞2
2𝑔(𝑝𝑎𝑚+𝐻−ℎ𝑐)1
𝜑2 (11.24)

unde s -a notat cu 𝜑=1
√1+𝜁 coeficientul de viteză al deversorului (φ = 0,96 ÷ 0,98 ).
Mărimea adâncimii contractate se va calcula cu :

𝒉𝒄=𝒒
𝝋√𝟐𝒈(𝒑𝒂𝒎+𝑯−𝒉𝒄) (11.25)

care reprezintă o relație de tipul hc = f(h c) și se rezolvă prin metoda aproximații lor
succesive sau pe cale grafică.
Distanța față de deversor , la care se formează adâncimea contractată ( lungimea de
bătaie a vânei de apă) , se poate determin a cu relația:

𝒍𝒃=𝐯√𝟐(𝒑𝒂𝒎+𝑯
𝟑)/𝒈 (11.26)

care rezultă din ecuațiile aruncării pe orizontală a unui corp, cu viteza v; viteza v
reprezintă viteza medie de curgere a apei peste deversor și este dată de relația
v=q/(2H/3) , iar pam + H/3 reprezintă căderea medie pe deversor.

11.3 Mișcarea neun iformă rapid variată a curenților cu nivel liber. Saltul
hidraulic

11.3.1 Caracteristici generale
În multe situații , mișcarea apei în albii sau canale are loc cu modificări pronunțate,

bruște, ale caracteristicilor curgerii , determinate de prezența unor lucrări hidrotehnice
(stavile, deversoare, canale rapide ș.a.), îngustări sau lărgiri bruște de secțiune,
prezența unor obstacole în albie ( praguri, pile de pod) ș.a.
În toate aceste cazuri se produc vârtejuri însoțite de:
– modificări s emnificative ale niv elului apei;
– modificări importante ale distribuției vitezei în secțiune (Fig. 11.12), fapt ce
influențează și tr ansportul aluviunilor din albie;
– pierderi de energie.

u3 u2
ua
u1Aa
a 22 3
31
1CB
hcr

Fig. 11.12 Distribuția vitezelor în zona saltului hidraulic

Forma de racordare a nivelurilor apei la trecerea de la regim rapid de curgere la regim
lent se numește salt hidraulic ; această trecere se face printr -o transformare a unei părți
din energia cinetică a curentului în energie potențială, însoțită și de o pierdere de
energie.
În Fig. 11.13 sunt prezentate elementele caracteristice ale unui salt hidraulic :
– adâncimea apei la intrarea în salt ( h1)
– adâncimea apei la ieșirea din salt ( h2)
– lungimea saltului hidraulic (ls)
– pierderea de energie cauzată de salt ( Hs = H 1 – H2).

v1
2 1v12/2g
v22/2gHs
H2H1
v2
h2
ls
h2-h1zona de salt mișcare rapidă mișcare lentă
Fig. 11.13 Schema saltului hidraulic simplu

11.3.2 Ecuația saltului hidraulic
Stabilirea ecuației saltului hidraulic se face în baza ecuației cantității de mișcare
aplicată masei de lichid cuprinsă în volumul determinat de secțiunile de intrare și de
ieșire, suprafața de contur a albiei și suprafața liberă (Fig. 11.14):

𝜌.𝑄.𝑣2⃗⃗⃗⃗ −𝜌.𝑄.𝑣1⃗⃗⃗⃗ =∑𝐹 (11.27)

h1
11
22
h2
P1 P2 v1v2ΔH
Smin H1 H2
S(h1)=S(h2)h1h2
hcrh
S=S(h)
H=H(h)

Fig. 11.14 Graficul funcției de salt hidraulic

Forțele care acționează asupra masei de lichid considerate sunt: forța de greutate G,
forțele de presiune P1 și P2, precum și forța de frecare la suprafața patului albiei T.

Ecuația anterioară, proiectată pe direcția curgerii, capătă forma:

𝜌.𝑄.𝑣2−𝜌.𝑄.𝑣1=𝑃1−𝑃2−𝑇 (11.28)

Deoarece T << P 1 și T << P 2, se poate considera T ≈ 0 , iar ecuația cantității de
mișcare va avea forma:

𝜌.𝑄.𝑣2−𝜌.𝑄.𝑣1=𝑃1−𝑃2 (11.29)

În continuare se ține cont de faptul că P = γ.h G.ω și v = Q/ ω , unde notațiile au
următoarea semnificație:
γ – greutatea specifică a fluidului;
hG – adâncimea centrului de greutate al secțiunii;
ω – aria secțiunii de curgere .
Prin urmare, relația (11.29 ) devine:

𝜌.𝑄Q
ω2 – ρ.QQ
ω1=γ.hG1.ω1 – γ.hG2.ω2 /:γ (11.30)

𝑄2
𝑔.𝜔1+ℎ𝐺1.𝜔1=𝑄2
𝑔.𝜔2+ℎ𝐺2.𝜔2 (11.31)

Din ecuația de mai sus rezultă că există o funcție:

𝑺(𝒉)= 𝑸𝟐
𝒈.𝝎+𝒉𝑮.𝝎 (11.32)

care are aceeași valoare în secțiunile de intrare și de ieșire din salt, care se numește
funcție de salt .
Se observă că:
– pentru h → 0 , atunci ω → 0 , deci Q2/g.ω → ∞ și hGω → 0 , respectiv S(h) →∞
– pentru h → ∞ , atunci ω → ∞ , deci Q2/g.ω → 0 și hGω → ∞ , respectiv S(h) → ∞,
ceea ce înseamnă că funcția de salt admite un punct de minim în raport cu h (Fig.
11.14).
Valoarea lui h pentru care S(h) = S min se obține prin anularea derivatei de ordinul întâi

a funcției de salt:

𝑑
𝑑ℎ(𝑄2
𝑔.𝜔+ℎ𝐺.𝜔)=0 (11.33)

unde ω = ω(h). Prin derivare rezultă:

𝑑
𝑑ℎ(𝑄2
𝑔.𝜔+ℎ𝐺.𝜔)=𝑑
𝑑ℎ(𝑄2
𝑔.𝜔)+𝑑
𝑑ℎ(ℎ𝐺.𝜔) (11.34)

Din derivarea primul termen al sumei rezultă că:

𝑑
𝑑ℎ(𝑄2
𝑔.𝜔)=𝑄2
𝑔𝑑
𝑑ℎ(1
𝜔)=𝑄2
𝑔(−1
𝜔2)𝑑𝜔
𝑑ℎ=−𝑄2
𝑔.𝜔2𝐵 (11.35)

unde s -a ținut cont de regulile de derivare și de faptul că dω = B.dh (Fig. 11.15).

dh

dω
ω x h
hGB

Fig. 11.15 Schemă pentru derivarea termenilor din funcția de salt hidraulic

Pentru derivarea celui de al doilea termen al sumei, se are în vedere că expresia hG.ω
reprezintă momentul static al secțiunii de curgere în raport cu nivelul liber, iar d(h G.ω)
reprezintă variația momentului static al secțiunii de curgere în raport cu nivelul liber
pentru o creștere a nivelului liber cu dh (Fig. 11.15) .
Prin urmare:

𝑑(ℎ𝐺𝜔)=(ℎ𝐺+𝑑ℎ)(𝜔+𝑑𝜔)−ℎ𝐺.𝜔
=ℎ𝐺.𝜔+ℎ𝐺.𝑑𝜔+𝜔.𝑑ℎ+𝑑ℎ.𝑑𝜔−ℎ𝐺.𝜔≅𝜔.𝑑ℎ

unde s -a consider at că dω este foarte mic, respectiv că hG.dω ≈ 0 și dh.dω ≈ 0 ,

rezultând pentru al doilea termen al derivatei:

𝑑
𝑑ℎ(ℎ𝐺.𝜔)=𝜔.𝑑ℎ
𝑑ℎ≅ 𝜔 (11.36)

Deci, ecuația inițială 𝑑
𝑑ℎ(𝑄2
𝑔.𝜔+ℎ𝐺.𝜔)=0 poate fi scrisă sub forma:

−𝑄2
𝑔.𝜔2𝐵+𝜔=0 (11.37)

𝑄2.𝐵
𝑔.𝜔3=1 (11.38)

sau Fr = 1 , ceea ce înseamnă că funcția de salt are valoarea minimă pentru Fr = 1 ,
respectiv pentru h = h cr (Fig. 11.14).

11.3.3 Relația dintre adâncimile conjugate ale saltului hidraulic
Adâncimile h1 și h2, pentru care funcția de salt este aceeași, se numesc adâncimi
conjugate .
Relația dintre aceste adâncimi se determină din condiția S(h 1) = S(h 2); astfel, pentru
cazul particular al unui canal dreptunghiular, la care ω = B.h și hG = h/2 rezultă:

𝑄2
𝑔.𝜔1+ℎ𝐺1.𝜔1=𝑄2
𝑔.𝜔2+ℎ𝐺2.𝜔2 (11.39)

𝑄2
𝑔.𝐵.ℎ1+ℎ1
2(𝐵.ℎ1)=𝑄2
𝑔.𝐵.ℎ2+ℎ2
2(𝐵.ℎ2) (11.40)

iar după împărțirea la B se obține:

𝑄2
𝑔.𝐵2.ℎ1+ℎ12
2=𝑄2
𝑔.𝐵2.ℎ2+ℎ22
2 (11.41)

În ecuația anterioară se introduce debitul specific q = Q/B și rezultă :

𝑞2
𝑔.ℎ1+ℎ12
2=𝑞2
𝑔.ℎ2+ℎ22
2 (11.42)

𝑞2
𝑔.ℎ1−𝑞2
𝑔.ℎ2=ℎ22
2−ℎ12
2 (11.43)

𝑔.ℎ1.ℎ22+𝑔.ℎ12.ℎ2−2𝑞2=0 (11.44)

Ecuația anterioară are soluțiile identice ca formă, respectiv:

𝒉𝟏=𝒉𝟐
𝟐(√𝟏+𝟖𝒒𝟐
𝒈.𝒉𝟐𝟑−𝟏) și 𝒉𝟐=𝒉𝟏
𝟐(√𝟏+𝟖𝒒𝟐
𝒈.𝒉𝟏𝟑−𝟏) (11.45)

și reprezintă relațiile de calcul pentru cele două adâncimi conjugate. Deoarece ecuația
(11.4 4) este o ecuație de gradul 2 cu două necunoscute, h1 și h2, aceasta se rezolvă, de
regulă, prin metoda aproximațiilor succesive ; în prima aproximație se propune h1 = hc.

11.3.4 Lungimea saltului hidraulic
Deoarece saltul hidraulic are multiple forme de manifestare, pentru calculul lungimii
acestuia nu s -a putut stabili o expresie general valabilă; de aceea, diverși autori au
propus diferite r elații de calcul, atât pentru secțiuni dreptunghiulare, cât și pentru cele
trapezoidale, ca de exemplu:
– pentru salt în albii dreptunghiulare:

ls = (5 ÷ 6) (h2 – h1) (11.46)

– pentru salt în albii trapezoidale:

𝒍𝒔=𝟓𝒉𝟐√𝟏+𝟒(𝑩𝟐−𝑩𝟏)/𝑩𝟏 (11.47)

unde B 1 și B 2 sunt lățimile secțiunilor la cele două adâncimi conjugate .

11.3.5 Aspecte privind racordarea biefurilor cu disipatori de energie
Racordarea biefurilor se face în funcție de mărimea adâncimii apei din bieful aval ( hav)

în raport cu adâncimea critică ( hcr), după cum urmează:
 fără salt hidraulic , dacă în bieful aval 𝑖 > 𝑖𝑐𝑟 și ℎ𝑎𝑣≤ ℎ𝑐𝑟, unde, pentru
albii dreptunghiulare

𝑖𝑐𝑟=𝑄2
𝐾𝑐𝑟2 și ℎ𝑐𝑟=√𝑞2
𝑔3 (11.48)

relații ce rezultă din condiția 𝐹𝑟 = 1, respectiv 𝑄=𝜔.𝐶√𝑅.𝑖𝑐𝑟=𝐾.𝑖𝑐𝑟
 cu salt hidraulic , dacă în bieful aval hav > h cr, tipul saltul ui putându -se încadra
în una din categoriile următoare :
– salt înecat , dacă h2 < h av
– salt în stare critică , dacă h2 = h av
– salt îndepărtat , dacă h2 > h av
unde h2 este a doua adâncime conjugată a saltului.
În general, pentru a se stabili natura saltului se procedează astfel:
– se calculează hc (vezi relația 11.24)
– se consideră că h1 = h c
– se calculează a doua adâncime conjugată h2 = f(h c)
– se compară h2 cu hav.
Ca urmare a vitezelor mari de curgere a apei ce iau naștere în zona pe care se dezvoltă
saltul hidraulic în aval de construcțiile hidrot ehnice (deversoare, stavile ș.a.) ,
îndeosebi în cazul saltului hidraulic îndepărtat, racordarea biefurilor se face prin
intermediul unor disipatori de energie , care au rolul de a reduce viteza, respectiv de a
asigura disiparea celei mai mari părți a energiei apei prin înecarea saltului; astfel, cea
mai marte parte a energiei curentului se disipează pe o distanță relativ mică, iar
volumul lucrărilor de protecție a albiei se reduc e. Dimensionarea lucrărilor de
protecție se face în funcție de tipul și dimensiunile construcției hidrotehnice, precum și
în funcție de caracteristicile hidraulice ale saltului (adâncimea contractată, lungimea
saltului etc.).
Pentru disiparea energiei se poate opta, în principal, pentru următoarele soluții
constructive:
 disipator de energie cu bazin (Fig. 11.16); calculul de dimensionare constă în
determinarea adâncimii și lungimii bazinului , cunoscând debitul de calcul;
soluția se re comandă pentru situațiile în care 20 < F r < 80 și atunci când saltul
este apropiat;

dhcH
a
Δz
lb ls lris
hav
Fig. 11.16 Disipator de energie cu bazin în aval de stavilă

 disipator de energie cu prag (Fig. 11.17) ; deoarece pragul se comportă ca un
deversor, înălțimea pragului se determină din condiția ca imediat amonte de
prag adâncimea apei să fie cel puțin egală cu a doua adâncime conjugată
corespunzătoare saltului; de asemenea, a doua adâncime conjugată a saltu lui
ce se formează la prag, trebuie să fie inferioară adâncimii apei în aval (pentru
ca și cel de al doilea salt să fie înecat):

ham prag ≥ h 2 I salt și h2 II salt < h av (11.49)

H
hc
hc’d
havΔz
ls lris
Fig. 11.17 Disipator de energie cu prag aval de deversor

 risbermă ; reprezintă o soluție de protecție a fundului albiei care, prin mărirea
rugozității acestuia contribuie la reducerea vitezei provocate de saltul
hidraulic, având astfel rolul de a împiedica avansarea eroziunii dinspre aval
spre amonte ; dacă racordarea biefurilor se face fără salt, risberma este
suficientă pentru a proteja fundul albiei de eroziune;
 soluții mixte , ca de exemplu disipator de energie cu bazin , prag și risbermă
aval (Fig. 11.18) ; combinarea mai multor modalități de disipare a energiei se
aplică pentru situațiile în care 80 < Fr < 20 .
Din punct de vedere constructiv, pentru realizarea lucrărilor de disipare a energiei se
folosesc materiale locale (saltele din gabioane, anrocamente) sau beton (monolit sau
prefabricate). Uneori, sunt necesar a fi realizate și apărări de mal, care să asigure
stabilitatea malurilor și să împiedice erodarea acestora în zona în care se dezvoltă
saltul hidraulic.

hcH
a
Δz
lb ls lris
havhc’d
d’

Fig. 11.18 Disipator de energie cu bazin și prag

Pe de altă parte, saltul hidraulic poate fi utilizat pentru : facilitarea amestecului unor
substanțe chimice; facilitarea procesului de aerare a apei .
De exemplu, prin trecerea apei brute peste un deversor cu profil practic, saltul
hidraulic care se formează asigură o turbulență intensă și deci o amestecare adecvată a
apei cu soluția de coagulant utilizată pentru tratarea apei, respectiv la limpezirea
acesteia.
Aerarea apei, respectiv îmbogățirea conținutului de oxigen al apei în contact cu aerul
atmosferic , contribuie la accelerarea degradării biologice a poluanților din apă;
dispozitivele utilizate în acest sens se numesc aeratoare tip cascadă și sunt f ormate din
mai multe bazine deschise montate succesiv, la niveluri diferite, astfel încât să fie
favorizată o curgere cât mai turbulentă, îmbunătățindu -se astfel transferul oxigenului
în apă (Fig. 11.19 ).

apă brută
apă aerată

Fig. 11.19 Schema constructivă a unui aerator tip cascadă

12. Curgerea apei subterane

12.1 Generalități
Apa subterană provine , în cea mai mare parte, din apa aflată la suprafața pământului,
apă care se infiltrează printr -un sistem de discontinuități cu geometrie variabilă, sub
acțiunea forței de gravitație. Aceste discontinuități sunt reprezentate de:
– golurile care separă granulele din care sunt formate majoritatea rocilor, în
special cele sedimentare și vulcanice;
– faliile și fisur ile de diferite mărimi specifice rocilor cristaline, în special
formațiunilor carstice.
Principalele caracteristici ale mediului geologic (pământului) care influențează
mișcarea apei subterane sunt:
 granulometria , respectiv conținutul procentual al diferitelor fracțiuni
 porozitatea totală , definită ca raportul dintre volumul golurilor (Vg) și volumul
total al unei probe de pământ (Vt):

nt = 100.V g/Vt [%] (12.1)

 porozitatea efectivă (vezi Tab. 12.1) , definită ca raportul dintre volumul
ocupat de apa liberă (Vl) și volumul total al unei probe de pământ (Vt):

ne = 100.V l/Vt [%] (12.2)

unde prin apă liberă se înțeleg apa capilară (apa pe care solul o reține în
spațiile capilare și care se mișcă în toate direcțiile sub acțiunea forțelor
capilare) și cea gravitațională (apa din spațiile necapilare ale solului, unde se
menține o perioadă sc urtă de timp, după o ploaie abundentă) ; porozitatea
efectivă se mai numește și porozitate eficace
 coeficientul de reținere a apei în pori , definit ca raportul dintre volumul de
apă reținut în pori (Vr) și volumul total al probei ( Vt):

nr = 100.V r/Vt [%] (12.3)

Configurația porilor și fisurilor în natură nu se poate descrie matematic. Studiul
mișcării reale a apei subterane în aceste medii, utilizând legile generale ale
hidrodinamicii , este im posibil de realizat din cauza necunoașterii geometriei și
distribuției golurilor prin care se mișcă apa subterană. Prin urmare, mișcarea reală a
apei subterane din mediul discontinuu poros/fisural este înlocuită cu o mișcare
aparentă într -un mediu continuu (solid+goluri), cu condiția ca debitul ce trece printr -o
secțiune să fie egal cu cel real.

Tab. 12.1 Valori orientative ale porozității efective
(conf. OM 1278/2011 pentru aprobarea Instrucțiunilor privind delimitarea
zonelor de protecție sanitară și a perimetrului de protecție hidrogeologică)
Tip litologic Porozitate efectivă ne (%)
Argilă 1 – 10
Praf 15 – 25
Nisip 10 – 30
Pietriș 15 – 30
Gresii 3 – 35
Cretă 2 – 12

Hidrogeologia este știința care se ocupă cu studiul apelor subterane; ea studiază
originea apei, modul de alimentare, structurile geologice, rocile cu rol acvifer existente
în scoarța terestră, modalitățile de scurgere a apei, proprietățile fizico -chimice ale
acesteia, condiții de conservare și exploatare a apei subterane ș.a.
Principalele aplicații de calcul ale studiului mișcării apei subterane se referă la:
– dimensionarea și funcționarea drenurilor ;
– dimensionarea și funcționarea puțurilor de alimentare cu apă ;
– dimensionarea și funcționarea puțurilor de mon itorizare cantitativă și calitativă a
apei subterane ;
– modelarea matematică a transportului și dispersiei poluanților în medii poroase ;
– calculul infiltrațiilor la exploatarea digurilor și barajelor din materiale locale etc.

12.2 Legea lui Darcy
La baza tuturor calculelor specifice mișcării apei subterane stă legea lui Darcy ,
stabilită experimental în jurul anului 1850 .
Folosind probe din nisip cu diferite granulozități (Fig. 12.1) , Darcy a descoperit că
debitul infiltrat Q este proporțional cu secțiunea de curgere Ω (care cuprinde atât porii
cât și particulele solide), cu gradientul hidraulic I și cu un coeficient constant pentru
un anumit tip de material folosit ca probă, K, numit conductivitate hidraulică sau
coeficient de infiltrație sau coeficient de permeabilitate :

𝑸=𝜴.𝑲.𝑰 (12.4)

Raportul Q/Ω are dimensiunea unei viteze și se numește viteză de infiltrație ; prin
urmare, relația lui Darcy se poate scrie sub forma:

𝒗=𝑸
𝜴= 𝑲.𝑰 (12.5)

și se măsoară în m/s, cm/s sau m/zi.

LQQhA
hBA
B
Δh
Ω

Fig. 12.1 Schema experimentului lui Darcy

În cazul unui tub de curent elementar, înclinat față de orizontală, relația vitezei de
infiltrație are forma:

𝑣=𝐾(𝑧𝐴+ℎ𝐴)−(𝑧𝐵+ℎ𝐵)
∆𝐿=𝐾ℎ𝐴−ℎ𝐵
∆𝐿=−𝐾ℎ𝐵−ℎ𝐴
∆𝐿 (12.6)

ceea ce înseamnă că f orma ecuației Darcy (ținând cont că înălțimea piezome trică
scade în lungul curgerii) este:

𝑣=− 𝐾∆ℎ
∆𝐿 (12.7)

sau, scrisă sub forma generalizată:

𝒗=− 𝑲𝒅𝒉
𝒅𝑳 (12.8)

Viteza de infiltrație nu este viteza reală de mișcare a apei în porii mediului permeabil,
ci este o viteză aparentă, atâta timp cât secțiunea de curgere cuprinde porii cât și
particulele solide; de aceea viteza de infiltrație servește la descrierea globală a
cinematicii mișcării și nu a celei de detaliu.
Legea lui Darcy este aplicabilă unui regim laminar de mișcare (mișcare lentă); diverși
specialiști au demonstrat experimental că limita superioară de valabilitate a legii lui
Darcy este caracteristică pietrișurilo r (Remax = 10 ), deoarece la viteze mari mișcarea
devine neliniară.
Coeficientul de infiltrație K variază în limite foarte largi, în funcție de granulometrie,
porozitate, temperatura apei etc. (Tab. 12.2); pentru rezolvarea unor probleme care
necesită o pr ecizie mare, sunt necesare determinări experimentale .

Tab. 12.2 Valori orientative ale coeficientului de infiltrație
(conf. OM 1278/2011 pentru aprobarea Instrucțiunilor privind delimitarea zonelor de protecție
sanitară și a perimetrului de protecție hidrogeologică)
Tip litologic Fracție granulometrică
predominantă (mm) Coeficient de
infiltrație K (m/zi)
Argilă, cretă, caolin < 0,01 < 0,5
Praf, loess, sol, nisip argilos,
nisip prăfos 0,01 – 0,05 0,5 – 1
Nisip 0,05 – 0,10 1,5 – 10
0,10 – 0,25 10 – 25
0,25 – 0,00 20 – 50
0,50 – 1,00 35 – 75
1 – 2 60 – 125
Pietriș 2 – 70 > 100 Bolovăniș 70 – 200

În general, rocile sunt caracterizate prin două feluri de permeabilitate:
– permeabilitate verticală , care se exprimă cu ajutorul coeficientului de
infiltrație K, exprimat în m/s, cm/s sau m/zi;
– permeabilitate orizontală , numită și transmisivitate , T, care este egală cu
produsul dintre coeficientul de infiltrație și grosimea stratului acvifer, fiind
măsurată în m2/s sau cm2/s; este o mărime frecvent utilizată pentru calculul
debitelor stratelor acvifere.

12.3 Sisteme acvifere
Deplasarea apelor subter ane este un proces deosebit de complex, generat de acțiunea
mai multor factori: forța gravitațională; forța capilară; gradientul hidraulic;

caracteristicile mediului geologic ș.a. Acțiunea cumulată a acestor factori conduce la
apariția de diferențe de pote nțial hidraulic, astfel încât apa subterană se va deplasa
dinspre punctele sau zonele cu potențial ridicat, spre cele cu potențial redus.
Pe domenii întinse de mișcare, se poate considera că mișcarea apei subterane are loc în
plan orizontal și dacă se admite ipoteza că liniile de curent sunt orizontale ( ipoteza
Dupuit ), atunci se poate considera că avem de -a face cu o mișcare plan -orizontală.
În cazul unui mediu poros saturat se definește sarcina hidraulică , într -un punct
oarecare dintr -un fluid incompresibil supus forțelor gravitaționale, ca fiind:

𝐻=𝑧+𝑝
𝛾+𝑣2
2𝑔 (12.9)

unde v este viteza reală a fluidului în punctul de cotă z. Această sarcină descrește în
sensul curgerii sau este c onstantă în cazul repausului. Viteza reală v este foarte mică
(mișcarea apei subterane este o mișcare lentă), astfel termenul v2/2g este neglijabil, iar
sarcina hidraulică devine:

𝑯=𝒛+𝒑
𝜸 (12.10)

numită înălțime piezometrică sau sarcină piezometrică . Cu alte cuvinte, dacă se
practică un foraj în sol și se introduce un tub deschis la ambele capete (tub
piezometric), apa se va ridica în tub până la un nivel care se numește suprafața liberă
a apei ; ace astă suprafață separă mediul poros saturat de cel nesaturat, aflat deasupra
lui. Cota suprafeței libere este cea măsurată în piezometru, indiferent de adâncimea
acestuia.
Acvifer ul este o formațiune geologică reprezentată de un strat subteran destul de
poros, astfel încât să poată stoca apă și suficient de permeabil încât apa să poată
circula liber prin el; denumirea vine din latină: aqua = apă, ferre = a purta, a duce,
phreatos = puț.
a) Acviferul cu nivel liber sau pânza freatică este situat sub cota terenului, la
adâncimi relativ mici, având la bază un strat impermeabil.
Apele din precipitații se infiltrează prin porii și fisurile rocilor până ajung la stratul
impermeabil, deasupra căruia se acumulează, saturând porii rocilor de jos în sus, până
ajung la un anumit nivel, numit nivel piezometric . Suprafața stratului permeab il saturat
cu apă se numește suprafață piezometrică sau suprafață freatică ; această suprafață
separă două zone cu umiditate diferită:
 zona de aera re sau de aerație , cuprinsă între nivelul piezometric și cota
terenului (Fig. 12.2), având o grosime ce poate varia de la 1 m la câțiva zeci
de metri; în general, are în componență trei subzone :

­ subzona de evapotranspirație, situată imediat sub cota terenului și
având grosimi ce pot ajunge până la 2 m; gradul de umiditate este
semnificativ influențat de intensitatea procesului de evapotranspirație;
­ subzona intermediară sau de retenție, având grosimi ce pot varia de la
1÷2 m până la 10 ÷20 m, în funcție de fluctuațiile nivelului
piezometric;
­ subzona c apilară , situată deasupra nivelului piezometric, cu grosimi
variabile în funcție de fluctuațiile nivelului piezometric și de
granulometria rocilor permeabile (0,2÷0,3 m în cazul nisipurilor,
respectiv până la 2 ÷3 m în cazul argilelor);
 zona de saturație, cuprinsă între nivelul piezometric și stratul impermeabil ,
unde porii rocilor sunt complet saturați.

Nivel piezometric
Strat impermeabilCota teren
Zona de
saturațieZona de aerareSubzona de
evapotranspirație
Subzona de
retenție
Subzona capilară

Fig. 12.2 Distribuția pe verticală a apei subterane

În zone aride, unde alimentarea pânzei freatice din precipitații este neînsemnată,
suprafața liberă a pânzei este coborâtă, sub talvegul râurilor, ceea ce face posibilă
alimentarea pânzei din apele de suprafață. Când nivelul piezometric al acviferului
freatic se găsește la adâncime redusă, evaporarea este importantă, ca urmare a mișcării
capilare ascendente a apei din acvifer; invers, când nivelul piezometric al acviferului
freatic se găsește la adâncime mare, rata evaporării scade, fiind limitată de umidit atea
reținută în stratul superficial de sol.

râu râu
51525354
52535455
curbe echipotențiale
suprafață piezometrică
a) pânza freatică alimentează râul b) râul alimentează pânza freatică
Fig. 12.3 Distribuția izofreatelor în funcție de raportul râu -pânză freatică

Suprafața freatică urmărește într -o mare măsură nivelul suprafeței topografice, putând
fi ridicat sau coborât în mod natural, ori prin diferite lucrări efectuate de om. De
exemplu creșterea nivelului apelor dintr -un râu, canal sau lac de acumulare va
modifica pozitiv și nive lul apelor freatice din zona limitrofă. Din contră, în zonele de
câmpie, cu nivelul apelor freatice foarte aproape de suprafața topografică, prin
execuția canalelor de drenaj nivelurile apelor freatice pot fi coborâte fața de situația
naturală.
Stratul fr eatic poate constitui sursă de alimentare cu apă, însă de cele mai multe ori
apa nu are caracter potabil.
b) Acviferul de adâncime sau pânza captivă este limitat deasupra și dedesubt prin
formațiuni impermeabile. Într -un puț care străbate un acvifer sub presiune, nivelul apei
se ridică deasupra stratului impermeabil superior; acest nivel indică sarcina
piezometrică din centrul puțului. Dacă nivelul ap ei se ridică peste cota terenului ,
acviferul se numește acvifer artezian.
În general, stratele acvifere de mare adâncime înmagazinează apă formată în ere
îndepărtate, în condiții climatice diferite de cele actuale; de aceea acestea reprezintă
surse nereînn oibile de apă. Cu cât adâncimea de cantonare a acestor straturi este mai
mare, cu atât riscul poluării acestor ape este mai redus; de aceea, acviferele de
adâncime constituie resurse de apă care se pot folosi pentru alimentarea cu apă
potabilă a populației sau pentru diferite alte folosințe.

12.4 Mișcarea apei subterane în zona puțurilor
12.4.1 Generalități
Puțuri le sau foraje le sunt construcții verticale cilindrice, având o parte a suprafeței
laterale permeabilă, utilizate la captarea apei subterane necesare alimentării cu apă
potabilă sau industrială sau în alte scopuri.

 După destinația acestora, forajele pot fi clasificate astfel:
a) foraj pentru alimentare cu apă
b) foraj pentru monitorizarea apei subterane (piezometre sau puțuri de
observație )
c) foraj de cercetare hidrogeologică (prospecțiune și explorare)
d) foraj pentru epuisment sau drenare .
 După poziția apei în jurul forajului , forajele pot fi clasificate astfel (Fig. 12.4):
a) foraj perfect , la care este interceptată întreaga grosime a stratului acvifer
b) foraj imperfect , la care stratul acvifer este interceptat numai la partea
superioară
Q Q

a) b)
Fig. 12.4 Tipuri de foraje, în funcție de poziția apei în jurul forajului

 După modul de amplasare, forajele pot fi clasificate astfel:
a) foraj singular/izolat
b) grup de foraje sau front de captare etc.
Principalele elemente de calcul al mișcării apei subterane în zona forajelor se referă la:
– determinarea debitului maxim (capabil) care poate fi pompat din foraj ;
– determinarea razei de influență a forajului (R);
– stabilirea ecuației suprafeței piezometrice în funcție de raza de influență ;
– dimensionarea filtrului invers ș.a.
În general, cele mai multe calcule privind mișcarea apei în zona foraje lor au la bază
teoria hidraulică a forajelor perfecte , care a fost elaborată în anul 1863 de J. Dupuit ;
principalele ipoteze simplificatoare ale acestei teorii sunt următoarele:
– stratul acvifer este omogen și izotrop;
– este valabilă legea lui Darcy;

– liniile de curent pot fi considerate orizontale, iar vitezele asociate acestor linii
sunt proporționale cu panta suprafeței libere și sunt independ ente de adâncime
(ipoteza lui Dupuit );
– mișcarea apei către foraj este permanentă;
– forajul este alimentat pe un contur circular , având centrul în axul forajului și
raza egală cu raza de influență.
În cazul foraje lor pentru alimentare cu apă, alegerea unei scheme de exploatare a apei
subterane se face pe baza unor studii hidrologice, hidrogeologice și tehnico
economice. Sursa de apă potabilă aleasă trebuie să satisfacă următoarele cerințe:
– asigurarea debitului de apă necesar consumatorilor ;
– asigurarea calit ății apei, necesare la consumator, utilizând un minim de tratări ;
– siguranță în exploatare (asigurarea debitelor minime și a calității admisibile) ;
– eficiență economică maximă ținând seama de costul minim pe metru cub de
apă furnizată și de efectul economic general în cadrul gospodăririi apei.
Alegerea locațiilor și a caracteristicilor constructive ale piezometrelor trebuie să
satisfacă următoarele cerințe:
– asigurarea unei coloane de apă permanente, din care să poată fi prelevate
probe în orice perioadă a anu lui;
– siguranță în exploatare (alegerea locațiilor de amplasare astfel încât să nu fie
distruse în timp și să nu fie accesate de persoane străine) ;
– respectarea cerințelor constructive, ce depind de scopul pentru care au fost
realizate ș.a.

12.4.2 Calculul debitului unui foraj perfect în strat acvifer cu nivel liber
În cazul unui acvifer cu nivel liber (vezi Fig. 12.5), suprafața liberă se află la cota
notată cu NHs – nivel hidrostatic (nivelul corespunzător situației în care nu se
pompează apa din strat). Dacă se pompează apă prin intermediul foraj ului, cota
suprafeței libere scade până la nivelul NHd – nivel hidrodinamic , creându -se astfel o
denivelare s 0.
Pentru un foraj cu raza r0, în care adâncimea apei este h0, secțiunea de curgere către
foraj la o distanță oarecare este una cilindrică, de rază r și înălțime h, iar panta de
curgere este dh/dr . Prin urmare, expresia debitului va fi:

𝑄=𝜔.𝑣=2𝜋𝑟.ℎ.𝐾𝑑ℎ
𝑑𝑟 (12.11)

unde s -a ținut cont de faptul că aria secțiunii de curgere este aria laterală a cilindrului
cu lungimea bazei egală cu 2πr și înălțimea egală cu h.

Q
s0
Hh0h
rRNHs
NHd
r0
Fig. 12.5 Schema de calcul pentru foraj perfect în strat acvifer cu nivel liber

Știind că în expresia de mai sus h = h(r), după separarea variabilelor se obține:

ℎ(𝑟).𝑑ℎ=𝑄
2𝜋𝐾𝑑𝑟
𝑟 (12.12)

Prin integrare, știind că h ia valori în intervalul [h0,H], iar r ia valori în intervalul
[r0,R], rezultă:

∫ℎ(𝑟).𝑑ℎ𝐻
ℎ0=∫𝑄
2𝜋𝐾𝑑𝑟
𝑟𝑅
𝑟0 (12.13)

ℎ2
2|ℎ0𝐻=𝑄
2𝜋𝐾𝑙𝑛𝑟|𝑟0𝑅 (12.14)

𝐻2−ℎ02=𝑄
𝜋𝐾𝑙𝑛𝑅
𝑟0 (12.15)

𝑸=𝝅𝑲 𝑯𝟐−𝒉𝟎𝟐
𝒍𝒏𝑹
𝒓𝟎 [m3/s] (12.16)

Din relați a (12.1 5) rezultă și ecuația curbei de depresie/depresiune (curba lui Dupuit)
corespunzătoare foraju lui perfect în acvifer cu nivel liber, scrisă pentru un punct
oarecare aflat la cota h și la distanța r față de axul forajulu i:

ℎ2−ℎ02=𝑄
𝜋𝐾𝑙𝑛𝑟
𝑟0 (12.17)

𝒉=√𝒉𝟎𝟐+𝑸
𝝅𝑲𝒍𝒏𝒓
𝒓𝟎 [m] (12.18)

Denivelarea/depresiunea maximă a apei în foraj rezultă din relația:

s0 = H – h0. [m] (12.19)

Cunoașterea d epresiun ii s0 ajută la determinarea debitului pompat ; astfel, s e fac
pompări experimentale cu cel puțin 3 debite (de regulă Q, 2Q și 3Q) și se trasează
curba de variație Q = f(s 0), din care se poate determina apoi debitul pompat pentru
orice depresiune (Fig. 12.6).

QQ1 Q2 Q3
s0 1
s0 2
s0 3
s0

Fig. 12.6 Curba de variație a debitului captat în funcție de depresiune

Raza de influență a foraju lui se determină cu relații semiempirice, în care intervin
conductivitatea hidraulică și denivelarea, ca de exemplu:

R = 3000.s 0.K0,5 formula lui Sichardt (12.20)

R = 575.s 0.(K.H)0,5 formula lui Kusakin (12.21)

Pentru calcule aproximative se poate admite:
– R = 300 ÷ 500 m pentru nisip cu granulație mare și pietriș;
– R = 250 ÷ 300 m pentru nisip cu granulație medie;
– R = 50 ÷ 250 m pentru nisip fin.

Debitul real pompat este ceva mai mic decât debitul maxim al foraju lui, dacă se ține
cont de faptul că la curgerea apei către foraj apar pierderi de sarcină; dintre acestea,
cele mai importante sunt:
– pierderea de sarcină la trecerea apei prin peretele perforat al coloanei forajul ui;
– pierderea de sarcină cauzată de mișcarea apei prin coloana/tubulatura foraju lui
către piesa de aspirație sau către intrarea în pompa submersibilă;
– pierderea de sarcină cauzată de modificarea în timp a proprietăților filtrante ale
filtrului invers, ca urmare a colmatării parțiale a acestuia ș.a.
Pentru prelungirea duratei de exploatare a foraju lui se recomandă reducerea vitezei de
pătrundere a apei în foraj , astfel încât mișcarea apei în filtru să rămână laminară; în
aceste fel se asigură și o viteză de acces a apei către foraj care evită colmatarea
(înnisiparea) filtrului .
Viteza maximă de intrare a apei în foraj poate fi determinată cu diverse relații de
calcul, în care intervin caracteristicile mediului geologic , ca de exemplu :

𝑣𝑎 =√𝐾
15 [𝑚/𝑠] relația lui Sichardt (12.22)

𝑣𝑎 =𝑑10
280 [𝑚/𝑠] relația lui Truelsen. (12.23)

Observație:
 La același debit pompat (Q) și aceeași grosime interceptată a stratului acvifer, puțul
perfect produce o denivelare mai mică în acvifer și are o eficiență economică mai bună
(consumul de energie necesar pompării este mai mic) decât cel imperfect.

12.4.3 Calculul debitului unui foraj perfect în strat acvifer sub presiune
În cazul unui acvife r sub presiune , având grosimea a (vezi Fig. 12.7) secțiunea de
curgere că tre foraj la o distanță oarecare r este tot una cilindrică.
Nivelul hidrostatic al apei este mai mare decât limita superioară a stratului subteran,
datorită faptului că apa este sub presiune în acest strat. Tubulatura forajului este
perforată, de regulă, pe toată grosimea stratului de apă subterană ( a).
Prin urmare, expresia debitului va fi:

𝑄=2𝜋𝑟.𝑎.𝐾𝑑ℎ
𝑑𝑟 (12.24)

Q
r0H h0h
rRNHs
NHd
a
Fig. 12.7 Schema de calcul pentru foraj perfect în strat acvifer sub presiune

Știind că în expresia debitului h = h(r) , după separarea variabilelor se obține:

𝑑ℎ=𝑄
2𝜋𝑎.𝐾𝑑𝑟
𝑟 (12.25)

Prin integrare, știind că h ia valori în intervalul [ h0,H], iar r ia valori în intervalul
[r0,R], rezultă:

∫𝑑ℎ𝐻
ℎ0=∫𝑄
2𝜋𝑎.𝐾𝑑𝑟
𝑟𝑅
𝑟0 (12.26)

După integrare rezultă:

ℎ|ℎ0𝐻=𝑄
2𝜋𝑎.𝐾𝑙𝑛𝑟|𝑟0𝑅 (12.27)

𝐻−ℎ0=𝑄
2𝜋𝑎.𝐾𝑙𝑛𝑅
𝑟0 (12.28)

𝑸=𝟐𝝅𝒂.𝑲𝑯−𝒉𝟎
𝒍𝒏𝑹
𝒓𝟎 [m3/s] (12.29)

care reprezintă relația de calcul a debitului unui foraj perfect , în acvifer sub presiune.

Pentru stabilirea ecuației curbei de depresiune se adoptă aceiași pași ca și în cazul
acviferului cu nivel liber , rezultând astfel că:

𝒉=𝒉𝟎+𝑸
𝟐𝝅𝒂.𝑲𝒍𝒏𝒓
𝒓𝟎 [m] (12.30)

În practică, de multe ori, pentru alimentarea cu apă a localităților sunt necesare mai
multe foraje, respectiv este necesar un front de captare, alcătuit din mai multe foraje.
Conform legislației în vigoare, principiile generale în dimensionarea captărilor din apă
subterană su nt următoarele:
– se dimensionează o captare de apă subterană atunci când se demonstrează prin
studii adecvate că există apă subterană bună de utilizat;
– captarea se dimensionează la debitul zilnic maxim (cerința maxim zilnică);
– frontul de puțuri va ave a un număr de puțuri de rezervă; numărul minim este
de 20% din numărul celor necesare pentru debitul cerut;
– captarea se dimensionează și va funcționa continuu și la debite cu valori
constante pe perioade cât mai lungi de timp;
– alegerea pompelor amplasate în puț este deosebit de importantă; este rațional
ca alegerea pompelor și echiparea să se facă după cunoașterea efectivă a
parametrilor fiecărui puț finalizat;
– captarea va avea zonă de protecție sanitară chiar dacă apa captată nu este
potabilă;
– captarea se amplasează în concordanță cu prevederile planului de amenajare al
bazinului hidrografic respectiv;
– captarea va fi astfel amplasată încât să poată fi dezvoltată ulterior până la
limita capacității stratului acvifer.

13. Noțiuni general e privind modelarea în hidraulică
Pentru studiul majorității problemelor științifice, inclusiv al celor specifice hidraulicii,
sunt utilizate mai multe metode de lucru, fiecare dintre acestea având o anumită arie
de aplicabilitate, prezentând avantaje și d ezavantaje, utilizarea uneia sau a mai multor
astfel de metode rămânând la alegerea specialiștilor din domeniu.
Una dintre aceste metode o constituie analiza dimensională, la care s -a făcut referire la
începutul acestei lucrări (vezi Capitolul 2). Analiza dimensională este un procedeu
prin care evoluția unui fenomen fizic este exprimată cu ajutorul unei relații între
grupuri adimensionale de variabile, în care numărul grupurilor este mai mic decât
numărul variabilelor. Folosirea acestei metode prezintă avantajul reduce rii numărului
de experimente necesare stabilirii relației între variabilele de interes, precum și cel al
simplificării acestor experimente.
De asemenea, o altă metodă fără de care studiul proceselor hidraulice nu este posibil o
constituie modelarea matemat ică.
Deși în principiu acest tip de modelare se bazează pe rezolvarea prin aproximații
numerice a ecuațiilor complete ale hidrodinamicii, care descriu curgerea apei într -un
domeniu dat în condiții inițiale și la limită cunoscut e, pentru unele subdomenii
specifice ale hidraulicii sunt des folosite modele matematice simplificate.
Situațiile cele mai complexe se referă la modelarea mișcării nepermanente a lichidelor
cu nivel liber. O etapă importantă în modelarea numerică o consti tuie aducerea
ecuațiilor cu derivate parțiale care descriu mișcarea (ecuațiile Euler, în cazul fluidelor
ideale, respectiv ecuațiile Navier -Stokes, în cazul fluidelor reale ) la o formă algebrică
adecvată programării calculatoarelor; pe de altă parte, trebuie asigurată stabilitatea
calculelor , mai ales în secțiunile cu discontinuități ale curgerii. P rincipalele metode
utilizate pentru discretizarea ecuațiilor hidraulice în modelarea numerică a curgerii
fluidelor sunt :
 metoda diferențelor finite;
 metoda elementului finit;
 metoda volumelor finite;
 metoda elementelor de frontieră.
Gradul de complexitate al ecuațiilor modelului matematic depinde de natura
proceselor care se modelează, de problema concretă care interesea ză, cât și de scopul
pentru care se realizează. Modelul matematic trebuie calibrat și validat pe baza datelor
înregistrate în natură, astfel încât rezultatele obținute cu ajutorul lui să fie în
concordanță cu realitatea.
Din cauza complexității și diversității fenomenelor hidraulice a apărut necesitatea

utilizării pe scară largă și a metodelor experimentale de cercetare, respectiv a
modelării experimentale . Studiul fenomenelor hidraulice pe m odele la scară redusă,
executate în laboratoare hidraulice special amenajate, presupune realizarea de teste și
măsurători, utilizând ca fluide de lucru apa sau aerul. Modelarea experimentală se
bazează pe înlocuirea domeniului efectiv de desfășurare a feno menului real, numit în
mod curent „prototip”, cu un domeniu la scară redusă, numit „model”, în condițiile
asigurării posibilității de transpunere a rezultatelor obținute pe model în cadrul
prototipului; cu alte cuvinte, este necesară îndeplinirea unor crit erii de similitudine.
Asemănarea formei frontierelor modelului cu cele ale prototipului presupune
respectarea similitudinii geometrice , care se exprimă prin relația coeficientului de
scară:

𝛼𝑙=𝑙𝑝
𝑙𝑚 (13.1)

unde l este lungimea (singura mărime fundamentală în acest caz, cu ajutorul căreia se
pot exprima lungimi, suprafețe și volume), iar indicii p și m se referă la prototip,
respectiv la model.
Similitudinea cinematică constă din asigurarea asemănării geometrice a spectrelor
liniilor de curent și a proporționalității vitezelor în punctele omoloage ale modelului și
prototipului; poate fi exprimată înlocuind condiția de proporționalitate a vitezelor prin
proporționalitat ea timpului de pe prototip cu cel de pe model, coeficientul de scară al
timpului t fiind:

𝛼𝑡=𝑡𝑝
𝑡𝑚 (13.2)

Similitudinea dinamică cere ca forțele de același tip să se afle în raport constant, în
puncte omoloage; coeficientul de scară pentru forțe are expresia:

𝛼𝑓=𝑓𝑝
𝑓𝑚 (13.3)

Satisfacerea celor trei condiții de similitudine (geometrică, cinematică și dinamică)
este suficientă pentru avea coeficienți de scară constanți și pentru toate celelalte
mărimi caracteristice ale mișcării, aceștia putând fi exprimați funcție de coeficienții l,
t și f.
Trebuie făcută precizarea că similitudinea dinamică nu este simplu de asigurat,
deoarece există mai multe tipuri de forțe care determină mișcarea fluidului (forțe de
inerție, de gravitație, de frecare etc.); prin urmare, în practica modelării hidraulice

experimentale se apelează la diferite criterii de similitudine , în funcție de categoria de
forțe considerate dominante și luate în considerare:
 criteriul de similitudine Froude (Frp = Frm), utilizat la modelarea fenomenelor
hidraulice în care sunt predominante forțele de inerție și forțele gravitaționale
(curgerea în albii deschise, curgerea prin orificii, curgerea peste deversoare
ș.a.);
 criteriul de similitudine Reynolds (Rep = Re m), utilizat la modelarea
fenomenelor hidraulice în care sunt predominante forțele de inerție și forțele
de frecare cauzate de vâscozit atea fluidului (mișc area fluidelor în conducte,
turbine și pompe, studiul sediment ării particulelor fine ș.a.);
 criteriul de similitudine Euler ;
 criteriul de similitudine Strouhal ;
 criteriul de similitudine Weber ș.a.
Din cauza dificultăților întâmpinate la realizarea modelelor fizice, referitoare la
îndeplinirea simultană a criteriilor de similitudine, de multe ori se renunță la
îndeplinirea strictă a unui criteriu de similitudine în favoarea altuia, mai important din
punct de vedere al simulării în laborator a fenomenului studiat.
Abordarea experimentală are avantajul prezentării unor sisteme fizice reale, precum și
cel al realizării de măsurători, în limitele unor erori considerate acceptabile; cu toate
acestea, mode larea hidraulică experimentală este consumatoare de timp și de bani.
Abordarea analitică, respectiv modelarea matematică și simularea numerică, are
avantajul că este mai rapidă și mai ieftină, dar rezultatele obținute depind semnificativ
de acuratețea ipot ezelor și a aproximărilor adoptate.
În cadrul studiilor inginerești, de multe ori se optează pentru o abordare mixtă,
modelarea matematică și experimentală, cea din urmă permițând, de regulă, calibrarea
modelelor matematice.

BIBLIOGRAFIE

Anton Viorica, Popoviciu M., Fitero I. – Hidraulică și Mașini hidraulice, Ed. Didactică
și Pedagogică, București, 1978
Burchiu V., Mocanu Patricia, Gheorghiu L. – Utilaje și instalații pentru protecția
mediului, Ed. Atlas Press, București 2004
Burchiu V., Pleșa I., Burchiu Natalia – Instalații de alimentare cu apă pentru folosințe
individuale și microirigații, Ed. Ceres, București 1988
Burduf Gabriela – Mecanica fluidelor, FIFIM, Departamentul de învățământ FR,
București, 2011
Cengel Y, Cimbala J. – Fluid M echanics. Fundamentals and applications,
McGraw -Hill Series in Mechanical Engineering 2006
Chung T.J. – Computational Fluid Dynamics, Cam bridge University Press, 2002
(http://inis.jinr.ru/sl/Simulation/Chung,_Computational_Fluid_Dynamics,2002.pdf)
Deac I. – Dicționar enciclopedic al matematicienilor, Ed. Universității din Pitești, 2001
Fenton J. – A First Course in Hydraulics, 2012 ( http://johndfenton.com/Lectures/
Hydraulics/Hydraulics.pdf)
Fitts C. – Ground water Science, Academic Press UK, 2002
Florescu I. – Mecanica fluidelor. Note de curs pentru uzul studenților, Ed. Alma Mater
Bacău, 2007
Georgescu A. -M., Georgescu Sandală -Carmen – Hidraulica rețelelor de conducte și
mașini hidraulice, Ed. PRINTECH, Bucure ști 2007
Ghid pentru dimensionarea pragurilor de fund pe cursurile de apă, indicativ
GP-084-03
Hâncu S. – Curs de Hidraulică, IANB, București 1979
Hâncu S., Marin Gabriela – Hidraulică teoretică și aplicată, Editura Cartea
Universitară București, 2007
Iamandi C., Petrescu V. – Mecanica fluidelor, Ed. Didactică și Pedagogică București,
1978
Kiselev P. G. – Îndreptar pentru calcule hidraulice, Ed. Tehnică, București 1988
Marinov Anca Marina –Hidrodinamica apelor subterane, Editura PRINTECH, 2000

Marinovi ci D. – Hidraulică, Ed. Bren București, 2003
Mateescu C. – Hidraulică, Ed. Didactică și Pedagogică, București 1963
OM 1278/2011 pentru aprobarea Instrucțiunilor privind delimitarea zonelor de
protecție sanitară și a perimetrului de protecție hidrogeologică
OM 2901 /2013 pentru aprobarea reglementării tehnice "Normativ privind proiectarea,
execuția și exploatarea sistemelor de alimentare cu apă și canalizare a localităților.
Indicativ NP 133 -2013"
Pișota Ion, Zaharia Liliana – Hidrologia uscatului, Universitatea București, Facultatea
de Geografie, 2003
Santău I., Burchiu V., Alexandrescu O. – Instalații de pompare, Ed. Didactică și
Pedagogică, București 1982