6Unitatea de înv ățare I.1. Spa ții vectoriale euclidiene [616464]

6Unitatea de înv ățare I.1. Spa ții vectoriale euclidiene

Cuprins
I.1.1. Introducere ……………………………………………………………………………………………………….. 6
I.1.2. Competen țe ………………………………………………………………………………………………………. 6
II..11..33.. SSppaațțiiii vveeccttoorriiaallee.. DDeeffiinniițțiiee.. EExxeemmppllee…………………………………………………………………………………………………………………………………………..66
II..11..44.. CCoommbbiinnaațțiiee lliinniiaarrăă.. SSiisstteemm ddee ggeenneerraattoorrii.. LLiinniiaarr iinnddeeppeennddeennțțăă șșii lliinniiaarr ddeeppeennddeennțțăă…………88
II..11..55.. BBaazzăă.. DDiimmeennssiiuunnee…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..1100
II..11..66.. SScchhiimmbbaarreeaa bbaazzeeii…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….1122
II..11..77.. SSuubbssppaațțiiii vveeccttoorriiaallee.. OOppeerraațțiiii ccuu ssuubbssppaațțiiii vveeccttoorriiaallee…………………………………………………………………………………………..1144
II..11..88.. SSppaațțiiii vveeccttoorriiaallee eeuucclliiddiieennee șșii uunniittaarree……………………………………………………………………………………………………………………………………..1177
II..11..99.. OOrrttooggoonnaalliittaattee îînnttrr–uunn ssppaațțiiuu vveeccttoorriiaall eeuucclliiddiiaann……………………………………………………………………………………………………….1199
I.1.10. Rezumat ……………………………………………………………………………………………………….. 20
I.1.11. Test de autoevaluare a cuno știn țelor………………………………………………………………… .20
II..11..1122.. RRăăssppuunnssuurrii șșii ccoommeennttaarriiii llaa tteessttuull ddee aauuttooeevvaalluuaarree………………………………………………………………………………………………2200

I.1.1. Introducere
Pe lâng ă diverse structuri algemrice precum cele de monoid, grup, inel, modul sau corp, în
studiul disciplinelor aplicate intervine cu priorit ate structura de spa țiu vectorial.
În cadrul acestei unit ăți de înv ățare se trec în revist ă principalele rezultate referitoare la
obiectul de studiu de baz ă al algebrei liniare, care este conceptul de K-spa țiu vectorial.

I.1.2. Competen țele unit ății de înv ățare
Dup ă parcurgerea materialului student: [anonimizat]:
-să defineasc ă și s ă exemplifice no țiunea de spa țiu vectorial;
-să verifice liniara independen ță sau liniara dependen ță a unui sistem de vectori;
-să re țin ă și s ă utilizeze no țiunile de: baz ă și dimensiune și s ă opereze cu schimb ări de
baze;
-să decid ă când o submul țime nevid ă a unui spa țiu vectorial este un subspa țiu
vectorial al acestuia și s ă opereze cu subspa ții vectoriale;
-să defineasc ă, s ă exemplifice și s ă aplice no țiunile de: produs scalar , spa țiu
vectorial euclidian și unitar;
-să defineasc ă conceptul de ortogonalitate.

Durata medie de parcurgere a acestei unit ăți de înv ățare este de 2 ore.

II..11..33.. SSppaațțiiii vveeccttoorriiaallee.. DDeeffiinniițțiiee.. EExxeemmppllee

Defini ția 1. Fie V o mul țime nevid ă, ale c ărei elemente se noteaz ă cu litere latine (a, b, x, y, z, u,
v, w, …, x 1, x 2, …) și se numesc vectori și fie K un corp comutativ (câmp), ale c ărui elemente se
noteaz ă prin (k, l, …) sau prin litere grece ști (α, β, γ, …) și se numesc scalari .
Un triplet (V, +, ⋅⋅ ⋅⋅, KKKK), care const ă dintr-o mul țime V de vectori, o lege de compozi ție intern ă
pe V, „+” : V × V → V, (x, y) → x + y, numit ă adunarea vectorilor și o lege de compozi ție extern ă pe
V în raport cu K, „ ⋅” : K × V → V, (α, x) → α ⋅ x (sau (α, x) → αx), numit ă înmul țirea cu
scalari , se nume ște spa țiu vectorial peste K, sau spa țiu liniar peste K, sau K-spa țiu vectorial
(liniar), dac ă:
I. Perechea (V, +) este un grup abelian.
II. Înmul țirea cu scalari satisface urm ătoarele patru axiome:
1. Oricare ar fi α ∈ K și pentru orice x, y ∈ V rezult ă α(x + y) = αx + αy.
2. Oricare ar fi α, β ∈ K și pentru orice x ∈ V rezult ă (α + β)x = αx + βx.
3. Oricare ar fi α, β ∈ K și pentru orice x ∈ V rezult ă (α ⋅ β)x = α(βx).

7 4. Oricare ar fi x ∈ V , dac ă 1 este identitatea lui K, atunci 1 ⋅ x = x .
Elementul neutru în grupul (V, +) se noteaz ă 0 și se nume ște vectorul nul al spa țiului
vectorial, iar simetricul unui element x în grupul (V, +) se noteaz ă cu −− −−x și poart ă denumirea de
opusul vectorului x.
Când K este corpul R al numerelor reale, un K-spa țiu vectorial se nume ște spa țiu
vectorial real , iar pentru K = C, spa țiu vectorial complex .
Dac ă nu exist ă pericol de confuzie, se va nota un K-spa țiu vectorial (V, +, ⋅, K) mai simplu,
prin V/ KKKK, sau prin V.

Exemple 1

1. V = {0}, care const ă dintr-un singur vector (cel nul), este K-spa țiu vectorial,
pentru orice câmp K și se nume ște spa țiu vectorial nul .
2. Spa ții vectoriale aritmetice . Fie ( K, +, ⋅, K) un câmp și n ∈ N, iar nK =
=××
−4 3421
ori nK K … ( ) { }n i x x xx xi n , 1 , …, ,,2 1 = ∈ = K , pentru n ≥ 1 și 0K = {0}, (0 –
elementul zero al lui K).
Dac ă, pentru ∈ = = ) …, ,,( , ) …, ,,( 2 1 2 1 n n y yy y x xx x nK și α ∈ K, se
define ște:
I. )y …, , ( n 1 1 + + =+ nx y x yx și II. ) …, ,( 1 nx x x α α α= ,
atunci ( nK, +, ⋅, K) este un K-spa țiu vectorial și se nume ște spa țiul
coordonatelor (sau spa țiul aritmetic) . Pentru K = Rși n = 2 sau n = 3 se ob ține
planul real , sau spa țiul real .
3. Spa ții vectoriale de matrice . Pentru un câmp (nK, +, ⋅, K) și m, n ∈ *K, fie
mul țimea matricelor de tip m × n (cu m linii și n coloane), cu elemente din K,
{ }n a Aij nm , 1 j ,m1, i , a ) ( )(ij = = ∈ = =× K KM .
Dac ă, pentru A = (a ij ), B = (b ij ) ∈ )(n mK×M și α ∈ K, se define ște:
I. A + B = (a ij + b ij ) și
II. α ⋅ A = ( α ⋅ a ij ), atunci tripletul ( )K K , , ,)(n m ⋅+×M este un K-spa țiu
vectorial, numit KKKK-spa țiul vectorial al matricelor de tipul m ×× ×× n.

4. Spa ții vectoriale de polinoame . Fie K[X] mul țimea polinoamelor în
nedeterminata X, cu coeficien ți dintr-un câmp K.
Dac ă se consider ă „+” ca fiind adunarea uzual ă a polinoamelor din K[X] și „ ⋅”
înmul țirea unui polinom din K[X] cu elemente din K, se ob ține spa țiul vectorial
(K[X], +, ⋅, K), numit spa țiul vectorial al polinoamelor peste corpul KKKK.

5. Spa ții vectoriale de func ții continue .
Fie [a, b] ⊂ R și { } continu ă f bafba − → = R],[ : 0
] ,[C .
Dac ă, pentru α ∈ R și pentru orice 0
] ,[ ,ba gfC∈ , se define ște:
I. (f + g)(x) = f(x) + g(x), oricare ar fi x ∈ [a, b] și
II. (α ⋅ f)(x) = α ⋅ f(x), pentru orice x ∈ [a, b],
atunci tripletul ( 0
] ,[baC , +, ⋅, R) este un R-spa țiu vectorial, numit spa țiul vectorial al
func țiilor continue pe [a, b] .
În mod analog se ra ționeaz ă pentru mul țimea b] , a [M = {f : [a, b] → f R –
mărginit ă} înzestrat ă cu acelea și opera țI. Se observ ă incluziunea 0
] ,[baC ⊂ b] ,[aM .

8
Teorema 1. Într-un K-spa țiu vectorial, (V, +, ⋅, K), au loc propriet ățile :
1. Oricare ar fi x ∈ V rezult ă 0 ⋅ x = 0.
2. Oricare ar fi α ∈ K se ob ține α ⋅ 0 = 0.
3. Oricare ar fi α ∈ K și oricare ar fi x ∈ V rezult ă ( −α) ⋅ x = −(α ⋅ x) = α ⋅ ( −x).
4. Din α ⋅ x = 0 se ob ține α = 0 sau x = 0.
Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.5.
Verific ă axiomele din defini ția 1 a spa țiului vectorial în cazul Exemple1-2.,
pentru n=3 (spa țiul real).

Să ne reamintim…
Structura algebric ă de spa țiu vectorial const ă dintr-un grup aditiv comutativ V și
o opera ție de înmul țire extern ă definit ă pe K × V cu valori în V, care satisface patru
axiome, unde K este un corp comutativ (câmp). Elementele spa țiului vectorial V se
numesc vectori , iar cele ale câmpului K se numesc scalari .

II..11..44.. CCoommbbiinnaațțiiee lliinniiaarrăă.. SSiisstteemm ddee ggeenneerraattoorrii.. LLiinniiaarr iinnddeeppeennddeennțțăă șșii lliinniiaarr ddeeppeennddeennțțăă

Fie V un K-spa țiu vectorial și {x i}i∈I o familie de vectori din V, adic ă xi ∈ V , pentru orice i
∈ I ( I – o mul țime de indici), iar {αi}i∈I o familie de scalari cu proprietatea c ă exist ă numai un
num ăr finit de indici i ∈ I cu proprietatea αi ≠ 0 – numit ă familie de suport finit .

Defini ția 2. Se nume ște combina ție liniar ă a vectorilor xi relativ la familia de scalari {αi}i∈I,
suma: ∑
∈⋅
Iii ixα .
Observa ția 1.
1. Ținând cont de proprietatea familiei de scalari, rez ult ă c ă suma ∑
∈⋅
Iii ixα este o sum ă
finit ă și deci are sens în spa țiul V.
2. În cazul i ∈ N, familia {x i} N∈i se va numi sistem de vectori .
3. Dac ă mul țimea I este finit ă, cererea asupra familiei {αi}i∈I este oricând satisf ăcut ă.

Defini ția 3. O submul țime S = {x 1, …, x n}, S ⊂ V , se nume ște sistem finit de generatori pentru
spa țiul V, dac ă oricare ar fi x ∈ V , exist ă α1, α2, …, αn ∈ K astfel încât: ∑
==n
iiix x
1α (adic ă se poate
spune c ă x este o combina ție liniar ă de vectorii submul țimii S).
Un spa țiu vectorial se nume ște finit generat , dac ă exist ă un sistem finit de generatori al
său; în caz contrar, se nume ște infinit generat .

Exemple 2
În spa țiul R[X] al polinoamelor peste R, se consider ă sistemul {X i} N∈i, X 0
= 1. Atunci orice polinom p ∈ R[X] este o combina ție liniar ă a vectorilor sistemului {X i},
p = a nXn + a n−1Xn−1 + + … + a 1X1 + a 0X0.
Fie familia {αi} N∈i ⊂ R astfel încât:

+≥==
. 1 ni 0, n0, i
pentru pentru ai
iα
Se ob ține: )( X X
0 i
0 iXp an
ii
ii∑∑
=∞
==⋅ =⋅α .
Deci spa țiul R[X] este un spa țiu vectorial care nu este finit generat, pe când sp a țiul
vectorial real Rn[X] al polinoamelor de grad ≤ n , este finit generat deoarece exist ă,
de exemplu, sistemul finit de generatori S = {1, X, X 2, …, X n} al spa țiului Rn [X].

9 Defini ția 4. Fie V un K-spa țiu vectorial și S = {x i}i ∈ I ⊂ V o familie de vectori din V. Mul țimea
S se nume ște familie (mul țime ) liniar independent ă dac ă pentru orice {αi}i ∈ I , αi ∈ K, din
combina ția liniar ă ∑
∈⋅
Iii ixα = 0 rezult ă αi = 0 , oricare ar fi i ∈ I (evident {αi}i∈I este o familie
de suport finit). O familie (mul țime) S = {x i}i ∈ I ⊂ V care nu este liniar independent ă, se nume ște
liniar dependent ă, adic ă exist ă scalarii {αi}i ∈ I ⊂ K, nu to ți nuli, astfel încât ∑
∈⋅
Iii ixα = 0 .
Exemple 3
1. În R[X] familia B= {X i} N∈i este liniar independent ă.

2. În spa țiul aritmetic nK, sistemul B = {e1, …, e n} în care
i
i ) 0…, , 0 , 1 , 0 …, , 0 , 0 ( e= , este liniar independent.

3. În spa țiul )(n mK×M , mul țimea {}
n1, jm1, iij E
===B , unde
i
0…… 0…… 0………. ………. 0…… 1…… 0………. ………. 0…… 0…… 0j
Eij →



↑
= , este liniar independent ă.

4. În spa țiul func țiilor 0
] b , a [C familia de func ții f n : [a, b] → R, f n(x) = e nx , n ∈N,
este o familie liniar independent ă.
Propozi ția 1. Orice submul țime a unui spa țiu vectorial, format ă dintr-un singur vector este
liniar independent ă dac ă și numai dac ă acel vector este diferit de vectorul nul.
2. Dac ă S = {x 1, …, x n} ⊂ V este o mul țime liniar dependent ă, atunci exist ă cel pu țin un
vector al lui S care poate fi exprimat printr-o com bina ție liniar ă de ceilal ți vectori ai lui S.
3. Fie S = {x 1, …, x k}, x i ≠ 0, k1, i= o mul țime liniar dependent ă. Atunci exist ă x j, 2 ≤ j ≤
k, astfel încât: ,1
1∑−
=⋅ =j
ii i j x x α αi ∈ K.
4. Orice submul țime a unei mul țimi liniar independente este liniar independent ă.

Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.8.
Observa ția 2. Reciprocele propozi țiilor 2 și 3 din propozi ția 1 sunt evidente.

Exemple 4
În spa țiul vectorial 3R se consider ă vectorii:
x = (1, 2, 3), y = (2, 3, 1), z = (a+3, a+1, a+2), a ∈R.
Să se afle valorile parametrului a pentru care ace ști vectori sunt liniar dependen ți
și s ă se scrie rela ția de dependen ță liniar ă.
Solu ție :
Pentru ca vectorii da ți s ă fie liniari dependen ți, trebuie s ă existe scalarii reali λ1,
λ2, λ3 nu to ți nuli astfel încât s ă aib ă loc rela ția :λ1x + λ2y + λ3z = 0, sau λ1(1, 2, 3)
+ λ2(2, 3, 1) + λ3(a+3, a+1, a+2) = (0, 0, 0). Se ob ține sistemul liniar și omogen:

10 ( )
( )
( )
= ++ += ++ += ++ +
, 0 2 3, 0 1 3 2, 0 3 2
3 2 13 2 13 2 1
λ λλλ λ λλ λ λ
aaa
care are solu ții nebanale dac ă determinantul s ău este
nul:
) 6 ( 3
2 131 323 21
+ −=
+++
a
aaa
.Deci pentru a = −6 vectorii da ți sunt liniar dependen ți.
Pentru a afla rela ția de dependen ță liniar ă se înlocuie ște cu a = −6 în sistemul de
mai sus:


= − += − += − +
. 0 4 3, 0 5 3 2, 0 3 2
3 2 13 2 13 2 1
λ λλλ λ λλ λ λ
Se exprim ă λ1, λ2 în func ție de λ3 din primele dou ă
ecua ții:
λ1 = λ3; λ2 = λ3; λ3 ≠ 0 .Înlocuind în combina ția liniar ă și simplificând cu λ3 se
ob ține rela ția de dependen ță liniar ă: x + y + z = 0.

Stabile ște care dintre urm ătoarele mul țimi de vectori sunt liniar dependente:
i) S1 = {x1 = ( −3, 1, 5), x 2 = (6, −2, 15) }.
ii) S2 = {x1 = (1, 2, 3), x 2 = (2, 5, 7), x 3 = (3, 7, 10) }. R: ii)

Să ne reamintim…
O submul țime S a unui K – spa țiu vectorial V se nume ște liniar independent ă dac ă
pentru orice combina ție liniar ă (de vectori din S cu scalari din K) nul ă, rezult ă scalarii
nuli. În caz contrar, submul țimea S se nume ște liniar dependent ă.

II..11..55.. BBaazzăă.. DDiimmeennssiiuunnee

Fie V un K-spa țiu vectorial și B= {x i}i ∈ I ⊂ V o familie de vectori din V.

Defini ția 5. Mul țimea B se nume ște baz ă a spa țiului V dac ă este o familie liniar independent ă și
dac ă este un sistem de generatori pentru V.

Teorema 2.( de existen ță ) Fie V ≠{0} un K-spa țiu vectorial finit generat. Din orice sistem de
generatori finit al lui V se poate construi o baz ă a sa.

Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.8-9.
Teorema 3. Fie V un K-spa țiu vectorial finit generat .
Atunci: 1. (teorema complet ării) Orice mul țime liniar independent ă dintr-un sistem de
generatori poate fi completat ă cu vectori din sistemul de generatori pân ă la o baz ă a lui V.
2. (lema schimbului) Dac ă S este un sistem de generatori al lui V și {y 1, …, y r} este o mul țime
liniar independent ă de vectori din V, atunci:
i) r ≤ m și
ii) {y 1, …, y r, x r+1 , …, x m} este un sistem de generatori pentru V (dup ă o eventual ă
renumerotare a vectorilor x 1, …, x m).

Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.9-10.
Teorema 4. Fie V ≠{0} un K-spa țiu vectorial finit generat. Toate bazele lui V sunt finite și au
acela și num ăr de elemente.

Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.10.
Aceast ă teorem ă permite:

11 Defini ția 6. Se nume ște dimensiune a unui spa țiu vectorial finit generat V, num ărul de vectori
dintr-o baz ă a lui, notat: dimV . Spa țiul nul: {0} are dimensiunea zero. Un spa țiu vectorial de
dimensiune finit ă se nume ște: spa țiu vectorial finit dimensional .

Observa ția 3. 1. Dacă exist ă o baz ă a spa țiului cu o infinitate de vectori, atunci dimensiune a este
∞ și spa țiul se nume ște infinit dimensional .
2. Spa țiile vectoriale finit dimensionale, de dimensiune n se mai noteaz ă Vn.
Exemple 5
1. Fie nK spa țiul vectorial aritmetic. Vectorii e1 = (1, 0, 0, …, 0), e 2 = (0, 1, 0, …,
0), …, e n = (0, 0, 0, …, 1) , determin ă o baz ă B = {e 1, e 2, …, e n}. Pentru a demonstra
că B este o mul țime liniar independent ă rela ția α1e1 + α 2 e 2 + … + αnen = 0 este
echivalent ă cu (α1, α2, …, αn) = (0, 0, …, 0), adic ă α1 = α2 = … = αn = 0 . Pe de alt ă
parte oricare ar fi x ∈ nK, rezult ă x = (x 1, x 2, …, x n) = x 1e1 + x 2 e 2 + … + x nen, deci B
genereaz ă pe V.

2. Spa țiul vectorial Kn [X] al tuturor polinoamelor de grad ≤n are dimensiunea n+1 ,
o baz ă fiind B = {1, X 1, X 2, …, X n}, numit ă baz ă canonic ă din Kn [X].
Se observ ă c ă mul țimea B este liniar independent ă: adic ă din α0 + α1X1 + α 2 X2 +
… + + αnXn = 0 se ob ține α0 = α1 = α2 = … = αn = 0 și orice polinom de grad ≤n este
o combina ție liniar ă finit ă de elemente din B.

3. Spa țiul vectorial )(n mK×M al matricelor dreptunghiulare are dimensiunea m ⋅ n .
O baz ă este mul țimea B = {E ij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}, Eij fiind matricea care are
elementul 1 la intersec ția liniei i cu coloana j, celelalte elemente fiind nule.

4. Fie K[X] spa țiul vectorial al tuturor polinoamelor în nedetermin ata X. Polinoamele
1, X, X 2, … X n, … constituie o baz ă a lui K[X] și deci dim K[X] = ∞.

5. C are ca R-spa țiu vectorial o baz ă B = {1, i} și deci dim RC = 2 , pe când C ca
C-spa țiu vectorial are pe B = {1} ca baz ă și deci dim CC = 1.

Teorema 5. Fie V un K-spa țiu vectorial n-dimensional. Atunci B = {e 1, e 2, …, e n} este o baz ă a sa
dac ă și numai dac ă oricare ar fi x ∈ V, ,ex xn
1ii i∑
=⋅ = cu x i ∈ K unici.
Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.11.
Defini ția 7. Scalarii x i din combina ția ∑
=⋅ =n
ii iex x
1 se numesc coordonatele vectorului x în baza
B.

Exemple 6
Să se arate c ă spa țiul vectorial real al matricelor de forma:






∈




− −− −− −= = Rdcba
a bc db a dcc d abd c b a
M M ,,,, ,A ,
are dimensiunea 4 și s ă se determine o baz ă în acest spa țiu.

Solu ție: Se consider ă matricele:

12 



=
1000010000100001
A ,




−−=
01001 00000010010
B ,




−−=
001 00001100 0010 0
C ,




−−=
0001001001 001000
D ,
rezult ă rela ția: dD cC bB aA
a bc db a dcc d abd c b a
M + + + =




− −− −− −= ,de unde rezult ă c ă
se ob ține aA + bB + cC + dD = O dac ă și numai dac ă a = b = c = d = 0 , deci
matricele A, B, C, D sunt liniar independente. Aceea și rela ție arat ă c ă orice matrice
M este o combina ție liniar ă a matricelor A, B, C, D. Deci matricele A, B, C, D
formeaz ă o baz ă, adic ă spa țiul vectorial al matricelor M de forma dat ă are
dimensiunea 4.

În spa țiul vectorial 3R se consider ă urm ătoarele sisteme de vectori: B = {e1 =
(1, 1, 0), e 2 = (1, 0, 0), e 3 = (1, 2, 3) }, B’ = {e1’ = (1, 3, 3), e 2’ = (2, 2, 3), e 3’ = (6,
7, 9) }.Arat ă c ă mul țimile B și B’ sunt baze.
R: B și B’ sunt liniar independente și au câte 3 elemente.

Să ne reamintim…
O submul țime B a unui K – spa țiu vectorial V se nume ște baz ă pentru V, dac ă este
liniar independent ă și genereaz ă pe V.
Se nume ște dimensiune a unui spa țiu vectorial finit generat V, num ărul de vectori dintr-
o baz ă a lui, nota ție: dim V .

II..11..66.. SScchhiimmbbaarreeaa bbaazzeeii

Fie V un K-spa țiu vectorial n-dimensional, iar B = {e 1, e 2, …, e n} și B’ = {e’ 1, e’ 2, …,
e’ n} dou ă baze ale lui V. Atunci pentru orice x ∈ V , se ob ține ∑
=⋅ =n
iiiex x
1, unde xi ∈ K sunt
coordonatele lui x în baza B și ∑
=⋅ =n
jj jex x
1'' , unde x’ j ∈ K sunt coordonatele lui x în baza
B’ ( xi, x’ j sunt unice cf. teoremei 5).În plus, se pot exprim a vectorii e’ j, n j, 1= în baza B,
adic ă: , '
1∑
=⋅ =n
ii ij j es e n j, 1= unde sij ∈ -Kunici.

13 Defini ția 8. Matricea S = (s ij ) ∈ )(nKM , unic determinat ă, ce are ca elemente, puse pe coloane,
coordonatele sij din egalit ățile , '
1∑
=⋅ =n
ii ij j es e n j, 1= , se nume ște matricea de trecere de la baza
B la baza B', iar egalit ățile , '
1∑
=⋅ =n
ii ij j es e n j, 1= se numesc rela ții de trecere .
Observa ția 4. Cum det S ≠ 0 (altfel ar rezulta c ă vectorii e’ j sunt liniar dependen ți (absurd)) rezult ă
că matricea de trecere este nesingular ă și deci are inversa: S−1. Mai departe folosind rela țiile de
trecere se ob ține:
=⋅ =∑
=n
iiiex x
1=⋅∑
=n
ji iex
1'' =



⋅∑ ∑
= =n
jn
ii ij j es x
1 1' ∑ ∑
= =⋅



⋅n
iin
jj ij xs
1 1e '
și cum scrierea într-o baz ă este unic ă, rezult ă:
∑
=⋅ =n
jj ij i xs x
1', n i, 1= .
Aceste egalit ăți exprim ă legea de schimbare a coordonatelor unui vector la schimbarea
bazelor .
Observa ția 5. Prin conven ție se noteaz ă: ) (
x… xx
X1
n21
K× ∈




=nM , ) (
x' … x' x'
X' 1
n21
K× ∈




=nM ,
)(
… … … … …
11 11
Kn
nn nn
s ss s
S M∈




= , ) (
e… ee
B1
n21
K× ∈




=nM și ) (
e' … e' e'
B' 1
n21
K× ∈




=nM .
Atunci rela țiile de trecere se exprim ă în forma matriceal ă: B’ = ST ⋅⋅ ⋅⋅ B,

unde ST este transpusa matricei S, de trecere de la baza B la baza B‘, iar legea de schimbare a
coordonatelor unui vector la schimbarea bazelor se exprim ă în forma matriceal ă: X = S ⋅⋅ ⋅⋅ X’.

S-a ob ținut astfel:

Teorema 6. Fie V un -Kspa țiu vectorial, dim KV = n < ∞, B și B’ baze fixate în V, S-
matricea de trecere de la baza B la baza B’.
Dac ă x ∈ V și X este matricea coloan ă a coordonatelor lui x în baza B, iar X’ este
matricea coloan ă a coordonatelor lui x în baza B’, atunci X = S ⋅⋅ ⋅⋅ X’.

Exemple 7
În spa țiul vectorial 3R se consider ă urm ătoarele sisteme de vectori: B = {e1
= (1, 1, 0), e 2 = (1, 0, 0), e 3 = (1, 2, 3) }, B’ = {e1’ = (1, 3, 3), e 2’ = (2, 2, 3), e 3’ =
(6, 7, 9) }. i) S ă se g ăseasc ă matricea de trecere de la B la B’. ii) S ă se g ăseasc ă
expresia vectorului x = 2e 1 + 5e 2 + 7e 3 în baza B’.
Solu ție: i) Pentru a determina matricea de trecere se desco mpune e 1’ dup ă B, și
anume: e1’ = s 11 e1 + s 21 e2 + s 31 e3, sau

== += + +
, 3 3, 3 2, 1
31 31 11 31 21 11
ss ss s s
de unde

=−==
. 1, 1, 1
31 21 11
sss

14 Analog: e 2’ = s 12 e1 + s 22 e2 + s 32 e3 de unde s12 = 0, s 22 = 1, s 32 = 1
e3’ = s 13 e1 + s 23 e2 + s 33 e3 de unde s13 =1, s 23 = 2, s 33 = 3.

Astfel c ă matricea de trecere este:




−=
311211101
S .
ii) Dac ă X = T(2 5 7) (matrice coloan ă), atunci matricea coloan ă X’ con ținând
componentele vectorului x în baza B’ se ob ține din ecua ția matriceal ă X = SX’.
Se calculeaz ă:




−− −− −
=−
1 1 232 511 1
1S , deci X’ = S −1X, adic ă:




=








−− −− −
=
210
752
1 1 232 511 1
'X .
Astfel c ă x = 0e 1’ + 1e 2’ + 2e 3’, în baza B’.

Găse ște matricea de trecere de la baza:
B =






−=




−=




−=
01 0100000
,
001000100
,
000001010
3 2 1 E E E
la baza: B' =






− −=




−−=




−−=
01 110 010 0
,
01 010101 0
,
001001110
' 3'
2'
1 E E E
din spa țiul matricelor antisimetrice de ordin trei și determin ă descompunerea matricei




−− −=
0323 01210
A dup ă baza B'. R:




=
110101011
S ;
3'
2'
12'3 E E E A − − = .

Să ne reamintim…
Orice schimbare de baz ă într-un K – spa țiu vectorial V este guvernat ă de dou ă ecua ții
matriceale: B’ = ST ⋅⋅ ⋅⋅ B, care conduce la determinarea matricei S de trecere de la „baza
veche” la „baza nou ă” și X = SX’ , care conduce la ob ținerea legii de schimbare a
coordonatelor unui vector la o schimbare a bazei.

II..11..77.. SSuubbssppaațțiiii vveeccttoorriiaallee.. OOppeerraațțiiii ccuu ssuubbssppaațțiiii vveeccttoorriiaallee

Fie V un -Kspa țiu vectorial și V’ ⊂ V, V’ ≠ ∅.
Defini ția 9. Submul țimea V’ se nume ște subspa țiu vectorial al lui V, dac ă restric țiile celor dou ă
legi de compozi ție „+” și „ ⋅” la V’ determin ă pe aceast ă mul țime o structur ă de -Kspa țiu
vectorial.
Teorema 7. O condi ție necesar ă și suficient ă ca V’ ⊂ V s ă fie un subspa țiu vectorial al lui V este
ca: 1. Oricare ar fi x, y ∈ V’ s ă rezulte x + y ∈ V’.
2. Pentru orice α ∈ K și oricare ar fi x ∈ V’ s ă rezulte α ⋅ x ∈ V’.
Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.13.

Corolarul 1. Dac ă V este un -Kspa țiu vectorial și V’ este o submul țime nevid ă a lui V, atunci V’
este un subspa țiu vectorial al lui V dac ă și numai dac ă are loc condi ția: Oricare ar fi α, β ∈ K și
pentru orice x, y ∈ V’ s ă rezulte α ⋅ x + β ⋅ y ∈ V’.

15 Exemple 8
{0} ⊂ V este subspa țiu vectorial.

Defini ția 10. {0} se nume ște subspa țiul nul al lui V. Orice spa țiu vectorial V este subspa țiu al lui
însu și – numit subspa țiu impropriu . Un subspa țiu al lui V se nume ște subspa țiu propriu , dac ă el
este diferit de {0} și de V.

Exemple 9
1. Mul țimea func țiilor pare și mul țimea func țiilor impare sunt subspa ții proprii ale
spa țiului vectorial real al tuturor func țiilor cu valori reale: )(RF .
2. Mul țimea matricelor simetrice și mul țimea matricelor antisimetrice de ordin n
sunt subspa ții proprii ale spa țiului matricelor p ătratice de ordin n: )(nKM .
3. Mul țimea { }n
1n
n 2 1 0 x ) x …, , x ,( ' K K ⊂= ∈ == x x V este un subspa țiu vecto-
rial al spa țiului vectorial aritmetic: nK.

Teorema 8. 1. Dac ă V este un -Kspa țiu vectorial dim KV = n, iar U ⊂ V este un subspa țiu
vectorial, atunci dim KU ≤ n.
2. Dac ă V este un -Kspa țiu vectorial și U ⊂ V este un subspa țiu al lui V cu dim KU = dim KV,
atunci U = V.

Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.14.
Defini ția 11. Fie V un -Kspa țiu vectorial și V’, V” subspa ții vectoriale ale lui V.
1. Se nume ște subspa țiu intersec ție , mul țimea: V’ ∩∩ ∩∩ V” .
2. Se nume ște subspa țiu sum ă a lui V’ și V” mul țimea:
V’ + V” { }V" x" ,V' x' V x" x' x ∈ ∈ ∈+== .
3. Fie S = {x i}i ∈ I ⊂ V o familie de vectori din V. Se nume ște subspa țiu generat de S
mul țimea notat ă: [S] (sau L(S) ) a tuturor combina țiilor liniare finite de vectori ai lui S, adic ă:


⊂ ⋅ =∈
∈∑ K K din scalari de finit, suport de familie o este , }{ ][Iii
Iii i axa S
Observa ția 6. Analog se poate defini intersec ția și suma a „ m” subspa ții vectoriale Vi ⊂ V, m i, 1= .
De exemplu:
{ }m1, i ,V x,x… x x x V x V… V Vi i m 2 1 m 2 1 = ∈ ++ + = ∈= ++ + .
Propozi ția 2. V’ ∩ V”, V’ + V”, [S] sunt subspa ții vectoriale ale lui V.

Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.15.
Observa ția 7. În general reprezentarea unui vector x ∈ V’ + V” sub forma x = x’ + x”, x’ ∈ V’
și x” ∈ V” nu este unic ă. Într-adev ăr, dac ă V’ ∩ V” ≠ {0} și y ∈ V’ ∩ V”, y ≠ 0 , atunci se poate scrie x
= x’ + x” = (x’ + y) + (x” – y) cu x’ + y ∈ V’ și x” – y ∈ V”.

Defini ția 12. Suma V’ + V” a subspa țiilor V’ și V” se nume ște sum ă direct ă și se noteaz ă: V’ ⊕⊕ ⊕⊕
V” , dac ă orice vector x ∈ V’ + V” se reprezint ă în mod unic sub forma x = x’ + x” cu x’ ∈ V’ și
x” ∈ V”.
Defini ția 13. Fie V un -Kspa țiu vectorial și S o familie de vectori din V. S se nume ște sistem de
generatori pentru V, dac ă [S] = V .

Observa ția 8. În general reuniunea a dou ă subspa ții vectoriale V’ și V” ⊂ V nu este un subspa țiu
vectorial.
De exemplu, în spa țiul aritmetic 2R, fie subspa țiile { }R∈ = x x V ) 0 ,(' și
{ }R∈ = yy V ), 0 ( " . Se observ ă c ă V’ ∪ V” nu este un subspa țiu vectorial al lui 2R.

16 Teorema 9. Fie V un -Kspa țiu vectorial și V’,V” dou ă subspa ții vectoriale ale lui V. Atunci:[V’
∪ V”] = V’ + V”.

Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.16.
Observa ția 9. În general diferen ța a dou ă subspa ții vectoriale: V’-V’’ nu este un subspa țiu vecto-
rial.

Propozi ția 3. Dac ă S = {x 1, …, x n} ⊂ V este o mul țime de vectori liniar independen ți din spa țiul
V, iar [S] este acoperirea liniar ă a lui S, atunci orice mul țime de „n+1” vectori din [S] este
liniar dependent ă.

Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.16.
Teorema 10. Fie V’, V” ⊂ V dou ă subspa ții vectoriale ale lui V. Sunt echivalente condi țiile:
1. Suma V’ + V” este direct ă.
2. V’ ∩ V” = {0}.

Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.17.
Defini ția 14. Dac ă V’ ⊕ V” = V , atunci subspa țiile V’ și V” se numesc suplimentare în V.

Teorema 11. ( Grassmann – teorema dimensiunii ) Fie V un -Kspa țiu vectorial și V’, V” ⊂ V
subspa ții vectoriale. Atunci: dim K(V’ + V”) = dim KV’ + dim KV” − dim K(V’ ∩ V”).

Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.17-18.
Observa ția 10. Dac ă suma V’ + V” este direct ă, atunci: dim K(V’ ⊕ V”) = dim KV’ + dim KV”.

Exemple 10
1. S ă se determine dimensiunile subspa țiilor sum ă și intersec ție a subspa țiilor
generate de sistemele de vectori: U = {u 1 = (2, 3, -1), u 2 = (1, 2, 2), u 3 = (1, 1, -3)},V
= {v 1 = (1, 2, 1), v 2 = (1, 1, -1), v 3 = (1, 3, 3)} în spa țiul vectorial 3R și s ă se
verifice teorema lui Grassmann.
Solu ție : Vectorii u1, u 2, u 3 sunt liniari dependen ți, o baz ă în [U] poate fi {u 1, u 2},
deci: [U] = { α1u1 + α2u2 | α1, α2 ∈ R}, dim[U] = 2.
Vectorii v1, v 2, v 3 sunt liniari dependen ți și [V] = { β1v1 + β2v2 | β1, β2 ∈ R}, dim[V]
= 2, deoarece o baz ă în [V] poate fi {v1, v 2}.
Subspa țiul [U] + [V] este generat de reuniunea sistemelor U și V.
O baz ă în reuniune este {u1, u 2, v 1} și deci dim([U] + [V]) = 3 , adic ă [U] +
[V] = 3R.
Subspa țiul [U] ∩ [V] con ține vectorii pentru care α1u1 + α2u2 = β1v1 + β2v2,
Adic ă 2α1 + α2 = β1 + β2, 3 α1 + 2 α2 = 2 β1 + β2, −α1 + 2 α2 = β1 – β2,
sistem cu trei ecua ții cu necunoscutele principale α1, α2, β1, iar β2 = λ, necunoscut ă
secundar ă, se ob ține α1 = λ, α2 = λ, β1 = 2 λ. Rezult ă astfel: [U] ∩ [V] = {(3 λ, 5 λ,
λ), λ ∈ R}, iar dim([U] ∩ [V]) = 1 . Se verific ă teorema lui Grassmann: dim[U] +
dim[V] = dim([U] + [V]) + dim([U] ∩ [V]).

2. Să se arate c ă în spa țiul vectorial al matricelor ( )K K , , ), (n ⋅+M submul țimile
definite prin { }A An = ∈ = AT)( KMS (matrice simetrice), A = {A ∈ )(n KM /TA
= −A} (matrice antisimetrice) formeaz ă subspa ții vectoriale și )(n KM = S ⊕ A.
Solu ție : Dac ă A, B ∈ S, atunci: T(A + B) = TA + TB = A + B rezult ă A + B ∈ S și
T(αA) = αTA = αA se ob ține αA ∈ S. Analog pentru A. Dac ă A ∈ )(n KM , atunci
matricele: ( )S∈ + = A A21BT și ( )A A21CT− = ∈ A

17 verific ă A = B + C . În plus S ∩ A = {O}, astfel c ă )(n KM = S ⊕ A.

Fie [U] subspa țiul generat de sistemul de vectori U = {(1, 1, 0), (1, 2, 3), ( −5,
−2, 1)} și [V] subspa țiul generat de sistemul de vectori V = {(1, 1, 2), ( −1, 3, 0),
(2, 0, 3)}, [U], [V] ⊆ 3R.Calculeaz ă: dim [U], dim [V], dim ([U] + [V]).
R: dim[U] = 3, dim[V] = 3, dim ([U] + [V]) = 3.

Să ne reamintim…
Dat fiind un K – spa țiu vectorial V, se nume ște subspa țiu vectorial al K- spa țiului
vectorial V, o submul țime a lui V care este ea îns ăș i spa țiu vectorial relativ la opera țiile
induse din V.
Procedee de ob ținere de subspa ții vectoriale ale lui V:
1. intersec ția adou ă subspa ții vectoriale ale lui V;
2. suma a dou ă subspa ții vectoriale ale lui V;
3. subspa țiul generat de o submul țime a spa țiului vectorial V.

II..11..88.. SSppaațțiiii vveeccttoorriiaallee eeuucclliiddiieennee șșii uunniittaarree

Se adaug ă la structura de spa țiu vectorial o nou ă opera ție cu vectori, aceea de produs
scalar, cu ajutorul c ăreia se pot defini lungimile vectorilor, unghiurile , ortogonalitatea a doi
vectori, proiec ția unui vector pe un alt vector sau pe un subspa țiu vectorial, etc.

Defini ția 15. Fie V un spa țiu vectorial complex ( C-spa țiu vectorial). Se nume ște produs scalar
pe V, o aplica ție: <, > : V × V → C, astfel încât:
1. Pentru orice x, y ∈ V implic ă xy yx , ,= , ( α = conjugatul num ărului complex α).
2. Oricare ar fi x1, x 2, y ∈ V rezult ă yxx ,2 1+ = yx,1 + yx,2 .
3. Oricare ar fi α ∈ C și pentru orice x, y ∈ V se ob ține yx,⋅α = yx,⋅α .
4. Pentru orice x ∈ V se ob ține 0 ,≥xx și 0 ,=xx dac ă și numai dac ă x = 0 .
Num ărul complex yx, se nume ște produsul scalar al vectorilor x și y și uzual se mai
noteaz ă și astfel: g(x, y), sau x ⋅⋅ ⋅⋅ y , sau (x, y) etc.

Observa ția 11. 1. Condi țiile 2 și 3 implic ă: Oricare ar fi α1, α2 ∈ K și pentru orice x1, x 2, y ∈ V
rezult ă: yx x ,22 11 α α + = yx,1 1⋅α + yx,2 2⋅α .

2. Condi țiile 1, 2 și 3 implic ă: yx yx , , ⋅=α α și
2 2 1 1 22 11 , , , yx yx y y x ⋅ + ⋅ = + α α α α .
Dac ă se restrâng scalarii la corpul numerelor reale, 1 devine:
1’. Oricare ar fi x, y ∈ V rezult ă xy yx , ,= .
Defini ția 16. Un spa țiu vectorial peste corpul K pe care s-a definit un produs scalar se
nume ște: 1. Spa țiu vectorial euclidian , când K = R. 2. Spa țiu vectorial unitar , când K = C.

Exemple 11
1. Fie x = (x 1, x 2, …, x n) și y = (y 1, y 2, …, y n) doi vectori oarecare din spa țiul
vectorial real aritmetic nR. Aplica ția definit ă prin:

<, > : nR × nR → R, ) ( … ,22 11 yx yx yxyxyxnn ⋅= ++ + =
este un produs scalar pe nR.
(nR, <, >) este un spa țiu vectorial euclidian, iar produsul scalar definit mai
sus se nume ște produs scalar uzual (canonic) în nR.

18
2. Pe spa țiul vectorial real al tuturor func țiilor cu valori reale, continue pe un interval
[a, b], ],[baC , aplica ția definit ă: <, > : ],[baC × ],[baC → R,
∫⋅ =b
adt tgtf gf )()( , este un produs scalar. ( ],[baC , <, > ) este un spa țiu
vectorial euclidian.
În continuare se discut ă cazul spa țiilor euclidiene, propriet ățile care nu sunt valabile
în spa ții unitare sunt men ționate separat.

Defini ția 17. Se nume ște lungimea (sau norma ) unui vector x ∈ V în spa țiul euclidian (V, <, >),
num ărul real pozitiv: xx, x= .

Teorema 12. Dac ă (V, <, >) este un spa țiu vectorial euclidian, atunci este satisf ăcut ă
inegalitatea lui Cauchy-Schwarz :
y x yx ⋅ ≤ , , oricare ar fi x, y ∈ V,
cu egalitate dac ă și numai dac ă x și y sunt liniar dependen ți ( α = modulul num ărului α ∈ R
sau α ∈ C – pentru spa ții unitare).
Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.20.
Teorema 13 . Fie (V, <, >) un spa țiu vectorial euclidian. Aplica ția + →R V : definit ă prin
xx x , = este o norm ă pe V, adic ă satisface rela țiile:
1. x > 0, oricare ar fi x ∈ V, x ≠ 0, 0 = 0.
2. x⋅α = α ⋅ x , pentru orice α ∈ R și x ∈ V.
3. yx+ ≤ x + y , oricare ar fi x, y ∈ V (inegalitatea triunghiului).
Norma din aceast ă teorem ă se nume ște norm ă euclidian ă.
Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.20.

Observa ția 12. Primele două propriet ăți ale normei asigur ă c ă orice element x din V poate fi scris
în forma x = x ⋅ e, unde e = 1. Vectorul e cu proprietatea e = 1 se nume ște versor .
Evident, versorul asociat unui vector nenul este: xxe ⋅ =1.
Observa ția 13. Pe submul țimea V-{0}, inegalitatea lui Cauchy-Schwarz, y x yx ⋅ ≤ , , se
transcrie: 1,1 ≤⋅≤−y xyx.
Aceast ă observa ție justific ă urm ătoarea defini ție:

Defini ția 18. 1. Fie (V, <, >) un spa țiu vectorial euclidian și x, y doi vectori nenuli din V.
Num ărul α ∈ [0, π] definit de egalitatea:
y xyx
⋅=,cos α ,
se nume ște unghiul vectorilor x și y.
2. Un spa țiu vectorial dotat cu o norm ă se nume ște spa țiu vectorial normat .
3. Un spa țiu vectorial normat în care norma provine dintr-un produs scalar se nume ște
spa țiu prehilbertian .

În spa țiul 0
] e , 1 [C al func țiilor continue pe intervalul [1, e] arat ă c ă =gf,

19 ∫⋅ ⋅ =edx xgxfx
1)()() (ln este un produs scalar.
R: Verific ă axiomele din defini ția produsului scalar .

Să ne reamintim…
Se num ște produs scalar pe un spa țiu vectoral V, o aplica ție < , > : V × V →
K, ce verific ă patru axiome :
Un K- spa țiu vectorial pe care s-a definit un produs scalar s e nume ște spa țiu vectorial
euclidian când RK= și spa țiu vectorial unitar când C K=.

I.1.9. Ortogonalitate într-un spa țiu vectorial euclidian

Ortogonalitatea este una dintre cele mai importante rela ții între vectorii unui spa țiu
vectorial euclidian.

Defini ția 19. Fie (V, <, >) un spa țiu euclidian. Doi vectori din V se numesc ortogonali , dac ă
produsul lor scalar este nul. O submul țime S ⊂ V se nume ște ortogonal ă, dac ă vectorii s ăi sunt
ortogonali doi câte doi, adic ă 0 ,=yx , oricare ar fi x, y ∈ S, x ≠ y . O mul țime ortogonal ă se
nume ște ortonormat ă, dac ă fiecare element al s ău este de lungime (norm ă) egal ă cu unitatea.

Propozi ția 4. Fie (V, <, >) un spa țiu euclidian, dim V = n.
1. Orice mul țime ortogonal ă din V, format ă din elemente nenule este liniar independent ă.
2. Orice mul țime ortogonal ă din V, care con ține n elemente nenule este o baz ă a lui V.

Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.22.

Pentru studiul spa țiilor vectoriale euclidiene se utilizeaz ă baze ortonormate.
Conform defini ției 19, baza B = {e 1, e 2, …, e n} ⊂ V este ortonormat ă dac ă:

≠== =. , 0, , 1,ji dac ăji dac ăeeij j i δ
Simbolul δδ δδij se nume ște simbolul lui Kronecker .
Teorema 14.( procedeul de ortonormare Gram-Schmidt ) Fie (V, <, >) un spa țiu euclidian și S
= {v 1, …, v p} ⊂ V o mul țime de vectori liniar independen ți.
Exist ă o mul țime ortonormat ă S’ = {e 1, …, e p} ⊂ V de vectori astfel încât [S’] = [S]. Dac ă S
formeaz ă o baz ă în V, atunci S’ este o baz ă ortonormat ă.
Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.23.

Defini ția 20. Dou ă subspa ții vectoriale U, W ⊂ V se numesc ortogonale (U ⊥ W) dac ă pentru
orice x ∈ U și pentru orice y ∈ W , rezult ă 0 ,=yx (adic ă orice vector al lui U este ortogonal pe
orice vector al lui W).
Dac ă în plus, U ⊕ W = V , atunci W se nume ște complement ortogonal al lui U și se noteaz ă: W
= U ⊥⊥ ⊥⊥.
Observa ția 14. Dou ă subspa ții ortogonale au în comun doar vectorul 0, sau sunt disjuncte.
Defini ția 21. O aplica ție bijectiv ă h : U → V între dou ă spa ții euclidiene (U, g) și (V, g’) se
nume ște izomorfism dac ă:
1. Oricare ar fi α, β ∈ R și pentru orice x, y ∈ U are loc h( αx + βy) = = αh(x) + βh(y).
2. Oricare ar fi x, y ∈ R are loc g(x, y) = g’(h(x), h(y)).

Teorema 15. Toate spa țiile euclidiene, finit dimensionale sunt izomorfe î ntre ele.
Pentru demonstra ție a se consulta [43]-pag.24.

Să ne reamintim…
Doi vectori dintr-un spa ți u vectorial euclidian se numesc ortogonali , dacă
produsul lor scalar este nul.
O submulțime a unui spațiu vectorial euclidian se nume ște ortogonală, dacă
vectorii săi sunt ortogonali doi câte doi ș i ortonormată, dacă este ortogonal ă și
fiecare element al s ău are lungimea egal ă cu unitatea.

I.1.10. Rezumat
În cadrul acestei unit ăți de învățare se prezintă noțiunile de: K-spațiu vectorial, una
dintre cele mai importante structuri algebrice, utilizate atât în diferitele ramuri ale
matematicii cât și în disciplinele aplicate și de subspațiu vectorial al acestuia cu
exemplificări, precum și operații cu subspații ale unui K-spațiu vectorial. Se definesc
noțiunile de liniar independen ță și liniar dependen ță a unui sistem de vectori. Submul țimile
de vectori liniari independen ți și liniar dependen ți permit definirea no țiunilor de bază și
de dimensiune ale unui K-spațiu vectorial. Se prezint ă de asemenea spa țiile vectoriale
pe care s-a definit un produs scalar, ceea ce permite concretizarea no țiunilor de lungime
a unui vector, unghi a doi vectori, ortogonalitate.