҃     [608309]

     




҃






























š


φ

ƒ
͝
š

Ǧ
͝

φ

Ǥ
Ǥ
Ǥ

φ

ƒ


ϋ͜
 † ‹ – — ” ƒ   ƒ ” ƒŽ‡Žƒͤͥ
ƒ‹‡Žƒ     

Daniela Manea

REZOLVAREA ECUA ȚIILOR ALGEBRICE
DE GRAD SUPERIOR

Referent științific: lect.univ.dr. Eduard Asadurian
Corectur ă: Daniela Manea

Editor: Călin Vlasie
ISBN: 978-973-47-1903-7

Copyright © Editura Paralela 45, 2016, pentru prezenta edi ție

Daniela Manea

REZOLVAREA ECUA ȚIILOR ALGEBRICE
DE GRAD SUPERIOR

Daniela Manea Introducere

5
 
Introducere

Matematica este o permanen ță în viața noastră, în conversa țiile noastre, toate obiectele
care ne atrag aten ția își exprimă funcția sau frumuse țea prin forme, volume, propor ții. În
matematic ă găsim mereu combin ări neașteptate și ingenioase de idei, de adev ăruri, de rezultate.
Matematica a p ătruns ca aerul în toate formele vie ții moderne.
De la problemele practice cu primele numere inventate de omul primitiv, printr-o
dezvoltare progresiv ă s-a ajuns la formularea și rezolvarea unor probleme de natur ă abstractă,
teoretică, matematica devenind, dup ă cum spunea Gauss, regina științelor.
În dezvoltarea istoric ă a matematicii, dup ă numere, egalit ățile constituie una din primele
cuceriri ale acestei științe. Ele apar la egipteni (a șa cum atest ă Papirusul lui Ahmes) cu 2000 de
ani î.e.n.. Babilonienii, de și nu foloseau simboluri algebrice, rezolvau totu și probleme algebrice,
prin procedeul introducerii unei necunoscute ajut ătoare.
Termenul de ecua ție – egalitatea între dou ă expresii, con ținând elemente de aceea și
natură, dintre care unele sunt cunoscute, iar altele necunoscute, adev ărată numai atunci când
elementele necunoscute sunt înlocuite cu anumite elemente numite solu ții – a fost folosit ini țial
de către L. Fibonacci.
Ecuația algebric ă este ecua ția ce poate fi adus ă la forma P0=, unde P este un polinom
cu una sau mai multe nedeterminate, care sunt necunoscutele ecua ției.
În secolul al IX-lea, Muhammed al-Horezmi, în lucrarea sa ,,Carte scurt ă despre
calculul al-djabr și al-mukabala”, a f ăcut o clasificare a ecua țiilor și le-a rezolvat, folosind cele
două operații, al-djabr (trecerea termenilor cu semn schimbat dintr-un membru în altul) și al-
mukabala (reducerea termenilor asemenea), opera ții fundamentale pe atunci în rezolvarea
ecuației de gradul I și II. Până în secolul al XVI-lea, problema rezolv ării ecuațiilor algebrice
apărea ca ceva foarte complicat, rezolvarea lor ducând la alte numere necunoscute. Chiar ecua ția
de gradul I ducea la efectuarea unei împ ărțiri considerat ă ca o opera ție foarte grea. Și mai
anevoioas ă a fost rezolvarea ecua ției de gradul II, ce necesit ă o extragere de r ădăcină pătrată.
Începând cu secolul al XVI-lea, a crescut interesul europenilor pentru g ăsirea unor
metode generale de rezolvare a ecua țiilor algebrice. Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai
mare sau egal cu 5 a fost mereu în aten ția matematicienilor, dar abia la începutul secolului al
XIX-lea a fost demonstrat ă de către Abel și Ruffini imposibilitatea g ăsirii unor formule de
rezolvare pentru ecua țiile de grad mai mare sau egal cu 5.

Daniela Manea Introducere

6
 Lucrarea de fa ță își propune analiza rezolv ării ecuațiilor algebrice de grad superior,
concretizând prin exemple metode le descrise. Ea este structurat ă pe trei părți.
Prima parte cuprinde un scurt istoric al evolu ției rezolv ării ecuațiilor algebrice și
detaliază câteva metode de rezolvare a ecua țiilor de grad mai mic sau egal cu 4.
A doua parte trateaz ă tipuri de ecua ții de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin
radicali.
A treia parte prezint ă câteva considera ții metodice asupra pred ării ecuațiilor algebrice în
gimnaziu și liceu, precum și o serie de exerci ții și probleme ce propun rezolvarea unor tipuri de
ecuații algebrice, folosind diverse metode.
Lucrarea este înso țită de o bibliografie complet ă, pentru ca cititorul interesat, s ă-și
însușească mai bine partea teoretic ă la care se refer ă exercițiile și problemele, simultan cu
deprinderile de aplicare.
Consider c ă această lucrare poate fi un bun suport didactic în activitatea de la catedr ă.
Aduc mul țumirile mele domnului lect.univ.dr. Eduard Asadurian, coordonator științific
al lucrării, pentru observa țiile utile și competente în structurarea și definitivarea materialului
realizat.

Daniela Manea

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

7
  
Capitolul 1. Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic
sau egal cu 4

1.1. Preliminarii. Istoric

Matematica este o permanen ță în viața noastră, în conversa țiile noastre, toate obiectele
care ne atrag aten ția își exprimă ființa sau frumuse țea prin forme, volume, propor ții. În
matematic ă găsim mereu combin ări noi, nea șteptate și ingenioase idei, adev ăruri și rezultate.
Matematica a p ătruns ca aerul în toate formele vie ții moderne. De la problemele practice cu
primele numere inventate de omul prim itiv, printr-o dezvoltare progresiv ă s-a ajuns la
formularea și rezolvarea unor probleme de natur ă abstractă, teoretică, matematica devenind,
după cum spunea Gauss, regina științelor.
Ecuațiile algebrice cu o singur ă necunoscut ă reprezint ă astăzi un domeniu de mare
importanță. În toate ramurile științei și tehnicii ne întâlnim cu ecua ții algebrice de diferite tipuri.
La început, în antichitate, ecua țiile algebrice nu constituiau un domeniu demn de aten ția
învățaților vremii. Ecua țiile apăreau în schimb în diverse probleme de geometrie, mecanic ă,
astronomie. Apoi, în mod nea șteptat, algebra, care la prima vedere pare atât de arid ă, a oferit
palpitante aventuri, în special în domeniul acesta, al rezolv ării ecuațiilor algebrice.
Papirusurile egiptene, care dateaz ă din antichitate, con țin un num ăr de 110 probleme de
matematic ă, printre ele fiind și unele care conduceau la ecua ții de gradul I.
Mergând mai departe, babilonienii acordau o aten ție mai mare ecua țiilor. Astfel, una din
problemele babiloniene conducea la ecua ția 1xax+= , cu soluția 2aax122æö÷ç=+ – ÷ç÷çèø.
Este important s ă subliniem faptul c ă aceste probleme erau formulate în cuvinte și că de
cele mai multe ori, rezultatele erau date f ără explicații. Istoricii de mai târziu au încercat s ă
reconstituie modul de gândire și să redea într-o form ă cunoscut ă nouă soluțiile date problemelor
respective.
Babilonienii s-au mai întâlnit și cu probleme care conduceau la ecua ții de grad mai
mare, ca de exemplu 32xxa+= . Pentru a suplini lipsa unei formule, ei alc ătuiau tabele cu
ajutorul c ărora aproximau pe x.
În acele timpuri, un rol deosebit în dezvolta rea matematicii l-au avut matematicienii și
filozofii Greciei antice. Ei au f ăcut o descoperire foarte important ă, și anume descoperirea

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

8
 incomensurabilit ății, adică a imposibilit ății de a exprima raportul a dou ă segmente oarecare
printr-un raport de numere intregi. Pentru a evita aceste cazuri nepl ăcute a luat fiin ță ,,algebra
geometric ă”. Aceasta furniza c ăile de rezolvare ale diferitelor ecua ții liniare sau de gradul II cu o
singură necunoscut ă.
Problema ecua țiilor rămânea totu și o mare necunoscut ă: pe lângă limitele de cunoa ștere,
mai existau și greutățile create de lipsa unei simboliz ări adecvate, lips ă care obliga formularea
,,verbală” a problemelor respective.
Matematica datoreaz ă lui Diofant din Alexandria1 (sec. III d. Hr.) prima încercare
sistematic ă de folosire a unei nota țiii algebrice consecvente. În ,,Aritmetica” sa, el se consacra în
mod deosebit studiului ecua țiilor diofantice, adic ă a ecuațiilor nedefinite cu dou ă necunoscute și
de diferite ordine.
În ceea ce prive ște ecuațiile cu o singur ă necunoscut ă, Diofant considera ecua țiile de
gradul I și II și numai o singur ă ecuație de gradul III și anume: 32 2×3 x 3 x4 x2 x .+- – =+
Să trecem acum pe alte meleaguri. În îndep ărtata Chin ă, matematicienii s-au ocupat în
mod preferen țial de rezolvarea ecua țiilor algebrice. Matemati cienii chinezi inventeaz ă și
perfecționează o metodă rapidă de extragere a r ădăcinilor de diferire ordine, metod ă pe care au
aplicat-o intensiv la rezolvarea ecua țiilor. Ei aduc contribu ții însemnate în acest domeniu, de și ei
n-au căutat formule generale pentru ecua țiile de ordin superior. Metodele lor de calcul erau
suficient de bune în cazul ecua țiilor ,,incomode” și, spre deosebire de metodele ,,prin radicali”,
ele se puteau aplica la ecua ții de orice ordin.
Trebuie spus c ă matematicienii chinezi rezolvau curent ecua ții de gradul I și II, precum
și ecuații binome de gradul III, și reușiseră să inventeze substitu țiile pe care azi le cunoa ștem sub
numele de Horner, și anume xk y= și ypz=+ , cu ajutorul c ărora se transform ă în mod
convenabil ecua țiile de ordin superior.
Urmărind firul ro șu al rezolv ării ecuațiilor, poposim acum pe meleagurile Orientului
arabo- persan. Orientul a jucat un rol înse mnat în dezvoltarea matematicii. În afar ă de contribu ția
învățaților arabi, persani, uzbeci etc. în acest domeniu, ei au avut o misiune istoric ă, pentru c ă au
păstrat și transmis mai departe în timp, cuceririle științifice ale lumii antice.
Rolul înv ățaților din țările arabe în dezvoltarea algebrei a fost deosebit. În aceast ă
ordine de idei este bine s ă amintim c ă termenul de „algebr ă” provine din limba arab ă. Al-
Horezmi, unul din înv ățații privilegia ți din Academia lui al-Mamun , a scris o lucrare intitulat ă
                                                             
1 [1] Viorel Gh. Vod ă, Surprize în matematica elementar ă, Editura Albatros, Bucure ști, 1981, pg. 21-22.

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

9
 „Al kitab al-muhtasar fi hisab al-djabr va-l -mukabala” în care apare pentru prima oar ă cuvântul
algebră.
Omar Khayyam2 (1048-1131), probabil cea mai str ălucită minte a lumii orientului din
acele vremuri, întrebuin ța în mod curent denumirea ,,al-djabr” pentru întreaga disciplin ă a
ecuațiilor. El a elaborat o adev ărată teorie despre ecua țiile de gradul III și face pentru prima oar ă
aluzia că ecuațiile de gradul III nu se pot rezolv a în general cu ajutorul riglei și compasului. Abia
în 1637, René Descartes reafirm ă din nou aceast ă idee, pe care abia dou ă secole mai târziu, tot
un matematician francez, P.L. Vantzel, reu șește să o demonstreze în mod riguros.
În afară de aceeasta, Khayyam î și pune problema rezolv ării ecuației de gradul III în mod
asemănător ecuației de gradul II (deci prin radicali), dar nu reu șește acest lucru.
El însă realizeaz ă o clasificare a ecua țiilor, construc ția geometric ă a rădăcinilor și
determinarea num ărului și a limitelor solu țiilor pozitive. Iat ă un exemplu de ecua ție de gradul III,
rezolvată de Khayyam cu ajutorul metodelor geometrice: 32 2xp x p q+= . El se folose ște de
cercul 22xyq x+= și de parabola 2xp y= pe care le scrie sub forma px
xy= și xy
yy x=- de
unde 2
2p x
xq x=- sau 23 3 2 2p (q x) x x p x p q-=  + = . Punctul de intersec ție a celor dou ă
curbe dă soluția pozitivă a ecuației.
Nici cei ce au urmat lui Omar Khayyam, o bun ă bucată de vreme nu au reu șit să ajungă
la o rezolvare complet ă a ecuației de gradul III. S-au rezolvat e norm de multe cazuri particulare,
s-au dat numeroase și ingenioase solu ții geometrice.
Totuși, nu aceasta era ceea ce se dorea; atrac ția unei formule generale era din ce în ce
mai puternic ă.
Trecerea timpului ne poart ă acum pașii spre Italia medieval ă a începutului de secol al
XVI-lea. Este epoca în care spiritul creator al omului cunoa ște o descătușare de mari propor ții.
În această perioadă are loc și rezolvarea prin radicali a ecua ției generale de gradul III.
Iată cum s-au petrecut lucrurile. Scipione del Ferro (1456-1526), profesor la
Universitatea din Bologna, reu șește între anii 1500-1515 s ă găsească regula general ă de
rezolvare algebric ă a ecuației 3xp x q+= . Însă el nu divulg ă metoda. Numai doi oameni au avut
acces la secretul s ău: ginerele și succesorul s ău la catreda de matematici Annibale della Nave, și
un elev de-al s ău, Antonio Maria Fior. Ultimul re ține descoperirea lui Sc ipione del Ferrro în
așteptarea unei ocazii care s ă o pună în valoare.
                                                             
2 [1] Viorel Gh. Vod ă, Surprize în matematica elementar ă, Editura Albatros, Bucure ști, 1981, pg. 25-28.

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

10
 În bătălia pentru solu ția general ă, intră Niccolo Fontana zis Tartaglia (1500-1557),
matematician extrem de talentat al epocii respective.
În anul 1530, Zuanne de Tonini da Coi, de asemenea matematician al vremii, propune
lumii matematice de atunci rezolvarea unor ecua ții particulare de tipul: 32xp x q+= ,
32xq p x+= , 32xp xq=+ .
Tartaglia rezolv ă în timp record aceste probleme și afirmă că a găsit și soluția general ă.
La auzul acestor afirma ții, Antonio Fior crede c ă a găsit momentul s ă își consacre gloria prin
formulele lui del Ferro. Ca urmare, în anul 1535 el provoac ă pe Tartaglia la o mare disput ă,
timițându-i spre rezolvare ecua ții de tipul: 3xp x q+= , 3xq p x+= , 3xp x q=+ , a căror
rezolvare el o știa prin formulele lui Scipione del Ferro. Dar surpriz ă: Tartaglia rezolv ă și aceste
ecuații și-i trimite la rândul s ău lui Fior ecua țiile de tipul: 32xp x q+= , 32xq p x+= ,
32xp xq=+ , pe care îns ă Fior nu mai este capabil s ă le rezolve. Tartaglia afirm ă acum că a
găsit procedeul general de rezolvare a ecua țiilor de gradul III.
În aceste momente, intr ă în scenă Girolamo Cardano3 (1501-1576), spirit enciclopedic și
matematician de geniu al epocii. În perioada disputelor publice dintre Tartaglia și Fior, Cardano
lucra la un tratat imens de matematic ă numit ,,Ars Magna”, care a ap ărut în 1545. În 1539,
Cardano încearc ă să-l conving ă pe Tartaglia s ă-i comunice metoda de rezolvare pentru a o
include în ,,Ars Magna”. Conform istoriei, Tartaglia i-ar fi comunicat-o pân ă la urmă lui
Cardano, dar cu rug ămintea de a nu o publica.
În 1543, înso țit de elevul s ău preferat Lodovico Ferrari (1522-1561), Cardano sose ște la
Bologna pentru a examina manuscrisele lui Scipione del Ferro. Cei doi au aici o adev ărată
surpriză: constată că, de fapt, del Ferro a fost primul care a reu șit să dea metoda general ă de
rezovare pentru ecua ția 3xp x q+= .
Astfel, în 1545 vede pentru prima oar ă lumina tiparului, metoda general ă de rezolvare a
ecuației de gradul III, Cardano citându-i pe to ți înaintașii săi în acest domeniu. Și după cum
spune și istoricul sovietic al matematicii, A.P. Iu șkevici, “Cardano, el însu și un matematician
talentat, nu s-a m ărginit la a reproduce regulile lui Tartaglia. El a dat demonstra țiile acestora, a
arătat cum se reduc ecua țiile cubice complete la ecua ții cubice numai cu trei termeni; lui îi
aparține prima întrebuin țare a solu țiilor imaginare a ecua țiilor pătratice. În opera sa, Cardano
expune de asemenea și metoda de reducere a rezolv ării ecuației de gradul IV la rezolvarea unei
                                                             
3 [1] Viorel Gh. Vod ă, Surprize în matematica elementar ă, Editura Albatros, Bucure ști, 1981, pg. 30-36.

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

11
 ecuații de gradul III, metod ă găsită de elevul s ău, Lodovico Ferrari.” ( ,,Hrestomatia po Istorii
Matematiki”, 1976, Moskva).
Acum câte ceva despre rezolvarea grafic ă a ecuației de gradul III. Înc ă de acum multe
secole în urm ă, metodele grafice erau preferen țiale în rezolvarea ecua țiior de diferite tipuri. Ceva
mai târziu, teoria func țiilor de o variabil ă reală, combinat ă cu clasicele cuno ștințe asupra
conicelor, a devenit un mare ajutor în aceast ă problem ă a rezolv. ării ecuațiilor. Desigur c ă
rezolvarea grafic ă a unei ecua ții este aproximativ ă, dar, ceea ce este important la aceast ă metodă,
este posibilitatea de a detecta num ărul de rădăcini reale ( și implicit și al celor complexe
conjugate), precum și valoarea lor aproximativ ă.
Goana dup ă radicali a continuat, din p ăcate însă fără success. N-au mai putut fi
rezolvate prin radicali decât ecua ții particulare de grad mai mare decât patru. Aceste eforturi nu
au contenit decât atunci când s-a produs o adev ărată cotitură în algebr ă.
Matematicianul francez de geniu, Evariste Galois (1811-1832), creeaz ă bazele teoriei
moderne a structurilor algebrice (no țiunea de grup).
Norvegianul H. Abel (1802-1829) și italianul Ruffini (1765-1832) atac ă și ei abordarea
dintr-un unghi nou al algebrei și reușesc, în final, s ă demonstreze un fapt extrem de important:
ecuațiile algebrice generale de grad mai mare decât patru nu pot fi rezolvate prin radicali.
Acesta este sfâr șitul ,,goanei dup ă radicali”. Se deschide o nou ă perioadă în dezvoltarea
algebrei. Cercet ările încep acum s ă se concentreze asupra unor probleme ca: în ce condi ții există
rădăcini raționale, metode de rezolvare aproximativ ă a ecuațiilor de ordin superior etc.
Ecuațiile algebrice au constituit un domeniu de atrac ție și pentru matematicienii români,
aceștia reușind să aducă o contribu ție interesant ă și utilă. Reviste ca „Gazeta Matematic ă”,
„Revista Matematic ă din Timi șoara”, „Pozitiva” și altele, con țin o sumedenie de note și articole
pe marginea rezolv ării ecuațiilor algebrice de diferite ordine.
Articolul dr. docent Marius Iosifescu4 din 1955, con ține, pe lâng ă elementele istorice, și
cazul clasic de rezolvare a ecua ției de gradul III, pentru care se d ă o metodă originală de reducere
a ecuației complete de gradul III, 32
012 3ax 3 ax 3 ax a 0++ + = , 0a0¹, la o ecua ție binomă.
De asemenea, marele matematician Traian Lalescu5 a fost fost un talentat algebrist. În
domeniul ecua țiilor algebrice, Lalescu deduce în 1914 limitele r ădăcinilor reale ale ecua ției de
gradul III: 3xp x q 0-+ = .
                                                             
4 [1] Viorel Gh. Vod ă, Surprize în matematica elementar ă, Editura Albatros, Bucure ști, 1981, pg. 61-64
 
5 Ibidem , pg. 65.

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

12
 Ceva mai târziu, Gheorghe Buicliu6, s-a ocupat de rezolvarea ecua ției algebrice de
gradul IV, g ăsind condi țiile în care ecua ția general ă 43 2f ( x ) xa xb xc x d 0=+ + ++ = se poate
pune sub forma sumei a dou ă pătrate, ducând apoi la rezolvarea a dou ă ecuații de gradul II.
Cam tot în aceea și perioadă, profesorul Theodor Anghelu ță publică in ,,Gazet ă” un
studiu relativ complet asupra a șezării în ordine natural ă a rădăcinilor a dou ă ecuații de gradul III.
Multe probleme interesante, legate de ecua țiile de ordin superior, au fost dezb ătute de
matematicienii no ștri în studiul ecua țiilor algebrice satisf ăcute de laturile poligoanelor regulate.
Astfel, profesorul N.N. Mih ăileanu dă, în G.M. nr. 7/1970, chiar un criteriu general de formare a
acestor ecua ții.

1.2. Numere complexe exprimabile prin radicali

Considerăm formulele (expresiile algebrice) de forma
12 nR(t , t , …, t ) , (1.1)
care conțin în afara simbolurilor de opera ții aritmetice (adunarea, înmul țirea, împărțirea), numai
semnele k (extragerea r ădăcinii de ordinul k dintr-un num ăr complex).
Exemplul 1.1. 3
123ttt+- este o formul ă de forma (1.1.) .
Fie 12 nR(t , t , …, t ) o expresie algebric ă de tipul (1.1) . Când m ărimilor 12 nt , t , …, t
dăm valorile 11 2 2 n nt a , t a , …, t a== = , atunci 12 nR(a , a , …, a ) are mai multe valori (un
număr finit).
Spunem c ă un număr complex z se exprim ă prin radicali din numerele complexe
12 na , a , …, a dac ă există o expresie de tipul (1.1) astfel încât z să fie una din valorile lui
12 nR(a , a , …, a ) .
Dacă 12 na , a , …, a sunt numere ra ționale arbitrare, atunci spunem simplu c ă z se
exprimă prin radicali.
Exemplul 1.2. a) z1 i=+ se exprim ă prin radicali.
Într-adevăr, z1 i=+ este una din valorile lui R( 1 , 1 )-, unde:
12 1 2R(t , t ) t t=+ .
b) z25 3=+- se exprim ă prin radicali.
                                                             
6 [1] Viorel Gh. Vod ă, Surprize în matematica elementar ă, Editura Albatros, Bucure ști, 1981, pg. 66

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

13
 Într-adevăr, z25 3=+- este valoarea lui R(2, 5, 3) , unde:
123 1 2 3R(t , t , t ) t t t =+- .
Ce înseamn ă a rezolva o ecua ție prin radicali?
Considerăm ecuația algebric ă de grad n1³ cu coeficien ți complec și:
nn 1
1n x a x … a 0-++ + = . (1.2)
Presupunem, f ără a restrânge generalitatea, c ă coeficientul lui nx este 1. Din teorema
fundamental ă a algebrei rezult ă că ecuația are n r ădăcini complexe. Dar aceast ă teoremă nu
indică și un procedeu de ob ținere a celor n rădăcini.
Spunem c ă o rădăcină 0z a ecuației (1.2) se exprim ă prin radicali dacă există o
formulă de tipul 12 nR(t , t , …, t ) astfel încât 0z să fie una din valorile expresiei
12 nR(a , a , …, a ) , adică 0z se exprim ă prin radicali din numerele complexe 12 na , a , …, a . Dacă
orice rădăcină a ecuației algebrice (1.2) se poate exprima prim radicali, atunci spunem c ă ecuația
(1.2) se rezolv ă prin radicali.
Dacă există o formul ă 12 nR(t , t , …, t ) astfel încât pentru orice numere complexe
12 na , a , …, a ecuația (1.2) are rădăcini exprimabile prin radicali prin intermediul expresiei
12 nR(t , t , …, t ) , atunci vom spune c ă 12 nR(t , t , …, t ) este formula de rezolvare a ecua ției de
gradul n.
Presupunem c ă rădăcinile ecua ției (1.2) se exprim ă prin radicali prin intermediul
formulei 12 nR(t , t , …, t ) , adică rădăcinile sale sunt o parte din valorile expresiei
12 nR(a , a , …, a ) .
Problema care se pune este de a distinge din mul țimea acestor valori pe acelea care sunt
rădăcinile ecua ției date. Acest lucru se face pentru fiecare caz în parte.
În cele ce urmeaz ă ne propunem s ă arătăm că pentru n2 , 3 , 4= se poate da un
procedeu de determinare a r ădăcinilor ecua ției. Pentru n1= ecuația 1 xa 0+= are rădăcina
1 xa=- și nu mai prezint ă probleme.

1.3. Formule de rezolvare pentru ecua țiile de gradul II și III

1.3.1. Ecuația de gradul II

Fie ecuația nn 1
1n xa x . . . a0-++ + = .

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

14
 Pentru n2= avem 2
12 1 2 xa x a0 , a , a++ = Î . Această ecuație se poate scrie sub
forma:
22 22 2 2
2 11 1 1 1 1
12 2 2aa a a a axa x a 0 x a 0 x a44 2 4 2 4æö æö÷÷çç +++ -=  + + -=  + =-  ÷÷çç÷÷ççèø èø
2 22
112 11 1 1
22aa 4 a aa a axa xa x24 2 4 2- -+ =  – = - – = .
Deci ecua ția de gradul II este rezolvabil ă prin radicali. Solu țiile sunt date de formula:
2
112aa 4 ax2- -= . (1.3)
Exemplul 1.3. Să se rezolve ecua ția: ()2xx 1 i0-+-= .
Avem (utilizând (1.3.) ):
() 11 4 1 i 14 i 3×22- – +-== .
Cum ()12 34 i 12 i x 1i , x i-+ =  +  =+ = – .

1.3.2. Ecuația de gradul III. Natura r ădăcinilor ecua ției de gradul III cu coeficien ți
reali

Fie ecuația
32
12 3 xa xa x a0++ + = (1.4)
cu coeficien ți complec și.
Înlocuim 11aayx xy33=+ =- și ecuația devine:
32
11 1
12 3aa aya ya y a 033 3æö æöæö÷÷÷ççç-+-+- + = ÷÷÷ççç÷÷÷çççèø èøèø
23 2
32 2 11 1 1 1 1 2
11 1 2 3aa a a a a ay3 y 3 y a y2 a y a a y a 039 2 7 3 9 3- + -+ – + + – += 
23
3 11 1 2
23a2 a a ayy a a032 7 3æö÷ ç ÷ +-++ – +=ç ÷ ç ÷ çèø.
Notăm 2
1
2aap3-+= și 3
11 2
32a a aaq27 3-+ = și atunci ecua ția devine:
3yp y q 0++ = . (1.5)

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

15
 Deci rezolvarea ecua ției (1.4) revine la rezolvarea ecua ției (1.5) . În concluzie, vom
căuta să indicăm o metod ă de rezolvare pentru ecua ția de gradul III de forma 3yp y q 0++ = .
Din teorema fundamental ă a algebrei rezult ă că ecuația (1.5) are trei rădăcini complexe.
Fie 0y una dintre aceste r ădăcini.
Considerăm polinomul în nedeterminata u, ()2
00pfu u y u3=- – . Fie ,ab rădăcinile
ecuației ()0fu 0=. Din relațiile lui Viète ob ținem: 0py, =3a+b= ab – .
Cum 0y e s t e rădăcină, atunci 3
00yp y q 0++ = . Combinând rela țiile, obținem:
() ()3 32 2 3pq 0 3 3 p p q 0 a+b + a+b + = a + ab+ ab +b + a+ b+ = 
() ( )333p q 0 a +b +a+b ab+ + = .
Dar 3p 0ab+ = . Atunci 33q a+ b= – .
Obținem: 33 33
3
33q q
p p
3 27ì ì ïa+ b= – ïa+ b= -ï ïï ïïï ííïïab=- ab=- ïïïïïî ïî.
Deci 3a și 3b sunt rădăcinile ecua ției 3
2 ptq t 027+- = . Pentru aceast ă ecuație,
32 3
2 pq pq4 427 4 27æö÷ç÷ D= + = + ç÷ç÷çèø și 23
23
1,2qpq2qq p 42 7t22 4 2 7- +
== –  + . Cum 3
1ta= și
3
2tb= , rezultă că 23
3qq p
24 2 7a= – + + și 23
3qqp
24 2 7b= – – + .
Atunci:
23 23
33
0qq p qq py2 4 27 2 4 27=-+ + +– + .
Această ultimă formulă reprezint ă formula lui Cardano7 de rezolvare a ecua ției de
gradul III. Rezult ă că ecuația de gradul III este rezolvabil ă prin radicali. Ținând seama de faptul
că rădăcina cubic ă dintr-un num ăr complex are trei valori complexe, formula lui Cardano ne d ă
șase valori complexe. Trebuie s ă distingem dintre aceste valori care sunt r ădăcinile ecua ției (1.5) .
Considerăm formulele lui a și b.
                                                             
7 [2] C. Năstăsescu, C. Ni ță, Teoria calitativ ă a ecuațiilor algebrice , Editura Tehnic ă, București, 1979, pg. 105-107.

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

16
 Fie 1a una dintre cele trei valori ale lui a date de formulele considerate. Dac ă e și 2e
sunt rădăcinile cubice nereale ale unit ății, atunci celelalte valori ale lui a sunt: 21a= e a ,
2
31a= e a .
Fie 123,,bbb , valorile lui b date de formulele considerate. Avem: 21b= e b , 2
31b= eb .
Dar trebuie ca: p
3ab=- .
Să presupunem c ă 1b este valoarea corespunz ătoare lui 1a, deci 11p
3ab=- . Se vede c ă
()()()23
23 1 1 1 1 1 1p
3a b = e a e b= ea b= a b = – ,
()()2
32 1 1p
3ab=ea e b =- ,
deoarece 31a= . Deci 3b este valoarea corespunz ătoare lui 2a și 2b este valoarea
corespunz ătoare lui 3a.
Rezultă că rădăcinile ecua ției (1.5) sunt:
11 1
2
22 3 1 1
2
33 2 1 1y,
y,
y.=a +b
=a +b =ea +eb
=a +b =ea +eb
Definiția 1.1. Fie ecuația nn 1
1n x a x … a 0-++ + = . Notăm cu 12 nx , x , …, x rădăcinile
acestei ecua ții. Numărul complex ()2
ij
1i jndx x
£<£=- se numește discriminantul ecua ției.
Avem egalitatea:
()12 n
ji
1i jn
n1 n1 n1
12 n11 . . . 1
xx . . . xxx.. . . . .
xx. . . x£<£
– -=- ,
unde primul membru al egalit ății este determinantul Vandermonde.
Fie U matricea:
12 n
n1 n1 n1
12 n1 1 … 1
x x … xU. . … .
x x … x– -æö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ =ç ÷ç ÷÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ çèø
și tU matricea transpus ă a lui U.
Cum tdet U det U= , atunci ()()( )ttd det U det U det UU== .

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

17
 Dar
()12 n 1
123 n
t
234 n 1
n1 n n1 2 n2n t t … t
t t t … t
t t t … t dd e t U U
. . . … .
t t t … t-
+
-+ -== ,
unde ii i
i1 2 ntxx. . . x=++ + sunt sumele de puteri ale lui Newton.
Din relațiile lui Viète rezult ă că:
n
i1
i1xa
==-å , ij 2
ijxx a
<=å , …, ()n
12 n nxx. . . x 1 a=- .
Dacă 12 na , a , …, a Î, obținem că d este un num ăr real ce se exprim ă în funcție de
12 na , a , …, a .
Ne propunem s ă calculăm discriminantul d pentru n2 , 3= .
Pentru n2=, ecuația este 2
12 xa x a0++ = . Avem:
() ()22 22
1 2 1 2 12 1 2 12 dx x xx2 x x xx 4 x x=- =+ – =+ – .
Dar 12 1xx a+= – și 12 2xx a= , deci 2
12 da 4 a=- .
Pentru n3=, ecuația este 32
12 3 xa xa x a0++ + = . Avem
() () ()12
22 2 32 2
12 23 13 1 2 3 2 4 1 2 3 2 3 1 4
2343t t
d x x x x x x t t t 3t t 2t t t t 3t t t
ttt=- – – = = + – – ,
unde :
1123 1txxx a=++= – ,
( )( )2 222 2
2123 1 23 1 22 3 1 3 1 2t x x x x x x 2 xx xx xx a 2 a=++=++ – + + =- ,
() ()333 222
3123 1 23 123 1 2 1 3 2 3 1 2 3txxx xxx xxxx xx xx x 3 x x x=++= ++ ++- – – + =
3
11 2 3a3 a a3 a=- + ,
( )( )2444 222 2 22 22 2
4123 123 1 22 3 1 3txxx xxx 2 x xx xx x=++= ++ – + + =
() ( ) ()2 2 2 22
21 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 1 3t 2 x x x x x x 4x x x x x x a 2a 2a 4a a=- + + + ++ = – – + .
Deci:
()( )()()( )24 2 2 2 23
12 12 1 221 3 1 12 1 1 2 3 d 3 a 2a a 4a 4a a 2a 4a a 2 a a 2a a 3a a 3a=- + – – + + – – -+-

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

18
 () ( ) ( )3223 2 4 2 2 2
12 1 1 23 1 1 21 221 3a 2a 3 a 3a a 3a a a 4a 4a a 2a 4a a– – – + – +- -+ =
22 3 3 2
12 13 1 2 3 2 3a a 4a a 18a a a 4a 27a=- + – – .
Discuția rădăcinilor ecua ției de gradul III , 32
12 3 xa xa x a0++ + = , se reduce la a
determina natura r ădăcinilor ecua ției reduse în care 1a0=. Așadar vom face discu ția rădăcinilor
ecuației 3xp x q 0++ = . Discriminantul acestei ecua ții este:
()23
32 qpd 4p 27q 10842 7æö÷ç÷ =- + =- + ç÷ç÷çèø.
1. Cazul d0<. Ecuația fiind de gradul III are cel pu țin o rădăcină reală. Fie aceasta 1x.
Deoarece ()()()22 2
12 23 13 dx x xx x x 0=- – – < , 23x , x sunt numere complexe conjugate. Deci
ecuația are o rădăcină reală și două complexe conjugate.
2. Cazul d0=. Ecuația are cel pu țin două rădăcini egale. Cum o r ădăcină este real ă,
rezultă că toate trei sunt reale (din care cel pu țin două sunt egale).
3. Cazul d0>. Avem () () ()22 2
12 23 13xx xx xx 0– > . Presupunem c ă 1x e s t e r e a l ă.
Dacă 2x și 3x ar fi complexe conjugate, am putea scrie 23x a ib, x a ib=+ =- , cu b0¹. În
acest caz am avea
( )()( )()()()22 22 2 2
11 1 1 dx a i b 4 b x a i b x a i b x a i b 4 b é ùé ù =- – – – + =- – – + -ë ûë û,
adică
() ()22 22
1 dx ab 4 b0é ù=- + -<ê ú ë û
și deci, contradic ție.
Deci ecua ția are, în acest caz, trei r ădăcini reale distincte.
Exemplul 1.4. Să se rezolve ecua ția: 3×6 x 9 0-+ = .
Avem p6 ; q = 9=- și deci ()3226 99d 108 108 8 27 49 042 7 4é ùæö -÷ êú ç÷ =- + =- – =- ⋅ < ç êú ÷ç÷çèø êúë û.
Deci:
() ()3322
33
166 99 99×2 4 27 2 4 27–=-+ + +– + =
3394 9 94 912 324 24=-+ +– = – -= – ,

21i 3 1i 3 3i 3×1 222 2æö æö-+ – + ÷÷ çç ÷÷ =- – =çç ÷÷ çç ÷÷÷÷ ççèø èø,

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

19
 31i 3 1i 3 3i 3×1 222 2æö æö– -+ – ÷÷ çç ÷÷ =- – =çç ÷÷ çç ÷÷÷÷ ççèø èø.

1.4. Metode de rezolvare pentru ecua ția de gradul IV

Fie ecuația 43 2
123 4 xa xa xa x a0+++ + = . Făcând substitu ția 1ayx4=+ , obținem
ecuația 43 2
1111
123 4aaaaya ya ya y a 04444æöæöæöæö÷÷÷÷çççç-+-+-+- + =÷÷÷÷çççç÷÷÷÷ççççèøèøèøèø, care determin ă ecuația de
gradul IV în care coeficientul lui 3y e s t e 0: 42yp yq y r 0++ + = . Această ecuație se nume ște
ecuația redusă de gradul IV.
Prezentăm mai multe metode de rezolvare pentru o astfel de ecua ție.

1.4.1. Metoda lui Ferrari (diferen ță de pătrate perfecte)

Fie ecuația redusă de gradul IV, de forma:
42yp yq y r 0++ + = . (1.6)
Fie m un parametru. Atunci
2 2
42 2 2 2 ppyp yq y ry m q y r m2 m yp m24æö÷ ç ++ + =+ ++ + – – – – ÷ ç ÷ çèø
și deci:
2 2
42 2 2 2 ppyp yq y ry m 2 m yq ymp m r24é ù æö æö÷ ç ÷ê ú ç ÷ ++ + =+ +- – ++- + ÷ ç ç ÷ ÷ê ú çç ÷ ç èø èøë û.
Alegem parametrul m astfel încât polinomul în Y
()2
22 pfY 2 m Y q Y m p m r4æö÷ ç ÷ =- + + – + ç ÷ ç ÷ çèø
să fie pătratul unui polinom de gradul I. Trebuie deci ca discriminantul ecua ției ()fy 0= să fie
nul, adică
2
22 pq8 m mp m r 04æö÷ ç ÷ -+ – + =ç ÷ ç ÷ çèø
sau
2
32 2 p8m 8pm 8 r m q 04æö÷ç÷ +- – = ç÷ç÷çèø, (1.7)

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

20
 care este o ecua ție de gradul III în m. Ecuația (1.7) are o rădăcină complex ă; fie aceasta 0m,
care se exprim ă prin radicali. Pentru 0m avem:
()2
0
0qfY 2 m Y4mæö÷ ç ÷ =-ç ÷ ç ÷ çèø.
Ecuația (1.6) devine:
2 2
2
00
0pqym 2 m y 024 mæö æö÷ ç÷ ç ÷ ++ – – = ç÷ ç ÷ ÷ç ç ÷ ç èø èø
sau
22
00 00
00pq pqym 2 m y ym 2 m y 022 22 m 22 mæö æö÷÷ çç ÷÷ çç++ – + ++ + – = ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ èø èø
sau
2
00
0
2
00
0pqy2 m y m 02 22 m
pqy2 m y m 02 22 mì æö ï÷ ï ç ÷ ïç-+ + + = ÷ ç ï ÷ ç ï ÷ èø ïïíï æöï ÷ ç ï ÷ ç ++ + – = ÷ ï ç ÷ ï ç ÷ ï èøïî. (1.8)
Formulele (1.8) ne arată că ecuația de gradul IV este rezolvabil ă prin radicali.

Exemplul 1.5. Să se rezolve ecua ția: 43×4 x 1 6 x 5 0++- = .
Facem substitu ția xy 1=- și obținem ecua ția:
()()()43y 1 4y 1 1 6y 1 5 0-+ -+ – – = 42y6 y2 4 y 2 4 0-+- = .
Fie m un parametru. Atunci:
2
42 2 2 2 63 6y 6y 24y 24 y m 2my 24y m 6m 2424é ù æö æ ö÷÷ çç ê ú -+- =- +- -+-+ + = ÷÷ çç ÷÷ çç ê ú èø è øë û
() ( )222 2y 3 m 2my 24y m 6m 33 é ù =- +- -+-+ê ú ë û.
Alegem pe m astfel încât polinomul ( )222my 24y m 6m 33-+- + să fie pătratul unui
polinom de gradul I. Ob ținem ecua ția:
32m6 m3 3 m 7 2 0-+ – += .
O rădăcină a acestei ecua ții este 0m3=. Ecuația devine:
() () ()2
222 2 24y 33 6 y 0 y 6 y2y 6 y2 012æöéù éù ÷ç -+ – – = – – + – = ÷ç êú êú ÷ç ëû ëû èø,
de unde

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

21
 ()2y6 y 2 0– = sau ()2y6 y 2 0+- = ,
și deci:
2y6 y 2 6 0-+= sau 2y6 y 2 6 0+-= .
De aici se pot g ăsi cele patru r ădăcini ale ecua ției în y și prin substitu ția xy 1=- se
obțin cele patru r ădăcini ale ecua ției inițiale.

1.4.2. Metoda lui R. Descartes (produ s de polinoame de gradul II)

O rezolvare elegant ă a ecuației reduse de gradul IV, 42yp yq y r 0++ + = , a dat-o
celebrul matematician René Descartes . El a pornit de la ideea c ă un polinom de gradul IV poate
fi scris ca un produs de dou ă polinoame de gradul II, adic ă:
() ( )42 2 2
11 Yp Yq Y rYa Y b Ya Y b++ + =+ + ++ , (1.9)
în care 11a, a , b, b trebuie determina ți.
Identificând coeficien ții, Descartes ob ține sistemul:
1
11
11
1aa 0
bba a p
ab a b q
bb rì+=ïïïï++ =ïïíï+=ïïï=ïïî.
El scrie ultima dintre ecua ții într-un mod foarte ingenios:
()()22
11bbb b 4 r+–= . (1.10)
Avem:
2
11 1qaa , b b p a , b ba=- + = + – = .
Înlocuind aceste rela ții în ecuația (1.10) se obține:
()222
2qpa 4 ra+- = sau ()64 2 2 2a2 p a p4 r aq0++ – – = .
Notând 2au=, avem ecua ția:
()32 2 2u2 p u p4 r u q0++ – = .
Această ecuație se nume ște rezolventa ecuației de gradul IV de mai sus. Ea este o ecua ție de
gradul III. F ăcând scimbarea de variabil ă 1auv3=- , o putem aduce la o ecua ție de forma
3vs v t 0++ = , care se poate rezolva cu ajutorul formulelor lui Cardano. Deci se g ăsește u,
adică 11a, a , b, b , astfel încât ecua ția de gradul IV este rezolvabil ă prin radicali.

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

22
 Fie 1234y , y , y , y r ădăcinile ecua ției 42yp yq y r 0++ + = . Conform rela țiilor lui
Viète, din egalitatea (1.9) rezultă că a- reprezint ă suma a dou ă rădăcini oarecare. Deci a poate
lua șase valori, dou ă câte două egale și de semne contrare:
()()()12 13 14yy , yy , yy+ + + .
Dacă 123u , u , u sunt r ădăcinile ecua ției ()32 2 2u2 p u p4 r u q0++ – = , cele șase
valori ale lui a sunt:
123u, u, u  . (1.11)
Scriem atunci c ă: ()12 1yy u+=  , ()13 2yy u+=  , ()14 3yy u+=  . Adunăm
relațiile și ținem seama de faptul c ă 1234yyyy 0+++= . Rezultă că 123
1uuuy2= .
Din cele opt valori ale expresiei doar patru convin.
În baza rela țiilor lui Viète avem:
123 124 134 234yyy yyy yyy yyy q+++= – .
Pe de altă parte avem c ă:
() () ()32 2 2
1 2 1 3 1 4 1 1 2 13 1 4 123 124 134 234yy yy yy yy yy yy yy y yy y yy y yy y y+ + + = ++++ + + + =
( )2
1 1234 1 2 31 2 41 3 42 3 4y yyyy y y yy y yy y yy y y= + + + ++++ .
Rezultă că:
() () ()12 13 14yy yy yy q+++ = – .
Deci semnele radicalilor în (1.11) trebuie alese astfel înc ăt produsul celor trei radicali s ă
fie q-. În aceast ă situație cele patru r ădăcini ale ecua ției 42yp yq y r 0++ + = au expresiile:
( )
()
()
()11 2 3
21 2 3
31 2 3
41 2 31yu u u ,2
1yu u u ,2
1yu u u ,2
1yu u u .2=+ –
=- +
=- + +
=- – –

1.4.3. Metoda lui L. Euler

Leonhard Euler, celebrul matematician elve țian, a arătat că soluțiile ecuației
42yp yq y r 0++ + =

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

23
 se pot scrie convenabil astfel:
()
()
()
()11 2 3
21 2 3
31 2 3
41 2 31yu u u2
1yu u u2
1yu u u2
1yu u u2ìïï=+ -ïïïïïï=- +ïïïíïï=- + +ïïïïïï=- – -ïïïî, (1.12)
unde 123u , u , u sunt r ădăcinile ecua ției
()32 2 2u2 p u p4 r u q0++ – = .
Metoda const ă în determinarea a trei numere v, z, w , a căror sumă să fie dublul unei
rădăcini a ecua ției de gradul IV, scris ă sub forma redus ă 42yp yq y r 0++ + = .
Dacă v+z+w=2y , atunci
()22 2 2v+ z+ w+ 2v z v w z w= 4 y ++
și deci:
() () () ( ) ()22 2 2 2 2 2 2 2 22 22 4v +z +w +4 vz vw zw v +z +w +4 v z v w z w +8vzw v z w =16y ++ + + + + .
În ecuația dată înlocuim pe: 24y, y , y și rezultă
() () () ( ) ()22 2 2 2 2 2 2 2 22 22 1v +z +w +4 vz vw zw v +z +w +4 v z v w z w +8vzw v z w16é ù++ + + + ++ ê úë û
() ()22 2 11p v +z +w +2 vz vw zw q v+z+w r 042éù++ + + + =êúëû,
adică
( )() ( )( )()22 2 2 2 2 2 2 2 22 2211 1 1v +z +w + vz vw zw v +z +w + v z v w z w + vzw v z w16 4 4 2++ + + + +
( )() ()22 2 11 1p v +z +w + p vz vw zw q v+z+w r 042 2++ + + + = ,
sau încă:
( )( )( )( )( )22 2 2 2 2 2 2 2 22 22v +z +w +4 vz vw zw v +z +w +4 v z v w z w +8uvw u v w ++ + + + ++
( )( )()22 24p v +z +w +8p vz vw zw 8q v+z+w 16r 0++ + + + = .
În final, putem scrie:
( )( )( )( )()( )222 2 22 2 2 2 2v +z +w +4 vz vw zw v +z +w 2p +4p v z w +8 vzw+q v z w ++ + + + + ++
()22 2 2 2 24vz vw zw 1 6 r 0++ ++ = .

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

24
 Fie v, z, w astfel încât 22 2v+ z+ w 2 p 0 += și vzw + q = 0 , deci 22 2v+ z+ w 2 p =- și
vzw = – q . Expresia de mai sus devine
()()( )2 22 2 2 2 22p 4p 2p 4 v z v w z w 16r 0-+ – + + + + = ,
adică
( )2 2 2 2 22 224p 8p 4 v z v w z w 16r 0-+ + + += ,
de unde se ob ține că:
22 2 2 2 2 2vz vw zw p 4 r++= – .
Am obținut astfel sistemul:

() ( )22 2
2 2 22 22 2
22v+ z+ w 2 p
vz vw zw p 4 r
vzw = -qìï =- ïïïï++= -íïïïïïî.
Deci 22 2v , z , w sunt r ădăcinile ecua ției de gradul III:
()32 2 2u2 p u p4 r u q0++ – = ,
ecuație ce se poate rezolva cu formulele lui Cardano. Dac ă 123u, u, u sunt rădăcinile ei, atunci:
12 3 uu , vu , wu = = = ,
astfel încât vzw=-q .
Deci rădăcinile 1 234y , y , y , y , date de rela ția v+z+w=2y , sunt cele men ționate în
formulele (1.12) .

1.4.4. Metoda lui Liapin

O altă metodă interesant ă de rezolvare a ecua ției de rezolvare a ecua ției
42yp yq y r 0++ + = se găsește în ,,Kurs Vîs șei Alghebrî” (E.S. Liapin, Moscova, 1953).
Scriem ecua ția astfel:
()()()()242 2 2 2yp yq y ry 2p y q y r é ù ++ + =+ l – l – + -+ l -ê ú ë û,
unde l este un parametru oarecare. Dac ă îl vom determina pe l, astfel încât
()()()()22gy 2 py qy r=l – + – + l –
să fie un p ătrat perfect, atunci membrul drept al rela ției va con ține diferen ța a două pătrate
perfecte. Acest lucru se poate realize u șor, scriind c ă discriminantul trinomului ()gy este nul:
() ( ) ()2 2q4 2 p r 0–l -l – =

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

25
 Pentru l obținut din ecua ția de mai sus, putem scrie () ( )2gy y=a+ b și deci:
() ()42 2 2yp yq y ry y y y+ + + = +l+a +b +l-a -b ,
ceea ce duce la rezolvarea a dou ă ecuații de gradul II.

1.5. Metoda lui Lagrange de rezolvare a ecua țiilor algebrice de grad
mai mic sau egal cu 4

Metoda const ă în a reduce o ecua ție de acest tip la un num ăr de ecuații algebrice a c ăror
rezolvare este mai simpl ă. În cadrul acestei metode se g ăsește ideea dezvolt ării teoriei lui Galois.
Fie ()()
()12 n
12 n
12 nf X ,X , …, XF X ,X , …, Xg X ,X , . . . , X= o fracție rațională cu coeficien ți numere
complexe. Not ăm ( )() () ()( ) 12 n n 12 n F X , X , …, X F X ,X , …, X , ss s s= s Î s .
Se spune c ă permutarea s invariază fracția rațională ()12 nF X , X , …, X dacă
() () ()() ()12 n 12 n F X ,X , …, X F X ,X , …, Xss s = . Vom nota cu FH m u lțimea permut ărilor ce
invariază pe F.
Propoziția 1.1. FH este un subgrup al lui ns.
Demonstra ție. Fie FHsÎ . Avem () () ()() ()12 n 12 n F X ,X , …, X F X ,X , …, Xss s = și deci
() () ()()()() ()() ()() () () 11 1 1 1 1 12 n 12 n 1 2 nF X ,X , …, X F X ,X , …, X F X ,X , …, X– – – – -ss s s s s s s s== .
Rezultă că 1
FH-sÎ .
Dacă F , Hst Î , atunci () () ()() ()12 n 12 n F X ,X , …, X F X ,X , …, Xtt t = și deci
()() ()() () () () () ()() ()12 n n1 2 n 12F X ,X , …, X F X ,X , …, X F X ,X , …, Xst s s s st st== .
Rezultă că () ( ) () ( ) () ( )( )( )12 n 12 n F X ,X , …, X F X , X , …, Xst st st = , adică FHstÎ .
Deci FH este un subgroup al lui ns.
Definiția 1.2 . Subgrupul FH se nume ște subgrupul invariant al frac ției raționale
()12 nF X , X , …, X .
Invers, dat fiind un subgroup H al lui ns, o fracție rațională ()12 nF X ,X , …, X se
spune că este un invariant pentru H dacă F HH= .

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

26
 Observația 1.1. n H=s , dacă și numai dac ă F este o frac ție simetric ă.
Propoziția 1.2. Fie ()12 nF X , X , …, X o fracție rațională cu FH subgrupul invariant și
fie F ˆ Hp=p o clasă de echivalen ță la stânga modulo FH. Atunci pentru orice FHsÎp avem
( )( )12 n 12 nF X , X , …, X F X ,X , …, Xs= p .
Demonstra ție. Dacă FHsÎp , atunci exist ă FHtÎ astfel încât s=pt . Atunci:
() ( ) ()() () ()() 12 n 12 n 12 n F X , X , …, X F X , X , …, X F X , X , …, Xtt t s= p t = p =
( )() () ()( ) 12 n 12 n F X , X , …, X F X , X , …, Xpp p =p = .
Teorema 1.1. Fie ()12 nF X ,X , …, X o fracție rațională cu FH subgrupul invariant
asociat. Atunci ()12 nF X ,X , …, X este rădăcină a unui polinom de gradul []nF p :H=s cu
coeficienți în inelul polinoamelor simetrice în nedeterminatele 12 nX , X , …, X .
Demonstra ție. Fie 12 pˆˆ ˆ, , …, pp p clasele de echivalen ță la stânga modulo FH. P u t e m
presupune c ă 1ep= .
Să punem: () ()() () ()()ii ii 1 2n i 1 2n 12 n F X ,X , …, X F X ,X , …, X F X ,X , …, Xpp p =p = .
Cum 1ep= , atunci () ()11 2 n 1 2 nF X , X , …, X F X , X , …, X = .
Considerăm polinomul de gradul p: () ( )()p
i1 2 n
i1P Y Y F X , X , …, X
==- .
Fie s o permutare arbitrar ă a lui ns. Atunci ( )i1 2 nF X , X , …, Xs este una dintre
valorile 12 pF , F , …, F .
Într-adevăr, ( )( )i 1 2n i 1 2nF X ,X , …, X F X ,X , …, Xs= s p .
Dar isp aparține unei clase de echivalen ță și fie aceasta jˆp. Din propozi ția anterioar ă
obținem ( )( )( )i 1 2n j 1 2n j 1 2nF X , X , …, X F X , X , …, X F X ,X , …, Xsp =p = . Pe de alt ă parte,
dacă ij¹ avem ijFFs¹ s . Într-adev ăr, dacă ijFFs= s atunci ()()11
ijFF–ss= ss și deci
ijFF=.
Valorile 12 pF , F , …, F sunt distincte. Într -adev ăr, dacă ijFF=, atunci ijFFp= p , de
unde 1
jiFF-pp= și deci 1
ji F H-pp Î , ceea ce implic ă ijˆˆp= p , adică se obține o contradic ție.
Deci rezult ă egalitatea {} { } 12 p 1 2 pF , F , …, F F , F , …, Fss s= , oricare ar fi nsÎs .
Scriem polinomul ()PY sub forma

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

27
 () ()pp 1 p 2
12 p P Y Y A Y A Y … 1 A–=- + + + – ,
unde:
p
112 p i
i1A F F … F F
==+++= å ,
2i j
1i jpAF F
£<£=å ,
……………………………….
p1 2 pA FF …F= .
Fie s o permutare arbitrar ă a lui ns. Ținând seama de forma lui ()PY obținem:
pp
1i i 1
i1 i1AF F A
==s= s = =åå ,
2i j i j 2
1i jp 1i jpAF F F F A
£<£ £<£s= s s = =åå ,
…………………
p1 2 p 1 2 p pA F F … F FF …F As= s ss = = .
Rezultă că polinoamele 12 pA , A , …, A sunt simetrice și 1FF= este o r ădăcină a
polinomului ()PY .

1.5.1. Rezolvarea ecua ției de gradul III prin metoda lui Lagrange

Considerăm ecuația de gradul III (forma redus ă), 3xp x q 0++ = , unde p, q sunt
numere complexe.
Considerăm expresia ()32
12 3 BX X X=+ e + e , unde e este o rădăcină cubică a unității,
diferită de 1. Subgrupul invariant pentru B este () (){} BH e , 1 , 2 , 3 , , 1 , 3 , 2= . Cum BH e s t e
de indice 2 în 3s, atunci conform teoremei anterioare B verifică o ecuație de gradul II cu
coeficienți polinoame simetrice în 123X , X , X . S ă determin ăm această ecuație.
Clasele de echivalen ță la stânga modulo grupul BH s u n t d o u ă:
()() {} BBˆe eH H e, 1, 2, 3, , 1, 3, 2== = ,
()() () () () {} B 1, 2 1, 2 H 1, 2 , 1, 3 , 2, 3== .
Cele două valori ale lui B sunt:
()32
11 2 3Be B BX X X== = + e+ e ,

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

28
 ()()32
22 1 3B1 , 2 B XX X= = +e +e .
Ecuația de gradul II pe care o verific ă B este
() ()12 zBzB 0– = sau ()2
12 1 2 zB B z B B 0-+ + = .
Dar, calculând, ob ținem
( )( )3322 3
12 1 2 3 2 1 3 1 1 2 3B B X X X X X X 2s 9s s 27s+ = +e +e + +e +e = – +
și
( )( )()33 322 2
12 1 2 3 2 1 3 1 2BB X X X X X X s 3 s=+ e + e + e + e = – ,
unde 123s , s , s sunt sumele  Viète pentru 123X, X, X .
Deci B verifică ecuația:
( )()323 2
11 2 3 12 z 2s 9s s 27s z s 3s 0– + + – = , (1.13)
coeficienții săi fiind polinoame simetrice.
Să notăm 2
X1 2 3LX X Xe=+ e+ e . Se vede c ă 3
1XBLe= și 23
2 XBLe= , unde 12B, B sunt
rădăcinile ecua ției (1.13) .
Dacă 123,,x x x sunt rădăcinile ecua ției 3xp x q 0++ = , și notăm cu exL valoarea lui
XLe când facem 1X=1x, 2X=2x, 3X=3x, obținem sistemul de ecua ții:
2123
2
12 3
2
12 30
e
eìï++=ïïï+e +e =íïïï+e +e =ïîx
xxxx
xx x L
xx x L.
Determinantul sistemului este ()22
211 1
13 0
1ee =e – e ¹
ee, deci sistemul are solu ție
unică. Rezolvând acest sistem, ob ținem solu ția:
()2 11
3e e=+x xxL L ,
( )22
21
3e e=e + ex xxL L ,
( )22
31
3e e=e+ ex xxL L .
Așadar rezolvarea ecua ției de gradul III, 3xp x q 0++ = , se reduce la determinarea lui
exLși a lui 2exL.

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

29
 Să notăm cu 12b, b valorile lui 1B, r e s p e c t i v 2B pentru 1X=1x, 2X=2x, 3X=3x.
Atunci 1b și 2b sunt solu țiile ecuației (1.13) , unde punem 1X=1x, 2X=2x, 3X=3x. În acest
caz 123s 0 , s p , s q=== – .
Deci 12b, b sunt rădăcinile ecua ției 23z2 7 q z 2 7 p0+-= . Această ecuație se nume ște
rezolventa8 ecuației 3xp x q 0++ = . Obținem:
23
127q q pb2 722 3æö æö÷÷çç =- + + ÷÷çç÷÷ççèø èø,
23
227q q pb2 722 3æö æö÷÷çç =- – + ÷÷çç÷÷ççèø èø.
Cum 3
e=xL1b, atunci e=xL3
1b iar 23
e=xL2b și deci 2e=xL3
2b. Dar
2ee=x xLL2
12s3 s 3 p-= – , deci 2exL este determinat de exL. Înlocuind în formulele lui
123,,x x x în funcție de exL, 2exL, obținem din nou formulele lui Cardano de determinare a
rădăcinilor ecua ției de gradul III.
Prin aceast ă metodă rezolvarea ecua ției de gradul III (forma redus ă) se reduce la
rezolvarea ecua ției de gradul II și a două ecuații binome de gradul III.

Exemplul 1.6. Să se rezolve ecua ția 3×6 x 9 0-+ = .
Avem p6=- și q9= și deci
()23 2 23
3 qp9 8 1 4 9 qp 728232 4 4 23 2æö æö æö æö æö÷÷÷ ÷÷ççç çç+=+ – = – =  +=÷÷÷ ÷÷ççç çç÷÷÷ ÷÷ççç ççèø èø èø èø èø.
Obținem:
127 9 7b 27 2722⋅=- + ⋅ =- ,
227 9 7b 27 27 822⋅=- – ⋅ =- ⋅ .
Rezultă că:
327 3e=- = -xL și 2327 8 3 2 6e=- ⋅= – ⋅= -xL .
În final rezult ă că:
()1136 33=- -= -x ,
                                                             
8 [2] C. Năstăsescu, C. Ni ță, Teoria calitativ ă a ecuațiilor algebrice , Editura Tehnic ă, București, 1979, pg. 115-118.

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

30
  ()() ()()22 2
21136 2 3 233éù= e – + e- = – e-e⋅ = -e+e=êúëûx3i 3 3i 3
22-+ –= ,
() () ()()22 2
31136 2 3 233éù= e -+ e- = – e -e⋅= – e +e=êúëûx3i 3 3i 3
22– +-= .

1.5.2. Rezolvarea ecua ției de gradul IV prin metoda lui Lagrange

Considerăm ecuația 43 2
123 4 xa xa xa x a0+++ + = , unde 1234a , a , a , a sunt numere
complexe. Consider ăm polinomul 12 34 AX X X X=+ . Subgrupul invariant al lui A este:
() () () () () () () () ( ) ( ){ } AH e, 1, 2 , 3, 4 , 1, 2 3, 4 , 1, 3 2, 4 , 1, 4 2, 3 , 1, 3, 2, 4 , 1, 4, 2, 3 = ,
care este de indice 3 în 4s.
Clasele de echivalen ță la stănga modulo subgrupul AH sunt:
()() ()()AAAˆe H , 1 , 3 1 , 3 H , 1 , 4 1 , 4 H== = .
Cele trei valori ale lui A sunt:
11 2 3 4AA X XX X== + ,
()21 4 2 3A1 , 3 A X X X X== + ,
()31 3 2 4A1 , 4 A X X X X== + .
Ecuația de gradul III pe care o satisface A este
()()()123 zA zA zA 0– =
sau
( )( )32
123 1 21 32 3 1 2 3 z AAA z A AA AA A z A A A0-++ + + + – = .
Dar, calculând, ob ținem
123 2AAA s++= ,
12 13 23 1 3 4AA AA AA ss 4 s++= – ,
22
123 1 4 3 2 4AAA ss s 4 ss=+ – ,
unde 1234s , s , s , s sunt sumele lui Viète în 1234X , X , X , X .
Prin urmare A satisface ecua ția:  
() ()32 22
21 3 41 4 3 2 4 zs z s s4 s zs ss4 s s 0-+- -+ – = .
Fie 1234x, x, x, x r ădăcinile ecua ției 43 2
123 4 xa xa xa x a0+++ + = .

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

31
 Să notăm cu ia valorile lui iA, c u 1 i 3££ , când punem 11 2 2 33Xx , Xx , Xx===
și 44Xx= . Ținând seama de rela țiile lui Viète, rezult ă că ia, cu 1i3££ , sunt rădăcinile
ecuației:
() ()32 2 2
21 3 41 4 3 2 4 z az aa 4 a z aa a 4 aa 0-+- – + – = .
Această ecuație se nume ște rezolventa9 ecuației inițiale.
Dar
11 23 4
21 42 3
31 32 4xx xx ,
xx xx,
xx xx ,a= +
a= +a= +
și cum
1234 4xxxx a = , din relațiile de mai sus ob ținem că:
12xx și 34x x sunt solu țiile ecuației
2
11 1 4zz a 0-a + = ,
14xx și 23x x sunt solu țiile ecuației
2
22 2 4zz a 0-a + = ,
iar 13xx și 24x x sunt solu țiile ecuației
2
33 3 4zz a 0-a + = .
Este ușor de văzut că odată determinate valorile 12xx , 13xx , 23xx, 14x x , … ob ținem
imediat pe 1234x, x, x, x .
Să scriem
1234xxxx 0+++= (1a0=, în cazul ecua ției reduse),
123 124 134 234 3xxx xxx xxx xxx a+++= –
și deci:
()34 12xx xx+= -+ ,
()()12 3 4 34 1 2 3xx x x xx x x a++ += – .
Dacă 11 2xxx= și 23 4xxx= sunt rădăcinile ecua ției 2
11 1 4zz a 0-a + = , avem că
() ()11 2 21 2 3xx xx a-x + +x + =-
și deci:
                                                             
9 [2] C. Năstăsescu, C. Ni ță, Teoria calitativ ă a ecuațiilor algebrice , Editura Tehnic ă, București, 1979, pg. 118-119.

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

32
 3
12
12axx+=x- x.
Prin urmare am ob ținut:
3
12
12
12 1axx
xxìïï+=ïïx- x íïï=xïïî
și
3
34
12
34 2axx
xxìïï+= -ïïx- x íïï=xïïî.
Formăm sistemul de ecua ții gradul II
2 3
1
12
2 3
2
12auu 0
avv 0ìïï-+ x =ïïx- xïíïï++ x =ïïx- xïî,
ale cărui rădăcini 12u, u și 12v , v sunt r ădăcinile 12x , x respectiv 34x , x ale ecua ției de gradul
IV.
Considerând ecua ția 2
22 2 4zz a 0-a + = sau ecua ția 2
33 3 4zz a 0-a + = , prin acela și
raționament g ăsim acelea și rădăcini pentru ecua ția de gradul IV.
Deci rezolvarea ecua ției de gradul IV se reduce la rezolvarea unei ecua ții de gradul III
(rezolvanta lui Lagrange) și a trei ecua ții de gradul II.
Exemplul 1.7. Să se rezolve ecua ția:44x 8 3x 13 0-+ = .
Forma redus ă a ecuației este: 4 13×2 3 x 04-+ = . Avem că:
123 413a 0 , a 0 , a 2 3, a4=== = .
Rezolventa ecua ției este 3z1 3 z 1 2 0– = , care are r ădăcinile:
12 3 1, 3, 4a= – a= – a= .
Ecuația de gradul II, cu r ădăcinile 12xx și 34xx e s t e
2
1113zz 04++ = .
Rezolvând aceast ă ecuație obținem:
11 212 i 3xx ,2-+x= =

Daniela Manea Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4

33
 23 412 i 3xx .2–x= =
Apoi aflăm:
12
3423 43 1xx i ,i 12 i 312 i 3 4 i 3
2
23xx i .
12 i 312 i 3
2+= = = = –
-+ ++
+= – =
-+ ++
Formăm două ecuații de gradul II:
22u 2iu 1 2i 3 0+- + = , cu rădăcinile 11ux= , 22ux=
și
22v 2iv 1 2i 3 0– – = cu rădăcinile 13vx= , 24vx= .
Din rezolvarea lor ob ținem:
11
22
31
42i2 3 i 1 3xu 1 i ,22
i2 3 i 1 3xu 1 i ,22
i2 3 i 1 3xv 1 i ,22
i2 3 i 1 3xv 1 i .22-+ – +== = –
– + -== = – –
++ +== = +
– -== = – +

Daniela Manea Ecua ții algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

34
 
Capitolul 2. Ecua ții algebrice de grad ma i mare sau egal cu 5,
rezolvabile prin radicali

Teorema 2.1 (Abel-Ruffini). Ecuația general ă de grad n, nn 1
1n x a x … a 0-++ + = ,
nu este rezolvabil ă prin radicali pentru n5³. (Pentru n4£, ecuația general ă este rezolvabil ă
prin radicali).
Totuși, sunt ecua ții de grad mai mare sau egal cu 5 ce se pot rezolva prin radicali, deci
pentru care pot fi date formule de determinare a r ădăcinilor lor. Prezent ăm în continuare câteva
tipuri de astfel de ecua ții.

2.1. Ecuații binome

Definiția 2.1. Ecuația de forma nxa 0-= (a, n 1γ ) se nume ște ecuație binomă.
Rezolvarea acestei ecua ții este echivalent ă (conform ideii lui Gauss, din 1801) cu
determinarea r ădăcinilor de ordinul n ale lui a. Se scrie num ărul a sub form ă trigonometric ă,
obținând ecua ția echivalent ă ()nxr c o si s i n=j + j , unde r reprezint ă modulul num ărului
complex a, iar j este argumentul redus al acestuia ( () ar c o s i s i n=j + j ).
Soluțiile ecuației sunt date de formula n n 2k 2kxar c o s i s i nnnæöj+ p j+ p÷ ç == + ÷ ç ÷ çèø, unde
0kn 1££- . Astfel ecua ția de gradul n are n rădăcini distincte.
Exemplul 2.1. Să se rezolve ecua ția: ()4ix 1 i 3 0-+ = .
Avem: ()4ix 1 i 3=+ . Rezultă: 441i 3xx 3 ii+= = – . Deci r3 1 2=+ = ,
11
6pj= și scriem 4 11 11×2 c o s i s i n66æöpp÷ ç=+ ÷ ç ÷ çèø. Rădăcinile acestei ecua ții sunt date de:
4
k11 12k 11 12kx2 c o s i s i n24 24æöp+ p p+ p÷ ç=+ ÷ ç ÷ çèø,
cu 0 k 3££ .
Deci rădăcinile ecua ției date vor fi:

Daniela Manea Ecua ții algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

35
 44
01
44
3311 11 23 23x 2 cos isin , x 2 cos isin ,24 24 24 24
35 35 47 47×2 c o s i s i n, x2 c o s i s i n.24 24 24 24æö æ öpp pp÷÷ çç=+ =+ ÷÷ çç ÷÷ ççèø è ø
æö æöpp pp÷÷ çç=+ =+ ÷÷ çç ÷÷ ççèø èø
Observația 2.1. Ideea de rezolvare a ecua țiilor de grad mai mare sau egal cu 5 este de
a o reduce la rezolvarea succesiv ă a unui num ăr de ecuații simple (de regul ă ecuații binome).

2.2. Ecuații trinome

Definiția 2.2. O ecuație de forma pqrax bx cx 0++= , cu p, q, rÎ și a, b, cÎ se
numește ecuație trinomă.
Eliminând factorul corespunz ător celor r rădăcini nule, ob ținem ecua ția
nmax bx c 0++ = .
În cazurile când n2 m= sau n3 m= , rezolvarea ecua ției nmax bx c 0++ = se reduce
la rezolvarea unei ecua ții de gradul II, respectiv III și a unor ecua ții binome.
În cazul particular m2= și n4=, obținem ecua ția 42ax bx c 0++ = .
Definiția 2.3. Ecuația 42ax bx c 0++ = , cu a, b, cÎ se numește ecuație bipătrată.
Exemplul 2.2. Să se rezolve ecua ția: 63×1 5 x1 6 0+- = .
Fie 3yx= . Rezolventa ecua ției este 2y1 5 y 1 6 0+- = și soluțiile ei sunt:
12y1 6 , y 1=- = .
Avem de rezolvat ecua țiile binome: 3×1 0-= și 3×1 6 0+= .
Din 3×1= rezultă: k2k 2kxc o s i s i n , 0 k 233pp=+ £ £ .
Din 3×1 6=- rezultă: ()()3
t2t 1 2t 1×2 2 c o s i s i n , 0 t 233æö+p +p ÷ ç ÷ =+ £ £ç ÷ ç ÷ çèø.
Deci solu țiile ecuației date sunt:
()1
2
3
33
4
33
5×1 ,
22 1 3xc o s i s i n i,33 2 2
44 1 3xc o s i s i n i,33 2 2
13×2 2 c o s i s i n 2 2 i ,33 2 2
x2 2 c o si s i n 2 2 ,=
pp=+= – +
pp=+= – –
æö æöpp ÷ ç÷ ç ÷ =+ = + ç÷ ç ÷ ç÷ ç ÷÷ èø çèø
=p + p = –

Daniela Manea Ecua ții algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

36
 33
655 1 3×2 2 c o s i s i n 2 2 i .33 2 2æö æöpp ÷ ç÷ ç ÷ =+ = – ç÷ ç ÷ ç÷ ç ÷÷ èø çèø

2.2.1. Ecuații bipătrate

Definiția 2.4. Ecuația de forma 42ax bx c 0++ = , cua, b, cÎ, a0¹ se nume ște
ecuație bipătrată. Notând 2xy=, se obține ecuația de gradul II 2ay by c 0++ = , care se
numește rezolventa ecua ției.
Rădăcinile ecua ției bipătrate sunt date de 2b b4 a cx2a- -= , numită formula de
rezolvare a ecua ției bipătrate. În aceast ă formulă apar radicali de forma AB , care pot fi
aduși la o sum ă sau la o diferen ță de radicali simpli:
22AA B AA BAB22+- –=  (2AB , B 0³³ ).

2.3. Ecuații reciproce

Definiția 2.5. Ecuația de forma nn 1 2
nn 1 2 1 0a x a x … a x a x a 0-
-++ + + + = (na0¹), cu
proprietatea c ă ni iaa , i = 0 , n-=" , se nume ște ecuație reciproc ă de gradul n (coeficien ții
termenilor egal dep ărtați de extreme sunt egali).
Enunțăm mai jos câteva proprietăți generale pentru ecua țiile reciproce de grad n.
P.2.1. Dacă ecuația reciproc ă are rădăcina a, atunci ea are și rădăcina 1
a.
Demostra ție. Dacă a este rădăcină, atunci rezult ă că:
nn 1 2 2
nn 1 2 1 0a a … a a a 0-
-a+ a + + a+a + =
și 0a¹ (0n 0a 0a 0a=  =  = , contradic ție). Deci se poate împ ărți cu na și obținem:
n1 n
nn 1 1 011 1a a … a a 0-
-æö æö æö÷÷ ÷çç ç++ + += ÷÷ ÷çç ç÷÷ ÷çç çèø èø èøaa a.
Dar in iaa , 0 i n-=£ £ și deci putem scrie:
nn 1
nn 1 1 011 1a a … a a 0-
-æö æö æö÷÷ ÷çç ç++ + + =÷÷ ÷çç ç÷÷ ÷çç çèø èø èøaa a.

Daniela Manea Ecua ții algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

37
 Prin urmare 1
a este rădăcină.
P.2.2. Orice ecua ție reciproc ă de grad impar are r ădăcina x1=- .
Demonstra ție. Fie n2 p 1=+ . Notăm ()2p 1 2p 2
2p 1 2p 2 1 0 f x a x a x … a x a x a+
+=+ + + + +
și atunci:
() () () () ()2p 1 2p 2
2p 1 2p 2 1 0 f1a 1 a 1 . . . a 1 a 1a+
+ -= – + – ++ – + -+ =
() ()p1 p
2p 1 2p p 1 p 2 1 0a a … a 1 a 1 … a a a+
++=- + – + – + – + + – + =
()()()()p
0 2 p1 1 2 p p p1a a a a … 1 a a++ =- – + + – – .
Dar i2 p 1 iaa+-= (0i2 p1££ + ). Rezultă că ()f10-= și deci x1=- este rădăcină
pentru ecua ția reciproc ă de grad impar.
P.2.3 . Orice ecua ție reciroc ă de grad impar se reduce la rezolvarea ecua ției x10+=
și a unei ecua ții reciproce de grad par.
Demonstra ție. Din P.2.2. rezultă că x1=- este rădăcină a lui f. Conform teoremei
lui Bézout, avem c ă () ( )()fx x 1 g x=+ .
Fie ()2p 2
2p 2 1 0 g x b x … b x b x b=+ + + + . Scriem:
()()2p 1 2p 2 2p 2
2p 1 2p 2 1 0 2p 2 1 0a x a x … a x a x a x 1 b x … b x b x b+
+++ + + + = + + + + + .
Prin identificarea coeficien ților avem:
2p 1 2p
2p 2p 2p 1
2p 1 2p 1 2p 2
22 1
110
00ab ,
ab b ,ab b ,
…………………
ab b ,
ab b ,
ab .+
–
–=
=+
=+
=+
=+
=
Cum i2 p 1 iaa+-= (0i2 p1££ + ), rezultă că 02 pb b= .
Cum 2p 2p 1 1 0b bb b-+= + , rezultă că 12 p 1b b-= .
Procedând la fel, din egalit ățile anterioare rezult ă că i2 p ib b-= (0i2 p££ ). Deci
ecuația 2p 2
2p 2 1 0bx … b x b x b 0++ + + = este reciproc ă.
P.2.4. Orice ecua ție reciproc ă de grad par, n2 p= , se reduce la rezolvarea unei
ecuații de grad p și a p ecuații de grad II.

Daniela Manea Ecua ții algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

38
 Demonstra ție. Fie ecua ția reciproc ă 2p 2
2p 2 1 0a x … a x a x a 0++ + + = , 2pa0¹.
Împărțim ecuația prin px, x0¹. Rezultă că:
pp 1
2p 2p 1 p 1 p pp 1111a x a x … a x a 0xx x-
-+ -æö æ ö æ ö÷÷ ÷çç ç++ + + + + + =÷÷ ÷çç ç÷÷ ÷çç çèø è ø è ø. (2.1)
Notăm 1yxx=+ . Rezultă 22
21xy 2x+=- .
În general din k
k 1yxxæö÷ç=+÷ç÷çèø se obține
kk 1 k 22 k 43 k 6 3 2 1
kkk k k k k6 k4 k2 k111 1y x Cx Cx Cx . . . C C Cxxx x–
–= ++++ + + + + ,
adică:
kk 1 k 2 2 k 4
kk kk 2k 411 1y x C x C x …xx x–
–æö æ ö æ ö÷÷÷çç ç= + ++ ++ + ÷÷÷çç ç÷÷÷çç çèø è ø è ø .
Pentru k 1, 2, …, p= se găsește k
k1xx+ , în funcție de 2p 1 py, y , …, y , y-. Înlocuind
valorile g ăsite în ecua ția (2.1) va rezulta o ecua ție în necunoscuta y, de gradul p, care va avea
p rădăcini 12 py , y , …, y .
Pentru a ob ține rădăcinile ecua ției reciproce, se rezolv ă cele p ecuații de forma
{}i1x y , i 1, 2, …, px+= Î , adică de forma {}2
i x y x 1 0, i 1, 2, …, p-+ =Î .
Definiția 2.6. Se numesc ecua ții reciproce și ecuațiile de forma:
nn 1
nn 1 0ax a x . . . a 0-
-++ + = ,
având proprietatea urm ătoare: in iaa , i = 0 , n-=- " .
Dacă n2 p= , din i2 p iaa-=- rezultă că ppaa=- , deci pa0=. Prin urmare orice
ecuație de tipul men ționat mai sus are ca r ădăcină pe x1=. Atunci, conform teoremei lui Bézout
putem scrie
()()nn 1 2 n 1 2
nn 1 2 1 0 n 1 2 1 0a x a x … a x a x a x 1 b x … b x b x b–
–++ + + + = – + + + +
sau:
()( )nn 1 2 n n 1
n n1 2 1 0 n1 n2 n1 0 1 0a x a x … a x a x a b x b b x … b b x b- –
– – -++ + + + = + – + + – – .
Prin identificarea coeficien ților avem:

Daniela Manea Ecua ții algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

39
 pn 1
n1 n2 n1
n2 n3 n2
21 2
10 1
00ab ,
abb ,
ab b ,
…………………
ab b ,
abb ,
ab .-
–
– -=
=-
=-
=-
=-
=-
Cum 0naa=- rezultă că 0n 1b b-= , cum 1n 1aa-=- rezultă că 1n 2b b-= și cum
2n 2aa-=- rezultă că 2n 3b b-= . Continuînd astfel, ob ținem că i1 nib b , i=1, n-1–=" , ceea ce ne
arată că ecuația n1 2
n1 2 1 0bx … b x b x b 0-
-++ + + = este o ecua ție reciproc ă.
Concluzia 2.1. Orice ecua ție de forma nn 1
nn 1 0ax a x . . . a 0-
-++ + = , cu proprietatea c ă
in iaa , i = 0 , n-=- " , se reduce la rezolvarea ecua ției x1 0-= și a unei ecua ții reciroce de grad
n1-.
Definiția 2.7. O ecuație în care coeficien ții termenilor egal dep ărtați de extreme sunt
fie egali (ecua ții reciproce de spe ța întâia), fie opu și (ecuații reciproce de spe ța a doua), se va
numi ecua ție reciproc ă.
Observația 2.2. Ecuațiile reciproce de grad impar de spe ța întâia au r ădăcina 1-, iar
cele de spe ța a doua au r ădăcina 1.

2.3.1. Ecuații reciroce de gradul III

Forma general ă a ecuației reciproce de spe ța întâia este 32ax bx bx a 0++ + = , cu
a, b , a 0ι . Aceast ă ecuație are r ădăcina 1-, deci o putem scrie sub forma
()()2×1 a x ba xa 0éù++ – + =êúëû. Astfel ecua ția admite r ădăcinile: 1×1=- și 23x, x date de
ecuația ()2ax b a x a 0+- + = .
Forma general ă a ecuației reciproce de spe ța a doua este 32ax bx bx a 0+- – = , cu
a, b , a 0ι . Aceast ă ecuație are r ădăcina 1, deci o putem scrie sub forma
()()2×1 a x a b x a 0éù-+ + + =êúëû. Astfel ecua ția admite r ădăcinile: 1×1= și 23x , x date de ecua ția
()2ax a b x a 0++ + = .
Exemplul 2.3. Să se rezolve ecua țiile: a)322x 3x 3x 2 0++ + = ;
b)322x x x 2 0-+ – = .
a) Ecuația reciproc ă de speța întâia 322x 3x 3x 2 0++ + = se mai scrie:

Daniela Manea Ecua ții algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

40
 ()( )2×1 2 x x2 0++ + = .
Rezultă că soluțiile ei sunt: 12 21 i 15 1 i 15×1 , x , x44-+ –=- = = .
b) Ecuația reciproc ă de speța a doua 322x x x 2 0-+ – = se mai scrie:
()( )2×1 2 x x 2 0-+ + = .
Rezultă că soluțiile ei sunt: 12 21 i 15 1 i 15×1 , x , x44-+ –== = .

2.3.2. Ecuații reciproce de gradul IV

Forma general ă a ecuației reciproce de gradul IV (spe ța întâia) este:
43 2ax bx cx bx a 0+++ + = , (2.2)
cu a, b , a 0ι .
Ecuația nu are r ădăcina x0=, deci putem împ ărți cu 2x . Rezult ă
2
2baax bx c 0xx++ + += , (a0¹)
și grupând convenabil termenii vom scrie:
2
211ax bx c 0xxæö æ ö÷÷çç+++ + =÷÷çç÷÷ççèø è ø.
Facem substitu ția 1yxx=+ . Rezultă că 22
21xy 2x+=- . Ecuația devine:
()22y 2 ab yc0 a y b yc2 a 0-+ + = + + – = ,
numită rezolventa ecua ției. Dacă 1y și 2y s u n t s o l u țiile acestei ecua ții, rezultă că 11yxx=+ și
21yxx=+ sau 2
1 xx y 1 0-+ = și 2
2 xx y1 0-+ = , care sunt ecua ții de gradul II.
Astfel se ob țin soluțiile 123 4x , x , x , x ale ecua ției (2.2) .
Exemplul 2.4. Să se rezolve ecua ția: 43 24x x 5x x 4 0++ + + = .
Împărțim ecuația cu 2x și rezultă ecuația: 2
2114x x 5 0xxæö æ ö÷÷çç++ + + =÷÷çç÷÷ççèø è ø. Facem
substituția 1yxx=+ și obținem o nou ă ecuație 24y y 3 0+-= , care are r ădăcinile 13y4= și
2y1=- .

Daniela Manea Ecua ții algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali

41
 Deci avem ecua țiile: 223xx 1 0 4 x 3 x 4 04-+ =  – + = și 2xx 1 0++= .
Astfel rădăcinile ecua ției de gradul IV vor fi:
12 343 i 55 3 i 55 1 i 3 1 i 3x , x , x = , x =88 22+- – + – -== .

2.3.3. Ecuații reciroce de gradul V

Forma general ă a ecuației reciproce de gradul V (spe ța întâia) este:
5 432ax bx cx cx bx a 0++++ + = ,
cu a, b, c , a 0ι .
Conform propriet ății ecuației reciproce de grad impar de spe ța întâia, rezolvarea acestei
ecuații se reduce la rezolvarea ecua ției x10+= și a unei ecua ții reciproce de gradul IV. Pentru
speța a doua, rezolvarea ecua ției reciproce de gradul V se reduce la rezolvarea ecua ției x1 0-=
și a unei ecua ții reciproce de gradul IV.
Exemplul 2.5. Să se rezolve ecua ția: 54 32×2 x3 x3 x2 x 1 0++++ + = .
Ecuația reciproc ă de speța întâia 5 432×2 x3 x3 x2 x 1 0++++ + = , admite solu ția
x1=- . Rezultă: ()()43 2×1 x x 2 x x1 0++ + + + = .
Ecuația 43 2xx2 xx 1 0++ + + = este o ecua ție reciproc ă de gradul IV. Împ ărțim
această ecuație cu 2x și facem substitu ția 1yxx=+ . Obținem o nou ă ecuație 2yy 0+= , care
are soluțiile: 1y0= și 2y1=- .
Deci avem ecua țiile: 2×1 0+= și 2xx 1 0++= .
Astfel rădăcinile ecua ției de gradul V vor fi:
12 3 31i 3 1i 3x i , x i , x , x22-+ -+== – = = .

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice
 
42
  
Capitolul 3. Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice.
Considera ții metodice

3.1. Aspecte metodice ale pred ării ecuațiilor în gimnaziu și liceu

Subordonându-se obiectivelor generale ale pred ării-învățării matematicii în înv ățământul
preuniversitar, unul din importantel e obiective specifice este însu șirea de către elevi a cuno ș-
tințelor referitoare la no țiunea de ecua ție, de formare a deprinderilor, de aplicare a cuno ștințelor
în rezolvarea ecua țiilor, dezvoltând abilit ăți elevilor de a rezolva probleme cu ajutorul ecua țiilor.
Plecând de la definirea no țiunii de ecua ție (egalitatea între dou ă expresii con ținând
elemente de o anumit ă natură – numere, func ții, etc. – dintre care unele sunt cunoscute, iar altele
nu, adevărată numai atunci când necunoscutele sunt în locuite cu anumite elemente), trebuie
precizat c ă elementele prezente pe lâng ă necunoscute pot fi reprezentete prin litere, valori
presupuse cunoscute, dar nefixate numeric. Unel e dintre ele pot fi fixate de la începutul
problemei (de și sunt notate prin litere acestea sunt valori constante), altele, se presupun
cunoscute, dar nu sunt fixate, schimbarea lor put ând modifica valorile necunoscutelor pentru
care egalitatea este adev ărată (acestea se numesc parametrii).
A rezolva o ecua ție înseamn ă a găsi mulțimea valorilor ce se pot da necunoscutelor,
astfel încât egalitatea s ă fie adevărată. Aceste valori se vor numi solu țiile ecuației. Dacă nu există
nici o astfel de valoare , se va spune c ă ecuația nu are solu ții. Pentru a putea deosebi toate aceste
elemente ce intervin într-o ecua ție, în teoria ecua țiilor se folose ște de obicei notarea
necunoscutelor cu litere de la sfâr șitul alfabetului: x, y, z, t, u, v, w , a constantelor cu litere de
la începutul alfabetului: a, b, c, d, e , iar a parametrilor cu litere de la mijlocul alfabetului:
m, n, p, q . Această notație nu constituie o conven ție și nici nu este obligatorie în rezolvarea
ecuațiilor.
Dacă o ecuație conține litere ce reprezint ă constante și parametrii, a rezolva o ecua ție în
acest caz înseamn ă a găsi toate grupele de expresii ale necunoscutei, în func ție de literele ce
reprezintă valorile necunoscute, astfel încât verificarea ecua ției cu fiecare din aceste grupe s ă se
facă în mod identic, oricare ar fi valorile particulare ale acestor litere.
Se spune c ă două ecuații sunt echivalente atunci când au acelea și soluții. Deoarece acest
concept este foarte important, trebuie fixat când i se pred ă elevului, prin câteva exemple și
contraexemple clare.

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice
 
43
 În rezolvarea anumitelor ecua ții, sunt situa ții când se folosesc transform ări ale acestora,
în scopul facilit ării găsirii soluțiilor. Acestea se numesc transform ări echivalente, care permit
rezolvarea ecua ției inițiale cu ajutorul unor ecua ții mai simple.
Noțiunea de ecua ție apare elevului pentru prima dat ă în clasa a V-a. Defini ția ce se d ă
ecuației de gradul I este: propoziția logică care depinde de o variabil ă, de o structur ă anume
(propozițiile cu o variabil ă se mai numesc și propoziții deschise sau predicate). În exprimarea
acestor propozi ții apar cuvintele ,,este egal cu”. Se precizeaz ă că variabila se nume ște
necunoscut ă și se noteaz ă cu x, putându-se folosi și alte litere, în special de la sfâr șitul
alfabetului: y, z, etc. Predicatul de o variabil ă, peste o multi-metod ă, este o aplica ție
p:M N unde N este mulțimea propozi țiilor logice, adic ă () xM , p x"Î este o propozi ție, care
are o anumit ă valoare de adev ăr. Elevul de clasa a V-a, ne știind noțiunea de aplica ție, este
necesar a i se ar ăta că, fiind vorba de propozi ții logice, are sens a se vorbi despre valoarea de
adevăr a propozi ției ()px, pentru x dintr-o mul țime dată. Astfel i se define ște elevului mulțimea
soluțiilor ecua ției, ca fiind mul țimea valorilor xMÎ , pentru care valoarea de adev ăr a
propoziției ()px este 1, iar a rezolva ecua ția înseamn ă a determina mul țimea de adev ăr a
propoziției ()px. Ținând cont c ă în clasa a V-a elevii au însu șite numai opera țiile de adunare,
scădere, înmul țire și împărțire, în anumite mul țimi de numere, metodele de rezolvare au la baz ă
proprietăți ale acestor opera ții.
În aceeași concepție de definire, dându-se no țiunea de rădăcină a ecuației sau soluție, în
clasa a VI-a se reia ecua ția de gradul I, metodele de rezolvare bazându-se pe propriet ățile
egalității în mulțimi de numere peste care sunt definite ecua țiile. Tot în clasa a VI-a se d ă și
algoritmul de calcul pentru rezolvarea ecua ției. Cuno ștințele despre mul țimi prevăzute în
programa gimnazial ă, permit introducerea no țiunii de ecua ție destul de devreme.
Au existat mai multe opinii cu privire la introducerea acestei no țiuni, printre care cele
exprimate de A. Hollinger, E. Rusu, V. Popa. Pornind de la opinia exprimat ă de A. Hollinger, c ă
,,procedeul cel mai r ăspândit de a introduce no țiunea de ecua ție este de a porni de la o
problemă”, se poate afirma c ă ecuația este o problem ă ce se poate formula relativ la o aplica ție.
Astfel, prin ecua ție (operatorial ă) înțelegem o problem ă de tipul: Se dau dou ă mulțimi X și Y și
două aplicații f, g:X Y . Se consider ă mulțimea definit ă în abstrac ție prin
() (){}Sx ׀ fx g x , x X== Î și se cere s ă se determine în extensie mul țimea S. Această
definiție corespunde mai bine multitudinii de ex emple ce se cer a fi rezolvate, precum și
problemelor ce se rezolv ă cu ajutorul ecua țiilor.

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice
 
44
 Simbolic not ăm o ecua ție prin ()() fx gx , x X=Î . Un element xSÎ se nume ște
soluția ecuației, mulțimea S se nume ște mulțimea solu țiilor ecua ției, iar ()fx și ()gx se
numesc membrul întâi, respectiv al doilea al ecua ției. Particularizând mul țimile X și Y și
aplicațiile f și g obținem diverse tipuri de ecua ții. Pornind de la a defini ecua ția în aceast ă
concepție este necesar a se reactualiza cele dou ă moduri de definire a unei mul țimi: în extensie –
dacă mulțimea este dat ă prin precizarea elementelor sale – sau în abstrac ție (în comprehensiune)
– dacă mulțimea este dat ă printr-o proprietate a elementelor sale.
Reluând întrebarea ,,Ce înseamn ă a rezolva o ecua ție?”, putem r ăspunde că înseamn ă
găsirea solu țiilor problemei propuse. Este necesar ă deci definirea ecua ției echivalente. Pe
exemple concrete se stabile ște algoritmul de rezolvare a ecua ției. Reformulând no țiunea de
ecuație de gradul I, termenul de ecua ție algebric ă apare prin problema: ,,S ă se determine
mulțimea de numere x pentru care ax b 0+= , cu a0¹ și a, bÎ.” Pentru rezolvarea unor
ecuații este necesar, câteodat ă, să aplicăm anumite transform ări. Este posibil ca acestea s ă nu
ducă totdeauna la ob ținerea unor ecua ții echivalente cu cea dat ă. Se pot ob ține ecuații ce introduc
noțiuni străine și, în cazul acesta trebuie verificate ce valori din cele ob ținute rămân soluții ale
ecuației inițiale, acest lucru facându-se prin înlocuirea direct ă în ecuația inițială. Dacă egalitatea
rămâne adev ărată, aceste valori sunt r ădăcini, iar dac ă nu, se elimin ă. Se pot ob ține însă și ecuații
care pierd solu ții în raport cu ecua ția inițială. În aceast ă situație trebuie descoperite eventualele
soluții eliminate și alăturate solu țiilor ce au rezultat în urma rezolv ării, pentru a determina corect
mulțimea rădăcinilor.
Noțiunea de ecua ție de gradul II, definit ă într-o form ă analoagă celei anterioare, pentru
ecuația de gradul I, se introduce în clasa a IX-a, prin problema: ,,S ă se determine mul țimea
numerelor x pentru care 2ax bx c 0++ = , cu a0¹ și a, b, cÎ. Să se scrie în extensie
mulțimea {}2Mx ׀ ax bx c 0; a 0, a, b=+ + = ¹ Î .” Se dă algoritmul rezolv ării ecuației de
gradul II, diferitele forme ale ei, natura r ădăcinilor ecua ției de gradul II cu coeficien ți reali,
semnul rădăcinilor, rela ții între rădăcini și coeficien ți, precum și formarea ecua ției de gradul II
cân se cunosc r ădăcinile. În afara prezent ării algoritmului rezolv ării, care este dat în manual, se
poate da o metod ă cu caracter mai general, ce se poate aplica la ecua ții de grad superior, în
vederea ob ținerii ecua ției reduse.
În clasa a X-a no țiunea de ecua ție se completeaz ă cu cea de ecuație algebric ă și cu cea
de ecuație transcendent ă, studiindu-se ecua țiile algebrice de grad superior lui II. La sfâr șitul
clasei a X-a elevul trebuie s ă fie capabil s ă rezolve o gam ă largă de ecuații algebrice, av ănd
bagajul de cuno ștințe necesar pentru rezolvarea diferitelor tipuri de ecua ții algebrice. Tot în

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice
 
45
 această clasă, când se studiaz ă mulțimea numerelor complexe, se introduce și ecuația de gradul II
cu coeficien ți complec și, remarcându-se c ă formulele de rezolvare sunt acelea și cu formulele de
la ecuația de gradul II cu coeficien ți reali.
La ecuațiile algebrice de grad superior lui II, se revine în clasa a XII-a, când elevul are
introduse no țiunile de inel și corp, putându-se vorbi acum de ecua ții algebrice cu coeficien ți într-
un inel sau corp.

3.2. Exerciții și probleme rezolvate

P.3.1. Să se transforme ecua ția cu coeficien ți întregi nn 1
nn 1 1 0a x a x … a x a 0-
-++ + + =
într-o ecua ție echivalent ă, tot cu coeficien ți întregi, în care coeficientul dominant s ă fie 1.
Demonstra ție. Fie n ya x= . Rezultă că n
nyx, a 0a=¹ . Avem
()()nn 1
nn 1 1 0 nn 1
n nnyy ya a … a a 0a aa-
– -++ + + = ,
de unde , prin eliminarea numitorului, ob ținem:
nn 1 n 2 n 1
n1 n2 n 0 n y a y a a y … a a 0–
–++ + + = ,
care este o ecua ție cu coeficien ți întregi și coeficient dominant 1.

E.3.1. Transforma ți în ecuații, în care coeficientul dominant s ă fie 1:
a) 328x 6x 3x 1 0– + = ;
b) 43 220x 3x 18x 3x 2 0++ + – = .
Rezolvare. a) Considerăm ecuația: 328x 6x 3x 1 0– + = .
Fie y8 x= . Rezultă că yx8=. Avem
32
32yyy863 1 0888⋅- ⋅- ⋅ + = ,
de unde ob ținem:
32y6 y2 4 x 6 4 0–+ = .
b) Consider ăm ecuația: 43 220x 3x 18x 3x 2 0++ + – = .
Fie y2 0 x= . Rezultă că yx20= . Avem
43 2
43 2yy yy20 3 18 3 2 020 20 20 20⋅+ ⋅+ ⋅+ ⋅ – =

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice
 
46
 de unde ob ținem:
43 2y 3y 360y 1200y 16000 0++ + – = .

P.3.2. Să se transforme ecua ția cu coeficien ți întregi nn 1
nn 1 1 0a x a x … a x a 0-
-++ + + =
într-o ecua ție echivalent ă, tot cu coeficien ți întregi, în care s ă lipsească coeficientul termenului
de grad n1-.
Demonstra ție. Fie xy h=+ . Rezultă că:
() () ()nn 1
nn 1 1 0a y h a y h … a y h a 0-
– ++ + + + + + = .
Egalând coeficientul lui n1y- cu 0, obținem 1
nn n 1aCh a 0-+= , de unde n1
nahna–= .
Deci substitu ția va fi:
n1
naxyna-=-

E.3.2. Transforma ți în ecuații echivalente, în care s ă lipsească coeficientul termenului
de grad n1-, n fiind gradul termenului dominant:
a) 322x 3x x 1 0-+ – = ;
b) 43×5 x4 x 3 0++ – = .
Rezolvare. a) Consider ăm ecuația: 322x 3x x 1 0-+ – = .
Fie 31xy y32 2-=- =+⋅. Rezultă că
3211 12y 3y y 1 022 2æö æö æö÷÷ ÷çç ç+-++ + – =÷÷ ÷çç ç÷÷ ÷çç çèø èø èø,
iar de aici se ob ține:
32 2 31 3 12y 3y y 3y 3y y 024 4 2+++ – – + – = .
În final se ajunge la:
34y y 2 0–= .
b) Consider ăm ecuația: 43×5 x4 x 3 0++ – = .
Fie 5xy4=- . Rezultă că
43555y5 y4 y 1 0444æö æö æö÷÷÷ççç-+-+- – =÷÷÷ççç÷÷÷çççèø èø èø,
iar de aici se ob ține:

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice
 
47
 42256y 2400y 5024y 3923 0-+ + = .

E.3.3. Să se rezolve ecua țiile:
a) 328x 18x x 6 0++ – = ;
b) 327x 9x 2 0– = .
Rezolvare. a) Transform ăm ecuația într-una echivalent ă, în care coeficientul dominant
este 1. Fie yx8=. Rezultă că
32yy y81 8 6 0512 64 8⋅+ ⋅ + – = ,
adică:
32y 18y 8y 48 0++ – = .
Acum aducem aceast ă ecuație la o form ă în care coeficientul lui 2y să fie 0. Fie
18yz3=- sau yz 6=- . Rezultă că
()()()32z 6 18 z 6 8 z 6 384 0-+ -+- – = ,
adică
3z1 0 0 z0-= ,
care are solu țiile:
12 3z0 , z1 0 , z 1 0== = – .
Rezultă că
12 3y6 , z 4 , z1 6=- = =-
și deci
12 331x, x , x 242=- = =- .
b) Transform ăm ecuația într-una echivalent ă, în care coeficientul dominant este 1. Fie
yx3=. Rezultă că
3yy27 9 2 033æö æö÷÷çç– =÷÷çç÷÷ççèø èø,
adică
3y3 y 2 0– = .
Folosind formula lui Cardano (p3 , q2=- =- ), rezultă că

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice
 
48
 ()23
3 3qq pu, v 1 1 1 124 2 7=- + =  + – = ,
adică uv 1== , și deci
22 2 2
12 3y u v 1 1 2 , y u v 1 , y u v 1=+=+ = = e+ e= e + e = – = e+ e= e + e = – .
Obținem:
3 12
12 3y yy 211x, x , x33 3 3 3 3== == – == – .
Folosind metoda lui Lagrange , aceeași ecuație 3y3 y 2 0– = , o putem rezolva precum
este redat ă mai jos.
Avem: p3 , q2=- =- . Rezolventa ecua ției este 2z 54z 729 0-+= . Rezolvând
această ecuație și notând cu 1a și 2a soluțiile ei, rezult ă că:
12aa2 7== .
Deci 3
y1La 2 7a== , adică yL3a=, iar 23
2 yLa 2 7a== , adică 2yL3a=.
Obținem:
2
2
2y y
1
2
y y
2
2
y y
3LL
y2 ,3
LL 11 i 3 1 i 3y3 3 1 ,33 2 2
LL 11 i 3 1 i 3y3 3 1 .33 2 2a a
a a
a a+
==
æö a+ a -+ – ÷ ç ÷ == ⋅ + ⋅ = – ç ÷ ç ÷÷ çèø
æö a+ a – -+ ÷ ç ÷ == ⋅ + ⋅ = – ç ÷ ç ÷÷ çèø
Va rezulta c ă:
3 12
12 3y yy 211x, x , x33 3 3 3 3== == – == – ,
regăsind astfel solu țiile obținute folosind formulele lui Cardano.

E.3.4. Să se rezolve, folosind metoda lui Ferrari, ecua ția: 432×2 x5 x4 x 4 0+++ + = .
Rezolvare. Conform metodei lui Ferrari, fie m un parametru. Scriem
() ( )2432 2 2×2 x5 x4 x 4xx m a xb x c+++ + =+ +-+ + ,
unde a, b, c vor fi ale și astfel încât 2ax bx c++ să fie pătratul unui polinom de gradul I.
Avem:
( )()432 43 2 2×2 x5 x4 x 4 x2 x 1 2 m a x 2 m b x mc+++ + = ++ +- +-+ – .
Identificând coeficien ții, obținem: 2a=2m-4, b=2m-4, c=m -4 .

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice
 
49
 Punem condi ția ca discriminantul ecua ției 2ax bx c 0++ = să fie nul. Rezult ă:
() () () ()()2 222m 4 4 2m 4 m 4 0 2m 4 2m m 6 0– – – =  – – – = ,
de unde ob ținem: 12 33mm2 , m2== = – .
Luând m2=, rezultă că a0 , b0 , c0=== , și deci ecua ția inițială devine
( )22xx 2 0++ = ,
cu soluțiile:
13 241i 7 1i 7xx , xx22-+ –== == .
Pentru 3m2=- , rezultă că 7a7 , b7 , c4=- =- =- , și deci ecua ția inițială devine:
22
2 31xx 7 x 022æö æ ö÷÷ çç+- + + =÷÷ çç ÷÷ ççèø è ø.
Trebuie ca cei doi termeni ai sumei s ă fie simultani 0. Cum 1×2=- este rădăcină
pentru 21×02æö÷ç+=÷ç÷çèø, dar nu este r ădăcină pentru 2
2 3xx 02æö÷ ç+- =÷ ç ÷ çèø, rezultă că 1
2- nu este
rădăcină pentru ecua ția dată.
Deci, pentru 3m2=- , nu putem determina solu țiile ecuației date.

E.3.5. Să se rezolve folosind metoda lui Ferrari ecua ția: 43 2×4 xx1 8 x 8 0++ ++ = .
Rezolvare. Fie m un parametru. Scriem
( )( )243 2 2 2×4 xx1 8 x 8×2 x m a xb x c++ ++ =+ +-+ + ,
unde a, b, c vor fi ale și astfel încât 2ax bx c++ să reprezinte p ătratul unui polinom de gradul I.
Avem:
() ( )43 2 43 2 2×4 xx1 8 x 8 x4 x 4 2 m a x 4 m b x mc++ ++ = ++ +- +-+ – .
Identificând coeficien ții rezultă că: 2a2 m 3 , b4 m 1 8 , cm 8=+=- =- . Punem
condiția ca discriminantul ecua ției 2ax bx c 0++ = să fie nul și obținem ecua ția
322m m 20m 105 0-+ -= ,
care admite ca r ădăcină pe m3=.
În aceste condi ții obținem a9 , b 6 , c1== -= și ecuația inițială devine

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice
 
50
 () () () ()22 2 22x 2x 3 9x 6x 1 0 x 2x 3 3x 1 0++–+ =  ++–= 
() ( )22×5 x 2 xx 40+ + – + = ,
care are solu țiile:
1, 2 3, 451 7 1 i 1 5x, x22- == .

E.3.6. Să se rezolve ecua ția: 44x 4x 12 13 0++ = .
Rezolvare. Folosim metoda lui Descartes. Împ ărțim ecuația prin 4 și obținem:
4 13xx 1 2 04++ = .
Avem: 13p0 , q 1 2 , r4== = . Rezolventa ecua ției este
()32 2 2u2 p u p4 r u q0++ – = ,
adică:
3u1 3 u 1 2 0– = .
Rădăcinile acestei noi ecua ții sunt: 12 3u 1 , u 3 , u 4=- =- = . Atunci:
12 3ui , ui 3 , u2= = = .
Produsul celor trei radicali trebuie s ă să fie q-, adică 12- și astfel rădăcinile ecua ției
date sunt:
()
()
()
()1
2
3
42i 1 3
x,2
2i 1 3
x,2
2i 1 3
x,2
2i 1 3
x.2++
=
-+
=
– –
=
-+ –
=

E.3.7. Să se rezolve prin metoda lui Lagrange, ecua ția: 44x 4 30x 19 0++ = .
Rezolvare. Prin împărțirea ecuației cu 4 obținem ecua ția
4 19×3 0 x 04++ = ,

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice
 
51
  cu 123 419a 0 , a 0 , a 3 0, a4=== = .
Rezolventa ecua ției este:
() ()32 2 2
11 3 4 1 4 3 2 4 z az aa 4 a z aa a 4 aa 0-+ – – + – = ,
adică
3z1 9 z 3 0 0– = ,
care are rădăcinile 123z 2 , z 3 , z 5=- =- = .
Ecuația de gradul II cu r ădăcinile 12xx și 34xx e s t e
2
14 tz t a 0-+= ,
deci
22 19t2 t 04 t8 t 1 9 04++= ++= .
Rădăcinile acestei ecua ții sunt:
1, 22i 1 5t2-= ,
deci
11 2 2 3 42 i 15 2 i 15tx x , tx x22-+ –== == .
Avem:
3
12
12a 30 30xx i 2tt 2 i 15 2 i 15 i 15
22+= = = = –+ –
și
3
34
12a 30 30xx i 2tt 2 i 15 2 i 15 i 15
22+= – = – = – =- -+ –.
Vor rezulta ecua țiile de gradul II
2 2i 1 5ui 2 u 02-+++ = și 2 2i 1 5ui 2 u 02–+ = ,
de unde:
()
115i 2 3i2 i3 5xu ,22– –+-== =

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice
 
52
 ()
()
()22
31
425i 2 3i2 i3 5xu ,22
5i2 3i2 i3 5xv ,22
5i2 3i2 i3 5xv .22-+–+== =
++++== =
-+ –== =

E.3.8. Să se discute natura r ădăcinilor ecua ției: 322x 3x 12x m 0, m+-+ = Î .
Rezolvare. Facem schimbarea de variabil ă yx2=, pentru a face coeficientul dominant
1. Rezultă ecuația: 32y3 y2 4 y 4 m 0+-+= .
Fie yz 1=- , pentru a g ăsi rezolventa ecua ției. Aceasta este: 3z2 7 z 2 6 4 m 0-+ += .
Avem: p 27, q 26 4m=- = + .
Discriminantul rezolvantei este:
() ()232326 4m 27 qpd 108 10842 7 4 2 7é ù æö +-÷ ê ú ç÷ =- + =- + =ç ê ú ÷ç÷çèø ê úë û
() ( )( )2 22 2108 13 2m 27 108 4m 52m 560 432 m 13m 140éù=- + – =- + – =- + -êúëû.
Discuție:
Cazul I : <d0 .
() ( )2d 0 m 13m 140 0 m , 20 7, < + – > Î – ¥- È ¥ .
Ecuația are o rădăcină reală și două rădăcini complexe conjugate.
Cazul II : =d0 .
{} d0 m 2 0 , 7= Î – .
Ecuația are toate r ădăcinile reale, dintre care dou ă sunt egale. Dac ă m2 0=- , ecuația
are 12xx 2== – și o rădăcină reală 3x în intervalul () 1, ¥, iar dacă m7=, ecuația are
12xx1== și o rădăcină reală 3x în intervalul (), 2-¥ .
Cazul II : >d0 .
() d0 m 2 0 , 7> Î – .
Ecuația are trei r ădăcini reale distincte.

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice
 
53
 E.3.9. Se dă ecuația: 3xp x q 0++ = . Să se găsească condiția ca dou ă din rădăcinile
sale să fie de forma cosq și sinq.
Rezolvare. Ținând cont de formula fundamental ă a trigonometriei 22sin cos 1q+ q= ,
dacă 1xs i n=q și 2xc o s=q , rezultă că 22
12xx1+= .
Scriem rela țiile lui Viète:
123
12 23 13123xxx 0
xx xx xx p
xxx qì++=ïïïï++=íïïï=-ïî.
Obținem:
()
() ()12 3 12 3 12 3
2 2
12 3 1 2 12 3 12 3
123 123 123
2 22 2
33 31 2 12 1 2xx x xx x xx x
xx x x x p xx p x xx x p
xxx q xxx q xxx q
x2 p x 1 x2 x x1 xx 2 x x1ì ì += – += – ì ï ï += -ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ++ = =+ -= ï ï ï ïï ï  íí í=- =-ïï ï =-ïï ïïï ïïï ï-+= ïï ï -= +- = ïî ïïî î
() ( )22
33
12 12
22 22 2
123 12 3x 2 p1 x 2 p1
xx p 1 xx p 1
xxx q xx x qììïï=- – =- -ïïïïïïïï= – – = – -ííïïïïïï == ïïïïîî.
Rezultă:
() ( )2 2p1 2 p1 q 0++ + = .

E.3.10. Știind că a, b, c sunt rădăcinile ecua ției 32xp xq x r 0++ + = , să se calculeze
expresia ()()()22 2ab c bc a ca b– , în funcție de coeficien ții ecuației.
Rezolvare. Scriem rela țiile lui Viète:
abc p
ab ac bc qabc rì++= -ïïïï++=íïï=-ïïî.
Din ultima rela ție rezultă:
rbca=- , rcab=- , rabc=- . Obținem:
3
22
3
22
3
22rarab c a ,aa
rbrb ca b ,b b
rcrca b c .cc+-=+ =
+-=+=
+-=+ =.
Expresia din enun ț devine:

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice
 
54
 () () ()()()()33 3
22 2ar br cr
ab c bc a ca babc+++
– = =
() ( )33 3 33 3 3 3 3 2 3 3 3 3abc rab ac bc r a b c r
r++ + + + + +
=-.
Dar
() ()( )3 33 3a b c a b c 3 a b c ab ac bc 3abc++ = + + + ++ + + – ,
și deci putem scrie:
()()( )3 33 3abc a b c 3 a b c a b a c b c 3 a b c++=+ +- + + ++ + =
()()()3 3p3 p q 3 r p 3 p q 3 r=- – – + – = – + – .
Analog, ob ținem:
() () () () () ()3 3 3 33 33 2 2 2a b a c b c ab ac bc 3 ab ac bc a bc ab c abc 3 ab ac bc++= + +-+ + ++ + =
( )( )()()32ab ac bc 3abc ab ac bc a b c 3 abc=+ + – + + + + + =
()()()2 33 2q 3q r p 3 r q 3prq 3r=- – +-=- + .
Rezultă că:
() () ()() ()33 2 2 3 3
22 2rr q3 p r q 3 r r p3 p q 3 rr
ab c bc a ca br-+ – + + -+ – +
– = =-
( )( )32 3 32 32q 3prq 3r r p 3pq 3r q 3prq 3r rp 3prq 3r= – -+- – + – = – +- + -+ =
33qr p=- + .

E.3.11. Se noteaz ă cu 22cos isin11 11ppa= + o rădăcină de ordinul 11 a unității. Se cere
să se formeze ecua ția de gradul V ale cărei rădăcini sunt:
10 2 9 3 8 4 7 5 6, , , , a+a a +a a +a a +a a +a .
Rezolvare. Deoarece a este o rădăcină a unității, avem c ă 111a= și deci 101a⋅ a = ,
de unde rezult ă că 10 1a=a. Analog, ob ținem: 9876
23451111, , , a= a= a= a=aaaa.
Deci rădăcinile ecua ției ce trebuie format ă sunt:
10 2 9 2 3 8 3
23111, , , a+a =a+ a +a =a + a +a =a +aa a
47 4 56 5
4511, a+ a= a+ a+ a= a+aa.
Din 11×1 0-= , excluzând r ădăcina 1×1=, obținem ecua ția reciproc ă:

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice
 
55
 10 9xx . . . x 1 0++ + + = .
Ecuația în y, ce va avea r ădăcinile
10 2 9 3 8 4 7 5 6, , , , a+a a +a a +a a +a a +a ,
este rezolvanta acestei ecua ții reciproce, cu 1yxx=+ .
Ținând seama de:
22 33
23
44 2 55 3
4511 1xy , x y 2 , x y 3 y ,xx x
11x y 4y 2, x y 5y 5y,xx+= + =- + =-
+=- + +=-+
ecuația cerută va fi:
54 3 2y y 4y 3y 3y 1 0+- – ++ = .

E.3.12. Fie polinomul 32P4 X 8 a X 4 b X 1=+ ++ , cu a, bÎ. Să se arate c ă:
a) dacă 0x este o rădăcină reală a lui P, atunci 2
0xb 2 a£- ;
b) dacă 12x, x sunt rădăcini distincte ale lui P, ambele r ădăcini fiind reale sau ambele
complexe nereale, atunci 2
12xx b a³- .
Rezolvare. a) Fie 0x o rădăcină reală. Rezultă: 32
00 04x 8ax 4bx 1 0+++ = .
Atunci:
32 2 2 2 2 2
00 0 0 0 0 04x 8ax 4bx 1 4b x 8ax 4b x 4bx 1=- – – = – – – – =
()()()2 22 22
00 04x b 2a 2bx 1 4x b 2a=- – + £- .
Deci: ()32 2
004x 4x b 2a£- . Împărțim inecua ția prin 2
04x, care este pozitiv. Rezult ă:
2
0xb 2 a£- .
b) Dacă 12x , x sunt ambele reale sau complexe nereale, rezult ă că 3x este real ă. Din
relațiile lui Viète putem scrie:
() ( )2
12 3 1 2 3 3 3 3x x bxx x bx 2 ax b2 a x x=- + =- – – =+ + =
()2 22 2 2 2
33 3 baa2 a xxb a a x b a .=- + + + =- + + ³-
Deci: 2
12xx b a³- .

E.3.13. Fie ecua ția ()n nn 1 n 2n 3
123 n x a x a x a x … 1 a 0–-+-+ + -= , cu rădăcinile
pozitive. S ă se arate că:kk k
kn 1an Ca£ , () k 1 k n"Î ££ .

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice
 
56
 Rezolvare. Fie 12 nx , x , …, x rădăcinile pozitive ale ecua ției date. Deoarece
12 n 1x +x + … x a += , iar 1a este constant, atunci 12 kx x …x este maxim când 12 kx= x . . . x== .
Rezultă că 12 kx x …xå este maxim ă când 12 n 1
12 nx +x + … x ax =x … xnn+== = = .
Numărul termenilor din suma 12 kx x …xå este k
nC. Rezultă că:
k
k 1
12 k naxx. . . x Cnæö÷ç£⋅ ÷ç÷çèøå .
Ținând cont de rela țiile lui Viète, rezult ă că k
k 1
knaaCnæö÷ç£⋅ ÷ç÷çèø, și deci kk k
kn 1an Ca£ .

E.3.14. Să se arate c ă o ecuație algebric ă de grad par, cu coeficien ți numere întregi
impare, nu admite r ădăcini raționale.
Rezolvare. Presupunem prin absurd c ă ecuația algebric ă
2n 2n 1
01 2 n 1 2 na x a x … a x a 0-
– ++ + + = ,
cu 2n 2n 1 0a , a , …, a- numere întregi impare, admite r ădăcina rațională p
q, fracție ireductibil ă.
Atunci 2np ׀a, 0q ׀a și deci p și q sunt impare.
Avem
2n 2n 1
01 2 n 1 2 n 2n 2n 1pp pa a … a a 0qq q-
– -++ + + = ,
și deci:
2n 2n 1 2n 1 2n
01 2 n 1 2 nap ap q . . . a p q a q 0–
– ++ + + = .
Aceasta este o contradic ție, deoarece membrul stâng este o sum ă cu un num ăr impar de
numere impare, deci este un num ăr impar, în timp ce membrul drept este par.

E.3.15. Se dă ecuația: ()32 2 3 2×3 a x 3 ab x aa b0++- + – = . Se cere:
a) oricare ar fi parametrii ași b, rădăcinile ecua ției date sunt în progresie aritmetic ă;
b) să se determine aceste r ădăcini.
Rezolvare. a) Fie în general ecua ția 32
12 3 xa xa x a0++ + = , cu rădăcinile în progresie
aritmetică, deci de forma t , t, t -a +a .
Obținem condi țiile:

Daniela Manea Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice
 
57
 ()1
22 2 2
2
22
3tt t a
tt t tt a
tt aìï- a +++ a = -ïïïï-a + -a + +a =íïïï-a =-ïïî.
De aici rezult ă:
1
2
2 1
2
22
11 1
23at3
aa3
aa aaa39 3ìï-ï=ïïïïïïïa= -íïïïïæö-ï ÷ çï ÷ -+ = -çï ÷ ç ÷ çïèøïî.
Astfel se stabile ște condiția ca ecua ția 32
12 3 xa xa x a0++ + = să aibă rădăcinile în
progresie aritmetic ă, și anume:
3
11 2 32a 9a a 27a 0-+= .
Pentru 22 3 2
12 3a3 a , a3 ab , aaa b== -= – , obținem:
() ()33 2 2 3 2
11 2 32a 9a a 27a 54a 27a 3a b 27 a ab-+=- – +- =
33 2 3 254a 81a 27ab 27a 27ab 0=-+ +- = .
Rezultă că oricare ar fi parametrii ași b, rădăcinile ecua ției inițiale sunt în progresie
aritmetică.
b) Din 2
2 1
2aa3a= – , pentru 1a3 a= și 22
2a3 a b=- , obținem
2
22 2 29a3a b b3a= – + = ,
deci ba= .
Avem:
ta , t a b , t a b=- -a=- +a=-   .
Deci rădăcinile ecua ției inițiale sunt:
12 3xa b , xa , xa b=- – =- =- + .

Daniela Manea Bibliografie

58
 
Bibliografie

[1] Viorel Gh. Vod ă, Surprize în matematica elementar ă, Editura Albatros, Bucure ști, 1981.
[2] C. Năstăsescu, C. Ni ță, Teoria calitativ ă a ecuațiilor algebrice , Editura Tehnic ă, București,
1979.
[3] C. Năstăsescu, C. Ni ță, C. Vraciu, Aritmetică și algebră, Editura Didactic ă, București, 1993.
[4] C. Năstăscu, C. Ni ță și alții, Culegere de probleme pentru liceu. Algebr ă, Editura Rotechrro,
Bucure ști, 1996.
[5] C. Năstăsescu, C. Ni ță, S. Popa, Matematic ă. Manual pentru clasa a X-a. Algebr ă, Editura
Didactic ă și Pedagică, București, 1981.

Cuprins

Introducere ……………………………………………………………………………………………………………… …… 5
Capitolul 1. Rezolvarea ecua țiilor algebrice de grad mai mic sau egal cu 4 ……………………… 7
1.1. Preliminarii. Istoric ……………………………………………………………………………………. 7
1.2. Numere complexe exprimabile prin radicali ………………………………………………. 12
1.3. Formule de rezolvare pentru ecua țiile de gradul II și III ……………………………. 13
1.3.1. Ecua ția de gradul II …………………………………………………………………………………. 13
1.3.2. Ecua ția de gradul III. Natura r ădăcinilor ecua ției de gradul III cu coeficien ți
reali ………………………………………………………………………………………………… …….. 14
1.4. Metode de rezolvare pentru ecua ția de gradul IV ………………………………………. 19
1.4.1. Metoda lui Ferrari (diferen ță de pătrate perfecte) ………………………………………… 19
1.4.2. Metoda lui R. Descartes (pr odus de polinoame de gradul II) ………………………… 21
1.4.3. Metoda lui L. Euler …………………………………………………………………………………. 22
1.4.4. Metoda lui Liapin ……………………………………………………………………………………. 24
1.5. Metoda lui Lagrange de rezolvare a ecua țiilor algebrice de grad mai mic
sau egal cu 4 …………………………………………………………………………………………….. 25
1.5.1. Rezolvarea ecua ției de gradul III prin meto da lui Lagrange ………………………….. 27
1.5.2. Rezolvarea ecua ției de gradul IV prin metda lui Lagrange ……………………………. 30
Capitolul 2. Ecuații algebrice de grad mai mare sau egal cu 5, rezolvabile prin radicali …. 34
2.1. Ecua ții binome …………………………………………………………………………………………. 34
2.2. Ecua ții trinome ………………………………………………………………………………………… 35
2.2.1. Ecua ții bipătrate ………………………………………………………………………………………. 36
2.3. Ecua ții reciproce ………………………………………………………………………………………. 36
2.3.1. Ecua ții reciproce de grad ul III ………………………………………………………………….. 39
2.3.2. Ecua ții reciproce de gradul IV ………………………………………………………………….. 40
2.3.3. Ecua ții reciproce de gradul V ……………………………………………………………………. 41
Capitolul 3. Rezolvarea câtorva tipuri de ecua ții algebrice. Considera ții metodice ………… 42
3.1. Aspecte metodice ale pred ării ecuațiilor în gimnaziu și liceu ………………………. 42
3.2. Exerci ții și probleme rezolvate ………………………………………………………………….. 45
Bibliografie ……………………………………………………………………………………………………………… …. 58

ǣͥͣͤǦͥͣ͟Ǧͣ͠Ǧͥ͜͟͝Ǧͣ
ƒ–‡ƒ–‹…ƒƒ”‡‘…‘–”‹„—҄‹‡Á•‡ƒ–£Áˆ‘”ƒ”‡ƒç‹†‡œ˜‘Ž–ƒ”‡ƒ
‰
Ÿ

†
‹
”
‹
‹

‘

‡

‡
ç
–
‹
Ǥ

B


œ
‹
Ž
‡
Ž
‡


‘
ƒ
•
–
”
‡

‡
ƒ

†
‡
˜
‹

‡

–
‘
–


ƒ
‹


—
Ž
–


‘
†
‡
Ž
—
Ž

•
’
”
‡

…
ƒ
”
‡

’
”
‹
˜
‡
•
…

…
—

Á

…
”
‡
†
‡
”
‡

ç
‹

‹

–
‡
”
‡
•

…
‡
Ž
‡
Ž
ƒ
Ž
–
‡

ç
–
‹
‹

҄
‡
Ǥ


‡
‘
”
‹
ƒ

‡
…
—
ƒ
҄
‹
‹
Ž
‘
”

‘
…
—
’
£

—


Ž
‘
…

‹

’
‘
”
–
ƒ

–

Á



ƒ
–
‡

ƒ
–
‹
…
£

ç
‹

…
‘

•
–
‹
–
—
‹
‡

—


•
—
„
‹
‡
…
–

ƒ
–
”
ƒ
…
–
‹
˜

’
‡

–
”
—


ƒ
–
‡

ƒ
–
‹
…
‹
‡

‹
‹

†
‡

–
‘
ƒ
–
‡

˜
Ÿ
”
•
–
‡
Ž
‡

’
”
‹



—
Ž
–
‹
–
—
†
‹

‡
ƒ

’
”
‘
„
Ž
‡

‡
Ž
‘
”

…
‡

Ž
‡

ƒ
„
‘
”
†
‡
ƒ
œ
£
Ǥ

—
…
”
ƒ
”
‡
ƒ

†
‡

ˆ
ƒ
҄
£

‡
•
–
‡

…
‘

•
ƒ
…
”
ƒ
–
£

”
‡
œ
‘
Ž
˜
£
”
‹
‹

‡
…
—
ƒ
҄
‹
‹
Ž
‘
”

ƒ
Ž
‰
‡
„
”
‹
…
‡


—
…
”
ƒ
”
‡
ƒ

†
‡

ˆ
ƒ
҄
£

‡
•
–
‡

…
‘

•
ƒ
…
”
ƒ
–
£

”
‡
œ
‘
Ž
˜
£
”
‹
‹

‡
…
—
ƒ
҄
‹
‹
Ž
‘
”

ƒ
Ž
‰
‡
„
”
‹
…
‡

†
‡

‰
”
ƒ
†

•
—
’
‡
”
‹
‘
”
Ǥ


ƒ

ƒ
”
‡

…
ƒ

•
…
‘
’

’
”
‡
œ
‡

–
ƒ
”
‡
ƒ

ç
‹

‹

–
‡
”
’
”
‡
–
ƒ
”
‡
ƒ


‘
҄
‹
—

‹
Ž
‘
”

–
‡
‘
”
‡
–
‹
…
‡

Á

–
”
Ǧ
‘

ˆ
‘
”

£

…
‡

’
‘
ƒ
–
‡

Ƥ

‘
”
‹
…
Ÿ

†

—
–
‹
Ž
£

Á


ƒ
…
–
‹
˜
‹
–
ƒ
–
‡
ƒ

—

—
‹

’
”
‘
ˆ
‡
•
‘
”

†
‡


ƒ
–
‡

ƒ
–
‹
…
£

†
‹


Á

˜
£
҄
£

Ÿ

–
—
Ž

’
”
‡
—

‹
˜
‡
”
•
‹
–
ƒ
”
Ǥ

















ƒ

‹
‡
Ž
ƒ






—…”ƒ”‡’”‡‹ƒ–£Žƒ‘…—”•—Žƒ҄‹‘ƒŽ
†
‡


‘

’
‡
–
‡

҄
£

ç
‹


‡
”
ˆ
‘
”

ƒ

҄
£
&RQFXUVRUJDQL]DWLQSDUWHQHULDWFX0(1&ú