3.2. Câmpul magnetic. Forțe în câmpul magnetic. 30 3.2.1. Forța Lorenz. 31 3.2.2. Forța Laplace. 31 3.2.3. Forța Ampère. 31 3.3. Inducția magnetică,… [303328]

CUPRINS

CAP 3. ELECTROMAGNETISM 29

3.1. Fenomene magnetice 30

3.2. Câmpul magnetic. Forțe în câmpul magnetic. 30

3.2.1. Forța Lorenz. 31

3.2.2. Forța Laplace. 31

3.2.3. Forța Ampère. 31

3.3. [anonimizat], flux magnetic. 32

3.4. Circuite magnetice. 34

3.4.1. Materiale magnetice. 34

3.4.2. Magnetizarea materialelor feromagnetice. 34

3.4.3. Legea circuitului magnetic. 35

3.5. Inducția electromagnetică. 36

3.5.1. Fenomene de inducție electromagnetică. 36

3.5.2. Legea inducției electromagnetice. 37

3.5. Inductanța proprie și inductanța mutuală. 38

3.5.4. Tensiune electromotoare de autoinducție. 40

3.5.5. Energia câmpului magnetic. 40

3.6. Aplicații 40

CAP 4. CURENTUL ALTERNATIV 43

4.1. Curentul alternativ monofazat. Producerea curentului (tensiunii) alternativ 43

4.2. Mărimi caracteristice ale curentului (tensiune) alternativ 44

4.3. Operații cu mărimi sinusoidale 46

4.4. Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale 47

4.4.1. Reprezentarea geometrică (prin fazori) 47

4.4.2. Reprezentarea analitică (în complex) 49

4.5 Circuite de curent alternativ în regim permanent 50

4.5.1 Circuitul serie R, L 50

4.5.2 Circuitul serie R, C 51

4.5.3. Circuitul serie R, L, C 52

4.6. Puteri în regim sinusoidal 53

4.6.1. Puterea instantanee 53

4.6.2. Puterea activă 54

4.6.3. Puterea reactivă 54

4.6.4. Puterea aparentă 54

4.6.5. Puterea complexă 54

4.7. Rezonanța în circuite de curent alternativ 55

4.7.1. Rezonanța serie (rezonanța de tensiune) 55

4.7.2. Rezonanța paralel (rezonanța de curent) 56

4.8 Aplicații: 58

TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE

CAP 1. ELECTROMAGNETISM

Electromagnetismul studiază câmpurile magnetice produse de curenții electrici ce străbat circuitele electrice.

1.1. Fenomene magnetice

Sunt cunoscute proprietățile unor bucăți de metal (numiți magneți permanenți), [anonimizat] a atrage obiecte de fier sau de a orienta în diverse moduri acul unei busole. [anonimizat]-a lungul unor linii de forță (linii de câmp) de la un capăt al său (polul nord – N) și se închid la celălalt capăt al său (polul sud – S). [anonimizat], [anonimizat], [anonimizat]-[anonimizat].

Fig. 1.1. Liniile de câmp magnetic la un magnet permanent.

Inițial proprietatea magneților a [anonimizat]-se astfel o analogie între cauza câmpului magnetic și cel electric; ulterior însă s-a constatat că nu există aceste sarcini magnetice. S-a [anonimizat]. Prin urmare câmpul magnetic exercită forțe asupra circuitelor parcurse de curent. Aceste forțe în câmp magnetic se împart în forțe electrodinamice (între curenți), electromagnetice (între curenți și corpuri magnetizate), magnetostatice (între magneți permanenți).

3.2. Câmpul magnetic. Forțe în câmpul magnetic.

Câmpul magnetic este aceea formă de existență a materiei, care se manifestă prin forțe sau cupluri de forțe ce acționează asupra corpurilor magnetizate sau asupra conductoarelor parcurse de curenți.

Exploatarea câmpului magnetic se realizează cu un corp de probă.

Cel mai potrivit corp de probă este o mică spiră, foarte subțire parcursă de curent numită buclă de curent, reprezentată ca în fig. ) și practic ca în fig. 3.2. b).

Fig. 1.2. Bucla de curent: a) reprezentare simbolică; b) realizare practică.

Dacă bucla de curent se aduce în spațiul câmpului magnetic, asupra ei se exercită acțiuni mecanice, concretizate printr-un cuplu de forțe, dat de relația: , unde

mb – este momentul magnetic al spirei, ;

– inductanța magnetică în vid (sau ); se măsoară în tesla (T); adică:

[B] = [C] / [I] · [S] = 1m · 1N / 1A · 1m2 = 1N / Am = 1T.

Forțele particulare ce acționează în câmpul magnetic sunt: forța Lorenz, Laplace, Ampère. În continuare se vor considera fiecare din aceste forțe.

1.2.1. Forța Lorenz.

Forța care se exercită asupra unui corp încărcat cu sarcină electrică se numește forță Lorenz. Experiența arată că asupra unui corp încărcat cu sarcina electrică q, care se deplasează cu viteza într-un câmp magnetic de inducție se exercită forța . Această forță este perpendiculară pe planul determinat de vectorii și (adică atât pe direcția de deplasare, cât și pe direcția liniilor de câmp). Referitor la relația de mai sus, se pot face următoarele observații:

asupra sarcinii în repaus (v = 0) nu acționează forța;

forța este maximă dacă direcția de deplasare este perpendiculară pe aceea a liniilor de câmp magnetic;

forța este nulă dacă deplasarea sarcinii se face pe direcția liniilor de câmp magnetic.

Dacă, alături de câmpul magnetic, în spațiul considerat există și câmp electric, asupra sarcinii în mișcare mai acționează și o forță electrică care are sensul lui , adică al liniilor de câmp electric . Ca urmare forța rezultantă ce acționează asupra unei sarcini în mișcare are expresia:

1.2.2. Forța Laplace.

Se mai numește și forța electromagnetică. Forța Laplace reprezintă forța care se exercită asupra unui conductor parcurs de curent electric situat într-un câmp magnetic. Măsurând forța elementară ce se exercită asupra unui element de lungime , parcurs de curentul i și situat într-un câmp magnetic de inducție , se constată experimental că există relația: . Sensul forței este dat de produsul vectorial .

Această forță este maximă când conductorul este perpendicular pe liniile de câmp, adică perpendicular pe și este minimă când conductorul este orientat după direcția liniilor de câmp, adică paralel cu .

Expresia forței Laplace se poate deduce din expresia forței Lorenz, astfel:

Forța Laplace se referă la conductoare filiforme parcurse de curentul i. În cazul conductoarelor masive se introduce noțiunea de densitatea de volum a forței, astfel:

1.2.3. Forța Ampère.

Se mai numește și forța electrodinamică. Este forța care se manifestă între două conductoare parcurse de curenți.

Astfel, dacă se consideră două conductoare paralele, infinit de lungi, filiforme și parcurse de curenții I1 și I2 se constată că asupra lor se exercită o forță . Forța este de atracție dacă curenții au același sens și de respingere, dacă au sensuri contrare (fig. 3.3).

Fig. 1.3. Sensul forței electrodinamice: a) de respingere; b) de atracție.

Sensul forțelor electrodinamice poate fi explicat dacă se are în vedere forma câmpului magnetic (fig. 3.4.) Astfel dacă sensul celor doi curenți este contrar, între conductoare câmpul magnetic se întărește iar în afara conductoarelor slăbește. Densitatea sporită a câmpului dintre conductoare tinde să depărteze conductoarele.

Forța electrodinamică ne permite definirea unității de măsură a curentului, adică amperul. Astfel, dacă în relația:

, considerăm , d = 1m, I1 = I2 = 1A, rezultă:

Deci, amperul este curentul care stabilit în două conductoare paralele, infinit lungi, așezate în vid la distanța de 1m determină atracția sau respingerea lor cu o forță de 2 · 10-7 N/m lungime.

Sintetizând cele prezentate în legătură cu forțele în câmp magnetic se poate prezenta fig. 3.5.

Fig. 1.5. Forțe în câmpul magnetic: a) Lorenz; b) Laplace; c) Ampère.

1.3. Inducția magnetică, intensitatea câmpului magnetic, flux magnetic.

Câmpul magnetic așa cum am menționat mai sus, se poate caracteriza în fiecare punct al său printr-o mărime vectorială numită inducție magnetică. Această mărime depinde de valoarea curentului care a produs câmpul magnetic și de proprietățile magnetice ale mediului. Pentru un solenoid care se închide sub forma unui tor (fig. 3.6) și care este parcurs de curentul I, valoarea inducției magnetice B în interiorul bobinei inelare este:

(3.1)

unde:

N – este numărul de spire al solenoidului

L – lungimea medie a torului (l = 2πr, r fiind raza medie a torului),

0 – permeabilitatea magnetică a mediului vid, o mărime ce caracterizează comportarea materialelor (corpurilor) în câmpul magnetic; are valoarea 0 = 4π · 10-7 H/m.

Dacă în interiorul torului se află un alt material, spre exemplu oțel (miez feromagnetic), valoarea inducției se modifică deși curentul I a rămas același, adică:

(3.2)

fapt ce dovedește că permeabilitatea magnetică  este diferită, pentru diferite materiale.

Raportul dintre permeabilitatea magnetică a unui mediu material oarecare și permeabilitatea magnetică 0 a vidului se numește permeabilitate magnetică r, adică r = 0. (3.3)

Intensitatea câmpului magnetic într-un câmp magnetic stabilit într-un mediu omogen se obține raportând valoarea inducției magnetice la valoarea permeabilității magnetice, adică:

H = B / = N I / l[A/m] (3.4)

Trebuie menționat că, spre deosebire de inducția magnetică B, intensitatea câmpului magnetic H nu depinde de natura mediului material ci numai de curentul care determină câmpul magnetic.

Din relația (3.4) se deduce că pentru valorile lui B și H se poate scrie relația:

B = · H (3.5)

Dar trebuie remarcat că numai pentru vid relația este valabilă și vectorial, adică:

(3.6)

Fluxul magnetic printr-o suprafață închisă S situată perpendicular pe direcția liniilor de câmp magnetic de inducție B (fig. 3.7a) este totalitatea liniilor de câmp ce străbat această suprafață și se calculează cu relația:

 = B · S

Dacă liniile câmpului magnetic fac un unghi  cu normala N la planul conturului (fig. 3.7b), valoarea fuxului magnetic este dată de relația:

 = B · S · cos 

În general însă  = (B · S) sau (3.7)

Fig. 1.7. Fluxul magnetic prin suprafața S: a) perpendiculară pe liniile de câmp; b) înclinată față de liniile de câmp.

Dacă în locul spirei se consideră mai multe spire, adică o bobină, fluxul ce străbate bobina va fi:

Ψ = N ·  = N · B · S (3.8)

unde N este numărul de spire al bobinei.

1.4. Circuite magnetice.

Vorbind de circuite magnetice ne referim la un ansamblu de medii, îndeosebi feromagnetice care asigură închiderea unui flux magnetic util. Acest flux magnetic prin analogie cu curentul electric este mărimea care interesează iar în locul materialelor conductoare aici vorbim de materiale magnetice. Ca urmare în cele ce urmează se vor prezenta elemente legate de materialele magnetice, magnetizarea materialelor feromagnetice și legea circuitului magnetic.

1.4.1. Materiale magnetice.

Diferite materiale se comportă în mod diferit în câmpuri magnetice, în sensul că au permeabilități magnetice diferite.

Dacă mediul este format din anumite materiale, de exemplu aer sau unele metale, inducția magnetică corespunzătoare vidului crește cu o cantitate suplimentară B’ față de inducția în vid, deși câmpul H a rămas neschimbat, adică:

B1 = B0 + B’ = 0 · H + B’ > B0

sau dacă considerăm:

B1 = 1 · H , (1 > 0 · r)

r se numește permeabilitatea magnetică relativă.

Materialele care prezintă permeabilitate magnetică relativă supraunitară se numesc materiale paramagnetice.

Există o altă categorie de materiale, la care inducția magnetică scade cu o inducție suplimentară B” față de inducția în vid, deși câmpul magnetic H a rămas neschimbat,

B2 = B0 – B” = 0 · H – B” < B0

Permeabilitatea magnetică a acestor materiale se calculează cu relația:

sau 2 = 0 · 2r și 2r < 1.

Aceste materiale se numesc diamagnetice.

O categorie aparte o constituie materialele feromagnetice. La aceste materiale permeabilitatea magnetică relativă nu numai că este supraunitară, dar are și valori foarte mari, de exemplu r = 500 ÷ 5000. Din această categorie de materiale fac parte în principal compușii fierului: fonta, oțelul și nichelul, precum și unele aliaje ale acestora.

1.4.2. Magnetizarea materialelor feromagnetice.

Permeabilitatea magnetică a materialelor feromagnetice nu este constantă ci variază în funcție de câmpul magnetic. Considerând torul din fig. 3.6. realizat din material feromagnetic, de exemplu oțel având bobina alimentată cu un curent având succesiv valorile I1, I2, I3 …. (unde I1 < I2 < I3 < …) se obține curba B = f (H) din fig. 3.8, curbă pe care pot fi delimitate trei zone și anume:

Zona 0 – X este o porțiune liniară cu panta relativ mare (panta curbei reprezintă tocmai permeabilitatea magnetică ), zona în care inducția B este proporțională cu câmpul H, deci  este constant și relativ mare ; este zona în care se spune că miezul magnetic funcționează nesaturat;

Zona X – Y este porțiunea în care fierul începe să se satureze, deci permeabilitatea magnetică scade; zona se numește cotul curbei de magnetizare;

Zona Y – Z este porțiunea liniară cu panta relativ mică, iar  are o valoare aproximativ constantă care tinde către 0 (r ≈ 1), aceasta este zona saturată a curbei de magnetizare.

Dacă magnetizarea miezului de oțel se face prin variația continuă a curentului I de la 0 → Imax → 0 → Imax → 0, câmpul magnetic H este în creștere sau în descreștere (fig. 3.9). S-a obținut în acest fel o curbă de magnetizare închisă numită ciclu de histerezis (histerezis vine din limba greacă și înseamnă rămânere în urmă).

Într-adevăr, din fig. 3.9 se observă de exemplu că în punctul 2 deși curentul I (câmpul H) a revenit la zero, totuși inducția mai are o valoare pozitivă, B = Br, numită inducție remanentă, de asemenea în punctul 5, deși H = 0, totuși B = – Br. Similar, în punctul 3 pentru a produce o inducție magnetică nulă venind dinspre inducții remanente pozitive (respectiv negative) este necesar un câmp – HC (punctul 3), respectiv + HC (punctul 6) numit câmp coercitiv.

În timpul unui ciclu de histerezis materialul absoarbe din câmpul magnetic o cantitate de energie, care se transformă în căldură și care constituie pierderile de histerezis. Aceste pierderi sunt proporționale cu suprafața ciclului de histerezis și firește cu cantitatea de material feromagnetic. Din acest motiv în industrie pentru un anumit tip de oțel electrotehnic și frecvență (f = 50Hz de exemplu) se menționează pierderile specifice în [W/kg] prin fenomenul de histerezis .

Prin realizarea unor tole de oțel electrotehnic, ce prezintă 4 – 5% adaos siliciu se obține o curbă de magnetizare cu permeabilitate magnetică mare și cu un ciclu de histerezis de suprafață relativ redusă, adică cu pierderi mici.

1.4.3. Legea circuitului magnetic.

Este similară cu legea circuitului electric (adică legea lui Ohm).

Considerând torul din fig. 3.6., fluxul magnetic ce străbate secțiunea acestuia poate fi scris ca fiind:

(3.9)

unde:

Rm este reluctanța circuitului magnetic, se calculează cu relația:

NI =  – tensiune magnetică. Dacă la circuitele electrice , aici ; sau se mai numește și solenație.

Dacă torul prezintă un întrefier (fig. 3.10) acesta are o reluctanță magnetică iar legea circuitului magnetic se poate scrie sub forma:

(3.10)

De obicei dimensiunea unui întrefier este foarte mică. În întrefier se obțin acțiunile pondero- motoare: forțe și cupluri. Prezența întrefierului mărește foarte mult reluctanța magnetică, deoarece  << , pe când  este comparabil cu l.

Ca urmare, fluxul  și inducția B scade, evitându-se saturarea miezului.

1.5. Inducția electromagnetică.

Este un fenomen fizic deosebit de important, care stă la baza multor aplicații tehnice.

1.5.1. Fenomene de inducție electromagnetică.

Se consideră o bobină B (fig. 3.11) având legate la bornele ei un ampermetru A și un magnet permanent plasat coaxial cu bobina.

Ampermetrul se introduce brusc în interiorul bobinei, ceea ce are ca efect devierea într-un anumit sens (de exemplu +) a acului ampermetrului. La extragerea bruscă a magnetului din interiorul bobinei ampermetrul deviază din nou, însă de această dată în sens contrar, după care magnetul revenind la poziția inițială, acul ampermetrului revine din nou pe zero.

În locul câmpului magnetic produs de magnetul permanent se poate folosi pentru realizarea aceleași experiențe o bobină parcursă de curent, adică un electromagnet.

Fig. 1.11. Fenomenul de inducție electromagnetică evidențiat într-o bobină.

Această experiență ne permite să tragem următoarea concluzie: într-o bobină ia naștere o tensiune electromotoare, atunci când fluxul magnetic prin spirele sale variază. Acest fenomen poartă numele de inducție electromagnetică. Tensiunea electromagnetică care ia naștere prin acest fenomen se numește tensiune electromotoare de inducție iar curentul corespunzător curent de inducție. Aceeași experiență ne permite să constatăm că tensiunea electromotoare de inducție are un anumit sens atunci când fluxul magnetic crește (la introducerea magnetului).

Reluând experiența, dar deplasând magnetul cu viteze din ce în ce mai mari, se constată că deviațiile ampermetrului, deci și tensiunile electromotoare induse, cresc proporțional cu viteza de variație a fluxului. La aceeași viteză de deplasare a magnetului, tensiunile electromotoare induse cresc proporțional cu numărul de spire al bobine folosite.

1.5.2. Legea inducției electromagnetice.

Pe baza experienței descrise mai sus, s-a stabilit că tensiunea electromotoare indusă într-o bobină cu N spire are expresia:

(3.11)

unde d () reprezintă variația fluxului magnetic în intervalul de timp dt (t), adică tensiunea indusă depinde de viteza de variație a fluxului și de numărul de spire.

Semnul minus din fața expresiei tensiunii ne indică faptul că sensul tensiunii induse este contrar celui de variație a fluxului (fig. 3.12).

Fig. 3.12. Stabilirea sensului tensiunii induse.

Regula lui Lenz: tensiunea are un astfel de sens, încât curentul ce se stabilește determină un flux care se opune variației fluxului inductor.

O formă particulară de manifestare a fenomenului de inducție electromagnetică are loc la deplasarea cu viteza v a unui conductor de lungime l perpendicular pe liniile de câmp de inducție B (fig. 3.13.)

iar

Deci

sau sau e = – B · l · v · sin , unde

1.5. Inductanța proprie și inductanța mutuală.

Dacă se consideră o spiră parcursă de curentul I, ea dă naștere unui câmp de inducție B și a unui flux total N · , care ne permite definirea unei mărimi specifice spirei și anume inductanță (inductivitate):

(3.12)

Dacă se consideră o bobină cu N spire inducția proprie se definește ca fiind:

(3.13)

Pentru o bobină cu N spire se poate scrie că inductanța este:

(3.14)

Relația (3.14) poate fi dedusă având în vedere că  / Rm de unde

iar

Se constată că inductanța este dependentă de permeabilitatea magnetică . Ea este constantă dacă și  este constantă, este variabilă dacă și  este variabil. Deci și aici la inductivitate se poate defini o inductanță statică:

(3.15)

și una dinamică

(3.16)

De menționat că unitatea de măsură a inductanței este henry-ul, (H) care are dimensiunea ·S, deci 1 H = 1  · S.

Referitor la inductanța mutuală se consideră două bobine B1 și B2 cuplate inductiv (fig. 3.14), adică cu circuit magnetic comun, având un număr de spire N1 respectiv N2 și parcurse de curenții I1 și respectiv I2.

Fluxul produs de bobina B1 are două componente, ,  este fluxul de dispersie, ce se închide prin aer, este fluxul mutual ce se închide prin bobina B2.

În mod similar pentru bobina B2 se poate scrie ,  este fluxul de dispersie al celei de-a doua bobine, este fluxul mutual ce se închide prin bobina B1.

Se definesc inductanțele mutuale:

Spre deosebire de inductivitatea proprie care este întotdeauna pozitivă, inductivitatea mutuală poate fi pozitivă, negativă și zero. Aceasta deoarece fluxul unei bobine prin cealaltă bobină poate avea același sens sau poate avea sens contrar față de fluxul propriu.

În mod obișnuit, nu se figurează explicit structura circuitului magnetic al bobinei cuplate magnetic, ci se adoptă următoarea convenție: orice indicare a valorii algebrice a unei inductivități mutuale L12 este însoțită de însemnarea cu un asterix a uneia dintre bornele fiecărei bobine. Atunci când sensurile curenților prin cele două bobine cuplate magnetic sunt orientate în același mod față de bornele marcate (polarizate) cu asterix, inductivitatea mutuală corespunzătoare are valoarea pozitivă, adică M > 0.

Dacă sensurile curenților nu sunt orientate în același mod față de bornele polarizate, inductivitatea mutuală corespunzătoare acestor sensuri are valoarea negativă, adică M < 0.

Fig. 3.15. Stabilirea semnului inductivităților mutuale.

1.5.4. Tensiune electromotoare de autoinducție.

Dacă un circuit electric cuprinde o bobină de inductanță L parcursă de un curent variabil I, fluxul total al bobinei este și el variabil și are expresia:

 = N  = L I (3.17)

Această tensiune electromotoare produsă de variația curentului propriu se numește tensiune electromotoare de autoinducție.

Conform legii lui Lenz această tensiune este de sens contrar tensiunii aplicate bobinei respective, e = – L di / dt.

3.5.5. Energia câmpului magnetic.

Se consideră o bobină de rezistență R și inductanță L este alimentată de la o sursă de tensine electromotoare E. Se poate scrie:

sau (3.18)

Înmulțind relația (3.18) cu Idt și integrând în intervalul 0 – t0, se obține:

(3.19)

Termenul este tocmai energia luată de la sursă în intervalul de timp t0. Termenul este energia consumată pe rezistența R prin efectul Joule, iar:

(3.20)

adică tocmai energia în câmp magnetic.

3

CAP 2. CURENTUL ALTERNATIV

2.1. Curentul alternativ monofazat. Producerea curentului (tensiunii) alternativ

Principial, curentul alternativ se produce pe baza fenomenului de inducție electromagnetică. Într-o spiră ce se rotește și taie liniile câmpului magnetic produs de doi poli magnetici, N și S (fig. 4.1) ia naștere o tensiune electromotoare de inducție.

Perpendiculară pe axa polilor (N-S) se consideră axa OO’ numită axa neutră. Unghiul pe care-l formează spira cu axa neutră este .

Pentru a calcula tensiunea indusă se poate pleca de la relația:

(4.1)

2dS este variația secțiunii spirei traversată de liniile de câmp magnetic. Ca urmare, tensiune electromotoare indusă în spiră are valoarea:

(4.2)

Tensiunea este culeasă cu ajutorul celor două perii P1 și P2 și indicată de voltmetrul V (fig. 4.1).

De menționat, că în relațiile de mai sus este viteza unghiulară a spirei (sau bobinei), iar v este viteza liniară a spirei (bobinei).

În acest fel sistemul prezentat mai sus este de fapt un generator de curent alternativ monofazat.

Fenomenul prezentat este reversibil, adică, aplicând o tensiune alternativă între periile P1 și P2 spira (bobina) descrie o mișcare de rotație, deci este capabilă să producă un lucru mecanic.

Partea formată din polii magnetici N și S constituie statorul (care stă) sau inductorul (care induce câmpul), iar spira (sau bobina)constituie rotorul (care se rotește) sau indusul (în care se induce tensiunea) mașinii respective.

2.2. Mărimi caracteristice ale curentului (tensiune) alternativ

În fig. 4.3 se prezintă variația tensiunii și a curentului alternativ.

Dacă pentru tensiunea indusă se poate scrie relația , pentru curentul corespunzător va rezulta , unde este defazajul (întârzierea) curentului față de tensiune.

Mărimile caracteristice ale tensiunii sau curentului alternativ (sinusoidal) sunt:

perioada care se notează cu T și reprezintă intervalul de timp (exprimat în secunde), în care spira efectuează o rotație completă, adică timpul după care tensiunea alternativă capătă aceeași valoare și același sens de creștere.

frecvența. Mărimea se numește frecvență și reprezintă numărul de perioade cuprinse într-o secundă. Frecvența curentului alternativ industrial în toate țările din Europa este de 50 Hz. În SUA și parțial în Japonia frecvența este de 60 Hz.

valoarea efectivă (eficace) are în vedere înlocuirea mărimii (tensiune sau curent) de variație reală cu una fictivă, dar constantă, care în decurs de o perioadă dezvoltă aceeași căldură pe un rezistor de rezistență R, adică:

(4.3)

Sau

(4.4)

Adică

sau (4.5)

deci , adică valoarea efectivă este aceea maximă împărțită la .

valoarea maximă sau de vârf a mărimii sinusoidale. Este max(e) sau max (i) și firește este valoarea maximă pe care o poate atinge în variația sa mărimea sinusoidală considerată, adică emax sau imax.

valoarea medie a unei mărimi sinusoidale pe un interval t de timp se calculează cu integrala:

(4.6)

Pentru o perioadă T, Imed=0; de aceea pentru mărimile sinusoidale intervalul luat în considerare este , adică:

(4.7)

Dacă pentru simplificare se consideră , se obține:

factorul de formă se definește ca fiind raportul dintre valoarea efectivă și valoarea medie, adică:

(4.8)

De remarcat că în electrotehnică se operează cu valorile efective ale mărimilor sinusoidale, adică de exemplu, expresia curentului se scrie sub forma:

unde este faza inițială, adică faza curentului pentru t=0.

Deci, o mărime sinusoidală este complet determinată dacă i se cunosc valoarea efectivă I, pulsația și faza inițială .

Diferența dintre fazele inițiale ale două mărimi sinusoidale se numește defazaj (fig. 4.3). acest defazaj poate fi pozitiv sau negativ (fig. 4.4). Dacă , i1 este defazat înaintea lui i2 (fig. ); dacă , i1 este defazat în urma lui i2 (fig. 4.4b).

Pot să apară următoarele cazuri particulare:

dacă mărimile sunt în fază

dacă mărimile sunt în cuadratură

dacă mărimile sunt în opoziție de fază.

2.3. Operații cu mărimi sinusoidale

Circuitele liniare de curent alternativ sunt descrise de ecuații integro- diferențiale liniare, în care asupra mărimilor sinusoidale se efectuează operațiile de adunare, înmulțire cu un scalar, derivare sau integrare. Prin aceste operații se obțin mărimi sinusoidale ca aceeași frecvență, astfel:

adunarea a două mărimi sinusoidale, de exemplu curenți și , conduce la o mărime sinusoidală de aceeași frecvență, de forma i=I, unde:

(4.9)

(4.10)

b) amplificarea unei mărimi sinusoidale cu un scalar λ, conduce tot la o mărime sinusoidală de aceeași frecvență și aceeași fază inițială, dar cu valoarea efectivă amplificată de λ ori, adică:

(4.11)

Deci I=λI1.

c) derivarea unei mărimi sinusoidale în raport cu timpul conduce la o mărime sinusoidală de aceeași frecvență, dar defazată înainte cu și având valoarea efectivă de ori mai mare, adică:

=cos(+)=sin(++) (4.12)

d) integrarea în timp a unei mărimi sinusoidale, conduce la o mărime sinusoidală de aceeași frecvență, dar defazată în urmă cu și având valoarea efectivă de mai mică, adică:

dt=-cos()= (4.13)

2.4. Reprezentarea simbolică a mărimilor sinusoidale

În soluționarea circuitelor (rețelelor) de curent alternativ folosirea scrierii tensiunilor și curenților în valori momentane, complică foarte mult scrierea relațiilor și îngreunează calculele. Din acest motiv de cele mai multe ori se apelează la o scriere simbolică. În cazul circuitelor de curent alternativ care funcționează în regim permanent sinusoidal se utilizează două tipuri de reprezentări simbolice:

una geometrică (fazorială)

una analitică (în complex)

De remarcat că ambele reprezentări sunt în plan.

2.4.1. Reprezentarea geometrică (prin fazori)

Dacă se consideră o mărime sinusoidală de forma:

(4.14)

se poate costata că acesteia i se poate atașa în planul x0y0 (fig. 4.5) un vector al cărui modul este I și care formează cu axa Ox0 unghiul , iar cu axa ox unghiul . Acest vector se va numi în continuare fazor și se bucură de proprietatea că proiecția lui pe axa Ox0 este egală în orice moment cu valoarea instantanee (momentană) a curentului dată de relația (4.14).

Corespondenta biunivoca dintre mărimea sinusoidala și acest fazor poate fi scrisă astfel:

(4.15)

Simplificat relația (4.15) se poate scrie sub forma:

De menționat că fazorul OA se rotește în sens trigonometric cu viteza unghiulară ω la fel ca și axa origine de fază, dar între fazorul și axa Ox se păstrează unghiul φ constant.

Această reprezentare geometrică prin fazori este foarte sugestivă și intuitivă. Ea pune în evidență amplitudinea mărimii sinusoidale (egală cu modulul fazorului) precum și faza sa (egal cu argumentul fazorului reprezentativ).

Corespondența operațiunilor în reprezentarea fazorială corespunde celor prezentate în figura 4.6. Astfel adunarea (fig.4.6a), conduce la un fazor de modul , amplitudine și faza φ, dată de relația (4.10). Deci:

(4.16.a)

Înmulțirea cu un scalar λ, (fig.4.6b) conduce la obținerea unui fazor cu aceeași fază, dar cu amplitudinea λ•I1, adică:

, unde I=λI1; (4.16.b)

Derivarea unui fazor cu timpul, conduce la înmulțirea modulului lui prin și rotirea sa în sens direct trigonometric cu (fig. 4.6c), adică:

(4.16.c)

Integrarea unui fazor cu timpul, corespunde cu împărțirea modulului fazorului cu și rotirea sa în sens trigonometric cu (fig. 4.6d), adică:

(4.16.d)

Observație: în reprezentarea fazorială prezentată, toții fazorii sunt rotitori cu aceeași viteză unghiulară față de sistemul x0Oy0. Dacă se alege axa originii de fază Ox, care se rotește și ea cu aceeași viteză unghiulară , față de această axă toți fazorii sunt ficși, dar își păstrează fazele inițiale. Deci, în sistemul de coordonate XOY care se rotește în sens trigonometric cu viteza unghiulară toți fazorii sunt ficși. În plus, deoarece toate mărimile fazoriale conțin pe se poate renunța la el, operându-se cu valori efective. Reprezentarea este una fazorială simplificată.

2.4.2. Reprezentarea analitică (în complex)

În alegerea numerelor complexe este cunoscut faptul că fiecărui număr complex îi corespunde biunivoc în planul complex un punct (afixul numărului) și deci, un vector de poziție. Rezultă că dacă identificăm planul reprezentării geometrice (fazoriale) cu planul complex, stabilim o corespondență biunivocă între funcțiile sinusoidale și numerele complexe. În reprezentarea în complex mărimea sinusoidală (valoarea momentană) se obține ca fiind partea imaginară a numărului complex.

De fapt, mărimii sinusoidale de forma în planul complex îi atașăm numărul complex numit valoarea instantanee complexă având forma: .

Acest număr complex este reprezentat în planul complex printr-un vector de poziție de modul și argument (fig. 4.7).

Există prin urmare corespondența: .

Numărul complex se bucură de proprietatea că proiecția sa pe axa imaginară este tocmai mărimea sinusoidală, adică:

(4.17)

Corespondența operațiilor în reprezentarea în complex rezultă astfel:

adunarea

amplificarea

derivarea mărimii sinusoidale corespunde cu înmulțirea imaginii complexe cu , adică:

integrarea mărimii sinusoidale corespunde cu împărțirea imaginii complexe cu , adică:

2.5 Circuite de curent alternativ în regim permanent

În cele ce urmează se vor considera câteva circuite simple, liniare, cărora li se va aplica o tensiune alternativă sinusoidală de forma: și se va stabili forma curentului printr-o metodă directă, avându-se în vedere ecuația circuitului, ecuație rezultată din aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff și faptul că, curentul prin circuit are aceeași formă ca și tensiunea aplicată.

2.5.1 Circuitul serie R, L

Se consideră circuitul serie R și L din fig. 4.8a, cu “u” notându-se tensiunea aplicată circuitului, iar cu uR și uL tensiunile aplicate rezistorului, respectiv bobinei.

Ecuația circuitului este:

u=uR+uL sau u=R·i+L (4.18)

Dar , iar curentul are forma , astfel că relația (4.18) devine:

Ea este valabilă pentru orice valoare a lui , inclusiv pentru cele particulare. Astfel pentru rezultă , iar pentru , obținem . Ridicând cele două relații la pătrat și adunându-le, rezultă:

, adică (4.19)

Cantitatea de la numitor se numește impedanța circuitului serie R, L și se notează cu litera Z.

Împărțind cele două relații rezultate prin identificare se obține:

sau (4.20)

Deci, curentul variază în urma tensiunii cu unghiul (fig. 4.8b).

2.5.2 Circuitul serie R, C

Se consideră circuitul serie R, C din fig. 4.9a, cu “u” notându-se tensiunea aplicată circuitului, cu uR și uC tensiunile aplicate rezistorului, respectiv condensatorului.

Ecuația circuitului este:

sau (4.21)

Dar , iar , astfel ecuația (4.21) devine:

Pentru , , iar pentru , , astfel că:

, iar , adică

, iar (4.22)

Din relațiile deduse din identificare rezultă că <0 și >0, deci . Prin urmare, prin circuit variază înaintea tensiunii aplicate cu unghiul (fig. 4.9b).

2.5.3. Circuitul serie R, L, C

Se consideră circuitul serie R, L, C din fig. 4.10a, cu “u” notându-se tensiunea aplicată circuitului, cu uR, uL și uC tensiunile aplicate rezistorului, bobinei și condensatorului.

Ecuația circuitului este:

sau (4.23)

Dacă avem în vedere expresia tensiunii aplicate și forma curentului, ecuația (4.23) devine:

Considerând două situații particulare, rezultă:

și , de unde

iar (4.24)

Deoarece sin0 sau sin0, iar cos0, rezultă () iar variația lui se produce ca în fig. 4.10b.

Expresia de la numitor a lui I se numește impedanța circuitului serie R,L,C și se notează cu Z, având expresia:

(4.25)

2.6. Puteri în regim sinusoidal

În circuitele monofazate, liniare, de curent alternativ sinusoidal se pot defini: puterea instantanee, puterea activă, reactivă și aparentă.

2.6.1. Puterea instantanee

Puterea instantanee la bornele unui circuit este dată de relația:

(4.26)

sau dacă se au în vedere expresiile lui u și i rezultă:

(4.27)

Efectuând calculele se obține (fig.4.11)

(4.28)

Se constată că puterea instantanee este o mărime periodică, având o componentă alternativă de frecvență dublă și amplitudine UI.

2.6.2. Puterea activă

De obicei, în procesele periodice interesează energia consumată în circuit în intervalul unei perioade întregi, și corespunzător cu acesta interesează valoarea medie a puterii pentru o perioadă.

Deci, puterea medie absorbită într-o perioadă, numită puterea activă este:

(4.29)

sau înlocuind puterea instantanee cu expresia (4.28) se obține:

(4.30)

Unitatea de măsură a puterii active în sistemul internațional este watt-ul: W.

Corespunzător puterii active în curentul alternativ se definește rezistența circuitului R ca fiind:

și conductanța

2.6.3. Puterea reactivă

Puterea reactivă se definește prin analogie cu puterea activă prin relația:

(4.31)

și prezența ei este cauzată de existența unui defazaj între curba tensiunii și a curentului.

Unitatea de măsură a puterii reactive este volt-amper-reactiv: Var.

Pentru un circuit de curent alternativ, pe baza puterii reactive se poate defini reactanța circuitului X, ca fiind:

și susceptanța

2.6.4. Puterea aparentă

Puterea aparentă se definește ca fiind produsul valorilor efective ale tensiunii și curentului, adică:

(4.32)

Pe baza puterii aparente se poate defini impedanța unui circuit, astfel:

și respectiv inversul ei, admitanța

De asemenea pe baza puterii aparente se poate defini și factorul de putere:

(4.33)

2.6.5. Puterea complexă

Puterea instantanee nu este o mărime sinusoidală de aceeași frecvență ca și tensiunea și curentul, ca urmare ei nu i se poate atașa un simbol complex din care să poată fi deduse cele trei puteri: aparentă, activă și reactivă. În schimb, dacă se apelează la scrierea complexă a puterii aparente sub forma:

rezultă: (4.34)

Puterea complexă prezintă următoarele proprietăți:

modulul este egal cu puterea aparentă;

argumentul este egal cu defazajul circuitului (dintre tensiune și curent);

partea reală este egală cu puterea activă;

partea imaginară este egală cu puterea reactivă.

În planul complex puterea complexă se poate reprezenta printr-un vector a cărui parte reală este puterea activă, iar partea imaginară puterea reactivă.

2.7. Rezonanța în circuite de curent alternativ

În circuitele electrice care conțin bobine și condensatoare, deoarece reactanța acestora are semne diferite, există situații (anumite frecvențe) pentru care reactanța echivalentă este nulă, deci și puterea reactivă absorbită este nulă. Corespunzător, unghiul de defazaj dintre tensiunea aplicată la borne și curentul ce se stabilește în circuit este 0. Aceste circuite se numesc rezonanțe. Rezonanța poate fi serie sau paralel.

2.7.1. Rezonanța serie (rezonanța de tensiune)

Dacă se consideră circuitul serie R, L, C din fig. 4.12 alimentat cu o tensiune sinusoidală, legea lui Ohm în complex se poate scrie sub forma:

(4.35)

sau (4.36)

la rezonanță , adică (4.37)

Relația (4.37) ne arată că în circuit se poate realiza rezonanța prin variația pulsației , inductanței L sau capacității C. Spre exemplu, valoarea pulsației pentru care se produce rezonanța se notează cu și are expresia:

(4.38)

La rezonanță impedanța circuitului are valoarea minimă și este egală tocmai cu rezistența circuitului R. Corespunzător curentului în circuit va avea valoarea maximă, la fel și tensiunile la bornele bobinei și condensatorului UL=UC>U. Se spune că în acest caz în circuit apar supratensiuni (rezonanța de tensiune). De fapt pot apare supratensiuni numai dacă:

(4.39)

sau ținând cont de relația (4.38), dacă (4.40)

Termenul are dimensiunea unei impedanțe și se numește impedanță caracteristică.

Raportul ρ/R=q se numește factor de calitate și el reprezintă de fapt raportul dintre tensiunea de la bornele bobinei sau condensatorului și tensiunea aplicată circuitului.

În încheierea paragrafului în figura 4.13 se reprezintă variația curentului I, a tensiunilor UL și UC în funcție de pulsația ω.

2.7.2. Rezonanța paralel (rezonanța de curent)

Se consideră circuitul paralel (fig. 4.14) R, L, C alimentat cu o tensiune sinusoidală. Prima teoremă a lui Kirchhoff ne permite să scriem relația:

sau

Sau sub altă formă:

(4.41)

La rezonanță , de unde rezultă , adică aceeași condiție ca și la rezonanță serie.

În aceste condiții curentul prin circuit are valoarea I0=U/R. Diagrama fazorială a circuitului rezonant se prezintă în (fig. 4.14 b). Când laturile verticale ale dreptunghiului (fig. 4.14 b) sunt mai mari decât laturile orizontale: ,

Adică în elementele reactive ale circuitului apar supracurenți, din acest motiv rezonanța paralel se numește rezonanța curenților.

Supracurenții apar în circuitele în care există inegalitatea:

(4.42)

Ca și la rezonanța serie, se pot induce și aici noțiunea de admitanță caracteristică:

(4.43)

și factor de calitate: q=y·R (4.44)

Admitanța caracteristică este egală cu raportul dintre curentul din ramura inductivă sau capacitivă și tensiunea aplicată la borne, iar factorul de calitate reprezintă raportul dintre curentul din ramura inductivă sau capacitivă și curentul absorbit de la rețea la rezonanță.

În închiderea paragrafului în figura 4.15 se reprezintă variația curenților I, IL și IC cu pulsația ω.

BIBLIOGRAFIE

Șora, Constantin, Bazele electrotehnicii, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1982

Răduleț, Remus, Bazele electrotehnicii. Probleme, vol.1, 2, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1982

Simion, Emil, Electrotehnică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1978

Buta, Adrian, Pană, Adrian, Milea, Liviu, Calitatea energiei electrice, Editura AGIR, București, 2001

Capitolul 2

Metode și sisteme de măsurare ale mărimilor

caracteristice din instalațiile electrice

2.1. Noțiuni generale

Clasificarea aparatelor destinate măsurării mărimilor electrice se poate face după următoarele cerințe:

în funcție de mărimile măsurate;

în funcție de natura curentului;

în funcție de precizie;

în concordanță cu principiul de funcționare, în funcție de sistemul utilizat etc.

În funcție de mărimile măsurate avem: ampermetre, voltmetre, wattmetre, varmetre, ohmmetre, etc.

În funcție de natura curentului, aparatele electrice se împart în:

aparate de curent continuu, care pot fi utilizate numai în circuitele de curent continuu;

aparate de curent alternativ, care pot fi utilizate numai în curent alternativ;

aparate de curent continuu si alternativ, care pot fi folosite și în circuitele de curent continuu și în cele de curent alternativ.

În funcție de precizie, instrumentele pot avea următoarele clase de precizie: 0,001; 0,002; 0,005; 0,01; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5

Prin clasa de precizie înțelegem eroarea relativă admisibilă tole- rată, exprimată în procente, din valoarea maximă a mărimii măsurată de instrumentul de măsură. Notând cu c, clasa de precizie, avem relația:

unde reprezintă eroarea absolută tolerată, probabilă a aparatului care apare în condiții normale de măsurare (adică aparatul se află așezat corespunzător în conformitate cu instrucțiunile de folosință, într-un mediu cu temperatura normală și nu se află sub influența câmpului magnetic exterior, exceptând cel al pământului ).

reprezintă valoarea nominală a mărimii măsurată de aparat, care reprezintă limita maximă de măsurare a aparatului.

În conformitate cu principiul de funcționare, instrumentele de măsurat se separă în următoarele clase:

aparate cu magnet permanent și bobină mobilă (magneto-electrice);

aparate electromagnetice (cu fier mobil);

aparate cu termocuplu;

aparate electrodinamice;

aparate cu redresori;

aparate de inducție;

aparate termice;

aparate electrostatice;

aparate de rezonanță (cu vibrații), etc..

Instrumentele de măsurat au inscripționat pe cadranele lor simbolurile și marcajele corespunzătoare atât modului de construcție, cât și tipului de curent în care se întrebuințează, felului de așezare pe masa de lucru, clasa de precizie din care fac parte,etc.

În funcție de felul de întrebuințare aparatele electrice de măsură se clasifică în: aparate fixe, care sunt montate pe locul de funcționare, de exemplu pe tablourile electrice și aparate mobile, care pot fi mutate dintr-un loc în altul.

Cele mai utilizate aparate analogice de măsură sunt:

aparatele magnetoelectrice;

aparatele electromagnetice;

aparatele electrodinamice;

aparatele de inducție; aparate termice;

aparatele termoelectrice, etc..

Aparatele magnetoelectrice se folosesc numai pentru măsurarea mărimilor de curent continuu, cum ar fi: tensiune, intensitatea de curentului electric; rezistența electrică, etc.. Dacă acestea au în componență dispozitive de redresare pot fi utilizate și în curent alternativ.

Aparatele magnetoelectrice au următoarele calități: – au o scară uniformă, ceea ce înlesnește citirea și mărește precizia citirii; – sunt foarte sensibile, putând măsura valori extrem de mici ale mărimilor respective;

– sunt practic insensibile față de câmpurile magnetice exterioare; – au un consum redus de energie.

Ca un neajuns de seamă al acestor aparate, se poate evidenția, sensibilitatea deosebită la suprasarcini.

Aparatele electromagnetice se pot folosi pentru măsurarea tensi- unilor electrice, a intensităților curenților electrici, a impedanțelor, a fac- torului de putere, etc.. Ele au o serie de calități: sunt simple și robuste; sunt rezistente la suprasarcini; pot fi folosite în curent continuu și în curent alternativ; pot fi construite pentru curenți mari. Au însă și o serie de neajunsurile: precizie redusă; scala neuniformă; pot fi influențate de câmpurile magnetice exterioare. Fiind robuste și relativ ieftine, aparatele electromagnetice sunt aparatele de măsură cele mai răspândite, în special în curent alternativ și cu precădere ca aparate de tablou.

Aparate electrodinamice pot fi utilizate atât in c.c. cât și c.a. și se pot folosi pentru măsurarea tensiunilor electrice, a intensităților curenților electrici, a puterilor electrice, a factorului de putere, etc.. Principiul de funcționare al aparatelor de tip electrodinamic se bazează pe interacțiu- nea conductoarelor parcurse de curenți, adică pe apariția forțelor electrodinamice. Sunt sensibile la suprasarcină, întrucât curentul ce trece prin bobina mobilă trece și prin arcurile spirale (care se pot încălzi la suprasarcină până la limite periculoase).

2.2. Măsurarea mărimilor electrice

22.1. Măsurarea intensității curenților

Măsurarea intensității curentului se face cu ajutorul unui ampermetru intercalat în serie cu receptorul. La intercalarea aparatului în circuit, rezistența totală se mărește cu ra – rezistența interioară a aparatului.

Intensitatea curentului inițial, este dată de relația:

unde r reprezintă rezistența interioară.

După intercalarea ampermetrului intensitatea curentului scade la valoarea:

Diferența reprezintă eroarea absolută datorată intercalării aparatului, eroare care este cu atât mai mică cu cât Ra are o valoare mai mică. Pentru a măsura intensități de curenți mai mari decât valoarea nominală i pe care o poate măsura ampermetrul, de exemplu: se leagă în paralel cu aparatul un rezistor Rs, numit șunt (fig.2.1), Numărul n, indică de câte ori se lărgește domeniul de măsurare al ampermetrului.

Valoarea rezistenței șuntului se determină cu expresia:

În curent alternativ, pentru măsurarea curenților de intensități mari sau pentru măsurarea curenților din circuitele de înaltă tensiune se folosesc transformatoarele de intensitate.

2.2.2. Măsurarea tensiunilor.

Pentru măsurarea unei tensiuni sau a unei căderi de tensiune, se utilizează un voltmetru ce se leagă în paralel față de receptorul căruia i se măsoară tensiunea. Considerând rezistența interioară a voltmetrului , rezistența echivalentă este:

Adică R’<R și deci în circuit intensitatea curentului se modifică de la valoarea I dată de relația:

la valoarea:

Voltmetrul măsoară deci, căderea de tensiune și nu .

Diferența reprezintă eroarea absolută, care este egală cu:

Se observă că ΔU tinde către zero atunci când R' este apropiat de R, adică atunci când Rv tinde către infinit. În concluzie, pentru ca un voltmetru să măsoare cât mai exact valoarea tensiunii, adică pentru ca eroarea relativă datorată intercalării aparatului în circuit să fie cât mai mică, trebuie ca rezistența interioară a aparatului să fie cât mai mare.

Pentru a lărgi domeniul de măsurare la un voltmetru, adică dacă un voltmetru poate măsura o tensiune nominală și dorim să măsoare o tensiune (n – un număr care reprezintă de câte ori se mărește domeniul de măsură), atunci în serie cu voltmetrul trebuie să se pună un rezistor a cărui rezistență RA o vom numi rezistență adițională (fig.4.2.).

Din relația:

rezultă:

Pentru măsurarea tensiunilor alternative mari, se folosesc transformatoare de tensiune.

În practică se întâlnesc foarte frecvent aparate universale, care măsoară curenți, tensiuni și rezistențe, numite avometre sau voltampermetre.

4.2.3. Măsurarea rezistențelor

Există mai multe metode pentru măsurarea rezistențelor și anume:

• metode indirecte (cu ampermetru și voltmetru);

• metode directe (cu ohmmetrul sau cu circuite în punte);

4.2.3.1 Metoda ampermetrului și voltmetrului

Această metodă constă în măsurarea intensității curentului conti- nuu ce trece prin rezistorul de rezistență necunoscută RX și a tensiunii de la bornele rezistorului. Făcând raportul Ux/Ix se determină Rx, însă metoda este afectată de o eroare datorită intercalării în circuit a aparatelor de măsură. După modul de conectare a ampermetrului și voltmetrului în schema de măsură, se deosebesc două montaje:

– montajul aval (fig.4.3), în care voltmetrul măsoară exact tensiunea de la bornele rezistorului de rezistență Rx;

– montajul amonte (fig.4.4), în care ampermetrul măsoară exact curentul ce trece prin rezistor.

În cazul montajului aval, valoarea exactă a rezistenței Rx se va calcula cu ajutorul relației:

În cazul montajului amonte, valoarea exactă a rezistenței Rx se va calcula cu relația:

Notând R’x=U/I, eroarea relativă este dată de relațiile:

a) montajul aval

b) montajul amonte:

Se observă că în cazul montajului aval eroarea relativă este cu atât mai mică cu cât rezistența de măsurat este mai mică fața de rezistența interioară a voltmetrului, iar în cazul montajului amonte eroarea relativă este cu atât mai mică cu cât rezistența de măsurat este mai mare față de rezistența interioară a ampermetrului. În concluzie, montajul aval se utilizează la măsurarea rezistențelor mici, iar montajul amonte la măsurarea rezistențelor mari.

2.2.3.2 Măsurare rezistențelor cu ohmmetru

Ohmmetrele sunt aparate cu citirea directă și se pot realiza în mai multe variante, în funcție de tipul instrumentului utilizat și de schema de măsură adoptată. În fig.4.5. este prezentată schema de principiu de măsu- rare directă cu ohmmetrul cu miliampermetrul magnetoelectric, numit ohmmetru serie.

Ohmmetrul serie are o sursă de tensiune continuă (o baterie uscată de 1,5 ÷ 4,5V), conectată în interiorul aparatului, în serie cu un rezistor RV de rezistență variabilă. Rezistența RV se reglează astfel încât la închiderea întrerupătorului K, adică la scurtcircuitarea rezistenței necunoscute RX, acul indicator al instrumentului să arate indicație maximă. Cazul deviației maxime a acului indicator îi corespunde rezistenței RX=0, iar deviației zero îi va corespunde o rezistență RX=∞. Etalonarea se face în ohmi sau kiloohmi. Aceste ohmmetre au scara neuniformă. Pentru efectuarea unei măsurători se scurtcircuitează bornele A și B și se reglează RV până când acul indică deviație maximă, adică valoarea zero pe scara ohmmetrului. Se scoate apoi legătura de scurtcircuitare, se conectează rezistorul a cărui rezistență RX trebuie măsurată și se citește valoarea arătată de acul indicator pe scara ohmmetrului.

Aceste ohmmetre se utilizează pentru măsurători mai puțin precise, eroarea relativă fiind de 1 ÷ 2 %.

Deviația acului indicator este în funcție de mărimea tensiunii electromotoare a bateriei, care scade cu timpul. Funcționarea ca ohmmetre serie a aparatelor universale de măsură (avometre) se obține prin trecerea comutatorului pe poziție corespunzătoare de alegere a parametrului măsurat.

4.2.3.3. Punți pentru măsurarea rezistențelor

Cea mai răspândită metodă de zero pentru măsurarea rezistențelor utilizează puntea Wheatstone. Ea permite măsurarea cu precizie a rezistențelor cuprinse între 1 ohm și 106 ohmi. Schema electrică este redată în fig.4.6. Galvanometrul G intercalat pe diagonala CD este utilizat ca in- strument de zero. Principiul metodei constă în aflarea unei relații între cele patru rezistențe în așa fel încât galvanometrul să indice zero, adică VC=VD. Această relație se obține ținând cont că rezistoarele R1 și R3 sunt la aceeași diferență de potențial, de asemeni și rezistoarele R2 și R4 și că prin R2 circulă curentul I1, iar prin R4 va circula curentul I2. Se poate scrie deci:

R1 I1 = R3 I 2 și R2 I1 = R4 I 2

Împărțind relațiile rezultă:

sau

Pentru măsurarea unei rezistențe necunoscute Rx, se conectează această rezistență pe una din laturile punții și se reglează una din celelalte trei rezistențe până se ajunge la echilibrul punții (galvanometrul G va indica zero). În funcție de modul cum se realizează echilibrul punții putem avea punți manuale și punți automate.

Schema unei punți Wheatstone cu echilibrare manuală este dată în fig.4.7. Rezistențele R3 și R4 sunt variabile în trepte, astfel încât raportul lor este cunoscut și poate fi modificat decadic: 0.01; 0.1; 1; 10; 100; 1000 etc. Rezistența R2 este de asemenea variabilă, construită sub forma unei cutii de rezistențe în decade. Uneori însă, rezistența R2 se realizează ca un reostat bobinat, de lungime L, la care valoarea R2 depinde de deplasarea x a cursorului:

unde R0 este rezistența maximă a reostatului.

Măsurarea rezistenței Rx se face în felul următor: se leagă Rx, se alege raportul R3/R4 la o valoare depinzând de ordinul de mărime a rezistenței necunoscute și se închide întrerupătorul K, apoi K1. Se reglează R2 până când galvanometrul va indica zero. Inițial echilibrarea punții se realizează cu reostatul Rv pus la valoarea maximă și apoi pentru a mări sensibilitatea punții, Rv se micșorează până la scurtcircuitare. La echilibru, este valabilă:

Dacă se notează:

rezultă

4.2 Măsurarea puterii active și reactive în circuitele trifazate de curent alternativ.

4.2.1.Teorema generalizată (Blondel) a măsurării puterilor active și reactive prin metoda celor n și n – 1 wattmetre și varmetre.

Se consideră cazul general al unui receptor constituit din impedanțe liniare, bilaterale, formând o rețea cu ochiuri care comportă n noduri, alimentată printr-un circuit polifazat cu n conductoare (fig 4.1.a). Puterea aparentă complexă totală S este egală cu suma puterilor date de potențialele nodurilor V1, V2, … , Vn, cu curenții I1, I2, … , In:

Dacă se consideră un punct N de un potențial oarecare (fig.4.1.b) notând cu

U1N, U2N, … ,UnN, tensiunile auxiliare de fază, expresia puterii aparente complexe se poate scrie:

Deoarece puterea activă Peste partea reală a puterii aparente complexe rezultă:

(1)

Deoarece puterea reactivă Q este partea imaginară a puterii aparente complexe rezultă

(2)

Relații (1) și (2) se numesc expresiile cu n termeni ale puterii active, respectiv reactive, într-un circuit polifazat cu n conductoare.

Puterea activă P, respectiv puterea reactivă Q, totală, într-un circuit polifazat este egală cu suma a n puteri active, respectiv a n puteri reactive monofazate date de diferența de potențial (tensiunile auxiliare de fază) U1N, U2N, … , UnN, între cele n conductoare și un punct arbitrar ales, N, de potențial oarecare cu curenții de linie I1, I2, … In.

Puterea activă P, respectiv puterea reactivă Q într-un circuit polifazat cu n conductoare se poate măsura prin metoda celor n wattmetre, respectiv varmetre, montate ca în figura 4.2. și anume: bobinele de curent ale aparatelor se montează în serie pe fiecare fază, respectând polaritatea; circuitele de tensiune se conectează cu borna polarizată la același conductor la care se află și borna polarizată de curent, cealaltă extremitate fiind legată la punctul comun N.

Dacă P1, P2, … ,Pn, respectiv Q1, Q2, … , Qn, sunt indicațiile celor n wattmetre, respectiv varmetre, suma

reprezintă puterea totală, iar suma

reprezintă puterea reactivă totală. De remarcat că unele indicații pot fi în sens contrar gradații scării aparatelor (pentru wattmetre când defazajul

este>+/2, iar pentru varmetre când curentul Ik este defazat înaintea tensiunii UkN; pentru citirea indicațiilor se inversează legăturile la circuitul de tensiune, iar puterea se consideră cu semn minus.

Dacă se alege ca punct de referință una din faze rezultă Nk, tensiunile auxiliare devenind tensiunile de linie ale circuitului, (U1N = U1k, U2N = U2k, … , UkN = Ukk = 0, … , UnN = Unk). Relațiile (1) și (2) devin:

(4.3)

(4.4)

Relațiile (3) și (4) se numesc expresiile cu n – 1 termeni ale puteri active, respectiv reactive într-un circuit polifazat cu n conductoare. Deci puterea activă, respectiv reactivă, se va putea măsura și prin metoda celor n –1 wattmetre, respectiv varmetre conectate ca în figura.3, renunțându-se la aparatul de pe faza de referință deoarece Ukk = 0 (bobinele de curent în serie pe fazele 1, 2, …, k – 1, k + 1, … , n, iar circuitele de tensiune se alimentează cu diferențele de potențial între diversele conductoare și faza k de referință). Evident, există n variante ale metodei celor n –1 aparate, deoarece ca fază de referință se poate alege oricare conductor.

Metodele celor n și n – 1 aparate sunt valabile indiferent de gradul de nesimetrie al tensiunilor de alimentare a circuitului polifazat și de gradul de dezechilibru al curenților de linie.

6. Numărul n – 1 reprezintă numărul minim de aparate care poate fi folosit pentru măsurarea P și Q într-un circuit polifazat cu n conductoare. Numărul n reprezintă numărul maxim de aparate care are sens să fie utilizat.

7. În funcție de punctul N ales arbitrar, puterile monofazate P1, P2, … , Pn, respectiv Q1, Q2, … , Qn, pot să varieze; suma lor rămâne însă mereu constantă deoarece reprezintă puterea totală activă sau reactivă absorbită de receptor.

8. În cazul simetriei totale a circuitului, indicațiile celor n wattmetre sau varmetre, (presupuse identice), devin egale, astfel încât poate fi păstrat un singur aparat: pentru determinarea puterii totale se multiplică indicația acestuia cu n.

4.2.2. Măsurarea puterilor active într-un circuit trifazat fără conductor neutru.

Conform teoremei generalizate Blondel, puterea activă într-un circuit trifazat fără conductor neutru, pentru n = 3 conductoare, se poate măsura prin metoda celor n = 3 sau n – 1 = 2 wattmetre.

2.1. Metoda celor trei wattmetre.

Se fac următoarele ipoteze inițiale:

tensiunile de alimentare formează un sistem nesimetric (U12 U23 U31) deci, în planul topografic al potențialelor, triunghiul tensiunilor de linie rezultă oarecare;

curenții de linie formează un sistem dezechilibrat (I1 I2 I3);

nu se precizează natura receptorului.

Expresia cu n = 3 termeni a teoremei generalizate Blondel pentru măsurarea puterii active este:

(5)

În figura 4 se prezintă schema de montaj a wattmetrelor. Punctul N poate ocupa în planul topografic al potențialelor următoarele poziții:

în exteriorul triunghiului tensiunilor de linie, dacă N primește artificial din exterior un anumit potențial;

în interiorul triunghiului, într-o poziție oarecare în funcție de rezistențele circuitelor de tensiune ale wattmetrelor, dacă RWU1RWU2RWU3, dacă N este lăsat liber;

în centrul de greutate al triunghiului, NG, dacă circuitele de tensiune ale wattmetrelor au rezistențe egale (RWU1=RWU2=RWU3)

Valoarea maximă a tensiunilor U1N, U2N, U3N care se aplică circuitelor de tensiune ale celor trei wattmetre poate fi tensiunea de linie a circuitului trifazat (se vor alege deci corespunzător domeniile de măsurare ale aparatelor).

Caz particular al metodei celor trei wattmetre.

Metoda unui singur wattmetru.

Se fac următoarele ipoteze inițiale:

tensiunile de alimentare formează un sistem simetric U12=U23=U31=U deci în planul topografic al potențialelor, triunghiul tensiunilor de linie este echilateral;

curenții de linie formează un sistem echilibrat (I1=I2=I3=I);

deoarece punctul comun al circuitelor de tensiune, aplicând metoda celor trei wattmetre, rezultă în centrul de greutate al triunghiului, tensiunile auxiliare de fază U1N, U2N, U3N, se confundă cu tensiunile stelate ale distribuției trifazate simetrice E1, E2, E3. Tensiunile stelate formează un sistem simetric E1=E2=E3=E;

defazajele dintre tensiunile stelate de fază și curenții de linie sunt egale:

În aceste condiții puterile indicate de cele trei wattmetre sunt egale și relația (5) devine

(6)

Deci puterea activă trifazată poate fi măsurată cu un singur wattmetru cu condiția de a se observa ansamblul celor trei rezistențe egale, în scopul creări unui punct neutru artificial N, situat în centrul de greutate al triunghiului.Rezulta

montajul unui singur wattmetru (fig.7) în care RWU este rezistența circuitului său de tensiune, iar Ra, R = Ra + RWU și R = Ra + RWU sunt trei rezistențe adiționale pentru crearea punctului neutru N. Dacă P1 este indicația acestui wattmetru, puterea activă trifazată va fi:

Metoda unui singur wattmetru nu se aplică la măsurarea puterii microreceptoarelor (prezența aparatului pe una din faze produce o nesimetrie a sistemului de tensiuni aplicat receptorului).

Dacă punctul neutru al receptorului este accesibil (sarcină simetrică montată în stea) wattmetrul poate fi conectat cu borna nepolarizată la acest punct neutru, rezistențele auxiliare nemaifiind necesare (fig.4.8)

Măsurarea puterii cu wattmetrul montat indirect, prin intermediul transformatoarelor de măsură, se realizează conform schemei din figura .9.

Wattmetrele monofazate montate permanent în circuite trifazate echilibrate după schemele din figurile.8 și .9 au de obicei scara gradată astfel încât să indice direct puterea activă trifazată.

2.2. Metoda celor două wattmetre. Wattmetrul electrodinamic trifazat.

Se fac următoarele ipoteze inițiale:

tensiunile de alimentare formează un sistem nesimetric U12U23U31 (triunghiul tensiunilor de linie este oarecare);

curenții de linie formează un sistem dezechilibrat I1I2I3.

Presupunând că se adoptă faza 2 ca referință, deci N 2, tensiunile

auxiliare devin:

U1N = U12, U2N = U22 = 0, U3N = U32.

Teorema lui Blondel (expresia cu n – 1 – 2 termeni) devine:

Corespunzător rezultă schema de montare a celor două wattmetre (fig.4.10) și diagrama fazorială a circuitului (fig.4.11). În cazul particular al unui circuit cu tensiuni simetrice și curenți echilibrați, sunt îndeplinite condițiile:

U12=U23=U31=U; I1=I2=I3=

Din diagrama fazorială din figura 4.12 rezultă că defazajul dinte U12 și I1este de 30+, iar defazajul dintre U32 și I3 este de 30–, deci puterile măsurate de cele două wattmetre rezultă:

Pentru un receptor capacitiv, în expresiile, puterilor P1 și P2 se modifică semnul defazajului .

Pe baza indicațiilor celor două wattmetre se poate obține defazajul ,cu relația:

Pentru un receptor pur rezistiv, indicațiile celor două wattmetre sunt egale (P1 = P2) când = 0. Pentru un receptor pur reactiv ( = 90) puterile măsurate de cele două wattmetre sunt egale și de semn contrar ( –P1 = P2), deci puterea activă totală (trifazată)este nulă. Pentru = 60, P1 = 0, deci P = P2.

Din indicațiile celor două wattmetre se poate deduce și puterea reactivă trifazată:

În scopul măsurări puterii active trifazate cu un singur aparat s-au construitwattmetre trifazate denumite și wattmetre duble. Wattmetrele duble de tip electrodinamic sunt compuse din două wattmetre monofazate, având bobinele de tensiune cuplate pe același ax (asupra cărora acționează astfel suma cuplurilor date de cele două wattmetre), care sunt conectate în circuit trifazat după schema din figura 4.13.

Măsurarea puteri trifazate cu ajutorul wattmetrelor duble putându-se

aplică atât în cazul circuitelor cu tensiuni nesimetrice și curenți echilibrați, cât și în cazul circuitelor cu tensiuni nesimetrice și curenți dezechilibrați, are o mare răspândită în practică (fig.13). Scara wattmetrelor duble este adeseori gradată direct în wați, puterea maximă marcată pe cadran fiind egală P = 1,73UnIn (Un și In sunt valorile nominale pentru care este construit wattmetrul). În cazul wattmetrelor duble de la laborator scara este extinsă până la o putere 2UnIn corespunzătoare puteri active pe care o poate măsura wattmetrul dublu când este utilizat ca wattmetru monofazat, prin conectarea în serie a bobinelor de curent și în paralel a bobinelor de tensiune.

4.2.3. Măsurarea puterii active într-un circuit trifazat cu conductor neutru

Conform teoremei lui Blondel pentru măsurarea puterii active se pot adopta metodele celor patru și trei wattmetre (la care se alege ca fază de referință: conductorul neutru). Expresia cu n = 4 termeni a teoremei lui Blondel rezultă

Rezultă deci modul de conectare a celor patru wattmetre (fig.14) și diagrama fazorială din figura 15. Expresia cu n – 1 termeni a teoremei Blondel rezultă:

Fig.14. Metoda celor patru wattmetre

Fig. 15. Diagrama fazorială a schemei din figura 4.14

Rezultă deci modul de conectare a celor trei wattmetre (fig.4.16) și diagramele fazoriale corespund prezenței respectiv absenței impedanței pe conductorul neutru (fig.17 și fig 18).

Receptorul, în cazul acestor circuite, este de regulă montat în stea și nu conține impedanță, astfel încât cele trei wattmetre din fig.16 măsoară fiecare puterea consumată pe faza respectivă. Puterea totală a circuitului este dată de suma indicațiilor celor trei wattmetre:

P = P1 + P2 + P3, (7)

Indicațiile wattmetrelor fiind totdeauna pozitive, oricare ar fi dezechilibrul curenților, nesimetria tensiunilor și caracterul sarcinii.

Fig. 16. Metoda celor trei wattmetre

Fig.17. Diagramă fazorială a schemei din figura16 în

cazul unei impedanțe pe conductorul neutru

În scopul măsurări directe a puterii active, trifazate dată de expresia (7) se folosesc wattmetre trifazate cu câte trei sisteme active având bobinele de tensiune fixate pe un ax comun care, fiind acționat de toate cele trei cupluri active, produce o deviație proporțională cu puterea totală consumată în circuit (fig. 19).

În cazul particular al sistemului simetric de tensiuni și sistemului echilibrat de curenții, se poate utiliza metoda unui singur wattmetru (fig20).

Fig.18. Diagramă fazorială a schemei din figura 16 în

cazul absenței impedanței pe conductorul neutru

Fig.19. Wattmetru trifazat cu trei sisteme active (montaj semiindirect, cu transformatoare de curent și rezistențe adiționale – distribuțiile trifazate cu conductor neutru se utilizează practic numai pentru: 220/127V, 380/220V, 500/380V pentru care nu se folosesc transformatoare de tensiune)

Fig.20. Metoda unui singur wattmetru pentru măsurarea

temperaturii circuitului trifazat cu conductor neutru

4.2.4. Măsurarea puterii reactive în circuite trifazate fără conductor neutru.

A. Metoda celor trei wattmetre în montaj special,alimentate cu tensiuni auxiliare de fază.

Ipotezele inițiale sunt:

tensiunile de linie care alimentează circuitul trifazat formează un sistem simetric, U12=U23=U31=U (deci triunghiul reprezentativ al fazorilor rezultă echilateral) (fig.4.21);

curenții de linie formează un sistem dezechilbirat: I1I2I3;

nu se fac precizări asupra naturii și conexiunilor receptorului.

Teorema Blondel (expresia cu n = 3 termeni) relativ la măsurarea puterii reactive este:

Deci:

Fig.21. Diagrama fazorială pentru:

U12 = U23 = U31 = U; (b) I1I2I3

Fig 22. Metoda celor trei wattmetre pentru măsurarea puterilor

active pentru circuite trifazate fără conductor neutru

Se vor determina puterile active P1, P2, P3 echivalente puterilor reactive Q1, Q2, Q3. Deci, din diagrama fazorială urmează să se găsească tensiunile auxiliare care să fie defazate cu /2 în urmă față de tensiunile de bază . Dar U1NE1, U2NE2, U3NE3, punctul N fiind ales chiar în centrul de greutate al triunghiului echilateral. Tensiunile stelate de fază, E1, E2 și E3formează un sistem simetric, deci E1 = E2 = E3 = E. Din diagrama fazorială se determină tensiunea defazată cu /2 în urmă față de ; aceasta este . Deci puterea reactivă monofazată Q1este:

în care

,

deci:

.

Analog se determină tensiunile U31 și U12 fiind defazate cu /2 în urmă față de U2NE2 și U3NE3;

rapoartele

având aceeași valoare rezultă:

Puterea reactivă trifazată va fi dată de relația:

Deci, bobinele de curent ale wattmetrelor se montează în serie pe cele trei faze ale circuitului; circuitele de tensiune ale wattmetrelor se alimentează cu tensiunile între fazele următoare celei pe care se montează bobina de curent. (fig.4.22).

4.1.1. Caz particular al metodei celor trei wattmetre. Metoda unui singur wattmetru pentru măsurarea puteri reactive.

Ipotezele inițiale sunt:

tensiunile de linie formează un sistem simetric U12 = U23 = U31 = U;

curenți de linie formează un sistem echilibrat I1 = I2 = I3 = I.

Fig.23. Diagrama fazorială pentru:

U12 = U23 = U31 = U; (b) I1 = I2 = I3 = I

Fig24. Metoda unui singur wattmetru

pentru măsurarea puterii reactive

Circuitul trifazat este deci cu simetrie totală (de tensiune și curent), astfel încât din diagrama fazorială din figura 4.23 se observă că puterile P1, P2, P3 au expresiile:

deci puterea reactivă trifazată este:

Deoarece puterile P1, P2, P3 sunt egale, puterea reactivă trifazată se poate măsura cu ajutorul unui singur wattmetru, de exemplu primul, montat ca în figura 4.24 cu bobina de curent pe faza 1, iar circuitul de tensiune conectat între fazele 2 și 3. Puterea Q este egală cu puterea activă indicată de wattmetru P1 multiplicată cu .

B. Metoda celor două wattmetre în montaj special, alimentate cu tensiuni auxiliare de fază.

Ipotezele inițiale sunt:

tensiunile de linie formează un sistem simetric U12 = U23 = U31 = U;

curenții de linie formează un sistem dezechilibrat I1I2I3.

Metoda se bazează pe expresia cu doi termeni a puterii reactive dedusă

din teorema lui Blondel:

sau:

Din diagrama fazorială a circuitului reprezentat în figura 4.25, rezultă că tensiunea defazată cu /2 în urmă față de U12este , iar tensiunea defazată cu /2 în urmă față de U32 este . Deoarece tensiunile stelate de fază formează un sistem simetric (E1 = E2 = E3 = E), rezultă că raportul

dintre tensiunea de bază U și tensiunea auxiliară de fază E este același pentru ambele wattmetre, deci: K1 = K2 = K = U/E = . Puterea reactivă este:

măsurându-se cu două wattmetre montate ca în figura 26. În această schemă tensiunile E1 și E2 se obțin prin crearea punctului neutru artificial N cu ajutorul rezistenței R de valoare egală cu rezistențele circuitelor de tensiune ale celor două wattmetre.

Fig. 25. Determinarea tensiunilor auxiliare de fază pentru măsurarea

puteri reactive trifazate prin metoda celor două wattmetre

Fig. 26. Metoda celor două wattmetre pentru

măsurarea puteri reactive trifazate

Fig.27. Diagrama fazorială pentru:

(a) U12 = U23 = U31 = U; (b) I1 = I2 = I3 = I

În cazul particular al sistemului echilibrat de curenți (I1 = I2 = I3 = I) pe baza diagramei fazoriale din figura 4.27 se deduc expresiile puterilor active măsurate de cele două wattmetre:

(8)

Din relațiile (8) se constată că din indicațiile P(1 și P(2 ale wattmetrelor se pot determina:

puterea reactivă:

puterea activă

defazajul receptorului

4.2.5. Măsurarea puterii reactive în circuite trifazate cu conductor neutru

În circuitele trifazate cu conductor neutru, alimentat cu tensiuni simetrice se folosește schema cu n –1 = 3 wattmetre, montate în conformitate cu principiul general. Expresia cu trei termeni a teoremei generalizate Blondel este (adoptat din referință

Fig. 28. Diagrama fazorială pentru un

circuit trifazat cu conductor neutru

Fig.29. Metoda celor wattmetre pentru măsurarea puterii

reactive într-un circuit trifazat cu conductor neutru

Din diagrama fazorială (fig. 28) se deduc tensiunile cu care se alimentează wattmetrele (U23, U31, U12) rezultând schema din figura 29. În cazul particular al tensiunilor simetrice și curenților echilibrați, puterea reactivă se poate măsura cu un singur wattmetru (fig.30). Pe baza schemelor prezentate se construiesc varmetrele trifazate pentru circuite cu tensiuni simetrice.

Fig. 30. Metoda unui singur wattmetru pentru măsurarea

puteri reactive într-un circuit trifazat cu conductor neutru