2Ecuat ,ii s ,i sisteme de ecuat ,ii diferent ,iale de ordinul [604266]

Contents
1Introducere 2
2Ecuat ,ii s ,i sisteme de ecuat ,ii diferent ,iale de ordinul
I rezolvabile efectiv 4
2.1 Ecuat ,ii cu variabile separabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Ecuat ,ii liniare de ordinul I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Ecuat ,ii cu diferent ,ial a total a exact a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Ecuat ,ii diferent ,iale de tip Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 Ecuat ,ii diferent ,iale de tip Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.6 Sisteme de dou a ecuat ,ii diferent ,iale liniare rezolvabile efectiv . . . . . . . . 15
2.7 Sisteme de dou a ecuat ,ii diferent ,iale neliniare rezolvabile efectiv . . . . . . . 21
2.8 Portretul fazic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9 Stabilitatea solut ,iilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9.1 Stabilitatea sistemelor liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3Modele matematice guvernate de ecuat ,ii diferent ,iale
de ordinul I 26
3.1 Modele matematice de cres ,tere a populat ,iei . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1 Un model demograc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.2 Modelul prad a-r apitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Modele matematice de datare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1 Modelul de datare prin metoda C14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Exercit ,ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1

Chapter 1
Introducere
Ecuat ,iile diferent ,iale au ap arut s ,i s-au dezvoltat ca disciplin a de sine st at atoare din
dorint ,a reasc a de a prezice cu o c^ at mai mare acuratet ,e evolut ,ia ^ n viitor a unui sistem
zic, sociologic, chimic, biologic, etc. Este us ,or de realizat c a aceast a prezicere va  cu
at^ at mai apropiat a de realitate cu c^ at vom avea date mai exacte despre starea prezent a a
sistemului ^ n chestiune s ,i, totodat a, vom cunoas ,te legea dup a care acesta ^ s ,i modic a viteza
instantanee de evolut ,ie ^ n funct ,ie de starea instantanee. Modelarea matematic a este aceea
care intervine ^ n acest punct s ,i pune la ^ ndem^ ana cercet atorului descrierea ^ n limbaj matem-
atic a acestor legi care, de foarte multe ori, cap at a forma unor ecuat ,ii sau sisteme de ecuat ,ii
diferent ,iale.
Studiul ecuatiilor diferent iale formeaz~ a obiectul unui capitol foarte important al matem-
aticii, at^ at datorit~ a rezultatelor teoretice deosebit de interesante c^ at  si pentru c~ a ele au
nenum~ arate aplicat ii ^ n cele mai diverse domenii. Ceea ce deosebe ste o ecuat ie diferent ial~ a
de o ecuat ie algebric~ a este faptul c~ a necunoscuta nu este un num~ ar ci o funct ie care satisface
o anumi~ a egalitate  si care trebuie determinat a.
Denumirea de \equatio dierentialis" a fost folosit a pentru prima dat a de c atre Gottfried
Wilhelm von Leibniz care, ^ n anul 1676, se referea prin aceasta la determinarea unei funct ,ii
care satisface o relat ,ie dat a ^ mpreun a cu una sau mai multe dintre derivatele sale. Acest
concept a ap arut ca o necesitate de a cuprinde ^ ntr-un cadru abstract c^ at mai general o
multitudine de probleme de analiz a s ,i de modelare matematic a puse (s ,i unele dintre ele chiar
rezolvate) ^ ncep^ and cu mijlocul secolului al XVII-lea. O prim a problem a ce apart ,ine dome-
niului ecuat ,iilor diferent ,iale este as ,a numita problem a invers a a tangentelor care const a ^ n
determinarea unei curbe plane cunosc^ andu-se propriet at ,ile tangentei la curb a ^ n orice punct
al s au. Cel care a ^ ncercat pentru prima dat a s a reduc a acest tip de probleme la cuadra-
turi. Multe fenomene sunt descrise cu ajutorul ecuat iilor diferent iale obt inute prin metoda
2

cunoscut~ a sub numele de \metoda diferent ialelor". Aceasta const~ a ^ n ^ nlocuirea unor relat ii
ce apar ^ ntre cre sterile innit de mici ale unor cantit~ at i care variaz~ a ^ n timp prin relat ii ^ ntre
diferent ialele lor.
Lucrarea are un pronunt at caracter metodic. Materialul prezentat este organizat in 2
capitole care acoper a cuno stint ele aferente temei \Modele matematice guvernate de ecuat ,ii
diferentiale de ordinul I". Considerat ii generale asupra ecuat iilor diferent iale de ordinul I,
principalele tipuri de ecuat ,ii, precum s ,i revolvarea lor sunt prezentate ^ n capitolui 1. De
asemenea, leg atura dintre ecuat ,iile diferent ,iale  si sistemele de ecuat ii de ordinul I este anal-
izat a tot ^ n acest capitol. ^In capitolul 2, se prezint a principalele modele matematice de
datare s ,i cres ,tere a populat ,iei, precum s ,i rezolvarea unor modele folosind Maple.
Scopul lucr arii este prezentarea clar a  si precis a a not iunilor  si rezultatelor privind re-
zolvarea analitic a a unor tipuri importante de ecuat ii diferentiale, descrierea  si exempli-
carea principalelor metode de rezolvare a problemelor, precum  si folosirea acestora pentru
modelarea matematic a a unor probleme practice.
3

Chapter 2
Ecuat ,ii s ,i sisteme de ecuat ,ii diferent ,iale de ordinul I
rezolvabile efectiv
Ecuat ,iile diferent ,iale de ordinul I au forma:
f(x;y;y0) = 0; (2.1)
dar cel mai adesea ele se g asesc sub forma explicit a:
f(x;y) =y0: (2.2)
Solut ,ia lor generala depinz^ and de o singura constanta. Exist a mai multe tipuri de ecuat ,ii
diferent ,iale de ordinul I, iar din punct de vedere al rezolv arii analitice, acestea se clasic a ^ n:
ˆEcuat ,ii fundamentale: dintre care amintim: ecuat ,ii cu variabile separabile, ecuat ,ii
liniare de ordinul I, ecuat ,ii cu diferent ,ial a total a exact a.
ˆEcuat ,ii reductibile la ecuat ,ii fundamentale: cum ar :ecuat ,ii de tip Bernoulli,ecuat ,ii
de tip Riccati, ecuat ,ii de tip Lagrange
2.1 Ecuat ,ii cu variabile separabile
Forma general a a ecuat ,iei este:
y0=f(x)g(y); (2.3)
undef,gsunt funct ,ii reale date,continue pe domeniul lor de denit ,ie.
Observat ,ii:
1).Dac ag(y) = 0, solut ,iile ecuat ,iei sunt solut ,ii singulare.
4

2).Dac ag(y)6= 0, rezolvarea ecuat ,iei se face prin metoda separ arii variabilelor, ind ur-
mat a de integrare.
Etapede rezolv arii:
1.Se rezolv a ecuat ,iag(y) = 0, unde solut ,iiley(x) =y1;y(x) =y2;:::;y (x) =ynsunt solut ,ii
singulare.
Domeniul lor de denit ,ie ind domeniul de denit ,ie al funct ,ieif.
2.Se scrie ecuat ,ia sub formay0
g(y)=f(x), atunci c^ and g(y)6= 0 s ,i se obt ,ine integrala general a
a ecuat ,iei:
Zdy
g(y)=Z
f(x)dx+c; (2.4)
mai exact forma inplicit a a solut ,iei.
3.Prin rezolvarea integralei (dac a este posibil) se calculeaz a ys,i se obt ,ine forma explicit a a
solut ,iei.
Aplic^ and condit ,ia init ,iala,y(x0) =y0obt ,inem solut ,ia particular a a ecuat ,iei, care se
deduce din integrala:Zy
y0ds
g(s)=Zx
x0f(t)dt
O form a particular a a ecuat ,iei cu variabile separabile este y0(x) =f(x).
Solut ,ia general a a ecuat ,iei ind:
y(x) =Z
f(x)dx:
Exemple
S a se g aseasc a solut ,ia general a a urm atoarelor ecuat ,ii diferent ,iale.
1. (1 +x2)yy0+x(1 +y2) = 0
care ^ ndeplines ,te condit ,ia init ,ial ay(1) = 2
Rezolvare: Ecuat ,ia se pune sub forma echivalent a:
y0y
1 +y2=x
1 +x2()
5

()y
1 +y2dy=x
1 +x2dx:
Integr^ and, obt ,inem:
Zy
1 +y2dy=Zx
1 +x2dx
deci
1
2ln(1 +y2) =1
2ln(1 +x2) +1
2lnC;C>0:
Din condit ,ia init ,ial a
y(1) = 2;
obt ,inem
C= 10
s,i mai departe
y=r
9x2
1 +x2:
Evident, solut ,ia c autat a este:
y=r
9x2
1 +x2; x2(3;3):
2.xy0=y; x> 0;y> 0:
Rezolvare:
Se observ a c a ecuat ,ia diferent ,ial a dat a se poate scrie sub forma echivalent a:
dy
y=dx
x
Integr^ and ^ n ambii membri, se obt ,ine:
lny= lnx+ lnC;C2R
+
6

sau
y=Cx;C2R
+
Observ am c a, des ,i calculele sunt f acute ^ n domeniul D= (0;1)(0;1);funct ,ia
y=Cx;C2Rveric a ecuat ,ia diferent ,ial a pe R2
As,adar, solut ,ia general a a ecuat ,iei diferent ,iale date, este:
y=Cx;C2R:
2.2 Ecuat ,ii liniare de ordinul I
Forma general a a ecuat ,iei liniare este:
y0=P(x)y+Q(x); (2.5)
undeP;Q :I!R,IRinterval,sunt funct ,ii date continue pe domeniul de denit ,ie.Aceast a
ecuat ,ie rezolv^ andu-se prin metoda variet ,iei constantelor.
Metoda de rezolvare:
1.Se rezolv a ecuat ,ia omogen a y0=P(x)ycare este o ecuat ,ie cu variabile separabile. Astfel
se obt ,ine solut ,ia nenul a
y0=CeRx
0P(x)dx=Cf(x): (2.6)
2.Pentru a rezolva ecuat ,ia liniar a neomogen a s ,i pentru a obt ,ine o solut ,ie particular a a aces-
teia, se consider a constanta Cca ind ^ n funct ,ie dex, adic a se scrie:
yp(x) =C(x)f(x); (2.7)
3.Se calculeaz a y0
p(x) =C0(x)f(x) +C(x)f0(x) s,i se introduce ^ n ecuat ,ia (5). Termenii care
cont ,inC(x) se reduc s ,i se obt ,ine o ecuat ,ie de forma:
C0(x) =g(x): (2.8)
7

4.Se rezolv a ecuat ,iaC0(x) =g(x) cu solut ,ia
C(x) =Z
g(x) +K; (2.9)
unde K este o constant a arbitrar a.
5.Se introduce expresia lui C(x) ^ n (6) s ,i se obt ,ine forma explicit a a ecuat ,iei liniare neomo-
gene.
6. Solut ,ia ecuat ,iei liniare (5) se obt ,ine prin adunare celor dou a solut ,ii ale ecuat ,iilor liniare
omogene, respectiv neomogene.
Observat ,ie:
Forma explicit a a ecuat ,iei liniare se poate obt ,ine s ,i din urm atoarea relat ,ie:
y(x) =
K+Zx
x0Q(s)es
x0R
P(x)dxds
eRx
x0P(t)dt(2.10)
Aplicat ,ii
S a se g aseasc a solut ,ia general a a urm atoarelor ecuat ,ii liniare diferent ,iale.
1.y0+ysinx=sinxecosx
Solut ,ie:
Folosim formula (6) cu P(x) = sinxs,iQ(x) =sinxcosx:
^Inlocuind ^ n (6), obt ,inem:
y=eR
sinxdxC ()y=Cecosx
T,in^ and cont de metoda variat ,iei constantei, consider am constanta C^ n funct ,ie dex)
y(x) =C(x)ecosx:Derivam expresia lui y(x):
y0(x) =C0(x)ecosx+C(x)ecosx(sinx)
S,i ^ nlocuind in formula (5), obt ,inem:
C0(x)ecosxC(x)ecosxsinx+C(x)ecosxsinx=sincecosx)
)C0(x)ecosx=sincecosx)
)C0(x) =sinx)
8

)C(x) =Z
sinxdx)
)C(x) = cosx+K
As,adar, solut ,ia ecuat ,iei liniare este
y(x) = (cosx+K)ecosx
2.8
<
:xy0+yex= 0()
y(a) =b
Rezolvare:
Rezolv am ecuat ,ia omogen a y0
O=y
xprin metoda separ arii variabilelor. Deci,
y0
O=yO
x()dy
dx=yO
x()dy
yO=dx
x()
() lnjyOj=lnjxj+C () lnjyOj= lnC
x;8C2R()
()yO=C
x;8C2R
Pentru a g asi o solut ,ie particular a a ecuat ,iei folosim metoda variat ,iei constantelor, astfel
^ nc^ at:yp(x) =C(x)
x:
yp(x) trebuie s a verice ecuat ,ia init ,ial a, as ,adar calcul am derivata de ordin I a lui yp(x)
s,i ^ nlocuim ^ n relat ,ia (*):
y0
p(x) =C0(x)xC(x)
x2)
)xC0(x)xC(x)
x2+C(x)
xex= 0()
() C0(x)C(x)
x+C(x)
x=ex()
() C0(x) =ex() C (x) =Z
exdx()
() C (x) =ex)
9

)yp(x) =ex
x:
Deci solut ,ia ecuat ,iei init ,iale este:
y(x) =yO(x) +yp(x))y(x) =C
x+ex
x
Dar, din condit ,ia init ,iala avem c a y(a) =b, as ,adar:
C
a+ea
a=b)
)C =baea:
^Inlocuind constanta C, obt ,inem :
y(x) =ex
x+baex
x
2.3 Ecuat ,ii cu diferent ,ial a total a exact a
Forma general a a ecuat ,iei cu diferent ,ial a total a exact a este:
P(x;y)dx+Q(x;y)dy= 0; (2.11)
undePs,iQsunt funct ,ii date de clas a C2pe domeniul DR2s,i satisfac relat ,ia:
@P
@y(x;y) =@Q
@x(x;y);8(x;y)2D
Rezolvarea ecuat ,iei se bazeaz a pe faptul c a exist a o funct ,ie de forma:
U(x;y) =Zx
x0P(t;y)dt+Zy
y0Q(x;t)dt
astfel ^ nc^ at dU(x;y) =P(x;y)dx+Q(x;y)dy:
^In acest caz, putem arma c a ecuat ,ia are diferent ,ial a total a.
Metoda de rezolvare:
1.Se identic a ^ n ecuat ,ieP(x;y) s,iQ(x;y).
10

2. Se veric a egalitatea:
@P
@y(x;y) =@Q
@x(x;y): (2.12)
3.Se determina funct ,iaU
4.Se scrie solut ,ia ecuat ,iei sub form a implicit a U(x;y) =C.
Din aceast a egalitate se determin a y^ n funct ,ie dexs,i se obt ,ine forma explicit a a solut ,iei.
Aplicat ,ii
S a se rezolve urm atparele ecuat ,ii diferent ,iale:
a).tdt+xdx= 0
Rezolvare:
Observ am c a : P(t;x) =ts,iQ(t;x) =x
Veric am egalitatea (12) :
@P
@x(t;x) =@Q
@t(t;x) = 0)
)ecuat ,ia dat a este cu diferent ,ial a total a exact a.
Funct ,iaUo a
 am din sistemul:8
<
:@U
@t(t;x) =P(t;x)
@U
@x(t;x) =Q(t;x)()
()8
<
:@U
@t(t;x) =tjRt
t0ds)
@U
@x(t;x) =x
)U(t;x) =Rt
t0sds+h(x) =s2
2jt
t0+h(x) =t2
2t2
0
2+h(x)j0
x)@U
@x(t;x) =h0(x)
Dar@U
@x(t;x) =x
)h0(x) =x)h(x) =x2
2+c1,c12R)
)U(t;x) =t2
2t2
0
2+x2
2+c1
DarU(t;x) =c2)
)t2
2t2
0
2+x2
2+c1=c2()t2
2+x2
2=c2c1+t2
0
2)
Solut ,ia veric a ecuat ,ia:
t2
2+x2(t)
2=C;C2R
11

b). (t+x)dt+tdx= 0
Rezolvare:
S,tim c a :P(t;x) =t+xs,iQ(t;x) =t
Veric am egalitatea (12) :
@P
@x(t;x) =@Q
@t(t;x) = 1)
)ecuat ,ia dat a este cu diferent ,ial a total a exact a.
Pentru a a
a funct ,iaUtrebuie s a rezolv am sistemul:8
<
:@U
@t(t;x) =P(t;x)
@U
@x(t;x) =Q(t;x)()
()8
<
:@U
@t(t;x) =t+x
@U
@x(t;x) =tjR
dx)
)U(t;x) =R
tdx+h(t) =tx+h(t)j0
t)@U
@t(t;x) =h0(t) +x
Dar@U
@t(t;x) =t+x
)h0(t) =t)h(t) =t2
2+c1,c12R)
)U(t;x) =tx+t2
2+c1
DarU(t;x) =c2)
)tx+t2
2+c1=c2()tx+x2
2=c2c1)
Solut ,ia veric a ecuat ,ia:
tx(t) +t2
2=C;C2R
2.4 Ecuat ,ii diferent ,iale de tip Bernoulli
Forma general a a ecuat ,iei este:
y0=P(x)y+Q(x)y; (2.13)
unde2R;0;1 s,iP;Q :I!Rsunt funct ,ii date, continue pe I.
12

Pentru>0, ecuat ,ia (12) are o singur a solut ,ie singular a:
y:I!R;y(x) = 0:
Prin substitut ,iaz=y1^ n ecuat ,ia (13) se va obt ,ine o ecuat ,ie liniar a.
Dac a solut ,ia ecuat ,iei estezl, atunci ecuat ,ia init ,ial a are solut ,ia
y=z1
l:
Exemple:
S a se g aseasc a solut ,ia general a a ecuat ,iei diferent ,iale :
1.y0y
3x=1
3y4lnx; x2(0;1):
^Imp art ,ind cuy4, pentruy6= 0, rezult a y4
y01
3xy3=1
3lnx
Dac a not am cu z=y3, atunciz0=3y4y0s,i ecuat ,ia devine:
z0+1
xz=lnx
Aceasta este o ecuat ,ie diferent ,ial a liniar a de ordinul ^ nt^ ai, cu P(x) =1
xs,iQ(x) =lnx:
Folosind formula y=eR
P(x)dx
C+R
Q(x)
eR
P(x)dx

(formula (10) din subcapitolul
2.2) obt ,inem:
z=elnx(CZ
lnxelnxdx) =1
x(CZ
xlnxdx)()
()z=C
x+x
4x
2
lnx
As,adar avem:
y3=C
x+x
4x
2
lnx; x> 0; y6= 0
Diferite solut ,ii particulare se obt ,in preciz^ and condit ,iile init ,iale.
2.5 Ecuat ,ii diferent ,iale de tip Riccati
Forma general a a ecuat ,iei este:
y0+P(x)y2+Q(x)y+R(x) = 0; (2.14)
13

undeP;Q s,iRsunt funct ,ii continue pe un interval I:
Observat ,ie:
1).Ecuat ,iile de acest tip se pot rezolva doar dac a cunoas ,tem o solut ,ie particular a a lor.
Dac a se cunoas ,te o solut ,ie particular a a ecuat ,iei diferent ,iale (14), anume
yp:JI!R;
atunci efectu^ and schimbarea de funct ,ie
y=yp+1
z;
ecuat ,ia diferent ,ial a se reduce la o ecuat ,ie diferent ,ial a liniar a de ordinul ^ nt^ ai.
^Intr-adev ar, deriv^ and s ,i ^ nlocuind ^ n ecuat ,ia (14) obt ,inem:
y0
pz0
z2=P(x)
y2
p+ 2yp
z+1
z2
+Q(x)
yp+1
z
+R(x):
t,in^ and seama c a ypveric a ecuat ,ia (14), deci c a
y0
p=P(x)
y2
p+Q(x)
yp+R(x);
rezult a
z0+ [2ypP(x) +Q(x)]z=P(x): (2.15)
Se observ a c a ecuat ,ia diferent ,ial a (15) este o ecuat ,ie diferent ,ial a liniar a de ordinul ^ nt^ ai.
Exemple:
S~ a se rezolve ecuat ia :
y0+1
x31y2=x2
x31y2x
x31= 0 ,  stiind c~ a admite solut ia y1=x2
Rezolvare:
Dac~ a se cunoa ste solut ia y1se face schimbarea de variabil~ a : y=1
zx2, adic a y'=-1
z2z02x.
Se obt ,ine ecuat ,ia: (x31)(1
z2z02x) + (1
zx2)2=x2(1
zx2)2x= 0, din care, dup a
efectuarea calculelor rezult a ecuat ,ia liniar a:
z0+3×2
x31z1
x31= 0
cu solut ,ia:z=k+x
x31:Rezult ay=1kx2
x+k:
14

2.6 Sisteme de dou a ecuat ,ii diferent ,iale liniare rezol-
vabile efectiv
Forma general a a sistemului este:
8
<
:X0
1=a11X1+a12X2
X0
2=a21X1+a22X2(2.16)
undeA=
a11a12
a21a22!
2M2;2(R):
Metoda de abordare:
Se caut a solut ,ii sub forma :
X(t) =ertV;
unde r2R, iar V2R2, V0.
X0=AX; undeX=
X1
X2!
^Inlocuind forma solut ,iei avem c a:

ertV
0=AertV)
)rertVAertV= 0j:ert)
)(ArI2)V= 0:
As,adar:
det(ArI2) = 0 (2.17)
Aceast a ecuat ,ie algebric a (ecuat ,ia caracteristic a asociat a sistemului) este ecuat ,ia valorilor
proprii ale matricei A.a11r a 12
a21a22r= 0()
()r2(a11+a22)r+ (a11a22a12a21) = 0;
undea11+a22=tr(A), iara11a22a12a21=det(A):
15

Deci:
r2tr(A)r+det(A) = 0 (2.18)
Distingem trei cazuri:
Cazul I :
Atunci c^ and r1;r22Rdistincte,
>0
r1!V16= 0
r2!V26= 0
-valorilor le corespund c^ ate un vctor propriu.
-vectorii proprii rezult a din rezolvarea sistemului :
(AriI2)Vi= 0;i2f1;2g
Deci,X1=er1tV1s,iX2=er2tV2sunt sulutii liniar independente pentru sistemul (16).
U= (X1;X2) este o matrice fundamental a a sistemului. Solut ,ia generala a sistemului se
calculeaz a: X(t) =U(t)C, undeC=
C1
C2!
2R2
Exemplu:
S a se determine matricea fundamental a a sistemului s ,i s a se scrie solut ,ia general a:8
<
:x0
1=2×14×2
x0
2=x1+x2
Rezolvare:
Se scrie matricea sistemului: A=
24
1 2!
, undetrA=1 s,idetA =6
Rezolv am ecuat ,ia caracteristic a : r2+r6 = 0

= 25>0)r1;2=1p
25
2)
)8
<
:r1=3
r2= 2:
Determin am vecrorii proprii corespunz atori:
a).r=r1=3
(Ar1I2)V1= 0)"
24
1 1!
+
3 0
0 3!#
V1
1
V1
2!
=
0
0!
()
16

()
14
1 4!
V1
1
V1
2!
=
0
0!
()
()8
<
:V1
14V1
2= 0
V1
1+ 4V1
2= 0()
V1
1= 4V1
2
AlegemV1
2= 1)V1
1= 4)V1=
4
1!
b).r=r2= 2
(Ar2I2)V2= 0)"
24
1 1!

2 0
0 2!#
V2
1
V2
2!
=
0
0!
()
()
44
11!
V2
1
V2
2!
=
0
0!
()
()8
<
:4V2
14V2
2= 0
V2
11V2
2= 0()
V2
1=V2
2
AlegemV2
1= 1)V2
2=1)V2=
1
1!
As,adar, avem c a:
X1=e3t
4
1!
;
X2=e2t
1
1!
;
)U(t) =
4e3te2t
e3te2t!
)
)Solut ,ia sistemului este: S=(
X(t) =U(t)CjC=
C1
C2!
2R2)
Cazul II :
Atunci c^ and r=r1=r22R,
= 0
As,adar pentru X1avem:
X1=ertV;
unde peV^ l calcul am din ecuat ,ia:
17

(ArI2)V=O2
Iar pentru a-l a
a pe X2vom proceda ^ n felul urm ator:
X2=ert(tV+W);undeW2R2)X0
2=rert(tV+W) +ertV
X0
2trebuie verice ecuat ,ia din sistem, deci:
rert(tV+W) +ertV=ertA(tV+W)j:ert)
)rtV+rW+V=AtV +AW)
)V=t(ArI2)V+ (ArI2)W)
)(ArI2)W=V
Singura necunoscut a din ecuat ,ia de mai sus ind W, se calculeaz a s ,i se introduce ^ n
formula lui X2.
Exemplu: S a se rezolve sistemul:8
<
:x0
1= 5×13×2
x0
2= 3×1x2
Rezolvare:
Se scrie matricea sistemului: A=
53
31!
, undetrA=4 s,idetA = 4
Atas , am ecuat ,ia caracteristic a : r24r+ 4 = 0

= 0)r1=r2=4p
0
2)
)r=r1=r2= 2
Determin am vecrorii proprii corespunz atori:
(ArI2)V= 0)"
53
31!
+
2 0
0 2!#
V1
V2!
=
0
0!
()
()
33
33!
V1
V2!
=
0
0!
()
() 3V13V2= 0
Fix amV1= 1)V2= 1)V=
1
1!
)X1=
e2t
e2t!
18

X2=e2t(tV+W)
(ArI2)W=V)"
53
31!

2 0
0 2!#
W1
W2!
=
V1
V2!
()
()
33
33!
W1
W2!
=
1
1!
()
() 3W13W2= 1
AlegemW2= 1)W2=4
3)V=
4
3
1!
Rezult a c a:
X2=e2t
t+4
3
t+ 1!
;
)U(t) =
X1X2
)
)Solut ,ia general a a sistemului este: S=(
X(t) =U(t)CjC=
C1
C2!
2R2)
Cazul III:
Atunci c^ and r1;2=i,;2R, iar
<0
^In acest caz, X este o solut ,ie complex a a sistemului (16).
X=ertV=r(+i)tV=et(cost+isint) (V1+iV2))
)X=et[V1costV2sint+i(V1sint+V2cost)])
)X=et(V1costV2sint) +iet(V1sint+V2cost)
Dar sistemul (15) este liniar s ,i omogen, rezult a c a Re( X) s,i Im(X) sunt solut ,ii reale
pentru acest sistem.
X1=et
V1costV2sint

X2=et
V1sint+V2cost

Atunci:fX1;X2gsunt solut ,ii liniar independente pentru sistemul (16).
Deci,U(t) = (X1;X1) este o matrice fundamentala pentru sistem (m.f.s).
Exemplu:
S a se rezolve sistemul:8
<
:x0
1= 5×19×2
x0
2= 2×1x2
19

Rezolvare:
Se scrie matricea sistemului: A=
59
21!
, undetrA= 4 s ,idetA = 13
Atas , am ecuat ,ia caracteristic a : r24r+ 13 = 0

=36<0)r1;2=4ip
36
2)
)r1;2= 23i
Alegem cazul ^ n care r= 2 + 3i
(ArI2)V= 0 2)"
59
21!

2 + 3i 0
0 2 + 3i!#
V1
V2!
=
0
0!
()
()
33i9
233i!
V1
V2!
=
0
0!
()
()8
<
:(33i)V19V2= 0
2V1+ (33i)V2= 0
AlegemV1= 3)3(33i) = 9V2)V2= 1i
)V=
3
1i!
)V=
3
1!
+i
0
1!
)8
>>>>>><
>>>>>>:V1=0
@3
11
A
V2=0
@0
11
A
As,adar solut ,iile sistemului sunt:
X1=e2t"
3
1!
cos 3t
0
1!
sin 3t#
=
e2t3 cos 3t
e2t(cos 3t+ sin 3t)!
X2=e2t"
3
1!
sin 3t
0
1!
cos 3t#
=
e2t3 sin 3t
e2t(sin 3tcos 3t)!
20

2.7 Sisteme de dou a ecuat ,ii diferent ,iale neliniare re-
zolvabile efectiv
Ecuat ,iile diferent ,iale neliniare de ordinul ^ nt^ ai au forma geneneral a :
x0=f(t;x) (2.19)
iar sistemele bidimensionale sau planare sunt de forma:
8
<
:x0=f(t;x;y )
y0=g(t;x;y ): (2.20)
Un exemplu de model matematic reprezentat prin sisteme neliniare este sistemul lui
Lotka-Volterra de dou a ecuat ,ii diferent ,iale neliniare care constituie un model matematic
utilizat ^ n biologie, care descrie evolut ,ia ^ n timp a dou a specii prad a-pr ad ator (de exemplu
sardine-rechini).
Forma general a a sistemului este:
8
<
:x0=rxaxy
y0=my+bxy;unde (2.21)
x(t) = populat ,ia prad a ;
y(t) = populat ,ia pr ad atoare ;
x0,y0= reprezint a ratele de cres ,tere instantanee ale celor dou a populat ,ii;
t= timpul ;
r,a,m,b= parametri reali pozitivi care descriu interact ,iunea celor dou a specii.
Se presupune c a prada are o alimentare nelimitat a s ,i se reproduce exponent ,ial, cu except ,ia
cazului^ n care este supus a pred arii; aceast a cres ,tere exponent ,ial a este reprezentat a^ n ecuat ,ia
de mai sus prin termenul rx. Rata de pr adare a pradei se presupune a  proport ,ional a cu
rata la care se ^ nt^ alnesc pr ad atorii s ,i prada, aceasta este reprezentat a mai sus de axy. Dac a
x sau y este zero, atunci nu poate exista predare.
Cu aces ,ti doi termeni, ecuat ,ia de mai sus poate  interpretat a dup a cum urmeaz a: rata de
modicare a populat ,iei pradei este dat a de rata proprie de cres ,tere, minus rata cu care este
pradat a.
^In aceast a ecuat ,ie, bxy reprezint a cres ,terea populat ,iei de pr ad atori. ( asem an ator cu
rata de pr adare; cu toate acestea, se utilizeaz a o constant a diferit a, deoarece rata la care
21

cres ,te populat ,ia de pr ad atori nu este neap arat egal a cu rata cu care consum a prada). my
reprezint a rata pierderilor pr ad atorilor datorit a mort ,ii naturale sau emigr arii, duce la o
degradare exponent ,ial a ^ n absent ,a pradei.
Prin urmare, ecuat ,ia exprim a faptul c a rata de schimbare a populat ,iei pr ad atorului depinde
de rata cu care consum a prada, minus rata sa de moarte intrinsec a.
2.8 Portretul fazic
Fie un sistem diferet ,ial autonom de doua ecuat ,ii, cu dou a functt ,ii necunoscute
8
<
:x0=f(x;y)
y0=g(x;y)
Fie (x;y) o solut ,ie a sistemului.
Dac a reprezent am grac cele dou a funct ,ii de variabil a t, ^ n acelas ,i sistem de coordonate,
putem vizualiza modul ^ n care m arimile xs,iyvaziaz a cu timpul, ca s ,i modul ^ n care se
relat ,ioneaz a ^ ntre ele la diverse momente de timp.
Inspirat din astronomie, un alt mod de reprezentare a solut ,iei (x;y) const a ^ n reprezentarea
^ n planulxOy a curbei de ecuat ,ii parametrice: x=x(t);y=y(t), atunci c^ and t2J,
undeJeste intervalul de denit ,ie al solut ,iei. Curba corespunz atoare se numes ,te orbit a sau
treiectorie, iar planul ^ n care se realizeaz a aceast a reprezentare este planul fazelor.Rezultatul
reprezent arii ^ n planul fazelor a mai multor orbite ale aceluias ,i sistem se numes ,te portret
fazic.
Pot exista orbite care se reduc la un singur punct ( x0;y0). Acestea corespund solut ,iilor
constante, stat ,ionare sau de echilibru ale sistemului, adic a solut ,iilor pentru care x0=y0= 0.
As,adar, determinarea orbitelor revine la rezolvarea sistemului:
8
<
:f(x;y) = 0
g(x;y) = 0
2.9 Stabilitatea solut ,iilor
Consider am sistemul de forma:
x0=f(t;x);unde
22

feste denit a, continu a s ,i local lipschitzian a ^ n raport pe xpeD= [a;+1)D0, iarD0
este o mult ,ime deschis a din Rn.
Not am cux(t;t0;x0) solut ,ia saturat a a solut ,iei Cauchy, cu condit ,ia init ,ial ax(t0) =x0,
unde (t0;x0)2D. Dac a o solut ,ieeste denit a pe un interval compact [ t0;t0+T), atunci
ea depinde continuu de valoarea init ,ial a, mai exact,8>0;9=(;t0)>0 astfel ^ nc^ at:
kx0(t0)k)kx(t;t0;x0)(t)k;8t2[t0;t0+T):
Denit ,ie
1.O solut ,ie2C1([a;1);Rn) a sistemului de mai sus se numes ,te solut ,ie stabil a dac a8>0
s,i8t02[a;1),9=(;t0) astfel ^ nc^ at:
kx0(t0)k)kx(t;t0;x0)(t)k;8t2[t0;1):
2.O solut ,ie2C1([a;1);Rn) a sistemului de mai sus se numes ,te solut ,ie asimptotic stabil a
dac a este stabil a s ,i dac a pentru orice t02[a;1), exist a=(t0)>0 astfel ^ nc^ at:
kx0(t0)k)lim
t!1kx(t;t0;x0)(t)k= 0
Ne intereseaz a stabilitatea solut ,iilor stat ,ionare sau de echilibru, adic a solut ,iile constante ^ n
timp. Dac a este o solut ,ie a sistemului de mai sus, remarc am c a studiul stabilit at ,ii solut ,iei
poate  redus la studiul stabilit at ,ii solut ,iei nule. Not^ and cu y=xs,i fac^ and schimbarea
de variabil a ^ n sistem , obt ,inemy0=f(t;y+)0(t). Observ am c a solut ,ieix=a
sistemului init ,ial ii corespunde solut ,iay= 0 a noului sistem.
As,adar, constat am c a solut ,iaa sistemului init ,ial este stabil a, respectiv asimptotic sta-
bil a dac a s ,i numai dac a solut ,ia nul a a noului sistem este stabil a, respectiv asimptotic stabil a.
23

2.9.1 Stabilitatea sistemelor liniare
Fie sistemul liniar de forma :
x0=A(t)x+B(t);unde
A2C([a;1);Mn(R)) s ,iB2C([a;1);Rn):
Fac^ and substitut ,iay=x)y0=A(t)y:
Teorema de stabilitate a sistemelor liniare
I.Urm atoarele armat ,ii sunt echivalente:
(a) Sistemul liniar este stabil.
(b) Sistemul admite o matrice fundamental a U(t) m arginit a pe [ a;1).
(c) Orice matrice fundamental a a sistemului este m arginit a pe [ a;1).
(d) Toate solut ,iile sistemului omogen asociat sunt m arginite pe [ a;1).
II.Urm atoarele armat ,ii sunt echivalente:
(a) Sistemul liniar este asimptotic stabil.
(b) Sistemul admite o matrice fumdamental a U(t) cu proprietatea c a U(t)!0;pentru
t!1 .
(c) Orice matrice fundamental a a sistemului tinde la matricea nul a pentru t!1 .
(d) Toate solut ,iile sistemului omogen asociat tind la zero pentru t!1 .
Teorema de stabilitate a sistemelor liniare cu coecient ,i constant ,i
(I) Un sistem liniar cu coecient ,i constant ,i este stabil dac a s ,i numai dac a toate valorile
proprii ale matricei coecient ,ilor au partea real a nenegativ a s ,i cele cu parte real a egal a cu
zero sunt simple.
(II) Un sistem liniar cu coecient ,i constant ,i est asimptotic stabil dac a s ,i numai dac a
toate valorile proprii ale matricei coecient ,ilor au partea real a negativ a.
Stabilitatea originii unui sistem liniar de dou a ecuat ,ii diferent ,iale se precizeaz a ^ n funct ,ie
de valorile proprii ale matricei coecient ,ilor, adic a de r ad acinile ecuat ,iei caracteristice
r2(trA)r+detA> 0
Originea este asimptotic stabil a dac a valorile proprii sunt reale s ,i negative sau dac a sunt
complexe cu partea real a negativ a. Acest a condit ,ie are loc dac a s ,i numai dac a: trA < 0 s,i
detA> 0.
24

25

Chapter 3
Modele matematice guvernate de ecuat ,ii diferent ,iale
de ordinul I
3.1 Modele matematice de cres ,tere a populat ,iei
3.1.1 Un model demograc
Primul model matematic de cres ,tere a populat ,iei a fost propus ^ n anul 1798 de c atre Thomas
Robert Malthus.
Thomas Robert Malthus a fost un cleric s ,i un teoretician economic englez, fondatorul teoriei
care ^ i poart a numele. Conform teoriei lui Malthus, populat ,ia cres ,te ^ n progresie geometric a,
^ n timp ce mijloacele de subzistent , a cresc ^ n progresie aritmetic a. Teoria sa este cunoscut a
sub numele de malthusianism; ca o consecint , a a acestei relat ,ii dintre populat ,ie s ,i starea
economic a, Malthus considera c a s ar acia, bolile, epidemiile s ,i r azboaiele sunt factori poz-
itivi pentru omenire, dat ind c a asigur a echilibrul ^ ntre num arul populat ,iei s ,i cantitatea
mijloacelor de subzistent , a.
As,adar, dac a not am cu x(t) num arul de indivizi de pe glob la momentul ts,i cuy(t)
cantitatea de resurse utilizate pentru supraviet ,uire, dup a Malthus, viteza instantanee de
cres ,tere al num arului de indivizi la momentul teste direct proport ,ional a cux(t), ^ n timp ce,
viteza instantanee de cres ,tere a resurselor este constant a.
Atunci, avem urm atorul model matematic exprimat printr-un sistem de ecuat ,ii diferent ,iale
de forma: 8
<
:x0=cx
y0=k
^ n care c s ,i k sunt constante strict pozitive.
26

Solut ,ia sa general a este dat a de:
8
<
:x(t;") ="ect
y(t;) =+kt
pentrut0, unde"s,ireprezint a num arul de indivizi , respectiv, cantitatea de resurse la
momentult= 0. Se constat a c a acest model descrie relativ bine fenomenul real numai pe
intervale de timp foarte scurte. Din acest motiv, au fost propuse alte modele, mai ranate
s,i, ^ n acelas ,i timp, mai realiste care pornesc de la observat ,ia c a num arul de indivizi la un
moment dat nu poate dep as ,i un anumit prag critic care depinde de resursele din acel moment.
Astfel, dac a not am cu h>0 cantitatea de hran a necesar a unui individ pentru a supraviet ,ui
momentului t, putem presupune c a xs,iyveric a un sistem de forma:
8
<
:x0=cx(y
hx)
y0=k
care exprim a o leg atur a mai reasc a dintre evolut ,ia resurselor s ,i cres ,terea sau descres ,terea
populat ,iei.^In unele modele, precum cel propus de Verhulst ^ n anul 1845, pentru simplitate,
se consider a k= 0, ceea ce exprim a matematic faptul c a resursele sunt presupuse constante
^ n timp (y(t) =;8t2R), ajung^ andu-se la o ecuat ,ie diferent ,ial a de forma
x0=cx(bx)
, pentrut0, undeb=
h>0. Aceast a ecuat ,ie, cunoscut a sub numele de ecuat ,ia logistic a
este cu variabile separabile s ,i poate  integrat a. Obt ,inem solut ,ia general a
x(t;) =becbt
1 +ecbt
pentrut0, unde0 este o constant a, la care mai trebuie s a adaug am solut ,ia singular a
x=b, eliminat a ^ n cadrul procesului de integrare. Pentru a individualiza o anumit a solut ,ie
din solut ,ia general a trebuie s a determin am constanta corespunz atoare . Acest lucru se face,
de obicei, impun^ and condit ,ia init ,ial a
b
1 +="
, unde"reprezint a num arul de indivizi la momentul t= 0, num ar presupus cunoscut.
27

Deducem astfel c a solut ,iax(
;") a ecuat ,iei logistice care satisface condit ,iax(0;") ="este
x(t;") =b"ecbt
b+"(ecbt1)
pentru orice t0. Toate modelele descrise mai sus pot  puse sub forma general a x0=
d(t;x), unded(t;x) reprezint a diferent ,a dintre rata natalit at ,ii s,i rata mortalit at ,ii pentru o
populat ,ie cu x indivizi, la momentul t.
3.1.2 Modelul prad a-r apitor
Imediat dup a terminarea primului r azboi mondial s-a constatat c a rezerva de pes ,ti din Marea
Adriatic a a fost drastic diminuat a comparativ cu perioada de dinainte de^ nceperea r azboiului
s,i aceasta, ^ n poda faptului c a majoritatea pescarilor din zon a, ^ nrolat ,i ind, nu s ,i-au mai
putut practica meseria pe o perioad a destul de lung a. ^In ^ ncercarea de a explica acest
fenomen, vom relua un model matematic amintit ^ ntr-o sect ,iune anterioar a, s ,i anume, mod-
elul matematic Lotka – Volterra.
Vito Volterra a propus un model matematic care descrie evolut ,ia a dou a specii care conviet ,uiesc
^ n acelas ,i areal, dar se a
 a ^ n competit ,ie. Mai precis, el a considerat dou a specii de animale
care tr aiesc ^ n aceeas ,i regiune, prima av^ and la dispozit ,ie resurse nelimitate de subzistent , a,
specie numit a prad a, iar cea de-a doua, numit a pr ad ator, av^ and drept unic a surs a de hran a
indivizii din specia prad a. Not^ and cu x(t) s,i cuy(t) num arul de indivizi din specia prad a,
respectiv pr ad ator la momentul t s ,i presupun^ and c a at^ at xc^ at s ,iysunt funct ,ii de clas aC1,
deducem c a xs,iytrebuie s a satisfac a sistemul de ecuat ,ii diferent ,iale
8
<
:x0= (aky)x
y0=(bhx)y
, undea,b,k,hsunt constante pozitive. Prima ecuat ,ie exprim a ^ n limbaj matematic faptul c a
viteza de \cres ,tere" a num arului de indivizi prad a este proport ,ional a cu num arul de indivizi
din specie la momentul considerat s ,i scade cu num arul de ^ nt^ alniri dintre indivizii celor dou a
specii. Analog, cea de-a doua ecuat ,ie exprim a faptul c a viteza instantanee de cres ,tere a
num arului de indivizi din specia pr ad ator la momentul t scade proport ,ional cu num arul lor
la acel moment t s ,i cres ,te proport ,ional cu num arul de ^ nt^ alniri dintre indivizii celor dou a
specii.
28

3.2 Modele matematice de datare
3.2.1 Modelul de datare prin metoda C14
Datarea prin metoda radiocarbon este o metod a de determinare a v^ arstei aproximative a
unor r am as ,it,e organice vechi prin m asurarea cont ,inutului izotopului radioactiv al carbonu-
lui, s ,i anumeC14. Metoda a fost dezvoltat a de Willard Libby ^ n anul 1949, pentru aceast a
contribut ,ie primind Premiul Nobel pentru Chimie ^ n 1960. Metoda este folosit a ^ n special
pentru datarea oaselor, obiectelor vestimentare, lemnului s ,i brelor vegetale produse ale
activit at ,ilor umane ^ n trecutul relativ recent, din punct de vedere arheologic. Metoda se
bazeaz a pe modelul dezintegr arii radioactive. Organismele vii, pe l^ ang a izotopul stabil C12,
cont ,in o cantitate mic a al izotopului radioactiv C14generat de radiat ,iile cosmice s ,i asimilat
de c atre organismele vii din natur a prin hran a. Datorit a proceselor biochimice prezente ^ n
organisme raportulC14
C12are o valoare constant a pe durata viet ,ii acestora. Dac a organismul
moare aceste procese ^ nceteaz a s ,i ^ n consecint , a cantitatea deC14^ ncepe s a scad a datorit a
fenomenului de dezintegrare radioactiv a.
Timpul de ^ njum at at ,ire alC14este:Tjum= 5730ani, ceea ce ^ nseamn a c a valoarea
constantei de dezintegrare este:
k=ln(2)
Tjum=ln(2)
5730ani= 0:0001209680943 ani1
. Dac a not am cu x(t) valoarea raportuluiC14
C12la momentul ts,i cux0valoarea constant a a
raportuluiC14
C12pe durata viet ,ii organismului din care provin r am as ,it,ele. Momentul t= 0
reprezint a momentul decesului organismului. Conform modelului dezintegr arii radioactive,
x(t) este solut ,ia problemei Cauchy:
8
<
:x0(t) =kx(t)
x(0) =x0
undekare valoarea precizat a mai sus, solut ,ia sistemului ind x(t) =x0ekt.
La momentul descoperirii r am as ,it,elor, adic a la momentul c^ and T > 0 , se m asoar a
valoarea raportuluiC14
C12, obt ,in^ andu-se valoarea xT, deci avem: x(T) =xT. Pentru a a
a
intervalul de timp de la decesul organismului trebuie determinat a valoarea lui T, din relat ,ia
29

de mai sus. Deci obt ,inem:
x(T) =xT)x0ekT=xT)ekT=x0
xT)kT=ln(x0
xT))T=1
kln(x0
xT)
.
3.3 Exercit ,ii
Urm atoarele exercit ,ii vor  rezolvate ^ n Maple.
1. [http://math.ubbcluj.ro/ bmonica/Pictures/lb5probl%202.pdf]
Se consider a cele dou a modele de cres ,tere a unei populat ,ii:
Malthus!8
<
:x0(t) =rx(t)
x(0) =x0
Verhulst!8
<
:x0(t) =r0x(t)h
1x(t)
Ki
x(0) =x0
Se d a populat ,ia SUA pe ani:
1820 : 9:6
106
1830 : 12:9
106
1840 : 17:1
106
1850 : 23:2
106
1860 : 31:4
106
1870 : 38:6
106
1880 : 50:2
106
1890 : 62:9
106
1900 : 76
106
1910 : 92
106
1920 : 106:5
106
1930 : 123:2
106
30

. Se cere:
(a) Determinat ,i solut ,iile celor dou a modele;
(b) Reprezentat ,i grac c^ ateva solut ,ii;
(c) Folosind datele pentru populat ,ia SUA, determinat ,i parametrii corespunz atori celor dou a
modele;
Rezolvare:
a).>ecMalthus :=diff(x(t);t) =rx(t);
ecMalthus :=d
dtx(t) =rx(t)
>ecVerhulst :=diff(x(t);t) =r0x(t)(1x(t)=k);
ecVerhulst :=d
dtx(t) =r0x(t)
1x(t)
k
>solM :=dsolve (ecMalthus;x (0) =x0;x(t));
solM :=x(t) =x0ert
>solV :=dsolve (ecVerhulst;x (0) =x0;x(t));
solV :=x(t) =k
1 +er0t(kx0)
x0
b).>xM :=unapply (rhs(solM );t;x0;r);
xM:= (t;x0;r)!x0rrt
>xV :=unapply (rhs(solV);t;x0;r0;k);
xV:= (t;x0;r0;k)!k
1 +er0t(kx0)
x0
>plot ([xV(t;100;1;500);xV(t;100;1:1;500);xV(t;200;2;500);xV(t;50;3;500)];t= 0:::10);!
Figure 2:1
> plot ([xM(t;100;1;500);xM (t;100;1:1);xM (t;100;1);xM (t;100;0:5)];t= 0:::2);!
Figure 2:2
31

Figure 3.1:
Figure 3.2:
32

c).>popSUA := [9:6;12:9;17:1;23:2;31:4;38:6;50:2;62:9;76;92;106:5;123:2];
popSUA := [9:6;12:9;17:1;23:2;31:4;38:6;50:2;62:9;76;92;106:5;123:2];
>ec1 :=xM(10;popSUA [1];r) =popSUA [2];
ec1 := 9:6e10r= 12:9
-unde 10 este diferent ,a dintre anii 1820 s ,i 1830
>rM :=solve (ec1;r);
rM:= 0:02954642129
>ec2 :=xV(10;popSUA [1];r0;k) =popSUA [2];
ec2 :=k
1 + 0:1041666667 e10r0(k9:6)= 12:9
>ec3 :=xV(20;popSUA [1];r0;k) =popSUA [3];
ec3 :=k
1 + 0:1041666667 e20r0(k9:6)= 17:1
>sist :=ec2;ec3;
sist:=k
1 + 0:1041666667 e10r0(k9:6)= 12:9;k
1 + 0:1041666667 e20r0(k9:6)= 17:1
>solsist :=solve (sist;r 0;k);
solsist :=fk= 4:206408912
108;r0 =8:008938519
1011g;fk= 92:36399840;r0 = 0:03361533093g
2. [http://www.math.ubbcluj.ro/ mserban/Laboratoare/SistemeDinamice/lb4probl.pdf]
Se consider a modelul dezintegr arii radioactive:
8
<
:x0(t) =kx(t)
x(0) =x0
undeX(t) reprezint a cantitatea de substant , a radioactiv a la momentul t, iarkeste constanta
de dezintegrare. Se cere:
(a) S a se determine solut ,ia problemei Cauchy;
(b) Reprezentat ,i grac c^ ateva solut ,ii;
33

(c) S ,tiind c a timpul de ^ njum at at ,ire al izotopului radioactiv C14esteTjum= 5730 ani s a se
determine constanta k. Timpul de ^ njum at at ,ire reprezint a timpul ^ n care cantitatea de C14
se reduce la jum atate ^ n urma dezintegrprii radioactive.
(d) Folosind constanta k determinat a, s a se estimeze vechimea unor fosile s ,tiind c a ^ n mo-
mentul descoperirii raportulC14
C12a ajuns la 20%.
(e) Datarea giulgiului de la Torino: ^In 1988 trei teste independente au estimat c a raportulC14
C12
din brele giulgiului are o valoare cuprins a ^ ntre 91 :57% s ,i 93:021%. Estimat ,i ^ n ce perioad a
a fost f acut acest giulgiu.
Rezolvare:
a).>ecrez :=diff(x(t);t) =kx(t);
ecrez :=d
dtx(t) =kx(t)
>condIn :=x(0) =x0;
condIn :=x(0) =x0
>solutie :=dsolve (ecrez;condIn;x (t));
solut,ie:=x(t) =x0ekt
b).>xx :=unapply (rhs(solutie );t;x0;k);
xx:= (t;x0;k)!x0ekt
>plot ([xx(t;2;1=8000);xx(t;4;1=8000);xx(t;2;1=10000)];t= 0:::100000);
34

Figure 3.3:
35

c).>t12 := 5730;
t12 := 5730
>eck :=xx(t12;x0;k) =x0=2;
eck:=x0e5730k=x0
2
>kC 14 :=solve (eck;k );
kC14 :=1
5730ln(2)
>evalf (kC14);
0:0001209680943
d).>ecuatie :=xx(T;x0;kC14) = 0:2x0;
ecuatie :=x0e1
5730ln(2)T= 0:2×0
>TT :=solve (ecuatie;T );
TT:= 13304:64798
e).>v1 := 91:57=100;
v1 := 0:9157
>v2 := 93:021=100;
v2 := 0:93021
>ec6 :=xx(T;x0;kC14) =v1x0;
ec6 :=x0e1
5730ln(2)T= 0:9157×0
>ec7 :=xx(T;x0;kC14) =v2x0;
ec7 :=x0e1
5730ln(2)T= 0:93021×0
>T1 :=solve (ec6;T);
T1 := 728:0141045
>T2 :=solve (ec7;T);
T2 := 598:0495293
36