2.2. Rentabilitatea si riscul unui portofoliu de active financiare În secțiunea anterioar ă a acestui capitol s-a ar ătat cum putem m ăsura… [628282]

1 
 2.2. Rentabilitatea si riscul unui portofoliu de active financiare

În secțiunea anterioar ă a acestui capitol s-a ar ătat cum putem m ăsura
rentabilitatea anticipat ă și riscul unei ac țiuni folosind media, respectiv devia ția
standard. Pentru a m ăsura riscul s-au mai folosit coeficientul de varia ție și
semivarian ța, însă în cele ce urmeaz ă, ne vom limita doar la devia ția standard. În
această secțiune vom ar ăta cum putem extinde aceast ă abordare pentru a m ăsura
rentabilitatea și riscul unui portofoliu, începând cu cazul simplu al unui portofoliu
format doar din dou ă active, dup ă care vom generaliza pentru N active. De
asemenea, vom considera pentru început c ă toate activele din portofoliu sunt active
riscante, urmând s ă analizăm portofoliile ce includ și active f ără risc (spre exemplu,
obligațiuni emise de stat).

2.2.1. Determinarea mediei și a varian ței unui portofoliu din dou ă active

Vom defini portofoliul format din ac țiunea A și acțiunea B ca un vector
[wA, wB] unde w i reprezint ă ponderea investit ă în activul i, cu condi ția w A + w B = 1.
Observa ți că numai cu dou ă active se pot forma o infinitate de portofolii, întrucât se
pot forma o infinitate de combina ții (w A, wB) astfel încât suma lor s ă fie 1.
Dacă E(R A) și E(R B) reprezint ă rentabilitatea anticipat ă a activului A,
respectiv B, atunci rentabilitatea anticipat ă pentru un portofoliu (s ă-i spunem P),
format din cele dou ă active va fi o medie ponderat ă a randamentelor a șteptate
pentru fiecare activ unde ponderile sunt w A respectiv w B. Cu alte cuvinte, dac ă o
persoană investește o pondere w A dintr-o anumit ă sumă, în acțiunea A, ce are un
randament anticipat de E(R A), și o pondere w B (unde w B = 1-w A) în acțiunea B ce are
un randament anticipat de E(R B), atunci randamentul a șteptat pentru portofoliul
format din cele dou ă acțiuni va fi calculat astfel:
ࡱሺࡼࡾሻൌ࡭࢝ ·ࡱሺ࡭ࡾሻ൅࡮࢝ ·ࡱሺ࡮ࡾሻ ሺ૛. ૚૞ሻ

Ținând cont de propriet ățile varian ței se poate ar ăta că riscul unui portofoliu se
determin ă astfel:
ࡼ࣌૛ൌ࡭࢝૛·࡭࣌૛൅࡮࢝૛·࡮࣌૛൅૛·࡭࢝ ·࡮࢝ · ࡮࡭࣌ሺ૛. ૚૟ሻ
ࡼ࣌ൌටࡼ࣌૛ ሺ૛. ૚ૠሻ
unde σP2 reprezint ă varianța portofoliului , σA2 – varian ța acțiunii A, σB2 – varian ța
acțiunii B, σP – deviația standard pentru portofoliu l P (riscul portofoliului), iar σAB –
covarian ța dintre activul A și B. Covarian ța se calculeaz ă astfel:

2 
 ࡮࡭࣌ൌࡱ ൣ ൫ ࡭ࡾ െࡱሺ࡭ࡾሻ൯·൫ ࡮ࡾ െࡱሺ࡮ࡾሻ൯൧ ሺ૛. ૚ૡሻ
Observa ți că dacă se calculeaz ă covarian ța dintre un activ cu el însu și se obține
varianța acestuia, adic ă σAA = σA2 respectiv σBB = σB2. O covarian ță pozitivă arată că
randamentele celor dou ă active tind s ă se modifice în aceea și direcție. O covarian ță
negativă indică o tendin ță a randamentelor a dou ă active de a evolua în sens opus
(altfel spus, când randamentul unui activ cre ște, de obicei, randamentul celuilalt
scade).
Din rela ția (2.16) se observ ă că pe măsură ce covarian ța scade, riscul portofoliului
scade și el. Cu alte cuvinte, prin diversificare riscul asumat se reduce . Pentru a
înțelege mai bine acest aspect s ă consider ăm următorul exemplu.
Exemplul 10: Să consider ăm următoarele randamente istorice pentru dou ă acțiuni
A și B:
RA (%)  2 ‐3  2‐3‐1 2 3‐2  5 ‐3
RB (%)  3 ‐1 ‐2 4‐1 1‐3 2 ‐1  2

Randamentul anticipat pentru fiecare ac țiune este:
ܧሺܴ஺ሻൌ1
10·ሺ2െ3൅2െ3െ1ڮെ3 ሻൌ0 . 2 %
ܧሺܴ஻ሻൌ1
10·ሺ3െ1െ2൅4െ1ڮ൅2 ሻൌ0 . 4 %
Riscul (calculat prin devia ția standard ) pentru fiecare ac țiune este:
ߪ஺ൌඨ1
10 െ 1ሺሺ2െ0 . 2 ሻଶ൅ሺെ3 െ 0.2 ሻଶ൅ڮ൅ ሺെ3 െ 0.2 ሻଶሻൌ 2.9364 %
ߪ஻ൌඨ1
10 െ 1ሺሺ3െ0 . 4 ሻଶ൅ሺെ1 െ 0.4 ሻଶ൅ڮ൅ ሺ2െ0 . 4 ሻଶሻൌ 2.3190 %
Covarian ța dintre randamentul ac țiunii A și B este:
ߪ஺஻ൌሾሺ2െ0 . 2 ሻ·ሺ3െ0 . 4 ሻሿ൅ሾሺെ3 െ 0.2 ሻ·ሺെ1 െ 0.4 ሻሿ൅ڮ൅ ሾሺെ3 െ 0.2 ሻ·ሺ2െ0 . 4 ሻሿ
10 െ 1
ൌ െ3.20
Dacă se investe ște o pondere de 30 % în A și restul de 70% în B atunci rentabilitatea
și riscul portofoliului sunt:
ܧሺܴ௉ሻൌ 0.3 · 0.2 ൅ 0.7 · 0.4 ൌ 0.34%
ߪ௉ଶൌ0 . 3ଶ· 2.9364ଶ൅0 . 7ଶ· 2.3190ଶ൅ 2 · 0.3 · 0.7 · ሺെ3.20 ሻൌ 2.067
ߪ௉ൌ√2.067 ൌ 1.4377 %

3 
 Din exemplul 10 se observ ă că dacă s-ar investi doar în ac țiunea A riscul
asumat va fi de 2.9364 %, dac ă s-ar investi doar în ac țiunea B atunci riscul asumat
va fi de 2.3190 %. Prin diversificare, adic ă prin formarea unui portofoliu cu cele
două acțiuni riscul asumat se reduce la 1.4377%. Evident c ă dacă schimb ăm
ponderile investite în cele dou ă active se va schimba și riscul portofoliului, dar el va
rămâne întotdeauna mai mic sau cel mult egal cu media ponderat ă a riscurilor
individuale ale celor dou ă acțiuni (aceast ă afirmație va fi demonstrat ă mai jos! ).
La fel ca și varian ța, covarian ța se exprim ă în „procente la p ătrat” și este
greu de interpretat. Spre exemplu, este incert în ce m ăsură o covarian ță de – 3.20,
cât am ob ținut în exemplul anterior, înseamn ă o legătură puternic ă sau una slab ă!
De aceea se prefer ă un alt indicator ce deriv ă din covarian ță și anume, coeficientul
de corela ție (ρ), ce se calculeaz ă astfel:
࡮࡭࣋ൌ࡮࡭࣌
࡭࣌·࡮࣌ א ሾെ૚, ૚ ሿ ሺ૛. ૚ૢ ሻ
Spre deosebire de covarian ță a cărei valoare variaz ă în intervalul ሾെ∞, ൅∞ ሿ,
coeficientul de corela ție ia valori doar în intervalul [-1, 1]. Dac ă atinge limita
superioar ă (ρ = 1), atunci randamentele sunt perfect pozitiv corelate (adic ă, ori de
câte ori R A crește, R B crește și el). Dac ă atinge limita inferioar ă (ρ = -1), atunci
randamentele sunt perfect negativ corelate (când R A scade, R B crește). În cazul în
care randamentele sunt independente, covarian ța lor este zero și prin urmare
coeficientul de corela ție este tot zero ( ρ = 0), adic ă randamentele sunt necorelate.
Figura 2.8. Randamente pe rfect corelate vs. necorelate

4 
 Dacă ρ = 1, într-o reprezentare grafic ă de coordonate R A0RB („scatter plot ”)
randamentele sunt pe o dreapt ă cu o pant ă pozitivă (vezi figura 2.8). Pentru a vedea
acest lucru, vom scrie c ă:
࡮ࡾൌࢇ൅࢈· ࡭ࡾ ሺ૛. ૛૙ሻ
adică pornim de la ipoteza c ă randamentele sunt a șezate de-a lungul unei drepte de
pantă b > 0. Aplicând operatorul de medie și varianță vom obține:
ࡱሺ࡮ࡾሻൌࢇ൅࢈·ࡱ ሺ࡭ࡾሻ ሺ૛. ૛૚ሻ
࡮࣌૛ൌ࢈૛·࡭࣌૛ ሺ ૛. ૛૛ሻ
Substituind (2.20) și (2.21) în formula de calcul a covarian ței (2.18) se ob ține:
࡮࡭࣌ൌࡱ ൣ ൫ ࡭ࡾ െࡱሺ࡭ࡾሻ൯·൫ ࡮ࡾ െࡱሺ࡮ࡾሻ൯൧ ൌ ࡱൣ൫࡭ࡾ െࡱሺ࡭ࡾሻ൯·࢈·൫ ࡭ࡾ െࡱሺ࡭ࡾሻ൯൧
ൌ࢈·࡭࣌૛ ሺ૛. ૛૜ሻ
Înlocuind (2.21) și (2.22) în formula coeficientului de corela ție (2.19) se determin ă
că:
࡮࡭࣋ൌ࢈·࡭࣌૛
࢈·࡭࣌૛ ൌ1
Similar se poate vedea c ă dacă randamentele sunt perfect negativ corelate ele sunt
așezate pe o dreapt ă cu o pant ă negativă, iar coeficientul de corela ție este -1.
În realitate randamentele nu sunt nici perfect pozitiv și nici perfect negativ
corelate. Un astfel de exemplu este ilustra t în figura 2.9 unde au fost simulate pe
rând randamente pozitiv corelate (cu un coeficient de corela ție de 0.72) și
randamente negativ corelate (cu un coeficient de -0.80).
Figura 2.9. Randaemante pozitiv / negativ corelate
a). Randamente pozitiv corelate ( ρ = 0.72)

5 
 b). Randamente negativ corelate ( ρ = – 0.80)

Folosind rela ția (2.19), varian ța portofoliului se poate rescrie astfel:
ࡼ࣌૛ൌ࡭࢝૛·࡭࣌૛൅࡮࢝૛·࡮࣌૛൅૛·࡭࢝ ·࡮࢝ ·࡭࣌·࡮࣌· ࡮࡭࣋ሺ૛. ૛૝ሻ
Se observ ă că pe măsură ce coeficientul de corela ție scade, riscul
portofoliului scade și el. Cu cât coeficientul de corela ție este mai mic cu atât este
mai puternic efectul diversific ării asupra reducerii riscului. În cazul extrem când
ρ = -1, varian ța portofoliului devine:
ࡼ࣌૛ൌሺ࡭࢝·࡭࣌െ࡮࢝ ·࡮࣌ሻ૛
Iar devia ția standard (riscul) devine:
ࡼ࣌ൌ|࡭࢝·࡭࣌െ࡮࢝ ·࡮࣌|
In celălalt caz extrem, când ρ = 1 (randamentele sunt perfect pozitiv corelate) riscul
portofoliului devine:
ࡼ࣌ൌ࡭࢝ ·࡭࣌൅࡮࢝ ·࡮࣌
adică diversificarea nu are nici un efect asup re riscului, deoarece riscul este în
acest caz egal cu media ponderat ă a riscului celor dou ă active. Într-o alt ă ordine de
idei, în func ție de coeficientul de varia ție, riscul unui portofoliu de dou ă active poate
fi maxim wA·σA൅w B·σB, și minim |wA·σAെw B·σB| (vezi figura 2.11) .
Concluzie: Deși rentabilitatea unui portofoliu este egal ă cu media ponderat ă a
rentabilit ăților individuale ale activelor compone nte, riscul portofoliului este cel
mult egal cu media ponderat ă a riscurilor individuale ale activelor, acest plafon
fiind atins în cazul mai pu țin realist al unui coeficient de corela ție de 1.

6 
 2.2.2. Rela ția risc – rentabilitate. Portofolii eficiente
S-a arătat mai sus c ă rentabilitatea și riscul unui portofoliu de dou ă active,
se determin ă conform rela țiilor (2.15) și (2.17), adic ă:
ࡱሺࡼࡾሻൌ࡭࢝ ·ࡱሺ࡭ࡾሻ൅࡮࢝ ·ࡱሺ࡮ࡾሻ
ࡼ࣌ൌටࡼ࣌૛
unde:
ࡼ࣌૛ൌ࡭࢝૛·࡭࣌૛൅࡮࢝૛·࡮࣌૛൅૛·࡭࢝ ·࡮࢝ ·࡭࣌·࡮࣌·࡮࡭࣋

După ce se aleg cele dou ă acțiuni A și B, valorile E(R A), E(R B), σA, σB și ρAB devin
fixate. Ceea ce r ămâne de stabilit sunt ponderile w A, wB (structura portofoliului). În
funcție de aceste ponderi se determin ă rentabilitatea și riscul portofoliului.
Schimbând structura portofoliului, evident se vor modifica și riscul și rentabilitatea
acestuia. Cu doar dou ă active putem construi o infinitate de portofolii și prin
urmare se pot determina o infinitate de combina ții risc – rentabilitate. Din punct de
vedere geometric rela ția risc – rentabilitate pentru portofolii de active riscante
este o hiperbol ă (vezi figura 2.10).

Exemplul 11: Să consider ăm un portofoliu format din dou ă acțiuni A și B.
Rentabilitatea anticipat ă a acțiunii A este de 50%, iar a ac țiunii B de 10%. Varian ța
pentru A este de 50%, varian ța pentru B de 30%, iar coeficientul de corela ție de -0.5.
Cu aceste ac țiuni s-au construim 12 portofolii, iar pentru fiecare portofoliu s-a
calculat randamentul mediu și riscul (devia ția standard) folosind rela țiile (2.15) și
(2.17). Rezultatele sunt ilustrate în tabelul urm ător:
Nr. portofoliu   wA  wB  risc  Var(Rp)  E(Rp) 
1   0  1  0.547723 0.3 0.1 
2  0.1  0.9  0.461674 0.213143 0.14 
3  0.2  0.8  0.387340 0.150032 0.18 
4  0.3  0.7  0.332667 0.110667 0.22 
5  0.4  0.6  0.308299 0.095048 0.26 
6   0.4365  0.5635  0.308647 0.095263 0.2746 
7  0.5  0.5  0.321209 0.103175 0.3 
8  0.6  0.4  0.367489 0.135048 0.34 
9  0.7  0.3  0.436655 0.190667 0.38 
10  0.8  0.2  0.519646 0.270032 0.42 
11  0.9  0.1  0.610854 0.373143 0.46 
12   1  0  0.707107 0.5 0.5

7 
 Conform rezultatelor prez entate în tabel, dac ă se investe ște 10% în A și 90% în B se
obține o rentabilitate medie de 14% cu un risc de 46.16%, dac ă se investe ște 50% în A
și 50% în B rentabilitatea medie est e de 30% iar riscul de 10.31% ș.a.m.d.
Observa ți că pe măsură ce rentabilitatea cre ște, riscul scade pân ă la un punct dup ă
care cre ște. În cazul de fa ță, riscul minim ce se poate asuma este de 30.86% și
corespunde unui portofoliu format prin in vestirea unei ponderi de 43.56% în A și
restul de 56.35 % în B1. Relația risc – rentabilitate pentru exemplul nostru este
ilustrată grafic în figura 2.10. Punctele din capetele curbei corespund investi țiilor
doar într-un singur activ, iar vârful hi perbolei corespunde portofoliului de risc
minim (notat cu V).
Figura 2.10. Rela ția risc – rentabilitate

Portofoliile 1, 2, 3, 4, 5 sau orice alt portofoliu aflat pe curba VB (cu excep ția
portofoliului V), sunt considerate ineficiente, deoarece se pot crea portofolii cu
același risc dar cu o rentabilitate mai mare, adic ă portofoliile de pe curba VA
(inclusiv V). Spunem c ă portofoliile de pe VB sunt dominate de cele de pe VA, și că
acestea din urm ă sunt portofolii eficiente (sau optime) . Deci un investitor
rațional ar alege doar portofolii de pe curba VA. In func ție de aversiunea sa la risc
va prefera un portofoliu mai apropiat de V sau mai apropiat de A. Dac ă dorește să
obțină o rentabilitate medie ridicat ă v a t r e b u i s ă investeasc ă în portofoliile mai
riscante (precum 10 și 11), dar dac ă aversiunea sa la risc este mare va prefera
portofoliul V sau unul apropiat de acesta (precum 7, 8).
                                                             
1 Structura  portofoliului  de risc minim se determină minimizând  riscul (funcția varianței portofoliului)  cu 
constrângerea  wA+wB=1.  Astfel se determină că ݓ஺ൌఙಳమିఙಲ·ఙಳ·ఘಲಳ
ఙಲమାఙಳమିଶ·ఙ ಲ·ఙಳ·ఘಲಳ , iar wB=1‐wA.

8 
 Concluzie: Între riscul și rentabilitatea unui portofoliu format numai din active cu
risc exist ă o relație direct propor țională (dacă rentabilitatea anticipat ă crește, atunci
crește și riscul asumat) și neliniar ă. Această concluzie la care s-a ajuns este
generală, în sensul c ă ea este valabil ă și pentru portofoliile formate din mai multe
active cu risc.
Din rela ția 2.24 s-a observat c ă pe măsură ce scade coeficientul de corela ție,
scade și riscul portofoliului. Oare cum se modific ă relația risc – rentabilitate din
figura 2.10 pentru diferite valori ale coeficientului de corela ție ? Răspunsul la
această întrebare este ilustrat în figura 2.11.
Figura 2.11. Rela ția risc- rentabilitate pentru diferite valori ale lui ρ

Folosind datele din exemplul 11 referitoare la rentabilitatea și riscul
acțiunilor A și B, s-a recalculat rentabilitatea și riscul pentru fiecare portofoliu
folosind 5 valori diferite pentru coeficientul de corela ție. Relația risc – rentabilitate
pentru ρ = – 0.5 este aceea și cu cea din figura 2.10. Pe m ăsură ce ρ scade, pentru o
rentabilitate fixat ă, riscul devine mai mic. De asemenea, observa ți că rentabilitatea
unui portofoliu nu se modific ă la modificarea coeficientului de varia ție, ci doar
riscul. Spre exemplu pentru portofoliul de risc minim (V) care se afl ă la nivelul unei
rentabilit ăți de 27.46%, pe m ăsură ce ρ se reduce riscul s ău scade chiar pân ă la
zero.
Prin diversificare, spunem c ă riscul se reduce, iar figura 2.11 indic ă faptul c ă
gradul diversific ării este influen țat de coeficientul de corela ție. Pentru a în țelege
mai bine ce înseamn ă acest lucru s ă consider ăm un investitor care ini țial a investit
doar în ac țiunea A (punctul A de pe graficul nostru) ce presupune un risc de 70%.
Mai târziu, afl ă că „prin diversificare riscul se reduce”, și prin urmare decide s ă
investeasc ă și în acțiunea B o pondere de 30% (acest portofoliu este reprezentat în

9 
 figura 2.11 prin cel de-al treilea punc t sub A). Rentabilitatea portofoliului s ău este
de 38%, iar riscul depinde de coeficientul de corela ție dintre cele dou ă acțiuni: dac ă
ρ = 0.5 riscul scade de la 70% la 60%, dac ă ρ = 0 riscul scade la 52%, dac ă ρ = -0.5
riscul scade la 44%, iar dac ă ρ = -1 riscul scade la 33%. Deci cu cât coeficientul de
corelație este mai mic, cu atât sc ăderea riscului (ca efect al diversific ării) este mai
mare .
Prin defini ție, un portofoliu este eficient (sau optim) dac ă nu exist ă un alt
portofoliu cu aceea și rentabilitate și un risc mai mic, sau nu exist ă un alt portofoliu
cu același risc și o rentabilitate mai mare.
Conform acestei defini ții, dacă pe piață ar exista doar cele dou ă active A și B,
atunci portofoliile 7, 8, 9, 10, 11, 12 (A) di n figura 2.10 sunt portofolii eficiente. Dac ă
extindem analiza noastr ă la 4 active cu risc, portofoliile aflate pe curba AV nu vor
mai fi neap ărat toate eficiente. Pentru a ilustra aceast ă idee, să consider ăm alte
două active cu risc C și D. Rentabilitatea anticipat ă a lui C s ă presupunem c ă este
de 60% iar pentru D de 5%. De asemenea s ă presupunem c ă C are o varian ță de
55%, D de 30%, iar coeficientul de corela ție dintre ele s ă fie de -0.3. Cu aceste dou ă
active se pot forma o infinitate de portofolii ce sunt ilustrate în figura 2.12 pe curba
CWB, unde W este portofoliul de risc minim.
Figura 2.12. Portofolii eficiente

Conform discu ției anterioare, este evident faptul c ă portofoliile de pe curba
VB respectiv WD sunt ineficiente. In plus, se observ ă că portofoliile de pe IA sunt
dominate de cele de pe IC; la fel putem spune despre portofoliile de pe IW c ă sunt
dominate de cele de pe IV. Deci portofoliile 10, 11, 12 care erau ini țial eficiente
(când am presupus c ă pe piață există doar acțiunile A și B), acum sunt dominate de
portofolii aflate pe IC, deoarece acestea din urm ă au o rentabilitate a șteptată mai
mare pentru acela și nivel de risc asumat.

10 
 Fără o analiz ă mai complex ă decât cea de pân ă acum, nu putem spune dac ă
portofoliile de pe IC respectiv IV sunt eficiente; putem spune doar c ă ele domin ă
portofoliile de pe IA respectiv IW. Portofoliile din figura 2.12 au fost construite
numai cu dou ă active riscante: curba AVB combin ă acțiunile A și B, iar curba CWD
combină doar ac țiunile C și D. Exist ă posibilitatea ca prin combinarea celor patru
active cu risc (adic ă formarea de portofolii utilizând nu doar dou ă acțiuni, ci toate
patru) s ă se obțină portofolii dominante. Cu alte cuvinte, pentru a determina
portofoliile eficiente trebuie s ă determin ăm relația risc – rentabilitate similar ă celei
din figura 2.10 folosind toate activele cu risc existente. Mul țimea portofoliilor
eficiente formate doar din active cu risc se nume ște frontiera Markowitz . Modul
în care se determin ă această frontier ă v a f i d i s c u t a t î n s e c țiunea 2.2.4. Spre
exemplu dac ă pe piață ar exista doar ac țiunile A și B, atunci curba VA din figura
2.10 s-ar numi frontier ă Markowitz.
2.2.3. Rela ția risc – rentabilitate pentru po rtofolii formate dintr-un activ cu
risc și un activ f ără risc
În continuare vom men ține ipoteza c ă pe piață există doar dou ă active, dar
vom consider ă că unul din ele are riscul zero. Un exemplu clasic de activ far ă risc îl
reprezint ă titlurile emise de stat. În cazul în care se poate considera c ă statul este o
entitate asupra c ăreia riscul de faliment nu poate surveni, atunci veniturile
(dobânzi, rate, anuit ăți) generate de un titlu emis de stat sunt certe.
Spre exemplu, s ă consider ăm un bilet de trezorerie emis emis cu discount ce
în prezent este tranzac ționat pe pia ță la prețul de 950 u.m. și care la scaden ță (să
presupunem, 3 luni) va fi r ăscumpărat la valoarea nominal ă de 1000 u.m. Dac ă un
investitor cump ără în prezent acest titlu la 950 u.m. și îl păstrează până la
scadență, atunci el va ob ține un câstig sigur de 50 u.m. pentru c ă va obține cu
certitudine peste 3 luni suma de 1000 u.m. Randamentul anticipat pentru acest
plasament fictiv este de 5,26% pe 3 luni ((1000-950)/950). În sec țiunea 2.1. când
analizam rentabilitatea activelor riscante, se specifica o anumit ă distribu ție pentru
randamentele viitoare posibile , iar media distribu ției reprezenta randamentul
așteptat. În cazul activului f ără risc, nu mai este nevoie s ă specific ăm astfel de
distribuții, deoarece exist ă doar un singur randament viitor și acesta este cert (în
exemplul biletului de trezorerie, se ob ține un randament de 5.26% cu o probabilitate
de 100%).
Prin urmare, dac ă notăm randamentul activului far ă risc cu r f atunci putem
scrie că:
ࡱ൫ࢌ࢘ ൯ൌ ࢌ࢘ ૛. ૛૞

11 
 Intuitiv, dac ă activul este f ără risc atunci varian ța, respectiv devia ția
standard va fi zero. Statistic, dac ă randamentului viitor i se asociaz ă o singur ă
valoare atunci el este o constant ă, iar varian ță dintr-o constant ă este zero. In
concluzie:
ࢌ࢘࣌ൌ ૙ ሺ૛. ૛૟ሻ
De asemenea, covarian ța dintre activul cu risc și activul far ă risc este tot zero:
࢜࢕ࢉ൫ࢌ࢘,࢏ࡾ ൯ൌࡱ ൫ ࢏ࡾ െࡱሺ࢏ࡾሻ൯ቀ ࢌ࢘ െࡱ ൫ ࢌ࢘ ൯ቁ ൌ ࡱ൫࢏ࡾ െࡱሺ࢏ࡾሻ൯൫ࢌ࢘ െࢌ࢘ ൯ ൌ ૙ ሺ૛. ૛ૠሻ
Dacă formăm un portofoliu din activul f ără risc și un activ cu risc A, atunci
rentabilitatea și riscul acestui portofoliu vor fi:
ࡱሺࡼࡾሻൌ࢝·ࡱ ሺ࡭ࡾሻ൅ሺ૚െ࢝ ሻ· ࢌ࢘ሺ૛. ૛ૡሻ
ࡼ࣌ൌ࢝· ࡭࣌ ሺ૛. ૛ૢሻ
În secțiunea 2.2.2 s-a ar ătat că pentru un portofoliile formate numai din
active cu risc, între risc și rentabilitate exist ă o relație neliniar ă. Se poate ar ăta
ușor că în cazul în care includem un activ f ără risc, rela ția risc – rentabilitate
devine liniar ă. Se observ ă că panta rela ției risc – rentabilitate nu depinde de w (de
structura portofoliului). Pentru a demonstra acest lucru se calculeaz ă mai întâi
modificarea rentabilit ății în raport cu w:
ࡱࢊሺࡼࡾሻ
࢝ࢊൌࡱ ሺ࡭ࡾሻെ ࢌ࢘ ሺ૛. ૜ ૙ሻ
cât și modificarea riscului în raport cu w:
ࡼ࣌ࢊ
࢝ࢊൌ ࡭࣌ ሺ૛. ૜૚ሻ
În consecin ță panta rela ției risc – rentabilitate este:
ࡱࢊሺࡼࡾሻ
ࡼ࣌ࢊ ൌࡱࢊሺࡼࡾሻ⁄࢝ࢊ
⁄࢝ࢊࡼ࣌ࢊ ൌࡱሺ࡭ࡾሻെࢌ࢘
࡭࣌ ሺ૛. ૜૛ሻ
Se observ ă că panta este invariabil ă în raport cu structura portofoliului și deci
relația risc – rentabilitate este liniar ă. Din 2.28 și 2.29 se poate observa c ă pentru
w = 0, se ob ține σP = 0 respentiv E(R P) = r f, ceea ce înseamn ă că relația risc –
rentabilitate (care este o dreapt ă) intersecteaz ă axa 0y în punctul r f. De asemenea,
sțiind că panta este dat ă de rela ția 2.32, putem scrie ecua ția relației risc –
rentabilitate pentru portofolii ce includ și un activ f ără risc astfel:

12 
 ࡱሺࡼࡾሻൌࢌ࢘ ൅ࡱሺ࡭ࡾሻെࢌ࢘
࡭࣌· ࡼ࣌ሺ૛. ૜૜ሻ
Relația 2.33 se nume ște dreapta fundamental ă a pieței de capital (CML –
„Capital Market Line”) . Panta CML fiind aceea și pentru toate portofoliile, putem
înlocui portofoliul A din formul ă cu orice alt portofoliu situat pe dreapt ă (vezi figura
2.13).
Exemplul 12: Să presupunem c ă rentabilitatea anticipat ă a activului cu risc este
10%, rentabilitatea activului f ără risc este de 4%, iar devia ția standard a activului
cu risc este de 25%.
Folosind rela țiile 2.28 respectiv 2.29 putem determina rentabilitatea și riscul unui
set de portofolii, considerând diferite valori pentru w (ponderea investit ă în activul
cu risc). Aici s-au cosiderat 9 portofol ii ce corespund unor ponderi w de: 0%, 20%,
40%, 60%, 80%, 100%, 120%, 140% respectiv 160% . Rezultatele sunt prezentate în
tabelul urm ător:
Portofoliu w  E(Rp) σp
1(rf)  0  0.04  0 
2  0.2  0.052  0.05 
3  0.4  0.064  0.1 
4  0.6  0.076  0.15 
5  0.8  0.088  0.2 
6(A)  1  0.1  0.25 
7  1.2  0.112  0.3 
8  1.4  0.124  0.35 
9  1.6  0.136  0.4 

Ponderile mai mari de 100% investite în activul cu risc corespund unor
ponderi negative investite în activul f ără risc ceea ce reprezint ă o poziție short pe
acest activ. Spre exemplu, dac ă dispunem de suma M și investim 120% din M în
activul cu risc și -20% în activul f ără risc, acest lucru înseamn ă de fapt c ă luăm cu
împrumut suma 20% din M la rata f ără risc, ceea ce ne permite s ă investim în
activul cu risc mai mult cu 20% decât suma de care dispunem (M). Pentru c ă în acest
caz ne asum ăm riscuri mai mari, randamentul cerut va fi, bineîn țeles, mai mare.
Observa ți că s-a presupus c ă orice investitor poate s ă se împrumute și să
acorde un împrumut la rata dobânzii f ără risc, ceea ce nu este adev ărat în realitate.
În secțiunea urm ătoare, vom vedea cum se modific ă relația risc – rentabilitate
(CML), dac ă relaxăm aceast ă ipoteză.

13 
 Figura 2.13. Rela ția risc – rentabilitate când un activ este f ără risc

Combina țiile risc-rentabilitate ob ținute pentru cele 9 portofolii sunt
reprezentate în figura 2.13. Portofo liile de la 1 la 6 presupun pozi ții long pe ambele
active și deci w este mai mic sau egal cu 1 ( 100%). Portofoliile 7, 8, 9 presupun o
piziție long pe activul cu risc și o poziție short pe activul f ără risc (w >1).
Concluzie: Pentru cazul în care se include un activ f ără risc, rela ția risc –
rentabilitate pentru portofolii de active financiare este una liniar ă. Portofoliile
eficiente se vor afla pe aceast ă dreaptă. Aceste observa ții se men țin și atunci când
portofoliile sunt formate din N active dintre care unul este f ără risc.
2.2.4. Riscul și rentabilitatea portofoli ilor cu N active
În aceast ă parte a capitolului vom extinde analiza rela ției risc – rentabilitate,
pentru portofolii formate din N active (N mai mare ca 2). De asemenea, ne
propunem s ă determin ăm structura portofiliilor eficiente (optime) atât pentru cazul
portofoliilor formate numai din active cu risc, dar și pentru cazul portofoliilor cu un
activ fără risc.
Riscul și rentabilitatea portofoliilor formate din N active
Pentru cazul în care portofoliile sunt formate din N, se prefer ă scrierea
ecuațiilor pentru rentabilitate și risc în form ă matricial ă. Relațiile 2.15 și 2.16 pot fi
rescrise matricial astfel:
ࡱሺࡼࡾሻൌሺ࡮࢝࡭࢝ሻ·൬ࡱሺ࡭ࡾሻ
ࡱሺ࡮ࡾሻ൰ ሺ૛. ૜૝ሻ

14 
 ࡼ࣌૛ൌሺ࡮࢝࡭࢝ሻ·ቆ࡭࣌૛࡮࡭࣌
࡮࣌࡭࡮࣌ ૛ቇ·ቀ࡭࢝
࡮࢝ቁ ሺ૛. ૜૞ሻ
cu condi ția ca suma ponderilor s ă fie 1, adic ă:
ሺ࡮࢝࡭࢝ሻ·ቀ૚
૚ቁ ൌ ૚ ሺ૛. ૜૟ሻ
Această scriere matricial ă este foarte util ă pentru extensia noastr ă la portofolii cu
N active. În acest sens, dac ă notăm cu:
ݓൌ ቌݓଵݓଶ
ݓڭேቍ , ܴൌ ൮ܧሺܴଵሻ
ܧሺܴଶሻ
ڭ
ܧሺܴேሻ൲ , Σൌ ൮ߪଵଵ ߪଵଶ…ߪ ଵே
ߪଶଵ ߪଶଶ…ߪ ଶே
ڭ
ߪேଵڭ
ߪேଶڭڭ
ߪ… ேே൲ , ݑൌ ቌ1
1
ڭ
1ቍ
atunci rentabilitatea anticipat ă și riscul pentru portofolii cu N active se pot calcula
astfel:
ቐ۳ሺ۾܀ሻൌܟ Ԣ·܀
ો۾૛ൌܟ Ԣ·઱·ܟ
ܟԢ · ܝ ൌ ૚ ሺ૛ . ૜ૠሻ
unde Σ reprezint ă matricea de covarian ță. Această matrice este simetric ă, pentru c ă
σik = σki, iar pe diagonala principal ă se află varianțele celor N active.
Efectul diversific ării asupra riscului. Observa ții empirice.
În aceast ă secțiune vom discuta efectul pe care îl are cre șterea num ărului de
acțiuni asupra riscului portofoliului. În acest sens, rescriem ecua ția varian ței din
3.37 astfel:
ࡼ࣌૛ൌ෍෍࢏࢝ ·࢑࢝ ·ࡺ࢑࢏࣌
࢑ୀ૚ࡺ
࢏ୀ૚ൌ෍෍࢏࢝ ·࢑࢝ ·ࡺ࢑࢏࣌
࢑ୀ૚
࢑ஷ࢏൅෍࢏࢝ ·࢏࣌૛ࡺ
࢏ୀ૚ ࡺ
࢏ୀ૚ ሺ૛. ૜ૡሻ
Dacă vom presupune c ă ponderile portofoliului sunt egale, atunci varian ța devine:
ߪ௉ଶൌ1
ܰଶ·෍෍ߪ ௜௞ே
௞ୀଵ
௞ஷ௜൅1
ܰଶ෍ߪ௜ଶே
௜ୀଵ ே
௜ୀଵ ሺ2.39ሻ
Dacă notăm media covarian țelor cu ߪప௞തതതതൌଵ
ேమିே·∑∑ ߪ௜௞ே
௞ୀଵே
௜ୀଵ , atunci rela ția 2.39
devine:

15 
 ߪ௉ଶൌܰଶെܰ
ܰଶ·ߪప௞തതതത൅1
ܰଶ෍ߪ௜ଶே
௜ୀଵ ሺ2.40ሻ
Se observ ă că pe măsură ce N tinde la infinit varian ța portofoliului tinde c ătre
media covarian țelor:
ܕܑܔ
ۼ՜ஶો۾૛ൌܕܑܔ
ۼ՜ஶ൬૚െ૚
ۼ൰·ો଍ܓതതതത൅૚
ۼ૛෍ોܑ૛ۼ
ܑୀ૚ൌો ଍ܓതതതത ሺ૛. ૝૚ሻ
Concluzie: Pe măsură ce num ărul de ac țiuni dintr-un portofoliu cre ște, scade
efectul riscurilor individuale ( σi) ale ac țiunilor componente asupra riscului
portofoliului ( σP). Deci riscul portofoliilor foar te bine diversificate depinde de
covarian ța dintre ac țiunile componente (adic ă de tendin ța randamentelor lor de a
evolua în acela și sens sau în sens opus) și nu de riscul specific ac țiunii (al firmei
emitente).
Exemplul 13: Pentru a ilustra aceste concluzi i s-au luat în considerare
randamentele lunare din perioa da 1/2003 – 4/2008 ale 19 ac țiuni cotate la BVB, cu
următoarele simboluri: amo, atb, apc, azo, cmp, ec t, imp, oil, olt, pcl, sif1, sif2, sif3,
sif4, sif5, sno, snp, tlv, zim.
Din aceste 19 ac țiuni s-a ales în mod aleator o ac țiune și s-a calculat riscul
acesteia (devia ția standard), apoi s-au extras aleator 2 ac țiuni și s-a calculat riscul
portofoliului (devia ția standard) de ponderi egale; dup ă care s-au extras aleator 3
acțiuni și s-a calculat riscul portofoliului de ponderi egale ș.a.m.d. pân ă la formarea
unui portofoliu cu toate cele 19 ac țiuni. Evolu ția riscului pe m ăsura cre șterii
numărului de ac țiuni este ilustrat ă în figura 2.14, varianta 1.
Figura 2.14. Efectul diversific ării asupra riscului
a). Varianta 1 b). Varianta 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.090.10.110.120.130.140.150.160.170.18
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.090.0950.10.1050.110.1150.120.1250.130.1350.14

16 
 c). Varianta 3 d). Varianta 4

Acest experiment s-a mai realizat înc ă de trei ori, rezultând evolu țiile din figura 2.14
variantele 2, 3, 4. Se observ ă că pe măsură ce crește numărul de ac țiuni incluse în
portofoliu, riscul acestuia acade, dar cu rate descresc ătoare. Propor țiile cu care se
reduce riscul portofoliului sunt prezentate în tabelul 2.1.
Tabelul 2.1. Reducerea riscului datorat ă creșterii num ărului de ac țiuni din
portofoliu (cazul pie ței de capital române ști)
-în procente fa ță de portofoliul cu o ac țiune-
Nr de actiuni  2  3  4  5  6  7  8  9  10 
Varianta 1  49.48  70.88  79.75  83.68  87.14  85.50  85.30  85.88  83.01 
Varianta 2  48.34  45.20  62.30  46.02  48.49  60.52  65.85  77.09  77.35 
Varianta 3  62.76  77.07  86.14  92.89  92.52  93.37  94.32  94.75  89.85 
Varianta 4  38.21  55.09  59.08  67.79  67.40  76.22  75.08  72.51  67.08 
  După 10.000 de variante 
media  35.14  52.06  61.52  67.82  72.75  76.27  78.83  80.78  82.78 
dev std  35.23  27.38  23.00  19.50  16.46  14.47  12.56  11.58  10.30 

În prima variant ă, riscul portofoliulu i format dintr-o ac țiune (aleas ă aleator)
era de aproximativ 17%, dup ă includerea unei alte ac țiuni (aleas ă tot aleator) riscul
s-a redus cu aproximativ 50%; pe ntru un portofoliu din 3 ac țiuni riscul a sc ăzut cu
aproximativ 70%; pentru 4 ac țiuni alese aleator riscul a sc ăzut cu aproximativ 80%,
ș.a.m.d. Conform primei variante, efectele diversific ării sunt impresionante, și chiar
mai impresionante în cazul variantei 3 unde riscul se reduce și mai repede. În
varianta 2 și 4 reducerea riscului nu mai este la fel de rapid ă ca în celelalte dou ă,
prin urmare datorit ă faptului c ă acțiunile sunt alese în mod aleator, rata de
descreștere a riscului variaz ă de la un experi ment la altul.
În consecin ță, s-au simulat 10.000 de experimente (variante) și s-a calculat
media și deviația standard a histogramelor ob ținute (vezi tabelul 2.1). În figura 2.15 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.080.090.10.110.120.130.140.150.160.170.18
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.090.10.110.120.130.140.15

17 
 sunt prezentate dou ă dintre cele 9 histograme folosite pentru a calcula media și
deviația standard a procentului de reducere a riscului datorat ă diversific ării.
Figura 2.15. Distribu ția procentului de reduce re a riscului ca urmare a
diversific ării
a). 5 acțiuni b). 10 ac țiuni

În concluzie , prin acest exemplu s-a ar ătat că prin diversificare riscul asumat de
investitor se reduce substan țial. Astfel, conform rezultatelor ob ținute prin formarea
unor portofolii simulate pe baza a 19 ac țiuni cotate la BVB, se observ ă că prin
diversificarea cu doar dou ă acțiuni alese aleator, riscul asumat se reduce în medie
cu 35.14%. Dac ă se aleg 3 ac țiuni în mod aleator riscul se reduce în medie cu
52.06%, dac ă se aleg 4 ac țiuni riscul scade în medie cu 61.52% ș.a.m.d. (vezi tabelul
2.1).

Frontiera portofoliilor optime forma te numai din active cu risc
S-a definit mai sus c ă un portofoliu este eficient (optim) dac ă nu exist ă un alt
portofoliu cu aceea și rentabilitate și un risc mai mic, sau nu exist ă un alt portofoliu
cu același risc și o rentabilitate mai mare. Din punct de vedere matematic, frontiera
portofoliilor optime se poate determina în dou ă moduri:
1. minimizarea riscului pentru o rentabilitate dat ă;
2. maximizarea rentabilit ății pentru un risc dat.
În cele ce urmeaz ă, vom considera doar prima abordare, adic ă vom rezolva o
problem ă de optimizare p ătratică de forma:
ࡼ࣌࢝ܖܑܕ ૛
cu constângerile:
E(R P) = r* (2.38)
ܟԢ · ܝ ൌ ૚
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 1200200400600800100012001400160018002000
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 12002004006008001000120014001600

18 
 Cu alte cuvinte, prin aceast ă problem ă de optimizare ne propunem s ă
determin ăm ponderile w care minimizeaz ă riscul portofoliului pentru o rentabilitate
fixată la nivelul de r*. Solu ția acestei probleme (s ă o notăm cu w*) pentru un
anumit r* ales, reprezint ă structura potrofoliului eficient (optim) de rentabilitate
așteptată r*. Având structura optim ă w* se poate calcula riscul ( σ*) asociat acestui
portofoliu, care este, deci, cel mai mic risc posibil pentu o rentabilitate de r*.
Rezolvând problema 2.38 pentru T valori ale lui r* vom ob ține T portofolii
optime (adic ă vectori w*) de risc minim, σ*. Reprezentând grafic cele T combina ții
(σ*, r*) se ob ține o hiperbol ă similară celei din figura 2.10. Mul țimea portofoliilor
eficiente formeaz ă frontiera Markowitz .
Exemplul 14: Să consider ăm că pe piața de capital ar exista doar 5 ac țiuni: SIF1,
SIF2, SIF3, SIF4, SIF5; și ne propunem s ă determin ăm frontiera portofoliilor
eficiente ce pot fi formate cu cele 5 ac țiuni.
Distribu ția randamentelor este aici aproximat ă prin histograma
randamentelor lunare istorice din peri oada 12 / 1999 – 3 / 2008, iar randamentele
așteptate vor fi mediile acestor distribu ții.
Tabelul 2.2. Randamentul lunar mediu al SIF-urilor
Actiunea SIF1  SIF2  SIF3  SIF4  SIF5 
E(Ri)  4.44%  5.05%  3.57%  3.75%  4.81% 

De asemenea, folosind randamentele lunare istorice, s-a determinat matricea de
covarian ță2:
  sif1  sif2  sif3  sif4  sif5 
sif1  0.020002  0.019063 0.016138 0.016238 0.016434  
sif2  0.019063  0.02335 0.017118 0.017777 0.019855  
sif3  0.016138  0.017118 0.019246 0.014809 0.01452 
sif4  0.016238  0.017777 0.014809 0.019679 0.015272  
sif5  0.016434  0.019855 0.01452 0.015272 0.022704  

Optimizarea problemei 3.38 s- a realiza în Excel prin algoritmul „SOLVER”. S-au
determinat ponderile (portofoliile optime), care minimizeaz ă riscul pentru un
randament lunar a șteptat al portofoliului de: 1%, 2%, 3%, 4%, 5%, 6%, 7%, 8%, 9%.
Rezultatele optimiz ării sunt prezentate în tabelul 2.3.
Conform rezultatelor, observ ăm că prin investirea sumei M în cele 5 SIF-uri,
pentru a ob ține un randament mediu de 4%, se va investi o pondere de 31% din M în
                                                             
2 In Excel se poate face prin funcția Covariance  din Data ‐> Data Analysis.

19 
 SIF1, o pondere de -25% din M (short sellin g) în SIF2, 29% din M în SIF3, 27% în
SIF4 și 39% în SIF5. Opera țiunea de „short selling” de mai sus presupune vânzarea
acțiunii SIF2 într-o pondere 25% din M, f ără a deține efectiv aceast ă acțiune. Cu alte
cuvinte, broker-ul dumneavoastr ă vă împrumut ă un num ăr de acțiuni a c ăror
valoare este de 25% din M; ac țiuni ce vor fi vândute pe pia ță în prezent și cumpărate
în viitor, de dorit la un pre ț mai mic. Bineîn țeles că după ce sunt cump ărate,
acțiunile sunt înapoiate broker-ului.
Tabelul 2.3. Portofolii eficie nte (active numai cu risc)
Risc port. ‐
σp Rentab. 
Port. ‐E(Rp) Ponderi (w) 
SIF1  SIF2  SIF3  SIF4  SIF5 
18.84 %  1 %  ‐0.05 ‐2.23 1.52 1.35  0.42 
15.28 %  2 %  0.07 ‐1.57 1.11 0.99  0.41 
13.02 %  3 %  0.19 ‐0.91 0.70 0.63  0.40 
12.75 %  4 %  0.31 ‐0.25 0.29 0.27  0.39 
14.59 %  5 %  0.43 0.41 ‐0.12 ‐0.09  0.38 
17.89 %  6 %  0.55 1.07 ‐0.53 ‐0.45  0.37 
22.02 %  7 %  0.67 1.73 ‐0.94 ‐0.81  0.36 
26.58 %  8 %  0.79 2.39 ‐1.35 ‐1.17  0.35 
31.39 %  9 %  0.91 3.05 ‐1.76 ‐1.53  0.34 

De asemenea, în tabelul 2.3 sunt prezenta te valorile riscului minim pentru fiecare
nivel de rentabilitate fixat. Aceste combina ți risc – rentabilitate definesc frontiera
Markowitz, ilustrat ă în figura 2.16. Frontiera Markow itz (a portofoliilor eficiente)
este reprezentat ă doar de portofoliile aflate pe bra țul superior al hiperbolei (curba
roșie din grafic).
Figura 2.16. Frontiera Markowitz (cu short selling)

20 
 Observa ți că toate cele 9 portofolii considerate în tabelul 2.3, implic ă
operațiuni de „short selling”. Cum ajust ăm problema de optim 2.38, dac ă pe piața nu
sunt permise astfel de opera țiuni ? (este și cazul pie ței de capital din România).
Răspunsul este simplu: ad ăugăm noi restric ții prin care impunem ca ponderile s ă fie
pozitive. Adic ă la problema 3.38 mai ad ăugăm următoarele constrângeri:
wi > 0, pentru orice i =1, 2…N
Noile rezultate sunt prezentate în tabelul 2.4. Spre deosebire de situa ția anterioar ă,
acum pentru a ob ține o rentabilitate medie de 4% se va investi o pondere de 12% în
SIF1, o pondere de 36% în SIF3 , 30% în SIF4, 22% în SIF5 și nimic în SIF2.
Tabelul 2.4. Portofolii eficiente (f ără short selling)
Risc port. ‐ 
σp Rentab. 
Port. ‐ E(Rp) Ponderi (w) 
SIF1  SIF2  SIF3  SIF4  SIF5 
13.48 %  3.6 %  0.00  0.00  0.86  0.14  0.00 
12.93 %   3.8 %  0.00  0.00  0.48  0.39  0.13 
12.88 %  4 %  0.12  0.00  0.36  0.30  0.22 
13.11 %  4.3 %  0.31  0.00  0.18  0.17  0.35 
13.64 %  4.6 %  0.38  0.15  0.04  0.05  0.38 
13.85 %  4.7 %  0.39  0.21  0.00  0.02  0.38 
14.11 %  4.8 %  0.27  0.38  0.00  0.00  0.35 
14.9 %  5 %  0.00  0.80  0.00  0.00  0.20 

De asemenea, pentru a ob ține un randament lunar de 5% , se va investi doar în SIF2
în propor ție de 80%, și în SIF5 restul de 20%.
Coloanele unu și doi din tabelul 2.4. ne furnizeaz ă informa ții despre noua
relație risc – rentabilitate, ilustrat ă în figura 2.17.
Figura 2.17. Frontiera Markowitz (f ără short selling)

Fronti e
În
format e
include r
dreaptă
cu un a
formar e
rentabi l
(CML –
P
repreze n
diversi fi
infinita t
ponder e
ne apr o
Dacă, în
activul
Portofo l
rentabi l
observ a
ce pot f i
risc. era porto f
n secțiune
e dintr-un
rea unui a c
ă. Vom ved e
ctiv fără ri
ea portofol i
litate obțin
– Capital M
Figura 2 .
Pentu înce p
ntate trei
fică portof o
te de port
e mai mar e
opiem de r f
n schimb, s
fără risc s
liile de p e
litate mai
ația că la râ
i obținute foliilor ef i
a 2.2.3 s- a
activ cu r i
ctiv fără ri
ea aici că a
isc și mai m
iilor eficie n
nută se n u
Market L i
.18. Drea p
put să con
portofolii
oliul A cu
ofolii ce s u
e investit ă
f înseamn ă
se alege p o
se obțin di n
e rfA sun t
mică la a c
ândul lor p
prin diver s
iciente ce
a analizat r
isc și unul
isc în port o
această con
multe acti v
nte se folo s
umește dr
ine).
pta funda
siderăm fi
formate n u
activul f ă
unt situat e
în portofo l
ă că se mă
ortofoliul B
n nou o i n
t dominat
celași nive
portofoliile
sificarea p
21 
includ și
relația ris c
fără risc.
ofoliu, fro n
ncluzie se m
ve cu risc.
sesc toate a
reapta fu n
mentală a
igura 2.18
umai din
ără risc ( d
e pe drea p
liul A sun t
ărește pon d
B de pe fr o
nfinitate d e
e de port o
l de risc. P
de pe rfB
ortofoliilo r
un activ f
c – rentab i
S-a ajuns
ntiera port o
menține și
Dacă, pe l
activele cu
ndament a
a pieței de
unde pe f
active cu r
de rentabil
pta rfA. P o
t mai apro p
derea inve
ontiera Ma
e portofolii
ofoliile de
Pe același
sunt dom i
r aflate în t
fără risc
ilitate pe n
la conclu z
ofoliilor efi c
pentru ca z
lângă activ
risc, atun c
ală a pieț
e capital (

frontiera M
risc: A, B
itate rf) s
ortofoliile
piate de ac
stită în a c
rkowitz și
situate p
pe rfB, d
raționam e
inate de t o
tre A și M
ntru portof o
zia că odat
ciente dev i
zul portolo l
vul fără ris
ci relația r
ței de ca p
(CML)
Markowitz
și M. Da c
e pot ob ți
ce presup u
esta, iar c u
ctivul fără
se combi n
pe dreapta
deoarece a
ent ajunge m
oate portof o
cu activul oliile
tă cu
ine o
liilor
sc, în
isc –
pital
sunt
că se
ne o
un o
u cât
risc.
nă cu
rfB.
au o
m la
oliile
fără

22 
 În concluzie, portofoliile eficiente se vor afla pe tangenta dus ă din punctul rf la
frontiera Markowitz. Toate portofoliile de pe aceast ă dreaptă (numită CML) domin ă
portofoliile de pe frontiera Markowitz. Prin urmare, dac ă pe piață există un activ
fără risc, frontiera portofoliilor optime este reprezentat ă de dreapta CML.
Portofoliul din active cu risc (M) aflat la punctul de intersec ție dintre frontiera
Markowitz cu CML se nume ște portofoliul pie ței și este singurul portofoliu
eficient format numai din active cu risc.
În funcție de aversiunea sa la risc, investitorul poate alege un portofoliu de
risc scăzut (aflat în apropierea lui rf) sau un portofoliu cu risc ridicat (aflat în
apropierea sau deasupra lui M). De asemen ea, portofoliile aflate pe CML între rf și
M presupun o pondere pozitiv ă (poziție long) investit ă în activul f ără risc. Deoarece
activul f ără risc este o obliga țiune emis ă de stat, acest lucru înseamn ă că
investitorul acord ă un împrumut la rata dobânzii f ăra risc. Dac ă se alege portofoliul
pieței, M, înseamn ă că se investe ște doar în active cu risc. În cazul în care se alege
un portofoliu aflat desupra lui M, acest lucru implic ă o pondere negativ ă (poziție
short) investit ă în activul f ără risc, ceea ce semnific ă faptul c ă investitorul se
împrumut ă la rata f ără risc (rf), iar suma ob ținută o investe ște în portofoliul pie ței.
Pentru a determina frontiera portofoliilor eficiente (CML) cu un activ f ără
risc, se rezolv ă problema de optimizare p ătratică 2.38 cu observa ția că în matricea
de covarian ță toți termenii referitori la covarian ța dintre activul f ără risc și orice alt
activ din portofoliu este zero (adic ă cov(rf, Ri)=0, pentru orice i).
Exemplul 14 (continuare): Să presupunem c ă alături de cele 5 ac țiuni, pe
piață mai exist ă și un activ f ăra risc de rentabilitate lunar ă 1%.
În acest caz vectorul de rentabilit ăți devine:
Actiunea SIF1  SIF2  SIF3  SIF4  SIF5  Rf 
E(Ri)  4.44%  5.05%  3.57%  3.75%  4.81%  1% 

iar matrice de covarian ță este:
  sif1  sif2  sif3  sif4  sif5  rf 
sif1  0.020002  0.019063 0.016138 0.016238 0.016434   0 
sif2  0.019063  0.02335 0.017118 0.017777 0.019855   0 
sif3  0.016138  0.017118 0.019246 0.014809 0.01452  0 
sif4  0.016238  0.017777 0.014809 0.019679 0.015272   0 
sif5  0.016434  0.019855 0.01452 0.015272 0.022704   0 
rf  0  0 0 0 0  0

23 
 Rezultatele ob ținute în urma obtimiz ării 2.38 sunt prezentate în tabelul 2.5.
Tabelul 2.5 Portofolii eficiente cu un activ f ără risc
Risc port ‐
σp Rentab port ‐
E(Rp) Ponderi (w) 
SIF1  SIF2  SIF3  SIF4  SIF5  rf 
0.00  1  0.00 0.00 0.00 0.00 0.00  1.00
3.57  2  0.11 0.19 ‐0.09 ‐0.08 0.08  0.79
7.15  3  0.22 0.38 ‐0.18 ‐0.15 0.16  0.58
10.72  4  0.33 0.57 ‐0.27 ‐0.23 0.23  0.37
14.29  5  0.44 0.76 ‐0.36 ‐0.30 0.31  0.16
17.86  6  0.55 0.95 ‐0.45 ‐0.38 0.39 ‐0.06
21.44  7  0.65 1.14 ‐0.54 ‐0.45 0.47 ‐ 0.27
25.01  8  0.76 1.32 ‐0.63 ‐0.53 0.54 ‐0.48
28.59  9  0.87 1.51 ‐0.72 ‐0.60 0.62 ‐ 0.69

Conform rezultatelor, pentru a ob ține o rentabilitate lunar ă de 4%, se va investi
37% în activul f ără risc și restul de 63% în activele riscante, astfel: 33% în SIF1,
57% în SIF2, -27% în SIF 3, -23% în SIF4 și 23% în SIF5. Observa ți că pentru a
obține rentabilit ăți mai mari precum 6%, 7%, 8% sau 9 %, investitorul trebuie s ă se
împrumute, iar suma ob ținută să o investeasc ă în portofoliul pie ței.

Figura 2.19 Frontiera portofoliilor eficiente cu un activ f ără risc

Frontiera Markowitz, CML și portofoliul pie ței pentru acest exemplu sunt ilustrate
în figura 2.19. În plus, graficul mai prezint ă și combina ția risc-rentabilitate pentru
cele 5 SIF-uri (activele cu risc din exemplul nostru) pentru a ar ăta că investițiile
doar intr-una din ele sunt dominate de portofoliile eficiente de pe CML.