2.1 Grup topologic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Subgrupuri [606921]

Grupuri Topologice
Antonie M ad alina Florina
Lucrare de Licen  t a

2

Cuprins
1 Preliminarii 5
2 Notiuni elementare 7
2.1 Grup topologic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Subgrupuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3

4 CUPRINS

Capitolul 1
Preliminarii
Defini  tie 1.1 . Consider am G un grup  siH un subgrup al lui G . Spunem c a H
este subgrup normal dac a orice x2G  sih2H ,xhx12H (i.e.xHx1H ,
unde prinxHx1not am submulctimea lui G format a din toate elementele de
formaxhx1cuh2H .
Defini  tie 1.2 . Dac ap:G!G0este morfism surjectiv de grupuri, cuplul
(G0;p) este grup factor sau grup c at al grupului G . Se mai zice c a G0este un
grup factor al lui G , iarp este surjec  tia canonic a sau morfismul canonic.
Defini  tie 1.3 . Se zice c a s-a dat o topologie  pe multimea nevida X (sau
c aX este inzestrat a cu o topologie  ) dac a s-a fixat o mul  time  de submul  timi
ale luiX , numite mul  time deschise, cu urm atoarele proprieta  t:
(i);;X2 ;
(ii) Dac afAjgj2J este o familie oarecare de mul  timi din  atunci
[
j2JAj2;
(iii) Dac aA1;A22 , atunciA1\A22 .
Perechea (X;) se nume  se sapa  tiu topologic.
Defini  tie 1.4 . Consider am X o mul  time si 1;2 dou a topologii pe X . Dac a
12 se zice c a topologoia 2 este mai fin a dec at topologia 1 (sau topologia
1 este mai slab a dec at topologia 2 ).
Mul  timeaP(X) este o topologie pe X. Aceasta se nume  ste topoligie discret a
 si este cea mai fin a topologie pe X.
Mul  timea;;X este o topologie pe X. Aceasta se nume  ste topoligie grosier a
 si este cea mai slab a topologie pe X.
Defini  tie 1.5 .Fie X un spa  tiu topologic  si BX . B se nume  ste mul  time
inchisa, dac a XnB este mul  time deschis a.
5

6 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII

Capitolul 2
Notiuni elementare
2.1 Grup topologic
Defini  tia 2.1.1 Fie G un grup  si  o topologie pe G. Spunem c a  este
compatibil a cu structura de grup G daca aplica  tiile
(x;y)2GG!xy2G
 si
(x;y)2G!x12G
sunt continue.
O pereche (G;) , unde G este un grup si  o topologie compatibil a cu struc-
tura de grup G, se nume  ste grup topologic.
Fie A este o submul  time a grupului topologic G  si n 2N . AtunciAn:=
fa1
a2
:::
anja1;a2;:::;an2Ag  siA1=fa1ja2Ag
Exemplul 2.1.2. Dac a A o algebr a Banach unitar a  si G(A) grupul ele-
mentelor inversabile, atunci G(A) ,impreun a cu topologia indus a, este un grup
topologic.
Exemplul 2.1.3. Fie E un spa  tiu Banach  si L(E) algebra Banach a opera-
torilor liniari  si continui pe E.
Atunci se nume  ste grupul liniar general al lui E, grupul topologic
GL(E) :=G(L(E)):
In particular
GL(Rn) =GL(n;R):
2.1.4. Alte exemple de grupuri topologice
(i)(R;+) cu topologia uzual a;
(ii)(R
+;
) cu topologia uzual a;
(iii) (Z;+) cu topologia discret a;
7

8 CAPITOLUL 2. NOTIUNI ELEMENTARE
(iv) Orice grup cu topologia grosier a (i.e. ;  si grupul respectiv sunt singurele
mul  timi deschise );
(v)(T=fe2ixj0xg;
) cu topologia indus a de pe C cu topologia uzual a.
Propozi  tia 2.1.5. Dac a G este un grup topologic  si a2G , atunci aplica  tiile
g;La;Ra;a:G!G date de:
g(x) =x1;La(x) =ax;Ra(x) =xa;a(x) =axa1;
pentru orice x2G , sunt homeomorfisme.
Demonstra  tie. Deoarece aplica  tiile date  si inverselor lor,
g1=g;(La)1=La1;(Ra)1=Ra1
sunt continue, rezult a c a
a=R1
aLa;(a)1=RaLa1
sunt continue.
Obeseva  tia 2.1.6. FieG= (Z;+)  si=fUZj0=2U sauZminU este
finit a}.
AtunciG nu este grup topologic cu topologia prezentat a mai sus  , deoarece
L1(f1g) =f0g ,iarf0g nu este din  , cu toate caf1g2 .
Consecinta 2.1.7. Fie G un grup topologic cu elementul neutru e.
Dac aP;Q sunt mul  timi dechise din G  si a2G , atunci
P1;Pa;aP;PQ
sunt mul  timi deschise.
Consecinta 2.1.8. Fie G un grup topologic cu elementul neutru e.
Dac a este un sistem fundamental de vecin at a  ti ale elementului neutru e,
atunci, pentru orice a2G ,
(aV)V2;(Va)V2
sunt sisteme fundamentale de vecin at a  ti ale lui a.
Consecinta 2.1.9. Fie G un grup topologic cu elementul neutru e.
Dac a este un sistem fundamental de vecin at a  ti deschise ale elementului
neutru e, atunci familiile de mul  timi
fxVjx2G;V2g;fVxjx2G;V2g
sunt baze pentru topologia lui G.

2.1. GRUP TOPOLOGIC 9
Demonstra  tie. Consider am o mul  time deschis a D din G  si a2D .
Rezult a c a a1D este mul  time deschis a  si
e=a1a2a1D:
A  sadar exist a V2 cu
e2Va1D;
deci
a2aVD:
Consecinta 2.1.10. Fie G un grup topologic cu elementul neutru e.
Dac aU este un sistem fundamental de vecin at a  ti deschise ale elementului
neutru, atunci vom avea:
1) Pentru orice U2U exist aV2U cu
V1U
(stim c a inversa unei func  tii din G e continu a);
2) Pentru orice U2U exist aV2U cu
V2U
(stim c a inmul  tirea e continu a);
3) Pentru orice U2U  si oricex2U , exist aV2U cu
xVU
(pentru c a mul  timea U este deschis a);
4) Pentru orice U2U  si oricex2G , exist aV2U cu
xVx1U
(pentru c a x2G!xyx12G este homeomorfism);
5) Pentru orice U;V2U , exist aW2U cu
WU\V;
atunci
fxUjx2G;U2Ug;fUxjx2G;V2Ug
sunt baze pentru topologia care  l face pe G un grup topologic.
Consecinta 2.1.11. Fie G un grup topologic cu elementul neutru e.
Atunci exist a o baz a de vecin at a  ti a elementului neutru format a din mul  timi
U cu propriet a  tile urm atoare:

10 CAPITOLUL 2. NOTIUNI ELEMENTARE
1) U este mul  time deschis a;
2)U=U1:
Aceste mul  timi se numesc simetrice .
Propozi  tia. 2.1.12. Dac a G este un grup topologic cu elementul neutru
e,U2e siFG o mul  time compact a, atunci exist a o vecin at atate V2e
astfel ca pentru orice x2F avem
xVx1U:
Demonstra  tie. Consiter am familia vecin at a  tilor simetrice ale lui e, U:
Exist aVy2U pentru orice y2G astfel  nc at
xVyx1U
pentru orice x2Vyy .
Observ am c a exist a V12U astfel  ncat
V3
1U
 si exist aV22U , conform Consecin  tei 2.1.10, 4) astfel  nc at
yV2y1V1:
Iau
Vy=V1\V22U:
Atunci, pentru orice x2Vyy , avem
xy12VyV1:
 si
yx12V1
1=V1:
A  sadar
xVyx1= (xy1)(yVyy1)(yx1)V1V1V1=V3
1U:
Deci, exist a Vy2U pentru orice y2F , astfel  nc at
xVyx1U;
pentru orice x2Vyy:
Cum
F[
y2FVyy
 si F este compact a, atunci exist a y1;:::;yn2F astfel  nc at
Fn[
k=1Vykyk:

2.1. GRUP TOPOLOGIC 11
Iau
V=n\
k=1Vyk2Ve:
Propozi  tia 2.1.13. Pentru orice G grup topologic exist a sisteme fundamen-
tale de vecin at a  ti  nchise  si simetrice ale elementului neutru.
Demonstra  tie. Fie e elementul neutru al grupului G.
Dac aV2e , atunci exist a U2e astfel  nc at
U2V:
Conform Consecintei 2.1.11, exist a W2e astfel  nc at
W1=W
 si
WU:
Utilizam Propozi  tia 2.1.5.  si ob  tinem
W1=g(W) =g(W) =W:
deci W este o vecin atate simetric a a elementului neutru e.
Ar at am c a
WV:
xW este o vecin atate a lui x, pentru orice x2W , deci
xW\W =2;:
Dac a
y2xW\W;
exist aa;b2W astfel  nc at
xa=y=b:
A  sadar,
x=ba12WW1=W2U2V:
Observa  tia 2.1.14. Un spa  tiu topologic Hausdorff este un spa  tiu T1 , reci-
proc nu este valabil  n general.
Exemplu: (X;) , X este mul  time infinit a  si
=fU2XjXUfinitg[f;g
este spa  tiu T1 , dar nu este spa  tiu Hausdorff.
Propozi  tia 2.1.15. Orice grup topologic G care este spa  tiu T1 este spa  tiu
Hausdorff.

12 CAPITOLUL 2. NOTIUNI ELEMENTARE
Demonstra  tie. Consider am elementul neutru al lui G ca fiind e.
Fie x  si y doua puncte din G, x6=y:
Avem
x1y6=e:
Gfx1yg este o vecin atate deschis a a elementului neutru e  si deducem
c a exist a o vecinatate deschis a simetric a V a elementului neutru e, conform
Consecintei 2.9, 2), astfel  nc at
V2Gfx1yg:
Ar at am c a xV\yV=; .
Presupunem prin absurd, c a
xV\yV6=;
.
Atunci exist a v1;v22V astfel  nc at
xv1=yv2:
Avem
x1y=v1v1
22VV1=V2Gfx1yg;
contradic  tie.
Avem
xV\yV=;
 si pentru c a
xV2x
 si
yV2y;
atunci G este spa  tiu Hausdorff.
2.2 Subgrupuri
Remarca 2.2.1. Consider am un grup topologic (G;)  siH un subgrup al
luiG .
Atunci (HjH) este drup topologic.
Teorema 2.2.2. Fie G un grup topologic  si H un subgrup al sau. Urm atoarele
afirma  tii sunt echivalente:
i)H=
H;
ii)
H6=;:

2.2. SUBGRUPURI 13
Demonstra  tie. i) =)ii) Deoarece
e2H
 si
H=
H;
atunci
H6=;:
ii) =)i) Consider am
a2
H:
Atunci exist a U o vecin atate deschis a a lui e, cu
aUH
 si
Ua1H=H:
A  sadar,
H=[
x2HxU:
Folosind Consecinta 2.1.7, avem c a H este mul  time deschis a.
Teorema 2.2.3. Fie G un grup topologic  si H un subgrup deschis al lui G.
Atunci H este mul  time  nchis.
Demonstra  tie. Pentru orice a2GH , avem
a=ae2aH:
A  sadar,
GH[
a2GHaH:
Acum, dac a
x2[
a2GHaH;
atunci exist a a2GH  sih2H cu
x=ah:
Dac ax2H , atunci
a=xh12H;
contradic  tie.
A  sadar,x2GH  si
[
a2GHaHGH:

14 CAPITOLUL 2. NOTIUNI ELEMENTARE
Deoarece,
GH[
a2GHaHGH;
deducem
GH=[
a2GHaH:
Folosind Consecin  ta 2.1.7, avem c a GH este mul  time deschis a, deci H
este mul  time  nchis a.
Teorema 2.2.4. Consider am G un grup topologic, e elementul s au neutru
 si V o vecin atate deschis a  si simetric  a a elementului neutru e.
Atunci
V1=1[
n=1Vn
este un subgrup deschis al lui G.
Demonstra  tie. Fiex;y2V1 .
Atunci exist a n;m2f1;2;3;:::g astfel  nc at
x2vn
 si
y2Vm:
Avem c a
xy2Vn+m
 si
x12(Vn)1= (V1)n=Vn:
adic a
xy;x12V1:
Deci,V1 este subgrup al grupului topologic G  si evident V1 este mul  time
deschis a.
Teorema 2.2.5. Fie G un grup topologic  si H un subgrup al s au.
Atunci urm atoarele afirma  tii sunt echivalente:
i) Exist aa2H izolat  n H;
ii) Fiecare punct x2H este izolat  n H.

2.2. SUBGRUPURI 15
Demonstra  tie. ii) =)i) Evident.
i) =)ii) Fie e elementul neutru al grupului G.
Consider am a2H un punct izolat.
Atunci exist a V2e cu
aV\H=fag:
A  sadar,
V\H=V\a1H=feg:
Deci, pentru orice x2H , avem
xV\H=xV\xH=x(V\H) =fxg;
i.e x este punct izolat.
Defini  tia 2.2.6. Un subgrup al unui grup topologic care satisface condi  tiile
din teorema precedente se nume  ste discret .
Defini  tia 2.2.7. O submultime A a unui spa  tiu topologic se nume  ste local
 nchis a dac a pentru orice a2A exist a o vecin atate  nchis a a lui a astfel  nc at
V\A este  nchis a  n V.
Obsetva  tia 2.2.8. Fie G un grup topologic  si H un subgrup al s au.
Atunci H este local  nchis dac a  si numai dac a exist a o vecin atate  nchis a V
a elementului neuru astfel  nc at mul  timea V\H s a fie  nchis a  n V.
Propozi  tia 2.1.9. Fie G un grup topologic.
Atunci orice subgrup local  nchis H al lui G este  nchis.
Demonstra  tie. Cum H este un subgrup local  nchis al lui G, atunci exist a V o
vecin atate simetric a  si  nchis a a elementului neutru a lui G astfel  nc at V\H
s a fie  nchis a  n V.
Pentru orice x2H , avem
x
V\H6=;:
Exist a
a2x
V\H;
astfel c a
a12
V1
x1=
Vx1:
Deci,
a1×2
V;
adic a
x2a
V:
Dar
x2a
V\H=a
V\aH=a
V\aHa
V
=

16 CAPITOLUL 2. NOTIUNI ELEMENTARE
a(
V\H)a
V
a(V\H)aV=aV\H;
de unde avem c a
x2H:
Propozi  tia 2.1.10. Consider am un grup topologic G  si A;BG:
Atunci:
i)
A
BA
B;
ii)
(A)1= (A1);
iii)
xAy=xAy;
pentru orice x;y2G .
iv) Dac a G este spa  tiu Hausdorff, atunci din condi  tia
ab=ba;
pentru orice a2A  si oriceb2B , va rezulta
a0b0=b0a0;
pentru orice a02A  si oriceb02B:
Demonstra  tie. i) Consider am x2A  siy2B .
Pentru orice V2e , exist aV2e astfel  nc at
(xV)
(yV)xyU:
Exist a
a2A\xV
 si
b2B\yV;
deoarece
A\xV6=;
 si
B\yV6=;:
A  sadar,
a
b2A
B\(xV
yV)A
B\xyU:

2.2. SUBGRUPURI 17
Rezult a
xyU\AB6=;:
Deci
xy2AB:
ii) Din Propozi  tia 2.1.5 avem c a aplica  tia g:G!G ,g(x) =x1homeomor-
fism, deci va rezulta c a
(A)1= (A1);
pentru orice AG .
iii) Avem c a aplica  tia u:G!G ,u(x) =xuy este homeomorfism, deci va
rezulta c a
xAy=xAy;
pentru orice x;y2G .
iv) Avem c a aplica  tia
f:GG!G;f(x;y) =xyx1y1
este continu a.
Fie e elementul neutru al lui G.
Avem c a
ABH;
 ntruc at
ABH=f1(e):
Deoarece f este continu a  si feg este mul  time  nchis a, rezult a c a H este
mul  time  nchis a (i.e H=H ).
Deci,
ABH:
Corolar 2.1.11.
i) Dac a H este un subgrup normal al grupului topologic G, atunci
H
este subgrup normal al lui G.
ii) Dac a H este un subgrup abelian al grupului topologic Hausdorff G, atunci
H
este subgrup abelian al lui G.
iii) Dac a G este un grup topologic cu elementul neutru e, atunci
feg
este subgrup normal, abelian  si  nchis al lui G.
Propozi  tia 2.1.12.