2.1. Câmpul magnetic. Induc ția magnetic ă. Experiența arată că dacă apropiem un ac magnetic de un conductor parcurs de curent electric se constat ă… [623499]

37

CAP. 2. ELECTROMAGNETISM
2.1. Câmpul magnetic. Induc ția magnetic ă.

Experiența arată că dacă apropiem un ac magnetic de un
conductor parcurs de curent electric se constat ă că acul se deplaseaz ă din
poziția sa de echilibru, cu atât mai accentuat cu cât distan ța față de
conductor este mai mic ă și cu cât intensitatea cu rentului din conductor
este mai mare. La întreruperea cure ntului din conductor, acul magnetic
revine în pozi ția sa inițială, adică în direc ția magnetismului terestru.
Deci, acul magnetic este supus ac țiunii unor for țe variabile în spa țiu, care
durează atâta timp cât dureaz ă curentul.
Spunem c ă în jurul conductorului parc urs de curent electric, unde
se manifest ă forțe și momente, exist ă câmp magnetic , care depinde de
prezența curentului electric.
Aceste for țe acționează atât asupra unor c onductoare parcurse de
curenți, cât și asupra altor corpuri magnetizate sau confec ționate din fier-
nichel, cobalt etc..
Prezen ța curentului electric este înso țită întotdeauna de câmp
magnetic și invers. Câmpul magnetic ce se afl ă în jurul magne ților
permanen ți este produs, dup ă cum vom vedea mai târziu, de curen ții
moleculari care se formeaz ă prin mi șcarea electronilor pe orbitele
atomilor, în planuri perpendi culare pe axul magnetului.
Câmpul electric și câmpul magnetic pot fi considerate ca dou ă
aspecte diferite ale câmpului electromagnetic, care înso țesc orice
deplasare de energie electric ă, de-a lungul unui conductor. Pentru a
reprezenta grafic intensitatea și direcția unui câmp magnetic, se utilizeaz ă
liniile de induc ție magnetic ă sau liniile de câmp magnetic. Se numesc
linii de induc ție magnetic ă sau de câmp magnetic, liniile trasate într-un
câmp a c ăror direcție este dat ă, în fiecare punct, de direc ția în care se
așează acul magnetic. Aceste linii se traseaz ă în așa fel, încât în fiecare
punct al spa țiului,să fie tangente la direc ția acului magnetic din acel
punct. S-a convenit a se lua ca sens poz itiv al câmpului magnetic, sensul
în care se deplaseaz ă vârful nord al acului magnetic, aflat în câmp.
Liniile de câmp magnetic ale câmpului produs de un
magnet permanent sunt reprezentate în fig. 2.1. Ele ies din polul nord și
intră în polul sud. În fig. 2.2 sunt reprezentate liniile de câmp magnetic
ale unui conductor rectiliniu și parcurs de curent el ectric. Acestea sunt

38
cercuri concentrice, cu ce ntrul pe axul conductorulu i, aflate într-un plan
perpendicular pe conductor .
Liniile de câmp magnetic
ale unei bobine (solenoid) parcursă de curent electric sunt
prezentate în fig. 2.3.
Liniile de câmp magnetic
sunt întotdeauna linii închise, lipsite de început și sfârșit, spre
deosebire de cele de câmp electric care nu sunt închise (acestea pornesc din sarcinile electrice pozitive și se termin ă în sarcinile
negative). Experimental, se dovede ște că, odată cu schimbarea sensului
curentului prin conductor se schimb ă și sensul liniilor de câmp. Leg ătura
dintre sensul curentului și sensul liniilor de câmp magnetic este dat ă de
regula burghiului sau a tirbu șonului, care se enun ță în felul urm ător: dacă
se învârte burghiul (sau tirbu șonul), în a șa fel încât s ă înainteze în
direcția și sensul curentului, atunci sensul de rota ție a burghiului (sau a
tirbușonului) va indica sensul linii lor de câmp magnetic. Dac ă cunoaștem
sensul liniilor de câmp, putem determ ina sensul curentului în conductor.
Câmpul magnetic într-un punct
dat, este caracterizat printr-o m ărime
direcțională numită inducția câmpului
magnetic,
B. Inducția câmpului
magnetic poate fi determinat ă fie prin
forța mecanic ă cu care câmpul magnetic ac ționează asupra unui curent
electric, fie prin t.e.m. indus ă într-un conductor care se mi șcă în câmpul
magnetic. Numim câmp magnetic omogen, acel câmp care în orice punct al său, are aceea și inducție magnetic ă (mărime, direc ție și sens). Un câmp
magnetic ac ționează asupra unui conductor re ctiliniu de lungime l,
parcurs de curentul I, cu o for ță electromagnetic ă
F. Această forță este
Fig. 2.1
Fig. 2.2
S
IN

39
direct propor țională cu induc ția câmpului magnetic, cu lungimea
conductorului aflat în câmpul magnetic, cu sinus ul unghiului dintre
direcțiile curentului și direcția câmpului și nu depinde de materialul și
secțiunea conductorului. Direc ția forței F este totdeauna normal ă pe
planul determinat de direc ția curentului și direcția câmpului magnetic.
Forța F este dată de relația:
F=B ×I× l ×s i n (l , B)  sau () F=I l ×B (2.1)
în care Beste induc ția câmpului magnetic, care caracterizeaz ă câmpul
magnetic. Sensul for ței F este dat de regula mâin ii stângi, care se enun ță
astfel: se a șează palma mâinii stângi în a șa fel încât liniile de câmp
magnetic s ă intre în palm ă, iar cele patru degete al ăturate îndreptate dup ă
direcția curentului, degetul mare
depărtat la 90o, indică direcția și
sensul for ței.
În fig. 2.4 este reprezentat
un câmp magnetic omogen, dat de doi poli magnetici, în care se afl ă
un conductor de lungime
l și
străbătut de curentul I. Aplicând
regula mâinii stângi g ăsim direcția
și sensul for ței F la care este
supus conductorul. Dac ă se
inverseaz ă sensul curentului în
conductor și se men ține sensul
câmpului magnetic, for ța F își va
schimba sensul. Acela și lucru se
obține dacă se men ține sensul
curentului și se inverseaz ă sensul
câmpului magnetic. Dac ă însă se
schimbă și sensul curentului și
sensul câmpului magnetic, direc ția
și sensul for ței vor rămâne neschimbate.
Aceast ă forță la care este supus un conductor str ăbătut de un
curent electric, aflat într-un câmp magnetic, se nume ște forță
electromagnetic ă sau forță laplacean ă.
Când direc ția inducției câmpului magnetic este perpendicular ă pe
direcția curentului electric rela ția forței devine:
lIBF⋅⋅= (2.2) F
I
l F
Fig.2.4 B

40
Relația (2.2) permite definirea induc ției magnetice și stabilirea
unității de măsură. Astfel lIFB⋅=/ . Deci, induc ția magnetic ă poate fi
considerat ă ca fiind egal ă cu valoarea for ței cu care ac ționează câmpul
magnetic asupra unui conductor prin care circul ă un curent de 1 A, cu
lungimea de 1 m. M ărimea induc ției magnetice în sistemul interna țional
are ca unitate de m ăsură 2sec/m V⋅ sau weber/m2, adică:

însă 1V·1sec=1weber (prescurtat W
b) și deci induc ția câmpului magnetic
se măsoară în W b/m2 (Tesla) . Inducția se mai m ăsoară și în gauss
(un gauss =10-4 Wb/m2).
Forța care acționează asupra unui conductor oarecare parcurs de
curent, poate fi descompus ă în forțe elementare Fd. Relația (2.1) se
scrie sub forma:
(x) x d F I d lB I d lB==
Această forță elementar ă acționează asupra elementelor distincte
de curent I d l. Forța care acționează asupra unui circuit închis, prin care
trece un curent, poate fi exprimat ă prin relația:
∫= )x(BdlIF (2.3)
Un circuit închis mai poate fi supus din partea unui câmp magnetic și
unui moment de rota ție, care poate fi calculat cu u șurință în funcție de
forța laplacian ă. Se demonstreaz ă astfel că momentul cuplului care tinde
să rotească un cadru, este dat de rela ția:
Bp M x = (2.4)
unde SIp= este momentul magnetic, S (a ria cadranului) fiind modulul
lui Sorientat în sensul câmpului magn etic al curentului din cadru.

2.2. Intensitatea câmpului magnetic

Inducția câmpului magnetic depinde de propriet ățile fizice ale
mediului, de pozi ția curenților electrici și de mărimea curen ților care dau
naștere câmpului magnetic. Experien ța arată că într-un mediu omogen, în
jurul unui conductor rectiliniu parcur s de un curent electric, se formeaz ă
un câmp magnetic circular. Induc ția câmpului magnetic a unui asemenea
curent într-un punct M situat la distanta r este propor țională cu
intensitatea curentului și invers propor țională cu distan ța de la conductor
(vezi fig.2.5 și relația 2.5). Tot pe cale experimental ă s-a dovedit c ă în 22 2F N J VgAgsec VgsecB= = = = =Il Am Am Am m⎡⎤⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡⎤
⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎥⋅⋅ ⋅⋅ ⎣⎦⎣⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

41
interiorul unei bobine de lungime l se formeaz ă un câmp magnetic
omogen, a c ărui direcție este paralel ă cu axa bobinei. Induc ția magnetic ă
a unui asemenea câmp este propor țională cu intensitatea curentului și cu
numărul N de spire pe unitate de lungime considerat ă de-a lungul axei
solenoidului (vezi fig.2.6 și relația 2.6).
rIB⋅=πμ2 (2.5)
NIBlμ= (2.6)
Relațiile (2.5) și (2.6) se pot demonstra apli când legea lui Bi ot-Savart sau
legea fundamentala a circuitelor magnetice. În rela țiile (2.5) și (2.6) apare
coeficientul de propor ționalitateμ, numit permeabilitatea magnetica a
mediului în care se stabile ște câmpul magnetic. Permeabilitatea
magnetic ă relativă se define ște ca fiind raportul dintre induc ția câmpului
magnetic în acel mediu într-un pun ct M situat la distanta r fa ță de axa
conductorului și inducția câmpului magnetic în vid sau aer, produs de
același curent și în același punct, adic ă:

0μμμ=r (2.7)
La majoritatea materialelor, în afara celor feromagnetice și
ferimagnetice, permeabilitatea magnetic ă diferă foarte pu țin față de 0μ
(permeabilitatea magnetic ă a mediului vid sau aer), fapt pentru care, în
calculele practice se poate lua 0μμ≅ , adică rμ=1.
Din rela ția: B=lNI
0μ se poate deduce unitatea de m ăsură a
permeabilit ății câmpului magnetic și anume:
Fig. 2.5
Fig. 2.6

42
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅Ω=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅⋅=⋅=mS
Am
mSV
IlB
o 2][][][][μ
însă: 1Ω.1s = 1 henry (H ) și deci: [][]mHo /=μ
În sistemul interna țional, valoarea permeabilit ății magnetice a
mediului vid sau aer este ./ 1047mHo−⋅=πμ
Se define ște intensitate de câmp magnetic (H) raportul dintre
inducția magnetic ă într-un punct și permeabilitatea magnetic ă a mediului
din acel punct și este o m ărime vectorial ă.
Deci se poate scrie rela ția:
sau BHB H μμ== (2.8)
În cazul unui conductor rectiliniu str ăbătut de un curent I,
intensitatea câmpului magnetic va fi:
rI BH
o⋅==πμ 2 (2.9)
In interiorul unei bobine, de lungime l, intensitatea câmpului
magnetic este dat ă de relația:
(2.10)
în care N/l reprezint ă
numărul de spire pe unitatea
de lungime. Din rela ția
(2.10) rezult ă că unitatea de
măsură pentru intensitatea
câmpului magnetic, în sistemul interna țional este
amper/metru (A/m). De remarcat este faptul că în cazul unui câmp
magnetic produs de mai mulți curenți, într-un punct
M intensitatea câmpului magnetic se ob ține făcând o
sumă vectorial ă a intensit ăților câmpurilor magnetice produse de fiecare
M123H= H + H + H curent în parte, fig.2.7.

I1
I2 I3
r1
r2 r3
1H2H3H
2H3HMH
Fig. 2.7 NIHl=

43
2.3. Fluxul magnetic

Fie o suprafa ță S mărginită de un contur, fig. 2.8. Fluxul magnetic
printr-o suprafa ță S, reprezint ă totalitatea liniilor de câmp magnetic ce
străbat acea suprafa ță. Fluxul magnetic Φ, este dat de rela ția (2.11).
dsB dsB
S S⋅= =Φ ∫∫βcos (2.11)
Fluxului elementar care str ăbate elementul de suprafa ță ds este:
dsB d⋅=Φ (2.12)
Dacă inducția câmpului magnetic este perpendicular ă pe elementul de
Hsuprafață ds, atunci se poate scrie:
B=dsdΦ (2.13)
adică inducția câmpului magnetic
reprezintă densitatea de flux
magnetic al câmpului magnetic.
Unitatea de m ăsură pentru
fluxul magnetic în sistemul internațional este Weberul (Wb).

Întrucât liniile de câmp
magnetic sunt linii închise, fluxul magnetic care trece prin orice
suprafață închisă este întotdeauna egal cu zero (
∫=⋅ 0 dsB ).
Dacă câmpul magnetic este produs de mai mul ți curenți, care pot
aparține unor circuite diferite, atunci fl uxul magnetic din interiorul unui
contur oarecare, închis, este egal cu suma algebric ă a fluxurilor produse
de curenții distincți, în interiorul acelui contur, adic ă:

( ) ∫∫Φ++Φ+Φ+Φ=⋅++++=⋅=Φ
SSnndsB BBB dsB … …3 2 13 2 1 (2.14)

2.4. Magnetizarea substan țelor (corpurilor)

Dac ă un corp aflat într-un câmp magnetic este supus unor for țe
sau cupluri, f ără ca el să fie parcurs de cure nt electric, spunem c ă acesta
se află în stare de magnetizare.
Starea de magnetizare poate fi permanent ă sau temporar ă, stări
care pot fi separate sau concomitent e la un corp. Starea de magnetizare
permanent ă se întâlne ște la magne ții permanen ți și nu este dependent ă de

44
existența câmpurilor exterioare. Starea de magnetizare temporar ă depinde
de inducția câmpului magnetic exterior.
Experien ța arată că dacă un circuit str ăbătut de curent electric se
află într-o substan ță, sau în apropierea unor corpuri oarecare, câmpul
magnetic produs de aceasta în substan ță, va fi diferit de cel produs în aer
sau în vid. Aceast ă se datoreaz ă apariției în substan ță a unei anumite
orientări a curen ților electrici elementari intermoleculari și interatomici,
sub acțiunea câmpului magnetic exterior.
Curenți elementari exist ă în interiorul oric ărei substan țe chiar și
atunci când nu exist ă câmp magnetic exterior. Ace ști curenți sunt datora ți
mișcării electronilor pe orbitele atomilor cât și prin rotirea lor în jurul
propriilor axe. Dac ă orientările acestor curen ți nu sunt ordonate, din
punct de vedere macroscopic, ei nu produc câmp magnetic. Sub ac țiunea
unui câmp magnetic exterior, curen ții elementari ai unei substan țe se
orientează într-o m ăsură oarecare și produc un câmp magnetic
suplimentar, care suprapunându-se pe ste câmpul exterior îl modific ă.
Exist ă substanțe care prin magnetizare produc o intensificare a
câmpului magnetic exterior, numite substan țe paramagnetice și altele,
care produc o reducere a câmpului exterior, numite substan țe
diamagnetice. Din categoria substan țelor paramagnetice exist ă o
categorie de substan țe, numite substan țe magnetice (feromagnetice și
ferimagnetice), care au o influen ță puternică asupra câmpului magnetic
exterior. Induc ția magnetic ă în vid sau în aer, a unui câmp magnetic, este
dată de relația:

0 BH=μ⋅ . (2.15)
In substan ță, același câmp magnetic are induc ția magnetic ă
0 s BH B=μ + (2.16)
Deci, în substan ță, inducția câmpului magnetic este suplimentat ă cu o
inducție suplimentar ă sB, a câmpului magnetic suplimentar produs de
curenții electrici elementari din substan ța respectiv ă, orientați de câmpul
exterior ini țial.
Induc ția câmpului suplimentar are rela ția:
sB= µ 0· tM (2.17)
unde M t se poartă denumirea de ma gnetizare temporar ă.
Magnetizarea depinde de intensitatea câmpului magnetic, de proprietățile materialului și de temperatur ă. Ea se calculeaz ă cu formula:

tM=mHχ (2.18)
unde χ m se numește susceptibilitate magnetic ă.

45
Rela ția (2.18) reprezint ă legea magnetiza ției temporare .
Inducția magnetic ă totală în substan ță este:
00 m B=μH+μχ H (2.19)

sau () H H H 1 Br0 m 0 ×μ=×μμ=χ+μ= (2.20)
unde χμ+=1r , se nume ște permeabilitate magnetic ă relativă.
Pentru substan țele paramagnetice0μμ> și 0>χ iar pentru
substanțele diamagnetice 0μμ< și . 0<χ O grupă specială o formeaz ă
substanțele feromagnetice și ferimagnetice, care se caracterizeaz ă printr-
o permeabilitate magnetic ă mult mai mare decât permeabilitatea
magnetică a mediului vid. În acest caz m ărimea μ depinde de
intensitatea câmpului magnetic și de stările magnetice anterioare.
Induc ția magnetic ă în substan țele feromagnetice, pentru aceea și
valoare a intensit ății câmpului, poate avea valori diferite întrucât depinde
de stările magnetice anterioare ale ma terialului. De aceea, pentru c ă
mărimea HBGG
/=μ să poată servi drept caracteristic ă a propriet ăților
magnetice ale materialelor feromagnetice, este necesar s ă se precizeze
exact metoda de determinar e a acestei caracteristici.
Să examin ăm procesul de magnetizare a substan țelor
feromagnetice . Să presupunem c ă inițial substan ța a fost complet
demagnetizat ă, adică în spațiul exterior nu s-a constatat existen ța
câmpului curen ților elementari. Când cre ște intensitatea câmpului
exterior, induc ția crește la
început repede (fig.2.9), deoarece curen ții elementari
se orienteaz ă astfel încât
fluxurile lor magnetice, se adaugă fluxului exterior. La
valori mari ale lui H, viteza de creștere a induc ției
câmpului magnetic scade. Starea magnetic ă a substan ței
se apropie de satura ție.
Totodată, aproape to ți
curenții elementari sunt astfel
orientați încât câmpurile lor
magnetice coincid ca direc ție cu câmpul exterior. Aceasta curb ă care ne
dă creșterea induc ției magnetice în func ție de intensitatea câmpului,

46
poartă numele de curbă de prim ă magnetizare . Variația vectorului
magnetizării în func ție de H are aspectul curbei din fig.2.9 (curba trasat ă
punctat). Varia ția inducției câmpului magnetic exterior în func ție de H,
adică B0=µ0·H reprezint ă o dreapt ă ce trece prin orig ine. Adunând la
ordonatele curbei B s(H), ordonatele dreptei B 0, obținem curba de prim ă
magnetizare B(H).
Curba de prim ă magnetizare cuprinde trei por țiuni caracteristice:
o porțiune Oa, în care induc ția magnetic ă crește aproape propor țional cu
H și curba se prezint ă practic ca o linie dreapt ă; porțiunea ab, unde
creșterea induc ției scade din ce în ce mai mult cu cre șterea câmpului și
curba are o form ă
oarecum rotund ă (cotul
curbei); por țiunea de
dincolo de punctul b, în care creșterea induc ției B
în funcție de H devine
practic din nou liniar ă.
Această din urm ă
porțiune corespunde
regimului de satura ție
magnetic a materialului când induc ția
suplimentar ă B
s a atins
valoarea limit ă B sat. Fiecare material feromagnetic are o curb ă
caracteristic ă de magnetizare.
În fig. 2.10 se reprezint ă variația permeabilit ății și susceptibilit ății
magnetice, în lungul curbei de prim ă magnetizare. Maximele corespund
cu punctul M în care tange nta la curba de magnetizar e trece prin origine,
iar valorile asimptotice finale se refer ă la domeniul de satura ție. În acest
domeniu, susceptibilitatea magnetic ă χ tinde c ătre zero, iar
permeabilitatea magnetic ă către valoarea 0μ .
Permeabilitatea materialelor feromagnetice scade cu cre șterea
temperaturii, ajungând la valoarea zero pentru temperaturi cuprinse între
700÷9000C, pentru fier moale, 500÷7000C pentru o țel și 250÷3000C
pentru nichel.

2.5. Fenomenul de histerezis

Dacă o bucată de fier, neutr ă din punct de vedere magnetic, este
supusă unui câmp magnetic exterior a c ărui intensitate variaz ă de la zero

47
la o valoare oarecare H m, inducția câmpului magnetic variaz ă (curba de
primă magnetizare 1 a materialului re spectiv) de la zero la valoarea B m
(fig.2.11). Dac ă H se scade de H m până la zero, induc ția magnetic ă se
micșorează, însă nu după aceeași curbă ci după curba 3, situat ă deasupra
curbei de magnetizare ini țială. Se
observă că pentru acelea și valori
ale intensit ății câmpului magnetic
luate în sens invers, avem valori mai mari ale induc ției magnetice.
În punctul O, de și H = 0 , induc ția
câmpului magnetic nu se anuleaz ă
ci se păstrează la o valoare oarecare
B
r, egală cu ordonata OC. Pentru a
demagnetiza bucata de fier, adic ă
pentru a o face s ă-și piardă complet
magnetismul, trebuie s-o supunem unui câmp negativ, OD, numit câmp coercitiv (-H
c). Pentru acest
câmp negativ B=0. Dac ă continuăm
să supunem acum bucata de fier
unui câmp negativ din ce în ce mai
puternic, induc ția scade sub zero, devine negativ ă și crește apoi în
valoare negativ ă după curba DA’. În A’ s-a atins punctul de satura ție
maximă negativă, pentru valoarea negativ ă –H m a câmpului. In acest caz
inducția este -B m. Dacă micșorăm acum valorile negative ale câmpului,
inducția se deplaseaz ă pe ramura A’E, atingând valoarea corespunz ătoare
ordonatei OE pentru un câmp egal cu zero. Aici avem un magnetism
remanent negativ –B r, deci cu polii inversa ți față de cel precedent. Pentru
a anula acest magnetism remanent, avem nevoie de un câmp coercitiv OF. Continuând mai departe cre șterea lui H, ajungem din nou în punctul
A. După cum se vede, induc ția rămâne mereu în urma câmpului care o
produce și din aceast ă cauză curba închis ă ACDA’EFA poart ă numele de
ciclu de histerezis .
Dac ă repetăm variația câmpului între acelea și limite H m și -H m,
valoarea induc ției câmpului magnetic va urma exact acela și contur.
Curbele de histerezis au forme diferite, dup ă compozi ția materialelor
feromagnetice întrebuin țate. Utiliz ările industriale cer anumite tipuri de
curbă de histerezis, deci anumite materiale feromagnetice. Din acest
punct de vedere se disting materiale magnetice moi, caracterizate printr-
un câmp coercitiv mic și materiale magnetice tari, având un câmp
coercitiv mare. Din prima categorie fac parte: fierul moale, otelul foarte

48
dur, aliajele din fier și nichel (în special a liajul permaloi, care con ține
75%Ni) etc.. Din a doua categorie fac parte o țelurile speciale (de exemplu
aliajul 65% Fe, 25%Ni și 10% Al).
Demagnetizarea și remagnetizarea unui material feromagnetic,
necesită un anumit consum de energie care apare sub form ă de căldură în
masa materialului. Se poate demonstra c ă suprafața închisă de curba de
histerezis este direct propor țională cu energia pierdut ă în fier pentru un
ciclu histerezis, adic ă pentru o varia ție a câmpului magnetic de la
valoarea maxim ă pozitivă la valoarea maxim ă negativă și înapoi la
valoarea maxim ă pozitivă.
Prin însu și principiul de func ționare al ma șinilor electrice, miezul
de fier (care constituie circui tul lor magnetic) este supus unor
magnetizări alternative foarte dese. Din aceast ă cauză în miezul acestor
mașini se produc pierderi de energie datorit ă fenomenului de histerezis,
cu atât mai mari cu cât se schimb ă mai des sensul câmpului într-un
interval de timp dat, adic ă cu cât se repet ă mai des ciclul de histerezis.
Aceste pierderi de energie mai depind de induc ția maxim ă, de calitatea și
compoziț
ia fierului. Asemenea circuite magnetice, pentru a avea pierderi
de energie cât mai mici, se fac din ma teriale magnetice de tip moale, cu o
suprafață de histerezis cât mai redus ă.
Pentru calculul puterii pierdu te prin fenomenul de histerezis, se
utilizează următoarea formul ă empirică:
P H=Hσ2
max100fB(W/Kg) (2.21)
în care: B max este valoarea maxim ă a inducției magnetice (în Tesla),
produsă la magnetizarea miezului prin curentul de magnetizare, f este
frecvența acestui curent și Hσ este un coeficient care depinde de natura
și calitatea materialului magnetic utilizat (la o țel electrotehnic
Hσ=2,4÷3).
Materialele magnetice de tip „tare” sunt întrebuin țate la fabricarea
magneților permanen ți.

2.6. Legea fundamental ă a circuitului magnetic (legea
curentului total )

Fie un contur închis τ, ce delimiteaz ă o suprafa ță traversat ă de
trei conductoare parcurse de curen ții electrici I 1 , I 2 și I3, fig. 2.12.
Fiecare din cei trei curen ți va produce în spa țiul înconjur ător câte un

49
câmp magnetic rezultant. Câm pul magnetic rezultant variaz ă ca mărime,
direcție și sens de la un punct la altul .
Numim curent total suma algebric ă a curen ților care str ăbat
suprafața mărginită de contur închis τ. Semnul curen ților se stabile ște cu
ajutorul unui burghiu drept astfel: se ia un anumit sens de parcurgere al
conturului; se a șeză burghiul pe suprafa ța conturului și se rotește în
sensul de parcurgere al conturului. Curen ții care str ăbat suprafa ța
conturului în sensul de înai ntare al burghiului se consider ă pozitivi iar
ceilalți negativi.
Dacă pentru conturul închis ales, fig.2.12, se ia ca sens de
parcurgere sensul acelor de ceasornic, curen ții I 1 și I3 sunt pozitivi, iar
curentul I 2 este negativ. Curentul total va fi : I t = I 1-I2+I3 .
Intensitatea câmpul magnetic rezultant se ob ține cu rela ția
123 MHH H H=++ .
Separ ăm pe contur un element de lu ngime dl situat în punctul A
în care vectorul intensit ății câmpului magnetic rezultant Hface cu
direcția elementului dlun unghi α (sensul pozitiv al direc ției
elementului dl se ia în sensul de
parcurgere al conturului). Conform legii fundamentale a circuitului magnetic sau legii curentului total, in tegrala de linie pe
conturul închis a produsului scalar
H·ldeste egal ă cu curentul total,
adică:
dlH
c⋅∫=tI (2.22)
sau
⋅∫
cHd l costI=α (2.23)
Integrala de linie a vectorului
intensității câmpului magnetic dea
lungul unui contur înch is oarecare este numit ă tensiune
magnetomotoare (prescurtat t.m.m.), care se noteaz ă de obicei cu
literaℑ. Noțiunea de t.m.m. poate fi aplicat ă și la o porțiune de linie de la
punctul A pan ă la punctul B. În acest caz avem:
B
ABA=H d lℑ ⋅∫ (2.24)
Unitatea de m ăsură pentru t.m.m. în sistemul interna țional este
amperul. Folosind no țiunea de t.m.m. putem da intensit ății câmpului
Adl

50
magnetic urm ătoarea interpretare: intensitatea câmpului magnetic este
numeric egal ă cu t.m.m. care revine pe unitatea de lungime în sensul
liniei intensit ății câmpului, adic ă dldHℑ= . Dacă conturul ales pentru
integrare coincide cu o linie de câmp magnetic, unghiul α este zero, se
obține:
tI dlH dlH =⋅=⋅∫∫τ
iar când H = const. de-a lungul conturului, atunci:
tI dlH dlH ==⋅∫∫τ
Aplica ții. Să se determine intensitatea câmpului magnetic dat de
un conductor rectiliniu parcurs de un cu rent electric (fig.2.13), într-un
punct M situat la distan ța r față de axul conductorului. Liniile de câmp
magnetic reprezint ă cercuri concentrice cu axul conductorului. De-a
lungul fiec ăruia dintre aceste cercuri intensitatea câmpului magnetic este
constantă. Considerând cercul de raz ă r ce trece
prin punctul M și aplicând legea circuitului
magnetic asupra acestui contur închis, g ăsim:
Ir H dl H dlH =⋅=⋅=⋅∫∫π
τ2
deci: rIHπ2= . (2.25)
Câmpul magnetic exist ă și în interiorul
conductorului, îns ă în cazul acesta liniile de
câmp magnetic îmbr ățișează numai o parte din
curentul total din conduc tor. În cazul curentului continuu, densitatea de
curent, fiind aceea și în toate punctele sec țiunii, este dat ă de relația:
2IIJ= =SπR (2.26)
R fiind raza conductorului de sec țiune circular ă.
Să calculăm acum intensitatea câmpului magnetic într-un punct M
situat la distan ța r față de axul conductorului, r < R. Alegem conturul
închis tot o linie de câmp magnetic ce trece prin M și aplicăm legea
circuitului magnetic. Vom avea:
2
ττH d l=H d l=H 2 πr=πrJ v⋅∫∫
De unde: H=2πrJ r=J2πr2,
sau H=2rI
2πR⋅ (2.27)
Fig.2.13

51
În fig.2.14 este
reprezentat ă grafic varia ția
intensității câmpului magnetic în
funcție de distan ță, pentru r<R si
r>R.
Să calculăm intensitatea
câmpului magnetic în miezul de fier a unui tor (bobin ă inelară), cu
secțiunea constant ă având N spire
(fig.2.15). Aplicând legea fundamental ă a circuitului
magnetic asupra conturului închis, considerat ca fiind cercul de diametru mediu d
m, care
reprezintă și linia de câmp
magnetic de lungime medie,
avem: H .NI dH dlm==∫π
τ De
unde: H=
mdNI
πsau H=lNI, l fiind
lungimea cercului de raz ă dm/2.
Intensitatea câmpului magnetic
H în toate punctele aflate pe linia de câmp magnetic de lungime medie are aceeași valoare. Produsul NI reprezint ă
t.m.m. și deci se poate defini intensitatea
câmpului magnetic în interiorul bobinei
inelare ca fiind egal ă cu t.m.m. pe
unitatea de lungime a bobinei. Din această cauză intensitatea câmpului
magnetic într-un punct oarecare A, situat
pe linia axei (fig.2.16) poate fi exprimată prin raportul între t.m.m. N’I
dintr-o por țiune
l’ a arcului și lungimea
acestei por țiuni de arc, adic ă:
H = '
'NI
l.
Bobina dreapt ă (fig 2.17) se poate considera ca o por țiune dintr-o
bobină inelară cu o raz ă infinit de mare, la care spirele sunt distribuite
numai pe o por țiune a miezului și a cărei lungime este egal ă cu lungimea
Fig.2.14
Fig.2.15 dmH

52
bobinei. De aceea, intens itatea câmpului magnetic pe axa bobinei, în
centrul unei asemenea bobine, se poate calcula cu aceea și formulă:
lNIH= . Aceste formule sunt, îns ă, aproximative. Ele se pot aplica la
determinarea lui H în interiorul bobinelor numai în cazul când lungimea
lor este mare în compara ție cu diametrul lor.
Cunoscând intensitatea câmpului magnetic, se poate calcula și
inducția câmpului magnetic cu formula:
lNIBμ= (2.28)
Considerând c ă valoarea induc ției magnetice a unei bobine
inelare pe linia axial ă este egal ă cu valoarea ei medie, se poate determina
fluxul magnetic al bobinei,
lNISSBμ=⋅=Φ
sau ℜ==ΦNI
SlNI
μ (2.29)
unde: Sl
μ=ℜ este reluctan ța circuitului magnetic. A șadar vom numi
circuit magnetic un ansamblu de medii prin care se închid liniile de câmp
magnetic.
Relația: ℜℑ=ℜ=ΦNI (2.30)
Fig.2.17 Fig.2.16

53
fiind analog ă legii lui Ohm pentru circuitul electric, reprezint ă legea lui
Ohm pentru un circuit magnetic.
Printr-un circuit magnetic f ără bifurcații, fluxul magnetic r ămâne
neschimbat, indiferent dac ă secțiunea se modific ă sau nu, în schimb
inducția câmpului magnetic depinde de sec țiune. Considerând acum c ă,
diferitele por țiuni de circuite magnetice difer ă atât prin sec țiune, lungime
cât și prin permeabilitate (fig.2.18), vom avea:
Bi=
iSφ și H i=
ii ii
SB
μφ
μ=
Pentru un element de
lungime în care consider ăm
inducția magnetic ă constant ă
vom avea, aplicând legea circuitului magnetic:
NIlH ldHin
ii==⋅∑∫
=1τ
sau NISl
iiin
i=∑
=μφ
1
De unde:
ℜℑ= =
∑=
= iiini
li SlNI
μφ ( 2 . 3 1 )

Reluctan ța circuitului magnetic, compus din mai multe elemente
distincte, str ăbătute de acela și flux magnetic legate în serie este egal ă cu
suma reluctan țelor fiecărui element în parte.
ℜ=in
i
ii ill
S=
=μ∑ (2.32)

2.7. Circuite magnetice

Un circuit magnetic reprezint ă un ansamblu de medii prin care se
închide un flux magnetic. Circuitele magnetice pot fi neramificate, în
care fluxul î și păstrează valoarea de-a l ungul circuitului și circuite
ramificate care au anumite puncte numite noduri, în care fluxul se
ramifică sau se recombin ă.
Fig.2.18 I

54
Fie circuitul magnetic din fig.2.19, format din dou ă porțiuni cu
lungimile l 1 și l2 (l1=porțiunea GABC și l2=porțiunea GFED). Între C și D
există o porțiune în care miezul de fier este întrerupt, numit ă întrefier
(mediul magnetic în aceast ă porțiune este aerul cu permeabilitatea0μ),
care are lungimea l 3=λ.
Problema care se
pune, în general, la un circuit magnetic este de a determina.
t.e.m.
NI=ℑ pentru a crea un
anumit flux magnetic în
miezul respectiv. Trasând conturul ABCDEFGA, care coincide cu linia de câmp magnetic de lungime medie și
având în vedere c ă
intensitatea câmpului magnetic în fiecare por țiune,
confecționată din material
omogen și cu sec țiune
constantă, are aceea și valoare,
se poate scrie legea
fundamental ă a circuitului magnetic sub forma:

NI HlHlHldH =++=⋅∫λ
τ3 22 11
Știind că: H k=SB
k kμφ
μ= și că numai kμ diferă, putem face înlocuirile
și obținem: NISl
Sl
Sl=++ ) (
03
22
11
μμμφ
unde: Sl
11
μ+ ℜ=+Sl
Sl
03
22
μμ
Întrefierul fiind, în general, su ficient de redus, am considerat c ă liniile de
câmp magnetic din întrefier, p ăstrează o secțiune constant ă S.
Deci ℜ=ΦNI sau ℜℑ=Φ
Cunoscând induc țiile magnetice B 1 și B 2 se pot calcula
intensitățile câmpurile magnetice H 1 și H 2. Făcând raportul B 1/H1 și
B2/H2, determin ăm permeabilit ățile magnetice 2 1μμsi . Dimensiunile
circuitului magnetic fiind cunoscute, putem calcula t.m.m.( produsul NI). Fig.2.19

55
Făcând o analogie între circuitele magnetice și circuitele electrice,
putem considera c ă fluxul magnetic, t.m.m., reluctan ța magnetic ă și
permeabilitatea magnetic ă, corespund: curentului electric, t.e.m.,
rezistenței electrice și conductibilit ății electrice.
Relația n
ii
i1Hl N I
==∑ poate fi considerat ă ca fiind teorema a II-a a
lui Kirchhoff de la circuitele electrice, aplicat ă circuitelor magnetice.
Dacă circuitul magnetic are o form ă ramificat ă (fig. 2.20), la nodurile
circuitului trebuie utilizat ă ecuația care rezult ă din principiul continuit ății
fluxului magnetic. Înconjur ăm nodul cu o suprafa ță închisă S și conform
principiului continuit ății,
fluxul magnetic care trece prin aceast ă suprafață din
interior spre exterior și din
exterior spre interior este egal cu zero, adic ă :
∫
SBG
• 0=Sd
Prin urmare suma
algebrică a fluxurilor care
acced într-un nod este egal ă
cu zero: 0
1=Φ∑
=n
kk
sau 0 =Φ−Φ+ΦA C B
Această ecuație este asem ănătoare cu prima teorem ă a lui
Kirchhoff de la circuitele electrice.
Dacă notăm cu Bℜ, reluctan ța magnetic ă a porțiunii din stânga
circuitului magnetic, cu Cℜreluctanța porțiunii din dreapta și Aℜ
reluctanța porțiunii din mijloc, putem scrie rela țiile:
Bm
BU
ℜ=Φ ,
Cm
CU
ℜ=Φ și
BCm
C Bm C B A U Uℜ=ℜ+ℜ=Φ+Φ=Φ1)1 1(,
unde U m- tensiunea magnetic ă
Ramurile B și C din circuitul magnetic sunt în paralel și pot fi
înlocuite cu o reluctan ță echivalent ă BCℜ . Relați a c a r e n e d ă valoarea
Fig.2.20

56
acestei reluctan țe este asem ănătoare cu rela ția de la circuitele electrice
care ne dă rezistența echivalent ă, adică:
C B BC ℜ+ℜ=ℜ1 1 1
Inversul rela ției se nume ște permean ță și se noteaz ă cu p, deci
putem scrie:
BCB Cpp p=+
Reluctanța întregului circuit reprezentat în fig.2.20 este:
BC Aℜ+ℜ=ℜ
Pentru orice circuit magnetic închis, se poate enun ța o teorem ă,
asemănătoare cu teorema a doua a lui Kirc hhoff pentru un circuit electric
și anume: suma t.m.m. de-a lungul unui circuit
magnetic închis este egal ă cu suma produselor
dintre fluxul magnetic și reluctan ța magnetic ă a
porțiunilor de circuit magnetic neramificat, adic ă:
∑∑
= =ℜΦ=n
kk kn
kkkIN
1 1
sau,
nn n n
k
kk k k k k k k
k=1 k=1 k=1 k=1 kklHl = μSH = ΦR= IμS∑∑ ∑ ∑
Așadar, calculul unui ci rcuit magnetic este
complet analog cu calculul circuitului electric corespunz ător, cu deosebirea c ă în cazul
circuitului magnetic trebuie s ă se țină seama de starea de magnetizare a
fiecărei porțiuni de circuit, dac ă aceasta con ține substan țe feromagnetice.
De exemplu, calculul circuitul ma gnetic reprezentat în fig.2.20 este
analog cu calculul circuitului electric din fig.2.21
Analogia cu circuitele electrice poate fi utilizat ă cu succes și
pentru calculul circuitelor magnetice mai complexe, în ale c ăror ramuri
există bobine parcurse de curen ți.

2.8. Fenomenul de induc ție electromagnetic ă

Induc ția electromagnetic ă este fenomenul de producere a unei
tensiuni electromotoare într-un circuit închis, aflat sub influen ța unui flux
magnetic variabil. Tensiunea electromotoare ce ia na ștere în circuit este
proporțională cu fluxul ce str ăbate suprafa ța delimitat ă de conturul închis
Fig.2.21

57
al circuitului. Fenomenul de induc ție electromagnetic ă poate fi pus în
evidență prin mai multe experimente.
Fie un conductor rectilin iu ce se deplaseaz ă paralel cu el însu și,
cu o vitez ă v, într-un câmp magnetic de induc ție B. Odată cu acesta se
vor deplasa și sarcinile electrice pozitive și negative (electronii).
Mișcarea acestor sarcini elect rice poate fi considerat ă ca un caz particular
al curentului electric. Dac ă mișcarea are loc într-un câmp magnetic (fig.2.22), asupra
particulelor electrice vor ac ționa
forțe. Sensul acestor for țe se poate
determina dup ă regula mâinii
stângi. Sub ac țiunea acestei for țe,
electronii liberi se vor deplasa la o
extremitate a conductorului, producând acolo o sarcin ă negativă
în exces. La cealalt ă extremitate a
conductorului, lipsa de electroni d ă
o încărcare de sarcin ă pozitivă. Va
apare deci, în interiorul conductorului, un câmp electric. Datorit ă câmpului
electric, electronii vor fi supu și la
o forță de natur ă electrostatic ă,
îndreptată în sens contrar câmpului
electric care va echilibra la un moment dat for ța electro-
magnetică. În momentul acesta depl asarea electronilor înceteaz ă. Se
produce deci, în conductor, o t.e.m. Dac ă se leagă capetele conductorului
printr-o rezisten ță, electronii de la o extremitate vor trece prin rezisten ță
către cealalt ă extremitate, adic ă se creeaz ă un curent electric. Dac ă
mișcarea conductorului în câmp magnetic va continua cu o vitez ă
constantă, t.e.m. din conductor va fi și ea constant ă și prin circuit va trece
un curent continuu. Tensiunea electromotoare care a luat na ștere în conductor, prin
deplasarea lui în câmp magnetic, poart ă numele de t.e.m. de induc ție
electromagnetic ă, iar curentul din circuit poart ă numele de curent indus .
Experimental, se constat ă că t.e.m. de induc ție electromagnetic ă
apare numai atâta timp cât dureaz ă mișcarea conductorului. Prezen ța
curentului în circuit se poate constata cu u șurință dacă la capetele
conductorului leg ăm un miliampermetru sau un galvanometru. Se
Fig.2.22

58
observă, de asemenea c ă sensul curentului în conductor, respectiv sensul
t.e.m., se schimb ă dacă schimbăm sensul de deplas are a conductorului,
sau dacă schimbăm sensul câmpului magnetic. M ărimea t.e.m. indus ă în
conductor depinde de m ărimea intensit ății câmpului magnetic și de viteza
cu care deplas ăm conductorul în câmpul magnetic.
O altă experien ță care ne arat ă producerea t.e.m. de induc ție
electromagnetic ă se realizeaz ă prin introducerea și scoaterea, în interiorul
unei bobine, a unui magnet permanent (Fig.2.23). Circuitul bobinei fiind
închis printr-un miliampermetru cu zero la mijloc, se observ ă că atunci când introducem sau
scoatem magnetul din interiorul bobinei apare un curent, care este datorat t.e.m. de induc ție
electromagnetic ă. Mărimea t.e.m. este cu atât
mai mare cu cât intr oducerea sau scoaterea
magnetului se face mai repede. Sensul curentului depinde de sensul de deplasare al magnetului și
de polaritatea magnetului permanent.
Pe aceste dou ă experien țe se bazeaz ă
funcționarea ma șinilor electrice în regim de
generator.
Se mai poate face și următoarea
experiență: luăm două bobine, una alimentat ă de la o surs ă de curent
continuu, iar cealalt ă având în circuitul ei intercalat un miliampermetru
(fig.2.24).
Ambele bobine p ăstrează poziții fixe una fa ță de cealalt ă. Când
curentul i(t) în bobina B cre ște (micșorăm rezisten ța reostatului variabil
RV), acul miliampermetrului deviaz ă într-un anumit sens. Dac ă curentul
se micșorează, acul miliampermetrului deviaz ă în sens invers. Devierea
acului miliampermetrului este cu atât mai mare, cu cât varia ția intensit ății
curentului electric în bobina B se face mai repede. Când cursorul Fig.2.23
Fig.2.24

59
reostatului R V rămâne într-o pozi ție fixă, acul miliampermetrului nu
deviază. În cazul acestei experien țe, în bobina A apare o t.e.m. de
inducție electromagnetic ă fără să intervină o mișcare relativ ă între
circuitul indus (circuitul bobinei A) și câmpul inductor creat de curentul
variabil în timp, i(t). Varia ția fluxului în bobina A se ob ține variind
fluxul inductor produs de bobina B, prin varia ția curentului. Pe acest
principiu se bazeaz ă funcționarea transformato arelor electrice.
Legea induc ției electromagnetice se enun ță astfel: t.e.m. produs ă
prin induc ție electromagnetic ă într-un circuit electric închis, ca urmare a
variației unui flux magnetic prin suprafa ța delimitat ă de conturul
circuitului, este egal ă cu viteza de sc ădere a fluxului magnetic .
Forma integral ă legii induc ției electromagnetice este:
dtdeΦ−= (2.33)
Legea induc ției electromagnetice a fost dat ă de Faraday (1831).
Să considerăm o porțiune liniar ă, dintr-un conductor, de lungime
l, care se mi șcă cu viteza v, într-un câmp magnetic omogen. Presupunem
că direcția deplasării este perpendicular ă pe liniile de câmp magnetic și
pe axa conductorului, iar ax a conductorului perpendicular ă pe liniile de
câmp magnetic (fig.2.25). Într-un timp dt conducto rul se va deplasa cu
distanța v·dt și va descrie o suprafa ță egală cu dtvl⋅⋅ . Toate liniile de
câmp care trec prin aceast ă suprafață vor fi t ăiate de por țiunea de
conductor de lungime l. Numărul de linii de câmp magnetic unitate t ăiate
în unitate de timp, va fi egal cu dtvlB⋅⋅⋅și deci:
vlBdtdtvlBe ⋅⋅=⋅⋅⋅= (2.34)
Sensul t.e.m. de induc ție
electromagnetic ă se poate determina
folosind regula mâinii drepte, astfel: așezăm palma mâinii drepte încât liniile
de câmp magnetic s ă intre în palm ă și
degetul mare desf ăcut la 90
0, să ne
indice sensul deplas ării. Celelalte patru
degete vor indica direc ția și sensul t.e.m.
indusă.
În cazul general, când
conductorul are o form ă oarecare și se
mișcă într-un câmp neomogen, se poate
scrie expresia pentru o t.e.m. infinit mică, indusă în por țiunea dl a
Fig.2.25

60
conductorului. Fie dl vectorul îndreptat în direc ția axei conductorului, în
sensul considerat conven țional pozitiv. Consider ăm că vectorul vitezei
formează cu dl unghiul α (fig.2.26).
În acest caz, suprafa ța pe care o descrie
segmentul dl în timpul dt, rezult ă egal cu
ds=v·dt·dl·sin α. Reprezentând aceast ă
suprafață prin vectorul ds dirijat normal la
această suprafață, putem scrie:
dt.]dl x v[ ]dl x [ ⋅= =dtv ds
Fluxul dt )dl x ( B =d vB ds⋅=⋅Φ care
străbate aceast ă suprafață este egal cu
numărul de linii de câmp magnetic unitate,
tăiate de por țiunea dl a conductorului în
intervalul dt. Prin urmare, t.e.m. indus ă în
porțiunea dl este:
)dl x ()dl x (vBdtdt vB
dtde =⋅=Φ−= (2.35)
Dac ă derivata t.e.m. este mai mare ca zero, t.e.m. ac ționează în
sensul pozitiv al por țiunii de conductor dl.
Pentru determinarea sensului t.e.m. ne putem folosi și de legea lui
Lenz, formulat ă în 1884, care spune c ă sensul t.e.m. de induc ție
electromagnetic ă, produsă într-un circuit închis, es te astfel încât curentul
pe care-l produce, s ă dea naștere unui flux care se opune varia ției fluxului
inductor. Aceast ă interpretare reprezint ă aplicarea la un caz particular a
unei legi generale din fizic ă: efectul se opune cauzei. De aici și o altă
formulare a legii lui Lenz și anume: t.e.m. indus ă este totdeauna orientat ă
astfel încât curentul produs de ea s ă acționeze împotriva cauzei care a
determinat apari ția acestei t.e.m.
În fig.2.27 este reprezentat ă o bobin ă cu miez de fier, în
apropierea c ăreia este a șezat un conductor inelar (sau o alt ă bobină în
circuitul c ăreia se intercaleaz ă un miliampermetru). La închiderea
întrerupătorului bobinei, fluxul magnetic care str ăbate conductorul inelar
crește de la zero la pân ă la o mărime oarecare Φ. În tot timpul varia ției
fluxului magnetic se va induce în conductorul inelar o t.e.m și prin el va
circula un curent. Dup
ă legea lui Lenz, sensul fluxului magnetic produs
de curentul din inel va fi opus se nsului fluxului bobine i. Aplicând regula
burghiului, sensul cure ntului din inel se poate determina u șor. Dacă
circuitul în care se induce t.e.m. are un num ăr N de spire, t.e.m. indus ă în

61
circuit va fi de N ori mai mare, adic ă:
dtdN eΦ−= (2.36)

2.9. Autoinduc ția

Se știe că prin trecerea unui curent el ectric printr-un conductor, se
creează un câmp magnetic și un flux magnetic, propriu circuitului. Dac ă,
curentul și fluxul propriu este consta nt, nu apare fenomen de induc ție
electromagnetic ă. Dacă însă curentul din circuit variaz ă, variază și fluxul
produs de el și în consecin ță se produce în circuit o t.e.m. de induc ție
electromagnetic ă, numită t.e.m. de autoinduc ție. Ca orice t.e.m. de
inducție electromagnetic ă, prin curentul pe care-l produce, ea se opune
variațiilor curentului din circuit. Curentul produs de t.e.m. de
autoinduc ție se nume ște curent de autoinduc ție și se suprapune peste
curentul principal din circuit. Să considerăm cazul unei bobine drepte prev ăzute cu N spire. Prin
fiecare spir ă va trece câte un flux propriu. Fluxul propriu total, care trece
prin întregul circuit, va fi N
Φ.
Ținând seama c ă fluxul magnetic total este propor țional cu
intensitatea curentului care -l produce, putem scrie:
Nd Ld i⋅Φ= ⋅ (2.37)
Coeficientul de propor ționalitate L poart ă numele de inductan ță
proprie sau inductivitatea proprie a circuitului. Din rela ția de mai sus
rezultă :
id d NLΦ=
Ecua ția de dimensiuni a inductivit ății proprii, este:

62
[] [ ] ) henry(H secAsec V
AWb]L[ =⋅Ω=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
Dac ă curentul din circuit variaz ă, va varia simultan și fluxul total
NdΦ. În circuit va ap ărea o t.e.m. de autoinduc ție, dată de relația:
dtdiLdtNdeL −=Φ−= (2.38)
Inductivitatea proprie a unui circuit depinde de dimensiunile și
forma circuitului și de valoarea permeabilit ății magnetice a mediului în
care exist ă fluxul magnetic de induc ție proprie. T.e.m. eL nu depinde de
curentul din circuit, cu condi ția ca permeabilitatea magnetic ă să nu
depindă de intensitatea câmpului magnetic.
În general, calculul inductivit ății proprii a unui circuit constituie o
problemă analitică dificilă. În anumite cazuri particulare, inductivitatea
proprie se poate determina relativ u șor.
De exemplu, s ă calculăm inductivitatea proprie a unei bobine
toroidale cu o sec țiune circular ă. Să notăm cu S, sec țiunea torului, cu l
lungimea medie a torului, cu μ permeabilitatea magnetic ă a materialului
care constituie miezul torului, cu N num ărul de spire și cu i(t) intensitatea
curentului variabil în timp. Vom scrie, în acest caz, c ă reluctan ța
circuitului magnetic este:
s μl=ℜ și fluxul magnetic slNi
slNi Niμ
μ=
⋅=ℜ=Φ .
Inductivitatea proprie va fi:
lN
iNL2s⋅=Φ=μ (2.39)
Această relație este valabil ă și pentru o bobin ă dreaptă cu
secțiunea circular ă, de o lungime suficient de mare fa ță de diametrul
spirelor. Să calculăm acum inductivitatea proprie în cazul unui tor cu o
secțiune dreptunghiular ă, care are o înf ășurare uniform repartizat ă
(fig.2.28). Deoarece intensitat ea câmpului magnetic este diferit ă în
diversele puncte ale sec țiunii torului, va trebui s ă calculăm mai întâi
intensitatea câmpului și apoi fluxul magnetic. Intensitatea câmpului
magnetic are aceea și valoare de-a lungul liniilor de câmp și liniile de
câmp sunt cercuri concentrice cu centrul pe axul torului. Aplic ăm legea
fundamental ă a circuitului magnetic de-a lungul unei linii de câmp de
rază r. Vom avea:
Ni dlH=∫τ, de unde: rNiHπ2=

63
Pentru a calcula fluxu l magnetic care str ăbate secțiunea torului,
vom considera o fâ șie de sec țiune
drh ds⋅= . În interiorul acestei fâ șii câmpul
magnetic poate fi considerat omogen.
Fluxul magnetic care str ăbate aceast ă fâșie
va fi:
drhrNidsH dsB d ⋅=⋅=⋅=Φπμμ2
Fluxul care str ăbate întreaga sec țiune a
miezului va fi:

Inductivitatea proprie a bobinei toroidale va
fi, deci:
122
ln2 rrhN
diNdLπμ=Φ= (2.40)

2.10. I nducție mutual ă

Tensiunea electromotoare care apar e într-un circuit electric,
datorată variației unui curent electric în tr-un alt circuit, poart ă numele de
t.e.m. de induc ție mutual ă. În fig.2.29 sunt reprezentate dou ă bobine
alăturate A și B, străbătute de curen ții variabili i 1 și i2.
Apariția t.e.m. de induc ție mutual ă în bobina B se explic ă prin
faptul că spirele acestei bobine sunt str ăbătute de un flux magnetic
variabil, creat de curentul care tr ece prin bobina A (fig.2.29a). Dac ă
notăm cu 1Φ, fluxul magnetic variabil produs de curentul i 1, o parte din
acest flux pe care s ă-l notăm cu 12Φ, străbate conturul bobinei B. Notând
cu N 2 numărul de spire al bobinei B, fluxul total care traverseaz ă această
bobină va fi 12 2ΦN .
În aer, valoarea fl uxului fiind propor țională cu curentul care-l
produce, vom avea:
1 12 2 iM N ⋅=Φ (2.41)
Coeficientul de propor ționalitate M poart ă numele de inductan ță
mutuală sau inductivitate mutual ă. El depinde de dimensiunile și
forma geometric ă a celor dou ă bobine și de pozi ția lor reciproc ă. Din
relația de mai sus, deducem: 12ln2 2 22
12
1 rr Nih
rdr Nih
rdr Nih r
rr
r πμπμπμ = =⋅=Φ ∫ ∫
Fig.2.28 i

64

112 2
iNMΦ= (2.42)
de unde rezult ă că din punct de vedere dimensional, inductivitatea
mutuală are acelea și dimensiuni ca și inductivitatea proprie și se măsoară
tot în henry.
T.e.m. de induc ție mutual ă, care ia na ștere în bobina B, este dat ă
de relația:
21 2 1
2MNd d ieMdt dtΦ=− =− (2.43)
dacă bobina A are N 1 spire și bobina B este str ăbătută de un curent i 2 (fig.
2.29b), din fluxul magnetic 2Φ produs de acest curent, o parte 21Φ va
străbate spirele bobine i A, iar fluxul total care va str ăbate bobina A va fi
21 1ΦN .

Forma și poziția celor dou ă bobine r ămânând neschimbat ă,
inductivitatea mutual ă M, trebuie s ă păstreze aceea și valoare. Prin
urmare:
2 21 1 Mi N=Φ sau
221 1
iNMΦ= (2.44)
T.e.m. de induc ție mutuală, care apare în bobina A, este:
dtdiMdtdNeM2 21 1
1−=Φ−= (2.45)
Când ambele bobine sunt parcurse simultan de curen ți variabili i 1
și i2, în fiecare bobin ă va apare, pe lâng ă t.e.m. de induc ție proprie și
t.e.m. de induc ție mutual ă. Aplicând teorema a II-a a lui Kirchhoff celor
două bobine, vom avea:
11 11 1ir e euM L=++

65
pentru bobina B. Cu r 1 și r2 s-a notat rezisten țele celor dou ă bobine.
Înlocuind t.e.m. e L1 și eM1, respectiv e L2 și eM2, vom găsi:
dtdiMdtdiLir u2 1
1 11 1 ++= (2.46)
și dtdiMdtdiLir u1 2
2 22 2 ++= (2.47)
Relațiile (2.46) și (2.47) reprezint ă relațiile fundamentale pentru
transformatoarele electrice, a c ăror funcționare se bazeaz ă pe fenomenul
de autoinduc ție și inducție mutuală.
Calculul analitic al inductivit ăților
mutuale prezint ă dificultăți mari, fiind mai
complicat decât cel al inductivit ăților proprii.
El se rezolv ă simplu numai atunci când cele
două circuite se g ăsesc astfel plasate unul fa ță
de celălalt, încât întregul flux produs de un
circuit să parcurgă cel de-al doilea circuit și
invers, adic ă atunci când nu avem flux
magnetic de dispersie.
Să presupunem c ă cele două bobine A
și B se g ăsesc pe acela și miez de fier de
secțiune S și de lungime l (fig.2.30). Fluxul magne tic produs de bobina A
este dat de rela ția:
SliN iN11 11
1 μ=ℜ=Φ
Dacă neglijăm scăpările de flux magnetic și presupunem c ă întreg acest
flux străbate și bobina B, adic ă 1 12Φ=Φ , atunci fluxul total care str ăbate
bobina B va fi:
SliNNN N12 1
1 2 12 2 μ=Φ=Φ
Inductivitatea mutual ă dintre cele dou ă bobine va fi:
lSNN
iNM2 1
112 2μ=Φ= .
Inductivitatea proprie a celor dou ă bobine va fi:
lSNL2
1
1μ= și lSNL2
2
2μ= .
Făcând produsul celor dou ă inductivit ăți proprii, g ăsim:
2
222
21
2 2
2 1 MlSNNLL = =⋅μ sau:

N 2 Ф2 N 1

i1 Ф1 Ф12 i2

Ф21
Fig.2.30

66
21LL M= (2.48)
Întrucât în practic ă există întotdeauna sc ăpări de flux, avem:
21LLK M= (2.49)
în care K<1 și poartă numele de coeficient de cuplaj magnetic al
circuitelor celor dou ă bobine.
Spre deosebire de inductivitatea proprie, inductivitatea mutuala
poate avea și valori negative.
În (fig. 2.30) fluxul 1Φ produs de prima bobin ă este dat de
relația :
111
1NiL=Φ , iar fluxul 12Φ, care străbate spirele N 2 ale bobinei a
doua este dat de rela ția:
21
12NMi=Φ . În mod asem ănător pentru bobina a
doua:
222
2NiL=Φ și
12
21NMi=Φ . Fluxul magnetic rezultant, care str ăbate
spirele primei bobine, poat e fi dat de suma fluxurilor 12 1Φ+Φ sau de
diferența lor 21 1Φ−Φ , după sensul curentului în bobina a II-a. Pentru
bobina a doua, fluxul rezultant poate fi egal cu 21 2Φ±Φ . Vom scrie,
deci:
12
111
21 11
1NMi
NiL±=Φ±Φ=Φ și
21
222
12 21
2NMi
NiL±=Φ±Φ=Φ ,
1
1Φ și 1
2Φ fiind fluxurile rezultante ale bobinelor.
Dacă cele dou ă bobine sunt în serie, adic ă 12iii== din relațiile
de mai sus rezult ă că:
()iML N ±=Φ11
1 1 și ()iM L N ±=Φ21
2 2 .
Inductivitatea total ă a celor dou ă bobine este:
11 1
12
12 2NNLL L MiΦ+ Φ== + ± (2.50)
Semnul plus pentru inductivitatea mutual ă se ia în cazul când
fluxul produs de o bobin ă este în acela și sens cu fluxul produs de cealalt ă
bobină, iar semnul minus în caz contrar. Deci cele dou ă bobine se pot
lega în serie aditiv sau în serie diferen țial.

2.11. Curen ții turbionari (Foucault)

Curenții de induc ție care apar în piesele metalice masive poart ă
numele de curenți Foucault sau curenți turbionari. Ei apar în atât masele

67
metalice ce se mi șcă într-un câmp magne tic constant cât și în masele fixe
străbătute de fluxuri magnetice variabile.
Curenții Foucault nu pot fi cule și într-un circuit exterior și folosiți
pentru producerea ener giei electrice. Ace știa apar în toate ma șinile și
aparatele electrice a c ăror funcționare se bazeaz ă pe fenomenul de
inducției electromagnetic ă.
În fig.2.31 este ar ătat modul cum apar prin induc ție, simultan,
curentul util într-o spir ă a unui generator electric și curenții Foucault în
masa rotorului. Curen ții turbionari, datorit ă efectului Joule – Lenz,
produc o înc ălzire apreciabil ă a maselor metalice în care apar, ceea ce
duce la o mic șorare a randamentului ma șinilor electrice și a aparatelor
electrice. Din aceast ă cauză, acești curenți se mai numesc și curenți
paraziți.
În fig.2.32 este ar ătat modul
cum apar curen ții turbionari într-o
bobină cu miez de fier, la trecerea
unui curent variabil în timp prin spirele bobinei. În acest caz, curen ții
turbionari se închid într-un plan
perpendicular pe vectorul induc ției
magnetice. Sensul curen ților
turbionari s-a determinat aplicând legea lui Lenz, curentul fiind considerat cresc ător.
În construc ția mașinilor
electrice și aparatelor electrice,
curenții turbionari se reduc, înlocuind
piesele masive de fier, în care ei s-ar putea produce, prin piese executate din asamblarea, de tole de o țel, de
0,35-0,5 mm grosime și izolate între
ele prin foi ță de hârtie sau prin lac
izolant. Tolele se execut ă dintr-un
oțel special, cu con ținut de siliciu
(tole silicioase). Prezen ța siliciului în
tole m ărește rezistivitatea
materialului, deci scade intensitatea
curenților turbionari.
Tolele se a șează perpendicular pe drum ul pe care se închid
curenții Foucault (fig. 2.33a și 2.33b). Pierderile de putere, datorate
curenților turbionari, sunt date de rela ția:

68
2)100( dBf
m F F ⋅⋅ =Ρσ W/kg unde d reprezint ă grosimea
tolelor în centimetri, f – frecven-
ța curentului de magnetizare în
per/sec. B m – inducția magnetic ă
maximă, în Tesla și Fσ – un
coeficient care depinde de
calitatea tolelor și care variaz ă
între 2,2 și 4,8.
La mașinile electrice și aparatele
electrice, curen ții turbionari nu
sunt dori ți, deoarece înr ăutățesc
funcționarea lor. La anumite
instalații și mecanisme, ei sunt
utilizați pentru punerea în ac țiune
a mecanismelor, sau pentru asigurarea regimului lor de
funcționare.

2.12. Energia câmpului magnetic

Să consider ăm o bobin ă cu N spire, alimentat ă de la o surs ă de
curent continuu. La închiderea întrerup ătorului, curentul variaz ă de la
zero la o valoare oarecare I. Datorit ă acestei varia ții de curent, vom avea
și o variație a fluxului magnetic datorit ă căreia în circuitul bobinei va
apare o t.e.m. de autoinduc ție, dtdiLdtdN eL −=Φ−=
Aplicând teorema a II-a a lui Kirchhoff, putem scrie rela ția:
ri euL=+ sau dtdNriuΦ+=
în care u reprezint ă tensiunea aplicat ă la bornele bobinei.
Amplificând rela ția cu dti⋅, găsim: Φ⋅+=⋅ dNidtri dtui2
În această relație dtui⋅ reprezint ă energia furnizat ă bobinei de
către sursa de curent, în intervalul de timp dt; dtri2 reprezint ă energia ce
se transform ă în căldură, iar Φ⋅dNi reprezint ă energia pe care o
înmagazineaz ă câmpul magnetic, ce ia na ștere în interiorul bobinei. S ă
analizăm această energie, pe care s-o not ăm cu W, adic ă:
dB NiS dNi dW ⋅=Φ⋅= sau ∫⋅=BdB NiS W
0
Fig.2.33 a) b) N
S

69
Dacă luăm cazul unui tor și notăm cu l lungimea medie a liniei de câmp,
avem: ∫ ∫⋅⋅=⋅⋅=B BdBVlNidBlSlNiW
0 0
unde: VlS=⋅ reprezint ă volumul torului, iar Ni/l reprezint ă intensitatea
câmpului magnetic. Notând cu W o energia specific ă pe unitatea de
volum, putem scrie: ∫⋅==B
o dBHVWW
0
sau 2 22
0BH B dBBWB
o ==⋅=∫μμ (j/m3) (2.51)
Dacă însă, înlocuim fluxul total diL dN ⋅=Φ⋅ , vom avea:
22
0LIdiLi WL=⋅=∫ (J) (2.52)
relațiile (2.51) și (2.52) ne dau deci, valo area energiei înmagazinat ă în
câmpul magnetic. Rela ția (2.51), care ne d ă energia furnizat ă de sursa
exterioară pentru a schimba starea magnetic ă a unității de volum a
substanței, se mai poate scrie și sub forma: 0dW H dB=⋅.

2.13. Electromagne ți. Forță portantă

Un electromagnet este format dintr-un miez și o armătură
mobilă, confecționate din material magnetic
moale și o bobină plasată pe miez
(fig.2.34). Dac ă prin bobin ă circulă un
curent i, miezul se magnetizeaz ă și armătura
mobilă va fi atras ă. Deoarece materialul
magnetic este moale, dup ă întreruperea
curentului i prin bobin ă, magnetizarea
remanentă va fi foarte mic ă și practic
armătura va fi atras ă numai atât timp cât
prin bobin ă circulă curent electric.
Forța care trebuie aplicat ă armăturii pentru a
se desprinde de miez, atunci când bobina este parcurs ă de curent, se nume ște
forță
portantă. Valoarea acestei for țe portante se poate determina pornind de
la energia câmpului magnetic care este dat ă de relația:
dW = dVBH
2 – în care dV este un element de volum.

70
Lucrul mecanic necesar deplas ării armăturii, efectuat de for ța
câmpului magnetice F este:
dL = F · db = dVBH
2
Însă, variația de volum este dV=2S·db, unde S reprezint ă
secțiunea miezului magnetic al electromagnetului, deci:
F·db = db BHS⋅
sau: F =
02
μSBBHS= = S02
μφ (2.53)
Dacă inducția magnetic ă se ia în Tesla, suprafa ța polilor S în m2
și permeabilitatea magnetic ă 0μ în H/m, atunci for ța portantă F rezultă în
Newton ( mH/ 1047
0−=πμ ). Se observ ă că forța portantă variază cu
pătratul induc ției câmpului magnetic, ori aceast ă variație o putem ob ține
prin varia ția curentului electric.