2 UNIVERSITATEA “PETRU MAIOR” TG.MURE Ș MASTERAT: SISTEME AVANSATE DE CONDUCERE A PROCESELOR INDUSTRIALE dr. ing. STELIAN EMILIAN OLTEAN CONTROL… [628208]

1

STELIAN EMILIAN OLTEAN

CONTROL INTELIGENT ȘI ADAPTIV
Curs

2009

2 UNIVERSITATEA “PETRU MAIOR” TG.MURE Ș
MASTERAT:

SISTEME AVANSATE DE CONDUCERE A PROCESELOR
INDUSTRIALE

dr. ing. STELIAN EMILIAN OLTEAN

CONTROL INTELIGENT ȘI ADAPTIV
Curs

2009

3
CUPRINS:

I. Introducere………………………………………………………………………………………………………….5

II. Aspecte generale privind sistemele de reglare adaptiv ă și sistemele de reglare fuzzy………8
II.1. Sisteme de reglare adaptiv ă…………………………………………………………………………….8
II.1.1. Sisteme adaptive cu model de referin ță (MRAS)…………………………………………10
II.1.2. Metoda gradientului (regula MIT) pentru adaptarea regulatoarelor…………………12
II.1.3. Metoda teoriei stabilit ății Lyapunov pentru adaptarea regulatoarelor………………13
II.1.4. Exemple de sisteme adaptive cu model etalon…………………………………………….15
II.2. Sisteme de reglare direct ă fuzzy……………………………………………………………………..22
II.2.1. Elemente de logica fuzzy………………………………………………………………………..24
II.2.2. Structura de baz ă a regulatoarelor fuzzy directe………………………………………….29
II.2.3. Exemple de structuri de reglare fuzzy directe……………………………………………..36

III. Sisteme de reglare fuzzy adaptive……………………………………………………………………….40
III.1. Scheme generale de reglare fuzzy adaptiv ă……………………………………………………..41
III.2. Sistem de reglare fuzzy adaptiv cu model de referin ță………………………………………43
III.2.1. Mecanismul de înv ățare (de adaptare)………………………………………………………47

IV. Aplica ții de control inteligent și adaptiv……………………………………………………………….52
IV.1. Aplica ția 1: Controlul și echilibrarea pendulului inversat………………………………….52
IV.1.1. Descrierea procesului. Modele matematice……………………………………………….52
IV.1.2. Sisteme de reglare adaptive conven ționale………………………………………………..57
IV.1.3. Sistem de reglare fuzzy…………………………………………………………………………62
IV.1.4. Sistem de reglare fuzzy adaptiv………………………………………………………………65
IV.2. Aplica ția 2: Reglarea adaptiv ă locală a brațelor robo ților…………………………………..69
IV.2.1. Descrierea procesului. Modele matematice……………………………………………….69
IV.2.2. Sisteme de reglare adaptive conven ționale………………………………………………..73
IV.2.3. Sistem de reglare fuzzy adaptiv………………………………………………………………83

V. Concluzii…………………………………………………………………………………………………………89

4 Bibliografie………………………………………………………………………………………………………….92

Anexe………………………………………………………………………………………………………………….95
Anexa 1. Schema neliniar ă a pendulului inversat……………………………………………………..95
Anexa 2. Descrierea regulatorului fuzzy…………………………………………………………………95
Anexa 3. Lista figurilor din lucrare……………………………………………………………………….96

5 I. Introducere
În cazul sistemelor automate clasice este binecunoscut ă importan ța etapei de ob ținere
a modelelor proceselor, a reprezent ării matematice (dependen ței) între diferite m ărimi de
intrare, intermediare și de ieșire. Aceste modele trebuie s ă fie cât mai precise pentru ca apoi s ă
poată fi aleas ă o metod ă de proiectare corespunz ătoare modelului procesului, pentru a se
obține structura și parametrii regulatorului, necesari îndeplinirii cerin țelor de performan ță
impuse sistemului.
Înainte de implementarea fizic ă a sistemului de reglare automat ă se realizeaz ă o
simulare a acestuia pentru a i se studia comportamentul și pentru a verifica dac ă sunt
îndeplinite performan țele sistemului. Evident precizia modelului și metoda de proiectare
aleasă influențează calitatea regl ării.
Modelele ob ținute nu sunt întotdeauna precise și atunci devine important ă robustețea
sistemului de reglare. De asemenea pot ap ărea semnale perturbatoare, zgomote care
influențează comportarea ideal ă. Printr-un sistem robust se înțelege un sistem care reu șește să
păstreze anumite propriet ăți (stabilitate, performan țe) și în cazul apari ției unor varia ții între
sistemul real și modelul folosit (erori de modelare) sau în cazul perturba țiilor parametrice
interne sau externe. Regulatorul robust este proiectat de obicei o singur ă dată, înainte de
punerea în func țiune a instala ției. [Zăr1]
De multe ori în prezen ța incertitudinilor parametrice și structurale în caracterizarea
proceselor reale, solu țiile clasice și chiar cele robuste de reglare nu fac fa ță și nu pot satisface
condițiile de performan ță impuse. De aici apare necesitatea folosirii unor noi structuri,
moderne, inteligente și adaptive . Câteva domenii unde aceste metode moderne se impun sunt:
robotică, metalurgie, energetic ă, sisteme de naviga ție, tehnologii neconven ționale, tehnica
nucleară, etc.
În plus, în automatica modern ă se încearc ă evitarea liniariz ării sistemelor neliniare,
regulatoarele fiind implementate direct pe baza modelului neliniar al procesului folosind
structuri paralele cu informa ție distribuit ă de tip fuzzy (mulțimi vagi) și/sau neuronal . Aceste
structuri permit proiectarea unor regulatoare numerice pentru procese complexe, caracterizate
de neliniarit ăți și incertitudini, în condi ții în care informa țiile despre dinamica procesului sunt
limitate, adic ă avem de-a face cu conceptul de “control inteligent” .
Atributul de “inteligen ță” este corelat în primul rând cu capacitatea de a ra ționa a
sistemelor fuzzy și/sau neuronale în scopul alegerii unei decizii adecvate, într-o anumit ă

6 situație, și mai pu țin cu proprietatea de a înv ăța. Dacă pentru controlul proceselor se folosesc
structuri neuronale artificiale atunci spunem c ă avem un “control neuronal” . Dacă sistemul
de reglare con ține un ra ționament fuzzy (bazat pe logica fuzzy) atunci avem de-a face cu un
“control fuzzy” . Dacă sistemul de reglare con ține atât structuri neuronale cât și raționament
fuzzy atunci întâlnim conceptual de “control neuro-fuzzy” . [Dav1, Dav2]
Particular sistemelor de conducere inteligente de tip neuronal este faptul c ă peste
regulatoarele conven ționale se suprapune sistemul de înv ățare. Metodele de înv ățare utilizeaz ă
eroarea de reglare fie pentru ajustarea parametrilor, fie pentru selec ția anumitor parametrii
dintr-un set de solu ții posibile.
Logica fuzzy permite înlocuirea metodelor clasice de proiectare a sistemelor de reglare
automată bazate pe modele matematice cu intui ție și euristic ă inginereasc ă. Sistemele fuzzy
realizeaz ă îmbinarea între dou ă lumi: om-ma șină, și anume modelarea informa ției hibride
lingvistico-numerice. Informa ția lingvistic ă este con ținută într-o baz ă de reguli “dac ă …
atunci …” (“if … then …”), iar cea numeric ă se regăsește în perechile de valori intrare-ie șire.
Fundamentat pe logica fuzzy s-a dezvoltat controlul fuzzy al proceselor prin care se simuleaz ă
comportamentul uman în conducerea proceselor.
Pe de alt ă parte varia țiile parametrice și structurale pot fi compensate și prin adăugarea
unei bucle suplimentare în structura unui sistem de reglare clasic al ături de bucla de reglare
convențională (reacției negative). Aceast ă buclă suplimentar ă este denumit ă buclă de
adaptare , al cărei rol este de a asigura adaptarea continu ă a comenzii prin modificarea
parametrilor regulatorului sau a structurii acestuia prin semnale adi ționale. Structurile de
sisteme adaptive pot fi în circuit deschis, cu r ăspândire mai redus ă (telecomunica ții) sau în
circuit închis, folosite în cazul sistemelor automate de reglare.
Un sistem fuzzy adaptiv poate fi v ăzut ca un sistem fuzzy înzestrat cu un “algoritm de
antrenare”, algoritm care are rolul de a ajusta parametrii sistemului de reglare fuzzy pe baza
perechilor de valori numerice intrare-ie șire obținute prin m ăsurători efectuate asupra
procesului. Acesta combin ă facilitățile oferite de reglarea bazat ă pe logica fuzzy ( Fuzzy Logic
Control FLC ) și conducerea adaptiv ă a proceselor ( Adaptive Control AC ).
Lucrarea structurat ă pe 3 capitole principale, prezint ă exemple de aplica ții ale
inteligen ței artificiale în reglarea adaptiv ă, prin detalierea sistemelor adaptive, sistemelor
fuzzy directe și a celor fuzzy adaptive. Avantajele ultimelor metode moderne permit ob ținerea
unor performan țe deosebite în conducerea unor procese care con țin elemente neliniare,
procese asupra c ărora exist ă incertitudini de model, cu parametrii și structur ă variabili în timp,
precum și procese unde intervin perturba ții externe.

7 Astfel, în capitolul 2 se prezint ă aspecte ce stau la baza construc ției regulatoarelor
inteligente adaptive, și anume structurile de reglare adaptive (Adaptive Control) și structurile
de reglare fuzzy inteligente (Fuzzy Logic Control), exemplificate prin aplica ții concrete de
control.
Capitolul 3 prezint ă structuri de regulatoare fuzzy adaptive (Adaptive Fuzzy Control),
iar apoi este axat pe proiectarea sistemului de reglare fuzzy cu înv ățare cu model de referin ță
(Fuzzy Model Reference Learning Control FMRLC), cu eviden țierea blocurilor componente
și a elementelor care separ ă aceste sisteme de celelalte regulatoare, fie ele clasice, adaptive
sau inteligente.
În partea final ă a referatului sunt prezentate aplica ții și programe pentru studiul acestor
regulatoare fuzzy adaptive și concluzii referitoare la alegerea și avantajele introducerii acestor
tipuri de regulatoare în cadrul sistemelor automate.

8 II. Aspecte generale privind sistemele de reglare adaptiv ă și
sistemele de reglare fuzzy
În acest capitol sunt prezentate aspecte teoretice de proiectare a regulatoarelor
adaptive ( Adaptive Control AC ), în principal regulatoare adaptive cu model de referin ță
(Model Reference Adaptive Control MRAC ), și conceptul de regulator fuzzy ( Fuzzy Logic
Control ), precum și exemple de sisteme de reglare de acest tip.
Din punct de vedere al sistemelor de reglare adaptive cu model de referin ță sunt
dezvoltate în lucrare dou ă direcții diferite: regulatoare adaptive bazate pe regula MIT
(Massachusetts Institute of Technology) și regulatoare adaptive bazate pe teorema stabilit ății a
lui Lyapunov.
Pentru în țelegerea sistemelor automate care au în componen ța lor regulatoare fuzzy în
elaborarea semnalelor de comand ă, este necesar ă cunoașterea unor no țiuni din logica fuzzy
precum: mul țimi fuzzy, opera ții cu mul țimi fuzzy, mecanisme de inferen ță, fuzzificare și
defuzzificare, etc. Acestea fiind prezentate spre sfâr șitul capitolului.

II.1. Sisteme de reglare adaptiv ă
În teoria regl ării automate moderne, conceptul de control adaptiv este deseori amintit
alături de cel de control robust. Amândou ă reprezentând metode de reglare a unor sisteme cu
parametrii cu un grad mai mare sau mai mic de incertitudini sau variabili în timp.
Un regulator robust este considerat acel regulator care reu șește să păstreze anumite
proprietăți (de stabilitate și performan ță) ale sistemului automat, chiar și atunci când asupra
sistemului se interpun anumite elemente perturbatoare (externe, m ărimi exogene sau interne,
variații ale parametrilor procesului), iar sistemul de reglare devine unul robust.
Proiectarea unui regulator adaptiv este impus ă atunci când structura dinamic ă a
procesului este cunoscut ă, dar pot ap ărea varia ții mai lente ai parametrilor fizici ai procesului.
Indiferent de natura procesului, sistem liniar sau neliniar, regulatoarele adaptive sunt neliniare
prin construc ție.
Deosebirea între cele dou ă tehnici de compensare a acestor varia ții în cadrul
sistemelor este dat ă de modul de calcul a parametrilor de acord, iar aplicarea fiec ărei metode
depinde de viteza și domeniul de varia ție al parametrilor procesului.

9 Spre deosebire de sistemele adaptive, unde parametrii regulatorului se modific ă în
mod repetitiv (“online”, în timpul func ționării), în urma varia ției parametrilor procesului,
regulatorul robust este calculat o singur ă dată, înainte de punerea în func țiune a sistemului
automat. Avantajul regulatoarelor robuste const ă în reducerea algoritmului de calcul, acesta
efectuându-se o singur ă dată.
Deși un regulator robust are o ac țiune mai rapid ă decât cea a unui regulator adaptiv în
momentul modific ărilor parametrice a procesului condus, este obligatorie cunoa șterea
domeniului de varia ție a acestora. Astfel, în cazul unor modific ări parametrice mai lente
într-un domeniu mai mare și necunoscut se impune folosirea regulatoarelor adaptive, mai ales
dacă structura procesului este cunoscut ă.
Soluțiile de conducere în cadrul sistemelor adaptive au la baz ă două tehnici de
adaptare parametric ă, sisteme adaptive cu model de referin ță SAMR ( Model Reference
Adaptive System MRAS ), cu structura general ă de reglare din figura 2.1, și sisteme adaptive cu
autoreglare sau autoacordare SAA ( Self-tuning Adaptive System SAS ), cu structura prezentat ă
în figura 2.2.
Fig. 2.1. Structura general ă a unui sistem adaptiv cu model de referin ță (direct)
Fig. 2.2. Structura general ă a unui sistem adaptiv cu autoacordare (indirect)

În cazul primei tehnici se alege un model de referin ță (denumit și model etalon),
reprezentând func ționarea dorit ă a sistemului și se ajusteaz ă parametrii de acord ai
regulatorului pe baza erorii dintre ie șirea procesului și ieșirea modelului etalon. Mecanismul
de adaptare trebuie s ă asigure convergen ța la zero a erorii de adaptare (de urm ărire). În cazul

10 celei de-a doua tehnici, se realizeaz ă identificarea în timpul func ționării (“online”) a
parametrilor procesului și pe baza estima țiilor obținute se actualizeaz ă coeficien ții unei legi de
reglare cu structur ă fixată (alocare de poli, regulatoare PID, regulatoare liniar p ătratice,
varianță minimă). [Ast2, Dam2, Iou, Ise, Na ș, Sas, Wil, Lyu]
Cele dou ă tehnici s-au dezvoltat independent și păreau a fi total diferite. Diferen ța
consta în faptul c ă tehnicile de proiectare cu model etalon au fost elaborate, ini țial, pentru
conducerea proceselor deterministe continue, în timp ce regulatoarele cu autoacordare au fost
utilizate de regul ă pentru conducerea sistemelor discrete stocastice.
În prezent a fost pus ă în eviden ță legătura dintre cele dou ă abordări ale tehnicilor de
conducere adaptiv ă. Spre exemplu ambele metode adaptive au dou ă bucle de reglare: una
interioar ă (denumit ă buclă ordinar ă de reglare) și una exterioar ă (buclă de ajustare a
parametrilor sau structurii regulatorului având la baz ă informa țiile funcționale ale procesului).
Evident metodele de proiectare a buclei interioare și tehnicile de ajustare a parametrilor
regulatorului adaptiv sunt diferite pentru cele dou ă scheme de adaptare.
Din punct de vedere al modalit ății de calcul al parametrilor regulatorului adaptiv
sistemele adaptive pot fi sisteme adaptive directe sau sisteme adaptive indirecte . La sistemele
adaptive indirecte parametrii regulatorului adaptiv sunt determina ți pe baza parametrilor
estimați ai procesului (în mod indirect) și deci are loc o transla ție de la parametrii procesului
la cei ai regulatorului. Dac ă însă se poate realiza o reparametrizare (direct ă) a procesului astfel
încât acesta s ă conțină și parametrii regulatorului se ob ține un sistem adaptiv direct. [C ăl]
În secțiunea urm ătoare se va insista doar asupra sistemelor adaptive cu model de
referință directe, acestea având o importan ță mare în abordarea sistemelor inteligente adaptive
(sisteme fuzzy adaptive) de tip FMRLC , obiectul principal al studiului din aceast ă lucrare.

II.1.1. Sisteme adaptive cu model de referin ță (MRAS)
Sistemele adaptive cu model etalon , cu structura prezentat ă în figura 2.1, sunt în
general compuse din patru blocuri componente:
– procesul condus (cu parametrii necunoscu ți);
– modelul de referin ță (etalon);
– regulatorul adaptiv (cu parametrii ajustabili);
– mecanismul de adaptare (pentru ajustarea parametrilor regulatorului).

Modelul de referin ță (etalon) din cadrul sistemelor adaptive de acest tip (cu structura
prezentat ă deja în figura 2.1) caracterizeaz ă comportarea dorit ă a sistemului, furnizând la

11 ieșire semnalul ym(t). Astfel, acela și semnal de intrare r(t) este aplicat atât modelului ideal cât
și construc ției regulator adaptiv-proces.
Sistemele adaptive cu model de referin ță se impun în domeniul sistemelor automate
mai ales atunci când parametrii procesului sunt constan ți, dar necunoscu ți sau atunci când
aceștia variaz ă lent (pe intervale mari de timp) în compara ție cu dinamica adapt ării, dar sufer ă
modificări importante sub ac țiunea unor perturba ții parametrice. Spre deosebire de sistemele
adaptive cu model de referin ță trebuie recunoscut ă totuși superioritatea sistemelor adaptive cu
autoacordare din punct de vedere al flexibilit ății, deoarece la acestea din urm ă există
posibilități multiple de cuplare a metodelor de proiectare a regulatoarelor și de estimare a
modelelor proceselor.
Mecanismul de ajustare al sistemelor adaptive cu model etalon asigur ă o stabilitate și o
convergen ță superioar ă sistemelor autoacordabile, deoarece rolul acestuia este de a modifica
parametrii ajustabili ai regulatorului adaptiv astfel încât regulatorul s ă furnizeze o comand ă
u(t), în scopul reducerii erorii de adaptare ye(t), dintre ie șirea procesului y(t) și ieșirea
modelului etalon ym(t).

()( )0)( )( lim)( lim = − =
∞→ ∞→tyty tymtet (2.1)

Regulatoarele adaptive sunt parametrizate și destinate unor clase de procese (cu
structură cunoscut ă). Dacă s-ar cunoa ște exact parametrii procesului atunci parametrii
regulatorului pot fi determina ți ușor pentru ca ie șirea procesului condus s ă fie una identic ă cu
ieșirea modelului etalon. Atunci când legea de reglare este liniar ă în parametrii ajustabili
regulatorul este liniar parametrizat.
Indiferent de tehnicile utilizate dificult ățile problemei de conducere adaptiv ă provin
din faptul c ă instalația tehnologic ă (procesul condus) reprezint ă o necunoscut ă, o “cutie
neagră” la care sunt disponibile doar informa țiile func ționale (semnale de intrare și ieșire),
respectiv din generarea legii de comand ă care să asigure c ă parametrii regulatorului tind c ătre
valorile ideale (dorite), ceea ce determin ă o convergen ță a erorii de adaptare ye la 0.
Într-o formulare general ă, problema conducerii adaptive a unui proces supus ac țiunilor
perturbațiilor const ă în determinarea la fiecare moment de timp t a semnalului de comand ă
u(t) care stabilizeaz ă sistemul în bucl ă închisă și minimizeaz ă abaterea, eroarea de adaptare
ye(t) dintre m ărimea de ie șire din procesul condus și mărimea de ie șire din modelul etalon
ales, respectiv satisfacerea unor condi ții suplimentare precum [Z ăr1, Dav2]:

12 – determinarea semnalului de comand ă u(t) se face doar prin utilizarea informa țiilor
funcționale disponibile, pentru intrare în procesul condus { u(τ), τ ≤t} și pentru ie șire
din procesul condus { y(τ), τ≤t};
– regulatorul adaptiv este un sistem dinamic cauzal;
– parametrii ajustabili ai regulatorului sa ia doar valori care s ă asigure convergen ța din
relația 2.1.
Structura general ă a sistemului adaptiv cu model etalon, prezentat ă în figura 2.1, a fost
propusă prima oar ă de Whitaker, Yamron și Keezer în anul 1958, iar formularea problemei de
adaptare a parametrilor regulatorului cu scopul de a ob ține un răspuns al procesului identic cu
cel al modelului etalon este cunoscut ă ca o problem ă de urm ărire a modelului etalon. Alte
studii în domeniul sistemelor adaptive au fost efectuate ulterior de Parks, Butchart, Hang,
Monopoly, Landau, Ionescu, Wittenmark, Sastry, Bodson, Ioannou, Stoica, Tao etc. [Koo]
Principalele metode de analiz ă și sinteză a sistemelor adaptive cu model etalon
dezvoltate în continuarea acestui subcapitol sunt:
– metoda gradientului , cunoscut ă și sub denumirea de regula MIT;
– metoda bazat ă pe teoria stabilit ății Lyapunov .

II.1.2. Metoda gradientului (regula MIT) pentru adaptarea regulatoarelor
Metoda gradientului descendent , denumit ă și metoda MIT după denumirea renumitei
universit ății americane în cadrul c ăreia s-au efectuat primele studii, este primul pas reu șit de
ajustare a parametrilor regulatorului adaptiv. Aceast ă metodă presupune modificarea în timp a
parametrilor regulatorului adaptiv pân ă când eroarea de adaptare (urm ărire) devine cât mai
mică, sau altfel spus se urm ărește minimizarea unui criteriu de calitate ce depinde de eroarea
de adaptare și de parametrii regulatorului.

2
21)(ey J ⋅=q
(2.2)

unde θ este vectorul parametrilor regulatorului.
Mecanismul de ajustare a parametrilor regulatorului adaptiv poate fi sintetizat în cazul
metodei MIT prin rela ția:

qgqgq
∂∂⋅⋅−=⋅−=e
eyyddJ
dtd (2.3)

13 unde γ reprezint ă viteza de adaptare (constant ă pozitivă);
ye – eroarea de adaptare.
O altă variantă pentru adaptarea parametrilor este cea care folose ște criteriul de
calitate:

ey J=)(q
(2.4)

Regula de ajustare a parametrilor regulatorului adaptiv devine atunci:

)(eey signy
ddJ
dtd⋅∂∂⋅−=⋅−=qgqgq
(2.5)

unde

<−=>
=
0 ,10 ,00 ,1
)(
eee
e
yyy
y sign .

Un termen esen țial în rela ția 2.3 și 2.5 este func ția de sensibilitate a derivatei erorii
∂ye/∂θ, deoarece aceasta determin ă modul de adaptare a parametrilor. Se consider ă de
asemenea c ă parametrii se modific ă mai lent decât varia țiile sistemului.
Alegerea vitezei (ratei) de adaptare se face în func ție de amplitudinea semnalului de
intrare. Totu și nu se pot preciza exact limitele care asigur ă stabilitatea sistemului în bucl ă
închisă, ceea ce înseamn ă că metoda de adaptare cu gradient descendent poate conduce la
instabilitate. Pentru asigurarea stabilit ății se înlocuie ște funcția de sensibilitate cu o alt ă
metodă de adaptare, mai bun ă, bazată pe teoria de stabilitate Lyapunov.

II.1.3. Metoda teoriei stabilit ății Lyapunov pentru adaptarea regulatoarelor
Asigurarea stabilit ății sistemului închis și convergen ța parametrilor regulatorului
adaptiv se utilizeaz ă teoria de stabilitate (intern ă) a lui Lyapunov . Să presupunem c ă sistemul
în buclă închisă este caracterizat de ecua ția diferen țială:

0)0()),(()(= = ftxfdttdx (2.6)

unde sistemul este neliniar sau liniar dup ă cum este și funcția f(x).

14 Soluția x(t) este stabilă în sens Lyapunov dacă pentru orice ε>0 există δ>0 astfel încât
la orice moment de timp t pozitiv e d
< ⇒< )( )( tx tx . Soluția este asimptotic stabil ă dacă
ea este stabil ă și 0 )(→tx când ∞→t .
Forma practic ă și utilă în cazul sistemelor adaptive cu model etalon este cea dat ă de
metoda direct ă Lyapunov. S ă presupunem înc ă o dată relația 2.6 pentru caracterizarea
dinamicii sistemului în bucl ă închisă. Dacă se găsește o func ție V, care depinde de parametrii
sistemului, denumit ă funcție Lyapunov, astfel încât:
1. V(x)>0 , x≠0;
2. V(0)=0 ;
3. V este derivabil ă;
4. 0)( )( ≤⋅∂∂=• •
txxVtV .
atunci sistemul este stabil . Altfel spus dac ă funcția V este pozitiv definit ă (1 și 2) și
derivata ei negativ semidefinit ă (3 și 4) atunci sistemul în bucl ă închisă este stabil .
Înlocuind condi ția 4 cu rela ția 2.7, ceea ce înseamn ă că derivata func ției V este negativ
definită, sistemul în bucl ă închisă devine asimptotic stabil (exponen țial stabil).

0)( )( <⋅∂∂=• •
txxVtV (2.7)

În plus dac ă V(x)→∞, când x→∞, sistemul este global asimptotic stabil (adică
sistemul este asimptotic stabil pentru toate valorile x inițiale). Rela ția 2.7 st ă la baza
determin ării mecanismului de ajustare a parametrilor regulatorului adaptiv pe baza teoriei
Lyapunov. [Iou, Dav2, Ast2]
Problema esen țială și în cazul sistemelor adaptive r ămâne găsirea acestei func ții V(x)
(denumit ă și funcție de energie care depinde de parametrii sistemului), deoarece în cazul în
care ea nu a putut fi g ăsită astfel încât s ă îndeplineasc ă condițiile 1-4 din teoria stabilit ății nu
se pot face aprecieri din punct de vedere al stabilit ății și convergen ței sistemului adaptiv în
buclă închisă.
Pentru un sistem dat prin ecua ția:

0 )0(),()(x xtxAdttdx= ⋅= (2.8)

unde A este matrice invariant ă în timp.

15 Funcția Lyapunov p ătratică posibilă este:

0 )( >⋅⋅= xPx xVT (2.9)

Dacă P este o matrice p ătratică simetric ă pozitiv definit ă atunci primele dou ă condiții
din teorema stabilit ății (forma practic ă) sunt îndeplinite și deci func ția Lyapunov este pozitiv
definită. Derivata func ției Lyapunov este conform rela ției 2.10 negativ definit ă.

()
xAPPAxxAPxxPAxxPxxPx txVT T T T T T T⋅⋅+⋅ =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=• • •
),(
0 ),( <⋅⋅−= ⇒−=⋅+⋅•
xQx txV Q APPAT T (2.10)

unde Q este o matrice simetric ă pozitiv definit ă.
Relațiile 2.9 și 2.10 conduc la concluzia de stabilitate (intern ă) a sistemului în bucl ă
închisă, deoarece toate cerin țele din teorema de stabilitate Lyapunov sunt îndeplinite.
Alte teorii folosite în determinarea unei reguli de adaptare a parametrilor ajustabili ai
sistemului adaptiv cu model etalon sunt: teoria pasivit ății, stabilitatea intrare-ie șire BIBO
(bounded-input bounded-output), teoria Kalman-Yakubovich, etc.

II.1.4. Exemple de sisteme adaptive cu model etalon
În aceast ă secțiune se prezint ă două exemple de sisteme adaptive cu model etalon
directe (în care adaptarea parametrilor se face direct din informa țiile func ționale, f ără
estimarea parametrilor). Metodele de adaptare a parametrilor sistemului vor fi pe rând metoda
gradientului descendent (MIT) și metoda stabilității Lyapunov .
În primul exemplu procesul condus con ține un singur parametru necunoscut, factorul
de amplificare k de pe calea direct ă. Se dau astfel procesul condus H(s) și modelul etalon
Hm(s):

)( )()( )( sGksUsYsH ⋅= = (2.11)

)( )()( )(0 sGksRsYsHm m ⋅= = (2.12)

și se cere proiectarea unui regulator adaptiv care s ă permită ca ieșirea sistemului în
buclă închisă să urmărească ieșirea din modelul etalon. Pentru adaptarea factorului de

16 amplificare k este suficient un regulator care va avea în structura sa un singur parametru de
acord θ. [Iou, Sas]

)( )( sR sU ⋅=q
(2.13)

Ideal, răspunsurile celor dou ă sisteme sunt identice când parametrul de acord are
valoarea optim ă staționară.

kk sYsY sYm e 0*)( )( 0)( =⇒ = ⇒= q
(2.14)

Dar valoarea lui k nu este cunoscut ă și atunci trebuie g ăsit un mecanism de adaptare a
parametrului regulatorului θ. Eroarea de adaptare (de urm ărire) dintre ie șirile din cele dou ă
sisteme trebuie s ă tindă spre 0 și este dat ă de relația:

)()( )( )( )( )( )(0 trpGktr pGktytytym e ⋅⋅−⋅⋅⋅= −= q
(2.15)

Dacă se aplică regula MIT (rela ția 2.3) pentru adaptarea parametrului θ atunci rezult ă:

m ee
e yyyyddJ
dtd⋅⋅−=∂∂⋅⋅−=⋅−= gqgqgq
(2.16)

iar pentru metoda Lyapunov se poate alege urm ătoarea func ție V, pozitiv definit ă:

2
0 2
2 2),( 

−⋅+⋅=kk ky yVe e qgq
(2.17)

Din teoria stabilit ății Lyapunov rezult ă că sistemul în bucl ă închisă este stabil dac ă
derivata acestei func ții V este negativ semidefinit ă. Din aceast ă condiție rezultă regula pentru
adaptarea parametrului θ, ce se bazeaz ă pe teoria stabilit ății (interne) Lyapunov:

eyrdtd⋅⋅−=gq
(2.18)

În figura 2.3 se g ăsesc cele dou ă sisteme adaptive cu model etalon, care folosesc drept
mecanism de adaptare al parametrului ajustabil rela țiile 2.16 și 2.18. Schemele de simulare au

17 fost realizate în mediul Simulink , un accesoriu util de proiectare, modelare și simulare al
programului de calcul numeric folosit în institu ții academice și de cercetare Matlab .
Versiunea de program Matlab folosită este 6.5. [***1, ***2, Ghi, ww11]
Fig. 2.3. Adaptarea factorului de amplificare prin regula MIT și Lyapunov

Răspunsurile procesului condus și modelului etalon, pentru fiecare metod ă de adaptare
în parte, sunt prezentate în figura 2.4. La intrarea modelului etalon și sistemului adaptiv închis
s-a aplicat o referin ță (semnal de intrare) de tip tren de impulsuri dreptunghiulare cu o
amplitudine de 2 și o perioad ă de 4 secunde.
Fig. 2.4. R ăspunsurile procesului condus și modelului etalon

Adaptarea parametrului de acord se face mai repede în cazul în care factorul de
adaptare (viteza de adaptare) γ este crescut, f ără a se dep ăși o anumit ă limită (figura 2.5).
Dacă se trece peste limita maxim ă posibilă a factorului de adaptare se observ ă că metoda MIT

18 aplicată mecanismului de adaptare nu mai asigur ă stabilitatea sistemului, iar parametrul de
acord θ oscilează devenind instabil și divergent (figura 2.6). Acesta este motivul pentru care
regula bazat ă pe teoria de stabilitate Lyapunov este mai bun ă, și înlocuie ște regula MIT
(evident învechit ă).
Fig. 2.5. Îmbun ătățirea vitezei de adaptare prin cre șterea factorului γ
Fig. 2.6. R ăspunsurile modelului etalon și procesului condus, respectiv evolu ția în timp a
parametrului ajustabil θ, pentru un factor de adaptare prea mare.

Al doilea exemplu reprezint ă adaptarea unui sistem în care procesul condus con ține
factorul de amplificare k și constanta de timp T necunoscute (sistem de ordin I). Se dau pentru
acest exemplu procesul condus H(s) și modelul etalon Hm(s):

)( )( )( )()( )( tubtya tyasbsRsYsH ⋅+⋅−= ⇒+= =•
(2.19)

19 )( )( )( )()( )( trbtya tyasbsUsYsHm m m m
mm
m m ⋅+⋅−= ⇒+= =•
(2.20)

Și la aceast ă problem ă se cere proiectarea unui regulator adaptiv care s ă determine o
ieșire a sistemului în bucl ă închisă identică cu cea dorit ă și impusă prin modelul etalon. Pentru
adaptarea unui factor de amplificare k și a constantei de timp T este necesar un regulator care
va avea în structura sa dou ă căi, una dup ă referință și una dup ă ieșire (așa denumitul regulator
feedforward-feedback), cu doi parametrii ajustabili: θ1 și θ2. Structura sistemului adaptiv cu
model de referin ță este prezentat ă în figura 2.7. [Sas, Iou, Dav2, Tog, Wil]

)( )( )(2 1 ty tr tu ⋅−⋅= q q
(2.21)
Fig. 2.7. Schema de reglare adaptiv ă pentru sistem de ordin I

Ieșirea sistemului în bucl ă închisă în funcție de intrarea r(t) este dată de relația 2.22.

)( )(
21trbapbtyqq
⋅++
⋅
= (2.22)

unde p reprezint ă operatorul de derivare.
Ideal, răspunsurile celor dou ă sisteme sunt identice y(t)=y m(t), când parametrii de
acord au valoarea optim ă staționară θ1* și θ2*.

()



−==
⇒⋅+⋅−=⋅⋅+⋅⋅−−
ba abb
trbtya tr bty ba
mm
m m m
*
2*
1
1 2 )( )( )( )(
qq
q q
(2.23)

Deoarece valoarea parametrilor sistemului nu este cunoscut ă sau ace știa pot s ă se
modifice în timp, trebuie implementat un mecanism de adaptare ai parametrilor ajustabili ai

20 regulatorului. Eroarea de adaptare (de urm ărire) dintre ie șirile din cele dou ă sisteme este dat ă
în relația 2.24.

)( )( )( tytytym e −= (2.24)

Funcțiile de sensibilitate ale derivatei erorii în raport cu parametrii regulatorului sunt:

rbapb ye⋅⋅++=∂∂
2 1 q q
; ()
ybapbr
bapb ye⋅⋅++−=⋅
⋅++⋅−=∂∂
22
212
2 q qq
q
(2.25)

Aceste rela ții nu pot fi implementate în regulatorul adaptiv deoarece con țin
necunoscutele procesului, dar se pot face câteva artificii matematice, presupunând c ă
parametrii procesului se modific ă lent și sistemul în bucl ă închisă este apropiat de modelul
etalon. Astfel este permis ă următoarea înlocuire:

map bap +=⋅++2q
(2.26)

Dacă se aplic ă regula gradientului descendent (MIT, cu rela ția 2.3) pentru adaptarea
parametrilor θ1 și θ2, incluzând parametrul b în factorul de adaptare γ, atunci rezult ă:

e
mmyrapa
dtd⋅


⋅+⋅−=gq
1 și e
mmyyapa
dtd⋅


⋅+⋅=gq
2 (2.27)

Pentru metoda de adaptare bazat ă pe teoria stabilit ății Lyapunov din rela țiile 2.19 și
2.20 rezult ă:

()()
)( )( )()(
1 2 tr b b ty aa b tyadttdy
m m e me⋅−⋅+⋅−+⋅−⋅−= q q
(2.28)

ceea ce ne face s ă alegem urm ătoarea func ție V, pozitiv definit ă:

() ()



−⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅+⋅=2
12
22 1 1
21),(m m e e b bbaa bby yV qgqgq
(2.29)

21 Din teoria stabilit ății Lyapunov rezult ă că sistemul în bucl ă închisă este stabil dac ă
derivata acestei func ții V este negativ semidefinit ă.

0),( 2≤⋅−=e meyadtydV q
(2.30)

condiție adevărată doar dac ă am>0 și în plus:

eyrdtd⋅⋅−=gq
1 și eyydtd⋅⋅=gq
2 (2.31)

În figura 2.8 se prezint ă două structuri de reglare cu model etalon care folosesc drept
mecanism de adaptare al parametrului ajustabil rela țiile 2.16 și 2.18.
Fig. 2.8. Adaptarea factorului de amplificare k și a constantei de timp T

Diferența între cele dou ă scheme este dat ă de prezen ța filtrelor în structura
mecanismului de adaptare realizat cu rela ția 2.16. Și pentru adaptarea factorului de
amplificare k, respectiv a constantei de timp T, creșterea vitezei de adaptare poate conduce la
oscilații ale semnalului de ie șire (figura 2.10). Îmbun ătățirea stabilit ății se face folosind un
mecanism de adaptare bazat pe teoria stabilit ății Lyapunov.

22 Fig. 2.9. R ăspunsurile procesului condus și modelului etalon
Fig. 2.10. R ăspunsurile procesului condus și modelului etalon pentru γ>10

Din studiul celor dou ă aplicații de control adaptiv cu model etalon se observ ă
superioritatea net ă din orice punct de vedere al celei de-a doua metode de adaptare a
parametrilor regulatorului adaptiv folosit ă în lucrare, și anume metoda de adaptare bazat ă pe
teoria stabilit ății Lyapunov.

II.2. Sisteme de reglare direct ă fuzzy
În aceast ă secțiune se prezint ă noțiuni introductive și de bază din logica fuzzy , urmate
de prezentarea structurii regulatoarelor directe fuzzy cu eviden țierea blocurilor componente și
a câtorva aplica ții de reglare inteligent ă.
În deceniile trecute am asistat la o dezvoltare puternic ă în domeniul acestei noi teorii,
logica fuzzy. Aceast ă nouă teorie st ă la baza regl ării si controlului fuzzy, una din metodele de
reglare moderne care duce la schimbarea modului de abordare a problemelor în cadrul
automaticii de ast ăzi.
Există diverse situa ții în care cuno ștințele despre un anumit fenomen sunt par țiale sau
chiar contradictorii și totuși omul este pus în situa ția de a lua o decizie ra țională deoarece nu

23 mai poate apela la situa ții similare memorate și cunoscute deja. Având în vedere c ă universul
este un conglomerat de cuno ștințe ce nu vor putea fi vreodat ă cunoscute în totalitate s-a
elaborat o teorie bazat ă pe probabilistica logicii clasice . Logica fuzzy utilizeaz ă informa ția
sub forma unor elemente lingvistice pentru descrierea comport ării sistemelor complexe f ără a
fi necesar ă utilizarea obi șnuitelor modele matematice folosite la proiectarea clasic ă a
sistemelor. Îns ă se știe că în practic ă informa țiile (datele) ob ținute de la diferi ți senzori se
găsesc sub forma unor elemente numerice .
Între cele dou ă tipuri de informa ții există diferențe fundamentale atât cu privire la
regulile ce le guverneaz ă cât și ca formalism. Astfel pentru a forma un sistem util practic
trebuie g ăsită o punte de leg ătură între cele dou ă lumi formate, pe de o parte lumea calculelor
matematice și numerice și pe de alt ă parte lumea uman ă reprezentat ă de noțiunile lingvistice.
Această punte poate fi constituit ă de logica fuzzy și sistemele fuzzy aferente.
Fundamentat pe logica fuzzy s-a dezvoltat controlul fuzzy al proceselor prin care se
simuleaz ă comportamentul uman în conducerea proceselor. Dac ă am face o scurt ă incursiune
în automatica și conducerea proceselor clasice putem s ă observăm ușor marele impediment al
acestor metode, modelarea fizic ă a proceselor supuse regl ării și eventual liniarizarea
modelului prin diferite tehnici. În practic ă ne putem lovi u șor de aceast ă problem ă când
modelul matematic devine prea complex sau chiar atunci când acesta nu poate fi determinat
datorită inexisten ței unor informa ții necesare. O alta situa ție ar fi atunci când sistemul nostru
are un model neliniar și nu dorim liniarizarea lui. Atunci în sprijinul nostru vin metodele
moderne bazate pe inteligen ță artificial ă sau pe experien ță umană pentru a face mai eficient
întregul proces de reglare. Aceste metode utilizeaz ă o descriere semiformal ă despre strategia
de reglare .
Logica fuzzy asigur ă posibilitatea conversiei unei strategii lingvistice într-una
numerică fără a se dispune de un model matematic al procesului. Ea este des utilizat ă în
aplicații de control, unde procesul este prea complex pentru a fi analizat prin metode
convenționale.
Odată cu creșterea interesului fa ță de posibilit ățile inedite oferite de logica fuzzy în
aplicații de testare și control, s-au dezvoltat procesoare fuzzy precum și medii de programare
dedicate simul ării și implement ării acestor aplica ții. Astfel a ap ărut posibilitatea utiliz ării unor
controllere simple de logic ă fuzzy, în locul unor procesoare conven ționale mai complicate ce
lucrează pe cuvinte de 32 bi ți. Pentru implement ările cele mai simple s-au utilizat
microcontrolere ieftine având lungimea codului de câteva sute de bi ți.
Printre companiile renumite produc ătoare de sisteme fuzzy se num ără : American
Neuralogix, Aptronix, Fuzzy Systems Engineering, Hitachi America, Intel, Integrated

24 Systems, National Semiconductor, Motorola, National Semiconductor, Philips, SGS Thomson
Microelectronics. [Dav1, Olt1, Pre1, Pre2, ww1]
Fără a epuiza posibilit ățile de folosire a sistemelor de reglare fuzzy (FLC) putem
aminti de reglarea unor parametrii critici precum temperatura, presiunea, debitul, pozi ția,
clima, viteza etc. precum și de câteva domenii clare de aplicare :
Tabel 2.1. Domenii de aplicare ale FLC
Domenii de aplicare Nr. aplica țiilor :
1990-1999
Sisteme de reglare Peste 13.289
Măsurări traductoare Peste 1.919
Automobile Peste 394
Robotică Peste 1.867
Prelucrări de imagine Peste 3.469
Diagnoz ă automat ă Peste 1.271
Alte aplica ții Peste 11.045

II.2.1. Elemente de logica fuzzy
Acest subcapitol se dore ște a fi o scurt ă integrare a cititorului în tehnicile moderne și
nu o aprofundare s-au o epuizare a tuturor posibilit ăților ce le ofer ă teoria fuzzy în sine.
Așa cum în teoria logicii clasice putem vorbi de mul țimi de elemente, elemente,
operații și relații între mul țimi și elemente, reguli și consecin țe, la fel și în teoria fuzzy putem
discuta de astfel de componente care vor fi abordate în cele ce urmeaz ă. Pentru prima dat ă s-a
vorbit de o mul țime fuzzy la Universitatea din California-Berkeley într-o lucrare expus ă de
către Lofti A. Zadeh în anul 1964. Teoria mul țimilor fuzzy (mul țimi vagi) a slujit de fapt ca
bază pentru dezvoltarea ulterioar ă a acestei logici fuzzy . [Zad, ww3]
În teoria clasic ă o mulțime este definit ă ca o colec ție de elemente u, aparținând
domeniului tuturor elementelor posibile ( u∈U). Orice element luat din acest domeniu U poate
să fie con ținut sau nu într-o mul țime particular ă A. Se define ște astfel o func ție x de
apartenen ță a tuturor elementelor u la mulțimea clasic ă A:

{}

∉∈= →AuAuux UxA A,0,1)( ;1,0 : (2.32)

Se observ ă că apartenen ța acestor elemente u poate fi caracterizat ă printr-o valoare
binară “0 sau 1 logic” . Deci este valabil principiul logicii aristotelice care spune c ă ceva

25 există sau nu exist ă sau conform filozofiei și religiei orientale principiul c ă ceva exist ă și, în
același timp, nu exist ă, de exemplu YIN și YANG.
Dar nu orice informa ție poate fi convertit ă binar folosind acest principiu de true/false
și atunci se apeleaz ă la statistic ă, ceea ce presupune introducerea probabilit ății cuprinse între 0
și 1, ca un element u să aparțină unei mul țimi A. Logica fuzzy produce acela și rezultat, în
sensul în care eticheteaz ă variabilele cu valori cuprinse între 0 și 1, adic ă funcția x de
apartenen ță a elementelor u la mulțimea A poate lua și valori subunitare. [Kis, Pre1, Dri]
O mulțime fuzzy (mul țime vag ă) A, dintr-un domeniu U, este caracterizat ă printr-o
funcție de apartenen ță μA, care poate lua valori în intervalul [0,1] :

]1,0[ :→UAm
(2.33)

O mulțime fuzzy A, dintr-un domeniu U, poate fi reprezentat ă (complet determinat ă)
matematic printr-un set de perechi ordonate care con țin elementul u și gradul de apartenen ță
μA la acea mul țime vagă:

( ) { }Uuu u AA ∈ = |)(,m
(2.34)

unde variabilele (informa țiile) fuzzy u iau valori fuzzy μA(u).
Dacă codomeniul (spa țiul valorilor) func ției de apartenen ță conține doar dou ă puncte,
0 și 1, atunci mul țimea A este de fapt o mul țime non-fuzzy, adic ă o mulțime clasic ă. În
contextul teoriei mul țimilor fuzzy, mul țimile clasice de valori reale sunt denumite mul țimi
crisp. Func țiile de apartenen ță pot avea diferite aluri grafice (figura 2.11), simetrice sau nu, cu
denumiri consacrate din literatura de specialitate: clopot Gauss, cosinus, trapez, triunghi,
singleton.
Fig. 2.11. Exemple de func ții de apartenen ță

O mulțime fuzzy (vag ă) sau un set fuzzy este alc ătuit grafic din una sau mai multe
funcții de apartenen ță. Pentru caracterizarea analitic ă a mul țimilor vagi se folosesc
următoarele no țiuni:
– suportul (baza, l ățimea) mul țimilor vagi;

26 { }0)(, | )( > ∈= u Auu S m m
(2.35)

– toleranța mulțimilor vagi;

{ }1)(, | )( = ∈= u Auu T m m
(2.36)

– înălțimea mul țimilor vagi.

{ }Auu h ∈ = |)( max)( m m
(2.37)

În particular, o mul țime al cărei suport este un singur punct u cu gradul de apartenen ță
maxim (μ(u)=1 ) se nume ște singleton.
Ca și în teoria clasic ă, și în teoria mul țimilor fuzzy dup ă ce au fost definite mul țimea și
elementele unei mul țimi urmeaz ă operații și relații între acele mul țimi și elemente.
Presupunând de la început existen ța unei mul țimi crisp G, definită pe un domeniu U din
matematica clasic ă se pot defini rela țiile între mul țimi:
– egalitatea dintre dou ă mulțimi fuzzy;

()()()Gx x x dacă BAB A ∈∀ = = , , m m
(2.38)

– incluziunea mulțimilor fuzzy.

()()()Gx x x dacă BAB A ∈∀ ≤ ⊆ , , m m
(2.39)

sau operatori și conectori lingvistici ai acestor mul țimi, ilustra ți grafic în figura 2.12.
– conectorul și, după Zadeh corespunz ător intersec ției a dou ă mulțimi, evaluat prin
operatorul minimum;

() ()()()Gx x x x dacă BACB A C ∈∀ = ∩= ), , min( , m m m
(2.40)

– operatorul sau, după Zadeh corespunz ător reuniunii a dou ă mulțimi, evaluat prin
operatorul maximum;

() ()()()Gx x x x dacă BA CB A C ∈∀ = ∪= ), , max( , m m m
(2.41)

27 – operatorul de complementare (sau de negare).
() ()()Gx x x dacă A compCA C ∈∀ −= = , 1 ),( m m
(2.42)
Fig. 2.12. Exemplificarea grafic ă a operatorilor min, max, comp

Pentru evaluarea reuniunii și intersec ției mai sunt folosi ți și operatorii sum ă (sum) și
produs ( prod ), iar în literatura de specialitate se mai întâlnesc operatorii și-vag și sau-vag sau
modificatori de con ținut cum sunt operatorul de concentrare ( con) sau de diluare ( dil).
Printre alte no țiuni elementare folosite în teoria mul țimilor fuzzy sunt:
– valoare crisp, real ă (crisp value );
– variabilă lingvistic ă (linguistic variable ), de exemplu: temperatura, viteza, clima;
– termen lingvistic ( linguistic term ), de exemplu: mic, mediu, pl ăcut, foarte cald;
– grad de apartenen ță la o mul țime fuzzy ( membership value , cuprins între 0 și 1);
– funcții de apartenen ță (membership functions , cu diferite forme).
În cadrul sistemelor fuzzy, variabila lingvistic ă reprezint ă o mărime fizic ă și definește
mulțimea de baz ă, în timp ce termenul lingvistic caracterizeaz ă diferitele mul țimi ce se
definesc pe mul țimea de baz ă prin intermediul func țiilor de apartenen ță. Termenul lingvistic
trebuie în țeles ca un descriptor fuzzy al unui subdomeniu de valori ale m ărimii fizice.
Pentru exemplificare se prezint ă descrierea vag ă a temperaturii unui cuptor, folosind
cinci termeni lingvistici: foarte mic ă, mică, medie, mare, foarte mare; termeni defini ți prin
funcțiile de apartenen ță cu forma din figura 2.13. [Dav1, Pre1, Pre2, Jag, Olt1]
Fig. 2.13. Descrierea vag ă a temperaturii

Avantajul folosirii teoriei mul țimilor fuzzy const ă tocmai în reprezentarea elementelor
fizice prin variabile lingvistice, termeni lingvistici și expresii lingvistice. S ă consider ăm că

28 temperatura, o variabil ă fizică în teoria clasic ă și una lingvistic ă în teoria fuzzy, are la un
moment dat în teoria clasic ă o valoare real ă de 110 ˚C. Aceasta înseamn ă în teoria fuzzy
alăturarea câte unui grad de apartenen ță la fiecare termen lingvistic pentru a descrie
fenomenul. Deci, temperatura de 110 ˚C este caracterizat ă în teoria mul țimilor fuzzy prin:

{ }0,0,25.0,75.0,0 110 =⇒°=∗u C u (2.43)

În ordine cresc ătoare au fost precizate gradele de apartenen ță a valorii ferme, crisp-
reale, la termenii lingvistici defini ți. Fiecare valoare dintr-o mul țime real ă non-fuzzy (crisp)
are un corespondent în mul țimea fuzzy prin ata șarea unui grad de apartenen ță la un termen
lingvistic.
Dacă în reglarea clasic ă a sistemelor o rela ție matematic ă este definit ă între intr ările și
ieșirile acelui sistem, în sistemele fuzzy rela țiile sunt definite între variabile fuzzy din diferite
mulțimi prin expresii lingvistice și implica ții lingvistice.
Cea mai simpl ă expresie lingvistic ă posibilă are urm ătoarea structur ă : “variabilă
lingvistică – simbol – termen lingvistic” (de exemplu: temperatura este medie).
O relație lingvistic ă, este compus ă din mai multe expresii lingvistice și are forma:
“variabilă lingvistic ă – simbol – termen lingvistic conector lingvistic variabilă lingvistic ă –
simbol – termen lingvistic” (de exemplu: temperatura este medie și umiditatea este ridicat ă).
O implicație lingvistic ă are forma: “dacă premisa atunci concluzia” (dac ă
temperatura este joas ă atunci cuptorul este rece) . Prin premis ă se prezint ă o proprietate sau
mai multe (o expresie lingvistic ă sau mai multe legate într-o rela ție) observat ă/observate, iar
prin concluzie o proprietate afirmat ă.
În aplica țiile de conducere, mai multe rela ții stabilite între diferite mul țimi fuzzy
definite pe mul țimi de baz ă trebuie cuplate de obicei în vederea enun țării unei concluzii
ulterioare. Astfel pentru aceste rela ții (mai multe expresii lingvistice) se folosesc conectori
lingvistici de tipul și/sau, iar evaluarea conexiunilor se face cu operatori adecva ți logicii vagi.
Pentru cuplaje complexe de rela ții sunt introduse produsele (compozi țiile): max-min , max-
prod , sum-prod . Aceasta deoarece în cazul regulatoarelor fuzzy automate comanda actual ă
(concluzia) se va determina pe baza valorilor mai multor intr ări, de tipul “dacă premisa1
și/sau premisa2 atunci concluzia” .
Important ă în realizarea regulatoarelor fuzzy este deci și inferența vagă (fuzzy) , adică
algoritmul dup ă care se evalueaz ă aceste implica ții lingvistice reunite într-o baz ă de reguli. În
evaluarea inferen ței se pot utiliza compozi țiile max-min , max-prod , sum-prod .

29 II.2.2. Structura de baz ă a regulatoarelor fuzzy directe
Această secțiune este dedicat ă regulatoarele fuzzy directe . Sunt detaliate structura
acestor regulatoare, blocurile constructive și diferitele tipuri de ra ționamente folosite în cadrul
ingineriei regl ării automate.
Modalitatea tradi țională de a proiecta sistemele de control automat pentru procese
neliniare și afectate de incertitudini se dovede ște de multe ori a fi foarte dificil ă. Prin
utilizarea euristicilor (cuno ștințelor expertului), tehnicile de control bazate pe inteligen ță
artificial ă pot simplifica sinteza unor regulatoare pentru asemenea procese. Combinând ace ști
algoritmi soft-computing cu unele metode adaptive de înv ățare se pot ob ține metode de
control aproape optimale.
Utilizarea metodelor bazate pe experien ța umană sunt pe cale s ă înlocuiasc ă tot mai
des în procesul de conducere metodele clasice de control, aceasta deoarece folosesc doar o
descriere semiformal ă a strategiei de reglare, adic ă le formalizeaz ă funcționarea modelelor
proceselor necunoscute printr-o metod ă similară cu gândirea uman ă și nu au nevoie de modele
matematice.
În general un regulator fuzzy are structura de baz ă prezentat ă în figura 2.14, unde sunt
evidențiate următoarele blocuri componente: [Dav1, Dav2, Olt1, Duk]
– baza de reguli;
– blocul de fuzzificare;
– mecanismul de inferen ță;
– blocul de defuzzificare.
Fig. 2.14. Structura informa țională a unui regulator fuzzy

Blocul de fuzzificare reprezint ă blocul de intrare în regulatorul fuzzy, cu rol de
obținere a informa ției fuzzy sub forma variabilelor lingvistice, a termenilor lingvistici și a
funcțiilor de apartenen ță dintr-o valoare crisp. Aceste informa ții fuzzy (valori fuzzy) vor fi
comparate cu premisele tuturor regulilor de tipul “dacă … atunci …” (“if … then …”)

30 cuprinse în baza de reguli și folosite de mecanismul de inferen ță pentru activarea și aplicarea
acestora.
Baza de reguli conține transpunerea în logic ă fuzzy a descrierii lingvistice a modului
în care s-ar realiza un control eficient. Deci acest bloc este constituit din setul de reguli de
tipul “dacă … atunci …” stabilite de expert și definite pe variabilele fuzzy, de intrare și ieșire.
Mecanismul de inferen ță exprimă modul în care se interpreteaz ă și se aplic ă regulile
stabilite de expert pentru variabilele de intrare. Acest mecanism evalueaz ă care dintre reguli
sunt relevante la momentul de timp corespunz ător pe baza gradelor de apartenen ță și decide
valoarea (fuzzy) a m ărimii de ie șire din regulator folosind operatori adecva ți logicii vagi.
Blocul de defuzzificare asigură faptul c ă rezultatul ob ținut din blocul de decizie, o
valoare fuzzy, este convertit într-o valoare fizic ă reală ce se va transmite procesului /
elementului de execu ție. Practic aici se va realiza opera ția invers ă fuzzificării.
Pentru realizarea unui regulator inteligent bazat pe logic ă fuzzy sunt respectate în
general urm ătoarele etape de proiectare:

a) Alegerea variabilelor de intrare și ieșire, precum și stabilirea termenilor lingvistici,
funcțiilor de apartenen ță, respectiv mul țimile fuzzy de baz ă asociate acestora.
Alegerea variabilelor lingvistice trebuie f ăcută în funcție de posibilit ățile și necesitățile
de proiectare și implementare, îns ă cel mai des se folosesc doar dou ă intrări pentru a nu
complica prea mult algoritmul de calcul, deoarece num ărul de intr ări va avea un efect puternic
după cum vom vedea asupra bazei de reguli.
Referitor la natura intr ărilor ferme ale regulatoarelor fuzzy se întâlnesc dou ă situații
tipice.
– intrările în regulator sunt cel mai des eroarea de reglare și derivatele erorii sau
integrala erorii, pentru a se aprecia evolu ția în timp a procesului;
– intrările în regulator sunt pe lâng ă eroarea de reglare, eventual derivatele erorii sau
integrala erorii, și alte m ărimi de proces (de obicei m ărimi de stare) cu dinamic ă
diferită.
Pentru descrierea mul țimilor fuzzy de baz ă asociate variabilelor lingvistice exist ă
nenumărate cazuri de folosire a diferitelor tipuri de func ții de apartenen ță. Alegerea
domeniului de baz ă se face în unit ăți naturale, normate, în cre șteri față de o valoare de
referință (ceea ce determin ă amplificarea regulatorului fuzzy).
De asemenea prin definirea termenilor lingvistici se fixeaz ă rezoluția conversiei vagi.
Se dovede ște că alegerea unui num ăr mai mare de 7 termeni nu conduce la o cre ștere eficient ă
a rezoluției, iar formularea bazei de reguli devine anevoioas ă și nesigur ă. Alocarea termenilor

31 lingvistici și a funcțiilor de apartenen ță se face astfel încât s ă fie acoperit tot domeniul de
bază. În plus este recomandabil ca o valoare ferm ă să activeze simultan doi termeni
lingvistici.
În figura 2.15 sunt prezentate câteva exemple de alegere a mul țimilor fuzzy ata șate
unor variabile lingvistice.
Fig. 2.15. Exemple de mul țimi de baz ă pentru variabile lingvistice

b) Întocmirea bazei de reguli.
Baza de reguli se construie ște prin corelarea logic ă a mulțimilor fuzzy asociate
variabilelor de ie șire cu cele ale variabilelor de intrare. Opera ția logică care face posibil ă
trecerea de la o premis ă la o concluzie se nume ște inferen ță logică. Iată câteva exemple de
implicații lingvistice care pot fi simple sau compuse, cu mai multe expresii lingvistice:
Construcție simplă: dac ă condiția 1 atunci concluzia 1
dac ă condiția 2 atunci concluzia 2
……………………………………
dac ă condiția n atunci concluzia n
De exemplu: dac ă temperatura este mare atunci umiditatea este mare.
Construcție compus ă: dac ă condiția 1a și condiția 1b atunci concluzia 1
dac ă condiția 2a și condiția 1b atunci concluzia 2
………………………………………………………
dac ă condiția na și condiția nb atunci concluzia m
De exemplu: dac ă temperatura este mare și umiditatea este mare atunci în camer ă este
neplăcut .
Construc ția compus ă se folose ște atunci când se dore ște îndeplinirea a dou ă sau mai
multor condi ții pentru dou ă sau mai multe variabile lingvistice diferite, de intrare. Baza de
reguli poate fi complet ă (când fiecare situa ție fermă este acoperit ă de reguli) sau incomplet ă

32 (dacă situații ferme pu țin probabile sunt l ăsate spre rezolvare unor reguli adiacente sau nu
sunt definite).
Numărul de reguli ale unei baze de reguli complete se calculeaz ă cu relația:

∏
==n
ii R n n
1 (2.44)

unde ni reprezint ă numărul termenilor lingvistici defini ți pentru fiecare variabil ă
lingvistic ă de intrare;
n – numărul de variabile lingvistice de intrare.
De fapt aceste implica ții (reguli) pot fi transpuse sub forma unui tabel (matrice) de
reguli, asemeni celei prezentate în figura 2.16. Se consider ă două variabile lingvistice de
intrare x1 și x2 a căror termeni lingvistici sunt introdu și pe coloane sau linii ale matricei, iar
interiorul câmpurilor matricei astfel formate con țin valorile lingvistice ale ie șirii y, rezultate în
urma aplic ării logicii din experien ța umană.
Fig. 2.16. Matricea cu baza de reguli

Textual din tabelul de reguli (baza de reguli fuzzy complet ă) intersec ția coloanei 5 cu
linia 5 con ține implica ția lingvistic ă “dacă condiția 5a și condiția 5b atunci concluzia 25 ”,
deci “dac ă x1 este PM și x2 este PM atunci y este PM ” (if x1 is PM and x2 is PM then y is
PM).

c) Tratarea informa ției ferme de intrare și stabilirea procedeelor de fuzzificare.
Fuzzificarea se efectueaz ă prin transformarea valorii ferme reale în valoare fuzzy,
adică fiecărei valori a variabilelor de intrare i se asociaz ă câte un vector având ca elemente, în
ordine cresc ătoare, gradele de apartenen ță la termenii lingvistici defini ți pe mulțimile fuzzy de
bază (relația 2.43). Înainte de aceast ă transformare trebuie efectuat ă o conversie analog-
numerică a semnalului primar (e șantionare, cuantizare, codificare) și eventual o tratare
numerică a informa ției (filtrarea numeric ă, calculul derivatelor, integralelor).

33 Criteriile de e șantionare a semnalelor continue sunt practic similare cu cele din cazul
conducerii clasice și depind de dinamica procesului condus (mai pu țin cunoscut ă), dinamica
sistemului de reglare automat ă, echipamentele numerice disponibile, spectrul perturba țiilor,
dinamica elementelor de execu ție și de măsură.

d) Stabilirea mecanismelor de inferen ță
La orice moment de timp, algoritmul de decizie fuzzy activeaz ă reguli din cadrul bazei
de reguli fuzzy (BRF), urm ărindu-se influen ța fiecărei reguli în concluzia final ă. Apoi se
realizeaz ă evaluarea acestor reguli prin diferite ra ționamente și pe baza conectorilor
lingvistici, respectiv a operatorilor fuzzy fundamentali se determin ă valoarea fuzzy
corespunz ătoare concluziei (ie șirii).
Se reamintesc situa țiile de utilizare a conectorilor lingvistici:
– conectorul și în interiorul premisei pentru intersec ția condițiilor de func ționare sau la
evaluarea regulii (concluzionare);
– conectorul sau în interiorul premisei pentru reuniunea condi țiilor de func ționare sau la
cuplarea mai multor reguli activate din cadrul bazei de reguli (reuniunea concluziilor).
Metodele de inferen ță (compozi țiile) preferate în solu ționarea problemelor de reglare
fuzzy sunt max-min , max-prod , sum-prod . Pentru a în țelege fiecare metod ă de inferen ță se
evalueaz ă analitic doar dou ă reguli activate (24 și 25) din matricea de reguli din figura 2.16:
“dacă x1 este Pm și x2 este PM atunci y este PM ”, “dacă x1 este PM și x2 este PM atunci
y este PM ”.
Inferența max-min (denumit ă și raționamentul Mamdani) se face utilizând operatorii:
– pentru conectori în premis ă: și → min, sau → max;
– pentru concluzionare: min;
– pentru conectarea regulilor: max.

( ) ( )
()()
() ()
yPM yPM R R z yyPM PMx PMx yPM RyPM PMx Pmx yPM R
MAX MAXMIN MINMIN MIN
m m m m mm m m m mm m m m m
, ,, ,, ,
25 24 Re2 1 252 1 24
= == == =
(2.45)

Deoarece de obicei maximul func ției de apartenen ță a ieșirii are valoarea real ă 1
evaluarea regulilor 24 și 25 se reduce la calcularea valorii minime între gradele de apartenen ță
corespunz ătoare celor dou ă intrări.
Inferența max-prod se face utilizând operatorii:
– pentru conectori în premis ă: și → min, sau → max;

34 – pentru concluzionare: prod ;
– pentru conectarea regulilor: max.

( ) ( )
()()
() ()
yPM yPM R R zyyPM PMx PMx yPM RyPM PMx Pmx yPM R
MAX MAXMIN PRODMIN PROD
m m m m mm m m m mm m m m m
, ,, ,, ,
25 24 Re2 1 252 1 24
= == == =
(2.46)

Inferența sum-prod se face utilizând operatorii:
– pentru conectori în premis ă: și → prod , sau → sum;
– pentru concluzionare: prod ;
– pentru conectarea regulilor: sum.

( ) ( )
()()
() ()
yPM yPM R R zyyPM PMx PMx yPM RyPM PMx Pmx yPM R
SUM SUMPROD PRODPROD PROD
m m m m mm m m m mm m m m m
, ,, ,, ,
25 24 Re2 1 252 1 24
= == == =
(2.47)

În conducerea automat ă a sistemelor este întâlnit ă mai rar situa ția în care în premis ă se
folosește conectorul sau. Acesta ar impune înlocuirea operatorului min din evaluarea analitic ă
2.45, 2.46 cu operatorul max, respectiv a operatorului prod cu operatorul sum din relația 2.47.
Folosirea celor doi operatori simultan în premisele implica țiilor din baza de reguli duce în
final și la o modificare a matricei bazei de reguli fuzzy din figura 2.16. Aceasta trebuie s ă
conțină și explica ții asupra operatorului conectorilor folosi ți în premis ă. [Pre1, Pre2, Ali, Jag]
În figura 2.17 este prezentat modul de aplicare a inferen ței max-min .
Fig. 2.17. Mecanismul de inferen ță max-min (Mamdani)

d) Adoptarea tehnicilor de defuzzificare

35 Defuzzificarea este procesul de extragere a unei valori reale deterministe din
informația fuzzy asociat ă variabilei de ie șire, obținută din mecanism de inferen ță μyRez → u.
Metoda cea mai des utilizat ă, datorită rezultatelor consistente ob ținute este cea a centrului de
greutate MCG (center of gravity CoG), introdus ă de Watanabe (1986).
Fig.2.18. Defuzzificare prin metoda centrului de greutate (center of gravity) CoG

Pentru calculul efectiv al ie șirii se poate aplica rela ția 2.48 dac ă funcțiile de
apartenen ță ale ieșirii sunt simetrice (cu forme favorabile).

∑∑
==⋅
=n
ii z yn
ii z y i
CoG
yy y
y
1Re1Re
)()(
mm
(2.48)
unde yi sunt centrele de greutate fixe ale func țiilor de apartenen ță ;
μyRez(yi) – gradele de realizare ale concluziilor regulilor activate.
Alegerea metodei de defuzzificare depinde și de tipul elementului de execu ție. Pentru
un element de execu ție cu num ăr finit de st ări discrete se va alege între metoda maximului și
metoda maximelor mediate, iar pentru un element de execu ție cu domeniu de varia ție compact
se prefer ă metoda centrului de greutate. [Dav1, Dav2, Pre1, Pre2]
În figura 2.19 sunt exemplificate alte câteva metode de defuzzificare, precum metoda
primului maxim MPM (first maximum FM), metoda ultimului maxim MUM (last maximum
LM), metoda centrului ariei maxime MCAM (center of area CoA).
Fig. 2.19. Alte tehnici de defuzzificare

Dependent de metoda de defuzzificare ie șirea ferm ă din regulator poate fi valoarea
actuală a comenzii sau cre șterea valorii actuale în raport cu vechea valoare a comenzii.

36 II.2.3. Exemple de structuri de reglare fuzzy directe
Teoretic, un regulator fuzzy este prin construc ție un regulator neliniar, cu una sau mai
multe intr ări și una sau mai multe ie șiri. Un regulator fuzzy poate deveni un regulator cu
dinamică dacă una din m ărimile sistemului este prelucrat ă dinamic.
Regulatoarele fuzzy fără dinamic ă cu o intrare și o ieșire sunt regulatoare
proporționale neliniare cu limitare sau regulatoare multipozi ționale. Regulatoarele f ără
dinamică cu mai multe intr ări (MISO) corespund structurii clasice, realizarea lor presupune ca
mărimile culese din procesul condus s ă fie deja separate prin blocuri cu dinamic ă incluse în
proces. [Jan, Pre1, Pre2, Dav1, Dav2]
Un caz interesant este regulatorul fuzzy dup ă stare, cu structura prezentat ă în figura
2.20. La acest tip de regulator m ărimile de intrare în regulator sunt chiar m ărimile de stare ale
procesului condus x1,x2…
Fig. 2.20. Regulator fuzzy dup ă stare

În general, propriet ățile unui sistem de reglare automat ă se pot îmbun ătății dacă se
introduc componente dinamice în structura regulatorului. Dac ă în regim permanent se poate
elimina sau reduce eroarea de reglare, în regim dinamic se pot îmbun ătăți rezerva de faz ă,
suprareglajul sau durata regimului tranzitoriu.
Prelucrarea dinamic ă (pentru regulatoare fuzzy cu dinamic ă) a unei m ărimi de intrare
sau ieșire din regulator se face cu componente derivative sau integratoare (de tip D sau I),
introduse în variant ă analogic ă sau numeric ă (echivalent cvasicontinual).

∫= = = −==•• •
03 3 2 1 )( )( )()( ,)()( ),( )()()( tt
de te sautetetetetytrtete (2.49)

unde pentru componentele D și I relațiile uzuale numerice de calcul sunt:

()
11
−− =k k
ek eeTD , ∑
==k
jj k e I
0 (2.50)

37 Cu cele dou ă componente dinamice se realizeaz ă în prezent variante de regulatoare
fuzzy de tip PID. Construc ția unui regulator fuzzy cvasi-PD are la baz ă schema bloc din figura
2.21a și relația 2.51, ce caracterizeaz ă o dependen ță tipică a unui regulator conven țional PD.

• •
⋅⋅+⋅=⋅+⋅== )( )( )( )( )(),( )(2 1 2 2 1 1 tekktektektek teteFtud (2.51)

Dacă coeficien ții k1, k2, kd sunt modela ți cu ajutorul regulatorului fuzzy atunci rezult ă
echivalentul cvasicontinuu al regulatorului fuzzy PD . [Pre1, Pre2]
Construc ția unui regulator fuzzy cvasi-PI de pozi ție se poate face în dou ă variante:
– cu efectul de integrare introdus pe ie șirea regulatorului fuzzy (figura 2.21b);
– cu efectul de integrare introdus pe intrarea regulatorului fuzzy (figura 2.21c).
Fig. 2.21. Regulatoare fuzzy cvasi-PID

Relațiile aferente celor dou ă structuri ce caracterizeaz ă o dependen ță tipică a unui
regulator conven țional PI sunt:

dttekktek k dtteteF ktut
d it
i ∫ ∫ ⋅⋅+⋅⋅=⋅=• •
02 2 1 1
0)( )( )(),( )( (2.52)

()
∫⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅= =t
i p dtte kktekktektek teteFtu
02 1 2 2 1 1 2 1 )( )( )( )( )(),( )( (2.53)

Dacă coeficien ții k1, k2, kd, ki, kp sunt modela ți cu ajutorul regulatorului fuzzy atunci
rezultă echivalentul cvasicontinuu al regulatorului fuzzy PI .
În mod asem ănător se pot realiza și regulatoarele fuzzy cvasi-PID sau alte regulatoare
fuzzy cu dinamic ă. În practic ă sunt întâlnite cel mai des regulatoare fuzzy cu dinamic ă care au
ca intrări eroarea de reglare și variația acesteia (derivata erorii).

38 Un exemplu în care nu se dore ște obținerea unor performan țe deosebite, ci doar
detalierea func ționării unui regulator fuzzy direct, este un sistem de reglare automat ă a unui
proces de ordin doi. Pentru a ob ține un regulator fuzzy cu dinamic ă a fost introdus un bloc
numeric de derivare. Se consider ă următoarea func ție de transfer continu ă a procesului:

4 31)(2+⋅+=s ssH (2.54)

Întrucât metodele de reglare inteligente fuzzy fac parte din categoria soft-computing ,
adică implică implementarea acestora pe un sistem de calcul, deci o tratare în plan discret a
problemelor, este necesar ă o reprezentare discretizat ă a procesului.
Funcția discret ă a procesului considerând o perioad ă de eșantionare de 0.001s este:

( )
2 12 1 6
1
997.0 997.11499.0 4995.0 10)(− −− − −
−
⋅ +⋅ −⋅ +⋅ ⋅=z zz zzH (2.50)

Regulatorul fuzzy a fost realizat folosind editorul grafic fuzzy disponibil în mediul
Matlab . El are dou ă variabile lingvistice de intrare (eroarea și derivata intr ării) și una de ie șire
(comanda). Pentru toate variabilele au fost aloca ți cinci termeni lingvistici (cu func ții de
apartenen ță de tip triunghi și trapez). Domeniile de baz ă pentru cele trei variabile lingvistice
au fost ob ținute prin teste experimentale, deci implicit și factorii de scalare a domeniilor.
În figura 2.22 sunt prezentate mul țimile de baz ă pentru variabilele lingvistice și tabelul
cu baza de reguli.
Fig. 2.22. Mul țimile variabilelor lingvistice și baza de reguli

39 Regulatorul folose ște raționamentul Mamdani (pentru mecanismul de inferen ță), ceea
ce înseamn ă folosirea operatorului min/max pentru evaluarea conectorului și/sau din premis ă,
respectiv concluzionarea în cadrul regulilor se face cu operatorul min și conectarea regulilor
cu operatorul max. Obținerea valorii crisp din valoarea fuzzy (defuzzificarea) se face cu
metoda centrului de greutate .
Fig. 2.23. Schema de simulare a sistemului de reglare

În urma efectu ării simul ării sistemului de reglare ce con ține regulatorul inteligent de
tip fuzzy, eroarea de reglare e, comanda u și ieșirea din proces y sunt prezentate în figura 2.24.
Fig. 2.24. Evolu ția erorii, comenzii și ieșirii procesului în timp

Evoluția mărimilor din figura 2.24 eviden țiază îndeplinirea eventualelor cerin țe de
performan ță. Trebuie precizat c ă aceste regulatoare inteligente dau rezultate superioare
regulatoarelor conven ționale în prezen ța neliniarit ăților puternice în procese sau
incertitudinilor în modelul procesului.

40 III. Sisteme de reglare fuzzy adaptive
Deși fiecare din cele dou ă strategii de reglare ( adaptivă convențională și fuzzy
inteligent ă) au adus îmbun ătățiri în domeniul ingineriei regl ării automate, modernizându-l,
acestea și-au dovedit și ele limitele. Spre exemplu sistemele de reglare inteligente fuzzy , deși
utile în multe aplica ții de control automat unde teoria clasic ă nu face fa ță, au și ele problemele
lor de proiectare și funcționare.
Alegerea mul țimilor de baz ă ale mărimilor de intrare și ieșire, func țiile de apartenen ță
și proiectarea bazei de reguli depind de expertul uman și de modul în care acesta prelucreaz ă
lingvistic informa țiile despre proces. În plus este posibil ca un regulator deja proiectat s ă
funcționeze în condi ții nominale s ă nu ofere acelea și rezultate în cazul unor varia ții
semnificative ale parametrilor procesului.
Dacă ar fi posibil ă o reactualizare și modificare on-line a parametrilor regulatorului
atunci performan țele sistemului în bucl ă închisă s-ar îmbun ătății și am avea de-a face cu o
tehnică de control fuzzy adaptiv ă. Această tehnică reprezint ă o soluție care combin ă practic
algoritmii soft-computing (bazați pe logica fuzzy ) cu metodele adaptive de înv ățare, obținând
metode de control aproape optimale.
Deci, un regulator fuzzy adaptiv posedă avantaje mo ștenite atât de la sistemele
inteligente fuzzy, cât și de la sisteme adaptive, pentru a controla sisteme neliniare, cu
parametrii variabili în timp și cu o structur ă parțial cunoscut ă. (Figura 3.1) [Koo]
Fig. 3.1. Tipuri de strategii de reglare

În acest capitol sunt prezentate câteva scheme generale de regulatoare inteligente
adaptive întâlnite în literatura de specialitate și structura de baz ă a unui sistem de reglare
fuzzy adaptiv cu model etalon (Fuzzy Model Reference Learning Control FMRLC). Apoi sunt
studiate func ționarea și modul de realizare a acestor regulatoare inteligente și adaptive,
moderne prin detalierea unor aplica ții tipice de control.

41 III.1. Scheme generale de reglare fuzzy adaptiv ă
În acest subcapitol sunt prezentate câteva exemple de scheme principiale de control
fuzzy adaptiv și elemente de ini țiere în ceea ce se va concretiza în structura sistemului de
reglare fuzzy adaptiv ă cu model etalon.
Pornind de la regulatoarele fuzzy cvasi-PID o îmbun ătățire a performan țelor sistemelor
de reglare automat ă poate fi asigurat ă dacă se realizeaz ă modificarea structurii acestora prin
utilizarea a dou ă regulatoare fuzzy cvasi-PID standard (fie ele cu integrare pe intrare sau
ieșire) în conexiune paralel, cu ac țiune alternativ ă asupra procesului (Figura 3.2). [Pre1, Pre2]
Fig. 3.2. Regulatoare fuzzy cvasi-PID cu structur ă variabilă

În cazul regulatorului cu structură variabilă din figura 3.2 unul dintre regulatoare
standard ac ționează când modulul erorii de reglare este mai mare de o valoare limit ă, iar
celălalt când modulul erorii de reglare coboar ă sub aceast ă limită. Parametrii fuzzy ai
regulatoarelor pot fi de fapt factorii de scalare a mul țimilor de baz ă ale mărimilor de intrare și
ieșire.
Un alt tip de regulator adaptiv este cel care folose ște o strategie de adaptare a
parametrilor fuzzy . Parametrii unui regulator fuzzy ce pot fi lua ți în considerare pentru
adaptarea acestuia la noi condi ții de func ționare sunt:
– funcțiile de apartenen ță (pentru variabile intrare și ieșire);
– factorii de scalare ai mul țimilor de baz ă (pentru variabile intrare și ieșire);
– conținutul bazei de reguli.

Mărimile folosite în cazul adapt ării parametrilor regulatorului fuzzy sunt:
– eroarea de reglare;
– derivata erorii de reglare;
– valoarea comenzii;
– alte mărimi (eventual de stare) ale procesului.

42 Dacă consider ăm un regulator fuzzy cvasi-PID standard, structura unui sistem adaptiv
cu parametrii regulatorului variabili dup ă o strategie este dat ă în figura 3.3. [Pre2]
Fig. 3.3. Regulatoare fuzzy cvasi-PID cu parametrii variabili

Ieșirea blocului de adaptare poate fi factorul de scalare al uneia din mul țimile de baz ă
sau chiar unul din parametrii regulatorului PID (de exemplu factorul propor țional Kr).
Se practic ă și o variant ă derivată a sistemului adaptiv din figura 3.3, în care regulatorul
fuzzy cvasi-PID standard este înlocuit cu un regulator conven țional PID proiectat ini țial după
metode clasice de proiectare, iar dependent de modific ările condi țiilor de func ționare ale
procesului se modific ă on-line parametrii regulatorului PID după o strategie fuzzy. În aceast ă
situație este necesar ă prezența mai multor blocuri de adaptare fuzzy. Fiecare astfel de bloc
ajustează câte un parametru al regulatorului conven țional ( Kr, Ki, Kd).
Aceste tipuri de regulatoare bazate pe logica fuzzy nu reprezint ă o solu ție ce
garanteaz ă performan țe superioare regulatoarelor conven ționale. Chiar mai mult, aceste
regulatoare moderne nu asigur ă stabilitatea și robuste țea sistemelor de reglare automat ă,
deoarece aceste propriet ăți sunt bazate pe modul de întocmire al mul țimilor de baz ă ale
variabilelor lingvistice și de baza de reguli, deci pe experien ța și cunoștințele umane.
Totuși studiile realizate în ultimii ani s-au axat pe dezvoltarea și perfecționarea acestui
domeniu. O variant ă de bază de implementare a strategiei fuzzy adaptive este prezentat ă în
figura 3.4.
Fig. 3.4. Sistem de reglare fuzzy adaptiv

43 III.2. Sistem de reglare fuzzy adaptiv cu model de referin ță
O scurtă recapitulare a capitolelor precedente ne aminte ște de structura de sistem
adaptiv cu model etalon. Dac ă această schemă de reglare pu țin refăcută în figura 3.5 con ține
un regulator inteligent de tip fuzzy se ob ține un sistem modern de reglare, denumit sistem
fuzzy adaptiv cu model etalon. Dac ă se poate realiza o reparametrizare, ajustare direct ă a
parametrilor regulatorului, deci a anumitor parametrii ai sistemului direct din datele m ăsurate
din proces de c ătre mecanismul de adaptare atunci se ob ține un sistem fuzzy adaptiv direct.
Fig.3.5. Sistem de reglare fuzzy adaptiv direct cu model de referin ță

Performan țele dorite ale sistemului în bucl ă închisă sunt introduse cu ajutorul
modelului etalon (de referin ță). Regulatorul ajustabil va c ăuta să asigure o func ționare a
sistemului în bucl ă închisă identică cu func ționarea modelului etalon. No țiunea de adaptare
poate fi asociat ă capacit ății de înv ățare a sistemului adaptiv. Înv ățarea, abilitatea de
îmbunătățire a propriet ăților sistemului automat, capacitatea de a ra ționa clasific ă acest tip de
sistem în domeniul sistemelor inteligente.
În acest capitol se prezint ă structura și modul de proiectare a unui sistem de reglare
fuzzy cu înv ățare cu model etalon (Fuzzy Model Reference Learning Controller FMRLC)
care face parte din categoria sistemelor adaptive. Evident acest sistem poate oferi performan țe
superioare sistemelor adaptive sau sistemelor inteligente fuzzy, dac ă este proiectat corect.
Un sistem care posed ă abilități de înv ățare are capacitatea de a- și îmbun ătății
performan țele prin informa țiile obținute prin interac țiunea cu mediul. No țiunea de înv ățare
deosebește acest regulator FMRLC de regulatoarele adaptive conven ționale prin faptul c ă
acesta va realiza pe lâng ă adaptarea parametrilor și o memorare a valorilor, cuno ștințelor
acordate în trecut. Este știut că regulatoarele adaptive clasice folosite în special în cazul
proceselor liniare cu parametrii necunoscu ți își modific ă (reactualizeaz ă) parametrii
regulatorului f ără a ști dacă situația actual ă (la un moment dat) a mai fost întâlnit ă.

44 Sistemele de control fuzzy, adaptive sau nu, fac parte din categoria metodelor speciale
soft-computing , adică a metodelor care necesit ă o implementare pe un sistem de calcul. Acest
fapt ne impune s ă folosim și semnale discrete.
Structura sistemului de reglare fuzzy cu înv ățare cu model de referin ță FMRLC este
prezentat ă în figura 3.6. [Koo, Lay, Pas1, Duk]
Fig. 3.6. Sistem de reglare fuzzy cu înv ățare cu model etalon (FMRLC)

Acest sistem adaptiv modern con ține patru p ărți importante: [Pas1, Koo]
– procesul;
– regulatorul fuzzy;
– modelul de referin ță;
– mecanismul de înv ățare (sau de adaptare).
Sistemul de reglare cu FMRLC utilizeaz ă mecanismul de înv ățare pentru a observa
informațiile din proces și modul de func ționare al sistemului fuzzy. Aceste date sunt folosite
ulterior cu scopul de ajusta parametrii sistemului de reglare inteligent pentru a îndeplini
performan țele cerute sistemului construit, performan țe introduse prin modelul etalon.
Practic se poate spune c ă sistemul de reglare rezolv ă două probleme de urm ărire
corespunz ătoare celor dou ă bucle din figura 3.6. Sistemul de reglare fuzzy ac ționează prin
bucla de reglare inferioar ă și prin comanda u(kT) astfel încât ie șirea sistemului y(kT) să
urmărească intrarea r(kT) . Sistemul adaptiv de reglare (în special mecanismul de înv ățare)
încearcă să ajusteze parametrii regulatorului fuzzy pentru ca sistemul în bucl ă închisă
(caracterizat prin semnalele r(kT) și y(kT) ) să se comporte asemeni sistemului de referin ță
(caracterizat prin r(kT) și ym(kT)), deci pentru ca ie șirea sistemului y(kT) să urmărească ieșirea
modelului etalon ym(kT).
În continuare se vor trata mai detaliat doar componentele sistemului de reglare fuzzy
cu învățare cu model de referin ță (FMRLC), cu schema bloc func țională prezentat ă deja în
figura 3.6, care nu au fost studiate pân ă la acest punct al referatului.

45 Regulatorul fuzzy este unul clasic, construit cu structura din figura 2.14 și după
etapele de proiectare men ționate la subcapitolul II.2.2. Dup ă cum s-a v ăzut aceste regulatoare
pot fi fără dinamic ă sau cu dinamic ă, dacă sunt ata șate blocuri de derivare și integrare pe
intrări. Cel mai des sunt întâlnite regulatoarele fuzzy cu dinamic ă, respectiv cu dou ă intrări și
o ieșire (sisteme MISO). Intr ările alese cel mai frecvent sunt:
– eroarea de reglare;

)( )()( kTy kTr kTe − = (3.1)

– variația erorii de reglare (derivata).

TT kTe kTekTd) ()()(− −= (3.2)

Adică avem un regulator fuzzy cvasi-PD . Prin T se înțelege perioada de e șantionare.
Evident c ă modul de alegere al m ărimilor și al termenilor și funcțiilor de apartenen ță
ale intrărilor și ieșirilor influen țează stabilitatea și performan țele sistemului în bucl ă închisă.
Pentru scalarea/normalizarea mul țimilor de baz ă atașate mărimilor intrare/ie șire se folosesc
factori de scalare (amplific ări): ge reprezint ă factorul de scalare al erorii de reglare e(kT) , gd
reprezint ă factorul de scalare al varia ției erorii d(kT) , iar gu este factorul de scalare al
comenzii u(kT) .
Valorile factorilor de scalare sunt alese experimental, în mod euristic, astfel încât s ă
fie acoperit tot domeniul și să nu genereze o saturare a gradelor de apartenen ță rezultate
pentru m ărimile de intrare și ieșire din regulator. Dac ă aceste valori nu sunt bune, vor trebui
modificate înainte de introduce mecanismul de adaptare.
Baza de reguli este alc ătuită preferabil din toate combina țiile posibile pentru func țiile
de apartenen ță (termeni lingvistici) ale intr ărilor. Spre exemplu dac ă am avea dou ă intrări cu
câte 7 termeni lingvistici atunci baza de reguli va avea 49 de combina ții, dintre care în
momentul func ționării doar câteva din aceste reguli vor fi activate și vor influen ța concluzia la
un eșantion dat.
Funcțiile de apartenen ță atașate intrărilor sunt constante pentru un regulator FMRLC și
alese pentru a se putea acoperi orice situa ție ce poate ap ărea. În schimb, func țiile de
apartenen ță ale ieșirii (comenzii) sunt presupuse necunoscute și reprezint ă parametrul variabil
prin care se ajusteaz ă (modific ă) de fapt baza de reguli de c ătre FMRLC pentru îmbun ătățirea

46 performan țelor. Func țiile de apartenen ță ale ieșirii sunt ini țializate în mod euristic, pentru ca
apoi ele s ă fie modificate de mecanismul de adaptare.
Pentru ra ționamentul fuzzy se alege mecanismul de inferen ță Mamdani (inferen ța
max-min ), iar valoarea crisp se ob ține din valoarea fuzzy prin metoda centrului de greutate .
Modelul de referin ță este elementul prin care sunt introduse în schema func țională
performan țele dinamice dorite pentru sistemul în bucl ă închisă (sau altfel spus “sistemul
ideal” ). În general, modelul de referin ță poate fi discret sau continuu, liniar sau neliniar,
variabil în timp sau nu, dar pentru a nu îngreuna implementarea calculelor sunt folosite
sistemele de ordin I și II.
Pentru un sistem de ordin I cu factorul de amplificare k și constanta de timp T1 dorite
rezultă modelul continuu:

1 )()()(
1+⋅= =sTk
sRsYsHm (3.3)

Pentru un sistem de ordin II pulsa ția natural ă ωn și factorul de amortizare ζ dorite
rezultă modelul continuu:

2 22 )()()(
n nn m
s sk
sRsYsHw wzw
+⋅⋅⋅+
⋅
= = (3.4)

Modelele sistemelor de referin ță sunt discretizate pentru o implementare discret ă în
timp, folosind metoda dreptunghiului sau trapezului.
Performan țele sistemului în bucl ă închisă sunt satisf ăcute dacă mecanismul de înv ățare
sau adaptare reu șește să mențină o eroare de adaptare foarte mic ă în orice moment de timp, și
practic acest mecanism nu mai produce modific ări semnificative ale regulatorului fuzzy.
Eroarea de adaptare este dat ă de relația:

)( )( )( kTy kTy kTym e − = (3.5)

Derivata erorii de adaptare este dat ă de relația 3.6.

T
T kTy kTykTye e
d) ( )()(
−
−
= (3.6)

47 III.2.1. Mecanismul de înv ățare (de adaptare)
Rolul mecanismului de adaptare este de a modifica baza de reguli a regulatorului
fuzzy direct (prin intermediul func țiilor de apartenen ță ale ieșirii u(kT) ) până când sistemul în
buclă închisă se comport ă într-un mod asem ănător cu modelul de referin ță ales. Aceste
modificări aplicate regulatorului se fac doar dup ă ce sunt m ăsurate datele de la intrarea și
ieșirea procesului, modelului de referin ță și regulatorului fuzzy direct. Mecanismul de
învățare este compus din dou ă părți: modelul fuzzy invers și modificatorul bazei de reguli .

Modelul fuzzy invers utilizeaz ă ca intrări abaterea (eroarea) de adaptare ye(kT) și
variația (derivata) yd(kT) pentru a efectua modific ări ale semnalului de corec ție (denumit și
factor de adaptare) p(kT) , necesare adapt ării bazei de reguli a regulatorului fuzzy direct, pân ă
când eroarea de adaptare se anuleaz ă. Din punct de vedere al proiect ării și implement ării,
modelul fuzzy invers se comport ă ca un regulator fuzzy direct, care furnizeaz ă la ieșire
mărimea de corec ție p(kT) cu scopul de a reduce eroarea ye(kT). [Pas1, Koo, Lay]
Și în cazul modelului fuzzy invers se folosesc factori de scalare pentru normalizarea
mulțimilor de baz ă atașate mărimilor intrare/ie șire: gye reprezint ă factorul de scalare al erorii
de adaptare ye(kT), gyd reprezint ă factorul de scalare al varia ției erorii de adaptare yd(kT), iar gp
este factorul de scalare al comenzii p(kT) .
Alegerea unui model fuzzy invers depinde de aplica ția dezvoltat ă, dar s-a constatat c ă
pentru o gam ă largă de aplica ții determinarea specifica țiilor modelului fuzzy invers se face în
mod asem ănător cu determinarea regulatorului fuzzy direct. De fapt, de multe ori modelul
fuzzy invers ia aceea și formă cu regulatorul fuzzy direct.
Baza de reguli a modelului fuzzy invers con ține reguli de forma:

dacă ye(kT) este YE și yd(kT) este YD atunci p(kT) este P (3.7)

unde ye(kT), yd(kT), p(kT) reprezint ă variabilele lingvistice de intrare;
YE, YD, P sunt valorile lingvistice (termeni lingvistici) asociate variabilelor
lingvistice.
Pentru mecanismul de inferen ță se folose ște metoda max-min , iar pentru defuzzificare
metoda centrului de greutate (COG) .
Pentru proiectarea modelului invers fuzzy exist ă câteva elemente general valabile.
Este bine ca acest model s ă fie construit astfel încât atunci când m ărimea de ie șire y(kT) din
sistemul în bucl ă închisă urmărește destul de bine (cu o eroare de adaptare foarte mic ă)

48 mărimea de ie șire dorit ă ym(kT) să ofere un semnal de corec ție nul ( p(kT)=0 ), ceea ce
înseamnă că adaptarea regulatorului fuzzy înceteaz ă. Deci teoretic calea de adaptare este
dezactivat ă, ceea ce nu înseamn ă că ea nu continu ă să existe și să urmărească în continuare
eventualele modific ări ce pot ap ărea în proces.
Această caracteristic ă (relația 3.8) specific ă doar modelului fuzzy invers asigur ă o
stabilitate general ă mai bun ă sistemului.

0)( )( = ⇒< kTp e kTyy e (3.8)

unde ey este o valoare foarte mic ă, convenabil aleas ă.
Dacă consider ăm o dependen ță direct propor țională între eroarea de adaptare ye(kT) și
semnalul de corec ție de la ie șirea modelului fuzzy invers p(kT) atunci în locul rela ției 3.8 se
mai poate folosi și următoarea regul ă:

0)( )( = < kTp atuncie kTp dacăp (3.9)

unde ep este o valoare foarte mic ă aleasă a priori care va opri adaptarea.
Oricând eventualele modific ări în proces conduc la o cre ștere a erorii de adaptare peste
valoarea lui ep mecanismul de înv ățare (adaptare) va intra din nou în func țiune și va încerca s ă
reducă această eroare.
Importante sunt pentru ob ținerea unor performan țe mai bune ale sistemului adaptiv
FMRLC sunt și valorile factorilor de scalare. Valorile factorilor de scalare sunt determinate
prin încerc ări, respectând câteva reguli. [Pas1]
Pentru o influen ță mai mic ă a experien ței umane și a informa țiilor despre proces în
proiectarea modelului fuzzy invers procedura de scalare a parametrilor modelului invers este:
– inițial se începe cu o valoare gye astfel încât intrarea ye(kT) să nu satureze func țiile de
apartenen ță ale intrării de la capetele mul țimii de baz ă;
– se alege un factor de scalare gp al ieșirii modelului fuzzy invers identic cu factorul de
scalare gu al comenzii regulatorului fuzzy direct, iar factorul de scalare gyd este nul;
– se aplică o referin ță treaptă r(kT) cu o valoare a amplitudinii cât mai aproape de cea
din funcționare normal ă a sistemului;
– se compar ă ieșirea sistemului cu ie șirea modelului etalon și se efectueaz ă modific ări
ale parametrilor modelului fuzzy invers pân ă când cele dou ă răspunsuri sunt apropiate,
proiectarea modelului invers fiind oprit ă. Pentru un r ăspuns al sistemului în bucl ă

49 închisă cu oscila ții prea mari în compara ție cu răspunsul modelului de referin ță se
crește acțiunea intr ării derivative din mecanismul de înv ățare (prin factorul de scalare
al variației erorii de adaptare gyd). Pentru un r ăspuns al sistemului în bucl ă închisă prea
lent, ce nu poate urm ări răspunsul modelului etalon se scade valoarea ac țiunii
derivative (prin gyd).

Unele aplica ții necesit ă o implicare mai mare a intui ției umane și o procedur ă cu mai
puțini parametrii de reglat, și atunci se recomand ă o procedur ă alternativ ă de scalare a
factorului gp, echivalentul factorului de adaptare din cazul regulatoarelor adaptive
convenționale:
– inițial se începe cu un factor de scalare gp=0 al semnalului de corec ție p(kT) , ceea ce
înseamnă că mecanismul de adaptare este inactiv și avem de-a face cu o reglare fuzzy
directă simplă. Dacă răspunsul sistemului nu este cel dorit atunci se trece la
introducerea treptat ă a buclei de înv ățare (adaptare) prin cre șterea factorului de
scalare;
– se aleg amplific ările gye și gyd astfel încât s ă se evite saturarea func țiilor de apartenen ță
de la capetele mul țimilor de baz ă pentru variabilele de intrare;
– se crește încet valoarea lui gp (se modific ă factorul de adaptare) pân ă se obține un
răspuns satisf ăcător.

Modificatorul bazei de reguli are rolul de a adapta baza de reguli a regulatorului fuzzy
direct cu scopul de a realiza o îmbun ătățire a stabilit ății și performan țelor sistemului în bucl ă
închisă. Modificarea bazei de reguli se realizeaz ă cu ajutorul func țiilor de apartenen ță ale
ieșirii regulatorului, func țiile variabilelor de intrare fiind l ăsate constante.
Modelul fuzzy invers prelucreaz ă informa țiile venite de la proces și de la modelul
etalon și furnizeaz ă semnalul de corec ție p(kT) pentru a duce la anularea erorii de adaptare, iar
modificatorul bazei de reguli adapteaz ă baza de reguli astfel încât comanda aplicat ă de
regulatorul fuzzy direct la un moment anterior u(kT-T) să se modifice cu p(kT) .

)( ) ( )( kTp T kTu kTu +− = (3.10)

La un moment ulterior (deci dup ă t=kT ), când se vor ob ține valori asem ănătoare
pentru eroarea de adaptare ye și pentru varia ția acesteia yd, comanda furnizat ă de regulatorul
fuzzy va fi deja actualizat ă (după reguli modificate), rezultând o eroare mai mic ă între
răspunsul modelului de referin ță și ieșirea procesului.

50 Modificarea bazei de reguli a regulatorului fuzzy direct se efectueaz ă în doi pa și și se
realizeaz ă prin deplasarea centrelor func țiilor de apartenen ță a valorilor lingvistice asociate
regulilor ie șirii regulatorului fuzzy direct care au contribuit la comanda anterioar ă u(kT-T) .
Pentru exemplificare se consider ă b drept centrul func ției de apartenen ță a valorii lingvistice
U asociat ă variabilei de ie șire. [Pas1]

a) Se determin ă setul de reguli active la momentul kT-T ;

( )0) (), ( >− − T kTdT kTem
(3.11)

b) Se modific ă centrele func țiilor de apartenen ță ale ieșirii care se reg ăsesc în setul de
reguli active determinate la pasul unu. Centrele acestor func ții de apartenen ță la
momentul kT vor avea valoarea determinat ă cu rela ția 3.12. Centrele func țiilor de
apartenen ță ale ieșirii care nu apar în setul de reguli active nu vor fi modificate.

)( ) ( )( kTp T kTb kTb +− = (3.12)

Dacă intrarea în proces u(kT) are efect la ie șirea procesului nu doar peste un e șantion
de timp, ci peste mai multe e șantioane (n e șantioane) atunci și adaptarea bazei de reguli se va
face cu o întârziere de n e șantioane și relațiile 3.11 și 3.12 devin:

( )0) (), ( >− − nT kTd nT kTem
(3.13)

)( ) ()( kTp nT kTb kTb +− = (3.14)

O altă observa ție ce se eviden țiază este aceea c ă modific ările bazei de reguli sunt doar
modificări locale. Adic ă, nu se modific ă (adapteaz ă) întreaga baz ă de reguli a regulatorului
fuzzy deoarece sunt active la un moment dat doar un num ăr limitat de reguli în func ție de
structura și așezarea func țiilor de apartenen ță ale regulatorului fuzzy. Se modific ă doar acele
reguli necesare pentru a reduce puternic eroarea de adaptare ye(kT).
Metoda de adaptare denumit ă sugestiv și metodă de învățare (Fuzzy Model Reference
Learning Model FMRLC) tocmai pentru a diferen ția sistemul modern inteligent și adaptiv de
sistemele adaptive conven ționale, are un rol important deoarece permite regulatorului s ă-și
aminteasc ă modific ările efectuate în trecut.

51 Deci, în momentul în care la intrarea regulatorului va ap ărea o situa ție caracterizat ă de
niște condiții care au mai fost întâlnite, regulatorul inteligent “î și va aminti de aceasta” și va
lua decizia corespunz ătoare anul ării erorii de înv ățare. [Pas1]
Regulile și funcțiile de apartenen ță ale ieșirii active nu au o contribu ție egală în
concluzia final ă și atunci în unele aplica ții ar fi mai bine dac ă modificarea bazei de reguli s-ar
efectua doar asupra func țiilor de apartenen ță (regulilor) cele mai importante (cu grad de
apartenen ță mare) dintre cele activate. Aceast ă metodă este practic ă mai ales când sunt
folosite func ții de apartenen ță cu form ă gaussian ă.

( ) 1 0, ) (), ( << >− − a a m
T kTdT kTe (3.15)

unde α este pragul de modificare al centrelor func țiilor de apartenen ță.
O alternativ ă la relația 3.13 este cea în care vor fi modificate toate func țiile de
apartenen ță active, dar cu o pondere dat ă chiar de gradul de activare al regulilor ce contribuie
la comanda final ă.

( ) )() (), ( ) ( )( kTp T kTdT kTe T kTb kTb ⋅− − +− = m
(3.16)

În cazul în care se dore ște ca centrele func țiilor de apartenen ță să rămână într-un
domeniu specificat la începutul punerii în func țiune a sistemului adaptiv se pot introduce
condiții suplimentare de limitare a deplas ării funcțiilor de apartenen ță.

52 IV. Aplica ții de control inteligent adaptiv
Acest capitol con ține câteva aplica ții de sisteme de reglare fuzzy adaptive, realizate
prin compara ție cu structuri adaptive conven ționale sau inteligente. Procesele conduse sunt
complexe, neliniare, cu parametrii variabili în timp și instabile, ceea ce ar face imposibil ă
obținerea unor performan țe dorite și păstrarea stabilit ății prin metode de proiectare clasice.
Spre exemplu reglarea pozi ției unui bra ț robotic dintr-un întreg lan ț cinematic prin
intermediul servomotoarelor de curent continuu sau balansarea și echilibrarea unui pendul
inversat prin deplasarea unui c ărucior de-a lungul unei axe orizontale sunt probleme clasice în
domeniul controlului adaptiv automat. Sistemul robotic (robot, acrobot) este în general
compus din mai multe elemente componente, interdependen ța între diferite axe de mi șcare
creează o varia ție a parametrilor procesului cunoscu ți inițial. Sistemul cu pendul inversat
(inverted pendulum, cart-pole system) este un sistem instabil, folosit la rândul lui în scopuri
didactice în multe universit ăți.
Controlul pe care omul l-ar aplica pentru astfel de sisteme difer ă mult de solu țiile pe
care le ofer ă automatica clasic ă. Ceea ce încearc ă tehnicile de control automat bazate pe
inteligen ță artificial ă este tocmai s ă speculeze modalitatea în care s-ar realiza controlul de
către un individ uman.

IV.1. Aplica ția 1: Controlul și echilibrarea pendulului inversat
IV.1.1. Descrierea procesului. Modele matematice
Fig. 4.1. Ansamblul c ărucior-pendul (pendulul inversat)

53 Sistemul cu pendul matematic inversat este un sistem neliniar instabil, constituit
dintr-un pendul aflat pe un c ărucior mobil și poate avea drept scop fie men ținerea acestuia în
poziție vertical ă în singurul punct de echilibru instabil (deci echilibrarea acestuia) dac ă se
consider ă ca ieșire din sistem deplasarea c ăruciorului xp sau conducerea pendulului la un
anumit unghi fa ță de axa vertical ă Oy dacă se consider ă ca ieșire din sistem chiar unghiul θ.
Deplasarea ansamblului c ărucior-pendul se poate realiza doar de-a lungul axei Ox, prin
intermediul unei for țe mecanice f (comenzi) aplicate din exterior de-a lungul acestei axe.
Chiar dac ă metodele de proiectare modern ă nu necesit ă cunoașterea modelului
matematic al procesului condus (dinamica exact ă), acesta va fi determinat pentru a se putea
realiza simularea și studiul performan țelor sistemului de reglare bazat pe logica fuzzy sau
sistemului adaptiv cu model de referin ță. [Duk, Sti, ***3]
Coordonatele centrului de greutate al pendulului (x0,y0) în raport cu baza acestuia, deci
cu punctul de balansare (xp,yp), cunoscând lungimea lui 2·l și unghiul pe care îl face cu axa
verticală θ sunt:

) cos() sin(
00
qq
⋅+=
⋅
+
=
l y yl x x
pp (4.1)

Ecuațiile dinamice ale procesului care descriu pozi ția căruciorului mobil xp, cât și
poziția pendulului fa ță de vertical ă θ, în func ție de for ța aplicat ă doar pe axa Ox se determin ă
folosind echilibrul de for țe și echilibrul de momente, considerând coeficientul de frecare al
căruciorului b, respectiv coeficientul de frecare al pendulului c foarte mici.
Echilibru de for țe de pe axa Ox ce acționează doar la nivelul c ăruciorului este:

• ••
⋅+⋅=−p p x xbxM Ff (4.2)

unde for ța Fx se determin ă folosind echilibru de for țe ce acționează în direc ție Ox
asupra pendulului.




⋅⋅− ⋅⋅+⋅=⋅=• •• •• ••
) sin( ) cos(2
0 q q q q
l lxm xm Fp x (4.3)

Relația 4.3 se înlocuie ște în 4.2 și rezultă prima ecua ție de mi șcare neliniar ă a
ansamblului c ărucior-pendul.

54 ()
) sin( ) cos(2
q q q q
⋅⋅⋅− ⋅⋅⋅+⋅+⋅+=• •• • ••
lm lmxbxm M fp p (4.4)

Echilibrul momentelor în jurul centrului de greutate al pendulului (x0,y0) este dat de
ecuația 4.5.

) cos( ) sin(0 q q q q
⋅⋅− ⋅⋅=⋅+⋅=• ••∑ lF lF c J My x (4.5)

unde for ța Fy rezultă din echilibrul de for țe de pe axa Oy ce acționează asupra
pendulului:




⋅⋅− ⋅⋅+ −=⋅+=• •• •• ••
) cos( ) sin(2
0 q q q q
l lxm mg ymG Fp y (4.6)

A doua ecua ție de mișcare neliniar ă a ansamblului c ărucior-pendul devine:

• ••⋅ •• ••
⋅+⋅= ⋅⋅⋅−⋅⋅− ⋅⋅⋅ q q q q q
c J lxm lm lgmp ) cos( ) sin(2 (4.7)

Sistemul de ecua ții diferen țiale format din ecua țiile 4.4 și 4.7, care descrie dinamica
procesului, este unul neliniar. Acest sistem poate fi liniarizat și simplificat dac ă discutăm de
un unghi θ foarte mic ( θ=0, sin(θ)=0, cos(θ)=1, d2θ=0) apropiat de punctul de echilibru
instabil și dacă se neglijeaz ă frecările prin rota ție și translație (b=c=0 ).
În cazul general, pendulul are dou ă puncte de echilibru, unul de echilibru stabil pentru
pendul situat în partea de jos a c ăruciorului și unul de echilibru instabil pentru pendul situat în
partea de sus a pendulului (adic ă cazul ce studiat în continuare, pendulul inversat).

()

⋅⋅=⋅=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅+
•• •• •• •••• ••
q q q qq
322 lm J xlm lm lgmf lmxm M
pp (4.8)

Din punct de vedere al sistemului de reglare automat ansamblul c ărucior-pendulul
reprezint ă procesul condus. Acesta are ca intrare comanda f (în lungul axei Ox) prin
intermediul c ăreia se încearc ă echilibrarea pendulului și reglarea pozi ției căruciorului xp sau
reglarea înclin ării pendulului θ. Rezultă două funcții de transfer.

55 Dacă dorim s ă avem la ie șire înclinarea pendulului fa ță de axa vertical ă θ atunci se
elimină din sistemul 4.8 pozi ția punctului de pivotare xp.

034=++⋅−⋅
+⋅−⋅••
MmfgMmlml q q
(4.9)

Ecuației 4.9 se aplic ă transformata Laplace și se obține funcția de transfer a procesului
condus liniarizat cu intrarea f și ieșirea θ. [Duk, Sti, ***3, Dul]

g sMmlmlMm
sFssH
−⋅
+⋅−⋅+−
= =
2
341
)()()(q
(4.10)

Dacă dorim s ă avem la ie șire poziția pendulului pe axa orizontal ă xp atunci din a doua
ecuație a sistemului 4.8 rezult ă relația 4.11, rela ție ce reprezint ă o dependen ță matematic ă
între pozi ția căruciorului și unghiul de înclinare al pendulului (în domeniu complex).

)(34)( )(2 22
ssgl ssg
lmlmJsXp q q
⋅
−⋅−=⋅
−⋅⋅+−= (4.11)

Din 4.10 și 4.11 rezult ă și funcția de transfer a procesului condus liniarizat cu intrarea
f și ieșirea xp.

() ()
2 4222
3434
)()()()(
)(
sg Mm slml Mmg sl
s HsHsg
lmlmJ
sFsX
s H
XPp
XP
⋅⋅+−⋅⋅−⋅⋅+−⋅⋅
=⋅
−⋅⋅+−= =
(4.12)

În continuare se va elimina pozi ția căruciorului din simul ări, iar sistemele de reglare
vor fi proiectate pentru un proces caracterizat de func ția de transfer H(s) din rela ția 4.10,
dorindu-se reglarea pozi ției pendulului (unghiului de înclinare fa ță de axa vertical ă).
Pentru reprezentarea pe spa țiul stărilor a ansamblului c ărucior-pendul se aleg
următoarele dou ă stări: q
=1x și •
=q
2x .

56 Pornind de la ecua ția 4.9 rezult ă reprezentarea matematic ă pe spa țiul stărilor a
pendulului inversat, dac ă se consider ă doar intrarea f și ieșirea θ, poziția căruciorului fiind
eliminată.

()



=⋅

+⋅−⋅⋅+−⋅

+⋅−⋅==
••
11 22 1
341
34
xyu
Mmlml Mmx
Mmlmlgxx x
(4.13)

unde matricele de sistem sunt:






+⋅−⋅= 0
341 0
Mmlmlg
A ,
()





+⋅−⋅⋅+−=
Mmlml MmB
3410
, ()01=C , 0=D .

Pentru proiectarea, simularea și testarea sistemelor de reglare automat ă ce vor fi
realizate în continuare s-au folosit urm ătoarele valori pentru constantele fizice: m=0.5kg ,
M=1kg , l=0.5m .

8.9 5.066.0)(2−⋅−=ssH (4.14)

După cum se remarc ă din rela ția 4.14 și din figura 4.2, unde este prezentat r ăspunsul
sistemului neliniarizat în circuit deschis (f ără regulator), sistemul cu pendul inversat este
instabil (de fapt func ția de transfer a acestuia prezint ă un pol în semiplanul drept al planului
complex). Regulatoarele care vor fi determinate în continuare trebuie s ă asigure în stabilizarea
sistemului în bucl ă închisă.
Fig. 4.2. R ăspunsul sistemului la o intrare treapt ă

57 În continuare vor fi de terminate mai multe tipuri de regulatoare (adaptive cu model
etalon, fuzzy inteligente, fuzzy adaptive) pentru a se putea compara și alege în final varianta
care ofer ă performan țele cele mai bune pentru sistemul în bucl ă închisă.

IV.1.2. Sisteme de reglare adaptive conven ționale
Pentru un conducerea adaptiv ă cu model de referin ță a unui sistem cu o func ție de
transfer asem ănătoare celei a pendulului inversat liniarizat este necesar un regulator cu trei
parametrii de acord k1, k2, k3.

•
⋅−⋅−⋅= )( )( )( )(3 2 1 tyktyktrktu (4.15)

Dacă parametrii de acord k1 și k2 sunt egali se observ ă că regulatorul este de tip PD
modificat, cu elementul derivativ pe calea de reac ție (e(t) este eroarea de reglare).

()
• •
⋅−⋅=⋅− −⋅= )( )( )( )( )( )(3 1 3 1 tyktektyk tytrktu (4.16)

Modelul de referin ță este de ordin doi cu pulsa ția natural ă ωn=3rad/sec și factorul de
amortizare ζ=1, rezultând un r ăspuns ideal amortizat critic.

9 69
2 )()()(2 2 22
+⋅+=
+⋅⋅⋅+= =s s s s sRsYsH
n nn m
mw wzw
(4.17)

Din relațiile 4.14,4.15 și 4.17 răspunsurile modelului de referin ță (etalon) și procesului
condus sunt:

( )
()()



⋅+⋅+=⋅
+⋅⋅⋅+=⋅+⋅ −⋅ ⋅ −⋅ −=
)(9 69)(
2)()(
5.08.9 66.0 5.0 66.05.066.0)(
2 2 222 321
trs str
p ptytr
k p k pkty
n nn
mw wzw
(4.18)

unde p este considerat operatorul de derivare.
Cele dou ă răspunsuri sunt identice când eroarea de adaptare ye(t)=y m(t)-y(t) este nul ă.
Problema principal ă în cazul sistemelor adaptive este de a g ăsi legile de adaptare ale

58 parametrilor regulatorului. Pentru aceasta sunt exemplificate cele dou ă metode discutate: MIT
sau metoda gradientului descendent și metoda bazat ă pe stabilitatea Lyapunov (capitolul II.1).
Prin metoda MIT (folosind rela ția 2.3) rezult ă următoarele trei legi de adaptare:

()()
()()
()()



⋅


⋅+⋅ −⋅ ⋅ −−=⋅


⋅+⋅ −⋅ ⋅ −−=⋅


⋅+⋅ −⋅ ⋅ −−=
• •••
)( )(
5.08.9 66.0 5.0 66.05.066.0)()( )(
5.08.9 66.0 5.0 66.05.066.0)()( )(
5.08.9 66.0 5.0 66.05.066.0)(
2 32 3 32 32 2 22 32 1 1
tyty
k p k ptktyty
k p k ptktytr
k p k ptk
eee
ggg
(4.19)

Pentru simplificarea rela țiilor de adaptare se introduce în amplific ările parametrilor de
adaptare termenul 0.66/0.5, iar fiindc ă parametrii k2 și k3 sunt necunoscu ți se realizeaz ă
următoarea înlocuire de regim sta ționar:

( )( )2 2
2 322 5.08.9 66.0 5.0 66.0n np p k p k p w wz
+⋅⋅⋅+= +⋅ −⋅ ⋅ − (4.20)

În figura 4.3 este prezentat ă schema de reglare adaptiv ă cu model etalon folosind
metoda de adaptare MIT. Adaptarea se realizeaz ă aplicând la intrare un semnal de referin ță de
tip impulsuri dreptunghiulare cu o perioad ă de 20 secunde și amplitudine de pi/10 (unghiul θ).
Fig. 4.3. Sistem de conducere adaptiv ă a pendulului inversat

59 Răspunsurile modelului etalon și procesului condus, respectiv eroarea de adaptare sunt
prezentate în figura 4.4.
Fig. 4.4. Evolu ția în timp a ie șirilor din modelul etalon și din proces

O variant ă de sistem adaptiv cu model de referin ță mai bun ă din punct de vedere al
performan țelor se ob ține dacă se aplic ă a doua metod ă de adaptare bazat ă pe teoria de
stabilitate Lyapunov . Aceasta presupune s ă folosim modele matematice ISO (intrare-stare-
ieșire) pentru sisteme cu un grad mai mare. Se introduc nota țiile:

T
yy y
=•
, T
m m m y y y
=•
, T
e e e y y y
=•

Ecuațiile dinamice care descriu comportarea celor dou ă bucle de urm ărire (de adaptare
și de referin ță) și eroarea de adaptare sunt:

()()



⋅ −+⋅ −+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=
•••
)()( )()( )( )()( )( )()()( )()( )(
trtB B tytA A tyAtytrBtyAtytrtBtytAty
m m e m em m m m (4.21)

unde matricele de sistem sunt:


=

⋅⋅− −=



⋅−=




⋅+⋅ =
2 21 32
0,21 0)(5.066.00
)(,)(5.066.0
5.08.9)( 66.01 0
)(
nm
n nm B AtktBtktk tA
w wz w
(4.22)

Metoda Lyapunov const ă în a găsi o func ție de energie care s ă îndeplineasc ă relațiile
2.9 și 2.10, ceea ce duce la un sistem în bucl ă închisă stabil. De obicei aceast ă funcție are o

60 formă asemănătoare cu eroarea de adaptare ye(t). De asemenea se observ ă că matricele A și B
ale sistemului compus din regulator și procesul condus sunt variante în timp. [Dav2, Iou]

() ()() { }()() { }0 )(, >−⋅− +−⋅− +⋅⋅= B B B Btr A A A AtryP y tytVmT
m mT
m eT
e e (4.23)

unde 
=
22 1212 11
p pp pP este o matrice pozitiv definit ă (p11>0 și p11p22-p12p12>0);
tr – trace (urma matricei, suma elementelor de pe diagonala principal ă).

() ( ) ()
()

−⋅⋅⋅− ⋅++

−⋅⋅⋅− ⋅+⋅⋅+⋅⋅=
•• •
B ryP B BtrA yyP A Atr y APP A y tytV
T
eT
mT
eT
m e mT
mT
e e
22 )(,
(4.24)

Derivata func ției Lyapunov este negativ definit ă (se îndepline ște a doua condi ție din
teorema de stabilitate) și conform teoremei punctul de echilibru ye=ym-y=0 este asimptotic
stabil dac ă se aleg:




⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=<−=⋅+⋅
••
T
e BT
e AmT
m
ryP tByyP tAQ APP A
gg
)()(0
(4.25)

unde Q este o matrice simetric ă pozitiv definit ă (se poate alege matricea identitate).


=1001Q

Rezolvând sistemul de ecua ții 4.25 rezult ă mai întâi matricea simetric ă P (relația
4.26), iar apoi legile de adaptare pentru parametrii variabili ai regulatorului (rela ția 4.27) .


=







+⋅⋅⋅ ⋅⋅



⋅++⋅
=0926.0 0556.00556.0 1667.1
1141
2121
41 1
2 222
n n nnn
nP
w wz ww zwzw
(4.26)

61 


⋅⋅+⋅ =⋅⋅+⋅ =⋅⋅+⋅ −=
• • •• •• •
)( )( )( )()( )( )( )()()( )( )(
22 12 3 322 12 2 222 12 1 1
tyty ptyp tktyty ptyp tktrty ptyp tk
e ee ee e
ggg
(4.27)

În figura 4.5 este prezentat ă schema de reglare adaptiv ă cu model etalon folosind
teoria de stabilitate Lyapunov . Adaptarea se realizeaz ă aplicând la intrare acela și tip de
semnal de referin ță.
Fig. 4.5. Sistem de conducere adaptiv ă a pendulului inversat

Evoluția în timp a semnalelor de ie șire din modelul etalon și din procesul condus,
respectiv eroarea de adaptare sunt prezentate în figura 4.6. Se eviden țiază o adaptare mai
rapidă a parametrilor regulatorului și oscilații mai mici ale erorii de adaptare ye(t), decât în
cazul metodei MIT (gradient descendent).
Fig. 4.6. Evolu ția în timp a ie șirilor din modelul etalon și din proces

62 În figura 4.7 este prezentat ă evoluția parametrilor ajustabili ai regulatorului și
comanda dat ă de acesta.
Fig. 4.7. Evolu ția parametrilor ajustabili și comanda regulatorului

Pentru adaptarea parametrilor prin metoda de stabilitate Lyapunov se impune folosirea
următoarelor valori ale amplific ărilor: γ1=60, γ2=70, γ3=0.8 .
Interesant este de urm ărit dacă acest regulator reu șește să aducă pendulul în pozi ția de
echilibru, dup ă ce acesta a fost pus ini țial la o înclinare (un unghi θ) față de vertical ă de 5˚
(π/36). În figura 4.8 sunt prezentate eroarea, comanda și ieșirea procesului condus.
Fig. 4.8. Evolu ția erorii, comenzii și ieșirii pentru echilibrarea pendulului

Inițializarea ie șirii procesului condus cu unghiul θ impune folosirea schemei neliniare
a pendulului inversat (Anexa 1) și o referin ță nulă (ceea ce reprezint ă de fapt aducerea
pendulului în punctul de echilibru). Din diagramele în timp se observ ă o echilibrare foarte
rapidă a pendulului inversat neliniar, dup ă doar 3 secunde.

IV.1.3. Sistem de reglare fuzzy
Pentru reglarea sistemului cu pendul inversat analizat s-au considerat ca intr ări pentru
regulatorul fuzzy dou ă mărimi: eroarea de reglare și variația erorii de reglare; rezultând un
regulator fuzzy cvasi-PD cu dinamic ă. [Pre1, Pre2]

• •
⋅+⋅== )( )( )(),( )( tektek teteFtud (4.28)

63 Schema de reglare fuzzy a pendulului inversat este prezentat ă în figura 4.9.
Fig.4.9. Schema de reglare fuzzy a pendulului inversat

Cunoscând etapele de proiectare ale regulatoarelor fuzzy se caut ă descrierea
lingvistic ă a modului în care se poate controla procesul. O prim ă etapă a fost făcută deja prin
alegerea variabilele de intrare, acestea influen țează desfășurarea ulterioar ă a etape ulterioare.
Variabilele lingvistice alese sunt deci: eroarea care descrie intrarea e(t), variația erorii
(derivata erorii) care descrie de(t)/dt și forța (comanda) care descrie u(t).
Termenii lingvistici (valorile lingvistice) ata șați celor trei variabile lingvistice sunt:
negativ mare NB (negative big), negativ mic ă NS (negative small), zero Z (zero), pozitiv mic ă
PS (positive small), pozitiv mare PB (positive big). Dac ă ne referim la unghiurile θ, pozitiv
înseamnă la dreapta axei vericale ( y>0) , iar negativ înseamn ă la stânga axei verticale ( y<0).
De exemplu prin cuantificarea lingvistic ă a mărimilor (transformarea realizat ă de
expertul uman) se în țelege o afirma ție de tipul “eroarea este pozitiv mare”, ceea ce poate
reprezenta o situa ție în care pendulul se afl ă deviat spre stânga fa ță de vertical ă cu un unghi
mare.
Baza de reguli sau transpunerea în logic ă fuzzy a descrierii lingvistice a modului în
care s-ar realiza controlul eficient al pendulului inversat de c ătre un expert uman este indicat ă
tabelar în figura 4.10. Dac ă sunt introdu și cei cinci termeni lingvistici pentru fiecare m ărime
de intrare sau ie șire din regulator atunci conform rela ției 2.44 rezult ă un total de 25 de reguli.
În tabel sunt subliniate câteva reguli pentru a exemplifica modul de gândire al
expertului uman, considerând c ă referința (ieșirea dorit ă din proces) ar fi la un moment dat
nulă, deci pendulul ar trebui echilibrat. [Olt1, Duk]
– dacă eroarea este negativ mare și variația erorii este negativ mare atunci for ța ce
trebuie aplicat ă trebuie s ă fie mare. Aceast ă regulă exprimă o situație în care pendulul
se află la dreapta verticalei cu un unghi mare și se deplaseaz ă în sensul acelor de
ceasornic; este evident c ă este necesar ă o forță mare (spre dreapta) pentru a face ca
pendulul s ă se deplaseze în sens invers;

64 – dacă eroarea este zero și variația erorii este pozitiv mic ă atunci for ța ce trebuie aplicat ă
este negativ mic ă. Aceast ă regulă exprimă o situa ție în care pendulul este foarte
aproape de vertical ă și se deplaseaz ă în sens invers acelor de ceasornic; este evident c ă
este necesar ă o forță negativ mic ă (spre stânga) pentru a contracara mi șcarea
pendulului.
Fig. 4.10. Baza de reguli

Se știe că afirmațiile exemplificate anterior reprezint ă o manier ă abstract ă de
exprimare a modului de control a pendulului inversat. Logica fuzzy intervine prin ata șarea
unui grad de apartenen ță (unei ponder ări) fiecărei mărimi la un anumit termen lingvistic prin
folosirea func țiilor de apartenen ță.
Funcțiile de apartenen ță atașate intrărilor și ieșirii din regulator sunt prezentate în
figura 4.11. Alegerea intervalului de varia ție a mărimilor (domeniul de baz ă) se face tot
euristic de c ătre expertul uman, urmând a fi modificat ca urmare a test ărilor și simulărilor în
buclă închisă pentru a asigura performan țele cele mai bune. Modificarea domeniilor de
variație se face de obicei prin folosirea unor amplific ări (factori de scalare) ge, gd, gu și prin
efectuarea mai multor teste.
Fig. 4.11. Mul țimile variabilelor lingvistice

Regulatorul fuzzy implementat folose ște raționamentul Mamdani (pentru mecanismul
de inferen ță), ceea ce înseamn ă folosirea operatorului min/max pentru evaluarea conectorului

65 și/sau din premis ă, respectiv concluzionarea în cadrul regulilor se face cu operatorul min și
conectarea regulilor cu operatorul max.
Obținerea valorii crisp din valoarea fuzzy se face prin opera ția de defuzzificare,
practic ultima etap ă și component ă a regulatorului fuzzy. În cazul regulatorului fuzzy cvasi-
PD folosit la echilibrarea pendulului defuzzificarea se face cu metoda centrului de greutate .
Definirea regulatorului fuzzy a fost realizat ă de către autor folosind func ții din
biblioteca Fuzzy Logic Toolbox a mediului Matlab . Acest program de descriere (cuprins în
Anexa 2) este utilizat de blocul FLC pentru simularea sistemului din figura 4.9 în Simulink .
În figura 4.12 sunt prezentate evolu ția în timp a erorii de reglare, a comenzii și a ieșirii
din procesului condus la un semnal de intrare de tip impulsuri dreptunghiulare.
Fig. 4.12. Evolu ția erorii, comenzii și ieșirii pentru reglarea fuzzy

Regulatorul fuzzy cu dinamic ă reușește să restabileasc ă echilibrul pendulului dac ă
acesta a fost pus ini țial în dezechilibru la un unghi θ de 5˚ față de axa vertical ă foarte repede
(Figura 4.13).
Fig. 4.13. Evolu ția erorii, comenzii și ieșirii pentru echilibrarea pendulului

Pentru ob ținerea diagramelor în timp din figura 4.13 a fost folosit ă schema neliniar ă a
pendulului matematic inversat (Anexa 1). Echilibrarea pendulului inversat se face dup ă mai
puțin de 3 secunde.

IV.1.4. Sistem de reglare fuzzy adaptiv
În cazul regulatorului fuzzy direct sunt necesare multe simul ări și teste ale sistemului
în buclă închisă până se ajunge la acordarea corect ă a acestuia pentru ob ținerea unor

66 performan țe cât mai bune. În situa ția regulatorului fuzzy adaptiv (sistem de reglare fuzzy cu
învățare cu model etalon) alegerea parametrilor regulatorului fuzzy direct nu mai este
esențială, deoarece mecanismul de înv ățare (adaptare) va modifica oricum ace ști parametrii.
Parametrul variabil la sistemul de reglare fuzzy cu înv ățare cu model etalon reprezint ă baza de
reguli. [Pas1, Koo]
Schema sistemului de reglare fuzzy adaptiv al pendulului inversat (din categoria
sistemelor de reglare fuzzy cu înv ățare cu model de referin ță) este prezentat ă în figura 4.14.
Fig. 4.14. Schema de reglare fuzzy adaptiv ă

Se eviden țiază din schem ă cele patru blocuri importante detaliate deja din punct de
vedere teoretic: procesul, regulatorul fuzzy, modelul de referin ță, mecanismul de înv ățare
Dacă procesul condus și modelul de referin ță sunt ușor de în țeles, acestea fiind
discutate și la celelalte tipuri de regl ări, regulatorul fuzzy și mecanismul de adaptare (modelul
fuzzy invers împreun ă cu modificatorul bazei de reguli) vor fi pu țin mai detaliate.
Modelul de referin ță din sistemul de reglare fuzzy cu înv ățare cu model de referin ță
specifică performan țele dorite pentru sistemul în bucl ă închisă. În general, acest sistem poate
lua orice form ă, poate fi discret sau continuu, liniar sau neliniar, variant sau invariant în timp
etc. Eroarea de înv ățare ye(kT) dintre ie șirea modelului etalon și ieșirea procesului condus
furnizeaz ă o caracterizare a m ăsurii în care performan ța dorită este atins ă în eșantionul kT.
De asemenea regulatorul fuzzy direct este cel prezentat la subcapitolul IV.1.4, cu
deosebirea c ă mulțimile de baz ă atașate intrărilor și ieșirilor, respectiv func țiile de apartenen ță
sunt introduse în program cu ajutorul unor amplific ări (factori de scalare).
Sunt considerate și aici ca intr ări pentru regulatorul fuzzy direct dou ă mărimi: eroarea
de reglare, notat ă aici cu e(kT) și variația erorii de reglare d(kT) ; rezultând un regulator direct
fuzzy cvasi-PD cu dinamic ă (caracterizat de rela ția 4.28). Ie șirea din regulator este comanda
procesului condus u(kT) , adică forța care deplaseaz ă căruciorul pendulului inversat.

67 Domeniul și funcțiile de apartenen ță atașate celor trei m ărimi folosite la regulatorul
fuzzy direct pot fi deci modificate experimental prin intermediul factorilor de scalare și
normalizare: ge reprezint ă factorul de scalare al erorii de reglare e(kT) , gd reprezint ă factorul
de scalare al varia ției erorii d(kT) , iar gu este factorul de scalare al comenzii u(kT) .
Baza de reguli este aceea și cu cea prezentat ă în figura 4.10, iar pentru inferen ță
(activare și decizionare în interiorul regulatorului) este folosit ra ționamentul Mamdani.
Defuzzificarea se face prin metoda centrului de greutate ( CoG ).
În continuare va fi prezentat mecanismul de înv ățare (adaptare) . Acesta este
descompus la rândul lui, dup ă cum se vede și din schem ă, în dou ă blocuri componente:
modelul fuzzy invers și modificatorul bazei de reguli .
În mod asem ănător cu regulatorul fuzzy direct, și modelul fuzzy invers conține factori
de scalare și normalizare ata șați intrărilor și ieșirilor acestuia cu scopul de a realiza modific ări
experimentale: gye reprezint ă factorul de scalare al erorii de adaptare ye(kT), gyd reprezint ă
factorul de scalare al varia ției erorii de adaptare yd(kT), iar gp este factorul de scalare al ie șirii
din modelul invers (semnalul de corec ție) p(kT) .
Fig. 4.15. Structura modelului fuzzy invers, mul țimile de baz ă

Din punct de vedere al proiect ării și implement ării, modelul fuzzy invers se comport ă
ca un regulator fuzzy care furnizeaz ă la ieșire mărimea p(kT) pentru a reduce eroarea ye(kT).
Baza de reguli fuzzy este practic ini țial copiat ă de la regulatorul fuzzy direct. Astfel,
pentru toate cele trei variabile ale modelului fuzzy invers se folosesc 5 func ții de apartenen ță
triunghiulare simetrice uniform distribuite pe domeniul variabilelor în cauz ă. Mecanismul de
inferența este realizat cu ajutorul tehnicii Mamdani și defuzzificarea se face prin metoda
centrului de greutate ( CoG ).

68 După ce au fost efectuate mai multe teste și respectând procedura de scalare de la
secțiunea III.2.1 din con ținutul acestui referat au fost alese urm ătoarele valori: gye=π/10,
gyd=0.5 , gp=1. În plus, în modelul fuzzy invers a fost implementat ă și strategia de oprire a
adaptării parametrilor regulatorului fuzzy direct când eroarea de adaptare este foarte mic ă și
deci sistemul în bucl ă închisă ce con ține procesul urm ărește destul de bine modelul de
referință. Strategia este introdus ă prin rela ția 3.9, considerându-se o eroare maxim ă admisă
ep=0.001ּgp.
Modificarea bazei de reguli se realizeaz ă prin adaptarea func țiilor de apartenen ță ale
ieșirii regulatorului, func țiile variabilelor de intrare fiind l ăsate constante, în cele dou ă etape
discutate la sec țiunea teoretic ă (subcapitolul III.2.1) de proiectare a modificatorului bazei de
reguli. [Pas1, Koo]
Pentru sistemul studiat, având în vedere structura func țiilor de apartenen ță ale
regulatorului fuzzy (Fig. 4.15), pot fi active la un moment dat maxim patru reguli, ceea ce
indică faptul c ă vom avea de adaptat conform ecua ției (3.12) cel mult patru reguli. Aceast ă
observație mai confirm ă încă o dată că modific ările realizate în baza de reguli sunt modific ări
locale.
Definirea regulatorului fuzzy direct , a modelului fuzzy invers și a modificatorului bazei
de reguli a fost realizat ă de către autor folosind func ții proprii create în mediul Matlab . Aceste
programe de descriere a celor trei componente folosite la simularea sistemului din figura 4.14
stau în spatele blocurilor din mediul Simulink .
În figura 4.16 sunt prezentate evolu ția în timp a comenzii, ie șirii (unghiului f ăcut de
pendul cu axa vertical ă) și factorului de adaptare (semnalului de corec ție), când la intrare se
aplică un semnal tren de impulsuri dreptunghiulare cu o amplitudine de π/10.
Fig. 4.16. Evolu ția comenzii, ie șirii și factorului de adaptare (semnalul de corec ție)

Din analiza evolu ției factorului de adaptare se observ ă că adaptarea (înv ățarea) se face
pe o perioad ă foarte scurt ă de aproximativ o secund ă. În acest timp se modific ă centrele
funcțiilor de apartenen ță ale mărimii de ie șire din regulatorul fuzzy direct. Dup ă acest timp
regulatorul se comport ă suficient de bine, pentru a nu necesita o reactualizare a parametrilor.

69 Capacitatea de înv ățare și de adaptare la situa ții diferite este remarcat ă și dacă la
intrare este aplicat un semnal de tip tren de impulsuri triunghiulare (între – π/10 și π/10).
Figura 4.17 prezint ă evoluția în timp a comenzii, ie șirii și factorului de adaptare.
Fig. 4.17. Evolu ția comenzii, ie șirii și factorului de adaptare (semnalul de corec ție)

Răspunsul procesului condus cu un regulator adaptiv ofer ă performan țe foarte bune și
în cazul în care se dore ște doar echilibrarea pendulului dup ă ce acesta a fost scos din aceast ă
stare. Aceast ă simulare se poate face doar folosind sistemul detaliat neliniar al pendulului
inversat și o referin ță nulă.
Fig. 4.18. Echilibrarea pendulului (restabilirea st ării de echilibru)

Din analiza celor trei tipuri de sisteme de reglare este evident ă superioritatea tehnicilor
de conducere inteligente și adaptive. Acestea nu doar pot compensa prezen ța neliniarit ăților în
proces fără a fi necesar ă liniarizarea acestora în momentul proiect ării regulatoarelor, dar au și
o capacitate suplimentar ă de a înv ăța din evenimente desf ășurate deja.

IV.2. Aplica ția 2: Reglarea adaptiv ă locală a brațelor roboților
IV.2.1. Descrierea procesului. Modele matematice
Modelul dinamic al unui robot prezint ă neliniarit ăți și variații puternice ale
parametrilor procesului. Principala cauz ă ce genereaz ă aceste probleme de proiectare a
regulatoarelor este interdependen ța dintre diferite axe de mi șcare, fenomen tipic construc ției
roboților seriali. De fapt la ace ști roboți seriali lan țul cinematic are o construc ție serială ceea

70 ce presupune interinfluen țe între for țele și momentele diferitelor grade de libertate (Figura
4.19).
Fig. 4.19. Robot cu mi șcare în plan orizontal cu dou ă grade de libertate

Aceste probleme de proiectare pot fi solu ționate prin folosirea robo ților paraleli sau
dacă nu este posibil ă a unei comenzi adaptive. Aceast ă tehnică modern ă se impune mai ales
când nu se cunosc exact modelele matematice ale elementelor componente ale robotului,
respectiv când nu se cunosc momentele care ac ționează asupra fiec ărui element din lan țul
cinematic. Sistemele de reglare adaptiv ă asigură robustețea sistemului chiar și în cazul unor
variații semnificative ale parametrilor acestuia. [Mou, Bro]
Majoritatea robo ților industriali sunt ac ționați cu elemente hidraulice, pneumatice sau
electrice, ele ac ționând prin intermediul unor bucle de reglare a pozi ției. Fiecare bra ț al
robotului devine astfel un sistem de reglare al pozi ției. Dacă fiecare astfel de element este
acționat separat, alternant în timp când celelalte bra țe sunt men ținute în echilibru, atunci
implementarea unor bucle de reglare PID s-au dovedit eficiente.
Să presupunem c ă avem de-a face cu un sistem robotic ac ționat cu servomotoare de
curent continuu. Atunci se poate realiza câte un sistem de reglare decuplat pe axe, adic ă
dedicat fiec ărui braț din lanțul cinematic al robotului. Varia ția parametrilor unui bra ț în timp
este compensat ă printr-o reglare adaptiv ă cu model de referin ță local robust ă.
În figura 4.20 este prezentat ă schema de func ționare a unui servomotor de curent
continuu (SMcc), care permite mi șcarea unui singur bra ț. [Zăr2, Dul]
Fig. 4.20. Schema de func ționare a unui servomotor de curent continuu

71 Dacă se presupune excita ția independent ă atunci ecua țiile care descriu func ționarea
motorului se ob țin aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff circuitului de alimentare a
motorului și legea echilibrului cuplurilor care apar în func ționarea sistemului.




=Ω⋅++⋅=⋅=⋅+⋅+⋅=
dtB CtddJiK CKeetdidLiR U
r a m mea
a a a a
q
dΩ Ω Ω =
(4.29)

unde Ω reprezint ă viteza unghiular ă;
θ – unghiul de rota ție al axului motorului;
Ua – tensiunea de alimentare a rotorului;
Ra, La – parametrii electrici ai circuitului rotorului;
e – tensiunea electromotoare;
Ke, Km – constante de propor ționalitate electrice și mecanice;
Cr – cuplul rezistent;
J – momentul de iner ție al maselor în mi șcare;
B – coeficientul de frecare vâscoas ă.
Se consider ă intrarea în proces tensiunea de alimentare a circuitului indusului Ua, iar
ieșirea este pozi ția unghiular ă θ. Neglijând cuplul rezistent ( Cr=0) și aplicând transformata
Laplace sistemului 4.29 cu condi ții inițiale nule rezult ă funcția de transfer a servomotorului de
curent continuu folosit ca sistem de pozi ționare.

) () ( )()()(sJB sL R KKK
sUssH
a a mem
a +⋅++=Ω=Ω (4.30)

[]
) () ( )()( 1
)()()(sJB sL R KKsK
sUs
s sUssH
a a m em
a a +⋅++ ⋅=Ω⋅= =q
q
(4.31)

Dacă valoarea inductan ței bobinei servomotorului de curent continuu, care împreun ă
cu valoarea rezisten ței ohmice determin ă constanta de timp electric ă a servomotorului, este
mult mai mic ă și neglijabil ă (La=0) în compara ție cu constanta de timp mecanic ă dată de
momentul de iner ție al maselor în rota ție și de constanta de propor ționalitate electromecanic ă
atunci schema simplificat ă a manipulatorului poate fi aproximat ă cu un sistem de ordin doi.

72 În figura 4.21 se g ăsește schema func țională simplificat ă pe care s-a dedus și funcția
de transfer a manipulatorului de ordin doi (rela ția 4.32).
Fig. 4.21. Schema func țională a manipulatorului de ordin doi

[]
) ( )()()(JsB R KKsK
sUssH
a mem
a ⋅+⋅+ ⋅⋅= =m q
(4.31)

unde μ reprezint ă raportul de transmisie;
μ·τ – forța exterioar ă (momentul rezistiv) înmul țită cu raportul de transmisie a
reductorului.
Pentru proiectarea, simularea și testarea sistemelor de reglare automat ă ce vor fi
realizate în continuare s-au folosit urm ătoarele valori pentru constantele fizice: Ra= 1.025Ω,
Ke= 0.5247V·min/rot , Km= 6.1 V·min/rot , J=8kg·m2, B=1.5Nms/rad , μ=0.01 .
Funcția de transfer simplificat ă a manipulatorului de ordin doi este calculat ă în relația:

[]
4.738 2.80.061
)()()(+⋅⋅= =s s sUssH
aq
(4.32)

Răspunsul acestui sistem de ordin doi este identic cu r ăspunsul sistemului real de ordin
trei unde a fost introdus ă și valoarea inductan ței bobinei ( La=0.1H ), la o intrare treapt ă este
prezentat în figura 4.22. Schema Simulink a manipulatorului de ordin trei este detaliat ă în
Anexa 4.
Fig. 4.22. R ăspunsul manipulatorului de ordin doi și trei la o intrare treapt ă

73 În continuare se vor proiecta sisteme de reglare adaptive cu model etalon (bazate pe
teoria Lyapunov) și fuzzy adaptive (FMRLC) cu scopul de a controla pozi ția acestui
manipulator, mai ales dac ă parametrii acestuia sunt variabili și necunoscu ți.

IV.2.2. Sisteme de reglare adaptive conven ționale
Se știe că dacă se folose ște un model etalon robust în domeniul de deplasare al
manipulatorului, atunci printr-o adaptare corespunz ătoare a parametrilor și componenta din
lanțul cinematic al robotului va fi robust ă.
Sistemele de reglare adaptiv ă local robuste cu model etalon se realizeaz ă, în general,
după două scheme de principiu (Figura 4.23): [Dav2]
– schemă de reglare adaptiv ă cu model etalon prin intermediul unui semnal de
compensare g(t) al variației parametrilor procesului și de eliminare a perturba țiilor
nemăsurabile, parametrii regulatorului r ămân în acest caz nemodifica ți;
– schemă de reglare adaptiv ă cu model etalon prin acordarea direct ă a parametrilor
regulatorului cu scopul elimin ării erorii de adaptare dintre modelul etalon și
manipulator.
Fig. 4.23. Scheme de reglare adaptiv ă cu model etalon

Bucla de reglare a pozi ției are rolul de a determina la orice moment valoarea erorii de
reglare între valoarea de referin ță și valoarea m ăsurată a ieșirii din proces și orice diferen ță
între acestea dou ă este amplificat ă prin intermediul unui regulator.
Bucla de adaptare a sistemului de reglare are rolul de a determina la orice moment
valoarea erorii de adaptare și prin intermediul unui bloc de adaptare fie s ă introduc ă semnale
de compensare (varianta 1 de sistem adaptiv), fie s ă modifice direct parametrii regulatorului
(varianta 2 de sistem adaptiv) cu scopul diminu ării acestei erori.
Pentru prima variant ă de sistem adaptiv cu model etalon din figura 4.24 se
recomand ă folosirea unui regulator propor țional proiectat dup ă modelul procesului cunoscut

74 inițial și compensarea eventualelor modific ări ale procesului prin semnalul de compensare
g(t). Acest semnal este dedus folosind teoria de stabilitate Lyapunov.
Fig. 4.24. Schema de reglare adaptiv ă prin compensare

Modelul acestui sistem în bucl ă închisă este de ordin doi:

()


⋅⋅⋅−⋅+ ⋅=⋅+⋅⋅⋅+
mn pr n n nKKRsg s s s s
02 2 2 2)( )( )( 2tmw q w q w wz
(4.33)

unde factorul de amortizare și pulsația natural ă se pot calcula cu rela țiile 4.34.

JR KKK KBR
a me m a
⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=
0 2mz
,
0K KR
ma
⋅⋅⋅=t mw
(4.34)

Modelul sistemului etalon este tot de ordin doi cu parametrii am=2, bm=1. Acest
sistem etalon are la intrare aceea și referință θpr, iar la ie șire poziția dorită θm.

( ) )( )(2s bs bsaspr m m m m q q
⋅= ⋅+⋅+ (4.35)

Se calculeaz ă eroarea de adaptare θe(t)= θm(t)- θ(t), reprezentând eroarea între ie șirea
dorită (din modelul etalon) și ieșirea din procesul condus, pornind de la rela țiile 4.33 și 4.35.
Apoi conform teoriei Lyapunov pentru sisteme adaptive cu model etalon se caut ă ecuația
diferențială care descrie eroarea de adaptare pentru a se asigura o stabilitate asimptotic ă a
acesteia, mai exact revenirea asimptotic ă a erorii spre valoarea de echilibru θe(t)=0 .



⋅⋅⋅−⋅− ⋅− ⋅==⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅−⋅+⋅⋅+⋅
mn pr n pr mn n m m m m m
KKRsg s s bs s s s ss bs sas s
02 22 2 2
)( )( )()( )( 2)( )( )( )(
tmw q w qq w q wz q q q q
(4.36)

75 Dacă se introduce un moment rezistiv sub forma τ=τ0+η1·(θpr-θ)+ η2·dθ/dt și se
grupează termenii din rela ția 4.36 se ob ține:

( )


⋅⋅⋅−⋅− ⋅− ⋅+⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅−⋅⋅−=⋅+⋅+
mn pr n pr m nn m m e m m
KKRsg s s bss s s bs sa s bsas
02 2 22
)( )( )( )()( 2)( )( )(
tmw q w q q wq wz q q q
(4.37)

() ()
)( 2 )()( )( 1 )(
2
02
00 21
02 2
s sKKRaKKRsgs sKKRb s bsas
mn m n
mnpr
mn m e m m
q hmw wztmwq q hmw q
⋅⋅


⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅+

⋅⋅⋅−⋅−− − ⋅






⋅⋅⋅−⋅−=⋅+⋅+
(4.38)

Ultima rela ție poate fi trecut ă din domeniul complex în timp prin transformare Laplace
inversă.

()
•• ••
⋅


⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅+

⋅⋅⋅−⋅−−− ⋅






⋅⋅⋅−⋅−=⋅+⋅+
)( 2 )()( )( 1 )( )( )(
2
02
00 21
02
tKKRaKKRtgt tKKRb t bt at
mn m n
mnpr
mn m e m e m e
q hmw wztmwq q hmw q q q
(4.39)

În final, s-a ob ținut o eroare de adaptare θe cu trei termeni, unul depinde de derivata
poziției unghiulare sau viteza unghiular ă Ω(t)= dθ/dt, un termen ce depinde de eroarea de
reglare e(t)= θpr(t)-θ(t), și un termen liber de regim sta ționar.
Rolul sistemului de reglare adaptiv este de a da un semnal de compensare g(t), care să
asigure o stabilitatea asimptotic ă a erorii de adaptare. Acest semnal trebuie de fapt s ă
compenseze fiecare din cei trei termeni ai erorii de adaptare. Aceast ă condiție este îndeplinit ă
dacă și semnalul g(t) este compus la rândul lui din trei termeni similari celor din ecua ția
diferențială a erorii de adaptare.

()
)( )()( )( )( )( )(3 2 1 tgt tg t t tgtgpr +⋅ +− ⋅ =•
q q q
(4.40)

În acela și timp teoria Lyapunov (capitolul II.1) pentru stabilitatea asimptotic ă a
sistemelor se poate aplica dac ă ecuația 4.39 este transformat ă într-o ecua ție matriceal ă, sub
formă de intrare-stare-ie șire (ISI,ISO). Se face urm ătoarea nota ție vectorial ă θe=[ θe dθe]T.

76 ()




⋅⋅⋅−⋅−⋅



⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅+− ⋅







⋅⋅⋅−⋅−+⋅



−−=
••
mn
mn m npr
mn me
m me
KKRtgt
KKRat t
KKRbta bt
002
2
021
02
)(0
)(20)( )(10
)(1 0)(
tm w qhmw wzq qhmwq q
(4.41)

Se introduce acum func ția semnalului de compensare g(t) (relația 4.40) și rezultă
ecuația diferen țială matriceal ă într-o form ă compact ă.

()
3 2 1 )( )()( )( )( bt b t t bt Atpr e m e +⋅+− ⋅+⋅=• •
q q q q q
(4.42)

unde s-au f ăcut următoarele nota ții:





−⋅⋅⋅⋅=



⋅−⋅⋅⋅⋅+−⋅⋅=



⋅−


⋅⋅⋅−⋅−=



−−=
)(0
)()( 20
)()( 101 0
3
002
322
2
02212
1
021
tgKKR tbtgKKRatbtgKKRbba bA
mnn
mn m nn
mn mm mm
tm ww hmw wzw hmw
(4.43)

Funcția Lyapunov ata șată sistemului descris prin ecua țiile diferen țiale 4.42 se alege
astfel încât s ă satisfac ă condițiile din teorema de stabilitate a sistemelor. Aceast ă funcție
Lyapunov V(t) are o form ă asemănătoare cu derivata erorii de adaptare θe(t).

() )()( )()( )()( )( )( )(,3 3 3 2 2 2 1 1 1 tbtbatbtbatbtbat Pt t tVT T T
eT
e e ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ = q q q
(4.44)

Această funcție Lyapunov este pozitiv definit ă dacă matricea P este o matrice
pătratică pozitiv definit ă (p11>0 și p11p22-p12p12>0) și a1, a2, a3 sunt factori de ponderare.

)()( 2)()( 2)()( 2)( )( )( )(3 33 2 22 1 11 tbtba tbtba tbtba t Pt t Pt VT T T
eT
e eT
e• • • • • •
+ + +⋅⋅ +⋅⋅ = q q q q

77 () ( )
()()

+⋅⋅ +⋅⋅ ++
+⋅⋅⋅ +⋅⋅⋅ ++
+− ⋅⋅⋅ +⋅⋅− ⋅ ++⋅⋅+⋅⋅ =
•• • •••
)()( 2)( )( )( )()()( 2)()( )( )( )()()()( 2)( )( )( )( )( )( )( )()( )( )(,
3 33 3 32 22 2 21 11 1 1
tbtba tbPt t Ptbtbtba t tbPt t Pt tbtbtba t t tbPt t Pt t tbt APPAt t tV
T T
e eTT T
e eTT
prT
e e prTe mT
mT
e e
q qq q q qq q q q q qq q q
(4.45)

Derivata func ției Lyapunov este negativ definit ă (se îndepline ște a doua condi ție din
teorema de stabilitate) și conform teoremei punctul de echilibru θe=θm-θ=0 este asimptotic
stabil dac ă se aleg rela țiile 4.46.

[] ()
[]
[]



−=⋅⋅ +⋅⋅−=⋅⋅⋅ +⋅⋅−= − ⋅⋅⋅ +⋅⋅<−=⋅+⋅
• •• ••
)()( 2 )( )( )( )()()( 2 )()( )( )( )()()( 2 )( )( )( )( )( )(0
3 33 3 32 2 2 2 21 11 1 1
tbtba tbPt t Ptbtbtba t tbPt t Ptbtbtba t t tbPt t PtbQ APP A
TT
e eTTT
e eTT
prT
e eTmT
m
q qq q qq q q q
(4.46)

unde Q este o matrice simetric ă pozitiv definit ă (se poate alege matricea identitate).
Rezolvând sistemul de ecua ții 4.46 rezult ă mai întâi matricea simetric ă P (relația 4.47)
în funcție de parametrii modelului etalon, iar apoi vectorii b1(t),b2(t),b3(t) cu ajutorul c ărora se
vor determina legile de adaptare pentru componentele variabile ale semnalului de compensare
g(t) (relația 4.48).


=
=







+⋅⋅ ⋅⋅


 ++⋅
=5.05.05.05.1
1121
2121 1
21
22 1212 11
p pp p
b a bb ab
ba
P
m m mm mm
mm
(4.47)

()



⋅⋅−=⋅⋅⋅−=− ⋅⋅⋅−=
•• ••
Ptatbt Ptatbt t Ptatb
T
eTT
eTprT
eT
)(1)()( )(1)()( )( )(1)(
332211
qq qq q q
(4.48)

78 Dacă se consider ă specificul și forma vectorilor b1(t),b2(t),b3(t), din rela țiile 4.43 și
4.48 se ob ține urm ătorul sistem de ecua ții monodimensionale în forma final ă pentru
compensarea varia țiilor parametrilor procesului condus:

()



⋅+⋅ ⋅=⋅⋅+⋅ ⋅=− ⋅⋅+⋅ ⋅=
• •• • •• •
22 12 3 322 12 2 222 12 1 1
)( )( )()( )( )( )()( )( )( )( )(
pt pt tgt pt pt tgt t pt pt tg
e ee epr e e
q q gq q q gq q q qg
(4.49)

În figura 4.25 este prezentat ă o primă variant ă de schem ă de reglare adaptiv ă cu
model etalon local robust ă a unei componente dintr-un lan ț cinematic al unui robot. Adaptarea
se realizeaz ă aplicând la intrare un semnal de referin ță de tip impulsuri dreptunghiulare cu
perioada de 20 sec și amplitudinea unitar ă.
Fig. 4.25. Schema de reglare adaptiv ă local robust ă a manipulatorului

Se observ ă din schem ă prezența regulatorului propor țional cu structur ă și valoare
fixate K0, respectiv semnalul de compensare a varia țiilor parametrice ale procesului condus,
reprezentat prin manipulatorul real. Schema Simulink a manipulatorului de ordin trei este
detaliată în Anexa 4.

79 Evoluția în timp a semnalelor de ie șire din modelul etalon și din procesul condus,
respectiv manipulatorul, sunt prezentate în figura 4.26. Se eviden țiază o adaptare a semnalului
g(t) cu scopul anul ării erorii de adaptare.
Fig. 4.26. Referin ța și răspunsurile modelului etalon și procesului

Evoluția în timp a semnalelor componente de compensare a celor trei termeni din
ecuația dinamic ă a erorii de adaptare (rela ția 4.39) este prezentat ă în figura 4.27.
Fig. 4.27. Evolu ția componentelor semnalului de compensare g(t)

Pentru a doua variant ă de sistem adaptiv cu model etalon se recomand ă folosirea
unui regulator PD modificat cu structur ă fixă, dar cu trei parametrii ( k1, k2, k3) variabili și
ajustabili cu ajutorul blocului de adaptare. Acesta are rolul de a urm ării evolu ția procesului și
a modelului etalon, respectiv de a modifica parametrii regulatorului pân ă la anularea erorii de
adaptare.

•
⋅−⋅−⋅= )( )( )( )(3 2 1 t kt kt ktupr q q q
(4.50)

Dacă parametrii de acord k1 și k2 sunt egali se observ ă că regulatorul este de tip PD
modificat, cu elementul derivativ pe calea de reac ție (e(t) este eroarea de reglare).

()
• •
⋅−⋅=⋅−− ⋅= )( )( )( )( )( )(3 1 3 1 t ktekt k t t ktupr q q q q
(4.51)

80 Modelul de referin ță este cel folosit la prima variant ă de sistem adaptiv cu model
etalon. Parametrii sistemului de ordin doi etalon sunt parametrii am=2, bm=1. Răspunsul
sistemului etalon la o intrare treapt ă este amortizat critic.

1 21
)()()(2 2+⋅+=+⋅+= =s s bsasb
sssH
m mm
prm
mqq
(4.52)

Din rela țiile 4.31, 4.35, 4.51 rezult ă relațiile de calcul al r ăspunsurilor modelului
etalon și procesului condus. Se consider ă pentru început cuplu rezistent nul și dispare
semnalul de compensare g(t).

( )
()



⋅+⋅+= ⋅+⋅+=⋅
⋅ +⋅ ⋅ + +⋅=
)(1 21)( )()(2.8 061.0 2.8 061.0 7382.42.8061.0)(
2 22 321
ts stbpa pbtt
k p k pkt
pr pr
m mm
mpr
q q qq q
(4.53)

unde p este considerat operatorul de derivare.
Cele dou ă răspunsuri sunt identice când eroarea de adaptare θe(t)= θm(t)- θ(t) este
nulă. Problema la aceast ă variantă de sistem adaptiv nu mai constituie g ăsirea semnalului de
compensare ci a legilor de adaptare ale parametrilor regulatorului. Pentru aceasta se apeleaz ă
la metoda bazat ă pe stabilitatea Lyapunov (capitolul II.1). Modelele matematice ISI (intrare-
stare-ieșire) pentru sistemele de grad doi ale etalonului și procesului condus, deci a celor dou ă
bucle de urm ărire (dup ă intrare și după modelul etalon), sunt date în rela ția 4.54.

()()



⋅ −+⋅ −+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=
•••
)( )( )()( )( )()( )( )()( )( )()( )(
t tB B t tA A t Att Bt Att tBt tAt
pr m m e m epr m m m mpr
q q q qq q qq q q
(4.54)

unde au fost f ăcute urm ătoarele nota ții vectoriale:

T

=•
qq q
, T
m m m 
=•
q q q
, T
e e e 
=•
qq q

iar matricele de sistem sunt date în rela ția 4.55.

81 
=

−−=



⋅ =




⋅ +−⋅−=
mm
m mmbBa bAtk tBtk tk tA
0,1 02.8)( 061.00
)(,
2.8)( 061.0 7382.4
2.8)( 061.01 0
)( 1 3 2
(4.55)

Funcția Lypunov aleas ă are o form ă asemănătoare cu eroarea de adaptare θe(t). De
asemenea se observ ă că matricele A și B sunt variante în timp.

() ()() { }()() { }0 )(, >−⋅− +−⋅− +⋅⋅= B B B Btr A A A Atr P t tVmT
m mT
m eT
e e q q q
(4.56)

Derivata func ției Lyapunov este negativ definit ă (se îndepline ște a doua condi ție din
teorema de stabilitate) și conform teoremei punctul de echilibru θe=θm-θ=0 este asimptotic
stabil dac ă se aleg:




⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=<−=⋅+⋅
••
T
pr e BT
e AmT
m
P tBP tAQ APP A
qq gqq g
)()(0
(4.57)

Rezolvând sistemul de ecua ții 4.57 rezult ă mai întâi matricea p ătratică și simetric ă,
pozitiv definit ă P (relația 4.58), iar apoi legile de adaptare pentru parametrii variabili ai
regulatorului (rela ția 4.59) .


=
=







+⋅⋅ ⋅⋅


 ++⋅
=5.05.05.05.1
1121
2121 1
21
22 1212 11
p pp p
b a bb ab
ba
P
m m mm mm
mm
(4.58)




⋅⋅+⋅ −=⋅⋅+⋅ −=⋅⋅+⋅ =
• • •• •• •
)( )( )( )()( )( )( )()( )( )( )(
22 12 3 322 12 2 222 12 1 1
t t pt p tkt t pt p tkt t pt p tk
e ee epr e e
q q q gq q q gq q q g
(4.59)

82 Se observ ă că relațiile 4.59 sunt simetrice cu rela țiile 4.27 ob ținute în cazul regl ării
adaptive a pendulului inversat. În figura 4.28 este prezentat ă a doua variant ă de schem ă de
reglare adaptiv ă cu model etalon local robust ă a unei componente dintr-un lan ț cinematic al
unui robot, folosind teoria de stabilitate Lyapunov . Adaptarea se realizeaz ă aplicând la intrare
același tip de semnal de referin ță ca și în cazul primei variante de reglare adaptiv ă.
Fig. 4.28. Schema de reglare adaptiv ă local robust ă a manipulatorului

Evoluția în timp a semnalelor de ie șire din modelul etalon și din procesul condus,
respectiv eroarea de adaptare sunt prezentate în figura 4.29. Se eviden țiază o adaptare a
semnalului g(t) cu scopul anul ării erorii de adaptare.
Fig. 4.29. Referin ța și răspunsurile modelului etalon și procesului, eroarea de adaptare

Din analiza în timp comparativ ă a răspunsurilor celor dou ă variante de scheme de
reglare adaptiv ă, adică schema de reglare cu regulator propor țional fix și semnal de
compensare a varia țiilor procesului și schema de reglare cu regulator PD modificat cu
parametrii ajustabili în func ție de varia țiile procesului, se poate afirma c ă acestea sunt relativ
asemănătoare. Cele dou ă scheme simulate la acela și tip de intrare de referin ță și folosind

83 același tip de model etalon reu șesc o compensare, respectiv o adaptare total ă a sistemelor de
reglare dup ă aproximativ 100 secunde.
Evoluția în timp a parametrilor regulatorului ( k1, k2, k3) este prezentat ă în figura 4.30.
Fig. 4.30. Evolu ția parametrilor regulatorului

În continuare se va studia importan ța introducerii inteligen ței artificiale în reglarea
adaptivă a manipulatorului. Acest studiu se va concretiza în proiectarea unui regulator fuzzy
adaptiv cu model etalon (FMRLC).

IV.2.3. Sistem de reglare fuzzy adaptiv
Regulatoarele fuzzy adaptive (sistem de reglare fuzzy cu înv ățare cu model etalon)
sunt mult mai u șor de parametrizat, deoarece acestea pot admite multe variante ini țiale care
ulterior vor fi modificate de blocul de adaptare. Aten ție deosebit ă trebuie totu și acordat ă
valorii maxime a comenzii date de regulator care nu trebuie s ă depășească valorile permise de
elementul de execu ție.
Schema sistemului de reglare fuzzy adaptiv al manipulatorului (din categoria
sistemelor de reglare fuzzy cu înv ățare cu model de referin ță) este prezentat ă în figura 4.31.
Fig. 4.31. Schema de reglare fuzzy adaptiv ă

84 Parametrul variabil al sistemul de reglare fuzzy adaptiv cu înv ățare cu model etalon
reprezint ă după cum s-a mai precizat baza de reguli, aceasta se modific ă prin intermediul
funcțiilor de apartenen ță ale ieșirii. [Pas1, Pas2, Mou, Koo]
Se eviden țiază din schem ă cele patru blocuri cunoscute deja: procesul, regulatorul
fuzzy, modelul de referin ță, mecanismul de înv ățare
Modelul de referin ță din sistemul de reglare fuzzy cu înv ățare cu model de referin ță
specifică performan țele dorite pentru sistemul în bucl ă închisă. Acesta reprezint ă un sistem de
ordin doi:

1 21
)()()(2+⋅+= =s s sssH
prm
mqq
(4.60)

Răspunsul modelului etalon (de referin ță) la o intrare semnal de tip impulsuri
dreptunghiulare, considerat a fi r ăspunsul dorit și pentru sistemul în bucl ă închisă este
prezentat în figura 4.32. Diferen ța între r ăspunsul acestui sistem și răspunsul procesului
condus real, adic ă eroarea de înv ățare θe, furnizeaz ă o caracterizare a m ăsurii în care
performan ța dorită este atins ă la un moment dat.
Fig. 4.32. Modelul de referin ță

Regulatorul fuzzy direct este proiectat respectând etapele discutate la subcapitolul
II.2.2, iar la intrare/ie șire au fost ad ăugate blocuri de scalare / amplificare. Regulatorul fuzzy
este cu dinamic ă, fuzzy cvasi-PD , și are dou ă intrări: eroarea de reglare, notat ă aici cu e și
variația erorii de reglare d; respectiv o ie șire, comanda procesului condus u, adică tensiunea
de alimentare a motorului.
Domeniul și funcțiile de apartenen ță atașate celor trei m ărimi folosite la regulatorul
fuzzy direct pot fi modificate experimental prin intermediul factorilor de scalare și
amplificare: ge reprezint ă factorul de scalare al erorii de reglare e, gd reprezint ă factorul de
scalare al varia ției erorii d, iar gu este factorul de scalare al comenzii u.
Mărimilor de intrare și ieșire din regulator au fost ata șați câte cinci termeni lingvistici:
NB negativ mare, NS negativ mic ă, Z zero, PS pozitiv mic ă, PB pozitiv mare.

85 Baza de reguli a regulatorului fuzzy direct este identic ă cu cea a modelului fuzzy
invers din blocul de adaptare / înv ățare și este prezentat ă tabelar în figura 4.33. Pentru
mecanismul de inferen ță (activarea și luarea deciziilor în interiorul regulatorului) este folosit
raționamentul Mamdani, iar defuzzificarea se face prin metoda centrului de greutate ( CoG ),
ca și în cazul aplica ției de echilibrare a pendulului inversat.
Fig. 4.33. Baza de reguli a regulatorului fuzzy direct și a modelului fuzzy invers

În continuare va fi prezentat mecanismul de înv ățare (adaptare) compus din: modelul
fuzzy invers și modificatorul bazei de reguli .
Modelul fuzzy invers conține pentru efectuarea testelor experimentale factori de
scalare / amplificare pe intr ările și ieșirile acestuia: gθe reprezint ă factorul de scalare al erorii
de adaptare θe, gθd reprezint ă factorul de scalare al varia ției erorii de adaptare θd, iar gp este
factorul de scalare al ie șirii din modelul invers (semnalul de corec ție) p.
Fig. 4.34. Structura modelului fuzzy invers, mul țimile de baz ă

Baza de reguli fuzzy este cea din figura 4.33 de la regulatorul fuzzy direct. Astfel,
pentru toate cele trei variabile ale modelului fuzzy invers se folosesc 5 func ții de apartenen ță
triunghiulare simetrice uniform distribuite pe domeniul variabilelor în cauz ă. Conform acestor

86 funcții de apartenen ță rezultă un total de 25 de reguli. Inferen ța este realizat ă și aici cu
raționamentul Mamdani și defuzzificarea prin metoda centrului de greutate ( CoG ).
După ce au fost efectuate mai multe teste și respectând procedura de scalare de la
secțiunea III.2.1 din con ținutul acestui referat au fost alese urm ătoarele valori pentru scalarea
intrărilor și ieșirilor din regulatorul fuzzy direct și din modelul fuzzy invers: ge=1, gd=1.1 ,
gu=10, gθe=1, gθd=0.5 , gp=2.
În plus, în modelul fuzzy invers pentru o eroare de adaptare foarte mic ă se folose ște
strategia de oprire a adapt ării parametrilor regulatorului fuzzy direct. Strategia este introdus ă
prin rela ția 3.9, considerându-se o eroare maxim ă admisă ep=0.001ּgp.
Modificarea bazei de reguli se realizeaz ă prin adaptarea func țiilor de apartenen ță ale
ieșirii regulatorului, func țiile variabilelor de intrare fiind l ăsate constante, în cele dou ă etape
discutate la sec țiunea teoretic ă (subcapitolul III.2.1) de proiectare a modificatorului bazei de
reguli.
Pentru sistemul studiat, având în vedere structura func țiilor de apartenen ță ale
regulatorului fuzzy (Fig. 4.34), pot fi active la un moment dat maxim patru reguli, ceea ce
indică faptul c ă vom avea de adaptat conform ecua ției (3.12) cel mult patru reguli. Aceast ă
observație mai confirm ă încă o dată că modific ările realizate în baza de reguli sunt modific ări
locale.
Definirea regulatorului fuzzy direct , a modelului fuzzy invers și a modificatorului bazei
de reguli a fost realizat ă de către autor folosind func ții proprii create în mediul Matlab . Aceste
programe de descriere a celor trei componente folosite la simularea sistemului din figura 4.31
în mediul Simulink sunt asem ănătoare cu cele de la aplica ția pendulului inversat. Singurele
modificări sunt legate de factorii de scalare / amplificare preciza ți în paragrafele anterioare.
În figura 4.35 sunt prezentate evolu ția în timp a comenzii, a ie șirii din proces (pozi ția
unghiular ă) și referin ța, respectiv evolu ția erorii de adaptare dintre ie șirea din proces și
modelul etalon, când la intrare se aplic ă impulsuri dreptunghiulare cu o amplitudine unitar ă.
Fig. 4.35. Evolu ția comenzii, ie șirii și factorului de adaptare (semnalul de corec ție)

Din analiza evolu ției comenzii se eviden țiază un caracter puternic pe panta de cre ștere
sau descre ștere a ie șirii, iar din analiza erorii de adaptare se observ ă îndeplinirea

87 performan țelor impuse sistemului înc ă din primele secunde. Aceste performan țe sunt clar
superioare schemelor de reglare adaptiv ă clasice (conven ționale) datorit ă erorii de adaptare
mult mai mici .
În figura 4.36 este prezentat ă evoluția factorului de adaptare și a ieșirii din proces în
compara ție cu ieșirea din model, respectiv viteza unghiular ă a manipulatorului. Se observ ă o
adaptare (înv ățarea) a regulatorului fuzzy direct pe o perioad ă foarte scurt ă de câteva secunde.
În acest timp se modific ă centrele func țiilor de apartenen ță ale mărimii de ie șire din
regulatorul fuzzy direct.
Fig. 4.36. Factorul de adaptare, pozi ția și viteza unghiular ă

Capacitatea de înv ățare și de adaptare la situa ții diferite se poate remarca și dacă la
intrare este aplicat un semnal cu impulsuri dreptunghiulare cu amplitudine mai mare (între 0
și 2). Figura 4.37 prezint ă evoluția în timp a comenzii, ie șirii și factorului de adaptare.
Fig. 4.37. Evolu ția comenzii, ie șirii și factorului de adaptare (semnalul de corec ție)

Din analiza celor trei tipuri de sisteme de reglare adaptiv ă este evident ă superioritatea
tehnicilor de conducere inteligente adaptive (FMRLC). Aceste sisteme pot compensa prezen ța
eventualele varia ții lente ale parametrilor procesului în compara ție cu dinamica acestuia prin
capacitatea suplimentar ă de a înv ăța din evenimente desf ășurate deja, în plus ele nu necesit ă o
liniarizare a procesului condus în cazul în care acesta este neliniar.
Evident un robot serial are o construc ție serială ceea ce presupune interinfluen țe între
forțele și momentele diferitelor componente ale lan țului cinematic. Controlul întregului robot
impune folosirea mai multor regulatoare clasice, adaptive sau inteligente. Un control eficient
și cu performan țe bune se poate realiza de exemplu dac ă pentru fiecare component ă a

88 robotului serial este realizat câte un regulator. În figura 4.38 este prezentat ă o posibil ă schemă
de reglare fuzzy adaptiv ă a unui robot serial cu dou ă componente (bra ț robotic cu dou ă grade
de libertate date de um ăr și cot). [Mou, Bro]
Fig. 4.38. Reglarea adaptiv ă a unui bra ț robotic

89 V. Concluzii
În general, conducerea proceselor industriale complexe ridic ă probleme specifice
deosebite care fac în multe cazuri imposibil ă folosirea teoriei clasice pentru conducerea
proceselor. Printre caracteristicile nedorite sunt:
– parametrii variabili sau necunoscu ți ai sistemelor;
– valoare variabil ă a timpului mort (întârziere pur ă);
– comportare neliniar ă a procesului condus;
– prezența perturba țiilor aleatoare;
– propagarea perturba țiilor în instala ții.

Majoritatea metodelor și tehnicilor de proiectare clasic ă a sistemelor automate se
bazează pe modelarea procesului condus, ceea ce impune cunoa șterea structurii și
parametrilor acestuia. De fapt performan țele sistemului rezultat și proiectarea regulatorului
depind de exactitatea informa țiilor despre proces.
Astfel, aceste sisteme necesit ă o strategie de conducere adaptabil ă proceselor
variabile, adic ă o informa ție aprioric ă mai redus ă și modificarea parametrilor în timpul
funcționării utilizând informa țiile funcționale ale întregului sistem.
Încă din anii ΄50 în literatura de specialitate s-a cunoscut o preocupare în dezvoltarea
unor tehnici cât mai bune de reglare ce pot s ă aducă noutăți în conducerea automat ă a
proceselor. Introducerea sistemelor inteligente, pe lâng ă sistemele adaptive, reprezint ă una din
direcțiile noi și moderne ce sunt înc ă studiate în centrele de cercetare.
Deși fiecare din cele dou ă strategii de reglare, v ăzute separat, conducerea adaptiv ă
convențională și conducere fuzzy inteligent ă au adus un plus în automatica industrial ă, acestea
și-au dovedit și ele limitele. Spre exemplu sistemele de reglare inteligente fuzzy , deși utile în
multe aplica ții de control automat unde teoria clasic ă nu face fa ță, au și ele problemele lor de
proiectare și funcționare, mai ales în alegerea mul țimilor fuzzy, func țiilor de apartenen ță și a
bazei de reguli. Aceste necunoscute ale regulatoarelor fuzzy depind de expertul uman și de
modul în care acesta prelucreaz ă lingvistic informa țiile despre proces.
Reactualizarea parametrilor regulatorului fuzzy în timpul func ționării aduce o cre ștere
a performan țelor sistemului și rezultă o tehnic ă de control combinat ă fuzzy adaptiv ă. Acest tip
de regulator posed ă avantaje mo ștenite atât de la sistemele inteligente fuzzy, cât și de la
sisteme adaptive.

90 Sistemele adaptive, indiferent de categoria din care fac parte, pot s ă realizeze câteva
sarcini tipice cum ar fi:
– acordarea automat ă a regulatoarelor la punerea în func țiune a schemelor de reglare
automată (și îmbunătățirea performan țelor);
– determinarea automat ă a parametrilor optimali ai regulatoarelor automate pentru
diferite puncte de func ționare a procesului;
– menținerea performan țelor sistemului de comand ă și reglarea automat ă atunci când
parametrii de structur ă ai procesului se modific ă;
– posibilitatea realiz ării unor regulatoare mai complexe și mai performante decât cele
PID;
– detectarea unor evolu ții anormale ale parametrilor proceselor (aceste varia ții se
reflectă în valorile parametrilor furnizate de algoritmul de proiectare).

Introducerea sistemelor adaptive și inteligente este legat ă atât de factorul tehnic cât și
de rentabilitatea economic ă. Evaluarea rentabilit ății se face ținând cont de: ameliorarea
calității produselor, cre șterea produc ției, economie de energie, reducerea timpilor de oprire
pentru între ținere, detectarea rapid ă a unor regimuri anormale de func ționare etc.
Există o serie de studii de aplicabilitate industrial ă a controlului adaptiv. Printre
procesele unde au fost introduse sistem adaptive sunt: amestecarea materiilor prime, mori de
măcinare a cimentului, laminoare, coloane de distilare, reactoare chimice, sisteme energetice,
sisteme de pozi ționare, ma șini de fabricat hârtie, controlul pH-ului, pilo ți automa ți pentru
aeronave și vapoare, ma șini-unelte, schimb ătoare de c ăldură, sisteme de înc ălzire și de
ventilare, fabricarea sticlei.
Lucrarea de fa ță și-a propus prezentarea unei tehnici combinate de control fuzzy
adaptiv și performan țele superioare oferite de aceasta. Pentru a în țelege mai bine specificul
tehnicilor avansate de control au fost abordate:
– sistemele adaptive cu model de referin ță cu adaptarea parametrilor regulatorului pe
baza regulii gradientului descendent (MIT) și pe baza teoriei Lyapunov pentru
stabilitatea sistemelor;
– sistemele inteligente ce au la baz ă teoria logicii fuzzy;
– sistemele fuzzy adaptive cu model etalon (sau de referin ță) prin proiectarea unui
regulator fuzzy cu înv ățare cu model de referin ță;
– două aplicații de control automat: reglarea și echilibrarea pendulului inversat,
respectiv reglarea local ă a unei componente decuplate dintr-un lan ț cinematic.

91 Programele și aplicațiile realizate ofer ă un exemplu al modului în care se pot
implementa conceptele care intervin în realizarea unui sistem adaptiv, fuzzy, fuzzy adaptiv. În
concluzie, aceast ă lucrare prezint ă etapele și modul de proiectare a unei metode de control
inteligent ă și adaptiv ă bazată pe regulatoare fuzzy.

92 Bibliografie
[Ali] Aliev, R., Aliew, F., Bonfig, D., Messen, steuern, regeln mit fuzzy logik, Franzis
Verlag, 1994, Munchen.
[And] Andonie, R., Ca țaron, A., Inteligență artificial ă, Univ. “Transilvania”, 2000,
Brașov.
[Ant] Antsaklis, P.J., Passino, K.M., An introduction to intelligent and autonomous
control , Kluwer Academic Publishers, 1992.
[Ast1] Astrom, K.J., Wittenmark, B., Adaptive control (1st edition) , Addison Wesley,
1989.
[Ast2] Astrom, K.J., Wittenmark, B., Adaptive control (2nd edition) , Addison Wesley,
1995.
[Ast3] Astrom, K.J., Theory and applications of adaptive control, IFAC Kyoto, 1981,
Japan.
[Ast4] Astrom, K.J., Wittenmark, B., Computer controlled systems. Theory and design,
Pretince Hall, 1990, New York.
[Bro] Brown, S.C., Passino, K.M., Intelligent control for an acrobot, The Ohio State
University, 1997, Ohio.
[Căl] C ălin, S., Conducerea adaptiv ă și flexibilă a proceselor industriale, Ed. Tehnic ă,
1988, Bucure ști.
[Dam1] Damen, A., Weiland, S., Robust control, Eindhoven University of Technology,
2001, Netherland.
[Dam2] Damen, A., Modern control theory, Eindhoven University of Technology, 2002,
Netherland.
[Dri] Driankov, D., Hellendoorn, H., Reinfrank, M., An introduction to fuzzy control,
Springer Verlag, Heidelberg, 1993, New York.
[Dum] Dumitrache, I., Tehnica regl ării automate, Ed. Didactic ă și Pedagogic ă, 1980,
București.
[Dav1] David, L., Marton, L., Rețele neuronale și logica fuzzy în automatiz ări, Ed.
Universit ății “Petru Maior”, 2000, Târgu Mure ș.
[Dav2] David, L., Control inteligent și adaptiv. Noti țe de curs, Universitatea “Petru
Maior”, 2004, Târgu Mure ș.

93 [Duk] Duka, A., Studiul regl ării sistemului cu pendul inversat. Modelare și simulare,
Lucrare de dizerta ție, Universitatea “Petru Maior”, 2005, Târgu Mure ș.
[Dul] Dul ău, M., Oltean, S., Modelare și simulare. Lucr ări de laborator, Ed. Universit ății
“Petru Maior”, 2003, Târgu Mure ș.
[Gee] Geering, H.P., Robuste regelung, Institut für Mess- und Regeltechnik,
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, 1999, Schweiz.
[Ghi] Ghinea, M., Fire țeanu, V., Matlab. Calcul numeric. Grafic ă și aplicații, Ed. Teora,
1997, Bucure ști.
[Iou] Ioannou, P., Robust adaptive control, University of Southern California, 2003, Los
Angeles.
[Ise] Isermann, R., Lachmann, K.H., Adaptive control systems, Pretince Hall, 1992.
[Jag] Jager, R., Fuzzy logic in control, Phd. thesys, 1995, Amsterdam.
[Jan] Jantzen, J., Verbruggen, H., Ostergaard, J.J., Fuzzy control in the process industry,
1998.
[Kis] Kiss, P., Logica fuzzy și aplicații în tehnic ă, Referat nr. 1 de doctorat, Universitatea
"Politehnica" Timi șoara, 1997, Timi șoara.
[Koo] Koo, J.T.K., Design of stable adaptive fuzzy control, Master Thesis, Univ. of Hong
Kong, 1994, Hong Kong.
[Lay] Layne, J.R., Passino, K.M., Fuzzy Model Reference Learning Control for Cargo
Ship Steering, IEEE, 1993.
[Lyu] Lyung, L., System identification, Pretince Hall, 1987.
[Mou] Moudgal, V.G., Kwong, W.A., Passino, K.M., Yurkovich, S., Fuzzy learning
control for a flexible-link robot, IEEE Transactions on Fuzzy Systems, vol. 3, no.2,
may 1995.
[Naș] Na șcu, I., Control adaptiv, Ed. Mediamira, 2002, Cluj Napoca.
[Olt1] Oltean, S., Sistem de dozare automat ă prin comand ă fuzzy cu microcontrolerul
80C552, Proiect de diplom ă, Universitatea “Petru Maior”, 2002, Târgu Mure ș.
[Olt2] Oltean, S., Gligor, A., Grif, H., Fuzzy logic approach for reactive power control,
Inter-Ing 2003, Universitatea “Petru Maior” Târgu Mure ș.
[Pas1] Passino, K.M., Yurkovich, S., Fuzzy control, Addison Wesley Longman, Inc.,
1998, California.
[Pas2] Passino, K.M., Intelligent control. An overview of techniques, The Ohio State
University, 1998, Ohio.
[Pre1] Precup, R.E., Preitl, Ș., Fuzzy controllers, Ed. Orizonturi Universitare, 1999,
Timișoara.

94 [Pre2] Preitl, Ș., Precup, R.E., Introducere în conducerea fuzzy a proceselor, Ed. Tehnic ă,
1997, Bucure ști.
[Sas] Sastry, S., Bodson, M., Adaptive control. Stability, convergence, and robustness ,
Pretince Hall, 1989, New Jersey.
[Sch] Scherer, C., Theory of robust control , Delft University of Technology, 2001,
Netherland.
[Sha] Shafai, E., Einfuhrung in die adaptive regelung , Institut für Mess- und
Regeltechnik, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, 2003, Schweiz.
[Sti] Stimac, A.K., Standup and stabilization of the inverted pendulum , Massachusetts
Institute of Technology, 1999.
[Tog] Togneri, R., Adaptive systems , Electrical and Electronic Engineering, The
University of Western Australia, 2002.
[Wil1] Wilson, D.I., Adaptive control. Course notes, Electrical Engineering Karlstad
University, 2001.
[Wil2] Wilson, J.R., Nonlinear system theory, The Johns Hopkins University Press, 1981.
[Zad] Zadeh, L.A., Fuzzy sets, Information and control 8:338-353, 1965.
[Zăr1] Z ărnescu, H., Ingineria regl ării automate II. Proiectarea sistemelor conven ționale
și avansate de reglare automat ă, Ed. Univ. “Petru Maior”, 1999, Târgu Mure ș.
[Zăr2] Z ărnescu, H., Dul ău, M., Morar, P., Gligor, A., Brassai, T., Ingineria regl ării
automate. Îndrum ător de laborator, Ed. Univ. “Petru Maior”, 1998, Târgu Mure ș.
[ww1] www.fuzzytech.com.
[ww2] www.netlab.lmcc.fju.edu.tw.
[ww3] www.elsevier.com.
[ww4] www.ctrl.cinvestav.mx.
[ww5] www.ee.uwa.edu.au.
[ww6] www.rdg.ac.uk.
[ww7] www.ee.kau.se.
[ww8] www.control.lth.se.
[ww9] www.engr.uky.edu.
[ww10] www.ece.utah.edu.
[ww11] www.mathworks.com.
[ww12] www.engin.umich.edu.
[***1] Using Simulink , The Mathworks Inc., 1998.
[***2] Matlab , The Mathworks Inc., 1998.
[***3] Control Tutorials for Matlab – Inverted Pendulum Modelling .

95 Anexe
Anexa 1. Schema neliniar ă a pendulului inversat

Anexa 2. Descrierea regulatorului fuzzy
% – definirea regulatorului fuzzy folosind fuzzy logic toolbox
% Regulatorul rezultat se foloseste in modelul simulink pentru blocul FLC

reg=newfis( 'regulatorul' );

% amplificari de scalare
g1 = pi/32;
g2 = pi/10;
g0 = 120;

% definirea functiilor de apartenenta pentru intrarile in regulator
% eroarea e = r-y
reg=addvar(reg, 'input','eroarea' ,g1*[-1 1]);
reg=addmf(reg, 'input',1,'NB','zmf',g1*[-1 -0.5]);
reg=addmf(reg, 'input',1,'NS','trimf',g1*[-1 -0.5 0]);
reg=addmf(reg, 'input',1,'Z','trimf',g1*[-0.5 0 0.5]);

96 reg=addmf(reg, 'input',1,'PS','trimf',g1*[0 0.5 1]);
reg=addmf(reg, 'input',1,'PB','smf',g1*[0.5 1]);

% variatia erorii de/dt
reg=addvar(reg, 'input','variatia erorii' ,g2*[-1 1]);
reg=addmf(reg, 'input',2,'NB','zmf',g2*[-1 -0.5]);
reg=addmf(reg, 'input',2,'NS','trimf',g2*[-1 -0.5 0]);
reg=addmf(reg, 'input',2,'Z','trimf',g2*[-0.5 0 0.5]);
reg=addmf(reg, 'input',2,'PS','trimf',g2*[0 0.5 1]);
reg=addmf(reg, 'input',2,'PB','smf',g2*[0.5 1]);

% definirea functiilor de apartenenta pentru iesirea din regulator
% forta F (cda pt proces)
reg=addvar(reg, 'output' ,'forta',g0*[-1 1]);
reg=addmf(reg, 'output' ,1,'NB','trimf',g0*[-1 -2/3 -1/3]);
reg=addmf(reg, 'output' ,1,'NS','trimf',g0*[-2/3 -1/3 0]);
reg=addmf(reg, 'output' ,1,'Z','trimf',g0*[-1/3 0 1/3]);
reg=addmf(reg, 'output' ,1,'PS','trimf',g0*[0 1/3 2/3]);
reg=addmf(reg, 'output' ,1,'PB','trimf',g0*[1/3 2/3 1]);

% definirea bazei de reguli pentru regulatorul fuzzy
ruleList=[1 1 5 1 1; 1 2 5 1 1; 1 3 5 1 1; 1 4 4 1 1; 1 5 3 1 1;
2 1 5 1 1; 2 2 5 1 1; 2 3 4 1 1; 2 4 3 1 1; 2 5 2 1 1;
3 1 5 1 1; 3 2 4 1 1; 3 3 3 1 1; 3 4 2 1 1; 3 5 1 1 1;
4 1 4 1 1; 4 2 3 1 1; 4 3 2 1 1; 4 4 1 1 1; 4 5 1 1 1;
5 1 3 1 1; 5 2 2 1 1; 5 3 1 1 1; 5 4 1 1 1; 5 5 1 1 1];

reg=addrule(reg,ruleList);

Anexa 3. Lista figurilor din lucrare
Fig. 2.1. Structura general ă a unui sistem adaptiv cu model de referin ță (direct)
Fig. 2.2. Structura general ă a unui sistem adaptiv cu autoacordare (indirect)
Fig. 2.3. Adaptarea factorului de amplificare prin regula MIT și Lyapunov
Fig. 2.4. R ăspunsurile procesului condus și modelului etalon
Fig. 2.5. Îmbun ătățirea vitezei de adaptare prin cre șterea factorului γ
Fig. 2.6. R ăspunsurile modelului etalon și procesului condus, respectiv evolu ția în timp a
parametrului ajustabil θ, pentru un factor de adaptare prea mare.
Fig. 2.7. Schema de reglare adaptiv ă pentru sistem de ordin I
Fig. 2.8. Adaptarea factorului de amplificare k și a constantei de timp T
Fig. 2.9. R ăspunsurile procesului condus și modelului etalon
Fig. 2.10. R ăspunsurile procesului condus și modelului etalon pentru γ>10
Fig. 2.11. Exemple de func ții de apartenen ță
Fig. 2.12. Exemplificarea grafic ă a operatorilor min, max, comp
Fig. 2.13. Descrierea vag ă a temperaturii
Fig. 2.14. Structura informa țională a unui regulator fuzzy
Fig. 2.15. Exemple de mul țimi de baz ă pentru variabile lingvistice

97 Fig. 2.16. Matricea cu baza de reguli
Fig. 2.17. Mecanismul de decizie, inferen ța max-min (Mamdani)
Fig.2.18. Defuzzificare prin metoda centrului de greutate (center of gravity) CoG
Fig. 2.19. Alte tehnici de defuzzificare
Fig. 2.20. Regulator fuzzy dup ă stare
Fig. 2.21. Regulatoare fuzzy cvasi-PID
Fig. 2.22. Mul țimile variabilelor lingvistice și baza de reguli
Fig. 2.23. Schema de simulare a sistemului de reglare
Fig. 2.24. Evolu ția erorii, comenzii și ieșirii procesului în timp
Fig. 3.1. Tipuri de strategii de reglare
Fig. 3.2. Regulatoare fuzzy cvasi-PID cu structur ă variabilă
Fig. 3.3. Regulatoare fuzzy cvasi-PID cu parametrii variabili
Fig. 3.4. Sistem de reglare fuzzy adaptiv
Fig.3.5. Sistem de reglare fuzzy adaptiv direct cu model de referin ță
Fig. 3.6. Sistem de reglare fuzzy cu înv ățare cu model etalon (FMRLC)
Fig. 4.1. Ansamblul c ărucior-pendul (pendulul inversat)
Fig. 4.2. R ăspunsul sistemului la o intrare treapt ă
Fig. 4.3. Sistem de conducere adaptiv ă a pendulului inversat
Fig. 4.4. Evolu ția în timp a ie șirilor din modelul etalon și din proces
Fig. 4.5. Sistem de conducere adaptiv ă a pendulului inversat
Fig. 4.6. Evolu ția în timp a ie șirilor din modelul etalon și din proces
Fig. 4.7. Evolu ția parametrilor ajustabili și comanda regulatorului
Fig. 4.8. Evolu ția erorii, comenzii și ieșirii pentru echilibrarea pendulului
Fig.4.9. Schema de reglare fuzzy a pendulului inversat
Fig. 4.10. Baza de reguli
Fig. 4.11. Mul țimile variabilelor lingvistice
Fig. 4.12. Evolu ția erorii, comenzii și ieșirii pentru reglarea fuzzy
Fig. 4.13. Evolu ția erorii, comenzii și ieșirii pentru echilibrarea pendulului
Fig. 4.14. Schema de reglare fuzzy adaptiv ă
Fig. 4.15. Structura modelului fuzzy invers, mul țimile de baz ă
Fig. 4.16. Evolu ția comenzii, ie șirii și factorului de adaptare (semnalul de corec ție)
Fig. 4.17. Evolu ția comenzii, ie șirii și factorului de adaptare (semnalul de corec ție)
Fig. 4.18. Echilibrarea pendulului (restabilirea st ării de echilibru)
Fig. 4.19. Robot cu mi șcare în plan orizontal cu dou ă grade de libertate
Fig. 4.20. Schema de func ționare a unui servomotor de curent continuu

98 Fig. 4.21. Schema func țională a manipulatorului de ordin doi
Fig. 4.22. R ăspunsul manipulatorului de ordin doi și trei la o intrare treapt ă
Fig. 4.23. Scheme de reglare adaptiv ă cu model etalon
Fig. 4.24. Schema de reglare adaptiv ă prin compensare
Fig. 4.25. Schema de reglare adaptiv ă local robust ă a manipulatorului
Fig. 4.26. Referin ța și răspunsurile modelului etalon și procesului
Fig. 4.27. Evolu ția componentelor semnalului de compensare g(t)
Fig. 4.28. Schema de reglare adaptiv ă local robust ă a manipulatorului
Fig. 4.29. Referin ța și răspunsurile modelului etalon și procesului, eroarea de adaptare
Fig. 4.30. Evolu ția parametrilor regulatorului
Fig. 4.31. Schema de reglare fuzzy adaptiv ă
Fig. 4.32. Modelul de referin ță
Fig. 4.33. Baza de reguli a regulatorului fuzzy direct și a modelului fuzzy invers
Fig. 4.34. Structura modelului fuzzy invers, mul țimile de baz ă
Fig. 4.35. Evolu ția comenzii, ie șirii și factorului de adaptare (semnalul de corec ție)
Fig. 4.36. Factorul de adaptare, pozi ția și viteza unghiular ă
Fig. 4.37. Evolu ția comenzii, ie șirii și factorului de adaptare (semnalul de corec ție)
Fig. 4.38. Reglarea adaptiv ă a unui bra ț robotic