2 Teorema spectral a pentru operatori compact i  si autoadjunct i 3 2.1 Operatori m arginit i . . . . . . . . . . . . . [623836]

Cuprins
1 Introducere 2
2 Teorema spectral a pentru operatori compact i  si autoadjunct i 3
2.1 Operatori m arginit i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Operatori compact i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Teorema Spectral a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Operatori autoadjunct i . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Teorema Hilbert-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1 Teorema Hilbert-Schmidt pentru operatori autoadjunct i 18
2.4.2 Teorema Spectral a: a doua form a . . . . . . . . . . . . 21
2.4.3 Teorema Hilbert-Schmidt pentru operatori integrali . . 22
3 Alte tipuri de operatori 28
3.1 Operatori unitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Operatori urm a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Operatori Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1

Capitolul 1
Introducere
^In aceast a lucrare ne propunem s a studiem c^ ateva clase de operatori cu pro-
priet at i speciale. Mai ales, vom ^ ncerca s a evident iem  si s a explic am ope-
ratorii ce au un comportament "bun" din punct de vedere al m arginirii,
compactit at ii, sau dac a forma lor particular a permite extinderea unor teorii
clasice.
Lucrarea de fat  a cuprinde dou a capitole bine fundamentate teoretic.
^In primul capitol am studiat operatorii compact i  si autoadjunct i, pun^ and ^ n
evident  a propriet at i teoretce dar  si aplicat ii. Teoremele spectrale au un rol
fundamental ^ n structura acestui capitol.
^In capitolul al doilea am ment ionat  si alte tipuri de operatori cu propiet at i
speciale  si am prezentat diferite propriet at i  si aplicat ii ale acestora.
^In nal am prezentat materialul bibliograc ce a folosit ca surs a de inspirat ie.
2

Capitolul 2
Teorema spectral a pentru
operatori compact i  si
autoadjunct i
Acest capitol se focuseaz a pe Teorema spectral a. Pentru a putea vorbii des-
pre aceast a teorem a ^ ncepem cu not iuni despre operatori m arginit i compact i
 si autoadjunct i.
FieT:V!Vo matrice normal a pe spat iul vectorial complex nit dimen-
sionalV. Presupunem c a 1;2;:::;nsunt valori proprii diferite din T si
Mi(i= 1;2;:::;n ) spat iul propriu corespunz ator  si Pi:V!Vproiect ia
ortogonal a pe Mi.^In cele ce urmeaz a vom prezenta teorema spectral a pen-
tru o clas a de operatori denit i pe spat iul Hilbert cu dimensiune innit a. Pe
parcursul acestui capitol am preluat idei, not iuni din c art ile [1, 2, 4, 5, 8].
2.1 Operatori m arginit i
Denit ie 2.1. FieT:H1!H2liniar. Spunem despre Tc a este m arginit
dac a  si numai dac a T(B)este m arginit ^ n H2;pentru orice submult ime
m arginit a B din H1.
Remarc a 2.1. Dac aH1 siH2sunt spat ii Hilbert  si T:H1!H2operator
m arginit, not am acest lucru prin T2 B(H1;H 2):Dac aH1=H2=H,
atunciB(H1;H 2)se noteaz a cuB(H). PentruT2 B(H);spat iul nul  si
spat iul m arginit se noteaz a cu N(T);respectivR(T). Sfera unitate a unui
spat iu Hilbert H se noteaz a cu SH.
3

4
Teorem a 2.1. FieH1;H 2dou a spat ii liniare normate  si e T:H1!H2
un operator liniar. Urm atoarele armat ii sunt echivalente:
1. T este continuu;
2. T este continuu ^ n punctul 0;
3. T este m arginit, adic a exist a o constant a M > 0astfel ^ nc^ at
jjT(x)jjMjjxjjpentruoricare x 2H1;
4. T este o aplicat ie Lipschitzian a;
5. T este uniform continuu.
Demonstrat ie Evident, 1 =)2  si 4 =)5 =)1.
2 =)3 Continuitatea ^ n origine implic a existent a unui num ar  >0 astfel
^ nc^ atkx0k< implic akT(x)T(0)k<1:Prin urmare, dac a x este un
element nenul oarecare din H1rezult a c a

Tx
2kxk

1
adic akT(x)k2
kxk:Evident, concluzia funct ioneaz a  si pentru x= 0;astfel
c a armat ia 3 are loc pentru M=2
:
3 =)4^Intr-adev ar,
kT(x)T(y)k=kT(xy)kMkxyk
pentru orice x;y2H1:
Denit ie 2.2. Dac a T este m arginit, folosind Teorema 2.1, avem c a
sup
x2SH1jjTxjj<1:
Aceast a valoare se nume ste norma lui T  si se noteaz a cu jjTjj.

5
Urm atoarea teorem a cuprinde formule echivalente pentru calculul normei
unui operator m arginit  si liniar.
Teorem a 2.2. FieT2B(H1;H 2):Sunt echivalente urm atoarele armat ii:
1.jjTjj= supfjjTxjj:x2SH1g
2.jjTjj= supfjjTxjj:x2H1;jjxjj1g
3.jjTjj= supfjjTxjj
jjxjj:x2H1g
4.jjTjj= inffk>0 :jjTxjjkjjxjjpentru oricarex 2H1g
Denit ie 2.3. FieT2B(H1;H 2):Atunci exist a un unic operator din H2^ n
H1;notat cuTastfel ^ nc^ at:
hTx;yi=hx;Tyipentru oricare x 2H1; y2H2:
Acest operator Tse numet e adjunctul lui T.
Propriet at i pentru T:
1. (T)=T;
2.jjTjj=jjTjj;
3. dac aS2B(H1;H 2) atunci (ST)=TS;
4. dac aR2B(H1;H 2) atunci (R+T)=R+T;
5. (T)= T:
Remarc a 2.2. FieS;T2B(H1;H 2) si2C. Atunci:
jjS+TjjjjSjj+jjTjj;
jjTjj=jjjjTjj;
jjTTjj=jjTjj2=jjTTjj:

6
Remarc a 2.3. FieT2B(H1;H 2):Atunci:
1.N(T) =R(T)?;
2.N(T) =R(T)?;
3.R(T) =N(T)?;
4.R(T) =N(T)?;
5.N(TT) =N(T);
6.R(TT) =R(T):
Examplu 2.1. 1. Operatorul identitate: Fie H un spat iu complex Hilbert.
Fie I operatorul identitate pe H. Atunci jjIjj= 1:
2. Operatorul matricial: Fie H1spat iu Hilbert nit dimensional  si H2
spat iu Hilbert. Fie T:H1!H2liniar. Atunci T este m arginit. Pentru
a demonstra acest lucru, e f'1;'2;'3:::;'ngbaz a ortonormal a pentru
H1:Dac ax2H1atuncix=1X
k=0hx;'ki'k. Deoarece
Tx=1X
k=0hx;'kiT'k
. Folosind inegalitatea Cauchy-Schwarz ar at am c a
jjTxjjnX
k=1jjT'kjj21
2
jjxjjpentru fiecare n
Aceasta arat a c a
kTxknX
k=1kT'kk21
2
:
Denit ie 2.4. FieT2B(H). Atunci spunem despre T c a este:
1. autoadjunct dac a T=T;
2. normal dac a TT=TT;

7
3. unitar dac a TT=TT=I;
4. izometrie dac a jjTxjj=jjxjjpentru oricare x2H(sauTT=I);
5. proiect ie ortogonal a dac a T2=T=T:
Remarc a 2.4. Dac aT2B(H);atunciTT siTTsunt operatori autoadjunt i.
De asemenea T=A+iBundeA=T+T
2 siB=TT
2i. Este u sor de
vericat c a A=A siB=B. Aceast a descompunere poart a numele de
descompunere cartezian a. Este u sor de vericat c a R este normal dac a  si
numai dac a AB=BA:
Denit ie 2.5. Fie H un spat iu Hilbert separabil cu baza ortonormal a
'1;'2;'3;:::Atunci matricea T pentru '1;'2;'3;:::este dat a de (aij)unde
aij=hT'j;'iipentrui;j= 1;2;3;:::;n:
Pentru a obt ine o teorem a spectral a similar a cu cea din cazul nit
dimensional, trebuie s a c aut am operatori m arginit i cu propriet at i similare
ale operatorilor nit i dimensionali. O astfel de proprietate o reg asim ^ n
observat ia urm atoare:
Remarc a 2.5. Dac aH1;H 2spat ii Hilbert complexe nit dimensionale  si
T:H1!H2liniar atunci: Pentru orice mult ime m arginit a SH1;avem
c aT(S)este precompact a ^ n H2.
Teorem a 2.3. Fie X un spat iu metric  si SX. Atunci sunt echivalente
urm atoarele:
1. S este compact;
2. S este secvent ial compact;
3. S este total m arginit  si complet.
Remarc a 2.6. ^In urmatorul exemplu observ am c a aceast a proprietate de-
pinde de dimensiunea operatorului.
FieH1 siH2spat ii Hilbert innit dimensionale. Fie w2H1 siz2H2
vectori xat i. Denim T:H1!H2cu
Tx=hx;wiz; pentru oricare x 2H1:

8
Dac a dimensiunea operatorului este 1, T duce mult imi m arginite ^ n mult imi
pre compacte. Acest lucru poate  generalizat ^ n cazul unui operator m arginit
care este nit dimensional dupa cum urmeaza:
Fiew1;w2;:::;wn2H1 siz1;z2;:::;zn2H2vectori xat i.
DenimT:H1!H2dat de formula:
Tx=nX
j=1hx;wjizj; pentru oricare x 2H1:
Atunci T este un operator liniar, m arginit cu dimensiune nit a. Astfel de
operatori se numesc operatori cu rang nit.
Denit ie 2.6. FieT2B(H). Atunci spunem despre T c a are rang nit (de
rang n) dac aReste nit dimensional.
Teorem a 2.4. FieK:H1!H2operator de rang n. Atunci exist a vectorii
v1;v2;:::;vn2H1 si vectorii'1;'2;:::;'n2H2astfel ^ nc^ at pentru ecare
x2H1;avem:
Kx=nX
i=1hx;vii'i:
Vectorii'1;'2;:::;'npot  ale si dintr-o baz a ortonormal a pentru R(K).
Demonstrat ie Fie'1;'2;:::;'nbaz a ortonormal a pentru R(K). Atunci
Kx=nX
i=1hKx;'ii'ipentruoricarex2H1:
Pentru orice i, funct ionalele fi(x) =hKx;'iisunt m arginite, liniare pe H1.
Din teorema de reprezentare a lui Riesz, exist a un unic vi2H1astfel ^ nc^ at
fi(x) =hx;vii sijjfijj=jjvijj:
Remarc a 2.7. ^In teorema de mai sus, reprezentarea lui K nu este unic a
deoarece depinde de baza ortonormal a prin urmare vectorii fvjgn
j= 1.
2.2 Operatori compact i
Denit ie 2.7. FieT:H1!H2un operator liniar. Atunci spunem despre T
c a este compact dac a pentru orice submult ime m arginit a SH1, mult imea
T(S)este compact a ^ n H2.

9
Examplu 2.2.
Fiecare matrice mncorespunz atoare unui operator compact;
Fiecare operator m arginit de rang nit este compact.
PrinK(H1;H 2) not am mult imea tuturor operatorilor compact i de la
H1laH2.^In cazul ^ n care H1=H2=Hfolosim notat iaK(H).
Remarc a 2.8. 1. Orice operator compact este m arginit.
Reciproca nu este adev arat a. De exemplu operatorul identitate
I:H!Heste m arginit, dar I este compact dac a  si numai dac a
dimensiunea lui Heste nit a.
2. O izometrie este compact a dac a  si numai dac a rangul operatorului este
nit.
3. Restrict ia unui operator compact la ^ nchiderea subspat iului este din nou
compact a.
4. Proiect ia ortogonal a pe ^ nchiderea subspat iului a unui spat iu Hilbert
este compact a dac a  si numai dac a este de rang nit.
5. FieT2B(H)operator compact care nu are rang nit. Atunci R(T)
nu este ^ nchis.
Conform Teoremei 2.3 denit ia operatorului compact poate  descrisa  si
altfel dup a cum urmeaz a.
FieT:H1!H2operator m arginit  si B:=fx2H:jjxjj1g:Atunci sunt
echivalente:
1.(TB) este compact;
2. Pentru ecare  sir m arginit ( xn)H1;(Txn) are un sub sir convergent
^ nH2;
3. T duce mult imi marginite ^ n mult imi total m arginite.

10
Propriet at i
Teorem a 2.5. FieT1;T2:H1!H2operatori compact i  si 2C:Atunci:
1.T1este compact;
2.T1+T2este compact.
Demonstrat ie Condit iaT1este compact este evident a. Pentru 2, e
(xn)H sir m arginit. Cum T1este compact avem c a T1xnare un sub sir
T1xnkcare este convergent T1xnk!y. Acum avem c a xnkeste un  sir
m arginit. Deoarece T2este compact, atunci exist a un sub sir ( xnkl) al  sirului
(xnk) astfel ^ nc^ at T2xnkleste convergent  si T1xnkleste convergent. Prin ur-
mare (T1+T2)xnkleste convergent. Deci T1+T2este compact.
Remarc a 2.9. Din teorema de mai sus putem spune despre K(H1;H 2)c a
este un subspat iu vectorial pentru B(H1;H 2):
Teorem a 2.6. FieA:H1!H2compact  si B:H3!H1,C:H2!H3
m arginit i. Atunci CA siACsunt compact i.
Demonstrat ie Fie (xn)H1un  sir m arginit. Cum A este compact,
exist a un sub sir ( xnk) al lui (xn) astfel ^ nc^ at Axnkeste convergent. Deoarece
C este compact deasemenea CAxnkeste convergent. Prin urmare CAeste
compact.
Avem B este m arginit = )(Bxn) m arginit =)(ABxn) are un sub sir
convergent, deoarece A este compact = )ABeste compact.
Remarc a 2.10. Din Teorema 2.6, ne rezult a c a dac a T2 K(H)atunci
T22K(H). Reciproca nu este adev arat a.
Teorem a 2.7. FieT2B(H1;H 2). Atunci spunem despre T c a este:
1. T este compact ()TT sau()TTeste compact;
2. T este compact ()Teste compact.

11
Demonstrat ie Demonstr am 1: Dac a T este compact, atunci TTdin
Teorema2.6. Pentru a dovedi implicat ia TTsauTTeste compact =)T
este compact presupunem c a TT:H1!H1este compact. Dac a ( xn)H1
este un  sir m arginit cu marginea M > 0, atunciTTxnconverge la un sub sir
TTxnk!y. Pentru o notat ie convenabil a not am sub sirul ( xnk) prin (xn):
Pentrun>m; avem:
jjTxnTxmjj2=hT(xnxm);T(xnxm)i
=hTT(xnxm);(xnxm)i
 jjTT(xnxm)jjjjxnxmjj
2MjjTT(xnxm)jj:
Prin urmare ( Txn) este Cauchy deci convergent.
^In mod similar, TT2K(H2):
Demonstr am 2: Fie ( zn)H2 sir m arginit. TTeste compact, ( TTzn) are
un sub sir convergent TTznkcare converge la z. Acum pentru k>l ,
jjTznkTznljj2=hTT(znkznl);znkznli
=jjTT(znkznl)jjjjznkznljj
!0 c^ andn!1 .
Ceea ce ^ nseamn a c a Tznkeste convergent. Prin urmare Teste compact.
Din cele de mai sus, Teste compact =)c aT=Teste compact.
Teorem a 2.8.K(H)este ^ nchis ^ nB(H):
Demonstrat ie Fie (Kn) un  sir de operatori compact i care converge la K.
FieM > 0 astfel ^ nc^ atjjKnjjMpentru oricare n. Scopul nostru este s a
ar at am despre K c a este compact. Fie ( xi)  sir m arginit din H. Fie ( x1
i) un
sub sir al lui ( xi) astfel ^ nc^ at K1(x1
i) este convergent. Fie ( x2
i)(x1
i) astfel
^ nc^ atK2(x2
i) este convergent. Fie ( x3
i)(x2
i) astfel ^ nc^ at K3(x3
i) este con-
vergent. Se continu a acest proces, e ( xn
i) un sub sir al lui ( xn1
i) astfel ^ nc^ at
Kn(xn
i) este convergent.
S irul (zi) = (xi
i) un sub sir pentru ( xi). De asemenea pentru ecare n, ex-
cept^ and primii n termeni, ( zi) este un sub sir al  sirului ( xn
i) astfel ^ nc^ at ( Knzi)

12
este convergent.
Pentru ecare i,j  si n avem:
jjKziKzjjj=jj(KKn)zi+KnziKnzj(KKn)zjjj
 jj (KKn)jj
jjzijj+jjzjjj
+jjKn(zizj)jj:
De unde ne rezul a c a ( Kzi) este  sir Cauchy, deoarece H este spat iu Hilbert.
Deci K este compact.
Lem a 2.1. Fie K un operator compact pe spat iul separabil Hilbert H  si pre-
supunem c a (Tn)B(H) siT2B(H)astfel ^ nc^ at pentrui ecare x2H,
avem c aTnx!Tx. AtunciTnK!TK^ n norma luiB(H):
Demonstrat ie Presupunem c ajjTnKTKjj90. Atunci exist a >0  si
 sirulfTnjKgastfel ^ nc^ at
jjTnjKTKjj>:
Alegem vectorii unitate ( xni) din H astfel ^ nc^ at
jj(TnjKTK)(xni)jj>:
Deoarece K este compact, obt inem sub sirul ( xnj) pentru (xni) astfel ^ nc^ at
Kxnjeste convergent. S a presupunem c a Kxnj!y:Atunci
<jj(TnjKTK)xnjjjjj (TniT)(Kxnjy)jj+jj(TnjT)yjj(2.1)
DeoareceKxnj!y;atunci exist a n astfel ^ nc^ at pentru nj>n;
jjKxnjyjj<
8C:
Deci,Tnjy!Typentru ecare y2H;atunci exist a m astfel ^ nc^ at nj> m
implic a
jj(TTnj)yjj<
4:

13
Deoarece (Tn)B(H) este m arginit, atunci jjTnjjC si
jjTxjj= limjjTnxjjC:Prin urmare ,jjTTnjjj2C:Din ecuat ia (2 :1)
<jj(TnjKTK)xnjjj<
4+
4=
2;
contradict ie.
Teorem a 2.9. Fiecare operator compact pe un spat iu Hilbert separabil H este
limita unui  sir a operatorului de rang nit. Atfel spus, mult imea operatorilor
de rang nit este dens a ^ n spat iul operatorilor compact i.
Demonstrat ie Fief'n:n2Ngspat iu ortonormal pentru H  si
Hn:=spanf'kgn
k=1:Atunci proiect ia ortogonal a Pn:H!Hdenit a prin:
Pnx=nX
j=1hx;'ji'j
are proprietatea c a Pnx!xpentru orice x2H.
Dac a K este compact din Lema 2.1 rezult a c a PnK!Keste un operator
dinB(H): R(PnK)R(Pn) =Hneste nit dimensional.
Examplu 2.3. FieH=l2 sifengbaz a standard ortonormal a a lui H. De-
nimD:H!Hprin:
D(x1;x2;x3;:::) = (x1;x2
2;x3
3;:::); pentru orice (xn)2H:
Atunci D este m arginit. Ar at am c a D2K(H):DenimDn:H!Hprin
Dnx=nX
j=1hx;ejiej:
AtunciDneste un operator m arginit de rang nit  si Dn!Dcun!1 .
Prin urmare din Teorema 2.9, D este compact.
Examplu 2.4. Fiek(
;
)2L2[a;b]. DenimK:L2[a;b]!L2[a;b]prin
(Kf)(s) =Zb
ak(s;t)f(t)dt; pentru oricare f 2L2[a;b]:

14
Putem verica c a K2B(L2[a;b]):Fief'n:n2Ngbaz a ortonormal a pentru
L2[a;b]:Atunci m;n(s;t) ='n(s)'m(t)pentru oricare s;t2[a;b] si oricare
m;n2Nformeaz a baza ortonormal a pentru L2([a;b][a;b]). Prin urmare
k(s;t) =1X
m;n =1hk(s;t); m;n(s;t)i m;n(s;t):
Fie
kN(s;t) =NX
m;n =1hk(s;t); m;n(s;t)i m;n(s;t):
DenimKN:L2[a;b]!L2[a;b]prin
(KNf)(s) =Zb
akN(s;t)dt;pentru oricare f 2L2[a;b]:
Not am c aKNeste un operator de rang nit  si KN!KcuN!1 . Prin
urmare din Teorema 2.9, K2K(L2[a;b]):
2.3 Teorema Spectral a
Denit ie 2.8. Un num ar complex 2Cse nume ste valoare proprie pentru
T2B(H)dac a exist a un vector 06=x2Hastfel ^ nc^ at Tx=x. Atunci x se
nume ste vector propriu pentru T corespunz ator valorii proprii . Echivalent,
este valoare proprie pentru T dac a  si numai dac a (TI)x= 0:
Exemplu: Fie H=l2. DenimT:H!Hcu:
T(x1;x2;:::) = (x1;x2
2;x3
3;:::);(x1;x2;x3;:::)2H
Fiefen:n2Ngbaza ortonormal a standard pentru H. Atunci Ten=1
nen:
Deoarecef1
ngeste mult imea valorilor proprii lui T cu vectorii proprii cores-
punz atorien.
2.3.1 Operatori autoadjunct i
Denit ie 2.9. FieT2B(H). Dac aT=T, atunci T se nume ste operator
autoadjunct.

15
Examplu 2.5.
1. FieR:l2!l2dat prin:
R(x1;x2;:::) = (0;x1;x2;:::);(x1;x2;x3;:::)2l2:
2. FieT:l2!l2denit prin:
T(x1;x2;:::) = (0;x1
2;x2
3;:::);(x1;x2;x3;:::)2l2:
Spunem despre R c a este un operator autoadjunct iar T nu este un ope-
rator autoadjunct.
Propozit ie 2.1. FieT2B(H)autoadjunct. Atunci:
1. valorile proprii ale lui T sunt reale;
2. vectorii proprii corespunz atori valorilor proprii distincte sunt ortogo-
nali.
Demonstrat ie
Demonstr am 1: Fie valoare proprie pentru T  si x vector propriu
corespunz ator. Atunci Tx=x:
jjxjj2=hx;xi=hx;xi=hTx;xi=hx;Txi=hx;xi=jjxjj2:
Deoarecex6= 0;avem=:
Demonstr am 2: Fie  sivalori proprii distincte din T  si x, y vectori
proprii corespunz atori. Atunci Tx=x siTy=y:Avem,
hx;yi=hx;yi=hx;Tyi=hTx;yi=hx;yi:
Cum;2Rdiferite, ne rezult a c a hx;yi= 0:

16
Teorem a 2.10. FieT2B(H)autoadjunct. Atunci
jjTjj= sup
jjxjj=1jhTx;xij:
Demonstrat ie Fiem= sup
jjxjj=1jhTx;xij:AvemjhTx;xijmpentru oricare
x2Hcujjxjj= 1. Dac ajjxjj= 1, din inegalitatea Cauchy-Schwartz-
Bunyakovsky,
jhTx;xijjjTxjjjjxjj=jjTxjj:
DeoarecemjjTjj.
Pentru a demonstra cealalt a implicat ie, e x;y2H. Atunci
hT(xy);xyi=hTx;xi+ 2RehTx;yi+hTy;yi. Prin urmare,
4RehTx;yi=hT(x+y);x+y><T(xy);xyi
 jhT(x+y);x+yij+jhT(xy);xyij
m(jjx+yjj2+jjxyjj2)
= 2m(jjxjj2+jjyjj2):
AcumhTx;yi=jhTx;yijei;pentrureal. Substituim xei^ n ecuat ia de mai
sus  si obt inem:
4RehTxei;yi  2m(jjxjj2+jjyjj2)
4jhTx;yij  2m(jjxjj2+jjyjj2):
Substituim y=jjxjj
jjTxjjTx^ n locul lui y ^ n ecuat ia de mai sus,  si obt inem
jjTxjjmjjxjj. Prin urmarejjTjj=m:
Corolar 2.1. FieT2B(H)autoadjunct. Dac a hTx;xi= 0;pentru oricare
x2H. AtunciT= 0.
Teorem a 2.11. FieT2B(H)operator autoadjunct.
1. Fie= inf
jjxjj=1hTx;xi:Dac a exist a x02Hastfel ^ nc^ atjjx0jj= 1 si
=hTx 0;x0i, atuncieste valoare proprie pentru T cu vectorul pro-
priu corespunz ator x0.

17
2. Fie= sup
jjxjj=1hTx;xi:Dac a exist a x12H;jjx1jj= 1 astfel ^ nc^ at
=hTx 1;x1i;atuncieste valoare proprie pentru T cu vectorul pro-
priu corespunz ator x1:
Demonstrat ie Fie2C siv2H, din denit ia lui , avem:
hT(x0+v);x0+vihx0+v;x 0+vi:
Deoarece,
hTx 0;x0i+hTx 0;vi+hTv;x 0i+jj2hTv;vi
hx0;x0i+hx0;vi+hx0;vi+jj2hv;vi;
ceea ce ^ nseamn a c a:
hTx 0;x0i+2RehTx 0;vi+jj2hTv;vihx0;x0i+jj2hv;vi+2Rehx0;vi:
Substituind =hTx 0;x0i si lu^ and=rhv;(TI)x0i;r2R. Putem
concluziona cuhv;(TI)x0i= 0 pentru oricare v2HDeoareceTx 0=x0.
Pentru a demonstra partea a doua ^ nlocuim TcuT.
Teorem a 2.12. Dac aT2B(H)este compact  si autoadjunct, atunci cel
put in unul din numerele jjTjjsaujjTjjeste valoare proprie.
Demonstrat ie Din Teorema 2.11, exist a un  sir ( xn)Hcujjxnjj= 1;
pentru oricare n, astfel ^ nc^ at 2Rcu<Txn;xni!, unde= +jjTjjsau
=jjTjjAcum,
jjTxnxnjj2=jjTxnjj2+22hTxn;xni
222hTxn;xni!0cu n!1:
Deoarece, T este compact atunci exist a un sub sir T(xnj) al lui (Txn) astfel
^ nc^ atTxnj!y:A sadarTxnjxnj!0 cun!1 .^Inseamn a c a xn!1
y:
Prin urmare y= limTxnj=1
Ty:Ne rezult a c a este valoare proprie.
Corolar 2.2. Dac aT2K(H)autoadjunct, atunci
max
jjxjj=1jhTx;xij=jjTjj:

18
Denit ie 2.10. Un subspat iu ^ nchis M din H se nume ste invariant peste
T2B(H)dac a  si numai dac a T(M)M. Dac a at^ at M c^ at  si M?sunt
invariante peste T, atunci spunem despre M c a reduce subspat iul pentru T.
Remarc a 2.11. 1. Dac a T este un operator autoadjunct, atunci ecare
subspat iu este invariant.
2. Dac a T este un operator compact  si M este un subspat iu ^ nchis din H,
atunci restrict ia operatorului TjMeste compact a.
2.4 Teorema Hilbert-Schmidt
2.4.1 Teorema Hilbert-Schmidt pentru operatori autoadjunct i
Teorem a 2.13 (Teorema Spectral a) .Presupunem T2K(H)operator autoad-
junct. Atunci exist a un sistem de vectori ortonormali '1;'2;'3;:::vectori
proprii pentru T cu valorile proprii corespunz atoare 1;2;3;:::astfel ^ nc^ at
j1jj2jj3j:::;
Tx=1X
k=1khx;'ki'kpentru oricare x 2H:
Dac a (n)este innit, atunci n!0cun!1:
Demonstrat ie Pasul 1: Construirea vectorilor proprii.
Folosim Teorema 2.12 pentru a construii valorile propri  si vectorii propri.
FieH1=H siT1=T. Atunci din Teorema 2.12 exist a o valoare proprie 1
pentruT1 si un vector propriu '1astfel ^ nc^ atjj'1jj sij1j=jjT1jj:Spat iul
spanf'1geste un subspat iu ^ nchis pentru H1, din teorema de proiect ie
H1=spanf'1gspanf'1g?. EvidentH2=spanf'1g?este un subspat iu
^ nchis pentru H1 siT(H2)H2.
FieT2=T1jH2. AtunciT2este un operator compact autoadjunct din B(H2).
Dac aT2= 0 atunci nu avem nimic de demonstrat. Presupunem T26= 0,
din Teorema 2.12 exist a o valoare proprie 2pentruT2cuj2j=jjT2jj si un
vector propriu corespunz ator '2cujj'2jj= 1:DeoareceT2este restrict ia lui
T1,j2j=jjT2jjjjT1jj=j1j:Din construct ie avem '1 si'2ortonormali.
FieH3=spanf'1;'2g?:^In mod evident H3H2. Este u sor s a ar at am

19
c aT(H3)H3. Operatorul T3=TjH3este compact  si autoadjunct. Din
Teorema 2.12 exist a o valoare proprie 3pentruT3 si un vector propriu
corespunz ator '3cujj'3jj= 1:Undej3j=jjT3jj:
Prin urmarej3jj2jj1j:
Proced am ^ n acest mod p^ an a la etapa n, Tn= 0 sau exist a un  sir n
de valori proprii pentru T si un vectror corespunz ator 'ncujj'njj= 1  si
jnj=jjTnjj. A sadarjn+1jjnjpentru ecare n.
Pasul 2: Dac a ( n) este innit, atunci n!0:
Dac an90 atunci exist a >0 astfel ^ nc^ at n. Dac an6=m;
jjT'nT'mjj2=jjn'nm'mjj2=2
m+2
n>:
Asta arat a c a ( T'n) nu este un sub sir convergent, contradict ie cu faptul c a
T este compact. Deci, n!0 c^ andn!1 .
Pasul 3: Reprezentarea lui T.
Cazul 1:Tn= 0 pentru anumit i n.
Fiexn=xnX
k=1hx;'ki'k:Atuncixn?'ipentru 1in. Prin urmare
0 =Tnxn=TxnX
k=1khx;'ki'k:
Aceasta duce la Tx=nX
k=1khx;'ki'k.
Cazul 2:Tn6= 0, pentru o innitate de valori n.
Pentrux2H;din Cazul 1 avem
jjTxnX
k=1khx;'ki'kjj=jjTnxnjj  jjTnjjjjxnjj
=jnjjjxnjjjnjjjxjj
!0:
Prin urmare Tx=1X
k=1khx;'ki'k.

20
Examplu 2.6. DenimD:l2!l2prin
D(x1;x2;:::) = (x1;x2
2;:::);(x1;x2;:::)2l2:
T2K(H) si este autoadjunct. Not am Den=1
nen:Prin urmare1
neste
valoare proprie cu vectorul propriu en. A sadar1
n!0cun!1 . Putem
reprezenta D astfel ^ nc^ at D(x) =1X
n=01
nhx;enien;pentru oricare x= (xn)2l2:
Teorem a 2.14. Presupunem c a '1;'2;::: sir de vectori ortogonali din H  si
(k) sir de numere reale astfel ^ nc^ at (k)converge la 0. Atunci operatorul
denit
Tx=1X
k=1khx;'ki'k
este compact  si autoadjunct.
Demonstrat ie Consider am urm atoarele cazuri.
Cazul 1: (k) este nit.
Consider am Tx=nX
k=1khx;'ki'k:Atunci
jjTxjj2=hTx;Txi
=nX
k=1jkj2jhx;'kij2
max
kjkjjjxjj2:
Aceasta arat a c a T2B(H)  si T este un operator de rang nit. Prin urmare
T este compact.
Cazul 2: (k) este innit  si k!0; k!1:
Din Teorema Spectral a jjTxjj2=X
njnj2jhx;'nij2max
knjkjjjxjj2:

21
A sadarjjTjj<1. DenimTnx=nX
k=1khx;'ki'k. Atunci
jjTTnjj2= sup
jjxjj=1jjX
k=n+1khx;'ki'kjj2
sup
k>njkj2!0n!1:
Pentru ecare Tnde rang nit  si prin urmare compact, deci T este compact.
Este u sor s a veric am c a T=T:
2.4.2 Teorema Spectral a: a doua form a
Denit ie 2.11. Sistemul ortonormal '1;'2;:::de vectori proprii pentru
T2B(H)cu valorile proprii corespunz atoare diferite de zero 1;2;:::se
nume ste sistemul de baz a al valorilor  si vectorilor proprii pentru T dac a
Tx=X
kkhx;'ki'k:
Teorema Spectral a asigur a existent a sistemului de baz a al valorilor  si
vectorilor proprii pentru operatorii compact i  si autoadjunct i.
Teorem a 2.15. Fie T un operator compact  si autoadjunct  si jmult imea
tuturor valorilor proprii diferite de zero pentru T  si e Pjproiect ia ortonor-
mal a peN(TjI). Atunci
1.PjPk= 0; j6=k
2.T=X
jjPj;unde convergent a seriei este ^ n raport cu norma de B(H)
3. Pentru ecare x2H;
x=P0x+X
jPjx;
undeP0este proiect ia ortonormal a pe N(T):

22
Demonstrat ie Fief'ng;fngsistemul de baz a al valorilor  si vectorilor
proprii pentru T. Pentru ecare k, o submult ime pentru f'ngeste o baz a
ortonormal a pentru N(TkI) deci,'ni1ip:
AtunciPkx=pX
i=1hx;'nii'ni;deoarece ecare nestekrezult a
x=P0x+X
Pkx; Tx =X
kkPkx:
^In plusPjPk= 0;j6=k;deoareceN(TjI)?N(TkI):Dac a (n) este
un  sir innit, atunci
jjTnX
k=1kPkjj2= sup
jjxjj=1jjTxnX
k=1kPkxjj2
sup
jjxjj=1X
jn2
jjhx;'jij2
sup
j>njjj2!0cun!1:
2.4.3 Teorema Hilbert-Schmidt pentru operatori inte-
grali
Propozit ie 2.2. FieL:H!Hoperator liniar  si m arginit pe spat iul Hilbert
H. Atunci:
1. L este compact dac a imaginea sa este nit dimensional a;
2. L este compact dac a L este limita ^ n raport cu norma operatorului a
unui  sir de operatori compact i;
3. L este compact implic a faptul c a exist a  sirul de operatori liniari  si
m arginit iLn:H!Hastfel ^ nc^ at L= limLn^ n norma operatoru-
lui  si imaginea ec arui Lneste nit dimensional a;
4. L este compact implic a Leste compact.

23
Teorema abstract a lucreaz a cu operatori integrali din L2;pe spat iul (X;)
de m asur a nit a. Operatorul integral este de forma:
Tf(x) =Z
XK(x;y)f(y)d(y);
undeK(x;y) este m asurabil a pe XX. Funct ia K se nume ste nucleul
operatorului. Dac a f este din L2(X;);atunci din inegalitatea lui Schwarz
obt inemjTf(x)jjjK(x;
)jj2jjfjj2pentru oricare x din X. O s a avem c a
jjTfjj2R
XXjKj2d()
1=2jjfjj2. Cum T este un operator liniar din
L2(X;);norma satisface
jjTjjZ
XZ
XjK(x;y)j2d(x)d(y)
1=2=jjKjj2:
^In particular T este m arginit dac a K este integral p atratic a pe XX.^In
acest caz adjunctul lui T este dat de:
Tg(x) =Z
XK(y;x)g(y)d(y);
deoarece (Tf;g ) =R
XR
XK(x;y)f(y)g(x)d(y)d(x)  si din forma lui T
avem
(f;Tg) =Z
Xf(x)Z
XK(x;y)g(y)d(y)

d(x)
=Z
XZ
Xf(x)K(y;x)g(y)d(y)d(x):
Teorem a 2.16 (Teorema Hilbert-Schmidt, forma abstract a) .Fie(X;)un
spat iu de m asur a nit a,  si e K(
;
)funct ie cu valori complexe din L2pe
XXastfel ^ nc^ at K(x;y) =K(y;x)pentru oricare x  si y din X. Atunci
operatorul liniar T denit prin
(Tf)(x) =Z
XK(x;y)f(y)d(y)
este un operator compact autoadjunct pe spat iul Hilbert L2(X;)cu
jjTjjjjKjj2:Prin urmare dac a pentru ecare complex 6= 0, subspat iul
vectorialVdinL2(X;)este denit prin
V=ff2L2(X;)jTf=fg;

24
atunci ecare Veste nit dimensional, spat iul Veste diferit de zero doar
pentru mai muli  , spat iileVsunt reciproc ortogonale ^ n raport cu produsul
scalar dinL2(X;),cuV6= 0 este real  si pentru orice  >0exist a mai
mult icuV6= 0  sijj . Cea mai mare valoare pentru jj;pentru
careV6= 0 estejjTjj.^In plus, subspat iul vectorial al lui L2este ortogonal
pentru tot i V;care reprezint a nucleul lui T, astfel ^ nc^ at dac a v1;v2;:::este
o enumerare de reuniuni de baze ortonormale pentru spat iul Vcu6= 0,
atunci pentru oricare f din L2, avem c a:
Tf=1X
n=1(Tf;vn)vn;
seria de mai sus ind convergent a ^ n L2(X;):
Demonstrat ie Teorema Spectral a pentru operatori compact i  si autoadjunct i
arat a c a este sucient s a ar at am c a operatorul autoadjunct m arginit  si liniar
T este compact. Alegem un  sir de funct ii simple Knintegrabile pe XX
astfel ^ nc^ at lim njjKKnjj2= 0  si denim ( Tf)(x) =R
XK(x;y)f(y)d(y).
Operatorul liniar Tneste m arginit cujjTnjjjjKnjj2, imaginea sa nit di-
mensional a este simpl a. Din propozit ia 2.2 Tneste compact. Cum
jjTTnjjjjKKnjj2
 si partea din dreapta tinde la 0, T este limita lui Tn^ n norma operatorului
 si din propozit ia 2.2 este compact.
Teorem a 2.17 (Teorema Hilbert-Schmidt, forma concret a ) .Fie X un spat iu
metric compact, e m asur a Borel pe X care asigur a m asur a pozitiv a ec arei
mult imi deschise nevide,  si e K(
;
)funct ie de valori complexe continue pe
XXastfel ^ nc^ at K(x;y) =K(y;x)pentru oricare x  si y din X. Atunci
operatorul liniar T denit prin
Tf(x) =Z
XK(x;y)f(y)d(y);
este un operator compact autoadjunct pe spat iul Hilbert L2(X;)cu
jjTjjjjKjj2; si imaginea sa este ^ n C(X). Prin urmare subspat iul vectorial

25
VdinL2(X;)este denit pentru orice complex 6= 0 prin
V=ff2L2(X;)jTf=fg
const a ^ n funct ii continue, ecare Veste nit dimensional, spact iul Veste
diferit de zero doar pentru mai mult i , spat iileVsunt reciproc ortogonale
cu privire la produsul scalar din L2(X;),cuV6= 0 este real  si pentru
orice >0exist a mai mult i cuV6= 0  sijj. Cea mai mare valoare
pentrujjpentru care V6= 0 estejjTjj. Dac av1;v2;:::este o enumerare
de reuniuni de baze ortonormale pentru spat iul Vcu6= 0, atunci pentru
oricare f dinL2,
Tf(x) =1X
n=1(Tf;vn)vn(x);
unde seria de mai sus este absolut uniform convergent a pentru x din X.
Remarc a 2.12. Ipoteza c aasigur a m asur a pozitiv a ec arei mult imi des-
chise nevide este folosit a numai pentru a identica1X
n=1(Tf;vn)vn(x)cuTf(x);
pentru ecare punct. F ar a aceast a ipotez a particular a asupra lui , seria
r am^ ane absolut uniform convergent a dar suma este egal a cu Tf(x)aproape
peste tot ^ n ceea ce ^ l priveste pe .
Demonstrat ie Avem >0 alegem >0 din uniform continuitatea lui
K astfel ^ nc^ atjK(x;y)K(x0;y0)joric^ and distant ele ( x;y)  si (x0;y0)
sunt mai mic a sau egale cu . Dac a f este dinL2(X;)  si punctele x six0au
distant aatunci (x;y)  si (x0;y0) au distant a si avem
jTf(x)Tf(x0)j Z
XjK(x;y)K(x0;y)jjf(y)jd(y)
Z
Xjf(y)jd(y)jjfjj2((X))1=2;
ultimul pas rezult a din inegalitatea Schwarz. Acest lucru demonstreaz a c a
Tfeste continuu pentru ecare f ^ n L2(X;):^In particular dac a Tf=fcu
6= 0, atunci f=T(1f) prezint a f ca imaginea lui T  si deci este continu a.
Restul rezult a din Teorema 2.16, except ie absolut uniform convergent a lui
Tf(x) ^ n ultima parte a teoremei.

26
Pentru absolut uniform convergent a, e (
;
) care ^ nseamn a produsul sca-
lar dinL2(X;):^Incepem prin a considera funct ia K(x;
) pentru x xat.
Aceasta satisface:
(K(x;
);vn) =Z
XK(x;y)vn(y)d(y) =(Tvn)(x) =nvn(x)
dac avneste ^ nVn,  si din inegalitatea Bessel avem:
NX
n=1jnj2jvn(x)j2Z
XjK(x;y)j2d(y)jjKjj2
sup(X) ()
pentru orice N  si x. Cum vnformeaz a baz a ortonormal a pentru V?
0;
lim
N!1jjTgNX
n=1(Tg;vn)vnjj2= 0; ()
pentru orice g ^ nL2(X;):P^ an a acum avem:
(Tg;vn)vn(x) = (g;Tvn)vn(x) =n(g;vn)vn(x):
Aplic am inegalitatea Schwarz ^ n ( )  si obt inem:
NX
n=Mj(Tg;vn)vn(x)j=NX
n=Mjn(g;vn)vn(x)j
NX
n=Mjnj2jvn(x)j21=2NX
n=Mj(g;vn)j21=2
 jjKjjsup(X)1=2NX
n=Mj(g;vn)j21=2
:
Inegalitatea Bessel demonstreaz a c a seria1X
n=1j(g;vn)j2este convergent a  si are
suma mai mic a sau egal a cu jjgjj2
2. A sadarNX
n=Mj(g;vn)j2tinde la 0 c^ and M  si
N tind la innit. Prin urmare seria1X
n=1j(Tg;vn)vn(x)jeste uniform Cauchy,

27
de unde rezult a c a seria1X
n=1(Tg;vn)vn(x) este absolut uniform convergent a
pentru x din X. Cum limita unei funct ii continue este continu a, suma trebuie
s a e o funct ie continu a. Deoarece ( ) arat a c aNX
n=1(Tg;vn)vnconverge la
Tg^ nL2(X;);atunci sub sirul luiNX
n=1(Tg;vn)vn(x) converge aproape peste
tot laTg(x):A sadar Tg este continu a c^ and1X
n=1(Tg;vn)vn(x)6=Tg(x) este
o mult ime deschis a. Din faptul c a aceast a mult ime are m asur a 0  si av^ and
^ n vedere ipoteza pentru , rezult a c a mult imea este nevid a. ^In acest fel
NX
n=1(Tg;vn)vn(x) converge absolut uniform la Tg(x).

Capitolul 3
Alte tipuri de operatori
Pe parcursul acestui capitol am preluat idei, not iuni din c art ile [1, 3, 5, 6, 7, 8].
3.1 Operatori unitari
^InCNo matrice unitar a corespunde transform arii liniare de baz a U adic a
U=U1:
Propozit ie 3.1. Dac a V este un spat iu Hilbert real  si complex, urm atoarele
condit ii pentru operatorul liniar U:V!Vsunt echivalente:
1.U=U=UU= 1
2. U este surjectiv pe V  si (Uv;Uv0) = (v;v0), pentru oricare v  si v' din
V.
3. U este surjectiv pe V  si jjUvjj=jjvjjpentru oricare v in V.
Operatorii unitari duc o baz a ortonormal a ^ n baz a ortonormal a. Invers dac a
fuig;fvigsunt baze ortonormale, atunci exist a un unic operator m arginit  si
liniar astfel ^ nc^ at Uui=vipentru oricare i  si U unitar.
Demonstrat ie Dac a are loc condit ia 1, atunci UU= 1 demonstreaz a c a
U este surjectiv pe V  si UU= 1 arat a c a ( Uv;Uv0) = (UUv;v0) = (v;v0):
Astfel are loc condit ia 2. Invers, dac a are loc condit ia 2, din
(UUv;v0) = (Uv;Uv0) = (v;v0) pentru oricare v  si v' observ am c a UU= 1.
28

29
A sadar primele dou a condit ii sunt echivalente. Ultimele dou a condit ii sunt
echivalente din polarizare.
Dac afuigeste baz a ortonormal a  si U este operato unitar, atunci
(Uui;Uuj) = (ui;uj) =ij, din condit ia 2, prin urmare fUuigeste o familie
ortonormal a. Dac a ( v;Uui) = 0 pentru oricare i, atunci ( Uv;ui) = 0;oricare
i,Uv= 0  siv=U(Uv) =U0 = 0. DecifUuigeste baz a ortonormal a.
Dac afuig;fvigbaze ortonormale, denim U ca o combinat ie liniar a de
uiprin
U(X
iciui) =X
icivi:
Deci,
jjU(X
iciui)jj2=jjX
icivijj2=X
ijcij2=jjX
iciuijj2:
Prin urmare U se extinde la un operator m arginit  si liniar pe V, ^ n mod
necesar p astr^ and normele. U trebuie s a e surjectiv pe V deoarece p astreaz a
normele  si imaginea cont ine mult imea dens a  si nit a de combinat ii liniareX
iciui:Astfel are loc condit ia 3  si U este operator unitar.
3.2 Operatori urm a
Spunem despre K2K(H) c a este un operator urm a dac a:
tr(p
KK) :=NX
n=1n<1;
^ n acest caz denim
tr(K) =NX
n=1n( n;'n):
Dac afemg1
m=1este baz a ortonormal a ^ n H ( sau pentru Ran(K) dac a H nu
este separabil) atunci
MX
m=1(Kem;em) =MX
m=1(NX
n=1n(em;'n) n;em) =NX
n=1nMX
m=1(em;'n)( n;em)
=NX
n=1n(PM n;'n);

30
undePMeste proiect ie ortogonal a pe Span (e1;:::;eM). Prin urmare din teo-
rema convergent ei dominante, avem:
1X
m=1(Kem;em) = lim
M!1NX
n=1n(PM n;'n) =NX
n=1nlim
M!1(PM n;'n)
=NX
n=1n( n;'n) =tr(K):
3.3 Operatori Fredholm
Pe parcursul acestei sect iuni am folosit ca material bibliograc cartea [1].
Lem a 3.1. FieMHsubspat iu ^ nchis  si VHsubspat iu nit dimensio-
nal. Atunci M+Veste ^ nchis. ^In particular dac a
codim (M)dim(H=M )<1 siWHeste un subspat iu astfel ^ nc^ at
MWatunci W este ^ nchis  si codim (W)<1:
Demonstrat ie FieP:H!Mproiect ie ortogonal a  si e V0:= (IP)V:
Cumdim(V0)dim(V)<1;V0este ^ nchis.
Este u sor de v azut c a M+V=MV0ne rezult a c a M+Veste ^ nchis
deoarecefzn=mn+vngM V0este convergent dac a  si numai dac a
fmngM sifvngV0sunt convergente.
Dac acodim (M)<1 siMW, exist a un subspat iu nit dimensional
VHastfel ^ nc^ at W=M+V;prin ceea ce tocmai am demonstrat, W este
 si ^ nchis. Este evident c a codim (W)codim (M)<1.
Lem a 3.2. Dac aK:H!Beste un operator de rang nit, atunci exist a
f'ngk
n=1H sif ngk
n=1Bastfel ^ nc^ at:
1.Kx=kX
n=1(x;'n) npentru oricare x2H;
2.Ky=kX
n=1(y; n)'npentru oricare y2B, ^ n particular Keste de
asemenea de rang nit; Pentru urm atoarele dou a armat ii presupunem
B=H:

31
3.dimNul (I+K)<1;
4.dim(Coker (I+K))<1;Ran (I+K)este ^ nchis  si
Ran(I+K) =Nul(I+K)?:
Demonstrat ie
1.Alegemf ngk
n=1baz a ortonormal a pentru Ran(K):Atunci pentru x2H;
Kx=kX
n=1(Kx; n) n=kX
n=1(x;K n) n=kX
n=1(x;'n) n;
unde'n=K n:
2. Este evident.
3. CumNul(I+K) =fx2Hjx=KxgRan(K) este nit dimensional.
4. Deoarece x= (I+K)x2Ran(I+K) pentrux2Nul(K);
Nul(K)Ran(I+K). Cumf'1;'2;:::;'kg?Nul(K); H=Nul(K) +
span (f'1;'2;:::;'kg)  sicodim (Nul(K))<1.
Din cele de mai sus  si din Lema 3.1 Ran(I+K) este ^ nchis  si
codim (Ran(I+K))codim (Nul(K))<1:
Denit ie 3.1. Un operator m arginit F:H!Beste Fredholm dac a  si
numai dac a dimNul (F)<1;dimcoker (F)<1 siRan(F)este ^ nchis ^ n
B. Avem:
index (F) =dimNul (F)dim(coker (F)) (3.1)
=dimNul (F)dimNul (F) (3.2)
Remarc a 3.1. Ecuat iile (3.1)  si (3.2) sunt echivalente deoarece dac a folosim
c aRan(F)este ^ nchis atunci
B=Ran(F)Ran(F)?=Ran(F)Nul(F)
astfel ^ nc^ at coker (F) =B=Ran (F)=Nul(F).

32
Lem a 3.3. Cerint a caRan(F)este ^ nchis a ^ n denit ia de mai sus este auto-
mat vericat a.
Demonstrat ie Restrict ion^ and pe F la Nul(F)?;putem presupune f ar a a
pierde generalitatea c a Nul(F) =f0g:
Presupun^ and dim(coker (F))<1;atunci exist a un subspat iu nit dimen-
sionalVBastfel ^ nc^ at B=Ran(F)V:Cum V este nit dimensional
atunci V este ^ nchis  si prin urmare B=V V?:Fie:B!V?proiect ia
ortogonal a a operatorului pe V? si eGF:H!V?care este con-
tinuu pentru c a G este un izomorsm liniar ceea ce se poate verica u sor,
teorema aplicat iei deschise ne spune c a operatorul invers G1:V?!Heste
m arginit.
S a presupunem c a hn2Heste un  sir astfel ^ nc^ at lim
n!1F(hn) =:bexist a ^ n B.
Compunem ultima ecuat ie cu  si g asim c a lim
n!1G(hn) =(b) exist a ^ nV?:
FolosindG1ar at am c ah:= lim
n!1hn=G1(b) exist a ^ n H. Prin urmare,
F(hn)!F(h)2Ran(F);care arat a c a Ran(F) este ^ nchis.
Exemplu. Presupunem c a H  si B sunt spat ii Hilbert nit dimensionale
F:H!Boperator Fredholm. Atunci
index (F) =dim(B)dim(H):
Egalitatea de mai sus poate  vericat a utiliz^ and teorema de rang,
dim(H) =dimNul (F) +dimRan (F);
 si avem
dim(B=Ran (F)) =dim(B)dimRan (F):
Teorem a 3.1. Un operator m arginit F:H!Beste Fredholm dac a  si
numai dac a exist a un operator m arginit A:H!Bastfel ^ nc^ at AFI si
FAIsunt compact i.
Demonstrat ie ()) Presupunem F este Fredholm, atunci
F:Nul(F)?!Ran(F) este o aplicat ie liniar a m arginit a. Fie ~Finversa
acestei aplicat ii care este m arginit a conform teoremei aplicat iei deschise. Fie
P:H!Ran(F) proiect ia ortogonal a  si mult imea A~FP:

33
Am obt inut AFI=~FPFI=~FFI=Qunde Q este proiect ia
ortogonal a pe Nul(F):Similar,FAI=F~FPI=(IP):Deoarece
IP si Q sunt proiect ii de rang nit prin urmare compact i, ambii AFI
 siFAIsunt compact i.
(()Prima dat a ar at am c a operatorul A:B!Hpoate  modicat astfel
^ nc^ atAFI siFAIsunt operatori de rang nit. Fie GAFIG
este compact  si alegem o aproximat ie de rang nit G1pentru G astfel ^ nc^ at
G=G1+undejjjj<1:DenimAL:B!Hoperator,AL(I+)1A.
DeoareceAF= (I+) +G1;
ALF= (I+)1AF=I+ (I+)1G1=I+KL
undeKLeste un operator de rang nit. Similar exist a un operator m arginit
AR:B!H si un operator de rang nit KRastfel ^ nc^ at FAR=I+KR.
Not am c aALFAR=AR+KLARpe de alt a parte ALFAR=AL+ALKR:
Prin urmare ALAR=ALKRKLAR=:Seste un operator de rang nit.
A sadarFAL=F(AR+S) =I+KR+FSastfel ^ nc^ at FALI=KRFS
este de asemenea operator de rang nit. Astfel am ar atat c a exist a operator
m arginit ~A:B!Hastfel ^ nc^ at ~AFI siF~AIsunt operatori de rang
nit.
Presupunem c a A este ales astfel ^ nc^ at AFI=G1;FAI=G2sunt de
rang nit. ^In mod evident Nul(F)Nul(AF) =Nul(I+G1)  si
Ran(F)Ran(FA) =Ran(I+G2):Teorema rezult a acum din Lema (3.1)
 si Lema (3.2).
Corolar 3.1. Dac aF:H!Beste operator Fredholm atunci Feste
Fredholm  si
index (F) =index (F):
Demonstrat ie AlegemA:B!Hasfel ^ ncat AFI siFAIsunt
compact i. Atunci FAI siAFIsunt compact i ceea ce implic a faptul
c aFeste Fredholm. Armat ia index (F) =index (F) reiese imediat din
denit ia (3.1).

34
Lem a 3.4. Un operator m arginit F:H!Beste Fredholm dac a  si numai
dac a exist a descompuneri ortogonale H=H1H2 siB=B1B2astfel
^ nc^ at:
1.H1 siB1subspat ii ^ nchise;
2.H2 siB2subspat ii nit dimensionale;
3. F este de forma diagonal a pe blocuri
F=
F11F12
F21F22
:H1B1
 ! 
H2B2; (3.3)
F11:H1!B1este un operator m arginit inversabil.
Mai departe avem descompunerea, index (F) =dim(H2)dim(B2):
Demonstrat ie Dac a F este Fredholm, H1=Nul(F)?,H2=Nul(F)
B1=Ran(F)  siB2=Ran(F)?:AtunciF=
F110
0 0
unde
F11FjH1:H1!B1este inversabil. Invers presupunem despre F c a este
denit ^ n relat ia (3.3). Fie A
F1
110
0 0
atunci
AF=
I F1
11F12
0 0
=
I0
0I
+
0F1
11F12
0I
astfel ^ nc^ at AFIeste de rang nit. Similar se demonstreaz a c a FAI
este de rang nit ceea ce arat a c a F este Fredholm.
Calcul am indexul lui F, not am
x1
x2
2Nul(F) dac a  si numai dac a
F11x1+F12x2= 0
F21x1+F22x2= 0
care se ^ nt^ ampl a dac a  si numai dac a x1=F1
11F12x2 si (F1
21F12+F22)x2=
0:FieD(F22F21F1
11F12) :H2!B2, atunci aplicat ia
x22Nul(D)!
F1
11F12x2
x2
2Nul(F)

35
este izomorsm liniar pentru spat iu vectorial astfel ^ nc^ at Nul(F)=Nul(D):
Deoarece,
F=
F
11F
21
F
12F
22
:B1H1
! 
B2H2;
similar obt inem Nul(F)=Nul(D):Asta arat a c a index (F) =index (D):
Din exemplul 3.3 avem c a index (D) =dimH 2dimB 2
Propozit ie 3.2. Fie F un operator Fredholm  si K un operator compact din
H!B. Mai mult presupunem T:B!X(unde X este spat iu Hilbert) este
deasemenea Fredholm. Atunci
1. operatorii Fredholm formeaz a pe mult imi deschise operatori m arginit i.
Mai mult dac a ":H!Beste operator m arginit cu jj"jjsucient de
mic avemindex (F) =index (F+");
2.F+Keste Fredholm  si index (F) =index (F+K);
3. TF este Fredholm  si index (TF) =index (T) +index (F):
Demonstrat ie
1. S tim c a F poate  scris sub form a de bloc cu ajutorul ecut iei (3.3) unde
F11:H1!B1operator inversabil m arginit. Descompunem pe "astfel
"=
"11"11
"21"22
:
Alegemk"ksucient de mic astfel ^ nc^ at k"11keste sucient de mic
pentru a garanta c a F11+"11este de asemenea inversabil. (Mult imea
operatoriilor inversabili este deschis a.) A sadar F+"=
F11+"11
 
are forma bloc a unui operator Fredholm  si indexul poate  calcult
astfel:
index (F+") =dim(H2)dim(B2) =index (F):

36
2. DatK:H!Bcompact este u sor de demonstrat c a F+Keste
Fredholm. ^Intr-adev ar dac a A:B!Heste un operator m arginit
astfel ^ nc^ at G1AFI siG2FAIsunt compact i, atunci
A(F+K)I=G1+AK si (F+K)AI=G2+KAsunt compact i.
Prin urmare F+Keste Fredholm din Teorema (3.1). Din ce avem mai
sus, funct ia f(t)index (F+tK) este continu a  si local constant a. ^In
particular, index (F+K) =f(1) =f(0) =index (F):
3. Folosind teorema (3.1) este u sor de ar atat c a produsul a doi operatori
Fredholm este un operator Fredholm. Ne r am^ ane de demonstrat for-
mula pentru index.
FieH1Nul(F)?;H 2Nul(F);B1Ran(T) =T(H1),  si
B2Ran(T)?=Nul(T):Atunci F se descompune ^ ntr-un bloc de
forma:
F=~F0
0 0
:H1B1
 ! 
H2B2;
unde ~F=FjH1:H1!B1un operator inversabil. Fie Y1T(B1)  si
Y2Y?
1=T(B1)?:Not am c aY1=T(B1) =TQ(B1) unde
Q:B!B1Bproiect ie ortogonal a pe B1:CumB1este ^ nchis  si B2
este nit dimensional, Q este Fredholm. Prin urmare TQ este Fredholm
 siY1=TQ(B1) este ^ nchis ^ n Y si are codimensiune nit a. Utiliz^ and
descompunerea de mai sus il scriem pe T astfel:
T=
T11T12
T21T22B1Y1
 ! 
B2Y2:
CumR=
0T12
T21T22
:B!Yeste un operator de rang nit deci
RF:H!Yeste de rang nit, index (TR) =index (T)  si
index (TFRF) =index (TF). F ar a a pierde generalitatea putem
presupuneT=~T0
0 0
;(~T=T11) deci,
TF=~T~F0
0 0
:H1Y1
 ! 
H2Y2:

37
Acum putem calcula index (T):Not amNul(T) =Nul(~T)B2 si
Ran(T) =~T(B1) =Y1:A sadar,
index (T) =index (~T) +dim(B2)dim(Y2):
Similar,
index (TF) =index (~T~F) +dim(H2)dim(Y2);
dup a cum am v azut deja
index (F) =dim(H2)dim(B2):
De aceea,
index (TF)index (T)index (F) =index (~T~F)index (~T):
Cum ~Feste inversabil, Ran(~T) =Ran(~T~F)  siNul(~T)=Nul(~T~F):
Deciindex (~T~F)index (~T) = 0  si teorema este demonstrat a.
Propozit ie 3.3 (R ad acina p atrat a) .Presupunem c a An siAoperatori pozi-
tivi pe H  sijjAAnjjB(H)!0cun!1;atuncipAn!p
AdinB(H);de
asemenea. Mai mult, An siAoperatori generali m arginit i pe H  si An!A
^ n raport cu norma operatorial a atunci jAnj!jAj:
Demonstrat ie F ar a a pierde generalitatea, presupunem c a jjAnjj  1
pentru ecare n. Ce implic a jjAjj1:Atunci
p
Ap
An=1X
i=1cif(AnI)i(AI)ig
prin urmare
jjp
Ap
Anjj1X
i=1cijj(AnI)i(AI)ijj: (3.4)

38
Pentru moment, facem presupunerea suplimentar a AnI, unde2(0;1).
Atunci 0IAn(1)I^ n particularjjIAnjjB(H)(1):
Presupunem c a Q,R,S,T sunt operatori pe H, atunci
QRST= (QS)R+S(RT);
deci
jjQRSTjjjjQSjjjjRjj+jjSjjjjRTjj:
StabilimQ=AnI; R = (AnI)i1; S= (AI)  siT= (AI)i1din
ultima inegalitate obt inem:
jj(AnI)i(AI)ijj
jjAnAjjjj(AnI)i1jj+jj(AI)jjjj(AnI)i1(AI)i1jj
jjAnAjj(1)i1+ (1)jj(AnI)i1(AI)i1jj:
Prin induct ie avem
jj(AnI)i(AI)ijji(1e)i1jjAnAjj:
Introducerea acestei estim ari ^ n (3.4) se arat a c a
kp
Ap
Ank 1X
i=1cii(1)i1jjAnAjj=1
21p
1(1)jjAAnjj
=1
21pjjAAnjj! 0
Prin urmare am ar atat c a dac a AnIpentru oricare n  si An!AatuncipAn!p
A.
Pentru cazul general unde An0, g asim pentru oricare >0
lim
n!1p
An+=p
A+: (3.5)
Din teorema spectral a:
jjp
A+p
Ajj max
x2(A)jp
x+pxj
max
0xjjAjjjp
x+pxj!0 c^ and!0
Deoarece estim arile de mai sus sunt uniforme ^ n A0 astfel ^ nc^ atjjAjjeste
m arginit, este u sor de demonstrat relat ia (3.5) care are loc pentru = 0:

Bibliograe
[1] W. Arveson and R. Kadison, Diagonals of self-adjoint operators . In vol.
Operator theory, operator algebras and applications , Contemp. Math.
414 (D. Han, P. Jorgensen and D. Larson, eds.), pp. 247-263. Amer.
Math. Soc. Publ. Providence, R. I., 2006
[2] J. B. Conway, A course in functional analysis , 2nd Ed., Springer-
Verlag, Berlin, 1997.
[3] Chapter in Compact Self-Adjoint Operators. In: Advanced Real Analy-
sis. Cornerstones. Birkh?user Boston, (2005) DOI: https://doi.org/
10.1007/0-8176-4442-3_2 .
[4] H. H. Schaefer, Banach lattices and positiveoperators , Springer, Berlin,
1974.
[5] C. P. Niculescu, Lecture Notes in Functional Analysis, Lahore, 2006.
[6] W. Rudin, Analyse fonctionelle, Ed. Ediscience International, 1995.
[7] K. Yosida, Functional Analysis, 5th ed., Springer-Verlag, Berlin, 1995.
[8] M. Willem, Analyse fonctionnelle ?l?mentaire, Ed. Cassini, Paris, 2003.
39