2. REDUCEREA S ISTEM ELOR DE FOR ȚE APLICATE RIGI DULUI 2.1. MOMENTUL UNEI FOR ȚE ÎN RAPORT CU UN PUNCT Mom entul unei for țe în raport cu un punct… [622103]

STATICA

2. REDUCEREA S ISTEM ELOR DE FOR ȚE APLICATE RIGI DULUI

2.1. MOMENTUL UNEI FOR ȚE ÎN RAPORT CU UN PUNCT

Mom entul unei for țe în raport cu un punct exprim ă capacitatea for ței de a
roti corpul asupra c ăruia acționează în jurul unei axe care trece prin acest punct
și este p erpendicular ă pe planul determ inat de suportul for ței și punctul respectiv
(fig.2.1.a).
Mom entul unei for țe F în raport cu un punct O este produsul vectorial
dintre vectorul de pozi ție r, al p unctului de aplica ție A, al forței și forța F.
Fr)F(M0×= (2.1)
Conform proprietăților produsului vectorial, m omentul )F(M0 este un
vector aplicat în punctul O,
perpendicular pe planul
definit de vectorii r și F
(fig.2.1.b), al cărui sens este
dat de regula șurubului drept
(sensul de înaintare al
șurubului a șezat în punctul O
pe suportul m omentului 0M,
acționat de o cheie cu for ța
F având ca bra ț, vectorul de
poziție r), iar m odulul dat
de relația:

Fig. 2.1
)F,rsin(Fr)F(M0= (2.2)
sau punând în evide nță distanța b, de la punctul O, la suportul for ței F, num it
brațul forței:
FbbF)F(M0 == (2.3)
Propriet ăți:
1. Mom entul unei for țe în raport cu un punct es te nul când suportul forței
trece prin acel punct.
9

2. Mom entul unei for țe în raport cu un punct nu se m odifică dacă forța se
deplaseaz ă pe propri ul suport.
Considerând for ța F în două poziții, A și B (fig.2.2.a) și notând cu r,
respectiv r′, vectorii de pozi ție ai punctelor A și B, momentul în raport cu
punctul O al forței F în cele dou ă situații devine:
FrF)ABr(Fr)F(MFr)F(M
B 0A 0
×=×+=×′=×=

întrucât 0F AB=× ,
vectorii AB și F
fiind coliniari.
3. Mom entul unei
forțe în raport cu un
punct este un vecto r
legat , motiv pent ru
care se modific ă la
schim barea polului.
Fie O și O’,
punctele în raport cu care
se calculeaz ă momentul for ței F.

Fig. 2.2
F OO)F(MF OOFrF)rOO(Fr)F(M0 '0 ×′− =×′+×=×+′=×′= (2.4)
Întrucât punctul O reprezint ă originea sist emului, pozi ția tuturor celorlalte
puncte se raporteaz ă la acest pol, m otiv pentru care vectorul OO OO ′−=′ .
Relația (2.4) exprim ă legea de varia ție a momentului la schimbare polului .
Expresia analitică. Având expresiile analitice ale vectorului de pozi ție
rși ale forțeiF:
kFjFiFF;kzjyixrz y x++= ++= (2.5)
rezultă expresia analitic ă a momentului for ței F în raport cu punctul O.

z y x0
F F Fz y xkj i
Fr)F(M =×= (2.6)
Proiecțiile m omentului 0M pe axele sistemului triort ogonal Oxyz (care
reprezintă momentul for ței F în raport cu axele: Ox, Oy, Oz) sunt:
(2.7)
⎪⎩⎪⎨⎧
−=−=−=
x y zz x yy z x
yF xF MxF zF MzF yF M

10

Aplicații. 1. Asupra unui rigid ac ționează o forță P, orientată după muchia FG a
cubului din figura 1.3. Muchia cubului având lungim ea a să se determine momentele acestei
forțe în rapo rt cu toate v ârfurile cub ului și să se reprezinte vectorii m oment.
Rezolvare . Se vor calcula m ărimile vectorilor mom ent ca produs dintre for ță și brațul
forței (m etoda brațului), direc țiile și sensurile fiind indicate în figura 2.3.

aP2 P= OGP OF MO ⋅=×=
aP2 P= AF P AF MA ⋅=×=
aPP= BF P BF MB ⋅=×=
aPP= CGP CF MC ⋅=×=
aPP=⋅DG P DF MD =×=
aPP= EF P EF ME ⋅=×=

Fig. 2.3
0 M MG F==
Confor m propriet ății 1, momentul forței P în raport cu punctele F și G este nul,
întru cât sup ortul acesteia trece prin aceste puncte.
Pentru verificarea calcu lului m omentelor se u tilizează metoda analitic ă:
aP2 )aP()aP( MkaPjaP
00Paa akj i
P OF M
2 2
00
=+−=+−=
−=×=

aP2 )aP()aP( MkaPjaP
00Paa 0kj i
P AF M
2 2
AA
=+−=+−=
−=×=

aP MjaP
00Pa0 0kj i
P BF M
BB
=−=
−=×=

aP MkaP
00P0a akj i
P DF M
DD
==
−=×=

aP MkaP
00P0a 0kj i
P EF M
EE
==
−=×=

2. O forță F de mărime kN9 F= acționează pe dreapta definit ă de segmentul AB și
este or ientată de la A către B (fig.2.4). S ă se calcu leze m omentele forței F în rap ort cu
punctele O, C și D, dacă punctele respective au urm ătoarele coordonate exprim ate în m etri:
A(7,4,2) ; B(0,0,6) ; C(1, 2,0); D(0,4, 8).
11

Rezolvare. Pentru rezo lvarea problem ei este
utiliza tă metoda analitic ă. Forța F fiind un vector
alunecător, punctul de aplica ție al ac esteia, situat pe
segm entul AB se ia A. Cum expresiile m omentului
forței F în raport cu cele trei puncte sunt:

Fig. 2.4 ⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
×=×=×=
F DA)F(MF CA)F(MF OA)F(M
DC0
×=×=×=
FrFrFr
DC0

vectorii DA,CA,OA și F se vor exprim a prin
proiecții pe axe.
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
−=−+−+−==++=−+−+−==++=++==
k6i7k)z z(j)y y(i)x x( r DAk2j2i6k)z z(j)y y(i)x x( r CAk2j4i7kzjyix r OA
D A D A D A DC A C A C A CA A A 0

Versorul forței F este versorul segm entului AB, ABu și are exp resia:
)k4j4i7(91
4 4 7k4j4i7
)z z()y y()x x(k)z z(j)y y(i)x x(
ABABu
2 2 2 2
A B2
A B2
A BA B A B A B
AB +−−=
+++−−=
−+−+−−+−+−==
For ța F poate fi scris ă sub for ma:
)kN(k4j4i7 )k4j4i7(919 uF FAB +−−=+−−⋅=⋅=
Vectorii moment și mărimile acestora devin:
mkN4,48 42 24 )F(M;j42i24
44 72 4 7kj i
Fr)F(M2 2
0 0 0 ⋅=+= −=
−−=×=
mkN4,42 10 38 16 )F(M;k10j38i16
44 722 6kj i
Fr)F(M2 2 2
C C C ⋅=++= −−=
−−=×=
mkN4,39 28 14 24 )F(M;k28j14i24
44 76 0 7k j i
Fr)F(M2 2 2
C D D ⋅=++= −+−=
−−− =×=

2.2. CUPLUL DE FOR ȚE
Cuplul de for țe reprezint ă un sistem de dou ă forțe egale și de sens contrar
care acționează pe două suporturi paralele asupra aceluia și rigid (fig.2.5).
Cuplul de for țe tinde să rotească rigidul în jurul unei axe perpendiculare pe
planul defi nit de suporturile celor dou ă forțe.
12

Proprietăți:
1. Proiecția unui cupl u pe orice ax ă este nulă. Se deduce c ă rezultanta
cuplului de for țe este nul ă.
Considerând axa de versor u, se
poate scrie: 0)F(uFu =−⋅+⋅
2. Efectul cuplului de for țe aplicat
unui ri gid se m ăsoară pri n
momentul cuplului .

F AB F)r r(Fr)F(r M
A BB A
×=×−==×+−×= (2.8)
Mom entul cuplului de for țe este un
vector perpendicular pe planul for țelor care
form ează cuplul, sensul fi ind dat de regula
produsul ui vectorial ( șurubul ui drept) iar m ărimea este dat ă de produsul dintre
forță și brațul cuplului (di stanța dintre for țele cuplul ui măsurată pe
perpendiculara comun ă).

Fig. 2.5
Fb)F,ABsin(FAB M = = (2.9)
3. Momentul cupl ului de forțe este un vector liber , întrucât r ămâne
neschim bat , indiferent de punctul fa ță de care se stabile ște expresia sa. În raport
cu un alt punct O’, expresia momentului devine:
MF AB F)r r(Fr)F(r MA B B A =×=×′−′=×′+−×′=′

2.3. REDUCEREA UNEI FOR ȚE APLICAT Ă ÎNTR-UN PUNCT AL
RIGIDULUI. TORSORUL

Se consider ă un rigid ac ționat de o for ță F în punctul A, al cărui vector
de poziție în raport c u un punct O este r (fig.2.6). A reduce aceast ă forță într-un
punct oare care O, înseamn ă a deter mina efectul mecanic exercitat în O, de forța
F, aplicată în A.
Având în vedere opera țiile de
echivalen ță, se introduc în O, forțele Fși F−.
Forțele F din A și F− din O form ează un
cuplu al c ărui m oment este Fr M0×=
Forța F și cuplul de for țe reprezentat
prin m omentul 0M se numesc elemente de
reducere în O ale forței date. Ansam blul celor
două elemente alc ătuiesc torsorul de reducere
în punctul O al forței F aplicată în A și se
notează:

Fig. 2.6
13

⎩⎨⎧
×= Fr MF
00τ (2.10)
Schim bând punctul de reducere în O’, torsorul î și modifică numai
momentul a c ărei variație la schim barea polului este dat ă de relația (1.4).

⎩⎨⎧
×′−= FOO M MF
0 '0'0τ (2.11)

2.4. REDUCEREA UNUI SISTEM DE FOR ȚE APLICATE RIGI DULUI.
TORSORUL DE REDUCERE. VARIA ȚIA TORSORULUI CU
PUNCTUL DE REDUCERE. INVARI ANȚI
Se consider ă un rigi d acționat în punctele A1, A 2,……, A n, de forțele 1F,
2F,….., nF, (fig.2.7.a). Un punct oarecare Ai, raportat la polul O este definit d e
vectorul de pozi ție ir. A calcu la efectul mecanic produs în O de acțiunea
simultană a forțelor din sistemul dat î nseam nă a reduce pe rând toate for țele
sistem ului, obținând î n O, două sisteme de vectori co ncurenți:
-sistem ul de forțe 1F, 2F,….., nF, a cărui rezultant ă este:
∑=+++=
ii n 2 1 F F ….. F FR (2.12)
-sistem ul de cupluri 1M, 2M,….., nM, al cărui m oment rezultant este:
∑∑ ×==+++=
ii i
ii n 2 1 0 Fr M M ….. M M M (2.13)
Forța rezultant ă R și momentul rezultant 0M form ează un sistem
echivalent cu sistemu l de forțe dat, nu mit torsorul de reducere în punctul O .

⎪⎩⎪⎨⎧
×==
∑∑
ii i 0ii
0Fr MF R
τ (2.14)
Reducând sistem ul de
forțe într-un alt punct O’, se
obține:

Fig. 2.7

⎪⎩⎪⎨⎧
×′==
∑∑
ii i '0ii
'0Fr MF R
τ (2.15)
Expresia m omentului '0M, ținând seama d e relația (2.4), devine:
14

R OO M F OOFrFr FOO F)rOO( Fr M
0
ii
ii iii i
ii
ii i
ii i '0
×′−=×′+×==×+×′=×+′=×′=
∑ ∑∑∑ ∑∑
(2.16)
Torsorul î n punctul O’ al sistem ului de for țe este:

⎩⎨⎧
×′−= R OO M MR
0 '0'0τ (2.17)
Comparân d relațiile (2.14) și (2.15) se deduce c ă în raport cu puncte
diferite de reducere, r ezultanta este acea și, în tim p ce m omentul rezultant
variază, legea de varia ție a acestuia fiind dat ă de relația (2.16).
Rezultanta R este primul invariant al opera ției de reducere .
Efectuând produsul scalar '0MR⋅ , num it trinom invariant și având în
vedere c ă produsul mixt 0)R OO(R =×′⋅ , fiind produs m ixt cu vectori
coplanari, ob ținem :
0 0 '0 MR)R OO M(R MR ⋅=×′−⋅=⋅ (2.18)
Trinomul invariant 0MR⋅ este al doilea inv ariant al opera ției de
reducere.
Form a analitică a trinom ului invariant 0MR⋅ este:
z z y y x x 0 MR MR MR MR ++=⋅ (2.19)
Proiecția momentului rezultant 0M pe direcția rezultantei R este:

2
z2
y2
xz z y y x x
0 R 0 R
R R RMR MR MR
RRM u M M
++++
==⋅= (2.20)
Vectorul RM, coliniar cu rezultanta R se va scrie:

RR
RMRu M M0
R R R⋅=⋅= (2.21)
Proiecția momentului rezultant pe direc ția rezultantei fiind raportul a
două mărimi invariante RM
0MR⋅ și R este în consecin ță, tot o mărime invariant ă
a operației de reducere (fig.2.7.b). Adic ă:
β α cos M cosM M'0 0 R = = (2.22)
Trinom ul invariant și proiecția m omentului rezultant pe direc ția
rezultantei nu sunt dou ă mărimi invariante independente. La reducerea într-un
punct a unui sistem de forțe exi stă doi invarian ți, R și 0MR⋅ .

15

Aplicație. Asupra unui corp solid ac ționează sistem ul de for țe având ca suporturi,
muchiile și diagonalele cubului ca în figura 2.8. Știind că )61i(;P Pi ÷== ,
)8,7j(;P2 Pj = = și muchia cubului a, se
cere:
1. Să se reducă sistem ul de forțe în puntul O
2. Să se deter mine sistemul echiva lent, constituit
din forțele:
a. 4 3 2 1 P,P,P,P ;
b. 6 5 2 1 P,P,P,P ;
c. 8 7 3 1 P,P,P,P ;
d. 6 5 2 P,P,P ;
e. 8 7 5 P,P,P .
Rezolvare . 1. Sistem ul de forțe redus în
punctul O este definit de torsorul sistem ului de for țe,
calculat în acest punct.

Fig.2.8
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
==
∑∑
==
8
1ii 0 08
1ii
0
)P(M MP R
τ
Exprim ând s ub for mă analitică, forțele, cât și momentele acestora în rapo rt cu polu l O,
obținem :
kP P1= ; kP P2−= ; kP P3= ; kP P4−= ; iP P5−= ; iP P6= ;
jPiP )j22i22(P2 P7 −−=−−= ; jPiP)j22i22(P2 P8 += =
0)P(M1 0=; jaPk)P(ia P OA)P(M2 2 0 =−×=×= ;
jaPiaPkP)jaia( P OB)P(M3 3 0 −=×+=×= ; iaP k)P(ja P OC)P(M4 4 0 −=−×=×= ;
0)P(M5 0=; jaPiPka P OD)P(M6 6 0 =×=×= ; 0)P(M7 0=;
jaPiaP )jPiP(ka P OD)P(M8 8 0 +−=+×=×= .
Prin însum area ce lor do uă catego rii de vecto ri obținem :
0)jPiP()jPiP(iPiPkPkPkPkPP P P P P P P PR8 7 6 5 4 3 2 1
=+++−+−−+−==+++++++=
jaP2iaP)jaPiaP(0jaP0iaP)jaPiaP(jaP0)P(M)P(M)P(M)P(M)P(M)P(M)P(M)P(M M8 0 70 60 5 0 4 0 3 0 2 0 10 0
+−=+−++++−−++==+++++++=

Torsorul sistem ului de for țe în punctul O este:
16

⎩⎨⎧
+−==
jaP2iaP M0R
00τ
2. Pentru determ inarea sistem ului echivalent se calcu lează torsorul în punctul O al
sistem ului de for țe dat și în funcție de valor ile celor două elem ente ale acestuia poate fi definit
acest s istem.
2.a.Torsorul în punctul O, al sistemului de for țe 4 3 2 1 P,P,P,P este:
⎪⎩⎪⎨⎧
=−−++= + + + ==−+−=+++=
0iaP)jaPiaP(jaP0)P(M)P(M)P(M)P(M M0kPkPkPkP P P P PR
4 0 3 0 2 0 1 0 04 3 2 1
0τ
Sistem ul dat este echivale nt cu un sistem de forțe în echilib ru
2.b. Torsorul în punctul O al sistem ului de for țe 6 5 2 1 P,P,P,P este:
⎪⎩⎪⎨⎧
≠=+++= + + + ==+−−=+++=
0jaP2jaP0jaP0)P(M)P(M)P(M)P(M M0iPiPkPkP P P P PR
6 O 5 O 2 O 1 O O6 5 2 1
Oτ
Sistem ul dat este echivalent cu un cuplu de for țe, al cărui mom ent este jaP2 MO= .
Acest cuplu este creat de for țele 1P și 2P situa te pe m uchiile parale le OD și EA,
respec tiv 5P și 6P, situa te pe muchiile pa ralele AO și DE.
2.c. Torsorul în punctul O al sistem ului de for țe 8 7 3 1 P,P,P,P este:
⎪⎩⎪⎨⎧
=+−++−+= + + + =≠=+++−+=+++=
0)jaPiaP(0)jaPiaP(0)P(M)P(M)P(M)P(M M0kP2)jPiP()jPiP(kPkP PPPPR
8 0 7 0 3 0 1 0 08 7 3 1
0τ
Sistem ul dat este echivalent cu o for ță unică kP2R= , aplicată în O.
2.d. Torsorul în punctul O al sistem ului de for țe 6 5 2 P,P,P este:
⎪⎩⎪⎨⎧
≠=++= + + =≠−=+−−=++=
0jaP2jaP0jaP)P(M)P(M)P(M M0kP iPiPkP P P PR
6 0 5 0 2 0 06 5 2
0τ
Trinom ul invariant devine:
0jaP2kP MR0 =⋅−=⋅
Sistem ul de forțe dat este schivalent cu o for ță unică kP R−= , pe axa central ă ∆.
2.e. Torsorul în punctul O al sistem ului de for țe 8 7 5 P,P,P este:
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
≠+−=+−++== + + =≠−=++++−−=++=
0jaPiaP )jaPiaP(00)P(M)P(M)P(M M0iP )jPiP()jPiP(iP P P PR
8 0 7 0 5 0 08 7 5
0τ
Trinom ul invariant este:
0 aP)jaPiaP(iP MR2
0 ≠=+−⋅−=⋅
Sistem ul de forțe dat este echivalent cu un torso r minim pe axa central ă ∆.
Torsorul m inim are expresia:
17

⎪
⎩⎪
⎨⎧
−=−=⋅=−=
iaPPiP
PaP
RR
RMRMiP R
2
0
minminτ

2.5. REDUCEREA SISTEMEL OR PARTICULARE DE FOR ȚE
2.5.1. REDUCEREA SISTEMELOR DE FOR ȚE CONCURENTE

Un sistem de for țe care acționează asupra unui rigi d consti tuie un sistem
de forțe concurente, dac ă suporturile lor sunt c oncurente într-un punct.
Fie un sist em de forțe iF, aplicate unui rigi d în punctele Ai, (i = 1, 2, …,
n), având suport urile concurente în punctul O
(fig.2.9). For țele iF fiind vectori alunec ători se
pot deplasa pe proprii le suporturi, astfel ca
punctele Ai să coinci dă cu punctul O.
Torsorul î n punctul O al acest ui sistem de
forțe este:

⎪⎩⎪⎨⎧
==∑
0 MF R
0ii
0τ (2.23)
Torsorul m inim este constituit din
rezultantă iar axa central ă, suportul rezultantei.

Fig. 2.9

2.5.2. REDUCEREA SISTEMELOR DE FOR ȚE COPLANARE

Se numes c forțe coplanare, for țele ale c ăror suporturi sunt situate în
același plan [ P]. Reducând sist emul de forțe
într-un punct O, situat în planul [ P] se obține
torsorul si stem ului în acest punct, com pus din
forța rezultant ă R și momentul rezultant
0M, perpendicular pe planul for țelor
(momentul rezultant reprezint ă suma
vectorială a mo mentelor for țelor din sist em,
calculate în raport c u punctul O și care sunt
prin defi niție, perpendiculare pe planul
forțelor).

Fig. 2.10
Trinom ul invariant este 0 MR0=⋅ .
Pentru studiul analitic al sistem ului de for țe coplanar (fig.2.10) se
consideră ca plan al for țelor, pl anul Oxy de ecuație 0z=. Forțele iF și vectorii
de poziție ir ai punctelor de aplica ție Ai ale forțelor au expresiile:
18

jyixr;jFiF Fi i i iy ix i += += (2.24)

⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎨⎧
==− = =×=+=+==
∑ ∑∑∑∑∑
kMkMkFy Fx
F Fy xkj i
Fr MjRiRjF iF F R
z
iixi iyi
i
iy ixi i
ii iy x
iiy
iix
ii
0 00
) (
00τ (2.25)

2.5.3. REDUCEREA SISTEMELOR DE FOR ȚE PARALELE

Sistem ul de forțe iF, (i = 1, 2, …,n) ale căror suporturi sunt paralele cu o
direcție co mună, de versor u, formeaz ă un sistem de for țe paralele (fig.2.11).
O forță iF din sistem poate fi scris ă în funcție de versorul u, astfel:
uF Fi i= (2.26)
unde Fi este o m ărime algebric ă, pozitivă sau negativ ă, după cum forța este
orientată în același sens sau în sens contrar, versorului u.
Rezultanta sistem ului este:
u)F(uF F R
ii
ii
ii∑∑∑ === (2.27)
Scalarul rezultantei este egal cu suma algebric ă a scalarilor for țelor.
Mom entul rezultant în punctul O este:
u)rF()uF(r Fr M
iii
ii i
ii i 0 × =×=×= ∑ ∑∑ (2.28)
Trinom ul invariant este nul
0 u)rF(u)F( MR
iii
ii 0 =⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡× ⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡=⋅ ∑∑ (2.29)
datorită coliniarit ății a doi termeni din produsul m ixt.
Axa centrală. Centrul for țelor paralele .
Axa central ă reprezint ă locul geo metric al
punctelor unde m omentul este nul, întrucât
0 MR0=⋅ . Pentru deter minarea axei centrale s e
utilizează relația (2.4) care exprim ă momentul
într-un punct curent P, situat pe aceast ă axă și
unde r OP= este vectorul de pozi ție al
punctului P.
0R OP M M0 P =×−= (2.30)

Fig. 2.11
Înlocuind pe R și 0M cu expresiile date
de (2.27) și (2.28), ob ținem :
19

0u)F(ru)rF(
ii
iii = ×−×∑ ∑ (2.31)
sau schimbând pozi ția factorul ui scalar în al doilea produs vectorial rezult ă:
0ur)F(u)rF(
ii
iii =× −×∑ ∑
0u)rF rF(
ii
iii =×−∑∑ (2.32)
Produsul vectorial fiind nul, cei doi vectori sunt coli niari.
u' rF rF
ii
iii λ=−∑∑ (2.33)
Vectorul de pozi ție al punctului curent P, de pe axa central ă este:
uF'
FrF
r
ii
iiiii
∑∑∑
−=λ (2.34)
notând cu λλ=∑
iiF', rezultă:
uFrF
r
iiiii
λ−=∑∑
(2.35)
Relația (2.35) reprezint ă ecuația vectorial ă a axei centrale (fig.1.11) care
este o dreapt ă paralelă cu direcția co mună a sistem ului de for țe, dată de versorul
u și care trece printr-un punct fix C, num it centrul for țelor paralele .
Vectorul de pozi ție al centrului for țelor pa ralele C este:
∑∑
=
iiiii
CFrF
r (2.36)
Coordonat ele centrului for țelor paralele C sunt:
∑∑
∑∑
∑∑
= = =
iiiii
C
iiiii
C
iiiii
CFzF
z;FyF
y;FxF
x (2.37)
Propriet ățile centrului for țelor paralele .
1. Dacă toate forțele sunt rotite în acela și sens, cu acel ași unghi, axa central ă se
va roti în acela și sens și cu acela și unghi, trecând în perm anență prin punctul
C, întrucât vectorul Cr nu depinde de versorul direc ției co mune.
2. Centrul for țelor paralele nu depinde de siste mul de referin ță, fiind o
caracteristic ă intrinsecă a sistem ului de for țe.
20

Considerând noua origine a si stem ului, O’și 0rO'O=, vectorii de pozi ție ai
punctelor de aplica ție ale forțelor în raport cu noua origi ne pot fi scri și sub
form a:i 0 i rr'r+= . Vectorul de pozi ție al centrului for țelor paralele raportat la
noul sistem va fi:
C 0
iiiii
iiii 0
iiii 0i
iiiii
C rrFrF
FF r
F)rr(F
F'rF
'r +=+=+
==∑∑
∑∑
∑∑
∑∑

vectorul de pozi ție al centrului for țelor paralel e s-a modificat la fel ca pentru
oricare punct Ai, deci pozi ția centrului C față de punctele Ai nu s-a schim bat.
3. Vectorii for ță sunt vectori lega ți, caz în car e cent rul forțelor paralele are o
existență intrinsec ă, poziția acestuia fiind func ție de pozi ția punctelor de
aplicație și scalarii forțelor. Dacă forțele sunt considerate vectori alunec ători,
punctul C nu mai are sem nificație.

2.5.3.1. REDUCEREA FOR ȚELOR PARALELE, DISTRIBUITE

Forțele paralele, perpendiculare pe segmentul de dre aptă AB, situat pe axa
Ax, de lungime l sunt distribui te după o lege de varia ție, p = p(x) (fig.2.12). Se
urmărește deter minarea rezultan tei, R și poziția centrului for țelor paralele, xC.
Notăm prin p(x), forța pe unitatea de lungime la distan ța x, de capătul A,
măsurată în N/m. Mărimea rezu ltantei R se obține prin integrarea pe lungimea l,
a forței elementare, dR, creată de forța distribuit ă p(x) considerat ă constantă pe
elementul infinitezimal dx.
∫∫==l
0ABdx)x(p dR R (2.38)
Poziția centrului for țelor paralele
distri buite C este definit ă de abs cisa xC:

∫∫
∫∫= =l
0l
0
ABAB
C
dx)x(pxdx)x(p
dRxdR
x (2.39)

Fig. 2.12
Mărimea rezultantei R este aria câmpului de distribu ție a forței iar
suportul acesteia trece prin centrul de greutate C al suprafe ței.
a. Forță distribuit ă uniform . Forța se distri buie const ant pe lungimea
barei (fig.2.13), legea de varia ție fiind:
.ct p)x(p== (2.40)
pl px pdx Rl
0l
0===∫ (2.41)
21

2l
x2x
pdxpxdx
xl
0l
02
l
0l
0
C ===
∫∫
(2.42)

Fig. 2.13
O sar cină distribuit ă uniform este
echivalent ă cu o sarcină concentrat ă
plR= , aplicată la m ijlocul por țiunii
încărcate, . 2/l xC=
b. Forță distribuit ă triunghiular . Valoarea maxi mă a forței distribuite
este p (fig.2.14) iar legea de varia ție pe lungimea barei, dat ă de funcția:
lxp)x(p= (2.43)

Fig. 2.14
2pl
l2pxdxlxp Rl
02 l
0===∫ (2.44)
3l2
2x3x
dxlxpxdxlxp
xl
02l
03
l
0l
0
C == =
∫∫
(2.45)
O sarcină distri buită triunghi ular este echivalent ă cu o for ță de mărime
2/plR= , aplicată la dista nța 3/l2 xC= , de capătul A.
c. Forță distribuit ă parabolic . Valoarea m aximă a forței dist ribuite
este p (fig.2.15) iar legea de varia ție pe lungimea barei, dat ă de funcția:
22
lxp)x(p= (2.46)

Fig. 2.15
3pl
l3pxdx
lxp Rl
023 l
022
== =∫ (2.47)
4l3
3x4x
dx
lxpxdx
lxp
xl
03l
04
l
022l
022
C == =
∫∫
(2.48)
O sarcină distri buită parabolic este echivalent ă cu o for ță de mărime
3/plR= , aplicată la dista nța 4/l3 xC= , de capătul A.
22

Aplicații. 1. O forță distribuit ă uniform ac ționează pe sem icercul de raz ă r.
Intens itatea forței pe unitatea de lungim e este p. Să se reducă sistem ul de forțe în punctul O.
Rezolvare. Forța distribuit ă pe se micerc constitu ie un sis tem de f orțe concurente.
Torsorul în centru l semicercu lui O este constituit num ai din forța rezultan tă.
Datorit ă simetriei, supo rtul re zultantei este dat d e axa de sim etrie Ox a sem icercului,
componenta pe direc ția axei Oy fiind nulă.
Pentru o pozi ție curen tă a arcului elem entar dl, definită de unghiul la centru θ, forța
elem entară care acționează pe acesta este:
θrdp dlpRd =⋅=
Cu m:
j sinpi cosp jpippy x ⋅−⋅−=+= θ θ
și
j sin prdi cos prd jRdidRRdy x ⋅ −⋅ −=+= θθθθ
rezultanta care se ob ține prin in tegrare:

Fig.2.16 ∫∫==
)D( )D(p Rd R rdθ
poate fi scris ă prin com ponentele pe cele dou ă axe
jRiRRy x+=
și ale căror valori sunt:
pr2 sinpr d cos2
22
2−= −=⋅
−
−∫π
ππ
πθ θθ pr dR R
)D(x x −==∫
0 sprco d sin2
22
2= =⋅
−
−∫π
ππ
πθθθ pr dR R
)D(y y −==∫
Rezultan ta este un v ector de mărime pr2 R= situat pe axa Ox și care acționează în
sens contrar acesteia.

2. Asupra u nei plăci (fig.2.17) ac ționează sistemul de for țe coplanar, de m ărimi, F1 =
F2 = P , P2 F3= și un cuplu de m oment aP2 M= , ale cărui forțe sunt situate în planul
celorlalte. Dac ă suportul for ței 3F trece prin punctul A(a, 0 ) și form ează cu axa Ox, unghiul
4/πα= , să se determ ine sistemul echiv alent.

Fig.2.17 Rezolvare . Reducând sistem ul în originea O,
elem entele torsorulu i în acest pun ct sunt:
0jP2P22jPiPF F FR3 2 1
≠=++==++=
)j22i22( =−
0kaP)j22i22kaP2
≠=−+=
(P2iaF OAM M3 0
×+×+=

23

Cum 0 MR0=⋅ , sistemul este ech ivalen t cu o forță unică pe axa central ă, a cărei ecuație
este:
x y 0 yR xR M −=
2ay Py2 aP −=⇒−=
adică o dreaptă paralelă cu axa Ox la distan ța a/2 sub aceas ta.

3. Asupra unui corp ac ționează sistem ul de for țe paralele din figura 2.18. Dac ă
, să se red ucă sistem ul de for țe în O și să se determ ine coordonatele
centrului for țelor paralele. P F F F3 2 1 ===
Rezolvare . Torsorul în punctul O al sistem ului de for țe este:
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧
=×===
∑∑∑
===
i3
1ii 03
1i3
1ii i
0
F OA MF(F R
τ
×∑
=3
1ii i k)OAF(k)

Fig. 2.18
Rezultan ta are direc ția axei Oz.
kP−=k)F F F(R3 2 1+−−=
Mom entul rezultant es te:
jaPiaP k)kPak) OAF 3 3 2
+−=×=× +
jPaiPa(OAF OAF( M2 1 1 0
+−−=+ =
Torsorul în punctul O are expres ia:
⎪⎩⎪⎨⎧
+−=≠−=
jaPiaP M0kP R
00τ
≠0
Sistem ul de forțe este echivalen t cu o rezultant ă R, al cărei suport este axa central ă, o
dreaptă paralelă cu axa Oz care trece prin C, centrul for țelor paralele de coordonate:
aPPa
FzF
z;aPPa
FyF
y;aPPa
FxF
x
iiiii
C
iiiii
C
iiiii
C −=−===−−= ==−−==∑∑
∑∑
∑∑

TEST DE E VAL UARE

1. Mom entul forței în raport cu un punct reprezint ă:
a. capacitatea for ței de a roti corpul in jurul une i axe care trece prin acel pu nct
b. capacitatea for ței de a roti corpul in jurul punctului respectiv
c. capacitatea for ței de a roti co rpul in jurul u nei axe care trece prin acel punct,
perpendicular ă pe planul definit de for ță și punct
24

2. Expresia m omentului for ței în raport cu un punct este:
a. Fr)F(M0×=
b. rF)F(M0×=
c. Fr)F(M0⋅=
3. Brațul forței reprezint ă:
a. lungim ea (modulul) vectorului de pozi ție al punctului de aplica ție al forței
b. lungim ea perpendicularei dus ă din punctul fa ță de care se calculeaz ă momentul, pe
suportul for ței
c. nici una din variantele a și b
4. Legea de varia ție a m omentului la schi mbarea polului este dat ă de relația:
a. R OO M M'
0 '0×−=
b. '
0 '0OOR M M ×+=
c. ROO M M'
0 '0×+=
5. Cuplul de for țe este caracterizat de:
a. rezultanta cuplului de for țe
b. mom entul cuplului de for țe
c. brațul cuplului de for țe
6. Rezulta tul opera ției de reducere al unui sistem de forțe care ac ționează asupra
rigidu lui este:
a. determ inarea unui sistem de for țe echivalent în punctul respectiv
b. determ inare a torso rului sitem ului de forțe în acel punct
c. determ inarea rezultantei sistem ului de for țe în acel punct
7. Invarianții operației de reducere într-un punc t ai unui sistem de forțe sunt:
a. rezultanta sistem ului de for țe
b. trinom ul inv ariant al sistem ului de for țe
c. variantele a și b împreună
8. Torsorul m inim al unui sistem de forțe car e acționează asupra rigidului reprezint ă:
a. torsorul sistem ului de for țe, calculat într-un punc t situat pe axa central ă
b. rezultanta R și momentul minim minM
c. proiecția momentului rezultant pe direc ția rezu ltantei
9. Poziția centrului for țelor paralele este definit ă de:
a. vectorul de pozi ție al ce ntrulu i forțelor paralele Cr
b. coordonatele centrului f orțelor paralele: ∑∑
∑∑
∑∑
= = =
iiiii
C
iiiii
C
iiiii
CFzF
z;
FyF
y;
FxF
x
c. depinde de sistem ul de referin ță ales
10. Mărimile care caracterizeaz ă forțele distribuite sunt:
a. rezultanta for țelor distribuite
b. poziția rezultante i forțelor distribuite pe zona pe care se distribuie
c. variantele a și b împreună
25