2. NOȚIUNEA DE ROTOR
CUPRINS
1. INTRODUCERE
2. NOȚIUNEA DE ROTOR
3. OSII ȘI ARBORI
3.1. Clasificare
3.2. Exemple constructive
4. LAGĂRE
4.1. Generalități, clasificare
4.2. Noțiuni privind fenomenele de frecare
4.2.1. Frecarea uscată de alunecare
4.2.2. Frecarea la limită
4.2.3. Frecarea fluidă
4.2.4. Frecarea de rostogolire
4.3. Lagărele cilindrice
4.4. Lagărele din mase plastice
4.5. Lagărele cu suprafețe sferice
4.6. Lagărele cu frecare fluidă
4.7. Lagărele prin rostogolire
4.8. Lagărele speciale
4.9. Problematica calculării caracteristicilor dinamice ale lagărelor de rostogolire
5. ECHILIBRAREA ROTORILOR
5.1. Dezechilibrări statice și dezechilibrări dinamice ale rotorilor
5.2. Echilibrarea statică și echilibrarea dinamică a rotorilor
a) Pentru dezechilibru static
b) Pentru dezechilibru dinamic simplu
c) Pentru dezechilibru dinamic
5.3. Echilibrarea roților automobilelor. Metode și mașini de echilibrat
5.3.1. Mașinile de echilibrat cu funcționare la rezonanță
5.3.2. Mașinile de echilibrat cu arbore elastic
5.3.3. Mașinile de echilibrat cu arbore rigid
6. COMPORTAREA DINAMICĂ A ROTORILOR
6.1. Răspunsul la dezechilibre
– în funcție de influența elasticității lagărelor
– în funcție de influența amortizării externe
– în funcție de influența amortizării lagărelor
6.2. Turațiile critice
6.3. Stabilitatea dinamică I
6.3.1. Noțiunea de stabilitate
6.3.2. Criterii de apreciere a stabilității asimptotice
6.4. Stabilitatea dinamică II
6.4.1. Exemple de sisteme mecanice variliniare
6.4.2. Răspunsul sistemului variliniar
6.4.3. Stabilitatea răspunsului banal
Anexa 1
Bibliografie
PROBLEME ALE DINAMICII ROTORILOR
1. INTRODUCERE
Dinamica rotorilor s-a conturat ca o disciplină aparte pe măsură ce s-a recunoscut importanța efectului lagărelor și etanșărilor asupra răspunsului dinamic al rotorului.
Obiectul dinamicii rotorilor îl constituie studiul interacțiunii dinamice dintre rotor, stator și fluidul de lucru, în vederea proiectării, construcției și exploatării unor mașini la care să nu se depășească limitele admisibile ale vibrațiilor și tensiunilor dinamice, pe tot domeniul de variație al parametrilor de lucru.
Pentru a înțelege răspunsul dinamic al unei mașini rotative este necesar să se dispună, încă din faza de proiectare, de informații asupra următoarelor aspecte ale comportării sale:
a) Turațiile critice de precesie ale sistemului rotor-lagăre-piedestaluri-fundație. Efectul elasticității și amortizării lagărelor, etanșărilor și fundației asupra poziției fiecărei turații critice în domeniul de lucru al mașinii;
b) Răspunsul la dezechilibre: orbitele mișcării de precesie a rotorului ca răspuns la diferite distribuții ale dezechilibrului, pe tot domeniul turațiilor de lucru ale mașinii;
c) Pragul de stabilitate dinamică a mișcării: turația limită pentru apariția mișcărilor de precesie instabilă datorită interacțiunii dintre rotor și lagăre și/sau agentul termic din mașină, precum și stabilirea consecințelor depășirii acestora;
d) Frecvențele proprii ale vibrațiilor torsionale, în special la rotorii cu angrenaje cu roți dințate, eventual răspunsul tranzitoriu al liniei de arbori la perturbații în circuitul electric al generatorului;
e) Echilibrarea rotorilor: determinarea și atașarea maselor de corecție necesare pentru funcționarea rotorilor cu nivele reduse de vibrații;
f) Supravegherea mașinilor: măsurarea parametrilor ce caracterizează starea dinamică a mașinilor și urmărirea evoluției lor în timp, pentru detectarea oricăror deteriorări, în vederea anticipării unor defecțiuni grave care ar impune oprirea forțată a mașinii.
Capacitatea de a prevedea performanțele dinamice ale unui sistem rotor-lagăre depinde în primul rând de informațiile asupra proprietăților lagărelor, interacținuilor fluid-rotor și distribuției dezechilibrului în lungul rotorului.
Cele mai importante caracteristici dinamice ale mașinilor rotative sunt următoarele:
– turațiile critice de precesie în tot domeniul de lucru al mașinii;
– raza maximă a orbitelor răspunsului la dezechilibru;
– pragul instabilității dinamice produse de lagăre, de etanșări sau de alte interacțiuni fluid-structură;
– forțele transmise lagărelor;
– turațiile critice ale vibrațiilor torsionale;
– solicitarea dinamică a angrenajelor dintre arbori;
– vibrațiile induse în carcasă și în alte elemente de structură;
Precum și următoarele:
– frecvențele proprii ale discurilor de turbină sau compresor;
– frecvențele și forma modurilor proprii de vibrații ale paletelor și pachetelor de palete;
– frecvențele de fluturare ale paletelor;
– pragurile de instabilitate la fenomenele de curgere de tip stall și surge (pompaj);
– zgomotele mașinilor rotative.
Principala cauză a vibrațiilor mașinilor cu rotor o constituie dezechilibrul rotorilor.
Majoritatea rotorilor au cel puțin două lagăre. La rotorii orizontali, greutatea este preluată de lagăre. Axa de rotație coincide cu fibra medie deformată static sub acțiunea propriei greutăți. Dacă se neglijează efectul greutății, axa de rotație este linia care unește centrele lagărelor.
Orice asimetrie constructivă, de fabricație, de montaj sau datorată de timpul funcționării, face ca linia centrelor de greutate ale secțiunilor transversale ale rotorului să nu coincidă cu axa de rotație. Astfel, în timpul rotației, asupra rotorului acționează forțe centrifuge care au poziții fixe în raport cu rotorul și se rotesc odată cu acestea. Forțele centrifuge rotative se transmit lagărelor și produc vibrații nedorite ale mașinilor.
Rotorul nu are o mișcare vibratorie propriu-zisă, ci o mișcare de precesie. În cazul lagărelor izotrope, la o anumită turație, forma deformată a rotorului rămâne neschimbată în timpul mișcării, centrele de greutate ale secțiunilor transversale descriind în spațiu orbite de precesie circulare. Deci mișcarea apare ca o vibrație numai când se măsoară proiecția deplasării rotorului pe o anumită direcție fixă în spațiu.
Din punct de vedere al descrierii analitice există analogie între mișcarea de precesie și mișcarea vibratorie, dar implicațiile practice sunt diferite. Remediul pentru rezonanță – amortizarea internă – este total neeficientă în cazul turațiilor critice, deoarece forma rotorului deformat se modifică foarte puțin în timpul mișcării de precesie cu turație constantă. La o turație critică, dacă deformațiile nu sunt limitate, un rotor mai degrabă se îndoaie permanent decât să se rupă prin oboseală, fenomen care apare în cazul vibrațiilor transversale. Însă amortizarea din lagăre și etanșări are un rol determinant în dinamica rotorilor.
În cazul rotorilor de precesie stabile, orbitele parcurse la rotații succesive sunt identice. Dacă mărimea orbitelor crește în timp, mișcarea de precesie este instabilă, creșterea continuând până este limitată de forțe interne din sistem sau de legături exterioare.
În Fig. 1.1 sunt prezentate forme tipice de orbite pentru mișcarea de precesie a rotorilor.
Orbita circulară (Fig. 1.1 a) reprezintă precesie sincronă a rotorului în reazeme radiale izotrope. Absența buclelor în forma orbitei denotă condiția de sincronism, mișcarea de precesie având o turație egală cu cea de rotație a rotorului.
Orbita eliptică (Fig. 1.1 b) poate apărea datorită ortotropiei reazemelor, respectiv rigidității diferite pe direcția orizontală și verticală. Înclinarea axelor elipsei se datorează rigidităților de cuplaj între cele două direcții sau amortizări.
Dacă precesie este nesincronă, pulsația mișcării de rotație diferă de pulsația mișcării de precesie. Orbita conține bucle ca cea din Fig. 1.1 c, caracteristică pentru precesia de semi-frecvență datorită instabilității mișcării în lagăre hidrodinamice. În cazul precesiei directe (de același sens cu rotația), bucla se află în interiorul orbitei principale.
Orbitele cu mai multe loburi sunt produse de alte surse de excitație nesincronă, cum ar fi cazul rotorilor mașinilor electrice cu mai mulți poli (Fig. 1.1 d).
Instabilitățile de tipul „precesiei de semi-frecvență“ sunt de obicei limitate. La depășirea turației corespunzătoare pragului de stabilitate are loc un proces tranzitoriu, în care precesia se face pe o orbită în spirală, cu deplasări care cresc până se atinge o nouă orbită de echilibru (Fig. 1.1 e).
Un alt tip de mișcare tranzitorie este ilustrat în Fig. 1.1 f. Inițial, rotorul are o mișcare de precesie stabilă cu orbita de dimensiuni reduse. Dacă rotorul primește un șoc transversal, fusul se deplasează radial brusc fără să atingă suprafața cuzinetului și revine pe o orbită în spirală la mișcarea inițială, de precesie inițială pe orbită închisă.
La proiectarea mecanică a rotorului, lagărelor și a structurii de suport, se ține cont că acestea lucrează ca un sistem, răspunzând împreună solicitărilor dinamice, intercondiționându-se reciproc. Rotorul este o parte integrantă a unui sistem dinamic, comportarea lui fiind determinată de poziția și rigiditatea lagărelor, a etanșărilor, a piedestalurilor și a fundației, precum și de amortizarea acestora. Masa carcasei și a fundației joacă de asemenea un rol important.
2. NOȚIUNEA DE ROTOR
Sub denumirea de rotor în cele prezentate vom înțelege un element (organ) de mașină sau un subansamblu aflat în mișcare de rotație.
Ca urmare a neomogenităților, a erorilor de execuție și/sau a imperfecțiunilor de montare ale elementelor componente în timpul funcționării mașinilor apar forțe centrifuge care pot genera vibrații forțate cu amplitudini deranjant de mari. Măsurile care se iau în vederea diminuării sau chiar a eliminării acestor forțe centrifuge alcătuiesc „echilibrarea rotorilor“.
Rotorul este elementul principal al unei mașini rotative, funcția lui fiind generarea sau transmiterea puterii. El constă dintr-un arbore pe care se montează discuri cu palete sau roți cu canale radiale, iar în cazul mașinilor electrice – înfășurările bobinelor.
Rotorul nu este niciodată perfect rigid. Totuși se numesc rotori rigizi cei care lucrează sub 1/3 din prima turație critică de încovoiere, iar rotori elastici sunt cei care lucrează aproape de sau deasupra primei turații critice de încovoiere, astfel că forțele centrifuge datorate dezechilibrului remanent influențează deformațiile rotorului.
De cele mai multe ori, mașinile au rotori cu arbori de secțiune transversală axial-simetrică. Dacă pe anumite porțiuni secțiunea este nesimetrică, atunci rigiditatea la încovoiere a rotorului față de o axă transversală fixă variază în timpul rotirii și apar mișcări de precesie nesincronă și instabilități. Arborele rotorilor este modelat ținând cont de efectul forfecării și al inerției la rotație față de axa trasnversală, incluzând în plus efectul cuplurilor giroscopice. Discurile, de obicei rigide, intervin prin parametri concentrați: masa și momentele de inerție masice, polar și transversal.
Cel mai simplu rotor elastic constă dintr-un disc rigid, fixat pe un arbore elastic de secțiune axial-simetrică, rezemat la capete pe lagăre identice. Rotorul simetric, cu arbore de masă neglijabilă, rezemat pe lagăre rigide (Fig. 2.1) este cunoscut sub numele de modelul Jeffcott-Laval, modelul servește pentru introducerea conceptului de turație critică și precesie sincronă.
Modelul Stodola-Green constă dintr-un arbore elastic în consolă, cu un disc rigid la capătul liber (Fig. 2.2). Acest model permite introducerea efectelor inerției la rotație și a cuplurilor giroscopice ale discului asupra precesiei rotorului, a conceptelor de precesie directă și precesie inversă și a dezechilibrului produs de montarea oblică a discului față de axa arborelui.
Prezentarea unui rotor în lagăre elastice fără acțiunea amortizării din lagăre
Se va considera numai cazul rotorului având un disc rigid, fixat pe un arbore de masă neglijabilă, rezemat pe lagăre elastice, după modelul Jeffcott-Laval, la care se neglijează inerția la rotație a discului.
Se consideră un rotor compus dintr-un arbore elastic de secțiune cibori de secțiune transversală axial-simetrică. Dacă pe anumite porțiuni secțiunea este nesimetrică, atunci rigiditatea la încovoiere a rotorului față de o axă transversală fixă variază în timpul rotirii și apar mișcări de precesie nesincronă și instabilități. Arborele rotorilor este modelat ținând cont de efectul forfecării și al inerției la rotație față de axa trasnversală, incluzând în plus efectul cuplurilor giroscopice. Discurile, de obicei rigide, intervin prin parametri concentrați: masa și momentele de inerție masice, polar și transversal.
Cel mai simplu rotor elastic constă dintr-un disc rigid, fixat pe un arbore elastic de secțiune axial-simetrică, rezemat la capete pe lagăre identice. Rotorul simetric, cu arbore de masă neglijabilă, rezemat pe lagăre rigide (Fig. 2.1) este cunoscut sub numele de modelul Jeffcott-Laval, modelul servește pentru introducerea conceptului de turație critică și precesie sincronă.
Modelul Stodola-Green constă dintr-un arbore elastic în consolă, cu un disc rigid la capătul liber (Fig. 2.2). Acest model permite introducerea efectelor inerției la rotație și a cuplurilor giroscopice ale discului asupra precesiei rotorului, a conceptelor de precesie directă și precesie inversă și a dezechilibrului produs de montarea oblică a discului față de axa arborelui.
Prezentarea unui rotor în lagăre elastice fără acțiunea amortizării din lagăre
Se va considera numai cazul rotorului având un disc rigid, fixat pe un arbore de masă neglijabilă, rezemat pe lagăre elastice, după modelul Jeffcott-Laval, la care se neglijează inerția la rotație a discului.
Se consideră un rotor compus dintr-un arbore elastic de secțiune circulară, rezemat în două lagăre anizotrope identice, având un disc dispus în palonul de simetrie, la mijlocul distanței dintre lagăre (Fig. 2.3).
Unde: G – centrul de greutate al discului de masă m;
J – momentul de inerție masic;
C – centrul geometric al discului, punctul de intersecție al planului median al discului cu axa arborelui;
O – punctul de intersecție dintre axa care unește centrele lagărelor și planul discului;
– excentricitatea centrului de greutate al discului față de punstul de fixare pe arbore.
Prezentarea unui rotor în lagăre elastic cu acțiunea amortizării din lagăre
Se consideră cazul simplificat al rotorului din Fig. 2.3, rezemat însă pe lagăre izotrope cu amortizare (Fig. 2.4). se consideră deci lagăre care au aceeași constantă elastică k1 pe toate direcțiile. Se admite că forțele de frecare din lagăre sunt proporționale cu viteza absolută a fusului, coeficienții de amortizare vâscoasă c fiind independenți de direcția de deformare.
3. OSII ȘI ARBORI
3.1. CLASIFICARE
Elementele pentru ghidarea mișcărilor au rolul de a asigura deplasarea sistemelor mobile ale aparatelor după o anumită direcție, calea de ghidare.
În raport cu natura mișcării pe care o asigură și ținând seama de forma suprafețelor de contact, ghidajele pot fi:
– de rotație (cu suprafețe cilindrice, sferice, conice);
– de translație (cu suprafețe plane, cilindrice).
Osiile și arborii drepți sunt elemente constructive, care contribuie la transmiterea mișcării de rotație simple, având rolul de a susține elementele aflate în mișcare de rotație. La mecanismele de mecanică fină, osiile și arborii fac legătura cu alte elemente, de la care primesc și la care transmit mișcarea de rotație. Denumirea de osii și arbori drepți este dată deoarece au axa geometrică longitudinală dreaptă.
Osia se deosebește de arbore, deoarece nu transmite momente de torsiune, ea având principala funcțiune, cea de susținător al altor elemente. Ca urmare, ea este solicitată mai ales la încovoiere.
Arborele, având principalul rol de a transmite mișcarea de rotație, transmite momente de torsiune, fiind solicitat la încovoiere, dar mai ales la torsiune.
Uneori se pierde diferența dintre osie și arbore din cauză că forma lor constructivă, generală, este în majoritatea cazurilor aceeași. În detaliu, forma constructivă depinde de funcțiunile precise și de mărimile calculate.
Criteriile de clasificare a osiilor sunt:
– natura mișcării;
– forma axei geometrice;
– forma secțiunii;
– numărul reazemelor;
– poziția în spațiu a axei geometrice.
Clasificarea osiilor în funcție de natura mișcării se face astfel:
– osii fixe, care servesc ca reazeme pentru elementele care se rotesc, așezate liber pe ele; unde apar tensiuni care nu-și modifică sensul (constante și pulsatorii);
– osii mobile sau rotitoare, care se rotesc în reazeme împreună cu elementele fixate pe ele; unde apar tensiuni care-și schimbă sensul (alternante).
Clasificarea osiilor după forma axei geometrice: osii drepte și osii curbate.
După criteriul de clasificare al formei secțiunii, avem: osii cu secțiune plină și osii cu secțiune tubulară.
În funcție de poziția în spațiu a axei geometrice, se identifică: osii orizontale și osii înclinate sau verticale.
Criteriile de clasificare a arborilor sunt:
– forma axei geometrice;
– secțiunea arborelui pe lungime;
– destinația sau utilizarea;
– forma secțiunii;
– forma suprafeței exterioare;
– rigiditatea;
– numărul reazemelor;
– poziția în spațiu a axei geometrice.
Clasificarea arborilor se poate face tot în funcție de utilizare, în:
– arbori de transmisie, care au rolul de a prelua și transmite mișcarea de rotație și pot fi: de secțiune constantă (Fig. 3.1 a), în trepte (Fig. 3.1 b) și flexibili (Fig. 3.1 c);
– arbori speciali, care au și unele funcțiuni particulare, cum ar fi: cotiți (Fig. 3.1d) și cu came (Fig. 3.1 e).
Clasificarea arborilor se mai poate face în funcție de natura solicitării în:
– arbori solicitați numai la torsiune
– arbori solicitațicompus, și la torsiune, și la încovoiere.
După numărul reazemelor, atât osiile, cât și arborii se pot grupa în:
– osii și arbori pe două reazeme (static determinați)
– osii și arbori pe mai mult de două reazeme (static nedeterminați).
În funcție de forma axei geometrice, avem:
– arbori drepți
– arbori cotiți
– arbori flexibili.
Dacă clasificăm arborii după secțiunea arborelui pe lungime, găsim:
– arbori cu secțiune constantă
– arbori cu secțiune variabilă în trepte.
După rigiditate, se pot întâlni:
– arbori rigizi
– arbori elastici.
Dacă avem în vedere poziția în spațiu a axei geometrice, găsim:
– arbori orizontali
– arbori verticali
– arbori înclinați.
Materialul osiilor și arborilor este, în general, oțelul. Se folosesc bare trase din oțel cu conținut mediu de carbon (OL 42, OL 50) și mai rar din oțeluri carbon de îmbunătățire (OLC 25, OLC 35). În mecanica fină se folosesc, uneori, pentru proprietățile lor fizice (comportare magnetică, capacitate de lipire, posibilitate de izolare), și alte materiale metalice și nemetalice (alamă, duraluminiu, materiale plastice). La dimensiuni mici este recomandat ca pentru osii și arbori să se utilizeze semifabricatele standardizate.
3.2. EXEMPLE CONSTRUCTIVE
Câteva exemple constructive de arbori și asamblări cu arbori, des întâlnite în construcția de mașini sunt prezentate în Anexa 1.
4. LAGĂRE
4.1. GENERALITĂȚI, CLASIFICARE
În mișcarea de rotație, elementele de sprijin sau rezemare sunt lagărele, în care osiile și arborii se sprijină prin intermediul fusurilor și pivoților.
În raport cu natura frecării din lagăre, acestea se împart în:
– lagăre prin alunecare (frecare de alunecare);
– lagăre prin rulare sau cu rulmenți (frecare de rostogolire).
Ținându-se seama de direcția sarcinii principale pe axa de rotație, lagărele se clasifică în:
– lagăre radiale, cu sarcina principală perpendiculară pe axa de rotație a fusului;
– lagăre axiale sau crapodine, cu sarcina principală după direcția axei fusului.
Lagărele se aleg în funcție de încărcarea pe reazem și de turație, ținând cont de solicitarea dinamică, de spațiul disponibil, de pierderile de putere, de simplitatea soluției constructive și cerințelor de durabilitate și fiabilitate. Inițial, lagărele au fost considerate rigide, apoi s-a ținut cont și de elasticitatea radială a lagărelor, apoi de amortizarea acestora.
Din categoria elementelor de rezemare pentru mișcarea de rotație mai fac parte și lagărele cu elemente elastice, cu mercur, magnetice sau electrostatice.
Principlele condiții pe care trebuie să le îndeplinească elementele de rezemare sunt:
– frecare cât mai mică;
– asigurarea unei precizii maxime pentru deplasarea elementului mobil;
– funcționare sigură pentru un joc cât mai mic și pentru un domeniu cât mai mare de variație a temperaturii;
– capacitate destul de bună de preluare a sarcinilor și de funcționare în regimurile vibratorii sau cu șoc;
– uzură minimă și posibilitatea compensării ei;
– execuție ușoară, montaj și demontaj rapid;
– construcție simplă și ieftină.
Cerințele majore sunt micșorarea frecării și a uzurii.
4.2. NOȚIUNI PRIVIND FENOMENELE DE FRECARE
Fenomenele de frecare nu se diferențiază pentru diferitele domenii ale tehnicii, totuși ele pot prezenta anumite particularități izvorâte din condițiile geometrice, dimensionale și de precizie funcțională.
În mecanica fină, fenomenele frecării și ale uzurii sunt mai greu de apreciat, deoarece legile care determină aceste fenomene sunt în general insuficient cunoscute, iar extrapolarea observațiilor generale privind aceste fenomene pentru dimensiunile mici nu conduc întotdeauna la rezultate valabile. Legile similitudinii au o limită de aplicație care este legată de topografia suprafețelor de frecare. Dar, atât timp cât nu poate fi definită riguros topografia acestor suprafețe, cum este cazul în mecanica fină, utilizarea legilor similitudinii va fi desigur între anumite limite.
În construcția de aparate, ca și în alte domenii tehnice, stăpânirea legilor frecării este una din căile fundamentale pentru îmbunătățirea performanțelor, ridicarea preciziei și mărirea fiabilității.
Fenomenele de frecare apar ca o consecință a contactului superficial dintre două corpuri, când se produc schimbări ale proprietăților fizico-mecanice și de structură ale stratului superficial și iau naștere fenomene auxiliare, cum ar fi difuzia particulelor sau apariția unui gradient de temperatură al căror rol, în ce privește frecarea, nu a putut fi încă lămurit pe deplin.
După cum spun unele norme internaționale, „frecarea este rezistența care frânează sau împiedică mișcarea relativă a două corpuri“.
4.2.1. Frecarea uscată de alunecare
Au fost elaborate teorii care au încercat să explice complexitatea fenomenelor care intervin și divergența rezultatelor cantitative obținute.
Dintre acestea, cele mai importante de reținut sunt:
Teoria mecanică care consideră frecarea ca o rezistență la înaintare datorită asperităților suprafețelor de contact, care se rup la deplasarea relativă (Fig. 4.1). Dacă teoria ar fi perfectă, ar trebui ca forța de frecare F să scadă continuu cu netezirea rugozităților, ceea ce este fals. La contactul pe o suprafață, s-a confirmat că aria suprafeței efective Aef « A (Aef ≈ 10-4 A), unde A este aria suprafeței geometrice aparente. Apoi, teoria mecanică nu a mai considerat asperitățile ca elemente rigide care se rup, ci părți care se deformează elastic sau elasto-plastic, iar frecarea este legată de energia necesară depășirii microasperităților suprafețelor.
Teoria moleculară care consideră frecarea ca un rezultat al învingerii interacțiunii atomo-moleculare, absorbției moleculare, la nivelul suprafețelor în contact (Fig. 4.2). Frecarea este o consecință a ruperii absorbției sau chiar a unor punți de sudură.
N
Schema teoriei moleculare a frecării uscate
În practică se iau în considerare legile cantitative și cele cantitative ale frecării uscate de alunecare.
Ca legi calitative se pot enunța:
a) dacă suprafețele în contact sunt în repaus, forța de frecare este egală și de sens contrar rezultantei forțelor tangențiale aplicate;
b) forța de frecare acționează întotdeauna pe aceeași direcție, dar în sens opus mișcării relative a celor două corpuri.
Ca legi cantitative se pot enunța:
a) Legea lui Amontons-Coulomb, care arată că forța de frecare F este proporțională cu forța de frecare F este proporțională cu forța normală N:
(4.1)
b) Forța de frecare este independență de aria suprafeței de contact aparente A;
c) Forța de frecare este independență de viteza de alunecare v.
4.2.2. Frecarea la limită
Frecarea sau ungerea la limită se poate defini ca o stare de lubrifiere în care frecarea dintre cele două suprafețe este determinată de proprietățile suprafeței și de cele ale lubrifiantului, altele decât vâscozitatea. Ea este caracterizată prin interpunerea unuia sau a mai multor straturi subțiri de lubrifiant, care de regulă împiedică contactul direct al celor două suprafețe.
În ceea ce privește natura frecării la limită, se consideră că ea se datorează proprietăților particulare ale straturilor monomoleculare de lubrifiant absorbite pe suprafețe (Fig. 4.4).
S-au făcut numeroase studii pentru determinarea modalităților de mărire a capacității lubrifianților de a forma stratul limită și a-i asigura durabilitatea.
Lubrifianții cu bune proprietăți de ungere la limită sunt:
– acizii grași saturați (stearic, lauric, caprilic);
– esterii acizilor grași;
– grafitul și bisulfura de molibden.
4.2.3. Frecarea fluidă
La frecarea fluidă între cele două straturi solide în afară de stratul de absorbit de cele două suprafețe, mai există un strat de lubrifiant, cu grosime mult mai mare decât cele absorbite, în care are loc scurgerea lubrifiantului (Fig. 4.5). Condițiile de existență a frecării fluide impun ca asperitățile suprafețelor să fie complet separate prin lubrifiant. Forțele de frecare din stratul de lubrifiant sunt datorate vâscozității acestuia și se determină pe baza legii lui Newton referitoare la scurgerea fluidelor.
Legat de frecarea fluidă există și o frecare denumită mixtă, în care, deși stratul de lubrifiant are o grosime corespunzătoare ungerii fluide, el se rupe în unele zone datorită rugozității suprafețelor, astfel concomitent cu frecarea fluidă apare și cea uscată. Această frecare mixtă apare întotdeauna în regimul tranzitoriu, de pornire-oprire, al lagărelor hidrodinamice.
4.2.4. Frecarea de rostogolire
Fenomenul fizico-mecanic al frecării de rostogolire este explicat tot printr-o frecare de alunecare, de proporții mai mici, datorită proprietăților elasto-plastice ale cuplului de materiale. Contactele dintre două corpuri perfect rigide, un corp rigid cu unul perfect elastic și un corp rigid cu altul perfect elastic, sunt prezentate în Fig. 4.6 împreună cu diagramele tensiune – deformație.
4.3. LAGĂRELE CILINDRICE
Lagărele alcătuiesc cu fusul pe care-l sprijină un tot unitar, din punct de vedere funcțional, motiv pentru care se calculează și proiectează concomitent.
Forma cilindrică a lagărului și fusului este simplă, asigurând o capacitate portantă mare, rezistență la uzură, ungere prin mijloace și metode simple, execuție ușoară, comportare bună în regimurile vibratorii, posibilitatea micșorării relative a dimensiunilor, mers liniștit și fără zgomot. (Fig. 4.7)
Dezavantajele pe care le au aceste lagăre sunt:
– precizia mică în ceea ce privește centrarea și ghidarea, datorită jocului relativ mare dintre fus și cuzinet;
– existența unui moment de frecare ridicat, la pornire și în funcționare, în cazul frecării uscate;
– micșorarea sensibilității sistemului mobil al aparatului.
Lagărele cilindrice se aleg în funcție de natura și cerințele impuse aparatului. Materialele care se utilizează la confecționarea fusurilor sunt oțelurile tratate chimic. Cuzineții se confecționează, în funcție de condițiile de exploatare, din următoarele materiale: bronz, fontă de antifricțiune, metaloceramice sinterizate, mase plastice (poliamide), mase plastice combinate cu fibre textile (textolit), lemn presat sau cauciuc.
Ultimele materiale se comportă bine la ungerea cu apă și realizează o răcire bună. Este însă necesară protejarea arborelui contra coroziunii, ungerea acestor materiale, în cazul mecanicii fine, se face cu ulei. Pentru lagărele cu diametre mai mici de 1 mm se folosesc ca materiale pentru cuzineți: rubinul, safirul, corindonul, agatul și alte materiale prețioase.
Funcționarea generală a sistemului fus-cuzinet presupune montajul cu joc. Alegerea toleranțelor se face în sistemul alezaj unitar, cu luarea în considerare a vitezei, condițiilor de lucru și preciziei.
Formele constructive ale fusurilor depind de mărimea diametrului lor. Formele constructive ale lagărelor sunt foarte variate depinzând de dimensiuni, solicitare și cerințele locului de utilizare.
Principalele forme constructive de fusuri cilindrice radiale sunt reprezentate în Fig.4.8a b.
Principalele forme constructive ale lagărelor prin alunecare cilindrice sunt prezentate în Fig. 4.9.
4.4. LAGĂRELE DIN MASE PLASTICE
Există aparate care tind să utilizeze aproape în mod exclusiv lagăre din mase plastice, capabile să funcționeze fără întrerupere.
Din categoria acestor aparate fac parte:
– mașinile de birou și de calcul;
– mecanismele pentru transportul filmului;
– aparatele electrice de reglaj;
– aparatele electrocasnice;
– ceasurile de diferite tipuri.
Avantajele prezentate de aceste lagăre sunt:
– rezistența chimică;
– capacitatea de amortizare;
– izolarea electrică;
– economice – tehnologia de fabricație prin injecție.
Dezavantajele acestor lagăre sunt date de:
– rezistența limitată la uzare;
– instabilitatea dimensională în timp;
– dilatarea termică mare;
– conductivitatea termică redusă.
Pentru limitarea acestor dezavantaje s-au făcut numeroase cercetări care au dus la utilizarea unor cupluri de materiale sau mai multor straturi de material.
Lagărele masive sunt executate în întregime din masă plastică, simplă sau cu inserție. Astfel cuplul de materiale folosit în acest caz este oțel pentru fus și rășinile formaldehidice cu inserție de țesături (textolit) pentru lagăr.
Este de remarcat faptul că un cuplu metal-masă plastică poate prezenta în regim de funcționare uscată uzuri mai mici decât un cuplu metal-metal, lubrificat. Pentru îmbunătățirea comportării la frecare și uzare a maselor plastice, în afară de încorporarea de substanțe de antifricțiune (MoS2, grafit, fibre de teflon) se mai poate utiliza și ungerea obișnuită prin interpunerea lubrifiantului lichid între suprafețele de frecare. Acest procedeu de ungere se va face la montaj, o singura dată pe toată durata de funcționare a aparatului.
La lagărele stratificate, masa plastică propriu-zisă, cu proprietăți tribologice bune, formează numai un strat subțire pe o bază metalică care asigură rezistența mecanică a lagărului și disiparea căldurii. Procedeul tehnologic de realizare a acestui tip de lagăre este complex și se bazează pe sintetizare.
4.5. LAGĂRELE CU SUPRAFEȚE SFERICE
Lagărele cu suprafețe sferice au fusurile de formă sferică. Fusurile pot fi confecțioante din aceeași bucată cu arborele sau simple bile introduse prin strângere, înttr-un locaș prelucrat în arbore. Ultima variantă este mai ieftină și ușor de realizat tehnologic.
Cuzinetul poate fi sferic sau conic. Cuzinetul sferic este mai dificil de prelucrat, dar asigură presiuni de contact mai mici și o durabilitate mai mare. Cel conic se confecționează mai ușor, însă presiunile de contact sunt mult mai mari. Avantajul substanțial al cuzinetului conic față de cel sferic este acela că poate fi reglat după uzură. De aceea la aparatele de măsurare, unde trebuie evitat jocul axial, se utilizează cuzineți conici.
Forme constructive de lagăre cu suprafețe sferice sunt prezentate în Fig. 4.10.
Lagărele sferice sunt de tip deschis, fiind necesară o forță pentru menținerea contactului dintre cele două elemente. Ele realizează o bună mobilitate unghiulară, putând ocupa diferite poziții relative dorite. Pentru a fixa poziția arborelui cerută de funcționarea sistemului mobil se folosesc plăci de ghidare.
Materialele folosite sunt:
– pentru fusuri: – OSC 8, 10, 12 călit la duritatea HRC = 52…56;
– Rul 1, 2 (dacă fusurile sunt bile).
– pentru cuzineți: – bronz;
– oțel călit;
– sticlă specială;
– pietre prețioase (agatul, corindonul).
Lagărele sferice asigură o centrare suficient de bună, de ordinul a 10μm.
4.6. LAGĂRELE CU FRECARE FLUIDĂ
La funcționarea lagărelor prin alunecare, în regim de frecare fluidă, suprafețele fusului și cuzinetului sunt complet separate printr-un film de lubrifiant care preia încărcarea exterioară prin intermediul presiunilor ce se creează în film, modifică calitativ fenomenele de contact micșorând frecarea, contribuie la disiparea căldurii rezultate din frecare.
Lagărele cu regim de frecare fluidă pot fi: hidrodinamice, gazodinamice, hidrostatice și gazostatice.
La baza studiului și a calculului fenomenelor din lagărele funcționând în regim de frecare fluidă stă studiul mișcării fluidului considerat vâscos dintre cele două suprafețe solide.
Lagărele hidrodinamice. Portanța în lagărele hidrodinamice se creează datorită mișcării fluidului antrenat de însuși elementul în mișcare și de forma interstițiului dintre cele două suprafețe.
La ungerea cu lubrifiant lichid, neluându-se în considerare aspectul termic, se poate considera că densitatea și vâscozitatea sunt constante.
Cea mai frecventă formă de lagăr hidrodinamic o reprezintă lagărul radial cu suprafețe cilindrice (Fig. 4.11). Realizarea regimului de ungere hidrodinamică are loc de la o anumită turație și se datorează suprapresiunilor care apar în interstițiul în formă de pană din spațiul dintre fus și cuzinet. Din această cauză, fusul se deplasează, centrul lui ocupând o poziție excentrică față de centrul cuzinetului.
Lagărele gazodinamice. Mecanismul funcționării unui lagăr lubrificat cu gate nu diferă esențial de acela al unui lagăr lubrificat cu ulei sau alt lichid. Datorită existenței unei mișcări relative între suprafețele lubrificate și a formei adecvate a interstițiului, în fluidul împins între suprafețe de însăși elementul în mișcare se creează o distribuție de presiuni a cărei rezultantă echilibrează sarcina cu care este încărcat lagărul. Elementul nou care intervine îl constituie compresibilitatea gazului.
4.7. LAGĂRELE PRIN ROSTOGOLIRE
Dintre toate organele de mașini destinate transmiterii mișcării mecanice, lagărele de rostogolire ocupă un loc important, înlocuind tot mai mult lagărele de alunecare.
Prin definiție, lagărele de rostogolire reprezintă organe de sprijin (cuple cinematice) la care frecarea dintre elementele în mișcare este o frecare de rostogolire, elementele în mișcare fiind menținute într-o poziție relativă constantă unele față de celelalte. Lagărele prin rostogolire au în construcția lor un cuzinet de o formă specială, denumit rulment, prin care se deosebesc esențial de lagărele prin alunecare. Astfel, studiul lagărelor prin rostogolire se reduce la studiul rulmenților. Mișcarea relativă dintre fus și lagăr se realizează prin rostogolirea unor corpuri interpuse între aceste două elemente și intrate în compunerea rulmentului.
Una dintre caracteristicile statice importante ale lagărelor de rostogolire echipate cu rulmenți radiali cu bile o reprezintă capacitatea de încărcare statică definită ca fiind sarcina statică pur axială care acționează pe centrul lagărului și provoacă o deformare permanentă de 0,0001 din diametrul corpului de rostogolire în punctul de contact al acestuia cu calea de rulare.
Capacitatea de încărcare statică se determină cu relația:
Co ≥ fs · P0 (4.2)
unde:
Co – capacitatea de încărcare statică [daN];
fs – factor de siguranță (tabelul 4.1);
P0 – sarcina statică echivalentă [daN].
Tabelul 4.1
În tabelul 4.1 valorile maxime corespund lagărelor cu carcase subțiri, iar valorile minime corespund carcaselor cu pereți groși.
Funcționarea lagărelor de rostogolire este însoțită atât de vibrații cauzate de fenomene mecanice interne, cât și de solicitări externe la care acestea sunt supuse în timpul funcționării.
Pentru a crește performanțele funcționale ale lagărelor de rostogolire se impune cunoașterea cât mai fidelă a comportării lor dinamice. Calcularea principalelor caracteristici dinamice ale lagărelor de rostogolire (coeficienții de rigiditate și de amortizare) reprezintă un pas important și necesar în stabilirea modelului fizic al lagărului. În calcularea parametrilor dinamici echivalenți, pe lângă aspectele funcționale ale lagărului, o analiză a condițiilor de montaj a elementelor componente ale lagărului, cât și a acestuia în cadrul structurii mecanice de bază este de o mare importanță practică.
Dintre caracteristicile dinamice ale unui lagăr de rostogolire, un efect important are autoexcitația generată de sistemul arbore-lagăr, efectul amortizării din lagăr, forțele de frecare din filmul de ulei aflat pe căile de rulare, forțele elastice interne lagărului, efectul giroscopic al corpurilor de rostoglire, influența abaterilor de formă a căilor de rulare ale lagărului, aceste fenomene intervenind în dinamica lagărelor de rostogolire.
Măsurarea parametrilor dinamici ai lagărelor este relativ dificilă întrucât nu sunt direct accesibili, perceperea lor făcându-se indirect prin intermediul altor mărimi mecanice ca: deplasarea, viteza sau accelerația lagărului. Dacă vibrația este cauzată de arborele aflat în mișcare de rotație cu viteza unghiulară ridicată, la care masa elementelor aflată în mișcare de rotație este mică față de elementele staționare ale lagărelor și a fundațiilor, doar o mică parte a vibrațiilor arborelui se transmite lagărului. Astfel, arborele are o amplitudine mult mai mare decât celelalte părți ale mașinii, fiind utilizată în acest caz măsurarea mișcării relative a arborelui față de partea fixă a lagărului.
Avantajele lagărelor prin rostogolire sunt:
– frecare mică și portanță mai mare decât la lagărele pentru vârfuri;
– uzură și încălzire reduse;
– consum mic de lubrifiant;
– rigiditate mai mare;
– înlocuire ușoară și posibilitatea unui grad mai mare de standardizare.
Dezavantajele lagărelor prin rostogolire sunt date de:
– gabarit de diametru mai mare și greutate mai mare;
– funcționare mai puțin liniștită;
– durabilitate redusă, mai ales la turații ridicate;
– precizie mai mare la montaje, deci tehnologie mai pretențioasă și preț de cost mai mare.
Utilizarea rulmenților are o frecvență mai mică în construcția de aparate, din cauza dimensiunilor de gabarit mai mari decât la alte lăgăruiri. La utilizarea rulmenților în aparate trebuie să se aibă în vedere durata de funcționare limitată de uzura rulmentului, stabilitatea la coroziune, caracterul antimagnetic al părților componente ale rulmenților.
Clasificarea rulmenților după direcția de acționare a sarcinii este următoarea:
– rulmenți radiali, care preiau sarcini radiale, dar și aiale foarte mici;
– rulmenți radial-axiali, care pot relua simultan sarcini radiale și axiale;
– rulmenți axiali, care pot relua numai sarcini axiale.
O altă clasificare a rulmenților se poate face după forma elementului de rulare. Astfel, avem:
– rulmenți cu bile;
– rulmenți cu role – cilindrice, conice, tronconice sau butoiașe;
– rulmenți cu ace.
Câteva exemple constructive de rulmenți sunt prezentate în Fig. 4.12.
Materialele din care se execută piesele rulmenților standardizați sunt următoarele:
– inelul și bilele din oțel Rul 1 și Rul 2;
– colivia din oțeluri rezistente la coroziune, alamă textolit, nailon.
Pentru ungere se folosesc lubrifianți cu onctuozitate mică și vâscozitate constantă la viteza de lucru a rulmenților, de origine animală, siliconici sau parafinici.
Dimensiunile mici care apar în mecanica fină nu pot fi întotdeauna satisfăcute de rulmenții standardizați, astfel se folosesc rulmenții nestandardizați cu diametre foarte mici numiți miniaturali. Diametrele exterioare ale acestor rulmenți miniaturali sunt cuprinse între 1,5 mm și 8 mm sau chiar mai mici în cazul rulmenților micriscopici 0,25 mm.
Câteva exemple constructive de rulmenți miniaturali sunt prezentate în Fig. 4.13.
Acești rulmenți miniaturali pot prelua sarcini de 50 … 2000 cN la o turație de n = 100 rot/min, asigurând o centrare precisă de 3 … 5 μm și o bună stabilitate în regimurile vibratorii.
4.8. LAGĂRELE SPECIALE
Există și lagăre la care frecarea este foarte mică sau practic inexistentă, acestea folosindu-se în construcțiile de aparate ale mecanicii fine. Acestea sunt destinate să sprijine sistemele de greutate mică și urmăresc mărirea sensibilității de indicație a aparatelor. Din categoria acestor lagăre fac parte: lagărele cu elemente elastice, lagărele cu mercur și lagărele magnetice și electrostatice.
Lagărele cu elemente statice. Elementele de lucru ale acestora sunt firele sau benzile elastice care se fixează cu un capăt la partea mobilă, iar cu celălalt capăt la partea fixă a aparatului. Lagărele cu elemente elastice nu se uzează și au o întreținere foarte ușoară, deoarece nu trebuie unse.
Materialele folosite sunt bronzul fosforos cu beriliu, zinc și plumb, cuațul, aliajele de platină cu argint, platină cu nichel.
În funcție de natura deformațiilor, sprijinele elastice pentru mișcarea de rotație pot fi de torsiune și de încovoiere. Din prima categorie fac parte suspensorii și extensorii, iar din cea de a doua fac parte articulațiile cu una sau două benzi paralele, încrucișate și cu acele perpendiculare.
Suspensorii și extensorii pot avea secțiune circulară cu diametrul între 0,001 mm și 0,1 mm sau dreptunghiulară cu grosimea între 0,005 mm și 0,5 mm și lățimea între 0,05 mm și 0,4 mm.
În Fig. 4.14 sunt prezentate câteva scheme de suspensori și extensori:
Pentru funcționarea lagărelor cu elemente elastice o importanță deosebită o prezintă fixarea lor de părțile mobile și imobile ale aparatelor. La o fixare incorectă se pierde stabilitatea sistemului mobil în poziția de zero, deoarece pot apărea tensiuni suplimentare sau se modifică proprietățile mecanice ale materialului din cauza supra încălzirii lui în procesul de fixare. Fixarea se poate face prin sudare și pe cale mecanică (Fig. 4.15).
Lagărele cu elemente elastice de încovoiere sunt formate din unul sau mai multe arcuri lamelare legate la un capăt de partea fixă, iar la celălalt capăt de sistemul mobil al aparatului. Au ca avantaj uzura mică și o întreținere ușoară (Fig. 4.16).
Lagărele cu mercur. Principiul de funcționare a acestor lagăre constă în deformarea stratului de mercur sub acțiunea unor forțe, sprijinirea bazându-se pe tensiunea superficială mare a mercurului care menține suspendat sistemul mobil și pe aderența mică a mercurului de alte materiale. Lagărele cu mercur pot fi capilare și inelare.
Lagărele magnetice și electrostatice. Principiul de funcționare a acestor lagăre are la bază interacțiunea câmpurilor dintre doi magneți sau electromagneți, unul fiind legat de partea fixă, iar celălalt la cea mobilă (Fig. 4.17). Cele mai utilizate sunt lagărele magnetice care își bazează acțiunea fie pe forța de atracție, fie pe cea de respingere între doi magneți.
Avantajele acestor lagăre sunt:
– susțin greutăți de ordinul a 2 … 3 dN;
– dau momente de frecare foarte mici;
– asigură o creștere considerabilă a duratei de funcționare a aparatului;
– nu trebuie unse;
– nu sunt supuse influenței variațiilor de temperatură și umiditate.
Dezavantajele lor constă în:
– preț de execuție mare;
– apariția forțelor suplimentare, la așezarea excentrică a magneților, care pot duce la încetarea funcționării lagărului.
4.9 PROBLEMATICA CALCULĂRII CARACTERISTICILOR DINAMICE ALE LAGĂRELOR DE ROSTOGOLIRE
Dintre caracteristicile dinamice ale unui lagăr de rostogolire cele mai importante sunt rigiditatea și amortizarea.
Pentru calculul rigidității (statice) a rulmenților trebuie să se țină seama de rigiditatea de contact (hertziană). Pentru un element de rulare se obține un model fizic ca cel din Fig. 4.18, iar pentru întregul rulment se recurge la modelul din Fig. 4.19.
a) Amortizarea în cazul lagărelor de rostogolire
S-a constatat că o parte semnificativă a amortizării este constituită de condițiile hidrodinamice ale ungerii lagprelor, restul capacității de amortizare fiind preluată de aspectele structurale ale acestora (aspecte de material, de ajustajele inelelor exterioare-carcase, a inelelor interioare-arbore).
În condițiile unei lubrifieri elastohidrodinamice, modelele de lubrifiere existente pentru corpurile de rostogolire pun în evidență trei aspecte importante (Fig. 4.20).
Punerea în evidență a mecanismului amortizării din filmul de lubrifiant capătă conotații complexe prin faptul că trebuie avute în vedere fenomenele ce au loc în timpul mișcării de rotație a elementelor lagărului ca surse ale amortizării:
– efectul portant al peliculei de lubrifiant din zona de contact hertzian între corpul de rostogolire și calea de rulare;
– „împărțirea“ lubrifiantului pe corpurile de rostogolire și căile de rulare altele decât cele care suportă efectul direct al încărcării în momentul considerat;
– efectul interacțiunii coliviei asupra corpurilor de rostogolire în timpul mișcării;
– apariția mișcării de oscilație a lagărului într-un plan perpendicular pe direcția încărcării dinamice a acestuia.
Modelul dinamic al zonei de contact pentru un contact singular corp de rostogolire-cale de rulare este prezentat în Fig. 4.21.
unde:
kc – componenta „vâscoasă“ a elasticității peliculei de lubrifiant;
kt – componenta „hertziană“ a elasticității peliculei de lubrifiant;
cc – amortizarea „vâscoasă“ a lubrifiantului din zona de contact.
Filmul de ulei din zona de contact are ca și caracteristici intrinseci amortizarea vâscoasă cc și elasticitatea vâscoasă kc. Sub acțiunea încărcării dinamice normale, este evidențiată rigiditatea de tip hertzian kt, care se „suprapune“ peste kc și cc.
Deoarece deformarea elastică de tip „hertzian“ datorată încărcării dinamice este mult mai mare decât componenta „vâscoasă“, cu o bună aproximare se poate considera modelul simplificat din Fig. 4.21 b.
b) Rigiditatea lagărelor de rostogolire
– rigiditatea elementelor de rulare
Elasticitatea unui corp de rostogolire pe un plan orizontal se calculează cu relația lui Hertz:
(4.3)
unde: Fh – forța de încărcare suportată de contactul hertzian;
Kh – constanta lui Hertz, care depinde de geometria zonei și de tipul materialelor elementelor de rostogolire;
σ – deplasarea elastică a centrului bilei.
Derivând relația (4.3) rezultă:
(4.4)
Și din relația (4.2) scoatem σ½
(4.5)
Pentru calculul rigidității unui corp de rostogolire se obține relația:
(4.6)
Coeficienții kc și cc depind de condițiile existente în toată zona de contact, fiind influențați atât de forma de contact local, cât și de condițiile de lubrifiere din zona de contact.
Expresia forței pentru zona de contact este:
(4.7)
unde:
η – vâscozitatea uleiului;
U – viteza de rotație a elementelor de rostogolire;
v – viteza de apropiere a corpurilor de zona de contact.
Ultinul termen al relației (4.7) reprezintă efectul vâscos al peliculei de lubrifiant la apropierea forțată cu viteza v a corpurilor de rostogolire de zona de contact.
Coeficientul de amortizare vâscoasă cc este:
(4.8)
Se presupune că h0 nu este afectat de viteza v. Variația forței Fc este mică și kc devine nesemnificativă în comparație cu kt.
c) rigiditatea globală a lagărului de rostogolire
Deplasarea axei nominale a lagărului de rostogolire supus unei încărcări radiale variabile de forma:
F = F0 sin ωt (4.9)
va genera un număr variabil de contacte ale corpurilor de rostogolire pe căile de rulare, deplasarea globală fiind influențată de fiecare contact în parte. Deplasarea fiecărui corp de rostogolire pe căile de rulare se calculează din considerente geometrice, luându-se în calcul și modificarea unghiului de contact ca urmare a oscilațiilor din planul perpendicular pe direcția solicitării și care conține axa de rotație a rotorului. Deplasarea globală însumează practic deplasările individuale pe direcția solicitării forței de încărcare.
În concordanță cu cele amintite, rigiditatea globală a lagărului de rostogolire se detemină cu relația:
unde: kT – rigiditatea globală a lagărului;
kr – rigiditatea lagărului datorată solicitării pur radiale;
kα – rigiditatea datorată modificărilor unghiului de contact α;
θ – unghiul de fază.
5. ECHILIBRAREA ROTORILOR
Ca urmare a neomogenităților, a erorilor de execuție și/sau a imperfecțiunilor de montare ale elementelor componente în timpul funcționării mașinilor apar forțe centrifuge care pot genera vibrații forțate cu amplitudini deranjant de mari. Măsurile care se iau în vederea diminuării sau chiar a eliminării acestor forțe centrifuge alcătuiesc „echilibrarea rotorilor“.
5.1. Dezechilibrări statice și dezechilibrări dinamice ale rotorilor
Starea de funcționare a rotorului la care forțele centrifuge determină apariția unor vibrații forțate cu amplitudini deranjant de mari poartă numele de dezechilibru.
Există două tipuri de elemente de dezechilibru:
– dezechilibru static;
– dezechilibru dinamic.
Dezechilibrul static, numit și dezechilibru într-un singur plan, este caracteristic rotorilor la care (Fig. 5.1) și este datorat necoincidenței centrului de rotație O al discului cu centrul său de greutate C.
În timpul rotirii unui asemenea disc de masă m cu viteza unghiulară ω, apare forța centrifugă Fcf
Fcf = m e ω2 cos ωt (5.1)
care provoacă apariția unor vibrații forțate ce sunt resimțite, în primul rând, de lagărele rotorului.
În Fig. 5.2. este prezentat un rotor alcătuit din două discuri montate pe același arbore. Și în aceste circumstanțe apar forțe centrifuge, cu toate că centrul de greutate se află pe axa de rotație O – O (adică rotorul nu prezintă un dezechilibru static) datorită momentului forțelor centrifuge Fcf. În acest caz, rotorul prezintă un dezechilibru dinamic simplu sau dezechilibru în două plane.
La rigidele aflate în mișcare de rotație axele pentru care momentele de inerție au valori maxime și minime poartă denumirea de axe principale de inerție. În raport cu aceste axe momentele centrifugale sunt nule. Rezultând astfel că dacă lagărele rotorilor din Fig. 5.1 și Fig. 5.2 sunt libere, atunci în cazul dezechilibrului static apare o translație liniară a axei principale de inerție C1 – C1 în raport cu axa principală de rotație O – O, iar în cazul dezechilibrului dinamic simplu axa principală de inerție C1 – C1 basculează în raport cu axa de rotație O – O.
Dar în practică apar frecvent cazuri în care dimensiunile d și l au valori comparabile, rotorii prezentând simultan atât dezechilibrări statice, cât și dezechilibrări dinamice simple, astfel spunem că rotorii prezintă dezechilibrări dinamice complexe, numite dezechilibrări dinamice.
5.2. Echilibrarea statică și echilibrarea dinamică a rotorilor
a) Pentru dezechilibrul static
Se presupune că lagărele rotorului au rigidități unidimensionale, în sensul că permit deplasări elastice numai într-un singur plan, întocmim schema de calcul din Fig 5.3, unde c/2 și k/2 reprezintă constanta de amortizare, respectiv constanta elastică a unuia dintre cele două lagăre identice.
Masa m considerăm că este concentrată în centrul de greutate C și vom scrie ecuația de mișcare:
(5.2)
Răspunsul forțat al sistemului mecanic descris de ecuația (5.2) are forma:
(5.3)
Pentru eliminarea vibrațiilor forțate cauzate de forța centrifugă Fcf rotorul trebuie echilibrat. Folosind o mașină de echilibrat se măsoară mărimile yf și φfy. Mărimea yf dă posibilitatea evaluării masei Δm care trebuie adăugată sau eliminată rotorului, iar mărimea φfy indică poziția unghiulară a punctului de aplicație a forței Fcf în raport cu aceea în care s-a măsurat yf0.
Planul perpendicular pe axa de rotație O – O în care are loc ajustarea masei rotorului poartă denumirea de plan de corecție. Dacă acest plan coincide cu acela în care se manifestă forța Fcf, atunci valoarea masei Δm rezultă din relația:
m · e = Δm · r (5.4)
unde: r – distanța la care se află „punctul“ de pe suportul forței în care are loc ajustarea masei rotorului până la axa de rotație a rotorului.
În vederea echilibrării statice, rotorul se așează pe două rigle paralele (Fig. 5.4. a), pe două perechi de role (Fig. 5.4. b) sau este suspendat (Fig. 5.4. c). Procedând prin încercări, valoarea masei Δm care satisface (5.4) trebuie aleasă în așa mod încât rotorul să rămână în echilibru static indiferent de poziția de încercare.
b) Pentru dezechilibrul dinamic simplu
Rotorul din Fig. 5.3 este echilibrat static, dar, ca urmare a cuplului datorat forțelor centrifuge coplanare, egale și dispuse în două plane perpendiculare pe axa de rotație (Fig. 5.5) apare o dezechilibrare dinamică simplă. Notând cu θ unghiul de rotație a axei principale de inerție C1 – C1 în raport cu centrul de greutate C, deformațiile elastice ale fiecărui dintre cele două lagăre se calculează cu relația:
(5.5)
În acest caz, momentele rezistente datorate lagărelor sunt:
(5.6)
iar ecuația care descrie mișcarea oscilatorie a rotorului în raport cu punctul C se scrie:
(5.7)
unde: 2m – masa rotorului presupusă repartizată în mod egal în punctele de aplicație ale
forțelor Fcf,
J – momentul de inerție al rotorului față de o axă care trece prin C și este
perpendiculară pe planul în care are loc bascularea axei C1 – C1;
k, c, l, e, ω – au semnificațiile din Fig. 5.3 și Fig. 5.5.
Ecuația (5.7) are aceeași formă cu (5.2), elongația θ fiind dată de o relație de forma:
θ = θf0 cos (ωt – φf0) (5.8)
Dacă se cunosc cele două plane în care se manifestă forțele centrifuge din Fig. 5.5, atunci echilibrarea poate fi efectuată ajustând materialul. Această metodă este mai mult teoretică, deoarece rotorii la care mărimile l și d sunt comparabile, prezentând dezechilibrări dinamice complexe, planele în care se manifestă forțele centrifuge și modulele acestora fiind necunoscute.
c) Pentru dezechilibrul dinamic
Relațiile (5.3) și (5.8) arată că deplasările yf și θf sunt în întârziere cu φfy, respectiv φf0 în raport cu forțe centrifuge date de (5.1). Pe de altă parte, pentru un sistem mecanic dat, amplitudinile yf0 și θf0 depind atât de ω, cât și de modulul forței, respectiv momentului de excitație, iar φfy și φf0 numai de pulsația ω. Valorile maxime ale mărimilor yf0 și θf0 se obțin atunci când pulsația ω este egală cu pulsația proprie ωn.
Pentru sistemul mecanic descris de ecuația (5.2), pulsația proprie ωn se calculează cu relația:
(5.9)
Și cu relația
(5.10)
Pentru sistemul mecanic descris de relația (5.7).
Dacă sunt elongațiile mișcării vibratorii în planele de măsurare, iar elongațiile recunoscute din planele de corecție, se poate scrie relația:
(5.11)
unde reprezintă matricea coeficienților de influență (matrice nesingulară).
Se înmulțește relația (5.11) la stânga cu inversa coeficienților de influență α-1, obținem ecuația:
(5.12)
În funcție de amplitudinile și fazele măsurate, în baza unor relații de tipul (5.12), se determină masele Δm1 și Δm2 (de adăugat și eliminat) din planele de corecție.
Echilibrarea dinamică are rolul de a ajusta distribuția maselor pe rotor astfel încât axa principală de inerție să coincidă cu axa de rotație. În funcție de informațiile obținute în două plane perpendiculare pe axa de rotație, numite plane de măsurare, ajustarea maselor se efectuează în alte două plane – planele de corecție. De regulă, planele de măsurare trec prin lagărele rotorului, iar planele de corecție se aleg în funcție de posibilitățile tehnice de adăugare sau de eliminare de material de pe rotor.
Metodele de echilibrare dinamică pot fi clasificate după mai multe criterii. În funcție de turația la care se efectuează antrenarea rotorului care se echilibrează poate fi de turație joasă sau de turație ridicată.
Dacă rotorul (arborele) aflat în mișcare de rotație este compus dintr-o infinitate de discuri și fiecare disc are o forță centrifugă de forma (5.1) cauzată de dezechilibru, linia care unește centrele de rotație ale discurilor infinitesimale reprezintă axa de rotație a rotorului în mișcarea de rotație și este de regulă o curbă sferică.
După cum se cunoaște, pentru un arbore izotrop, locul geometric al axei de rotație este circular și eliptic, pentru unul anizotrop (Fig. 5.6), unde s-a notat cu sc amplitudinea centrului de greutate în mișcarea de rotație din planul considerat.
Ecuația de mișcare a rotorului este:
(5.13)
unde:
[M] – matricea de inerție (matrice simetrică);
[C(f)] – matricea amortizării: – amortizare externă – aspect simetric;
– amortizare internă – aspect simetric, efectul giroscopic;
– amortizarea din lagăre – aspect nesimetric.
[K(f)] – matricea rigidității:
– rigiditatea de încovoiere a arborelui – aspect simetric;
– rigiditatea lagărelor – aspect nesimetric.
{F(t)} – vectorul forțelor externe.
5.3. Echilibrarea roților automobilelor. Metode și mașini de echilibrat
Starea tehnică a ansamblului roților de automobil are printre altele, un important parametru de diagnosticare și anume gradul de dezechilibrare. Acest parametru este cu atât mai important cu cât au crescut vitezele de deplasare ale automobilelor. Echilibrarea roților afectează durata de exploatare a pneurilor, confortul și siguranța deplasării.
Dezechilibrarea roților poate proveni ca urmare a procesului de fabricație și a condițiilor de exploatare.
Procesul de fabricație este răspunzător în această provință prin neomogenitatea repartizării materialului pneului, abaterile dimensionale etc. A apărut astfel necesitatea echilibrării roților noi sau a celor pe care s-au montat anvelope noi.
Procesul de exploatare în condiții normale, după un rulaj oarecare, poate genera de asemenea fenomenul de dezechilibrare prin uzurile neuniforme ale pneurilor, intervențiile de mentenanță asupra pneului sau camerei, recondiționarea jantelor etc. Echilibrarea este necesară la fiecare intervenție asupra pneului (vulcanizare, etanșeizare, demontare – remontare).
Dezechilibrarea roților are ca efect, în procesul de exploatare a automobilelor, înrăutățirea stabilității la rulare ca urmare a oscilațiilor roților din direcție în plan vertical sau orizontal în jurul axei pivoților (mișcarea „shimmy“), periclitarea securității circulației, deteriorarea rulmenților, amortizoarelor și mecanismului de direcție. La anumite viteze de deplasare, automobilul prezintă vibrații periculoase, scăzând eficiența frânării ca urmare a slăbirii contactului pneului cu calea.
Mașinile de echilibrat se clasifică în special pe baza procedeelor de echilibrare. În acest sens, s-au dezvoltat două tipuri:
mașini care echilibrează roțile demontate de pe automobil;
mașini care execută această operație fără demontarea roților.
Fiecare procedeu se remarcă prin următoarele avantaje:
precizia, respectiv posibilitățile de echilibrare completă sunt mai mari;
excluzând timpii necesari montării și demontării roților, procedeul propriu-zis este mai rapid;
suprafața ocupată în spațiul tehnologic este redusă;
echilibrarea este posibilă fără prezența automobilului;
interschimbabilitatea roților.
Dezavantajele procedeului:
imposibilitatea echilibrării celorlalte mase neechilibrate legate de roată (discuri, tamburi de frână etc.);
abaterile de centrare la remontarea roții pe automobil diminuează calitatea echilibrajului mecanic;
costul mai ridicat al mașinilor de echilibrat din această categorie;
nu permite efectuarea unor diagnosticări rapide.
Procedeul de echilibrare fără demontarea roților de pe automobil prezintă avantajele:
se elimină manopera de montare și demontare a roților de pe vehicul;
permite o diagnosticare rapidă indicând dacă este sau nu necesară echilibrarea;
permite includerea în operația de echilibrare și a celorlalte mase aferente roții;
nu apar perturbări ale echilibrajului ca urmare a abaterilor de centrare a roții;
costul de montaj și al aparaturii este redus.
Dezavantajele acestui procedeu sunt:
dă indicii asupra gradului general de dezechilibrare fără a se putea realiza o echilibrare de precizie ridicată;
echilibrarea necesită încercări repetate;
necesită o experiență mai mare a lucrătorilor;
roțile nu sunt interschimbabile și nici măcar poziția unghiulară.
În funcție de regimul de funcționare la care se efectuează echilibrajul, există mașini care funcționează la rezonanță, la o turație inferioară turației de rezonanță (cu arbore rigid) și cu turație superioară turației de rezonanță (cu arbore elastic).
Regimul de funcționare al celor trei tipuri de mașini se poate sintetiza pe baza diagramelor de variație a amplitudinii oscilațiilor generate de masele neechilibrate în funcție de viteza unghiulară a roții, unde:
ω0 – viteza unghiulară proprie oscilației libere a ansamblului roată-suspensie;
ω – viteza unghiulară de echilibrare.
Fig. 5.7. Regimurile de funcționare ale mașinilor de echilibrat
5.3.1. Mașinile de echilibrat cu funcționare la rezonanță
Mașinile de acest tip sunt folosite pentru echilibrarea fără demontarea roților de pe autovehicul.
Fig. 5.8. Mașina de echilibrat cu funcționare la rezonanță
Instalația cuprinde traductorul inductiv 2 care se montează sub unul din brațele suspensiei sau trompa semiarborilor, roata de echilibrat fiind suspendată. Șaiba 1 antrenată de motorul electric al mașinii va învârti prin contact roata suspendată.
Mașina are în componența sa o lampă stroboscopică 4 și un milivoltmetru 3. Traductorul 2 sesizează oscilațiile elementului legat de roată și le transformă în impulsuri electrice, proporționale cu viteza de oscilație a centrului roții. În același timp, la fiecare oscilație, traductorul pune în funcțiune lampa stroboscopică 4.
Din relațiile arătate mai înainte, se vede că între forța oscilatorie și deplasare (între C și X) există un decalaj φ a cărui valoare este constantă pentru un automobil dat, depinzând de tipul suspensiei și roții și de viteza unghiulară a acesteia.
Dacă roata este antrenată cu ω0 proprie oscilației libere a ansamblului roată-suspensie – deci se aduce ansamblul la rezonanță, atunci defazajul φ se deduce din relația:
(5.14)
În care se înlocuiește ω cu rezultând ,
ceea ce înseamnă că la regimul de rezonanță, mișcarea centrului roții este defazată cu un sfert de rotație în urmă față de rotația masei neechilibrate (Fig. 5.10).
Pe de altă parte, traductorul inductiv face să apară semnale proporționale cu viteza centrului roții.
Dacă se derivează relația:
(5.15)
Se obține:
(5.16)
Care la rezonanță are forma:
(5.17)
Cum forța perturbatoare (C) este:
(5.18)
Rezultă că masa neechilibrată și viteza centrului roții se află în aceeași fază. Deci semnalul electronic exprimă chiar poziția unghiulară a masei neechilibrate. Acest semnal are o variație după curba 1 este derivat de aparat (curba 2), amplificat (curba 3), după care vârfurile sunt tăiate, obținându-se variația tensiunii după curba 4. Aceasta este din nou derivată, realizându-se impulsurile (5). Impulsurile negative sunt anulate, iar cele pozitive se aplică lămpii stroboscopice. După cum se observă din Fig. 5.9, lampa va ilumina roata în situațiile în care masa neechilibrată ocupă poziția cea mai de jos.
Fig. 5.9
Determinarea locului în care urmează să fie plasată masa de echilibrare se face astfel:
– roata suspendată se antrenează cu ajutorul șaibei motorului electric la o turație superioară turației de rezonanță;
– se îndepărtează șaiba de antrenare lăsând roata să se rotească liber, iar aceasta își încetinește mișcarea de rotație. În acest timp, se urmărește indicația milivoltmetrului. Valoarea maximă a tensiunii indicată de aparat coincide cu realizarea regimului de rezonanță când ω = ω0.
– observatorul va vedea roata statică cu semnul aflat într-o anumită poziție. Masa neechilibrată se află în partea de jos, deci locul unde va trebui amplasată contragreutatea se află diametral opus în partea de sus a jantei.
Fig. 5.10. Dependența tensiunii și defazajului de turația de antrenare a roții de echilibrat
Viteza centrului roții de rezonanță, așa cum rezultă din relația lui () deci și indicația milivoltmetrului este proporțională cu masa neechilibrată. Aparatul poate avea o scală care să indice și mărimea în grame a masei neechilibrate. Valorile citite sunt influențate atât de greutatea suspendată a punții, cât și de pulsația de rezonanță a ansamblului roată-suspensie (care depinde de starea arcului amortizorului).
Din acest motiv, indicațiile nu sunt precise decât pentru un anumit tip de automobil. Această fază de echilibrare reprezintă echilibrarea statică.
Pentru verificarea stării de echilibrare dinamică, traductorul inductiv se așează în poziția orizontală sprijinit de talerul roții. La un dezechilibru dinamic, cuplul creat de masa neechilibrată și adițională va provoca rotirea roții în jurul pivotului fuzetei.
Pentru echilibrarea dinamică, procedeul este identic cu echilibrarea statică. Masa de echilibrare care este indicată de aparat se împarte în două părți și se dispune diametral opus, una în partea de jos în interiorul jantei și alta în exterior.
5.3.2. Mașini de echilibrat cu arbore elastic
Echilibrarea cu mașinile cu arbore elastic are loc la un regim de pulsații superioare regimului de rezonanță a ansamblului roată-suspensie ω>ω0. Echilibrarea se face cu demontarea roții de pe automobil.
Arborele 1 se sprijină pe lagărul oscilant 3 care permite oscilația axului numai în plan orizontal. Pe o extremitate se montează roata de echilibrat, cealaltă fiind echilibrată de arcurile 2. Deplasările acestei extremități sunt sesizate de traductorul 4. Roata, axul și arcurile formează un sistem elastic care are frecvența pulsațiilor proprii (ω0) coborâtă. Roata echilibrată static se montează pe arbore astfel încât planul interior al jantei să cuprindă centrul de oscilație al arborelui 1.
În acest fel de montaj, oscilațiile arborelui nu sunt provocate de masele neechilibrate 5, aflate în planul interior al jantei, ci numai de cele din fața lui, masele neechilibrate 6, care vor provoca oscilația în plan orizontal.
Fig. 5.11. Mașina de echilibrat cu arbore elastic
Echilibrarea se desfășoară în două faze. În prima fază, rotind roata, cu ajutorul traductorului și al unui dispozitiv de citire, se determină locul și mărimea masei adiționale care se plasează în poziția (ω0), adică în planul exterior al jantei, eliminând efectul masei neechilibrate 6 aflată în acest plan.
Traductorul care indică poziția arborelui mașinii de echilibrat va indica locul de plasare al contragreutății decalat cu unghiul dacă: ω ≥ 3 ω0.
Sub acest regim, așa cum se vede din Fig. 5.10, poziționarea masei de echilibrare este eronată, deoarece decalajul unghiular scade foarte mult.
În a doua fază, se rotește roata lent pe arborele mașinii până la oprirea sa; în această situație, pe partea din interiorul jantei se plasează mase magnetice a căror mărime se determină prin tatonări, până când roata rămâne în echilibru indiferent, eliminând astfel și efectul masei (5). Rezultate superioare se pot obține cu instalații la care lagărul de oscilație este mobil (Fig. 5.12).
Fig. 5.12. Schema de principiu a mașinii de echilibrat cu lagăr deplasabil
Echilibrarea se desfășoară în două etape, prima decurgând la fel ca la instalațiile cu punct de oscilație fix, când arborele oscilează în pozițiile I-I sub acțiunea forței centrifuge create de masa A.
După echilibrarea acestei mase se trece la a doua fază în care punctul de oscilație se deplasează în poziția 2, făcând ca arborele să oscileze în pozițiile II-II sub acțiunea forței centrifuge create de masa B.
Determinarea pozițiilor în care trebuie să fie plasate masele adiționale se face cu dispozitive optice, mecanice sau electrice.
Derivata funcției 1 va reprezenta poziția masei neechilibrate.
5.3.3. Mașini de echilibrat cu arbore rigid
Aceste mașini funcționează la regimuri subrezonante:
ω = (0,2 ÷ 0,3) ω0
La aceste pulsații, defazajul unghiular dintre poziția centrului roții și cea a masei este aproximativ nul; cu alte cuvinte, poziția centrului roții exprimă și poziția masei neechilibrate în antifază cu care trebuie plasată masa adițională. La aceste mașini, a căror construcție este asemănătoare cu a celor cu arbore elastic, arcurile de echilibrare sunt foarte puternice, astfel încât pulsația proprie a sistemului are valori ridicate față de pulsația de lucru, iar ansamblul este practic rigid. Ca urmare, deplasările laterale ale arborelui fiind foarte mici, forțele de inerție, perpendiculare pe axa de rotație a roții, sunt neimportante și nu împiedică desfășurarea măsurării acestora, cu ajutorul unor dispozitive electrice care dau direct și precis valoarea masei neechilibrate, corespunzător dimensiunilor jantei.
6. COMPORTAREA DINAMICĂ A ROTORILOR
6.1. RĂSPUNSUL LA DEZECHILIBRE
S-a analizat răspunsul la dezechilibre al rotorului simetric în lagăre elastice, în mai multe cazuri, și anume:
– în funcție de influența elasticității lagărelor;
– în funcție de influența amortizării externe;
– în funcție de influența amortizării lagărelor.
În funcție de influența elasticității lagărelor.
Se consideră cazul rotorului din Fig. 2.3.
Elasticitatea arborelui se definește prin constanta elastică k (definită ca raportul între o forță aplicată la mijloc și săgeata statică produsă de aceasta în secțiunea respectivă). Pentru rotorul simetric, aceasta are expresia
k = 48 EI/l3 (6.1)
unde:
l – distanța între lagăre;
I – momentul de inerție axial al secțiunii transversale a arborelui;
E – modulul de elasticitate transversal al meterialului arborelui, modulul lui Young.
Se neglijează masa proprie a arborelui, forțele de frecare de orice natură, precum și deformația statică a arborelui (dispus orizontal) sub acțiunea greutății discului. Se consideră că, în repaus, arborele este rectiliniu și se studiază mișcarea rotorului față de această poziție de echilibru static.
Se studiază variația rigidității cu direcția de deformare, astfel rezultă două direcții principale, în lungul cărora rigiditatea lagărului are valori extreme. În cazul lagărelor ortotrope, se definesc numai rigiditățile principale.
Se alege un sistem de axe fixe, cu originea în punctul O. Axa Ox coincide cu axa lagărelor (axa nedeformată a arborelui). Axa orizontală Oz și axa verticală Oy se află în planul median al discului, în lungul direcțiilor principale de rigiditate ale lagărelor (Fig. 6.1).
unde:
– k1 și k2 – rigiditățile principale;
– yC, zC – coordonatele centrului geometric C;
– yG, zG – coordonatele centrului geometric G;
– yL, zL – proiecțiile deplasării centrului fusului pe axele triedrului fix Oxyz.
Aplicând un cuplu exterior M (t), discul este pus în mișcare de rotație, astfel că la un moment oarecare t, segmentul CG face unghiul (pozitiv în sens trigonometric) cu axa Oy.
Ecuațiile de mișcare
Aplicând principiul lui d’Alembert izolând discul și aplicându-i forțele de legătură, cuplul exterior, forțele și cuplul de inerție, rezultă ecuațiile de echilibru dinamic ale forțelor și cuplurilor care acționează asupra discului (Fig. 6.2).
(6.2)
S-a notat cu yG = m · iG2, unde iG – raza de girație a discului față de axa de rotație.
Ecuațiile forțelor care acționează asupra arborelui (Fig. 6.3)
(6.3)
Între coordonatele punctelor C și G se stabilesc relațiile:
(6.4)
Considerând un regim staționar de mișcare, pentru M(t) = 0, conform acestui regim cuplul activ și cel rezistent se anulează reciproc, rezultă că sau printr-o alegere convenabilă a originii timpului θ = ωt. (6.5)
Eliminând coordonatele yL, zL și yG, zG între ecuațiile (6.2) – (6.4), ținând cont de (6.5), se obțin ecuațiile de mișcare ale punctului C:
(6.6)
unde am notat
(6.7)
Ecuațiile (6.2) se deosebesc de ecuațiile
pentru rotorul pe reazeme rigide, numai prin constantele elastice echivalente (6.7), diferite pe cele două direcții Oy și Oz.
Datorită simetriei sistemului, lagărele pot fi considerate elemente elastice legate în paralel, arborele elastic fiind legat în serie cu acestea. Expresiile constantelor elastice echivalente, pe cele două direcții, se stabilesc cu ajutorul relațiilor:
Înlocuind pe k prin ky și prin kz în cele două ecuații pentru rotorul pe reazeme rigide, rezultă direct sistemul (6.6).
Soluțiile complete ale ecuațiilor (6.6) se scriu sub forma:
(6.8)
unde:
(6.9)
sunt pulsații ale vibrațiilor pe direcțiile Oy și Oz.
În general, ωy ≠ ωz și dacă k2 < k1 atunci .
Răspunsul la dezechilibru
Mișcarea în regim staționar este descrisă de soluțiile particulare ale ecuațiilor (6.6).
(6.10)
În Fig. 6.4 s-a reprezentat grafic variația amplitudinii celor două componente ale deplasării punctului C în funcție de viteza unghiulară de rotație ω. Se observă faptul că atunci când ω = ωx și ω = ωy, amplitudinea deplasării crește nelimitat, deci rotorul simetric pe reazeme elastice anizotrope are două turații critice.
Deoarece yc ≠ zc, relațiile (6.10) sunt ecuațiile parametrice ale unei elipse. Eliminând timpul între aceste relații, rezultă:
(6.11)
traiectoria punctului C este o elipsă ale cărei axe coincid cu axele principale de rigiditate ale lagărelor.
Punctul C parcurge elipsa într-un timp T = 2π/ω, egal cu perioada de rotație a discului, astfel mișcarea are caracterul unei precesii sincrone.
Având în vedere că, deși precesia este sincronă, viteza unghiulară a deplasării punctului C în lungul orbitei este variabil, ω este viteza unghiulară a unui punct pe cercurile care generează elipsa.
Din Fig. 6.4 rezultă că pentru ω = ω* și ω = ω** → ∞, orbita devine circulară, iar pentru ω < ω* elipsa are axa mare paralelă cu direcția Oz și pentru ω > ω* – paralelă cu Oy.
Ortotropia lagărelor determină o dedublare a turațiilor critice și orbite eliptice ale mișcării de precesie sincronă.
Mișcarea centrelor fusurilor este definită de variația în timp a coordonatelor punctului L. Din ecuațiile (6.3) rezultă:
(6.12)
Utilizând ecuațiile (6.12) se obține, în regim staționar,
(6.13)
deci orbita punctului L este tot o eliptică, însă cu semiaxele mai mici decât cele corespunzătoare punctului C.
Mișcarea punctelor L și C este sincronă, amplitudinile maxime înregistrându-se la aceleași valori ωy și ωz ale vitezei unghiulare.
Din ecuațiile (6.4), (6.10) și (6.13) rezultă că punctele O, L, C și G sunt coliniare. Acest fenomen apare datorită neglijării amortizării.
La rotorii cu arborele foarte rigid în comparație cu reazemele, considerăm k → ∞, atunci vom înlocui ky = 2k1, kz = 2k2 în relațiile (6.9). Din relația (6.12) rezultă yL = yC, zL = zC, deci centrul discului are o mișcare de precesie identică cu cea a centrelor fusurilor.
În funcție de influența amortizării externe.
Se consideră cazul rotorului din Fig. 2.3.
Într-o primă aproximație, se admite că amortizarea externă este de tip vâscos, acționând prin forțe proporționale cu viteza absolută a discului.
Răspunsul la dezechilibru
Pentru calculul precesiei amortizate a rotorului, în ecuațiile (6.6) se introduc termeni proporționali cu viteza centrului discului cẏC, cżC. Se obține:
(6.14)
În regim staționar, soluțiile ecuațiilor (6.14) au forma:
(6.15)
unde:
(6.16)
(6.17)
În relațiile (6.16) și (6.17) s-au utilizat notațiile (6.9) și
(6.18)
Pentru simplificarea expunerii, se consideră lagăre cu rigiditatea orizontală de patru ori mai mică decât cea verticală:
k1 = k, k2 = ¼ k,
și un coeficient de amortizare vâscoasă externă
Rezultă că ky = 2/3 k, kz = 1/3 k,
deci rigiditatea verticală a sistemului este de două ori mai mare decât cea orizontală.
Pulsațiile proprii neamotizate sunt:
Rapoartele de amortizare au valori:
Se introduce pulsația adimensională
(6.19)
Relațiile (6.16) și (6.17) devin
(6.20)
(6.21)
În funcție de influența amortizării lagărelor.
Pentru a pune în evidență influența amortizării din lagăre asupra dinamicii rotorilor, se va studia cazul rezemat însă pe lagăre izotrope cu amortizare (Fig. 2.4).
În cazul mișcării staționare a rotorului, când discul se rotește cu viteza unghiulară ω = const., ecuațiile mișcării se scriu ca și pentru rotorul neamortizat. Se obține pentru arbore:
(6.22)
iar pentru disc
(6.23)
unde:
(6.24)
Utilizând notația complexă
(6.25)
din relațiile (6.22) – (6.24) rezultă ecuațiile de mișcare ale centrului discului și centrului fusului:
(6.26)
Se notează:
(6.27)
unde: ωn – viteza unghiulară critică a rotorului pe reazeme rigide,
N – raportul între constanta elastică a arborelui și cea a reazemelor.
Se introduce factorul de amortizare:
(6.28)
luând ca referință coeficientul de amortizare critică al arborelui.
Se obține sistemul de ecuații cuplate:
(6.29)
Pulsația proprie amortizată
Anulând în ecuație (6.29) funcția de excitație și admițând soluții de forma:
(6.30)
rezultă sistemul algebric omogen
(6.31)
Pentru a avea soluții nebanale, trebuie îndeplinită condiția
care duce la ecuația caracteristică
(6.32)
Dacă ζ = 0, atunci și se obține viteza unghiulară critică a rotorului pe lagăre elastice neamortizate
(6.33)
Dacă ζ = 0, ecuația (6.32), având toți coeficienții pozitivi, se poate scrie sub forma:
(6.34)
Ea are o rădăcină reală negativă și două rădăcini complexe conjugate, cu partea reală negativă , sistemul fiind totdeauna stabil.
Mișcarea liberă amortizată a punctului C este descrisă de o soluție de forma:
(6.35)
Rezultă că pulsația vibrațiilor libere amortizate este:
ωa = C ωn (6.36)
unde C – partea imaginară a rădăcinilor complexe ale ecuației caracteristice (6.32).
Răspunsul la dezechilibru
Dacă se studiază numai mișcarea staționară datorită dezechilibrului masic al rotorului, se caută soluții de forma:
(6.37)
unde rC și rL sunt amplitudini complexe.
Înlocuind (6.37) în (6.29) rezultă
(6.38)
Soluțiile acestui sistem sunt:
(6.39)
(6.40)
Prin urmare, în planul complex (Fig. 6.5), mișcarea punctului L va fi reprezentată prin vectorul OL.
Lungimea lui este:
(6.41)
iar defazajul față de vectorul CG este:
(6.42)
Mișcarea punctului C va fi reprezentată prin vectorul OC, de modul
(6.43)
și unghiul de fază
(6.44)
Rezultă că punctele L și C parcurg orbite circulare în jurul punctului O, dar cele patru puncte O, L, C și G nu sunt coliniare, segmentul OC fiind defazat cu unghiul θC în urma segmentului CG, iar segmentul OI defazat cu θL în urma lui CG (Fig. 6.5).
În general, se poate stabili următoarea ordonare a valorilor diferitelor pulsații critice: ωel < ωa < ωL < ωC < ωn.
Dacă se consideră și amortizarea din arbore, este posibil ca ωC > ωn.
Vitezele unghiulare ωC și ωL, la care amplitudinile deplasărilor rotorului real amortizat au valori maxime, se numesc viteze unghiulare critice de dezechilibru. Uneori ele diferă considerabil de viteza unghiulară critică ωel a sistemului fără amortizare, fiind mult mai mari. Astfel, un calcul în care se neglijează amortizarea din lagăre poate conduce la valori eronate ale turațiilor critice.
6.2. TURAȚIILE CRITICE
Turația la care apar vibrații puternice la un corp în mișcarea de rotație este turația critică. Această turație critică reprezintă turația corespunzătoare a frecvenței proprii a rotoarelor.
Pentru a demonstra turația critică s-a luat un rotor simplu, un ax și pe el montat un rotor. Se presupune că centrul de greutate G al subansamblului nu coincide cu centrul său geometric C. O este linia centrelor celor două lagăre. OC = a este săgeata arborelui, în momentul considerat, iar CG = b este excentricitatea rotorului.
În timpul rotirii asupra arborelui, datorită dezechilibrului, va acționa forța centrifugă:
Fcf = mω2 (a+b) (6.45)
Forța elastică a arborelui este:
Fe = ka (6.46)
Dacă mișcarea este staționară și se neglijează amortizarea, atunci forțele Fcf și Fe se echilibrează:
(6.47)
unde: m – masa rotorului
– pulsația proprie a vibrațiilor de încovoiere a arborelui.
Dacă se scrie valoarea vitezei unghiulare în funcție de turație rezultă
(6.48)
La turație critică încovoierea arborelui rotorului este foarte mare, astfel că vibrațiile pe care le va produce în lagăre vor fi foarte mari.
Arborii rotoarelor cu turația critică de lucru mai mare decât turația lor critică se numesc arbori elastici, iar arborii cu turația de lucru mai mică decât turația lor critică se numesc arbori rigizi.
Atunci când turația rotorului coincide cu frecvența oscilațiilor proprii ale rotorului apare fenomenul de rezonanță și turația critică devine turație de rezonanță. Există două turații de rezonanță, una statică și una dinamică.
(6.49)
unde: ns – turația de rezonanță statică;
nd – turația de rezonanță dinamică;
J – momentul de inerție al rotorului;
c – distanța dintre lagăre.
În practică, turația de rezonanță dinamică trebuie să fie mai mare decât cea statică.
Amortizarea internă este total neeficientă în cazul turațiilor critice, deoarece forma rotorului deformat se modifică foarte puțin în timpul mișcării de precesie cu turație constantă. La o turație critică, dacă deformațiile nu sunt limitate, un rotor mai degrabă se îndoaie permanent decât să se rupă prin oboseală, fenomen care apare în caul vibrațiilor transversale.
6.3. STABILITATEA DINAMICĂ I – Arbori având modele dinamice liniare invariabile în timp
6.3.1 Noțiunea de stabilitate
Noțiunea de stabilitate este foarte răspândită, fiind întâlnită des atât în Mecanică, cât și în Rezistența Materialelor.
Când un sistem mecanic intră în alt regim staționar de funcționare sau revine la regimul de dinaintea aplicării perturbației de scurtă durată trebuie să satisfacă următoarea condiție, numită condiție de stabilitate:
(6.50)
În cazul în care sistemul mecanic satisface condiția, numită condiție de instabilitate:
(6.51)
atunci el funcționează necontrolat, ambalându-se.
yl – este componenta liberă a răspunsului sistemului mecanic descris de ecuația:
mÿ + cẏ + ky = F(t), (6.52)
depinzând numai de parametrii m, c și k, astfel că stabilitatea și instabilitatea sunt proprietăți intrinseci ale sistemului.
Starea de instabilitate trebuie evitată pe cât posibil, deoarece elementele componente ale sistemului mecanic se uzează sau se distrug.
Între cele două stări există o stare intermediară, numită pseudostabilitatea sau stabilitate limită, pentru care
(6.53)
sistemul care se află într-o astfel de stare numindu-se marginal stabil sau limitat stabil.
Există mai multe tipuri de stabilitate: absolută, asimptotică, orbitală, exponențială.
Pentru ecuația:
Mÿ + Cẏ +Ky = 0 (6.54)
ecuațiile de stare se scriu: (6.55)
unde x – vector 2u dimensional;
y = [y1, y2, … , yu]T;
A – matricea de evoluție, de forma (6.56)
O – matricea nulă tip (u, u);
I – matricea unitate tip (u, u).
La t = t0 echilibrul sistemului cu ecuațiile de stare (6.55) este acela pentru care:
, O fiind matricea nulă de tip (2u, 1).
Fie (6.57) norma matricei x.
Stabilitatea în sens Liapunov arată că pentru condițiile inițiale (t = t0) suficient de mici, răspunsul sistemului se abate puțin față de starea de echilibru. În Fig. 6.6 este ilustrată stabilitatea în sens Liapunov.
Starea este asimptotic stabilă dacă starea x = O este stabilită în sens Liapunov și dacă
(6.58)
În Fig. 6.7 este prezentată comportarea asimtotic stabilă.
6.3.2 Criterii de apreciere a stabilității asimptotice
Răspunsul liber al sistemului mecanic descris de ecuația (6.52) se scrie:
(6.59)
Modelul de variație în timp a funcției yl = yl(t) pentru diverse valori ale lui α este prezentat în Fig. 6.8.
Astfel pentru α > 0 sistemul este asimptotic stabil;
pentru α < 0 sistemul este asimptotic instabil;
pentru α = 0 sistemul este la limita de stabilitate simptotică.
Stabilitatea asimptotică se poate analiza și fără a cunoaște forma răspunsului liber, ci numai valorile proprii ale matricei de evoluție.
Folosind ecuațiile de stare
sau funcția de transfer
ecuația caracteristică a sistemului poate fi:
sau (6.60)
Soluțiile acestei ecuații caracteristice, fiind valorile proprii ale matricei de evoluție A, se scriu:
(6.61)
Aceste soluții se găsesc în planul complex.
Pentru un sistem multivariabil soluțiile ecuației caracteristice
(6.62)
λ1, λ2, … , λ2u, dacă au părțile reale negative atunci avem stabilitatea asimptotică.
Pentru a analiza stabilitatea asimptotică a unui sistem mecanic liniar invariabil în timp s-au elaborat o serie de criterii analitice (Routh – Hurwitz, Zubov) sau grafoanalitice (Nywuist, Mihailov) în conformitate cu care stabilitatea este apreciată după valorile coeficienților ai și în funcție de caracteristicile în frecvență ale sistemului.
Criteriul Routh – Hurwitz
Acest criteriu se aplică atunci când toți coeficienții ecuației caracteristice (6.62) sunt pozitivi.
Condițiile necesare și suficiente pentru ca toate rădăcinile ecuației (6.62) să aibă părțile reale negative se scriu:
(6.63)
unde Δi (i = 1, 2, … , 2u) sunt minorii corespunzători diagonalei principale a determinantului:
(6.64)
Criteriul Nyquist
Criteriul Nyquist prezintă avantajul aprecierii stabilității asimptotice cu ajutorul caracteristicii în frecvență A(ω) – Ф(ω) a sistemului deschis determinată pe cale experimentală, dar poate fi folosit și atunci când funcția de transfer W0(p) se obține prin calcul.
Funcția de transfer se scrie (6.65)
Dar , din (6.65) rezultă:
(6.66)
Sistemul în circuit deschis este descris în Fig. 6.9.
Vectorul W0(p) descrie, după criteriul Nyquist, conturul Nyquist, adică un semicerc de rază R dispus în semiplanul complex stâng, prezentat în Fig. 6.10.
În Fig. 6.11 a este prezentată caracteristica amplitudinii-fază a unui sistem asimptotic stabil, iar în Fig. 6.11 b caracteristica amplitudinii-fază a unui sistem asimptotic instabil, unde ωcr este valoarea lui ω corespunzătoare intersecției caracteristicii cu axa reală.
6.4. STABILITATEA DINAMICĂ II – Arbori având modele dinamice variliniare în timp
Sistemele care aparțin clasei de sisteme dinamice cu parametrii variabili în timp, cu ecuațiile diferențiale liniare se numesc variliniare.
Tipuri de ecuații diferențiale liniare:
(6.67)
(6.68)
6.4.1. Exemple de sisteme mecanice variliniare
Structura elastică a mașinilor-unelte este asimilată cu sistemul sculei. Sistemul dinamic de prelucrare, adică structura elastică a mașinilor-unelte are o influență asupra preciziei de prelucrare.
În cazul mașinilor de mortezat danturi cilindrice, dacă rigiditatea la încovoiere a subansamblului berbecului este mult mai mare decât cea torsională, modelul de calcul al structurii elastice este prezentat în Fig. 6.12.
unde: J, c, k(t) sunt paramentrii dinamici echivalenți;
M(t) – momentul forțelor de așchiere care acționează asupra cuțitului roată.
Aplicând principiul lui d’Alembert structurii elastice prezentate în Fig. 6.12 se obține forma particulară a ecuației (6.68):
(6.69)
Se precizează funcția k = k(t) ca fiind de forma
(6.70)
unde: G – modulul de elasticitate transversal;
Ip – momentul de inerție polar al arborelui;
d – diametrul arborelui;
l = l(t) – lungimea instantanee.
Relația (6.70) a rezultat din , iar t variază după legea l = l0 + A cos ωt. (6.71).
După rezolvarea ecuației (6.70) va rezulta:
(6.72)
În urma cercetărilor experimentale efectuate până acum asupra rigidității la încovoiere a subansamblurilor arborilor principali al mașinilor-unelte, s-a constatat dependența k = k (θ), θ este unghiul de rotație a arborelui principal.
Cauzele inconstanței valorii importantului parametrul ks trebuie căutate în formele geometrice și imperfecțiunile de execuție și de montare ale elementelor care compun subansamblul arborelui principal și gradul de uzare a lagărelor.
Apar situații în care comportarea sistemului dinamic de prelucrare trebuie descrisă prin ecuații diferențiale cu coeficienți variabili în timp, chiar și atunci când variația polară a rigidității la încovoiere a subansamblului arborelui principal este neglijată. Acest caz se întâlnește la strunjirea pieselor svelte.
6.4.2. Răspunsul sistemului mecanic variliniar
Deoarece ecuațiile diferențiale (6.67) și (6.68) sunt de același tip în obținerea răspunsului sistemului se ia în calcul doar prima ecuație.
Cu schimbarea de variabilă:
(6.73)
ecuația (6.67) devine:
(6.74)
unde:
(6.75)
Dacă f1(t) = 0, din (6.74) se obține ecuația:
(6.76)
a cărei soluție generală este
(6.77)
Pentru determinarea constantelor C1 și C2 se au în vedere condițiile inițiale:
z = z(0) și ż = ż(0)
rezultă: C1z1(0) + C2z2(0) = z(0)
C1ż1(0) + C2ż2(0) = ż(0) din care rezultă C1 și C2.
Sistemul este compatibil și determinat atunci când:
(6.78)
Soluția generală a ecuației (6.74) este:
z(t) = zl(t) + zf(t) = C1z1(t) + C2z2(t) + zf(t)
unde: zf – soluția particulară a ecuației.
6.4.3. Stabilitatea răspunsului banal
Un caz particular al ecuației (6.67) este acela pentru care F(t) = 0:
scrisă cu ajutorul schimbării de variabilă
în care f(t+T) = f(T) se numește Hill.
Cu notațiile
Rezultă:
(6.79)
Soluția banală x1 = x = 0 a ecuației (6.79) corespunde echilibrului neperturbat al sistemului.
Pentru anumite valori ale funcțiilor m(t), c(t) și k(t) apare instabilitatea parametrică.
Soluția fundamentală a ecuației (6.79) este:
(6.80)
Matricea fundamentală X care satisface condiția inițială poartă numele de matrice fundamentală a lui Cauchy sau matrițant:
(6.81)
Se numește matrice de monodromie T = X(T), matrișantul la sfârșitul primei perioade T.
Există două tipuri de ecuații diferențiale cu coeficienți variabili:
Ecuația Mathieu – Hill:
(6.82)
Ecuația Mathieu:
(6.83)
Prin schimbarea de variabilă (6.73) oricare din ecuațiile diferențiale și poate fi adusă la forma unei ecuații Mathieu, astfel se obține ecuația (6.76) în care:
(6.84)
Din (6.76) și (6.84) rezultă ecuația Mathieu (6.83) având parametrii:
(6.85)
În funcție de diversele combinații ale parametrilor a și q, răspunsul sistemului modelat matematic prin ecuația Mathieu poate fi stabil sau instabil, diagrama care delimitează domeniile de instabilitate de cele de stabilitate este prezentată în Fig. 6.13.
În diagrama Ince-Strutt, limitele domeniilor de instabilitate corespund soluțiilor periodice ale ecuației (6.83) și au ca ecuații așa-numitele funcții Mathieu.
ANEXA 1
EXEMPLE CONSTRUCTIVE
1. Ansamblări arbori – lagăre
2. Tipuri de arbori întâlniți la mașinile-unelte
Arbore de intrare cu pinion conic cu dantură conică
Arbore de intrare cu melc
Arbore de intrare cu pinion conic
Arbore de intrare cu pinion cilindric
3. Tipuri de lagăre întâlnite în construcția de mașini
BIBLIOGRAFIE
1. *** SERIES 40 – Des appareills intelligents pour le diagnostic, l’echilibrage et lignage, Schenck, C 1341 f, 1993;
2. BALCU, I. – Vibrații mecanice, Universitatea din Brașov, 1990;
3. BROWN, R.D. and DRUMMOND, G. – Chaos of a flexible rotor in journal bearings, The 7th ASME Meeting, USA, Boston, sept., 1995;
4. BUZDUGAN, GH. și colectivul – Manualul inginerului mechanic. Mecanisme. Organe de mașini. Dinamica mașinilor, Ed. Tehnică, București, 1976;
5. CHIRIACESCU, T. Sergiu – Stability in dinamics of the metal cutting. Elsevier, Amsterdam, 1990;
6. CHIRIACESCU, T. Sergiu – Vibrații în construcția de mașini, Universitatea din Brașov, 1982;
7. CHIRIACESCU, T. Sergiu – Vibrațiile Mașinilor-Unelte, Universitatea din Brașov, 1984;
8. CHIRIACESCU, T. Sergiu și colectivul – Vibrații mecanice. Vibrații în construcția de mașini. Vibrațiile mașinilor-unelte, Îndrumar de laborator, Universitatea din Brașov, 1987;
9. SĂLĂJAN, C.; TUREA, N., s.a. – Diagnosticarea automobilelor, Universitatea din Brașov, 2005;
10. KUDINOV, V.A. – Dinamica mașinilor-unelte, Ed. Tehnică, București, 1970;
11. MARENHOLTZ, O. – Dynamics of rotors. Stability and system identification, CSIM courses and lecturer No. 273, International Centre for Mechanical Sciences, Udine, Italy, 1984;
12. RADEȘ, M. – Dinamica sistemelor rotor-lagăre, Universitatea Politehnică din București, 1996;
13. ROȘCA, C.I. – Vibrații mecanice cu aplicații la roboți industriali, Universitatea din Brașov, 1999;
14. TAROPA, Tr. – Asupra identificării caracteristicilor dinamice ale lagărelor de rostogolire, Conferința Națională de Dinamica Mașinilor CDM 94, Vol. 2, pp. 235-240, Brașov, 1994;
15. TAROPA, Tr. – Considerații privind amortizarea dinamică a lagărelor de rostogolire, Sesiunea aniversară de comunicări științifice, Hunedoara, 1995;
16. WALFORD, T.LH., and STONE, B.J. – The sources of damping in rolling element bearings under oscilating conditions, University of Western Australia, pp. 225-232, 1982;
17. ZVERINK, M.A. – On the vibration behavoiur of rolling bearing, Holland, Universiteit Twente, faculteit der Werktuigbouwkunde, 1993.
BIBLIOGRAFIE
1. *** SERIES 40 – Des appareills intelligents pour le diagnostic, l’echilibrage et lignage, Schenck, C 1341 f, 1993;
2. BALCU, I. – Vibrații mecanice, Universitatea din Brașov, 1990;
3. BROWN, R.D. and DRUMMOND, G. – Chaos of a flexible rotor in journal bearings, The 7th ASME Meeting, USA, Boston, sept., 1995;
4. BUZDUGAN, GH. și colectivul – Manualul inginerului mechanic. Mecanisme. Organe de mașini. Dinamica mașinilor, Ed. Tehnică, București, 1976;
5. CHIRIACESCU, T. Sergiu – Stability in dinamics of the metal cutting. Elsevier, Amsterdam, 1990;
6. CHIRIACESCU, T. Sergiu – Vibrații în construcția de mașini, Universitatea din Brașov, 1982;
7. CHIRIACESCU, T. Sergiu – Vibrațiile Mașinilor-Unelte, Universitatea din Brașov, 1984;
8. CHIRIACESCU, T. Sergiu și colectivul – Vibrații mecanice. Vibrații în construcția de mașini. Vibrațiile mașinilor-unelte, Îndrumar de laborator, Universitatea din Brașov, 1987;
9. SĂLĂJAN, C.; TUREA, N., s.a. – Diagnosticarea automobilelor, Universitatea din Brașov, 2005;
10. KUDINOV, V.A. – Dinamica mașinilor-unelte, Ed. Tehnică, București, 1970;
11. MARENHOLTZ, O. – Dynamics of rotors. Stability and system identification, CSIM courses and lecturer No. 273, International Centre for Mechanical Sciences, Udine, Italy, 1984;
12. RADEȘ, M. – Dinamica sistemelor rotor-lagăre, Universitatea Politehnică din București, 1996;
13. ROȘCA, C.I. – Vibrații mecanice cu aplicații la roboți industriali, Universitatea din Brașov, 1999;
14. TAROPA, Tr. – Asupra identificării caracteristicilor dinamice ale lagărelor de rostogolire, Conferința Națională de Dinamica Mașinilor CDM 94, Vol. 2, pp. 235-240, Brașov, 1994;
15. TAROPA, Tr. – Considerații privind amortizarea dinamică a lagărelor de rostogolire, Sesiunea aniversară de comunicări științifice, Hunedoara, 1995;
16. WALFORD, T.LH., and STONE, B.J. – The sources of damping in rolling element bearings under oscilating conditions, University of Western Australia, pp. 225-232, 1982;
17. ZVERINK, M.A. – On the vibration behavoiur of rolling bearing, Holland, Universiteit Twente, faculteit der Werktuigbouwkunde, 1993.
ANEXA 1
EXEMPLE CONSTRUCTIVE
1. Ansamblări arbori – lagăre
2. Tipuri de arbori întâlniți la mașinile-unelte
Arbore de intrare cu pinion conic cu dantură conică
Arbore de intrare cu melc
Arbore de intrare cu pinion conic
Arbore de intrare cu pinion cilindric
3. Tipuri de lagăre întâlnite în construcția de mașini
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: 2. NOȚIUNEA DE ROTOR (ID: 163422)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.