2 . 1 P R I N C I P I I L E R E L A T I V I T A T I I R E S T R I N S E [612150]

Cuprins
1I N T R O D U C E R E 3
2G R U P U L P O I N C A R É 4
2 . 1 P R I N C I P I I L E R E L A T I V I T A T I I R E S T R I N S E……… 4
2 . 1 . 1 F O R M U L A R E T R A D I T I O N A L A ………… 4
2 . 1 . 2 F O R M U L A R E E C H I V A L E N T A …………. 4
2.2 TRANSFORMARILE POINCARÉ.STRUCTURA DE GRUP
N E A B E L I A N……………………… 5
2.3 SUBGRUPUL LORENTZ.SUBGRUPUL TRANSLATIILOR
S P A T I O – T E M P O R A L E ………………… 7
3G R U P U L L O R E N T Z 1 0
3.1 GRUPUL LORENTZ PROPRIU.GRUPUL LORENTZ RE-
S T R I N S……….. ………………. 1 0
3 . 2 G E N E R A T O R I IS IA L G E B R AL I EAG R U P U L U IL O R E N T Z
P R O P R I U………. ………………. 1 3
3.2.1 GENERATORII GRUPULUI LORENTZ PROPRIU . 13
3.2.2 ALGEBRA so (1,3)……………….. 1 4
3.3 REPREZENTARI IREDUCTIBILE FINIT DIMENSIONALE
ALE ALGEBREI so (1,3)………………… 1 7
3 . 3 . 1 E X E M P L E D E R E P R E Z E N T A R I . ……….. 1 9
4G R U P U L S L (2,C) 20
4 . 1 A L G E B R A C U S P I N O R I W E Y L……………. 2 0
4.1.1 REPREZENTAREA FUNDAMENTALA A GRUPU-
LUISL(2,C)………………….. 2 1
4.1.2 REPREZENTAREA FUNDAMENTALA CONTRA-
GRADIENTA A GRUPULUI SL(2,C)……… 2 1
4.1.3 REPREZENTARI ECHIVALENTE ALE GRUPULUI
SL(2,C)…………………….. 2 2
4 . 1 . 4 S P A T I I S P I N O R I A L E ……………… 2 44.1.5 REINTERPRETARE IN TERMENI DE APLICATII
D U A L E …………………….. 2 7
4.2 HOMOMORFISMUL DINTRE GRUPUL SL(2,C)SI GRUPUL
L O R E N T Z R E S T R I N S …………………. 3 04.2.1 REPREZENTAREA ADJUNCTA A GRUPULUI SL(2,C)32
1

5 CIMPURI CLASICE 35
5.1 REPREZENTARILE IREDUCTIBILE FINIT DIMENSION-
A L E A L E G R U P U L U I L O R E N T Z R E S T R I N S …….. 3 5
5 . 2 I N V A R I A N T I L A G R U P U L L O R E N T Z R E S T R I N S ….. 3 75.3 GENERATORII GRUPULUI SL(2,C)…………. 3 9
5.3.1 PROPRIETATI ALE GENERATORILOR GRUPU-
LUISL(2,C)………………….. 4 1
5 . 4 S P I N O R I S I T E N S O R I …………………. 4 25 . 5 S P I N O R U L D I R A C ………………….. 4 6
5 . 5 . 1 M A T R I C E L E G A M M A . A L G E B R A D I R A C…… 4 8
5.5.2 REPREZENTARI ECHIVALENTE ALE ALGEBREI
D I R A C …………………….. 5 3
5 . 6 C I M P U L D E S P I N D O I ………………… 6 1
5 . 6 . 1 P R O D U S E D E R E P R E Z E N T A R I ………… 6 1
5 . 6 . 2 C I M P U L G R A V I T A T I O N A L L I N I A R I Z A T …… 6 2
6C O N C L U Z I I 6 4
2

1 INTRODUCERE
Lucrarea isi propune sa prezinte teoria reprezentarii grupului Lorentz restrins
cu scopul de a obtine principalele cimpuri ce apar in modelele de teorii clasice
de cimp dintr-o abordare strict matematica. Exista in esenta doua moduri
de a obtine cimpurilor clasice, si anume: fie plecind de la algebra so(1,3)a
grupului Lorentz propriu (care este si algebra Lie pentru grupurile Lorentzsi Lorentz restrins) si construind reprezentarile sale ireductibile finit dimen-
sionale, fie plecind de la grupul Lorentz restrins L
rsi construindu-i acestuia
reprezentarile ireductibile finit dimensionale. A doua metoda se realizeaza
intr-un mod elegant prin intermediul homomor fismului dintre grupul Lrsi
grupul matricelor complexe cu doua linii si doua coloane si determinantulunitate. Intrucit a doua metoda este m ai interesanta, am tratat-o in ex-
tenso. Avantajul acestei metode este ca foloseste descrierea proprietatilor
globale ale grupului Lie L
r, in timp ce algebra Lie descrie grupul Lie doar
local.
Lucrarea este structurata in sase capitole si bibliogra fie. Capitolul al
doilea introduce transformarile Poincaré prin prisma principiilor relativitatii
restrinse si analizeaza structura de grup neabelian a acestora. Capitolul altreilea se ocupa de grupul Lorentz, insistandu-se asupra grupului Lorentzpropriu, inclusiv generatorii si algeb ra Lie a sa, dupa care se trece la studiul
reprezentarilor ireductibile finit dimensionale ale algebrei so(1,3). Capitolul
al patrulea analizeaza grupul SL(2,C)pornind de la algebra cu spinori Weyl,
trecand in reviste anumite reprezentari a le acestuia si reinterpretand spatiile
spinoriale in termeni de aplicatii duale, dupa care se prezinta homomor fismul
dintre grupul SL(2,C)si grupul Lorentz restrins. Capitolul al cincilea este
cel mai important, dupa cum sugereaza si titlul lucrarii, si construieste cam-purile clasice prin intermediul reprezentarilor ireductibile finit dimensionale
ale grupului Lorentz restrins. Sunt expuse in detaliu constructiile in cazulcampului Dirac si campului de spin doi. C apitolul al saselea prezinta princi-
palele concluzii ale lucrarii.
3

2 GRUPUL POINCARÉ
2.1 PRINCIPIILE RELATIVITATII RESTRINSE
2.1.1 FORMULARE TRADITIONALA
In anul 1905 fizicianul german Albert Einstein a formulat o teorie a relativi-
tatii (numita apoi “teoria relativitatii restrinse ”) bazata pe 2 postulate:
PRINCIPIUL RELATIVITATII Legile fizicii au aceeasi forma in toate
sistemele de referinta inertiale.
PRINCIPIUL CONSTANTEI VITEZEI LUMINII IN VID Viteza
luminii in vid este aceeasi in orice sistem de referinta inertial si reprezinta
viteza maxima de propagare a informatiei.
2.1.2 FORMULARE ECHIVALENTA
O formulare echivalenta (ref.bibl.1) a postulatelor teoriei relativitatii restrinse
data in spiritul teoriei relativitatii generalizate consta in axiomele
AXIOMA GEOMETRICA Spatiul si timpul sint reprezentate de o vari-
atate diferentiabila cuadridimensionala pseudoriemanniana cu conexiune Levi-
Civita simetrica Γµνρ=Γµρνsi un tensor metric simetric ηµνce satisface
conditiile:
•ηµνeste nesingular si are signatura −2,
•ηµνrespecta teorema lui Ricci
∇µηνρ=0,
•Tensorul de curbura Riemann-Christo ffel este identic nul
Rµ
ν|ρσ(ηλτ)=0.
4

AXIOMA FIZICA Exista o clasa speciala de curbe pe varietate carac-
terizate prin:
•ceasurile ideale se deplaseaza in lungul unor curbe de tip temporal si
masoara un parametru numit timp propriu τdefinit prin
c2dτ2=ηµνdxµdxν,
•particulele libere se deplaseaza in lungul unor geodezice de tip tempo-
ral,
•traiectoriile razelor de lumina sint geodezice de nul.
2.2 TRANSFORMARILE POINCARÉ.STRUCTURA
DE GRUP NEABELIAN
Vom folosi in cele ce urmeaza formularea traditionala a postulatelor teoriei
relativitatii restrinse.
Al doilea postulat al teoriei relativitatii restrinse ne spune ca viteza lu-
minii este aceeasi in toate sistemele de referinta inertiale. Aceasta inseamna
ca, daca ~xeste pozitia unui semnal luminos intr-un sistem de referinta iner-
tial la momentul t, si acelasi semnal luminos are coordonatele ~x0la momentul
t0intr-un alt sistem de referinta inertial, atunci patratul distantei spatio-
temporale dintre cele doua evenimente (receptionarea semnalului luminos incele doua sisteme de referinta) este un invariant relativist
s
2≡c2t2−~x2=c2t02−~x02. (1)
Este convenabil sa se lucreze intr-un spatiu 4-dimensional (numit spatiu
Minkowski) parametrizat local de 4 coordonate xµ¡
µ=0,3¢
,i nc a r e x0=t
(intr-un sistem de unitati in care c=1), sixi¡
i=1,3¢
sint coordonatele spa-
tiale ale unui eveniment/punct in spatiul Minkowski. In notatie compacta,relatia (1)(in sistemul de unitati ales) se scrie
s
2=x0x0−3X
i=1xixi=ηµνxµxν, (2)
undeηµν=ηµν=diag (+1,−1,−1,−1)este tensorul metric.
5

Definitia 2.1 Distanta dintre doua evenimente spatio-temporale xsiyeste
definita prin relatia
x−y=:q
(x−y)µ(x−y)µ. (3)
Definitia 2.2 Transformarile Poincaré sint de finite prin relatia
xµP→x0µ=:Λµ
νxν+aµ(4)
si au proprietatea ca lasa invariant patratul distantei spatio-temporale dintre
doua evenimente, i.e.
(x0−y0)µ(x0−y0)µ=(x−y)µ(x−y)µ. (5)
In relatia (5)xµsix0µsint seturile de coordonate in spatiul Minkowski
atribuite aceluiasi punct al spatiului 4-dimensional de catre doi obsevatori
inertiali OsiO’.S ep o a t ed e m o n s t r a( r e f . b i b l . 2 )c af o r m ac e am a ig e n e r a l a
a unor transformari de coordonate pe spatiul Minkowski care lasa invariantpatratul distantei spatio-temporale (2)este data de relatia (4).
O transformare Poincaré arbitrara va fiparametrizata prin matricea cu 4
linii si 4 coloane {Λ
µν}µ,ν=0,3cu componente reale si c uadrupletul de numere
reale{aµ}µ=0,3si va finotata generic prin {a,Λ}. Inlocuind relatia (4)in(5)
si efectuând calculele, se gaseste ca
ΛρµΛρ
ν=Λµ
ρΛνρ=ηµ
ν=δµ
ν, (6)
de unde
ΛµσησρΛρ
ν=ηµν⇔ΛTbηΛ=bη. (7)
Se poate arata prin calcul direct ca pr odusul a doua transformari Poincaré
de tipul (4)este de asemenea o transformare Poincaré ai carei parametri sint
dati de
{a12,Λ12}=:{a2,Λ2}·{a1,Λ1}={a2+Λ2a1,Λ2Λ1}.( 8 )
Transformarea identica, parametrizata de
aid=0 4×1,Λid=b14×4 (9)
si notata prinn
0,b1o
, este si ea o transformare Poincaré. Folosind relatia (8),
se poate veri fica usor asociativitatea produsu lui de transformari Poincaré.
6

Relatia (7)ne arata ca matricele Λsint inversabile, intrucit rezulta simplu
ca¡
detΛT¢
(detbη)( d e tΛ)=( d e t bη)⇒detΛ=±1, (10)
si aceasta pentru ca, in metrica aleasa, detbη=−1. Acest fapt, anume ca
orice matrice Λeste inversabila
¡
Λ−1¢ν
µ=Λµν, (11)
ne ajuta sa demonstram ca orice transformare Poincaré de tip (4)este in-
versabila. Parametrii inversei transformarii {a,Λ}sint notati prin©
a,Λă
si
se poate arata ca sint dati de
½a=−Λ−1a
Λ=Λ−1. (12)
Cumulind aceste rezultate, concluzionam ca multimea transformarilor
Poincaré de tipul (4), impreuna cu produsul (8)formeaza o structura de
grup. Acest grup este neabelian, iar acest fapt se poate demonstra simplu
considerind produsul {a21,Λ21}=:{a1,Λ1}·{a2,Λ21}, efectuind calculele si
comparind cu (8).
2.3 SUBGRUPUL LORENTZ.SUBGRUPUL TRANS-
LATIILOR SPATIO-TEMPORALE
Definitia 2.3 Se numeste transformare Lorentz o transformare de coordonate
pe spatiul Minkowski data de
xµL→x0µ=:Λµ
νxν(13)
care lasa invarianta forma patratica
x2=:xµxµ=ηµνxµxν=x0x0−3X
i=1xixi. (14)
Remarca 2.1 Aceasta inseamna ca matricele Λsint elementele grupului or-
togonal in 4 dimensiuni, O(1,3).
Definitia 2.4 Se numeste translatie spatio-temporala ot r a n s f o r m a r ed ec o –
ordonate pe spatiul Minkowski data de
xµT→x0µ=:xµ+aµ. (15)
7

Alegerea notatiilor nu este intimplatoare. Astfel, o transformare Lorentz
Λeste un caz particular de transformare Poincaré,anume {0,Λ},i nt i m pc e
o translatie spatio-temporala este o transformare Poincaré de tipuln
a,b1o
.
Putem face deci referire la cele mentionate in subcapitolul anterior.
Notam prin Pgrupul Poincaré. Se poate demonstra, pe baza identi ficarii
din paragraful anterior, ca transforma rile Lorentz formeaza si ele o structura
de grup neabelian in raport cu operatia de inmultire a matricelor, grup pecare il vom nota prin L. Din cele spuse anterior: L≡O(1,3).De asemenea,
translatiile spatio-temporale formeaza o structura de grup abelian in raport
cu operatia de adunare a cuadrivectorilor, acest grup notindu-se cu S.
Cele expuse ne permit sa demonstram ca
L≤P;S≤P.( 1 6 )
Intersectia celor doua subgrupuri este identitatean
0,b1o
.
Propozitia 2.1 O r i c et r a n s f o r m a r eP o i n c a r ép o a t e fiscrisa in mod unic ca
produsul dintre o transfomare Lorentz {0,Λ
0}si o translatien
a0,b1o
,s a uc a
produsul dintre o translatien
a00,b1o
si o transformare Lorentz {0,Λ00}.
Remarca 2.2 Cele doua posibilitati distincte apar ca urmare a necomuta-
tivitatii produsului de transformari Poincaré.
Demonstratie. Trebuie sa demonstram ca
{a,Λ}=n
a0,b1o
·{0,Λ0}, (17)
{a,Λ}={0,Λ00}·n
a00,b1o
. (18)
Folosim (8)si obtinem din
½a=a0+b1·0
Λ=b1·Λ0, (19)
½a=0+Λ00a00
Λ=Λ00·b1(20)
solutiile
8



a0=a
Λ0=Λ
a00=Λ−1a
Λ00=Λ. (21)
Remarca 2.3
a06=a00. (22)
Se poate demonstra ca grupul Poincaré este homomorf cu grupul Lorentz,
homomor fismul fiind realizat de o aplicatie I
P3{ a,Λ}I→{0,Λ}∈L.( 2 3 )
Elementele lui Pa caror imagine prin Ieste identitatea inn
0,b1o
inLsint
de tipul {a,1},f a p tc es ec o n s t a t ap a r t i c u l a r i z i n d (23)pentruΛ=b1.A s t f e l
Ker I =S.( 2 4 )
Din relatia (24)se obtine ca
SBP,( 2 5 )
de unde imediat, pe baza de finitiei produsului semidirect
P=LoS.( 2 6 )
Remarca 2.4 Intrucit grupul translatiilor spatio-temporale este abelian, deci
reprezentarile sale ireductibile sint unidimensionale, cunoasterea reprezentar-
ilor ireductibile ale grupului Lorentz Lasigura cunoasterea tuturor reprentar-
ilor ireductibile ale grupului Poincaré P.
9

3 GRUPUL LORENTZ
3.1 GRUPUL LORENTZ PROPRIU.GRUPUL LORENTZ
RESTRINS
Pentru a gasi acest subgrup de o importanta fizica deosebita al grupului L,
vom clasi fica elementele lui Lin functie de doua criterii, unul dintre ele fiind
dat de (10).
Definitia 3.1 Transformarile Lorentz Λcare au determinantul +1se numesc
transformari Lorentz proprii .
Remarca 3.1 Transformarile Lorentz proprii sint elemente ale grupului spe-
cial ortogonal in 4 dimensiuni, SO(1,3). Ele determina impreuna cu operatia
d ei n m u l t i r eos t r u c t u r ad eg r u pn e a b e l i a nn u m i t grupul Lorentz propriu .
Definitia 3.2 Transformarile Lorentz Λcare au determinantul −1se numesc
transformari Lorentz improprii .
Facem urmatoarele notatii
L+=:{Λ∈L|detΛ=1}, (27)
L−=:{Λ∈L|detΛ=−1}. (28)
S eo b s e r v ac ad o a r L+≤L, intrucit produsul a doua elemente din L+
apartine lui L+, in timp ce produsul a doua elemente din L−apartine lui
L+,i . e .L−£L.
Exemplul 3.1 •Elementul neutru din L,m a t r i c e a b14×4,e s t es ie l e –
ment neutru pentru subgrupul L+, oferind un exemplu de transformare
Lorentz proprie.
•Inversia temporala definita prin
Λit=:
−1000
01 0 000 1 000 0 1
(29)
este un exemplu de transformare Lorentz improprie.
10

•Inversia spatiala definita prin
Λis=:
10 0 0
0−10 0
00−10
00 0 −1
(30)
este si ea un exemplu de transformare Lorentz improprie. Se observa
cabΛis≡bη, ultima fiind matricea tensorului metric.
Revenim la relatia (7)si consideram
¡
ΛTbηΛ¢
00=bη00,
Λ0αηαβΛβ
0=η00,
¡
Λ0
0¢2−3X
k=1¡
Λk
0¢2=1,
¡
Λ0
0¢2=1 +3X
k=1¡
Λk
0¢2≥1, (31)
de unde identi ficam doua cazuri (aceasta intrucit elementele matricelor trans-
formarilor Lorentz sint reale)
Λ0
0≥1sauΛ0
0≤− 1.( 3 2 )
Relatia (32)ne arata ca varietatea peste care transformarile Lorentz de finesc
o structura de grup neabelian nu este conexa. Grupul Lorentz nu este conex.
Definitia 3.3 Definim transformarile Lorentz ortocrone cafiind acele trans-
formari pentru care Λ00≥1.
Definitia 3.4 Definim transformarile Lorentz neortocrone cafiind acele trans-
formari pentru care Λ00≤− 1.
Notind prin
L↑=:©
Λ∈L|Λ0
0≥1ă
, (33)
L↓=:©
Λ∈L|Λ0
0≤− 1ă
, (34)
11

se constata ca varietatea grupului Lorentz Lconsta din 4 submultimi dis-
juncte, anume
L+
↑=:L+∩L↑
L+
↓=:L+∩L↓
L−
↑=:L−∩L↑
L−
↓=:L−∩L↓. (35)
Dintre cele 4 submultimi de finite in (35), se poate demostra ca doar mul-
timea
L+
↑=:©
Λ∈L|detΛ=1,Λ0
0≥1ă
(36)
a transformarilor Lorentz proprii ortocrone de fineste o structura de grup ne-
abelian in raport cu operatia de inmultire a matricelor, numit grupul Lorentz
restrins si notat prin Lr.
Relatiile
L−
↑=ΛisLr
L−
↓=ΛitLr
L+
↓=ΛisΛitLr=ΛitΛisLr=ΛistLr(37)
trebuie intelese in modul urmator, exempli ficind pentru prima din ele: o
transfomare Lorentz improprie ortocrona se obtine dintr-o transformare Lorentz
proprie ortocrona prin inmultire c u matricea inversiei spatiale de finita in (30).
De asemenea, bΛist≡−b14×4.
Relatiile (37)permit scrierea relatiei
L=L+
↑∪L−
↑∪L+
↓∪L−
↓ (38)
sub forma
L=Lr∪(ΛisLr)∪(ΛitLr)∪(ΛistLr), (39)
de unde se arata imediat ca grupul continuu Leste homomorf cu grupul
discret abelian
GΛ=:n
b14×4,Λis,Λit,Λisto
,( 4 0 )
nucleul homomor fismului fiind chiar grupul Lorentz restrins, Lr. Prin urmare
LrBL,( 4 1 )
de unde, intrucit GL7LsiLr∩GL=1 4×4,
L=LroGL.( 4 2 )
12

Remarca 3.2 Cunoasterea reprezentarilor ireductibile ale grupului Lorentz
restrins Lrasigura cunoasterea tuturor reprezentarilor ireductibile ale grupu-
l u iL o r e n t z ,i n t r u c i tg r u p u l GΛeste abelian, si deci toate reprezentarile ire-
ductibile ale sale sint unidimensionale.
3.2 GENERATORII SI ALGEBRA LIE A GRUPU-
LUI LORENTZ PROPRIU
3.2.1 GENERATORII GRUPULUI LORENTZ PROPRIU
Intr-o vecinatate a identitatii b14×4din grupul Lorentz (propriu) orice matrice
Λ∈L+≡SO(1,3)se poate scrie
(Λµ
ν)inf=³
b14×4+bω´µ
ν, (43)
unde ˆωsint parametri in finitesimali, matrice antisimetrice cu patru linii si
patru coloane. Acest fapt se arata impunind matricei date de (43) safieu n
element al grupului Lorentz, anume sa veri fice relatia (7).Deci
ωµν=−ωνµ.( 4 4 )
La transformari Lorentz in finitesimale de tipul (43) cuadrivectorul coor-
donata xµse comporta astfel
x0µ=xµ+ωµ
νxν,( 4 5 )
δxµ=ωµ
νxν.( 4 6 )
Putem scrie orice element Λ∈L+≡SO(1,3)in forma
Λµ
ν=·
expµ
−i
2ωρλMρλ¶¸µ
ν, (47)
unde matricele antisimetrice cu patru linii si patru coloane ˆMconstituie o
baza in algebra Lie a grupului Lorentz propriu, so(1,3).F a c t o r u l ieste ales
conventional pentru a asigura hermiticitatea matricelor ˆM.P e n t r ut r a n s f o r –
mari in finitesimale, relatia (47)devine
(Λµ
ν)inf=·
b14×4−i
2ωρλMρλ¸µ
ν.( 4 8 )
13

Prin comparare cu (43)si in urma calculelor, se gaseste ca
(Mρσ)µ
ν=i¡
ησνδµ
ρ−ηρνδµ
σ¢
.( 4 9 )
Definim
(Mρσ)µν=:ηµλ(Mρσ)λ
ν=i¡
ηρµησν−ηρνησµ¢
.( 5 0 )
Se poate arata prin calcul direct folosind (50) ca generatorii ˆMsatisfac re-
latiile de comutare
[Mµν,Mρσ]−=−i¡
ηµρMµσ−ηµσMνρ−ηνρMµσ+ηνσMµρ¢
.( 5 1 )
Aceasta constituie o prima realizare, covarianta, a algebrei so(1,3).
3.2.2 ALGEBRA so (1,3)
•In conformitate cu de finitia algebrei so(1,3)peste matricele din M4(R),
orice matrice ˆA∈so(1,3)verifica
ˆAT=−ˆηˆAˆη, (52)
ceea ce induce o forma generala de tipul
ˆA=
0 A01 A02 A03
A010 A12 A13
A02−A120 A23
A03−A13−A230
. (53)
Remarca 3.3 S eo b s e r v ac ad o a r6e l e m e n t ea l em a t r i c e i ˆAsint indepen-
dente. Acest lucru era de asteptat, intrucit generatorii grupului Lorentz pro-priu, matrice antisimetrice cu patru linii si patru coloane, sint tot in numar
de 6.
Prin urmare, o baza in algebra so(1,3)peste M
4(R)vafispeci ficata prin
6 matrice. Acestea se pot alege
M1=:
0000
0000
000 −1
0010
;M2=:
00 00
00 01
00 000−100
;M
3=:
000 0
00−10
010 0000 0

(54)
14

N1=:
0100
10000000
0000
;N
2=:
0010
00001000
0000
;N
3=:
0001
00000000
1000
.
(55)
Se veri fica prin calcul direct ca aceste matrice veri fica relatiile de comutare


[M
i,Mj]−=εijkMk
[Ni,Mj]−=−εijkNk
[Ni,Nj]−=−εijkNk(56)
Spunem ca relatiile de comutare (56) dintre elementele bazei (54−55)din
so(1,3)definesc algebra so(1,3). Se constata ca
MT
i=−Mi;NT
i=Ni.( 5 7 )
Exponentiind matricele bazei (55), ar trebui sa gasim elemente din grupul
SO(1,3), anume matrice Lorentz proprii. Intr-adevar, prin exponentiere,
obtinem
R1=
100 0
010 000c o s ψ−sinψ
00s i n ψcosψ
(58)
corespunzatoare unei rotatii spatiale finite de unghi ψin jurul axei Ox
1,
R2=
10 00
0c o sψ 0s i nψ
00 10
0−sinψ0c o sψ
(59)
corespunzatoare unei rotatii spatiale finite de unghi ψin jurul axei Ox2,
R3=
10 0 0
0c o sψ−sinψ0
0s i nψcosψ 0
00 0 1
(60)
corespunzatoare unei rotatii spatiale finite de unghi ψin jurul axei Ox3,
B1=
coshψsinhψ00
sinhψcoshψ00
001 0000 1
(61)
15

corespunzatoare unui boost lorentzian de unghi ψin jurul axei Ox1,
B2=
coshψ0s i n hψ0
01 00sinhψ0c o s hψ0
00 01
(62)
corespunzatoare unui boost lorentzian de unghi ψin jurul axei Ox
2si
B3=
coshψ00s i n h ψ
01 0 000 1 0
sinhψ00c o s h ψ
(63)
corespunzatoare unui boost lorentzian de unghi ψin jurul axei Ox
3.
Remarca 3.4 T o a t ea c e s t em a t r i c es i n te l e m e n t ed i n Lr≤SO(1,3).
•Definim generatorii hermitici
Jk=:1
2εkijMij, (64)
Jk=J†
k,
cuMijcomponentele spatiale ale tensorului dat de (49)sau(50).E v i –
dent, Jk=(Jk)µν. Particularizind acum si relatia de comutare (51),s e
obtine o relatie de comutare intre noii generatori ~J
[Ji,Jj]−=iεijkJk,( 6 5 )
care o determina o subalgebra Lie su(2)∼=so(3),u l t i m a fiind algebra
Lie a grupului rotatiilor proprii intr-un spatiu euclidian tridimensional.
Definim generatorii hermitici
Ki=:−M0i, (66)
Ki=K†
i.
Particularizind relatia de comutare (51),s eo b t i n e
[Ki,Kj]−=−iεijkJk. (67)
De asemenea, se gaseste
[Ki,Jk]−=iεiklKl.( 6 8 )
16

Am obtinut astfel o a treia realizare a algebrei Lie so(1,3)prin intermediul
relatiilor de comutare intre elementele bazei. In acest caz: (65),(67)si(68).
Semnul ’minus’ din relatia (67) reflecta diferenta dintre grupul necompact
SO(1,3)si forma sa compacta SO(4).
3.3 REPREZENTARI IREDUCTIBILE FINIT DIMEN-
SIONALE ALE ALGEBREI so (1,3)
Schimbam baza in algebra so(1,3)formata din elementele JisiKiintro-
ducind combinatiile liniare complexe
Si=:1
2(Ji+iKi), (69)
Ti=:1
2(Ji−iKi). (70)
Este simplu de vazut ca noii operatori nu mai sint hermitici si, calculind noile
relatii de comutare dintre acestia, se obtine


[Si,Sj]−=iεijkSk
[Ti,Tj]−=iεijkTk
[Ti,Sj]−=0(71)
Intrucit combinatiile liniare (69−70)au coe ficienti complecsi, vom considera
multimea matricelor reale cu patru linii si patru coloane ce satisfac relatia
(52)drept un spatiu liniar complex, astfel realizindu-se complexi ficarea alge-
breiso(1,3).
Relatia (71)ne spune ca generatorii nou introdusi satisfac si ei relatia de
comutare a algebrei su(2). Obtinem deci descompunerea
soC(1,3)∼=su(2)⊗su(2).( 7 2 )
Se poate utiliza clasi ficarea reprezentarilor ireductibile ale algebrei Lie
soC(1,3)pentru a gasi reprezentarile ireductibile ale algebrei so(1,3),i n –
trucit exista o corespondenta biunivoca intre reprezentarile unei algebre Lie
reale si ale complexi ficatei acesteia (ref.bibl.3). Utilizind izomor fismul (72),
problema se reduce la studiul reprezentarilor ireductibile finit dimensionale
ale algebrei su(2)⊗su(2).
17

Teoria reprezentarilor ireductibile finit dimensionale ale algebrei su(2)⊗
su(2)este bine cunoscuta. In conformitate cu teorema lui Racah (ref.bibl.4),
exista un operator Cazimir pentru fiecare subalgebra su(2),d a td e
S=:3X
i=1SiSi, (73)
S∈End (V1)
cu valorile proprii n(n+1 ),u n d e n=0,+1/2,+1,+3/2, …este valoarea
proprie a lui S3,i a r V1este spatiul liniar finit dimensional al reprezentarii
uneia dintre algebrele su(2), respectiv
T=:3X
i=1TiTi, (74)
T∈End (V2)
cu valorile proprii m(m+1 ),unde m=0,+1/2,+1,+3/2, …este valoarea
proprie a lui T3.iarV2este spatiu liniar finit dimensional al reprezentarii
celeilalte algebre su(2).
Putem deci identi fica o reprezentare ireductibila finit dimensionala a al-
gebrei so(1,3)prin perechea (n, m ), si, intrucit
J3=S3+T3, (75)
identi ficam ponderea/spinul reprezentarii prin (n+m). Pentru o reprezentare
de tip (n, m )aa l g e b r e i so(1,3), dimensiunea spatiului liniar al reprezentarii
este (2n+1 )( 2 m+1 ).
Remarca 3.5 Este important de observat ca cele doua subalgebre su(2)nu
sint independente, intrucit ele pot fiinterschimbate prin operatia de pari-
tate/inversie spatiala data de (30).A c t i u n e al u i (30) pe generatorii JisiKi
este
JiΛis→Ji, (76)
KiΛis→−Ki. (77)
de unde, folosind de finitiile (69−70)
SiΛis→Ti, (78)
TiΛis→Si. (79)
18

Remarca 3.6 Operatia de conjugare hermitica interschimba si ea genera-
torii SisiTi, dupa cum se poate arata folosind de finitiile (69−70)si her-
miticitatea generatorilor JisiKi
½S†
i=Ti
T†
i=Si. (80)
Astfel, conjugarea hermitica este echivalenta cu inversia spatiala.
3.3.1 EXEMPLE DE REPREZENTARI.
•Reprezentarea (0,0)de pondere 0este reprezentarea scalara . Dimensi-
unea spatiului liniar al reprezentarii este 1.
•Reprezentarea¡1
2,0¢
de pondere1
2se numeste reprezentarea spinoriala
left. Spatiul reprezentarii este bidimensional.
•Reprezentarea¡
0,1
2¢
de pondere1
2se numeste reprezentarea spinoriala
right. Spatiul reprezentarii este bidimensional.
•Reprezentarea¡1
2,1
2¢
de pondere 1se numeste reprezentarea vectoriala .
Spatiul reprezentarii este 4-dimensional.
19

4G R U P U L S L (2,C)
4.1 ALGEBRA CU SPINORI WEYL
Consideram grupul special liniar in doua dimensiuni cu parametri complecsi
SL(2,C)= :{M∈GL(2,C)|detM=+ 1}.( 8 1 )
O reprezentare liniara a acestui grup se construieste ca un homomor fismh
de la grupul SL(2,C)la grupului autmor fismelor unui spatiu liniar complex
F, numit spatiul liniar al reprezentarii. Adica
M∈SL(2,C)h−→D(M)∈Aut (F),( 8 2 )
grupul Aut (F)fiind multimea tuturor aplicatiilor liniare bijective de la Fla
F, multiplicarea elementelor in acest grup reprezentind-o compunerea apli-
catiilor. Cerem satisfacerea proprietatilor de reprezentare
½D¡
1SL(2,C)¢
=1F
D(M1)D(M2)=D(M1M2)(83)
,∀M1,M 2∈SL(2,C),
,u n d e 1SL(2,C)este elementul unitate al grupului SL(2,C),i a r 1Feste ele-
mentul unitate din Aut (F), anume aplicatia identitate pe F.
Fieψun element arbitrar din Fsi{bei}baza canonica in F.A t u n c i
ψ=dimFX
n=1ψnben. (84)
Operatorii reprezentarii Dactioneaza astfel
D(M)ψ=dimFX
n=1ψ0
nben, (85)
unde
ψ0
n=dimFX
i=1Dni(M)ψi. (86)
Elementele de matrice (Dnm(M))sint in numar de ’ dimF×dimF’s is e
numesc elementele de matrice ale reprezentarii Din baza canonica din F.
’dimF’ se numeste dimensiunea reprezentarii liniare .
20

Definitia 4.1 Doua reprezentari D(1)siD(2)se numesc echivalente ,d a c a
exista o matrice U, invertibila si de tip dimF×dimF,a s t f e li n c i t
D(1)(M)=UD(2)(M)U−1, (87)
U∈Aut(F).
4.1.1 REPREZENTAREA FUNDAMENTALA A GRUPULUI SL(2,C)
Reprezentarea fundamentala este data de
D(M)= :M,∀M∈SL(2,C).( 8 8 )
Se constata imediat ca spatiul liniar al reprezentarii este bidimensional. Il
vom nota prin F.I n c o n f o r m i t a t e c u (86), marimile ψ∈Fse transforma
astfel
ψ0
α=Mαβψβ, (89)
α,β=1,2.
Marimile de finite prin relatia (89)se numesc s p i n o r iW e y ll e f t , iar reprezentarea
(88)este notata cu D(1
2,0).
4.1.2 REPREZENTAREA FUNDAMENTALA CONTRAGRA-
D I E N T AAG R U P U L U I SL(2,C)
Reprezentarea fundamentala contragradienta/complex conjugata este de finita
prin relatia
D(M)= :M∗,∀M∈SL(2,C).( 9 0 )
Se constata ca si in acest caz spatiul liniar al reprezentarii este bidimensional.
Il vom nota prin•
F. Elementele acestui spatiu, notate generic prin ψ,s e
transforma la grupul SL(2,C)dupa
ψ0
•α=(M∗)•α•
βψ•
β, (91)
•α,•
β=•.
1,•
2,
undeψ•
β∈•
Fse numesc s p i n o r iW e y lr i g h t , iar reprezentarea data de (90) se
noteaza prin D(0,1
2).
21

Remarca 4.1 Acesti spinori sint pusi in relatie prin intermediul operatiei
de conjugare complexa. Astfel,daca ψα∈F,atunci
(ψα)∗=:ψ•α∈e•
F. (92)
Semni ficatia spinorului ψ•αva deveni clara ulterior.
Remarca 4.2 Se poate demonstra ca reprezentarile fundamentala D(1
2,0)si
fundamentala contragradienta D(0,1
2)sint inechivalente, adica
@C∈M2(C), a.i. M=CM∗C−1,∀M∈SL(2,C). (93)
4.1.3 REPREZENTARI ECHIVALENTE ALE GRUPULUI SL(2,C)
•Reprezentarea
D(M)= :¡
M−1¢T(94)
este echivalenta cu reprezentarea fundamentala D(1
2,0)data de (88).
In demonstrarea acestei a firmatii,se arata ca exista o matrice invertibila
cu doua linii si doua coloane ε=(ε)αβ∈GL(2,C)
εαβ=µ0−1
10¶
=:¡
εαβ¢−1, (95)
εαβ=µ01
−10¶
=(εαβ)T, (96)
astfel incit
εαβMβγεγδ=h¡
M−1¢Tiα
δ. (97)
De asemenea 

εαβεβγ=δα
γ
εαβεβγ=δγ
α
(εαβ)Tεβγ=−δγ
α, (98)
de unde putem interpreta matricea εαβcu indici contravarianti drept o
metrica simplectica in spatiul spinorilor left. Inversa relatiei (97)este
Mζη=εζαh¡
M−1¢Tiα
δεδη.( 9 9 )
22

Luindψα∈F, obtinem successiv
ψ0
α=Mαβψβ=εαγh¡
M−1¢Tiγ
δεδβψβ,
εηαψ0
α=h¡
M−1¢Tiη
δεδβψβ. (100)
Definim un spinor Weyl left dual/cu indice contravariant prin
ψη=:εηαψ0
α, (101)
iar din relatia (100) obtinem transformarea sa la grupul SL(2,C)dupa
reprezentarea (94)
(ψη)0=h¡
M−1¢Tiη
δψδ. (102)
•Reprezentarea
D(M)= :£
(M∗)−1¤T(103)
este echivalenta cu reprezentarea fundamentala contragradienta D(0,1
2)data
in(90).
In demonstratia acestei a firmatii se arata ca exista o matrice invertibila
cu doua linii si doua coloane ε=(ε)•α•
β∈GL(2,C)
ε•α•
β=µ01
−10¶
, (104)
ε•α•
β=µ0−1
10¶
=µ
ε•α•
β¶−1
(105)
care veri fica relatia
ε•α•
β(M∗)•
β•γε•γ•
δ=h£
(M∗)−1¤Ti•α
•
δ. (106)
Din (104−105) se obtine


ε•α•
βε•
β•γ=δ•α
•γ
ε•α•
βε•
β•γ=δ•γ
•α, (107)
23

deci matricea data de (104) cu indici contravarianti se poate constitui
intr-o metrica simplectica pe spatiul spinorilor right. Prin inversarea
relatiei (106) se gaseste
(M∗)•α•
β=ε•α•γh£
(M∗)−1¤Ti•γ
•
δε•
δ•
β. (108)
A l e g i n du ns p i n o r ψ•α∈•
F,obtinem succesiv
ψ0
•α=(M∗)•α•
βψ•
β=ε•α•γh£
(M∗)−1¤Ti•γ
•
δε•
δ•
βψ•
β,
ε•
ζ•αψ0
•α=h£
(M∗)−1¤Ti•
ζ
•
δε•
δ•
βψ•
β(109)
Definim spinorul Weyl right dual/cu indice contravariant prin
ψ•
ζ=:ε•
ζ•αψ•α, (110)
iar din relatia (109) obtinem transformarea sa la grupul SL(2,C)dupa
reprezentarea (103)
µ
ψ•
ζ¶0
=h£
(M∗)−1¤Ti•
ζ
•
δψ•
δ. (111)
4.1.4 SPATII SPINORIALE
SPATII DIRECTE SI SPATII DUALE
•FieFspatiul liniar bidimensional al spinorilor ψα, i.e.spatiul liniar al
reprezentarii fundamentale a grupului SL(2,C). Construim spatiul
dualeFal functionalelor liniare continue pe Fastfel: elementele lui eF
sint aplicatii liniare ϕαde la spatiul Fla multimea numerelor complexe
C
ϕα:F→C, (112)
ϕ(ψ)= :ϕαψα∈C, (113)
∀ψ∈F.
24

Trecerea de la spatiul Fla dualul sau este realizata prin intermediul
unei matrice invertibile εαβ( c ec o i n c i d ec uc e ad e finita in (95))v a z u t e
ca o aplicatie
εαβ:F→eF, (114)
ψαεαβ−→ψα=:εαβψβ∈eF. (115)
Aplicatia inversa (v. (96))
εαβ:eF→F, (116)
ψαεαβ−→ψα=:εαβψβ∈F (117)
realizeaza trecerea de la dual la spatiul liniar al reprezentarii funda-
mentale a grupului SL(2,C).
Remarca 4.3 Interpretind legea de compozitie (113) in termenii unei
inmultiri matriceale, identi ficam spinorii left drept matrice cu doua
linii si o coloana, si spinorii lor duali drept matrice cu o linie si douacoloane.
•Se construieste spatiul duale
•
Fdrept spatiul liniar intins de functionalele
liniare continue pe•
F(spatiul liniar al reprezentarii fundamentale con-
tragradiente a grupului SL(2,C))d et i p u l ϕ•αin modul urmator
ψ•α:e•
F→C, (118)
ψ(ϕ)= :ψ•αϕ•α∈C. (119)
Se vede ca 

ψ•α∈ee•
F∼=•
F
ϕ•α∈e•
F. (120)
Trecerea de la spatiul duale•
Fla spatiul•
Fal spinorilor right se realizeaza
prin intermediul unei matrice ε•α•
β(v.(104) )
ε•α•
β:e•
F→•
F, (121)
ψ•αε•α•
β−→ψ•α=:ε•α•
βψ•
β. (122)
25

Aplicatia inversa (v. (105) )
ε•α•
β:•
F→e•
F, (123)
ψ•αε•α•
β−→ψ•α=:ε•α•
βψ•
β. (124)
realizeaza trecerea de la spatiul spinorilor right la dualul sau.
Remarca 4.4 Interpretind legea de compozitie (119) drept o inmultire
matriceala, identi ficam spinorii right drept matrice cu o linie si doua
coloane,si spinorii right duali drept matrice cu doua linii si o coloana.
Remarca 4.5 Trecerea de la Flae•
Feste data prin operatia de conjugare
complexa urmata de operatia de inmultire cu o matrice invertibila
¡
σ0¢•αβ:F→e•
F, (125)
¡
σ0¢•αβψ∗
β=ψ•α. (126)
Trecerea inversa, de lae•
FlaFeste realizata prin operatia de conjugare com-
plexa urmata de operatia de inmultire cu o matrice invertibila
¡
σ0¢
α•
β:e•
F→F, (127)
¡
σ0¢
α•
βµ
ψ•
β¶∗
=ψα. (128)
APLICATII DUALE. FieVsiWdoua spatii liniare peste un corp K.
Atunci, fiecarei aplicatii liniare
φ:V→W (129)
ii putem construi aplicatia duala
eφ:fW→eV (130)
in modul urmator:
26

Fieeψo functionala liniara continua peste W³
eψ∈fW´
eψ:W→K. (131)
Definim aplicatia duala prin
eφ³
eψ´
=:eψ◦φ. (132)
Aplicind membrul sting din (132) pe un vector v∈V, vom gasi un scalar
din corpul K, i.e.
v∈Veφ(eψ)−→K, (133)
undeeφ³
eψ´
e s t ep r i nc o n s t r u c t i eu ne l e m e n td i ns p a t i ud u a l eVcare aplica
fiecare vector v∈Vin corpul de scalari K.E x p l i c i t
v∈Vφ:V→W−→φ(v)∈Weψ∈fW−→³
eψ◦φ´
(v)∈K. (134)
Relatia de de finitie (132) inseamna de fapt ca atit functionala din membrul
sting, cit si cea din membrul drept, atunci cind actioneaza pe un vectorarbitrar din V, conduc la acelasi scalar din K. Se poate demonstra caracterul
liniar al aplicatiei date de (132) .
Remarca 4.6 Descriind atit aplicatia directa φcit si aplicatia duala eφprin
matrice, se poate demonstra ca, daca φcorespunde unei matrice A,a t u n c i
aplicatia eφcorespunde matricei transpuse A
T.
4.1.5 REINTERPRETARE IN TERMENI DE APLICATII DUALE
•Sa consideram relatia (89).Formal,
M:F→F
ψα→ψ0
α=Mαβψβ
inseamna ca Meste o aplicatie liniara de la spatiul liniar Fla spatiul
liniar F. Este de fapt un automor fism al spatiului F. Atunci inversa
aplicatiei duale asociate lui Meste data de
fM−1:eF→eF
27

cu proprietatea ca
fM−1=¡
M−1¢T. (135)
Sa consideram un spinor left dual ψα∈eF. Aplicindu-i matricea εαβ,
obtinem un spinor left ψβdin spatiul F.S p i n o r u ll e f t ψ0
βtransformat
dupa reprezentarea fundamentala a grupului SL(2,C)se obtine prin
inmultire cu matricea aplicatiei directe Mαβ. Aplicind acum matricea
εαβse obtine elementul transformat prin inversa aplicatiei duale, adica
un element din eF. Rezultatul acestor compuneri de aplicatii este
h¡
M−1¢Tiα
δ=εαβMβγεγδ,
adica exact relatia (97).
•Automor fismul in spatiul spinorilor left M:F→Finduce un auto-
morfism in spatiul spinorilor right M∗:•
F→•
F. Considerind un spinor
left transformat ψ0
β, obtinem transformatul dualului spinorului right
asociat prin
µ
ψ•α¶0
=¡
σ0¢•αα(ψ0
α)∗
=¡
σ0¢•αα¡
Mαβψβ¢∗
=¡
σ0¢•αα¡
Mαβ¢∗ψ∗
β
=¡
σ0¢•αα¡
Mαβ¢∗¡
σ0¢
β•
βψ•
β.
Am obtinut astfel legea de transformare pee•
F. Trecind la dualul sau
ee•
F∼=•
Fprin intermediul metricii ε•α•
β,gasim
¡
ψ•α¢0=ε•α•
βµ
ψ•
β¶0
=ε•α•
β¡
σ0¢•
βα¡
Mαβ¢∗¡
σ0¢
β•γδ•γ
•ηψ•η
=ε•α•
β¡
σ0¢•
βα¡
Mαβ¢∗¡
σ0¢
β•γε•γ•
ζε•
ζ•ηψ•η
=ε•α•
β¡
σ0¢•
βα¡
Mαβ¢∗¡
σ0¢
β•γε•γ•
ζψ•
ζ. (136)
28

Definim
(M∗)•α•
ζ=:ε•α•
β¡
σ0¢•
βα¡
Mαβ¢∗¡
σ0¢
β•γε•γ•
ζ, (137)
si atunci relatia (136) devine
¡
ψ•α¢0=(M∗)•α•
ζψ•
ζ
ce coincide cu relatia (91),m a t r i c e ad a t ad e (137) constitutindu-se in
matricea automor fismului cautat in•
F. Acesta din urma conduce la un
automor fism pe spatiul duale•
Fastfel
µ
ψ•α¶0
=ε•α•
β³
ψ•
β´0
=ε•α•
β(M∗)•
β•γδ•η
•γψ•η
=ε•α•
β(M∗)•
β•γε•γ•
δε•
δ•ηψ•η
=ε•α•
β(M∗)•
β•γε•γ•
δψ•
δ. (138)
Definimh£
(M∗)−1¤Ti•α
•
δ=:ε•α•
β(M∗)•
β•γε•γ•
δ
si observam ca am regasit expresia (106) si deci automor fismul in spatiul
dual spinorilor right este
£
(M∗)−1¤T:e•
F→e•
F.
Remarca 4.7 Pentru o matrice
Mαβ=µm11m12
m21m22¶
∈SL(2,C), (139)
se arata pe baza de finitiilor (106) si(137) ca
(M∗)•α•
β=
m•
1•
1m•
1•
2
m•
2•
1m•
2•
2
=µ(m22)∗−(m21)∗
−(m12)∗(m11)∗¶
(140)
29

si
h£
(M∗)−1¤Ti•α
•
β=
m•
1•
1m•
1•
2
m•
2•
1m•
2•
2
=µ(m11)∗(m12)∗
(m21)∗(m22)∗¶
. (141)
4.2 HOMOMORFISMUL DINTRE GRUPUL SL(2,C)
SI GRUPUL LORENTZ RESTRINS
In aceasta sectiune se va construi un homomor fism intre grupul Lorentz re-
strins Lrsi grupul SL(2,C): oricarei matrice M∈SL(2,C)ii corespunde o
transformare Lorentz Λ=Λ(M)∈Lr,a s t f e li n c i t
Λ(M1)Λ(M2)=Λ(M1M2). (142)
Pentru a face o legatura intre calculul spinorial cu spinori Weyl si formalismul
cu cuadrivectori speci fic grupului Lorentz restrins, vom introduce o multime
de 4 matrice numite simboluri Infeld-van der Waerden
σµ=¡
σ0,~σ¢
=:³
b12×2,~σ´
, (143)
unde ~σ=(σi)i=1,3sint matricele Pauli
σ1=:µ01
10¶
;σ2=:µ0−i
i0¶
;σ3=:µ10
0−1¶
. (144)
Structura de indici spinoriali a matricelor σµeste
σµ=(σµ)α•α, (145)
si se demonstreaza folosind reprezentarea adjuncta a grupului SL(2,C).A m –
bii indici pot firidicati cu ajutorul matricelor ˆε,c o n d u c i n dl aon o u am u l t i m e
de matrice
(σµ)•αα=:εαβε•α•
β(σµ)
β•
β. (146)
O forma echivalenta este
(σµ)•αα=h
(σµ)Tiα•α
=−εαβ(σµ)
β•
βε•
β•α. (147)
30

Inversind relatia (146) , se gaseste
(σµ)α•α=εαβε•α•
β(σµ)•
ββ. (148)
Folosind de finitiile (143) si(146) ,s ea r a t ac a
½σ0=σ0
σi=−σi. (149)
Folosind de finitiile si proprietatile bine cunoscute ale matricelor Pauli, se
pot demonstra egalitatile
(σµ)α•α(σν)•αα=2ηµν, (150)
(σµ)α•α(σν)•αβ+(σµ)α•α(σν)•αβ=2ηµνδβ
α. (151)
Propozitia 4.1 Matricele σµformeaza un sistem complet in spatiul liniar
al matricelor complexe cu doua linii si doua coloane si veri fica relatia de
completitudine
(σµ)α•α(σµ)•
ββ=2δβ
αδ•
β
•α, (152)
unde
(σµ)•
ββ=:ηµν(σν)•
ββ. (153)
Construim o aplicatie de la spatiul Minkowski M4la multimea matricelor
hermitice cu doua linii si doua coloane H(2,C). Notind-o prin ρ,v o ma v e a
ρ:M4→H(2,C), (154)
xµ→ [ρ(xµ)]α•α=:xµ(σµ)α•α=µx0−x3−x1+ix2
−x1−ix2x0+x3¶
α•α≡Xα•α.
(155)
Se demonstreaza ca aplicatia inversa este
ρ−1:H(2,C)→M4, (156)
X→ρ−1(X)=xµ=1
2Xα•α(σµ)•αα=1
2Tr(Xσµ). (157)
De asemenea, folosind (155) si definitia matricelor (σµ)α•α, se arata ca
det (X)= xµxµ=x2, (158)
X†=X. (159)
31

4.2.1 REPREZENTAREA ADJUNCTA A GRUPULUI SL(2,C)
Consideram actiunea grupului SL(2,C)pe grupul H(2,C)care poarta nu-
mele de reprezentarea adjuncta a grupului SL(2,C). Aceasta se construieste
tot ca un homomor fism de grupuri
ad :SL(2,C)→AutH(2,C), (160)
SL(2,C)3M→adM, (161)
M0≡adM(X)= :MXM†, (162)
M,M†∈SL(2,C),X∈H(2,C),
unde Aut H(2,C)este grupul automor fismelor spatiului H(2,C)si este
izomorf cu grupul GL(H(2,C)).S ev e r i fica simplu ca M0=(M0)†
[adM(X)]†=¡
MXM†¢†=MX†M†=MXM†=adM(X).
Din structura de reprezentare adjuncta (162) putem deriva structura de indici
spinoriali a matricelor σ.A s t f e l Xdat de (155) se transforma la grupul
SL(2,C)dupa reprezentarea adjuncta
X0=MXM†⇔x0
µσµ=MxνσνM†, (163)
x0
µ(σµ)α•α=Mαβxν(σν)†
β•
β(M∗)•
β
•α. (164)
Astfel, matricele (σµ)α•αaplica spatiul spinorilor right in dualul spatiului
spinorilor left, in timp ce matricele (σµ)•ααaplica spatiul spinorilor left in
dualul spatiului spinorilor right. Determinantul matricei hermitice transfor-mate X
0este
det (X0)=d e t¡
MXM†¢
=( d e t M)( d e t X)¡
detM†¢
=d e t( X),
x0
µx0µ=xµxµ.
Am realizat astfel o constructie reprezentabila schematic in modul urma-
tor
M4ρ−→H(2,C)adM−→H(2,C)ρ−1
−→M4, (165)
xµ→ρ(xµ)=X→adM(X)=X0→ρ−1(X0)=x0
µ. (166)
32

Aceasta aplicatie de la M4laM4care lasa invarianta forma patratica xµxµ
este prin de finitie o transformare Lorentz (v. (13−14)). Grupind rezultatele
x0µ=1
2Tr(X0σµ)=1
2Tr¡
MXM†σµ¢
=1
2Tr¡
MxνσνM†σµ¢
=·1
2Tr¡
MσνM†σµ¢¸
xν
=·1
2Tr¡
σµMσνM†¢¸
xν(167)
s ic o m p a r i n dc ur e l a t i a (13),s eg a s e s t e
Λµ
ν(M)=1
2Tr¡
σµMσνM†¢
. (168)
Acest rezultat se constituie in forma explicita a homomor fismului dintre
SL(2,C)siLr. Demonstratia acestui homomor fism este data in (ref.bibl.5).
Inversa relatiei (168) se gaseste a fi(ref.bibl.5)
M(Λ)=±1
[det (Λµνσµσν)]1/2Λµ
νσµσν. (169)
Folosind indicii spinoriali, relatiile (168−169) devin
Λµ
ν(M)=1
2(σµ)α•αMαβ(σν)
β•
β(M∗)•
β
•α. (170)
Mαβ(Λ)=±1
h
deth
Λµν(σµ)α•α(σν)β•αii1/2Λµ
ν(σµ)α•α(σν)β•α. (171)
Relatiile (170−171) arata legatura dintre elementele celor doua grupuri.
Din relatiile (137) si(170) se constata ca atit matricea M∈SL(2,C),c i t
si matricea −M∈SL(2,C)conduce la aceeasi transformare Lorentz pro-
prie ortocrona Λ∈Lr. Corespondenta Λ↔±Mdefineste o reprezentare
divalenta a grupului Lorentz restrins numita reprezentare spinoriala .
Ambiguitatea de semn din relatia (171) apare din cauza faptului ca nu-
cleul homomor fismului este format din ambele elemente centrale ale grupului
SL(2,C):±12×2(ref.bibl.6). Obtinem deci ca centrul grupului SL(2,C),n o –
tat prin Z2, este subgrup invariant in SL(2,C), iar grupul Lorentz restrins
este izomorf cu grupul factor
Lr∼=SL(2,C)
Z2, (172)
33

ca rezultat al teoremei fundamentale de izomor fism. Intrucit se poate demon-
stra ca grupul SL(2,C)este simplu conex, iar grupul Lrfiind conex si ho-
momorf cu SL(2,C), avem indeplinite conditiile din de finitia grupului de
acoperire universala (ref.bibl.7). Grupul SL(2,C)este grupul de acoperire
universala al grupului Lorentz restrins.
Homomo fismul dintre LrsiSL(2,C)induce un homomor fism intre spati-
ile tangente la elementele neutre in ce le doua grupuri, anume un homomor-
fism intre algebrele Lie ale celor doua grupuri, so(1,3),respectiv sl(2,C).
Intrucit se poate demonstra izomor fismul de algebre Lie
sl(2,C)∼=su(2)⊗su(2), (173)
iar in sectiunea 3.3 s-a mentionat izomor fismul
so(1,3)∼=so(1,3)C∼=su(2)⊗su(2) (174)
, obtinem din ultimele doua relatii
so(1,3)∼=sl(2,C). (175)
In cazul in care un homomor fism de grupuri Lie induce un izomor fism de al-
gebre Lie asociate, spunem ca cele doua grupuri sint izomorfe local. Obtinemastfel justi ficarea echivalentei dintre reprezentarile grupului Lorentz restrins
L
r(obtinute prin intermediul reprezentarilor grupului SL(2,C))s ir e p r e z e n –
tarilor algebrei Lie so(1,3)(obtinute prin intermediul reprezentarilor algebrei
su(2)si a produsului su(2)⊗su(2)).
34

5 CIMPURI CLASICE
5.1 REPREZENTARILE IREDUCTIBILE FINIT DI-
MENSIONALE ALE GRUPULUI LORENTZ RE-STRINS
Definitia 5.1 Se numeste cimp clasic of u n c t i e Q(x)definita pe spatiul Minkowski
care la o transformare Lorentz proprie ortocrona a argumentului
xµΛ∈Lr−→x0µ=Λµ
νxν
se transforma dupa o reprezentare finit dimensionala a grupului Lorentz re-
strins
Q(x)Lr−→Q0(x0)=D(Λ)Q(x). (176)
Intrucit grupul Lorentz restrins este necompact, toate reprezentarile sale
unitare sint in finit dimensionale. Totusi, Lrva avea reprezentari finit dimen-
sionale, insa neunitare.
Este demn de remarcat ca Lreste un grup semisimplu, prin urmare toate
reprezentarile sale finit dimensionale reductibile sint complet reductibile, lu-
cru care face su ficient studiul reprezentarilor finit dimensionale ireductibile.
A construi aceste reprezentari este, pe baza homomor fismului dintre Lrsi
SL(2,C), echivalent cu a construi reprezentarile finit dimensionale si ire-
ductibile ale grupului SL(2,C).
Am vazut ca grupul SL(2,C)are doua reprezentari bidimensionale in-
echivalente:reprezentarea fundamentala a spinorilor Weyl left si reprezentarea
fundamentala contragradienta a spinorilor Weyl right. Cu aceste doua reprezen-tari vom putea construi toate celelalte reprezentari finit dimensionale.
Sa consideram un spinor Weyl left ψcu componentele ψ
1siψ2care se
transforma la grupul SL(2,C)dupa reprezentarea fundamentala
½ψ0
1=m11ψ1+m12ψ2
ψ0
2=m21ψ1+m22ψ2(177)
precum si un spinor Weyl right ψcu componentele ψ•
1siψ•
2care se transforma
la grupul SL(2,C)dupa reprezentarea fundamentala contragradienta


ψ0
•
1=m•
1•
1ψ•
1+m•
1•
2ψ•
2
ψ0
•
2=m•
2•
1ψ•
1+m•
2•
2ψ•
2. (178)
35

F i i n dd a t ed o u an u m e r en a t u r a l ea r b i t r a r e nsin0, se poate construi spatiul
liniar al monoamelor de grad n+n0de tipul
p(n,n0)
kk0 =: (ψ1)n−k³
ψ•
1´n0−k0
(ψ2)k³
ψ•
2´k0
, (179)
0≤k≤n,0≤k0≤n0.
Intrucit ksik0i a ui nm o di n d e p e n d e n t n+1, respectiv n0+1valori, numarul
monoamelor independente este (n+1 )( n0+1 )= : N. Dimensiunea spatiului
acestor monoame este deci N. Transformind la SL(2,C)spinorii left si
right dupa reprezentarile corespunzatoare fiecaruia in conformitate cu (177)
si(178) , noile monoame vor fi
(p0)(n,n0)
kk0 =¡
m11ψ1+m12ψ2¢n−kµ
m•
1•
1ψ•
1+m•
1•
2ψ•
2¶n0−k0
¡
m21ψ1+m22ψ2¢kµ
m•
2•
1ψ•
1+m•
2•
2ψ•
2¶k0
, (180)
lucru care arata ca monoamele transformate pot fiscrise ca o combinatie
liniara de monoame netransformate
(p0)(n,n0)
kk0=nX
l=0n0X
l0=0D(n,n0)
kk0,ll0p(n,n0)
ll0. (181)
Elementele de matrice D(n,n0)
kk0,ll0vor da o reprezentare Ndimensionala a grupu-
luiSL(2,C).
Introducem notatiile ½j=:n
2
j0=:n0
2(182)
si, in mod corespunzator, vom indicia m atricea reprezentarii prin simbolul
D(j,j0),c ujsij0avind evident valori intregi sau semintregi nenegative. Di-
mensiunea spatiului liniar complex al reprezentarii este acum N=( 2j+1 )( 2 j0+1 ).
Se poate demonstra folosind inversa lemei lui Schur (ref.bibl.8) ca reprezen-tarile date de D
(j,j0)sint ireductibile, deci orice reprezentare reductibila finit
dimensionala poate fiscrisa in functie de acestea.
Remarca 5.1 Particularizind D(j,j0)pentru j=1
2sij0=0,s eg a s e s t e
reprezentarea fundamentala a grupului SL(2,C),i a rl u i n d j=0sij0=1
2,s e
va regasi reprezentarea fundamentala contragradienta a grupului SL(2,C).
36

In teoria cuantica a momentului cinetic pentru un sistem nerelativist
se demonstreaza teorema Clebsch-Gordan ce a firma ca reprezentarea pro-
dus direct a doua reprezentari ireductibile finit dimensionale ale grupului
SU(2)(algebrei su(2)) este reductibila si se descompune intr-o suma directa
de reprezentari ireductibile finit dimensionale. Intrucit SU(2)≤SL(2,C),
putem considera generalizarea
D(j1,,j0
1)⊗D(j2,,j0
2)=D(j1+j2,j0
1+j0
2)⊕D(j1+j2−1,j0
1+j0
2)⊕D(j1+j2,j0
1+j0
2−1)
⊕D(j1+j2−1,j0
1+j0
2−1)⊕…⊕D(|j1−j2|,|j0
1−j0
2|).(183)
5.2 INVARIANTI LA GRUPUL LORENTZ RESTRINS
Ne punem problema gasirii invariantilor relativisti, in sensul gasirii tuturor
marimilor invariante la grupul Lorentz restrins. Intrucit acest grup este ho-
momorf cu grupul SL(2,C), invariantii relativisti vor fiinvarianti la SL(2,C)
si invers.
Propozitia 5.1 Forma patratica
ψχ=:ψαχα (184)
este invarianta la grupul SL(2,C).
Demonstratie.
ψ0χ0=(ψ0)α(χ0)α=h¡
M−1¢Tiα
βψβMαγχγ
=ψβ¡
M−1¢
βαMαγχγ=ψβδγ
βχγ
=ψγχγ=ψχ.
Propozitia 5.2 Forma patratica
ψχ=:ψ•αχ•α(185)
este invarianta la grupul SL(2,C).
37

Demonstratie.
ψ0χ0=³
ψ0´
•α(χ0)•α=(M∗)•α•
βψ•
βh£
(M∗)−1¤Ti•α
•γχ•γ
=ψ•
βh
(M∗)Ti•
β
•α·h
(M∗)Ti−1¸•α
•γχ•γ=ψ•
βδ•
β
•γχ•γ
=ψ•
βχ•
β=ψχ.
Se constata ca
ψψ=:ψαψα=0. (186)
Interpretarea spinorilor left si right precum si a spinorilor lor duali in ter-
menii mecanicii cuantice a sistemelor de particule identice recomanda con-
siderarea acestor spinori sila nivel clasic drept elemente ale unei algebre
Grassmann cu paritate Grassmann +1. Vom postula deci
£
ψα,ψβ¤
+=£
ψα,ψβ¤
+=£
ψα,ψβ¤
+=0, (187)
·
χ•α,χ•
β¸
+=h
χ•α,χ•
βi
+=·
χ•α,χ•
β¸
+=0. (188)
In aceste conditii, expresia (186) si corespondenta ei pentru spinorii right nu
se vor anula.
Presupunind in cele ce urmeaza ca toti spinorii au paritate Grassmann
+1, se demonstreaza prin calcul direct proprietatile
Propozitia 5.3½ψχ=χψ
ψχ=χψ. (189)
Propozitia 5.4
φα(σµ)
α•
βχ•
β=−χ•α(σµ)•αβφβ. (190)
Folosind relatia (190) ,v o md e m o n s t r ac a
38

Propozitia 5.5 Marimile φα(σµ)
α•
βχ•
βsiχ•α(σµ)•αβφβse transforma la grupul
Lorentz restrins ca un cuadrivector/vector contravariant.
Demonstratie.
(φ0)α(σµ)
α•
β(χ0)•
β=−(χ0)•α(σµ)•αβ(φ0)β=−(M∗)•α•
βχ•
β(σµ)•αβMβγφγ
=−χ•
β¡
M†¢•
β
•α(σµ)•αβMβγφγ
=−χ•
βδ•
β
•γ¡
M†¢•γ
•α(σµ)•αβMβγδζ
γφζ
=−1
2χ•
β(σν)•
βζ(σν)γ•γ¡
M†¢•γ
•α(σµ)•αβMβγφζ
=−1
2·¡
M†¢•γ
•α(σµ)•αβMβγ(σν)γ•γ¸·
χ•
β(σν)•
βζφζ¸
=−1
2Tr¡
M†σµMσν¢
(χσνφ)
=−Λµ
ν(M)(χσνφ)
=Λµ
ν(M)(φσνχ)
5.3 GENERATORII GRUPULUI SL(2,C)
Ne propunem sa gasim forma matematica a aplicatiei ce de fineste un izomor-
fism intre algebrele Lie so(1,3)a grupului Lorentz restrins si sl(2,C)a
grupului SL(2,C). Aceasta presupune mai intii determinarea generatorilor
grupului SL(2,C)in cele doua reprezentari fundamentale inechivalente.
Propozitia 5.6 Generatorii grupului SL(2,C)in reprezentarile D(1
2,0)re-
spectiv D(0,1
2)sint dati de
(σµν)αβ=:i
4h
(σµ)α•α(σν)•αβ−(σν)α•α(σµ)•αβi
, (191)
(σµν)•α
•
β=:i
4h
(σµ)•αα(σν)
α•
β−(σν)•αα(σµ)
α•
βi
, (192)
£
(σµν)α⤆=(σµν)•
β
•α. (193)
Demonstratie.
39

Ne vom folosi de expresia (169) in cazul unor transformari Lorentz in fin-
tezimale.
Λµνσµσν=
1ω01ω02ω03
−ω01−1ω12ω13
−ω02−ω12−1ω23
−ω03−ω13−ω23−1

µνσµσν
Λµνσµσν=µ4−2(ω03+iω12) −2(ω01+iω23)+2i(ω02+iω31)
−2(ω01+iω23)−2i(ω02+iω31)4 + 2 ( ω03+iω12)¶
.
(194)
Astfel
det (Λµνσµσν)=1 6+ O¡
ω2¢
(195)
si, prin neglijarea termenilor patratici in parametrii in finitezimali notati generic
prinω,
D=: [det (Λµνσµσν)]1/2=4. (196)
Folosim acum faptul ca generatorii Mµνf o r m e a z aob a z ai na l g e b r aL i e
so(1,3), deci sint valabile atit reprezentarea exponentiala (47)cit si liniarizarea
ei(48)
SL(2,C)3M(Λ)=1
DΛρλ(ω)σρσλ=1
4·
ηρλ−i
2ωµν(Mµν)ρλ¸
σρσλ
M(Λ)= :1
4σλσλ−i
2ωµνσµν,
[M(Λ)]αβ=δβ
α−i
2ωµν(σµν)αβ,(197)
unde am de finit generatorii grupului SL(2,C)in reprezentarea fundamentala
D(1
2,0)prin relatia
(σµν)αβ=:1
4(Mµν)ρλ(σρ)
α•
β¡
σλ¢•
ββ. (198)
Se poate arata prin calcul direct ca matricele de finite de relatia (198) se con-
stituie in expresia matematica a unui homomor fism de algebre Lie, in speta
de la sl(2,C)laso(1,3). Intrucit acest homomor fism este bijectiv, el este
un izomor fism.
Considerind acum matricea M∗(Λ), se obtine o relatie asemenatoare cu
(198) , dar cu matricele (σµν)•αα.
40

Corolarul 5.1 Generatorii rotatiilor spatiale Jidefiniti in relatia (64) si
generatorii boosturilor lorentziene Kidefiniti in relatia (66) trec prin inter-
mediul izomor fismului so(1,3)∼=sl(2,C)in
h
(J0)ii
αβ=:1
2εi
jk¡
σjk¢
αβ=1
2¡
σi¢
αβ, (199)
h
(K0)ii
αβ=:¡
σ0i¢
αβ=−i
2¡
σi¢
α•α¡
σ0¢•αβ=−i
2¡
σi¢
αβ. (200)
pentru reprezentarea D(1
2,0)ag r u p u l u i SL(2,C)dupa care se transforma
spinorii left,respectiv
h£
(J0)∗¤ii•α
•
β=:1
2εi
jk¡
σjk¢•α
•
β=1
2¡
σi¢•α
•
β, (201)
h£
(K0)∗¤ii•α
•
β=:¡
σ0i¢•α
•
β=i
2¡
σ0¢•αβ¡
σi¢
β•
β=i
2¡
σi¢•α
•
β, (202)
pentru reprezentarea D(0,1
2)ag r u p u l u i SL(2,C)dupa care se transforma
spinorii right.
5.3.1 PROPRIETATI ALE GENERATORILOR GRUPULUI SL(2,C)
In aceasta subsectiune vom enunta proprietati ale matricelor (σµ)α•α,(σµ)•αα
si ale generatorilor grupului SL(2,C)a caror demonstratie (ref.bibl.5) se face
prin calcul direct.
Propozitia 5.7 Generatorii grupului SL(2,C)in reprezentarea D(1
2,0)sint
selfduali
(σµν)αβ=1
2iεµν
ρλ¡
σρλ¢
αβ:= [(∗σ)µν]αβ. (203)
Propozitia 5.8 Generatorii grupului SL(2,C)in reprezentarea D(0,1
2)sint
antiselfduali
(σµν)•α
•
β=−1
2iεµν
ρλ¡
σρλ¢•α
•
β:=−[(∗σ)µν]•α
•
β. (204)
Propozitia 5.9 Sint valabile relatiile
(σµ)
α•
β(σν)•
ββ+(σν)
α•
β(σµ)•
ββ=2ηµνδβ
α, (205)
(σµ)•αβ(σν)
β•
β+(σµ)•αβ(σν)
β•
β=2ηµνδ•α
•
β. (206)
41

Propozitia 5.10
(σµν)αγ¡
εT¢
γβ=(σµν)βγ¡
εT¢
γα, (207)
(σµν)•γ
•α¡
εT¢
•γ•
β=(σµν)•γ
•
β¡
εT¢
•γ•α. (208)
Propozitia 5.11
φα(σµν)αβχβ=−χα(σµν)αβφβ, (209)
φ•α(σµν)•α
•
βχ•
β=−χ•α(σµν)•α
•
βφ•
β. (210)
5.4 SPINORI SI TENSORI
Modul de constructie a spinorilor ireductibili de alte ponderi decit cei fun-
damentali (left si right) este analog c elui de constructi e a reprezentarilor
ireductibile ale grupului SU(3)(ref.bibl.9) utile in cromodinamica cuantica.
Astfel, si in cazul grupului SL(2,C), se pot utiliza tablouri Young (ref bibl.10
si 11).
Introducem conceptul de produs tensorial de spatii spinoriale .A s t f e l , u n
tensor spinorial (<engl.”spinor tensor”) este o marime de finita ca o aplicatie
de la spatiul produs tensorial de spatii spinoriale la multimea numerelorcomplexe.Un tensor spinorial cu jindici nepunctati (de tip left) si kindici
punctati (de tip right) va fideci
ψ
α1…αj•
β1…•
βk:F1⊗…⊗Fj⊗•
F1⊗…⊗•
Fk−→C. (211)
A c e a s t am a r i m es et r a n s f o r m al ag r u p u l SL(2,C)exact ca un produs de j
spinori Weyl left si kspinori Weyl right
ψ
α1…αj•
β1…•
βk−→ψ0
α1…αj•
β1…•
βk=ÃjY
m=1Mαmγm!ÃkY
n=1(M∗)•
βn•
δn!
ψ
γ1…γj•
δ1…•
δk,
(212)
adica dupa o reprezentare D(j
2,k
2). Tensorii simetrici in raport cu toti indicii
nepunctati si, in mod separat, simetrici in raport cu toti indicii punctati vorda toate reprezentarile ireductibile finit dimensionale ale grupului SL(2,C)
(ref.bibl.10 si 11).
42

•Folosim formula (183) in cazul a doua reprezentari fundamentale.
D(1
2,0)⊗D(1
2,0)=D(0,0)⊕D(1,0), (213)
aceasta implicind
ψα⊗χβ=1
2εαβ¡
ψγχγ¢
+1
2h
(σµν)αγ¡
εT¢
γβi£
ψδ(σµν)δζχζ¤
.(214)
Primul termen al sumei din expresia (214) corespunde reprezentarii
D(0,0)a grupului SL(2,C)ce are dimensiunea 1si reprezinta un scalar
Lorentz, in timp ce al doilea corespunde reprezentarii D(1,0)ag r u p u l u i
SL(2,C)ce are dimensiunea 3inC.M a r i m e a ψδ(σµν)δζχζreprezinta
un tensor selfdual de rang doi dublu covariant, si aceasta intrucit, pebaza relatiei (203) , matricele σ
µνsint selfduale.
Folosind rezultatele din paragraful anterior si tabloul Young asociat,
putem scrie
ψα⊗χβ=1
2¡
ψαχβ+ψβχα¢
+1
2¡
ψαχβ−ψβχα¢
. (215)
Partea antisimetrica se prelucreaza simplu
1
2¡
ψαχβ−ψβχα¢
=1
2·1
2¡
ψγχγ¢
εαβ−1
2¡
ψγχγ¢
εβα¸
=1
2εαβ¡
ψγχγ¢
.
Egalitatea dintre partea simetrica din (215) si termenul al doilea al
sumei din relatia (214) este demonstrata in (ref.bibl.5).
•Intr-un mod similar se construiesc spinorii corespunzatori produsului
de reprezentari fundamentale contragradiente
D(0,1
2)⊗D(0,1
2)=D(0,0)⊕D(0,1), (216)
cu reprezentarea D(0,0)de dimensiune 1 reprezentind, ca si mai sus,
un scalar, in timp ce reprezentarea D(0,1)de dimensiune 3 corespunde
unui tensor antiselfdual de rang doi dublu covariant, si aceasta intrucit
matricele σµνsint antiselfduale.
Formula (216) inseamna
ψ•α⊗χ•
β=−1
2ε•α•
β³
ψ•γχ•γ´
+1
2h
(σµν)•γ
•α¡
εT¢
•γ•
βi·
ψ•
ζ(σµν)•
ζ
•
δχ•
δ¸
.(217)
43

Partea antisimetrica din decompunerea
ψ•α⊗χ•
β=1
2³
ψ•αχ•
β+ψ•
βχ•α´
+1
2³
ψ•αχ•
β−ψ•
βχ•α´
(218)
se gaseste a fiegala cu primul termen al sumei din expresia (217) ,
in timp ce partea simetrica,in urma unor calcule similare celor din
(ref.bibl.5), se arata ca este egala cu al doilea termen al sumei din(217) .
•Consideram acum reprezentarea D
(1,0)⊕D(0,1)a 2-formelor abeliene
libere. Aceasta apare ca o reprezentare reductibila, orice 2-forma abelianalibera putindu-se scrie ca o suma de doi termeni: unul reprezentind untensor de rang doi antisimetric si selfdual, si celalalt un tensor de rangd o ia n t i s i m e t r i cs ia n t i s e l f d u a l( v . (221) ).
Definind
F
(1,0)
µν=:ψδ(σµν)δζχζ, (219)
F(0,1)
µν=:ψ•
ζ(σµν)•
ζ
•
δχ•
δ, (220)
putem scrie
F(1,0)⊕(0,1)
µν =F(1,0)
µν+F(0,1)
µν, (221)
Marimile F(1,0)⊕(0,1)
µν sint 2-forme abeliene libere si reprezinta elementele
de matrice ale operatorilor liniari ai reprezentarii D(1,0)⊕D(0,1)a grupu-
luiSL(2,C)in spatiul reprezentarii.
Definind dualul Hodge al 2-formelor abeliene libere
(∗F)(1,0)⊕(0,1)
µν =:1
2iεµνρλF(1,0)⊕(0,1)
ρλ , (222)
se arata imediat ca
(∗F)(1,0)⊕(0,1)
µν =F(1,0)
µν−F(0,1)
µν, (223)
precum si ca


F(1,0)
µν=1
2h
F(1,0)⊕(0,1)
µν +(∗F)(1,0)⊕(0,1)
µνi
F(0,1)
µν=1
2h
F(1,0)⊕(0,1)
µν−(∗F)(1,0)⊕(0,1)
µνi. (224)
44

•Consideram acum produsul Kronecker a doua reprezentari,una funda-
mentala D(1
2,0)si una fundamentala contragradienta D(0,1
2).A p l i c i n d
formula (183) ,gasim
D(1
2,0)⊗D(0,1
2)=D(1
2,1
2), (225)
adica
ψα⊗χ•α≡ψαχ•α=·1
2ψβ(σµ)
β•
βχ•
β¸
(σµ)α•α. (226)
Demonstratie.
·1
2ψβ(σµ)
β•
βχ•
β¸
(σµ)α•α=1
2¡
εβγψγ¢
(σµ)
β•
βµ
ε•
β•γχ•γ¶
(σµ)α•α
=−1
2ψγεβγε•γ•
β(σµ)
β•
βχ•γ(σµ)α•α
=1
2ψγ·
εγβε•γ•
β(σµ)
β•
β¸
χ•γ(σµ)α•α
=1
2ψγχ•γ(σµ)•γγ(σµ)α•α
=ψγχ•γδ•γ
•αδγ
α=ψαχ•α
Am aratat in sectiunea 5.2 ca o marime de tipul
Vµ=:1
2ψβ(σµ)
β•
βχ•
β(227)
se transforma la grupul Lorentz restrins ca un cuadrivector, i.e.
VµLr−→V0µ=Λµ
νVν. (228)
Pentru a demonstra echivalenta dintre reprezentarea D(1
2,1
2)si reprezentarea
proprie cuadrimen sionala a grupului SO(1,3)in spatiul intins de xµ,v a
trebui sa demonstram caracterul vectorial al tensorului spinorial ψαχ•α.
Aceasta este realizata in (ref.bibl.12, p.75).
45

5.5 SPINORUL DIRAC
In relatiile (69)si(70)am de fin i td o u at r i p l e t ed eo p e r a t o r i , p ec a r ei ir e n o t a m
prin
Ni=:1
2(Ji+iKi)
N†
i=:1
2(Ji−iKi).
Din acesti operatori am construit doi operatori CazimirP
iNiNisiP
iN†
iN†
i
de valori proprii n(n+1 ), respectiv m(m+1 ),cun, m =0,1
2,1,3
2,. . .ce de-
termina reprezentarile liniare neunitare si finit dimensionale ale algebrei Lie
a grupului Lorentz restrins, so(1,3). L aot r a n s f o r m a r ed ep a r i t a t e( r e –
flexie spatiala) generatorii rotatiilor Jiramin invarianti, in timp ce genera-
torii boosturilor lorentziene Kischimba semnul, adica KiΛis−→ − Ki.D e a i c i
concluzionam ca transformarea de paritate este echivalenta cu conjugareacomplexa a generatorilor grupului L
r
NiΛis−→N†
i
N†
iΛis−→Ni.
Am vazut insa ca operatia de conjugare complexa este echivalenta cu tre-
cerea de la reprezentarea fundamentala a grupului SL(2,C),D(1
2,0)la cea
fundamentala contragradienta D(0,1
2).A n t e r i o r a m n o t a t p r i n Fspatiul liniar
complex bidimensional al reprezentarii fundamentale a spinorilor Weyl left,
si prine•
Fspatiul liniar complex bidimensional al functionalelor liniare con-
tinue pe spatiul liniar complex bidimens ional al reprezentarii fundamentale
contragradiente a spinorilor Weyl right.
Definim suma directa a celor doua spatii
E=:F⊕e•
F (229)
cafiind spatiul liniar complex cuadridimensional al spinorilor Dirac.
Fieφα∈Fsiψ•α∈e•
F.Atunci spinorul
Ψ=:Ã
φα
ψ•α!
∈E (230)
46

se numeste cuadrispinor Dirac .
Definim o reprezentare a grupului SL(2,C)pe spatiul Eprin homomor-
fismul
SL(2,C)3M−→S(M)= :
Mαβ02×2
02×2h£
(M∗)−1¤Ti•α
•
β
∈Aut (E).
(231)
Actiunea acestei reprezentari in spatiul Eeste
Ψ0=S(M)Ψ=
Mαβ02×2
02×2h£
(M∗)−1¤Ti•α
•
β
Ãφβ
ψ•
β!
=
Mαβφβh£
(M∗)−1¤Ti•α
•
βψ•
β
∈E. (232)
Din relatia (232) construim structura de indici atit a spinorului Dirac, cit
si a matricelor ce actioneaza pe acestia
Ψa=Ã
φα
ψ•α!
, (233)
Sa
b(M)=
Mαβ02×2
02×2h£
(M∗)−1¤Ti•α
•
β
, (234)
cua, b=1,2,3,4. Orice matrice cu patru linii si patru coloane Γabce ac-
tioneaza pe cuadrispinorii Dirac va t rebui sa aiba urmatoarea structura de
indici
Γa
b=
AαβB
α•
β
C•αβD•α•
β
, (235)
unde A, B, C siDsint matrice complexe cu doua linii si doua coloane. Veri fi-
carea corectitudinii structurii de indici Weyl propuse in (235) se face simplu
Γa
bΨb=
AαβB
α•
β
C•αβD•α•
β
Ãφβ
ψ•
β!
=
Aαβφβ+B
α•
βψ•
β
C•αβφβ+D•α•
βψ•
β
∈E.
47

Se poate demonstra ca matricea transformarii de paritate in spatiul Eal
cuadrispinorilor Dirac are forma
(Sis)a
b=i
(02×2)αβ(σ0)
α•
β
(σ0)•αβ(02×2)•α
•
β
, (236)
cu factorul iales conventional. Actionind cu matricea (236) asupra unui
cuadrispinor Dirac, se obtine
(Sis)a
bΨb=i
(02×2)αβ(σ0)
α•
β
(σ0)•αβ(02×2)•α
•
β
Ãφβ
ψ•
β!
=i
(σ0)
α•
βψ•
β
(σ0)•αβφβ
=:Ψ0a, (237)
unde noul spinor Ψ0a∈e•
F⊕F, si aceasta intrucit matricea σ0aplica spatiul
e•
Fin spatiul F,i nt i m pc em a t r i c e a σ0aplica spatiul Fine•
F.
Aceasta transformare intre spinorii Dirac demonstreaza in mod explicit
ireductibilitatea spatiul liniar Ela actiunea operatorului de paritate. Con-
cluzionam ca, daca o teorie cuantica de cimp de spin 1/2este invarianta
la transformarea de paritate, atunci aceasta trebuie construita cuanti ficind
spinorii Dirac de tip Ψa.
5.5.1 MATRICELE GAMMA.ALGEBRA DIRAC
Asociem fiecarui cuadrivector p∈M4un operator liniar ˆpcare actioneaza pe
spatiul liniar complex cuadridimensional al spinorilor Dirac Ψa,astfel incit


³
[p+q´
Ψa=( ˆp+ˆq)Ψa
(cαp)Ψa=(αˆp)Ψa
(ˆpˆq+ˆqˆp)Ψa=: [ˆp,ˆq]+Ψa=2pq1Ψa=2(p0q0−~p·~q)1Ψa(238)
α∈C,
unde 1este operatorul unitate pe spatiul liniar ireductibil al reprezentarii
algebrei Cli fford
ˆpˆq+ˆqˆp=: [ˆp,ˆq]+=2pq1. (239)
48

Fie{eµ}o baza ortonormata in spatiul tangent la M4intr-un punct ar-
bitrar M
eµeν=ηµν. (240)
Fiecare cuadrivector pdefinit in punctul M poate fiscris atunci
p=pµeµ. (241)
Din cauza liniaritatii corespondentei p−→ ˆp, orice operator de tipul ˆppoate
fiscris
ˆp=pµˆeµ=pµγµ, (242)
undeγµsint marimi ce veri fica relatiile de anticomutare
£
γµ,γν¤
+=2ηµν. (243)
Indicii Lorentz se pot ridica
γµ=:ηµνγν. (244)
Din relatiile (242) si(244) ,s ed e d u c e
ˆp=pµγµ=pµγµ=ηµνpµγν. (245)
Sa consideram in abstracto patru marimi γµca satisfac relatiile de anti-
comutare (243) .S ev e r i fica usor ca marimea
γ5=:iγ0γ1γ2γ3. (246)
γ5=−γ5.
satisface relatiile
£
γµ,γ5¤
+=2δµ5, (247)
µ=0,1,2,3,5.
Convenim sa notam generic prin γA,c uA=1,16una dintre urmatoarele 16
marimi
1,
γ0,iγ1,iγ2,iγ3,
γ0γ1,γ0γ2,γ0γ3,iγ1γ2,iγ1γ3,iγ2γ3,
iγ0γ1γ2,iγ0γ1γ3,iγ0γ2γ3,γ1γ2γ3,
iγ0γ1γ2γ3=γ5. (248)
49

Remarca 5.2 Factorul ia fost introdus in fiecare produs pentru a asigura
validitatea relatiei (249) .
Se veri fica prin calcul direct ca
γ2
A=1 (249)
si, mai mult, produsul a oricaror doua elemente este proportional cu un altul
γAγB=aγC, (250)
a4=1,
γAγB=1⇔A=B. (251)
Propozitia 5.12 DacaγA6=1, atunci exista γBastfel incit
γBγAγB=−γA. (252)
Demonstratie.
Se gaseste ca pentru γµ(al doilea rind din (248) )γB=γ5.P e n t r u
al treilea γB=γµ(∀µ). Pentru al patrulea γµ=γ5,i a rp e n t r uu l t i m u l
(γ5),γB=γµ(∀µ).
Daca presupunem ca elementele γAau o reprezentare matriceala, atunci
Propozitia 5.13 DacaγA6=1
Tr(γA)=0. (253)
Demonstratie.
Tr(γBγAγB)=Tr¡
γAγ2
B¢(249)=Tr(γA)(252)=−Tr(γA)
⇒Tr(γA)=0.
Propozitia 5.14 Cele 16 matrice γAsint liniar independente
16X
A=1aAγA=0⇔aA=0. (254)
50

Demonstratie. Inmultim relatia (254) cuγB(arbitrar) si folosim (249)
aB1+X
A6=BaAγAγB=0,
de unde, folosind (250)
aB1+X
A6=BaAcγC=0,
cuγC6=1,intrucit γB6=γA.A p l i c i n du r m a
aBTr(1) =−X
A6=BaAcTr(γC)(253)=0.
Intrucit intr-o reprezentare matriceala finit dimensionala 1este matricea
unitate de urma egala cu dimensiunea spatiului reprezentarii, conchidem caa
B=0.
Corolarul 5.2 Orice operator liniar de tipul ˆpce actioneaza in spatiul liniar
complex al spinorilor Dirac se poate scrie ca o combinatie liniara de cele 16elemente γ
A
ˆX=16X
A=1xAγA, (255)
unde xAsint numere complexe.
Marimile xApotfiprivite ca fiind ”componentele” operatorului ˆXin ”s-
p a t i u l ”c u1 6e l e m e n t eu n i t a t e γA. Varietatea liniara a operatorilor ˆXeste
o multime de marimi hipercomplexe numite numere Cli ffordsautetracuater-
nioni. Presupunind data dimensiunea spatiului reprezentarii liniare a algebrei
Clifford(243) si notind-o cu n,s ea r a t ac a
xA=1
nTr³
ˆXγA´
. (256)
Propozitia 5.15 Singura marime hipercomplexa ˆXcare comuta cu toate
matricele γAeste un multiplu al unitatii,i.e.
h
ˆX,γAi
−=0⇒ˆX=k·1. (257)
Demonstratie. Este data in (ref.bibl.12, p.117˙).
51

Definim o operatie de compunere numita adunare pe multimea operato-
rilor de tip ˆXastfel
ˆX+ˆY=16X
A=1xAγA+16X
A=1yAγA=16X
A=1(xA+yA)γA=16X
A=1zAγA=ˆZ,(258)
precum si o operatie de compunere numita multiplicare prin
ˆXˆY=16X
A=116X
B=1xAyAγAγB=16X
C=1zCγC=ˆZ. (259)
Cu aceste doua operatii nou introduse multimea operatorilor de tip ˆXcapata
o structura algebrica de inel. Intrucit este valabila relatia (256) cu coe fici-
e n t i id a t id e (257) , multimea operatorilor ˆXdevine o algebra neabeliana cu
unitate, numita algebra Dirac . O baza in algebra este data de elementele γA.
Propozitia 5.16 Algebra Dirac este semisimpla.
Demonstratie. Folosim criteriul lui Pauli si Artin (ref.bibl.13). Gasim
GAB=:Tr(γAγB)=δABTr(1)⇒det||GAB||=[Tr(1)]166=0.
Intrucit printre elementele bazei γAexista numai unul singur ce comuta
cu toti ceilalti si folosind teorema lui Schur si Frobenius (ref.bibl.12, p.35),obtinem ca algebra Dirac admite o singura reprezentare ireductibila finit
dimensionala de dimensiune√
16 = 4 .M a t r i c e l e γAau patru linii si patru
coloane.
In consecinta, daca se gaseste o alta re prezentare a algebrei Dirac, aceasta
estefie echivalenta cu reprezentarea Weyl/chirala (v.mai jos)
γ0
A,W =S−1γA,WS, (260)
fie complet reductibila, avi nd forma bloc-diagonala
γ0
A=
γA 04×4…04×4
04×4γA…04×4
… … … …
04×404×4…γA
. (261)
52

Putem reformula concluzia astfel: Daca gasim un alt sistem de patru
matrice cu patru linii si patru coloane γ0
µce satisfac relatia de algebra Cli fford
(243) ,i . e .£
γ0
µ,γ0
ν¤
+=2ηµν14×4, (262)
atunci acest sistem poate fiobtinut din cel ”original” printr-o transformare
de similaritate de tipul
γ0
µ=S−1γµS. (263)
Aceasta formulare a teoremei de reprezentare a algebrei Dirac este numita
teorema fundamentala a lui Pauli (ref.bibl.14).
In conformitate cu cele a firmate anterior, structura de indici a matricelor
gamma este
γA=(γA)a
b. (264)
5.5.2 REPREZENTARI ECHIVALENTE ALE ALGEBREI DIRAC
REPREZENTAREA CHIRALA.BAZA WEYL Daca luam urma-
toarea realizare a matricelor γ
(γµ
W)a
b=:
(02×2)αβ(σµ)
α•
β
(σµ)•αβ(02×2)•α
•
β
, (265)
vom gasi o legatura directa intre formalismul spinorilor cu doua componente
left si right si cuadrispinorii Dirac. Reprezentarea algebrei Cli fford(243) in
care matricele γa uf o r m ad a t ai n (265) se numeste reprezentarea chirala ,i a r
matricele γµ
Wformeaza baza Weyl in spatiul liniar al reprezentarii.
Se demonstreaza prin calcul direct folosind relatiile (205−206) ca
¡
[γµ
W,γν
W]+¢a
b≡(γµ
W)a
b(γν
W)b
c+(γν
W)a
b(γν
W)b
c=2ηµνδa
c. (266)
Structura matricei δa
ceste
δa
c=
δαβ(02×2)
α•
β
(02×2)•αβδ•α
•
β
. (267)
Definind¡
γ5
W¢a
b=:i¡
γ0
W¢a
c¡
γ1
W¢c
d¡
γ2
W¢d
e¡
γ3
W¢e
b, (268)
53

se arata prin calcul direct folosind relatia (265) ca
¡
γ5
W¢a
b=µ−12×202×2
02×212×2¶
=
−δαβ(02×2)
α•
β
(02×2)•αβδ•α
•
β
. (269)
Propozitia 5.17 In reprezentarea chirala
¡
γ0
W¢a
b=h¡
γ0
W¢†i
ba, (270)
¡
γi
W¢a
b=−h¡
γi
W¢†i
ba, (271)
¡
γ5
W¢a
b=h¡
γ5
W¢†i
ba. (272)
Aceasta reprezentare este utila in tratarea limitei ultrarelativiste a ecu-
atiei lui Dirac (ref.bibl.15, 16) in reprezentarea chirala
£
i(γµ
W)a
b∂(x)
µ−mδa
b¤
Ψb
W(x)=0. (273)
Aceasta presupune m=0, deci ecuatia (273) devine
(γµ
W)a
b∂(x)
µΨbW(x)=0, (274)
ce poate fiscrisa folosind relatiile (233) si(265) si sub forma

(02×2)αβ³
σµ∂(x)
µ´
α•
β³
σµ∂(x)
µ´•αβ
(02×2)•α
•
β
Ãφβ
ψ•
β!
=Ã
(02×1)α
(02×1)•α!
, (275)
prin urmare realizindu-se transformarea sistemului de 4 ecuatii cu patru ne-
cunoscute (274) in doua sisteme de doua ecuatii cu doua necunoscute
¡
σµ∂(x)
µ¢
α•
βψ•
β(x)=( 0 2×1)α, (276)
¡
σµ∂(x)
µ¢•αβφβ(x)=( 0 2×1)•α(277)
Ecuatiile (276−277)poarta numele de ecuatiile lui Weyl (ref.bibl.17).Interpretind
in termenii mecanicii cuantice cimpurile clasice care apar in ecuatiile (277)
, noile ecuatii vor fiecuatiile Lagrange pentru cimpul cuantic ce descriau in
varianta initiala a Modelului Standard o particula fara masa si de spin1
2nu-
mita neutrino . Similar, varianta in termeni de o peratori de cimp a ecuatiilor
(276) contine ecuatiile Lagrange pentru antineutrino .
54

REPREZENTAREA DIRAC.BAZA CANONICA Baza canonica pen-
tru matricele γeste de finita de reprezentarea
¡
γ0
D¢a
b=:µ12×202×2
02×2−12×2¶
=
δαβ(02×2)
α•
β
(02×2)•αβ−δ•α
•
β
,(278)
¡
γi
D¢a
b=:
(02×2)αβ(σi)
α•
β¡
σi¢•αβ(02×2)•α
•
β
, (279)
¡
γ5
D¢a
b=:
(02×2)αβ(σ0)
α•
β
(σ0)•αβ(02×2)•α
•
β
. (280)
Propozitia 5.18 Reprezentarea chirala (265) ,(269) si reprezentarea Dirac
(278−280) sint conectate printr-o transformare de similaritate
(ΓW)a
b=Xa
c(ΓD)c
d¡
X−1¢d
b, (281)
X∈GL(4,C),
undeΓWeste oricare dintre matricele γin reprezentarea chirala, ΓDeste
oricare dintre matricele γin reprezentarea Dirac, iar
Xa
b=1√
2
−δαβ(σ0)
α•
β
−(σ0)•αβ−δ•α
•
β
, (282)
¡
X−1¢a
b=1√
2
−δαβ−(σ0)
α•
β
(σ0)•αβ−δ•α
•
β
. (283)
Demonstrarea faptului ca matricele (282−283) satisfac egalitatea (281)
se face prin calcul direct.
Remarca 5.3 Reprezentarea Dirac a matricelor γare proprietatea de a fi
singura reprezentare a algebrei Cli fford(243) care diagonalizeaza operatorul
hamiltonian al unei particule relativiste libere de spin1
2in limita nerelativista
prin intermediul matricei (γ0
D)a
b.
55

REPREZENTAREA REALA.BAZA MAJORANA Dintre toate reprezen-
tarile echivalente ale matricelor γobtinute printr-o transformare nesingulara
γµ→XγµX−1, reprezentarea reala este speciala prin faptul ca este constru-
ita pentru a face ecuatia Dirac reala.
In forma originala propusa de catre Di rac (ref. bibl. 15) aceasta ecuatie
este µ
i∂
∂t−1
i~α·∇−βm¶
Ψ=0, (284)
undeαisiβsint matrice hermitice cu patru linii si patru coloane. Aceste
matrice sint puse in legatura cu matricele γprin
½γ0=β
γi=βαi. (285)
In reprezentara Dirac a algebrei Cli fford, gasim
β=µ12×2 0
0−12×2¶
, (286)
αi=µ0σi
−σi0¶
. (287)
Inmultim ecuatia (1)prin−isi gasim
µ∂
∂t+b~α·∇+ibβm¶
Ψ=0. (288)
Aceasta ecuatie este pur reala, daca si numai daca matricele b~αsint reale, iar
matricea bβeste pur imaginara. Daca vom pune
bβ=α2
bα1=−α1
bα2=β
bα3=−α3, (289)
ecuatia (5)este reala. Folosind relatia (2), gasim in reprezentarea Majorana
γ0
M=bβ=µ0σ2
−σ20¶
, (290)
γ1
M=bβbα1=µiσ30
0iσ3¶
, (291)
56

γ2
M=bβbα2=µ0−σ2
−σ20¶
, (292)
γ3
M=bβbα1=µ−iσ10
0−iσ1¶
, (293)
γ5
M=iγ0
Mγ1Mγ2Mγ3M=µσ20
0−σ2¶
. (294)
Propozitia 5.19 Reprezentarea Dirac si reprezentarea reala sint conectate
prin transformarea de similaritate
ΓM=YΓDY−1, (295)
undeΓMeste orice matrice γin repr.reala, ΓDeste orice matrice γin
reprezentarea Dirac,iar
Y=Y−1=1√
2µ12×2σ2
−σ2−12×2¶
. (296)
CONJUGAREA DE SARCINA Matricea de conjugare de sarcina apare
in teoria lui Dirac in modul urmator. Teoria lui Dirac implica existenta elec-tronilor si pozitronilor ca particule de aceeasi masa, dar sarcini electrice desemn opus ce veri fica aceeasi ecuatie. Prin urmare, ecuatia Dirac trebuie
sa satisfaca o transformare de simetrie corespunzatoare trecerii particula ↔
antiparticula. Cautam deci o transformare Ψ
C−→ΨCcare schimba semnul
sarcinii electrice, astfel incit spinorul Ψsatisface ecuatia Dirac
µ
ib~∂−ebA−m¶
Ψ=0 (297)
in prezenta potentialului electromagnetic vector Aµ,i nt i m pc es p i n o r u lc o n –
jugat in raport cu sarcina ΨCsatisface (ref.bibl.18)
µ
ib~∂+ebA−m¶
ΨC=0. (298)
Ecuatia Dirac cuplata minimal cu cimpul electromagnetic este (297)
h
γµ³
i~∂µ−eAµ´
−mi
Ψ=0. (299)
57

Conjugind complex gasim
h
(γµ)∗³
−i~∂µ−eAµ´
−mi
Ψ∗=0. (300)
Transpunind
Ψ†h
(γµ)†³
−i←
∂µ−eAµ´
−mi
=0,
Ψ†γ0h
γ0(γµ)†γ0³
−i←
∂µ−eAµ´
−mi
=0,
Ψh
γµ³
−i←
∂µ−eAµ´
−mi
=0, (301)
unde
Ψ=:Ψ†γ0(302)
este adjunctul Dirac ,i a r
γ0(γµ)†γ0=γµ. (303)
Transpunind din nou ecuatia (301) ,g a s i m
h
−(γµ)T³
i~∂µ+eAµ´
−mi
ΨT=0. (304)
Multiplicind la stinga printr-o matrice 4 ×4Csi introducind C−1Cin fata
spinorului ΨT,o b t i n e m
Ch
−(γµ)T³
i~∂µ+eAµ´
−mi
C−1CΨT=0,
h
−C(γµ)TC−1³
i~∂µ+eAµ´
−mi
CΨT=0. (305)
Putem face identi ficarea (305) = (298) , daca si numai daca
ΨC=:CΨT, (306)
pina la un factor de faza si, in orice reprezentare a algebrei Cli fford
C(γµ)TC−1=−γµ. (307)
Matricea Cpoarta numele de matrice de conjugare de sarcina .
58

REPREZENTAREA DIRAC In reprezentarea Dirac matricea de
conjugare de sarcina poate filuata ca
CD=iγ2
Dγ0D=iµ0−σ2
σ20¶
(308)
si are proprietatile
CD=−(CD)−1=−(CD)†=−(CD)T. (309)
REPREZENTAREA CHIRALA Vom transforma matricea de con-
jugare de sarcina din reprezentarea Dirac in cea chirala astfel
CW=XC DX−1=iXγD
2γ0
DX−1=iXγD
2X−1Xγ0
2X−1
=iγ2
Wγ0W=µiσ2σ00
0 iσ2σ0¶
. (310)
De asemenea
CW=−(CW)−1=−(CW)†=−(CW)T. (311)
SPINORI REALI/MAJORANA Consideram un spinor Dirac in repr.chirala
cu structura de indici Weyl
(ΨW)b=Ã
φα
ψ•α!h
(ΨW)Ti
b=³
φβψ•
β´
si actiunea
ÃMβγMβ•γ
M•
βγM•
β•γ!Ã
φγ
ψ•γ!
=
Mβγφγ+Mβ•γψ•γ
M•
βγφγ+M•
β•γψ•γ
,
³
φβψ•
β´ÃMβγMβ•γ
M•
βγM•
β•γ!
=³
φβMβγ+ψ•
βM•
βγφβMβ•γ+ψ•
βM•
β•γ´
Stim relatiile intre cele 4 tipuri d e spinori Weyl discutate anterior
ψβ=³
ψ∗´
•α¡
σ0¢•αβ, (312)
φ•
β=(φ∗)α¡
σ0¢
α•
β. (313)
59

Consistenta acestora cu relatia
ψα=³
ψ∗´
•α.
data mai sus este explicata prin faptul ca σ0=σ0=1 2×2.
Calculam forma unui spinor Dirac adjunct in reprezentarea chirala
¡
ΨW¢
b=h
(ΨW)†i
c¡
γ0
W¢c
b=³
(φ∗)α³
ψ∗´
•α´Ã0(σ0)
α•
β
(σ0)•αβ0!
=³³
ψ∗´
•α(σ0)•αβ(φ∗)α(σ0)
α•
β´
=³
ψβφ•
β´
. (314)
Observam cah¡
ΨW¢Tib
=Ãψβ
φ•
β!
. (315)
Se arata cah
(ΨW)Cib
=Ã
ψα
φ•α!
. (316)
In consecinta, conjugarea de sarcina interschimba ψcuφ.
Unspinor Majorana este de finit prin conditia ca in reprezentarea chirala
ΨW=(ΨW)C. (317)
Astfel
ΨW=Ã
φα
ψ•α!
≡Ã
ψα
φ•α!
=(ΨW)C,
de unde
ΨM
W=Ã
φα
φ•α!
. (318)
Un spinor Majorana in reprezentarea chirala are doar doua componente
complexe independente si este echivalent cu un spinor Weyl cu doua compo-
nente si cu un spinor Dirac real.
60

5.6 CIMPUL DE SPIN DOI
Oricare dintre urmatoarele cinci reprezentari D(2,0),D(3
2,1
2),D(1,1),D(1
2,3
2)si
D(0,2)este utila pentru a descrie un cimp clasic de pondere/spin 2. Dintre
acestea, doar una, D(1,1)este invarianta fata de transformarea de paritate,
pentru celelalte, ca si in cazului spinorului Dirac, fiindu-ne utile reprezentarile
suma directa D(2,0)⊕D(0,2)siD(3
2,1
2)⊕D(1
2,3
2).
5.6.1 PRODUSE DE REPREZENTARI
•Sa consideram produsul a patru reprezentari D(1
2,0).S e a r a t a p r i n
calcul direct ca
D(1
2,0)⊗D(1
2,0)⊗D(1
2,0)⊗D(1
2,0)=D(0,0)⊕D(0,0)⊕D(1,0)⊕D(1,0)
⊕D(1,0)⊕D(2,0). (319)
Astfel, reprezentarea D(2,0)corespunde unui tensor spinorial ψ(αβγδ ).
•Sa consideram produsul a patru reprezentari D(01
2). Se arata prin calcul
direct ca
D(0,1
2)⊗D(0,1
2)⊗D(0,1
2)⊗D(0,1
2)=D(0,0)⊕D(0,0)⊕D(0,1)⊕D(0,1)
⊕D(0,1)⊕D(0,2). (320)
Astfel, reprezentarea D(0,2)corespunde unui tensor spinorial ψµ
•α•
β•γ•
δ¶.
•Produsul de reprezentari
D(1
2,1
2)⊗D(1
2,1
2)=£
D(0,0)⊕D(1,1)¤
S⊕£
D(1,0)⊕D(0,1)¤
A(321)
contine reprezentarea de interes D(1,1).I n d i c e l e ” S”d i n (321) ne indica
simetrizarea in raport cu perechile de indici punctati si nepunctati.Astfel, tensorul spinorial va fiψ
µ
α•αβ•
β¶.
•Reprezentarea D(3
2,1
2)apare in produsul
D(1
2,0)⊗D(1
2,0)⊗D(1
2,0)⊗D(0,1
2)=D(1
2,1
2)⊕D(1
2,1
2)⊕D(3
2,1
2),(322)
61

in timp ce reprezentarea D(1
2,3
2)poate proveni si din
D(0,1
2)⊗D(0,1
2)⊗D(0,1
2)⊗D(1
2,0)=D(1
2,1
2)⊕D(1
2,1
2)⊕D(1
2,3
2).(323)
Reprezentarea suma directa D(3
2,1
2)⊕D(1
2,3
2)se poate regasi considerind
produsul
D(1
2,1
2)⊗D(1
2,1
2)⊗D(1
2,1
2)=D(1
2,1
2)⊕D(1
2,1
2)⊕D(1
2,1
2)⊕D(1
2,1
2)
⊕D(3
2,1
2)⊕D(1
2,3
2)⊕D(3
2,1
2)⊕D(1
2,3
2)
⊕D(3
2,3
2). (324)
Reprezentarii D(3
2,1
2)i-ar corespunde un tensor spinorial ψ(αβγ)•α,i n
timp ce reprezentarii D(1
2,3
2)ii este tipic un tensor spinorial ψ
αµ
•α•
β•γ¶.
5.6.2 CIMPUL GRAVITATIONAL LINIARIZAT
Dorim sa interpretam relatia (321) in termenii formalismului cu vectori si
covectori speci fic grupului Lr. Pentru aceasta, va trebui sa realizam trecerea
de la formalismul cu indici spinoriali van der Waerden (ref. bibl. 19) la celcu indici Lorentz. Legatura dintre cele doua tipuri de indici ne este permisa
de existenta simbolurilor Infeld-van d er Waerden. Consideram deci, formal,
e c h i v a l e n t ad i n t r eop e r e c h ed ei n d i c id et i p u l” α•α”s iu ni n d i c eL o r e n t z µ.
(ref.bibl. 20). Atunci, formula (321) corespunde unui produs tensorial de
covectori (1-forme), echivalent, descompunerii unui cuadritensor de rang doi
dublu covariant intr-o parte simetrica si una antisimetrica.
Astfel
AµBν=h(µν)+F[µν]. (325)
Comparind relatiile (321) si(325) ,v at r e b u is ai d e n t i ficam in membrul drept
din relatia (325) 3 componente distincte care se vor transforma la grupul
Lorentz restrins dupa reprezentari de ponderi 0,1 si 2. Tensorul antismetric
F[µν]se transforma dupa repezentarea D(1,0)⊕D(0,1)de pondere 1, raminind
sa identi ficam in h(µν)componentele de pondere 0 ( D(0,0))s i2( D(1,1)).
Am identi ficat doua posibilitati.
•Prima este sugerata in (ref.bibl.21) si elimina componenta scalara din
produsul (321) prin impunerea conditiei de trace nul
hµ
µ(x)=0. (326)
62

•A doua posibilitate vizeaza direct interpretarea fizica a cimpului clasic
h(µν). Astfel, construind o densitate de lagrangian din cimpurile cla-
sice – h(µν)- si derivatele lor spatio-temporale de ordinul intii – ∂ρh(µν)-
invarianta la transformarile gauge in finitesimale lagrangiene
h(µν)(x)→h0
(µν)(x)=h(µν)(x)+∂(x)
(µεν)(x) (327)
,aceasta se gaseste a fiidentica (ref. bibl. 22) cu densitatea de la-
grangian ce se obtine prin liniarizarea produsului√−gLH−E.A s t f e l ,o
varianta alternativa pentru (326) consta intr-o rede finire a cimpurilor
h(µν)in maniera
h(µν)(x)→h(µν)(x)= :h(µν)(x)−1
4ηµνhλ
λ(x). (328)
Scalarul este eliminat din teorie prin conditia
hµ
µ(x)=0. (329)
In consecinta, o varianta pentru tensorul ce se transforma la Lrdupa
reprezentarea D(1,1)este oferita de h(µν).
Remarca 5.4 In discutia radiatiei gravitationale in cadrul teoriei relativi-
tatii generale liniarizate se foloseste tensorul (ref. bibl. 23)
h(µν)(x)= :h(µν)(x)−1
2ηµνhλ
λ(x). (330)
63

6C O N C L U Z I I
Principala concluzie a acestei lucrari este ca obtinerea cimpurilor clasice
se realizeaza intr-un mod extrem de el egant prin intermediul constructiei
reprezentarilor ireductibile finit dimensionale ale grupului Lorentz restrins.
Aplicarea acestei metode la cazul campului Dirac si campului de spin doi aevidentiat urmatoarele aspecte:
•spinorii Dirac “traiesc” intr-un spatiu liniar complex cuadridimensional;
•acest spatiu este ireductibil la ac tiunea operatorului de paritate;
•algebra Dirac este semisimpla;
•cele mai importante reprezentari echivalente ale algebrei Dirac pentru
fizicieni sunt reprezentarea chirala, Dirac si reala (Majorana);
•conjugarea de sarcina constituie o transformare de simetrie a ecuatiei
Dirac;
•un cimp clasic de cu ponderea de spin 2 poate fidescris prin inter-
mediul a cinci reprezentari, dintre care doar una este invarianta fata detransformarea de paritate;
•campul gravitational liniarizat include si o componenta de pondere de
spin zero, care poate fieliminata fie prin impunerea conditiei de urma
nula, fiep r i nr e d e finirea campului astfel incat sa satisfaca automat
aceasta conditie;
•campul gravitational liniarizat rede finit este cel care se transforma intr-
adevar fata de grupul Lorentz restrins dupa reprezentarea invarianta
fata de transformarea de paritate.
64

Bibliogra fie
[1] R.d’Inverno, ”Introducing Einstein’s Relativity”, Clarendon
Press/OUP, 2002.
[2] S.Weinberg, ”Gravitation and C osmology”, John Wiley & Sons, 1972.
[3] W.Miller, ”Symmetry Groups and Their Applications”, Academic Press,
1972, cap.8.
[4] W.Miller, ”Symmetry Groups and Their Applications”, Academic Press,
1972, p.395.
[5] H.J.W.Müller-Kirsten, A.Wiedemann, ”Supersymmetry: An Introduc-
tion with Conceptual and Calculational Details”, World Scienti fic, 1987.
[6] M.Carmeli, ”Group Theory and General Relativity”, McGraw-Hill,
1977.
[7] L.S.Pontryagin, ”Topological Groups”, Gordon and Breach, 1966.
[8] N.N.Bogolubov, A.A.Logunov, I.T.Todorov, ”Introduction to Axiomat-
ical Quantum Field Theory”, Benjamin/Cummings, 1975.
[9] W.Greiner, B.Müller, ”Quantum Mechanics:Symmetries”, Springer,
1994.
[10] S.Weinberg, ”Lectures on Particles and Field Theory”, Brandeis Sum-
mer Institute on Theoretical Physics, Vol.2, Prentice Hall, 1965.
[11] P.Moussa, R.Stora, ”Methods in Subnuclear Physics”, Gordon and
Breach, 1968.
[12] P.Roman, ”Theory of Elementary Particles”, North-Holland, 1960.
[13] N.Kemmer, Proc.Roy.Soc. ,A1 7 3 , 91 (1939).
[14] W.Pauli, Ann.Inst.Henri Poincaré ,6, 137 (1936).
[15] P.A.M.Dirac, Proc.Roy.Soc. ,A 117, 610 (1928).
[16] P.A.M.Dirac, Proc.Roy.Soc. ,A 118, 351 (1928).
65

[17] H.Weyl, Z. für Phys., 56,330 (1929).
[18] M.Scadron, ”Advanced Quantum Theory”, Springer, 1979.[19] R.van der Waerden, Nach.Ges.Wiss.Gött. , 100 (1929).
[20] J.Łopuszanski, ”Introduction to Symmetry and Supersymmetry in
Quantum Field Theory”, World Scienti fic, 1991.
[21] P.Ramond, ”Field Theory: A Modern Primer”, Addison-Wesley, 1989.[22] M.Blagojevic. ”Gravitation and Gauge Symmetries”, IOP Publishing,
2002.
[23] J.Stewart, ”Advanced General Relativity”, CUP, 1991.
66