1I n t r o d u c e r e 1 [612149]

Contents
1I n t r o d u c e r e 1
2 Formularea problemei 23I n t e r a c ¸ tii consistente în formalismul BRST lagrangian 4
4 Deformarea de ordinul întâi 5
5 Concluzii 10
1 Introducere
Lucrarea î¸ si propune sã ofere o demonstra¸ tie a echivalen¸ tei celor douã for-
mulãri ale teoriei câmpului gravita¸ tional clasic, formularea bazatã pe ac¸ tiunea
Hilbert-Einstein, respectiv formularea bazatã pe ac¸ tiunea Einstein-Cartan.
Aceastã demonstra¸ tie este realizatã intr-o manierã perturbativã fãcând apel
la variantele liniarizate (limitele libere) ale celor douã teorii. Vom porni dela ac¸ tiunea liniarizatã a teoriei Einstein-Cartan ce depinde func¸ tional doar
de câmpuri (formalismul de ordinul al doilea), anume tetradele liniarizate, ¸ si,
folosind procedeul de generare de interac¸ tii consistente în formalismul BRST
lagrangian, vom construi vertexul cubic în câmpuri ¸ si derivatele lor spa¸ tio-
temporale de ordinul întâi. Vom arãta cã acesta coincide cu vertexul cubic al
deformãrii ac¸ tiunii Pauli-Fierz -ac¸ tiunea Pauli-Fierz fiind liniarizarea ac¸ tiu-
nii Hilbert-Einstein-, dacã ¸ s in u m a id a c ãs ef a c ei d e n t i ficarea pãr¸ tii simetrice
din tetrada liniarizatã cu câmpul de spin doi Pauli-Fierz.
Lucrarea este structuratã în cinci capitole ¸ si bibliogra fie. Capitolul al
doilea prezintã ac¸ tiunea liniarizatã a formulãrii Einstein-Cartan, ecua¸ tiile
de câmp deduse din ea precum ¸ si implementarea formalismului BRST la-
grangian. Capitolul al treilea oferã o idee generalã asupra subiectului gen-erãrii de interac¸ tii consistente între câmpuri gauge ¸ si câmpuri de materie, sau
numai între câmpuri gauge, folosind formalismul BRST lagrangian. În acest
capitol rezultatele sunt date fãrã demonstra¸ tii. Capitolul al patrulea con¸ tine
demonstra¸ tia ce face subiectul prezentei lucrãri. Capitolul al cincilea include
concluzia lucrãrii.
1

2F o r m u l a r e a p r o b l e m e i
Punctul de start îl reprezintã ac¸ tiunea lagrangianã liberã
S0[fµν]=−Z
d4x·1
8¡
∂[µfν]α¢¡
∂[µfν]α¢
+1
4¡
∂[µfν]α¢¡
∂[µfα]ν¢
−1
2(∂µf−∂νfµν)(∂µf−∂αfµα)¸
(1)
pentru un câmp tensorial de rang doi pe spa¸ tiul Minkowski cuadridimensional
cu metrica σαβpreponderent pozitivã. f≡fαβσαβeste urma tensorului f,
iar prin [µ1…µk], respectiv (µ1…µk)subîn¸ telegem antisimetrizarea, respectiv
simetrizarea în indicii men¸ tionati fãrã a include factorul numeric 1/k!.
Ecua¸ tiile de câmp pentru ac¸ tiunea (1)au forma
δS0
δfαβ(x)=1
2¡
¤f(αβ)−∂α∂µf(µβ)−∂β∂µf(µα)+∂α∂βf(µν)σµν¢
−1
2σαβ¡
¤f(µν)σµν−∂µ∂νf(µν)¢
=0 . (2)
Punând
f(αβ)=hαβ, (3)
unde hαβeste câmpul Pauli-Fierz, putem rescrie ecua¸ t i i l ed ec â m p (2)astfel
δS0
δfαβ(x)=−(1)
Hαβ¡
f(αβ)¢
=0, (4)
cu(1)
Hαβfiind aproxima¸ tia de ordinul întâi a tensorului lui Einstein în con-
stanta de cuplaj κ(liniarizarea metricii este gµν=σµν+κhµν).
Se aratã simplu cã ac¸ tiunea (1)este invariantã la transformãrile gauge
infinitesimale lagrangiene ireductibile
δεfµν=∂µεν−εµν, (5)
cuεµνparametri gauge antisimetrici
εµν=−ενµ, (6)
2

precum ¸ si faptul cã algebra gauge generatã de transformãrile (5)este abelianã.
Dorim sã implementãm simetria BRST lagrangianã pentru modelul dat de
(1). Pentru aceasta, introducem spectrul minimal de câmpuri ¸ si anticâmpuri
asociate, anume:
•Corespunzãtor câmpurilor ini¸ tiale bosonice fµν, introducem anticâm-
purile asociate f∗
µν,f e r m i o n i c e¸ si cu numãr de antighost +1.
•Corespunzãtor parametrilor gauge bosonici εµsiεµν, introducem ghos-
turileηµsiηµν-c uηµν=−ηνµ- de asemenea fermionice ¸ si cu numãr
pur de ghost +1.
•Corespunzãtor ghosturilor ηµsiηµν, introducem anticâmpurile asociate
η∗
µsiη∗
µν-c uη∗
µν=−η∗
νµ-b o s o n i c e¸ si cu numãr de antighost +2.
Operatorii diferen¸ tialiδ, numit diferen¸ tiala Koszul-Tate, ¸ siγ, numit difer-
en¸tiala exterioarã longitudinalã, au urmãtoarele ac¸ tiuni asupra generatorilor
introdu¸ si anterior
δfµν=δ(ghosturi )=0 , (7)
δf∗
µν=(1)
Hµν¡
f(αβ)¢
, (8)
δη∗
µ=−∂νf∗
νµ, (9)
δη∗
µν=−1
2f∗
[µν], (10)
γfµν=∂µην−ηµν, (11)
γ(ghosturi )=γ(anticâmpuri )=0 , (12)
iar în termeni de ace¸ sti operatori diferen¸ tiala BRST sse scrie
s=δ+γ.( 1 3 )
Drept consecin¸ te ale rela¸ tiei(11) deducem cã
∂(µην)=γf(µν), (14)
∂[µην]=γf[µν]+2ηµν, (15)
∂µ∂νηα=1
2γ¡
∂µf(να)+∂νf(µα)−∂αf(µν)¢
, (16)
∂αηµν=1
2γ¡
∂µf(αν)−∂νf(αµ)−∂αf[µν]¢
, (17)
toate aceste rela¸ tiifiindu-ne utile în calculul deformãrii consistente de ordinul
intâi a ac¸ tiunii libere (1).
3

3I n t e r a c ¸ tii consistente în formalismul BRST
lagrangian
Pornim de la o teorie de câmp liberã descrisã de ac¸ tiunea Lagrangianã
S0[Φα0]=Z
dnxL0¡
Φα0,∂µ1Φα0, …,∂µ1…∂µkΦα0¢
(18)
ce este consideratã o func¸ tionalã localã de câmpuri.
Presupunem cã ac¸ tiunea (18) este invariantã la transformãrile gauge la-
grangiene
δεΦα0=Zα0α1²α1. (19)
Invarian¸ ta ac¸ tiunii (18) la transformãrile (19) conduce la identit㸠tile locale
δS0
δΦα0Zα0α1=0, (20)
numite identit㸠ti Noether, ce eviden¸ tiaza faptul cã, din cauza prezen¸ tei sime-
triei gauge, nu toate ecua¸ tiile de câmp sunt independente.
Ne punem acum problema construc¸ tiei interac¸ tiilor consistente intre câm-
purileΦα0, astfel incât cuplajele ob¸ tinute sã conserve atât spectrul de câm-
puri, cât ¸ si numarul ini¸ tial de simetrii gauge. Aceastã problemã î¸ si gaseste o
rezolvare elegantã prin reformulare ae id r e p top r o b l e m ãad e f o r m ã r i is o l u ¸ tiei
ecua¸tiei master corespunzãtoare teoriei libere (18). Aceastã reformulare este
posibilã datoritã faptului cã solu¸ tia ecuatiei master înglobeazã toatã infor-
ma¸tia privind structura gauge a teoriei ini¸ tiale libere (transformãrile gauge
¸si reductibilitatea lor precum ¸ si algebra gauge).
Dacã o teorie gauge cu interac¸ tie poate ficonstruitã consistent, atunci
solu¸tiaSae c u a ¸ tiei master¡
S,S¢
=0asociate teoriei libere poate fidefor-
matã intr-o solu¸ tieS
S→S=S+κS1+κ2S2+…
=S+κµZ
dnxa¶
+κ2µZ
dnxb¶
+… (21)
ae c u a ¸ tiei master pentru teoria deformatã
(S, S)=0 , (22)
4

astfel încât spectrele de ghosturi si anticâmpuri ale teoriei ini¸ tiale sã nu fie
modi ficate. Ecua¸ tia(22) se poate dezvolta perturbativ în func¸ t i ed ep u t e r i l e
constantei de cuplaj κ,o b ¸tinându-se
¡
S,S¢
=0 , (23)
2¡
S1,S¢
=0 , (24)
2¡
S2,S¢
+(S1,S1)=0 , (25)¡
S3,S¢
+(S1,S2)=0 , (26)
…
Ecua¸ tia(23) este satisfacutã prin ipoteza. Urmãtoarea, (24),cere ca
deformarea de ordinul întâi a solu¸ tiei ecua¸ tiei master, S1,s ãfie un cociclu
al diferen¸ tialei BRST ”libere” s∗=¡
∗,S¢
.T o t u ¸ si, trebuie pãstrate numai
solu¸tiile coomologic netriviale ale ecua¸ tiei(24), întrucât cele BRST exacte
potfieliminate printr-o rede finire, în general neliniarã, a câmpurilor. Aceasta
inseamnã cã S1apar¸tine spa¸ tiului de coomologie de ordinul 0 al lui s,H0(s),
ce este in general nevid datoritã izomor fismului sãu cu spa¸ tiul observabilelor
fizice ale teoriei libere. S-a arãtat ca nu existã obstruc¸ tii în gãsirea solu¸ tiilor
ecua¸tiilor (25),(26),… Totu¸ si, interac¸ tiile ce rezultã pot finelocale, iar dacã
se insistã asupra acestei proprieta¸ ti, pot aparea obstruc¸ tii.
4 Deformarea de ordinul întâi
Solu¸tia ecua¸ tiei master pentru teoria liberã datã de (1)este
S=S0[fµν]+Z
d4x£
f∗
µν(∂µην−ηµν)¤
, (27)
iar prin calculul deformãrii de ordinul întâi se în¸ telege determinarea lui S1.
Pe acesta îl vom scrie sub forma
S1=Z
d4xa , (28)
reducând problema la determinarea lui a. Dupã cum vom vedea, acesta nu
este unic. Întrucât ecua¸ tia(24) se poate rescrie
sS1=0, (29)
5

la nivelul densit㸠tii neintegrate a(29) devine
sa=∂µKµ,( 3 0 )
pentru un cuadrivector Kîn principiu arbitrar. Solu¸ tia ecua¸ tiei (30) este
unicã pânã la un termen s-exact modulo d†,c u d†codiferen¸ tiala Cartan pe
spa¸tiul Minkowski.
Dezvoltãm pe aîn func¸ t i ed en u m ã r u ld ea n t i g h o s t
a=a0+a1+a2+…+ak. (31)
Fiecare termen din aceastã dezvoltare are semni fica¸tiefizicã. Astfel, a0dã de-
formarea de ordinul întâi a densit㸠tii de lagrangian, a1furnizeazã deformarea
de ordinul întâi a transformãrilor gauge, a2constituie deformarea algebrei
gauge in ordinul întâi, iar termenii cu numãr de antighost ≥3dau defor-
mãrile de ordinul întâi ale rela¸ tiilor de reductibilitate, de aceea kdin(31)
poate fiîn principiu in finit. Pentru teoria datã de (1), algebra este abelianã,
iar transformãrile gauge sunt ireductibile. Astfel, rela¸ tia(31) devine
a=a0+a1+a2. (32)
Am redus problema la determinarea termenilor a0,a1sia2.
Întrucât diferen¸ tiala BRST sadmite, în cazul de fa¸ ta, descompunerea
(13),d i n (30) si(32) ob¸tinem, prin proiectare pe valorile numãrului de
antighost, urmãtorul sistem de ecua¸ tii
γa2=0 , (33)
δa2+γa1=∂µKµ, (34)
δa1+γa0=∂µJµ. (35)
Solu¸tia ecua¸ tieiγa2=0este
a2=−η∗µηνηνµ+η∗αµ¡
ηνµηαν−ην∂νηαµ¢
, (36)
pânã la un termen γ-exact pe care îl luãm a fiegal cu zero. Întrucât a2este
o densitate, el este unic pânã la un termen d†-exact.
Calculãm δa2¸si ob¸ tinem
δa2=(∂αf∗αµ)ηνηνµ−f∗αµηνµηαν+f∗αµην∂νηαν. (37)
6

Mutãm derivatele, reducem termenii asemenea ¸ si separãm termenii γsid†-
exac¸ti, iar prin comparare cu ecua¸ tia(34) identi ficam
a1=f∗αµ£
ην∂νfαµ−ην∂αfνµ−(∂αην)fνµ−fαν∂νηµ+ηανfνµ¤
.(38)
Prelucrãm expresia (38) folosind descompunerile
½
f∗αµ=1
2f∗(αµ)+1
2f∗[αµ]
fµν=1
2f(µν)+1
2f[µν](39)
¸si scriem rezultatul sub forma
a1=1
4f∗(αµ)£
(∂µην)f(αν)+ην¡
∂νf(αµ)−∂αf(νµ)¢¤
+δ·1
2(η∗µ−∂αη∗αµ)ηνf[νµ]+η∗αµ¡
ην∂[νfα]µ−ηνµfαν¢¸
−γ·1
4f∗(αµ)σλν(fµνfαλ+2fµνfλα)+1
4f∗[αµ]σλν(fνµfαλ−fναfµλ)¸
+∂µΛµ. (40)
În expresia (40) identi ficãm, modulo o cuadridivergen¸ tã
1
4f∗(αµ)£
(∂µην)f(αν)+ην¡
∂νf(αµ)−∂αf(νµ)¢¤
=1
4aPF
1¡
f(µν)¢
. (41)
Atunci
a1=1
4aPF
1¡
f(µν)¢
+δ·1
2(η∗µ−∂αη∗αµ)ηνf[νµ]+η∗αµ¡
ην∂[νfα]µ−ηνµfαν¢¸
−γ·1
4f∗(αµ)σλν(fµνfαλ+2fµνfλα)+1
4f∗[αµ]σλν(fνµfαλ−fναfµλ)¸
+∂µΛµ, (42)
iar
δa1=1
4½
−2(1)
Hαµ(f)£
(∂µην)f(αν)+ην¡
∂νf(αµ)−∂αf(νµ)¢¤¾
−γ½
−δ·1
4f∗(αµ)σλν(fµνfαλ+2fµνfλα)
+1
4f∗[αµ]σλν(fνµfαλ−fναfµλ)¸¾
+∂µτµ. (43)
7

Prin comparare cu ecua¸ tia(35) ¸si ¸tinând cont de (42),o b ¸tinem
a0=1
4aPF
0¡
f(µν)¢
−δ·1
4f∗(αµ)σλν(fµνfαλ+2fµνfλα)
+1
4f∗[αµ]σλν(fνµfαλ−fναfµλ)¸
. (44)
Prelucrãm termenii din paranteza dreaptã din (44),¸si atunci a0devine
a0=1
4aPF
0¡
f(µν)¢
−δ·1
2f∗αµσλν(fµνfαλ+2fµνfλα)¸
. (45)
De asemenea, prin calcul direct
δ·
−1
2(∂αη∗αµ)ηνf[νµ]¸
=s·
−1
2(∂αη∗αµ)ηνf[νµ]¸
+1
2(∂αη∗αµ)ην¡
∂[νηµ]−2ηνµ¢
. (46)
În consecin¸ tã, densitatea neintegratã aa deformãrii de ordinul intâi S1a
solu¸tiei ecua¸ tiei master este
a=a2+a1+a0
=−1
2(η∗µ−∂αη∗αµ)ην∂[νηµ]+1
4aPF
1¡
f(µν)¢
+1
4aPF
0¡
f(µν)¢
+s·1
2η∗µηνf[νµ]+η∗αµ¡
ην∂[νfα]µ−ηνµfαν¢
−1
2f∗αµσλν(fµνfαλ+2fµνfλα)−1
2(∂αη∗αµ)ηνf[νµ]¸
+∂µKµ. (47)
Se veri ficã faptul cã S1,c o n s t r u i tc u adat de (47), conduce, prin rezolvarea
ecua¸tiei(25),l au n S2ce satisface condi¸ tia de localitate.
Cu interpretarea urmãtoare
anetriv
0 =1
4aPF
0¡
f(µν)¢
(48)
g ã s i mc ãî n t r e a g ac o n t r i b u ¸ tie netrivialã în ordinul întâi la sectorul de autoin-
terac¸ tie pentru ac¸ tiunea (1)coincide, pânã la factorul numeric 1/4, cu cea
8

ob¸tinutã pentru ac¸ tiunea Pauli-Fierz
SPF
0[hµν]=Z
d4x·
−1
2(∂µhνρ)(∂µhνρ)+(∂µhµν)(∂ρhρν)
−(∂µhµν)(∂νh)−1
2(∂µh)(∂µh)¸
. (49)
Astfel, vertexul cubic al dezvoltãrii perturbative a ac¸ tiunii Hilbert-Einstein
este propor¸ tional cu vertexul cubic al teoriei ob¸ tinute prin cuplarea consis-
t e n t ãac â m p u l u i fαβ. Obervãm cã în acest ultim vertex partea antisimetricã
ac â m p u l u i fαβnu apare. Propor¸ tionalitatea men¸ tionatã, exprimatã prin
apari¸ tia factorului 1/4, poate fiînlãturatã prin rede finirile la nivelul lui a2si
a1
η∗µ−∂αη∗αµ≡η∗µ
PF, (50)
1
4f∗(αµ)≡h∗αµ
PF, (51)
ηµ≡ηµ
PF. (52)
Astfel, contribu¸ tia netrivialã a ordinului intâi în constanta de cuplaj la de-
formarea ac¸ tiunii (1)se scrie acum
anetriv
fµν,…=aPF
2(η∗µ
PF(η∗µ,η∗αµ),ηµ
PF(ηµ))
+aPF
1¡
h∗αµ
PF¡
f∗(αµ)¢
,ηµ
PF(ηµ),hµν¡
f(µν)¢¢
+aPF
0¡
hµν¡
f(µν)¢¢
,
anetriv
fµν,…=aPF
hµν,…. (53)
Interpretarea fizicã a ac¸ tiunii (1)e s t ea c e e ac ãe ar e p r e z i n t ãl i m i t al i b e r ã
aa c ¸tiunii Einstein-Cartan, la fel cum ac¸ tiunea (49) reprezintã limita liberã a
ac¸tiunii Hilbert-Einstein. Ac¸ tiunea (1)e s t ed a t ãî nf o r m u l a r e ad eo r d i n u la l
doilea, în care drept câmpuri ale teoriei apar doar tetradele liniarizate, fαβ.
Dacã se realizeazã descompunerea fαβ=1
2f(αβ)+1
2f[αβ],s ei d e n t i ficã
f(αβ)≡hαβ¸si se substituie aceastã descompunere în ac¸ tiunea (1),v ã z u t ã
a c u mc aof u n c ¸ tionalã de doua câmpuri, hαβ¸sif[αβ],s eg ã s e ¸ ste o justi ficare
af a p t u l u ic ã
δS0
δf[αβ]=0, (54)
9

rela¸tia anterioarã rezultând din antisimetrizarea ecua¸ tiilor de câmp (2)sau
(4). De fapt, dupã efectuarea calculelor, se gãse¸ ste cã
S0[hαβ,f[αβ]]=1
4SPF
0[hαβ]+Z
d4x½
∂ν·1
16¡
∂µf[να]¢
f[µα]¸
+∂µ·
−1
16¡
∂νf[να]¢
f[µα]¸
+∂ν·1
8(∂µhνα)f[µα]¸
+∂α·1
8¡
∂µf[να]¢
f[µν]¸
+∂µ·
−1
8¡
∂αf[να]¢
f[µν]¸
+∂α·1
8¡
∂µf[να]¢
hµν¸
+∂α·
−1
16¡
∂νf[µα]¢
f[µν]¸
+∂ν·1
16¡
∂αf[µα]¢
f[µν]¸
+∂α·1
8(∂µhνα)f[µν]¸
+∂α·1
8¡
∂νf[µν]¢
f[µα]¸
+∂ν·
−1
8¡
∂αf[µν]¢
f[µα]¸
+∂α·
−1
16¡
∂νf[µα]¢
hµν¸
+∂α·
−1
16(∂νhµα)f[µν]¸
+∂µ·
−1
4h¡
∂αf[µα]¢¸
+∂α·1
4(∂νhµν)f[µα]¸¾
,
(55)
adicã
S0[fαβ]=S0[hαβ,f[αβ]]=1
4SPF
0[hαβ], (56)
întrucât o cuadridivergen¸ tã integratã pe un spa¸ tiu-timp plat se anuleazã.
Întrucât în sectorul de interac¸ tie, în primul ordin în constanta de cuplaj,
cele doua teorii coincid, analiza efectuatã anterior oferã o justi ficare pertur-
b a t i v ãae c h i v a l e n ¸ tei celor douã formulãri ”full”, în absen¸ ta interac¸ tiei cu
materia.
5C o n c l u z i i
10