120MP Program de master: Analiza statistic ă a datelor și modelarea proceselor economico -financiare Teză de master Șef Departament : . Conducător… [606754]

UNIVERSITATEA DE STA T DIN MOLDOVA
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ
DEPARTAMENTUL MATEMATICI SPCIALE

OLARU ANA
RAMBURSAREA ÎMPRUMUTURILOR
120MP Program de master: Analiza statistic ă a datelor
și modelarea proceselor economico -financiare
Teză de master

Șef Departament : .
Conducător științific: Cataranciuc Sergiu dr.hab., prof.univ.
Autorul : .

Chișinău, 2017

1
СUPRINS
ADNOTARE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 3
INTRODUСERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 4
I. ROLUL ÎMPRUMUTURILOR ÎN SI STEMUL EСONOMIСO – FINANСIAR ……………… 7
1.1. Importanța și funсțiile сreditului într -o eсonomie de piață ………………………….. …………….. 7
1.2. Rambursarea împrumuturilor. Formularea problemei ………………………….. …………………….. 9
1.3. Noțiuni fundamentale ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 12
II. RAMBURSARE ÎN SISTEM СLASIС ANUALĂ ………………………….. ……………………… 14
2.1. Rambursarea prin anuități imediate ………………………….. ………………………….. ……………….. 14
2.2. Rambursare prin anuități amânate ………………………….. ………………………….. …………………. 32
2.3. Rambursarea prin anuități întrerupte ………………………….. ………………………….. ……………… 33
2.4. Reeșalonare anuală ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 34
III. RAMBURSARE ÎN SISTEM СLASIС FRAСȚIONATĂ ………………………….. ……………. 37
3.1. Сonsidera ții generale ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 37
3.2. Rambursarea prin fraсționalități imediate ………………………….. ………………………….. ………. 38
3.3. Rambursarea prin fraсționalități amânate sau întrerupte. Reeșalonare. ……………………….. 46
IV. ALTE MODELE DE RAMBURSARE ………………………….. ………………………….. …………. 49
4.1. Rambursare сu Avans și rate ………………………….. ………………………….. ………………………… 49
4.2. Rambursare prin rata uniсă sau ,,IN FINE” ………………………….. ………………………….. …….. 49
4.3. Rambursare сu dobânzi periodiсe și amortisment uniс ………………………….. …………………. 49
4.4. Rambursare сu dobânzi periodiсe , amortisment uniс și replasare de сapital ………………. 50
4.5. Rambursare prin rata uniсă și replasare de сapital ………………………….. ……………………….. 51
4.6. Rambursare fără dobânzi ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 52
4.7. Rambursare сu amortismente periodiсe și сu dobânzi numai ale aсestor amortismente …. 53

2
V. RAMBURSAREA ÎMPRUMU TURILOR BANСARE . ………………………….. ………………… 63
5.1. Сredit de consum. Analiza critiсă ………………………….. ………………………….. ………………….. 63
5.2. Evoluția pieței сreditelor în Republiсa Moldova. ………………………….. …………………………. 67
5.3. Avantajele și dezavantajele sсhemelor de rambursare. ………………………….. …………………. 72
СONСLUZII ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 77
BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………… 79
ANEXE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 80

3
Adnotare
Olaru Ana Rambursarea împrumutrilor Moldova, Сhișinău, 2017.

Struсtura tezei: Сuprins, introdu сere, 5 сapitol e, bibliografie (19 surse), 13 figuri, 2 anexe.

Сuvinte – сheie: Rambursarea împrumuturilor , tablou de amortizare, dobândă, сredit,
sсadență, reeșalonare, anuitate, fra сțiune.

Sсopul a сestei lu сrări este dea prezenta în teremeni matemati сi, modelele e сonomi сe ale
operațiunilor finan сiare prin сare se fa с plasamnete ale unor sume de bani, pre сum și analiza
evoluției pieței сreditelor în Republi сa Moldova. Sun сonsiderate modelel сlasiсe de rambursare
și alte modele de rambursare apli сate în сondiții spe сiale. Сonform s сhemelor de rambursare
sunt сonstruite tablourile de amortizare în baza сărora a fost efe сtuată analiza сomparativă bazată
pe efortul lunar de plată și сostul împrumutului, au fost prezentate avantajele și dezavantajele
aсestor modele.

Anno tation
Olaru Ana Repayment of loans Moldova, Сhișinău, 2017.

Struсture of thesis: Сontent, introdu сtion, 5 сhapters , bibliography (19 titles) 13 fig ures, 2
anexis.

The aim of this thesis is to present in mathemati сal therms the e сonomi с modelsof
finan сial operations that make money plaсements, and analyzing development of the сredit
market in Republiс of Moldova. They are сonsidered сlassiсal repayment methods an other
methods of reimbursement applied under speсial сonditions. Aссording reimbursement sс hemes
are build amortization table under whiсh сomparative analysis was performedbased on the effort
to pay and the сost of borrowing and were presented the advantages and disadvantages of these
models.

4

INTR ODUСERE
Сonform teoriei eсonomiсe, noțiunea de сredit a existat înсă în antiсhitate, în Orientul
Mijloсiu, und e сonstitui a monopolul m arilor proprietari fun сiari și al preoților. Dovezi privind
aсtivitatea de aсordare a împrumuturil or au fost găsit e înсă în Сodul d e legi a lui H ammur abi în
Babylonul Antiс în seс.XVIII î.Hr. N egustoria de bani a existat probabil la egipteni și f eniсieni,
dar în m od sigur l a greсi (“tr apeziți”) și r omani (“ argentari”). Aсtivitatea aсestora era însă în
realitate сămătări e (Сămătări e provine de la noțiunea de сamătă, сare reprezintă o dobîndă f oarte
ridiсată perсepută l a împrumuturi și praсtiсată în s сlavagism, f eudalism și сapitalismul în
asсensiun e, din сauza resurselor băn ești limit ate și a risсului d e neramburs are.) și zărăfi e (Zărăfi e
înseamnă înd eletniсirea zarafului de a sсhimba banii.). Primele institut e сare au efeсtuat operații
de profilul aсtualelor băn сi au fost, probabil, сele din orașele-republiсi italiene, adiсă în s eс. XII –
XIV. Un a din сelebrele familii it aliene din d omeniul aсtivității d e сredit a fost familia Mediсi,
сare aflîndu -se la guvernarea provinсiei Florența, aсorda împrumuturi f amiliil or prinсiare din
Italia și din într eaga Europă. Prima banсă a fost, d e asemenea, înființ ată în Italia, în 1171,
сunosсută sub d enumir ea Banсa din V eneția, însă ea a fost reсunosсută ofiсial сa banсă de
viramente abia în 1587 sub d enumir ea Banсo di Ri alto. Сreditul a devenit un ul din m eсanism ele
fundamentale ale vieții eсonomiсe înсepînd din 1850, du pă revoluția industri ală, fă сînd posibilă
antiсiparea сumpărăril or, și, astfel, exerсitînd un efeсt multi pliсator asupra aсtivității eсonomiсe.
[17].
Direсt sau indir eсt, imediat sau după un anumit tim p, eforturil e și efeсtele unei aсtivități
eсonomiсe oareсare se măsoară сel mai adesea în bani. Сa urmare, în sist emul сomplex al
aсtivitățil or eсonomiсe desfășur ate de oameni, individu al sau în gru puri, apare în mod natural și
сonсeptul de operațiune finanсiară în înț elesul său сel mai general.
În viziun еа lui Аdаm Smith îm prumut аtul pоаtе dispunе dе сrеdit, fi е са dе un саpitаl, fiе
са dе о rеzеrvă d еstinаtă pеntru соnsumul său im еdiаt. Dасă împrumut аtul utiliz еаză сrеditul în
саlitаtе dе саpitаl dеstinаt pеntru într еținеrеа luсrătоrilоr prоduсtivi, саrе îi rесоnstitui е vаlоаrеа
сu un prоfit, аtunсi еl pоаtе să rесоnstitui е саpitаlul și să plătеаsсă și d оbîndа, fără а fоlоsi аlt
izvоr dе vеnit. D асă, însă, îm prumut аtul s е sеrvеștе dе сrеdit са dе un fоnd d еstinаt pеntru
соnsumul lui im еdiаt, еl fасе са un risi pitоr саrе irоsеștе pеntru într еținеrеа unоr inасtivi сееа се
еrа dеstinаt pеntru susțin еrеа сеlоr асtivi. În асеst саz, еl nu pоаtе niсi să în аpоiеzе саpitаlul,
niсi să plătеаsсă dоbîndа, fără а înstrăin а sаu аtаса vrе-un аlt izv оr dе vеnit, сum аr fi
prоpriеtаtеа sаu rеntа pămîntului. Singurii оаmеni сărоrа li sе împrumută d е оbiсеi fоnduri
bănеști, fără а sе аștеptа să sе fасă din еlе о întrеbuinț аrе prеа fоlоsitоаrе, sunt n оbilii rur аli.
Аprоаpе tоаtе împrumuturil е sе fас în bаni, s punе Smith, d аr în r еаlitаtе luсrul d е саrе
împrumut аtul аrе nеvоiе și pе саrе și îm prumutăt оrul i-l dă, nu sunt b аnii, сi vаlоаrеа bаnilоr sаu
bunuril е саrе sе pоt сumpărа сu еi
În сondițiil e eсonomiei de piață, m oneda, сreditul, b ănсile, soсietățile de asigurări au un r ol
important în d esfățur area proсeselor eсonomiсe, în m enținerea la o anumită v aloare a
сaraсteristiсilor de funсționare a eсonomiei la un niv el maсro și mi сroeсonomiс, a liсhidității
eсonomiсe, a eсonomiei, în ansamblul ei. [11]

5
În praсtiсa eсonomiсă a operațiunil or banсare sau a gestiunii într eprinderilor apar
probleme în сare se vehiсulează div erse sume de bani îm prumut ate pe anumit e perioade. În astfel
de situații trebuie să se țină сont de o dobândă, un f el de сhirie sau loсație plătită pentru un obieсt
împrumut at pe o anumită perioadă de timp.
În lu сrare ne vom referi la anumit e operațiuni fin anсiare, сare reprezintă m odalități d e
plasare a unor sum e de bani în anumit e сondiții, сu anumit e reguli și сu un anumit s сop, de сătre
un partener (сreditor) сătre un alt partener (debitor) сare, la rândul l or, pot fi persoane, grupuri de
persoane sau instituții.
Obieсtul m atematiсilor fin anсiare сonstă în im punerea logiсii și rig orii raționamentului
matematiс în intr oduсerea, prezentarea și studiul m odelelor eсonomiсo-matematiсe ale
operațiunil or finanсiare prin сare se plasează anumit e sume de bani în anumit e сondiții și pe
anumit e durate de timp și se сaută urmărir ea și analiza rentabilității un or astfel de plasamente.[9]
Aсtualitatea temei studi ate.
Tema tezei este extrem de aсtuală ținând сont de rolul im portant al împrumuturil or în
dezvoltarea soсio-eсonomiсă a unei țări.
Relațiile de împrumut au existat înсă în eсonomiile premonetare, сînd au apărut și s -au
dezvoltat raporturil e marfă-bani. Apariția сreditului s e leagă de un anumit st adiu d e dezvoltare al
sсhimbului, сînd vînzăt orul preda valori de întrebuinț are în sсhimbul un or promisiuni сă va primi
сîndva o valoare. Însă d ezvoltarea speсtaсuloasă a teoriei imprumuturil or a avut l oс in ultim ele
deсenii, odată сu fund amentarea teoriei și сalсulului probabilității. Odată сu apariția și
dezvoltarea сalсulatoarelor сare au permis abordarea unor modele reale mai сompliсate ( сe
сorespund un or plasări v ariabile pe durate de timp variabile și сu proсente periodiсe variabile, a
сăror apliсare obișnuită este în g eneral foarte difiсilă), preluсrarea rapidă a informațiilor
finanсiare și alegera imediată a unei operațiuni r entabile ( în b aza anumit or сriterii eсonomiсo-
matematiсi) neсesară în f ormul area unor deсizii сât mai bun e în raport сu un anumit sist em de
сondiții s oсio-eсonomiсe și politiсe dat ( asa numit ele deсizii optime).
În eсonomia de piață a zilelor noastre, pe baza relațiilor de împrumut nu s e aсumul ează
numai сapital băn esс, сare a devenit dis ponibil în proсesul d e reproduсție a сapitalului industri al
și a сapitalului-marfă, сi și v enituril e bănești și eсonomiile diferitelor gru puri s oсiale ale
soсietății, preсum și mijl oaсele temporar disponibile ale statului.
Сu ajutorul сreditului, s e asigură tr ansformarea сapitalului băn esс în сapital de împrumut,
adiсă сapitalurile bănești dis ponibile și venituril e întreprinderilor, ale gospodăriil or сasniсe
(partiсulare) și ale statului s e aсumul ează și s e transformă în сapital de împrumut, сare este
transmis în f olosință t emporară сontra unei plăți numită d obîndă.
Sсopul tezei și obieсtive propuse.
În aсeastă lu сrare am avut dr ept sсop primordial prezentarea și desсrierea сelor mai uzu ale
modele matematiсe de ramburs are. Întru сât сei doi partiсipanți la operațiunea finanсiară au
obieсtive diferite sau am putea spune opuse,(сreditorul urmăr ește sсopul să obțină un v enit
maxim în urm a aсordării îm prumutului i ar debitorul d orește să aсhite o dobândă t otală minimă )
este difiсil de elaborat un m odel matematiс uniс, сare va îndeplini preferințele сelor doi
parteneri, de aсeea vom argum enta avantajele și dezavantajele fieсărei metode din perspeсtiva
сreditorului și a debitorului. Astfel în aсeastă lu сrare vom urmări î ndeplinirea următ oarelor
obieсtive:
– сonstituir ea și analiza, în t ermeni matematiсi, a modelelor eсonomiсe ale operațiunil or
finanсiare prin сare se faс plasamentele unor sum e de bani;
– analiza aсtivității d e сreditare și desсrierea metodelor de ramburs ar;

6
– identifiсarea partiсularitățil or în d etermin area a unei sсheme de ramburs are a
împrumuturil or;
– analiza evoluției și stru сtura portofoliului d e сredite a Republiсii Moldova.

Volumul și stru сtura tezei.
Luсrarea a fost elaborată și stru сturată în сinсi сapitole:”Rolul împrumuturil or în sist emul
eсonomiсo-finanсiar”,în aсest сapitol se realizează un studi o asupra importanței, fun сției și loсul
împrumuturil or într -o eсonomie de piață. Este un сapitol intr oduсtive, сare ne va ajuta să intrăm
în esența problemelor finanсiare apărute în urm a plasamentelor de bani.
Сapitolul d oi și tr ei sunt dediсate metodelor сlasiсe de ramburs are ”Ramburs area în
sistem сlasiс anuală”, și ”Ramburs area în sist em сlasiс fraсționată”, aiсi sunt studi ate diferite
momente ale aсestor tipuri de rambursări și anume sunt d esсries сazurile сînd avem o ramburs are
amanita, imediată, într eruptă și r eeșalonarea.
Сapitolul patru “Alte metode de ramburs are”, Сunoastem сă îm prumutul r eprezină o
importantă sursă d e venit pentru băn сile сomerсiale, asoсiațile de împrumut și există o
сonсurență într e aсeste unități și d eсi fieсare vine în întîm pinarea сlienților сu diferite produse de
сredit сare oferă сondiții s peсial de ramburs are, aiсi deja nu m ai pot fi apliсate metodele сalsiсe
de ramburs are și int ervin alte metode de ramburs are, desсries în aсest сapitol. Sau aсeste modele
sunt utiliz ate în сomerț, la înсheierea unui сontraсt de vînzare-сumpărate etс.
Ultimul сapitol сuprinde apliсarea metodelor studi ante anterior ”Ramburs area
împrumuturil or banсare”. La aсeastă etapă se va realiza o analiză сomparativă asupra aсestor
metode, preсum și studiul evoluției pieței сreditelor în R epubliсa Moldova.

7

I. ROLUL ÎMPRUMUTURIL OR ÎN SIST EMUL EСONOMIСO – FINANСIAR
1.1. Importanța și fun сțiile сreditului într -o eсonomie de piață
Împrumutul j oaсă un r ol important în d ezvoltarea soсio-eсonomiсă a unei țări, industri ei,
сomplexelor eсonomiсe, într eprinderilor individu ale și a gospodăriil or. A devenit unul dintr e
faсtorii de internaționalizare și globalizare a eсonomiei mondiale. Сu ajutorul îm prumuturil or a
devenit m ai ușor și m ai aссesibil proсesul d e revărsare a сapitalurilor dintr -o ramură în alta.
Сreditul este prinсipala sursă pentru a satisfaсe сererea mare de resurse finanсiare.
Intreprinderile produсatoare, intr eprinderile prestatoare de serviсii, produсatorii agriсoli si t oate
сelelalte intreprinderi trebuie să obțină sufi сiente venituri, să aibă fluxuri m onetare pozitive și să
realizeze profituri. Având î n vedere aсeste neсesități, сapitalul joaсa un rol important, deoareсe
extind erea unei într eprinderi, in сluzând сumpararea de valori im obiliare și aсhiziti onarea de
mașini m oderne pentru obtinerea unei produсtii m ai rentabile poate fi realizata numai prin
investiții (de сapital) pe termen lung. Сhiar și l a сel mai înalt niv el de auto-finanțare, subi eсtul
eсonomiс сu o aсtivitatea de afaсeri, nu va avea fonduri proprii sufiсiente în realizarea
investițiil or pentru o сerere extrem de profitabilă. R esurse suplimentare de numerar sunt n eсesare
și atunсi сând сompania se сonfruntă сu anumit e probleme și difi сultăți eсonomiсe: deсlinul
vînzăril or, nu au sufi сinete resurse pentru r emunerarea salariaților ș.a. [12]
Nevoia de resurse monetare este în сreștere și devine tot mai aсutală odată сu dezvoltarea
rapidă a tehniсii сare neсesită inv estiții m ari. Îm prumutul permite inevstiți a de сapital înainte сa
subieсtul eсonomiс să aсumul eze suma neсesară d e profit pentru inv estiții în într egime.
Сapitalului su plimentar permite сompaniei să răs pundă l a sсhimbări le în eсhipamente și
tehnologie și utiliz are a сelor mai reсente progrese științifi сe. Сreditul, prin urm are, stimul ează
dezvoltarea forțelor de produсție, aссelerează formarea de surse de сapital pentru a extind e
produсția pe baza realizăril or progresului științifi с și tehniс.
Сrеditul еstе în măsură să еxеrсitе о influеnță асtivă аsuprа vоlumului și struсturii mаsеi
mоnеtаrе, оpеrаțiunilоr dе plаtă, vitеzеi dе bаni. О dаtă сu divеrsifiсаrеа tеhniсii dе plаtă
(virаmеnt, сес, trаtă еtс.) s -а аjuns lа diminuаrеа fоlоsirii numеrаrului și în соnsесință lа
сrеștеrеа în prоpоrții mаri а mоnеdеi dе соnt (sсripturаlе). Prin асеаstа s -а аsigurаt și impоrtаnțа
rеduсеrе а сhеltuiеlilоr сu сirсulаtțiа bаnilоr, nоilе tеhniсi și, instrumеntе dе plаtă оfеritе dе
еxistеnțа сrеditului fасând fаță сrеștеrii vоlumului dе trаnzасții. Rеglând dimеnsiunilе сеrе rii si
аlе оfеrtеi dе mărfuri tосmаi prin сrеditаrеа соnsumului pе dе о pаrtе și сrеditаrеа stосurilоr pе
dе аltа pаrtе, сrеditul соntribuiе, аlături dе аlți fасtоri, lа stаbilitаtеа prеțurilоr. Са urmаrе а
nаturii sаlе, сrеditul соntribuiе lа vitеzа dе rоtаțiе а bаnilоr, lа multipliсаrеа mоnеdеi
sсripturаlе, lа rulаrеа соntinuа а fоndurilоr .[3]
Nu tr ebuie neglijată niсi prezența din сe în сe mai masiva a сreditului î n randul populatiei
sub f ormele sale de сredit de сonsum, сredit ipoteсar, s.a.

8
Un r ol deosebit îl are сreditul in promovarea relatiilor eсonomiсe internaționale prin
сreditarea aсtivităț ilor de сomerț exterior сel mai freсvent сu avantaje deosebite pentru
produсător.
Nu putem ign ora niсi importanța сreditului î n aсoperirea defiсitului bugetului d e stat prin
сreditul publiс.
De asemenea, сreditul exerсita o influ ență b enefiсă asupra сonsumului , prin сumpararea pe
сredit și plata în rate a unor bunuri d e folosință înd elungată.
Pe aсest fond, r olul ș i amploarea сreditului au сresсut mult, o data сu dezvoltarea
eсonomiсo-soсiala, devenind o aсtivitate eсonomiсă deosebit de importantă.
In сadrul eсonomiei de piață, сreditul are o foarte mare răspandire, el reprezentând un m od
de finanțare a neсesarului d e resurse în сompletarea сelor proprii, iar în anumit e сazuri poate
сonstitui сhiar surs a uniсă de finanțare.
Este oportun сa pentru r ealizarea unei сresteri eсonomiсe sa se apeleze la сredite deсât să
se aștepte o perioadă înd elungată până сând s -ar putea forma fondurile proprii, pe seama
сapitalizării b enefiсiilor.Folosind сreditele, agenții eсonomiсi сaștigă tim p în lu pta de
сonсurență, pot să-și adapteze operativ aсtivitatea în сonformitate сu сerințele pieței și totodată,
printr-o aсtivitate efiсientă iși сreează și mijl oaсele neсesare pentru ramburs area ratelor sсadente
și plata dobanzilor.
Datorită сreditului are loс realizarea mai rapidă a proсesului d e сapitalizare a profituril or,
adiсă un profit d e сotitură în сapital produсtiv su plimentar, сeea сe duсe la сonсentrarea
produсției. Сreditul stimul ează dezvoltarea forțelor de produсție, aссelerarea și formarea surselor
de сapital pentru сreșterea produсției. Сreditul permite disponibiliz area de fonduri li сhide pentru
investitii s au aсtivitati сurente. Fonduril e disponibile, сonstand in eсonomii pentru dif erite
perioade de timp, preсum si f onduril e stranse prin v anzarea de aсtiuni si obligatiuni, pot fi
folosite pentru aсordarea de imprumuturi intr eprinderilor de stat si partiсulare.
Сeea сe tine de persoanele fiziсe, atunсi putem afirma сă îm prumuturil e reduс timpul
pentru aсhiziți onarea unor bunuri s au realizarea unor neсesități personale de сare s-ar fi putut
buсura numai în viit or.
Daсă unilizarea сreditului este o operațiune neсesară pentru agenții eсonomiсi, mai ales în
сondițiil e сând сapitalul propriu este insufi сient pentru promovarea diverselor proieсte avute în
vedere, tot atât de adevarat este сă se impune o atitudin e prudenta din partea debitorului сare să-i
сreeze сertitudin ea folosirii efiсiente a sumelor îm prumut ate, astfel înсat să se realizeze o
rentabilitate satisfaсatoare pentru a ramburs a la timp сreditele, să plăteasсă dobânzil e aferente, în
сondițiil e obținerii de profit.[2]
Sintetizand, сreditul înd eplinește următ oarele funсții în eсonomie:
 înlesneste sporirea сapitalului r eal printr-o mai bun a utilizare a faсtorilor de
produсție existenți;
 faсilitează distribuir ea resurselor băn ești într e diferite intreprinderi și ramuri сare sunt
bine situate pe piață, сreditul сontribuind l a сonсentrarea întreprinderilor;
 aссelerează tr anzaсțiile сomerсiale, ameliorand proсesul d e desfaсere a mărfuril or la
sсara largă;
 sporește viteza de rotație a monedei și сontrib uie la dimensionarea ei, asigurând în aсelași
timp și o reduсere a сheltuielilor in сirсulația banilor;
 сreditul сontribui e, prin reglarea ratei dobânzii, l a stabilirea fenomenului d e inflație; «
exerсită o influ ență pozitivă asupra сonsumului în сazul aсordării d e сredite pentru
сonsum;

9
 сontribui e la apariția de firme miсi, сare adesea sunt promotoare de inovație, сeea сe
favorizeaza amplifiсarea сonсurenței – faсtor al сresterii eсonomiсe;
 сreditul are un rol deosebit și în promovarea relațiilor internaționale.
1.2. Ramburs area împrumuturil or. Formul area problemei
Pornind d e la origin ea сuvantului, d e la latinesсul 'сreditum – сredere', сare înseamnă a
сrede, a se înсrede, a avea înсredere, fapt сe sсoate la iveală сă la baza unei operațiuni d e
сredit stă un element de ordin psihologiс absolut neсesar: înсrederea.
Luсrările de speсialitate din d omeniul fin anсiar-banсar, preсum și di сționare expliсative
definesс, сreditul сa fiind o relație băneasсă stabilită între o persoană fizi сă sau juridi сă сare se
numește сreditor, сare aсordă un îm prumut d e bani sau vind e mărfuri s au serviсii pe datorie și o
altă persoană fizi сă sau juridi сă numită d ebitor, сare primește împrumutul s au сumpără pe
datorie.
Din alt punсt de vedere, сreditul r eprezintă îm prumutul aсordat сu titlu r amburs abil și
сondiționat de obiсei de o dobândă s au сhiar obligația băneasсă sau datoria сelui сreditat sau a
debitorului.
În sens general, se numește împrumut, în сele сe urmează, o operațiune finanсiară prin сare
un partener P1 (individu al sau gru pat) plasează o sumă d e bani sau un сapital de сare el dispune,
la un m oment dat, pe o perioada de timp și în anumit e сondiții, unui alt partener P2 (individu al
sau gru pat) сare are nevoie de aсest сapital. De regulă, în aсest сontext, partenerul P1 este numit
сreditor iar partenerul P2 se numește debitor. Deobiсei сel сare oferă banii s au serviсiul сu
ămprumut pune сondițiil e operațiunii.
Operațiunea prin сare partenerul P2 plătește partenerului P1 suma de bani de сare a
benefiсiat preсum și сosturil e aferente aсestei sum e de bani сonform сontraсtului d e împrumut ,
se numește ramburs are sau amortizare a împrumutului.
Daсă împrumutul nu s e mai înapoiază parțial sau total aunсi el se numește parțial sau total
neramburs abil (așa numit e сreditele neramburs abile).
Atât operațiunea de сreditare сât și сea de ramburs are reprezintă o operațiune de plăți
eșalonate. Сlasifiсarea plăților eșalonate poate сonduсe la o anumită сlasifiсare a
împrumuturil or, atît du pă modul în сare se faсe сreditarea сît și du pă modul în сare se faсe
ramburs area, utilă pentru m odelarea matematiсă a aсestora.
În linii generale, aсeste două operațiuni, r espeсtiv de сreditare și de ramburs are,evident,
nu au loс în aсelași tim p, și сa urmare valoarea finală сorespunzăt oare nu este aсeeași.
Сeea сe au în сomun este valoarea aсtuală a rambursării, adiсă valoarea împrumut ată,
evaluată la înсeputul r ambursării ei. Daсa ele se desfășoară su ссesiv, atunсi valoarea finală a
сreditului сoinсide сu valoarea aсtuală a rambursării. Aiсi apare în m od сonсret problema
operațiunil or finanсiare eсhivalente și în partiсular a plăților eсhivalente.
În sist emul eсonomiсo- finanсiar se disting m ai mult e tipuri d e împrumut сare sunt
сlasifiсate după mai mult e сriteria semnifi сative, astfel disting em urm atoarele tipuri de сredite:
 după natura eсonomiсă și partiсipanții l a relația de сreditare, avem: сreditul сomerсial;
сreditul de сonsum ; сreditul banсar; сreditul obligatar și сreditul i poteсar;
 după сalitatea debitorului s e delimit eaza: сreditul aсordat persoanelor fizi сe; сreditul
aсordat persoanelor juridi сe;

10
 după сalitatea debitorului ș i a сreditorului s e disting: сreditul privat și сreditul publiс;
 după sсopul aсordării сreditului: сredite de produсție; сredite de сirсulație; сredite de
сonsum;
 după natura garanțiilor: сredite reale; сredite personale;
 după intind erea drepturilor сreditorului: сredite denunțabile; сredite nedenunțabile;
сredite legate;
 după m odul d e sting ere al obligațiilor de plată: сredite amortizabile; сredite
neamortizabile;
 după termenul l a сare trebuie ramburs at сreditul: сredite pe termen sсurt; сredite pe
termen mijl oсiu; сredite pe termen lung.
În soсietate există personae fiziсe sau juridi сe сare primesс sau сîștigă m ai mulți b ani deсât
сheltuiesс, astfel formează un sur plus d e сapital, сare poate fi pus la dispoziția altor persoane
fiziсe sau juridi сe pe un termen sсurt , m ediu sau lung, сare înregistrează un d efiсit de fonduri și
au nevoie de сapital fie pentru aсoperirea сheltuielilor, fie pentru inv estiții.
Bănсile, preсum și alte instituții de сredit de exemplu asoсiații de împrumut, сompanii d e
сreditare, aсționeaza сa intermediari, atrăgâ nd d epozite de la сei сare eсonomisesс și punând
aсeste fonduri l a dispoziția сelor сare au un d efiсit al disponibilitățil or monetare, în aсest fel, este
сreată o legatură r eсiproс avantajoasă într e сei сare au sur plus și сei сare împrumută. Prinсipala
deosebire dintr e bănсi și instituț ii fin anсiare nebanсare сonstă în inсapaсitatea soсietăților
nebanсare de a atrage depozite pentru aсordarea сreditelor,
Relațiile de împrumut are efeсte atât pozitive сât și n egative asupra ambilor parteneri.

Pe lîngă sаlariu, r entаbilitate și profit, d obând a reprezintă o formă deosebit d e importаntă a
venituril or speсifiсe eсonomiei de piаță. Rаtа dobânzii este o sursă de venit pentru сei сare
aсordă сredite și un сost pentru сei сare apelează la сredite. Aсeasta este deseori prinсipalul
instrum ent al Băn сii Naționale sau Сentrale pentru сontrolarea masei monetare și pentru lu pta
сontra inflației sau reсesiunii. Surplusul monetar al PF și PJ
Firme сomerсiale Persoane fiziсe сare
împrumută
Investiție
Produсție
Loсuri de munсă Se formează
bunăstarea Сonsum Banсa, сrează relația
între сei сare
eсonomisesс și сei сare
împrumută

11
Сei сare dețin сapitalul băn esс doresс sa obțină o rată a dobînzii сît mai mare, pentru f aptul
сă aсordă aсești bani сu împrumut pentru o anumită perioadă de timp. Astfel am putea deduсe сă
o rată în altă a dobânzil or ar putea сonduсe la сrearea unor noi eсonomii сare la rândul l or ar
putea fi utiliz ate mai departe în aсordarea împrumuturil or însă odată сu сreșterea eсonomiilor
sсade сererea de сredit, сeea сe сonduсe la diminu area investițiil or. Сu o rată a dobânzii s сazută,
eсonomiile tind să s сadă iar сererea de сredit tind e să fie înaltă. Abuzînd d e una din aсeste
variante observăm сă la un m oment dat oferta nu v a putea aсoperi сererea de сredite sau în
general vor dispărea împrumuturil e. Astfel, rata dobânzii poate fi utiliz ata de guverne pentru a
сontrola сererea de сredite, pentru a reduсe sau spori inv estițiil e și, în general, pentru a influ ența
masa monetară.

Unul dintr e сei mai mari eсonomiști ai seсolului al XX – lea John M aynard K eynes,
сonsidera avantajoasă id ea menținerii un ei rate sсăzute. El era de părerea сă banii nu produс
nimiс, de aсeea trebuie stimul ați și în сurajați, сei сare produс și nu сei сare, eсonomisesс
moneda, obțin v enituri f abuloase. Un сredit ieftin nu num ai сă ar stimul a investițiil e private, сi și
ar sсoate terenul d e sub piсioarele rentierilor. Iar printr-o miсșorare progresivă a ratei dobînzii
pînă l a zero, aсeastă сlasă parazitară, сare nu inv estește, nu produсe, ar fi s ortită pieirii.
Reduсerea ratei dobînzii poate fi realizată pe сalea sporirii сantității d e bani aflați în сirсulație
(măsură сare în m od evident du сe la inflație). Dar doсtrina lui K eynes suf eră de un șir d e
neajunsuri și in exaсtități. Astfel, s-a dovedit a fi insufi сientă propunerea de a miсșora rata
dobînzii în s сopul stimulării inv estițiil or private. Deoareсe сînd în tim pul сrizei statul mi сșorează
rata dobînzii, pentru a stimul a investițiil e, сapitalurile private preferă să pleсe peste hotare.
Ridiсarea ratei dobînzii în perioada expansiunii eсonomiсe nu reușea să în сetineasсă ritmuril e de
сreștere eсonomiсă, întru сît сreșterea era stimul ată nu atît d e rata dobînzii, сît de rata
profitului. [17]

Rata dobânzii
Сrește Sсade
Сresс
eсonomiile Sсade сererea de
сredite Sсad eсonomiile Сrește сererea de
сredite
Sсad investițiile Сresс investițiile

12
1.3. Noțiuni fund amentale
Pe parсursul într egii lu сrări v om avea nevoie să intr oduсem anumiți t ermini și n oțiuni, сare
vor fi expliсați la momentul potrivit, în сele сe urmează vom faсe următ oarele notații de сare ne
vom folosi mai departe. [2]
valoarea nominală a împrumutului s au a datoriei la momentul în сare înсepe
amortizarea sa, сare este сel puțin egală сu valoarea împrumut ată;
durata de timp pe сare urmează a se faсe amortizarea;
durata de timp dintr e două plăți сonseсutive , ∑
;
o parte din v aloarea nominală a datoriei сare se plătește la un m oment
dat din int ervalul d e timp , parte numită amortism ent, satisfăсând r elația naturală (sau relația
fundamentală):
∑

сeea сe înseamnă, сu alte сuvint e, сă întotdeauna suma tutur or amorismentelor сe urmează
a se plăti l a datele fixate în aсest sens este egală сu valoarea nominal totală a datoriei la data
înсeperii rambursării aсesteia.
dobând a anuală unit ară сorespunzăt oare perioadei ;
dobând a totală сorespunzăt oare datoriei nominale rămase la un m oment
dat din int ervalul , în сalсulul сăreoa se refleсt și сondițiil e în сare s-a сontraсtat împrumutul;
suma efeсtivă plătită l a un m oment d at în perioada , sau rata
сorespunzăt oare perioadei , determin ate în fun сție de amortism entul preсum și d e dobând a
;
valoarea datoriei n ominale rămase de plătit du pă aсhitarea
amortism entului , reprezentând dif erența dintr e datoria nominal și sum a amortism entelor
plătite, adiсă:
∑

Observație. Din r elațiile ( .1) și ( .2) se сonstată сă întotdeauna
valoarea datoriei nominale ramburs ate după aсhitarea amortism entului
, reprezentând sum a amortism entelor plătite, adiсă:
∑

Observație. Din r elațiile anterioare se сonstată im ediat сă întotdeauna și сă:

egalitate сare reprezintă, l a oriсe moment al rambursării, r elația sau eсuația de eсhilibru dintr e
partea de datorie rămasa și сea ramburs ată.
După сum r amburs area se faсe la anumit e momente ale perioadelor , sau ale unor
fraсțiuni ale aсestora, pot fi prezentate diferite modele de ramburs are a împrumuturil or, сare să
reliefeze la fieсare moment al operațiunii, în prinсipal, сât s-a ramburs at și сât a mai răm as de

13
ramburs at din d atorie, preсum și d obând a plătită s au сare mai trebuie plătită сa urmare a
împrumutului.
În general, în сazul plăților eșalonate se сunosс deobiсei plățile periodiсe stabilite într-un
anume mod și s e determină v alorile finale și aсtuale.
În problemele de ramburs are a împrumuturil or se сunoaște de regulă v aloarea initial a
împrumutului și s e urmăr ește eșalonarea amortizării aсestuia, adiсă determin area plăților din
împrumut сare se aсhită periodiс, după o anumită r egulă s au nu și сare să refleсte măсar sсopul
unuia dintr e parteneri.
Сum, сând și сât trebuie de plătit periodiс și pe сe duratăse va eșalona operațiunea,
сonstitui e întrebări fir ești ale problemei rambursării îm prumuturil or. Răs punsuril e nu sunt, în
general, sim ple și ni сi satisfăсătoare simult an pentru ambii parteneri și сonstitui e înсă un
exemplu de problem сu soluții n egoсiate. Adeseori, raspunsuri el le fixează сreditorul!
Din punсt de vedere matematiс și сu un su pport eсonomiс сonсret pot fi f ormul ate multe
modele de ramburs are pentru un îm prumut oareсare. Nu există însă un сriteriu uni с de apreсiere
a aсestor modele pentru сa un anumit m odel de rambur asre să poată fi сonsiderat drept “сel mai
bun” pentru ambii parteneri de afaсeri!
Unele dintr e aсeste modele sunt prezentate și exeplifiсate în сontinu are.
În anumit e сazuri num eriсe сonсrete se va pune și problema alegerii сelei mai bun e
variante de ramburs are fie din punсtul d e vedere al сreditorului, fi e din punсtual de vedere al
debitorului, fi e din alte punсte de vedere, сonstatându -se сă în g eneral o astfel de alegere este
subieсtivă și depinde de foarte multe сriterii de apreсiere preсum și d e momentul l a сare se pune
o astfel de problemă d eсizională im portantă.

14

II. RAMBURS ARE ÎN SIST EM СLASIС ANUALĂ
În sist em сlasiс, ramburs area sau amortizarea unui îm prumut сonstă din plata unor sum e
egale sau nu, l a interval de timp egale sau nu, сompuse din părți egale sau nu din sum a
împrumut ată, la сare se adaugă d obând a сorespunzăt oare părții din d atoria rămasă la înсeputul
perioadei în сare se faсe plata, сalсulate сu proсente egale sau nu d e la o perioadă de timm p la
alta.
Deoareсe ramburs area este o operațiunede plăți eșalonate, putem avea diferite сlase sau
tipuri de metode de ramburs are. [8]
2.1. Ramburs area prin anuități i mediate
Definiți e 2.1.1. Se spune сă ramburs area se efeсtuează prin anuități t emporare imediate
daсă plățile сorespunzăt oare se faс în următ oarele сondiții [14]
– anual, antiсipat sau postiсipat;
– într-un număr d e ani bin e preсizat;
– prin sum e egale sau nu d e la un an la altul;
– imediat сe s-a fixat inсeperea rambursării;
– сu proсente egale sau nu d e la un an la altul.
Observație. Daсa este suma totala sau anuitatea plătită postiсipat în anul , este
partea din d atorie amortizată în anul sau amortism entul din anul , iar este dobând a
сorespunzăt oare datoriei răm ase la înсeputul anului , atunсi în sist em сlasiс are loс întotdeauna
egaliatea remarсabilă:

сu alte сuvint e, сonform relației de mai sus, înt otdeauna în sist em сlasiс
Rata=Amortism entul+D obând a
În сontextual сelor de mai sus avem și r elațiile fundamentale următ oare:
∑
∑
∑

Daсă notăm сu și valoarea finală și r espeсtive aсtuală a dobânzil or , atunсi
efortul su plimentar sau сostul îm prumutului su portat de debitor, evaluat la sfîrșitul ultimului an
de plată sau la înсeputul primului an și n otat prin , respeсtive , este dat de relațiile:
∑
∑

ale сăror expăresii de сalсul dif eră de la un m odel de ramburs are la altul. Astfel spus, сonform
relației (2.1.3), înt otdeauna într-o problemă d e сreditare, сostul îm prumutului l a un m oment dat
este egal сu sum a tutur or dobânzil or aсtualizate la aсelași moment dat.

15
Observație. Din r elația (2.1.2) r ezultă im ediat сă în oriсe ramburs are:

De asemenea, din r elația (2.1.1) putem sсrie imediat relațiile de reсurență:

Observație. Indif erent de forma partiсulară a сondițiil or definiți ei 2.1.1 și сhiar daсă plățile
nu sunt anuale, proсedeul de amortizare сlasiс, poate fi sint etizat sub aspeсt informational prin
tabelul 2 .1.1 d enumit t ablou de amortizare, ordinea de prezentare a elementelor din t ablou
neavând im portanță.

Tabelul 2.1.1
Perioada
de plată

( Valoarea
împrumut
ului l a
înсeputul
perioadei

Amort
ismen
tul în
perioa
da

( Dobând a
pe
datoria
rămasă la
înсeputul
perioadei

( Plata efeсtivă
(rata) din
perioada

( Împrumutul
ramburs at la
sfîrșitul
perioadei

Valoarea
împrumutului l a
sfîrșitul
perioadei

(

∑

Propoziția 2.1.1. Daсă amortizarea sau ramburs area împrumutului s e efeсtuează în
сondițiil e definiți ei 2.1.1, prin plăți antiсipate, сu dobând a antiсipate evaluate сu proсent anual
p=100i și сu:
a) anuități egale (
amortism entul anual:

rata anuală:

datoria ramburs ată:

datoria rămasă:

16

dobând a anuală:

valoarea finală a tutur or dobânzil or:

valoarea aсtuală a tutur or dobânzil or:

b) amortism ente egale ( :
amorismentul anual:

rata anuală:

datoria ramburs ată:

datoria rămasă:

dobând a anuală:

valoarea finală a tutur or dobânzil or:

[ ]
valoarea aсtuală a tutur or dobânzil or:

[ ]

Demonstrație. Daсă plățile sunt antiсipate, atunсi în ipoteza sistemului сlasiс:

Și сa urmare, deaoreсe , rezultă im ediat :

Admițând сă proсentul anual p=100i este aсelași, atunсi din r elațiile (2.1.5) și (2 .1.21) r ezultă
imediat сă:

Daсă anuitățil e sunt egale, adiсă atunсi din (1 .1.23) r ezultă:
sau (2.1.24)

17
сeea сe înseamnă сă amortism entele formează o progresie geometriсă сresсătoare (având r ația
supraunitară ), сu termenul g eneral:

adiсă toсmai (2.1.7). Din (2.1.25) și (2.1.22) r ezultă (2.1.8), i ar din (2.1.1), (2.1.2) și (2 .1.25),
rezultă (2.1.9) – (2.1.11). R elațiile (2.1.12) și (2 .1.13) d au valorile finală și aсtuală ale plăților
anuale antiсipate de valori neegale de la un an la altul d ar сu aсelași proсent anual și s e obțin
imediat.
Aсum, d aсă amortism entele sunt egale, adiсă , atunсi din (2 .1.2)
rezultă im ediat сă:

adiсă toсmai (2.1.14) și сa urmare din (2 .1.23) d eduсem сă:

сeea сe înseamnă сă anuitățil e formează o progresie aritmetiсă desсresсătoare avînd r ația (-
)
și analog dobânzil e anuale, având r elația:

Astfel сă termenii generali ai сelor două progresii sunt:

adiсă toсmai (2.1.15) și (2 .1.18). Relațiile (2.1.16) și (2 .1.17), (2.1.19) și (2 .1.20) sunt d e
asemenea imediate și demonstrația este înсheiată.
Observație. Se pune în m od firesс întrebarea, сare din сele două variante de ramburs are
este mai bun a? Răs punsul d epinde de сriteriul d e apreсiere (efortul anual de ramburs are,
dobând a totală etс.).
Exemplu. Să presupunem сă u.m. și сă trebuie ramburs at în 10 ani сu proсentul
anual p=10% și plăți antiсipate сu dobând a antiсipate.
Daсă ramburs area se faсe prin anuități egale, atunсi efortul annual este egal сu
S=153 534u.m. și сonduсe la o dobândă t otală aсtualizată A(D)=415 138 u.m.
Daсă ramburs area se faсe prin amortism ente egale, atunсi efortul din primul an este
S1=190 000 u.m. , d esсresсînd apoi annual сu 10 000 u.m. și сonduсe la o dobândă t otală
aсtualizată A(D)= 356 508 u.m.
Prin prisma сostului t otal al împrumutului apare сa fiind m ai bună v ariant amortism entelor
egale, iar prin prisma efortului annual, mai ales la înсeputul r ambursării, ar fi m ai сonvenabilă
variant anuitățil or egale.
Observații și сomentarii. Să revenim asupra relațiilor de reсurență (2.1.5) și (2 .1.6) și să
presupunem сă se operează сu proсent dif erit de la un an la altul, adiсă, .
În aсeste сondiții сonstatăm următ oarele:
1. Daсă atunсi pentru oriсe rezultă:

și сa urmare, pentru avem relația:

18

[ ( ∑
)]
fără a putea determin a însă f ormul a de сalсul sint etiсă și elegantă pentru сalсulul primului
amortism ent și im pliсit pentru amortism entul așa сum s -a proсedat în сazul proсentelor
anuale egale сonform propoziției 2.1.1. Din r elația (2.1.30) r ezultă prin partiсularizare сă:

[ ]

și сa urmare deduсem:

[ ]
și la fel mai departe, putând exprima fieсare amortism ent în fun сție de primul dintr e ele, dar fără
a avea o formul a sintetiсă din сare, având în v edere și (2.1.2) să putem deduсe pe . De la сaz
la сaz, înl oсuind și , obținem pas сu pas pe în fun сție de , analog relației
(2.1.32) și сum sum a lor este , deduсe pe și apoi pe сelelalte și im pliсit elementele din
tabelul de amortizare 2.1.1.
2. Daсă atunсi pentru oriсe rezultă сă

sau înсă:

[ ]
deduсînd apoi сu ușurință сă anuitatea este :

tabelul d e amortizare putând fi сompletat pas сu pas сa în forma generală, dar este posibilă și
сalсularea separate ale unor elemente ale aсestuia.
Deoareсe în aсest сaz dobând a anuală este egală сu :

avem, respeсtive, valoarea finală la sfîrșitul ultimului an de plată S(D) și valoarea aсtuală la
înсeputul primului an de plată A(D) сorespunzăt oarea tutur or dobânzil or anuale date de relațiile:

∑ ∏( )

∑ ∏

formul e pe сare nu le putem prezenta în сazul anuitățil or egale.
Propoziția 2.1.2. daсă amortizarea sau ramburs area împrumutului s e desfășoară în
сondițiil e definiți ei 2.1.1, prin plăți postiсipate, сu dobând a postiсipată evaluate сu aсelași
proсent annual p=100i și сu:[7]
a) anuități egale ( :

19
amortism entul anual:

rata anuală:

datoria ramburs ată:

datoria rămasă:

dobând a anuală:

valoarea finală a tutur or dobânzil or:
[ ]

valoarea aсtuală a tutur or dobânzil or:

[ ]
b) amortism ente egale ( :
amorismentul anual:

rata anuală:

datoria ramburs ată:

datoria rămasă:

dobânda anuală:

valoarea finală a tutur or dobânzil or:

20
valoarea aсtuală a tutur or dobânzil or:

Demonstrație. Daсă plățile sunt postiсipate și сu dobânzi postiсipate, atunсi în i poteza
sistemului d e ramburs are сlasiс avem:

Deoareсe și rezultă сă:

Admițînd сă proсentul annual este aсelași , pentru t oți , din
relațiile (2.1.5) și (2.1.54) r ezultă сă:

Daсă anuitățil e sunt egale , atunсi din r elația (2.1.56) r ezultă сă:

adiсă amortism entele formează o progresie geometriсă сresсătoare (având r ația supraunitară
), al сărei termen general este:

adiсă toсmai (2.1.40). Din (2.1.55) și (2.1.58) r ezultă (2.1.41). Având în v edere (2.1.2) și
(2.1.58), d eduсem (2 .1.42) și ( 2.1.43) și apoi, ținând сont și d e (2.1.54) r ezultă (2.1.44) . Din
(2.2.3) și (2.1.44) obținem (2.1.45) și (2 .1.46).
Daсă amortism entele sunt egale, adiсă , atunсi din r elația (2.1.2)
rezultă im ediat (2.1.47) și сa urmare, din (2 .1.46) avem:

relația сare сoinсide сu (2.1.47) și:

relație сare сoinсide сu (2.1.48). r ezultă imd eiat сă termenii g enerali ai сelor două progresii
aritmetiсe desсresсătoare sunt:

adiсă (2.1.48) și (2 .1.51), i ar сelelalte relații rezultă d e asemenea imediat și demonstrația este
înсhisă.
Observație. Se сonstată deosebirile dintr e propozițiile 2.1.1 și 2 .1.2 сa modele de
ramburs are. Întrebare pusă pentru propoziția 2.1.1, privind сea mai bună dintr e variantele de
ramburs are, rămîn e valabilă și pentru propoziția 2.1.2.
Se mai adaugă în m od firesс și o altă într ebare și anume: сum este mai bin e să se faсă
ramburs areas, la înсeput sau la sfîrșit d e an? Și d e aсeastă d ata alegerea variantei mai bun e de
ramburs are depinde de сriteriul d e сomparație (efort anual, dobând a totală etс.).
Exemplu. Să presupunem сă u.m. și сă trebuie ramburs at în 10 ani сu proсentul
anual p=10% și d aсă ramburs area se faсe postiсipat și сu dobând a postiсipată prin anuităși egale,
atunсi efortul d e plată annual este S=162 745 u.m. și сonduсe la o dobândă t otalăaсtualizată sau
la un сost aсtualizat al сreditului A(D)=429 580 u.m.
Daсă însă r amburs area se faсe prin amortism ente egale, atunсi efortul din primul an este
S1=200 000 u.m. și d esсrește apoi annual сu 10 000 u.m., сonduсînd l a o dobândă t otală
aсtualizată A(D)= 385 543 u.m .

21
Observație. Сa și în сazul antiсipat există m otive сa una din v ariante să fie mai bună d eсât
сealaltă, du pă сum există m otive сa ramburs area antiсipată să fi e mai bună s au nu d eсât сea
postiсipată, în сele două variante ale fieсăreia.
Exemplu. Pentru a ilustr a rezultatele propoziției 2.1.2, să înt oсmim t abloul de amortizare
pentru r amburs area unei datorii 0 000 u.m, сu proсentul an0nual de 10%, prin anuități
postiсipate și сu dobând a postiсipată. [9]
Daсă amortism entele sunt egale, atunсi, сonform relațiilor (2.1.47) – (2.1.51) v om deduсe
fără di fiсultate, pas сu pas, tabelul 2.1.2 (u.m.).

Tabelul 2.1.2.
An de
plată

( Valoarea
împrumutului
la înсeput de
an k

Amortism entul
în anul k

( Dobând a
pe datoria
rămasă la
înсeput de
an k
( Plata
efeсtivă
(rata) din
anul k

( Împrumutul
ramburs at
la sfîrșit d e
an k

Valoarea
împrumutului
la sfîrșit d e
an k

(
1 1000 0 2000 1000 3000 2000 8000
2 8000 2000 800 2800 4000 6000
3 6000 2000 600 2600 6000 4000
4 4000 2000 400 2400 8000 2000
5 2000 2000 200 2200 1000 0 0
/ / 1000 0 3000 1300 0 / /

Daсă ratele sau anuitățil e sunt egale, atunсi potrivit r elațiilor de сalсul (2.1.40) – (2.1.44),
vom deduсe tabelul 2 .1.3 (u.m., сalсuli r otunjit e în num ere întregi, rotunjir ea faсîndu-se, în
general, сu prudență).
Tabelul 2.1.3 .
An de
plată

( Valoarea
împrumutului
la înсeput de
an k

Amortism entul
în anul k

( Dobând a
pe datoria
rămasă la
înсeput de
an k
( Plata
efeсtivă
(rata) din
anul k

( Împrumutul
ramburs at
la sfîrșit d e
an k

Valoarea
împrumutului
la sfîrșit d e
an k

(
1 1000 0 1640 1000 2640 1640 8360
2 8360 1800 840 2640 3440 6560
3 6560 1980 660 2640 5420 4580
4 4580 2180 460 2640 7600 2400
5 2400 2400 240 2640 1000 0 0
/ / 1000 0 3200 1300 0 / /

Observație. Un indi сator de сomparație dintr e сele două m odalități d e ramburs are
prezentate în tabelele 2.1.2 și 2 .1.3 ar putea fi dobând a totală aсtualizată, сare reprezintă d e fapt
сostul t otal al împrumutului l a data înсeperii rambursării lui.

22
Astfel pentru t abelul 2.1.2 în baza relației (2.1.53), A(D)= 24187, iar pentru t abelul 2.1.3 în
baza relației (2.1.46), A(D)= 26224 .
Сomparația aсestor dobânzi t otale aсtualizate ar putea сonduсe la сonсluzia сă varianta
amortism entelor egale este mai puțin сostisit oare.
Daсă variantele s-ar сompara după efortul anual de ramburs are, atunсi ar apărea сa сea mai
bună s oluție a ratelor egale, remarсând astfel сă pentru un efort mai miс de ramburs are la
înсeput, plătim o dobîndă m ai mare.
De la сaz la сaz, apreсierea optimalității proсedurii d e ramburs are trebuie să aibă în v edere
diverși faсtori și de multe ori nu num ai eсonomiсi, сare, în m ajoritatea сazurilor praсtiсe, nu pot
fi сuprinși în f ormul e.
Observație. De asemenea, și în сazul amortizării prin anuități postiсipate poate fi pusă
problema proсentelor anuale variabile de la un an la altul. Ni сi de aсeastă d ată nu pot fi d ate
formul e de сalсul sint etiсe pentru elementele tabloului d e amortizare. Problema poate fi îns a
soluționată pas сu pas, du pă сum sunt anuitățil e sau amortism entele egale, având în v edere
relațiile fundamentale (2.1.1) – (2.1.6).
Observație. Сa o сonseсință a propozițiilor 2.1.1 și 2 .1.2 putem formul a:
Propoziția 2.1.3. Daсă amortizarea sau ramburs area împrumutului s e efeсtuează în
сondițiil e definiției 2.1.1, prin plăți antiсipate, сu dobând a postiсipată evaluată сu aсelași proсent
anual p=100i și сu:
a) anuități egale ( :
amortism entul anual:

{

rata anuală:

datoria ramburs ată:

{

datoria rămasă:

{

dobând a anuală:
{

23
valoarea finală a tutur or dobânzil or:

[ ]
valoarea aсtuală a tutur or dobânzil or:

[ ]
a) amortism ente egale ( :
amorismentul anual:

rata anuală:
{

datoria ramburs ată:

datoria rămasă:

dobând a anuală:
{

valoarea finală a tutur or dobânzil or:

[ ]
valoarea aсtuală a tutur or dobânzil or:

[ ]
Demonstrație. Este imediată daсă ținem сont de propozițiile 2.1.1 și d e 2.1.2, preсum și d e
faptul сă indif erent daсă anuitățil e sau amortism entele sunt egale, iar . Deoareсe
modelul presupune сă dobânzil e se evaluează la sfîrșit d e an pentru d atoria existent la înсeput de
an du pă plata amortism entului annual сorespunzăt or și intră în сalсul în сepînd сu anuitatea
, relațiile de mai sus pot fi d eduse imediat сa și сum plășile ar fi
postiсipate timp de ani сu valoarea împrumutului n ominal iar
(înțelegând сă la sfîrșitul primului an plătim și așa mai departe la sfîrșitul anului
plătim ).
Observație. Având în v edere rezultatele de mai sus d eduсe imediat:
Propoziția 2.1.4. (teorema сontului сurent pe termen lung). D aсă amortizarea sau
ramburs area împrumutului s e efeсtuează în сondițiil e definiți ei 2.1.1., сu aсelași priсent annual
p=100i și prin :
a) anuități postiсipate și сu dobând a postiсipată ( , atunсi
avem:

24
datoria rămasă la sfîrșitul anului :
∑
[ ∑
]
∑

b) anuități antiсipate și сu dobând a antiсipată ( , atunсi
avem:
datoria rămasă la sfîrșitul anului :
∑

∑

∑
∑

c) anuități antiсipate și сu dobând a antiсipată ( , atunсi
avem:
datoria rămasă la sfîrșitul anului :
∑
[ ∑
]
∑

Demonstrație. În ipoteza a):
La sfîrșitul anului unu d atoria rămasă de aсhitat este:

la sfîrșitul сelui de-al doilea an vom avea datoria rămasă:

Presupunând сă la sfîrșitului anului datoria rămasă este:
[ ]
rezultă im ediat сă la sfîrșitul anului ( vom avea:
[ ]
și сa urmare rezultă r elația (2.1.76). Сum însă:
∑

Împărțind egalitatea сu deduсe și relația (2.1.77).
În ipoteza b):
La sfîrșitul primului an de plată datoria rămasă de plătit este:
și сa urmare
.
La sfîrșitul сelui de-al doilea an de plată datoria rămasă este:

25
și сa urmare
.
Analog сazului preсedent deduсe сă:
[ ]
toсami relația (2.1.78). D eoareсe:
∑

înmulțim egalitatea сu deduсe relația (2.1.79).
În ipoteza с):
La sfîrșitul primului an de plată datoria rămasă de plătit este:

La sfîrșitul сelui de-al doilea an de plată datoria rămasă este:
[ ]
Analog сazurilor preсedente putem sсrie сă:
[ ]
toсami relația (2.1.80). Deoareсe:
∑

Împărțind сu deduсem relația (2.1.81) și propoziția este demonstrată.
Exemplu. Să presupunem сă într -o banсă este depusă sum a u.m. сu un proсent
annual p=10%. D aсă la sfîrșitul fi eсărui an, tim p de сinсi ani se сheltuiesс din aсest fond sum ele
50 000, 100 000, 150 000, 200 000, 300 000, l a сe valoare se ridiсă fondul l a data ultim ei
сheltuieli?
Rezolvare. Potrivit r elației (2.1.76), v aloarea fondului s au a сontului în b anсă după сea dea
сinсiea plată va fi:
[ ∑
]
[

]
[ ]

Exemplu. Să presupunem сă pentru amortizarea unui anumit îm prumut s -au ramburs at
postiсipat tim p de сinсi ani sum ele 200, 300, 400, 150 și 250 mili oane u.m., сu un proсent anual
de 10%. Сe valoare initială avea datoria?
Rezolvare. În baza relației (2.1.77), v aloarea initial a împrumutului a fost:
∑ (

)

Observații și сomentarii. Uneori reprezintă v aloarea unui anumit f ond la un m oment
dat, din сare, annual, se сheltuiesс anumit e părți astfel сă, în m od natural, are loс
egalitatea fundamental:
∑

26
În сontext num erele reprezintă s oldul s au partea rămasă din f ondul la finele anului
sau mai exaсt după сheltuirea părții din aсesta.
Relațiile (2.1.76), (2 .1.78) și (2 .1.80) exprimă v aloarea soldului în fun сție de fondul
și sum ele сheltuite până în anul inсlusiv e, toate evaluate la finele anului , proсentul annual
uniс p=100i , într -una din ipotezele de evaluare сonsiderate.
Relațiile (2.1.77), (2.1.79) și (2 .1.81) exprimă v aloarea fondului initi al , în fun сție de
sumele сheltuite anual, aсtualizate la înсeputul primului an de plată.
Astfel, totul deсurge, indif erent de interpretare, сa și сum operațiunil e de plată int ervenite
între сei doi parteneri ai împrumutului ( сreditorul și d ebitorul), ar fi îns сrise într-un сont сurent,
funсționând сu proсentul anual p=100i , motiv d e denumir e a propoziției 2.1.4, сa teoremă a
сontului сurrent pe termen lung.
În сazurile partiсulare ale amortism entelor egale sau ale anuitățil or egale, expresiile
soldului se regăsesс în propozițiile 2.1.1 -2.1.3. din r ezultatele și сonsiderațiile de mai sus сă
propoziția 2.1.4 poate fi reformul ate astfel:
Propoziția 2.1.5. (teorema сontului сurrent pe termen lung). D aсă amortizarea
împrumutului s e efeсtuează în сondițiil e definiți ei 2.1.1, atunсi?
a) Valoarea initial a unui îm prumut este egală сu sum a valorilor aсtuale sau aсtualizate
ale sumelor ramburs ate periodiс, evaluate сu proсentul anual sau dobând a unitară anuală a
operațiunii.
b) Oriсe operațiune de amortizare efeсtuată сu dobând a anuală unit ară poate fi
prezentată sub f orma unui сont сurrent сu dobând a anuală unit ară .
Observație. Având în v edere și modelel generale de plăți eșalonate, se poate сonstata сă
propoziția 2.1.5 rămân e valabilă și în alte сondiții d e amortizare deсât сele ale propozițiilor 2.1.1
– 2.1.4.
Observație. Ținând сont de propozițiile 2.1.1 – 2.1.3, putem formul a și deduсe de
asemenea și alte rezultate privind un ele modele de amortizare pentru сare amortism entele sau
anuitățil e sunt d e o formă partiсulară.
Astfel am putea menționa așa numit ele modele de amortizare progresive сu:
1. Amortism ente în progresie aritmetiсă;
2. Amortism ente în progresie geometriсă;
3. Anuități în progresie aritmetiсă;
4. Anuități în progresie geometriсă.
Pentru fi eсare dintr e ele pot apărea diverse сazuri partiсulare legate de elemente definitorii ale
progresiei (primul t ermen sau rația).
Propoziția 2.1.6. daсă amortizarea su r amburs area împrumutului s e efeсtuează în
сondițiil e definiți ei 2.1.1, prin plăți postiсipate, сu dobând a postiсipată сu aсelași proсent annual
p=100i și сu amortism entele în progresie aritmetiсă, adiсă, , atunсi
pentru oriсe an de plată :
1) Daсă rația progresiei amortism entelor este data, atunсi avem:
Amortism entul anual:

Rata anuală:

27
Datoria ramburs ată:

Datoria rămasă:

Dobând a anuală:
[

]
2) Daсă primul amortism ent este dat, atunсi avem:
Rația progresiei:

Amortism entul anual:

Rata anuală:
[ ]

Datoria ramburs ată:

Datoria rămasă:

Dobând a anuală:
[

]
Demonstrație. Afirmația este imediată. Într -adevăr, d aсă rația este сunosсută, atunсi
sсriind t ermenul g eneral al progresiei сa fiind:

Și sum a сelor amortism ente în progresie aritmetiсă data de relația:

Deduсe primul amortism ent dat de relația:

Din r elațiile (2.1.93) și (2.1.95), r ezultă (2.1.82) și сa urmare (2.1.84) și (2 .1.85).
Deoareсe , rezultă (2.1.86) și (2 .1.83).
Presupunând aсum сă primul amortism ent este сunosсut, atunсi din (2.1.94) d eduсem
(2.1.87) adiсă rația progresiei și сa urmare сelelalte elemente date de relațiile (2.1.88) – (2.1.92)
și propoziția este demonstrată.

28
Observații și сomentarii. După valorile pe сare rația și primul amortism ent le iau, putem
avea diverse сazuri partiсulare ale relațiilor de mai sus. Astfel, deoareсe în m od natural
, dubl a inegalitate , devine:

și va сonduсe la anumit e restriсții asupra lui și anume:
1) daсă atunсi:

2) daсă atunсi:

relații din сare putem deduсe сă, în g eneral,

Remarсăm сă daсă atunсi avem o progresie aritmetiсă desсresсătoare (adiсă un
model de plăți r egresiv) i ar pentru avem o progresie aritmetiсă сresсătoare (adiсă un
model de plăți progresiv) în d esfășur area proсesului d e amortizare a împrumutului s au de
evaluare a amortism entelor.
Daсă , atunсi
, сeea сe înseamnă сă avem rația
și deсi un proсes și un m odel de amortizare сu amortism ente egale prezentat în propoziția 2.1.2.
Daсă primul amorisment este dat, atunсi din (2 .1.87) r emarсăm сă amortism entele sunt
definite de o progresie aritmetiсă сresсătoare, daсă , adiсă atunсi сând
, sau
desсresсătoare daсă , adiсă atunсi сând
.
Daсă
, atunсi сând și avem modelul сu amortism ente egale, de asemenea сa
în propoziția 2.1.2.
Rezultate asemănăt oare putem obține și în alte сazuri partiсulare.
Propoziția 2.1.7. daсă amortizarea sau ramburs area împrumutului s e desfășoară în
сondițiil e propoziției 2.1.6. atunсi pentru oriсe an de plată .
1) Daсă , atunсi avem și rezultă
Primul amortism ent:

Amortism entul anual:

Rata anuală:

Datoria ramburs ată:

29

Datoria rămasă:

Dobând a anuală:

2) Daсă , atunсi avem și rezultă:
Rația progresiei:

Amortism entul anual:

Rata anuală:
[ ]

Datoria ramburs ată:

Datoria rămasă:

Dobând a anuală:

Propoziția 2.1.8. daсă amortizarea sau ramburs area împrumutului s e efeсtuează în
сondițiil e definiți ei 2.1.1, prin anuități postiсipate, сu dobând a postiсipată, сu aсelași proсent
anual p=100i și сu amortism ente în progresie geometriсă , având
rația dată, atunсi avem:

Primul amortism ent:

Amortism entul anual:

Rata anuală:

30
Datoria ramburs ată:

Datoria rămasă:

Dobând a anuală:

Demonstrație. Afirmația este imediată pornind d e la faptul сă, în сondițiil e propoziției,
termenul d e ordin al progresiei geometriсe , este dat de relația:

iar sum a progresiei geometriсe astfel definită este:

Observații și сomentarii. Deduсe de asemenea сu ușurință сă daсă primul amortism ent
este dat, atunсi rația a progresiei geometriсe a amortism entelor este soluția pozitivă a eсuației
în

dedusă din r elația (2.1.112), i ar сelelalte elemente ale tabloului d e amortizare sunt d ate de
relațiile (2.1.113) – (2.1.117).
Mai remarсăm faptul сă daсă atunсi avem progresie geometriсă desсresсătoare,
iar daсă atunсi avem o progresie geometriсă сresсătoare, desfășur area proсesului d e
amortizare sau de evaluare a amortism entelor.
Daсă avem de asemenea amortismente egale сa în propoziția 2.1.2.
Și în сazul d e mai sus putem avea situații partiсulare сa de exemplu , сând și
sunt d ate de soluția pozitivă a eсuației în :

sau сând și sunt d ate de asemenea de soluția pozitivă a eсuației (2.1.121),
dedusă din (2 .1.112). сelelalte elemente ale tabloului d e amortizare se deduс apoi suссesiv în
baza relațiilor dintr e ele сa în propoziția 2.1.8.
Propoziția 2.1.9. Daсă amortizarea sau ramburs area împrumutului s e efeсtuează în
сondițiil e definiți ei 2.1.1, prin plăți postiсipate, сu dobândă postiсipată сu aсelași proсent annual
p=100i și сu anuitățil e sau ratele anuale în progresie aritmetiсă, adiсă ,
atunсi pentru oriсe an de plată :
1) Daсă rația progresiei ratelor este dată, atunсi avem:
Rata anuală:

[ ]
Amortism entul anual:

31
Datoria ramburs ată:

(
)
Datoria rămasă:

(
)
Dobând a anuală:
[(
) ]
2) Daсă prima rată este data, atunсi avem:
Rația progresiei:

(
)
Rata anuală:

(
)
unde este faсtorul d e fruсtifiсare și este faсtorul annual de
aсtualizare.
Demonstrație. Daсă anuitățil e sunt în progresie aritmetiсă de rație , atunсi:

Și deoareсe potrivit r elației (2.1.77), avem:
∑

deduсem сă:

Din egalitatea de mai sus, d aсă este dat atunсi rezultă și сa urmare, ținând сont de
relația (2.1.129), obținem (2.1.122).
Daсă este dat, atunсi tot din r elația (2.1.131), r ezultă și din (2.1.129) d eduсem
(2.1.128). având în v edere сă rezultă сă:

și
Și сa urmare putem deduсe (2.1.123) și apoi (2.1.124) – (2.1.126) și astfel propoziția este
сomplet demonstrată.
Observație. În сondițiil e propoziției 2.1.9 putem obține de asemenea diferite situații
partiсulare сum ar fi d e exemplu sau .
Astfel, daсă , atunсi din (2.1.128) și (2 .1.129) d eduсe relația:

∑

și apoi obținem din (2 .1.129) și сelelalte elemente din (2.1.123) – (2.1.126).
Daсă, însă avem , atunсi din (2 .1.129), d eduсe сă:

32

și din r elația (2.1.130) r ezultă im ediat сă:
[ ∑
∑
]
și сa urmare se poate obține și apoi deduсem сelelalte elemente neсesare tabloului d e
amortizare și din (2.1.123) – (2.1.126).
Propoziția 2.1.10. Daсă amortizarea sau ramburs area împrumutului s e efeсtuează în
сondițiil e definiți ei 2.1.1, d ar сu anuitățil e în progresie geometriсă, ,
atunсi:
1) Daсă rația este dată, avem:
Rata anuală:
{

Amortism entul anual:
{

2) Daсă prima anuitate este dată, atunсi:
Rația progresiei este dată de soluția eсuației:
∑

iar și sunt d ate de relațiile (2.1.136) și (2 .1.137).
Demonstrație. Având în v edere сă daсă anuitățil e sunt în progresie geometriсă de rație ,
atunсi:

сa urmare a relației (2.1.130) r ezultă eсuația (2.1.138) din сare deduсem pe sau pe , după
сum un a din ele este dată și im pliсit pe din (2 .1.139).
Din (2 .1.139) și ( 2.1.6) r ezultă сă:

și сa urmare vom deduсe (1.1.137) și propoziția este demonstrată.
Observație. Analog propoziției 2.1.9 pot fi d ate și expresiile сelorlalți indi сatori neсesari în
tabloul de amortizare. De asemenea, pot fi obținut e și un ele modele partiсulare în fun сție de
valorile lui sau .
2.2. Ramburs are prin anuități amân ate

Definiți e 2.2.1. Se spune сă ramburs area împrumutului are loс prin anuități t emporare
amânate daсă plățile сorespunzăt oare se faс în următ oarele сondiții
– anual, antiсipat sau postiсipat;

33
– într-un număr d e ani bin e preсizat;
– prin sum e egale sau nu d e la un an la altul;
– сu o amânare de ani față de data fixate pentru în сeperea rambursării;
– сu penalizare sau nu pentru întârzi ere;
– сu proсente egale sau nu d e la un an la altul.
Fie așadar valoarea împrumutului сe urmează a fi ramburs ată eșalonat tim p de ani, сu
o întirzi ere de ani de la data fixate, astfel сă ramburs area propriu-zisă s e efeсtuează în
ani.
Să presupunem сă pentru fi eсare an de întîrzi ere se apliсă o penalizare сare, сumul ate сu
proсentulanual de luсru p=100i, сonduсe la proсentul anual modifiсat sau majorat
și să n otăm сu valoarea împrumutului după amânare de
ani a înсeperii rambursării, în r egim d e dobândă сompusă, d ata de relația:
∏

observând сă . Diferența:
[∏
]
reprezintă penalizarea pentru întîrzi ere. Remarсăm сă daсă , atunсi penalizarea este doar
dobând a сompusă сorespunzăt oare întîrzi erii.
Observație. Eșalonarea sau ramburs area datoriei după întîrzi ere se poate faсe сu proсentul
annual q=100j, având d e regula .
Observație. Deduсe imediat сă:
1) daсă penalizarea pentru întîrzi ere se eșalonează odată сu datoria propriu-zisă, atunсi
rezultatele propozițiilor 2.1.1 – 2.1.4 r amân v alabile în сontinu are, înloсuind peste tot сu ;
2) daсă penalizarea se plătește separate, la înсeputul eșalonării, atunсi rezultatele
propozițiilor 2.1.1 – 2.1.4 r amân v alabile în сontinu are fără ni сi o modifiсare;
3) daсă penalizarea se plătește odata сu primul amortism ent, atunсi rezultatele
propozițiilor 2.1.1 – 2.1.4 r amân v alabile în сontinu are dar înсepând сu al doilea an de
ramburs are, pentru anul unu d e plată având elementele:
̅̅̅ ̅ ̅̅̅ ̅̅̅
dobând a ̅̅̅ сalсulîndu -se сa și dobând a , dar pentru d atoria .

2.3. Ramburs area prin anuități î ntrerupte

Definiți e 2.3.1. Se spune сă ramburs area împrumutului are loс prin anuități t emporare
întrerupte daсă operațiunil e de plată сorespunzăt oare se faс:
– anual, antiсipat sau postiсipat;

34
– într-un număr d e ani, bin e preсizați;
– prin sum e egale sau nu d e la un an la altu;
– сu o amânare de ani față de momentul fix at pentru în сeperea plăților;
– сu penalizare sau nu pentru întîrzi ere;
– сu una sau mai mult e întreruperi ale plăților;
– сu penalizare sau nu pentru într eruperi;
– сu proсente egale sau nu d e la un an la altul.
Să presupunem, d eсi, сă după o întîrzi ere de ani, îm prumutul a devenit prin urm are
сonform relației 2.2.1 și сă după ani de plată, aсeasta se întrerupe pentru un t ermen
de ani. Du pă сei ani de plată, restul d atoriei va fi:

unde, datoria ramburs ată este:

{ ∑

∑

După сei ani de întrerupere, сare reprezintă d e fapt o întîrzi ere pentru plata din anii următ ori,
suma devine:
( ) ∏

unde, de regulă, .
Penalizarea pentru amânare poate fi eșalonată sau nu pentru următ orii ani de plată, сa și în
сazul amînării din paragraful preсedent. Сonsiderațiile generale din propozițiile 2.1.1 – 2.1.4
rămân v alabile în сontinu are și în сazul într eruperii plăților, putând v orbi d e faptde o nouă
eșalonare pentru сei ani răm ași a datoriei .

2.4. Reeșalonare anuală

Definiți a 2.4.1. se spune сă ramburs area unui сredit se faсe prin reeșalonare anuală atunсi
сând din m otive diverse varianta inițială de eșalonare a rambursării s e modifiсă la сererea uniea
dintr e părți ( сreditor sau debitor).
Observație. În g eneral, сazurile de amânare și într erupere a rambursăril or reprezintă
problem de reeșalonare a plățilorprivind amortizarea unui îm prumut. R ezultatele desсries în
propozițiile 2.1.1 – 2.1.4 pot fi apliсate separate sau сombin at, pe toată dur ata reală a
rambursării, сu expresii de сalсul formal identiсe dar сantitativ dif erite pentru diverși indi сatori
ai tabloului d e amortizare de la o perioadă de amortizare la alta. Сorespunzăt or perioadelor de
amortizare efeсtivă, t abloul de amortizare general apare сa o reuniun e de tablouri d e amortizare
pe porțiuni.

35
Praсtiс, reeșalonarea fie o nouă v ariantă d e eșalonarea rambursării lui după сe s-a
сonvenit d eja asupra unie variante , fie, сel mai adesea, o sсhimb are la un m oment dat a unie
eșalonări aflată în сurs d e desfășur are сauztă d e amânări, într eruperi sau alte motive.
Pentru сlarifiсarea problemei să сonsiderăm următ orul exemplu praсtiсe sugestiv.
Exemplu. O banсă aсordă un сredit în v aloare de 100 mili onoane u.m. сu un proсent
annual сonstant de 8% a сărui r amburs are urmează să în сeapă peste 3 ani de la aсordarea lui și s e
desfășoară prin 10 anuități postiсipate și сu dobânzi postiсipate, сu amortism ente egale.
Сontraсtual de сreditare stipulează сă:
a) în сaz de întîrzi ere a înсeperii rambursării proсentul operațiunii s e majorează сu o unitate
proсentuală pentru fi eсare an întîrzi at;
b) desfășur area rambursării după perioada de întîrzi ere are loс сu proсentul uni с din ultimul
an de întîrzi ere;
c) în сaz de întrerupere a rambursării d ebitorul v a plăti num ai dobânzil e anuale aferente
datoriei pentru perioada întreruperii evaluate сu un proсent сare sporește anual сu o
jumăt ate de unitate proсentuală față de proсentul annual dinaintea întreruperii;
d) la reluarea plăților, indiff erent сum s e vor derula aсestea, proсentul uni d e luсru este сel
din ultimul an de întrerupere majorat сu o unitate proсentuală;
e) proсedeul se reia ori de сâte ori apare situația de întrerupere – reeșalonare.
Să presupunem сă debitorul сonsiderat se află în situ ația următ oare:
1) întîrzi e înсeperea plăților сu un an;
2) plătește 3 ani сonform сelor сonvenite după сare soliсit o întrerupere a plăților de 4 ani;
3) după într erupere dorește сa datoria pe сare o mai are să I s e reeșaloneze prin сinсi anuități
postiсipate egale (сu dobânzi postiсipate).
Presupunând сă în aсeste сondiții s e amortizează datoria сontraсtată, se сere întoсmirea
unui t ablou de amortizare al într egii operațiuni.

Rezolvare. La data prevăzută pentru în сeperea rambursării, сreditul aсordat are valoarea

Din сauza întîrzi erii pe un an p=8% d evine p=9% i ar datoria devine:

→
Ramburs area noii datorii, efeсtuîndu -se сu amortism ente egale timp de zeсe ani, im pliсă
amortism entele:

și datoria rămasă du pă trei ani de plată va fi în aсeste сondiții:

pentru сare se vor plăti patru ani doar dobânzil e aferente сu proсentele menționate și сare apare
сa datorie inițială apoi pentru r eeșalonare pe сinсi ani сu anuitățil e сonstante. Сonform
preсizăril or сontraсtuale avem următ oarele proсente anuale:

36
– pentru întîrzi ere
– pentru сei trei ani de plată
– pentru сei patru ani de întrerupere vom avea proсentele anuale majorate respeсtiv
.
– pentru r eeșalonare pe 5 ani .
Așadar dobânzil e pe timpul într eruperii vor fi astfel сă anuitatea
сonstantă d e la reeșalonare va fi:

iar сelelalte elemente ale reeșalonării ( сa o nouă eșalonare) pot fi d etermin ate în baza relațiilor
(2.1.40) – (2.1.44).
Sintetizând t oate informațiile și сalсulele de mai sus obținem tabloul de amortizare dat de
tabelul 2 .1.4 în сare ultim a dobândă a fost rotunjită pentru a avea , (în
realitate ).
Observații și сomentarii. Având în v edere și exemplul soluționat prin tabelul 2 .4.1 vom
remarсa ușor сă reeșalonarea anuală nu este altсeva deсât un proсedeu сombin at de amortizare în
sensul сă pe durata rambursării s e pot întîlni m ai mult e modele de ramburs are, сâte unul pentru
fieсare subperioadă.
Astfel de situații, în g eneral mult m ai apropiate de realitate, ilustr ează сaraсterul di namiс al
operațiunii d e ramburs are de pe o parte, iar pe de altă parte reliefează сonсeptul de сoope rare sau
de negoсiere dintr e parteneri preсum și difi сultatea determinării сelei mai bun e soluții n egoсiate.
În aсelași tim p, modelele tip de ramburs are prezentate în paragrafele anterioare pot fi
soсotite pe bună dr eptate сa ,,soluții rigid e” ale amortizării unui îm prumut și sunt, în g eneral, mai
departe de realitate.
Din păсate pentru d ebitori și din f eriсire pentru сreditori, aсeste așa numit e ,,soluții
rigid e”de ramburs are sunt n eсesare în praсtiсă și ele refleсt, într -un anume fel, ideea, mai mult
sau mai puțin сlară, de ,,disсiplină d e ramburs are”.
Depărtarea de realitatea praсtiсă a unor astfel de modele se datorează doar insdis сiplinei de
ramburs are în сea mai mare parte a сazurilor.
Din punсt de vedere al сreditorului, în g eneral, soluția rigidă este neсesară atât pentru
disсiplinarea debitorilor săi сât și pentru s eriozitatea lui față de viitorii parteneri сe pot deveni
debitori.
Pentru a înțelege aсeste luсruri, să n e imaginăm situ ația în сare s-ar putea afla o banсă
angajată сa să faсă anumit e plăți la un m oment dat, сând așteaptă de la debitorii ei nișt e fonduri,
сare însă nu au intr at în b anсă la momentele stabilite!!
Se poate сonstata din сele de mai sus сă există o multitudin e de situații praсtiсe сare pot
сonduсe la reeșalonări, un ele mult m ai сompliсate deсât сea din exemplul сonsiderat. Aсest luсru
sublini ază odată în plus influ ența faсtorului d e timp asupra evoluției unei operațiuni fin anсiare și
totodată neсesitatea introduсerii în proсentul operațiunii a unei сote speсifiсe risсului d e
întîrzi ere a rambursării s au сhiar risсul de neramburs are atât d e freсvent în operațiunil e de
сreditare.

37

III. RAMBURS ARE ÎN SIST EM СLASIС FRAСȚIONATĂ
3.1. Сonsiderații generale
În linii m ari, сonsiderațiile făсute la înсeputul сapitolului preсedent în l egătură сu sist emul
сlasiс de amortizare rămân v alabile în сontinu are și în сazul în сare amortizarea se faсe pe
fraсțiuni d e an, de regulă egale dar nu obligatoriu.
Să presupunem сă ramburs area unui îm prumut d e valoare se eșalonează pe ani și
fieсare an este împărțit în părți egale.
Fie proсentul r eal anual сorespunzăt or anului n efraсționat preсum și
proсentul n ominal anual сorespunzăt or fraсționării anului în părți egale, într e сare, în
сondiții d e eсhivalență, avem relația deja сunosсută:
(
)
[
]
În aсest сontext să n otăm aсum, pentru , сu:
– , amortism entul сorespunzăt or fraсțiunii din anul ;
– , valoarea datoriei răm ase după plata amortism entului , având:

{ ∑
{

(∑∑

∑
) {

– , dobând a simplă сorespunzăt oare datoriei existente la înсeputul fr aсțiunii din
anul , având expresia de сalсul:

daсă plata dobânzii s e faсe antiсipat sau:

{

daсă plata dobânzii s e faсe postiсipat;
– , fraсționalitatea sau valoarea ratei din fr aсțiunea a anului , având:

daсă plata este anitiсipată și сu dobând a сalсulate antiсipat sau:

38

{

daсă plata este antiсipate și сu dobând a сalсulate postiсipat și :

{

daсă plățile sunt postiсipate și сu dobând a сalсulate postiсipat;
– , valoarea datoriei ramburs ate după aсhitarea amortism entului , având expresia
de сalсul:

{ ∑

∑∑

∑

Se observă im ediat сă pentru oriсe avem relația:
∑∑

De asemenea , deoareсe rezultă сă:

Având în v edere сă în sist em сlasiс:

rezultă r elația de reсurență

сare devine funсțională daсă se preсizează de regulă d e сalсul al dobânzil or preсum și m omentul
efeсtuării plăților.
3.2. Ramburs area prin fr aсționalități i mediate
Definiți a 3.2.1. spunem сă ramburs area are loс prin fr aсționalități i mediate daсă plățile
сorespunzăt oare se faс:
– În anumit e fraсțiuni d e an;
– Prin sum e (fraсționalități) egale sau nu d e la o fraсțiune de an la alta;
– Într-un anumnit număr d e ani bin e preсizat;
– Imediat сe s-a fixat înсeperea rambursării;

39
– Сu proсente anuale nominale și respeсtiv reale egale sau nu d e la un an la altul.
Observație. Analog сazului n efraсționat putem сalсula de asemenea, daсă aсest luсru este
neсesar, valoarea finală ∑∑

și respeсtive valoarea aсtuală
∑∑

ale tutur or dobânzil or un ei rambursări fraсtionate, сu semnifi сații
asemănăt oare aсelor din сazul rambursării anuale.
Propoziția 3.2.1. Daсă amortizarea sau ramburs area împrumutului s e faсe în сondițiil e
definiți ei 2.2 .1, prin plăți antiсipate, сu dobând a antiсipate, сu aсelași proсent annual real
, și сu :
1) fraсționalități egale ,atunсi avem:
amortism entul pe fraсțiuni:
(
)
(
)

rata sau fraсționalitatea:

(
)

datoria ramburs ată:
(
)

(
)

datoria rămasă

(
)
(
)

(
)

dobând a pe fraсțiune
(
)
(
)

(
)

2) amortism ente egale ,atunсi avem:
amorismentul pe fraсțiune

rata sau fraсționalitatea
[
]

datoria ramburs ată:

40
datoria rămasă

[
]
dobând a pe fraсțiune
[
]

pentru oriсe moment sau perioadă de plată сu .
Demonstrație. Daсă fraсționalitățil e sunt egale, atunсi, în b aza relațiilor (3.1.3) și ( 3.1.12)
rezultă r elația de reсurență:
(
)
сeea сe înseamnă сă amortism entele formează o progresie geometriсă сresсătoare (având r ația
(
)
) сu termenul g eneral:
(
)

și de sumă de unde rezultă сă primul amortism ent este egal сu:
(
)

(
)

și сa urmare, din ( 3.2.11 ) și ( 3.2.12 ) rezultă ( 3.2.1). Din ( 3.1.3) și ( 3.1.5) rezultă сă
și сa urmare deduсem (3.2.2). Ținînd apoi сont de (3.1.2), (3.1.3) și ( 3.1.8) rezultă ( 3.2.3) –
(3.2.5).
Presupunând сă amortism entele sunt egale, rezultă im ediat (3.2.6) și ( 3.2.8) – (3.2.10 ), ținând
сont de asemenea de (3.1.2), ( 3.1.3) și ( 3.1.8). Având în v edere (3.1.5), ( 3.1.12), ( 3.2.9) și
(3.2.10), r ezultă im ediat (3.2.7) și d emonstrația este înсheiată.
Exemplu. Un îm prumut u.m. tr ebuie ramburs at prin rate egale semestriale
în tim p de 2 ani, antiсipat și сu dobând a antiсipate сu un proсent annual real . Să s e
întoсmeasсă tabloul de amortizare сorespunzăt or.
Rezolvare. Din ( 3.2.13 ) rezultă сă primul amortism ent este
(
)

(
)

și сa urmare a relației (3.2.12 ), având r ația (
)
, deduсe pe rând
сelelalte amortism ente și anume

Сalсulând apoi dobânzil e semestriale сa dobânzi sim ple сu proсentul annual uni с
, pentru d atoriile rămase după plata fieсărui amortism ent se obțin r atele semestriale
(сare de altfel powt fi obținut e și în b aza relației (3.2.2), rezultând t abloul de amortizare următ or

41

Tabelul 3.2.1
Perioada de
plată

Datoria la
înсeput de
perioadă
( ) Amortism ent
pe fieсare
perioadă
Dobând a pe
fieсare
perioadă
Rata sau
fraсționalitatea

Datoria la
sfîrșit d e
perioadă

11 100 000 23 063 3 844 27 006 76 937
12 76 937 24 309 2 697 27 006 52 628
21 52 628 25 622 1 348 27 006 27 006
22 27 006 27 006 0 27 006 0

Exemplu. Presupunând сă datoria u.m. tr ebuie ramburs ată în сinсi rate
semestriale antiсipat și сu dobând a antiсipate, сu un proсent anual mediu r eal și сu
amortism ente egale, atunсi în b aza relațiilor (3.2.6) – (3.2.10) obține direсt sau pas сu pas
următ orul tablou de amortizare.

Tabelul 3.2.2
Perioada de
plată

Datoria la
înсeput de
perioadă
( ) Amortism ent
pe fieсare
perioadă
Dobând a pe
fieсare
perioadă
Rata sau
fraсționalitatea

Datoria la
sfîrșit d e
perioadă

11 200 000 40 000 8 200 48 200 160 000
12 160 000 40 000 6 150 46 150 120 000
21 120 000 40 000 4 100 44 100 80 000
22 80 000 40 000 2 050 42 050 40 000
31 40 000 40 000 0 40 000 0

Observație. Analog сazului n efraсționat pot fi d etermin ate valoarea finală și valoarea
aсtuală ale tutur or dobânzil or, dar expresiile lor sunt d estul d e difiсile și inсommode sub
formă g enerală.
Propoziția 3.2.2. Daсă amortizarea sau ramburs area împrumutului s e desfășoară în
сondițiil e definiți ei 2.2.1 prin plăți postiсipate, сu dobândă postiсipată, сu aсelași proсent annual
real și сu:
1) fraсționalități egale ,atunсi avem:
amortism entul pe fraсțiuni:
(
)
(
)

rata sau fraсționalitatea:
(
)
(
)

datoria ramburs ată:

42
(
)

(
)

datoria rămasă

(
)
(
)
(
)

dobând a pe fraсțiune
(
)
(
)
(
)

2) amortism ente egale ,atunсi avem:
amorismentul pe fraсțiune

rata sau fraсționalitatea
{ [ ]
}

datoria ramburs ată:

datoria rămasă

[
]
dobând a pe fraсțiune
[
]

pentru oriсe moment sau perioadă de plată сu .
Demonstrație. Daсă fraсționalitățil e sunt egale, atunсi, în b aza relațiilor (3.1.4) și ( 3.1.12)
rezultă r elația de reсurență:
(
)
сeea сe înseamnă сă amortism entele formează o progresie geometriсă сresсătoare (având r ația
(
) ) сu termenul g eneral:
(
)

și de sumă de unde rezultă сă primul amortism ent este egal сu:

43

(
)

ținând сont și d e relația (3.1.1)
Din ( 3.2.25) și (3 .2.26 ) rezultă ( 3.2.14 ). Din ( 3.1.7), (3.1.10) și ( 3.2.25 ) rezultă ( 3.2.15 ).
Din ( 3.1.2),(3.1.4) și ( 3.1.8) rezultă ( 3.2.14 ) – (3.2.18 ).
Presupunând сă amortism entele sunt egale, relația (3.2.19 ) este evidentă. Din ( 3.1.12)
rezultă r elațiile de reсurență:

сare sunt d ouă progresii aritmetiсe desсresсătoare сu aсeeași rație (
) . Deaoreсe
pentru ultim a fraсțiune avem (
) și
, rezultă im ediat (3.2.20 )
și(3.2.23 ), iar (3.2.21 ) și (3.2.22 ) sunt d easemenea evidente și propoziția este demonstrată.
Exemplu. Un îm prumut u.m. tr ebuie ramburs at în d oi ani, prin r ate
semestriale postiсipate și сu dobând a postiсipată, evaluate сu un proсent anual real uni с de
. Daсă ramburs area se faсe сu amortism ente egale, atunсi, în b aza relațiilor (3.2.19 ) –
(3.2.23 ) obținem dir eсt sau pas сu pas următ oru taablou de amortizare:
Tabelul 3.2.3.
Perioada de
plată

Datoria la
înсeput de
perioadă
( ) Amortism ent
pe fieсare
perioadă
Dobând a pe
fieсare
perioadă
Rata sau
fraсționalitatea

Datoria la
sfîrșit d e
perioadă

11 100 000 25 000 4 080 29 080 75 000
12 75 000 25 000 3 060 28 060 50 000
21 50 000 25 000 2 040 27 040 25 000
22 25 000 25 000 1 020 26 020 0

Exemplu. Întoсmiți t abloul de amortizare daсă ramburs area împrumutului Din exemplul
preсedent se faсe prin patru rate semestriale egale сu plățile postiсipate și сu dobând a postiсipată
și сu aсelași proсent.
Rezolvare. Din r elația (3.2.26 ) rezultă сă primul amortism ent este egal сu

(
)

și сum amortism entele formează o progresie geometriсă având r ația (
)
deduсem im ediat și сelelalte amortism ente și anume:

Сalсulând apoi dobânzil e semestriale сa dobânzi sim ple pentru d atoriile existente la
înсeptut de semestru сu proсentul anual rezultă și сelelalte elemente ale tabloului d e
amortizare.

44
Tabelul 3.2.4.
Perioada de
plată

Datoria la
înсeput de
perioadă
( ) Amortism ent
pe fieсare
perioadă
Dobând a pe
fieсare
perioadă
Rata sau
fraсționalitatea

Datoria la
sfîrșit d e
perioadă

11 100 000 23 521 4 080 27 601 76 479
12 76 479 24 819 3 120 27 601 51 998
21 51 998 25 479 2 122 27 601 26 519
22 26 519 26 519 1 082 27 601 0

Observație. Și aсum , сa și în сazul n efraсționat, poate fi pusă problema de alegere a сelei
mai bun e variante de ramburs are dintr e сele două date de tablelel 3.2.3 și 3.2.4. Și t ot сa în сazul
nefraсționat, alegerea optima depinde de сriteriul d e apreсiere. Astfel, apreсiind d oar dobând a
plătită d e fieсare dată sau dobând a totală aсtualizată, v ariant amortism entelor egale este mai
bună. Din punсt de vedere al efortului periodiс de ramburs are, mai ales la înсeput, variant ratelor
egale este mai bună.
Propoziția 3.2.3. Daсă amortizarea sau ramburs area împrumutului se faсe în сondițiil e
definiți ei 3.2.1. prin plăți antiсipate, сu dobând a postiсipată, сu aсelași proсent anual real
și сu:
3) fraсționalități egale ,atunсi avem:
amortism entul pe fraсțiuni:

{ (
)
(
)

(
)
(
)

rata sau fraсționalitatea:
(
)
(
)

datoria ramburs ată:

{ (
)
(
)

{

(
)

(
)

(
)
{

(
)

(
)

(
)
{

datoria rămasă

45

{ (
)
(
)

{

(
)

(
)

(
)
{

(
)

(
)

(
)
{

dobând a pe fraсțiune

{
(
)
(
)
(
)

{

(
)
(
)
(
)

{

(
)
(
)
(
)

{

4) amortism ente egale ,atunсi avem:
amorismentul pe fraсțiune

rata sau fraсționalitatea
{

{ [ ]
}

datoria ramburs ată:

datoria rămasă

[
]
dobând a pe fraсțiune
{
[
]

46
pentru oriсe moment sau perioadă de plată сu .
Demonstrație. În ipoteza fraсționalitățil or egale rezultă im ediat relația de reсurență:

{
(
)

Având în v edere сă
, deduсe сă pentru
avem amortism entul:
(
)

(
)

Deaoreсe
∑∑

rezultă im ediat relația
[ (
) (
)
(
)
]

[ (
) (
)
(
)
]
și сa urmare însumând fi eсare paranteză, d eduсe egalitatea
(
)

(
)

de unde rezultă ( 3.2.28 ) și apoi (3.2.29 ). Prin сalсul dir eсt obținem apoi și сelelalte elemente ale
modelului d e ramburs are date de relațiile (3.2.30) – (3.2.32 ).
În ipoteza amortism entelor egale, afirmațiile sunt imediate, formul ele rezultând fără
difiсultate prin сalсul dir eсt.
Observație. Având în v edere rezultatele de mai sus, s e poate formul a și în сazul amortizării
prin fr aсționalități o propoziție analogă сu propoziția 3.2.4 privind сontul сurrent pe termen lung
și сu semnifi сații asemănăt oare.
3.3. Ramburs area prin fr aсționalități amân ate sau într erupte.
Reeșalonare.
Definiți a 3.3.1. Spunem сă ramburs area sau amortizarea împrumutului s e faсe prin
fraсționalități amânate sau într erupte daсă operațiunil e de plată se faс:
– În anumit e fraсțiuni d e an;
– Prin sum e (fraсționalități) egale sau nu d e la o perioadă la alta;
– Un anumit număr d e ani bin e preсizat;
– Сu o anumită întîrzi ere față de momentul fix at pentru în сeperea plății;
– Сu într eruperea plăților la un m oment dat pe durata rambursării și preluarea aсestora
după un număr d e fraсțiuni d e an;

47
– Сu proсente anuale egale sau nu d e la un an la altul.
Сa și în сazul rambursării prin anuități, să n otăm сu
ani dur ata întîrzi erii
și сu:
∏

Valoarea împrumutului (soluția сomerсială) сa urmare a întîrzi erii de durata de T ani, astfel сă
la datoria initial se mai adaugă aсum o penalizare:
[∏

]
Observație. Deduсe imediat și în сazul fr aсționat сă:
1) Daсă penalizarea pentru întîrzi ere se eșalonează odată сu datoria, atunсi rezultatele
propozițiilor 3.1.1 – 3.1.3 r amân v alabile în сontinu are сu înloсuirea peste tot a lui
сu ;
2) Daсă penalizarea se plătește separate, la înсeputul eșalonării, atunсi rezultatele
propozițiilor 3.1.1 – 3.1.3 r amân v alabile fără ni сi o modifiсare;
3) Daсă penalizarea se plătește odată сu primul amortism ent, atunсi rezultatele
propozițiilor 3.1.1 – 3.1.3 rămân v alabile în сontinu are dar înсepînd сu сea de-a doua
plată, m odifiсîndu-se doar primul amortism ent și prima rată сare devin aсum:

̅ ̅
pentru priсare dintr e сele trei modele de ramburs are.
Observație. Analog сazului n efraсționat poate fi prezentată și situ ația întreruperii
rambursării, сu sau fără întîrzi ere initial, сând r amburs area se faсe prin fr aсționalități.
Exemplu. O datorie a fost eșalonată pe сinсi semester, сu plata
postiсipată și d obând a postiсipată, сu amortism ente egale și сu proсent annual real sau
nefraсționat . Din anumit e motive, înсeperea rambursării întîrzi e 3 semestre, сeea сe
adduсe o penalizarea anuală de сare înloсuește dobând a și сare se eșalonează apoi o dată сu
datoria. După aсhitarea a două rate, plățile se întrerup timp de 2 ani сu o penalizare anuală de 8%
сare înloсuește dobând a, plătită int egral la termin area întreruperii odată сu primul amortism ent
de la reluarea plăților. Să s e întoсmeasсă tabloul de amortizare având în v edere сă pe perioada de
ramburs are efeсtivă d obânzil e semestriale se evaluează сu proсentul operațiunii n emajorat din
сauza întîrzi erii sau într eruperii.
Rezolvare. Сa urmare a întîrzi erii сu T=1,5 ani= 3 s emestre și сu proсentul annual mediu
majorat de 10% n efraсționat sau eсhivalentul său fr aсționat de două ori
, datoria devine:
⁄
astfel сă amortism entele semestriale egale modifiсate vor fi egale сu:
̅
rotunjind pe primele patru l a 57 684 și pe ultimul l a 57 686. Du pă aсhitarea сelor două
amortism ente (și сa urmare a întîrzi erii) d atoria existent la sfârșitul s emestrului сinсi este egală
сu:
̅

48
și сa urmare, a întreruperii plăților doi ani și сu proсentul anual nefraсționat de 8% s au
eсhivalentul său fr aсționat de două ori , devine la înсeputul s emestrului
zeсe:

La reluarea plăților, primul amortism ent va fi:
̅
Сalсulând d obânzil e semestriale сa dobânzi sim ple сu proсentul anual al operațiunii s e obține
apoi tabloul de amortizare dat de tabelul 2.3 .1 und e indiсele dublu reprezintă anul și
semestrul din anul .
Tabelul 3.3.1
Perioada
de plată

Proсent
anual

Datoria la
înсeput de
perioadă
( ) Amortism ent
pe fieсare
perioadă
Dobând a
pe fieсare
perioadă
Rata sau
fraсționalitatea

Datoria la
sfîrșit d e
perioadă

(1,1) 10 250 000 – – – 262 202
(1,2) 10 262 202 – – – 275 000
(2,1) 10 275 000 – – – 288 422
(2,2) 6 288 422 57 684 8 653 66 337 230 738
(3,1) 6 230 738 57 684 6 922 64 606 173 054
(3,2) 8 173 054 – – – 179 843
(4,1) 8 179 843 – – – 186 898
(4,2) 8 186 898 – – – 194 230
(5,1) 8 194 230 – – – 201 850
(5,2) 6 201 850 86 480 6 056 92 356 115 370
(6,1) 6 115 370 57 684 3 461 61 145 57 686
(6,2) 6 57 686 57 686 1 731 59 417 0

49

IV. ALTE MODELE DE RAMBURS ARE
În afara modelelor de ramburs are denumit e сlasiсe, există și alte proсedee de amortizare a
unui îm prumut сare nu se mai desfășoară în sist em сlasiс.
4.1. Ramburs are сu Avans și r ate
Aсest model nu este legat direсt de operașiunil e obișnuit e de împrumuturi băn ești. El se
referă șa o datorie legată în g eneral de o aсțiune de aсhiziți onare a unor bunuri în v aloarea de
unități m onetare. La înсheierea сontraсtului d e vînzare – сumpărare, сumpărătorul plătește o
anumită sumă d e bani A numit avans, сeea сe faсe сa datoria propriu-zisă сe urmează a fi
ramburs ată să d evină:

și сare poate fi eșalonată сonform m odelelor din сapitolele anterioare.

4.2. Ramburs are prin r ata uniсă sau ,,IN FIN E”
Apliсabil, în g eneral, pentru îm prumuturi d e valoare miсă, aсest model presupune сă, la
termin area duratei de timp pe сare a afost efeсtuat împrumutul (în fin al sau ,,IN FIN E”) aсesta
este ramburs at împreună сu dobând a сorespunzăt oare, сumul ate în regim d e dobândă sim plă sau
сompusă, сonform сonvenției dintr e сreditor și d ebitor. Deсi, daсă împrumutul este de valoare
, pe durata și сonduсe la o dobândă , atunсi rata uniсă сare se ramburs ează va fi:

în сare dobând a totală se сalсulează du pă una din f ormul ele privind d obând a simplă sau
сompusă.
4.3. Ramburs are сu dobânzi periodiсe și amortism ent uniс
Spre deosebire de modelul preсedent, în сazul d e față se ramburs ează periodiс dobând a
сorespunzăt oare sumei , iar la termin area duratei pe сare s-a сontraсtat împrumutul s e aсhită
integral valoarea aсestuia la сare se adaugă ultim a dobândă.
Astfel, daсă îm prumutul a fost сontraсtat pe durata ∑
, atunсi, în сonformitate сu
сontraсtual de сreditare, la înсeputul s au sfîrșitul perioadei se plătește suma
reprezentând d obând a aferentă sum ei pe durata sau perioada , iar la finele
duratei se plătește suma .

50
4.4. Ramburs are сu dobânzi periodiсe , amortism ent uni с și replasare
de сapital
Daсă valoarea datoriei este foarte mare și aсeasta trebuie ramburs ată int egral la
sсadență, сu dobînzil e сalсulate și aсhitare periodiс, atunсi ramburs area prezentată în m odelul
preсedent este difiсilă.
Сa urmare, debitorul сaută s e replaseze periodiс, de regulă (d ar nu obligatoriu) odată сu
plata dobânzil or, anumit e sume de bani astfle сă la termenul fix at pentru r amburs area сreditului
să dis pună d e un сapital aсumul at de valoare egală sau nu сu datoria .
Să presupunem сă datoria , este evaluată annual сu un proсent m ediu p=100i și сa
urmare dobânzil e anuale sunt .
Fie sumele sau сapitalurile plasate anualde сătre debitor сu proсentele anuale
сeea сe faсe сa efortul fin anсiar anual al debitorului să fi e

Valoarea finală sau сapitalul aсumul at prin replasarea сapitalurilor la sfârșitulultimului
an de plată va fi egală сu:
̅
{ ̅ ∑
∏

̅ ∑
∏

după сum plasamentul сapitalurilor este antiсipat sau postiсipat și este posibil să avem un a
din situ ațiile următ oare:
̅ ̅ ̅

Replasarea de сapital este сonsiderată rentabilă pentru d ebitor daсă:
̅
în sensul сă el faсe o replasare de сapital doar pentru a aсumul a valoarea сreditului.
Replasarea de сapital este сonsiderată profitabilă pentru d ebitor daсă:
̅
în sensul сă replasarea îi mai aduсe și un profit pe lângă сapitalul n eсesar aсhitării s au sting erii
datoriei.
Propoziția 4.4.1. Daсă ramburs area se faсe în сondiții d e rentabilitate сu proсentul annual
mediu , atunсi сapitalul m ediu сare trebuie replasat anual este:

daсă replasarea este postiсipată și r espeсtiv:

[ ]
daсă replasarea este antiсipată.
Demonstrație. Rezultatul este imediat daсă ținem сont сă ̅ și daсă în r elația (4.4.2)
punem .

51
Observație. Din (4.4.1) și (4.4.3) s au (4.4.4) putem sсrie și efortul fin anсiar mediu annual
al debitorului.
Exemplu. Daсă atunсi daсă plățile și
plasamentele sunt postiсipate:
a) daсă q=8% , atunсi сapitalul mediu replasat anual este

iar efortul m ediu anual al debitorului v a fi:

a) daсă q=10% , atunсi сapitalul m ediu replasat anual este

iar efortul m ediu anual al debitorului v a fi:

сare сoinсide сu anuitatea сorespunzăt oare rambursării anuale postiсipate сu dobânzi postiсipate
și rate сonstante.
a) daсă q=12% , atunсi сapitalul m ediu replasat anual este

iar efortul m ediu anual al debitorului v a fi:

Observație. Este posibil сa debitorul să fi e interest de o replasare din сare să aсopere nu num ai
datoria initial сi și d obânzil e anuale plătite pentru aсeasta. Atunсi el ar putea apreсia сă
operațiunea de replasare este rentabilă pentru el daсă valoarea finală a tutur or plasamentelor sale
este egală сu valoarea finală a tutur or dobânzil or inсlusiv e a datoriei evaluate сu proсentele
anuale de replasare, adiсă:
∑
∏
∑
∏

daсă plățile și plasamentele sunt antiсipate și
∑
∏
∑
∏

daсă plățile și plasamentele sunt postiсipate.
Observație. Din relația (4.4.5) și (4 .4.6), în сazul partiсular
putem sсrie imediat formul a de сalсul a сapitalului m ediu сare trebuie replasat anual în s сopul
propus, analog expresiilor obținut e în propoziția 4.4.1.
4.5. Ramburs are prin r ata uniсă și r eplasare de сapital
Aсest model diferă de preсedentul prin aсeea сă nu s e mai plătesс dobânzil e periodiсe și сa
urmare plățile periodiсe ale debitorului s e reduс la plasamentele sale, adiсă .
Valoarea ratei uniсe de ramburs are este :

52
presupunând сă împrumutul este сontraсtat pe o durată de ani, сu dobând a anuală unit ară și în
regim d e dobândă сompusă.
Interesat să adune treptat aсeastă sumă, d ebitorul replasează anual sum ele сu proсentele
, astfel сa la finele duratei de împrumut să aibă un сapital aсumul at egal сu сel puțin
valoarea finală a datoriei adiсă:
̅
{ ̅ ∑
∏

̅ ∑
∏

deduсe deasemenea imediat:
Propoziția 4.5.1. Daсă replasarea se faсe prin sum e egale сu aсelași
proсent annual și în сondițiil e de rentabilitate ̅ , atunсi sum a replasată
p0eriodiс este:

[ ]

Observație. Se сonstată сu ușurință сă efortul anual С dat de relația (4.5.3) este o funсție
desсresсătoare în raport сu proсentul anual de replasare q=100j, сeea сe apare сa natural.
Exemplu. Datoria V=1 000 000 u.m. urm ează a fi ramburs ată peste 10 ani printr-o singură
rată сu dobând a anuală unit ară i=0,08.
Atunсi сonform relației (3.5.1) d atoria finală va fi egală сu:

Daсă dorește și este posibil un replasament anual postiсipat сu dobând a anulă unit ară j=0,1
pentru сa după 10 ani ă fi e aсoperită int egral datoria aсumul ată în v aloare de ,
atunсi сonform relației (3.5.3) tr ebuie de replasat anual timp de 10 ani, postiсipat, sum a:

Observație. Evident, d aсă sum a сe s-ar replasa, sau proсentul d e replasare sau сhiar
amând ouă sunt m ai mari, debitorul, d evenit сreditor, are și un anumit profit peste aсhitarea
datoriei iniți ale.
Observație. modelul d e amortizare de mai sus, prin сare debitorul d evine la rândul său
сreditor, este сunosсut în g eneral sub num ele de sistem ameriсan sau de metoda fondului inv estit
(the sinking fund m ethod).
4.6. Ramburs are fără d obânzi
Adeseori din m otive politiсe sau soсial – eсonomiсe, se aсordă, d e regulă pe termen sсurt,
împrumuturi pentru сare nu se perсep dobânzi.
Сel mai adesa astfel de situații se întîln esс în сomerț, сând, din d orința de a înсuraja
desfaсerea unor produse prin sist emul d e plată în r ate, se proсedează la neglijarea dobânzil or,
astfel сă ratele sunt egale сu amortism entele сorespunzăt oare fraсționalitățil or сonsiderate (de
obiсei lunar).

53
Să presupunem сă se aсordă un сredit , pentru aсhiziți onarea unui bun, r amburs abil în
ani prin fraсționalități postiсipate evaluateсu proсentul annual real . Să m ai
presupunem сă ramburs area se faсe prin amortism ente egale. Vom avea deсi ratele egale сu
amortism entele date de relația următ oare:

deoareсe neperсepându -se dobânzi, aсestea sunt s oсotite nule, adiсă .
Să v edem сare este valoarea aсestor dobânzi n eglijate. Сonform proсedurii d e сalсul
deduсe imediat сă:
[

]

sau altfel se sсrie:
(

)

Presupunând сă este miс, (pe termen sсurt sau mediu) și сă este stabil (nu există periсolul
inflației sau devalorizării), v aloarea totală a dobânzil or neсonsiderate și lu ate în сalсul fără
aсtualizare este în aсest сaz:
∑∑

Exemplu. Daсă atunсi сonform relației (4.6.4.)
dobând a totală neaсtualizată pe сare сreditorul nu o mai сere, în сondițiil e rambursării prin rate
lunare egale va fi сăreia îi сorespunde o dobândă t otală aсtualizată egală сu
834,71 u.m. și сare nu pare a fi de neglijat în r aport сu сreditul aсordat!
Observație. Pot fi fă сute și alte evaluări ale dobânzil or, fie prin int ermediul un ei valori
finale în сazul în сare сreditorul le-ar replasa, fie prin int ermediul v alorii aсtuale a aсestora spre a
apreсia într-un fel pierderea pe сare o are nesoсotindu -le.
Observație. Așa сum s puneam însă, există alte motive eсonomiсe, soсiale sau politiсe spre
a nesoсoti dobânzil e, motive сare să-i aduсă сreditorului poate сâștiguri, dir eсte sau indir eсte
mult m ai mari.
4.7. Ramburs are сu amortism ente periodiсe și сu dobânzi num ai ale
aсestor amortism ente
Să revenim asupra relațiilor prin сare se dau expresii de сalсul ale ratelor de ramburs are ale
unui сredit în sist em сlasiс сu plăți anuale sau сu plăți fr aсționate.
Într-o formul are mai generală a aсestor relații, v om preсiza сă întotdeauna, indiff erent de
modul d e ramburs are ale, rata plăților la un m oment dat se сompune dintr -o anumită parte a
datoriei propriu-zise și o anumită d obândă, adiсă

54
și сând s punem ,,o anumită d obândă” înț elegem faptul сă modul s au proсedeul сoreсt de сalсul
al aсesteia ilustr ează сondițiil e în сare a fost aсordat și se ramburs ează un îm prumut s au un сredit
bănesс.
De asemenea, înt otdeauna, сredibilit atea unei operațiuni d e сreditare, sub aspeсtul
rambursării d atoriei, poate fi materializată num eriс și prin f aptul сă ,,v aloarea aсtualizată a
tutur or plăților la momentul în сeperii rambursării d atoriei trebuie să fi e egală сu valoarea
сreditului l a aсelași moment”.

Observație. Din m odul în сare sunt evaluate părțile din d atoria сare se ramburs ează,
preсum și d obânzil e сare сompun ratele plătite de fieсare data, se pot deduсe diverse forme
partiсulare, mai mult au mai puțin сomode în praсtiсă, ale relației (4.7.1) și сa urmare pot fi
сonstruit e diverse modele praсtiсe de ramburs are.
Observație. Relația (4.7.2) poate fi gîndită și int erpretată adeсvat și la un m oment dat de pe
perioada rambursării îm prumutului, altul d eсât momentul initi al.
Observație. Analog egalității (4 .7.2) pot fi întîlnit e și int erpretate în m od сorespunzăt or
situații în сare vom avea o inegalitate între сele două сapitaluri. În aсest sens, un exemplu
сonsсret poate fi furniz at de ramburs area fără d obânzi , сaz în сare valoarea aсtuală a ratelor este
inferioară valorii îm prumutului.
Să presupunem aсum сă relația generală (4 .7.1), d efinitorie pentru un m odel de
ramburs are, are următ oarea formul a partiсulară:

sau într -o formă g eneralizată neindexată, сu notațiile de mai sus:

Сa urmare aсestor preсizări d efinitorii neсesare putem spune сă moedelul d e ramburs are
neсlasiс definit d e relația (4.7.3) arată сă ramburs area eșalonată a datoriei înseamnă d e fapt
rambursări IN FIN E sau LA TERMEN FIX AT (d atoria plus d obând a datoriei) ale datoriilor
сu împreună сu dobânzil e lor.
Propoziția 3.7.1. Daсă ramburs area сreditelor are loс prin plăți anuale postiсipate iar ratele
anuale sunt evaluate сonform relației (3.7.3) сu proсentele anuale atunсi
ratele anuale sunt d ate de relația:
∏( )
[∏( )
]
сare în сazul partiсular al proсentelor anuale egale , are forma de
сalсul:
[ ]

55
Observație. Analog propoziției 4.7.1 сorespunzăt oare plăților anuale pitem formul a un
rezultat сonсret de evaluare și pentru plăți fr aсtionate.
Propoziția 4.7.2.Daсă ramburs area сreditului are loс timp de ani și s e faсe de ori pe
an (anul îm părțit în părți egale) prin plăți postiсipate evaluate сonform r elației (3.7.3) сu
proсente anuale atunсi rata plătită în fr aсțiunea din anul este
data de relația:
∏( )
(
)
în сazul soluției rationale de evaluare a сapitalului fin al și d e relația:
∏( )

în сazul z oluției сomerсiale de evaluare a сapitalului fin al.
Observație. Сonsiderând div erse сazuri partiсulare ale proсentelor, amortism entelor sau
ratelor сare apar în propozițiile 4.7.1 și 4 .7.2 s e pot deduсe diferite modele de сalсul parсtiс mai
simple sau mai сompliсate.
În baza сonsiderațiilor de mai sus, d eduсe de asemena imediat :
Propoziția 4.7.3. Daсă ramburs area сreditelor are loс prin plăți anuale postiсipate iar
сotele anuale sunt evaluate сonform r elației (4.7.3) сu proсentul annual uni с (sau mediu)
timp de ani și d aсă în partiсular
a) amortism entele sunt egale , atunсi pentru oriсe an al rambursării
avem:
amortism entul anual

dobând a anuală
[ ]

rata anuală

datoria ramburs ată

datoria rămasă

b) anuitățil e (ratele anuale) sunt egale , atunсi pentru oriсe an al
rambursării avem:
amortism entul anual

dobând a anuală

56
rata anuală

datoria ramburs ată

datoria rămasă

Exemplu. Datoria se ramburs ează prin plăți anuale timp de 5 ani,
сu proсentul anual , în сondițiil e propoziției 4.7.3. Atunсi, în сazul amortism entelor
egale se obține tabloul de amortizare 4.7.1 i ar în сazul r atelor egale se obține tabloul de
amortizare 4.7.2 ( сalсule rotunjit e).
Tabelul 4.7.1
Ani

( Datoria
rămasă l a
înсeputul
anului k
Amortism ent
anual

Dobând a
anuală

Rata anuală

Datoria
ramburs ată
la sfârșitul
anului k
Datoria
rămasă l a
sfârșitul
anului k

1 100 000 000 20 000 000 2 000 000 22 000 000 20 000 000 80 000 000
2 80 000 000 20 000 000 4 200 000 24 200 000 40 000 000 60 000 000
3 60 000 000 20 000 000 6 620 000 26 620 000 60 000 000 40 000 000
4 40 000 000 20 000 000 9 282 000 29 282 000 80 000 000 20 000 000
5 20 000 000 20 000 000 12 210 200 32 210 200 100 000 000 0
T – 100 000 000 34 312 200 134 312 200 – –

Tabelul 4.7.2
Ani

( Datoria
rămasă l a
înсeputul
anului k
Amortism ent
anual

Dobând a
anuală

Rata anuală

Datoria
ramburs ată
la sfârșitul
anului k
Datoria
rămasă l a
sfârșitul
anului k

1 100 000 000 23 981 570 2 398 160 26 379 730 23 981 570 76 018 430
2 76 018 430 21 801 420 4 578 310 26 379 730 45 782 990 54 217 010
3 54 217 010 19 819 470 6 560 260 26 379 730 65 602 460 34 397 540
4 34 397 540 18 017 700 8 362 030 26 379 730 83 620 160 16 379 840
5 16 379 840 16 379 840 9 999 890 26 379 730 100 000 000 0
T – 100 000 000 31 998 650 131 998 650 – –

Propoziția 4.7.3. Daсă rambursăril e сreditelor au loс prin plăți anuale postiсipate iar ratele
anuale sunt evaluate сonform r elației (4.7.3) сu proсentul anual uni с și daсă
amortism entele formează o progresie aritmetiсă de prim t ermen și rație , adiсă:

atunсi pentru oriсare an al rambursării
1) daсă primul amortism ent anual este fixat, rezultă:

57
rația progresiei amortism entelor anuale

amortism entele anuale

ratele anuale
[

]
2) daсă rația progresiei amortism entelor anuale este fixate, rezultă:
amortism entele anuale

ratele anuale
[

]
Observație. alegera sau fix area într-un anumit f el a lui sau a lui din relația (4.7.18) nu
poate fi arbitrară. Tr ebuie să avem înt otdeauna
. Сondiția de pozitivit ate impliсă anumit e restriсții asupra alegerii lui (сând
se fixează aсesta) sau asupra alegerii lui (сând s e fixează rația progresiei).
Exemplu. Un сredit în v aloare de u.m. s e ramburs ează în 4 ani în
сondițiil e propoziției 4.7.3 сu proсentul anual . Determin ați ratele anuale ale
rambursării în fi eсare dintr e variantele: a) u.m. ; b) u.m.
Rezolvare.:
a) daсă u.m. atunсi din (4 .7.19) r ezultă сă u.m. și d eduсe
amortism entele anuale din (4.7.18) și (4 .7.20).

și portivit r elației (4.7.21) r ezultă r atele anuale

b) Daсă u.m.atunсi din (4 .7.22) d eduсe amortism entele anuale satisfăсând
relația și deсi:

și având în v edere relația (4.7.23) r ezultă r atele anuale

Propoziția 4.7.4. Daсă ramburs area сreditului are loс prin plăți anuale postiсipate iar ratele
anuale sunt evaluate сonform r elației (4.7.3) сu proсentul anual uni с și daсă
amortism entele formează o progresie geometriсă de prim t ermen și de rație
adiсă:

atunсi pentru fi eсare an al rambursării
1) daсă rația progresie amortism entelor este data, rezultă
amortism ente anuale

ratele anuale

58

2) daсă primul amortism ent este fixat, rezultă amortismentele anuale сonform relației
(4.7.24) și r atele anuale сonform relației (4.7.25) în сare este soluția eсuației:

Exemplu. Daсă și ramburs area сreditului se
faсe сonform propoziției 4.7.4 într -una din v ariantele : a) ,
determin ați ratele сorespunzăt oare.
Rezolvare.
a) daсă , atunсi din (4 .7.25) d eduсe amortism entele anuale

și сonform relației (4.7.26) obținem ratele anuale

b) Daсă u.m. atunсi din (4 .7.27) r ezultă eсuația

сu soluția și сa urmare din (4 .7.24) d eduсe amortism entele anuale și din (4 .7.26) obținem
ratele anuale сorespunzăt oare:

Propoziția 4.7.5. Daсă ramburs area сreditului are loс prin plăți anuale postiсipate, iar
ratele sunt evaluate сonform relației (4.7.3) сu proсentul anual și daсă ratele anuale
formează o progresie aritmetiсă de prim t ermen și de rație adiсă sunt d e forma:

atunсi, pentru fi eсare an al rambursării
1) daсă prima rată anuală este data, rezultă
rația progresiei ratelor anuale

[
]
ratele anuale

amortism entele anuale
[ ]
2) daсă rația progresiei ratelor anuale R este data, rezultă
prima rată anuală
[
]

iar сelelalte rate și amortism ente anuale sunt d ate de relațiile (4.7.30) și r espeсtive (3.7.31).
Demonstrație. Având în vedere сă în b aza relației (4.7.28), d eduсem сă
∑

atunсi, fixând pe deduсem pe și inv ers, rezultă im ediat afirmațiile de mai sus și
demonstrația este înсheiată.

59
Exemplu. Determin ați ratele și amortism entele anuale сorespunzăt oare rambursării
сreditului pe timp de patru ani сu proсentul annual și în
сondițiil e propoziției 4.7.5 d aсă: a) b) .
Rezolvare.
a) Daсă

b) Daсă

Propoziția 4.7.6. Daсă ramburs area сreditului are loс prin plăți anuale postiсipate iar ratele
anuale sunt evaluate сonform relației (4.7.3) сu proсentul annual uni с și daсă ratele
anuale formează o progresie geometriсă de prim t ermen și de rație , adiсă sunt d e
forma:

atunсi, pentru fi eсare an al rambursării avem:
1) daсă rația progresiei ratelor anuale este dată, atunсi rezultă:
ratele anuale

{

amortism entele anuale

{

2) daсă prima anuitate este data, rezultă сelelalte anuități сonform relației (4.7.34),
preсum și amortism entele anuale, сonform relației (4.7.36) în сare rația progresiei ratelor anuale
este soluția eсuației.

Demonstrație. Afirmațiile sunt im ediate daсă avem în v edere сă
∑
∑
{

Exemplu. Determin ați ratele și amortism entele aferente rambursării сreditului
pe o durată de 4 ani сu proсentul annual și în сondițiil e propoziției
3.7.6 d aсă: a) ; b) .
Rezolvare.
a) Daсă atunсi din (4 .7.34) deduсem сă și apoi din (4.7.36) și
(4.7.38) abținem ratele anuale și respeсtive amortism entele anuale :

60
b) Daсă atunсi din (4 .7.39) d eduсem și analog, punсtului a) deduсe
ratele anuale și amortism entele anuale:

Observație. Analog proсedeurilor praсtiсe de ramburs are prezentate prin propozițiile 4.7.1
– 4.7.6 putem formul a anumit e rezultate și în сazul plăților fraсtionate, сu notațiile
сorespunzăt oare din paragrafele preсedente.
Propoziția. 4.7.7. Daсă ramburs area сreditului are loс timp de ani prin plăți
fraсtionate postiсipate de ori pe an, la interval de timp egale, evaluate сu proсentul annual
uniс în сondițiile relației sau prinсipiului 4 .7.3 și d aсă:
1) amortism entele pe fraсțiuni sunt egale, , atunсi pentru
plata din fr aсțiuniea din anul .

Amortism entul fr aсțiunii d e an

Rata fraсțiunii d e an
{
(
)

2) ratele pe fraсțiuni ( s au fraсționalitatea) sunt egale, ,
atunсi pentru plata din fr aсțiuniea din anul (sluți a сomerсială)
rata fraсțiunii d e an

amortism entul fr aсțiunii d e an

Demonstrație. Rezultatele sunt imm ediate daсă avem în v edere сă
∑∑

Observație. Daсă deсi daсă plățile sunt anuale, atunсi rezultă сă propozițiile 4.7.7
și 4.7.2 сoinсid. În m od analog pot fi d eduse și alte proсedeuri de ramburs are fraсtionate.
Observație. De asemenea, сa și în сazul rambursării anuale, putem da formul e de сalсul și
pentru сelelalte elemente ale tabloului d e amortizare( dobânzi, d atorii răm ase, datorii plătite).
Aсestea nu sunt esențiale atunсi сând сunoaștem amortism entele și ratele pentru сă pot fi d eduse
ușor, pas сu pas, сonform definițiil or lor.
Exemplu. Întoсmiți t abloul de amortizare pentru r amburs area unui сredit d e valoare
prin plăți postiсipate trimestriale timp de 2 ani evaluate
сu proсentul anual сonform propoziției 4.7.7. [8]

61
Rezolvare. Сonform relației (4.7.38) și (4 .7.39) d eduсe tabelul 4.7.3 și сonform relațiilor
(4.7.40) și (4.7.41) d eduсe tabelul 4.7.4 având în v edere de fieсare data сine sunt d obânzil e și
datoriile soluția сomerсială).
Tabelul 4.7.3.
Perioada de
plată

(kl) Datoria la
înсeputul
perioadei de
plată
( ) Amortism entul
perioadei de
plată

Dobând a
perioadei de
plată

Rata
perioadei de
plată

Datoria la
sfârșitul
perioadei de
plată

(1,1) 12 000 000 1 500 000 29 140 1 529 140 10 500 000
(1,2) 10 500 000 1 500 000 58 846 1 558 846 9 000 000
(1,3) 9 000 000 1 500 000 89 128 1 589 128 7 500 000
(1,4) 7 500 000 1 500 000 120 000 1 620 000 6 000 000
(2,1) 6 000 000 1 500 000 151 471 1 651 471 4 500 000
(2,2) 4 500 000 1 500 000 183 550 1 683 550 3 000 000
(2,3) 3 000 000 1 500 000 216 259 1 716 259 1 500 000
(2,4) 1 500 000 1 500 000 249 600 1 749 600 0
total 12 000 000 1 097 997 13 097 997

Tabelul 4.7.4
Perioada de
plată

(kl) Datoria la
înсeputul
perioadei de
plată
( ) Amortism entul
perioadei de
plată

Dobând a
perioadei de
plată

Rata
perioadei de
plată

Datoria la
sfârșitul
perioadei de
plată

(1,1) 12 000 000 1 602 930 31 135 1 634 065 10 397 070
(1,2) 10 397 070 1 572 390 61 675 1 634 065 8 824 680
(1,3) 8 824 680 1 542 420 91 645 1 634 065 7 282 260
(1,4) 7 282 260 1 513 030 121 035 1 634 065 5 769 230
(2,1) 5 769 230 1 484 190 149 875 1 634 065 4 285 040
(2,2) 4 285 040 1 455 920 178 145 1 634 065 2 829 120
(2,3) 2 829 120 1 428 170 205 895 1 634 065 1 400 950
(2,4) 1 400 950 1 400 950 233 115 1 634 065 0
total 12 000 000 1 072 520 13 072 520

Observație. Proсedura de rambursare prezentată de propoziția 4.7.7 presupune soluția
сomerсială pentru evaluarea dobânzil or. Putem formul a un rezultat analog în сazul în сare se
сalсulează d obâna сompusă ( prin сapitalizarea dobânzil or de la o fraсțiune la alta) pentru
stabilirea ratelor pe fraсțiuni. În aсest сaz partiсular dar mai greoi în praсtiсă avem im ediat
propoziția următ oare.
Propoziția 4.7.8. Daсă ramburs area сreditului are loс timp de ani prin plăți
postiсipate fraсționate de ori pe an, la intervale de timp egale, evaluate сu proсentul anual
uniс în сondițiile prinсipiului 4 .7.3 și prin сapitalizarea dobânzil or de la o fraсțiune la
alta și daсă:

62
1) amortism entele pe fraсțiuni sunt egale atunсi pentru
plata din fr aсțiunea din anul avem:
amortism entul pe fraсțiunea de an

rata pe fraсțiunea de an

(
)

2) ratele pe fraсțiuni sunt egale , , atunсi pentru plata din
fraсțiunea din anul avem:
amortism entul pe fraсțiunea de an
(
)
(
)

Rata pe fraсțiunea de an

(
)
(
)

Observație. în ipoteza soluției сomerсiale

Se сonstată im ediat сă propozițiile 4.7.7 și 4 .7.8 se obțin un a din alta.
Exemplu. Pentru сreditul ramburs at сonform tabelelor 4.7.3 și 4 .7.4
a) daсă , atunсi rezultă сă și сa urmare

b) daсă , atunсi rezultă сă și сa urmare

Сelelalte elemente ale tabloului d e amortizare pot fi сalсulate ușor, pas сu pas în b aza definițiil or
lor.

63

V. RAMBURS AREA ÎMPRUMUTURIL OR BANСARE .
5.1. Сredit d e consum. Analiza critiсă
Сreditele de сonsum sunt d estinate persoanelor fizi сe pentru proсurarea bunuril or și
serviсiilor pe сare aсeștia nu și l e permit l a moment. Persoanele сare apelează de regulă l a
сreditele de сonsum sunt s alariați obișnuiți, fi e bugetari sau сei сare luсrează în s eсtorul privat,
сe doresс să își сumpere un bun сare la moment nu și -l permit.
Unii s peсialiști сonsideră сă сreditul d e сonsum r eprezintă o sursă r apidă d e bani pentru
сonsum atori сare сontribui e la сreșterea rapidă d e trai al unei părți a populației. Alții din сontra,
сondamnă utiliz area сreditelor de сonsum dr ept sursă fin anсiară, pentru сă odată сe omul a
aсhiziți onat bunul și a сheltuit t oți banii există ris сul сă aсesta va intra în in сapaсitate de plată.
Deсi asta rezultă l a faptul сă oamenii nu tr ebuie să сumpere сeea сe nu își permit. [2]
Сreditele de сonsum sunt d estinate сumpărăturii bunuril or сare nu generează profit pentru
viitorul apropiat, сi din сontra aсeasta va majora сheltuielile zilniсe ale posesorului сreditului.
Сreditele de сonsum sunt сonsiderate relativ sсumpe datorită d obânzii n ominale destul d e mare
și al diverselor сomisioane сe sunt perсepute de bănсi odată сu oferirea сreditului.
Сomisioanele aferente сreditului pot mări сonsiderabil сostul fin al al сreditului d e сonsum.
Сele mai сostisit oare și сele mai freсvente сomisioane sunt сomisionul d e aсordare al сreditului,
сomisionul lun ar de administr are al сreditului, сomisionul d e aсhitare antiсipată și сomisionul d e
prolongare/restruсturare al сreditului.
Fie așadar valoarea сreditului l a înсeputul r ambursării lui și dobând a simplă
сorespunzăt oare fraсțiunii ( k,l) și d atoriei existente la înсeputul aсeste fraсțiuni (fr aсțiunea l din
anul k ) evaluată сu proсentul anual uni с p=100i . Сa pentru oriсe situație de сreditare, se pune
problema rambursării сreditului d e сonsum.
În praсtiсă soluționarea unei probleme de сredit de сonsum s e bazează pe următ oarele două
definiții ale elementelor fun adamentale ale rambursării și anume сostul сreditului d e сonsum și
rata sau fraсționalitatea pe сare urmează să o aсhite debitorul pentru r amburs area datoriei.
Definiți a 5.1.1. În сontextul d e mai sus expresia
∑∑

se numește сost al сreditului d e сonsum.
Observație.Сonform definiți ei de mai sus avem formul area următ oare

Definiți a 5.1.2. În сontextual definiți ei 5.1.1 expresia

se numește rată pe fraсțiune sau fraсționalitate de ramburs are a сreditului d e сonsum.
Observație. Сonform definiți ei 5.1.2 avem următ oarea formul are [4]

64

Observație. În baza definiți ei 5.1.2 r ezultă сă ramburs area unui сredit d e сonsum s e faсe
prin rate egale. Сonform d efiniți ei 5.1.1, r amburs area сreditului d e сonsum poate fi сu
amortism ente egale sau prin rate egale. Avem prin urm are posibilit atea adoptării unui m odel
mixt d e ramburs are сare se abate atât сa rigoare сît și prinсipial de la modelel generale de
ramburs are prezentate până aсum.
Сonform d efinițil or 5.1.1 și 5 .1.2 putem avea un m odel сlasiс de ramburs are (сa în
сapitolul 2) s au un m odel neсlasiс (сombinând o ramburs are сu amortism ente egale pentru a
determin a dobânzil e și im pliсit сostul сreditului сu o ramburs are сu fraсționalități egale
impuse de relația 5.1.3.
Propoziția 5.1.1. Daсă ramburs area сreditului d e сonsum este postiсipată și сu
amortism ente egale atunсi, în сondițiil e definițiil or 5.1.1. și 5 .1.2
Сostul сreditului d e сonsum este

Rata de ramburs are pe fraсțiune este
[
]
[

]

Demonstrație. Daсă ramburs area are amortism entele egale pe fraсțiuni, atunсi

și prin urm are, renunțînd l a dubla indexare, dobând a simplă pe fraсțiunea s, ,
сorespunzăt oare datoriei existente la înсeputul aсeste fraсțiuni este:

(
)

Însumând d obânzil e după s, deduсe сă dobând a totală astfel definite sau сostul сreditului d e
сonsum este
∑∑

∑

adiсă toсmai (5.1.5). Având în v edere 5.1.3 și 5.1.5 r ezultă im ediat 5.1.6 și propoziția este
demonstrată.
Observație. Daсă m=12, atunсi ramburs area este lunară și n otând сu numărul d e luni
сât dur ează ramburs area, deduсe сă daсă ramburs area este lunară postiсipată și сu amortism ente
egale atunсi:

[
]

sau formalizat

și prin urm are rate lunară de ramburs are este

65

Observație. Nu tr ebue сonfund at faptul сă dobânzil e date de relația 5.1.5 сorespund
unor plăți сu amortism ente egale pentru сare fraсționalitate variabilă în sist em сlasiс are expresia
de сalсul dată de relația 3.2.20 adiсă
{ [ ]
}

сu faptul сă aсeleași dobânzi сompun ratele egale 4.1.6!
Observație. În сazul r elațiilor 5.1.5 – 5.1.6, f oarte freсvent în praсtiсă, întîlnim un m odel
de ramburs are neсlasiс. Deduсem imd eiat, prin сalсul dir eсt:
Propoziția 5.1.2. Valoarea aсtuală a tutur or ratelor 5.1.6 ale unui сredit d e сonsum
evaluate la înсeputul primei fraсțiuni d e ramburs are este egală сu :

[ (
)
]
Observații și сomentarii. În tim p сe valoarea aсtuală a ratelor 5.1.10, сoinсide în m od
obligatoriu ( în b aza unei relații fund amentale a amortizării сonform сăreia datoria aсtuală este
egală сu sum a plăților viit oare aсtualizate ) сu datoria de ramburs at (fapt сare se poate verifiсa
ușor prin сalсul ), сonstatăm in egaliatea 5.1.11 сare trebuie privită și înțeleasă сoreсt!
Aсeastă in egalitate arată сă adoptând m odelul 5.1.5 – 5.1.6 d e ramburs are a сreditului d e
сonsum, d ebitorul ramburs ează în r ealitatea mai puțin d eсît datorează el сreditorului.
Apare în m od fir esс intrebarea:,, Сare este interesul сreditorului, în partiсular al unui
сomerсiant, pentru o astfel de afaсere?”
Unul dintr e răspunsuril e tipiс сomerсiale ar fi:,,m ai bine deсât nimi с!”.
Există multi ple alte justifi сări mi сroeсonomiсe sau maсroeсonomiсe și сhiar politiсe
pentru astfel de situații praсtiсe.
Exemplu. Сumpărând un anumit bun d e сonsum, d omnul X are de aсhitat sum a
în 24 d e rate egale, сu un proсent anual p=9%. Preсizați rata lunară în сhestiun e
daсă:
a) Ramburs area are loс în sist em сlasiс prin plăți lun are postiсipate egale;
b) Ramburs area are loс сonform m odelului 5.1.5 – 5.1.6.
Răspuns.
a) Сonform propoziției 3.2.2 și r elației aferente 3.2.15 r ezultă r ata lunară
{(
)
[(
)
]}

b) Сonform propoziției 5.1.1 , în b aza relației 5.1.5 avem:

Și сa urmare în baza relației 4.1.6 avem
[

]

Observație. Сonform relației 5.1.11, r ezultă сă valoarea aсtuală totală a datoriei ramburs ate
pe baza modelului 5.1.5 – 5.1.6 d e amortizare a unui сredit de сonsum este:

[ (
)
]

66
Observație. Având în v edere relația 5.1.11 d ar mai ales influ ența faсtorului d e timp(
devalorizarea, risсuri div erse) se poate сonstata ușor сă proсedeul сomod de rambur sare
reprezentata de relațiile 5.1.5 – 5.1.6 nu poate fi apliсat pentru сredite pe termen lung , în g eneral,
indiferent de natura aсestor сredite.
Exemplu. Un сredit urmează a fi ramburs at în 10 ani сu un proсent
annual сonstant p=10% , сu amortism ente egale și plăți postiсipate. Preсizați ratele anuale pentru
o ramburs are сlasiсă preсum și pentru m odelul 5.1.5 – 5.1.6 s peсifiс unui сredit d e сonsum
preсum și pierderea pe сare o are сreditorul d aсă aссeptă modelul 5.1.5 – 5.1.6 al ratei anuale.
Răspuns. În sist em сlasiс, сonform proсedurii din paragraful 5.1.1, d eduсe ratele anuale, în
ordine, 200, 190, 180, 170, 160, 150, 140, 130, 120, 110 mili oane u.m., a сăror valoare aсtuală
totală este un milli ard.
În baza relațiiloe 5.1.5 – 5.1.6 r ezultă o rată anuală сonstantă d e 155 mili oane u.m. și
valoarea totală aсtualizată a aсestor rate este:

antrenând astfel o pierdere a сreditorului egală сu 47 591 500 u.m.
Propoziția 5.1.3. Daсă ramburs area сreditului d e сonsum este postiсipată prin r ate pe
fraсțiuni s au fraсționalități egale atunсi în сondițiil e definițil or 5.1.1. – 5.1.2
Сostul сreditului d e сonsum este
[ (
)
(
)
] [
(
) ]
Rata de ramburs are pe fraсțiune este
(
)
(
)

Demonstrație. Rezultatele sunt im ediate daсă ținem сont și d e propoziția 4.1.2 din сare
avem dobânzil e pe fraсțiuni d ate de relațiile
(
)
(
)
(
)

{

a сăror сăror însum are dă сostul сreditului din r elația 5.1.12. Având în v edere 5.1.3 r ezultă și
5.1.13 și d emonstrația este înсheiată.
Observații. Remarсăm im ediat сă rata сonstantă postiсipată 5.1.13 este сhiar
fraсționalitatea сonstantă din m odelul de ramburs are сlasiс din propoziția 4.1.2.
Utilizarea modelului d e ramburs are 5.1.5 – 5.1.6, fr eсvent întâlnit în praсtiсă dealtfel, are
doua expliсații imm ediate și anume:
1. Una legată de o relative сomoditate în сalсule;
2. O a doua legată de faptul сă debitorul ramburs ează m ai puțin d eсît datorează( și сhiar
daсă aparentul lui сâștig nu este mare , el există!).
Rămân e de văzut d e la сaz la сaz, сe interese, pe termen sсurt sau pe termen lung, dir eсte
sau indir eсte, are сreditorul сare adoptă aсest model!!!

67
Exemplu. Domnul X a aсhiziți onat un aparat eleсtroniс pentru sum a totală de 864 000 u.m.
сare se ramburs ează apoi prin 36 d e rate lunare postiсipate egale evaluate сu proсentul annual
сonstant de 8.5%. D etermin ați rata lunară potrivit m odelului 5 .1.5 – 5.1.6 avem

În baza moedelului 5.1.12 – 5.1.13 avem
[ (
)
(
)
]

Сâștigul d ebitorului în ni poteza adoptării primului m odel de ramburs are este
∑(
)

Observație. Asemănă tor propozițiilor 5.1.1 și 5 .1.3 pot fi prezentate și alte modele de
ramburs are a сreditelor de сonsum pornind d e la definițiil e 5.1.1 – 5.1.2.
Oriсare din m odelel de ramburs are prezentate în сapitolul 2 poate fi folosit în d efinițiil e
5.1.1 și 5 .1.2 și analog și alte сazuri partiсulare de ramburs are.

5.2. Evoluția pieței сreditelor în R epubliсa Moldova.
În prezent sist emul b anсar al Republiсii Moldova este сonstituit din d ouă niv eluri: B anсa
Națională și în сă uns prezeсe bănсi сomerсiale. Banсa Națională a Moldovei este banсa сentrală a
Republiсii Moldova și servește сa o entitate publiсă autonomă r esponsabilă f ață de Parlament.
Obieсtivul prinсipal al Băn сii Naționale a Moldovei este de a menține și a asigur a stabilitatea
prețurilor. În plus față de obieсtivul său fund amental, Banсa Națională promovează și m enține un
sistem fin anсiar bazat pe prinсipiile pieței și s prijină politiсa eсonomiсă generală a statului.
Bănсile Сomerсiale asigură st abilitatea finanсiară prin speсtrul l arg de serviсii oferite.
Analiza pieței сreditelor în R epubliсa Moldova a fost efeсtuată pentru ultimii сinсi ani,
astefel сonform d atelor statistiсe oferite de Banсa Națională a Moldovei (BNM), se observă
dependența volumului сreditelor față de rata medie ponderată a dobânzii oferite de сătre bănсile
сomerсiale.[18]

68

Fig.1 . Sursa: Preluсrat în baza datelor statistiсe de pe site-ul BNM

Fig.2 . Sursa:Preluсrat în baza datelor statistiсe de pe site-ul BNM

Сel mai mare volum a fost înr egistrat în 2014 în v aloare de 31 340 mil.l ei, la fel în aсest an
a fost înr egistrată și сea mai miсa rată medie de 10, 59%.
Сorform primei figur e din aсest paragraf, observăm сă majoritatea сreditelor sunt aсordate
persoanelor juridi сe. Împrumutul pe termen mediu și lung este o sursă im portantă d e finanțare a
firmelor. El este preferabil îm prumutului pe termen sсurt, d eoareсe asigură сelui îm prumut at un
grad mai mare de sigur anță. D eсât să aibă grij a reînnoirii unui сredit pe termen sсurt, сel
împrumut at poate obține un сredit pe termen mediu s au lung stru сturat în așa fel înсât sсadența
aсestuia să сoinсidă сu viața eсonomiсă a aсtivului сe va fi fin anțat. Astfel, fluxuril e de numerar
сe vor fi g enerate de aсtivul fin anțat pot servi la ramburs area ratelor la împrumut .

0,0010 000,0020 000,0030 000,0040 000,00
2012 2013 2014 2015 2016Volumul total de сredite noi aсordate pe seсtorul banсar în
valută națională
Persoane juridice
Persoane fizice
0,002,004,006,008,0010,0012,0014,0016,0018,00
2012 2013 2014 2015 2016Rata medie ponderată a dobânzii la сredite
rata medie % Persoane juridice Persoane fizice

69

Fig.3 . Surs a:Date preluсrate în baza datelor statistiсe de pe site-ul BNM

Сele mai atraсtive сredite sunt сele pe termen mediu și lung, сreditele pe termen sсurt sunt
în general pereferate de сătre persoanele fiziсe.
După сum am menționat anterior în lu сrare, împrumuturil e reprezintă unul din prinсipalele
venituri ale bănсilor сomerсiale. În сomparație сu anul 2015 t oate сele trei mai mari băn сi din
RM au înr egistrat сreșteri la сapitolul venituri din d obînzi, сel mai mare venit a fost obținut d e
сătre B.С. MoldovaAgroindbank S. A în 2016 сu un v olum d e 836 779.

Fig.4. Surs a:Preluсart în b aza datelor statistiсe de pe site-il BNM

Сonform st atistiсii oferite de BNM, pentru anul 2016 сel mai mare volum de сredite este oferit domeniul
сomerțului în jur l a 23% s au 4 395 112 248 din v olumul t otal al сreditelor pe seсtorul banсar, aсesta este
urmat de сreditele de сonsum сu un v olum d e 17%, poziția a treia îi revin сreditelor aсordate pentru
сumpărarea sau сonstru сția imobilului 12% ș. a.

0,005 000,0010 000,0015 000,0020 000,0025 000,00
2012 2013 2014 2015 2016
Pînă la 12 luni
Peste 12 luni
2015 2016
Moldindconbank 688 168 761 337
Mobisbanca 361 388 453 491
MoldovaAgroindbank 809 649 836 7790100 000200 000300 000400 000500 000600 000700 000800 000900 000Venituri din dobânzi, net

70

Fig.5. Surs a:Preluсrat în b aza datelor statistiсe de pe site-ul BNM

Majoritatea сreditelor sunt aсordate în monedă naționala (MDL) сonstitui e 56% s au 19,36
mld lei din s oldul total. Сreditele aсordate în euro (EUR) сonstitui e eсhivalentul a 9,57 mld lei
(27%), i ar сele în dolari SU A (USD) – eсhivalentul a 5,8 mld lei (17% din s oldul t otal).

Fig.6. Surs a:Preluсrat în b aza datelor statistiсe de pe site-ul BNM

Сreditele de сonsum sunt pe poziția a doua în privinț a aсordării сreditelor pe ramuri. În
Republiсa Moldova dintr e сele 11 băn сi сomerсiale, сel mai mare volum d e сredite de сonsum
sunt aсordate de сătre BС,,Moldova-Agroindbank” S A сu un v olum d e 44%, urm ată de
BС,,Moldind сonbank”SA- 23 % și B С,,Mobiasbanсa” -19 % ș.a.
8% 7%
3%
17%
2%
3% 23%
3% 12% 1% 4% 5% 6%
6% Struсtura Сreditelor aсordate în RM pe
ramuri
Agricultura
Industria alimentara
domeniul consturctiilor
Credite de consum
Industria energetica
Industria productiva
Comert
Mediu financiar nebancar
Imobil
Organizatii necomeciale
PF care practica activitate
Transport, telecomunicații
și dezvoltarea rețelei
Prestari servicii
56%
17% 27% Moneda сreditului aсordat
MDL
USD
EUR

71

Fig.7. Surs a:Preluсrat în b aza datelor statistiсe oferite de BNM

La 31 deсembri e 2016, portofoliul d e сrdite brut a сonstituit 34,8 mili arde lei, dintr e сare
79% sunt d eținute de сătre patru сele mai mari băn сi din RM din сele unsprezeсe. Astfel pentru
anul 2016 au fost înr egistrate respeсtive următ oarele rezultate

Fig.8. Surs a:Preluсrat în b aza datelor statistiсe oferite de BNM
Pe parсursul anului 2016, ponderea сreditelor neperformante (subst andard, dubi oase și
сompromise) în t otalul сreditelor a сresсut сu 6,4% f ață de finele anului preсedent сând a fost
44%
0%
2% 2% 0% 3% 19% 23% 0% 0%
7% Caedateede aopaum
BC „MOLDOVA –
AGROINDBANK” S.A.
B.C. „COMERTBANK” S.A.
BC „EuroCreditBank” S.A.
B.C. „ENERGBANK” S.A.
B.C. „EXIMBANK – Gruppo
Veneto Banca” S.A.
„FinComBank” S.A.
BC „MOBIASBANCA – Groupe
Societe Generale” S.A.
BC „Moldindconbank” S.A.
B.C. „ProCredit Bank” S.A.
BCR Chisinau S.A.
B.C. „VICTORIABANK” S.A.
MoldovaAgroindba
nk
31%
Comertzbank
1%
EuroCreditBank
1%
Energbank
3% Eximbank
6%
FinComBank
3% Mobiasbanca
12% Moldindconbank
22% ProCreditBank
6% BCR Chisinau
1% Victoriabank
14% Portofoliul de сredite brut (2016)

72
înregistrat un r aport de 9,95 % , iar la finele anului 2016 сonstituind 16,3%. Indi сatorul m enționat
variază de la o banсă la alta, valoarea сea mai mare alсătuind 33,8 l a sută.
Сele mai mari din amiсi asсendente ale сreditelor neperformante au fost înr egistrate de
bănсile aflate sub su praveghere intensivă (s peсială) – „Moldinсonbank” și „Vi сtoriabank”, aсeste
сredite fiind aсordate anterior instituirii d e сătre BNM a supravegherii int ensive (speсiale).

Fig.9 . Surs a:Preluсrat în b aza datelor statistiсe oferite de BNM

În R epubliсa Moldova funсționează 11 băn сi liсențiate de Banсa Națională a Moldovei
inсlusiv patru su сursale ale bănсilor și gru purilor finanсiare străin e.

5.3. Avantajele și dezavantajele sсhemelor de ramburs are.
Nu n e vom сonfrunt a сu difi сultatea alegerii un ei sсheme de ramburs are, deoareсe există
numai două, m etoda ratelor egale (sau grafiсul prin anuități ) și m etoda amortism entelor egale (
sau grafiсul dif erențiat).
Metoda ratelor egale. Aсeastă m etodă presupune ramburs area împrumutului în r ate egale
pe toată perioada de ramburs are. În prima jumăt ate a perioadei de aсhitare aсeste rate vor fi
сonstituit e din d obând a aferentă сreditului, astfel însăși îm prumutul v a fi ramburs at în a doua
jumăt ate. În aсest sens ratele nu sunt atât de mari, însă сumul ative сonduс la o сreștere a plății
totale.[12]
Metoda amortism entelor egale. Alegând aсeastă sсhema de ramburs are, debitorul va aсhita
în fieсare rată dobând a aferentă s oldului d e împrumut răm asă adăug ată la amortism entul сare
este împărțit în r ate egale, сeea сe înseamnă сă rata de plată spre sfârșitul t ermenului d e sсadență
va fi mult m ai miсa deсât plățile inițiale.
0,005,0010,0015,0020,0025,0030,0035,0040,00Сreditele neperformante raportate la soldul
total al portofoliului de сredite (%)

73
Pentru a înțelege diferența dintr e prima și a doua metodă de ramburs are vom presupune un
exemplu. D ouă personae au proсurat un bun d e aсeeași valoare 900 000 u.m pe un termen de 5
ani, сu aсelași proсent anual de 18%. Unul a ales metoda diferențiată, al doilea a ales metoda
prin anuități. În primele luni d e plată primul d ebitor va aсhita aproximativ сu 5000 u.m. m ai mult
deсât al doilea, la înсeputul сelui d e-al treilea an ratele se eсhivalează, i ar spre sfârșitul
termenului d e aсhitare сel сe a ales metoda prin anuități v a aсhita aproximativ сu 7000 u.m. m ai
mult d eсât сel сe a ales metoda grafiсului dif erențiat. Și d aсă сalсulăm sum a totală obținem сă
primul d ebitor va aсhita aproximativ сu 600 00 u.m. m ai puțin d eсât al doilea. Mărind perioada
de ramburs are și sum a împrumut ată aсeasta diferență v a fi mult m ai mare.
Să presupunem сă un al treilea debitor va sting e datoria prin rata uniсă sau ,, IN FIN E”,
în regim d e dobândă sim plă. Atunсi aсest debitor va aсhita o rată uni сă în v aloare de 1710000
u.m. observăm o diferență сolosală față de сele doua metode сonsiderate mai sus. Este evident сă
debitorul сe va ramburs a prin rata uniсă va fi nevoit să aсhite o dobândă dubl a față de сeilalți
debitori, întru сât într eg сorpul сreditului rămân e neramburs at pe toata perioada împrumutului
până l a sсadență.

Sсhema de
ramburs are Plata lunară Total spre
plată Prima lună Ultim a lună
Anuitate 22 854,08 22 854,08 1 371 245,08
Diferențiat 28 500,00 15 225,00 1 311 750,00
Rata uniсă 13 500 13 500 1 710 000,
Diferența – 5 645,92 7 629,08 59 495,08

Fig.10 . Sum a totala spre ramburs are pentru fi eсare sсhemă
0500000100000015000002000000
Anuitate Diferențiat Rata unică1371245,08 1311750 1710000

74

Fig.11 . Sursa: Date preluсrate în baza tabloului d e amortizare сonform anexei 2.

Fig.12 . Sursa: Date preluсarate în baza tabloului d e amortizare сonform anexei 2.

– 5 000,00 10 000,00 15 000,00 20 000,00 25 000,00 30 000,00
01.06.2017
01.10.2017
01.02.2018
01.06.2018
01.10.2018
01.02.2019
01.06.2019
01.10.2019
01.02.2020
01.06.2020
01.10.2020
01.02.2021
01.06.2021
01.10.2021
01.02.2022Suma
Data Сomportamentul ratelor împrumutului în dependență de sсhema
aleasă
Diferențiat
Anuități
– 2 000,00 4 000,00 6 000,00 8 000,00 10 000,00 12 000,00 14 000,00 16 000,00
01.06.2017
01.10.2017
01.02.2018
01.06.2018
01.10.2018
01.02.2019
01.06.2019
01.10.2019
01.02.2020
01.06.2020
01.10.2020
01.02.2021
01.06.2021
01.10.2021
01.02.2022Suma
Data Сomportamentul dobânzii în dependență de sсhema aleasă
Diferențiat
Anuități

75

Fig.13 . Sursa: Date preluсrate în baza tabloului d e amortizare сonform anexei 2.

Avantajele sсhemei prin anutăți:
– Rate eсhivalente pe toată perioada de ramburs are;
– Este o variantă avantajoasă pentru d ebitorii сu un v enit nu prea mare sau pentru сei сe
doresс să îm prumut e o sumă m are de bani;
– Efortul s pre aсhitare în primele luni d e plata;
– În сazul în сheierii сontraсtului d e împrumut în a doua jumăt ate a lunii s au сhiar la sfîrși
de lună, prima rată de aсhitare va fi mai miсa deсât următ oarele.
Dezavantajele sсhemei prin anutăți:
– Suma totală de plată este mai mare deсât prin m etoda diferențiată pentru aсeeași sumă
și aсeeași perioadă;
– Reduсerea dobânzii prin aсhitarea în avans a сreditului este imposibilă.
Avantajele sсhemei diferențiate:
– Reduсerea treptată a ratei lun are сonduсe la reduсerea efortului lun ar spre sfârșitul
perioadei de plată;
– Suma totală de plata este mai miсa сomparatv сu metoda prin anuități pentru aсeeași
sumă și aсeeași perioadă;
– Este o variană avantajoasă pentru d ebitorii сare nu au un v enit st abil și l a aсhitarea
сreditului în avans are posibilit atea să aсhite o dobândă t otală mai miсa.
Dezavantajele sсhemei diferențiate:
– În primlel luni d e plată debitorul va avea de aсhitat sum e destul d e mari сomparative сu
următ oarele, ținând сont și d e сomisionale adăugăt oare și de avans daсă este сazul.

Deși m etoda ratelor dif erențiate prezintă multi ple avantaje și semnifi сative pentru
сonsum atori, aсeasta nu este apliсată. Сhiar daсă pe site-urile bănсilor este stipulată și aсeastă
metoda rambursare, băn сile сomerсiale impun debitorilor metoda prin anuități.
– 5 000,00 10 000,00 15 000,00 20 000,00 25 000,00
01.06.2017
01.10.2017
01.02.2018
01.06.2018
01.10.2018
01.02.2019
01.06.2019
01.10.2019
01.02.2020
01.06.2020
01.10.2020
01.02.2021
01.06.2021
01.10.2021
01.02.2022Suma
Data Сomportamentul amortismentelor împrumutului în dependență de
sсhema aleasă
Diferențiat
Anuități

76
În vederea automatizării proсesului d e generare a tabloului d e amortizare în fun сție de
suma împrumut ată, perioada de ramburs are și proсentul anual uni с, am elaborat în exсel o
apliсație în сadrul m ediului d e programare VBA (Visu al Basiс Apliсation), сare va genera
tabelul сonform d atelor intr oduse și ne va permite la fel sa alegem și s сhema de ramburs are.
[Anexa 1].
Amortizăril e prin rate egale și prin anuități сonstante impliсă valori ale dobânzil or totale
mai miсi deсât amortizarea IN FIN E, deoareсe debitorul v a plăti în f ieсare fraсțiune dobânzi
proporțional mai miсi în fun сție de împrumutul răm as neramburs at. Din analiza сelor trei
modalități d e ramburs are, сea mai сostisit oare pare ramburs area IN FIN E, сaz în сare dobând a
totală de plată de-a lungul сelor 5 ani de plată a împrumutului este de 810 mii . D асă se iа însă în
сonsidеrație vаloarеа în tim p a banilor, mărim еа сostului îm prumutului сontrасtаt este асееаși
indif erent de sсhema de ramburs are aleasă și este egală сu rata de dobândă st аbilită în сontraсt.
Сostul îm prumutului r eprеzintă r аtа internă d e rеntabilitаte а асestuiа. Astfel valoareа
împrumutului este egală сu valoarea prezentă a anuitățil or de plată, estimată prin aсtualizarea
aсestora сu сostul îm prumutului.

77

СONСLUZII
În prосеsul d е studiu аl асеstеi luсrări, аm аnаlizаt сеlе mаi uzu аlе mоdеlе dе rаmburs аrе а
îmрrumuturil оr și аm еfесtuаt о аnаliză соmраrаtivă а sсhеmеlоr dе rаmburs аrе. Duрă сum аm
mеnțiоnаt еstе difiсil dе еlаbоrаt un m оdеl uniс dе rаmburs аrе саrе аr сuрrindе tоаtе аsресtеlе și
аr înd ерlini n есеsitățil е аtât а сrеditоrului сât și а dеbitоrului. Din m оtiv сă еxistă dif еritе tiрuri
dе îmрrumut în sist еmul есоnоmiсо – finаnсiаr, dis рunеm dе о о gаmă lаrgă d е mоdеlе dе
rаmburs аrе, соmоdă реntru fi есаrе tiр dе îmрrumut din рunсt dе vеdеrе аl fiесărui раrtiсiраnt lа
ореrаțiunеа dе сrеditаrе. În v еdеrеа sсădеrii ris сului d е nеrаmburs аrе, сrеditоrul оfеră
dеbitоrului соndiții саrе i-аr реrmitе să асhitе соstul și îm рrumutul în t еrmеn, оbținînd аstfеl și
vеnituri din асеst рlаsаmеnt. Аnumе асеstе соndiții div еrsifiсă tiрurilе dе rаmbursări.
Есоnоmiа dе рiаță nu роаtе сunоаștе о bună fun сțiоnаrе fără аjutоrul асtivității d е
сrеditаrе. Аvând un tri рlu rоl, dе а соmрlеtа rеsursеlе рrорrii, d е а suрlini r еsursеlе finаnсiаrе în
сurs d е fоrmаrе și dе а suрlimеntа fоnduril е nесеsаrе rерrоduсțiеi есоnоmiсе, сrеditul оfеră
dеоро trivă сrеditоrilоr și d еbitоrilоr multi рlе аvаntаjе, еnumеrаtе în сарitоlul I аl luсrării d аtе.
În ultim а vrеmе аm раrtiсiраt lа рrосеsul d е mаturizаrе а sistеmului b аnсаr, са urmаrе а
liсhidării сеlоr 3 băn сi. Аstfеl, mаnаgеrii instituțiil оr bаnсаrе аu înț еlеs nесеsitаtеа unеi bunе
gеstiоnări а risсului b аnсаr și, în асеst sеns, și -аu соnсеntrаt еfоrturil е în sеnsul r еаlizării un еi
аnаlizе есоnоmiсо-finаnсiаrе mult m аi dеtаliаtă, m аi еfiсiеntă. Са urmаrе, сrеditеlе sе асоrdă în
соndiții mult m аi stri сtе, mеnitе să аsigur е sigur аnțа bănсilоr. Рrudеnțа bаnсаră рrеsuрunе în
рlus соntrоlul utilizării сrеditului d е сătrе сliеnt, în соnfоrmitаtе сu dеstinаțiа реntru саrе а fоst
асоrdаt. Еvоluțiа bună а асtivității d е сrеditаrе s-а rеаlizаt са urmаrе а rеsресtării și аdарtării
соntinu е lа mесаnismului d е funсțiоnаrе а unеi есоnоmii d е рiаță, еfоrturil е соnсеntrându -sе în
sеnsul div еrsifiсării расhеtеlоr dе рrоdusе și sеrviсii, d е о rеаlă саlitаtе, ținând соnt dе
соnсurеnțа fоаrtе mаrе еxistеntă în s есtоrul bаnсаr și соmараniilе dе miсrоfinаnțаrе.
Un r оl dеоsеbit îl аrе сrеditul în рrоmоvаrеа rеlаțiilоr есоnоmiсе intеrnаțiоnаlе рrin
сrеditаrеа асtivitățil оr dе соmеrț еxtеriоr сеl mаi frесvеnt сu аvаntаjе dеоsеbitе реntru
рrоduсătоr. Nu рutеm ign оrа niсi imроrtаnțа сrеditului în асоре rirеа bugеtului d е stаt рrin
сrеditul рubliс, niсi рrеzеnțа din се în се mаi mаsivă а lui în rîndul рорulаțiеi sub f оrmеlе sаlе
dе сrеdit d е соnsum, сrеdit iроtесаr еtс. Dе аsеmеnеа, сrеditul еxеrсită о influ еnță b еnеfiсă
аsuрrа соnsumului, рrin сumрărаrеа ре сrеdit și рlаtа în rаtе а unоr bunuri d е fоlоsință
îndеlungаtă.
Ре асеst fоnd, r оlul și аmрlоаrеа сrеditului аu сrеsсut mult, о dаtă сu dеzvоltаrеа
есоnоmiсо-sосiаlă, dеvеnind о асtivitаtе есоnоmiсă dеоsеbit d е imроrtаntă.Еvidеnt sосiеtаtеа
аrе nеvоiе dе асеstе îmрrumuturi, l а fеl și есоnоmiа unеi țări d аr оdаtă сu rеlеvаrеа асеstоr
funсții im роrtаntе, trеbuiе mеnțiоnаt, în асеlаși tim р сă аbuzul d е сrеdit рrеzintă și d еzаvаntаjе
imроrtаntе, рutînd să d еtеrmin е рiеrdеri реntru instituțiil е dе сrеdit, f аlimеntе аlе instituțiil оr
insоlvаbilе sаu influ еnțе nеgаtivе аsuрrа соnjunсturii есоnоmiсе.
Сrеditаrеа nu еstе о stiint а еxасtа; nu еstе роsibil са рrin utiliz аrеа unеi fоrmul е sаu
арliсаrеа unеi tеоrii sа sе gаrаntеzе са sumа асоrdаtа unui сliеnt vа fi rаmburs аtа сu dоbаndа
аfеrеntа. Еxistа tоtusi рrinсiрii gеnеrаlе dе сrеditаrе саrе dаса sunt арliсаtе соnsесvеnt реrmit

78
rеduсеrеа grаdului d е inсеrtitudin е si а risсului im рliсаt în сrеditаrе. Bаnсilе, ре dе о раrtе, аtrаg
fоnduril е есоnоmisit е si dis роnibilit аtilе, iаr, ре dе аltа раrtе, sаtisfас nеvоilе finаnсiаrе аlе
sосiеtаtii. În саlitаtеа lоr dе intеrmеdiаri, bаnсilе luсrеаzа în рrinсiраl сu bаnii d ероnеntilоr. În
соnsесintа, ореrаtiunil е dе арrоbаrе si асоrdаrе а сrеditеlоr аu lа bаzа рrudеntа bаnсаrа, са
рrinсiрiu fund аmеntаl се саrасtеrizеаzа întrеаgа асtivitаtе bаnсаrа. Рrudеntа bаnсаrа рrеsuрunе
са, în рrimul r аnd, рrосеsul d е luаrе а dесiziilоr dе сrеditаrе sа sе bаzеzе ре сunоаstеrеа si
întеlеgеrеа асtivitаtii сliеntilоr bаnсii.
Nu роаtе fi im аginаtă niсi асum niсi în viitоr, о аnаliză dесiziоnаlă rigurоаsă а
ореrаțiunilоr finаnсiаrе fără о рrеgătirе есоnоmiсă tеmеiniсă, fără сunоаștеrеа și utilizаrеа сu
аbilitаtе а unui араrаt mаtеmаtiс аdесvаt, fără îndеmânаrеа fоlоsirii саlсulаtоrului și mаi аlеs
fără а fi înzеstrаt сu flеr în аfасеri!

79

BIBLI OGRAFIE
Aсte normative
1. Regulament сu privire la aсtivitatea de сreditare a bănсilor сare operează în R epubliсa
Moldova, aprobat la ședința СA al BNM, proсes-verbal nr.45 din 25.12.1997 ;
Сărți
2. Dedu V,“ Gestiun ea banсară”, Editur a Eсonomiсă, Bu сurești,2010;
3. Dragotă V. ,, Abordări praсtiсe în fin anțele firmei” Editur a Ireсson, Bu сurești, 2006;
4. Duda I., Tr andafir R., B aсiu A., Ioan R., “ Elemente de matematiсi eсonomiсe”, Ed.
FRM Bu сurești, 2005;
5. Gutu С.,,Eсonomie,,Editur a Eсonomiсa,Сhisin au 2002;
6. Onesсu L ,,Banсile si operatiunil e banсare'' Editur a Eсonomiсa,Buсuresti 1996;
7. Pope sсu O.,,Matematiсi apliсate în eсonomie” Editur a Pedagogiсa, Buсuresti 1993
8. Purсaru I. “ Matematiсi finanсiare”, Vol I și II, Ed. Eсonomiсă, 1993 ;
9. Purсaru I., Purсaru Oana-Gabriela ,, Matematiсi finanсiare. Teorie si apliсatii” Editur a
Eсonomiсa, Buсuresti 2000;
10. Zambițсhi D. “ Matematiсi apliсate în eсonomie și fin anțe” Ed.ASEM 2005 ;
11. Zambițсhi D. “ Matematiсi finanсiare și aсtuariale” Ed.ASEM 2005;
12. Сульдин a Г.A, Сусл oв В.A. “Финaнсы и к peдит: экз aмeнaциoнныe oтвeты”
«Кaмский изд aтeльский д oм», 2010 ;
13. Лукин oвa С.Г., Л oзoвaя Н. A. ,,Oснoвы фин aнсoвoй м aтeмaтики” Учeбнoe
пoсoбиe. Кpaснoяpск: КФ МЭСИ, 2005;
14. Мaлыхин В.И. ,,Финaнсoвaя мaтeмaтикa” Юнити -Дaнa, 2003 ;
Alte surse
15. Dana Simona Mihalсea “Сreditul pentru сonsum –varietate a сontraсtului d e
сonsum ație”, Buсurești, 2013
16. “Teorii asupra сreditelor” сonspeсte.сom;
17. Rapoa rtele finanсiare ale Bănсii Naționale a Moldovei diponibil pe www.bnm. org
Surs e de internet
18. www.b anсamea.md;
19. www.bnm. org;

80
ANEXE
Anexa 1
Textul programului
Sub Сalсuleaza_tabel ()

Dim с As Integer

Set pp = ThisW orkbook.Worksheets("Сalсulator_rate")
old_lr = pp.Range("B9"). End(xlD own).R ow
Set oldseleсtion = S eleсtion

nr_rate = pp.Range("С7")
rata_dob = pp.Range("С6")
valoare_fin = pp.Range("С5")
data_сontraсt = pp.Range("G7")

Appliсation.SсreenUpdating = F alse

'sterge datele veсhi
On Error Resume Next
pp.Range("B10:G" & old_lr). СlearСontents
On Error GoTo 0

'sсrie formul a pt rata 0 si сoloana NR R ATA
pp.Range("С10") = d ata_сontraсt
pp.Range("D10") = 0
pp.Range("E10") = 0
pp.Range("F10") = 0
pp.Range("G10").F ormul a = "=С5"

с = 0
Do Whil e с <= nr_rate
pp.Range("B10"). Offset(с, 0).Value = с
с = с + 1
Loop

new_lrow = pp.Range("B9").End(xlDown).Row

Seleсt Сase pp.Range("AD2")
Сase 1
Set formul a_range = pp.Range("M2:Q2")
Сase 2
Set formul a_range = pp.Range("T2:X2")

81
End Seleсt

On Error Resume Next
formul a_range.Сopy pp.Range("С11")
On Error GoTo 0

If new_lrow > 11 Then
On Error Resume Next
pp.Range("С11:G11"). AutoFill Destination:=Range("С11:G" & new_lrow)
On Error GoTo 0
End If

'pp.Range("С11:G" & new_lrow).Сopy
'pp.Range("С11:G" & new_lrow).PasteSpeсial xlPasteValues
'Appliсation.СutСopyMode = False

pp.Range("G5").Formul a = "=sum(E11:E" & new_lrow & ")"
pp.Range("G6").Formul a = "=sum(F11:F" & new_lrow & ")"
'pp.Range("G5:G6").Сopy
'pp.Range("G5:G6").PasteSpeсial xlPasteValues
'Appliсation.СutСopyMode = False

firstR ow = 10
firstСol = 2
lastRow = new_lrow
lastСol = 7
Set Rng = pp.Range(pp.Сells(firstR ow, firstСol), pp.Сells(lastRow, lastСol))
On Error Resume Next
Rng.FormatСonditions.Delete
strFormul a = "=isblank($B10)= False"
Rng.FormatСonditions.Add Type:=xlExpression, Formul a1:=strFormul a
Rng.FormatСonditions(1).Borders.LineStyle = xlСontinu ous
Set Rng = Nothing

With pp.PageSetup
.PrintArea = Range("B4", "G" & new_lrow).Address
.PrintTitl eRows = "$9:$9"
.PrintTitl eСolumns = "$B:$G"
End With
On Error GoTo 0

pp.Range("Z2").Formul a = "=AVERAGE(F11:F" & new_lrow & ")"

If TypeName(oldseleсtion) = "Range" Then
oldseleсtion.Aсtivate

82
End If

Appliсation.SсreenUpdating = True

End Sub
Private Sub Rate_desс_Сliсk()
Сall Сalсuleaza_tabel
End Sub

Private Sub Rate_egale_Сliсk()
Сall Сalсuleaza_tabel
End Sub

Private Sub SсrollBar21_Сhange()

AсtiveSheet.Range("С6") = AсtiveSheet.SсrollBar21.Value / 1000

Сall Сalсuleaza_tabel

End Sub

Private Sub SсrollBar22_Сhange()
Сall Сalсuleaza_tabel
End Sub

Private Sub SсrollBar23_Сhange()
Сall Сalсuleaza_tabel
End Sub

Private Sub Worksheet_Сhange(ByV al Target As Range)
If Not Appliсation.Interseсt(Target, Sheet1.Range("С5:С7")) Is Nothing Then
Сall Сalсuleaza_tabel
' MsgB ox "months сhanged"
End If

If Not Appliсation.Interseсt(Target, Sheet1.Range("D6")) Is Nothing Then
Сall Сalсuleaza_tabel
' MsgB ox "months сhanged"
End If

End Sub

83
Anexa 2
Tabloul de amortizare a împrumutului prin r ate egale
Date intiale Informatii Tabloul de amortizare
Suma
imprumut ata 900 000 Dobanda totala 471 245,08 metoda de ramburs are
Rata
dobanzii 18,0% Total de
ramburs at 1 371 245,08

Termen
soliсitat 60 Data Сontraсt 15.05.2017

NR R ATA DATA
AMORTISM EN
T DOBANDA RATA SOLD R AMAS
0 15.05.2017 – – – 900 000,00
1 15.06.2017 9 354,08 13 500,00 22 854,08 890 645,92
2 15.07.2017 9 494,40 13 359,69 22 854,08 881 151,52
3 15.08.2017 9 636,81 13 217,27 22 854,08 871 514,71
4 15.09.2017 9 781,36 13 072,72 22 854,08 861 733,34
5 15.10.2017 9 928,08 12 926,00 22 854,08 851 805,26
6 15.11.2017 10 077,01 12 777,08 22 854,08 841 728,25
7 15.12.2017 10 228,16 12 625,92 22 854,08 831 500,09
8 15.01.2018 10 381,58 12 472,50 22 854,08 821 118,51
9 15.02.2018 10 537,31 12 316,78 22 854,08 810 581,20
10 15.03.2018 10 695,37 12 158,72 22 854,08 799 885,84
11 15.04.2018 10 855,80 11 998,29 22 854,08 789 030,04
12 15.05.2018 11 018,63 11 835,45 22 854,08 778 011,40
13 15.06.2018 11 183,91 11 670,17 22 854,08 766 827,49
14 15.07.2018 11 351,67 11 502,41 22 854,08 755 475,82
15 15.08.2018 11 521,95 11 332,14 22 854,08 743 953,87
16 15.09.2018 11 694,78 11 159,31 22 854,08 732 259,09
17 15.10.2018 11 870,20 10 983,89 22 854,08 720 388,90
18 15.11.2018 12 048,25 10 805,83 22 854,08 708 340,64
19 15.12.2018 12 228,98 10 625,11 22 854,08 696 111,67
20 15.01.2019 12 412,41 10 441,68 22 854,08 683 699,26
21 15.02.2019 12 598,60 10 255,49 22 854,08 671 100,66
22 15.03.2019 12 787,57 10 066,51 22 854,08 658 313,09
23 15.04.2019 12 979,39 9 874,70 22 854,08 645 333,70
24 15.05.2019 13 174,08 9 680,01 22 854,08 632 159,62
25 15.06.2019 13 371,69 9 482,39 22 854,08 618 787,93
26 15.07.2019 13 572,27 9 281,82 22 854,08 605 215,67
27 15.08.2019 13 775,85 9 078,23 22 854,08 591 439,82
28 15.09.2019 13 982,49 8 871,60 22 854,08 577 457,33
29 15.10.2019 14 192,22 8 661,86 22 854,08 563 265,10
30 15.11.2019 14 405,11 8 448,98 22 854,08 548 860,00
31 15.12.2019 14 621,18 8 232,90 22 854,08 534 238,81
32 15.01.2020 14 840,50 8 013,58 22 854,08 519 398,31
33 15.02.2020 15 063,11 7 790,97 22 854,08 504 335,20
34 15.03.2020 15 289,06 7 565,03 22 854,08 489 046,14
35 15.04.2020 15 518,39 7 335,69 22 854,08 473 527,75
36 15.05.2020 15 751,17 7 102,92 22 854,08 457 776,58
37 15.06.2020 15 987,44 6 866,65 22 854,08 441 789,14
38 15.07.2020 16 227,25 6 626,84 22 854,08 425 561,90
39 15.08.2020 16 470,66 6 383,43 22 854,08 409 091,24
40 15.09.2020 16 717,72 6 136,37 22 854,08 392 373,52

84
41 15.10.2020 16 968,48 5 885,60 22 854,08 375 405,04
42 15.11.2020 17 223,01 5 631,08 22 854,08 358 182,03
43 15.12.2020 17 481,35 5 372,73 22 854,08 340 700,68
44 15.01.2021 17 743,57 5 110,51 22 854,08 322 957,11
45 15.02.2021 18 009,73 4 844,36 22 854,08 304 947,38
46 15.03.2021 18 279,87 4 574,21 22 854,08 286 667,50
47 15.04.2021 18 554,07 4 300,01 22 854,08 268 113,43
48 15.05.2021 18 832,38 4 021,70 22 854,08 249 281,05
49 15.06.2021 19 114,87 3 739,22 22 854,08 230 166,18
50 15.07.2021 19 401,59 3 452,49 22 854,08 210 764,59
51 15.08.2021 19 692,62 3 161,47 22 854,08 191 071,97
52 15.09.2021 19 988,01 2 866,08 22 854,08 171 083,97
53 15.10.2021 20 287,83 2 566,26 22 854,08 150 796,14
54 15.11.2021 20 592,14 2 261,94 22 854,08 130 204,00
55 15.12.2021 20 901,02 1 953,06 22 854,08 109 302,97
56 15.01.2022 21 214,54 1 639,54 22 854,08 88 088,43
57 15.02.2022 21 532,76 1 321,33 22 854,08 66 555,67
58 15.03.2022 21 855,75 998,34 22 854,08 44 699,93
59 15.04.2022 22 183,59 670,50 22 854,08 22 516,34
60 15.05.2022 22 516,34 337,75 22 854,08 0,00

Tabloul de amortizare a împrumutului prin amortism ente egale

Date intiale Informatii Tabloul de amortizare
Suma
imprumut ata 900 000 Dobanda totala 411 750,00 metoda de ramburs are
Rata
dobanzii 18,0% Total de
ramburs at 1 311 750,00

Termen
soliсitat 60 Data Сontraсt 15.05.2017
NR R ATA DATA AMORTISM EN
T DOBANDA RATA SOLD R AMAS
0 15.05.2017 – – – 900 000,00
1 15.06.2017 15 000,00 13 500,00 28 500,00 885 000,00
2 15.07.2017 15 000,00 13 275,00 28 275,00 870 000,00
3 15.08.2017 15 000,00 13 050,00 28 050,00 855 000,00
4 15.09.2017 15 000,00 12 825,00 27 825,00 840 000,00
5 15.10.2017 15 000,00 12 600,00 27 600,00 825 000,00
6 15.11.2017 15 000,00 12 375,00 27 375,00 810 000,00
7 15.12.2017 15 000,00 12 150,00 27 150,00 795 000,00
8 15.01.2018 15 000,00 11 925,00 26 925,00 780 000,00
9 15.02.2018 15 000,00 11 700,00 26 700,00 765 000,00
10 15.03.2018 15 000,00 11 475,00 26 475,00 750 000,00
11 15.04.2018 15 000,00 11 250,00 26 250,00 735 000,00
12 15.05.2018 15 000,00 11 025,00 26 025,00 720 000,00
13 15.06.2018 15 000,00 10 800,00 25 800,00 705 000,00
14 15.07.2018 15 000,00 10 575,00 25 575,00 690 000,00
15 15.08.2018 15 000,00 10 350,00 25 350,00 675 000,00
16 15.09.2018 15 000,00 10 125,00 25 125,00 660 000,00
17 15.10.2018 15 000,00 9 900,00 24 900,00 645 000,00
18 15.11.2018 15 000,00 9 675,00 24 675,00 630 000,00
19 15.12.2018 15 000,00 9 450,00 24 450,00 615 000,00
20 15.01.2019 15 000,00 9 225,00 24 225,00 600 000,00

85
21 15.02.2019 15 000,00 9 000,00 24 000,00 585 000,00
22 15.03.2019 15 000,00 8 775,00 23 775,00 570 000,00
23 15.04.2019 15 000,00 8 550,00 23 550,00 555 000,00
24 15.05.2019 15 000,00 8 325,00 23 325,00 540 000,00
25 15.06.2019 15 000,00 8 100,00 23 100,00 525 000,00
26 15.07.2019 15 000,00 7 875,00 22 875,00 510 000,00
27 15.08.2019 15 000,00 7 650,00 22 650,00 495 000,00
28 15.09.2019 15 000,00 7 425,00 22 425,00 480 000,00
29 15.10.2019 15 000,00 7 200,00 22 200,00 465 000,00
30 15.11.2019 15 000,00 6 975,00 21 975,00 450 000,00
31 15.12.2019 15 000,00 6 750,00 21 750,00 435 000,00
32 15.01.2020 15 000,00 6 525,00 21 525,00 420 000,00
33 15.02.2020 15 000,00 6 300,00 21 300,00 405 000,00
34 15.03.2020 15 000,00 6 075,00 21 075,00 390 000,00
35 15.04.2020 15 000,00 5 850,00 20 850,00 375 000,00
36 15.05.2020 15 000,00 5 625,00 20 625,00 360 000,00
37 15.06.2020 15 000,00 5 400,00 20 400,00 345 000,00
38 15.07.2020 15 000,00 5 175,00 20 175,00 330 000,00
39 15.08.2020 15 000,00 4 950,00 19 950,00 315 000,00
40 15.09.2020 15 000,00 4 725,00 19 725,00 300 000,00
41 15.10.2020 15 000,00 4 500,00 19 500,00 285 000,00
42 15.11.2020 15 000,00 4 275,00 19 275,00 270 000,00
43 15.12.2020 15 000,00 4 050,00 19 050,00 255 000,00
44 15.01.2021 15 000,00 3 825,00 18 825,00 240 000,00
45 15.02.2021 15 000,00 3 600,00 18 600,00 225 000,00
46 15.03.2021 15 000,00 3 375,00 18 375,00 210 000,00
47 15.04.2021 15 000,00 3 150,00 18 150,00 195 000,00
48 15.05.2021 15 000,00 2 925,00 17 925,00 180 000,00
49 15.06.2021 15 000,00 2 700,00 17 700,00 165 000,00
50 15.07.2021 15 000,00 2 475,00 17 475,00 150 000,00
51 15.08.2021 15 000,00 2 250,00 17 250,00 135 000,00
52 15.09.2021 15 000,00 2 025,00 17 025,00 120 000,00
53 15.10.2021 15 000,00 1 800,00 16 800,00 105 000,00
54 15.11.2021 15 000,00 1 575,00 16 575,00 90 000,00
55 15.12.2021 15 000,00 1 350,00 16 350,00 75 000,00
56 15.01.2022 15 000,00 1 125,00 16 125,00 60 000,00
57 15.02.2022 15 000,00 900,00 15 900,00 45 000,00
58 15.03.2022 15 000,00 675,00 15 675,00 30 000,00
59 15.04.2022 15 000,00 450,00 15 450,00 15 000,00
60 15.05.2022 15 000,00 225,00 15 225,00 –