1.1. Pagina de titlu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [626838]

Universitatea Politehnica Bucure¸ sti
Facultatea de Automatic ˘a si Calculatoare
Departamentul Automatic ˘a ¸ si Informatic ˘a Industrial ˘a
LUCRARE DE LICEN¸ T ˘A
Indica¸ tii de redactare
Absolvent
T˘ ab˘ acaru Radu-George
Coordonator
Prof. dr. ing. Ion Necoar˘ a
Bucure¸ sti, 2019

Cuprins
List˘ a de figuri ii
List˘ a de tabele iii
List˘ a de algoritmi iv
1. Indica¸ tii de redactare 1
1.1. Pagina de titlu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3. Formatare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.4. Dimensiune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5. Cuprins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.6. Figuri, grafice ¸ si tabele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.7. Ecua¸ tii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.8. Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Optimizare 4
2.1. Probleme de optimizare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Control Optimal 5
3.1. Problema de control optimal LQ si regulatorul LQR . . . . . . . . . . . . . 5
3.2. Problema de control optimal bazat ˘a pe strategia orizontului glisant(MPC) . 7
3.2.1. Structura problemei MPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2.2. Structura problemei MPC pentru urm ˘arirea unei referint ,e . . . . . . 8
3.2.3. Formularea QP f ˘ar˘a eliminarea st ˘arilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2.4. Formularea QP cu eliminarea st ˘arilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4. Detalii formatare L ATEX 12
4.1. Exemple comenzi de tip float . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1.1. Tabele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1.2. Figuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1.3. Algoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2. Lista bibliografica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3. Localizare: român ˘a versus englez ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4. Diverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Anexe 18
A. Nota¸ tii matematice consacrate 18
Bibliografie 21
ii

List˘ a de figuri
4.1. Karnaugh diagram for obaining the reduced cell representation . . . . . . . 14
4.2. Exemplification of separating hyperplanes techniques . . . . . . . . . . . . . 14
(a). cut for each tuple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
(b). cut for each complete face . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
(c). only one cut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
iii

List˘ a de tabele
4.1. Faults affecting the wind turbine model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2. Numerical values for the solving of an MI optimization problem under cla-
ssical and anhanced methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
iv

List˘ a de algoritmi
3.1. Algoritmul de baz ˘a al metodei MPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.1. Fault tolerant scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
v

1. Indica¸ tii de redactare
Lucrarea de licen¸ t ˘a con¸ tine, de obicei, urm ˘atoarele sec¸ tiuni:
a. Pagin ˘a de titlu
b. Cuprins
c. Introducere
d. Capitole – corpul lucr ˘arii
e. Concluzii
f. Anexe (dac ˘a este cazul)
g. Bibliografie
1.1. Pagina de titlu
Pagina de titlu con¸ tine numele lucr ˘arii de licen¸ t ˘a, numele autorului ¸ si al coordonatoru-
lui acestuia, numele universit ˘a¸ tii/facult ˘a¸ tii/departamentului, ora¸ sul ¸ si anul în care a fost
scris˘a aceasta. Prima pagina a acestui document prezint ˘a o sugestie de formatare a paginii
de titlu pentru lucr ˘arile de licen¸ t ˘a.
1.2. Introducere
Capitolul introductiv al lucr ˘arii de licen¸ t ˘a con¸ tine, de obicei, motiva¸ tia alegerii ¸ si studiului
temei. În introducere se prezint ˘a în linii generale contextul problemei studiate în cadrul
unui cuprins extins. Acesta cuprinde descrierea lucr ˘arii de licen¸ t ˘a, pe sec¸ tiuni sau capitole,
încercând s ˘a se scoat ˘a în eviden¸ t ˘a contribu¸ tiile ¸ si realiz ˘arile autorului.
1.3. Formatare
Formatul uzual al paginilor pentru redactarea lucr ˘arii de licen¸ t ˘a are urm ˘atoarele caracte-
ristici:
• pagin ˘a A4
• margini de 2cm sus, jos ¸ si la dreapta
• margine de 3cm la stânga
• spa¸ tiere simpl ˘a, la un rând ( single line )
1

Capitolul 1. Indica¸ tii de redactare
Fonturile cele mai lizibile pentru redactarea lucr ˘arii de licen¸ t ˘a sunt acele fonturi care
au corpul literei de dimensiune echilibrat ˘a în l˘a¸ time ¸ si în ˘al¸ time. Exemple de fonturi care se
preteaz ˘a redact ˘arii lucr ˘arii de licen¸ t ˘a sunt: Times New Roman 12pt, Arial 12pt, Verdana
11pt, Adobe Caslon Pro12 pt, Linotype Palatino 12pt, Helvetica 12pt, Neutra Text 12pt,
Kozuka Mincho 11pt.
Nu se recomand ˘a fonturi de dimensiune mai mare decât 12pt. Se recomand ˘a alegerea
unui font care con¸ tine diacritice, în cazul redact ˘arii lucr ˘arii în limba român ˘a.
Paragrafele se despart printr-un rând liber. Începutul unui paragraf se marcheaz ˘a
prin deplasarea la dreapta a primului rând din paragraf, de obicei cu 1 sau 1.5 cm.
Corpurile de text se distribuie pe orizontal ˘a de la un capat al celuilalt al paginii
(aliniere justified ), ¸ si nu la stânga. Lucrarea de licen¸ t ˘a nu este un manuscris, ci un produs
finit, prezentarea acestuia necesitând un anumit grad de finisare în formatare.
Lucrarea de licen¸ t ˘a se redacteaz ˘a, în întregime, cu acela¸ si font. Excep¸ tie fac ane-
xele, unde este posibil ˘a utilizarea unui font special pentru transcrierea scripturilor ¸ si a
programelor, de exemplu: Courier ¸ si/sau Courier New cu dimensiune de 10 sau 11pt.
1.4. Dimensiune
O lucrare de licen¸ t ˘a are, de obicei, între 40 ¸ si 80 de pagini.
Paginile lucr ˘arii se numeroteaz ˘a în ordine. Nu este indicat ˘a reînceperea numerot ˘arii
paginilor cu fiecare capitol. De asemenea, nu este indicat ˘a numerotarea paginii de titlu.
Numerele de pagini se includ în câmpuri speciale de subsol (Footer), în care fontul
utilizat trebuie s ˘a fie acela¸ si cu restul lucr ˘arii ¸ si cu 1 sau 2 puncte tipografice mai mic.
Optional, se poate include un câmp con¸ tinând titlul lucr ˘arii în zona superioar ˘a a pagi-
nii (Header), acesta necesitând aceea¸ si dimensiune de font adoptat ˘a pentru numerele de
pagini.
1.5. Cuprins
Cuprinsul lucr ˘arii de licen¸ t ˘a con¸ tine toate titlurile capitolelor, sec¸ tiunilor ¸ si subsec¸ tiunilor,
în ordinea în care acestea apar în lucrare. Se recomand ˘a s˘a nu se prescurteze cuvintele
"CAPITOL" ¸ si "SEC¸ TIUNE" în cazul în care acestea sunt utilizate înainte de num ˘arul
capitolului ¸ si al sec¸ tiunii sau subsec¸ tiunii respective. Uzual, aceste cuvinte se omit.
1.6. Figuri, grafice ¸ si tabele
Figurile ¸ si tabelele trebuie s ˘a aib˘a un titlu care s ˘a men¸ tioneze tipul obiectului respectiv,
con¸ tinutul acestuia ¸ si num ˘arul acestuia în cadrul capitolului:
Figura c.n. – desemneaz ˘a o figur ˘a, c fiind identificatorul capitolului, iar n repre-
zentând num ˘arul figurii în cadrul acelui capitol; acest titlu va fi urmat de numele figurii,
descriind con¸ tinutul acesteia. De exemplu: Figura 3.2. Sistem de reglare automat ˘a a pre-
siunii va fi titlul figurii a doua din capitolul 3, con¸ tinând structura unui sistem de reglare
automat ˘a a presiunii.
Tabelul c.n. – desemneaz ˘a un tabel, c fiind identificatorul capitolului, iar n re-
prezentând num ˘arul tabelului în cadrul acelui capitol; acest titlu va fi urmat de numele
2

Capitolul 1. Indica¸ tii de redactare
tabelului, descriind con¸ tinutul acestuia. De exemplu: Tabelul 5.6. Caracteristici tehnice
ale traductorului de temperatur ˘a va fi titlul tabelului al ¸ saselea din capitolul 5, con¸ tinând
caracteristicile tehnice ale unui traductor de temperatur ˘a.
Graficele sunt considerate figuri ¸ si vor purta titluri adecvate. Graficele trebuie s ˘a
aib˘a o etichet ˘a pe fiecare ax ˘a, descriind semnifica¸ tia acesteia, men¸ tionând unitatea de
m˘asur˘a acolo unde este cazul. De exemplu, pentru r ˘aspunsul în timp al unui sistem de
ordinul I oarecare, este îndeajuns a ata¸ sa eticheta y pe ordonat ˘a ¸ si eticheta t pe abscis ˘a.
Îns˘a dac˘a acest r ˘aspuns apar¸ tine unui model al unui proces fizic, se va men¸ tiona unitatea
de m˘asur˘a pe fiecare ax ˘a, de exemplu y[m] ¸ si t[s].
Pentru o tip ˘arire corect ˘a, toate figurile ¸ si graficele ar trebui salvate la o rezolu¸ tie de
cel putin 300dpi pentru cele color ¸ si 100dpi pentru cele alb-negru. Se recomand ˘a salvarea
acestora în format .tiff sau .png pentru conservarea calit ˘a¸ tii imaginilor.
Se recomand ˘a alinierea central ˘a a figurilor. Tabelele se pot alinia la stânga, l ˘asând
fa¸ t˘a de marginea paginii (acolo unde este posibil ¸ si dac ˘a tabelul nu acoper ˘a toat ˘a l˘a¸ timea
paginii) aceea¸ si dimensiune ca ¸ si în cazul primului rând al paragrafelor.
1.7. Ecua¸ tii
Ecua¸ tiile se scriu cu aceea¸ si în ˘al¸ time de font ca ¸ si corpul textului ¸ si se numeroteaz ˘a în
ordinea apari¸ tiei în text: (c.n) unde c reprezint ˘a identificatorul capitolului curent, iar n
este num ˘arul ecua¸ tiei în capitol. Ecua¸ tiile pot avea eticheta de identificare la stânga sau
la dreapta. Ecua¸ tiile se pot alinia centrat sau la stânga. De exemplu:
5 +x= 0 (1.1)
unde 1 reprezint ˘a num ˘arul capitolului, iar 1 este num ˘arul ecua¸ tiei în cadrul acestuia.
Înainte ¸ si dup ˘a fiecare ecua¸ tie se las ˘a un rând liber.
1.8. Bibliografie
Lista bibliografic ˘a este o component ˘a esen¸ tial ˘a a lucr ˘arii de licen¸ t ˘a, aceasta demonstrând
documentarea efectuat ˘a de c ˘atre autor ¸ si marcând corespunz ˘ator ideile care nu îi apar¸ tin
acestuia. Bibliografia este format ˘a dintr-o list ˘a ordonat ˘a alfabetic. Toate elementele
acestei liste trebuie citate în text .
3

2. Optimizare
Optimizarea matematic ˘a reprezint ˘a procesul de select ,ie al celui mai favorabil element,
dintr-o mult ,ime fixat ˘a, ce respect ˘a anumite constrângeri, de egalitate sau inegalitate.
Optimizarea este o s ,tiint ,˘a des utilizat ˘a în multe domenii, din care se pot enumera ingineria,
s,tiint ,ele exacte sau economia. De asemenea, exist ˘a semne c ˘a tehnicile de optimizare sunt
utilizate înc ˘a din Antichitate.
2.1. Probleme de optimizare
Aplicat ,iile din teoria optimiz ˘arilor se numesc probleme de optimizare. De cele mai multe
ori, o problem ˘a de optimizare presupune c ˘autarea maximului sau minimului unei funct ,ii
dintr-o mult ,ime favorabil ˘a, numit ˘a s,i mult ,ime fezabil ˘a.
Componentele unei probleme de optimizare sunt:
• funct ,ia obiectiv, care se va minimiza sau maximiza, ce va fi notat ˘a în continuare cu
f(x)
• variabila de decizie, care se poate alege dintr-o mult ,ime dat ˘a, notat ˘a în continuare
cux
• constrângeri (sau restrict ,ii) de egalitate sau inegalitate, ce trebuie respectate de
c˘atre valoarea funct ,iei obiectiv, notate în continuare cu g(x) (inegalitate) s ,i h(x)
(egalitate)
Într-un mod matematic, o problem ˘a de optimizare se poate scrie sub urm ˘atoarea form ˘a:
min
x∈Rnf(x)
s.l:g(x)≤0,h(x) = 0
undeg(x) = [g1(x)…gm(x)]Ts,ih(x) = [h1(x)…hp(x)]Treprezint ˘a notat ,iile compacte a
tuturor constrângerilor de egalitate s ,i inegalitate.
Definit ,ia2.1.1.O mult ,ime fezabil ˘a reprezint ˘a totalitatea valorilor unei variabile de decizie
ce respect ˘a toate constrângerile unei probleme de optimizare
Definit ,ia2.1.2.Un punctx∗∈Rneste un punct de minim global dac ˘a s,i numai dac ˘a
x∗∈Xs,if(x∗)≤f(x)oricare ar fi x∈X
Definit ,ia2.1.3.Un punctx∗∈Rneste un punct de minim local dac ˘a s,i numai dac ˘ax∗∈X
s,i exist ˘a o vecinatateNa luix∗astfel încât f(x∗)≤f(x)oricare ar fi x∈X
4

3. Control Optimal
Controlul optimal presupune manipularea dinamicii unui sistem pentru atingerea unei
st˘ari dorite, pornind dintr-o stare init ,ial˘ax0respectând un criteriu de optimalitate. Acest
criteriu de optimalitate se poate reprezenta, într-un mod general printr-o funct ,ie cost.
Fie problema de control optimal:
min
u(·)/integraldisplayT
0L(x,u)dt+V(x(T)) (3.1)
supus˘a la constrângerile de egalitate:
˙x=f(x,u)x∈Rn,u∈Rm(3.2)
În termeni abstract ,i, aceasta este o problem ˘a de optimizare cu constrângeri de egalitate,
prin care se caut ˘a o traiectorie fezabil ˘a(x(t),u(t))care minimizeaz ˘a funct ,ia cost
J(x,u) =/integraldisplayT
0L(x,u)dt+V(x(T)), (3.3)
unde termenul L(x,u) reprezint ˘a costul instant, iar V(x(T)) costul terminal.
Particularizând aceast ˘a definit ,ie, se pot obt ,ine mai multe cazuri de probleme de
control optimal.
3.1. Problema de control optimal LQ si regulatorul LQR
Teoria controlului optimal se poate folosi s ,i pentru a construi o lege de comand ˘a u =α(x)
care stabilizeaz ˘a sistemul într-un punct de echilibru dat. Pe scurt, aceast ˘a abordare pre-
supune rezolvarea repetitiv ˘a a problemei de control optimal pornind din starea curent ˘a
x(t) s ,i aplicând rezultatul acesteia (u(t)) pentru a preg ˘ati urmatoarea iterat ,ie.
Se va considera urm ˘atorul sistem dinamic pe stare:
/braceleftBigg
˙x(t) =Ax(t) +Bu(t), x (t0) =x0∈Rn,
y(t) =Cx(t) +Du(t),(3.4)
undeu(t)∈Rmreprezint ˘a vectorul comenzilor, x(t)∈Rnvectorul st ˘arilor siy(t)∈Rp
vectorul ie¸ sirilor. Matricea A∈Rn×nreprezint ˘a matricea st ˘arilor,B∈Rn×mmatricea
care pondereaz ˘a intrarile,C∈Rp×nmatricea care pondereaz ˘a ies ,irile ¸ siD∈Rp×mmatri-
cea de transfer la infinit. Funct ,ia cost definit ˘a în sect ,iunea precedent ˘a se particularizeaz ˘a,
obt ,inând astfel o funct ,ie cost p ˘atratic ˘a
J=1
2/integraldisplayT
0(xTQx+uTRu)dt+1
2xT(T)P1x(T) (3.5)
unde Q≥0, R≥0,P1≥0sunt matrici simetrice, pozitiv semi-definite.
5

Capitolul 3. Control Optimal
Pentru a rezolva aceast ˘a problem ˘a, se introduce Hamiltonianul
H=xTQx+uTRu+λT(Ax+Bu).
si se calculeaz ˘a gradientul acestuia,în raport cu u, egalându-l cu 0
∂H
∂u= 0 =Ru+λTB (3.6)
Din ecuat ,ia (2.6), obt ,inem comanda optimal ˘a
u=−R−1BTλ
Pentru a g ˘asi solut ,ia fezabil ˘a, se foloses ,te urmatoarea teorem ˘a(principiul maximului)
Teorema 3.1.1.Dac˘a perechea (x∗,u∗)este optim ˘a, atunci exist ˘aλ∗(t)∈Rns,iv∗∈Rq
astfel încât
˙xi=∂H
∂λi=Ax+Bu−˙λi=∂H
∂xi=Qx+ATλ (3.7)
Datorit ˘a liniarit ˘at,ii dinamicii sistemului, putem încerca sa g ˘asim o solut ,ie fixând
λ(t) =P(t)x(t)undeP(t)∈Rnxn. Înlocuind în relat ,iile (2.7) obt ,inem
˙λ=˙Px+P˙x=˙Px+P(Ax−BR−1BTP)x
−˙Px−PAx +PBR−1BPx =Qx+ATPx
Relat ,ia de mai sus este satisf ˘acut˘a dac˘a g˘asim un P(t) astfel încât
−˙P=PA+ATP−PBR−1BTP+Q (3.8)
As,adar, pentru rezolvarea problemei, putem aplica comanda optimal ˘a
u(t) =−R−1BTP(t)x
pornind de la stare init ,ial˘ax0, iterativ, pentru a ajunge în starea final ˘a dorit ˘a. Un caz
particular relevant pentru problema LQ este atunci când T = ∞. Astfel, se poate elimina
costul terminal, iar funct ,ia cost va deveni:
J=/integraldisplay∞
0(xT(t)Qx(t) +u(t)TRu(t))dt (3.9)
Deoarece T =∞, nu avem constrângeri asupra st ˘arii finale, deci putem c ˘auta un P constant
astfel încât
PA+ATP−PBR−1BTP+Q= 0 (3.10)
Relat ,ia de mai sus reprezint ˘a renumita ecuat ,ie algebric ˘a Ricatti, a c ˘arei solut ,ie conduce
la urm ˘atoarea expresie pentru comanda optimal ˘a
u=−R−1BTPx
unde P este solut ,ia ecuat ,iei (2.10). Trebuie amintit faptul c ˘a, pentru ca problema s ˘a
aib˘a sens, perechea (Q,A) trebuie s ˘a fie observabil ˘a, iar perechea (A,B) controlabil ˘a. Far ˘a
condit ,ia de controlabilitate, legea de comand ˘a g˘asit˘a mai sus nu poate stabiliza sistemul.
O important ,˘a deosebit ˘a în rezultatele acestei metode o are alegerea matricilor pon-
dere Q s ,i R. Cea mai simpl ˘a si eficient ˘a variant ˘a este utilizarea unor matrici diagonale de
6

Capitolul 3. Control Optimal
forma
Q=
q1
…
qn
R=
r1
…
rn

Avantajul acestei variante de alegere a ponderilor este c ˘a se poate controla fiecare compo-
nent˘a a vectorului de stare s ,i a celui de intrare. În general, trebuie s ˘a se fac ˘a un compromis
între alegerea ponderilor pentru stare s ,i a celor pentru intrare, întrucât nu se poate asigura
o performant ,˘a perfect ˘a pentru ambele componente.
3.2. Problema de control optimal bazat˘ a pe strategia orizontului
glisant(MPC)
Stragegia orizontului glisant este o metod ˘a avans ˘at˘a de control ce se poate aplica doar în
timp discret. Aceast ˘a tehnic ˘a presupune generarea unei traiectorii fezabile pe un orizont
finit s ,i rezolvarea unei probleme de optimizare într-un regim online, constrâns ˘a de ecuat ,iile
ce descriu modelul sistemului. Folosind vectorul de stare corespunz ˘ator pozit ,iei curente,
aceast ˘a problem ˘a de optimizare are ca rezultat un s ,ir finit de valori ale semnalelor de
comand ˘a necesare pentru a stimula sistemul de-a lungul traiectoriei generate. Se aplic ˘a
primul set de comenzi procesului, se m ˘asoar˘a din nou starea curent ˘a, iar procesul se repet ˘a,
folosind ca punct de plecare noul vector de stare al sistemului.
Descoperirea acestei tehnici s-a facut în cadrul companiei Shell în anul 1979, într-
un proiect ce poart ˘a numele de "Dynamic Matrix Control". S-a descoperit c ˘a, predict ,ia
comportamentului sistemului s ,i folosirea acestei predict ,ii în procesul de control al acestui
sistem a dus la un r ˘aspuns mai put ,in agresiv s ,i la o convergent ,˘a mai lin ˘a c˘atre valoarea
final˘a dorit ˘a. Un exemplu relevant pentru ilustrarea acestui principiu s ,i a rezultatelor
lui este procesul de conducere a unei mas ,ini. Pentru o conducere preventiv ˘a, s ,oferul
mas ,inii nu prives ,te direct în jos, ci analizeaz ˘a port ,iunea de drum ce va fi atins ˘a în viitor.
Astfel, acesta poate evita anumite obstacole, întrucât cunoas ,te pozit ,ia lor s ,i poate preg ˘ati
maneverele necesare din timp. Pentru a decide lungimea orizontului de predict ,ie, putem
face iar analogie cu exemplul precedent. Cu cât viteza automobilului este mai mare,
cu atât orizontul de predict ,ie trebuie sa fie mai întins, pentru ca s ,oferul sa aib ˘a timp
de react ,ie. Un alt exemplu poate fi o partid ˘a de s ,ah, în care avantajul unui juc ˘ator nu
depinde doar de mutarea curent ˘a, ci de capacitatea acestuia de a anticipa mut ˘arile viitoare
ale adversarului.
3.2.1. Structura problemei MPC
În general, pentru aceast ˘a problem ˘a, se folosesc modele liniare ale sistemului ce se dores ,te
a fi controlat.În aceast ˘a lucrare se va folosi un model liniar, care are urm ˘atoarea form ˘a
general ˘a:
xk+1=Axk+Buk (3.11)
xk∈Rn,uk∈Rm(3.12)
undexkreprezint ˘a vectorul st ˘arilor siukreprezint ˘a vectorul intr ˘arilor.
În realitate, orice sistem prezint ˘a anumite constrângeri pentru valorile st ˘arilor si
intr˘arilor acestuia. În alte tehnici de control, aceste constrângeri nu sunt luate în consi-
derare când problema este rezolvat ˘a, acest fapt putând cauza fenomene nepl ˘acute precum
saturat ,ia. În MPC, constrângerile fac parte într-un mod natural din rezolvarea problemei,
cât timp acestea sunt convexe.
7

Capitolul 3. Control Optimal
Problema de optimizare se poate formula sub forma QP(Quadratic Programming).
Forma standard este urm ˘atoarea:
minN/summationdisplay
k=1xTQx+ ∆uTR∆u (3.13)
s.l.x k+1=Axk+Buk,k= 1,…,n,x∈Rn,u∈Rm
uk∈U
xk∈X
g(xk,uk)≤0
As,adar, funct ,ia obiectiv este minimizat ˘a de-a lungul orizontului de predict ,ie, N, cu respec-
tarea constrângerilor de egalitate formulate pe baza dinamicii sistemului, s ,i a constrân-
gerilor de inegalitate aplicate asupra st ˘arilor si intr ˘arilor. Se asigur ˘a astfel stabilitatea
sistemului, deoarece orice valoare ce poate duce la instabilitate poate fi exclus ˘a cu ajuto-
rul constrângerilor. Algoritmul depinde foarte mult de acuratet ,ea cu care este determinat
modelul matematic al sistemului. Tehnica Model Predictive Control funct ,ioneaz ˘a pe prin-
cipiul orizontului alunecator. La fiecare iterat ,ie, este rezolvat ˘a problema de optimizare
dat˘a de relat ,ia 3.13. Rezultatul este un s ,ir de comenzi u1,u2,u3,…,u N. Doar prima co-
mand˘a este aplicat ˘a procesului, u1, urmând ca acest rat ,ionament s ˘a se repete. La pas ,ii
urm˘atori, orizontul "alunec ˘a" o pozit ,ie în viitor. În realitate, starea unui sistem nu este
direct accesibil ˘a, deci aceasta trebuie estimat ˘a folosind anumite tehnici.
Algoritm 3.1: Algoritmul de baz ˘a al metodei MPC
1Se m˘asoar˘a/estimeaz ˘axk;
2Se rezolv ˘a problema 3.313 cu xkca stare init ,ial˘a s,i se calculeaz ˘auk;
3Se aplic ˘a rezultatul, uk, sistemului;
4Se repet ˘a pas ,ii anteriori pân ˘a la atingerea obiectivului;
3.2.2. Structura problemei MPC pentru urm˘ arirea unei referint ,e
Se consider ˘a sistemul descris de ecuat ,ia 3.11, la care se adaug ˘a constrângeri de inegalitate
liniare pentru valorile st ˘arilor s ,i a intr ˘arilor ce au urm ˘atoarea form ˘a:
lbx≤xk≤ubx, C uuk≤du,∀t≥0
cuCu∈Rnixnxs,idu∈RniProblema de control optimal pentru urm ˘arirea unei referint ,e
este
minxk,uk1
2N/summationdisplay
k=1/bardblxk−xref
k/bardbl2
Qk+N/summationdisplay
k=1/bardbluk−uref
k/bardbl2
Rk(3.14)
s.l:x0=x,xk+1=Axxk+Buuk
lbx≤xk≤ubx, C uuk≤du∀k= 0..N−1
undexref
ksiuref
ksunt anumite referint ,e date peste orizontul de predict ,ie pentru vectorii
de stare s ,i intrare ai sistemului.
Pentru ca problema s ˘a fie bine formulat ˘a, trebuie s ˘a se stabileasc ˘a o stare init ,ial˘a
z0. Se vor folosi urm ˘atoarele definit ,ii:
/bardblxk−xref
k/bardbl2
Q= (x−xref)TQ(x−xref)
/bardbluk−uref
k/bardbl2
R= (u−uref)TR(u−uref)
8

Capitolul 3. Control Optimal
De asemenea, matricele Qks,iRkse consider ˘a pozitiv semi-definite ∀k. Aceast ˘a problem ˘a
poate fi considerat ˘a o problem ˘a de optimizare p ˘atratic ˘a convex ˘a, în dou ˘a moduri, în funct ,ie
de forma variabilei de decizie
3.2.3. Formularea QP f˘ ar˘ a eliminarea st˘ arilor
Variabila de decizie a problemei de optimizare din ecuat ,ia 3.14 poate fi notat ˘a cux∈
RN(nx+nu)s,i se scrie sub urm ˘atoarea form ˘a
x= [uT
0xT
1uT
1xT
2… uT
N−1xT
N] (3.15)
Constrângerile de egalitate ale problemei de optimizare sunt liniare, s ,i provin din definirea
dinamicii sistemului ce trebuie controlat. Pentru a formula problema p ˘atratic ˘a, ele se pot
concatena, t ,inând cont de modul în care a fost definit ˘a variabila de decizie, într-o singur ˘a
constrângere bloc Ax=b, undeA∈RNnx×N(nx+nu)s,ib∈RNnx.
A=
−BuInx 0 0 … 0 0 0
0−Ax−BuInx… 0 0 0
……………………
0 0 0 0 …−Ax−BuInx
,b=
Axx0
0
…
0

Aceast ˘a concatenare are sens deoarece ecuat ,iile ce descriu dinamica sistemului pe tot
orizontul de predict ,ie se pot scrie sub forma
x1=Axx0+Buu0⇔−Buu0+Inxx1=Axx0
x2=Axx1+Buu1⇔−Axx1−Buu2+Inxx2= 0
…
xN=AxxN−1+BuuN−1⇔−AxxN−1−BuuN−1+InxxN= 0
Structura matricei A este una bloc tridiagonal ˘a, iar singurul termen nenul al vectorului b
depinde de starea init ,ial˘a, ce va fi actualizat ˘a la fiecare iterat ,ie a algoritmului.
Constrângerile de inegalitate se pot rescrie, de asemenea, sub forma unei singure
constrângeri de forma Cx≤d. Inegalit ˘at,ile corespunz ˘atoare st ˘arilor sistemului sunt de
tip box s ,i se pot scrie astfel:/bracketleftBigg
Inx
−Inx/bracketrightBigg
xk≤/bracketleftBigg
ubx
−lbx/bracketrightBigg
As,adar, matricea C∈RN(2nx+ni)×N(nx+nu)are forma
C=
Cu 0 0 … 0 0
0Cx 0… 0 0
0 0 0… 0 0
0 0 0 … C u 0
0 0 0 … 0Cz

iard∈RN(nx+nu)are forma
d=
du
dx
…
du
dx

9

Capitolul 3. Control Optimal
Matricea C are o structur ˘a bloc diagonal ˘a.
În ceea ce prives ,te rescrierea funct ,iei obiectiv descrise de relat ,ia 3.14 sub forma
standard QP convex ˘a, trebuie construit un vector cu o strucutr ˘a asem ˘an˘atoare variabilei
de decizie x, dar care sa concateneze valorile de referint ,˘a pe întreg orizontul de predict ,ie.
Acesta va fi notat în continuare cu xref.
xref=/bracketleftBig
(uref
0)T(xref
1)T…(uref
N−1)T(xref
N)T/bracketrightBig
Dac˘a, în plus, consider ˘amQ∈RN(nx+nu)×N(nx+nu)o matrice diagonal ˘a de forma
Q=
R00… 0 0
0Q1… 0 0
0 0… 0 0
0 0… R N−10
0 0… 0QN

putem scrie problema de optimizare astfel:
1
2/bardblx−xref/bardbl2
Q=1
2(x−xref)TQ(x−xref) (3.16)
=1
2(xTQx−xTQxref−(xref)TQx+ (xref)TQxref)
=1
2xTQx−xTQxref+1
2(xref)TQxref
În continuare, se noteaza q=−Qxrefs,i se neglijeaz ˘a termenul1
2(xref)TQxrefatunci
problema 3.14 se poate scrie sub forma QP convex ˘a cu matricele rare
min
x∈RN(nx+nu)1
2xTQx+qTx (3.17)
s.l:Ax=b, Cx≤d
3.2.4. Formularea QP cu eliminarea st˘ arilor
Aceast ˘a metod ˘a este mai eficient ˘a decât formularea rar ˘a, întrucât matricele problemei vor
avea mult mai put ,ini termeni nuli. Pentru a elimina st ˘arile din problema de optimizare
init ,ial˘a, se folosesc relat ,iile ce descriu dinamica sistemului pe tot orizontul de predict ,ie.
Acestea vor fi rescrise în funct ,ie de starea init ,ial˘az0s,i de intr ˘ari:
x1=Axx0+Buu0 (3.18)
x2=Axx1+Buu1=A2
zz0+AzBuu0+Buu1
x3=Axx2+Buu2=A3
zz0+A2
zBuu1+AzBuu1+Buu2
…
xN=AxxN−1+BuuN−1=AN
xz0+AN−1
xBuu0+…+AxBuuN−2+BuuN−1
Din moment ce s-au putut scrie ecuat ,iile sub aceast ˘a form ˘a, tragem concluzia ca variabila
de decizie corespunz ˘atoare acestei metoda este format ˘a doar din intr ˘arile sistemului s ,i are
urm˘atoarea form ˘a: ’
x=/bracketleftBig
uT
0uT
1… uT
N−1/bracketrightBig
∈RNnu
Asemenea formul ˘arii rare, constrângerile de egalitate si inegalitate trebuie rescrise într-o
form˘a compact ˘a. Daca se consider ˘a˜x= [xT
1…xT
N]T∈RNnxs,i matricele ˜A∈RNnx×Nnu
10

Capitolul 3. Control Optimal
respectivAp∈RNnx×nxcu urm ˘atoarea form ˘a particular ˘a:
˜A=
Bu 0 0 0 … 0
AxBuBu 0 0 … 0
A2
xBuAxBuBu 0… 0
………………
AN−1
xBuAN−2
xBuAN−3
xBuAN−4
x… B u
Ap=
Ax
A2
x
A3
x…
AN
x

putem rescrie dinamica sistemului ca ˜x=˜Ax+Apz0.
Rat ,ionamentul pentru rescrierea constrângerilor de inegalitate pentru stare si co-
mand˘a este asem ˘an˘ator cazului precedent. Fiecare inegalitate se scrie sub forma Cxxk≤dx
s,i se concateneaz ˘a pe tot orizontul de m ˘asur˘a, obt ,inând o singur ˘a inegalitate pentru st ˘ari
˜Cx˜x≤dxîn care ˜Cx=diag(Cx,Cx,…,C x)s,i˜dx= [dT
x…dT
x]T. Pentru a face leg ˘atura cu
noua form ˘a a variabilei de decizie, constrângerea de inegalitate pentru st ˘ari trebuie scris ˘a
în funct ,ie de intr ˘arile sistemului, astfel:
˜Cx˜x≤dx⇔˜Cx(˜Ax+Apz0)≤˜dx⇔C/prime
x≤d/prime
x
Dac˘a restrângem s ,i constrângerile de inegalitate pe intrare sub forma Cu
xx≤d”
xcuC”
x=
diag(Cu,…C u)s,id/prime
x= [dT
u…dT
u]Tajungem la forma dorit ˘a, s ,i anumeCx≤dcu
C=/bracketleftBigg
C/prime
x
C”
x/bracketrightBigg
s,id=/bracketleftBigg
d/prime
x
d”
x/bracketrightBigg
Urmeaz ˘a reformularea funct ,iei obiectiv:
1
2N/summationdisplay
k=1/bardblxk−xref
k/bardbl2
Qk=1
2/bardbl˜x−˜xref/bardbl2
Q
11

4. Detalii formatare LATEX
Materialul curent foloseste ca template clasa „scrrprt“ la care s-au adaugat pachete
si comenzi uzuale.
Pentru a pastra o structura cat mai compacta fisierele sursa s-au impartit in urma-
toarele categorii1:
thesis.tex
reprezinta fisierul „main“ in care toate celelalte fisiere sunt apelate
standard.sty
contine pachetele si comenzile folosite uzual
bib.bib
contine cateva exemple de referinte in format bibtex; referinte aditionale pot fi ada-
ugate dupa necesitati
upb-authoryear.bbx, upb-authoryear.cbx si romanian.lbx
definesc stilul bibliografic asociat intrarilor din lista bibliografica
gls.tex
contine termeni de glosar ce pot fi adaugati la o „Lista de termeni“ daca se considera
necesar
Comentarii si scurte explicatii (in engleza) referitor la rolul pachetelor si comenzilor se
regasesc in aceste fisiere sursa.
Aditional, urmatoarea structura de dosare a fost folosita:
cls pentru stocarea fisierelor-sursa auxiliare (pentru introducerea de pachete/referinte
bibliografice, etc)
pics pentru stocarea imaginilor ce vor fi adaugate in manuscris
chapters
pentru stocarea fisierelor „capitol“ (pentru usurinta in lucru, am presupus ca textul
fiecarui capitol va fi pus intr-un fisier sursa de sine-statator)
Remarca 4.1.In cazul in care se doreste modificarea structurii mai sus-mentionate, o
atentie sporita trebuie acordata referintelor facute in cadrul fisierelor. 
Fisierele au fost compilate folosind distributia Miktex 2.9 ( http://miktex.org/
2.9/setup ), cu ajutorul editorului de text TexnicCenter ( http://www.texniccenter.
org/). Detalii generale despre L ATEXse pot gasi de exemplu in http://tobi.oetiker.
ch/lshort/lshort.pdf . In cele ce urmeaza sunt prezentate cateva situatii tipice.
1Nu este obligatoriu sa se pastreze aceeasi structura dar este recomandat, pentru a pastra o formatare
compacta.
12

Capitolul 4. Detalii formatare L ATEX
4.1. Exemple comenzi de tip float
In aceasta sectiunea vor fi exemplificate cateva constructii de tip „float“. In general,
fiecarui float i se poate asocia un element de tip legenda pentru a putea da o explicatie
detaliata si un element de tip eticheta , ce ii va permite referirea in cadrul manuscrisului
cat si aparitia in cadrul listei asociate (de exemplu in lista de figuri vor apare toate figurile
definite in manuscris).
4.1.1. Tabele
Informatii suplimentare despre tabele pot fi gasite de exemplu in http://en.wikibooks.
org/wiki/LaTeX/Tables . Cateva exemple simple sunt ilustrate in continuare.
Fault Fault Symbol Type
No.
1 Sensor Fault ∆β1,m1 Fixed Value
2 Sensor Fault ∆β2,m2 Gain Factor
3 Sensor Fault ∆β3,m1 Fixed Value
4 Sensor Fault ∆ωr,m1 Fixed Value
5 Sensor Fault ∆ωr,m2,∆ωg,m2Gain Factor
Tabela 4.1.: Faults affecting the wind turbine model
no. of hyperplanes 5 10 15 20 25 50 100
classical 9.91 64.06 91.74 511.47 306.04······
enhanced 1.14 0.81 0.59 4.84 4.18 3.66 2.94
Tabela 4.2.: Numerical values for the solving of an MI optimization problem under classical
and anhanced methods.
Atat Tabelul 4.1 cat si Tabelul 4.2 vor aparea in lista de tabele si vor putea fi referite
in text cu ajutorul etichetei asociate fiecaruia.
4.1.2. Figuri
In mod asemanator se pot afisa diverse imagini (se recomanda fie imagini in format raster
de rezolutie suficienta, fie imagini in format vectorial – eps, pdf, tikz). Detalii suplimentare
se pot regasi de exemplu in http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX/Floats,_Figures_
and_Captions .
In Figura 4.1 se ilustreaza un exemplu simplu (o singura figura) iar in Figura 4.2 se
face uz de pachetul „subfig“ ce permite o structura de tip tabel cu mai multe sub-figuri
(fiecare dintre acestea poate fi referita in mod independent – de exemplu, Figura 4.2 (c)).
Remarca 4.2.Dimensiunea unei figuri este determinata de argumentul optional ‘width’.
S-a preferat folosirea de macro-uri ( \singlefigure si\triplefigure ) si nu valori „hard-
coded“ datorita flexibilitatii lor. Shimband in preambul (in standard.sty ) valoarea unui
astfel de macro se vor schimba automat dimensiunile figurilor ce il folosesc, fara a mai fi
nevoie sa se modifice la fiecare in parte. 
13

Capitolul 4. Detalii formatare L ATEX
h1, h2
h3, h4- – – + + + + –
– –
– +
+ +
+ -B1
B2 B3 B4
B5
B6 B7 B8B9 P1 P2∗
∗∗ ∗
∗
Figura 4.1.: Karnaugh diagram for obaining the reduced cell representation
λ1λ2
λ3(1,1,0)
(1,1,1)(0,1,0)
(a) cut for each tuple
λ1λ2
λ3(1,1,0)
(1,1,1)(0,1,0) (b) cut for each complete face
λ1λ2
λ3(1,1,0)
(1,1,1)(0,1,0) (c) only one cut
Figura 4.2.: Exemplification of separating hyperplanes techniques
4.1.3. Algoritmi
In exemplul de mai jos, Algoritmul 4.1 foloseste pachetul „algorithm2e“ pentru redactarea
unui algoritm. Prin modificarea optiunilor din preambulul documentului (in standard.sty )
este posibila modificarea structurii/introducerea de noi cuvinte cheie/etc.
Algoritm 4.1: Fault tolerant scheme
Input:I=IH(0)∪IF(0);IH(0)/negationslash=∅
1k←the current sampling time;
2foreach sensori∈IF(k−1)do
3 ifri(k−1)∈RF
iandri(k)∈RH
ithen
4 compute a timer ¯θi;
5 end
6end
4.2. Lista bibliografica
Lista bibliografica este extrasa dintr-un fisier „*.bib“ in care sunt stocate articole/carti/conferinte
in format bibtex (detalii suplimentare pot fi gasite la http://en.wikibooks.org/wiki/
LaTeX/Bibliography_Management ). Un exemplu de astfel de intrare este:
@article{gilbert1991linear,
14

Capitolul 4. Detalii formatare L ATEX
title={{Linear systems with state and control constraints: the theory and application of maximal output admissible sets}},
author={Gilbert, EG and Tan, KT},
journal={IEEE Transactions on Automatic Control},
volume={36},
number={9},
pages={1008–1020},
year={1991}
}
Pentru citarea in text si listarea intrarilor citate in lista bibliografica s-a folosit
pachetul „biblatex“. In cadrul acestui pachet, cele mai uzuale comenzi de citare sunt
urmatoarele:
citare simpla
\cite{…} : Bitsoris ¸ si Truffet 2006
citare pusa intre paranteze
\parencite{…} : (Gilbert ¸ si Tan 1991)
citare cu anul pus intre paranteze
\textcite{…} : Loechner (1999)
citare cu intrari multiple
\cite{…, …, …} : Bellingham, Richards ¸ si How 2002; Garey ¸ si Johnson 1979;
Vitus ¸ si al¸ tii 2008; Camponogara ¸ si al¸ tii 2002
In mod automat, intrarile citate in text (si doar ele) vor fi puse in lista de referinte
de la sfarsitul manuscrisului.
4.3. Localizare: român˘ a versus englez˘ a
In fisierul principal ( thesis.tex ), prin selectarea optiunii language=english ,language=romanian
se poate alterna, respectiv, intre formatarea in engleza si cea in romana a textului. Cateva
exemple sunt:
• numele cuprins-ului va alterna intre „contents/cuprins“
• in interiorul listei bibliografice caracterele de legatura se vor adapta (de exemplu,
‘and’ devine ‘¸ si’)
• „ghilimelele“2se vor adapta la limba folosita (daca pentru a cita un fragment de
text se folosesc comenzile \textquote sau\blockquote )
• blocurile matematice isi vor alterna numele, de exemplu ‘Theorem’ devine ‘Teorema’
• referinta la un element, de exemplu ‘Figure 2.3’ devine ‘Figura 2.3’
Pentru caracterele specifice limbii romane ( ˘a,â,î, ¸ s, ¸ t etc) se poate recurge fie la
o codare explicita ( \u a,\ˆ a,\ˆ i, \c s, \c t ) asa cum e detaliat in http://en.
wikibooks.org/wiki/LaTeX/Special_Characters fie la scrierea lor direct de la o tasta-
tura setata in limba romana si intr-un editor de text ce suporta utf8.
2Bug: Folosirea ghilimelelor in limba romana va rezulta la compilare in afisarea de erori (de tipul ‘utf8:
character unrecognized’). Cu toate acestea, pdf-ul este creat iar simbolurile de tip ghilimele sunt afisate
corect.
15

Capitolul 4. Detalii formatare L ATEX
4.4. Diverse
blocuri matematice
pentru blocurile tipic intalnite in matematica (Teorema, Propozitie, Definitie, Re-
marca etc) exista definitii in preambul ce permit notarea/etichetarea si apelarea lor
in mod automat. Spre exemplu, un bloc de tip teorema poate va aparea astfel:
Teorema 4.1. Continut teorema….. urmat de simbolul de terminare a textului 
Demonstra¸ tie. Demonstratie a afirmatiilor facute in teorema. 
Iar teorema poate fi apoi referita in text prin intermediul etichetei sale: Teorema 4.1.
referinte in text
Cu ajutorul etichtelor asociate blocurilor definite in latex, este posibila referirea in
mod automat a acestor elemente oriunde in manuscris. Prin adaugarea pachetu-
luihyperref aceste referinte devin link-uri ce fac legatura cu elementul fata de care
sunt asociate. Exemple de referinte pot fi ecuatii ((1.1)), elemente de structura (Ca-
pitolul 1), blocuri matematice (Remarca 4.1) sau figuri/tabele/algoritmi. Pentru
multe dintre acestea, in fisierele sursa s-au folosit macro-uri. Desi nu este obligato-
riu, recomandam uzul acestora datorita flexibilitatii asociate. De exemplu, folosind
\figref{eticheta} putem sa ne adaptam in mod automat la schimbarea limbajului
de lucru (in preambul, acest macro va schimba, in functie de optiunea aleasa, intre
‘Figure’ si ‘Figura’).
Disclaimer
Acest model este inca intr-o versiune preliminara. Ca atare, diverse erori/bug-uri sunt
posibile. Daca astfel de situatii sunt intalnite va rog sa mi le aduceti la cunostiinta la
adresa florin.stoican@acse.pub.ro.
16

Anexe
17

A. Nota¸ tii matematice consacrate
Constante scalare
a,A,b,B,c,Cetc. (litere normale, cu prec ˘adere din prima parte a alfabetului);
Constante vectoriale
a,b,cetc. (litere minuscule, aldine ( bold), cu prec ˘adere din prima parte a alfabe-
tului);
Constante matriciale
A,B,C,P,Q,Retc. (litere majuscule, aldine ( bold), cu prec ˘adere din zona
alfabetului unde nu se afl ˘a litere alocate în mod tradi¸ tional indicilor);
Variabile scalare
x,y,zetc. (aplecate ( italic), ne-aldine, cu prec ˘adere din ultima parte a alfabetului);
Variabile vectoriale
x,y,zetc (litere minuscule, aldine ( bold), cu prec ˘adere din ultima parte a alfabe-
tului);
Variabile matriciale
H(q−1),H(s),H(z),H(t),H[k]etc. (litere majuscule, aldine ( bold), cu unul sau
mai multe argumente scalare sau vectoriale);
Operatori
min(minim), max(maxim), opt (optim), argopt (argument de optimizare sau punct
de optimizare), q−1(întârziere), Tr(urm˘a (trace)),Tz(Toeplitz), Pr(proiec¸ tie) etc,
(litere normale, urmate obligatoriu de explica¸ tia privind nota¸ tia, la prima utilizare);
Timp continuu
t∈R;
Timp discret
n∈Zsauk∈Z;
Argument de timp continuu
(t)(între parenteze rotunde);
Argument de timp discret
[n](între paranteze drepte);
Num˘ ar de itera¸ tie sau indici
i,j,k,l,m,netc. (aplecate, cu prec ˘adere din partea de mijloc a alfabetului);
exemplu de nota¸ tie complex ˘a":xk
i[n]– componenta ia vectorului x, la momentul
discretn, pentru iteratia k;
Caractere grece¸ sti frecvent utilizate (în ordinea fireasc˘ a a alfabetului grecesc)
•α(/alfa/, \alpha )
•β(/beta/, \beta )
•γ,Γ(/gama/, \gamma, \Gamma )
18

Capitolul A. Nota¸ tii matematice consacrate
•δ,∆(/delta/, \delta, \Delta )
•/epsilon1(/epsilon/, \epsilon )
•ζ(/¸ teta/, \zeta )
•η(/ita/, \eta)
•θ,Θ(/teta/, \theta, \Theta )
•κ(/kapa/, \kappa )
•λ,Λ(/lambda/, \lambda, \Lambda ) a nu se pronun¸ ta /lamda/
•µ(/miu/, \mu)
•ν(/niu/, \nu)
•ξ(/xi/, \xi)
•π,Π(/pi/, \pi, \Pi )
•ρ(/ro/, \rho)
•σ,Σ(/sigma/, \sigma, \Sigma )
•τ(/tau/, \tau)
•φ,ϕ,Φ(/fi/, \phi, \varphi, \Phi )
•χ(/hi/, \chi)
•ψ,Ψ(/psi/, \psi, \Psi )
•ω,Ω(/omega/, \omega, \Omega )
¸ Si în cazul lor, se vor respecta regulile de nota¸ tie pentru scalari/vectori.
Alte nota¸ tii unificate în Automatic˘ a
J,J= criteriu (de optimizare), func¸ tie-criteriu, (func¸ tie) cost, func¸ tie econo-
mic˘a, func¸ tie obiectiv
u,u= intrarea/comanda (scalar ˘a sau vectorial ˘a a) unui sistem dinamic
x,x= starea (scalar ˘a sau vectorial ˘a a) unui sistem dinamic
y,y= ie¸ sirea (scalar ˘a sau vectorial ˘a a) unui sistem dinamic
v,v= perturba¸ tia exogen ˘a (scalar ˘a sau vectorial ˘a) a unui sistem dinamic
(asociat ˘a cu ie¸ sirile)
w,w= perturba¸ tia endogen ˘a (scalar ˘a sau vectorial ˘a) a unui sistem dinamic
(asociat ˘a cu st ˘arile)
e,e= zgomotul alb (scalar sau vectorial)
e = num ˘arul lui Nepper, baza logaritmului natural (se scrie drept ¸ si nu
aplecat)
s = variabila (complex ˘a) Laplace
z = variabila complex ˘a circular ˘a (specific ˘a Transformatei Z)
19

Capitolul A. Nota¸ tii matematice consacrate
f,f= func¸ tie neliniar ˘a (scalar ˘a sau vectorial ˘a) asociat ˘a în special ecua¸ tiei de
stare
g,g= func¸ tie neliniar ˘a (scalar ˘a sau vectorial ˘a) asociat ˘a în special ecua¸ tiei de
ie¸ sire
∇,∇x= operatorul de gradient/Jacobian (se pronun¸ t ˘a /nabla/; \nabla ); acest
operator se poate nota ¸ si prin Jx
,x= operatorul Hessian (se pronun¸ t ˘a /romb/; \Diamond ); acest operator se
poate nota ¸ si prin Jxx
AT= transpusa matricii A
¯A = conjugata complex ˘a a matricii A
¯AT,A∗= transpusa ¸ si conjugata complex ˘a a matricii A(hermitica acesteia);
a doua nota¸ tie poate fi folosit ˘a ¸ si pentru a indica doar conjugarea
complex ˘a, cu condi¸ tia s ˘a se men¸ tioneze clar de la început semnifica¸ tia
acesteia
vR= versiunea r ˘asturnat ˘a a vectorului v(adic˘a rearanjat ˘a prin citirea de
jos în sus)
20

Bibliografie
Bellingham, J., Richards, A. ¸ si How, J.P. Receding horizon control of autonomous
aerial vehicles . vol. 5, Citeseer, pags. 3741–3746.
Bitsoris, G. ¸ si Truffet, L. Invariance and monotonicity of nonlinear iterated systems .
Lecture notes in control and information sciences, vol. 341, pag. 407.
Camponogara, E. ¸ si al¸ tii. Distributed model predictive control . Control Systems Ma-
gazine, IEEE, vol. 22(1), pags. 44–52.
Garey, M.R. ¸ si Johnson, D.S. Computers and intractability. A guide to the theory
of NP-completeness. A Series of Books in the Mathematical Sciences . WH Freeman ¸ si
Company, San Francisco, Calif.
Gilbert, EG ¸ si Tan, KT. Linear systems with state and control constraints: the theory
and application of maximal output admissible sets . IEEE Transactions on Automatic
Control, vol. 36(9), pags. 1008–1020.
Loechner, V. PolyLib: A library for manipulating parameterized polyhedra .
Vitus, M. P ¸ si al¸ tii. Tunnel-milp: Path planning with sequential convex polytopes .
AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference,
21