1.1. MĂRIMI SCALARE ȘI MĂRIMI VECTORIALE Mărimile care sunt co mplet deter minate prin valoarea l or numeric ă (pozitivă sau negativ ă) se numesc… [622104]

1. NOȚIUNI DE CALCUL VECTORIAL
1.1. MĂRIMI SCALARE ȘI MĂRIMI VECTORIALE

Mărimile care sunt co mplet deter minate prin valoarea l or numeric ă
(pozitivă sau negativ ă) se numesc mărimi scalare sau scalari .
Mărimile care sunt co mplet determinate prin valoarea lor numeric ă, prin
direcție și sens se numesc mărimi vectoriale sau vectori .
Vectorul reprezentat prin segmentul de dreapt ă orientat se nume ște vector
liber . În cazul când pentru defini rea vectorului este necesar ă precizarea
suportului, acest a se numește vector alunec ător; dacă este necesară și preci zarea
punctul de aplicație , acesta se nume ște vector legat .

1.2. COMPUNEREA A DOI VECTORI CONCUREN ȚI

Considerând doi vectori ași b cu origi nea în punctul O și unghiul dintre
suporturile celor doi vectori, α, suma sau rezultanta celor doi vect ori este
vectorul c, definit ca m ărime
direcție și sens de diagonala
paralelogram ului construit c u
vectorii ași b, ca laturi
(fig.1.1.a).
bac+= (1.1)
Mărimea vectorului
rezultant este:
αcosab2 b a c2 2++= (1.2)
Considerând ca referin ță,
suportul vectorului a, direcția vectorului re zultant este definit ă de unghiul β:

Fig. 1.1

ααβ
cosab2 b asinbsin
2 2++= (1.3)
Expresia analitic ă. Considerând c ă vectorii a și b definesc planul Oxy,
vectorul rezultant c va fi situat în acela și plan, cei trei vectori putând fi
exprim ați prin proiec ții pe axel e sistemul ui menționat, (fig.1.1.b):
jcicc;jbibb;jaiaay x y x y x +=+=+= (1.4)
Conform relației (1.1) putem scrie:
)jbib()jaia(jcicy x y x y x +++=+ (1.5)
3

Rezultă com ponentele pe axe al e vectorul ui rezultant c:
y y y x x x b a c;b a c +=+= (1.6)
Mărimea v ectorului rezultant es te:
2
y y2
x x2
y2
x )b a()b a( c c c +++=+= (1.7)
iar direcția este d ată de unghiul γ dintre suportul vectorului rezultant și axa Ox:

x xy y
xy
b ab a
cc
tg++
==γ (1.8)

1.3. COMPUNEREA A “n” VECTORI CONCUREN ȚI

Regula paralelogramului poate fi ext insă la compunerea unui num ăr
oarecare de vectori concuren ți 1V, 2V,….nV, ajungându-se la o construc ție
grafică num ită regula poligonului vectorilor , laturile acestuia fiind vectorii din
sistem. O latur ă Vi a poligonului se ob ține pri n construi rea unui vector
echipolent cu vectorul iV având ca origine,
extrem itatea vectorului 1−iV și ca extremit ate,
origi nea vectorului 1iV. +
Rezultanta sistem ului de vectori este
definită ca suma vect orială a vectorilor iV:
∑
==+++=n
1ii n 2 1 V V… V VV (1.9)
Construcția grafică reprezint ă segmentul
de dreapt ă care une ște origi nea prim ului vector
1V, cu extrem itatea ultim ului vector nV din
acest poligon (fig.1.2.a).
Regula poligonului, pentru cazul
particular de com punere a doi vectori concuren ți
se num ește regula triunghiul ui (fig.1.2.b).
Expresia anali tică. Suporturil e vectorilor
din sistem fiind orientate în spa țiu se va
considera un sistem de axe cartezi an
triortogonal Oxyz față de care vor fi exprim ate
componentele pe axe ale acestor vectori
(fig.1.2.c). Notând proiec țiile pe axe ale
vectorului iV cu Vix, Viy, Viz și ale vectorului
rezultant V, cu Vx, Vy, Vz, conform rela ției (1.9)
se scrie:

Fig.1.2
4

∑
=++=++n
1iiz iy ix z y x )kVjViV( kVjViV (1.10)
Analog ra ționamentului anterior,
rezultă valorile com ponentelor pe axe
ale vectorului rezultant:
(1.11)
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
⎨⎧
===
∑∑∑
===
n
1iiz zn
1iiy yn
1iix x
V VV VV V
Mărimea v ectorului rezultant es te:
2
z2
y2
x V V V V ++= (1.12)

Fig. 1.2
iar direcția dată prin cosinusuri le directoare:

VVcosx=α ,
VV
cosy=β ,
VVcosz=γ (1.13)

1.4. DES COMPUNEREA UNUI VECTOR DUP Ă DOUĂ DIRECȚII
CONCURENTE

Descom punera unui vector V după două
direcții concurente d1 și d2 înseam nă
determ inarea sistemului de vectori concuren ți
1V și 2V a căror rezultant ă este vectorul Vsau
deter minarea co mponentelor 1V și 2V ale
acestuia, pe cel e două direcții d1 și d2. Folosi nd
regula paralelogram ului, prin extre mitatea
vectorului V se construiesc paralele la direc țiile
d1 și d2, punctele de intersec ție cu acest e direcții
definind e xtremitățile vectorilor 1V și 2V, ca î n
figura 1.3.

Fig. 1.3

1.5. DES COMPUNEREA UNUI VECTOR DUP Ă TREI DIREC ȚII
CONCURENTE ÎN SPA ȚIU

Se aplică regula paraleogram ului în dou ă etape. În prima et apă se
descom pune vectorul V după una din cele trei direc ții, spre exem plu d3 și o
5

direcție d1,2, obținută ca intersec ție dintre
planul format de celelalte dou ă direcții,
d1 și d2 cu planul format d e cea de-a
treia direc ție d3 și vectorul V, rezultând
componentele 3V și 2,1V.
În etapa a doua se descom pune
componenta 2,1V după direcțiile d1 și d2
rezultând com ponentele 1V și 2V.
Vectorul V reprezint ă diagonala
paralelipipedului având ca m uchii,
componentele 1V, 2V și 3V (fig.1.4).

Fig. 1.4

1.6. PRODUSUL S CALAR A DOI VECTORI

Num im produs scalar al vectorilor a și b, notat ba⋅, scal arul c:
αcosbabac=⋅= (1.14)
unde α este unghiul form at de supor turile celor doi vectori.
Produsul scal ar al vectorilor a și bpoate fi exprim at ca produsul dintre
mărimea unui vector și proiecția celuilalt pe acesta, și invers (fig.1.5).

⎪⎩⎪⎨⎧
= =⋅= =⋅
aprb cosabbabpra cosbaba
ba
αα (1.15)
Expresia analitic ă. Când vectorii a și
b sunt exprima ți prin proiecțiile pe axele
sistem ului triort ogonal Oxyz :

⎩⎨⎧
++=++=
kajbibbkajaiaa
z y xz y x (1.16)
expresia analitic ă a produsul ui scalar devine:
zz yy xx ba ba baba ++=⋅ (1.17)

Fig. 1.5

1.7. PRODUSUL VECTORI AL A DOI VECTORI

Produsul vectorial al vectorilor a și b este un vector c, definit astfel:
bac×= (1.18)
Vectorul produs vectorial are urm ătoarele caracteristici:
a. mărimea (modulul) vectorului:
αsinbac= (1.19)
6

reprezentând aria paralelogramului av ând ca laturi cei doi vectori, a c ăror
suporturi form ează unghi ul α.
b. direcția este dată de o dreapt ă perpendicular ă pe planul defini t de cei doi
vectori
c. sensul este dat de regula șurubului drept: sensul de înaintare al șurubul ui
situat pe suport ul vectorului c, prin rot irea vectorului a către vectorul b, în
sensul parcurgerii unghiul ui minim dintre cei doi vectori (fig.1.6).
Expresia analitică. Cei trei vectori putând fi exprima ți prin proiec ții pe
axele sistem ului triortogonal Oxyz :

⎪⎩⎪⎨⎧
++=++=++=
kcjcicckbjbibbkajaiaa
z y xz y xz y x
(1.20)
produsul vectorial este scris sub
form a determinantului,

Fig. 1.6

z y xz y x
b b ba a akj i
bac=×= (1.21)
prin dezvoltarea aces tuia, r ezult ând co mponentele pe cele trei axe ale v ectorului
produs vectorial, c:
(1.22)
⎪⎩⎪⎨⎧
−=−=−=
xy yx zzx xz yyz zy x
ba ba cba ba cba ba c

1.8. PRODUSUL MIXT A TREI VECTORI

Produsul mixt a trei vectori , a, b și ceste prin defini ție, produsul scalar
dintre vectorul a și vectorul produs vectorial, cb× adică un scalar d:
)cb(a)c,b,a(d ×⋅= = (1.23)
Produsul m ixt este un scalar și
reprezintă volum ul paralelipipedul ui
având ca muchii m ărimile celor trei
vectori (fi g.1.7).
VhAa prcb)c,b,a(cb=⋅=⋅×=× (1.24)
Întrucât Acb=× reprezint ă aria
bazei p aralelipipedului având ca muchii
cei trei vectori iar ha prcb=× reprezint ă înălțimea paralelipipedului.

Fig. 1.7
7

Expresia analitic ă. Dacă vectorii sunt cunoscu ți prin proiec țiile lor pe
axele sistem ului triortogonal Oxyz atunci produsul mixt (1 .23) poate fi exprim at
analitic:

z y xz y xz y x
c c cb b ba a a
)cb(a)c,b,a( =×⋅= (1.24)

1.9. DUBLUL PRODUS VECTO RIAL A TREI VECTORI

Dublul produs vectorial al vectorilor a, b și ceste un v ector d egal cu
produsul vectorial dintre vectorii a și cb× fiind situat în planul vectorilor b și
c, conform relației:
c)ba(b)ca()cb(a ⋅−⋅=×× (1.25)
Dacă cei trei vectori sunt cunoscu ți prin proiec țiile lor pe axele sistem ului
triortogonal Oxyz conform (1.20), atunci dubl ul produs vectorial se scrie:
c)ba(b)ca()kcjcic()ba ba ba()kbjbib)(ca ca ca(c c cb b bjaiaiakakajac c cb b bkj i
)kajaia()cb(ad
z y x zz yy xxz y x zz yy xxz y xz y xx y z x y zz y xz y x z y x
⋅−⋅==++⋅++−−++ ++==− − −
== ×++=××=

8