1.1 Grupuri ciclice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 2 CUPRINS Intr o duc er e Lucrarea de licenµ trateaz teoria… [611459]

Byadmin

Cuprins
1 Grupuri nite 5
1.1 Grupuri ciclice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1

2 CUPRINS

Intr o duc er e
Lucrarea de licenµ  trateaz  teoria grupurilor nite de p erm ut ri, cu denirea
structurilor fundamen tale ³i caracterizarea in trumen telor sp ecice.
Studiul grupurilor nite are aplicaµii în div erse domenii ale matematicii ³i
în alte ³tiinµe precum zica ³i c himia.
În prim ul capitol am f cut o scurt  in tro ducere în teoria grupurilor -
nite denind noµiunea de grup,p erm utare, p erm uatre ciclica, ³i am caracterizat
grupurile ciclice.
3

4 CUPRINS

Capitolul 1
Grupuri nite
Deniµia 1.1. Fie G o mulµime nevid  ³i "" o op er aµie algebric   p e G.
(G;) se nume³te grup,dac   satisfac e urm to ar ele axiomele:
i) op er aµia "" este aso ciativ ;
ii) op er atµia "" admite element neutru ;
iii) oric e element din G este simetrizabil faµ  de op er aµia ""
iv) dac  , în plus, este satisf cut  axioma: op er aµia "" este c omutativ ,
atunci spunem c   grupul (G;) este c omutativ (ab elian).
Fie G un grup.
Deniµia 1.2. G se numeµe grup nit dac   mulµime a G este nit .
1.1 Grupuri ciclice
Ordin ul un ui elemen t
Fie G un grup, a2G ³il2Z . V om nota cu
Deniµia 1.3. Spunem c   a ar e un or din innit dac   ak6=e , ³i vom spune c  
a ar e un or din nit dac   9k02Zastfel înc ât ak0=e , asta p entru oric e k2Z.
Dac  G este un grup nit, atunci n um rul elemen telor sale se n ume³te ordin ul
lui G acesta notându-se cu ordG.
Exemplul 1.
Dac   G este grupul unitate atunci or dinul grupului G este 1.
Dac   G este un grup nit, atunci oric e sub grup al s u ar e indic e nit.
5

6 CAPITOLUL 1. GR UPURI FINITE
Observ aµie.
Elementul a2G ar e or din nit dac   ³i numai dac   9k1; k22Z; k16=k2 astfel
înc ât ak1=ak2 .
Elementul a2G ar e or din innit dac   ³i numai dac   8k1; k22Z; k16=k2 vom
ave aak16=ak2 .
Prop oziµia 1.1. Fie(G;) un grup ³i e a,b din G. A u lo c urm to aer ele ar-
maµii:
1.ak=e,ord(a)jk , unde k2N;
2.ord(a) =ord(a1) ;
3. or d(ab)=or d(b a);
4.ord(xax1) =ord(a);8x2G ;
5. dac   or d(a)=m, or d(b)=n, (m,n)=1 ³i ab=b a, atunci ord(ab) =mn .
Demonstraµie.
1.")" Dinak=e)ord(a)<1 . Not m or d(a)=h 2N. Din te or ema
împ  rµirii cu r est r ezult  c a exist  q; r2N; k=hq+r;0r < h .
Dac   r6= 0 , atunci ar=akhq=ak(ah)q=e , c ontr adicµie cu
or d(a)=k. De ci r=0, de unde k=or d(a)|k.
"(" Fie or d(a)=h. Din h|k r ezult  c   exist  s2Nastfel înc ât k=hs.
A vem ak= (ah)s=e
2. Observ m c   ar e lo c e chivalenµa :
at=e,at=e;8t2N
De ci, dac   or d(a)= 1 , atunci an6=e;8n2Nde ci ³i (a1)n6=e;8n2N,
adic   ord(a1) =1 .
Dac   or d(a)=c, c2N, atunci ac=e ³iat6=e;8t2N , 0 <t<c. R ezult 
c  ac=e ³iat6=e;8t2N , 0<t<c, adic   ord(a1) =c=ord(a):
3. A r e lo c e chivalenµa :
(ab)t=e,(ba)t=e;8t2N
Într-adev r,8t2N , avem (ab)t=e,a(ba)t1b=e,(ba)t1b=
a1,(ba)t=e:
De unde se veric   similar c a la 2, e galitate a c erut .
4. Din 3 avem c   ord(ba)1b=ordb1(ba) de ciord(bab1) =ord(a)
5. A vem (ab)mn=amnbmn =e , de ci or d(ab)=k, k2N: Mai mult, k|mn,
c onform cu 1
Dinakbk=e)ak=bkde unde akm=bkm=e , adic   bkm=e)
njkm . Cum (m,n)=1) n|k.
Similar vom obµine m|k ³i (m,n)=1 ) mn|k. Dar k|mn, de ci k=mn, adic  
or d(ab)=mn.

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: 1.1 Grupuri ciclice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 2 CUPRINS Intr o duc er e Lucrarea de licenµ trateaz teoria… [611459] (ID: 611459)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Similar Posts