1.1 Exercit iul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [623894]

Jurnal proiect
Molete Alexandru
January 6, 2019
Cuprins
1 Tema 2 2
1.1 Exercit iul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Exercit iul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Exercit iul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Exercit iul 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Exercit iul 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Tema 3 6
2.1 Exercit iul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Exercit iul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Exercit iul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Exercit iul 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 Exercit iul 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.6 Exercit iul 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Tema 4 9
3.1 Exercit iul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Exercit iul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3 Exercit iul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4 Exercit iul 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.5 Exercit iul 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Tema 5 12
4.1 Exercit iul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 Exercit iul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3 Exercit iul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.4 Exercit iul 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.5 Exercit iul 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.6 Exercit iul 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Tema 6 17
5.1 Exercit iul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 Exercit iul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.3 Exercit iul 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.4 Exercit iul 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.5 Exercit iul 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1

1 Tema 2
1.1 Exercit iul 1
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
t=0:1e-3:5;
g=impulse(G,t);
figure
plot(t,g);
title('Raspunsul la impuls');
xlabel('t');
ylabel('g=impulse(G,t)');
grid on;
st=step(G,t);
figure
plot(t,st);
title('Raspunsul la treapta');
xlabel('t');
ylabel('st=step(G,t)');
grid on;
Valorile nale ale r aspunsului sistemului G la impulsul Dirac, pe intervalul
t=[0,5] sunt: X:5 Y:-7,84e-07.
2

Valorile nale ale r aspunsului sistemului G la treapt a, pe intervalul t=[0,5] sunt:
X:5 Y:2.
R aspunsul sistemului la ^ nceput este o oscilat ie amortiza a. La nal, acesta
devine aperiodic, rezultatul la ie sire ind constant.
1.2 Exercit iul 2
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
u=heaviside(t);
cv=conv(u,g,'same');
cv=cv*(1e-3);
cv=cv';
figure
plot(t,cv);
grid on
energ=norm(st-cv,2)^2;
Energia diferent ei celor dou a semnale este 9.61e+03.
1.3 Exercit iul 3
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
ta=0:1e-3:7;
w=logspace(0,3,1000)';
ua=sin(w*ta);
for i=1:size(ua)
x(i,:)=lsim(G,ua(i,:),ta);
3

end
max_arm=max(max(x'));
1.4 Exercit iul 4
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
figure
ts=0:1e-3:10;
sw=zeros(1,length(ts));
for i=0:5:10
sw=sw+ones(1,length(ts)).*((ts>=i)&(ts<=i+2.5));
end
sw=sw';
sw_resp=lsim(G,sw,ts);
plot(ts,sw_resp);
grid on;
4

Semnalul rezultat este la fel cu r aspunsul sistemului la treapt a pe intervalele [0;
2:5)  si [5; 7:5) secunde.
1.5 Exercit iul 5
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
ok=1;n=2000;
while ok==1
n=n+5;
hold on
for i=1:length(t)
dir_apr(i)=n*bell(n*t(i));
end
hold off
if (norm(lsim(G,dir_apr,t)-g,2)^2)<(energ/100)
ok=0;
end
end
Am folosit funct ia bell(t):
function f=bell(t)
f=(1/sqrt(2*pi))*exp(-(t^2)/2);
Gracul lui dir apr tinde spre 0 pe m asu a ce cre ste n.
5

2 Tema 3
2.1 Exercit iul 1
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
tt=0:1e-3:2.5;
y0=[0.1 0.2 0.3];
u=heaviside(tt);
figure
subplot(1,3,1);
yf=lsim(G,u,tt);
plot(tt,yf);
xlabel('tt');
ylabel('raspuns fortat');
subplot(1,3,2);
yl=initial(ss(G),y0,tt);
plot(tt,yl);
xlabel('tt');
ylabel('raspuns liber');
subplot(1,3,3);
total=lsim(ss(G),u,tt,y0);
plot(tt,total);
xlabel('tt');
ylabel('raspuns total');
^In acest context, al reprezent arii intrare-ie sire a sistemelor, este considerat prac-
tic numai r aspunsul fort at al sistemului, datorat intr arii,  si ignorat r aspunsul
liber al sistemului, datorat condit iilor init iale.
6

2.2 Exercit iul 2
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
enr=norm(total-(yl+yf),2)^2;
Energia este egal a cu 1.2925e-25. Se dore ste ca valoarea energiei s a e foarte
mic a pentru a evident ia stingerea rapid a a r aspunsului tranzitoriu.
2.3 Exercit iul 3
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
figure
subplot(1,2,1);
rp=(u*(1.043/0.5322))';
plot(tt,rp);
xlabel('tt');
ylabel('regim permanent');
Diferent a dintre intrarea sistemului  si regimul permanent obt inut este 1, deoarece,
la intrare, valoarea regimului este 0,96, iar la ie sire este 1,96. Sistemul reproduce
stat ionar intrarea primit a, valoarea sa ind constant a pe parcursul parcurgerii
vectorului tt. Regimul fort at al unui sistem are component a permanent a atunci
c^ and m arimile exogene ^  si p astreaz a forma de variat ie sucient de mult timp,
iar r aspunsul ^ n timp al sistemului devine persistent.
2.4 Exercit iul 4
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
7

subplot(1,2,2);
rt=total-rp;
plot(tt,rt);
xlabel('tt');
ylabel('raspuns tranzitoriu');
Nu se poate stinge instantaneu pentru c a ar strica instalat ia zic a. Se dore ste
ca timpul tranzitoriu s a e c^ at mai scurt.
2.5 Exercit iul 5
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
ok=1;
for k=0:1e-3:10
if ok==1
T=G*k/(1+G*k);
aux1=real(pole(T));
for i=1:length(aux1)
if aux1(i)>=-0.05&&aux1(i)<=0
ok=0;break;
end
end
else
break;
end
end
Sistemul este unul cu timp continuu, av^ and funct ia de transfer T(s) ireductibil a.
Acesta este stibil BIBO ^ n sens strict dac a  si numai dac a tot i polii funct iei de
transfer T(s) au partea real a strict negativ a. ^In cazul ^ n care inegalitatea este
satisf acut a ^ n sens nestrict, adic a Re(pi)08i, iar acei poli pentru care au
loc egalit at ile Re(pi) = 0, respectiv jpij= 1 sunt poli simpli, atunci spunem
c a sistemul este stabil BIBO ^ n sens nestrict. ^In acest caz, funct ia pondere a
sistemului este m arginit a.
2.6 Exercit iul 6
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
ok=1;
for tau=0:1e-3:10
if ok==1
s=tf('s');
C=(1-tau*s)/(1+tau*s);
T=G*C/(1+G*C);
aux2=real(pole(T));
for i=1:length(aux2)
if aux2(i)>=-0.05&&aux2(i)<=0
ok=0;break;
end
end
8

else
break;
end
end
Tau este mai sensibil pentru funct ia G, la variat ii. Deci defazajul destabilizeaz a
mai repede sitemul dec^ at amplicarea.
3 Tema 4
3.1 Exercit iul 1
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
s=tf('s');
aux=stepinfo(G);
K=1.043/0.5322;
z=sqrt((log(aux.Overshoot))^2/((log(aux.Overshoot))^2+pi*pi));
w=4/z*aux.SettlingTime;
3.2 Exercit iul 2
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
tsim=0:1e-3:7;
uarm=sin(2*pi*tsim);
figure
lsim(G,uarm,tsim);
difa=2.25-(-1);
laga=abs(6.54-6.75);
9

3.3 Exercit iul 3
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
figure
lsim(G/K,tsim,tsim);
difr=abs(6.79-7);
lagr=abs(7-7);
10

3.4 Exercit iul 4
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
figure
C=1/(5*s+1);
T=(G*C)/(1+G*C);
step(T);
aux=stepinfo(T);
Tc=aux.SettlingTime/4;
Kc=aux.Peak;
11

3.5 Exercit iul 5
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
a=0.2;b=0.3;
C=a/(b*s*s+s);
T=(G*C)/(1+G*C);
stepinfo(T)
4 Tema 5
4.1 Exercit iul 1
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
s=tf('s');
figure
nyquist(G);
aux=allmargin(G);
faz_neg=aux.PhaseMargin;
12

Dac a hodograful buclei deschise s-ar a
a^ n cercul unitate, nu ar mai exista prob-
lema modic arii constantei de timp, deoarece sistemul ar  stabil. Cantitatea
de faz a negativ a tolerat a ar  mai mare decat 30 de grade.
4.2 Exercit iul 2
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
amp_sup=0;
H=amp_sup*G;
aux2=allmargin(H);
while aux2.Stable==1
amp_sup=amp_sup+0.001;
H=amp_sup*G;
aux2=allmargin(H);
end
amp_sup=amp_sup-0.001;
amp sup=1,251 este factorul maxim cu care poate cre ste amplicarea ^ n bucl a
deschis a f ar'u a ca sistemul ^ n bucl a inchis a s a- si piard a stabilitatea. Pentru
amp sup=1,251, defazajul este de 0,0256 grade. Faza buclei poate varia ^ ntre 0
 si 0,0256 grade.
4.3 Exercit iul 3
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
amp_inf=amp_sup;
H=amp_inf*G;
13

aux2=allmargin(H);
while aux2.Stable==1
amp_inf=amp_inf-0.001;
H=amp_inf*G;
aux2=allmargin(H);
end
amp_inf=amp_inf+0.001;
Fenomenul are leg atur a cu num arul de ^ ncercuiri ^ n jurul punctului critic. Dac a
valoarea cu care se^ nmult e ste K ar  mai mic a decat amp inf, hodograful funct iei
ar trece de punctul critic, devenind astfel instabil.
4.4 Exercit iul 4
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
figure
delvec=[0 0.005 0.01 0.015 0.02];
numarator=1.043;
numitor=[0.0009898 0.01648 0.1104 0.5322];
hold on
for i=1:5
P=tf(numarator,numitor,'InputDelay',delvec(i));
nyquist(P);
auxP=allmargin(P);
if auxP.Stable==1
intarz=delvec(i);
end
end
hold off
Cele dou a valori pot  ad augate funct iei de transfer f ar a ca sistemul ^ n bucl a
^ nchis a s a- si piard a stabilitatea. Dac a oricare din aceste valori este relativ mic a,
atunci sistemul este aproape de instabilitate.
4.5 Exercit iul 5
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
ok=1;
for c=1:0.1:10
for d=1:0.1:10
C=(s+c)/(s+d);
L=G*C;
aux2=allmargin(L);
if aux2.GainMargin>=2
if aux2.PhaseMargin>=30
ok=0;break;
end
end
end
if ok==0
14

break;
end
end
Conform denit iei, marginea de faz a este egal a cu argG (j!) +. Acesta este
adecvat a atunci c^ and argG (j!) este mai mare dec^ at . A sadar, hodograful
trebuie rotit la 180 de grade pentru a ^ i m ari marginea de faz a. Pentru a m ari
marginile de amplicare, hodograful trebuie scalat cu1
jG(j!)jpentru marginea
de amplitudine superioar a  si cu1
jG(j^!)jpentru marginea de amplitudine infe-
rioar a.!este frecvent a de t aiere a fazei pentru care locul Nyquist al lui G(j!)
taie axa ^ ntre -1  si 0, iar ^ !este frecvent a de t aiere a fazei pentru care locul
Nyquist al lui G(j!) taie axa ^ ntre1  si -1.
4.6 Exercit iul 6
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
x=[1.053 1.116 0.5896 0.5264 0];
y=[3.836e-5 9.974e-4 1.053e-2 6.433e-2 0.2058 5.388e-2 0.1066];
Cx = tf(x,y);
Lx=G*Cx;
[re,im,w]=nyquist(Lx);
dst_x=sqrt((re(1)+1)^2+im(1)^2);
for i=1:length(re)
if sqrt((re(i)+1)^2+im(i)^2)<dst_x
dst_x=sqrt((re(i)+1)^2+im(i)^2);
end
end
aux=allmargin(Lx);
cl_rob=aux.Stable;
15

Valoarea lui cl rob este 0, deoarece marginea de amplitudine superioar a este mai
mica dec^ at 2  si marginea de faz a este mai mic a dec^ at 30 de grade. Marginea
de amplitudine  si de faz a sunt indicatori tradit ionali de robustet e a stabilit at ii.
Ei m asoar a distant a de la punctul critic la locul Nyquist ^ n anumite direct ii
specice: amplitudine  si faz a. Dac a oricare dintre aceste margini este relativ
mic a atunci sistemul este aproape de instabilitate.
16

5 Tema 6
5.1 Exercit iul 1
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
s=tf('s');
figure
faz_vec=0:1:20;
a=cos(faz_vec)-1i*sin(faz_vec);
hold on
for i=1:21
margin(a(i)*G);
end
hold off
faz_lim=7;
Pentru ecare din valorile ^ ncercate, caracteristica pulsat ie-faz a se modic a cu
20 de grade. Diagrama pulsat ie-amplicare nu se modic a.
17

5.2 Exercit iul 2
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
figure
amp_vec=1:0.05:2;
hold on
for i=1:21
margin(amp_vec(i)*G);
aux=allmargin(amp_vec(i)*G);
if aux.Stable==0
amp_lim=i;
break;
end
end
hold off
Pentru ecare din valorile^ ncercate, caracteristica pulsat ie-amplicare se modic a
cu aproximativ 0,36 dB, iar diagrama pulsat ie-faz a nu se modic a.
18

5.3 Exercit iul 3
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
figure
filt = tf([1 0],[0.001 1]);
bodemag(G*filt);
bstart=0.369;
bend=37.9;
La frecvent a de 6,63 rad/s accelerat ia unghiular a este maxim a.
Pentru intrarea de tip treapt a ^ n regim stat ionar, accelerat ia unghiular a este
aproximativ 1.
5.4 Exercit iul 4
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
figure
w=5.35;
filt_cut=(w^2)/(s*s+w*sqrt(2)*s+w*w);
19

hold on
margin(G);
margin(G*filt_cut);
hold off
Pentru lt cut am folosit un ltru Butterworth de ordinul doi, de forma:
w2
t
s2+wtp
2s+w2
t
Am considerat pulsat ia wtegal a cu valoarea frecvent ei la care amplitudinea
este maxim a. Filtrul Butterworth asigur a robustet e: atenuarea oric arui semnal
perturbator cu frecvent a foarte put in diferit a de cea pentru care a fost proiectat
ltrul nu este redus a. Panta sistemului rezultat de la 20 rad/s ^ nspre innit este
de -40dB.
20

5.5 Exercit iul 5
Codul pentru rezolvarea exercit iului:
w=5.35;
T=1/w;
filt_stop=(T^2*s^2+0.015*s+1)/(T*s+1)^2;
margin(filt_stop*G);
Pentru lt stop, am considerrat un ltru Notch asem an ator cu ltrul de tip
opre ste-bandd a pentru eliminarea zgomotului de ret ea din semnale EKG.
21