1.1 De nit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [616029]

Cuprins
1 Funct ii convexe pe R 2
1.1 Denit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Diferent iabilitatea funct iilor convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 C^ ateva inegalit at i clasice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Subdiferent iala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Bibliograe 18
i

Capitolul 1
Funct ii convexe pe R
1.1 Denit ii
Denit ia 1.1. O funct ief:A!Rse nume ste convex a dac a:
f((1)x+y)(1)f(x) +f(y) (1.1)
pentrux;y2A si2[0;1]:
Se nume ste funct ie strict convex a dac a inegalitatea (1 :1) este strict a pentru oricare
x6=y si2(0;1)
Funct ia fse nume ste concav a dac a:
f((1)x+y)(1)f(x) +f(y) (1.2)
pentrux;y2A si2[0;1].
Dac a feste o funct ie convex a sau strict convex a atunci feste concav a sau strict
concav a. Dac a o funct ie este ^ n acela si timp convex a  si concav a atunci aceasta este
an a.
Geometric funct ia f:A!Reste convex a dac a punctele de pe gracul funct iei se
a
 a sub sau pe coarda care une ste punctele de coordonate ( a;f(a))  si (b;f(b)). Atunci:
f(x)f(a) +f(b)f(a)
ba(xa) (1.3)
pentru8x2[a;b]  sia;b2A;a<b .
2

Figura 1.1:
Acest lucru arat a ca funct iile convexe sunt majorate la nivel local de funct ii ane.
^In continuare sunt prezentate operat iile funct ionale ale funct iilor convexe.
Propozit ia 1.2.
1. Adunarea a dou a funct ii convexe, denite pe acela si interval, este o funct ie con-
vex a. Dac a una dintre acestea este strict convex a atunci suma este strict convex a.
2.^Inmultind o funct ie convex a (strict convex a) cu un scalar pozitiv obt inem tot o
funct ie convex a (strict convex a).
3. Restrict ia ec arei funct ii convexe (strict convexe) pe un subinterval al domeniului
de denit ie este de asemenea o funct ie convex a (strict convex a).
4. Dac af:A!Reste o funct ie convex a(strict convex a)  si g:R!Reste o
funct ie monoton cresc atoare (cresc atoare)  si convex a atunci gfeste o funct ie
convex a(strict convex a).
5. Fief:A!Bo funct ie bijectiv a. Dac a feste cresc atoare atunci feste (strict)
convex a dac a  si numai dac a f1este (strict) concav a. Dac a f este o funct ie
descresc atoare  si bijectiv a, atunci f sif1au acela si tip de convexitate.
Putem generaliza inegalitatea (1.1) pentru o funct ie convex a fcu ajutorul varia-
bilelorx;y;z cu ponderile t;u;v astfel ^ nc^ at t+u+v= 1. Ret inem c a u+v= 1t.
^In acest mod cazul cu 3 variabile poate  transformat ^ ntr-un caz cu 2 variabile dup a
cum urmeaz a:
3

f(xt+yu+zv) =f(xt+ (1t)uy+zt
u+z)
tf(x) + (1t)f(uy+zt
u+z)
=tf(x) + (1t)f(u
u+v
y+v
u+v
z)
tf(x) + (u+v)f(u
u+v
f(y) +v
u+v
f(z))
=tf(x) +tf(y) +tf(z)
Teorema 1.3. (Jensen[2]) Fie f:A!Ro funct ie continu a. Atunci f este convex a
dac a:
f(x+y
2)f(x) +f(y)
2;8x;y2A: (1.4)
Demonstrat ie. Se demonstreaz a doar partea de sucient a.
Presupunem prin reducere la absurd c a feste o funct ie convex a pe un interval
[a;b] astfel ^ nc^ at gracul funct iei nu este sub coarda format a de punctele ( a;f(a))  si
(b;f(b)), iar noua funct ie:
g(x) =f(x)f(b)f(a)
ba(xa)f(a); x2[a;b]
veric a
=supfg(x)jx2[a;b]g>0. Not am c a este continu a  si g(a) =g(b) = 0. Prin
calcul direct observ am de asemenea c a geste convex a, ce veric a ingalitatea (1.4) .
Not amc=inffx2[a;b]jg(x) =
gcu necesitatea g(c) =
 sic2(a;b).
Vom avea din denit ia lui c, pentru tot i t>0 cuct2(a;b):
g(ct)<g(c)  sig(c+t)g(c)
g(c)>g(ct) +g(c+t)
2
^ n contradict ie cu not iunea c a geste convex a. 
Corolar 1.4. Fief:A!Ro funct ie continu a. Atunci feste convex a dac a  si numai
dac a
f(x+t) +f(xt)2f(x)0: (1.5)
4

pentru oricare x2A sit>0astfel ^ nc^ at x+t;xt2A.
Se observ a c a Teorema 1.3  si Corolarul 1.4 au variante simple ^ n cazul funct iilor
strict convexe.
1.2 Diferent iabilitatea funct iilor convexe
Funct ieif:A!R si punctului a2Ale ata s am funct ia sa:Afag !R,
sa=f(x)f(a)
xa, unde valoarea luat a de xreprezint a panta coardei care une ste punctele
(a;f(a))  si (b;f(b)) a gracului funct iei f.
Teorem a 1.5. (Galvani[1].) Fie f:A!R. Atuncifeste convex a(respectiv strict
convex a) dac a  si numai dac a funct ia ata sat a saeste monoton cresc atoare(respectiv
cresc atoare)
Adic a,
sa(y)sa(x)
yx=1x f(x)
1y f(y)
1a f(a)
1x x2
1y y2
1a a2(1.6)
pentru toate punctele x;y;a2A.
Demonstrarea teoremei de mai sus se realizeaz a cu urm atoarea lem a:
Lema 1.6. Fief:!R. Atuncifeste convex a dac a  si numai dac a
1x f(x)
1y f(y)
1z f(z)
1x x2
1y y2
1z z20 (1.7)
pentru toate punctele x;y;z2Acux6=y6=z; echivalent cu dac a  si numai dac a
1x f(x)
1y f(y)
1z f(z)0 (1.8)
5

pentrux<y<z dinA.
Dac a funct ia este strict convex a atunci inegalitatea este vericat a inlocuind cu
>.
Demonstrat ie.
Condit ia de mai sus inseamn a
(zy)f(x)(zx)f(y) + (yx)f(z)0
pentrux < y < z dinA. Pentru ecare y2(x;z) acesta poate  scris ca y=
(1)x+z, iar ultima condit ie este echivalent a cu armat ia urm atoare
f((1)x) +z)(1)f(x) +f(z)
pentrux<z dinA si2[0;1]. 
Teorema 1.7. (Stolz[5]) Fie f:A!Ro funct ie convex a. Atunci feste continu a
pe interiorul intA al luiA si are derivate laterale nite ^ n ecare punct al intA . Mai
mult, dac a x<y dinintA implic a
f0
s(x)f0
d(x)f0
s(y)f0
d(y): (1.9)
^In particular, f0
s sif0
dsunt monoton cresc atoare pe intA .
Demonstrat ie. Adic a, conform Teormei(1.5), avem
f(x)f(a)
xaf(y)f(a)
yaf(z)f(a)
za
pentruxy<a<z din A. Aceste date ne asigur a c a derivata la st^ anga exist a  si
f0
s(a)f(z)f(a)
za
Folosind un rat ionament asem an ator obt inem existent a f0
d(a)  si vericarea inega-
lit at iif0
s(a)f0
d(a). Altfel dac a x < uv < y2int A, conform Teoremei(1.5)
avem
f(u)f(x)
uxf(v)f(x)
vxf(v)f(y)
vy
pentruu!x;u>x  siv!y;v<y obt inemf0
s(a)f0
d(a)
6

Deoarecefadmite derivate laterale nite ^ n ecare punct, atunci este continu a ^ n
ecare punct. 
Conform Teoremei 1.7 orice funct ie continu a  si convex a denit a pe intervalul [ a;b]
admite derivatele f0
d(a)  sif0
s(b) ^ n aceste puncte , acestea put^ and  innite astfel ^ nc^ at
1f0
d(a)<1 si1<f0
s(b)1
Propozit ia 1.8. Dac af: [a;b]!Ro funct ie convex a, atunci f(a+) sif(b)exist a
^ nR si
~f(x) =8
<
:f(a+);dac a x=a;
f(x);dac a x2(a,b);
f(b);dac a x=b.
este convex a.
Propozit ia 1.9. Dac af:A!Reste convex a, atunci ecare feste monoton a pe
int A, sau exist a 2intA astfel ^ nc^ at feste monoton descresc atoare pe intervalul
(1;]\A si monoton cresc atoare pe intervalul [;1)\A.
Demonstrat ie.
Deoarece orice funct ie convex a veric a formula (1.3), r am^ ane s a consider am cazul
^ n careAeste deschis. Dac a fnu este monoton a, atunci exist a punctele a<b<c din
Aastfel ^ nc^ at
f(b)<f(a)  sif(b)<f(c):
Cazulf(b)>f(a)  sif(b)>f(c) nu este acceptat tot de formula (1.3). Deoarece f
este continu a pe [ a;c] aceasta^  si atinge inmumul pe acest interval^ n punctul 2[a;c],
acesta ind
f() =inff ([a;c]):
De fapt,f() =inff (A). Adic a, dac a x < a atunci ^ n conformitate cu Teorema
1.5 avem
f(x)f()
xf(a)f()
a
ceea ce deducem,
(a)f(a)(xa)f() + (x)f(a)(a)f()
7

ceea ce rezult a
f(x)f()
Analog putem ar ata  si cazul ^ n care c<x .
Dac au<v< atunci
su() =s(u)s(v) =f(v)f()
v0
de unde
su(v)su()0:
Rezult a c a feste monoton descresc atoare pe A\(1;]. Analog, dac a  <u<v  si
sv()sv(u) obt inem c a f(v)f(u), decifeste monoton descescatore pe A\[;1):

Corolar 1.10. Orice funct ie convex a f:A!Rcare nu este monoton a pe intA are
un minim global interior.
Teorema 1.11. Dac af:A!Reste o funct ie convex a, atunci feste Lipschitz pe
orice interval compact [a;b]cont inut ^ n interiorul lui A.
Demonstrat ie. Din Teorema 1.7 avem
f0
d(a)f0
d(x)f(y)f(x)
yxf0
s(y)f0
s(b)
pentru8x;y2[a;b], cux<y , decifj[a;b]veric a condit ia Lipschitz cu L=maxfjf0
d(a)j;jf0
s(b)jg.

Consider am derivatele superioar a  si inferioar a de ordin doi dnite de formulele:
D2f(x) =limh!0supf(x+h) +f(xh)2f(x)
h2
D2f(x) =limh!0supf(x+h) +f(xh)2f(x)
h2
Funct iafeste de dou a ori derivabil a ^ n punctul x, atunci
D2f(x) =D2f(x) =f00(x) (1.10)
8

undeD2f(x)  siD2exist a  si ^ n punctele de discontinuitate.
Teorema 1.12. Dac aAeste un interval deschis, atunci o funct ie f:A!Reste
convex a dac a  si numai dac a feste continu a  si D2f(x)0.
Altfel, dac a funct ia f:A!Reste convex a ^ n vecin at at ile oric arui punct din A,
atunci este convex a pe ^ ntreg intervalul A.
Demonstrat ie. Dac afeste convex a, atunci
D2f(x)D2f(x)0
Continuitatea funct iei fse deduce din Teorema 1.7.
Presupunem c a D2f(x)>0 peA. Dac afnu este convex a, atunci exist a un punct
x0astfel ^ nc^ at D2f(x)0, care este o contradict ie. ^In acest caz exist a subintervalul
A0= [a0;b0] astfel ^ nc^ at
f(a0+b0
2)>f(a0) +f(b0)
2
Folosind unul din intervalele [ a0;a0+b0
2];[3a0+b0
4;a0+3b0
4];[a0+b0
2;b0], putem alegem s a^ nlocuim
peA0cuA1= [a1;b1] cub1a1=b0a0
2 sif(a1+b1
2)>f(a1)+f(b1)
2
Utiliz^ and induct ia matematic a, din principiul includerii intervalelor obt inem punc-
tulx0.
^In general,
fn(x) =f(x) +1
nx2:
AtunciD2f(x)>0  si din cele de mai sus, rezult a c a fneste convex a.
Evident,
fn(x)!f(x);8x2A
de undefeste convex a.

Corolar 1.13. Consider am f:A!Ro funt ie de dou a ori derivabil a. Atunci:
1.1f este convex a()f000;
2.2f este strict convex a ()f000 si grupul punctelor unde f" se anuleaz a nu
include intervale de lungime pozitiv a.
9

1.3 C^ ateva inegalit at i clasice
Lema 1.14. (Versiunea discret a a inegalit at ii lui Jensen).O funct ie f:A!Reste
convex a dac a  si numai dac a pentru orice x1;:::;xn2A si numerele reale 1;:::;n2
[0;1]cuPn
k=1k= 1 avem
f(nX
k=1kxk)nX
k=1kf(xk):
Inegalitatea de mai sus este strict a ^ n cazul ^ n care f este strict convex a iar toate
punctelexksunt diferite  si toate numerele ksunt pozitive.
Demonstrat ie. Se realizeaza cu ajutorul inductiei matematice.
Pentrun= 2 este adevarat din denitia functiei convexe.
f(n+1X
k=1kxk) =f(nX
k=1kxk+n+1xn+1) =f(n+1xn+1+(1n+1)
1
1n+1
nX
k=1nxn))
n+1f(xn+1) + (1n+1)f(1
1n+1
nX
k=1kxk)
=n+1f(xn+1) + (1n+1)f(nX
k=1k
1n+1xk)
n+1f(xn+1) + (1n+1)nX
k=1k
1n+1f(xk)
=nX
k=1kf(xk) +n+1f(xn+1)
=n+1X
k=1kf(xk)

Teorem a 1.15. (Inegalitatea mediilor[4])Dac a x1;


;xn2(0;1) si1=


;n2
(0;1),Pn
k=1k= 1,atunci
nX
k=1kxk>x1
1


xn
n (1.11)
10

cu except ia cazului c^ and x1=


=xn.
^Inlocuind pe xkcu1
xk^ n inegalitatea 1.11 obt inem
x1
1


xn
n>1Pn
k=1k
xk
cu except ia cazului c^ and x1=


=xn, ceea ce reprezint a inegalitatea mediei
geometrice-mediei armonice.
Teorem a 1.16. (Inegalitatea Popoviciu[3])Fie f:A!Ro funct ie continu a. Atunci
feste convex a dac a  si numai dac a
f(x) +f(y) +f(z)
3+f(x+y+z
3)2
3[f(x+y
2) +f(y+z
2) +f(x+z
2)] (1.12)
pentru orice x;y;z2A.
Dac a funct ia este strict convex a inegalitatea (1.12) este strict a except^ and cazul
x=y=z:
Demonstrat ie. Necesitatea. Presupunem c a xyz. Dac ayx+y+z
3, atunci
x+y+z
3x+z
2z
 si
x+y+z
3y+z
2z
ceea ce duce la alegerea numerelor s;t2[0;1]astfel ^ nc^ at
x+z
2=s
x+y+z
3+ (1s)
z
y+z
2=t
x+y+z
3+ (1t)
z
)(x+y2z)(s+t3
2) = 0:
Dac ax+y2z= 0 implicax=y=z, iar inegalitatea 1.12 este evident a.
Dac as+t=3
2avem:
f(x+z
2)s
f(x+y+z
3) + (1s)
f(z)
11

f(y+z
2)t
f(x+y+z
3) + (1t)
f(z)
f(x+y
2)1
2
f(x) +1
2
f(y)
^Insum^ and ultimele 3 inegalit at i obt inem:
f(x+y
2) +f(x+y
2) +f(x+y
2)1
2
(f(x) +f(y) +f(z)) +3
2
x+y+z
3
^Inmult ind inegalitatea cu2
3obt inem inegalitatea Popoviciu.
Asem an ator se demonstreaz a  si cazul ^ n carex+y+z
3<y.
Sucient a.
Candy=xfolosim urmatoarea substitutie a convexitatii punctului de mijloc:
1
4f(x) +3
4f(x+ 2y
3)f(x+y
2)8x;y2A: (1.13)
Din Teorema 1.3 rezulta inegalitatea ceruta. 
Teorem a 1.17. (Inegalitatea lui Young)Fie f: [0;1)![0;1)o funct ie cresc atoare
astfel ^ nc^ at f(0) = 0  silimx!1f(x) =1. Atunci
abZa
0f(x)dx+Zb
0f1(x)dx
pentru oricare a;b0, egalitatea av^ and loc dac a  si numai dac a b=f(a).
Demonstrat ie. Consideram functia
F(x) =Zx
0f(t)dt+Zf(x)
0f1(t)dtxf(x): (1.14)
FunctiaF(x) este derivabil a cu F0= 0 Acestea duc la
0ua 0vf(a))uvZu
0f(t)dt+Zv
0f1(t)dt
si acum teorema este demonstrata. 
Funct eig:A!R si punctului x0le ata s am funct ia fdent a prin
f(x) =Zx
x0g(t)dt
12

Deoarecegeste marginit a pe intervale m arginite rezult a c a geste o funct ie Lip-
schitz, ind deasemenea o funct ie convex a. Utiliz^ and Teorema 1.3 este sucient s a
ar at am c afeste convex a.
Pentruxy2Aavem
f(x) +f(y)
2f(x+y
2) =1
2(Zy
x+y
2g(t)dtZx+y
2
xg(t)dt)0
deoarecegeste monoton cresc atoare.
Se observ a c a feste derivabil a ^ n ecare punct de continuitate al funct iei g sif0=g
la aceste puncte.
Propozit ia 1.18. FieF:A!Ro funct ie convex a  si continu a  si f:A!Ro
funct ie astfel ^ nc^ at f(x)2@f(x). Pentru toate punctele a;b2Acua<b avem:
F(b)F(a) =Zb
af(t)dt:
Demonstrat ie. Ar at am cazul ^ n care [ a;b]intA. Pentru diviziunea a=t0<
t1<:::<t n=ba intervalului [ a;b] avem
F0
s(tk1)F0
d(tk1)F(tk)F(tk1)
tktk1F0
s(tk)F0
d(tk);8k
Deoarece
F(b)F(a) =nX
k=1[F(tk)F(tk1)]
obt inem
F(b)F(a) =Zb
aF0
s(t)dt=Zb
aF0
d(t)dt
Se observ a c a F0
sfF0
d, cu egalitate pentru armat ia Propozit iei 1.18. 
1.4 Subdiferent iala
Fief:A!R. Spunem c a fadmite o linie suport pentru x2Adac a exist a 2R
astfel ^ nc^ at
f(y)f(x) +(yx);8y2A:
13

Not am@f(x) ca ind subdiferent iala funct iei f^ n punctul xpentru orice .
Lema 1.19. Fief:A!Ro functie convex a. Atunci @f(x)6=?pentru orice punct
interior al intervalului A. ^In plus, toate funct iile g:A!Rcug(x)2@f(x), pentru
x2intA veric a dubla inegalitate:
f0
s(x)g(x)f0
d(x);
 si aceasta este monoton crescatoare pe int A.
Demonstrat ie. Ar at am c af0
d(x0)2@f(x0) pentru ecare x02intA. Dac ax2A,
cuxx0, atunci
f((1t)x0+tx)f(x0)
tf(x)f(x0)
pentru orice t2(0;1], ceea ce rezult a
f(x)f(x0) +f0
d(x0)
(xx0)
Dac axx0, printr-un rat ionament similar obt inem
f(x)f((x0) +f0
s(x0)
(xx0);
sau
f0
s(x0)
(xx0)f0
d(x0)
(xx0) (1.15)
deoarecexx00.
Analog, spunem c a f0
s(x0)2@f(x0) pentru orice x02intA.
Din Teorema 1.7 rezult a c a funct ia geste monoton cresc atoare.

Teorema 1.20. Fief:A!Ro funct ie continu a  si convex a  si g:A!Ro funct ie
astfel ^ nc^ at g(x)2@f(x)pentru orice x2intA . Atunci
f(y) =supff(x) + (yx)g(x)jx2intAg;8y2A:
Demonstrat ie. Este evident pentru intervalul deschis A. Dac a yeste cel mai mic
punct al intervalului, observ am c a
f(y+t)f(y)t
g(y+t)f(y+ 2t)f(y+t); t> 0
14

cu limt!0+t
g(y+t) = 0. Consider am ">0 cu>0 astfel ^ nc^ at
jf(y)f(y+t)j<"
2
 si
jt
g(y+t)j<"
2;0<t<:
Obt inem
f(y+t)t
g(y+t)<f(z) +";0<t<:

Teorema 1.21. Fief:A!Ro funct ie astfel ^ nc^ at @f(x)6=?pentru toate punctele
interioarex2A. Atuncifeste convex a.
Demonstrat ie. Fiea;b2A;a6=b sit2(0;1). Atunci (1t)a+tb2intA pentru
orice2@f((1t)a+tb) avem
f(a)f((1t)a+tb) +t(ab)

f(b)f((1t)a+tb)(1t)(ab)

^Inmult ind inegalit at ile cu 1 t sitobt inem
f(a)f((1t)a+tb) +t(ab)

(1t)
f(b)f((1t)a+tb)(1t)(ab)

t
Adun^ and inegalit at ile
(1t)f(a) +t
f(b)f((1t)a+tb)
decifeste o funct ie convex a. 
Teorema 1.22. Fie punctele xnxn1:::x1din intervalul [a,b]  si numerele
realetk;k=1;nastfel ^ nc^ at Pk=Pk
i=1tiveric a relat iile
0PkPn siPn>0:
15

Atunci orice funct ie convex a fdenit a pe [a;b]veric a inegalitatea:
f(1
PnnX
k=1tkxk)1
PnnX
k=1tkf(xk):
Demonstrat ie. Consider am  x=Pn
k=1tkxk
Pn siPk=PnPk1=Pn
i=kti. Atunci
Pn(x1x) =nX
i=1t1(x1xi) =nX
j=2(xj1xj)Pj0
 si
Pn(xxn) =n1X
i=1ti(xixn) =n1X
j=1(xjxj+1)Pj0;
ne arat a c a xnxx1. Consider am cazul ^ n care feste continu a  si punctele
x1;x2;:::;x 3apart in (a;b). Conform Lemei 1.19 consider am funct ia g:A!Rastfel
^ nc^ atg(x)2@f(x) pentru orice x2intA. Atunci
f(z)f(y)g(c)(zy) dac azyc
 si
f(z)f(y)g(c)(zy) dac aczy:
Deasemenea alegem un indice mastfel ^ nc^ at  x2[xm+1;xm]. Atunci
f(1
PnnX
k=1tkxk)1
PnnX
k=1tkf(xk)
este majorat a de
m1X
i=1[g(x)(xixi+1)f(xi) +f(xi+1)]Pi
Pn
+[g(x)(xmx)f(xm) +f(x)]Pm
Pn
+[f(x)f(xm+1)g(x)(xxm+1)]Pm+1
Pn;
+n1X
i=m+1[f(xi)f(xi+1)g(x)(xixi+1)]Pi+1
Pn;
16

care este o sum a de numere negative.

1.5 Aplicat ii
17

Bibliograe
[1] L. Galvani, Sulle funzioni converse di una o due variabili denite in aggregate
qualunque, Rend. Circ. Mat. Palermo 41 (1916), 103-134.
[2] J. L. W. V. Jensen, Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs
moyennes, Acta Math. 30 (1906), 175-193.
[3] T. Popoviciu, Sur certaines inegalites qui caracterisent les fonctions convexes,
Analele Stiintice Univ. Al. I. Cuza, Iasi, Sectia Mat.11 (1965), 155-164.
[4] L. J. Rogers, An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of
Math. 17 (1888), 145-150.
[5] O. Stolz, Grunz uge der Dierential und Integralrechnung, Vol. 1,Teubner, Leipzig,
1893.
18