1.1 De nit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [616028]

Cuprins
1 Funct ii convexe pe R 2
1.1 Denit ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Diferent iabilitatea funct iilor convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 C^ ateva inegalit at i clasice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Subdiferent iala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Aplicat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Funct ii convexe pe Spatii Banach 18
2.1 Notiuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Functii convexe conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Continuitatea funct iilor convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Funct ii omogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Subdiferent iala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Inegalit at i variat ionale 32
3.1 Ecuat ii neliniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Inegalit at i variat ionale eliptice de prima spet  a . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Inegalit at i variat ionale eliptice de spet a a doua . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Ecuat ii neliniare ce provin din inegalit at i variat ionale . . . . . . . . . . 45
4 PROIECTAREA S I DESF AS URAREA CERCET ARII 48
4.1 Ipoteza /Ipotezele cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2 Scopul cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Obiectivele cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 E santionul de subiect i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 E santionul de cont inut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6 Locul  si durata cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.6.1 Locul cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
i

4.6.2 Durata cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.7 Etapele cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.8 Metodologia cercet arii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 PREZENTAREA REZULTATELOR, PE ETAPE ALE CERCET ARII 49
5.1 Rezultatele din etapa constatativ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Etapa experimental-ameliorativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.1 Exemple de activit at i didactice formative derulate . . . . . . . . 62
5.3 Activitatea nr. 2 (prezentare, descriere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 Activitatea nr. 3 (prezentare, descriere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5 Activitatea nr. 4 (prezentare, descriere) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.5.1 Exemple de activit at i extradidactice cu caracter formativ-educativ
derulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.6 Rezultatele din posttest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 COMPARAREA S I INTERPRETAREA STATISTIC A A DATELOR
OBT INUTE 67
6.1 Compararea rezultatelor din pretest cu cele din posttest . . . . . . . . . 67
6.1.1 E santion experimental versus de control, ^ n pretest . . . . . . . 67
6.1.2 E santion experimental versus de control, ^ n posttest . . . . . . . 69
6.1.3 E santion control ^ n pretest, versus e santion control ^ n posttest . 70
6.2 Concluzii desprinse ^ n urma interpret arilor  si comparat iilor . . . . . . . 72
6.3 Direct ii  si perspective ulterioare de abordare a temei . . . . . . . . . . 72
Bibliograe 73
ii

Capitolul 1
Funct ii convexe pe R
1.1 Denit ii
Denit ia 1.1. O funct ief:A!Rse nume ste convex a dac a:
f((1)x+y)(1)f(x) +f(y) (1.1)
pentrux;y2A si2[0;1]:
Se nume ste funct ie strict convex a dac a inegalitatea (1 :1) este strict a pentru oricare
x6=y si2(0;1)
Funct ia fse nume ste concav a dac a:
f((1)x+y)(1)f(x) +f(y) (1.2)
pentrux;y2A si2[0;1].
Dac a feste o funct ie convex a sau strict convex a atunci feste concav a sau strict
concav a. Dac a o funct ie este ^ n acela si timp convex a  si concav a atunci aceasta este
an a.
Geometric funct ia f:A!Reste convex a dac a punctele de pe gracul funct iei se
a
 a sub sau pe coarda care une ste punctele de coordonate ( a;f(a))  si (b;f(b)). Atunci:
f(x)f(a) +f(b)f(a)
ba(xa) (1.3)
pentru8x2[a;b]  sia;b2A;a<b .
2

Figura 1.1:
Acest lucru arat a ca funct iile convexe sunt majorate la nivel local de funct ii ane.
^In continuare sunt prezentate operat iile funct ionale ale funct iilor convexe.
Propozit ia 1.2.
1. Adunarea a dou a funct ii convexe, denite pe acela si interval, este o funct ie con-
vex a. Dac a una dintre acestea este strict convex a atunci suma este strict convex a.
2.^Inmultind o funct ie convex a (strict convex a) cu un scalar pozitiv obt inem tot o
funct ie convex a (strict convex a).
3. Restrict ia ec arei funct ii convexe (strict convexe) pe un subinterval al domeniului
de denit ie este de asemenea o funct ie convex a (strict convex a).
4. Dac af:A!Reste o funct ie convex a(strict convex a)  si g:R!Reste o
funct ie monoton cresc atoare (cresc atoare)  si convex a atunci gfeste o funct ie
convex a(strict convex a).
5. Fief:A!Bo funct ie bijectiv a. Dac a feste cresc atoare atunci feste (strict)
convex a dac a  si numai dac a f1este (strict) concav a. Dac a f este o funct ie
descresc atoare  si bijectiv a, atunci f sif1au acela si tip de convexitate.
Putem generaliza inegalitatea (1.1) pentru o funct ie convex a fcu ajutorul varia-
bilelorx;y;z cu ponderile t;u;v astfel ^ nc^ at t+u+v= 1. Ret inem c a u+v= 1t.
^In acest mod cazul cu 3 variabile poate  transformat ^ ntr-un caz cu 2 variabile dup a
cum urmeaz a:
3

f(xt+yu+zv) =f(xt+ (1t)uy+zt
u+z)
tf(x) + (1t)f(uy+zt
u+z)
=tf(x) + (1t)f(u
u+v
y+v
u+v
z)
tf(x) + (u+v)f(u
u+v
f(y) +v
u+v
f(z))
=tf(x) +tf(y) +tf(z)
Teorema 1.3. (Jensen[2]) Fie f:A!Ro funct ie continu a. Atunci f este convex a
dac a:
f(x+y
2)f(x) +f(y)
2;8x;y2A: (1.4)
Demonstrat ie. Se demonstreaz a doar partea de sucient a.
Presupunem prin reducere la absurd c a feste o funct ie convex a pe un interval
[a;b] astfel ^ nc^ at gracul funct iei nu este sub coarda format a de punctele ( a;f(a))  si
(b;f(b)), iar noua funct ie:
g(x) =f(x)f(b)f(a)
ba(xa)f(a); x2[a;b]
veric a
=supfg(x)jx2[a;b]g>0. Not am c a este continu a  si g(a) =g(b) = 0. Prin
calcul direct observ am de asemenea c a geste convex a, ce veric a ingalitatea (1.4) .
Not amc=inffx2[a;b]jg(x) =
gcu necesitatea g(c) =
 sic2(a;b).
Vom avea din denit ia lui c, pentru tot i t>0 cuct2(a;b):
g(ct)<g(c)  sig(c+t)g(c)
g(c)>g(ct) +g(c+t)
2
^ n contradict ie cu not iunea c a geste convex a. 
Corolar 1.4. Fief:A!Ro funct ie continu a. Atunci feste convex a dac a  si numai
dac a
f(x+t) +f(xt)2f(x)0: (1.5)
4

pentru oricare x2A sit>0astfel ^ nc^ at x+t;xt2A.
Se observ a c a Teorema 1.3  si Corolarul 1.4 au variante simple ^ n cazul funct iilor
strict convexe.
1.2 Diferent iabilitatea funct iilor convexe
Funct ieif:A!R si punctului a2Ale ata s am funct ia sa:Afag !R,
sa=f(x)f(a)
xa, unde valoarea luat a de xreprezint a panta coardei care une ste punctele
(a;f(a))  si (b;f(b)) a gracului funct iei f.
Teorem a 1.5. (Galvani[1].) Fie f:A!R. Atuncifeste convex a(respectiv strict
convex a) dac a  si numai dac a funct ia ata sat a saeste monoton cresc atoare(respectiv
cresc atoare)
Adic a,
sa(y)sa(x)
yx=1x f(x)
1y f(y)
1a f(a)
1x x2
1y y2
1a a2(1.6)
pentru toate punctele x;y;a2A.
Demonstrarea teoremei de mai sus se realizeaz a cu urm atoarea lem a:
Lema 1.6. Fief:!R. Atuncifeste convex a dac a  si numai dac a
1x f(x)
1y f(y)
1z f(z)
1x x2
1y y2
1z z20 (1.7)
pentru toate punctele x;y;z2Acux6=y6=z; echivalent cu dac a  si numai dac a
1x f(x)
1y f(y)
1z f(z)0 (1.8)
5

pentrux<y<z dinA.
Dac a funct ia este strict convex a atunci inegalitatea este vericat a inlocuind cu
>.
Demonstrat ie.
Condit ia de mai sus inseamn a
(zy)f(x)(zx)f(y) + (yx)f(z)0
pentrux < y < z dinA. Pentru ecare y2(x;z) acesta poate  scris ca y=
(1)x+z, iar ultima condit ie este echivalent a cu armat ia urm atoare
f((1)x) +z)(1)f(x) +f(z)
pentrux<z dinA si2[0;1]. 
Teorema 1.7. (Stolz[5]) Fie f:A!Ro funct ie convex a. Atunci feste continu a
pe interiorul intA al luiA si are derivate laterale nite ^ n ecare punct al intA . Mai
mult, dac a x<y dinintA implic a
f0
s(x)f0
d(x)f0
s(y)f0
d(y): (1.9)
^In particular, f0
s sif0
dsunt monoton cresc atoare pe intA .
Demonstrat ie. Adic a, conform Teormei(1.5), avem
f(x)f(a)
xaf(y)f(a)
yaf(z)f(a)
za
pentruxy<a<z din A. Aceste date ne asigur a c a derivata la st^ anga exist a  si
f0
s(a)f(z)f(a)
za
Folosind un rat ionament asem an ator obt inem existent a f0
d(a)  si vericarea inega-
lit at iif0
s(a)f0
d(a). Altfel dac a x < uv < y2int A, conform Teoremei(1.5)
avem
f(u)f(x)
uxf(v)f(x)
vxf(v)f(y)
vy
pentruu!x;u>x  siv!y;v<y obt inemf0
s(a)f0
d(a)
6

Deoarecefadmite derivate laterale nite ^ n ecare punct, atunci este continu a ^ n
ecare punct. 
Conform Teoremei 1.7 orice funct ie continu a  si convex a denit a pe intervalul [ a;b]
admite derivatele f0
d(a)  sif0
s(b) ^ n aceste puncte , acestea put^ and  innite astfel ^ nc^ at
1f0
d(a)<1 si1<f0
s(b)1
Propozit ia 1.8. Dac af: [a;b]!Ro funct ie convex a, atunci f(a+) sif(b)exist a
^ nR si
~f(x) =8
<
:f(a+);dac a x=a;
f(x);dac a x2(a,b);
f(b);dac a x=b.
este convex a.
Propozit ia 1.9. Dac af:A!Reste convex a, atunci ecare feste monoton a pe
int A, sau exist a 2intA astfel ^ nc^ at feste monoton descresc atoare pe intervalul
(1;]\A si monoton cresc atoare pe intervalul [;1)\A.
Demonstrat ie.
Deoarece orice funct ie convex a veric a formula (1.3), r am^ ane s a consider am cazul
^ n careAeste deschis. Dac a fnu este monoton a, atunci exist a punctele a<b<c din
Aastfel ^ nc^ at
f(b)<f(a)  sif(b)<f(c):
Cazulf(b)>f(a)  sif(b)>f(c) nu este acceptat tot de formula (1.3). Deoarece f
este continu a pe [ a;c] aceasta^  si atinge inmumul pe acest interval^ n punctul 2[a;c],
acesta ind
f() =inff ([a;c]):
De fapt,f() =inff (A). Adic a, dac a x < a atunci ^ n conformitate cu Teorema
1.5 avem
f(x)f()
xf(a)f()
a
ceea ce deducem,
(a)f(a)(xa)f() + (x)f(a)(a)f()
7

ceea ce rezult a
f(x)f()
Analog putem ar ata  si cazul ^ n care c<x .
Dac au<v< atunci
su() =s(u)s(v) =f(v)f()
v0
de unde
su(v)su()0:
Rezult a c a feste monoton descresc atoare pe A\(1;]. Analog, dac a  <u<v  si
sv()sv(u) obt inem c a f(v)f(u), decifeste monoton descescatore pe A\[;1):

Corolar 1.10. Orice funct ie convex a f:A!Rcare nu este monoton a pe intA are
un minim global interior.
Teorema 1.11. Dac af:A!Reste o funct ie convex a, atunci feste Lipschitz pe
orice interval compact [a;b]cont inut ^ n interiorul lui A.
Demonstrat ie. Din Teorema 1.7 avem
f0
d(a)f0
d(x)f(y)f(x)
yxf0
s(y)f0
s(b)
pentru8x;y2[a;b], cux<y , decifj[a;b]veric a condit ia Lipschitz cu L=maxfjf0
d(a)j;jf0
s(b)jg.

Consider am derivatele superioar a  si inferioar a de ordin doi dnite de formulele:
D2f(x) =limh!0supf(x+h) +f(xh)2f(x)
h2
D2f(x) =limh!0supf(x+h) +f(xh)2f(x)
h2
Funct iafeste de dou a ori derivabil a ^ n punctul x, atunci
D2f(x) =D2f(x) =f00(x) (1.10)
8

undeD2f(x)  siD2exist a  si ^ n punctele de discontinuitate.
Teorema 1.12. Dac aAeste un interval deschis, atunci o funct ie f:A!Reste
convex a dac a  si numai dac a feste continu a  si D2f(x)0.
Altfel, dac a funct ia f:A!Reste convex a ^ n vecin at at ile oric arui punct din A,
atunci este convex a pe ^ ntreg intervalul A.
Demonstrat ie. Dac afeste convex a, atunci
D2f(x)D2f(x)0
Continuitatea funct iei fse deduce din Teorema 1.7.
Presupunem c a D2f(x)>0 peA. Dac afnu este convex a, atunci exist a un punct
x0astfel ^ nc^ at D2f(x)0, care este o contradict ie. ^In acest caz exist a subintervalul
A0= [a0;b0] astfel ^ nc^ at
f(a0+b0
2)>f(a0) +f(b0)
2
Folosind unul din intervalele [ a0;a0+b0
2];[3a0+b0
4;a0+3b0
4];[a0+b0
2;b0], putem alegem s a^ nlocuim
peA0cuA1= [a1;b1] cub1a1=b0a0
2 sif(a1+b1
2)>f(a1)+f(b1)
2
Utiliz^ and induct ia matematic a, din principiul includerii intervalelor obt inem punc-
tulx0.
^In general,
fn(x) =f(x) +1
nx2:
AtunciD2f(x)>0  si din cele de mai sus, rezult a c a fneste convex a.
Evident,
fn(x)!f(x);8x2A
de undefeste convex a.

Corolar 1.13. Consider am f:A!Ro funt ie de dou a ori derivabil a. Atunci:
1.1f este convex a()f000;
2.2f este strict convex a ()f000 si grupul punctelor unde f" se anuleaz a nu
include intervale de lungime pozitiv a.
9

1.3 C^ ateva inegalit at i clasice
Lema 1.14. (Versiunea discret a a inegalit at ii lui Jensen).O funct ie f:A!Reste
convex a dac a  si numai dac a pentru orice x1;:::;xn2A si numerele reale 1;:::;n2
[0;1]cuPn
k=1k= 1 avem
f(nX
k=1kxk)nX
k=1kf(xk):
Inegalitatea de mai sus este strict a ^ n cazul ^ n care f este strict convex a iar toate
punctelexksunt diferite  si toate numerele ksunt pozitive.
Demonstrat ie. Se realizeaza cu ajutorul inductiei matematice.
Pentrun= 2 este adevarat din denitia functiei convexe.
f(n+1X
k=1kxk) =f(nX
k=1kxk+n+1xn+1) =f(n+1xn+1+(1n+1)
1
1n+1
nX
k=1nxn))
n+1f(xn+1) + (1n+1)f(1
1n+1
nX
k=1kxk)
=n+1f(xn+1) + (1n+1)f(nX
k=1k
1n+1xk)
n+1f(xn+1) + (1n+1)nX
k=1k
1n+1f(xk)
=nX
k=1kf(xk) +n+1f(xn+1)
=n+1X
k=1kf(xk)

Teorem a 1.15. (Inegalitatea mediilor[4])Dac a x1;


;xn2(0;1) si1=


;n2
(0;1),Pn
k=1k= 1,atunci
nX
k=1kxk>x1
1


xn
n (1.11)
10

cu except ia cazului c^ and x1=


=xn.
^Inlocuind pe xkcu1
xk^ n inegalitatea 1.11 obt inem
x1
1


xn
n>1Pn
k=1k
xk
cu except ia cazului c^ and x1=


=xn, ceea ce reprezint a inegalitatea mediei
geometrice-mediei armonice.
Teorem a 1.16. (Inegalitatea Popoviciu[3])Fie f:A!Ro funct ie continu a. Atunci
feste convex a dac a  si numai dac a
f(x) +f(y) +f(z)
3+f(x+y+z
3)2
3[f(x+y
2) +f(y+z
2) +f(x+z
2)] (1.12)
pentru orice x;y;z2A.
Dac a funct ia este strict convex a inegalitatea (1.12) este strict a except^ and cazul
x=y=z:
Demonstrat ie. Necesitatea. Presupunem c a xyz. Dac ayx+y+z
3, atunci
x+y+z
3x+z
2z
 si
x+y+z
3y+z
2z
ceea ce duce la alegerea numerelor s;t2[0;1]astfel ^ nc^ at
x+z
2=s
x+y+z
3+ (1s)
z
y+z
2=t
x+y+z
3+ (1t)
z
)(x+y2z)(s+t3
2) = 0:
Dac ax+y2z= 0 implicax=y=z, iar inegalitatea 1.12 este evident a.
Dac as+t=3
2avem:
f(x+z
2)s
f(x+y+z
3) + (1s)
f(z)
11

f(y+z
2)t
f(x+y+z
3) + (1t)
f(z)
f(x+y
2)1
2
f(x) +1
2
f(y)
^Insum^ and ultimele 3 inegalit at i obt inem:
f(x+y
2) +f(x+y
2) +f(x+y
2)1
2
(f(x) +f(y) +f(z)) +3
2
x+y+z
3
^Inmult ind inegalitatea cu2
3obt inem inegalitatea Popoviciu.
Asem an ator se demonstreaz a  si cazul ^ n carex+y+z
3<y.
Sucient a.
Candy=xfolosim urmatoarea substitutie a convexitatii punctului de mijloc:
1
4f(x) +3
4f(x+ 2y
3)f(x+y
2)8x;y2A: (1.13)
Din Teorema 1.3 rezulta inegalitatea ceruta. 
Teorem a 1.17. (Inegalitatea lui Young)Fie f: [0;1)![0;1)o funct ie cresc atoare
astfel ^ nc^ at f(0) = 0  silimx!1f(x) =1. Atunci
abZa
0f(x)dx+Zb
0f1(x)dx
pentru oricare a;b0, egalitatea av^ and loc dac a  si numai dac a b=f(a).
Demonstrat ie. Consideram functia
F(x) =Zx
0f(t)dt+Zf(x)
0f1(t)dtxf(x): (1.14)
FunctiaF(x) este derivabil a cu F0= 0 Acestea duc la
0ua 0vf(a))uvZu
0f(t)dt+Zv
0f1(t)dt
si acum teorema este demonstrata. 
Funct eig:A!R si punctului x0le ata s am funct ia fdent a prin
f(x) =Zx
x0g(t)dt
12

Deoarecegeste marginit a pe intervale m arginite rezult a c a geste o funct ie Lip-
schitz, ind deasemenea o funct ie convex a. Utiliz^ and Teorema 1.3 este sucient s a
ar at am c afeste convex a.
Pentruxy2Aavem
f(x) +f(y)
2f(x+y
2) =1
2(Zy
x+y
2g(t)dtZx+y
2
xg(t)dt)0
deoarecegeste monoton cresc atoare.
Se observ a c a feste derivabil a ^ n ecare punct de continuitate al funct iei g sif0=g
la aceste puncte.
Propozit ia 1.18. FieF:A!Ro funct ie convex a  si continu a  si f:A!Ro
funct ie astfel ^ nc^ at f(x)2@f(x). Pentru toate punctele a;b2Acua<b avem:
F(b)F(a) =Zb
af(t)dt:
Demonstrat ie. Ar at am cazul ^ n care [ a;b]intA. Pentru diviziunea a=t0<
t1<:::<t n=ba intervalului [ a;b] avem
F0
s(tk1)F0
d(tk1)F(tk)F(tk1)
tktk1F0
s(tk)F0
d(tk);8k
Deoarece
F(b)F(a) =nX
k=1[F(tk)F(tk1)]
obt inem
F(b)F(a) =Zb
aF0
s(t)dt=Zb
aF0
d(t)dt
Se observ a c a F0
sfF0
d, cu egalitate pentru armat ia Propozit iei 1.18. 
1.4 Subdiferent iala
Fief:A!R. Spunem c a fadmite o linie suport pentru x2Adac a exist a 2R
astfel ^ nc^ at
f(y)f(x) +(yx);8y2A:
13

Not am@f(x) ca ind subdiferent iala funct iei f^ n punctul xpentru orice .
Lema 1.19. Fief:A!Ro functie convex a. Atunci @f(x)6=?pentru orice punct
interior al intervalului A. ^In plus, toate funct iile g:A!Rcug(x)2@f(x), pentru
x2intA veric a dubla inegalitate:
f0
s(x)g(x)f0
d(x);
 si aceasta este monoton crescatoare pe int A.
Demonstrat ie. Ar at am c af0
d(x0)2@f(x0) pentru ecare x02intA. Dac ax2A,
cuxx0, atunci
f((1t)x0+tx)f(x0)
tf(x)f(x0)
pentru orice t2(0;1], ceea ce rezult a
f(x)f(x0) +f0
d(x0)
(xx0)
Dac axx0, printr-un rat ionament similar obt inem
f(x)f((x0) +f0
s(x0)
(xx0);
sau
f0
s(x0)
(xx0)f0
d(x0)
(xx0) (1.15)
deoarecexx00.
Analog, spunem c a f0
s(x0)2@f(x0) pentru orice x02intA.
Din Teorema 1.7 rezult a c a funct ia geste monoton cresc atoare.

Teorema 1.20. Fief:A!Ro funct ie continu a  si convex a  si g:A!Ro funct ie
astfel ^ nc^ at g(x)2@f(x)pentru orice x2intA . Atunci
f(y) =supff(x) + (yx)g(x)jx2intAg;8y2A:
Demonstrat ie. Este evident pentru intervalul deschis A. Dac a yeste cel mai mic
punct al intervalului, observ am c a
f(y+t)f(y)t
g(y+t)f(y+ 2t)f(y+t); t> 0
14

cu limt!0+t
g(y+t) = 0. Consider am ">0 cu>0 astfel ^ nc^ at
jf(y)f(y+t)j<"
2
 si
jt
g(y+t)j<"
2;0<t<:
Obt inem
f(y+t)t
g(y+t)<f(z) +";0<t<:

Teorema 1.21. Fief:A!Ro funct ie astfel ^ nc^ at @f(x)6=?pentru toate punctele
interioarex2A. Atuncifeste convex a.
Demonstrat ie. Fiea;b2A;a6=b sit2(0;1). Atunci (1t)a+tb2intA pentru
orice2@f((1t)a+tb) avem
f(a)f((1t)a+tb) +t(ab)

f(b)f((1t)a+tb)(1t)(ab)

^Inmult ind inegalit at ile cu 1 t sitobt inem
f(a)f((1t)a+tb) +t(ab)

(1t)
f(b)f((1t)a+tb)(1t)(ab)

t
Adun^ and inegalit at ile
(1t)f(a) +t
f(b)f((1t)a+tb)
decifeste o funct ie convex a. 
Teorema 1.22. Fie punctele xnxn1:::x1din intervalul [a,b]  si numerele
realetk;k=1;nastfel ^ nc^ at Pk=Pk
i=1tiveric a relat iile
0PkPn siPn>0:
15

Atunci orice funct ie convex a fdenit a pe [a;b]veric a inegalitatea:
f(1
PnnX
k=1tkxk)1
PnnX
k=1tkf(xk):
Demonstrat ie. Consider am  x=Pn
k=1tkxk
Pn siPk=PnPk1=Pn
i=kti. Atunci
Pn(x1x) =nX
i=1t1(x1xi) =nX
j=2(xj1xj)Pj0
 si
Pn(xxn) =n1X
i=1ti(xixn) =n1X
j=1(xjxj+1)Pj0;
ne arat a c a xnxx1. Consider am cazul ^ n care feste continu a  si punctele
x1;x2;:::;x 3apart in (a;b). Conform Lemei 1.19 consider am funct ia g:A!Rastfel
^ nc^ atg(x)2@f(x) pentru orice x2intA. Atunci
f(z)f(y)g(c)(zy) dac azyc
 si
f(z)f(y)g(c)(zy) dac aczy:
Deasemenea alegem un indice mastfel ^ nc^ at  x2[xm+1;xm]. Atunci
f(1
PnnX
k=1tkxk)1
PnnX
k=1tkf(xk)
este majorat a de
m1X
i=1[g(x)(xixi+1)f(xi) +f(xi+1)]Pi
Pn
+[g(x)(xmx)f(xm) +f(x)]Pm
Pn
+[f(x)f(xm+1)g(x)(xxm+1)]Pm+1
Pn;
+n1X
i=m+1[f(xi)f(xi+1)g(x)(xixi+1)]Pi+1
Pn;
16

care este o sum a de numere negative.

1.5 Aplicat ii
17

Capitolul 2
Funct ii convexe pe Spatii Banach
2.1 Notiuni introductive
O submult ime Ca unui spat iu liniar Eeste convex a dac a cont ine segmentul
[x;y] =f(1)x+yj2[0;1]g
care face lag atura ^ ntre punctele x siy.
Consider^ and
A+B=fx+yjx2A;y2Bg;
pentruA;BE si;2Rputem obt ine diferite exemple. Se poate ar ata c a A+B
este convex, cu condit ia c a A;B convexe  si;0.
Submult imea Aa luiEse spune c a este an a dac a este cont inut a ^ ntreaga linie de
segmente dintre dou a puncte. Astfel putem scrie agebric
x;y2A si2R!(1)x+y2A
Prin denit tie orice submult ime an a este deasemenea convex a, dar reciproca nu
este adev arat a.
Pentru un num ar nit de elemente x1;x2;:::;xndinE, putem considera o combinat ie
an a a acestora pentru orice punct de forma
x=nX
k=1kxk
unde1;:::;n2R si1+2+:::+n= 0. Daca1+2+:::+n0 atunci x este
o combinatie convexa a x1;x2;:::;xn
18

Lema 2.1.
O submult ime Ca luiEeste convex a / an a dac a  si numai dac a aceasta cont ine
orice combinat ie convex a / an a de puncte din C.
Demonstrat ie. Sucienta demonstratiei este evidenta, iar necesitatea poate  de-
monstrata prin inductie matematica. 
Teorema 2.2. Consider am c a Ieste o submult ime a spat iului liniar E si este
…………..cu dimensiunea p. Atunci orice punct x din …….. este o combinatie convex a
a cel multp+ 1puncte din A.
Demonstrat ie. Presupunem c a
x=nX
k=0kxk;undexk2I;k>0; si1+2+:::+n= 1:
Dac an>p , atunci multimea J=fx0;:::;xngveric a
dim(aff(J)dim(aff(I)) =pn1
cufx1x0;x2x0;:::;xnx0gmultimea liniara.
Aceasta ne d a o mult ime de numere reale 0;1;:::;nnu toate nule, astfel ^ nc^ at
nX
k=0kx=0  sinX
k=0k= 0:
Aleg^ andt>0 pentru orice uk=ktk0 cuk= 0;:::;n  siuj= 0. Aceasta ne
permite s a reducem num arul termenilor ^ n scrierea lui x. Deci,
x=nX
k=0kxk=nX
k=0(uk+tk)xk=X
k6=jukxk;
 si
X
k6=juk=nX
k=0uk=nX
k=0(ktk) =nX
k=0k= 1:

Lema 2.3. Dac aUeste o mult ime convex a a unui spatiu liniar normat, atunci intU
 siUsunt convexe.
19

Demonstrat ie. Dac ax;y2intU  si2(0;1), atunci
x+ (1)y+u=(x+u) + (1)(y+u)2U
pentru orice udinB"(0). Aceasta arat a c a intU este convex a.
Fiex;y2U. Exist a (xk)k;(yk)k2Ucu (xk)k!x si (yk)k!y.
Vom obt ine
x+ (1)y= lim
k!1[xk+ (1)yk]2U
pentru tot i 2[0;1] de unde rezult a c a  si Ueste convex a. 
Lema 2.4. DacaUeste o mult ime deschis a a spat iului liniar E, atunci …. convexa
este deschis a. Dac a Eeste nit dimensional  si Keste o mult ime compact a, atunci
convex… este compact.
Demonstrat ie.

2.2 Functii convexe conjugate
Consideram :E!R[f1g cu domeniul
D( ) =fx2Ej (x)<1g:
Mult imea
epi =f[x;y]2ERj (x)g
se nume ste epigraful lui .
Denit ia 2.5. PentruEun spat iu topologic funct ia :E!R[f1g se nume ste
inferior semicontinu a dac a pentru orice 2Rmult imea
[ ] =fx2Ej (x)g
este ^ nchis a.
Denit ia 2.6. Funct ia :E!R[f1g se nume ste convex a dac a
(tx+ (1t)y)t (x) + (1t) (y)8x;y2E;8t2(0;1):
Propiet at ile elementare ale funct iilor convexe:
20

a) Dac a este o funct ie convex a, atunci epi este o mult ime convex a ^ n ER;
 si reciproc.
b) Dac a este o funct ie convex a, atunci, pentru oricare 2Rmult imea [ ]
este convex a; reciproca nu este adev arat a.
c) Dac a 1 si 2sunt convexe, atunci 1+ 2este convex a.
d) Dac a ( i)i2Ieste o familie de funct ii convexe, atunci anvelopa superioar a a
acestei familii este convex a.
Denit ia 2.7. Fie :E!R[f1g astfel ^ nc^ at D( )6=;. Denim funct ia
conjugat a a lui prin :E0!R[f1g
(f) =Supx2Ef<f;x> (x)g(fE0):
Pentru orice x2Exat, aplicat ia f7!<f;x> (x)este convex a  si continu a pe
E0, deci  si inferior semicontinu a. De unde se deduce c a anvelopa superioar a a acestor
funct ii, c^ and xparcurgeE, este convex a  si inferior semicontinu a.
Propozit ia 2.8. Presupunem c a :E!R[f1g este convex a, inferior semicontinu a
 siD( )6=;. AtunciD( )6=; si este marginit a inferior de o funct ie continu a
an a.
Demonstrat ie. Fiex02D( ) si lu am0< (x0). Aplic^ and a doua formul a
geometric a a Teoremei Hahn-Banach ^ n spat iul ERcuA=epi  siB=f[x0;y0]g.
Avem un hiperplan ^ nchis H= [ =]^ nERcare separ a strict mult imile A si
B. Observ am c a aplicat ia x2E7! ([x;0])este o funct ionala liniar a  si continu a pe
E si deci ([x;0]) =<f;x> , pentruf2E0.^Inlocuindk= ([x;0])avem
([x;]) =<f;x> +k [x;]2ER:
Lu^ and > peA si < peBobt inem:
<f;x> +k>;8[x;]2epi
 si
<f;x 0>+k0<:
21

^In particular, avem
<f;x> +k (x)>;8x2D( ) (2.1)
de unde
<f;x 0>+k (x0)>><f;x 0>+k0:
Rezult ak>0. Din inegalitatea (2.1) avem
<1
kf;x> (x)<
k8x2D( )
 si avem (1
kf)<+1.

Dac a,D( )6=;, denim aplicat ia :E00!R[f1g prin
(x) =Supf2E0f<f;x> (f)g
pentrux2E
Teorema 2.9. (Fenchel-Moreau) Presupunem c a :E!R[f1g este convex a,
inferior semicontinu a  si D( )6=;. Atunci = .
Demonstrat ie. Este realizat a ^ n dou a etape.
Etapa 1 : Presupunem c a 0 si arm am c a = . Se observ a c a  .
Din denit ia lui avem c a
<f;x> (f) (x)x2E; f2E0:
Pentrux02Edemonstr am c a = prin reducere la absurd, presupun^ and c a
(x0)< (x0). Putem avea (x0) = +1, dar ^ ntotdeauna
(x0)<+1:
Alic^ and a doua formul a geometric a a Teoremei Hahn-Banach ^ n spat iul ERcu
A=epi  siB= [x0; (x0)]. Avemf2E0;k2R si2Rastfel ^ nc^ at
<f;x> +k>8[x;]2epi
<f;x 0>+k (x0)<:
22

Rezult ak0
Conform (2.2), " si 0, avem
<f;x> +(k+") (x)8x2D( )
Avem
(f
k+")
k+"
Din denit ia lui (x0)rezult a c a
(x0)<f
k+";x0> (f
k+")<f
k+";x0>+
k+":
De unde
<f;x 0>+(k+") (x0)8">0
contradictie cu (2.2)
Etapa 2 :^In caz general x am f02D( ) si denim
= (x)<f 0;x> + (f0):
Deci este convex a, inferior semicontinu a, D( )6=; si 0. Deoarece )= ,
din Etapa 1, vom calcula ) si ). Avem
( )(f) = (f+f0) (f0)
 si
( )(x) = (x)<f 0;x> + (f0):
Rezult a c a = .
Lema 2.10. FieCEo mult ime convex a, atunci IntC este o mult ime convex a.
Dac aIntC6=;atunci
C=IntC
Teorema 2.11. Fie  si'funct ii convexe. Presupunem c a exist a x02D( )\D(')
astfel ^ nc^ at este continu a ^ n x0. Atunci
Infx2Ef (x) +'(x)g=Supf2Ef (f)'(f)g
23

=Maxf2E0f (f)'(f)g
Demonstrat ie. Consider am
a=Infx2Ef (x) +'(x)g
b=Supf2E0f (f)'(f)g:
cuba.
Dac aa=1 teorema este demonstrat a.
Presupunem c a a2R. Not amC=epi . Deoarece este continu a ^ n x0rezult a c a
IntC6=;. Aplic^ and prima form a geometric a a teoremei Hahn-Banach cu A=IntC
 si
B=f[x;]2ER;a'(x)g:
A siBsunt convexe  si nevide cu A\B=;deoarece dac a [x;y]2A, atunci
> (x)a'(x)
de unde [x;y]6=B. Exist a un hiperplan ^ nchis Hcare separ a A siB^ n sens larg.
Conform Lemei 2.10 rezult a c a Hsepar a ^ n sens larg  si mult imile A siB. Deci exist a
f2E0; k2R si2Rastfel ^ nc^ at hiperplanul H= [ =]separ a ^ nER
mult imileC siB, unde
([x;y]) =<f;x> +k8[x;]2ER
Deci,
<f;x> +k8[x;]2C; (2.2)
<f;x> +k8[x;]2B: (2.3)
Alegandx=x0 si lu^ and!+1^ n (2.2) observ am c a avem k0.
Se observ a, c a de fapt
k>0 (2.4)
24

Reamintim c a 6= 0, ceea ce ^ nseamn a c a jjfjj+jkj6= 0. Presupunem, prin asurd,
k= 0. Din (2.2)  si (2.3) rezult a c a
<f;x>8x2D( )
<f;x>8x2D(')
DarB(x0;"0)D( )pentru"0>0sucient de mic, deci
<f;x 0+"0z >8z2B(0;1):
rezult a c a<f;x 0>+"0jjfjj. Altfel,
<f;x 0>pentrux02D('):
De unde rezult a armat ia fals a f= 0, deoarecek= 0. Astfel am demonstrat relat ia
(2.4).
Din (2.2)  si (2.3) deducem c a
(f
k)
k
 si
'(f
k)
ka
de unde
(f
k)'(f
k)a:
Din denit ia lui b, avem
(f
k)'(f
k)b:
de unde rezult a
a=b= (f
k)'(f
k):

25

2.3 Continuitatea funct iilor convexe
Propozit ia 2.12. FieXun spat iu Banach  si f:X!R[f1g o funct ie convex a. Dac a
feste local marginit a la dreapta ^ n x02D, atuncifeste local marginit a ^ n x0.
Demonstrat ie. Presupunem fmarginit a la dreapta de M, pentruBr(x)D,
undeD=int(domf ),  sir>0, apoi este marginit a la stanga ^ n Br(x).
Dac ay2Br(x)atunci rezult a c a 2xy si
f(x)1
2[f(y) +f(2xy)]1
2[f(y) +M]
deci,
f(y)2f(x)M
pentruy2Br(x)

Propozit ia 2.13. FieXun spat iu Banach  si f:X!R[f1g o funct ie convex a.
Dac afeste local marginit a ^ n x02D, atuncifeste local lipschitz ^ n x0.
Demonstrat ie. Presupunem c ajfj<M pesteB2r(x0)D.
Pentrux;y2Br(x0)cux6=yconsider am =jjyxjj siz=y+ (r
)(yx), de
undez2B2r(x0)
Deoarece
y=
+rz+r
+rx
este o combinat ie convex a din B2r(x0), avem
f(y)
+rf(z) +r
+rf(x)
Deci,
f(y)f(x)
+r(f(z)f(x))2M
r=2M
rjjyxjj:
Schimb^ and x siyrezult a c a
jf(y)f(x)j2M
rjjyxjj
26


Teorema 2.14. (Propietatea Lipschitz a funct iilor convexe) Fie Xun spat iu Banach
 sif:X!R[f1g o funct ie convex a lipschitz. Atunci feste local lipschitz pe D.
Demonstrat ie. Din Propozit iile 2.12  si 2.13 r am^ ane de ar atat c a feste local
marginit a la dreapta.
Pentru oricare j2NdenimDj=fx2Xjf(x)jg:Mult imileDjsunt ^ nchise
 si
D[1
j=1Dj
DeoareceDeste o mult ime deschis a, din teorema Blaire category…………………, exist a
pentru oricare jastfel ^ nc^ at Djeste nevid a.
Presupunem c a Br(x)intDj. Atuncifeste marginit a la dreapta de jpeste
Br(x).
DeoareceDeste deschis a cu y2D siy6=xatunci exist a  > 1astfel ^ nc^ at
z=x+(yx)2D. Fie=1
2(0;1). Multimea
V=fz+ (1)bjb2Br(x)g
este vecin atate pentru oricare y2D.
Pentru orice punct
v=z+ (1)b2V
avem,
f(v)f(z) + (1)j
atuncifeste marginit a la dreapta ^ n Vde unde rezult a c a este local Lipschitz ^ n y.

2.4 Funct ii omogene
Functiilepozitiv omogene folosite in analiza convexa sunt denite pe un con convex
CdinRncare verica relatia:
f(x) =f(x)pentru toti x2C si0
27

Lema 2.15. Fiefo funct ie pozitiv omogen a denit a pe conul convex C2Rn. Atunci
feste convex a dac a  si numai dac a feste subaditiv a.
Demonstrat ie. Presupunem c a feste convex a  si x;y2C. Atunci
1
2f(x+y) =f(x+y
2)1
2(f(x) +f(y))
f(x+y)f(x) +f(y):
Necesitatea. Presupunem c a feste subaditiv a, de unde avem:
f((1)x+y)f((1)x) +f(y) = (1)f(x) +f(y)
pentru8x;y2C si2[0;1]de unde se observ a c a feste convex a. 
Lema 2.16. Fiefo functie omogen a strict pozitiv a denit a pe conul convex C2Rn
astfel ^ nc^ at subintervalul x2Cjf(x)1este convex. Atunci feste o funct ie convex a.
Demonstrat ie. Conform lemei de mai sus este sucient s a ar at am c a funct ia este
subaditiv a. Consider am x;y2C, legem scalarii ; astfel ^ nc^ at >f (x) si >f (y).
Deoarecefeste o functie omogea strict pozitiva, atunci
f(x
)1 sif(y
)1
Alegemx
 siy
……….. Obt inem din convexitatea funct iei pe subinterval:
1
+f(x+y) =f(x+y
+=f(
+
x
+
+
y
)1
f(x+y)+
pentru oricare >f (x); >f (y). Deci
f(x+y)f(x) +f(y)
de unde rezult a c a feste subaditiv a. 
Pentrup2[0;1)consider am funct ia omogen a strict pozitiv a dat a de formula
f(x1;:::;xn) = (xp
1+:::+xp
n)1
p
28

fpeste convex a ca o sum a de funct ii convexe. Deci
fx2Xjf(x)1g=fx2Xjfp(x)1g
este convex a ceea ce implic a c a feste o funct ie convex a.
Lema 2.17. Fie functia J:R2
+!R. Atunci sunt echivalente:
a)Jeste convex a,
b)'=J(1;t)este convex a
c) atunci exist a o submult ime GR2astfel ^ nc^ at
J(u;v) =supfau+bvj(a;b)2Gg:
Demonstrat ie.
a))b)este evident a.
b))c)consider am
J(u;v) =uJ(1;v
u)dac au>0
 si
J(u;v) =vJ(0;1)dac au= 0
Conform Teoremei (1.20)
'(t) =supfa+btj(a;b)2Gg
unde,G=f('(s)sb;b)jb2@'(s);s2Rg.
c))a)este evident a.

Teorema 2.18. FieJ:R2
+!Ro funct ie omogen a pozitiv a continu a  si convex a.
Atunci pentru orice spat iu de m asur a (X;;) si orice funct ie -integrabil a f:X!
R2
+pentru care Jfeste deasemenea -integrabil a, avem inegalitatea
J(Z
Xfd)Z
XJfd: (2.5)
Demonstrat ie.
Fief= (f1;f2). Conform lemei de mai sus  si teoremei de convergent  a dominat a
a lui Lebesgue, avem
29

Z
X(Jf)(x)d=Z
Xsup
(a;b)2G(af1+bf2)d
sup
(a;b)2G(aZ
Xf1d+bZ
Xf2d)
=J(Z
Xfd):

Teorema 2.19. Pentrup2(1;0)[[1;1) sif;g2Lp()avem
jjf+gjjLpjjfjjLp+jjgjjLp
dac a 0<p< 1inecuat ia este adevarat a  si pentru
jjf+gjjLpjjfjjLp+jjgjjLp
Dac af6= 0 aprope peste tot, atunci avem egalitate dac a  si numai dac a g=f
aprope peste tot, pentru 0.
Demonstrat ie. J(1;t) = (1 +t1
p)peste strict convex a pentru p2(0;1) si strict
concav a pentru p2Rn[0;1]. Rezult a demonstrat ia aplic^ and Teorema de mai sus. 
Corolar 2.20. Fie(X;;)un spat iu de m asur a nit a. Pentru orice f;g2
L1();f;g0avem:
exp(1
(X)Z
Xlog(f(x) +g(x))d)
exp(1
(X)Z
Xlogf(x)d) +exp(1
(X)Z
Xlogg(x)d)
2.5 Subdiferent iala
^In acest subcapitol consider am funct ia convex a fdenit a pe submult imea deschis a
convex aUa unui spat iu liniar normat X.
f(x)f(a) +h(x)pentru oricare x2U
Subdiferent iala lui f^ n punctul reprezint a@f()a tuturor funct ionalelor h.
30

Teorema 2.21. Consider am Uo mult ime deschis a convex a din spat iul liniar normat
E. Atunci funct ia f:U!Reste convex a dac a  si numai dac a @f(a)6=;pentru tot i
2U.
31

Capitolul 3
Inegalit at i variat ionale
3.1 Ecuat ii neliniare
Pe parcursul acestui capitol (X;h
;
iX;k
kX)va desemna un spat iu Hilbert real.
Denit ia 3.1. Spunem c a un operator A:X!Xestetare monoton dac a exist a
o constant a mA>0astfel ^ nc^ at
hAuAv;uviXmAkuvk2
X;8u;v2X:
Denit ia 3.2. Spunem c a un operator A:X!XesteLipschitz dac a exist a o
constant aLA>0astfel ^ nc^ at
kAuAvkXLAkuvkX;8u;v2X:
Remarca 3.3. Pentru un operator tare monoton  si Lipschitz A, avemmALA.
^Intr-adev ar,
mAkuvk2
X hAuAv;uviX
 kAuAvkXkuvkXLAkuvk2
X;8u;v2X:
Teorema 3.4. (Teorema Minty-Browder )FieA:X!Xun operator tare
monoton  si Lipschitz  si f2X. Atunci exist a un unic element u2Xastfel ^ nc^ at
Au=f: (3.1)
Demonstrat ie. Fie>0. Consider am operatorul T:X!Xdenit astfel
T:=u;
32

unde
u:=fA+:
Vom ar ata c a pentru convenabil ales operatorul Teste o contract ie. Avem
kT1T2kX=ku1u2kX
=k12(A 1A 2)kX:
Dar,
ku1u2k2
X=h12(A 1A 2);12(A 1A 2)iX
=k12k2
X2hA 1A 2;12iX+2kA 1A 2k2
X:
Utiliz^ and faptul c a Aeste un operator tare monoton  si Lipschitz obt inem
kT1T2k2
X(12mA+2L2
A)k12k2
X:
Vom notaf() = 12mA+2L2
A. Aceasta este o ecuat ie de gradul al II-lea ^ n
necunoscuta al c arei discriminant
= 4m2
A4L2
A= 4(m2
AL2
A)0conform
Observat iei 3.3. Dac a mA< LAatuncif()>0, iar dac amA=LAf() = (1
mA)20. Astfel,f()0pentru orice 2R si
kT1T2kXq
12mA+2L2
A
k12kX:
Vom ar ata c a pentru  > 0convenabil xat avemp
12mA+2L2
A<1.^Intr-
adev ar,
12mA+2L2
A= 1(2mAL2
A)<1dac a 2mAL2
A>0:
A sadar, pentru orice 2
0;2mA
L2
A
,Teste contract ie  si putem aplica Teorema lui
Banach de punct x.
Fieunicul punct x al lui T0cu0xat (0< 0<2mA
L2
A). Atunci
T0=u=:
Deci
u=fAu+u;
adic af=Au si astfel am ar atat c a ueste o solut ie pentru (3.1).
33

Vom demonstra ^ n continuare unicitatea solut iei. Fie u1;u22Xastfel ^ nc^ at Au 1=
f siAu 2=f. Avem
hAu 1;vu1iX=hf;vu1iX;8v2X (3.2)
hAu 2;vu2iX=hf;vu2iX;8v2X: (3.3)
Fiev=u2^ n (3.2)  si v=u1^ n (3.3). Sum^ and,
hAu 1Au 2;u2u1iX= 0:
DeoareceAeste tare monoton avem mAku1u2k2
X0, adic au1=u2. 
Propozit ia 3.5. Fieu1;u2solut ii pentru (3.1) corespunz atoare datelor f1;f22X.
Atunci exist a o constant a C > 0astfel ^ nc^ at
ku1u2kXCkf1f2kX:
Demonstrat ie. Deoareceu1 siu2sunt solut ii pentru (3.1) corespunz atoare datelor
f1;f22Xavem
hAu 1;vu1iX=hf1;vu1iX;8v2X (3.4)
hAu 2;vu2iX=hf2;vu2iX;8v2X: (3.5)
Fiev=u2^ n (3.4)  si v=u1^ n (3.5). Sum^ and,
hAu 1Au 2;u2u1iX=hf1f2;u2u1iX;
hAu 1Au 2;u1u2iX=hf1f2;u1u2iX;
adic a
mAku1u2k2
Xkf1f2kXku1u2kX;
din faptul c a Aeste tare monoton.
Dac au16=u2rezult a c aku1u2kX6= 0 simAku1u2kXkf1f2kX.^In acest caz,
C= 1=mA.
Dac au1=u2, avemku1u2kX= 0,0C
0, inegalitate adev arat a pentru orice
constant a pozitiv a, ^ n particular  si pentru C= 1=mA. A sadar, inegalitatea cerut a are
loc pentruC=1
mA. 
Remarca 3.6. ^In literatura de specialitate acest rezultat se nume ste  si dependent  a
Lipschitz de data init ial a .
34

Propozit ia 3.7. FieA:X!Xun operator tare monoton  si Lipschitz. Atunci
A1:X!Xeste tare monoton  si Lipschitz.
Demonstrat ie. Fief2X. Aplic^ and Teorema 3.4 rezult a c a exist a  si este unic un
elementu2Xastfel ^ nc^ at Au=f. Acest lucru este echivalent cu faptul c a operatorul
Aeste inversabil.
Fieu1;u22Xastfel ^ nc^ at Au 1=v1 siAu 2=v2. Folosind faptul c a A1v1=u1,
A1v2=u2 siAeste tare monoton avem
hA1v1A1v2;v1v2iX=hu1u2;Au 1Au 2iX
mAku1u2k2
X=mAkA1v1A1v2k2
X:
Folosind acum faptul c a Aeste Lipschitz avem
kAu 1Au 2kXLAku1u2kX()kv1v2kXLAkA1v1A1v2kX:
Deci
mAkA1v1A1v2k2
XmA
L2
Akv1v2k2
X:
Rezult a c a
hA1v1A1v2;v1v2iXmA
L2
Akv1v2k2
X:
Am ar atat astfel existent a unei constante mA1:=mA
L2
A, adic a operatorul A1este tare
monoton.
Utiliz^ and inegalitatea Cauchy-Schwarz se obt ine
hAu 1Au 2;u1u2iX kAu 1Au 2kXku1u2kX
=kv1v2kXku1u2kX:
Dar cumAeste tare monoton rezult a
mAku1u2kXkv1v2kX:
A sadar,
kA1v1A1v2kX=ku1u2kX1
mAkv1v2kX:
Am ar atat astfel existent a unei constante LA:=1
mA, adic a operatorul A1este Lips-
chitz. 
Consider am problema:
(P) Cautu2Xastfel ^ nc^ at a(u;v) =b(v);8v2X:
Admitem ipotezele:
35

(A1)b:X!Raplicat ie liniar a  si continu a;
(A2)a:XX!Rcu proprietatea c a pentru ecare w2X,
aplicat iav7!a(w;v)este liniar a  si continu a;
(A3) exist a ma>0astfel ^ nc^ at
a(u;uv)a(v;uv)makuvk2
X;8u;v2X;
(A4) exist a La>0astfel ^ nc^ at
ja(u;w)a(v;w)jLakuvkXkwkX;8u;v;w2X:
Teorema 3.8. (Lema Lax-Milgram neliniar a )Problema (P) are solut ie unic a.
Demonstrat ie. Cu ajutorul funct iei avom deni operatorul A:X!X. Pentru
w2X,Aweste elementul din Xcare veric a:
a(w;u) =hAw;uiX;8u2X:
Avem
hAuAv;uviX=hAu;uviXhAv;uviX
=a(u;uv)a(v;uv)
makuvk2
X;
adic a operatorul Aeste tare monoton.
Vom ar ata ^ n continuare c a operatorul Aeste Lipschitz. Avem
kAuAvkX= sup
w2X
w6=0XjhAuAv;wiXj
kwkX
= sup
w2X
w6=0Xja(u;w)a(v;w)j
kwkX;
 si
ja(u;w)a(v;w)j
kwkXLakuvkXkwkX
kwkX
=LakuvkX:
36

Utiliz^ and Teorema de reprezentare a lui Riesz rezult a c a exist a  si este unic un
elementz2Xastfel ^ nc^ at b(v) =hz;viX, oricare ar  v2X. A sadar, problema (P)
este echivalent a cu urm atoarea problem a:
(P') Cautu2Xastfel ^ nc^ at
hAu;viX=hz;vi;8v2X:
DarhAu;viX=hz;viX;8v2X,Au=z; c aci lu^ and v=Auzavem
hAu;viX=hz;viX,kAuzk2
X= 0,Au=z.
Existent a  si unicitatea solut iei problemei (P) este astfel asigurat a de Teorema
Minty-Browder. 
Remarca 3.9. Dac aaeste liniar a  si ^ n primul argument, atunci se poate verica
u sor c aaeste form a bilinar a, continu a  si X-eliptic a. Astfel se redescoper a Lema
Lax-Milgram.
3.2 Inegalit at i variat ionale eliptice de prima spet  a
Teorema 3.10. Fie(X;h
;
iX;k
kX)un spat iu Hilbert real. Fie KXo submult ime
nevid a, convex a  si ^ nchis a. Admitem c a A:X!Xeste un operator tare monoton  si
Lipschitz. Atunci, pentru f2Xdat, exist a o unic a solut ie a inegalit at ii variat ionale
eliptice de prima spet  a:
hAu;vuiXhf;vuiX;8v2K
u2K:(3.6)
Demonstrat ie. Fie>0. DenimS:K!Kastfel
Su:=PK(u(Auf));
undePKeste operatorul de proiect ie pe K. Reamintim c a operatorul de proiect ie este
un operator monoton, adic a
hPKuPKv;uviX0;8u;v2X;
 si non-expansiv (vezi Brezis [ ?]),
kPKuPKvkXkuvkX;8u;v2X:
37

Vom ar ata c a Seste o contract ie pentru convenabil ales. Deoarece operatorul de
proiect iePKnu m are ste distant a avem
kSu1Su2kX=kPK(u1(Au 1f))PK(u2(Au 2f))k
 k (u1u2)(Au 1Au 2)kX:
Utiliz^ and faptul c a Aeste un operator tare monoton  si Lipschitz se obt ine
kSu1Su2k2
X ku1u2k2
X2hAu 1Au 2;u1u2iX+2kAu 1Au 2k2
X
 ku1u2k2
X2mAku1u2k2
X+2L2
Aku1u2k2
X
= (12mA+2L2
A)ku1u2k2
X:
Dup a cum am v azut ^ n cadrul demonstrat iei Teoremei Minty-Browder expresia
12mA+2L2
A0pentru orice 2R, iar pentru 2
0;2mA
L2
A
avem
p
12mA+2L2
A<1. A sadar, pentru orice 0<<2mA
L2
A,Seste contract ie.
Fie0< 0<2mA
L2
A. Aplic^ and Teorema lui Banach de punct x deducem c a S0are
un unic punct x u, adic a
S0u=u=PK(u0(Auf)):
Utiliz^ and Teorema de proiect ie avem
hPK(u0(Auf))(u0(Auf));vPK(u0(Auf))iX0;8v2K
 si de aici
huu+0(Auf);vuiX0;8v2K
0hAuf;vuiX0:
Cum0>0, deducem
hAu;vuiXhf;vuiX;8v2K:
^In plus, not am c a u2K.
Vom demonstra ^ n continuare unicitatea solut iei. Pentru f2Xdat presupunem
ca exist a dou a elemente u1;u22Kastfel ^ nc^ at
hAu 1;vu1iXhf;vu1iX;8v2K (3.7)
hAu 2;vu2iXhf;vu2iX;8v2K: (3.8)
38

Fiev=u2^ n (3.7)  si v=u1^ n (3.8). Sum^ and,
hAu 1Au 2;u2u1iX0:
DeoareceAeste tare monoton avem mAku1u2k2
X0, adic au1=u2. 
Propozit ia 3.11. Fieu1 siu2solut ii pentru (3.6) corespunz atoare datelor f1;f22X.
Atunci exist a o constant a C > 0astfel ^ nc^ at
ku1u2kXCkf1f2kX:
Demonstrat ie. Deoareceu1 siu2sunt solut ii pentru (3.6) corespunz atoare datelor
f1;f22Xavem
hAu 1;vu1iXhf1;vu1iX;8v2K (3.9)
hAu 2;vu2iXhf2;vu2iX;8v2K: (3.10)
Fiev=u2^ n (3.9)  si v=u1^ n (3.10). Sum^ and,
hAu 1Au 2;u2u1iXhf1f2;u2u1iX;
hAu 1Au 2;u1u2iXhf1f2;u1u2iX;
adic a
mAku1u2k2
Xkf1f2kXku1u2kX;
din faptul c a Aeste tare monoton.
Dac au16=u2rezult a c aku1u2kX6= 0 simAku1u2kXkf1f2kX.^In acest caz,
C= 1=mA.
Dac au1=u2, avemku1u2kX= 0,0C
0, inegalitate adev arat a pentru orice
constant a pozitiv a, ^ n particular  si pentru C= 1=mA. A sadar inegalitatea cerut a are
loc pentruC=1
mA. 
Remarca 3.12. Dac aAeste un operator liniar, atunci putem deni forma biliniar a
a:XX!Rastfel ^ nc^ at a(u;v) =hAu;viX.^In plus,aeste continu a  si X-eliptic a.
Redescoperim astfel Teorema lui Stampacchia.
39

3.3 Inegalit at i variat ionale eliptice de spet a a doua
Fie(X;h
;
iX;k
kX)un spat iu Hilbert real, operatorul A:X!X, aplicat iaj:X!
(1;+1] si un element f2X.
Denit ia 3.13. O funct ional a j:X!(1;+1]se nume ste inferior semicon-
tinu a ^ nu2Xdac a
lim inf
n!1j(un)j(u);
pentru orice  sirfungXcare converge la u^ nX. Spunem c a jeste inferior semi-
continu a pe Xdac a este inferior semicontinu a ^ n orice punct u2X.
Consider am inegalitatea variat ional a eliptic a de spet a a doua:
(P) Datf2Xs a se determine u2Xastfel ^ nc^ at
hAu;vuiX+j(v)j(u)hf;vuiX;8v2X:
Admitem ipotezele:
9mA>0astfel ^ nc^ athAuAv;uviXmAkuvk2
X;8u;v2X (3.11)
9LA>0astfel ^ nc^ atkAuAvkXLAkuvkX;8u;v2X (3.12)
j:X!(1;1]este proprie, convex a  si inferior semicontinu a : (3.13)
Amintim acum o teorem a a lui Weierstrass.
Teorema 3.14. Fie(E;k
kE)un spat iu Banach re
exiv, AEo mult ime nevid a,
convex a, ^ nchis a  si ':A!(1;+1]proprie, convex a  si inferior semicontinu a.
Dac aAeste nem arginit a presupunem c a
lim
x2A
kxkE!1'(x) = +1:
Atunci'i si atinge minimul pe A, adic a exist a x02Aastfel ^ nc^ at '(x0) =
minx2A'(x).
Teorema 3.15. Admitem ipotezele (3.11)-(3.13). Fiind dat f2X, problema (P) are
solut ie unic a. ^In plus, solut ia depinde Lipschitz de data f.
Consider am problema auxiliar a:
40

(Paux)Datf2Xs a se determine u2Xastfel ^ nc^ at
hu;vuiX+j(v)j(u)hf;vuiX;8v2X:
Lema 3.16. Problema (Paux)are solut ie unic a. ^In plus, pentru f1;f22X, not^ and
cuu1;u2solut iile corespunz atoare problemei (Paux), avem
ku1u2kXkf1f2kX:
Demonstrat ie. Consider am aplicat ia J:X!(1;+1]denit a astfel
J(v) =1
2kvk2
X+j(v)hf;viX:
Jeste strict convex a  si inferior semicontinu a. Aplic^ and Teorema 3.14 rezult a c a exist a
u2Xastfel ^ nc^ at J(u)J(v), pentru orice v2X. Presupun^ and c a exist a u1;u22
X,u16=u2astfel ^ nc^ at J(u1) =J(u2) = min
v2XJ(v), obt inem
Ju1+u2
2
<1
2J(u1) +1
2J(u2) = min
v2XJ(v);
ceea ce reprezint a o contradict ie.
Deci exist a un unic element u2Xastfel ^ nc^ at
J(u)J(v);8v2X:
Not am c aj(u)<+1.^In caz contrar,1 este mai mare sau egal decat un num ar
nit. Astfel, Jeste proprie.
Vom ar ata ^ n continuare c a uminimizeaz a Jdac a  si numai dac a ueste solut ie
pentru (Paux).
Pentru a demonstra prima implicat ie consider am v2X sit2(0;1)astfel ^ nc^ at
J(u)J(u+t(vu)), inegalitate care conform denit iei lui Jdevine
1
2kuk2
X+j(u)hf;uiX1
2ku+t(vu)k2
X+j(u+t(vu))hf;u+t(vu)iX:
Cumjeste convex a avem
j(u+t(vu)) =j((1t)u+tv)tj(v) + (1t)j(u)
iar
ku+t(vu)k2
X=kuk2
X+ 2thu;vuiX+t2kvuk2
X:
41

A sadar,
1
2kuk2
X+j(u)hf;uiX1
2kuk2
X+thu;vuiX+t2
2kvuk2
X
+tj(v) + (1t)j(u)hf;uiXthf;vuiX;
expresie care dup a simplicare devine
t2
2kvuk2
X+thu;vuiX+t(j(v)j(u))thf;vuiX0:
Cumt>0putem ^ mp art i prin t si obt inem
hu;vuiX+j(v)j(u)hf;vuiXt
2kvuk2
X:
Facemt!0 si obt inem c a ueste solut ie pentru (Paux).
Reciproc, admitem c a ueste solut ie pentru (Paux), adic a
hu;vuiX+j(v)j(u)hf;vuiX;8v2X:
Evalu am
J(v)J(u) =1
2kvk2
X+j(v)hf;viX1
2kuk2
Xj(u) +hf;uiX
=hu;vuiX+j(v)j(u)hf;vuiX
+1
2kvk2
X1
2kuk2
Xhu;vuiX:
Dar,
1
2kvk2
X1
2kuk2
Xhu;viX+kuk2
X=kvk2
X2hu;viX+kuk2
X
2
=hvu;vuiX
2
=kvuk2
X
2:
Obt inem
J(v)J(u) =hu;vuiX+j(v)j(u)hf;vuiX+kvuk2
X
20:
A sadar minimizantul lui Jeste unica solut ie a problemei (Paux).
Fief1;f22X siu1;u2solut iile corespunz atoare problemei (Paux). Atunciu1;u2
veric aj(u1)<1;j(u2)<1 si
hu1;vu1iX+j(v)j(u1)hf1;vu1iX;8v2X (3.14)
42

hu2;vu2iX+j(v)j(u2)hf2;vu2iX;8v2X: (3.15)
Fiev=u2^ n (3.14)  si v=u1^ n (3.15). Sum^ and,
hu1u2;u2u1iX+j(u2)j(u1) +j(u1)j(u2)hf1f2;u2u1iX:
Deci
ku1u2k2
Xhf1f2;u1u2iXkf1f2kXku1u2kX:
S i de aici,ku1u2kXkf1f2kX. 
Demonstrat ia Teoremei 2.5. Denim operatorul proxj:X!Xastfel
proxj(f) :=u
undeueste solut ia problemei (Paux). Lema 3.16 ne spune c a operatorul proxjeste
non-expansiv. ^In plus, inegalitatea
hf1f2;u1u2iXku1u2k2
X
implic a
hproxj(f1)proxj(f2);f1f2iX0;8f1;f22X;
adic aproxjeste operator monoton.
Existent a. Fief2X;> 0 sij:X!(1;+1]o funct ional a proprie, convex a
 si inferior semicontinu a. Denim T:X!Xastfel
T(v) :=proxj(fAv+v)8v2X:
Vom demonstra ^ n continuare c a Teste contract ie pentru convenabil ales. Fie
u;v2X. Avem
kT(u)T(v)kX=kproxj(fAu+u)proxj(fAv+v)kX:
Cumproxjeste non-expansiv,
kT(u)T(v)kXkuv+(AvAu)kX:
Deci
kT(u)T(v)k2
X kuvk2
X2hAuAv;uviX+2kAuAvk2
X
(12mA+2L2
A)kuvk2
X:
43

Consider^ and 0<<2mA
L2
Aavem 0<12mA+2L2
A<1.
Fie acum02
0;2mA
L2
A
. Atunci
kT0(u)T0(v)kXq
120mA+2
0L2
A
kuvkX
adic aT0este contract ie. Aplic^ and Teorema lui Banach de punct x deducem c a exist a
un unic element u2Xastfel ^ nc^ at
T0u=u=prox0j(0f0Au+u):
Deciueste solut ie a problemei (Paux) si veric a
hu;vuiX+0j(v)0j(u)h0f0Au+u;vuiX;8v2X
0hAu;vuiX+0(j(v)j(u))0hf;vuiX;8v2X:
Cum0>0, deducem
hAu;vuiX+j(v)j(u)hf;vuiX;8v2X:
Deciueste solut ie a problemei (P).
Unicitatea. Fieu1 siu2dou a solut ii ale problemei (P). Atunciu1 siu2veric a
hAu 1;vu1iX+j(v)j(u1)hf;vu1iX;8v2X: (3.16)
hAu 2;vu2iX+j(v)j(u2)hf;vu2iX;8v2X: (3.17)
Fiev=u2^ n (3.16)  si v=u1^ n (3.17). Sum^ and, obt inem
hAu 1Au 2;u2u1iX0:
Dar conform ipotezei (3.11)
mAku1u2k2
XhAu 1Au 2;u1u2iX0
obt inem egalitatea u1=u2.
Stabilitatea. Fieu1 siu2dou a solut ii pentru problema (P) corespunz atoare datelor
f1;f22X. Atunci
hAu 1;vu1iX+j(v)j(u1)hf1;vu1iX;8v2X: (3.18)
hAu 2;vu2iX+j(v)j(u2)hf2;vu2iX;8v2X: (3.19)
44

Consider am v=u2^ n (3.18)  si v=u1^ n (3.19)  si sum^ and,
hAu 1Au 2;u1u2iX jhf1f2;u1u2iXj
 kf1f2kXku1u2kX:
Utiliz^ and din nou ipoteza (3.11) avem
mAku1u2k2
Xkf1f2kXku1u2kX:
A sadar,
ku1u2kX1
mAkf1f2kX:
Remarca 3.17. Dac aj0problema (P) este echivalent a cu
hAu;vuiXhf;vuiX;8v2X()Au=f:
Remarca 3.18. Dac aj=IK(funct ia indicator a mult imii K), undeKXeste o
mult ime nevid a, convex a  si ^ nchis a iar
IK(v) =0v2K
1v62K;(3.20)
este o funct ional a proprie, convex a  si inferior semicontinu a, atunci
hAu;vuiX+IK(v)IK(u)hf;vuiX;8v2X:
Dac au2Katunci
hAu;vuiXhf;vuiX;8v2K:
Remarca 3.19. Dac aAeste liniar  si j0atunci reg asim Teorema Lax-Milgram.
Remarca 3.20. Dac aAeste liniar  si j=IKredescoperim Teorema lui Stampacchia.
3.4 Ecuat ii neliniare ce provin din inegalit at i
variat ionale
Fie(X;h
;
iX;k
kX)un spat iu Hilbert real, operatorul A:X!X, funct ionala j:
X!(1;+1] si un element f2X.
Consider am problema studiat a  si ^ n sect iunea anterioar a:
45

(Pv)Datf2Xs a se determine u2Xastfel ^ nc^ at
hAu;vuiX+j(v)j(u)hf;vuiX;8v2X;
pentru care am admis ipotezele (3.11)-(3.13). Fie usolut ia unic a a lui (Pv), adic a
j(v)j(u)hfAu;vuiX;8v2X;
echivalent cu
fAu2@j(u):
Dac ajeste diferent iabil a G ^ateaux, atunci, cum j este  si convex a,
@j(u) =frj(u)g:
Prin urmare,
fAu=rj(u);
echivalent cu
Au+rj(u) =f:
Consider am problema:
(P)hAu;vuiX+j(v)j(u)hf;vuiX;8v2X:
Admitem c a j:X!Reste convex a, inferior semicontinu a, A:X!Xeste operator
tare monoton  si Lipschitz. ^In plus, admitem c a
(I)8
<
:exist aF:R+!R+astfel ^ nc^ at
jj(v)j(v)jF()8v2X;8>0
lim!0F() = 0:(3.21)
Admitem c a pentru A:X!Xtare monoton  si Lipschitz  si j:X!Rconvex a  si
inferior semicontinu a,
(Pv)hAu;vuiX+j(v)j(u)hf;vuiX;8v2X; (3.22)
are solut ie unic a.
Teorema 3.21. FieA:X!Xoperator tare monoton  si Lipschitz, iar j;j:X!R
funct ionale convexe  si inferior semicontinue. Admitem ^ n plus (I). Atunci
u!u^ nXc^ and!0:
46

Demonstrat ie. Consider^ and v=u^ n inegalitatea din problema (P) siv=u^ n
inegalitatea (3.22)  si sum^ and, obt inem
hAuAu;uuiX+j(u)j(u) +j(u)j(u)0;
 si de aici,
hAuAu;uuiXj(u)j(u)(j(u)j(u))
 jj(u)j(u)j+jj(u)j(u)j
2F():
CumAeste tare monoton,
mAkuuk2
X2F():
Deducem de aici c a
u!uc^ and!0:

Remarca 3.22. Dac aj(0X) = 0  sij(v)0, atuncifugeste  sir m arginit. ^Intr-
adev ar, pun^ and v= 0X^ n(P)avem
hAu;uiX+j(0X)j(u)hf;uiX
hAuA0X;u0XiXhf;uiX+hA0X;uiX
de unde
kukX1
mA(kfkX+kA0XkX):
47

Capitolul 4
PROIECTAREA S I
DESF AS URAREA CERCET ARII
4.1 Ipoteza /Ipotezele cercet arii
4.2 Scopul cercet arii
4.3 Obiectivele cercet arii
4.4 E santionul de subiect i
4.5 E santionul de cont inut
4.6 Locul  si durata cercet arii
4.6.1 Locul cercet arii
4.6.2 Durata cercet arii
4.7 Etapele cercet arii
4.8 Metodologia cercet arii
48

Capitolul 5
PREZENTAREA
REZULTATELOR, PE ETAPE
ALE CERCET ARII
5.1 Rezultatele din etapa constatativ a
49

Liceul Teoretic "Constantin Noica" Alexandria
Lucrare scris a
Disciplina Matematic a
Clasa a XI-a A 20-XII-2016
Pentru rezolvarea corect a a tuturor cerint elor din Partea I  si din Partea a II-a
se acord a 90 de puncte. Din ociu se acord a 10 puncte.
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 50 minute.
Subiectul I (40 de puncte)
10p 1. Completat i spat iile puctate:
a)feste convex a pe A,f0este ………… pe A
b)feste concav a pe A,f0este ………… pe A
10p 2. Folosind denit ia funct iei convexe ar atat i c afunct ia f:R!Rf(x) =x2
este convex a.
20p 3. S a se reprezinte grac funct iile f(x) = 2x; g(x) = (1
2)x; h(x) = logx
2,
j(x) = logx
1
2pe domeniile de denitie  si s a se indice dac a sunt funct ii convexe
sau concave.
Subiectul II (50 de puncte)
10p 1. Folosind inegalitatea lui Jensen vericat i dac a funct ia
f:R!R; f(x) = 3xeste convex a.
20p 2. Folosind metoda de reprezentare grac a "prin puncte", trasat i gracele
funct iilor sinus, cosinus pe intervalul [0; 2]
20p 3. Ar atat i folosind inegalitatea lui Jensen c a funct ia tangent a este convex a pe
(0;
2), iar funct ia cotangent a este convex a pe (0;)
50

Liceul Teoretic "Constantin Noica" Alexandria
Barem de corectare lucrare scris a
22.V.2017
Pentru orice solut ie corect a, chiar dac a este diferit a de cea
din barem, se acord a punctajul corespunz ator.
Nu se acord a fract iuni de punct, dar se pot acorda punctaje interme-
diare pentru rezolv ari part iale, ^ n limitele punctajului indicat ^ n barem.
Se acord a 10 puncte din ociu. Nota nal a se calculeaz a prin
^ mp art irea punctajului obt inut la 10.
SUBIECTUL I (40 de puncte)
1. 3p
Re(z)=-3 2p
2. 2p
2p
2p
3. 1p
2p
1p
1p
4. 2p
2p
1p
5. 3p
2p
6. 2p
2p
1p
51

SUBIECTUL II (50 de puncte)
1.a)A(2) =0
@14 16
0 1 8
0 0 11
A siA(0) =0
@1 0 0
0 1 0
0 0 11
A 2p
[A(2)A(0)]3=O3)[A(2)A(0)]2013=O3 3p
b)A(y) =0
@12y4y2
0 1 4y
0 0 11
A 2p
FinalizareA(x)
A(y) =A(x+y) 3p
c)detA= 16= 0)A inversabil a 2p
A1(x) =A(x) 3p
52

Liceul Teoretic "Constantin Noica" Alexandria
Lucrare scris a
Disciplina Matematic a
Clasa a XI-a A 20-XII-2016
Pentru rezolvarea corect a a tuturor cerint elor din Partea I  si din Partea a II-a
se acord a 90 de puncte. Din ociu se acord a 10 puncte.
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 50 minute.
Subiectul I (40 de puncte)
1. Completat i spat iile puctate:
10p a) Fief:A!Ro funct ie derivabil a
feste convex a pe A,f0este ………… pe A
feste concav a pe A,f0este ………… pe A
10p b) Fief:A!Ro funct ie de dou a ori derivabil a
feste ……………. pe A,f000
feste ……………. pe A,f000
10p 2. Stabilit i corespondent ele:
f(x) =x3x[0;+1)
f(x) =ex+ 2x R
f(x) = lnx R
f(x) =x1
x[0;+1)
10p 3. Funct ia f:R!R; f(x) =x33×2+ 5este convex a pe:
a)b)[0;1)c)d)
Subiectul II (50 de puncte)
1. Fie funct ia f:R!R; f(x) =2x
x2+1.
20p a) S a se determine D;Df00.
10p b) S a se determine intervalele de convexitate, concavitate.
10p 2. S a se determine numarul real mpentru care funct ia
f:R!R; f(x) =ex(x+m)este convex a pe [2;1).
10p 3. Consider am numerele x;y2Rcux+y= 1. Ar atat i c ax
1+x+1+y
y2
3
53

Liceul Teoretic "Constantin Noica" Alexandria
Barem de corectare lucrare scris a
22.V.2017
Pentru orice solut ie corect a, chiar dac a este diferit a de cea
din barem, se acord a punctajul corespunz ator.
Nu se acord a fract iuni de punct, dar se pot acorda punctaje interme-
diare pentru rezolv ari part iale, ^ n limitele punctajului indicat ^ n barem.
Se acord a 10 puncte din ociu. Nota nal a se calculeaz a prin
^ mp art irea punctajului obt inut la 10.
SUBIECTUL I (40 de puncte)
1. 3p
Re(z)=-3 2p
2. 2p
2p
2p
3. 1p
2p
1p
1p
4. 2p
2p
1p
5. 3p
2p
6. 2p
2p
1p
54

SUBIECTUL II (50 de puncte)
1.a)A(2) =0
@14 16
0 1 8
0 0 11
A siA(0) =0
@1 0 0
0 1 0
0 0 11
A 2p
[A(2)A(0)]3=O3)[A(2)A(0)]2013=O3 3p
b)A(y) =0
@12y4y2
0 1 4y
0 0 11
A 2p
FinalizareA(x)
A(y) =A(x+y) 3p
c)detA= 16= 0)A inversabil a 2p
A1(x) =A(x) 3p
55

Numele  si prenumele Subiectul I Total Subiectul II Total Ociu Total Nota
123Sub. I 12 3Sub. II puncte nal a
1. 10 -18 28 -10 – 10 10 48 4,80
2. 10 320 33 -13 – 13 10 56 5,60
3. 10 320 33 -15 – 15 10 58 5,80
4. 101020 40 -17 – 17 10 67 6,70
5. 101020 40 217 – 19 10 69 6,90
6. 101020 40 813 5 26 10 76 7,60
7. 101020 40 815 5 28 10 78 7,80
8. 101020 40 816 5 29 10 79 7,90
9. 101020 40 1020 6 36 10 86 8,60
10. 101020 40 1020 8 38 10 88 8,80
11. 101020 40 1020 12 42 10 92 9,20
56

Num ar elevi Note 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
1 2 2 3 2 1 –
11 Procente 9% 18% 18% 28% 18% 9% –
0%9%18%
28%
18%
18%9%Nota 10
Nota 9-9.99
Nota 8-8.99
Nota 7-7.99
Nota 6-6.99
Nota 5-5.99
Nota 4-4.99
57

4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99100123
NoteNum ar elevi
test initial control
58

Numele  si prenumele Subiectul I Total Subiectul II Total Ociu Total Nota
123Sub. I 12 3Sub. II puncte nal a
10 420 34 -13 – 13 10 57 5,70
10 320 33 -15 – 15 10 58 5,80
101020 40 -16 – 16 10 66 6,60
101020 40 -17 – 17 10 67 6,70
101020 40 217 – 19 10 69 6,90
101020 40 813 5 26 10 76 7,60
101020 40 715 5 27 10 77 7,70
101020 40 1014 5 29 10 79 7,90
101020 40 1013 6 29 10 79 7,90
101020 40 1020 5 35 10 85 8,50
101020 40 1020 7 37 10 87 8,70
59

Num ar elevi Note 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
11 – 2 3 4 2 – –
Procente – 18% 27% 37% 18% – –
0 % 4-4.99 9-9.99 1018 %5-5.99
27 %6-6.99
37 %
7-7.9918 %
8-8.99
60

4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,991001234
NoteNum ar elevi
Num ar elevi Note 4-4,99 5-5,99 6-6,99 7-7,99 8-8,99 9-9,99 10
Procente % % % % % % –
61

5.2 Etapa experimental-ameliorativa
5.2.1 Exemple de activit at i didactice formative derulate
Activitatea nr. 1 (prezentare, descriere)
5.3 Activitatea nr. 2 (prezentare, descriere)
5.4 Activitatea nr. 3 (prezentare, descriere)
5.5 Activitatea nr. 4 (prezentare, descriere)
5.5.1 Exemple de activit at i extradidactice cu caracter
formativ-educativ derulate
5.6 Rezultatele din posttest
experiment nal
62

Numele  si prenumele Subiectul I Total Subiectul II Total Ociu Total Nota
1a1b 1c1d 2a2b 3Sub. I 1a1b 23Sub. II puncte nal a
55555510 40 8 – 8 10 58 5,80
55555510 40 10 5– 15 10 65 6,50
55555510 40 10 52- 17 10 67 6,70
55555510 40 15 55- 25 10 75 7,50
55555510 40 16 55- 26 10 76 7,60
55555510 40 15 58- 28 10 78 7,80
55555510 40 15 59- 29 10 79 7,90
55555510 40 18 773 35 10 85 8,50
55555510 40 201033 36 10 86 8,60
55555510 40 201044 38 10 88 8,80
55555510 40 201067 43 10 93 9,30
63

4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.991001234
lot de control
control nal
64

Numele  si prenumele Subiectul I Total Subiectul II Total Ociu Total Nota
1a1b 1c1d 2a2b 3Sub. I 1a1b 23Sub. II puncte nal a
55555510 40 8 – 8 10 58 5,80
55555510 40 10 4– 14 10 64 6,40
55555510 40 13 5– 18 10 68 6,80
55555510 40 15 4– 19 10 69 6,90
55555510 40 20 5– 25 10 75 7,50
55555510 40 20 51- 26 10 76 7,60
55555510 40 20 53- 28 10 78 7,80
55555510 40 20 63- 29 10 79 7,90
55555510 40 201033 36 10 86 8,60
55555510 40 201053 38 10 88 8,80
55555510 40 201084 42 10 92 9,20
65

4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.991001234
lot de control
66

Capitolul 6
COMPARAREA S I
INTERPRETAREA STATISTIC A
A DATELOR OBT INUTE
6.1 Compararea rezultatelor din pretest cu cele din
posttest
6.1.1 E santion experimental versus de control, ^ n pretest
4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.9901234
0234
2
012 23
2
1Num ar elevi
lot de control-test init ial lot experiment-test init ial
67

4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.99010203040
0182737
18
0918 1828
18
9
Percente (%)|||||||||
lot de control-test init ial lot experiment-test init ial
4-4.99 5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.9901234
lot de control-test init ial
lot experiment-test init ial
68

6.1.2 E santion experimental versus de control, ^ n posttest
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.991234
134
2
1 124
3
1Num ar elevi
lot de control-test nal lot experiment-test nal
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.99010203040
92737
18
9 91837
27
9
Procente (%)|||||||||
lot de control-test nal lot experiment-test nal
69

5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.991234
lot de control-test nal
lot experiment-test nal
6.1.3 E santion control ^ n pretest, versus e santion control ^ n
posttest
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.9901234
234
2
0134
2
1Num ar elevi
lot de control-test initial lot experiment-test nal
70

5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.99010203040
182737
18
092737
18
9
Percente (%)|||||||||
lot de control-test initial lot experiment-test nal
5-5.99 6-6.99 7-7.99 8-8.99 9-9.9901234
lot de control-test initial
lot experiment-test nal
71

6.2 Concluzii desprinse ^ n urma interpret arilor  si
comparat iilor
6.3 Direct ii  si perspective ulterioare de abordare a
temei
72

Bibliograe
[1] L. Galvani, Sulle funzioni converse di una o due variabili denite in aggregate
qualunque, Rend. Circ. Mat. Palermo 41 (1916), 103-134.
[2] J. L. W. V. Jensen, Sur les fonctions convexes et les inegalites entre les valeurs
moyennes, Acta Math. 30 (1906), 175-193.
[3] T. Popoviciu, Sur certaines inegalites qui caracterisent les fonctions convexes,
Analele Stiintice Univ. Al. I. Cuza, Iasi, Sectia Mat.11 (1965), 155-164.
[4] L. J. Rogers, An extension of a certain theorem in inequalities, Messenger of
Math. 17 (1888), 145-150.
[5] O. Stolz, Grunz uge der Dierential und Integralrechnung, Vol. 1,Teubner, Leipzig,
1893.
73