1. Serii Fourier pentru func ții. Func ții periodice. Transformata periodic ă. Dezvoltarea în serie Fourier a unei func ții periodice cu perioada 2… [607368]

95 CAPITOLUL IV

SERII FOURIER

1. Serii Fourier pentru func ții. Func ții periodice. Transformata periodic ă.
Dezvoltarea în serie Fourier a unei func ții periodice cu perioada 2 π.
Exemplu .

Func țiile periodice constituie una din clasele de func ții care datorit ă
propriet ăților lor intervin frecvent în diverse probleme teor etice și practice. Un
mijloc de reprezentare și studiu al acestor func ții îl constituie dezvoltarea în
serie Fourier. În multe cazuri dezvoltarea în serie Fourier este mai convenabil ă
decât dezvoltarea în serie Taylor.
Termenii unei serii Fourier sunt func ții periodice cu care putem descrie
fenomene oscilatorii. O alt ă calitate a seriilor Fourier este și aceea c ă termenii
săi au proprietatea de ortogonalitate.
Spunem c ă func ția ( )CR∨=ΓΓ→Rf: este o func ție periodic ă de
perioad ă T > 0 dac ă:( )() Rx∈∀ = + ,xf Txf . Dac ă T este perioada func ției f(x)
atunci și kT, *,Zk∈ este perioad ă. Fie supp f =[a,b] . Numim transformata
periodic ă a func ției f , func ția Γ→RfT: ω , definit ă prin rela ția
∑∞
−∞ =∈ + = =
kT T RxkT xf xf xf ), ( )( )(~
ω , . Transformata periodic ă )(~
xf fTω= este o
func ție periodic ă de perioad ă T.

Defini ția 1 .Prin polinom trigonometric de ordinul n în țelegem func ția:
(1) ∑
=+ + =n
kk k n kx bkx aaxT
10) sin cos (2)(
unde coeficien ții }) ,…, 2 , 1 { (,,0 n kbaak k ∈ sunt numere reale.
Observ ăm c ă polinomul )(xTn din (1) este o func ție periodic ă de perioad ă
π2=T .
Defini ția 2 . Numim serie trigonometric ă seria de forma:
(2) ) sin cos (2 10kx bkx aa
k
kk + +∑∞
= .
Dac ă seria trigonometric ă (2) este convergent ă , atunci suma ei f(x) va fi o
func ție periodic ă de perioad ă T= π2. Seria trigonometric ă s-a ob ținut cu ajutorul
sistemului trigonometric fundamental :
(3) ,… sin , cos …, 2sin ,2cos ,sin , cos , 1 nx nx x x x x
Acest sistem este un sistem de func ții ortogonal și :
∫ ∫
− −= =π
ππ
ππ kxdx kxdx 2 2cos sin .

96 Fiind dat ă o func ție f(x), R Rf →: , periodic ă cu perioada 2 π, se cere s ă se
determine condi țiile pe care trebuie s ă le îndeplineasc ă func ția periodic ă f(x)
astfel încât s ă putem construi seria trigonometric ă (2) , uniform convergent ă pe
[ ]ππ,− , deci și pe R. În aceste ipoteze putem scrie egalitatea :
(4) ∑∞
=+ + =
10) sin cos (2)(
kk k kx bkx aaxf .
Seria fiind uniform convergent ă , putem integra termen cu termen și în baza
ortogonalit ății sistemului (3) g ăsim :
(5) ∫
−=π
ππdx xf ao )(1 .
Înmul țind seria (4) cu kx cos și integrând , ob ținem :
∫ ∫
− −= =π
ππ
ππk k a kxdx a kxdx xf cos cos )( , de unde:
(6) ∫
−=π
ππkxdx xf ak cos )(1 .
Procedând analog, prin înmul țire cu kx sin , ob ținem :
(7) ∫
−=π
ππkxdx xf bk sin )(1 .
Coeficien ții kkba, , ,…} 3 , 2 , 1 { ∈k determina ți dup ă formulele (6) și (7) se
numesc coeficien ții Fourier pentru func ția f(x) iar seria trigonometric ă (2) cu
ace ști coeficien ți se nume ște seria Fourier a func ției periodice f(x).
Fiind dat ă o func ție periodic ă f cu perioada 2 π și integrabil ă, putem
determina coeficien ții Fourier corespunz ători func ției date precum și seria
Fourier ata șat ă lui f (x). Nu putem îns ă s ă scriem egalitatea (4) deoarece nu știm
dac ă seria este convergent ă și chiar în caz de convergen ță , nu știm dac ă suma ei
este tocmai func ția f . Din acest motiv vom scrie :
(8) ∑∞
=+ + ≈
10) sin cos (2)(
kk k kx bkx aaxf .
Condi țiile suficiente pentru ca o func ție periodic ă cu perioada 2 π s ă poat ă
fi reprezentat ă prin seria Fourier asociat ă ei , au fost g ăsite de Dirichlet. Are loc:

Teorema (Condi țiile lui Dirichlet). Dac ă func ția f(x) cu perioada 2 π este
monoton ă pe por țiuni și m ărginit ă pe intervalul [ ]ππ,− , atunci seria Fourier
asociat ă acestei func ții este convergent ă în toate punctele. Suma S(x) a seriei
Fourier în fiecare punct de continuitate este egal ă cu valoarea func ției f în acel
punct. În punctele de discontinuitate , valoarea su mei S(x) este egal ă cu media
aritmetic ă a limitelor laterale corespunz ătoare punctului de discontinuitate ,
adic ă:

97 (9) 2) 0 ( ) 0 ()(+ +−=cf cfcS unde ,
)( lim ) 0 (), ( lim ) 0 ( xf cfxf cf
cxcx
cxcx
>→
<→=+ =− .
Exemplu. Consider ăm func ția [ ] ππ, ,4)(2
−∈ = xxxf , . Func ția periodic ă
generat ă de func ția f(x) va fi transformata periodic ă f cu perioada π2 al c ărei
grafic este :

y

π3− π2− π− 0 π π2 π3 x

Func ția f(x) reprezint ă restric ția func ției ~
f la intervalul [ ]ππ,− .
Condi țiile teoremei lui Dirichlet sunt îndeplinite, deoar ece func ția f pe intervalul
],[ ππ− este monoton ă și este m ărginit ă. Aplicând de dou ă ori integrarea prin p ărți
ob ținem pentru coeficien ții Fourier expresiile :
6, 0 ,) 1(, 02
0 2π= ≠−= = a k
ka bk
k k .
Deci seria Fourier corespunz ătoare func ției 4)(2xxf = în intervalul [ ]ππ,−
este :
… 22cos
1cos
12 cos ) 1(
12 42 22
122 2
+ + − =−+ =∑∞
=x xkx kx
kkπ π
Considerând π=x ob ținem suma:

6… 1…
21
112
2 2 2π=+ ++ +
n .

98
2.Seria Fourier a func țiilor pare sau impare.

Dac ă func ția f(x) este par ă sau impar ă pe [ ]ππ,− atunci dezvoltarea în
serie Fourier a ei se simplific ă. Astfel , dac ă func ția f(x) este par ă pe [ ]ππ,− ,
atunci f(-x) = f(x) și în consecin ță func ția kx xfcos )( este par ă iar func ția
kx xfsin )( este impar ă. Ținând seama de aceasta vom ob ține:
(1)



= == = = =
∫ ∫∫∫ ∫
−− −
π π
ππ π
ππ
π
π ππ π π
000
cos )(2cos )(1)(2)(1, 0 sin )(1
kxdx xf kxdx xf adx xf dx xf a kxdx xf b
kk

Pentru func țiile pare pe [ ]ππ,− seria Fourier va con ține numai termeni în
cosinusuri , adic ă termeni pari. Deci seria Fourier va avea expresia:
(2) kx aaxf
kkcos 2)(
10∑∞
=+ = ,
valabil ă în punctele de continuitate ale func ției f(x) pe ( )ππ,− . Acest caz a fost
ilustrat prin exempulul din paragraful anterior 4)(2xxf = , care este o func ție
par ă pe [ ]ππ,− (axa Oy ax ă de simetrie).
Dac ă func ția f(x) este impar ă pe intervalul [ ]ππ,− , atunci func ția
kx xfcos )( este impar ă , iar kx xfsin )( este o func ție par ă. În consecin ță
coeficien ții seriei Fourier vor fi :
(3) 0 , 0= =k o a a și ∫=π
π0sin )(2kxdx xf bk .
Seria Fourier pentru func țiile impare va con ține numai termenii în
sinusuri, deci :

(4) ∑∞
==
1sin )(
kk kx b xf .

3. Dezvoltarea în serie Fourier a func țiilor definite pe (- l , l). Exemplu .

Vom considera cazul general al dezvolt ării în serie Fourier a unei func ții
periodice cu perioada T = 2 l ( l >0) . Șirul trigonometric fundamental , va fi :

(1) ,… sin , cos ,…, sin , cos , 1lxn
lxn
lx
lx π π π π

99 Fie f(x) restric ția func ției periodice f cu perioada T = 2 l pe intervalul ( -l, l).
Efectuând schimbarea de variabil ă πlt x=, func ția 


πlt f va fi o func ție periodic ă
cu perioada π2. Restric ția ei la intervalul ( )ππ,− va fi func ția 


πlt f . Scriind
dezvoltarea în serie a func ției 


πlt f , avem :
(2) ) sin cos (2 10kt bkt aa lt fk
kk + + =

∑∞
= π ,
valabil ă în orice punct de continuitate Rt∈. Datorit ă substitu ției π/lt x= ,
coeficien ții Fourier vor avea expresiile:
(3)
dx lxkxflbdx lxkxfladx xfldx lxf dt lt f a
l
lkl
lkl
ll
l
∫∫∫∫∫
−−− − −
=== =

=
πππ
π π ππ
π
sin )(1cos )(1)(1)(1 1
0

Deci seria Fourier pentru func ția f(x) pe intervalul ()l l,− va fi :
(4) ) sin cos (2)(
10
lxkblxkaaxfk
kkπ π+ + =∑∞
=
unde coeficien ții sunt da ți de formula (3).
Exemplu. S ă scriem seria Fourier corespunz ătoare funcției f(x) = x pe
intervalul (- l , l). Func ția f este impar ă pe (- l , l) deci seria Fourier va con ține
numai termeni în sinus. Avem :
ππ πkxdx k x xdx k x b ak
k k2) 1( sin 2 sin , 011
01
1+
−−= = = = ∫∫ .

Prin urmare, seria Fourier corespunz ătoare func ției f(x) va fi :



 −=∑∞
=+
11
sin ) 1( 2
kk
xkkx ππ .
Pentru 21=x , ob ținem suma :
4… 71
51
311π=+−+− .

4. Dezvoltarea în serie Fourier dup ă cosinusuri sau sinusuri a unei
func ți definite pe intervalul (0 , l). Exemplu.

Fie f(x) o func ție definit ă pe []l, 0. Deseori este util ca func ția f(x) s ă se dezvolte
în serie Fourier dup ă cosinusuri sau sinusuri . În acest scop func ția se

100 prelunge ște pe intervalul []0 ,l− astfel îcât noua func ție F(x) s ă fie func ție par ă
sau impar ă pe intervalul ],[l l− , dup ă cum dezvoltarea în serie Fourier trebuie s ă
fie dup ă cosinusuri sau sinusuri. S ă presupunem c ă dorim s ă dezvolt ăm func ția
f(x), în serie Fourier dup ă cosinusuri (figura):

y

f(-x) f(x)

-l -x 0 x l x

Efectu ăm prelungirea par ă pe intervalul []0 ,l−, deci lu ăm simetricul
graficului func ției f în raport cu axa ordonatelor. Ob ținem astfel o nou ă func ție
F(x) par ă pe []l l,− .


∈−∈ −=], 0 [ ), (] 0 , [ ), ()(l xxfl xxfxF .
Dac ă func ția dat ă f(x) îndepline ște condi țiile lui Dirichlet pe intervalul
[0, l ], atunci noua func ție F(x) va îndeplini aceste condi ții pe intervalul [- l , l].
Prin urmare, seria Fourier corespunz ătoare func ției F(x) va fi :

(1) lxkaaxF
kkπcos 2)(
10∑∞
=+ =

unde
(2)



= == =
∫ ∫∫∫
−
dx lxkxfldx lxkxFladx xfldx xFla
l l
lkl l
l
0 /00
cos )(2cos )(1)(2)(1
π π , 0=kb .
Dezvoltarea (1) are loc în toate punctele de conti nuitate de pe intervalul
(-l, l). În particular, pe intervalul (0, l) ob ținem dezvoltarea c ăutat ă dup ă
cosinusuri :

101 (3) ∑∞
=+ =
10cos 2)(
kklxkaaxfπ ,
valabil ă în punctele de continuitate din intervalul (0, l).
Analog pentru a ob ține dezvoltarea în serie Fourier dup ă sinusuri a
func ției f(x) definit ă pe [0, l), efectu ăm o prelungire impar ă a func ției f pe
intervalul [- l , 0) (figura) :

y

f(x)
– l -x

0 x l x

-f(-x)

și ob ținem astfel o nou ă func ție :


∈−∈ −−=], 0 [ ), (] 0 , [ ), ()(l xxfl xxfxF .

Aceast ă func ție este impar ă pe intervalul [- l, l] ,graficul ei fiind simetric în
raport cu originea sistemului de referin ță . Scriind dezvoltarea în serie Fourier
pentru func ția impar ă, vom ob ține :
(4) F(x)= lxkb
kkπsin
1∑∞
=
unde:
(5)



== =
∫∫
−
dx lxkxflbsau dx lxkxFlb a
l
kl
lk k
0sin )(2, sin )(1, 0
ππ
.

102 În particular, în orice punct de continuitate din intervalul (0, l) avem
dezvoltarea dup ă sinusuri a func ției date f(x) , anume:

(6) lxkb xf
kkπsin )(
1∑∞
== .
Exemplu. Să dezvolt ăm în serie Fourier dup ă sinusuri func ția f(x)=1-x ,
x∈[0, 1). Efectuând o prelungire impar ă pe intervalul (-1, 0) (l=1) a func ției
date, vom ob ține func ția:


∈ −−∈ −−=] 1 , 0 [ ,1) 0 , 1 [,1)(xxxxxF
Prin periodicizarea func ției F(x) se ob ține graficul :

y
1

0 2 3 4
-2 -1 1 x

-1

În consecin ță , seria Fourier a func ției considerate va fi 1-x = xk b
kk πsin
1∑∞
=
unde :
∫= − =1
02sin )1 (2ππkxk x bk .
Deci:
1-x = .sin 2
1∑∞
=k kxkπ
π .

5. Forma complex ă a seriilor Fourier.

O form ă unitar ă a seriilor Fourier este forma complex ă. Fie f(x) o func ție
care pe intervalul (- l, l) satisface condi țiile teoremei lui Dirichlet. Atunci putem
scrie dezvoltarea în serie Fourier :

103 (1) ( )lxkblxkaaxfk
kkπ πsin cos 2)(
10+ + =∑∞
= ,
unde coeficien ții seriei au expresiile:
(2)



== =
∫∫∫
−− −
dx lxkxflbdx lxkxfladx xfla
l
lkl
ll
lk
ππ
sin )(1cos )(1,)(1
0
.
Utilizând formulele lui Euler:
(3) ) (21sin ), (21cos lxki
lxki
lxklxki
lxki
lxke eie eπ π
ππ π
π − −− = + = ,
seria (1) devine:
(4) f(x)= ) (22 2
10 lxkikib kalxkikib ka
ke eaπ π− − −∞
=+ +∑ .
Ținând seama de expresiile (2) ale coeficien ților avem :
(5) c k= ∫
−−l
llxkidx exflπ
)(21
și
(6) c -k = 2kib ka−=.∫
−l
llxkidx exflπ
)(21
Remarc ăm că în (5) și (6), k ∈N*. Primul termen al dezvolt ării (1) are
expresia :
(7) 00)(21
2c dx xflal
l= =∫
− care se ob ține din (5) pentru k=0.
Prin urmare, seria (4) se poate scrie sub forma :
(8) f(x)= ∑∑∞
=−
−∞
=+
0 0 klxki
k
klxki
k ec ecπ π

sau
(9) f(x)= ∑∞
−∞ =klxki
kecπ

unde
(10) c k =∫
−−l
llxkidx exflπ
)(21, k∈Z
Expresia (9) de reprezentare a func ției f(x) se nume ște forma complex ă a
seriei Fourier .

6. Dezvoltarea unei func ții în serie de func ții ortogonale. Aproximarea
func țiilor în medie p ătratic ă. Rela ția de închidere a lui Parseval.

Analizînd modul de determinare a coeficien ților seriei Fourier, observ ăm
că ra ționamentele folosite nu s-au bazat pe propriet ățile concrete ale func țiilor

104 trigonometrice din sistemul trigonometric fundament al ci numai pe proprietatea
de ortogonalitate. Din acest motiv este natural ca în locul sistemului
trigonometric de func ții ortogonale s ă lu ăm un sistem oarecare de func ții
ortogonale. În acest fel o func ție poate fi reprezentat ă în serie cu un sistem de
func ții ortogonale, ob ținând o serie Fourier generalizat ă.
Fie șirul de func ții ortogonale ),( )) ((2baL xn ∈ ϕ (de p ătrat integrabil pe
(a,b) ⊂R ). Pentru simplificarea calculelor vom presupune c ă șirul a fost
normalizat și vom nota cu )) (( xnΨ șirul ortonormat din L 2(a,b). S ă presupunem
că f ∈L2(a,b) și c ă ea se poate reprezenta sub forma unei serii unifor m
convergente pe (a,b) în raport cu sistemul de func ții ortonormate )) (( xnΨ .
Conform ipotezelor f ăcute avem :
(1) f(x)= )(
1x ck
kkΨ∑∞
= .
Pentru determinarea coeficien ților kc (k ∈N), înmul țim egalitatea (1) cu
conjugatul kΨ al func ției kΨ și integrând termen cu termen pe intervalul (a,b),
ob ținem :
(2) k kb
ak k kb
ak k c c dx c dx xf = Ψ = ΨΨ = Ψ∫∫2)(
și deoarece sistemul )(kΨ este ortonormat, avem :
(3)

=≠= ΨΨnmnm
m m, 1, 0),( .
Coeficien ții kc determina ți prin rela ția (2) se numesc coeficien ții Fourier
generaliza ți ai func ției f ∈ L 2(a,b) relativ la sistemul ortonormat de func ții
)(kΨpe (a, b). Seria (1) se va numi seria Fourier generalizat ă a func ției
relativ la sistemul ortonormat )(kΨ.
Teorema lui Dirichlet r ămâne valabil ă și pentru seriile Fourier
generalizate. Astfel rela ția (1) are loc în fiecare punct de continuitate a f unc ției f
din intervalul (a, b) dac ă partea real ă și partea imaginar ă ale func ției complexe
f∈ L 2(a,b) satisfac condi țiile teoremei lui Dirichlet.
Exemplu. S ă dezvolt ăm în serie dup ă polinoamele lui Hermite func ția
f(x)= xe , x ∈R. Polinoamele lui Hermite definite prin rela ția:
(4) )(xHn= ) ( ) 1(2 2x
ndx ndxne e−− RxNn ∈ ∈, formeaz ă un sistem
ortogonal cu ponderea p(x)= 2xe− pe R.
Func ția f(x) 2xe− )(2RL∈și satisface condi țiile teoremei lui Dirichlet , deci
:
(5) ∑∞
==
0)(
kk kxxHc e , x ∈R .

105 Înmul țind aceast ă egalitate cu )(2xHex și integrând, pe baza propriet ății
de ortogonalitate ob ținem :
π!2 )( )(22 2k c dx xHec dx xH ek
k kx
k kxx∫ ∫∞
∞−−∞
∞−+−= = de unde:
∫∞
∞−+−= dx xH e
kckxx
kk )(
!21 2
π.
Integrînd prin p ărți și ținând seama de (4) ob ținem:
∫ ∫ ∫∞
∞−∞
∞−∞
∞−+−
−+− +−= == =41
12 2 2… )( )( e dx e dx x H e dx xH exx
kxx
kxxπ .
Prin urmare, seria Fourier generalizat ă corespunz ătoare func ției f(x)=e x
este :
∑∞
==
041
!2)(
kkk x
kxHe e ,
valabil ă pentru orice Rx∈.
Defini ție. Fie f,g ),(2baL∈ . Numim eroare p ătratic ă medie a func ției f
fa ță de g num ărul
(6) )( )(1)( )(21
21xgxf
abdx xgxfb
aab−
−=




− =∫−δ .
Num ărul δ reprezint ă o m ăsur ă a erorii ce o facem dac ă aproxim ăm
func ția f prin g sau func ția g prin f. Aceast ă m ăsur ă a erorii numit ă eroare
pătratic ă medie este deosebit de util ă în studiul seriilor Fourier, deoarece este
legat ă direct de norma func țiilor de p ătrat integrabil.
Fie func ția f ),(2baL∈ și sistemul ortonormat de func ții complexe
( )) (( xkΨ de p ătrat integrabil pe intervalul (a,b) .
Func ția:
(7) ∑
=Ψ =n
kk k n x xS
1)( )( λ
se nume ște polinom ortogonal pe intervalul (a, b). S ă determin ăm coeficien ții kλ
ai polinomului (7) astfel încât eroarea p ătratic ă medie fa ță de func ția f s ă fie
minim ă. Avem :
dx xf dx xSxf abb
ab
an
kk k n n2
12 2)( )( )( ) (∫ ∫ ∑
=Ψ − = − = − λ δ .
Ținînd seama c ă func țiile f , kΨ sunt func ții complexe, iar kλ numere
complexe, pentru dezvoltarea expresiei de sub semnu l integral ă de mai sus vom
folosi formula :
βαβα β α βαβα βα − − + = −⋅ − = −2 2 2) () ( .
Ob ținem :

106
( 8) dx dx f dx f dx f abjb
ain
in
jji kb
an
kb
an
kb
ak x k n ΨΨ + Ψ
− Ψ − = − ∫∑∑ ∫∑∫∑∫
= = = = 1 1 1 12 2) ( λλ λ λ δ .

Sistemul de func ții kΨ ( fiind ortonormat și ținând seama c ă coeficien ții
Fourier corespunz ători func ției f relativ la sistemul ortonormat ( )kΨ sunt
∫Ψ =b
ak k dx xf c )( egalitatea (8) devine:
(9)



− + − = − − ++ − = + − − = −
∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑
= = == = = =
n
kk kn
kn
kk k k k kn
kn
kn
kn
kk kk kk kk n
c c f c cc f c c f ab
12
1 12 21 1 1 12 2 2 2
) )( () (
λ λ λλλ λ λ δ
.
Din rela ția (9) rezult ă c ă nδva fi minim ă dac ă k kc λ= . Am ob ținut astfel :
Teorema 1 . Dintre toate polinoamele ortogonale, cel pentru ca re eroarea
pătratic ă medie fa ță de func ția f ),(2baL∈ este minim ă este acela ai c ărui
coeficien ți sunt coeficien ții Fourier generaliza ți relativ la func ția f.
Aceasta înseamn ă c ă func ția ∑
=Ψn
kk kc
1realizeaz ă cea mai bun ă aproxima ție
în medie p ătratic ă a func ției de p ătrat integrabil f. Putem scrie:
(10) ∑
=− = −n
kk n c f ab
12 2 2) (δ .
Deoarece 0≥nδ , rezult ă inegalitatea:
(11) 2
12f cn
kk∑
=≤
(unde dx f fb
a∫=2 2 ), numit ă inegalitatea lui Bessel. Putem astfel enun ța :
Teorema 2 . Suma p ătratelor modulelor a n coeficien ți Fourier ai unei
func ții de p ătrat integrabil, relativ la un sistem de n func ții ortonormate, este cel
mult egal ă cu p ătratul normei func ției f .
Dac ă consider ăm seria cu termeni pozitivi ∑∞
=12
nncatunci din inegalitatea
lui Bessel deducem c ă sumele par țiale ale seriei sunt m ărginite de 2f ; prin
urmare seria ∑∞
=12
nnc este o serie convergent ă . Din acest motiv în inegalitatea lui
Bessel putem considera n ∞→ și se ob ține :
(12) 2
12f cn
nn∑
=≤
numit ă inegalitatea lui Parseval .

107 Defini ție . Un șir ortogonal de func ții ( Ψk) de p ătrat integrabil este un
sistem închis , dac ă pentru orice f ),(2baL∈ are loc rela ția :
(13) 2
12f cn
nn∑
==

numit ă rela ția de închidere a lui Parseval .
Fie f 0 ),(2> − ∈ ll l L . Sistemul trigonometric normat :
(14) ,… sin ,cos ,…, sin ,cos ,
211 1 1 1
l l l l lxk xk x x π π π π

este un sistem închis . În raport cu sistemul ortog onal (14) coeficien ții Fourier
sunt :
, cos )(cos )(1 | /
kl
lxk l
lk al dx lxkxflldx
lxf c ⋅ = = = ∫ ∫− −ππ

lb ck k=// si 0 02)(1
2 2)(alxflldx
lxfcl
ll
l⋅ = = = ∫ ∫− −

Înlocuind // /
, 0,k kccc ob ținu ți mai sus în (13) , ob ținem rela ția de
închidere a lui Parseval .
(15) ∫∑
−∞
== + +l
l nn n dx xflb aa)(1) (22
12 22
0 .
Dac ă π=l , (15) devine :
(16) ∫ ∑
−∞
== + +π
ππdx xf b aa
nn n )(1) (22
12 22
0 .

Exemplu . Să se scrie seria Fourier trigonometric ă și apoi egalitatea lui
Parseval pentru func ția :

<≤<
=
πxx
xf
1 pentru , 01 pentru , 1
)( .
Să se deduc ă apoi sumele seriilor : ∑∞
=122sin
nnn și ∑∞
=122cos
nnn.
Seria Fourier este:
(1) ∑∞
=+ + =
10) sin cos (2)(
nn n nx b nx aaxf
unde
(2) ∫ ∫ ∫− − −= = =π
ππ
ππ
π π π πnxdx xf b nxdx xf adx xf an n sin )(1 și , cos )(1 ,)(1
0 .

108 Graficul lui )(xf este:

Avem ∫−=1
101dx aπ, de unde rezult ă:
(3) π2
0=a .
Apoi, nnnx nnxdx anπ π πsin 2sin 1cos 11
11
1= = =∫
−−,adic ă:
(4) nnanπsin 2=
și: 0 cos 1sin 11
11
1= −= =−
−∫nx nnxdx bnπ π adic ă:
(5) 0=nb ( f(x) par ă!) .
Deci seria Fourier ata șat ă func ției f(z) este:
(6) ∑∞
=+=
1cos sin 21)(
nnx nnxfππ .
Egalitatea lui Parseval este:
(7) dx xf b aa
n
nn )(1) (22 2
122
0∫ ∑
−∞
== + +π
ππ
sau
(8) ∫∑
−∞
== +1
1 122
2 21 sin 4 2dx nn
n π π π
de unde:
(9) 1sin 21
122
= +∑∞
=nnn
ππ .
Rezult ă suma cerut ă: 0 1
-1 1 π -π y
x

109 (10) 21 sin
122−=∑∞
=π
nnn .
Pentru calcul ∑∞
=122cos
n nn scriem:
∑∑∑∑∞
=∞
=∞
=∞
=− =−=
122
12
122
122sin 1 sin 1 cos
n n n n nn
n nn
nn.
Știm c ă: 612
12π=∑∞
=nn;deci 21
6cos
12
22−− =∑∞
=π π
n nn.

7. Probleme propuse

1) S ă se dezvolte în serie Fourier func ția :

a)

∈−∈
=], 0 ( , 3] 0 , ( , 1
)(ππ
xx
xf ;

b)



∈ −∈∈
=
] 3 , 2 [ , 3) 2 , 1 ( , 1] 1 , 0 [ ,
)(
xxxxx
xf ;

c) Rxxxxf ∈+= ,cos 45cos )( .

2) S ă se dezvolte în serie Fourier de sin și respectiv cos func ția :

a) ), 0 ( ,24)( ππ∈ −= xxxf ;

b)

∈ −∈
=] 2 , 1 ( ,] 1 , 0 [ ,
)(xxxx
xf .

110 3) S ă se determine seria Fourier trigonometric ă a func ției periodice

),( ,2)( ππππ−∈ = x esh xfx de perioad ă π2 . Din dezvoltarea ob ținut ă și din

rela ția de închidere a lui Parseval s ă se calculeze sumele :

∑∞
= +−
121) 1(
nn
n și ∑∞
= + 1211
nn .

4) S ă se scrie seria Fourier trigonometric ă și apoi egalitatea lui Parseval pentru

func ția :


≤≤<
=
πxaax
xf
, 0, 1
)( , a >0 .

Să se calculeze apoi sumele seriilor :

∑∞
=122sin
n nna și ∑∞
=122cos
n nna .