1. SCURT ISTORIC AL DEZVOLTĂRII ȘI IMPLEMENTĂRII MANUALULUI DIGITAL ÎN PROCESUL DE INSTRUIRE 1.1. Conceptul de manual digital Calitatea manualului… [617662]

2
1. SCURT ISTORIC AL DEZVOLTĂRII ȘI IMPLEMENTĂRII MANUALULUI
DIGITAL ÎN PROCESUL DE INSTRUIRE
1.1. Conceptul de manual digital
Calitatea manualului școlar este condiționată de evoluț iile înregistrate la nivelul gâ ndirii
pedagogice și al mijloacelor mo derne și postmoderne de învățămâ nt. Din această perspectivă,
manualul școlar se află ciclic în fața unor noi provocări generate de paradigma pedagogiei
afirmată istoric la scară socială și de progresul tehnologic reflectat și la nivelul extinderii și
perfecț ionării mijloacelor de învățămâ nt. Progresul tehnologiilor informaționale, generali zat la
scară mondială, a dus la necesitatea elaborării manualelor digitale.
Manualul digital este un p rodus software complex, care poate fi folosit online dar și
offline, pe orice tip de tehnologie, pe orice sistem de operare și pe orice browser. Reflect ă
imaginea manualului tipărit, având în plus exerciții interactive, jocuri educaționale, animații,
filme și simulări.
Conceptul de “manual digital”, este cunoscut de la sfârșitul anilor 1960. Inițial sunt
elaborate manuale programate cu structura liniară a textului, sarcini de evaluare informatizată și
feedback imediat. În unele manuale programate sarcinile erau generate și analizate destul de
inteligent. Prima încercare de digitalizare a cărților și manualelor tipărite a fost realizată tot în
aceiași perioadă (compania Xerox – Dynabook).
Manualul digital este acceptat, în special, la începutul anilor 70. [1] Încă pe vremea
primelor calculatoare, a primelor rețele, în urma lansării unui proiect de transpunere, de rescriere
a cărților de referință în format digital (la început doar ca text simplu – formatul .txt, în codul
ASCII). Acest proiect a fost numit în cins tea inventatorului tiparului – Gutenberg și a fost inițiat
de către Michael Hart, care din 1971, s -a lansat în rescrierea cărților în format digital (txt), mai
târziu utilizând dispozitivele de scanare a imaginilor, cu „recunoașterea” și corectarea textelo r,
cu co nversie și salvare în diverse formate . Scopul declarat al proiectului Gutenberg a
fost încurajarea creării și distribuției de cărți în format electronic .
Către 1990 se produce “revoluția învățării i nteractive” [5]. Inițial, după cum constată P.
Brusilovsky, E. Schwarz și G. Weber (1997) conținutul manualului electronic nu este nici
interactiv, nici adaptiv și reprezentă documente hipertextuale statice. Aceste resurse se
transformă treptat în manuale webalizate sau manuale electronice diseminate pe CD.
Totuși, tendința de a elabora manuale electronice interactive și/sau adaptive devine
realitate datorită tehnologiilor care oferă posibilitatea de a elabora structuri liniare, ciclice și
ierarhice, pagini cu hipertext ș i/sau multimedia. În scurt timp sunt elaborate manuale multimedia
sau lecții multimedia.

3
După 2010, odată cu aplicabilitatea noilor tehnologii hardware și software pentru
suportul digital mobil , manualul electronic devine treptat manual digital interactiv . De cele mai
dese ori aceste resurse pedagogice sunt accesate de pe un portal educațional sau din diverse
librării digitale.
După cum am menționat manualele digitale au suferit schimbări majore legate de
formatul lor și parcurgerea liniară a conținutului. Actual, există o multitudine de facilități care
pot fi implementate într -un manual digital, variind de la hipertext la fișiere multi -mediatice și
servicii Web 2.0 de colaborare. Apariția manualelor digitale este determinată de cel puțin cinci
aspecte interdependente [2]:
1. Multitudinea dispozitivelor digitale pentru accesarea resurselor de învățare (calculatoare
staționare și mobile, tablete, telefoane inteligente, dispozitive e -Book etc.) ;
2. Numărul mare de aplicații specializate pentru accesarea resurselor educaționale digitale
prezentate în cele mai diverse formate (text, imagini statice, video, sunet), pentru crearea
modelelor educaționale interactive, a cărților digitale, aplicațiilor pentru evaluarea
asistată de calculator etc. ;
3. Creșterea expo nențială a numărului de resurse educaționale de calitat e, aflate în
distribuție liberă;
4. Tehnologiile de transfer al datelor, în timp real, indiferent de tipul resurselor, comunicare
sincronă, stocare și acces la date în locații sigure;
5. Venirea în instituți ile de învățământ a generației de elevi digital -nativi și, concomitent,
creșterea nivelului competențelor digitale ale cadrelor didactice;
Cu certitudine, manualul digital, oferă procedee moderne în procesul de predare -învățare –
evaluare, asigură și propune activități succesive, interactive de expunere a conținutului. Un
manual digital modern include material sistematizat pe domenii științifice și practici relevante
necesare pentru a asigura formarea creativă și activă de cunoștințe, aptitudini și abilități de către
instruiți. Treptat, manualul digital devine o componentă de bază printre resursele didactice
digitale din învățământ. Prin urmare, problematica elaborării manualelor digitale la etapa actuală
este foarte relevantă. În procesul de elaborare a manua lelor digitale trebuie să se țină seama de
mai multe exigențe metodologice și psihopedagogice. Astfel, manualul digital trebuie să conțină,
să contribuie și să promovez e [3]:
– formarea cunoștințelor declarative, procedurale și autoreglatorii. Cunoștințele d eclarative
constituie noțiunile, teoriile și definițiile unui domeniu, cunoștințele procedurale se
regăsesc în formarea de deprinderi motorii sau cognitive, iar cunoștințele auto -reglatorii
se referă la deprinderile reflexive și metacognitive pe care instr uiții le aplică pentru a -și
coordona și evalua propriile acțiuni;

4
– noutatea și originalitatea prin aplicarea mai multor resurse multimedia și interactivitate
sporită;
– limbajul științific și conținutul explicat prin mai multe tipuri de resurse, continuitatea
conținuturilor, evitarea de secvențe sau resurse repetitive, orientarea instruitului în
conținuturi;
– diferite contexte și nevoi socio -culturale, soluții pentru rezolvarea problemelor cotidiene,
ceea ce face procesul de învățare mai semnificativ și emoțion al;
– partajarea cunoștințelor și a spațiilor de colaborare în rețea;
– individualizarea procesului de învățare, astfel încât instruitul să se poate adapta la ritmul
propriu de studiu;
– siguranța, atractivitatea și interactivitatea conținuturilor;
– crearea de co nținuturi și arhivarea acestora, generarea și extinderea sarcinilor didactice
ale manualului în sala de studiu și prin teme pentru acasă.
La etapa ini țială a informatiz ării educației, se punea accentul pe modul de realizare și
de organizare a conținutului – chiar și manualele cu text, majoritatea în format pdf simplu, fiind
considerate acceptabile . Manuale digitale din ziua de astăzi oferă un plus de valoare prin
proiectarea corespunzătoare a sarcinilor de lucru propuse elevilor. Astfel, manualul se transfo rmă
dintr -un simplu instrum ent de suport într -un adevărat mijloc de învățământ și având funcții
pedagogice în adevăratul sens al cuvântului. Crearea unor texte în format digital care copiază
conținutul manualelor tipărite existente nu motivează suficient e levii și profesorii să facă trecerea
la utilizarea ma nualelor electronice . Această variantă de abordare a problemei digitizării
conținuturilor învățământului conduce la ratarea obiectivului afirmat de a impulsiona procesul
de educație prin valorificarea po sibilităților noilor tehnologii [3 ]. Astfel ca un manual digital să –
și realizeze obiectivul trebuie să conțină următoarele elemente:
• hipertext (legături semantice între secvențe de conținut) ;
• integrarea multimedia: simulări, filme didactice, animație interactivă, clipuri audio ;
• integrarea de activități de învățare complexe și de jocuri educative;
• posibilitatea de lucru direct pe manual, eventual, colaborativ (căutare,
subliniere/evidențiere, adnotări, rezolvarea sarcinilor de lucru etc.);
• sarcini de ev aluare/de auto -evaluare (inclusiv posibilitatea construirii unui ”portofoliu
electronic” al elevului);
• posibilitatea de actualizare/modificare și completare;
• posibilitatea de personalizare (de către instituție, profesor sau elev);
• resurse suplimentare integrate.

5
În procesul de elaborare a unui m anual electronic se axează foarte mult la designul
vizual (în corespondență cu accentul pe conținut – latura pasivă) și la interactivitate (activitățile
de învățare – componenta activă) [4].
Aspectul și modul de organizare a informațiilor de învățare sunt caracteristici
importante, care pot susține sau, dimpotrivă, pot îngreuna parcursu l de învățare. Elemente
precum v izibilitatea (fontul utilizat, mărimea sa, culorile, contrastul etc.), orientarea facilă în
pagină (poziționarea în funcție de importanță, gruparea în funcție de semnificație) și navigarea
în material, în ansamblul său (structurarea întregului material cu posibilitatea navigării lineare
sau în salturi, includerea unor indicații de poziț ionare și a unor hyperlinkuri) . Există diverse studii
realizate în ultimele două decenii, referitoare la impactul vizual, eye tracking, etc., care ghidează
activitatea de design a materialelor din punct de vedere al aspec tului vizual. M anualele digitale
trebuie să aibă un design universal, care să nu necesite explicații suplimentare, o interfață
predictibilă, cu modele familiare de navigare și căutare [4]. Acest lucru ține de eficientizarea
procesului de învățământ, întrucât o interfață accesibilă elevilor conduce la reali zarea sarcinilor
de lucru într -un timp mai scurt și la procesarea mai rapidă a informației. Un bun design vizual
este o condiție necesară, însă nici pe departe suficientă pentru a înscrie un manual digital în rândul
manualelor eficiente.
Textul este compon enta de bază a manualului digital. Se disting următoarele tipuri de
text: text primar, care cuprinde concepte și definiții, descrierea diferitor procese, fenomene,
teorii, la fel și descrierea sarcinilor de lucru, experimentelor, testelor, lucrărilor indep endente sau
în grup. Datele bibliografice, datele statice și curiozitățile reprezintă textul suplimentar.
Dicționarele, diagramele, notele, diverse explicații se includ în categoria textului explicativ.
Textul în cadrul manualului didital este organizat cu ajutorul tehnologiei hypertext și reprezintă
un set de date care mențin relația dintre elementele sele ctate în mod automat. Această tehnologie
oferă o vizualizare electronică a unor cantități mari de date și informații grafice organizate
ierarhic. În plus, structura hypertext oferă o căutare rapidă a informațiilor. Dacă un manual digital
include și informații multimedia (sunet, grafică, animație, video), atunci organizarea unor astfel
de date se bazează pe sisteme hypermedia. Acest concept a fost inven tat de Ted Nelson în 1965.
Este o tehnică pentru organizarea informației sub formă de text, grafică, informații audio, video
clip, animații printr -o metodă complexă neliniară, în vederea facilitării explorării rapide a unei
mari cantități de cunoștințe. Hypermedia este formată din noduri, care sunt unitățile de bază ale
stocării informațiilor .
Modul în care este organizat conținutul în manual îi poate ajuta pe elevi ca să înțeleagă
și să memoreze informația pe un termen mai îndelungat. Astfel există mai mul te forme de

6
organizare a conținuturilor. Cele mai des utilizate forme de redare a conținutului sunt: structura
în lanț, în formă de triunghi, în formă de stea și păianjen [7].

Figura 1.1. Structuri de organizare a con ținuturilor manualului digital
Informația care este poziționată în lanț și în forma de triunghi este mai ușor de înțeles
pentru elevi, dar sunt memorate pe un termen mai scurt. În schimb informația plasată în formă
de stea și păianjen este mai complexă și mai greu de înțeles pe ntru elevi, avantajul este că odată
ce a fost înțeleasă este memorată pe un termen mai îndelungat. Organizarea informației sub aceste
forme oferă pentru utilizatori avantaje sau dezavantaje de învățare și de căutare pe trasee
individuale. [6 ]
Conținutul p lasat trebuie să respecte principiul proporției, accentului, unității, balanței,
a nu se folosi mai mult de 90% din suprafața ecranului și a se utili za culori deschise și neutre .
Este important a evita conținuturile care suprasolicită memoria, a spori capa citatea de memorare
prin utilizarea materialelor ce î mbină resurse audio și video [8].
Referitor la interactivitate în ce privește materialele de învățare în format electronic,
aceast ea se referă la interactivitate didactică și trebuie înțeleasă ca un atribut al manualului de a
interacționa cu cel care parcurge materialul, pentru a determina o schimbare în comportament
(cognitiv, afectiv, psihomotor) sau pentru a contribui la formarea unei atitudini, concepții etc.
Interactivitatea se realizează în mare parte cu ajutorul elementelor multimedia și este de preferat
ca acestea să fie cât mai variate, relevante și actualizate [8]. Scopul acestor manuale este de a
facilita predarea și învățarea, deci inclusiv resursele media trebuie să contribuie la înlesnirea
procesului didactic, la desfășurarea activităților didactice într-un mod creativ, inovativ, care să
stârnească interesul ș curiozitatea elevilor. De aceea, elementele multimedia nu ar trebui să se
rezume numai la conțin uturile existente în formatul tipări t, ci să existe și link -uri către surse
alternative, destinate elevilor care doresc să aprofundeze subiectul respectiv , în particular. De
asemenea, numărul aplicațiilor interactive trebuie să fie în echilibru cu volumul text ului, pentru
a consolida învățar ea și a nu aglomera excesiv prezentarea.

7
Un element destul de important pe care trebuie s ă-l dețină manualul digital este
posibilitatea de actualizare a conținutului, de adaptare la contextul informațional în funcție de
resursele disponibile și la cerințele locale , pentru a asigura relevanța și acuratețea de -a lungul
timpului fără costurile unei noi editări [10].
Pentru e laborarea manualului sunt parcurse următoarele etape [11]:
1. definirea obiectivelor de dezvoltare în conformitate cu documentele de p olitici
educaționale naționale;
2. proiectarea și dezvoltarea structurii manualului digital;
3. elaborarea conținutului;
4. pregătirea materialelor pentru structurile extinse ale manualului digital;
5. programarea manualului digital;
6. testarea și actualizarea de conțin ut pe baza rezultatelor testării;
7. elaborarea unui ghid metodologic pentru utilizatori.
Deci, crearea manualului digital reprezintă o sarcină co mplexă. Multe manuale online
se dovedesc a fi doar manuale de referință hipertext cu ilustrații multimedia. Reper ul cheie al
unui manual digital este metodologia care pune în aplicare a lgoritmul de învățare. Manualul
digital automatizează toate etapele de învățare, începând cu prezentarea conținutului educațional
până la controlul cunoștințelor. În acest fel, elabora rea manualului digital reprezintă o acțiune
strategică a modernizării sistemului educațional global și un subiect de discuții continue și de
cercetare în diverse domenii.
Manualul digital trebuie să confirme importanța manua lului școlar, în calitate de
document curricular operațional al elevului, care trebuie să asigure reușita, în învățarea școlară,
formală și no nformală, a tuturor elevilor, este o metodă de instruire, valorificată în acțiunile de
predare, învățare, evaluare, realizabile prin uti lizare a manualului.
Cele mai cunoscute tipuri de manuale digitale concepute pentru sis temul educațional
sunt: a) eManual (eTextbook, Electronic Textbook, Digital Textbook, eBook, iBook, Active
Textbook, Interactive Textbook, Dynamic Books etc.); b) manualul surs ă deschisă (Open
Textbook, Free Online Textbook etc.); c) tutorii cognitivi (Intelligent Tutor, Cognitive Tutore,
Adaptive Tutor etc.). Manualul digital poate fi conceput ca didactic, dogmatic, declarativ și
monografic. De cele mai multe ori, manualele de tipul eTextbook sînt elaborate în cadrul unor
programe de stat sau proiecte.
Manualul sursă deschisă este un text distribuit în baza unei licențe, care permite
accesarea și/sau adaptarea on -line a materialului didactic fără cost, iar offline – la un preț
minimal. Specificul acestuia este licența dreptului de autor, care oferă posibilitatea de a disemina,
copia și asambla legal conținutul digital. Astfel, profesorii pot adapta conținutul reieșind din

8
performanțele elevilor prin adăugare, optimizare sau șterg ere, iar elevii pot selecta formatul
manualului în funcție de preferințe, buget și stilul propriu de învățare. De cele mai multe ori,
manualele sursă deschisă sînt elaborate sau asamblate conform curriculumului, au aceeași tablă
de materii, pot fi citite p e ecran digital și procurate în format tipărit. Conținutul este scris sau/și
evaluat de experți. Manualul sursă deschisă include teme on -line, baza de date a itemilor
informatizați, resurse audio sau video, obiecte de învățare și artefacte digitale. Pentru a crea, a
selecta formatul, a îmbunătăți conținutul, a căuta după metadate, a studia conținutul. Scrierea,
editarea și publicarea acestuia are mai multe avantaje comparativ cu scrierea, editarea și
publicarea manualului traditional.
În abordare metasistem ică, la conceperea manualului sursă deschisă se va ține cont de
cross -principiile de elaborare și utilizare a manualului digital, funcțiile manualului digital și
normele de implementare a acestora. Prin urmare, modelul didactic asigură actualitatea
filozof ico-metodologică a concepției manualului digital, aplicată în corespundere cu necesitățile
și baza unei licențe. Manualul sursă deschisă este creat în ba za softurilor sursă deschisă.
La scară internațională acestea sunt în continuă și accelerată as censiune , multiplicându –
se în mod impresionant, de ele putând beneficia, în primul rând, cunoscătorii de limbă engleză.
Resursele educaționale deschise presupun, în mod comun, accesul liber, tehnic și legal,
la conținut, inclusiv la codul sursă, al profesorilor, elevilor, studenților, cercetătorilor capabili să
lucreze cu acest conținut și mediu, care să stimuleze plenar activitățile date, de la infrastr uctură
la valori. Principiile care fundamentează existența și funcționalitatea lor includ: conținutul liber;
competențe pentru profesori și elevi – digitale și culturale; transparență și integritate în educație.
Conținuturile resurse educaționale deschise se pot regăsi/dezvolta prin crearea
Bibliotecii școlare virtuale, portalul național de resurse educaționale deschise, în manualele
digitale și deschise; prin licențele deschise/libere/CC pentru educație. Toate acestea pot deveni
realitate în fiecare țară, prin stimularea creatorilor de resurse educaționale deschise în baza unor
mecanisme asociate utilizării fondurilor comunitare, prin pregătirea permanentă a profesorilor
pentru TIC și utilizarea și producerea resurselor de acest tip , dar și prin dezvoltarea intensivă a
competențelor digitale la elevi și studenți.
1.2. Implementarea manualelor digitale în diferite state ale lumii
În lume, deja după anul 2010, resursele educaționale în format digital și -au făcut apariția
în diverse țări. Nu exista un format standar t în lume, pentru elaborarea manualelor digitale .
Astfel, fiecare țară își stabilește standardele de elaborare a manualelor digitale adecvate
sistemelor proprii de educație.
Începând cu anul 2007, Coreea de Sud implementează programul „Manualul digital”, la
baza căruia se află concepția manualului interactiv virtual în format 3D ”Virtual interactive

9
ubiquitous book 3D” , care combină modelele interactive 3D cu datele necesare pentru studii, în
diverse formate. R ezultatele experimentului au demonstrat o creștere cu circa 30% a progresului
școlar; cea mai mare creștere fiind atestată în cazul categoriei de elevi cu rezultate scăzute, ce
ulterior au fost instruiți în baza tehnologiilor tradiționale. În următorii ani este preconizată
trecerea integrală a ins truirii la nivel național în bază de manuale digitale.
Mai multe modele concurente, dezvoltate începând cu anunțarea oficială a perioadei
Web 2.0 (2004), în special pentru platformele instrumentale Kindle și Apple, p olitica națională ,
a Statelor Unite ale Americii, în domeniu se orientează către alegerea liberă a platformelor,
manualelor, autorilor, instrumentelor, scopul final fiind creșterea eficienței procesului
educațional, dar și asigurarea unui mediu de instruire corespunzător nivelului tehnologic al
societății americane. Începând cu anul 2007, Adobe, mai apoi Apple și Amazon, au pus la
dispoziția publicului larg instrumente software pentru crearea cărților (și în particular −
manualelor) digitale. Acestea permit trecerea materialelor de autor în form atele acceptate pentru
manualele digitale, încorporarea instrumentelor de căutare, marcare, inserare a notițelor,
redimensionare a textului și obiectelor grafice, controlul modelelor 3D, trecerea directă la
locațiile predefinite; a instrumentelor de comuni care; a compartimente lor pentru autoevaluare; a
elementelor de control prin gesturi, voce sau suprafețe tactile.
La cererea președintelui Obama, procesul de tranziție la manualele în format digital
pentru nivelul K -12 (treapta liceală ) a fost accelerat. Astfel în 2012 a fost lansat ă o inițiativă
publică „The Digital Textbook Collaborative”, conform că reia fiecare elev american a fost
asigurat cu manuale digitale. Resursele digitale pentru educație din SUA, elaborate în baza
finanțărilor din bugetul federa l, sunt distribuite instituțiilor de învățământ gratuit .
În China, prin programul eSchoolbag (2011), eTextbook devine un sistem individual,
autonom, deschis și mobil pentru iPad -uri destinate comunicării ed ucaționale în mediul digital .
Polonia, în anul 201 2, investește 11 milioane de euro pentru elaborarea manualelor
digitale, gratuite, pentru clasele a IV-a- VI-a, toate materialele pot fi copiate și prelucrate, cu
condiția să fie menționat numele autorului. Această țară a optat, pentru o strategie destul de
interesantă, manualele sunt produse de către guvern, nu de către edituri . Cu toate că c el mai bun
mod de a avea ceva rapid și de calitate, este d e a cumpăra de la producători, dar guvernul polonez
a decis să meargă într -o cu to tul altă direcție și să producă el însuși manualele. Motivul pentru
care Executivul polonez a optat pentru aceast ă variant este faptul că, livrarea acestora în școli să
fie gratuite. Manualele digitale produse de guvern sunt elaborate de profesori din învă țământul
universitar, pe diferite specialități . Fiind considerate bune pentru că, pur și simplu, sunt făcute la
nivel guvernamental . Guvernul polonez devine astfel producător unic al manualelor școlare .

10
În comparație cu multe alte țări, în Finlanda se pun e un accent deosebit pentru a asigura
procesul educațional cu manuale digitale. Disponibilitatea manualelor este vitală mai ales înainte
de perioadei de examinare, de aceea multe biblioteci optează ca să cumpere în primul rând
manuale digitale. Accesarea a cestora uneori poate fi delimitată de unele restricții și anume
limitarea numărului de utilizatori care le pot accesa simultan. Cadrele didactice și studenții
finlandezi au deja o mare experiență în utilizarea manualelor digitale. În urma unui sondaj făcut
de catre FinELib -Consortium (Consortiu licen țiat care acoperă bibliotecile publice și științifice
din întreaga ț ară) s-au obținut următoarele rezultate: 78% din profesorii intervievați au spus că
utilizează manuale digitale pentru studiu, iar studenții în jur de 77%. Mai mult de jumătate din
profesori (65%) utilizează manualele digitale în cadrul orelor [12].

Figura 1. 2. Utilizarea manualelor digitale în cadrul orelor,
de către profesorii instituțiilor finlandeze
În primăvara anului 2014, a fost lansat proiectul eTextbook, gestionat de, Biblioteca
Națională a Finlandei, care a studiat destul de minuțios necesitatea bibl iotecilor de a obține
licențe pentru utilizarea manualelor digitale, a evaluat abilitățile editurilor și a luat în calcul
informațiile de la elevii și profesorii cu experiențe de utilizare a manualelor digitale. Astfel au
fost selectate patru edituri: Edita Publishing, Gaudeamus Helsinki Un iversity Press, PS –
kustannus și Vastapaino , tipurile de licențe care ar putea fi utilizate și platforma de distribuire a
acestor manuale: Elibs Ltd, această platform până în prezent este urilizată de către instituțiile de
învățământ din această țară. În cadrul acestui proiect au fost lansate 250 titluri de manuale
finlandeze licențiate .
Prima generație de manuale digitale, din Estonia au fost introduse în școli începând cu
anul 2011. Din păcate aceste manuale, deși au fos t numite digitale, nu au înregistrat nici un succes
deoarece erau doar versiuni a manualelor tradiționale, care puteau fi doar descărcate, nu aveau
nici o interactivitate. Astfel în 2013 , a fost lansat proiectul LEARNMIX care și-a propus
reconceptualizarea manualului digital din perspectiva integrării de conținuturi profesionale,
dezvoltate inclusiv cu implicarea utilizatorilor printr -o gamă vastă de dispozitive . 24,3%10,3%44,5%20,9%
Nu au utilizat și nici nu
intenționează să utilizeze in viitorNu au utilizat, dar intenționează
să utilizeze in viitorUneoriFrecvent

11
În Strategia estoniană de învățare pe tot parcursul vieții (Estonian Lifelong Learning
Strateg y – 2020) este descris conceptul Digital Turn towards 1:1 computing, care presupune:
sistem educațional digital (cultură digitală prevăzută de curriculă , condiții pentru învățarea
digitalizată, diseminarea bunelor practici etc.); resurse digitale de învăța re (manuale digitale,
surse deschise, managementul calității, EduCloud finlandez -estonian); infrastructură digitală în
instituțiile educaționale (computerizare 1:1, ecosistem de servicii interoperabile, digitalizarea
vastă a școlilor; 20, 100, 200); compet ențe digitale ale cadrelor didactice și ale elevilor (modele
de competențe, oferte de curs și proceduri de acreditare, actualizarea curriculumului de formare
inițială a profesorilor). Proiecte similare sînt și: eSchoolBag (Slovenia), eOppi remix -textbooks
și Ubiikki (Finlanda), BackPack. Net (Singapore), Free digital textbook initiative (SUA), A
three -phase eTextbook Development Plan (Coreea de Sud), The vision for ICT in education
(Japonia), Digital textbooks through the digital working platforms (Franța), Electronic book
program (Malaezia) etc.
În Rusia a fost realizată o abordare centralizată, la nivel de federație, a politicilor de
elaborare și asigurare a școlilor cu manuale digitale. Conceptul utilizat la nivel național este unul
foarte simplu: este a plicată noțiunea de ”formă electronică” a manualului, care vine să dubleze
și nu să înlocuiască manualul tradițional, fapt ce însă nu exclude și dezvoltarea paralelă a
manualelor digitale propriu -zise. Simplificarea conceptului a permis implementarea rapid ă la
nivel de federație a versiunilor digitale pentru manualele destinate înv ățământului preuniversitar.
În școlile din Federația Rusă, manualele digitale au fost introduse începând cu anul 2015. Au
fost expertizate versiunile electronice a circa 1300 de manuale existente. Pentru toate manualele
care urmează să fie editate este obligatorie complementarea versiunii tradiționale cu versiunea
digitală. Distribuția resurselor digitale, în particular a manualelor, este efectuată prin intermediul
mai multor plat forme virtuale, aflate în gestiunea Ministerului Educației din FR sau a
platformelor dezvoltate de casele editoriale. La aprobarea manualelor electronice care urmau s ă
fie puse in aplicare au participat 3948 profesori din 2461 de școli. În cadrul comisiei de
expertizare a manualelor au predominat profesorii cu varsta înte 36 și 45 ani.
În Europa, prof esorii, instituțiile de învățămâ nt și agențiile naționale implicate în
proiectul Teacher Generated eBook , folosesc o platformă de editare a căr ților electronic e pentru
elevi. Un proiect similar poate fi considerat Digital Futures Project din programul HEA/JISC UK
OER, în cadrul căruia a fost elaborat un manual de alfabetizare digitală în educație.
1.3. Trecerea de la manualul clasic la cel digital în sistemul de învațământ din România
și Republica Moldova
România este în avangarda țărilor care își racordează și adaptează sistemul de educație
la tendința mondială de utilizare a tehnologiei informației în procesul de predare – învățare.

12
Îmbunătățirea abilităților di gitale și a accesului la resursele digitale și deschise sunt esențiale, nu
numai pentru ameliorarea procesului de predare, ci și pentru crearea unor modele de învățământ
flexibile, care facilitează învățarea de -a lungul vieții. Potrivit Ministerului Educaț iei, România se
află înaintea multor state din Uniunea Europeană, fiind conectată la noile tendințe mondiale de
creștere a calității procesului educațional și a adaptării la realitățile secolului al XXI -lea, prin
aducerea te hnologiei mai aproape de școală , prin i ntroducerea manualelor digitale.
Lecția verde – Creează -ți mediul , este primul manual digital realizat în România, care
reprezintă un curs ecologic interactiv pentru elevii claselor III -VII. Manualul dat este un mijloc
educațional modern care se adr esează elevilor, profesorilor, dar și părinților. Datorită succesului
înregistrat , acesta a contribuit la începutul unei noi etape în dezvoltarea mijloacelor educaționale
românești .
În martie 2013, Ministerul Educației Naționale – prin Ordinul de ministru nr.
5559/22.11.2013 – impune ideea utilizării unei platforme de manuale digitale în cadrul procesului
educațional, deschisă pentru toți cei interesați: elevi, profesori, părinți. Pentru ca materializarea
să fie posibilă, s -a prevăzut elaborarea de studii p ilot pe două clase, tocmai pentru a răspunde
aspectelor importante. Manualele școlare se prezintă atât în variantă tipărită, cât și digitală, iar
elevii primesc ambele formate. Acestea vor fi structurate în două volume, astfel încât să acopere
întreaga pro gramă școlară, fiecare fiind însoțit de un CD/DVD cu formatul digital, conform
Ordinului de Ministru.
Procesul propriu zis de elaborare a manualelor digitale în România încep e în primăvara
anului 2014, iniț ial au fost selectate cadrele didactice responsabi le de evaluarea manualelor
școlare, având prioritate acele cadre didactice care dețineau gradul I sau II, care au absolvit
cursuri sau module specifice activităților de evaluare a proiectelor de manuale școlare sau de
abilitare curriculară, ori de evaluare de proces și care au titlul științific de doctor în domeniul
precizat sau au absolvit un masterat ori un curs postuniversitar în domeniul științelor educației.
Nu sunt menționate printre caracteristicile cadrelor didactice evaluatoare și competențe care s ă
vizeze utilizarea noilor tehnologii, competențe absolut necesare în abordarea noilor instrumente.
Vechimea și absolvirea de cursuri sau module specifice activităților de evaluare a proiectelor de
manuale școlare sau de abilitare curriculară, nu garanteaz ă competențe specifice utilizării noilor
tehnologii. Grupurile de evaluare au avut drept criterii, umătoarele aspecte: corectitudinea
conținutului științific, abordarea didactică a acestuia, contribuția la optimizarea procesului de
predare – învățare – evaluare, organizarea conținutului în vederea formării de competențe
conform programei școlare, calitatea și accesibilitatea limbajului, calitatea tehnoredactării și
facilitatea utilizării variantei digitale, dar și la stilul, unitatea proiectului și calitate a activității
multimedia de învățare interactivă. De asemenea, au fost luate în calcul ofertele cu o grafică

13
atractivă și adecvată, cu resurse multimedia de o bună calitate, o rezoluție suficientă și o calitate
bună a sunetului, precum și un conținut ca re să asigure o derulare ușoară. Pentru ca acestea să fie
disponibile și î n mediul online, au fost stabilite câteva cerințe în plus, legate de sistemul de
operare: (Windows 7 și superior), browser (Google Chrome 20+, Mozila Firefox 5+, Internet
Explorer 9+), hardware (sisteme tip desktop cu procesoare de 800 MHz, 512 MB RAM și 1 GB
disponibil pentru stocare) și rezoluție (minimum 1024×768). Un proiect de manual trebuia să
primească, la evaluare, un număr de puncte, în funcție de criteriile de calitate. Pentru a fi aprobat
de minister, un proiect de manual trebuia să obțină minimum 57 de puncte din 70 posibile
(criteriul de evaluare vezi Anexa 1).
Manualele au fost elaborate în baza curriculei naționale pentru fiecare disciplină în parte.
La realizarea elementelor de interactivitate s -a luat în considerație atât atributul specific tabletelor
ca tehnologie mobilă, dar mai ales cele mai recente cercetări mondi ale privind psihopedagogia
școlară.
Inițial au fost elaborate câteva manuale digitale (acestea sunt asociate manualelor
clasice, tipărite) pentru învățământul primar (clasele I și a II -a). Debutul a fost unul anevoios, din
cauza lipsurilor de resurse digi tale în școli. Astfel, deși manualele digitale au fost adoptate prin
Ordin de Ministru în 2014 și realizate, după o licitație îndelungată, în 2015, școlile din românia
nu au putut să le utilizeze efectiv la clasă din lipsa echipamentelor digitale (computer e, laptop –
uri, tablete) care să permită suportul lor.
Acestea în mare majoritate sunt produse de către SIVECO România, care este liderul
caselor românesti de software și unul din integratorii softwa re de succes din Europa Centrală ș i
de Est. Compania dezvo ltă și exportă soluții IT și proiecte de consultanță cu valoare adăugată
ridicată către țări din Comunitatea Europeană , Ori entul Mijlociu, Africa de Nord și spațiul
Comunităț ii Statelor Independente.
Manualele sunt plasate pe platforma www.manuale.edu.ro – aplicație software dedicată,
care cuprinde, într -o bibliotecă virtuală, variantele online ale manualelor școlare pentru toate
disciplinele/modulele de pregătire și care oferă posibilitatea accesării publice a acestora,
asigurând un mediu unitar de distrib uție pentru varianta digitală a manualului școlar și deservind
diferite tipuri de utilizatori, cum ar fi: elevi, profesori, părinți, cadre didactice de specialitate,
experți în formare profesională. Această platformă cuprinde și o aplicație electronică ce permite
completarea, de către cadrele didactice selectate să facă unele corectitudinii științifice și să
contribuie în permanență asupra calității metodice a manualelor școlare utilizate în procesul de
predare -învățare -evaluare, precum și monitorizarea evi denței manualelor școlare existente. Toate
manualele sunt aprobate prin ordin al ministrului educației naționale, pe clase/n ivel de studiu,
filieră, profil și specializare. Viabilitatea manualelor este de patru ani școlari, începând cu primul

14
an școlar de d upă încheierea sesiunii de evaluare, cu posibilitate de extindere pentru încă doi ani
școlari, cu condiția reevaluării lor [21].
În Republica Moldova o tentativă de digitalizare a manualelor, a avut loc în luna
octombrie 2015, Ministerul Educației al R.Moldova a anunțat dezbateri publice cu privire la
aprobarea Concepției manualului digital , care prevede a implementarea acestuia în învățămâ ntul
preuniversitar în două etape: implementarea experimentală și implementarea la nivel național.
Fiecare etap ă conform proiectului, urma să dureze cel puțin patru ani. Potrivit concepției, taxa de
închiriere a manualelor urma să acopere costurile de elaborare atât a manualului digital, câ t și a
celui tipărit. D ocumentul conține un chestionar care reflectă următoa rele statistic ce țin de
implementarea manualelor digitale în procesul de învățământ din R. Moldova (vezi Figura 2.3)

Figura 2.3. Opinii privind necesitatea utilizării manualului digital
Datele sondajului arată că mai mult de jumătate din respondenți optează pentru înlocuirea
treptată a manualelor tradiționale prin manuale digitale și utili zarea în viitor doar a acestora .
Paginile manualelor digitale vor fi identice cu cele ale cărților tipărite, vor cuprinde integral
conținutul acestora, dar și elemente specifice: exerciții interactive, animații, secvențe video,
imagini și simulări etc. Manualele digitale vor fi distribuite gratuit, pe un anumit purtător static
de memorie, dar vor putea fi accesate și on -line. Inițial ministerul va selecta pentru utilizarea
cărților digitale câ teva școli, care vor corespunde cerințelor înaintate față de infrastructura
digitală. La solicitare, în eșantion vor fi incluse și alte instituții. Aplicația va putea fi accesată de
pe orice dispo zitiv electronic. Conform calculelor preliminare, producerea unui manual digital
va costa în jur de 240000 de lei, ceea ce îns eamnă de două ori mai puțin decâ t în cazul cărților
tipărite. Profesorii aprobă inovația, dar au și unele rezerve. Și elevii salută inițiativa. Totuși, unii
nu doresc să se despartă definitiv de manualele tipărite. Concepția manualului digital se regăsește
în programul de dezvoltare a învăț ămîntului pînă în anul 2020 .
Toate acestea au fost prevăzute în proiectul elaborat de cătr e Ministerul Educației încă în
anul 2014, după cum am menționat și mai sus, însă până în prezent acest proces de elaborare a
Necesitate
imediată
44%
Necesitate,
dar nu
imediată
42%Nu e
necesitate dar
oferă
plusvaloare
învățării
14%

15
manualelor digitale pentru sistemul de învățământ din R. Moldova, din păcate încă nu a fost
inițializat. Nu există nici un document oficial care ar prevedea inițializarea acestui proces, doar
acțiuni și proiecte care au potențialul de a se transforma într -o mișcare conturată .
Actualmente putem găsi doar careva resurse educaționale deschise. Care au fost elaborate
în cadrul unui proie ct inițializat de către Centrul Educațional PRO DIDACTICA. Proiectul a
demarat în 2015, numit Educația deschisă în Moldova: aici și acum. Scopul proiectului rezidă în
a promova conceptul de resurse educaționale deschise (RED) și accesul publicului interesa t
(cadre didactice, cercetători etc.).
Obiectivele specifice ale proiectului sunt [22]:
• Introducerea conceptului RED pe agenda publică;
• Facilitarea creării unei coaliții RED în Republica Moldova;
• Inițierea campaniei de promovare a unor modificări în docum entele reglatoare,
importante pentru implementarea RED la nivel de politici publice. Printre beneficiarii
acțiunii se numără elevi, cadre didactice, instituții, părinți, studenți, actori politici,
instituții publice, ONG -uri etc.
Desfășurarea proiectului a fost divizat în două faze. Prima fază a proiectului a demonstrat
un interes sporit al comunității educaționale pentru crearea, utilizarea și adaptarea resurselor
educaționale deschise. Totodată, ținând cont de rezultate, s -a constatat necesitatea disemină rii
informației privind resursele educaționale deschise și licențele libere, precum și potențialul
acestora în vederea sporirii accesului la educație. Demararea fazei a II -a a proiectului Educația
deschisă în Moldova: aici și acum!, s -a desfășurat în perio ada octombrie 2016 -decembrie 2017.
În ambele faze ale concursului au participat aproximativ 90 profesori, cu diverse resurse
elaborate. Acestea au fost evaluate de către un juriu independent de experți și având drept grup –
țintă elevi, studenți, cadre didac tice, cercetători interesați de alcătuirea și aplicarea RED în
procesul educațional. Criteriile de evaluare a materialelor (caracterul științific și didactico –
metodic, transdisciplinaritatea, utilitatea, originalitatea, modalități de prezentare a informați ei,
interactivitatea, creativitatea, relevanța bibliografiei etc.) au fost stabilite de către echipa de
proiect și discutate cu experții, unele fiind modificate, pentru a asigura maximă obiectivitate în
procesul de evaluare [22]. Aceste resurse sunt promov ate și create în continuare, în număr tot
mai mare, important fiind atât sprijinul politic și instituțional, cât și persoanele -resursă, pregătite
și motivate să se implice în elaborarea lor. Unele din aceste resurse le putem găsi la adresa
http://red.prodidactica.md/resurse -red/red -nationale/ .
Însă, cu toate acestea, actualmente, Republica Moldova nu are un cadru legislativ pentru
dezvoltarea și exploatarea resurselor educaționale deschi se.

16
Deocamdată legal ce putem utiliza sunt doar manuale în variantă PDF care le putem găsi
pe site -ul http://ctice.md/ctice2013/ .
Concluzii. Manualele digitale sunt prezente și în continuă mișcare. Pot fi utiliza te atât
la școală cât și acasă, fără constrângerile de timp și spațiu; elevii pot fi independenți în învățare
prin utilizarea lor dacă prin ele găsind informațiile relevante aduse de combinări conținuturilor
diverse. Acest produs curricular nu a fost și nu este un dat, ci el poate fi mereu regândit, readaptat
având o caracteristică predominantă grupului de utilizatori. Flexibilitatea și adaptabilitatea îi sunt
caracteristice. Orice conținut poate fi refăcut într -un alt mod, altă ordine stabilită a exerciții lor
care să urmărească obiective specifice diferite.
Caracteristicile manualului digital permit gândirea de activități mereu diferite, făcând
din elevi, autorii propriilor lecții, crescându -le stima de sine și responsabilitatea. Puterea de
adaptare a manu alului digital permite tuturor decidenților educaționali să -și construiască
conținutul, iar influența dată de rapiditatea informatizării celor care folosesc acest tip de manual
crește capacitatea de inserare și de înțelegere a lumii contemporane. Posibilit atea educabilului de
a îmbunătăți, în mod real, direct și imediat, materialele pe care lucrează.

17

2. APLICAȚII DE MODELARE ȘI SIMULARE PENTRU CURSUL DE
INFORMATICĂ CLASA A XII-A
2.1. Utilitatea modelării și simulării
În activitatea sa omul se confruntă frecvent cu necesitatea de a lua decizii, de a rezolva
diverse probleme. Simultan cu dezvoltarea științei și perfecționarea mijloacelor de calcul se
schimbă esențial metodele și procedeel e de soluționare a problemelor. Utilizarea performanțelor
calculatoarelor moderne implică pătrunderea amplă a metodelor matematice în cele mai diverse
domenii de activitate umană. Aceste premise conduc la creșterea complexității problemelor și
diversificarea claselor de probleme rezolvabi le cu ajutorul calculatorului.
Rezolvarea problemei la calculator are o semnificație cu mult mai largă decât, pur și
simplu, efectuarea calculelor. Calculatorul este doar un automat, care execută rapid și precis
algoritmul utilizatorului prezentat sub for mă de un program [13].
La etapa când deja este cunoscut algoritmul, acesta de regulă, fără dificultăți poate fi
descris într -un limbaj de programare. Deci partea principală a procesului de rezolvare a
problemelor cu ajutorul calculatorului o constituie elaborarea algoritmilor corespunzători.
Algoritmizarea în esență este doar o componentă a acelui proces complex, care asigură rezolvarea
deplină a problemei la calculator. Proiectarea algoritmului poate fi realizat cu ajutorul modelelor:
matematice și nume rice.
Modelul este o reprezentare (imagine) simplificată a realității. Pentru a fi util, modelul
trebuie să fie bine înțeles și ușor de folosit. În acelaș timp, el trebuie să conțină toate elementele
caracteristice ale problemei studiate. Aceasta se realiz ează prin procesul de abstractizare care
creează o imagine simplificată a sistemului real. Sarcina nu este ușoară, dar dacă este bine
realizată, atunci modelul va fi un instrument extrem de util. Conceptul de "model", atât de mult
folosit în știința modern ă, este relativ nou, dar metoda modelării este tot atât de veche pe cât sunt
preocupările oamenilor pentru cunoașterea științifică. Acest conceptul, a fost folosit pentru prima
dată de matematicianul Beltrami în 1868.
Conceptual, modelarea admite o dublă a bordare:
– costruirea unui model al fenomenului studiat, în diverse grade de abstractizare;
– instrument de cunoaștere a realității prin intermediul modelului.
Esența modelării constă în înlocuirea procesului real studiat cu un obiect mai accesibil
studiului . Modelarea și modelul se justifică atunci când analiza modelului (deductivă și/sau
experimentală) este mai accesibilă decât studierea nemijlocită a fenomenului real.

18
Putem considera că modelul este o reprezentare izomorfă a realității, care, oferind o
imagi ne intuitivă și totuși riguroasă, în sensul structurii logice, a fenomenului studiat, facilitează
descoperirea unor legături și legități imposibil sau foarte greu de găsit pe alte căi. Este o
aproximare, sau abstractizare, în mediul informațional al unor p rocese sau sisteme din lumea
reală. El nu trebuie să se limiteze la a captura starea unui proces sau sistem, ci chiar la cum acel
sistem funcționează, ceea ce face foarte ușoară folosirea modelării din lumea reală la definirea
propriilor sisteme [14].
Modelul matematic este un sistem de relații/ecuaț ii, care descrie comportamentul unui
sistem real într -o mǎsurǎ rezonabilǎ.
Într-un model matematic se disting anumite variabile independent e care sunt puse în
corespondențǎ cu intrǎrile sistemului real, în general manipulabile. Alte variab ile sunt
dependente de primele și sunt puse în legǎturǎ cu ieșirile sistemului modelat. Mǎsura în care
obiectul real este reprezentat de model, constǎ în capacitatea modelu lui de a produce practic
aceleași perechi intrǎri -ieșiri ca și obiectul real. Nu există coincidență riguroasǎ între model și
obiectul modelat pentru cǎ aproape totdeauna realitatea este mai complexǎ decât ceea ce se poate
cuprinde într -un model, iar exactitatea, rigoarea reprezentǎrilor trebuie sǎ corespun dǎ scopului
urmǎrit. Modelele matematice mai cuprind si un numǎr de parametri. Parametrii fac particular
un model, îl pun în acord cu realitatea unui sistem fizi c. Variabilele ș i parametrii unui model pot
fi uneori în relatie directǎ cu cantitǎti fizice si /sau fizico -chimice din sistemul real .
Modelarea matematică este un concept greu de definit. Într -o primă înțelegere este
matematică aplicată în fizică, chimie, biologie, economie. Nu există reguli și nici o înțelegere
clară privitoare la calea corectă ce trebuie urmată în modelarea matematică [15]. Modelarea
matematică se învață prin practică prin exercițiu pe multe exemple . Matematicienii care fac
matematici aplicate au un procedeu, aproape o filozofie, pe care -l aplică atunci când construiesc
modele. Îna inte de toate aleg un fenomen care prezintă interes și pe care doresc să -l descrie
matematic (cantitativ) și să -l explice. Observații ale fenomenului, făcute de fizicieni, chimiști,
biologi, astronomi, economiști, conduc, adesea după mult efort, la degajar ea unui mecanism
ipotetic care poate explica fenomenul. Obiectivul unui model matematic al fenomenului trebuie
să fie descrierea cantitativă a mecanismului. În mod usual descrierea cantitativă se face cu un
număr de variabile, numite variabilele modelului. Modelul matematic este un set de ecuații
referitoare la aceste variabile. Se întâlnesc trei modalității de obținere a ecuațiilor care definesc
modelul:
1. Procedeu clasic. Acesta constă în transcrierea sub formă de ecuație a unor legi.
2. Procedeu bazat pe le gi constitutive. Acesta constă în transcrierea sub formă de ecuație a
unor legi constitutive. Legile constitutive, se referă la acele variabile ale modelului care

19
depind de structura materialului (constituția lui) și stabilesc relații dintre asemenea
varia bile.
3. Procedeu bazat pe „legi ipotetice”. Această constă în transcrierea sub formă de ecuație a
unor „legi ipotetice” și se întâlnește atunci când nu există o lege precisă referitoare la
fenomen.
Analiza modelului matematic înseamnă elucidarea existenței , unicității, comportării
soluțiilor ecuațiilor modelului precum și calcularea numerică a soluțiilor. Analiza conduce la 2
rezultate ce pot fi comparate cu observații. Mai mult analiza conduce și la predicții privind
desfășurarea fenomenului. Dacă aceste p redicții se adeveresc, ele conferă autenticitate modelului.
Este important de reținut că toate modelele sunt idealizări și sunt limitate în ceea ce privește
aplicabilitatea lor .
Pentru a elabora un model matematic care include calcule ce tin de mișcarea un ui corp,
este necesar de a înțelege în primul rând ce este modelarea matematică a corpurilor.
Un corp material la un moment dat ocupă o porțiune în spațiul fizic. Ansamblului de
poziții din această porțiune îi corespunde o submulțime din spațiul euclidian afin E 3 – modelul
matematic al spațiului fizic. Această submulțime caracterizează locul unde se află corpul și forma
lui la un moment dat, și este un prim obiect matematic care poate servi ca model matematic al
corpului. Dacă se face abstracție de structur a moleculară a corpului și se presupune că materia în
corp este distribuită continuu, atunci această submulțime din E3 , ce poate servi drept model
matematic al corpului, este în general închiderea unui domeniu mărginit și se numește model de
corp continuu . Modul de reparație a materiei în corp se descrie matematic cu o funcție pozitivă
și continuă definită pe această mulțime, care se numește funcție de densitate. Dacă corpul real
este solid și își păstrează forma în timp, atunci adăugând ipoteza că distan ța între oricare două
puncte ale modelului de corp continuu nu se modifică în timp, se obține modelul de corp continuu
solid rigid sau pe scurt solid rigid. Dacă corpul este un solid rigid și interesează doar mișcarea
centrului de greutate al corpului fără să intereseze ce poziție are corpul pe traiectoria centrului de
greutate, atunci adesea în loc să modelăm corpul cu o submulțime tridimensională din E3 , îl
modelăm doar cu un punct din E3, care este centrul de greutate al corpului, și cu un număr pozitiv
m care reprezintă întreaga masă a corpului concentrată în centrul de greutate. Acest model al
corpului se numește punct material. În mod uzual masa nu se schimbă în timp. În cazurile în c are
masa se schimbă în timp, se spune că avem un punct material cu masă variabilă. Dacă pentru
fiecare corp dintr -un sistem finit de corpuri, adoptăm modelul de punct material atunci se obține
un model al sistemului care se numește sistem de puncte materia le[15].
Modelul matematic al timpului. De regulă un proces are un început, o anumită durată și
un sfârșit. Începutul și sfârșitul sunt procese elementare care nu au durată și astfel de procese

20
elementare se numesc de obicei evenimente. Trecerea Soarelui la meridianul unui punct dat la
suprafața Pământului este un eveniment care se repetă periodic. Faptul că mai multe evenimente
se petrec deodată (simultan), a condus la ideea că în afara evenimentelor mai există ceva,
independent de evenimente, și care este de fapt caracteristica comună a tuturor evenimentelor ce
se petrec deodată (simultan). Acest ceva a fost denumit moment de timp. La toate evenimentele
care se petrec deodată corespunde un singur moment de timp, iar la evenimente care nu se petrec
deodată, momente de timp diferite. Mulțimea momentelor de timp se numește timp. Timpul
(mulțimea momentelor de timp) este considerat independent de materie, de evenimente, de
procese și de cursul lor. De aceea el este considerat absolut și omogen.
Succesiunea even imentelor generate de o mișcar e periodică, și ideea că orice eveniment
poate fi înrolat în această succesiune conferă timpului o singură dimensiune și un sens. Unui
proces din lumea reală îi corespunde de fapt o mulțime de momente de timp, numit interval d e
timp, delimitat de momentele ce corespund începutului și sfârșitului procesului.
Pentru a măsura un interval de timp (durata unui proces) se alege o mișcare reală
periodică uniformă de perioadă (durată) ω . Durata unei zile solare depinde însă de mișcar ea
anuală a Pământului în jurul Soarelui, motiv pentru care se ia de fapt ca unitate de măsură
intervalul de timp egal cu valoarea medie a duratelor zilelor solare.
Ca unitate de măsură practică pentru timp se folosește secunda. Odată precizat acest
interval de timp se construiesc mecanisme (ceasornice, cronometre) în care se realizează o
mișcare uniformă a unor arătătoa re în fața unui cadran circular. S ecunda este intervalul de timp
necesar ca arătătorul numit secunda, să parcur gă un anumit arc de cerc ma rcat pe cadran. Trecerea
secundarului în dreptul unui marcaj pe cadran este un eveniment și tuturor evenimentelor
simultane cu acesta corespunde același moment de timp.
Pentru a măsura timpul în accepțiunea zilelor noastre după alegerea unității de măsură
se mai alege și un moment M0 de timp (marcat printr -un eveniment) ca origine de la care se
măsoară timpul. Măsura intervalului de timp delimitat de M0 și un moment ulterior M este un
număr real pozitiv și este măsura timpului viitor reprezentat prin momentul M. Măsura timpului
anterior momentului M0 este măsura intervalului de timp delimitat de momentele M și M0, luată
cu semnul minus, unde M este un moment anterior momentului M0.
Un model matematic al timpului descris mai sus este o dreaptă orientată Δ. Punctele
dreptei Δ reprezintă momentele de timp iar sensul de parcurs de la stânga la dreapta pe Δ
reprezintă succesiunea momentelor de timp trecut -viitor.
Alegerea unui moment M0 ca origine pentru măsurarea timpului înseamnă fixarea unei
origini O pe Δ iar fixarea unei unități pentru măsurarea intervalelor de timp înseamnă fixarea
unei unități l de măsurare a distanței pe Δ. În cazul în care timpul se măsoar ă cu aceeași unitate

21
dar de la două origini diferite M0, M01, relația care leagă numerele t, t1 ce reprezintă unul și același
moment de timp este [17]:
t = t1+t0 (2.1)
Descrirrea unui proces continuu cu ajutorul calculatorului nu poate fi realizată decât prin
discretizarea acestui proces, întrucât calculatorul operează doar cu mărimi discrete. De exemplu,
calculul integralei definite poate fi redus la calculul unei sume finite de valori numerice.
Termenul simulare , în accepțiunea din domeniul informaticii, se referă la utilizarea
calculatorului în procesul de analiză indirectă a unui sistem. Simularea computerizată constă în
proiectarea unui model al unui sistem real sau teoretic, în execuția acestui model pe un sistem de
calcul și în analiza rezultatelor obținute.
Pentru simularea unui sistem fizic, primul pas care trebuie făcut este crearea unui model
matematic cât mai apropiat de modelul fizic, care să -l reprezinte. Aceste modele pot fi de mai
multe tipuri: declarative, funcționale, spațiale etc. Există și multimodele, care conțin mai multe
modele integrate, fiecare din acestea reprezentând un nivel de granularitate pentru sistemul fizic.
Modelul va fi apoi executat p rin intermediul unui program, care va simula trecerea timpului și
acțiunile care au loc, prin modificarea corespunzătoare a variabilelor de stare asociate. Simularea
poate fi făcută la diferite niveluri de abstractizare, în funcție de scopul urmărit prin s imulare. Este
evident faptul că un model mai apropiat de realitate și mai detaliat va duce la obținerea unor
rezultate mai valoroase.
Simularea unui sistem este, în marea majoritate a cazurilor, un proces iterativ, care
impune deseori reluarea unor etape, până la obținerea unor rezultate concludente. Principalele
etape ale acestui proces sunt următoarele:
• Stabilirea cadrului simulării – etapă esențială, în care trebuie definite clar atât sistemul
analizat, cât și obiectivele urmărite: întrebările la care t rebuie dat un răspuns, variantele care
trebuie analizate, criteriile aplicate pentru compararea variantelor, modul de prezentare a
rezultatelor, etc. În definirea sistemului analizat este bine să intervină toate detaliile cunoscute,
care pot contribui la o mai bună înțelegere a funcționării acestuia, chiar dacă ulterior unele dintre
ele vor fi considerate nerelevan te pentru obiectivul urmărit.
• Elaborarea modelului conceptual , folosind notații matematice sau grafice adecvate. În
această etapă poate fi vorba fie de un model unic, fie de un prim model dintr -un grup, care să
constituie punctul de pornire pentru modele elaborate ulterior, prin modificarea unor elemente
sau prin includerea unor elemente noi. Modelul trebuie să reflecte esența sistemului real, fă ră a
include detalii inutile.

22
• Definirea experimentelor de simulare care trebuie realizate pentru verificarea și validarea
modelului de simulare și, respectiv, în scopul obținerii rezultatelor necesare pentru atin gerea
obiectivelor stabilite.
• Colectarea și pr egătirea datelor care vor fi utilizate în experimentele de simulare este și
ea o etapă importantă. Aceasta nu numai pentru că fără date nu este posibilă validarea modelului
și obținerea rezultatelor dorite, ci și pentru că anumite particularități ale datel or se pot reflecta
direct în model ul de simulare al sistemului.
• Realizarea modelului de simulare , ca rezultat al codificării modelului conceptual al
sistemului sub formă de program sau folosind interfața oferită de un simulator specializat.
Alegerea unei a numite soluții este condiționată de numeroși factori, dintre care menționăm numai
disponibilitatea unuia sau altuia dintre pachetele de programe, experiența în utilizarea acestora,
timpul necesar realizării modelului de simulare și ușurința cu care pot fi efectuat e modificări
asupra acestuia.
• Verificarea și validarea modelului prin execuția unor experimente de simulare care să
confirme analogia dintre comportarea modelului și cea a sistemului modelat. Dacă acestea nu
conduc la rezultatele dorite este necesa ră reexaminarea deciziilor luate în etapele anterioare, în
vederea detectării ș i corectării erorilor comise.
• Efectuarea experimentelor de simulare generatoare de rezultate , conform obiectivelor
urmărite. Este posibil ca rezultatele obținute după primele ex perimente de simulare să impună
modificări ale modelului de simulare sau ale modului în care trebuie continuată simularea
(adăugând noi experimente de simulare sau renunțând la unele dint re cele planificate inițial).
• Analiza și interpretarea rezultatelor o bținute. Aceasta poate fi realizată manual sau cu
ajutorul unor progr ame de prelucrare adecvate.
• Prezentarea și utilizarea rezultatelor analizei . De regulă rezultatele analizei prin simulare
sunt destinate luării unor decizii de către alte persoane decât c ele care au realizat simularea. De
aceea este absolut necesară prezentarea concluziilor într -o formă clară, sugestivă și
convingătoare, folosind o exprimare accesibilă factorilor de decizie. Se creează astfel premisele
înțelegerii corecte a rezultatelor ob ținute, care este determinantă pentru acceptarea și aplicarea
lor în practică. Un aspect care nu trebuie neglijat pe tot parcursul simulării este documentarea,
care trebuie să se refere atât la modul în care a fost elaborat și dezvoltat modelul, cât și la criteriile
care au stat la baza planificării experimentelor de simulare. Este foarte important ca în
documentație să fie precizate limitările modelului: ce aspecte au fost neglijate în varianta
elaborată, ce aproximări au fost făcute, etc. O documentare de calitate permite ca modificările
ulterioare să fie mai ușor de realizat (chiar de către altcineva decât persoana sau echipa care a
realizat studiul de simulare), precum și reutilizarea unor elemente deja puse la punct. Efortul

23
depus pentru documentare poa te fi benefic chiar pentru cel care îl face, deoarece anumite aspecte,
referitoare la sistem, model sau experimentele de simulare, inițial neluate în considerare, pot să
iasă la lumină în momentul scrierii documentației, respectiv al comentării programului de
simulare. Se remarcă faptul că etapele ce se parcurg în simulare sunt similare celor parcurse
pentru realizarea oricărui produs program. Modelul matematic și modelul de s imulare joacă în
simulare acelaș i rol pe care îl joacă algoritmul și programul în rezolvarea unei probleme oarecare
– dacă unul dintre ele este greșit, atunci rezultatele obținute nu au nici o valoare sau, mai rău, pot
avea efecte dezastruoase. Același efect pot să îl aibă și datele incorect alese. Așa cum în
programarea uzuală etapa ma i delicată este cea de elaborare a algoritmului de rezolvare a unei
probleme, în simulare partea cea mai delicată este cea de modelare. Aceasta deoarece modelul
trebuie să aproximeze sistemul real, folosind o reprezentare cât mai simplă și mai compactă, ca re
nu include detalii inutile și nu omite nici unul dintre elementele importante.
Rezultatele simulării se obțin în urma mai multor experimente de simulare (execuții ale
modelului de simulare), efectuate pentru seturi de date și/sau parametri, alese coresp unzător
obiectivelor urmărite în procesul de simulare. Pentru ca rezultatele experimentelor de simulare
să fie realmente utile, este obligatoriu ca modelul de simulare utilizat să reflecte cât mai fidel
proprietățile și comportarea sistemului modelat. Rezu ltatele obținute pe această cale permit
factorilor de decizie să compare sisteme diferite sau variante ale aceluiași sistem, să tragă
concluzii cu privire la performanțele unui sistem, la comportarea probabilă a acestuia și la
eventualele abateri de la cea așteptată. Dar simularea are și limitări: nu permite obținerea unor
soluții exacte sau optime, nu compensează erorile în specificarea datelor sau în luarea anumitor
decizii și poate fi foarte costisitoare în cazul sistemelor de complexitate ridicată .
În continuare vom simula mișcarea unui corp în câmpul gravitational terestru în
imediata vecinătate a suprafeței pământului, caz în care putem considera accelerația
gravitațională constantă, deci aceiași în orice punct al traiectoriei. Considerăm numai traie ctorii
care se întind pe o distanță suficient de mic ă astfel încât forța gravitațională să fie considerată
constantă în mărime și direcție. Mișcarea va fi raportată la un sistem de axe fixe în raport cu
pământul. Pentru traiectorii pe distanțe mici eroarea este însă foarte mica. Vom lua axa x
orizontală, axa y verticală și originea în punctul în care corpul începe zborul liber. Corpul se
consideră punct material, adică este fără dimensiuni și lovește o țintă, dacă distanța dintre el și
centrul convențional al țintei nu depășește o valoare dată ∆, numită precizie a loviturii, ce ține de
dimensiunile țintei. Ținta este imobilă și coordonatele acesteia sunt date (vezi Figura 2.1) [13]:

24

Figura 2.1. Parametrii mișcării corpului
Modelul computerizat este realizat în Delphi, pentru a putea vizualiza rezultatul și în
interfață grafică.
Tabelul 2.1
Datele de intrare:
Modelul matematic: Modelul computerizat:
Var v0, alfa, r, dz, h, x, y, xt, yt, t, dt,Rt:real;
vx0,vy0,x0,y0,t0,k,g,ht,ax,ay,vx,vy,fsc:Extended;
ti:Cardinal;
Function f(x:real):real;
Begin f:=x* sin(r)/cos(r) -sqr(x)*g/(2*sqr(v0)*sqr(cos(r)));
End;
Function DistPT(x,y:real):real;
Begin DistPT:=sqrt(sqr(x -xt)+sqr(y -yt)); End;
Function DistZbor:real;
Begin Distzbor:=Sqr(v0)/g*sin(2*r); End;
procedure TForm1.Button4Click(Sender: TObject);
var xet,yet:Integer;
begin
v0:=StrToFloat(edit1.text);// Write('V0='); ReadLn(v0);
lfa:=StrT oFloat(edit2.text);//Write ('unghiul =');ReadLn(alfa);
xt:=StrToFloat(edit3.text); // Write('xt='); ReadLn(xt);
yt:=StrToFloat(edit4.text);// Write('yt='); ReadLn(yt);
Rt:=StrToFloat(edit5.text);// Write('yt='); ReadLn(yt);
r:=Pi*alfa/180; t:=0; fsc:=30;
xet:=Round(xt*fsc); yet:=Image1.Height -Round(yt*fsc);
ti:=gettickcount;
t0:=0; t:=0; x0:=0;vx0:=v0*cos(r);
y0:=0;vy0:=v0*sin(r);
k:=StrToFloat(Edit6.Text);

25
g:=9.81;
end;

Cu ajutorul modelelor indicate în Tabelul 2.1. a fost posibilă realizarea simulării
mișcării corpului lansat sub un unghi dat față de orizont, cu o viteză inițială dată, încât corpul să
nimerească în țintă.
Erorile care apar în procesul modelării.
În pro cesul modelării unor fenomene reale, simulării experimentului se comit anumite
erori , care pot avea o influență esențială asupra soluției finale. Vom scoate în evidență cele mai
semnificative erori, despre care trebuie atenționați elevii și de care trebuie să țină cont în procesul
realizării experimentului preconizat.
Moduri de exprimare a erorii. Se consideră o mărime numerică reală, având valoarea
exacta A, pentru care se cunoaște valoarea aproximativă a, rezultată în urma unui calcul numeric
sau determi nate pe cale experimentală. În aceste condiții, a reprezintă o aproximație a valorii
exacte A. Eroarea ε a aproximației a a lui A se definește ca fiind diferența dintre valoarea exactă
și cea aproximativă [18]:
ε =A -a (2.2)
Dacă ε>0, atunci a aproximează pe A prin lipsă, iar dacă ε<0, atunci se spune că a
aproximează pe A prin adaos. Eroarea se poate defini și prin diferența dintre a și A, cu condiția
să existe consecvență în cele ce urmează. De regulă semnul erorii nu se cunoaște sau nu prezintă
interes. În consecință apare noțiunea de eroare absolută εa ca fiind valoarea absolută a erorii ε.
εa=|A-a| (2.3)
Eroarea absolută nu este suficientă pentru a caracteriza gradul de precizie al unei
aproximări. Dacă se consideră A1=10 și a1=9, respective A2=10000 și a2=9999, se poate aprecia
intuitive că a2 aproximează mult mai bine pe A2 decât a1 pe A1, cu toate că εa1= εa2=1. În
consecință, este nevoie de o altă mărime, care să exprime corect gradul de precizare al unei
aproximări, aceasta fiind eroarea relativă.
Eroarea relativă εr a aproximației a a lui A este definită teoretic ca raportul dintre eroarea
absolută εa și valoarea absolută a numărului exact A[18].
εr=εa
|A|=|A-a|
|A| (2.4)
Practic, datorită faptului că valoarea exacta A nu se cunoaște, raportarea se face la
modulul valorii aproximative a[18]:

26
εr=εa
|a|=|A-a|
|a| (2.5)
Se utilizează și exprimarea sa procentuală e erorii relative, care este definite în felul
următor:
εr%=100* εr (2.6)
Pentru exemplul anterior rezultă: εr1=0,1=10%, respectiv εr2=0,0001=0,01%, cee a ce
evidențiază clar că a doua aproximare este mai precisă decât prima.
Soluționarea problemelor cu ajutorul metodelor numerice și al tehnicii de calcul, se pune
problema abordării erporilor din punct de vedere al provenienței lor.
Evident, eroarea unui rezultat aproximativ este unică, dar ea provine din mai multe
surse, are mai multe comp onente de natura celor precizate mai sus. Se menționează următoarele
aspect suplimentare cu caracter general:
a) fiecare dintre componentele erorii se poate exprima sub formă absolute sau relativă;
b) diversele categorii de erori trebuie corelate între ele, în s ensul asigurării aceluiași ordin
de mărime pentru fiecare componentă (sunt nejustificate și total ineficiente eforturile
pentru reducerea unui anumit tip de eroare, dacă celelalte tipuri au valori cu mult mai
mari).
Putem avea erori ca urmare a utilizării datelor inițiale, care sunt rezultatele unor
măsurări, observații sau soluții aproximative a unor probleme. Uneori erorile sunt introduse de
modelul matematic când aceasta nu corespunde fenomenului fizic analizat datorită aproximărilor
efectuate în fazele de idea lizare ale modelului de calcul. Metoda abordată în soluționarea
numerică a problemei considerate poate genera erori de metodă. De exemplu: Modelul matematic
reprezintă o ecuație care de obicei nu poate fi rezolvată, de aceea se înlocuiește cu ecuați i mai
simple, adică înlocuim ecuația y = ax , care la rândul său poate fi înlocuită cu altă ecuație, până
ajungem la o ecuație ce se poate rezolva. Realizarea algoritmului unei metode noi, efectuăm un
anumit număr de calcule. Orice ordinator operează însă cu un număr limitat de cifre; de exemplu:
la înmulțire numărul de cifre se dublează, prin urmare vom rotunji rezultatul .
În acest context, se evidențiază următoarele categorii principale de erori: erori de
problemă și de metodă, erori inițiale sau inerent e, erori de trunchiere și erori de rotunjire.
Erorile de problemă și de metodă sunt legate în totalitate de definirea problemei și de
stabilirea modelului matematic. În unele cazuri formularea matematică a unei probleme nu
conduce la un model absolut fide l al fenomenului real. Pentru o anumită problem pot rezulta mai
multe modele matematice, de la cele mai simple sau mai puțin precise până la cele mai complexe,
de o precizie ridicată. Toate aceste elemente au ca efect apariția unei erori de problemă în
rezultatele finale. Dacă simplificarea modelului matematic are loc datorită dificultăților mari de

27
rezolvare sau chiar a imposibilității soluționării sale, atunci se vorbește de erori de metodă.
Diferența dintre erorile de problemă și cele de metodă este doar de nuanță, legată de motivația
simplificării modelului matematic.
Erorile inițiale sau inerente se datorează prezenței în modelul matematic a unor
coeficienți numerici, ale căror valori se cunosc doar aproximativ. Cauzele sunt legate de
proviniența lor: măsurări sau determinări experimentale mai mult sau mai puțin precise, soluții
mai mult sau mai p uțin aproximative ale unor problem numerice asociate, etc.
Erorile de trunchiere și cele de rotunjire, sunt legate în exclusivitate de metodele de
calcul numeric, de modul de efectuare a calculelor, de tehnica de calcul utili zată și de maniera
de memorare a informației numerice.
Erorile de trunchiere după cum am menționat sunt legate exclusiv de metodele
numerice utilizate pentru soluționarea modelului matematic. Ele sunt asociate situațiilor în care
procese de calcul numeric cu convergență teoretic finită sunt înlocuite cu procese de calcul
numeric cu convergență practic finită, element caracteristic pentru toate metodele iterative sau
de aproximații succesive. În unele calcule unde avem un număr de termeni infinit nu se utilizează
toți termenii, ci numai u n număr finit rezonabil. Termenii omiși determină apariția unei erori,
numită eroare de trunchiere (datorită trunchierii unui proces de calcul teoretic infinit).
Evident, eroarea de trunchiere nu se poate calcula exact, dar ea se poate estima. De
regulă, c ondiția practică de determinare a calculelor la metodele iterative este legată de valoarea
erorii de trunchiere: calculele se consideră încheiate în momentul în care eroarea de trunchiere
ajunge sub o valoare limită admisă prestabilită.
Erorile de rotunjir e se datorează faptului că toate calculele se pot efectua numai
considerând un număr finit de cifre semnificative pentru valorile numerice. Există însă situații
când anumite valori numerice au mai multe cifre sau chiar o infinitate de cifre. În consecință,
trebuie să se renunțe la unele dintre ele. Modul cum se iau în considerare aceste cifre în
aproximarea valorii numerice respective poartă numele de rotunjire. Orice rotunjire generează o
eroare, numită eroare de rotunjire. Următoarele exemple sunt edifica toare în privința genezei
erorilor de rotunjire:
a) valoarea numerică exactă 842,78425 se poate aproxima prin 842,784 sau 842,785,
eroarea relativă datorată rotunjirii fiind de 0,000030%, respectiv 0,000089%;
b) rezultatul împărțirii lui 1 la 3 are valoarea exac tă 0,33333333…, care se poate aproxima
prin 0,333333 sau 0,333334, eroarea relativă datorată rotunjirii fiind de 0,0001%,
respectiv 0,0002%;
c) valoarea lui π se poate aproxima prin 3,14159 sau 3,14160, eroarea relativă datorată
rotunjirii fiind de 0,000084 %, respectiv 0,000234%;

28
O altă sursă a erorilor de rotunjire o reprezintă conversiile dintr -un sistem de numerație
cu o anumită bază într-un sistem de numerație cu o altă bază. Datele numerice introduse de
utilizator în calculator sunt exprimate în baza 10 , memorarea și calculele se fac în baza 2, iar
rezultatele se convertesc în baza 10. O valoare numerică exprimată în baza 10 poate avea un
număr finit de cifre, iar în baza 2 un număr infinit de cifre. De exemplu, valoarea numerică exactă
(0,9) 10 se exprim ă sub forma 0,111001100110011… în baza 2.
Un alt exemplu unde este evident că erorile de rotunjire apar în urma calculelor efectuate
cu ajutorul calculatorului și anume din cauza transformării numerelor dintr -un sistem în altul
este: adunăm 0,1 de 10000 00 ori, astfel într -un calcul manual răspunsul căpătat este 100000.
Dacă facem acest calcul cu ajutorul calculatorului vom căpăta următorul rezultat (vezi Tabelul
2.2) :
Tabelul 2.2. Estimarea eroriilor de calcul, care apar în urma modelului computerizat
Utilizarea tipului de date
extended Utilizarea tipului de date
real Utilizarea tipului de date
single
var s:extended; i:Integer;
begin
s:=0;
for i:=1 to 1000000 do
s:=s+0.1;
label1.Caption:=FloatToStr(
s);
end; var s:real; i:Integer;
begin
s:=0;
for i:=1 to 1000000 do
s:=s+0.1;
label1.Caption:=FloatToStr(
s);
end; var s:real; i:Integer;
begin
s:=0;
for i:=1 to 1000000 do
s:=s+0.1;
label1.Caption:=FloatToStr(
s);
end;
Rezultatele obținute:
s=100000,000000001 s=100000,000001333 S=100958,34375
Analizând datele obținute în Tabelul 2.2 este cert că exactitatea rezultatelor obținute
depinde și de tipul de date care este utilizat în calcule. Calculele realizate cu ajutorul tipului de
date extended în cazul dat sunt cel mai aproape de rezultatul exact deoarece numărul de cifre
semnificative este cel mai mare.
Ultimele două tipuri de erori, cele de trunchiere și cele de rotunjire, sunt legate în
exclusivitate de metodele de calcul numeric, de modul de efectuare a calculelor, de tehnica de
calcul utilizată și de maniera de memorare a informației numerice. În paragraful următor vor fi
analizate unele probleme ale căror modele matematice sunt elaborate și soluționate cu ajutorul
unor metode numerice.
2.2. Abordări didactice în predarea -învățarea metodelor numerice

29
Modelul numeric reprezintă o structură matematică, care admite substituirea modelului
matematic în scopul obținerii soluției numerice a acestuia. Metodele numerice sunt acele tehnici
care permit transformarea modelelor matematice în mod ele numerice (ce operează pe spații
finite), și presupun algoritmi ce pot fi ușor transformați în coduri sursă, folosind diferite limbaje
de programare, iar prin intermediul acestora rezolvarea problemelor cărora li se adresează cu
ajutorul calculatorului. Pe scurt putem spune că ele permit rezolvarea problemelor matematice
cu ajutorul calculatorului. Trecerea de la modelul matematic la cel numeric se face, în general,
pe baza unor aproximări și de aceea soluția oferită de algoritmii rezultați ca urmare a a plicării
metodelor numerice este, de cele mai multe ori, una aproximativă. Ea poartă numele de soluție
numerică și, în cele mai multe situații, este diferită de cea exact ă.
Predarea -învățarea compartimentelor Elemente de modelare și calcul numeric în școal ă
se efectuează prin utilizarea limbajului de programare Pascal de către majoritatea profesorilor
din R. Moldova, iar analiza surselor propuse pentru studiul acestor compartimente în liceu, în
perioade diferite, confirmă acest fapt: Botoșanu M., Covalenco I., ș.a. [13 ], Corlat S., Ivanov L.
[14], Gremalsch i A., Corlat S., Braicov A. [15 ].
Studie rea compartimentului Calculul numeric in cursul liceal de informatică trebuie să
înceapă cu motivația, care din primele momente va captiva atenția elevilor. Aceasta trebuie să
încadreze întreg compartimentul de studiu prin exemple, secvențe video, calcule numerice
complicate, grafică, tehnologii noi, etc. Acest lucru este posibil de realizat utilizând un limbaj de
programare care conține și interfață grafică. Astfel u nele aplicații au fost elaborate în paralel și
cu ajutorul mediului de programare Delphi.
În continuare sunt indica te unele abordări metodice și teoretice succinte pentru temele ce
se studiază în clasa a XII, prof il real, modulul C alcul numeric.
Soluționarea ecuațiilor algebrice și transcendente .
La rezolvarea numerică a ecuațiilor algebrice și transcendente un rol important îl are
localizarea rădăcinilor (separarea soluțiilor) prin metoda analitică. Pentru a localiza rădăcinile
analitic sunt necesare unele noțiuni teoretice, care sunt cunoscute el evilor din cursul de
matematică. Aceste noțiuni le reamintim utilizând diverse strategii didactice bazate pe învățarea
centrată pe elev.
Una din cele mai vechi probleme care nu și -a pierdut esența în zilele noastre este
determi narea rădăcinilor ecuației f (x)=0, unde f(x) este o funcție continuă și strict monotonă pe
segmentul [a, b]. Pentru determinarea soluțiilor sunt necesare de parcurs două etape:
1. Localizarea rădăcinilor;
2. Determinarea soluției cu ajutorul metodelor de calcul.

30
Pentru prima etapă este n ecesar de explica t cum se localizează r ădăcinile analitic și grafic.
Pentru aceasta vom analiza unele afirmații:
Vom spune că rădăcina ζ a ecuației f(x)=0 este localizată pe segmentul [a, b] dacă pe acest
segment nu există alte rădăcini.
Folosind unele afirmații cunoscute din matematică se poate analitic de localizat rădăcinile
ecuației f(x)=0. Se ține cont de următoarele afirmații:
Afirmația 1 . Dacă funcția f(x) este continuă pe segmentul [a, b] și ia valori de semn opus
la capete le aces tui segment (adică f(a) * f(b) < 0 ), atunci ecuația f(x)= 0 are cel puțin o rădăcină
pe segmentul [a, b].
Afirmația 2 . Dacă funcția f(x) este continuă și strict monotonă pe segmentul [a, b] și ia
valori de semn opus la capetele acestui segment, atunci ecu ația f(x)= 0 are pe segmentul [a, b] o
rădăcină și numai una singură.
Afirmația 3. Dacă funcția f(x) este continuă pe segmentul [a, b] și ia valori de semn opus
la cap etele segmentului, iar derivata își păstrează semnul pe segmentul [a, b], atunci pe segme ntul
[a, b] există o rădăcină a ecuației f(x)= 0 și această rădăcină este unică.
Etapa a doua, de determinare a soluției cu ajutorul metodelor de calcul, presupune
utilizarea metodelor: metoda bisecției, metoda coardelor, metoda tangentelor .
Metoda bisecți ei. Această metodă poate fi consi derată o variantă mai evoluată decât
metoda generală, deoarece viteza cu care se determină solu ția aproximativă este mai mare și
permite cunoașterea, de la bun început a numărului de iterații care trebuie parcurse pentru
rezolvarea ecuației, c u o precizie impusă.
Algoritmul metodei. Fie f(x) continuă pe segmentul [a, b] și ecuația: f(x)=0. Presupunem
că în urma separării rădăcinilor există cel mult o rădăcină ξ ∈ [a, b]. Împărțim [a, b] în mod
repetat în părți egale, păs trând semiintervalul [a i, bi].
După i pași rezultă [a i, bi] astfel încât
f(ai)*f(b i) < 0 (2.7)
Lungimea intervalului [a i, bi] este:
bi-ai=b-a
2i (2.8)
Înjumat ățind [a i, bi] prin :
xi=ai+bi
2 (2.9)
Acest proces se rep etă până când |ai – bi|≤ ε.
Pentru rezolvarea ecua țiilor neliniare cu ajtorul metodei bisecției, în manual, programele
sunt destul de complicate și conțin parametri formali nesemnificativi. Cu ajutorul programului,
dat în manual, poate fi rezolvată doar o singură ecuație, dacă dorim să rezolvăm mai multe ecuații

31
trebuie sa repetăm procedurile în dependență de câte ecuații avem. Pentru a putea rezolva mai
multe ecuații cu un singur program am elaborat următoarea funcție:
Function mbsct(a,b,eps:real;f:tfxr; var s:real):boolean;
var c:real;
begin
if f(a)*f(b)>0 then mbsct:=false else
repeat
mbsct:=true;
c:=(a+b)/2; if f(c)*f(a)>0 then a:=c else b:=c;
until abs(b -a)<eps;
s:=(a+b)/2;
end;
O altă metodă care se utilizează la rezolvarea ecuațiilor algebrice și transcendente,
soluțiile cărora nu pot fi gă site analitic este metoda coardelor .
Algoritmul metodei. Se considera ecuatia f(x)=0. Funcția f(x) este continuă pe [a, b].
Presupunem că î n urma unui proces de separare a rădăcinilor ecuaț ia f(x)=0 are cel mult o
rădăcină î n [a, b].
Metoda este utilizată pentru gasirea rădă cinii aproximative x a ecuaț iei f(x)=0 izolate î ntr-
un interval [a, b] în cazul î n care f(a)*f(b) <0 cu aproximarea ε prestabilită .
Se uneș te punctul (a,f(a)) cu (b,f(b)) , obținâ ndu-se x1– punctul de intersecț ie al coardei
duse cu axa Ox.
Din ecuația coardei care este:
x-ai
bi-ai=y-f(ai)
f(bi)-f(ai) (2.10)
Se obține coordonata punctului de intersecție xi al coardei cu axa absciselor :
x𝑖= aif(bi) – bif(ai)
f(bi) – f(ai) (2.11)
După aceasta, determinăm f(x) și verificăm dacă se îndeplinește condiția f(a)*f(x i)<0.
Dacă e așa, atunci punctul a rămâne neschimbat, iar în calitate de b considerăm punctul x, adică
b = x . În caz contrar a = x și b rămâne neschimbat. Acum aplicăm același procedeu față de
segmentul nou obținut: ducem coarda prin punctele respective și obținem noul punct de
intersecție x cu axa Ox.
Pentru oprirea procesului it erativ putem folosi condiț ia |xn–xn-1|<ε, unde ε – eroare
absolută inițial dată .

32
Metoda Nwton . Fie ecuația f(x)=0, algebrică sau transcenden tă, care are o singură
rădăcină reală pe intervalul [a, b]. Se presupune că derivatele fʹ(x) și fʺ(x) sunt continue și
păstrează acelaș i semn pe intervalul [a, b].
Într-un punct Ak(xk,f(x k)), ecuaț ia tangentei la curba y = f(x) este:
f(x) – f(xk)= fʹ(x k)(x – xk) (2.12)
Punctul de intersecț ie a tangentei cu axa Ox este xk+1 (pentru f(x) = 0 ș i x = x k+1):
xk+1=xk−f(xk)
fʹ(xk) (2.13)
Punctul de start x 0 trebuie să fie chiar a, astfel încâ t: fʹ(x 0)*fʺ(x 0)> și x 1ϵ[a, b].
Din punct de vedere practic, la identific area aproximației inițiale, pentru metoda Newton ,
care se studiază în cursul liceal, pot să apară anumite dificultăți, care țin de determinarea
derivatelor. Necesitatea de a găsi derivata de ordinul întâi și derivata de ordinul doi a funcției f(x)
nu întotdeauna se realizează ușor. Dacă mai luăm în cons iderație faptul că funcția f(x) poate să
fie destul de complicată, atunci diferențierea analitică se efectuează destul de dificil în sens
tehnic. Este și mai complicat de găsit derivatele atunci când expresia analitică a funcției nu se
cunoaște.
Pentru si mplificare propun o altă abordare în cazul elaborarii programului cu aceast ă metodă
(vezi Anexa 1) .
Metode de calcul a sislemelor de ecuații liniare.
Rezolvarea problemelor din diverse domenii al căror model matematic este un sistem de
ecuații lineare se realizează cu ajutorul metodelor numerice. Metodele care sunt studiate în cursul
liceal sunt: metoda Cramer și metoda Gauss .
Rezolvarea analitică a sistemelor de ecuații, chiar și de ordinul n=4, deja prezintă o
dificultate, pentru elevi, de aceea este necesar cunoașterea algoritmul de calcul, iar soluționarea
propriu zisă s ă se efectueze cu ajutorul diverselor tehnolo gii computaționale. Vom examina
problemă a cărui modele matematice reprezintă sisteme de ecua ții liniare, rezolvarea este
prezentată cu ajutorul limbajului Pascal și Delphi.
Problema 1. Pe parcursul unei luni o fabric ă de vin a vândut în trei etape vin roșu, vin
alb și rose în cantitățile și sumele respective:
300 litri , 400 litri , 200 litri pentru suma 11700 lei;
250 litri, 100 litri, 50 litri pentru suma 5200 lei;
270 litri, 350 litri, 100 litri pentru suma 9210 lei.
Cât costă un litru de vin roșu, un litru de vin alb și un litru de vin roze , dacă prețul acestor a
a rămas constant?

33
Soluție . Conform condiției problemei, notăm prin x – prețul unui litru de vin roșu , prin y
– prețul unui litru de vin alb și prin z – prețul unui litru de vin rose , obținem următorul sistem de
ecuații:
{300x+400y+200z=11700
250x+100y+50z =5200
270x+350y+100z =9210
Rezolvăm sistemul utilizând Regula lui Cramer cu ajutorul următoarei funcții scrisă în mediul
Delphi:
procedure cramer(a:mat;b:vnr; var x:vnr);
Var k,i,j,h,n,l:integer;s,maxa,p,f,d0:extended; mp:mat;
begin
n:=high(b);
setlength(mp,n+1,n+1);
d0:=det(a);
for j:=0 to n do
begin
for k:=0 to n do for l:=0 to n do mp[k,l]:=a[k,l];
for i:=0 to n do mp[i,j]:=b[i];
x[j]:=det(mp)/d0;
end; end;
Calculul numeric al integralelor în manual este descrisă destul de clar la nivel teoretic.
Pentru elevi este important să cunoască metode de calcul aproximative ale integralelor numerice
cu exactitatea cerută și să fie estimată eroarea . Pentru aceasta este necesar ca ei să fie familiarizați
cu metode elementare dar eficiente de calcul. În manualul de Informatică clasa a 12-a[13] se
explic ă la un nivel destul de înalt calcularea erorii, se calculează în baza derivatei funcției pe
segment, lucru foarte complicat care în cazurile practice de calculare a integralei nu se utilizează.
Calculele făcute pentru estimarea erorii se fac în bază formulei:
n=[(b-a)2M
kε] + 1 (2.14)
Pentru simplificarea calculelor voi implementa metoda recalculării duble, pentru
estimarea erorii, care în manual este explicată doar la nivel teoretic și nu este utilizată la
rezolvarea problemelor. Această metodă se bazează pe aplicarea repetată a formul ei de
cuadratură, cu pasul h înjumătățit. Altfel spus, valoarea căutată a integralei se calculează de 2
ori: prin diviziunea segmentului [a,b] în n părți și în 2 n părți. În continuare, valorile obținute ale
integralei (le notăm In și I 2n) se compară și primele lor cifre zecimale ce coincid se consideră

34
sigure. Apl icarea repetată a cuadraturii alese, dublând de fiecare dată numărul precedent de
noduri de integrare, se va întrerupe când va fi satisfăcută inegalitatea :
|I2n-In|≤ε (2.15)
unde ε este precizia de calcul.
Metodele de calcul aproximativ al integralei definite care se stu diază sunt [13]:
1. Metoda dreptunghiurilor de stânga, care are următoarea formulă de calcul:
I≡∫f(x)dx≈h∑f(xi)≡n-1
i=0Snb
a(f) (2.16)
2. Metoda dreptunghiurilor de dreapta, care are următoarea formulă de calcul:
I≡∫f(x)dx≈h∑f(xi)≡n
i=1Dnb
a(f) (2.17)
3. Metoda dreptunghiurilor medii, care are următoarea formulă de calcul:
I≡∫f(x)dx≈h∑f(xi+h/2 )≡n-1
i=0Mnb
a(f) (2.18)
4. Metoda trapezelor, care are următoarea formulă de calcul:
I≈h
2[f(x0) + f(xn) + 2∑f(xin-1
i=1)] (2.19)
Pentru toate aceste metode au fost elaborate programe, care pot returna mai multe
rezultate (vezi Tabelul 2.2). Cu ajutorul procedurilor utilizate pot fi calculate mai multe integrale
cu acelaș pr ogram.
Tabelul 2.3. Exemple se subprograme de calculare a integralei cu metoda recalculării duble.
Metoda dreptunghiurilor de stânga Metoda dreptunghiurilor de dreapta
function Drs(a,b,eps:tr;f:fxr; var
nd:integer):tr;
var n,i:integer;h,s,I2,I1,s0:tr;
begin
n:=1;h:=b -a; i2:=F(a)*h;
repeat n:=n*2;h:=h/2; I1:=I2;
s:=0; for i:=0 to n-1 do s:=s+f(a+i*h);
I2:=s*h;
until abs(I2 -I1)<=eps;
nd:=n;
Drs:=I2; function Drd(a,b,eps:tr;f:fxr; var
nd:integer):tr;
var n,i:integer;h,s,I2,I1,s0:tr;
begin
n:=1;h:=b -a; i2:=F(b)*h;
repeat n:=n*2;h:=h/2; I1:=I2;
s:=0; for i:=1 to n do s:=s+f(a+i*h);
I2:=s*h;
until abs(I2 -I1)<=eps;
nd:=n;
Drd:=I2;

35
end; end;
Metoda dreptunghiurilor medii Metoda trapezelor
function Drc(a,b,eps:tr;f:fxr; var
nd:integer):tr;
var n,i:integer;h,s,I2,I1,s0:tr;
begin
n:=1;h:=b -a; i2:=F(a+h/2)*h;
repeat n:=n*2;h:=h/2; I1:=I2;
s:=0; for i:=0 to n-1 do
s:=s+f(a+i*h+h/2);
I2:=s*h;
until abs(I2 -I1)<=eps;
nd:=n;
Drc:=I2;
end; function Tr(a,b,eps:tr;f:fxr; var
nd:integer):tr;
var n,i:integer;h,s,I2,I1,s0:tr;
begin
n:=1;h:=b -a;s0:=f(a)+f(b); i2:=s0*h/2;
repeat n:=n*2;h:=h/2; I1:=I2;
s:=0; for i:=1 to n-1 do s:=s+f(a+i*h);
I2:=(s0+2*s)*h/2; //f 5.3.3
until abs(I2 -I1)<=eps;
nd:=n;
cni1:=I2;
end;
Rezultatele obținute în urma calculăriiintegralei: ∫x*ex2𝒅𝒙1
0
Metoda Rezultatul obținut Eroarea Numărul de
divizări
Dreptunghiurilor de stânga 0.85914026614073 6.48088792520873E -07 2097152
Dreptunghi urilor de dreapta 0.859141562318512 -6.48088989807505E -07 2097152
Dreptunghi urilor medii 0.859140629921614 2.84307908215986E -07 1024
Trapezelor 0.859141056383524 1.42154001014916E -07 2048
Analizând rezultatele putem spune că metodele care fac clculele cu o exactitate mai
înaltă este metoda dreptunghiurilor medii și metoda trapezelor și timpul de execuție pentru aceste
metode este mai mic deaorece se fac mai puține divizări.

Concluzie
Modelare a matematică în compartimentul Metode numerice este descrisă destul de clar
la nivel teoretic. Însă pentru fiecare temă a compartimentelor examinate găsim doar probleme
care sunt mai puțin capt ivante pentru elevi. Acest fapt nu încurajează elevii la o atitu dine
creatoare privind elaborarea , obținerea modelului matematic și aplicarea metodelor numerice
prin intermediul căruia ar putea fi rezolvate aceste probleme . Prin intermediul acestui
compartiment se poate realiza eficient conexiunea cu alte discipline st udiate de elevi în cursul

36
liceal: fizică, chimie, biologie, geografie, etc. Chestiunile care țin de legăturile interdisciplinare
pot fi tratate cu succes anume în procesul modelării matematice a diverselor fenomene din
matematică, fizică, biologie, etc.
Pentru aceasta este necesar ca problemele să fie rezolvate și în interfață grafică, ca elevii
să înțeleagă mai bine procesul modelat. Mediul de programare Delphi oferă mai multe avantaje
din acest punct de vedere fapt pentru care au fost realizate aplicașii în Delphi pentru toate temele
din acest compartiment.

3. Manual de conceptie proprie

37
3.1. Descrierea generală a manualului în formă digitală
Manualul este o realitate a școlii contemporane, fără de care e dificil sau chiar imposibil
de realizat procesul de învățământ. El mai rămâne a fi sursă de cunoaștere pentru elevi și suport
informativ -metodic pentru profesori. Impunându -se prin prioritatea de a fi purtătorul mesajului
educativ și de a realiza legătura dintre generații, perfecționar ea lui continuă a fost și este unul
dintre obiectivele majore ale școlii.
Rolul manualului școlar este cel de a concretiza programa școlară prin unități didactice
care pot fi operaționalizate și realizate în procesul predării -învățării. Manualul școlar est e unul
din instrumentele de lucru pentru elevi, poate cel mai important, care detaliază în mod sistemic
temele recomandate de programele școlare și contribuie la organizarea procesului de învățământ.
Conceput astfel, manualul trebuie să fie mai puțin un d epozitar de informații și să conțină
într-o măsură mai mare modalități de lucru redate explicit în logica expunerii didactice, fiind un
prilej de dezvoltare a gândirii și a altor capacități intelectuale, morale, estetice, de realizare a
transferului de la un învățământ axat pe acumulare de cunoștințe și capacități spre un învățământ
bazat mai mult pe acumulare de competențe.
Este necesar ca prin intermediul manualului să se inducă individualizare și diversificare,
respectând un stil cognitiv adecvat vârst ei, asigurându -i fiecărui elev instruire în propriul tempou,
oferindu -i posibilități de a continua studiul în cadrul unor activități extrașcolare sau sugerându -i
un program de activitate în cadrul unui program compensatoriu după lecții. Se cere ca funcția
principală a manualului de altă dată – cea de informare să fie diminuată în favoarea funcțiilor de
formare a capacităților și competențelor, de fixare și consolidare prin realizarea activităților
interactive.
În condițiile exploziei informaționale, este mu lt mai important ca elevul să -și formeze
abilități de a prelucra informația, utilizând tehnologiile moderne, cunoscând metodele și formele
eficiente de lucru, mobilizând resursele accesibile și propriul său potențial.
Preocupările actuale orientate spre pe rfecționarea manualelor școlare în conformitate cu
exigențele școlii contemporane este o abordare tot mai des întâlnită deja și la noi în țară. Astfel
elaborarea manualelor digitale reprezintă o tendință strategică a modernizării sistemului
educational. Din acest, motiv mi -am propus să elaborez un manual digital și să -l implimentez în
procesul de instruire din cadrul instituției în care activez. A fost realizat manualul de informatică
clasa a 12-a. Inițial a fost realizat șablonul manualului. Acesta a fost realizat în echipă, în cadrul
orelor din programul de studii de masterat, echipa a fost ghidată de profesorul Balmuș Nicolae .
Pentru realizarea manualului digital în primul rând trebuie să avem textul de bază salvat
în format PDF, marcat pentru diverse activități interactive și organizat în regim de vizualizare cu
două pagini.

38
Organizarea documentului în regim de vizualizare cu două pagin a fost realizată cu
ajutorul programului InDesigne . Pașii parcurși sunt următorii:
1. Rulăm programul;
2. Din meniul File alegem opțiunea New apoi Document , în caseta de dialog care apare indicăm
parametrii foii și numărul de pagini (Vezi Figura 3.1);

Figura 3.1. Parametrii foii în programul InDesign
3. Accesăm butonul Create ;
4. Se încarcă documentul în program. Sunt mai multe modalitățile de a importa documente în
programul InDesigne , și anume:
a) În cazul când documentul încărcat necesită careva modificări acesta este importat în
felul următor:
• Clic pe File > Place > select ăm documentul > Open > clic pe documentul creat în
programul InDesigne și din bara de instrumente alegem instrumentul de selecție, care
este marcat cu un pătrat de culoare roșie (vezi Figura 3.2), apoi accesăm semnul plus,
care se află în colțul de dreapta jos al paginei, după care facem clic pe pagina următoare
a documentului.

Figura 3.2. Bara de instrumente a programului InDesigne
b) În cazul în care documentul încărcat nu necesită careva modificări se încarcă ca poză.
Aceasta se face în felul următor:
• Din meniul Window alegem opțiunea Utilities apoi Scripts și se deschide o casetă de
dialog din care alegem următoarele opțiuni: Aplication > Samples > JavaScript
>PlaceMultipagePDF.jsx (vezi Figura 3.3).

39

Figura 3.3. Crearea unui document PDF organizat în regim de vizualizare cu 2 pagini
După realizarea acestei etape documentul se salvează în felul următor: din meniul File
alegem opțiunea Export și îl salvăm de tip AdobePDF(interactive) , cu extensia “.pdf”. Adăugarea
acestui document pe sablonul manualulu i se face destul de simplu: se copiază documentul în
mapa cu toate resursele manualului și obligatoriu se redenumește cu numele pdfium.dll .
După ce a fost introdus documentul în mapa cu resursele manualului se realizează
marcarea lui pentru diverse activități. Aceasta se face cu ajutorul programului Adobe Acrobat XI
Pro.
Pe partea statică a manualului au fost introduse două tipuri de activită ți: activități realizate
în programul PascalABC și programul Delphi . Pentru aplicațiile din programul PascalABC
marcarea se face în felul următor:
1. Deschidem documentul din mapa cu resursele manualului cu ajutorul programului
Adobe Acrobat XI Pro ;
2. Din meniul View alegem opțiunea Tools apoi opțiunea Content Editing și alegem Add or
Edit Link ;
3. Marcăm textul care dorim să devină interactiv și apare următoarea casetă de dialog (vezi
Figura 3.4), în care obligatoriu pentru câmpul Link Type alegem opțiunea Visible
Rectangle , pentru câmpul Link Action alegem opțiunea Open a web page și butonul Next;

40

Figura. 3.4. Opțiunile de creare a unei secțiuni interactiv
4. După accesarea butonului Next apare o altă casetă de dialog (vezi Figura 3.4) în care
trebuie să introducem o adresă de internet validă apoi clic pe butonul Ok.

Figura. 3.4. Validarea unei adrese internet pentru crearea secțiunei interactiv
5. Facem dublu clic pe textul marcat și se deschide următoarea casetă de dialog (vezi Figura
3.5). Din opțiunea Appearance pentru Line Style alegem Solid , din paleta de culori
alegem culoarea pentru programul respectiv și butonul Ok.

41

Figura 3.5. Marcarea secțiunei interactive
6. Salvăm documentul.
Remarcă . Marcarea textului se face urmând pașii indicați mai sus atât pentru crearea
unei legături către o aplicație realizată în programul PascalABC cât și pentru aplicațiile relizate
în programul Delphi, diferența este că din paleta de culori se alege culoarea specifică
programului.
Sursele care vor rula în urma a ccesării secțiunei interactive trebuie să fie toate depozitate
în mapa cu resursele manualului, cele care sunt cu programele elaborate în Pascal le salvăm în
mapa PascalABC și cele care conțin programe elaborate în Delphi în mapa ProgrameDelphi.
Fiecare su rsă trebuie salvată în mapă separată. Pentu a putea fi accesate este necesar să le
arhivăm. Arhivarea se face în felul următor: deschidem manualul propriu zis și din meniul
Opțiuni alegem CreareArhive , selectăm mapa cu resursa dorită și accesăm butonul Arhivare
DirFiles.zip . Salvarea se face cu extensia .zpas . După ce au fost arhivate putem realiza legătura
din manual către sursă, care se face în felul următor: Opțiuni alegem Redactare Resurse apoi
dublu clic pe porțiunea interactivă, din caseta de dialog care apare accesăm butonul Ok după care
alegem documentul care a fost arhivat și butonul Da. În caz că dorim să substituim sursa se
parcurg aceeași pași.
Șablonul manualului conține mai multe butoane cu ajutorul cărora ne putem deplasa în
pagini (vezi Figura 3.6):

Figura 3.6. Bara de butoane pentru deplasarea în pagini a manualului
Pascal
Delphi

42
1. Cuprinsul: apăsând acest buton ne ducem direct la pagina de cuprins a manualului, de
unde putem alege să mergeți direct la oricare din modulele existente.
2. Salt direct la începutul manualului: pentru a merge direct la începutul manualului, la
prima pagină;
3. Parcurgere pagină cu pagină: se poate da pagina înainte;
4. Salt direct la o anumită pagină: se poa te realiza prin introducerea numărului de pagină
droit;
5. Parcurgere pagină cu pagină: se poate da pagina înapoi;
6. Salt direct la sfârșitul manualului: pentru a merge direct la sfârșitul manualului, la ultima
pagină;
7. Micșorare imagine;
8. Mărire imagine ;
9.

http://uniscan.ro/manuale/c1s1/helpGeneral.pdf

Concluzie
să se accelereze procesul, stimulând prin măsuri de politică publică crearea și utilizarea RED; c) să se
forțeze o trecere rapidă de la resursele tradiționale la RED prin investiții majore
Necesitatea abordării acestui concept și în Republica Moldova este indiscutabilă, or, traducerea în
viață cu succes a reformelor actuale și depășirea problemelor ce țin de calitatea, accesul și relevanța
educației presupun o abordare vizionară a procesului educaționa l, inclusiv prin identificarea de noi
modele educaționale și valorificarea inteligentă a practicilor internaționale.
, manualul digital clasa 12 reflectă forma de Geografie este conceput într -o manieră mai atractivă, care
să faciliteze învățarea.
Structur a interioară conține activități care pot fi ușor modificate, care facilitează un parcurs didactic
dinamic

n era globalizării și computerizării tuturor domeniilor vieții, Ónvățarea prin intermediul manualului
electronic constituie o modalitate efi cientă d e formare a competențelor. Efi cacitatea educațională
este determinată de respectarea cerințelor ergonomice, de modul de prezentare a informației pe
ecranul computerului și de acțiunile celui educat. Un rol important Ón procesul de elaborare a

43
suporturilor informatizate revine respectării recomandărilor metodice. Cunoașterea acestora permite
a concepe tehnologii centrate pe instruit, profesorului revenindu -i misiunea de a facilita procesul de
formare a unei persoane competente.
Bibliografie
1. http://www.abed.org.br/congresso2015/anais/pdfingles/BD_329.I.pdf
2. Proiectul din rm din 2014
3. Woody, D.W. et al. (2010) E -books or textbooks: Students prefer textbooks. Elsevier :
Computers & Education, No. 55.
4. Landoni, M. et al. (2001) Looking for guidelines for the production of electronic textbooks. MCB
University Press. Emerald: The Electronic Library, Volume 25 issue 3.
5. https://www.amazon.com/Interactive -Learning -Revolution -Multimedia –
Education/dp/0893973599
6. Flores P., Ramos A., Escola J., The Digital TextBook: Metodological and Didactic
Challenges for Primary School. In R odríguez J, Bruillard E., Horsley M. Digital
Textbooks: What's new? (pp.275 -295), 2015, Santiago de Compostela:
USC/IARTEM,
7. Arno J.C. Reints. How to learn from digital textbooks: evaluating the quality. În
Digital Textbooks, What ́ s New? 2015, http://laeremiddel.dk/wp –
content/uploads/2015/01/759 -99z_manuscrito -de-libro -1085 -1-10-20141218 -2.pdf
(accesat 03.03.2016). pag.210
8. Sweller, J., Cognitive load during problem solving: Effects on learning, Cognitive Science, 12,
257-285, 1988.
9. Quality criteria for digital learning resources. Norvegian Centre for ICT in, Education.
10. Ensuring the Quality of Digital Content for Learning. Recommandations for K12 Education.
SETDA Leadership Technology Innovation Learning. 2015.
11. T. Chiriac. Acta et commentationes : Științe ale Educației:revistă științifică. 2016, Nr
1. Cadrul psihopedagogic și metodologic al manualului digital .
12. E-book survey for higher education students and teachers in Finland. Paula Mikkonen, Lina
Peltonen. FinElib 2017

13. Botoșanu M., Covalenco I., ș.a. , Informatica cl. 12. Chișinău: Editura Epigraf, 2008. p. 174.
14. Corlat S., Ivanov L. Calcul numeric. Curs de lecții. Chișinău: CCRE PRESA, 2004. 96 p. 173.

15. A. Gremalschi, S. Corlat, A. Braicov. Informatică. Manual pentru clasa XII. Manualul pentru
clasa XII -a, liceu, profil real și umanist.Compartimente: metode numer ice de calcul, baze de
date,elemente de web design. Chișinău: Știința, 2010. 144 p. 175

44
16. C.Popeea, B.Jora, B.Dumitrescu “Calcul Numeric – Algoritmi fundamentali”, Ed.ALL

17. A.C. Fowler: Mathematical models in applied Sciences; Cambridge Univerity Press 1998 .

18. L. Dragoș: Principiile mecanicii analitice. Editura Tehnică București 1976

19. St. Balint: Lecții de mecanică teoretică, Mișcarea punctului material, Tipografia Universității de
Vest din Timișoara 1995.

20. Buzumuc Ștefan, Moraru Vasile Informatica : Elemente de calcul numeric ,
Chișinău, 2000, Evrica.
21. http://edu.ro/ . ORDIN nr. 5559/22.11.2013 privind regimul manualelor
școlare în învățământul preuniversitar
22. Rima BEZEDE Viorica GORAȘ -POSTICĂ Valeriu GORINCIOI Ovidiu VOICU. Resurse educaționale
deschise: oportunități pentru acces, calitate și relevanță în educație. Chișinău 2017
23. Paul Levinson. Digital McLuhan: A Guide to the Information Millennium. În:
https://books.google.md/books?hl=ro&l r=&id=KiCEsqWsGDwC&oi=fnd&pg=PP1&d
q=McLuhan,+1975,+p.13&ots=nuuLmyhUbo&sig=ofAGEOoL35b06rEo5Mu9JL9Wu
sA&redir_esc=y#v=onepage&q=McLuhan%2C%201975%2C%20p.13&f=false
(vizitat 13.05.2018).
24.