1. Progresia aritmetic ¼a(an)n1de ra¸ tie reste de nit ¼a prin anumite elemente date. Determina¸ ti, în ecare caz, elementele cerute. a)a1= 3,r=… [610532]

FI¸ S¼A – PROGRESII
1. Progresia aritmetic ¼a(an)n1de ra¸ tie reste de…nit ¼a prin anumite elemente
date. Determina¸ ti, în …ecare caz, elementele cerute.
a)a1= 3,r= 2:Calcula¸ ti: a15; S20:
b)a20= 55,r= 3. Calcula¸ ti: a10; S8:
c)a1+a7= 42 a10a3= 21. Calcula¸ ti: a1; r:
d)a1= 12; an=44; Sn=240:Calcula¸ ti: r; n:
e)a36= 2; S36= 324 :Calcula¸ ti: a1; r:
f)a1+a8+a12+a19= 224 :Calcula¸ ti: S19:
2. Progresia geometric ¼a(bn)n1de ra¸ tie qeste de…nit ¼a prin anumite ele-
mente date. Determina¸ ti, în …ecare caz, elementele cerute.
a)q= 4; b8= 49152 :Calcula¸ ti: b1; S8:
b)b1= 1; bn=512; Sn=341:Calcula¸ ti: n:
c)S10= 33
S5:Calcula¸ tiS12
S6:
d)b5b1= 80,b4b2= 24:Calcula¸ ti: b1; q;
e)b2+b4= 60; b1+b3= 20:Calcula¸ ti: b1; q:
3. Se consider ¼a ¸ sirul (an)n1cu termenul general an=3n
5+2
5,n1:
a) Stabili¸ ti dac ¼a ¸ sirul (an)n1este o progresie aritmetic ¼a.
b) Stabili¸ ti care dintre numerele de mai jos este termen al ¸ sirului dat:
600;4; 300; 300 ;4:
4. Dac ¼aSn= 4n23nreprezint ¼a suma primilor ntermeni ai ¸ sirului (an)n1
atunci:
a) s¼a se determine an;b) s¼a se arate c ¼a ¸ sirului (an)n1este o progresie
aritmetic ¼a.
5. Se consider ¼a ¸ sirul (bn)n1cu termenul general bn= 3
p
2
n,n1:
a) Stabili¸ ti dac ¼a ¸ sirul (bn)n1este o progresie geometric ¼a.
b) Stabili¸ ti care dintre numerele de mai jos este termen al ¸ sirului dat:
81; 24; 96 :
6. La progresia aritmetic ¼a(an)n1cunoa¸ stem:
a)Sn=n2+ 2n:Calcula¸ ti: a1¸ sir:
b) Sn= 2nn2:Calcula¸ ti: a1,r¸ sia10:
c)an=n+ 1
2:Calcula¸ ti: a1,r,a14; S20¸ siSn:
7. La progresia geometric ¼a(bn)n1cunoa¸ stem:
a)Sn= 2n+12:Calcula¸ ti: b1¸ siq:
b) Sn= 3n1:Calcula¸ ti: b1,q¸ sib8:
c)bn=5
3n8
:Calcula¸ ti: b3+b5+b9,S10¸ siS9:
8. Determina¸ ti num ¼arul natural xdin egalit ¼a¸ tile:
a)1 + 5 + 9 + :::+x= 66;
b)2 + 5 + 8 + :::+x= 1365;
c)(2x+ 1) + (2 x+ 4) + :::+ (2x+ 31) = 198;
d)x+ (x+ 1) + ( x+ 2) + :::+ (x+ 30) = 1395 :
1

9. A‡ a¸ ti x2Rastfel încât numerele urm ¼atoare s ¼a …e în progresie aritmetic ¼a:
a)3x2;21;2x+ 9;b)3x2;4x+ 5;8x1:
10. Determina¸ ti numerele reale x; ypentru care x3;2x3; y+ 2;2x+y
formeaz ¼a, în aceast ¼a ordine, o progresie aritmetic ¼a.
11. Determina¸ ti x2R+, astfel încât numerele x+ 2;2x+ 1¸ si3x+ 4s¼a …e
în progresie geometric ¼a.
12. A‡ a¸ ti n2Ndin egalitatean+1P
k=02k= 4095 :
13. Calcula¸ ti: a)nP
k=13
5k
;b)nP
k=0
1
2k
:
14. Ar ¼ata¸ ti c ¼a3
5+32
52+33
53+:::+339
539<3
2:
15. Se consider ¼a num ¼arul real s= 1 +1
2+1
22+1
23+:::+1
2100:Ar¼ata¸ ti c ¼a
s2(1; 2) :
16. Dac ¼a primii cinci termeni ai unei progresii aritmetice sunt a;16; b; c; 7
s¼a se calculeze a3b+ 2c:
17. Determina¸ ti a; b2R¸ stiind c ¼a numerele 2; a; b sunt în progresie geo-
metric ¼a ¸ si 2;17; asunt în progresie aritmetic ¼a.
18. Fie (an)n1o progresie aritmetic ¼a cu termeni pozitivi. Calcula¸ ti în
func¸ tie de a1¸ sir, suma:
S=1pa1+pa2+1pa2+pa3+:::+1pan+pan+1:
19. Dac ¼a(an)este o progresie aritmetic ¼a, calcula¸ ti:
a)S=nX
k=11
ak
ak+1;b)S=nX
k=11
ak
ak+2:
20. Calcula¸ ti suma S= 1 + 2 x+ 3×2+:::+nxn1;cux > 0; x6= 1:
21. Determina¸ ti câte progresii geometrice (bn)n1;cu ra¸ tia ¸ si primul termen
numere reale nenule, satisfac:
bn4bn1+ 3bn2= 0;8n3;primul termen …ind …xat.
22. Ar ¼ata¸ ti c ¼a numerele1
ba;1
2b;1
bc;cua6=b; b6=c; b6= 0;sunt în
progresie aritmetic ¼a dac ¼a ¸ si numai dac ¼aa; b; c sunt în progresie geometric ¼a.
2