1. NOTIUNI INTRODUCTIVE DE MECANICA FLUIDELOR După cum și denumirea sugerează, mecanica fluidelor este o componentă a mecanicii mediilor continue,… [305881]

1. [anonimizat] o componentă a [anonimizat] o ramură a fizicii, una dintre științele fundamentale ale naturii. [anonimizat], [anonimizat] (mișcarea atmosferei terestre), oceanografia (mișcarea apelor oceanice), medicina (curgerea fluidelor în interiorul corpului uman) etc.

[anonimizat], fundamentele ei teoretice fiind formulate de către matematicienii Daniel Bernoulli (1700-1782) și Leonhard Euler (1707-1783), [anonimizat], fără vâscozitate. La forma modernă a acestei științe au contribuit decisiv matematicienii și fizicienii George Gabriel Stokes (1819-1903) și Osborne Reynolds (1842-1912), [anonimizat] a fluidelor reale. [anonimizat] (1875-1953), cel care a introdus și a [anonimizat], una dintre aplicațiile moderne ale mecanicii fluidelor. Principalele personalități care au contribuit la fundamentarea acestei științe sunt evocate în capitolul de încheiere al lucrării.

[anonimizat], [anonimizat],

[anonimizat],

curgerea aerului în jurul vehiculelor aflate în mișcare (avioane, automobile, trenuri etc.),

construcțiile supuse acțiunii vântului (clădri, poduri, antene),

[anonimizat] ([anonimizat]), în care cercetătorii își concentrează eforturile pe modelarea matematică a [anonimizat].

1

, [anonimizat],

, [anonimizat] (zone de discontinuitate).

Un mediu fluid continuu este considerat și omogen dacă densitatea sa () este constantă (are aceeași valoare în orice punct al fluidului) pentru valori constante ale presiunii și temperaturii

(1.8)

[anonimizat].

1.1.3 Definiția fluidului. [anonimizat].

[anonimizat] (curge) atât timp cât este supus acțiunii unor eforturi tangențiale.

[anonimizat]. [anonimizat], deoarece existența unor eforturi tangențiale duce la modificarea formei particulelor de fluid și implicit a stării de repaus al fluidului.

Prin model de fluid se înțelege o schemă simplificată de fluid, acesta fiind considerat un mediu continuu, căruia i se atribuie principalele proprietăți macroscopice (măsurabile) ale fluidului real (compresibil și vâscos) în contextul fenomenului studiat.

Necesitatea utilizării unor modele simplificate se datorează complexității ridicate a fenomenelor asociate curgerii fluidelor. Neglijând anumite procese, secundare fenomenului real, devine posibilă construirea unui model simplificat. Principalele modele de fluid cu care se operează în teorie sunt

fluid ideal fluid lipsit de vâscozitate, la care se neglijează efectul forțelor de coeziune dintre particule, implicit și efectul forțelor de frecare dinte straturile de fluid (modelul Euler),

fluid fluid vâscos al cărui comportament dinamic poate fi Newtonian modelat considerând o dependență liniară între tensiuni

6

și viteza de deformare (modelul Newton); celelalte fluide sunt non-Newtoniene,

fluid la care volumul unei mase constante nu se modifică odată incompresibil cu variația presiunii; aplicabil lichidelor (modelul Pascal),

fluid ușor pentru care se neglijează efectele datorate greutății proprii, care este foarte mică în raport cu alte forțe, precum cele de presiune; este aplicabil volumelor finite de gaze.

Particula fluidă este o porțiune de fluid, de formă oarecare și de dimensiuni arbitrar de mici, care păstrează caracteristicile de mediu continuu și în raport cu care se studiază repausul sau mișcarea fluidului prin aplicarea principiilor, legilor și teoremelor mecanicii generale. Omogenitatea și izotropia unui fluid permit ca relațiile stabilite pentru o particulă să fie valabile pentru întregul fluid. Limita inferioară a dimensiunilor particulei este impusă de condiția neglijării influenței mișcărilor proprii ale moleculelor, sau a mișcării Browniene. Aceasta trebuie să fie mai mare decât lungimea liberului parcurs molecular. Limita superioară este determinată de condițiile aplicării calculului infinitezimal.

1.2 FORȚELE CARE ACȚIONEAZĂ ASUPRA FLUIDELOR

Principale forțe care acționează asupra particulelor unui fluid de masă () care la un moment ocupă un volum ( ), delimitat de suprafața (S), precum în figura 1.4 se pot grupa în

forțe masice și

forțe de suprafață.

Fig. 1.4 – Forțele care acționează asupra particulelor de fluid

7

Deoarece forțele interioare, de legătură, se anulează reciproc conform principiului egalității dintre acțiune și reacțiune, în cele ce urmează sunt analizate acțiunile pe care le exercită forțele exterioare.

Forțele masice sunt rezultatul acțiunii unor câmpuri de forțe exterioare, precum cel gravitațional, sau câmpuri de natură electrică și/sau magnetică în fluidele conducătoare de electricitate. Acestea exercită asupra particulelor de fluid acțiuni proporționale cu masa acestora. Uzual, în mecanica fluidelor se iau în considerare forțele de greutate, care sunt dominante, sau după caz și forțele de inerție. În magneto-hidrodinamică sau dinamica plasmei, forțele care intervin preponderent sunt de natură magnetică sau electrică.

Forța masică elementară care acționează asupra unei particule de fluid având masa este dată de relația

(1.9)

unde este forța masică unitară, sau forța care acționează asupra unității de masă,

este densitatea fluidului.

Forța masică unitară () are dimensiunea unei accelerații. Pentru un corp aflat în repaus în câmp gravitațional, forța masică elementară este reprezentată de greutatea particulei (), situație în care forța

masica unitară este egală cu accelerația gravitațională ( )

(1.10)

Forțele de suprafață provin din interacțiunea fluidului cu alte corpuri (pereți solizi sau alte fluide) prin intermediul suprafeței (). Se mai numesc și forțe de contact și reprezintă efectul de legătură al masei de fluid cu mediul înconjurător. Precum în cazul forțelor masice, forța elementară de suprafață se definește ca fiind

(1.11)

unde este forța de suprafață unitară, sau forța care acționează pe unitatea de suprafață.

Forța de suprafață unitară depinde de vectorul de poziție () al punctului în care se consideră elementul de suprafață () și de orientare versorului normalei () la respectiva suprafață. În figura 1.4 a fost adoptată orientarea clasică pentru , corespunzătoare feței în contact cu mediul exterior, dar sunt situații când se preferă o orientare corespunzătoare feței în contact cu fluidul,

8

înspre fluid, în sensul compresiunii, figura 1.27, deoarece în condiții obișnuite fluidele nu pot prelua forțe de întindere.

Pentru cazul general în care între este un unghi (), precum în figura 1.5, forța elementară de suprafață va avea două componente, și

, pe direcție normală la suprafața elementară , respectiv pe direcția

tangentei la

(1.12)

(1.13)

unde este tensiunea după direcția normalei la , reprezintă tensiunea după direcția tangentei la .

Fig. 1.5 – Descompunerea forței de suprafață unitară

Pentru fluidele incompresibile, componenta normală () se numește efort de presiune () și este orientată natural în sensul compresiunii (înspre fluid).

Componenta tangențială definește, în general, efortul tangențial unitar de vâscozitate (), care la rândul său poate fi descompus după direcțiile planului tangent la , precum în figura 1.6, unde sunt prezentate tensiunile care acțiunează pe fețele unei particule de fluid de formă paralelipipedică, cu muchiile aliniate după axele sistemului de referință cartezian.

Astfel, pe fiecare dintre fețele particulei vor acționa câte trei tensiuni, dintre care una perpendiculară, (), celelalte două fiind tangente la suprafață, în planul suprafeței, (), unde primul indice indică direcția axei care este perpenticulară pe care fața considerată, cel de al doilea indicând direcția efortului.

9

(2.2)

Astfel, mărimile extensive pot fi definite ca mărimi integrale , spre deosebire de cele intensive care reprezintă mărimi locale , în punctul determinat de vectorul de poziție , când în jurul acestuia. În relația (2.1), este cunoscută și ca densitatea volumică a mărimii .

Prim raportarea la volumul de fluid sau la masa acestuia, se obțin mărimi specifice unității de volum, respectiv unității de măsă, precum energia specifică, căldura specifică etc., care sunt utilizate la stabilirea unor legi cu caracter general, independente de volumul/masa fluidului studiat.

2.1 PARAMETRI SPECIFICI FLUIDELOR

2.1.1 Presiunea, p

Prin definiție, presiunea într-un punct din interiorul unui fluid în repaus se definește ca limita raportului dintre forța normală () și aria suprafeței () pe care se exercită forța, când aria tinde către zero în urul punctului respectiv.

Fig. 2.1 – Presiunea într-un punct din interiorul unui fluid

În figura anterioară reprezintă versorul normalei la elementul de

suprafață. În formă diferențială, presiunea se exprimă conform relației

(2.3)

sau simplu

(2.4)

când valoarea acesteia este constantă în punctele suprafeței considerate.

Direcția de acțiune a forței rezultă din starea de repaus a fluidului. Dacă forța nu ar fi normală (perpendiculară) pe suprafață, trebuie admisă existența unor eforturi tangențiale în fluid, ceea ce ar contrazice faptul că acesta este considerat în repaus.

Întrucât presiunea într-un punct este o mărime definită doar de valoarea numerică (unică) la momentul determinării (), ea este o mărime scalară, . Caracterul scalar al presiunii este demonstrat și în paragraful următor. De asemenea, presiunea definită precum în relațiile anterioare (presiunea care se exercită în planul/suprafața de separație a două mase de fluid) se mai numește și presiune statică ().

Totodată, pentru un fluid, presiunea poate fi interpretată ca o măsură a energiei acestuia pe unitatea de volum (energie specifică unității de volum), dacă în relația (2.4) înmulțim numărătorul și numitorul cu deplasarea/distanța

(2.5)

Pentru o masă de fluid în mișcare având energia cinetică ,

relația anterioară conduce la

(2.6)

unde v este viteza fluidului în punctul de măsurare, densitatea fluidului.

Relația anterioară definește presiunea dinamică (). Astfel, pentru un curent de fluid (masă de fluid în mișcare), presiunea totală () într-un punct din interiorul acestuia este rezultatul acțiunii presiunii statice și presiunii dinamice

(2.7)

După cum a fost evidențiat în relațiile anterioare, unitatea de măsură în Sistemul Internațional este , denumită începând cu 1971 și Pascal () în onoarea lui Blaise Pascal (1623–1662), matematician, fizician și filozof francez

(). Deoarece aceasta este o unitate foarte mică () în

comparație cu presiunile uzuale întâlnite în instalațiile industriale, sau chiar cu presiunea atmosferică din zonele locuite ale Pământului, în aplicațiile tehnice se folosesc multiplii pascalului

kilopascalul, denumit și piez megapascalul, .

Frecvent utilizat este

barul,

44

Deși nu aparține Sistemului Internațional, aceast multiplu este tolerat datorită utilizării lui într-un număr însemnat de țări, printre care și a noastră, deoarece este foarte apropiat ca valoare de atmosfera tehnică (at)

(2.8)

și de atmosfera fizică, prescurtată , sau , utilizată ca referință pentru definirea stării fizice normale.

Presiunea exercitată de atmosfera terestră a fost pusă în evidență și calculată pentru prima dată de Evangelista Torricelli (1608-1647), fizician și matematician italian care a construit primul barometru cu mercur, a cărui schemă de principiu este prezentată în figura 2.2. Acesta era compus dintr-un tub de sticlă, închis la capătul superior, umplut cu mercur și scufundat cu capătul liber (acoperit în prealabil) într-un vas ce conține, de asemenea, mercur. Torricelli a observat că după eliberarea capătului acoperit, nivelul mercurului în tub cobora până la o valoare corespunzătoare

unei coloane de înălțime . Neglijând acțiunea

exercitată de vaporii de mercur, în partea superioară a

Fig. 2.2

tubului se poate considera că presiunea este nulă,

corespunzătoare vidului. Astfel, presiunea hidrostatică exercitată de coloana de mercur de greutate pe suprafața de la nivelul suprafeței libere (la baza ei) este egală cu presiunea atmosferică () de pe suprafața liberă a mercurului

(2.9)

Deoarece presiunea atmosferică depinde de valoarea acceleraței gravitaționale3 ( ), care variază la rândul ei cu latitudinea și altitudinea, se definește presiunea fizică normală () ca fiind presiunea exercitată de o coloană de mercur având la temperatura (),

3 Valoarea accelerației gravitaționale (forța masică unitară cu care Pământul atrage un corp de masă aflat la altitudinea în raport cu nivelul mării, orientată către centrul Pământului) se determină cu relația

(2.10)

unde reprezintă constanta atracției universale,

este masa Pământului, iar este raza acestuia, variabilă între

poli () și Ecuator ().

pentru o valoare de referință ( ) corespunzătoare paralelei , la nivelul mării

.

Torr-ul este unitatea de măsură a presiunii denumită în onoarea lui Torricelli și reprezintă presiunea exercitată de o coloană de mercur de . Presiunea măsurată cu astfel de instrumente se mai numește și barometrică. În practică, pentru măsurarea unor presiuni mici se utilizează aparate a căror funcționare se bazează pe principiul determinării presiunii hidrostatice exercitate de o coloană de lichid (numit și lichid piezometric), precum în figura

2.3 relativ la valoarea presiunii atmosferice locale ()

(2.11)

unde reprezintă densitatea lichidului piezometric.

Astfel, sunt utilizate frecvent unități de măsură ce reprezintă înălțimi ale unor coloane de lichid, frecvent utilizate fiind apa și alcoolul

Fig. 2.3

2.1.1.1 Presiunea absolută. Presiunea relativă

Cele menționate anterior, referitor la unitățile de măsură utilizate și a bazei lor de calcul, dau posibilitatea definirii a două tipuri de presiuni, în funcție de valoarea utilizată ca bază de măsurare (de referință). Se disting astfel

presiunea absolută (): presiunea care are ca nivel de referință presiunea vidului absolut (); în consecință, ca mărime absolută presiunea este întotdeauna pozitivă;

presiunea relativă (): presiunea măsurată în raport cu o valoare de referință, precum atmosfera fizică normală, sau presiunea atmosferică locală (în locul în care se efectuează măsurarea).

Relația de legătură dintre cele două presiuni este

(2.12)

46

În cazul în care presiunea relativă se mai numește și depresiune, sau presiune vacuummetrică, după numele aparatului utilizat la măsurarea ei (vacuummetru). Ca valoare este negativă, fapt evidențiat și de instrument. Valoarea minimă indicată este . În atmosfera terestră ea corespunde limitei superioare a acesteia, la altitudinea .

În cazul în care , presiunea relativă se mai numește și manometrică, sau suprapresiune și are o valoare pozitivă. Manometrele industriale se etalonează având ca referință (zero) valoarea presiunii atmosferice locale , respectiv .

Aparatele care măsoară atât suprapresiuni, cât și depresiuni se numesc manovacuummetre. În figura 2.4 este prezentată schematic variația presiunii în funcție de referința utilizată.

Fig. 2.4 – Variația presiunii în funcție de referința utilizată.

Deoarece în problemele tehnice curente, forțele care se dezvoltă in instalațiile hidraulice/pneumatice reprezintă rezultatul diferenței dintre presiunea absolută din interiorul instalației și presiunea atmosferică exterioară, în mecanica fluidelor se utilizează în mod uzual presiunea relativă la cea atmosferică locală, notată simplu p, precum în figura anterioară.

În general, excepțiile sunt reprezentate de situațiile în care se determină presiunea gazelor, întrucât parametrii () ce le definesc starea fizică sunt interdependenți, relația care definește această dependență fiind exprimată în mărimi absolute, ecuația de stare pentru gazele perfecte (2.82).

separație), substanța trecând din faza lichidă în cea de vapori. Pentru valori ale presiunii mai mici decât cea corespunzătoare punctului triplu au loc transformări de fază solid-vapori în sensul creșterii temperaturii, sau vapori-solid în sensul descreșterii temperaturii, cunoscute ca sublimare, respectiv desublimare.

Așadar, temperatura unei materii (măsurabilă la nivel macroscopic) reprezintă o măsură a intensității mișcării de agitație a moleculelor (a mișcării la nivel microscopic), cuantificată prin energia cinetică și reciproc, o temperatură dată corespunde unei anumite valori , respectiv unei anumite viteze medii de agitație moleculară (pentru detalii vezi paragraful 2.4.3). De exemplu, principalele componente ale aerului au

următoarele valori la și

pentru azot (),

pentru oxigen ().

Între energia cinetică medie de agitație moleculară și temperatura

(absolută) unui gaz ideal există o legătură directă descrisă de relația

(2.27)

formulată de fizicianul francez Jean Baptiste Perrin (1870-1942), în care

reprezintă numărul de grade de libertate al moleculei,

pentru gazele monoatomice, precum heliu () și argon (),

pentru gazele biatomice, precum oxigen () și azot (),

pentru gazele poliatomice, precum metanul (),

este constanta lui Boltzmann (detalii în § 2.4.3), după numele fizicianului austriac Ludwig Eduard Boltzmann (1844-1906).

2.2 PROPRIETĂȚI COMUNE LICHIDELOR ȘI GAZELOR

2.2.1 Densitatea, și greutatea specifică,

Densitatea într-un punct din interiorul unui fluid se definește ca fiind limita raportului dintre masa unui element de volum din jurul punctului considerat și volumul elementului, când acesta tinde către zero

(2.28)

55

Așadar, densitatea reprezintă masa specifică (unității de volum). Inversul

densității se numește volum specific (unității de masă)

(2.29)

În cazul unui fluid omogen, densitatea este egală cu raportul dintre masa și volumul acestuia și are aceeași valoare în orice punct al fluidului

(2.30)

relația anterioară fiind utilizată și în cazul definirii densității medii.

În general, densitatea într-un fluid depinde de poziția punctului de măsurare, de presiunea și temperatura la momentul efectuării măsurătorii. Această observație este valabilă cu precădere în cazul gazelor (fluide compresibile), a căror densitate se determină uzual din ecuația termică de stare

, aplicată pentru două stări, dintre care una de referință, ai cărei parametri , și sunt cunoscuți. Exprimând constanta caracteristică a gazului studiat () în cele două stări

(2.31)

Densitatea lichidelor nu depinde de presiune, iar variațiile acesteia cu temperatura sunt semnificativ mai mici. Datorită dilatării volumice din timpul încălzirii (la presiune constantă), densitatea lichidelor scade continuu cu cresterea temperaturii, cu excepția apei a cărei densitate crește ușor în intervalul

(0, 4) °C atingând valoarea maximă , după care scade cu creșterea temperaturii. Variația pozitivă a densității apei cu temperatură se datorează creșterii numărului de molecule de apă grea, oxid de deuteriu (), maximul acestora fiind atins la (). Deuteriul este un izotop al hidrogenului ce conține un neutron în plus în nucleu, fiind astfel mai greu. Variația densității apei cu temperatura în intervalul (0, 100) °C este prezentată în tabelul 2.1. După cum se observă în cazul apei, variația relativă maximă a densității în raport cu valoarea de referință

(2.32)

este mică, astfel încât în practică, lichidele sunt tratate cel mai adesea ca fluide incompresibile, de densitate constantă ().

56

unde reprezintă coeficientul mediu de dilatare volumică în intervalul , care pentru condițiile inițiale , și ( conduce la relațiile

(2.35)

Densitatea definită conform relației (2.30) se mai numește și densitate absolută. Există situații când este utilă exprimarea densității ca mărime adimensională, utilizându-se în acest sens densitatea relativă (), definită ca raport între densitatea fluidului considerat () și densitatea unui fluid de

referință în condiții standard ()

(2.36)

În figura 2.11 este prezentat principiul de măsurare a densității relative a lichidelor pe baza legii lui Arhimede, utilizând un areometru. Acesta se compune dintr-un corp plutitor lestat, la care este atașată o tijă calibrată. Valoarea „1” corespunde densității fluidului de referință. Valorile subunitare corespund unor lichide de densitate mai mică decât a fluidului de referință, fiind evidențiate de adâncimi de scufundare mai mari ale areometrului.

Fig. 2.11 – Măsurarea densității relative a lichidelor utilizând areometrul

Din ecuațiile de echilibru pentru cele două situații, rezultă

(2.37)

58

atmosferică normală () și temperatura

().

Pentru un amestec de mai multe fluide, ,

densitatea amestecului () se poate calcula cu relația

care mai poate fi rescrisă sub forma

(2.39)

unde reprezintă participațiile volumice ale constituenților amestecului.

Legat de densitate (masa specifică unității de volum) se definește

greutatea specifică (unității de volum) . Astfel

(2.40)

reprezentând forța de atractie gravitațională specifică unității de volum.

Această relație este valabilă în cazul unui fluid omogen. Într-un punct din interiorul unui fluid, greutatea specifică reprezintă limita raportului dintre greutatea unui element de volum din jurul punctului considerat și volumul elementului, când acesta tinde către zero

(2.41)

2.2.2 Compresibilitatea, elasticitatea, și parametrii asociați

Compresibilitatea reprezintă proprietatea unui fluid de a-și modifica volumul sub acțiunea unei variații de presiune. Dacă procesul se desfăsoară la o temperatură constantă, atunci putem vorbi de compresibilitate izotermă, precum în figura 2.13 unde este ilustrată comprimarea unui fluid într-un cilindru cu piston sub acțiunea forței . Astfel, s-a constatat că există o dependență liniară între variația presiunii și variația de volum , care poate fi exprimată de relația

(2.42)

unde este volumul inițial al fluidului,

60

/ reprezintă variația relativă a volumului, este coeficientul de evaluare cantitativă a compresibilității fluidului, denumit și modul de compresibilitate izotermă,

Așadar, variația relativă de volum este direct proporțională cu variația de presiune. Semnul (-) din relația anterioară arată faptul că unei creșteri de presiune îi corespunde o scădere de volum.

Fig. 2.13 – Variația presiunii într-un cilindru la modificarea volumului

În formă diferențială, relația anterioară devine

(2.43)

Unitatea de măsură în Sistemul Internațional pentru modulul de compresibilitate este

Inversul modulului de compresibilitate reprezintă modulul de elasticitate, notat cu 

(2.44)

Modulul de compresibilitate și modulul de elasticitate pot fi exprimate și în funcție de variația de densitate. Ținând cont că masa fluidului rămâne constantă în timpul comprimării, prin diferențierea relației ct. se obține

(2.45)

Astfel, relațiile (2.43) și (2.44) sunt echivalente cu

(2.46)

respectiv

(2.47)

În cazul lichidelor, raportul , deci , astfel încât aceste fluide sunt tratate în mod uzual ca fiind incompresibile (modelul de fluid Pascal). În tabelul 2.2 sunt prezentate valorile modulului de compresibilitate al apei la temperaturi uzuale.

Tabelul 2.2 – Variația modulului de compresibilitate al apei cu temperatura

Pentru gazele comune, precum oxigenul și azotul, modulul de elasticitate depinde de natura procesului. Astfel, pentru procese izotermice, modulul de elasticitate al unui gaz este egal cu valoarea presiunii acestuia, relație determinată pornind de la ecuația de stare (2.84) pentru

(2.48)

Înlocuind rezultatul anterior în (2.48), după cum a fost enunțat anterior

(2.49)

Procedând similar, pentru evoluții adiabatice (fără variație a căldurii,

), se obține

(2.50)

unde este raportul dintre căldurile specifice la presiune constantă și

la volum constant , cunoscut și ca exponet adiabatic.

Pentru un amestec de mai multe fluide, , modulul de elasticitate echivalentă () se determină considerând că variația totală a volumului amestecului este rezultatul variațiilor de volum pentru fiecare component

Relația anterioară mai poate fi rescrisă în forma

(2.51)

unde reprezintă participațiile volumice ale constituenților amestecului.

2.2.2.1 Celeritatea sunetului,

Cu ajutorul proprietăților de compresibilitate și elasticitate pot fi explicate și alte fenomene asociate mecanicii fluidelor, precum cel de propagare a undelor sonore într-un mediu fluid (fenomene acustice), în legătură cu care se definesc doi parametri importanți în studiul fluidelor, respectiv celeritatea sunetului și numărul Mach.

Celeritatea sunetului, sau viteza sunetului, reprezintă viteza de propagare a sunetului (vibrațiilor sonore), fiind unul dintre parametrii care descriu propagarea undelor sonore în interiorul unui mediu continuu. Din punct de vedere mecanic, sunetele reprezintă vibrații (oscilații cu frecvențe relativ mari) ale particulelor unui mediu, pe care acestea le execută în jurul pozițiilor de repaus, datorita elasticității mediului. Aceste vibrații care se propagă în toate direcțiile cu aceeași viteză, pun în mișcare particulele vecine, care la rândul lor antrenează pe următoarele ș.a.m.d. Se formează astfel o serie de straturi care se comprimă și se dilată alternativ datorită mișcarii oscilatorii, cunoscute ca unde sonore. Cele perceptibile de aparatul auditiv omenesc au frecvențe în intervalul ~(20, 20000) Hz (hertz, după numele fizicianului german Heinrich Rudolf Hertz, 1857-1894; reprezintă numărul de vibrații care au loc într-o secundă). Astfel, viteza sunetului depinde de proprietățile mediului de propagare, în particular de densitatea și elasticitatea acestuia: viteza de propagare crește cu cât mediul este mai dens, implicit mai puțin compresibil, deci mai elastic.

Celeritatea sunetului într-un mediu fluid omogen se calculează cu relația

(2.52)

cunoscută și ca relația lui Ne ton a vitezei de propagare a sunetului, pentru a onora contribuțiile savantului în domeniul acusticii. Este similară cu cea a vitezei de propagare a undelor elastice longitudinale în solide, , unde

reprezintă modulul de elasticitate longitudinală al materialului (modulul lui Young, după numele fizicianului englez Thomas Young, 1773 –1829).

Exprimând raportul dintre elasticitate și densitate din ecuația (2.47),

rezultă forma generală a relației anterioare

(2.53)

care evidențiază faptul că propagarea undelor acustice într-un fluid se datorează variațiilor de presiune ca efect al compresibilității acestuia.

Din relația (2.52) se observă că viteza de propagare a sunetului în lichide este mult mai mare decât în gaze, deoarece compresibilitatea lichidelor este mult mai mică decât a gazelor, ceea ce face ca o perturbație a presiunii într-un punct să se propage rapid la punctele vecine. Astfel, în apă viteza de propagare a sunetului atinge valori în intervalul (1400-1500) m/s. Cunoașterea precisă a vitezei sunetului în apă este importantă într-o serie de domenii precum cartografierea acustică a fundului oceanic, aplicații ale sonarului subacvatic, comunicații etc.

În gaze, viteza sunetului depinde în primul rând de temperatură, influența presiunii fiind mult mai mică. De exemplu, viteza de propagare a sunetului în aer

crește cu (~3.6 %) în intervalul de temperatură

,

.

Intensitatea unui sunet descrește cu distanța fața de sursă, deoarece din punct de vedere fizic, propagarea vibrațiilor sonore implică și un trasfer de energie de la sursa vibrațiilor la mediul de propagare. La o anumită distanță () față de sursă, această energie este distribuită pe suprafața unei sfere (), care crescând proporțional cu pătratul distanței conduce la scăderea rapidă a fluxul de energie transportat prin unitatea de suprafață.

2.2.2.2 Numărul Mach,

Numărul Mach, după numele fizicianului austriac Ernst Mach (1838 – 1916), este un parametru definit de raportul dintre viteza relativă (v) a unui corp într-un fluid și celeritatea sunetului () în același fluid

v

(2.54)

fiind utilizat la clasificarea curgerilor fluidelor compresibile.

De asemenea, numărul lui Mach este o mărime adimensională care arată de câte ori este mai mare viteza unui corp decât viteza sunetului în acel mediu. Pentru Mach 1, viteza corpului este egală cu cea de propagare a sunetului în fluidul respectiv. Valorile subunitare ale numărului lui Mach semnifică viteze de deplasare subsonice, iar valorile supraunitare corespund vitezelor supersonice. În funcție de valoarea numărului Mach, sunt definite următoarele regimuri de mișcare a fluidelor

pentru mișcarea este subsonică, incompresibilă;

pentru mișcarea este subsonică, compresibilă; limita superioară este reprezentată de numărul Mach critic, : valoarea minimă a numărului Mach la care în domeniul curgerii apar regiuni de viteză egală cu cea a sunetului, ; uzual, se consideră , dar sunt situații când

;

pentru mișcarea este transonică, regimul de curgere fiind unul mixt, cu viteze subsonice în unele

regiuni și supersonice în altele; apar undele de șoc, limita superioară fiind determinată de stabilizarea acestora; uzual, valorile sunt în intervalul

();

pentru mișcarea este sonică;

pentru mișcarea este supersonică;

pentru mișcare hipersonică.

2.2.3 Vâscozitatea (, )

După cum a fost menționat în paragraful 1.1.1, fluidele au un comportament mecanic mai complex decât al solidelor elastice, tensiunile interne care apar în timpul deformarii (curgerii) fiind proporționale cu viteza de deformare. Apariția tensiunilor în interiorul unui fluid, precum și la nivelul suprafețelor de contact cu solidele cu care interacționează, se datorează forțelor de rezistență (frecare) internă care se opun celor ce determină mișcarea (curgerea) acestuia.

Proprietatea fluidelor de a opune rezistență la modificarea formei se numește vâscozitate. Este opusa fluidității, deci cu cât un fluid este mai vâscos, cu atât va curge (se va deforma) mai greu. Așadar, această proprietate se manifestă doar la fluidele în mișcare prin apariția unor tensiuni tangențiale de frecare vâscoasă între zonele adiacente de fluid, care se deplasează unele față de altele. Astfel,

vâscozitatea stă la baza mecanismului de transmitere a mișcării într-un fluid.

Constatarea a fost făcută de Newton și poate fi înțeleasă ușor pornind de la modelarea curgerii unui lichid între două plăci plan-paralele, dintre care una fixă și cealaltă în mișcare uniformă cu viteza v, sub actiunea forței , după cum este ilustrat în figura 2.14.

Fig. 2.14 – Modelarea curgerii unui fluid între două plăci plan-paralele

Pentru cazul în care placa mobilă are o suprafață () suficient de mare încât să poată fi neglijate efectele de capăt ale curgerii, mișcarea fluidului între cele două plăci poate fi descrisă conform următorului mecanism, considerând că acesta este format din mai multe straturi paralele. Astfel, primul strat, aderent la placa mobilă, se va deplasa cu viteza plăcii (v), după cum este prezentat în detaliul figurii. După un interval scurt de timp se pune în mișcare și cel de-al doilea strat, dar cu o viteză mai mică, v – v, …, descreșterea vitezei având loc până la ultimul strat de fluid, aderent la placa fixă, care va avea viteza egală cu zero. Variația vitezei pe direcția normală curgerii ( în figură) se datorează eforturilor tangențiale () care se exercită între straturile alăturate de fluid, iar relația care descrie această dependență este liniară (ipoteza lui Newton)

v

(2.55)

Constanta de proporționalitate caracterizează proprietatea de vâscozitate a fluidului și se numește coeficient de vâscozitate dinamică, sau simplu vâscozitate dinamică. Pentru situația ilustrată anterior în care viteza variază liniar pe direcția Oy, relația precedentă devine

(2.56)

Așadar, eforturile tangențiale sunt direct proporționale cu viteza relativă dintre plăci și invers proporționale cu distanța dintre acestea (h). De asemenea, prin raportare la direcțiile normală () și tangențială (), variația vitezei poate fi exprimată în forma

(2.57)

astfel încât, într-o formulare generală, relația (2.55) devine

v

(2.58)

cunoscută și ca legea lui Ne ton pentru efortul tangențial unitar de vâscozitate, în care v reprezintă gradientul vitezei pe direcția normală curgerii.

Unitatea de măsură a vâscozității dinamice în sistemul internațional este

După cum se oservă din relația (2.56), această proprietate poate fi interpretată ca reprezentând forța tangențială specifică unității de suprafață, , necesară antrenării unui strat de fluid cu viteza , măsurată în raport cu viteza altui strat aflat la distanța , de unde și denumirea. În numeroase probleme tehnice se utilizează vâscozitatea dinamică raportată la masa specifică (densitate), raport cunoscut ca vâscozitate cinematică (), deoarece din punct de vedere dimensional este definită de mărimi specifice cinematicii, lungime () și timp ()

(2.59)

Exprimând relația (2.58) în forma

(2.60)

vâscozitatea cinematică poate fi interpretată ca reprezentând coeficientul de difuzie al impulsului (masei specifice) într-un fluid omogen și incompresibil, deci este o proprietate de transfer caracteristică fluidelor. Astfel, transmiterea și disiparea energiei mecanice într-un fluid se datorează și acestei proprietăți. În sistemul tehnic, unitățile de măsură a celor două mărimi sunt

numită astfel în onoarea fizicianului francez Jean Louis Poiseuille (1797 – 1869), respectiv

după numele fizicianului George Gabriel Stokes.

La variația temperaturii, comportamentul gazelor este diferit de cel al lichidelor. În cazul gazelor, vâscozitatea depinde de parametrii de stare și poate fi exprimată cu o bună aproximație utilizând formula propusă de fizicianul de origine scoțiană William Sutherland (1859 – 1911)

(2.61)

unde reprezintă vâscozitatea dinamică în condiții fizice normale de presiune și temperatură: , respectiv , constantă de variație a vâscozității dinamice cu temperatura.

Pentru aer , respectiv .

La presiuni uzuale, vâscozitatea lichidelor variază doar cu temperatura. Pentru apă, vâscozitatea cinematică se poate calcula cu relația lui Poiseuille

(2.62)

unde reprezintă vâscozitatea apei în condițiile atmosferei fizice

normale, , temperatura apei, exprimată în grade Celsius.

Ca rezultat al forțelor de coeziune care se manifestă între moleculele unui fluid, la creșterea temperaturii se mărește vâscozitatea gazelor (crește viteza de deplasare a particulelor de gaz, deci se micșorează liberul parcurs molecular, implicit și fluiditatea gazului), iar vâscozitatea lichidelor se micșorează (se micșorează forțele de coeziune și crește fluiditatea), după cum se poate observa și din figura 2.15, unde sunt prezentate variațiile vâscozității dinamice pentru apă și aer în funcție de temperatură, pentru presiunea corespunzătoare atmosferei fizice normale.

Fig. 2.15 – Variația vâscozității dinamice pentru apă și aer, în funcție de temperatură

În funcție de dependența v, redată grafic în figura 2.16, se

poate face următoarea clasificare a materialelor

solide rigide, caracterizate de faptul că nu există deplasări între punctele care definesc solidul, sub acțiunea unor eforturi tangențiale,

solide deformabile,

fluide de tip Bingham, ideale, sunt materiale vâscoplastice, cu prag de curgere (); sub pragul de curgere se comportă asemeni solidelor, iar peste pot fi tratate precum fluidele newtoniene

(2.63)

fluide pseudoplastice, pentru care vâscozitatea descrește cu v, precum în cazul unor produse petroliere, sau a plasmei sanguine.

fluidele dilatante, pentru care vâscozitatea crește cu v, precum în cazul suspensiilor foarte concentrate, în care faza lichidă ocupă practic doar spațiul dintre particulele solide;

fluide Newtoniene, pentru care valoarea tensiunilor tangențiale este proporțională cu gradientul de viteză, conform legii lui Newton;

fluide ideale (perfecte), reprezintă un model teoretic de fluid, fără vâscozitate, caracterizat de valori mari ale gradientului de viteză și absența tensiunilor tangențiale, deci .

Fig. 2.16 – Clasificarea fluidelor în funcție de dependență v

Majoritatea fluidelor uzuale având structuri moleculare simple, precum apa și aerul, pot fi tratate ca fiind Newtoniene, fiind studiate în cadrul mecanicii fluidelor. Celelalte, având stucturi moleculare complexe și caracterizate de variații neliniare v, se numesc fluide ne-Newtoiene și constituie obiectul de studiu al reologiei. Pentru acestea, legea de variație a tensiunilor tangențiale cu gradientul de viteză poate fi exprimată în forma generală

(2.64)

unde și sunt constante care se determină experimental; se mai numește și indice de consistență a fluidului, iar factor de comportare a curgerii; pentru

Semnul () din relația anterioară se datorează faptului că transmiterea căldurii se realizează în sensul descreșterii temperaturii. După cum și figura anterioară arată, fluxul de căldură este o mărime vectorială, respectiv are direcție, sens, mărime și punct de aplicație, iar forma vectorială a ecuației de transmitere a căldurii este

(2.67)

unde reprezintă gradientul temperaturii.

Coeficientul de conductivitate depinde de natura fluidului și de temperatura acestuia, . Se determină experimental.

Corespunzător temperaturii atmosferei fizice normală (),

coeficienții de conductivitate ai apei și aerului au valorile

2.3 PROPRIETĂȚI FIZICE SPECIFICE LICHIDELOR

2.3.1 Tensiunea superficială ()

Tensiunea superficială a unui lichid este o mărime definită prin forța care se exercită tangențial pe unitatea de lungime de pe suprafața de separație a lichidului, datorită interacțiunii dintre moleculele de lichid din stratul superficial și moleculele din interiorul lichidului, după cum este reprezentat în figura 2.18

(2.68)

Fig. 2.18 – Acțiunea forțelor intermoleculare

Dacă în interiorul lichidului forțele de atracție dintre molecule se echilibrează reciproc, moleculele din stratul corespunzător suprafaței de separație suferă o atracție spre interiorul lichidului, în sfera de acțiune a forțelor intermoleculare, ceea ce determină o deformare (curbare) a suprafeței de separație. Astfel, tensiunea superficială intervine în calculul diferenței de presiune într-un punct al unei suprafețe curbe de contact dintre două lichide imiscibile, sau de la nivelul suprafeței de separație dintre un lichid și un gaz.

Dacă se notează cu și razele de curbură principale ale unui element de suprafață precum în figura 2.19 și cu tensiunea superficială pe contur, atunci pe laturile de lungime și vor acționa forțele , respectiv , ale căror rezultante (orientate înspre centrele de curbură, pe direcția normalei la suprafață) sunt

Fig. 2.19 – Acțiunea forțelor de tensiune superficială asupra unui element de suprafață

Suma acestor forțe este echilibrată de forța rezultantă de presiune (pe direcția normalei la suprafață). Astfel, rezulta următoarea relație cunoscută și ca formula lui Laplace (Pierre Simone de Laplace, 1749-1827, matematician și fizician francez)

(2.69)

Sub acțiunea forțelor de tensiune superficială, suprafața liberă tinde să devină minimă, precum în cazul bulelor de gaz, a căror formă tinde să devină

7 3

sferică, , caz în care diferența dintre presiunea din interiorul bulei și presiunea din exteriorul acesteia este . Deoarece starea de echilibru al unui sistem corespunde unui minim al energiei sale potențiale, tensiunea superficială poate fi interpretată și ca energia potențială superficială specifică unității de suprafață, situație în care relația (2.68) devine

(2.70)

Tensiunea superficială a unui lichid variază nesemnificativ în funcție de natura gazului cu care este în contact și scade odată cu creșterea temperaturii, devenind nulă la punctul triplu. În tabelul 2.3 este prezentată variația tensiunii superficiale a apei în contact cu aerul atmosferic la temperaturi uzuale.

Tabelul 2.3 – Variația tensiunii superficiale a apei cu temperatura

Una dintre metodele clasice de determinare a tensiunii superficiale este cea elaborată de fizicianul german Ludwig Ferdinand Wilhelmy (1812-1864) a cărui principiu este prezentat în figura 2.20.

Fig. 2.20 – Principiul de măsurare cu placa Wilhelmy

Tensiunea superficială () este determinată măsurând forța maximă () de interacțiune dintre suprafața lichidului și o placă plană de lungime și grosime

. În această situație, relația (2.68) devine

(2.71)

întrucât valorile unghiului de contact sunt mici la valorile maxime ale forței .

O metodă similară ca principiu este cea elaborată de Pierre Lecomte du Noüy (1883-1947), fizician francez, în care placa plană este înlocuită de un inel de diametru cunoscut (), executat uzual din fir calibrat de platină de rază (), precum în figura 2.21. Se elimină astfel influența unghiului de contact.

Fig. 2.21 – Principiul de măsurare cu inelul du Noüy

Aplicând relația (2.68) pentru cazul prezentat în figura anterioară, unde contactul dintre fluid și inel se realizează atât pe cercul definit de diametrul exterior, cât și pe cel definit de diametrul interior, rezultă

(2.72)

2.3.1.1 Unghiul de contact ()

După cum menționam în paragraful anterior, contactul dintre un lichid și o suprafața unui solid se face sub un unghi de racordare, numit unghi de contact, a cărui valoare este determinată din condiția de echilibru, static sau dinamic, al mediilor aflate în legătură. Se disting astfel, unghi de contact static, respectiv unghi de contact dinamic.

Pentru situația din în figura 2.22, în care un lichid (L) și un gaz (G) sunt în contact cu un perete orizontal (S), unghiul de contact se pote determina din ecuația lui Young, care esprimă condiția de echilibru (static) pe lungimea conturului comun, pe direcția tangentei la perete

75

(2.73)

întrucât pe direcția normalei la suprafața solidului, echilibrul este asigurat de reacțiunea peretelui.

Fig. 2.22 – Echilibrul forțelor pentru unghiul de contact static

Dacă

și , atunci , situație în care se consideră că lichidul udă suprafața cu care este în contact, precum în figura anterioară și figura 2.23(a),

și , atuci și se spune că lichidul nu udă suprafața, precum în figura 2.23(b).

Fig. 2.23 – Cazuri ale unghiului de contact

Cazurile particulare sunt descrise de relația , când echilibrul nu mai este posibil, iar , respectiv și lichidul se întinde pe suprafața peretelui, respectiv formează picături de formă elipsoidă, sau sferice dacă forțele gravitaționale sunt neglijabile.

În situațiile în care interacțiunea lichidului cu peretele se realizează în regim dinamic, precum în figura 2.24(b) când lichidul alunecă pe suprafața acestuia, se pot determina valoarea maximă () și cea minimă () ale unghiului de contact

reprezintă unghiul de contact la avansare,

reprezintă unghiul de contact la retragere.

Așadar, unghiul de contact reprezintă un indicator al modului în care materialele interacționează cu lichidele: dacă sunt hidrofile sau hidrofobe. Uzual, se determină utilizând metode optice.

Fig. 2.24 – Unghiurile de contact dinamic

2.3.1.2 Capilaritatea

Capilaritatea reprezintă fenomenul care rezultă ca o consecință a adeziunii fluidelor la suprafețele cu care intră contact și a tensiunii superficiale. Se manifestă prin apariția unei denivelări a suprafeței libere în tuburile capilare (tuburi subțiri, cu diametre () de ordinul milimetrilor) introduse într-un lichid, după cum este prezentat în figura 2.25.

Fig. 2.25 – Fenomenul de capilaritate pentru

(a) apă – sticlă, (b) mercur – sticlă

Astfel, sub acțiunea forței de tensiune superficială, orientată după unghiul față de suprafața tubului, suprafața liberă a lichidului urcă sau coboară în interiorul tubului capilar, formând un menisc concav, respectiv unul convex. Componenta verticală a acestei forțe este echilibrată de greutatea coloanei de lichid din tub. Din ecuația de echilibru se poate calcula înălțimea denivelării

(2.74)

unde este densitatea lichidului.

Pentru , sau , se obține relația lui Jurin, numită după numele

celui care a formulat-o, fizicianul englez James Jurin (1684–1850)

77

deci masa a moli de gaz ce conține un număr de molecule este

(2.82)

__________________________________________

De exemplu, masa molară a oxigenului () este

Similar, masele molare ale celorlalți constituenți ai aerului (azot, argon și dioxid

de carbon) sunt , și

. Ținând cont de participațiile volumice, , , și , pentru amestec (aer) rezultă

(2.83)

__________________________________________

Așadar, pentru un mol de gaz de volum , ecuația de starea a gazelor perfecte (2.77) devine

(2.84)

iar pentru un volum oarecare(de moli)

(2.85)

unde raportul dintre și masa molară

(2.86)

reprezintă o constantă carecteristică pentru gazul studiat.

__________________________________________

Pentru aer și costituenții săi, această constantă are valorile:

, , , , respectiv

.

__________________________________________

Exprimând masa molară precum în relația (2.81), relația (2.85) se poate

scrie și în forma

(2.87)

în care raportul dintre constanta universală a gazelor și constanta lui Avogadro reprezintă constanta lui Boltzmann

83

2.4.4 Transformări termodinamice ale fluidelor barotrope.

Termenul barotrop(ă) este preluat din meteorologie și exprimă un model de atmosferă pentru care există o legatură directă între presiune și densitate exprimată în forma , numită și ecuație barotropică. Astfel, se numesc barotrope fluidele a căror densitate poate fi exprimată sub forma unei funcții a cărei unică variabilă este presiunea.

Cea mai simplă legătură dintre presiunea și densitatea unui gaz se obține pornind de la ecuația de stare (2.89), când temperatura este constantă. În această situație și raportul dintre presiune și densitate reprezintă o constantă,

. Se spune că gazul suferă o transformare izotermă, dacă raportul

rămâne constant chiar și atunci când presiunea și densitatea variază în timp.

În general, procesele în care au loc variații ale parametrilor de stare se numesc transformari (sau evoluții) termodinamice. Studiul acestora se face detaliat în termodinamică, care pune accentul pe caracteristicile și mărimile de stare specifice fluidelor.

În studiile de dinamica gazelor se deosebesc următoarele legi de variație

a densității în funcție de presiune:

variație izotermă (la temperatură constantă)

(2.117)

în care și reprezintă parametrii fluidului într-o stare de referință,

variație adiabatică (fără schimb de căldură cu mediul exterior)

(2.118)

unde reprezintă raportul dintre căldurile specifice, la presiune constantă, respectiv la volum constant, cunoscut și ca exponentul transformării adiabatice,

variație politropică (transformare generală)

(2.119)

în care reprezintă exponentul transformării politropice.

85

(3.23)

Când se cunosc componenetele , potențialul forțelor masice se determină prin integrare

(3.24)

În aceste condiții, relația (3.12) capătă forma

(3.25)

de unde prin integrare se obține

(3.26)

Relația (3.26) reprezintă ecuația fundamentală a staticii fluidelor și exprimă principiul conservării energiei aplicat unei mase de fluid în repaus. Constanta de integrare () are dimensiunea unei energii masice unitare și se determină din condiții la limită cunoscute. Prin analogie cu , mărimea

(3.27)

se numește potențialul forțelor de presiune, iar ecuația fundamentală a staticii fluidelor poate fi rescrisă și în forma compactă

(3.28)

Suprafețele pentru care se numesc echipotențiale. Pentru fluidele incompresibile, sau compresibil barotrope aflate în repaus, se remarcă următoarele proprietăți ale suprafețelor echipotențiale.

Din condiția rezultă că și . Asadar, într-un fluid în repaus, suprafețele echipotențiale sunt și izobare, implicit izodense (

) și izoterme (), precum suprafețele de separație lichid-gaz (suprafețele libere ale lichidelor), sau lichid-lichid în cazul lichidelor imiscibile aflate în contact.

Suprafețele echipotențiale nu se intersectează, deoarece în caz contrar, în punctele de intersecție presiunea ar avea valori diferite.

Forța masică unitară este perpendiculară pe suprafețele echipotențiale

(3.29)

Așadar, suprafețele echipotențiale sunt astfel orintate încât rezultanta forțelor masice exterioare să fie perpendiculară pe acestea, după cum este prezentat în figura 3.3 în cazul suprafeței libere a unui lichid într-un vas, prezentat în poziție verticală și înclinat. De asemenea, oricare dintre suprafețele interioare fluidului care sunt paralele cu cele de separație sunt suprafețe echipotențiale, întrucât este perpendiculară și pe acestea. După cum am precizat și anterior, este orientată în sensul scăderii energiei potențiale, deci în sensul creșterii presiunii, întrucât

Acestea reprezintă condițiile pe care trebuie să le

îndeplinească forța masică unitară astfel încât fluidul să rămână în echilibru, după cum am menționat într-una dintre observațiile de la sfârșitul subcapitolului anterior.

Fig. 3.3 – Orientarea suprafețelor echipotențiale într-un lichid în repaus

Pentru situația ilustrată în această figură, suprafețele echipotențiale () sunt reprezentate de suprafață liberă, unde presiunea absolută este constantă și egală cu cea atmosferică (), respectiv presiune relativă este nulă (), precum și de oricare dintre suprafețele paralele cu aceasta (marcate cu linii punctate). Sunt orientate astfel încât forța de atracție gravitațională este perpendiculară pe ele.

 Dacă forțele masice care acționează asupra unui fluid sunt foarte mici în comparație cu forțele de presiune, se poate considera că potențialul forțelor masice unitare este neglijabil, , iar relația (3.25) capătă forma

(3.30)

Astfel, după caz, în interiorul unui volum finit de fluid se poate considera că presiunea este constantă (precum în cazul unui fluid într-o conductă sub presiune) iar variațiile acesteia se transmit în toată masa fluidului. Această consecință este cunoscută ca principiul lui Pascal, pe baza căruia se construiesc amplificatoarele de forță (elevatorul hidraulic, presa hidraulică etc.), sau de presiune utilizate în acționările hidraulice și pneumatice.

În figura 3.4.a este prezentată schema de principiu pentru in multiplicator de forță, utilizat ca elevator hidraulic. Forța care se exercită asupra pistonului de diametru generează o suprapresiune (presiune manometrică) care se transmite în toată masa lichidului, inclusiv la nivelul suprafeței pistonului de diametru , rezultând forța cu ajutorul cărei se ridică automobilul

(3.31)

Fig. 3.4 – Schemele de principiu a) pentru elevatorul hidraulic și

b) multiplicatorul de presiune

În cazul (de-)multiplicatoarelor de presiune cele două pistoane sunt solidare, precum în figura 3.4.b, astfel încât forța exercitată pe suprafață primului piston este transmite și pe suprafața celui de-al doilea. Așadar

(3.32)

3.3 FORME PARTICULARE ALE RELAȚIEI FUNDAMENTALE A STATICII FLUIDELOR

3.3.1 Repausul fluidelor incompresibile în câmp gravitațional

După cum a fost specificat în paragraful 1.2, principale forțe masice care acționează asupra unui fluid sunt cele gravitaționale. Adoptând un sistem cartezian precum în figura 3.5, în care axa reprezintă verticala, în sensul creșterii altitudinii (natural în studiul atmosferei în

repaus), obținem următoarea expresie a potențialului forțelor masice unitare, relația (3.24)

(3.35)

Așadar, pentru fluide incompresibile (),

relația (3.26) devine

Fig. 3.5 – Fluid în

câmp gravitațional

Constanta de integrare se determină din condiții (la limită) cunoscute. În cazul unui lichid având greutatea specifică , aflat într-un vas precum în figura 3.6, se cunoaște valoarea presiunii la nivelul suprafeței libere , reprezentând presiunea atmosferică locală.

Fig. 3.6 – Variația presiunii într-un lichid

Astfel, dacă , iar relația anterioară devine

. (3.37)

Înlocuind (3.37) în (3.36) se obține

g

(3.38)

unde este cota de adâncime.

Această relație reprezintă legea de variație a presiunii în interiorul unui lichid, fiind cunoscută ca ecuația fundamentală a hidrostaticii. Cu ajutorul ei se poate calcula presiunea hidrostatică în interiorul unui lichid de densitate cunoscută. După cum se observă, presiunea într-un lichid omogen (), aflat în repaus în câmp gravitațional, este o funcție liniară de adâncime (crește liniar cu adâncimea). Valoarea presiunii maxime se înregistrează la baza vasului, la cota de adâncime maximă, și este egală cu .

Observații

În studiul lichidelor, orientarea naturală a sistemului de referință este cea pentru care axa este orientată în sensul creșterii adâncimii, precum în figura 3.7.

Fig. 3.7 – Sistemul natural de referință pentru studiul lichidelor în repaus

În această situație, potențialul forțelor masice devine

(3.39)

iar ecuația fundamentală a staticii fluidelor

(3.40)

Constanta se determină similar. Pentru , și se obține din nou relația (3.38). Așadar, ecuația fundamentală a hidrostaticii nu se modifică la schimbarea orientării sistemului de referință.

Presiunea hidrostatică este o suprapresiune presiune manometrică ,

, notată în mod curent cu , deoarece, după cum am menționat

în paragraful 2.1.1, în problemele tehnice curente, forțele care se dezvoltă in instalațiile hidraulice pneumatice sunt rezultatul diferenței dintre presiunea absolută din interiorul instalației și presiunea atmosferică exterioară.

Astfel, relația (3.38) se scrie uzual în forma

(3.41)

Dacă în cazul considerat anterior, la suprafața liberă a lichidului presiunea care se exercită are valoarea (presiunea manometrică exercitată de un alt fluid), precum în figura 3.8, aceasta se transmite în toată masa lichidului, astfel încât valoarea presiunii în interiorul lichidului va fi

(3.42)

Reprezentarea variației presiunii exercitate de un fluid pe pereții vasului ce-l conține reprezintă diagrama distribuției de presiuni, denumită și epură hidrostatică, figura 3.8.

Fig. 3.8 – Variația presiunii pe pereții un rezervor sub presiune

Presiunea pe care o exercită fluidul asupra pereților vasului se reprezintă pe direcție normală în puntul de aplicație, dinspre fluid spre suprafața pe care acesta acționează. Planul pentru care presiunea (relativă) este nulă se numește plan manometric. Poziția acestuia față de suprafața liberă este definită de înălțimea manometrică

(3.43)

Astfel, relația (3.42) se poate rescrie în forma

(3.44)

Pentru lichidele în repaus, planurile orizontale (perpendiculare pe vectorul rezultant al forței masice unitare, ) sunt planuri izobare (de presiune constantă) și reciproc. Așadar, suprafețele libere și de separație sunt planuri izobare. Astfel, nivelul unui lichid în vase care comunică între ele este același, dacă presiunea pe suprafațele de separație are aceeași valoare, după cum este prezentat schematic în figura 3.9. Acest fenomen este cunoscut ca principiul vaselor comunicante. Construcția manometrelor diferențiale U se bazează pe acest principiu, după cum este prezentat în paragraful 3.6.2

Fig. 3.9 – Principiul vaselor comunicante

3.3.2 Repausul relativ al lichidelor în câmp gravitațional

Un lichid se află în repaus relativ, dacă se află în repaus în raport cu un sistem de referință mobil, legat de vasul ce-l conține, dar execută o mișcare accelerată față de un sistem de referință oarecare. În cele ce urmează sunt prezentate două dintre situațiile frecvent întâlnite în practică

repausul relativ al lichidelor în mișcare de translație uniformă, cu aplicații în transportul lichidelor în rezervoare de dimensiuni mari și

repausul relativ al lichidelor în mișcare de rotație, cu aplicații în procesele de turnare centrifugală, proiectarea rotorilor paletați etc.

Viteza de propagare a sunetului se poate determină cu relația (2.52) considerând evoluții adiabatice ale aerului atmosferic, (), relația

(2.50)

(3.87)

3.5 FORȚE DE ACȚIUNE ALE FLUIDELOR ÎN REPAUS ASUPRA UNOR PEREȚI SOLIZI

Fluidele exercită forțe de presiune asupra pereților solizi cu care vin în contact. Determinarea acestora este necesară pentru dimensionarea conductelor, rezervoarelor, barajelor etc. din punct de vedere al rezistenței.

Forța elementară de presiune cu care un fluid acționează pe o

suprafață elementară (), precum în figura 3.16, este dată de relația

(3.90)

unde reprezintă presiunea statică în punctul în care se consideră elementul de suprafață , iar

este versorul normalei la suprafață, orientat în sensul de acțiune al forței (dinspre fluid spre perete).

Fig. 3.16 – Forța elementară de presiune

Forța rezultantă de presiune rezultă prin integrare, iar punctul ei de

aplicație se notează uzual cu (sau ) și se numește centru de presiune

(3.91)

24

3.5.1.1 Cazul fluidelor ușoare (gaze)

Modelul fluidului ușor corespunde în general gazelor și vaporilor, dar poate fi aplicat și în cazul lichidelor dacă forțele masice sunt mici (neglijabile) în raport cu cele de presiune. Având în vedere că presiunea în interiorul unui volum finit de gaz (fluid ușor) poate fi considerată constantă în toată masa acestuia,

, deci având aceeași valoare în orice punct al suprafeței (), relațiile (3.93) și (3.95) devin

(3.96)

(3.97)

unde este cota centrului de greutate al peretelui de suprafață .

Așadar, forța cu care un fluid ușor, în repaus, acționează asupra unui perete plan este egală cu produsul dintre presiunea fluidului și aria suprafeței peretelui, având punctul de aplicație (centrul de presiune) în centrul de greutate al peretelui .

3.5.1.2 Cazul fluidelor grele (lichide)

Pentru determinarea acțiunii exercitate de un lichid pe un perete plan, se consideră cazul general în care peretele este înclinat cu un unghi față de suprafața liberă a fluidului, pe care se exercită presiunea atmosferică locală. Într-un sistem de referință în care este planul suprafeței înclinate, precum în figura 3.17, valoarea presiunii la o adâncime , conform legii fundamentale a hidrostaticii (3.41), este dată de relația

(3.98)

Astel, relația (3.93) devine

(3.99)

Întrucât reprezintă momentul static al suprafeței înclinate față

de axa

26

(3.100)

unde este cota centrului de greutate a suprafeței înclinate pe axa .

Fig. 3.17 – Forța de presiune pe o suprafață plană înclinată

Astfel, relația (3.99) devine

(3.101)

,

unde reprezintă cota de adâncime a centrului de greutate () a suprafeței înclinate (). Așadar,

forța cu care un lichid în repaus acționează asupra unui perete plan este egală cu greutatea unei coloane din respectivul lichid, având ca bază suprafața peretelui, iar ca înălțime distanța de la centrul de greutate al suprafeței la planul manometric.

Pentru situația din figura anterioară, planul manometric coincide cu planul suprafeței libere a lichidului, întrucât valoarea presiunii absolute la nivelul suprafeței libere este cea corespunzătoare presiunii atmosferei (locale), presiunea (relativă) fiind nulă. În situația în care la nivelul suprafeței de separație acționează o suprapresiune , precum în figura 3.8, variația presiunii în interiorul lichidului este descrisă de relația

(3.102)

poziția planului manometric în raport cu suprafața de separație fiind dată de înălțimea manometrică , calculată cu relația (3.43).

Din relația (3.95) se obține următoarea expresie a vectorului de poziție a punctului de aplicație a forței de presiune

27

(3.103)

În acord cu sistemul de referință adoptat, coordonatele centrului de presiune sunt

(3.104)

respectiv

unde este momentul de inerție axial al suprafeței față de axa , este momentul de inerție centrifugal al suprafeței în raport cu

axele și ( se definește similar).

Dacă este plan de simetrie, atunci și . Într-un sistem de coordonate cu originea în centrul de greutate al suprafeței, relațiile

(3.104) devin, conform teoremei lui Steiner

(3.105)

unde este momentul de inerție axial al suprafeței față de axa .

este momentul de inerție centrifugal al suprafeței în raport cu axele se definește similar). Câteva exemple concrete se găsesc in tabelul 3.2.

Întrucât , din prima relația (3.1 5) rezultă că . Așadar

centrul de presiune () este situat întotdeauna sub cel de greutate (). De asemenea, poziția centrului de presiune este independentă de unghiul de înclinare al suprafeței.

28

După cum a fost menționat la începutul paragrafului, în general, componentele forței nu sunt concurente, astfel încât determinarea centrului de presiune se face pentru fiecare componentă în parte

(3.115)

respectiv

3.5.2.3 Forțe de acțiune a fluidelor ușoare pe pereți interiori închiși

În cazul acțiunii fluidelor ușoare () pe suprafețe interioare închise, precum în cazul rezervoarelor cilindrice, sau al conductelor, forțele de presiune rezultante sunt nule, deoarece proiecțiile algebrice , în acord cu relațiile (3.108). La acest rezultat se ajunge și dacă se descompune suprafața închisă în unele simple, după cum este prezentat din figura 3.19, care prezintă o conductă de diametru și lungime , conținând un fluid sub presiunea constantă

. Astfel, forțele care acționează pe suprafețele delimitate de planul de simetrie sunt egale și de sens contrar, , deci rezultanta lor este nulă.

Similar, și rezultanta care acționează pe suprafețele delimitate de este nulă.

32

Fig. 3.19 – Acțiunea fluidelor ușoare pe pereți curbi închiși

În schimb, acțiunea fluidelor pe astfel de suprafețe conduce la apariția unor eforturi în pereții rezervoarelor ce le conțin, calculul acestora fiind util la dimensionarea grosimii pereților. Astfel, conform relațiilor (3.107), forța de presiune exercitată de fluid asupra unei jumătăți de cilindru are componentele

(3.116)

Notând efortul unitar admisibil cu și grosimea peretelui cu , forța

maximă care se dezvoltă într-o secțiune a peretelui este

(3.117)

La limită, din egalitatea forțelor se obține

(3.118)

Pentru alte tipuri de suprafețe se obțin relații de calcul ale grosimii minime în mod similar. Pentru un rezervor sferic de diametru , sub presiunea , rezultă

(3.119)

Relațiile anterioară sunt valabile atât pentru gaze cât și pentru lichide,

dacă forțele masice sunt mici în raport cu cele de presiune.

3.4.2.4 Forțe de acțiune ale fluidelor pe pereți exteriori. Plutirea corpurilor

Acțiunea fluidelor pe pereți exteriori se exercită în cazul corpurilor, parțial sau total imerse într-un fluid, precum în figura 3.20, care arată plutirea unei nave maritime. În astfel de situații, fluidul acționează asupra solidului cu o forță verticală , numită forță arhimedică, în onoarea lui Arhimede (287–212 î.e.n), care a evidențiat și calculat acestă forță ca fiind egală cu greutatea volumului de fluid ( ) dezlocuit de solid

(3.120)

unde este densitatea fluidului.

Fig. 3.20 – Acțiunea forței arhimedice asupra unui corp plutitor

În funcție de raportul dintre greutatea solidului și forța arhimedică, există următoarele situații de echilibru

corpul plutește, dacă , (3.121)

corpul plutește submers, dacă , (3.122)

corpul se scufundă, în situația în care , (3.123)

unde este densitatea solidului și reprezintă volumul solidului. Plutirea și stabilitatea acesteia reprezintă condiții de bază în proiectarea navelor. Principalele caracteristici ale unui corp plutitor sunt indicate în figura anterioară.

Carena reprezintă partea corpului scufundată în fluid. Astfel, volumul de fluid dezlocuit reprezintă volumul de carenă, notat uzual cu , așadar . Pentru diferite înclinări ale corpului, carenele care rezultă au același volum (izocarene), în acord cu relația de echilibru în cazul plutirii.

Pescajul, notat cu , reprezintă cota de adâncime maximă a carenei.

34

3.6 INSTRUMENTE PENTRU MĂSURAREA PRESIUNILOR

Una dintre aplicațiile importante ale staticii fluidelor o reprezintă măsurarea presiunii cu instrumente a căror funcționare se bazează pe legea fundamentală a hidrostaticii, descrisă matematic de relația (3.41). Aceste aparate se mai numesc și manometre cu lichid, sau piezometre. Măsoară presiuni relative, exprimate în lungimi coloană de lichid (piezometric: lichidul utilizat pentru determinarea presiunii). Când determină presiunea într-un punct se numesc piezometre simple. Dacă măsoară diferența de presiune între două puncte, sunt piezometre diferențiale. De asemenea, dacă lichidul piezometric este cel a cărui presiune se măsoară se numesc piezometre directe.

Măsurarea presiunii se face și cu aparate ce funcționează pe baza altor principii, precum cele care utilizează elemente elastice sau traductoare electrice. Indiferent de natura instrumentului de măsură, fluidul a cărui presiune se măsoară este dirijat spre instrument prin intermediul unei prize de presiune, care poate fi

statică, când axa prizei este normală pe direcția curentului (pentru fluide în mișcare), figura 3.22 (a),

totală, când axa prizei este pe direcția curentului, precum în figura

3.22(b).

Fig. 3.22 – Prize de presiune

3.6.1 Tubul piezometric

Este cel mai simplu manometru și este constituit dintr-un tub, deschis la capătul superior, celălalt fiind conectat la un recipient ce conține un lichid sub presiune, superioară celei atmosferice locale (), precum în figura 3.23. Presiunile măsurate sunt relative la cea atmosferică, deci sunt suprapresiuni. Acest instrument poate fi utilizat doar în cazul lichidelor, când înălțimea de lichid în tubul piezometric este suficient de mare, astfel încât să fie sesizabile și măsurabile variațiile de presiune. Presiunea în punctul , exercitată de coloana de lichid de densitate () este

g (3.135)

Fig. 3.23 – Tubul piezometric

3.6.2 Manometre "U"

Denumirea se datorează formei acestora. Pot fi utilizat pentru măsurarea presiunii statice în interiorul ambelor tipuri de fluide (lichide și gaze). Conectarea la un recipient ce conține un gaz se face precum în figura 3.24. Densitatea lichidului piezometric () trebuie să fie mai mare ca cea a fluidului () a cărui presiune se măsoară. În cazul măsurătorilor în interiorul lichidelor, acestea și lichidul piezometric trebuie să fie imiscibile.

Fig. 3.24 – Manometrul diferențial "U"

Pentru manometrul din figura anterioară se pot scrie următoarele relații de echilibru

pentru brațul din stânga

g (3.136)

pentru brațul din dreapta

g (3.137)

De asemenea,

(3.138)

deoarece presiunea în interiorul unui fluid în echilibru static absolut este constantă la nivelul oricărui plan orizontal.

Astfel, presiunea (relativă la cea atmosferică locală) în punctul este

gg (3.139)

Dacă fluidul a cărui presiune se măsoară are densitatea mult mai mică decât cea a lichidului piezometric (), termenul g poate fi neglijat, iar presiunea poate fi aproximată cu relația

g (3.140)

Manometrele "U" pot fi utilizate și pentru măsurarea diferențelor de presiune în interiorul unui fluid, într-o configurație precum cea din figura 3.25.

Fig. 3.25 – Manometrul diferențial "U"

Pentru situația prezentată în figura anterioară

gg (3.141)

De asemenea, dacă , relația (3.141) poate fi aproximată cu

g (3.142)

O variantă îmbunătățită din punct de vedere constructiv a manometrului diferențial este prezentată în figura 3.26. Pentru a evita calculul presiunii prin citirea înălțimii de lichid piezometric pe ambele brațe, unul dintre brațe are diametrul mult mai mare în comparație cu celălalt, devenind practic un rezervor al lichidului piezometric. În acest caz, deplasarea de lichid piezometric pe brațul de diametru mai mare devine nesemnificativă. Planul de referință indică nivelul lichidului piezometric pentru o diferență nulă de presiune. Volumul de lichid piezometric transferat de pe un braț pe celălalt este

Fig. 3.26 – Variantă îmbunătățită a manometrului U

Diferența de presiune () este dată de diferența de nivel pe cele două brațe

(3.143)

Deoarece , raportul , deci poate fi neglijat, așadar

g (3.144)

Utilizarea mai multor tuburi piezometrice, conectate la același rezervor, precum în figura 3.27, permite măsurarea presiunii simultan în mai multe puncte. Tuburile formează un piezometru multiplu, sau baterie piezometrică.

Fig. 3.26 – Piezometru multiplu

În cazul determinării unor diferențe foarte mici de presiune, pentru a mări precizia de citire, se utilizează micromanometrele cu braț înclinat, figura 3.27. În acest caz, diferența de nivel () se determină ca funcție de lungimea de lichid piezometric () pe brațul micromanometrului și unghiul de înclinare al brațului ()

gg (3.145)

Fig. 3.27 – Micromanometru cu braț înclinat

3.6.3 Alegerea piezometrului adecvat

La alegerea piezometrului adecvat unei măsurători trebuie avute în vedere avantajele și/sau dezavantajele pe care le prezintă acestea. Principalele avantaje sunt

simplitatea din punct de vedere constructiv,

nu necesită calibrare, presiunile măsurate fiind determinate conform principiului fundamental al hidrostaticii.

Dintre dezavantaje, se pot menționa următoarele aspecte

nu pot înregistra variații rapide de presiune,

este dificilă determinarea unor diferențe mici de presiune.

De asemenea, din punct de vedere practic, înălțimile de lichid piezometric sunt limitate la valori pentru care citirea este facilă, , deci în cazul utilizării mercurului ca lichid piezometric presiunea maximă care poate fi măsurată este . Pentru presiuni mai mari se utilizează manometrele cu element elastic.

3.6.4 Manometre cu element elastic

Sunt manometre a căror construcție se bazează pe principiul deformării unui element elastic sub acțiunea unei presiuni. Deformația este amplificată prin intermediul unui mecanism, astfel încât presiunea să poată fi determinată cu o precizie suficient de bună.

Sunt simple, ușor de montat și utilizat și pot măsura presiuni într-un domeniu extins. Principalele dezavantaje sunt legate de mecanismul de amplificare, ce nu permite realizarea unei precizii mari și de deformațiile remanente ale elementelor elastice, aceste aparate necesitând reetalonări periodice. Principalele tipuri constructive sunt prezentate în figura 3.28.

Fig. 3.28 – Manometre cu element elastic,

(a) – cu tub elastic, (b) – cu membrană elastică, c – cu burduf

Înmulțind relațiile anterioare cu versorii sistemului de referință și adunând pe coloană termenii, se obține expresia accelerației unei particule de fluid în referențial Euler

Din relația anterioară se constată că accelerația are are două componente

accelerația locală, (v), ce exprimă variația în timp a vitezei în punctele spațiului ocupat de fluid, conform abordării euleriene și

accelerația convectivă, sau de antrenare

ca rezultat al variației vitezei între punctele fluidului.

Observații

După cum am precizat anterior, mișcările fluidelor pentru care v se numesc staționare, sau permanente: într-un punct din interiorul spațiului ocupat de fluid, viteza este constantă în timp.

Cele pentru care v se numesc nestaționare (nepermanente): în același punct, viteza variază în timp.

Accelerația convectivă este nulă în cazul câmpurilor de viteză omogene, în care viteza este aceeași în toate punctele mediului fluid: mișcare uniformă.

Relația (4.13) este echivalentă cu

care reprezintă tocmai derivata substanțială a vectorului viteză a particulei, obținută prin aplicarea operatorului derivată substanțială

(1.133)

6

devine volum material. Astfel, volumul material reprezintă un caz particular al volumului de control. Pentru a diferenția cele două concepte, pentru caracteristicile volumului de control se utilizează notații distincte: .

4.5.2. Curentul de fluid. Linia de current. Traiectoria. Tubul de curent

Curentul de fluid reprezintă o masă de fluid aflată în mișcare.

Linia de curent este curba tangentă la vectorii viteză ai particulelor care la un moment (), se găsesc pe această curbă (figura 4.10). În general, forma linilor de curent se modifică în timp: cazul mișcărilor nepermanente, în care parametrii fluidului variază în timp, în același punct. Ele își păstrează forma în cazul mișcărilor permanente.

Fig. 4.10 – Linii de curent în jurul unui profil aerodinamic

Prezintă două proprietăți importante, și anume

Liniile de curent nu se intersectează, cu excepția unor puncte, numite puncte critice, în care viteza este nulă, precum în punctele de stagnare (), după cum este prezentat în figura 4.11 în cazul unui profil aerodinamic (bordul de atac și bordul de fugă reprezintă puncte de stagnare), sau infinită, precum în centrul unei surse. Printr-un punct al spațiului ocupat de un fluid nu poate trece la un moment dat decât o singură linie de curent, deoarece într-un punct nu pot exista simultan mai multe particule cu viteze diferite. În consecință, o particulă printr-un tub de curent se mișcă pe aceeași linie de curent.

Fig. 4.11 – Exemple de puncte de stagnare (PS)

Liniile de curent umplu în întregime spațiul ocupat de curentul de fluid.

Ecuația diferențială a liniilor de curent, în formă vectorială, se obține din condiția de tangență a vitezei la linia de curent, caz în care vectorul viteză vvv v are aceeași direcție cu variația vectorului de poziție

(pentru variații mici ale ). Astfel v, sau

v (4.49)

La momentul , sistemul ecuațiilor diferențiale al liniilor de curent este

(4.50)

v

În mișcările nestaționare, v, liniile de curent își modifică forma în timp. După cum am menționat anterior, în cazul mișcărilor staționare liniile de curent coincid cu traiectoriile particulelor.

Traiectoria unei particule de fluid reprezintă drumul parcurs de aceasta în mișcarea sa. Traiectoriile pot fi vizualizate experimental, după cum este prezentat în figura 4.12 în cazul unui profil aerodinamic.

Fig. 4.12 – Vizualizarea curgerii în jurul unui profil aerodinamic

Ecuația diferențială a traiectoriilor este dată de relația

v (4.51)

La momentul , raportând mișcarea la sistemul triortogonal (),

relația anterioară este echivalentă cu sistemul de ecuații

(4.52)

v

Pentru a le integra sunt necesare condițiile inițiale la momentul , obținându-se astfel ecuațiile traiectoriei în forma (4.1).

Suprafața de curent este suprafața formată din toate liniile de curent care se sprijină la un moment dat pe o curbă () de formă oarecare. Dacă respectiva curbă este una închisă, simplu conexă, atunci suprafața de curent este una tubulară, formând un tub de curent, precum în figura 4.13.

Fig. 4.13 – Tub de curent

Observație Deoarece viteza este tangentă la pereții tubului de curent, rezultă că prin suprafața acestuia nu se face schimb de masă.

Secțiunea transversală a unui tub de curent, numită și secțiune normală (), reprezintă suprafața perpendiculară pe toate liniile de curent care o străbat. Este o suprafață plană dacă liniile de curent sunt paralele, precum și în figura 4.14, sau curbă în caz contrar, precum .

Fig. 4.14 – Secțiuni normale într-un tub de curent

Perimetrul udat () reprezintă lungimea conturului secțiunii transversale a unui tub de curent, mărginită de pereți solizi. Raza hidraulică () reprezintă raportul dintre aria secțiunii normale a curentului și perimetrul udat. Diametrul hidraulic (), sau echivalent hidraulic, reprezintă un parametru utilizat în cazurile în care secțiunea de curgere nu este circulară. Se determină cu relația

(4.53)

În figura 4.15 sunt prezentate două situații de calcul ale diametrului hidraulic, frecvent întâlnite în practică. Pentru situația curgerii printr-o conductă circulară sub presiune (fluidul ocupă întreg spațiul interior al conductei), figura 4.15(a), perimetrul udat este , iar diametrul hidraulic . Așadar, la curgerea prin conducte circulare sub presiune, diametrul hidraulic este egal cu cel geometric. În cazul curgerii unui lichid printr-un canal dreptunghiular de lățime , figura 4.15(b), perimetrul udat și diametrul hidraulic sunt , respectiv , unde reprezintă cota de adâncime a lichidului în canal.

Fig. 4.15 – Perimetrul udat și diametrul hidraulic la

(a) curgerea sub presiune printr-o conducta circulară, (b) curgerea printr-un canal dreptunghiular

Tubul elementar de curent reprezintă un tub de secțiune suficient de mică (), astfel încât se pot neglija variațiile parametrilor fluidului (viteze, presiuni, …) în secțiunile normale, precum în figura 4.16. Fluidul din interiorul unui tub elementar de curent formează un fir de fluid. Dacă secțiunea transversală a tubului elementar de curent tinde către zero în jurul unui punct, atunci firul de curent reprezintă tocmai linia de curent care trece prin acel punct.

Fig. 4.16 – Tub elementar de curent

Mărimea caracteristică unui tub de curent este debitul acestuia. Debitul unui curent de fluid reprezintă cantitatea de fluid care trece printr-o secțiune în unitatea de timp. În funcție de modul de exprimare a cantității poate fi

 Debit volumic , sau simplu ; reprezintă volumul de fluid care trece printr-o secțiune, în unitatea de timp

(4.54)

Exprimând volumul care trece printr-o suprafată fixă în intervalul de timp , precum în figura 4.17

Fig. 4.17 – Debitul printr-o suprafață elementară

v

(4.55) vv v () ()

v (4.56)

()

unde este versorul normalei la suprafața elementară .

Așadar, în formă integrală, debitul unui curent de fluid printr-o suprafață

() reprezintă fluxul vectorului viteză v prin respectiva suprafață.

Debit masic sau ; reprezintă masa de fluid corespunzătoare debitului volumic. Pentru un fluid omogen ()

(4.57)

În formă integrală, debitul masic se exprimă cu relația

(4.58)

Prin definiție, fluxul de materie (fluid) printr-o suprafață reprezintă cantitatea de materie (fluid) care trece în unitatea de timp prin respectiva suprafață.

Debitul gravific, sau de greutate , reprezintă greutatea de fluid corespunzătoare debitului masic

(4.59)

iar în formă integrală

(4.60)

Multe dintre cazurile de interes tehnic, precum curgerea prin conducte (simple sau ramificate), pot fi studiate tratând conductele ca tuburi de curent elementare.

4.5.3 Vârtejul. Linia de vârtej. Tubul de vârtej

Vârtejul, sau turbionul unei particule fluide, este vectorul definit de relația

(4.61)

unde este vectorul ce definește rotorul vitezei, relația (1.130),

i j

v v v

Astfel, componentele scalare ale vârtejului sunt

(4.62)

Mișcările pentru care v se numesc irotaționale. Din punct de vedere fizic, vârtejul unei particule reprezintă viteza unghiulară medie de rotație a particulei în jurul unei axe ce trece prin centrul ei de greutate.

(5.15)

iar ecuația (5.13) devine

(5.16)

și este cunuscută ca formula lui Lagrange. Exprimând produsul vectorial mixt sub forma unui determinant simbolic, precum în relația (1.61)

v v (5.17)

rezultă că ultimul termenul este nul și în situațiile în care mișcarea este

v v v

astfel încât, pentru curgeri staționare și oricare dintre cazurile precedente, ecuația de mișcare devine

(5.18)

Întrucât termenii din relația anterioară au dimensiuni de energii specifice unității de masă, suma lor se notează uzual cu și este cunoscută ca funcția lui Bernoulli, iar relația

(5.19)

exprimă legea de conservare a energiei (mecanice) corespunzătoare unității de masă a unui fluid.

5.1.1.1. Ecuația lui Bernoulli pentru fluide incompresibile

Câteva forme particulare ale relației (5.19), aplicabile în calculele curente, se obțin pentru

fluide incompresibile (), respectiv lichide și gaze a căror evoluție are loc în domeniul subsonic incompresibil (convențional, gaze a căror viteză medie nu depășește ), caz în care

(5.20)

fluide în câmp gravitațional; prin raportarea la un sistem de referință având axa verticală () orientată în sensul creșterii altitudinii,

, , deci

(5.21)

În aceaste condiții, ecuația (5.19) devine

(5.22)

Relația (5.22) este cunoscută și ca ecuația lui Bernoulli pentru fluide incompresibile, în mișcare permanentă pe o linie de curent. În aceasta formă, toți termenii reprezintă energii specifice unității de masă ( în SI de unități), respectiv

energie cinetică v,

energie potențială de presiune ,

energie potențială de poziție .

Pentru două puncte (1) și (2) de pe o linie de curent rezultă

(5.23)

unde reprezintă energia specifice unității de greutate ( în SI de unități).

Relația lui Bernoulli se poate exprima și sub alte două forme. Astfel, dacă termenii din ecuația (5.23) se împart cu , rezultă

(5.24)

unde este energia specifică unității de greutate ( în SI de unități), iar reprezintă nivelul energetic al fluidului pe o linie de curent; această mărime este cunoscută și ca sarcină energetică.

5

Se observă că fiecare dintre termenii din relația anterioară au

dimensiunea unei energii specifice unității de greutate, sau a unei lungimi. Acest fapt permite reprezentarea grafică a expresiei pe o linie de curent, precum în figura 5.16 care prezintă parametrii curgerii printr-o conductă cu secțiune variabilă, cu diferență de nivel. Următoarele reprezintă

cota ( na lt ime) cinetica

Fig. 5.2 – Reprezentarea grafică a ecuației lui Bernoulli

Așadar, pe o linie de curent, parametrii unui fluid variază astfel încât nivelul energetic rămâne constant, .

A treia formă a ecuație lui Bernoulli se obține dacă înmulțim termenii ecuației (5.23) cu

(5.25)

unde reprezintă energia specifică unității de volum ( în SI de unități).

În această formă, termenii din ecuația lui Bernoulli au dimensiuni de energii specifice unității de volum, și reprezintă presiuni

presiune de pozit ie t a

Prin raportarea la un nivel de referință printr-un punct de pe o linie de curent, presiunea de poziție devine nulă, iar suma dintre presiunea statică și presiunea dinamică în punctul respectiv reprezintă presiunea totală ()

(5.26)

De asemenea, presiunea de poziție poate fi neglijată în situațiile în care forțele masice sunt semnificativ mai mici decât cele de presiune, precum în cazul gazelor.

5.1.1.2. Ecuația lui Bernoulli pentru fluide compresibile

Pentru fluide compresibile (), în câmp gravitațional, rezolvarea ecuației (5.20) depinde de caracterul transformării pe care o suferă fluidul: izotermă, izentropică, sau politropă.

Astfel, pentru o transformare generală (), caracterizată de exponentul politropic , potențialul forțelor de presiune pentru două stări succesive este

(5.27)

iar ecuația lui Bernoulli devine

(5.28)

În cazul unui proces izoterm , ecuația lui Bernoulli are forma

(5.29)

7

5.1.2. Puterea unui curent de fluid

Prin definiție, puterea () reprezintă mărimea fizică scalară cu ajutorul căreia este evaluat schimbul de energie () dintre sisteme, în unitatea de timp

(5.30)

unde reprezintă energia specifică unității de masă (). Întrucât pentru fluide, raportul dintre masă și timp reprezintă debitul masic conform relației (4.57), rezultă că puterea elementară () a unui curent de fluid într-o secțiune de arie este egală cu produsul dintre energia specifică unității de masă (), relația (5.23) și debitul masic elementar () care traversează secțiunea

(5.31)

unde reprezintă viteza pe direcția normală la , . Astfel, puterea curentului de fluid în secțiunea este

(5.32)

Dacă viteza este constantă în secțiunea de curgere (egală și cu viteza medie), puterea totală a curentului este

(5.33)

Fig. 5.3 – Tub elementar de curent

Astfel, volumul de fluid ce traversează secțiunea de arie , în timpul , se poate exprima cu relația

v, (5.56)

unde v este viteza fluidului, constantă la nivelul unei secțiuni normale a tubului de curent.

Masa elementară de fluid corespunzătoare volumului ( ) este

v (5.57)

iar variația acesteia în timp (), reprezentând debitul masic ,

(5.58)

Debitul masic instantaneu, în fiecare secțiune de curgere, se obține prin integrare

vv v (5.59)

unde este aria secțiunii de curgere pe direcția normală la curentul de fluid.

Ținând cont de principiul conservării masei,

vvv (5.60)

Pentru fluide incompresibile () se utilizează frecvent debitul volumic (), iar ecuația continuității devine

v v v (5.61)

unde vv v sunt vitezele medii ale fluidului în secțiunile .

Astfel, viteza medie într-o secțiune de curgere, notată cu v, sau simplu v în calculele curente, este definită de ecuația

11

v (5.62)

Relațiile (5.6 ) și (5.11) sunt forme particulare ale ecuației de continuitate. Ele exprimă principiul conservării unei mase de fluid omogen în mișcare permanentă prin tuburi de curent cu formă fixă (pereți rigizi), precum în multe dintre cazurile de interes tehnic de curgere a fluidelor, care se realizează în tuburi de curent, simple sau ramificate (conducte).

5.4. Teorema impulsului

În mecanica generală impulsul ) unui punct material de masă () care se deplasează cu viteza (v) se definește ca fiind produsul v. Pentru un element de masă () dintr-un volum ( ), impulsul are expresia

vv , (5.68)

iar impulsul total

v (5.69)

Teorema impulsului

(5.70)

exprimă faptul că derivata în raport cu timpul a impulsului unui sistem este egală cu rezultanta forțelor exterioare care acționează asupra respectivului sistem.

5.4.1. Teorema impulsului în forma integrală

Pentru a transpune această teoremă în domeniul mecanicii fluidelor, se consideră un volum material ( ) de fluid, precum în figura 5.15, delimitat de o suprafață (), situație în care relația care reprezintă teorema impulsului aplicată unui volum de fluid devine

(5.71)

Calculul integralei din primul membru se face conform teoremei de transport a lui Reynolds. Astfel,

12

În această situație, datorită densității mici a aerului, forțele masice sunt neglijabile în raport cu cele de presiune, astfel încât (rezultanta forțelor de presiune pe suprafața exterioară a domeniului). Domeniul de integrare se poate transforma într-unul simplu conex considerând o suprafață (), delimitată de punctele (), care să unească suprafața exterioară (), delimitată de punctele () cu suprafața (), care definește conturul profilului, punctele ().

Astfel, ecuația (5.74) devine

(5.75) v v

A două integrală din membrul doi este nulă, fiind vorba de integrarea pe fețele suprafaței , orientate diferit.

Notând cu rezultanta forțelor de presiune care acționează asupra profilului, forța de presiune rezultantă pe suprafața va fi , care constituie

și rezultatul celei de a treia integrale. Așadar

(5.76)

5.4.2 Teorema impulsului la curgerea prin tuburi de curent

Rezultate mai simple, aplicabile în practica curentă, se obțin pentru cazurile în care domeniul ocupat de fluid poate fi asimilat cu un tub de curent.

Fig. 5.5 – Teorema impulsului pentru un tub de curent

Astfel, fie un fluid incompresibil de densitate () în mișcare permanentă printr-un tub de curent, care la un moment dat ocupă un volum mărginit de o suprafața (), precum în figura 5.18. Secțiunile laterale () și () sunt considerate normale (perpendiculare pe direcția de curgere). Masa de fluid conținută în această suprafață va ocupa la două momente succesive () și () pozițiile (), respectiv ().

În această situație variația impulsului () în intervalul de timp () se poate exprima ca diferența impulsului masei de fluid la cele două momente:

.

Deoarece am considerat că mișcarea este permanentă, impulsul masei de fluid conținută între secțiunile () și () rămâne constant în timp. Așadar, variația impulsului în intervalul () este dată de diferența dintre impulsul masei de fluid conținută în suprafața () și impulsul masei de fluid conținută în suprafața (). Așadar,

v v v v

vvvv

(5.77)

unde reprezintă debitul masic de fluid,

v, v sunt vitezele medii ale fluidului prin cele două secțiuni de calcul,

(), respevtiv ().

Pentru cazul considerat, forțele exterioare sunt forța de greutate () a fluidului din tubul de curent și forțele de presiune pe suprafețele de intrare

), ieșire () și forța de presiune exercitată de suprafața laterala a tubului de curent () asupra fluidului

(5.78)

Observații

sunt forțele de presiune cu care fluidul rămas în tubul de curent, în afara volumului de control, acționează asupra fluidului din interiorul acestuia prin intermediul suprafeței de intrare (), respectiv al suprafeței de ieșire (). Sunt normale pe aceste suprafețe și orientate înspre fluidul din interiorul volumului de control. Astfel, este orientată în același sens cu v, iar și v au sensuri contrare.

În multe din situațiile practice, prezintă interes forța , cu care fluidul din interiorul volumului de control acționează asupra suprafeței laterale, astfel încât relația (5.78) este echivalentă cu

(5.79)

și (5.77) devine

(5.80)

iar pentru situațiile în care

(5.81)

Relația care exprimă teorema momentului cinetic este o ecuație vectorială. Rezolvarea ei se face prin raportarea la un sistem de referință.

5.5. Aparate de măsură a vitezelor și debitelor bazate pe ecuația lui Bernoulli

Tubul Pitôt (sonde de presiune totală)

Este un instrument cu ajutorul căruia se pot determina (măsura) presiuni totale (), deci presiuni la nivelul punctelor de stagnare. Poartă denumirea celui care l-a inventat, inginerul francez Henri Pitôt (1695-1771). Este un tub de forma literei "", precum în figura 5.21, cu unul dintre capete plasat in lungul curentului de fluid, celălalt fiind racordat la un piezometru. Presiunea (totală) se determină conform relației fundamentale a hidrostaticii (3.31)

(5.105)

Fig. 5.21 – Tubul Pitôt

Dacă se cunoaște și presiunea statică (), se poate determina presiunea dinamică, implicit și viteza fluidului.

Sonde de presiune dinamică. Tubul Pitôt – Prandtl

Sunt dispozitive cu ajutorul cărora se pot determina (măsura) presiuni dinamice () obținute prin cuplarea unei sonde de presiune statică cu una de presiune totală la același piezometru (diferențial).

(5.106)

Având în vedere relația (2.8), se observă că sondele de presiune dinamică pot fi utilizate la determinarea vitezei locale a unui fluid de densitate cunoscută. Aparatele construite special pentru determinarea vitezelor în interiorul unui curent de fluid sunt cunoscure ca tuburi Pitôt – Prandtl, după numele celor care au avut o contribuție decisivă la realizarea lor. Schema constructivă a unui astfel de istrument este prezentat în figura 5.23.

Fig. 5.22 – Tub Pitôt-Prandtl

Este compus din două tuburi concentrice în formă de "", având aceeași priză de presiune totală. La nivelul tubului exterior se găsesc prizele de presiune statică. Sunt poziționate la o distanță suficient de mare față de priza de presiune totală, astfel încât curgerea în zona acestora să fie cât mai puțin perturbată de prezența tubului. Capătul plasat în curentul de fluid este profilat în funcție de domeniul vitezelor

semisferic pentru viteze în domeniul subsonic incompresibil, precum în figura 5.23,

semieliptic pentru viteze în domeniul subsonic compresibil,  conic pentru viteze în domeniul supersonic.

Astfel, pentru configurația din figura 5.22, viteza curentului de fluid (v) poate fi calculată cu relația

unde este densitatea lichidului piezometric, este densitatea fluidului a cărui viteză este măsurată, reprezintă indicația piezometrului diferențial.

Tuburile Pitôt-Prandtl prezintă avantajul simplității din punct de vedere costructiv, dar nu pot înregistra fluctuații rapide ale vitezei, datorită metodei de determinare a presiunii dinamice.

5.5.3 Tubul Venturi

Pentru determinarea vitezei medii a unui fluid incompresibil printr-o conductă, implicit și a debitului acestuia, se pot utiliza tuburile enturi (venturimetre), figura 5.23.

Principiul de determinare a vitezei medii (debitului) cu acest aparat este cel al restricționării controlate a secțiunii de curgere, datorită căreia apare o diferență de presiune între secțiunea maximă (din amonte) și cea minimă (din aval), care depinde de viteza medie a curentului, deci și de debit. Astfel, viteza medie și debitul pot fi exprimate în funcție de această diferență de presiune.

enturimetrele sunt alcătuite dintr-un ansamblu de tuburi conice, primul convergent (confuzor) urmat de unul divergent (difuzor) racordate la conducta pe care urmează să fie efectuate măsurători. Sunt prevăzute cu prize de presiune în zona de secțiune maximă (secțiunea de intrare în confuzor, egală cu secțiunea conductei) și zona de secțiune minimă .

Fig. 5.23 – Tub Venturi

Aplicând relația lui Bernoulli (5.58) între aceste secțiuni obținem

(5.108)

unde v și v sunt vitezele medii ale fluidului în secțiunile () și (), și sunt presiunile (staice) ale fluidului în cele două secțiuni, este densitatea fluidului a cărui viteză medie se măsoară.

Din ecuația continuității (5.31) se poate exprima viteza v vv

(5.109)

unde și sunt diametrele în secțiunile () și ().

Înlocuind relația (5.109) în (5.1 8) se obține următoarea relație de calcul a vitezei medii a fluidului în conducta de secțiune

(5.110)

Pentru configurația din figura 5.23, diferența de presiune este

Așadar, în funcție de indicația piezometrului diferențial, viteza vdevine (5.111)

Notând cu (constanta aparatului)

(5.112)

relația (5.111) se poate rescrie sub forma

(5.113)

Cunoscând viteza medie, debitul de fluid se calculează cu relația

(5.114)

Pentru a asigura o precizie ridicată în măsurători, geometria acestui instrument este astfel concepută încât să nu apară desprinderi ale curentului de fluid de pe suprafața tubului. Necesită un spațiu adecvat pentru montare.

Dispozitive similare ca principiu de funcționare tubului enturi sunt diafragma și ajutajul.

Fig. 5.24 – Principiul de funcționare al diafragmei

6. DINAMICA FLUIDELOR REALE

6.1 GENERALITĂȚI

Studiul mișcării fluidelor reale se realizează considerând și influența vâscozității acestora, care se manifestă prin apariția unor eforturi tangențiale de frecare vâscoasă () între straturile de fluid, precum și între fluid și suprafețele solide cu care acestea vin în contact, care conduc la modificări ale profilului de viteze. Astfel, una dintre principalele deosebiri față de mișcarea fluidelor ideale este legata de condițiile la limită la nivelul frontierelor solide, după cum este prezentat în figurile 6.1 și 6.2 în cazul curgerii gravitaționale a unui curent cu suprafață liberă.

Fig. 6.1 – Profilul de viteze într-un Fig. 6.2 – Profilul de viteze într-un

fluid ideal fluid real

Dacă în cazul fluidelor ideale, viteza particulelor la nivelul suprafaței solide se consideră tangentă la aceasta, precum în figura 6.1, în cazul fluidelor reale, viteza la perete este egală cu cea a peretelui, nulă pentru exemplul considerat.

6.1.1 Experimentele lui Reynolds. Curgeri laminare și curgeri turbulente

Curgerea fluidelor reale se poate produce în două regimuri distincte de mișcare din punctul de vedere al structurii fizice a acestora. Existența acestor două regimuri a fost pusă în evidență de fizicianul Osborne Reynolds, cu ajutorul unei instalații experimentale care în prezent îi poartă numele și a cărei schemă de principiu este prezentată în figura 6.3.

Aparatul lui Reynolds constă dintr-un rezervor de nivel constant, alimentat cu un apă, căruia i se atașează o conductă de golire, de diametru (), transparentă, prevăzută cu un robinet pentru reglarea debitului, respectiv a vitezei apei ( ) prin conductă. Pentru a putea vizualiza traiectoriile particulelor de apă, în conducta de golire este introdus un tub subțire prin care curge un lichid colorat, dintr-un recipient aflat în partea superioară.

Fig. 6.3 – Schema de principiu a "aparatului Reynolds"

Experimentele au relevat faptul că

la iteze mici de golire, curgerea firului de lichid colorat nu este perturbată de curgerea lichidului din rezervor (figura 6.4): curgere laminară;

la iteze mari cele două lichide se amestecă turbulent (figura 6.5): curgere turbulentă.

Fig. 6.4 – Curgere laminară Fig. 6.5 – Curgere turbulentă

Trecerea de la un regim de curgere la altul se face pentru aceeași valoare a raportului, denumit uzual număr Reynolds,

(6.1)

unde următoarele reprezintă

densitatea lichidului, vâscozitatea dinamică a lichidului, vâscozitatea cinematică a lichidului, v viteza de curgere,

diametrul conductei de golire; reprezintă dimensiunea caracteristică curgerii; pentru conducte cu secțiune necirculară se utilizează diametrul hidraulic, .

Numărul Reynolds este un parametru adimensional, cunoscut și ca invariantul Reynolds sau criteriul Reynolds, fiind utilizat pentru caracterizarea mișcării unui fluid vâscos.

În cazul apei, în practica curentă sunt acceptate următoarele valori pentru stabilirea celor două regimuri distincte de curgere. Astfel, pentru regimul este unul laminar, iar pentru regimul este turbulent complet dezvoltat. Aceaste valori depind de o serie de factori precum gradul inițial de turbulență al curentului de fluid, rugozitatea peretelui conductei, sau geometria instalației.

Pentru numere Reynolds în intervalul regimul de curgere este unul de tranziție, denumit și (turbulent) de tranziție. Aspectul traiectoriilor particulelor de fluid este unul oscilant, după cum este sugerat în figura 6.3. De asemenea, acest regim este caracterizat și de o instabilitate ridicată, pe traseul conductei putând fi vizualizate atât zone de curgere laminară cât și de curgere turbulentă, care pot alterna.

Trecerea de la regimul laminar la cel turbulent are loc dacă perturbațiile din curentul de fluid acumulează energie mai rapid decât cedează prin frecare vâscoasă, deoarece, din punct de vedere fizic, acest parametru reprezintă tocmai raportul dintre forțele masice inerțiale () și forțele de frecare vâscasă () care acționeză asupra particulelor de fluid. Pe direcția de curgere

(6.2)

Dacă mișcarea este lentă, forțele de inerție sunt neglijabile, iar numărul Reynolds tinde căte zero, . Odată cu creșterea vitezei, forțele de frecare devin neglijabile în raport cu cele de inerție, care devin dominante, caz în care numărul Reynolds tinde (teoretic) căre infinit, . Așadar, influența acestui parametru asupra mișcării unui fluid scade odată cu creștrea valorii , fapt relevat și de experimente, precum în cazul curgerii bidimensionale în jurul unui cilindru, ale cărei rezultate sunt prezentate schematic în figura 6.6. Astfel, la numere Reynolds foarte mici fluidul parcurge întreg conturul cilindrului, după cum este figurat în cazul (a).

3

Fig. 6.6 – Curgerea în jurul unui cilindru în funcție de Re

Odată cu creșterea numărului Reynolds, în spatele cilindrului apar mai întâi două vârtejuri simetrice fată de axa mișcării, cu sensuri de rotație opuse, care cresc cu valoarea , după cum este ilustrat în figurile (b) și (c). Pentru valori apropiate de

, din vârtejurile inițiale se desprind altele, formarea acestora având un caracter alternant, precum în figura (d), numită și alee de vârtejuri Bénard – Kármán, denumită după Henri Bénard (1874 – 1939) și Theodore von Kármán (1881 – 1963). Conform datelor obținute de von Kármán, curgerea este stabilă pentru un raport (

) = 0.281, unde reprezintă distanța dintre nucleele vârtejurilor, măsurată de direcția normală curgerii, iar este distanța dintre două vârtejuri succesive. Pentru valori ale de ordinul , vârtejurile se micșorează și devin neregulate, formând în spatele cilindrului o zonă de recirculare, cvasistabilă, precum în cazul cazul (e). Zona de recirculare se micșorează senificativ și devine stabilă pentru valoarea critică (numită și de automodelare) , figura (f). Ansamblul vârtejurilor care se formează la curgerea unui fluid peste un corp se mai numește și trenă de ârtejuri. Dimensiunea caracteristică curgerii, utilizată în calculul pentru cazurile prezentate anterior, este diametrul cilindrului.

Relația (6.1) se poate scrie și sub forma (generală)

(6.3)

unde reprezintă o dimensiune caracteristică curgerii.

În general, pentru cazul curgerilor exterioare, dimensiunea caracteristică curgerii este lungimea corpului. Pentru un profil aerodinamic, figura 6.7(a) se utilizează coarda acestuia (distanță dintre punctele extreme, bordul de atac, respectiv bordul de fugă), iar pentru o aripă portantă se utilizează coarda medie aerodinamică. Pentru un automobil, figura 6.7(b) se consideră ca lungime caracteristică distanța dintre puntea față și puntea spate (conform normelor SAE – Society of Automotive Engineers), dar sunt situații în care se utilizează și lungimea automobilului.

Fig. 6.7 – Lungimi caracteristice utilizate la calculul

6.1.2 Profilul vitezelor în mișcare laminară și în mișcare turbulentă

După cum a fost menționat la începutul acestui capitol, existența eforturilor tangențiale de frecare vâscoasă are ca efect modificarea mobilității particulelor și implicit modificarea profilului de viteze (legea de repartiție a vitezelor) într-un un curent de fluid.

Fig. 6.8 – Profilul de iteze în mișcare laminară

Pentru mișcările laminare, profilul vitezelor este unul parabolic, precum în figura 6.8. Viteza într-un punct din interiorul unei conducte de rază , aflat la distanța

fața de axa conductei, este dată de relația

5

v (6.4)

unde v este viteza maximă (în axa conductei).

Relația anterioară a fost dedusă analitic pentru mișcarea uniformă în regim permanent a unui fluid cu vâscozitatea dinamică , într-o conductă circulară de rază

(diametru ). Pentru modelarea curgerii se consideră un volum cilindric (caracteristic) de fluid, de rază și lungime , care alunecă în interiorul unui volum de formă inelară, de rază exterioară , precum în figura 6.9.

Fig. 6.9 – Modelul de calcul al profilului de iteze în mișcare laminară

În cazul mișcărilor uniforme în regim permanent forțele inerțiale sunt nule (accelerația particulelor de fluid fiind nulă). Așadar, pentru volumul de fluid considerat, forțele exterioare de presiune () de pe suprafețele și vor fi echilibrate de forța de frecare () care se exercită la nivelul suprafeței laterale .

Astfel

(6.5)

unde (v) reprezintă gradientul de viteză pe direcție radială, negativ după cum se observă în figura anterioară: creștea razei corespunde unei scăderi a vitezei, care devine nulă la nivelul peretelui interior al conductei.

După separarea variabilelor, se obține următoarea ecuație diferențială

(6.6)

Astfel, rezultă că iteza medie pentru curgerile laminare reprezintă jumătate din valoarea vitezei maxime.

În mișcarea turbulentă, profilul de viteze se aplatisează odată cu creșterea numărului Reynolds, devenind aproximativ logaritmic, după cum este prezentat în figura 6.10.

Fig. 6.10 – Profilul de iteze în mișcare turbulentă

Pe baza unor determinări experimentale, Ludwig Prandtl și Johann Nikuradze au stabilit că profilul de viteze în mișcarea turbulentă poate fi aproximat cu relația

v (6.14)

unde este distanța pe direcție radială, măsurată de la perete.

Pentru exponentul au fost determinate diferite valori, care depind de numărul Reynolds. Pentru domeniul Nikuradze a indicat , motiv pentru care relația (6.14) mai este cunoscută și ca legea unu pe șapte. Pentru a fost determinată valoarea iar pentru

are valoarea .

Raportul dintre viteza medie și viteza maximă depinde și el de valoarea numărului Reynolds. Astfel

(vv pentru ,

(vv pentru și

(vv când , precum în cazul mișcării unui fluid ideal.

8

6.1.3 Structura mișcărilor turbulente. Gradul de turbulență al unui curent de fluid

Specific curgerilor turbulente este faptul că parametrii caracteristici (viteză, presiune, densitate, temperatură) au valori fluctuante, aleatorii, în jurul unor valori medii, după cum este prezentat în figura 6.19 în cazul vitezei.

Fig. 6.19 – Profilul itezelor instantanee și al itezei medii (a), ariația itezei în regim nepermanent (nestaționar) (b)

Așadar, viteza instantenee (v) într-o curgere turbulentă poate fi exprimată sub forma

v v v , (6.50)

unde v este viteza medie temporală, dacă v este independentă de timp

(6.51)

sau viteza medie statistică dacă v v , precum în figura 6.19(b)

(6.51')

v reprezintă valoarea fluctuației în raport cu vitaza medie.

În raport cu viteza medie, fluctuațiile pot fi pozitive, dacă v v, sau negative în cazul în care v v. Conform proprietăților referitoare la calculul acestora, valoarea medie a fluctuațiilor este nulă prin definiție, v , nu și media pătratică a

acestora, v , definită similar vitezei medii

9

(6.52)

(6.53)

Astfel, v poate reprezenta o măsură orientativă a intensității fluctuațiilor vitezei. În practică se utilizează în mod curent gradul de turbulență (), exprimat în procente și definit de relația

(6.54)

unde reprezintă o viteză de referință; uzual pentru un curent de fluid de viteză , dar sunt situații în care .

Astfel, gradul de turbulență depinde de (Root Mean Square), dar și de modul în care se definește viteza de referință.

Relația anterioară corespunde situațiilor de turbulență izotropă, când mediile pătratice ale fluctuațiilor pe direcțiile sistemului de referință sunt egale, și se consideră gradul de turbulență după o singură direcție (cea de curgere).

Dacă se exprimă v în funcție de componentele ( ) corespunzătoare

sistemului de referință ales, relația anterioară se rescrie sub forma

(6.55)

unde reprezintă numărul componentelor vitezei, sau .

Cazul v în diferite puncte ale domeniului (media pătratică este independentă de poziție) corespunde unui turbulențe omogene.

Gradul de turbulență reprezintă un parametru important în mecanica fluidelor și în aplicațiile acesteia. În cazul aerodinamicii, este utilizat pentru evaluarea calitativă a rezultatelor testelor utilizând tunele aerodinamice, determinând gradul în care măsurătorilor efectuate în diverse astfel de instalații pot fi comparate între ele. În tunelele aerodinamice obișnuite gradul de turbulență poate avea valori destul de mari, . Pentru cele speciale, de mică turbulență, utilizate cu precădere în

10

6.5 NOȚIUNI GENERALE DE TEORIA STRATULUI LIMITĂ

După cum menționam și la începutul acestui capitol, existența eforturilor tangențiale de frecare vâscoasă care se manifestă în interiorul fluidelor reale, în mișcare, are ca efect modificarea profilului de viteze la nivelul suprafețelor corpurilor aflate în mișcare relativă față de fluide.

În cazul mișcărilor caracterizate de numere Reynolds mici, vâscozitatea acționează în tot domeniul de curgere, acestea fiind controlate în întregime de forțele vâscoase. Odată cu creșterea numărului Reynols, crește influența forțelor de inerție, iar domeniul de acțiune al vâscozității se restrânge la zona din imediata vecinătate a suprafețelor în contact cu fluidul, în interiorul căreia forțele de inerție au același ordin de mărime cu forțele vâscoase. Această zonă este denumită strat limită și este caracterizată de o grosime () mult mai mică decât lungimea () caracteristică curgerii.

Astfel, mișcarea în jurul unui corp poate fi studiată împărțind câmpul curgerii în două regiuni distincte, precum în figura 6.28, concept care a fost introdus de către Ludwig Prandtl

zona stratului limită și

zona exterioară stratului limită.

Fig. 6.28 – Câmpul mișcării conform teoriei lui Prandtl

Mișcarea în fiecare regiune este descrisă de modele matematice distincte, cu condiții la limită de racordare la interfața comună. Ecuațiile de mișcare a în zona exterioară stratului limită sunt cele care corespund fluidelor perfecte. Ecuațiile mișcării în interiorul stratului limită constituie simplificări ale ecuațiilor Navier-Stokes, sau Reynolds, obținute în ipoteza și din condiția egalității ordinelor de mărime ale forțelor de inerție și forțelor de vâscozitate.

23

Astfel, la curgerea unui fluid pe o suprafață solidă apar zone în care variația presiunilor în sensul curgerii poate să fie pozitivă sau negativă, după cum vitezele scad sau cresc. Domeniile pentru care se numesc și zone cu gradient de presiune favorabil, deoarece presiunea descrește în direcția de mișcare a fluidului, fenomen care tinde să accelereze fluidul în stratul limită, precum în punctul (A) din figura 6.33. Cele pentru care se numesc zone cu gradient de presiune nefavorabil și sunt cele pentru care distribuția de viteze are un aspect normal, zona (B – C) conform figurii 6.33. Situațiile pentru care corespund domeniilor în care apare fenomenul de inversare al sensului de curgere (de la C la D), delimitat de curba (C-E). Punctul (C) de debut al fenomenul de inversare al curgerii reprezintă punctul de desprindere al stratului limită de pe suprafața solidă, în care este îndeplinită condiția

(6.146)

Desprinderea stratului limită are ca efect formarea trenei de vârtejuri (dârei), care reprezintă o măsură a rezistenței aero(hidro)-dinamice a structurilor care evoluează în curenți de fluid, după cum este ilustrat în figura 6.34(b) în cazul unui profil care evoluează la unghiuri mari de atac ().

Fig. 6.34 – Desprinderea stratului limită și formarea trenei de ârtejuri

Astfel, o trenă de vârtejuri mare corespunde unei rezistențe aerodinamice ridicate.

Pentru a controla desprinderea stratului limită de pe suprafețele structurilor aerodinamice se utilizează diverse metode, care pot fi grupate în

metode pasive, fără aport de energie din exterior, în care geometria structurii este modificată utilizând turbulatori al căror rol este acela de a accelera local curentul de fluid, împiedicând în acest mod desprinderi masive ale acestuia, figura 6.35;

Fig. 6.35 – Controlul desprinderii stratului limită prin metode pasi e

metode active, cu aport de energie din exterior, în care controlul activ al curgerii se realizează prin suflarea stratului limită, precum în cazul utilizării efectului Coandă, ilustrat în figura 6.36;

Fig. 6.36 – Controlul desprinderii stratului limită prin metode acti e

Efectul Coandă reprezintă fenomenul de atașare a jeturilor de fluid pe suprafețele curbe peste care curg. Poartă numele savantului român Henri Coandă, care l-a observat pentru prima dată în 1910, în timpul testării unuia dintre avioane sale (Coandă-1910, primul avion cu reacție care a zburat). Astfel, în timpul zborului, Coandă a putut observa alipirea jeturilor de gaze arse de fuselajul avionului, deși evacuarea acestora se făcea transversal față de axa fuselajului. Ulterior, prin studierea și înțelegerea acestui fenomen, Henri Coandă trece la utilizarea practică a acestuia. Astfel, obține o serie de brevete de invenție, primul dintre ele în anul 1934 (Franța): Procedeu și dispoziti pentru de ierea unui fluid într-un alt fluid. Acesta este urmate și de alte invenții precum Aerodina Lenticulară, Dispozitiv pentru îmbunătățirea randamentului motorului cu combustie internă, Frâna de recul pentru armele de foc etc. În total, pe parcursul întregii cariere științifice, Henri Coandă a obținut 215 brevete de invenție referitoare la dispozitive ce utilizează efectul cere-i poartă și numele. Un efect similar se obține și prin utilizarea unor fante profilate adecvat prin care curenții având energie cinetică ridicată sunt dirijați în zonele cu gradient de presiune nefavorabil, figura 6.37.

Fig. 6.37 – Controlul stratului limită utilizând fantă bord de fugă (BF)

6.6 FORȚE ȘI MOMENTE AERO- HIDRODINAMICE

6.6.1 Introducere în aerodinamică

Interacțiunea dintre un curent de fluid (un gaz, sau un lichid) și un solid (denumit generic structură aeromecanică) aflat în mișcare relativă față de fluid, are ca rezultat formarea unei forțe rezultante () și a unui moment corespunzător (), ale căror componente sunt prezentate în figura 6.38 pentru un automobil, raportate la sistemul de referință al acestuia.

Fig. 6.38 – Forțele și momentele care acționează asupra unui automobil

În funcție de natura fluidului, forțele și momentele se numesc

aerodinamice, dacă fluidul este un gaz, precum în cazul aerului atmosferic,

hidrodinamice, dacă fluidul este un lichid, precum în cazul apei.

În cele ce urmează se vor face referiri doar la forțele aerodinamice, cele hidrodinamice fiind tratate similar. În figura anterioară, următoarele reprezintă

forța aerodinamică de rezistență la înaintare (),

forța aerodinamică laterală (),

forța aerodinamică de portanță (),

momentul aerodinamic de ruliu,

momentul aerodinamic de tangaj,

momentul aerodinamic de girație,

v viteza relativă a curentului de aer față de automobil, – unghiul dintre v și axa longitudinală a automobilului ().

Natura forței aerodinamice globale, precum și a componentelor ei, poate fi interpretată din două perspective diferite: cea a solidului, respectiv cea a aerului atmosferic prin care acesta se deplasează.

Astfel, din perspectiva structurii aeromecanice, valoarea forței pe care curentul de aer o exercită asupra acesteia se poate calcula prin integrarea pe suprafețele exterioare () a forțelor elementare care acționează asupra acestora

forțele de presiune, , pe direcție normală, respectiv

forțele tangențiale de frecare vâscoasă, , care se exercită în stratul limită ce se formează la nivelul suprafețelor corpului expuse acțiunii aerului.

(6.147)

Așadar, forța aerodinamică se poate scrie ca sumă a două componente, dintre care una de presiune () și a doua de frecare vâscoasă (

(6.148)

Evaluarea directă a celor două componente, separat, necesită cunoștințe detaliate despre distribuția de presiuni și eforturi tangențiale de frecare pe întreaga suprafață a structurii studiate. Aceste distribuții se obțin extrem de dificil pe cale experimentală, pentru corpuri complexe din punct de vedere geometric. Este practică doar în cazul anumitor suprafețe, unde distribuția de presiuni este rezonabil uniformă.

Calculul celor două componente se poate realiza cu o precizie suficient de bună cu ajutorul tehnicilor CFD utilizând un program de calcul adecvat. Uzual, componentele forței aerodinamice rezultante se pot evalua experimental în mod direct, cu ajutorul unei balanțe aerodinamice.

Din perspectiva curentului de aer, forțele aerodinamice se determină aplicând teorema impulsului (Euler) masei de aer cuprinsă într-un volum de control de mari dimensiuni din jurul solidului. În această direcție unul din rezultatele semnificative ale cercetărilor din domeniu a fost determinarea rezistenței la înaintare ca o consecință a trenei de vârtejuri care se formează în spatele corpului, ce își au originea în zonele de desprindere a stratului limită (de presiune ridicată). Astfel, o forță aerodinamică se poate determina experimental în mod indirect, prin determinarea variaței vitezelor (presiunilor) dintre două planuri situate în amonte, respectiv în aval față de structură, perpendiculare pe direcția de acțiune a forței.

Pentru a putea compara din punct de vedere aerodinamic diferite structuri se utilizează coeficienți adimensionali definiți cu relații de forma

(6.149)

(6.150)

unde reprezintă forța aerodinamică, respectiv momentul aerodinamic care acționează asupra structurii, reprezintă presiunea dinamică a curentului de aer neperturbat de prezența solidului, teoretic la infinit, aria de referință a structurii evaluate aerodinamic; în cazul unei aripi de aviație reprezintă suprafața aripii; pentru un automobil se consideră ca referință aria proiecției automobilului pe planul

transversal,

lungimea de referință (caracteristică) luată în considerare la calculul forțelor aerodinamice.

Un alt coeficient adimensional utilizat în studiile de aerodinamică este coeficientul de presiune () definit de relația

(6.151)

unde reprezintă presiunea statică măsurată într-un punct de pe suprafața structurii,

este presiunea statică a curentului de aer neperturbat, este presiunea dinamică a curentului de aer neperturbat.

Aplicând ecuația lui Bernoulli pentru calculul diferenței de presiuni statice

coeficientul de presiune poate fi exprimat și în funcție de viteze cu relația

(6.152) v

Modul în care un solid interacționează cu aerul atmosferic, poate fi evaluat și cu ajutorul diagramelor de variație ale coeficientului de presiune pe suprafața acestuia, figura 6.39.

Fig. 6.39 – Variația pe conturul unui automobil

Cu ajutorul acestor diagrame se poate determina componenta datorată distribuției de presiuni a forței aerodinamice globale ca fiind aria definită de curbele de variație ale coeficintului de presiune și, de asemenea, punctul de aplicație al acesteia, centrul aerodinamic (), în centru de greutate al respectivei arii.

6.7.3 Un cilindru de diametru și lungime este plasat într-un current de fluid având viteza v și densitatea de . Axa cilindrului este normală pe direcția de curgere a fluidului. Dacă forța de rezistență (hidrodinamică) este , să se calculeze coeficientul de rezistență hidrodinamică (). Dacă presiunea (relativă) într-un punct este , să se calculeze viteza în acest punct.

Soluție

Coeficientul de rezistență hidrodinamică se calculează cu relația (6.149), considerând ca referință aria secțiunii longitudinale, perpendiculară pe direcția curentului, . Astfel

Pentru calculul vitezei în punctul de presiune , se aplică relația lui Bernoulli între respectivul punct și unul în care parametrii fluidului sunt cei de referință, v și :

6.8 ECUAȚIA LUI BERNOULLI LA CURGEREA FLUIDELOR REALE. PIERDERI ENERGETICE

Ca orice fenomen fizic real și transportul fluidelor se realizează cu pierderi de energie hidraulică în cazul lichidelor, sau energie pneumatică în cazul gazelor. Calculul acestor pierderi se face pornind de la ecuația conservării energiei în cazul mișcării permanente a fluidelor incompresibile, în câmp gravitațional (ecuația lui Bernoulli 4.59) scrisă pentru două secțiuni de calcul

(coloană uid) (6.153)

Termenul din ecuația anterioară reprezintă tocmai pierderile energetice care apar la curgerea fluidului între secțiunile () și (). Sunt denumite și pierderi hidraulice sau pierderi de sarcină (hidraulică), uneori și rezistențe hidraulice. Astfel, reprezentarea grafică (figura 4.16) a ecuației lui Bernoulli devine pentru fluidele reale precum în figura următoare

Fig. 6.42 – Reprezentarea grafică a ecuației lui Bernoulli pentru fluidele reale

Așadar, energia specifică a unui fluid real variază între cele două secțiuni de curgere.

Deși din punct de vedere fizic, pierderile hidraulice în orice element al unei rețele sunt indivizibile, pentru ușurința calculelor, acestea sunt adesea împărțite

(convențional) pentru aceeași secțiune de calcul în

pierderi liniare, numite și distribuite,

pierderi locale, .

Ambele tipuri de pierderi se însumează după principiul suprapunerii pierderilor, pentru care se ia suma aritmetică a pierderilor distribuite și a pierderilor locale, deci

(6.154)

Practic, valoarea pierderilor liniare () este luată în considerare doar pentru componentele de lungime relativ mare sau atunci când este apropiată ca valoare de pierderile locale ().

În calculele moderne ale rețelelor hidraulice e mai convenabil să se opereaze cu coeficienți adimensionali ai pierderilor energetice deoarece, în curenții dinamic și geometric asemenea, valoarea acestor coeficienți este independentă de natura fluidului, de viteza curentului, precum și de dimensiunile componentelor calculate (pentru care se respectă asemănarea geometrică, egalitatea numerelor Reynolds și/sau a altor criterii de similitudine, dacă ele sunt importante).

În general pierderile de energie hidraulică se exprimă în raport cu termenul cinetic din ecuația lui Bernoulli, în forma generală

(6.155)

unde reprezintă coeficientul pierderilor energetice, denumit și coeficientul pierderilor hidraulice, coeficientul pierderilor de sarcină sau coeficient de rezistență hidraulică, este viteza medie pe secțiunea de calcul.

În funcție de coeficienții adimensionali caracteristici, relația (6.154) se poate scrie

(6.156)

unde reprezintă coeficientul de rezistență liniară,

reprezintă coeficientul de rezistență locală.

37

Principiul însumării pierderilor se aplică nu numai la calculul unui element separat al unei rețele hidraulice, dar și la calculul hidraulic al întregului ansamblu, adică suma aritmetică a pierderilor în diferitele elemente de pe traseu este egală cu rezistența totală a rețelei. În acest caz se iau în considerare și influențele reciproce ale elementelor ce compun rețeaua hidraulică, situate la distanțe mici unele față de altele.

6.8.1 Pierderile liniare (distribuite) de sarcină

Pierderile distribuite sunt provocate de vâscozitatea fluidului de lucru (atât moleculară, cât și turbulentă) și constituie rezultatul schimbului de impuls între molecule (în cazul mișcării laminare), precum și între particulele aflate în straturi învecinate ale fluidului, care se mișcă cu viteze diferite.

Valoarea acestor piederi de energie hidraulică este proporțională cu

lungimea traseului parcurs. Relația de calcul a acestor pierderi este

(6.157)

unde este coeficientului Darcy-Weisbach de frecare vâscoasă, după numele celor doi oameni de știință Henry Darcy (1803-1858) și Julius Weisbach (1806-1871) care au contribuit la formularea relației anterioare, cunoscută și ca relația Darcy-Weissbach, este lungimea traseului de secțiune constantă, pentru care se calculează pierderile liniare reprezintă diametrul hidraulic al secțiunii traseului parcurs de fluid, relația (4.15).

(4.15)

Din relațiile (6.156) și (6.157) rezultă Când raportul () este constant și fluidul este incompresibil, coeficientul de frecare vâscoasă () depinde de regimul de curgere (numărul Reynolds) și de rugozitatea relativă () a pereților elementelor hidrulice

(6.158)

unde este rugozitatea absolută: reprezintă înălțimea medie a asperităților exprimată în unități absolute de lungime, figura 6.43.

Fig. 6.43 – Definirea rugozității

Pentru regimul laminar (), coeficientul de frecare vâscoasă poate fi determinat analitic, urmând raționamentul prezentat în paragraful 6.1.2 pentru determinarea profilului de viteze în mișcarea laminară. Astfel, din relația (6.13)

rezultă (pentru , și )

(6.159)

iar prin înlocuire în (6.157)

(6.160)

Detalii despre calculul coeficientului de frecare vâscoasă sunt prezentate în capitolul referitor la hidraulica instalațiilor și mașini hidraulice.

Raportul dintre pierderile liniare () și lungimea () pe care acestea se calculează reprezintă panta hidraulică (J), sau pierderea de sarcină specifică (unității de lungime)

(6.161)

6.8.2 Pierderile locale de sarcină

Pierderile locale de presiune apar pe porțiuni scurte ale curgerii (numite și singularități) unde are loc o perturbare a curgerii normale, respectiv o variație a vectorului viteză medie ca modul și/sau direcție. Apar în locurile cu schimbări ale configurației traseului (difuzoare, confuzoare, coturi, filtre, armături etc.), la întâlnirea și ocolirea obstacolelor, sau la desprinderea curentului de pereții conductelor.

Relația generală de calcul a acestor pierderi este de forma (6.155)

39

(6.162)

Coeficientul rezistenței locale () depinde în special de caracteristicile geometrice ale elementului hidraulic considerat, dar și de alți parametri ai mișcării, precum

profilul vitezei la intrarea fluidului în elementul hidraulic examinat; la rândul ei, distribuția de viteze depinde de regimul de curgere, de forma intrării în element, de lungimea porțiunii drepte ce precede intrarea, de distanța până la diferitele părți prelucrate ale tronsonului sau obstacole etc.,

numărul Reynolds,

numărul Mach (pentru curgeri cu variații ale densității).

Coeficienții () se determină în majoritatea cazurilor pe cale experimentală, dar sunt situații în care se pot determina și expresii analitice, precum în exemplul referitor la curgerea cu variație bruscă a secțiunii, figura 6.44.

Fig. 6.44 – Curgerea cu variatie bruscă de secțiune

Pentru calculul rezistenței hidraulice () care apare la modificarea secțiunii de curgere din figura anterioară se aplică relația lui Bernoulli (6.153)

(6.163)

Diferența de presiune () se determină din teorema impulsului (4.76) aplicată unui volum de control cuprins între secțiunile () și (), pentru care greutatea () fluidului poate fi neglijată (în general )

6. ELEMENTE DE HIDRAULICA INSTALAȚIILOR ȘI MAȘINI HIDRAULICE

Hidraulica reprezintă una dintre aplicațiile mecanicii fluidelor în care sunt studiate curgerea lichidelor prin conducte și canalizări și funcționarea mașinilor hidraulice cu ajutorul cărora se realizează transportul acestor fluide. În acest capitol sunt prezentate elementele de bază ale hidraulicii, întrucât există numeroase monografii în care această disciplină este tratată în detaliu.

6.1 MIȘCĂRI PERMANENTE ÎN CONDUCTE SUB PRESIUNE

Problemele generale referitoare la trasportul fluidelor prin conducte sub presine sunt

determinarea unui diametru minim când se cunosc debitul necesar și configurația traseului hidraulic, estimând pierderile energetice pe acesta,

determinarea debitului maxim pentru un traseu hidraulic și pierderi energetice impuse,

determinarea pierderilor de sarcină minime pentru un traseu hidraulic dat și o valoare impusă a debitului.

Așadar, obiectivul principal al calculului conductelor sub presiune constă în estimarea și determinarea pierderilor energetice care apar la transportul fluidelor prin acestea. Calculul pierderilor se face pornind de la ecuația lui Bernoulli (4.59) scrisă pentru două secțiuni de calcul

(coloană uid) (6.1)

unde termenul din ecuația anterioară reprezintă tocmai pierderile energetice care apar la curgerea fluidului între secțiunile () și (),

(6.2)

După cum am menționat și în capitolul anterior, pierderile hidraulice () sunt împărțite pentru aceeași secțiune de calcul în

pierderi liniare, numite și distribuite,

pierderi locale, .

Ambele tipuri de pierderi se însumează după principiul suprapunerii pierderilor, pentru care se ia suma aritmetică a pierderilor distribuite și a pierderilor locale

(6.3)

Pierderile se exprimă în raport cu termenul cinetic din ecuația lui Bernoulli, în forma generală

(6.4)

unde reprezintă un coeficient (adimensional) caracteristic pierderii energetice.

În mod curent, în calculele moderne ale rețelelor hidraulice se operează cu coeficienții caracteristici pierderilor, deoarece în curenții dinamic și geometric asemenea valoarea acestora este independentă de natura fluidului, de viteza curentului, precum și de dimensiunile componentelor calculate (pentru care se respectă asemănarea geometrică, egalitatea numerelor Reynolds și/sau a altor criterii de similitudine).

6.1.1 Pierderi liniare. Calculul coeficientului lui Darcy

Pentru un traseu hidraulic de secțiune constantă, piederea distribuită de energie hidraulică este proporțională cu lungimea traseului parcurs și invers proporțională cu diametru traseului

(6.5)

unde

– este coeficientului Darcy-Weisbach de frecare vâscoasă, este lungimea traseului de secțiune constantă, pentru care se calculează pierderile liniare, reprezintă diametrul hidraulic al secțiunii traseului parcurs de fluid, relația (4.15).

Pentru situațiile în care traseul hidraulic este format din mai mai multe tronsoane cu secțiuni diferite, figura 6.1, pierderile liniare totale se obțin prin îsumarea pierderilor pe fiecare tronson.

2

Fig. 6.1 – Calculul pierderilor liniare pentru un traseu hidraulic format din tronsoane cu secțiuni diferite

Pentru situația ilustrată în figura 6.1, pierderea totală de energie distribuită este

(6.6)

Când raportul () este constant și fluidul este incompresibil, coeficientul de frecare vâscoasă () depinde de regimul de curgere (numărul Reynolds) și de rugozitatea relativă () a pereților elementelor hidraulice, relația (5.161).

Există următoarele cazuri de calcul al coeficientului de frecare vâscoasă , pentru care sunt utilizate frecvent următoarele relații.

6.1.1.1 Pentru curgeri laminare, , se calculează cu relația lui Stokes

(determinată analitic) și este funcție doar de numărul Reynolds

(6.7)

6.1.1.2 Pentru curgeri turbulente netede, , neinfluențate de rugozitatea

conductei (stratul limită acoperă asperitățile), se calculează cu relația lui Blasius

(6.8)

Din punct de vedere practic, acest regim de curgere corespunde unor numere Reynolds în intervalul și unei rugozități relative

.

6.1.1.3 Pentru curgeri turbulente complet dezvoltate, , în conducte rugoase, , se poate calcula cu una din relațiile

3

(6.9)

determinată de A. Altșul, sau

(6.10)

stabilită de Johann Nikuradze.

Valoarea numărului Reynolds de la care rugozitatea începe să influențeze curgerea (), deci și valoarea coeficientului de frecare vâscoasă, se poate poate aproxima cu relația (Pecornik)

(6.11)

6.1.1.4 Pentru regimurile de tranziție se poate utiliza relația lui Moody

(6.12)

Fig. 6.2 – Diagrama Moody

4

Rezultatele variației coeficientului de frecare vâscoasă în funcție de numărul Reynolds și de rugozitatea realativă au fost sintetizate și în formă grafică în diagrame precum cea a lui Moody, figura 6.2.

6.1.2 Pierderile locale de sarcină

Pierderile locale de presiune apar pe porțiuni scurte ale curgerii (singularități) unde are loc o perturbare a curgerii normale, respectiv o variație a vectorului viteză medie ca modul și/sau direcție.

Apar în locurile cu schimbări ale configurației traseului: difuzoare, confuzoare, coturi, ramificații, filtre, armături, la întâlnirea și ocolirea obstacolelor, la desprinderea curentului de pereții conductelor etc.

Relația generală de calcul a acestor pierderi este de forma

(6.13)

Dacă viteza variază între secțiunile de intrare și ieșire ale elementului hidraulic căruia i se determină pierderea de energie hidraulică, se calculează considerând viteza mai mare. Astfel, pentru exemplul din figura 6.1, pierderea de energie la modificarea secțiunii () este

Coeficienții () se determină în majoritatea cazurilor pe cale experimentală, determinându-se ulterior relații care să exprime dependența acestora de parametri caracteristici. O monografie care sintetizează rezultatele referitoare la majoritatea situațiilor întâlnite în practică a fost elaborată de I.E. Idelcik, Indrumător pentru Calculul Rezistentelor Hidraulice, publicată în limba română la Editura Tehnică, București, 1984.

6.1.3 Caracteristica unui traseu hidraulic

Caracteristica unui traseu hidraulic reprezintă dependența dintre pierderile de energie () și debitul () de fluid transportat. Se reprezintă uzual în formă grafică, precum în figura 6.3.

Datorită exprimării pierderilor energetice în funcție de termenul cinetic din ecuația lui Bernoulli, aceată dependență poate fi aproximată cu o funcție de gradul doi în forma

5

6.3 MIȘCĂRI EFLUENTE PERMANENTE

Caracteristic mișcărilor efluente sunt variațiile mari ale secțiunii de curgere în lungul curentului, însoțite de variații mari ale vitezelor și presiunilor. Curgerea fluidelor prin orificii/ajutaje și trecerea lichidelor peste deversoare sunt cele mai întâlnite astfel de mișcări.

Orificiul este o deschizătură practicată în peretele unui rezervor ce conține un fluid. În cazul lichidelor, orificiul se află sub nivelul suprafeței libere. Ajutajul reprezintă o conductă, relativ scurtă, montată la nivelul unui orificiu de golire, în scopul obținerii unui jet dirijat și a creșterii debitului. Deversoarele reprezintă cazuri particulare ale orificiilor mari, practicate în partea superioară a peretelui unui rezervor, prin care curge un lichid cu suprafață liberă.

Studiul acestor curgeri se face pe o porțiune restrânsă, în jurul secțiunii orificiului (ajutajului, deversorului), neglijându-se pierderile energetice din zona schimbării de secțiune.

6.3.1 Curgerea prin orificii

Se consideră cazul golirii unui rezervor printr-un orificiu muchie ascuțită pentru a minimiza pierderile prin frecare, precum în figura de jos.

Fig. 6.5 – Golirea unui rezervor printr-un orificiu

Din aspectul liniilor de curent, se poate observa cum vena de fluid se contractă la trecerea prin orificiu (vena contracta), după care liniile de curent devin paralele. În secțiunea minimă viteza și presiunea sunt uniforme.

9

Viteza maximă a jetului se poate determina din ecuația lui Bernoulli (fără pierderi), pe o linie de curent, între punctele 1 și 2, care corespund suprafeței libere, respectiv secțiunii minime a jetului, la nivelul orificiului

(6.22)

Deoarece aria suprafeței libere este mare în raport cu aria orificiului, rezultă că viteza la nivelul suprafeței libere este mică, putându-se neglija termenul cinetic în această secțiune, deci . Considerând ca nivel de referință , rezultă că . De asemenea, la nivelul celor două puncte presiunile sunt egale, având valoarea presiunii atmosferice locale. Așadar, relația anterioară se rescrie sub forma

(6.23)

Această viteză este una teoretică. Pentru a lua în calcul și pierderile prin frecare se utilizează coeficientul de corecție al vitezei . Acesta este caracteristic pentru fiecare dintre orificii și de regulă se găsește în intervalul (0.97 – 0.99). Pentru a calcula debitul prin orificiu se ține cont de faptul că aria în secțiunea minimă () este egală cu cea a orificiului () multiplicată cu un coeficient

(subunitar) de contracție

(6.24)

Astfel, debitul prin orificiu () se poate calcula cu relația

(6.25)

unde reprezintă coeficientul de debit, care se determină experimental pentru fiecare tip de orificiu.

Dacă presiunea (relativă) la nivelul suprafeței de libere nu este nulă, , relația (6.23) devine

(6.26)

unde este greutatea specifică lichidului din rezervor.

10

(6.33)

unde este coeficientul de debit al deversorului, care se determină experimental.

6.3.3.2 Deversoare triunghiulare

Pentru un deversor triunghiular precum cel din figura 6.8, de unghi , dependența dintre și este

(6.34)

(6.35)

Ținând cont și de pierderile energetice

(6.36)

6.4 MAȘINI (GENERATOARE) HIDRAULICE

Generatoarele hidraulice sunt mașini care transformă energie mecanică în

energie hidraulică. După natura fluidului antrenat, acestea pot fi clasificate în

Pompe, mașini ce funcționează cu lichide

Ventilatoare și compresoare mașini ce funcționează cu gaze.

În cazul mașinilor funcționând cu gaze, dacă fluidul nu suferă comprimări semnificative, procesele termodinamice au o importanță redusă și studiul funcționării se poate face aplicând legile hidrodinamicii, precum în cazul ventilatoarelor. Mașinile funcționând cu gaze la diferențe mari de presiune, precum compresoarele, sunt tratate în cadrul mașinilor termice deoarece în timpul funcționării acestora au loc transformări termodinamice ale fluidului de lucru.

După principiul funcțional prin care se efectuează transformarea de energie,

generatoarele hidraulice pot fi clasificate în următoarele categorii

Pompe hidrodinamice (turbopompe) sunt mașini în care transformarea de energie are loc datorită interacțiunii dintre palete și fluid (prin modificarea momentului cantității de mișcare); sunt caracterizate prin viteze mari ale fluidului față de organele active ale mașinii (rotor), iar debitul variază cu înălțimea de pompare.

Pompe volumice sunt mașini în care au loc deplasări periodice ale unor volume de lichid dinspre aspirație către refulare, cu creșterea corespunzătoare a presiunii; sunt caracterizate prin deplasări reduse ale fluidului față de organele active ale mașinii (rotor, piston, membrană etc.), iar debitul variază foarte puțin cu înălțimea de pompare.

Pompe cu fluid motor sunt mașini hidraulice statice utilizate pentru antrenarea fluidelor folosind energia unui curent de fluid (fluid motor).

Elevatoare hidraulice sunt instalații ce ridică apa la o înălțime geometrică fixă, crescând doar energia de poziție a lichidului.

În paragrafele următoare sunt prezentate noțiunile de bază ale construcției, funcționării și exploatării pompelor centrifuge și ventilatoarelor, frecvent întâlnite în practică.

6.4.1 Pompe centrifuge

6.4.1.1 Construcția și funcționarea unei pompe centrifuge

Pompele centrifuge, denumite și radiale, sunt mașini care transformă energia electromecanică preluată de la un motor (de antrenare) în energie hidraulică, datorită interacțiunii dintre organele active ale mașinii (paletele rotorului) și lichidul vehiculat. Denumirea este dată de sensul circulației fluidului de lucru în timpul procesului de creștere a energiei hidraulice, respectiv în direcție radială.

În funcție de domeniul de utilizare, există mai multe soluții constructive ale acestor generatoare hidraulice. În figura 6.9(a) este prezentată o secțiune (de principiu) printr-o pompă centrifiugă monoaspirantă, monoetajată, însoțită de o vedere în perspectivă a acesteia, figura 6.9(b).

După cum se observă, din punct de vedere constructiv, o pompă centrifugă este compusă din următoarele subansamble principale.

În circulația sa prin pompă, fluidul parcurge două etape din punct de vedere al tranferului de energie. Prima corespunde trecerii prin rotor, unde îi este mărită energia prin creșterea vitezei. În a doua etapă, lichidul (care la ieșirea din rotor dispune de o energie cinetică ridicată) este colectat în camera spirală de secțiune continuu crescătoare și condus apoi prin difuzor spre conducta de refulare. Diminuarea vitezei în camera spirală și difuzor are ca rezultat creșterea energiei potențiale de presiune (statică), evidențiată de creșterea presiunii lichidului.

6.4.1.2 Curbe caracteristice unei pompe centrifuge

Pentru a caracteriza modul de funcționare a unei pompe este necesară cunoașterea dependențelor dintre parametrii funcționali ai acesteia: debit (), sarcină (), putere utilă (), puterea consumată () și randament ().

Sarcina pompei, numită și înălțime de pompare, reprezintă diferența dintre energia specifică (unității de greutate a) lichidului la ieșirea din pompă (refulare) și energia specifică de la intrarea în pompă (admisie)

(6.37)

unde , sunt vitezele medii ale lichidului în secțiunea de refulare, respectiv în cea de aspirație,

, sunt presiunile lichidului în cele două secțiuni caracteristice,

, sunt cotele de nivel ale celor două secțiuni de calcul față de un plan de plan de referință, reprezită densitatea lichidului.

Puterea utilă reprezintă partea de putere primită la arborele pompei,

valorificată sub formă de putere hidraulică. Se calculează cu relația

(6.38)

unde reprezită greutatea specifică lichidului.

Puterea consumată, sau puterea preluată de arborele pompei de la motorul de antrenare, reprezintă produsul dintre momentul () transmis la arborele rotorului și viteza unghiulară a acestuia ()

(6.39)

unde reprezită turația, exprimată în rotații pe secundă.

Randamentul global al pompei se determină ca raport între puterea utilă și puterea comsumată

(6.40)

Legăturile funcționale , , și reprezintă caracteristicile unei pompe. Uzual, acestea sunt exprimate grafic în forma unor curbe (caracteristice), precum în figura 6.10.

Fig. 6.10 – Caracteristicile unei pompe centrifuge

În general, aceste dependențe se determină pe cale experimentală pentru o turație () constantă. Cu ajutorul curbelor caracteristice se determină punctul de funcționare optimă, definit de coordonatele ( ce corespund valorii maxime a randamentului.

Dacă pentru alimentarea unui consumator, debitul furnizat de o singură pompă este insuficient, sau înălțimea de pompare este prea mică, se pot cupla în paralel, respectiv în serie, mai multe pompe. Funcționarea unor astfel de cuplaje este descrisă tot cu ajutorul curbelor caracteristice.

Teoretic, în cazul a două pompe identice legate în paralel, debitul de fluid vehiculat se va dubla pentru aceeași sarcină, iar în cazul cuplării în serie, sarcina (înălțimea de pompare) se va dubla pentru același debit.

Formele curbelor caracteristice pompelor centrifugale funcționând în paralel,

respectiv serie, sunt prezentate în figura 6.11.

Fig. 6.11 – Caracteristicile unei cuplaj de pompe centrifuge

6.4.1.3 Funcționarea unei pompe în rețea

În timpul funcționării unei pompe cuplată într-o rețea hidraulică se stabilește un echilibru masic și energetic între

debitul livrat de pompă () și debitul preluat de rețeaua hidraulică (),

sarcina pompei (energia transferată de pompă unității de greutate a fluidului) și sarcina rețelei .

Așadar, și , iar funcționarea ansamblului pompă-rețea poate fi urmărită cu ajutorul curbelor caracteristice , figura 6.12.

Fig. 6.12 – Determinarea punctului de funcționare al ansamblului pompă-rețea

La intersecția curbelor cacacteristice se află punctul de funcționare () al ansamblului pompă-rețea. În cazul unei exploatări eficinte a pompei, acesta trebuie să se afle cât mai aproape de punctul de optim, ce corespunde punctului de randament maxim al pompei.

6.4.1.4 Legile de similitudine ale pompelor centrifuge

Cercetările experimentale referitoare la funcționarea pompelor centrifuge se efectuează fie pe un prototip (executat la dimensiuni normale), fie pe o turbomașină geometric asemenea, construită la o scară redusă (model).

Legile de similitudine care se aplică în studiul pompelor centrifuge, ce permit extrapolarea rezultatelor obținute pentru prototip tuturor celorlalte pompe asemenea din punct de vedere geometric, sunt cele referitoare la raportul debitelor

(), sarcinilor () și puterilor ()

(6.41)

(6.42)

(6.43)

unde reprezintă turația, este dimensiunea caracteristică (diametrul), densitatea fluidului de lucru.

Aceste legi sunt valabile și pentru alte categorii de turbomașini.

6.4.1.5 Cavitația pompelor

Pentru turbomașinile care funcționează cu lichide (turbopompe și turbine hidraulice cu reacțiune) este importantă studierea apariției fenomenului de cavitație, care produce o funcționare necorespunzătoare a acestor mașini.

Cavitația apare când în rotorul turbomașinii presiunea egalează sau scade sub valoarea presiunii de vaporizare a fluidului de lucru. Constă în formarea unor bule de vapori care recondensează când ajungând în zone de presiuni mare, solicitând suplimentar instalațiile. Fenomenul e marcat prin apariția unor zgomote

Un exemplu referitor la calcul înălțimii maxime de aspirație a unei pompe este prezentat în paragraful cu aplicații, care încheie acest capitol.

6.4.2 Ventilatoare

Ventilatoarele sunt mașini (generatoare) ce funcționează cu gaze. Transformă energia mecanică, preluată de la motorul de antrenare, în energie pneumatică, manifestată sub forma creșterii presiunii totale între secțiunile de aspirație și refulare.

6.4.2.1 Organizazarea ventilatoarelor din punct de vedere constructiv

Din punct de vedere constructiv ventilatoarele pot fi

ventilatoare radiale, figura 6.14 și

ventilatoare axiale, figura 6.15.

Denumirea este dată de sensul de circulație al fluidului de lucru, în direcție radială, sau pe direcția axei rotorului.

Fig. 6.14 – Ventilator radial

Ventilatorul radial prezentat în figura anterioară este compus din următoarele subansamble

Carcasă (1) Este constituită din camera (1) și racordul de refulare (3). Camera de refulare, tip spirală, are secțiunea radială dreptunghiulară cu lățime constantă.

21

Utilizarea ventilatoarelor radiale s-a impus în aplicațiile unde este necesară o funcționare silențioasă.

Fig. 6.15 – Ventilator axial

Și în cazul ventilatoarelor axiale există diverse variante constructive, cea mai simplă fiind constituită dintr-un rotor și motorul de antrenare. Ventilatorul prezentat în figura 6.15 este compus din următoarele subansamble

22

Ventilatoarele axiale sunt utilizate în aplicațiile pentru care este necesară vehicularea unor debite mari de fluid.

6.4.2.2 Parametrii funcționali și curbele caracteristice

Principalii parametri care descriu funcționarea unui ventilator sunt presiunea totală, debitul și randamentul.

Uzual, în cazul ventilatoarelor se operează cu debitul masic

(6.45)

unde reprezintă densitatea fluidului de lucru, este viteza medie a fluidului într-o secțiune de arie .

Presiunea totală reprezintă creșterea presiunii gazului la trecerea prin ventilator, adică diferența dintre presiunea () totală medie în secținea de evacuare (refulare) și presiunea totală medie la aspirație ()

(6.46)

Din punct de vedere energetic, reprezintă puterea transferată de ventilator gazului vehiculat raportată la debitul volumic, deci puterea utilă , adică

23

partea de putere primită la arborele rotorului valorificată sub formă de putere pneumatică

(6.47)

Randamentul ventilatorului se determină prin raportarea puterii utile la puterea consumată

(6.48)

unde puterea consumată, echivalentă cu puterea mecanică la arborele rotorului reprezintă produsul dintre momentul () transmis la arborele rotorului și viteza unghiulară a acestuia, ,relația (6.39).

Curbele caracteristice reprezintă dependențele dintre parametrii funcționali ai unui ventilator, , , , reprezentate în formă grafică. Se obțin în urma încercărilor de laborator și caracterizează comportamentul ventilatoarelor în exploatare.

Fig. 6.16 – Curbele caracteristice ventilatoarelor radiale (a) și axiale (b)

Detalii despre proiectarea și exploatarea mașinilor hidraulice pot fi găsite în mai multe lucrări de specialitate, precum cele elaborate de

Anton V., Popoviciu M., Fitero I., Hidraulică și mașini hidraulice, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1978 și

Todicescu A., Mecanica fluidelor și mașini hidropneumatice, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1974.

24