1. METODA ELEMENTELOR FINI TE – ASPECTE MATEMATICE. PROBLEME UNIDIMENSI ONALE. PROBLEME MULTIDIMENSIONALE 1.1 Principiul metodei elementelor finite…. [603769]

METODA ELEMENTULUI FINIT

06.10.2012
1
1. METODA ELEMENTELOR FINI TE – ASPECTE MATEMATICE.
PROBLEME UNIDIMENSI ONALE. PROBLEME
MULTIDIMENSIONALE

1.1 Principiul metodei elementelor finite. Etape de rezolvare a unei probleme cu
ajutorul metodei elementelor finite.

CE ESTE METODA ELEMENTELOR FINITE ? – este o metod ă matematic ă de
integrare numeric ă a ecuațiilor cu derivate par țiale puse sub form ă variațională. Adică, toate
problemele de calcul ale structurilor elastice se vor reduce la un sistem de ecua ții cu derivate par țiale,
care, frecvent nu se poate rezolva analitic. Metoda elementului finit trebuie privit ca un instrument
de lucru generalizat în domeniul in gineriei. Trebuie remarcat faptul c ă metoda elementului finit are o
largă aplicabilitate în studiul calitativ a l a l g o r i t m i l o r d e c a l c u l n u m e r i c . P r i n a l g o r i t m d e c a l c u l s e
înțelege un sistem de reguli care aplicat la o anumit ă clasă de probleme de acela și tip conduce la
obținerea solu ției problemei pornind de la condi țiile inițiale ale clasei din care face parte cu ajutorul
unor opera ții succesive, unic determinate. Rezult ă concluzia c ă un algoritm trebuie s ă aibă un
caracter de generalitate, de finitudine și unicitate.
Metoda elementelor finite a ap ărut ca o necesitate de a studia starea de tensiune și deformație
pentru structuri de rezisten ță de mare complexitate geometric ă pentru care calculul se face mai u șor
în cazul în care întregul se împarte în domenii mai simple. Datorit ă caracterului de generalitate al
acestei metode, ea s-a extins cu rapiditate aproape în toate domeniile calcului ingineresc care au la
bază metodele fizico matematice de calcul. De și numele metodei elementulu i finit a fost introdus
recent, conceptul a fost utilizat acum câteva secole în urm ă. De exemplu matematicienii din
antichitate au aflat circumferin ța cercului aproximându-l ca pe un poligon.
Aplicarea metodei elementelor finite sub forma actual ă își are începuturile în fundamentarea
următoarelor metode și teorii cu aplica ții deosebite în inginerie:
• reziduurilor ponderate (Gauss 1795, Galerkin 1915, Biezeno-Koch 1923);
• metode varia ționale (Rayleigh 1870, Ritz 1909);
• diferențe finite (Richardson 1910, Liebman 1918, Southwell 1940);
• diferențe finite varia ționale (Varga 1962);
• testarea continuit ății funcțiilor pe subdomenii (Courant 19 47, Prager – Synger 1947);
• rezoluția prin anologie structural ă (Hreikoff 1941 McHenry1943, Mewark 1949);

METODA ELEMENTULUI FINIT

06.10.2012
2 • Discretizarea în elemente finite a mediilor continue (Argyris 1959, Turner Clough, Martin și
Topp 1956);
• Introducerea no țiunii de element finit (Clough 1960).
Se poate spune c ă metoda elementului finit a șa cum se cunoa ște ea astăzi a fost prezentat ă în
1956 de către Turner, Clough, Martin și Topp, într-o lucrare în care se prezint ă aplicarea elementelor
finite simple (bare cu articula ții și placă triunghiular ă cu sarcini aplicate în plan) pentru analiza
structurii aparatelor de zbor, fiind considerat ă una din contribu țiile cheie în dezvoltarea metodei
elementului finit. No țiunea de element finit a ap ărut pentru prima dat ă în lucrarea lui R.W.Clough în
anul 1960, intitulat ă “Elementul finit în analiza st ărilor plane de tensiune”. Zienkiewicz și Cheung au
dat o interpretarea larg ă metodei elementului finit și practic semnaleaz ă aplicabilitatea ei la orice
problemă inginereasc ă. Cu aceast ă interpretare general ă a metodei elementului finit, s-a constat c ă de
fapt și ecuațiile metodei elementului finit pot fi de asemenea ob ținute folosind metoda reziduurilor
ponderate cum este de exemplu me toda Galerkin sau abordarea prin metoda celor mai mici p ătrate.
Toate acestea au condus la un interes larg r ăspândit printre speciali ști în matematica aplicat ă în
aplicare a metodei elementului finit pe ntru rezolvarea problemelor liniare și neliniare. De-a lungul
anilor au fost publicate diferite lucr ări la conferin țe și cărți referitoare la aceast ă metodă.
Calculatoarele numerice au asigurat mijloace rapide de efectuare a unui volum mare de
calcule implicate în analiza cu elemente finite și a făcut practic ca metoda s ă fie aplicabil ă. Se poate
spune că metoda elementelor finite f ără utilizarea calculatoarelor numeri ce de mare capacitate nu ar
fi o metod ă viabilă. O dată cu dezvoltarea calculatoare lor digitale de mare vitez ă, aplicarea metodei
elementului finit a progresat cu o vitez ă impresionat de mare.
Utilizarea calculatorului în rezolvarea unei probleme presupune parcurgerea urm ătoarelor
etape:
a. Enunțarea problemei și formularea datelor de intrare.
b. Elaborarea modelului de calcul care porni nd de la un ansamblu coerent de ipoteze
stabilește o schem ă de calcul care descrie atât cantitativ cât și calitativ fenomenul.
c. Alegerea celei mai potrivite metode numerice de calcul, pornind de la elaborarea
algoritmului. Câteva din criteriile care stau la baza alegerii metodei numerice de calcul: simplitatea,
precizia, viteza de calcul.
d. Elaborarea schemei logice pentru descrier ea algoritmului metodei numerice. Schema
logică reprezint ă de fapt o prezentare grafic ă a algoritmului de calcul, prin punerea în eviden ță a
succesiunii etapelor principale de calcul precum și deciziile logice necesare ob ținerii solu ției.

METODA ELEMENTULUI FINIT

06.10.2012
3 e. Elaborarea programului de calcul. În aceast ă etapă algoritmul de calcul pus în eviden ță de
schema logic ă se transcrie într-un limbaj de programare.
f. Verificarea corectitudinii rezultatelor se face de obicei aplicând metoda numeric ă elaborată
pentru probleme simple a c ăror soluție analitică (considerat ă exactă) este cunoscut ă.
g. Prelucrarea datelor și interpretarea rezultatelor pentru problema studiat ă.
Metoda elementelor finite (analiza cu elemente finite) se bazeaz ă pe conceptul construirii
obiectelor complicate din obiecte mai simple, sau altfel spus divizarea obiectelor complicate în
obiecte mai simple pentru care se pot aplica scheme de calcul cunoscute. În multe situa ții aparatajul
matematic existent nu es te suficient pentru g ăsirea solu ției exacte (iar uneori chiar a unei solu ții
aproximative) pentru majoritatea pr oblemelor practice. Ideea de baz ă în metoda elementului finit
este de a g ăsi soluția unei probleme complicate înlocuind-o printr-una mai simpl ă.
Aplicațiile inginere ști ale Metodei Elementului Finit (MEF) în domeniul ingineriei mecanice:
 probleme de echilibru – probleme de analiza tensiunilor și deforma țiilor din
carcasele transmisiilor mecanice, ro ți dințate, concentratori de tensiune; analiza tensiunilor din vasele
sub presiune, organelor de ma șini, materialelor compozite, mecanismelor cu pârghii și angrenajelor,
etc.
 probleme de valori proprii – frecven țele naturale și stabilitatea mecanismelor cu
pârghii, angrenajelor și mașinilor unelte.
 probleme de propagare – Probleme de mecanica ruperii și fisurări sub sarcini
dinamice.
Aplicațiile inginere ști ale Metodei Elementului Finit (M EF) în domeniul structurilor de
construcții civile și industriale:
 probleme de echilibru – analiza static ă a structurilor de bare articulate, a cadrelor, a
plăcilor ondulate, a învelitoarelor pentru acoperi șuri, pereți de forfecare, poduri, structuri de beton
pretensionate.
 probleme de valori proprii – frecvențele naturale modurile proprii ale structurilor și
stabilitatea structurilor.
 probleme de propagare – propagarea undelor de tensiune, r ăspunsul structurilor la
sarcinile aperiodice.
Aplicarea metodei elementelor finite presupune parcurgerea urm ătoarelor etape :
1. Studiul structurii în vederea alegerii unui model de calcul și a tipurilor de elemente finite
adecvate care s ă reproduc ă cât mai fidel starea real ă de tensiune și deformație.

METODA ELEMENTULUI FINIT

06.10.2012
4 Alegerea tipurilor de elemente finite trebuie s ă se facă în concordan ță cu precizia și calitatea
rezultatelor pe care dorim s ă le obținem.
2. Discretizarea structurii trebuie s ă se facă în așa fel încât în zonele de interes cum sunt de
exemplu zonele cu concentratori de tensiune sau în alte zone în care dorim un calcul cât mai exact,
dimensiunile elementelor finite s ă fie cât mai mici. Trecerea de la zonele cu elementele finite de
dimensiuni mici la elementele finite de dimensiuni mari trebuie s ă se facă prin intermediul
elementelor finite de trecere progresive în scopul elimin ării distorsiunilor care se produc la trecerile
bruște. La alegerea modului de discretizare se va avea în vedere ca elementele finite s ă nu fie
distorsionate. Distorsiunile care in tervin în geometria elementelor fi nite pot conduce la distorsiuni
severe ale rezultatelor ob ținute.
Menționăm că pentru majoritatea programe lor profesionale de analiz ă cu elemente finite exist ă
module de preprocesare a datelor de intrare cu ajutorul c ărora se pot face discretiz ări parametrice
sau automate. Și în aceste cazuri verificarea configura ției elementelor finite folosite reprezint ă o
etapă important ă în rezolvarea cu erori minime a analizei propuse.
3. Studiul elementelor finite în vederea constituirii ecua țiilor elementelor finite. Aceste ecua ții
care descriu comportarea mediului în cuprinsul unui element poart ă denumirea de ecua ții elementale.
Necunoscute în aceste ecua ții sunt gradele de libertate impuse pentru tipul de element utilizat.
Constituirea ecua țiilor elementale se poate face în mai multe moduri în func ție de categoria din care
face parte problema studiat ă.
3.1. Metoda direct ă a cărei aplicare este sugerat ă de metoda deplas ărilor. Este o metod ă
simplă intuitivă și ușor de aplicat, dar utilizarea ei se poate face doar la calculul structurilor alc ătuite
din bare.
În cazul structurilor de rezisten ță se ajunge la un sistem de ecua ții de forma:
{Pe}= [Ke] {U(e)} (1)
unde: [Ke] reprezint ă matricea caracteristicilor fizico-geometrice a elementului finit, cunoscut ă sub
denumirea de matricea de rigiditate a elementului. Aceast ă matrice se bucur ă de propriet ăți speciale
dintre care amintim faptul c ă este matrice p ătrată, simetric ă în raport cu diagonala principal ă.
Diagonala principal ă conține numai elemente pozitive; {Ue} este o matrice coloan ă și reprezint ă
vectorul deplas ărilor nodale necunoscute pentru elementul finit; {Pe} este o matrice coloan ă și
reprezintă vectorul for țelor nodale generalizate ale elementului finit.
3.2. Metode varia ționale – sunt cele mai utilizate în analiza cu elemente finite a
problemelor mecanice și termice. Dintre acestea amintim principiul lucrului mecanic virtual și
teorema minimului energiei interne de deforma ție.

METODA ELEMENTULUI FINIT

06.10.2012
5 3.3. Metoda reziduurilor este o metod ă generală care se folose ște în cazul în care
metodele varia ționale nu pot fi aplicate. Aceast ă metodă permite o abordare unitar ă a problemelor
liniare și neliniare, de propagare și de valori proprii.
În cadrul acestei metode se înlocuie ște criteriul de minimizare a energiei interne de
deformație cu minimizarea reziduului.
3.4. Formularea pe baza bilan țului energetic prin utilizarea primei legi a termodinamicii
– permite abordarea problemelor specifice meca nicii mediilor continue în domeniul liniar și neliniar,
ale câmpurilor electromagnetice, ale câmpurilor termice, etc.
4. Transformarea matricelor de rigiditate a el ementelor din sistemul de coordonate local în
sistemul de coordonate global al structurii.
5. Asamblarea ecua țiilor elementale în sistemul de ecua ții atașat structurii sau asamblarea
elementelor finite. În cadrul acestei etape se impune condi ția ca func țiile necunoscute ale problemei
să aibă aceleași valori în nodurile comune.
Asamblarea ecua țiilor elementale const ă de fapt în asamblarea matricelor de rigiditate [Ke] ale
elementelor finite în matricea de rigiditate [Kg] a structurii și a vectorilor for țelor nodale generalizate
{Pe} în vectorul for țelor nodale generalizate {Pg} pentru întreaga structur ă.
În urma opera ției de asamblare se ob ține un sistem de ecua ții de forma:
{Pg}=[Kg]{Ug} (2)
unde {Ug} reprezint ă vectorul func țiilor necunoscute pentru întreaga structur ă.
Rezolvarea problemei se face luându-se în considerare condi țiile pe contur. Cum anumite
deplasări sunt cunoscute în conformitate cu modul de rezemare al structurii și de asemenea anumite
forțe din noduri sunt date, num ărul total de necunoscute ale problemei se vor reduce corespunz ător.
Rezultă un sistem redus de ecua ții de forma:
{Pr}=[Kr]{Ur} (3)
Trebuie men ționat că în acest sistem de ecua ții matricea de rigiditate redus ă [Kr] se obține
prin suprimarea în matricea de rigiditate [Kg] a acelor linii și coloane corespunz ătoare gradelor de
libertate pentru care deplas ările sunt nule, în conformitate cu modu l de rezemare al întregii structuri.
Matricea de rigiditate [Kr] a structurii se bucur ă de aceleași proprietăți ca și matricea de rigiditate [Ke]
și în plus este o matrice a c ăror elemente sunt dispuse în jurul diagonalei principale, celelalte
elemente fiind nule. Aceast ă ultimă proprietate faciliteaz ă operația de inversare a ei cu necesit ăți
minime de memorie.
6. Rezolvarea sistemului de ecua ții (3) se face prin unul di n procedeele numerice cunoscute
(metoda Gauss, metoda iterativ ă Jacobi, metoda Gauss-Siedel și metoda relax ării).

METODA ELEMENTULUI FINIT

06.10.2012
6 În acest mod se determin ă necunoscutele principale ale problem ei care sunt de fapt valorile
gradelor de libertate din noduri.
7. Calculul necunoscutelor secundare ale probl emei care în cazul structurilor de rezisten ță
sunt deforma țiile specifice ε, γ și componentele σ, τ ale tensorului tensiune.
Programele profesionale moderne de analiz ă cu elemente finite sunt prev ăzute cu module de
postprocesare a datelor de ie șire, etapă în care se realizeaz ă o prelucrare superioar ă a mărimilor care
caracterizeaz ă starea de tensiune și deformație a corpului.
Relațiile generale sunt prezentate în continuare:
 D (4)
B (5)

i i K F  în condi țiile accept ării unei (6)
i B D   discretiz ări și a unei func ții (7)
predefinite pentru deplas ări
În figura 1 se prezint ă organigrama etapelor pentru re zolvarea unei piese mecanice.

Fig.1 Organigrama etapelor la realizarea unei piese mecanice

Ecuațiile diferen țiale care descriu comportarea structurii la nivelul unei particule
infinitezimale sunt:
 pentru probleme de rezisten ță – Teoria elasticit ății
 pentru mecanica fluidelor – Ecua țiile Navier – Stokes
 pentru câmpuri magnetice – Ecua țiile Maxwell
 pentru transfer de c ăldură în solide – Ecua ția Fourier

METODA ELEMENTULUI FINIT

06.10.2012
7 Funcția pe care o descrie ecua ția diferențială este o mărime caracteristic ă, scopul fiind acela
de a obține soluția pentru aceast ă funcție, celelalte m ărimi rezultând din prelucrarea func ției:
 pentru probleme de rezisten ță – deplasarea
 pentru mecanica fluidelor – viteza, presiunea
 pentru câmpuri magnetice – poten țialul magnetic
 pentru transfer de c ăldură – temperatura
A rezolva o problem ă de elasticitate, înseamn ă a determina vectorul deplasare în fiecare
punct al structurii (3 necunoscute ), a determina tensorul deforma țiilor în fiecare punct al structurii (6
necunoscute), a determina tensorul tensiunilor în fiecare punct al structurii (6 necunoscute).
Astfel, cele 15 ecua ții disponibile sunt urm ătoarele:
0i ijj f – 3 ecuații de echilibru (8)
) (21
ji ij ij u u – 6 ecuații de legătură între (9)
deforma ții și deplasări
)(kl ijf – 6 ecuații pentru legile de comportare (10)
a materialului utilizat
Ecua țiile globale rezult ă utilizând PRINCIPIUL LUCRULUI MECANIC VIRTUAL:
0* * *  
  dV dSuF dVufijij ii ii  (11)
Rezolvarea analitic ă a problemei precedente într-un mediu continuu este rar posibil ă,
problema rezolvându-se aproximând mediul continuu cu un mediu discontinuu ob ținut prin
discretizarea structurii în elemente finite.
O problem ă deosebit de important ă în aplicarea metodei elementelor finite este legat ă de
alegerea celei mai potrivite discretiz ări și al celor mai potrivite tipuri de elemente finite care s ă
conducă la elaborarea unui model de calcul care s ă asigure posibilitatea ob ținerii unor rezultate cât
mai apropiate de fenomenul real.
Tipurile de elemente finite utilizate în elaborarea modelelor de calcul se deosebesc între ele
prin forma lor geometric ă, numărul și tipul nodurilor sale, tipul variabilelor de nod (deplas ări
generalizate) precum și tipul func țiilor de interpolare folosite. Func țiile de interpolare nu pot fi alese
arbitrar întrucât ele trebuie s ă îndeplineasc ă condițiile de continuitate și condițiile de convergen ță a
soluției aproximate.
Continuitatea poate fi asigurat ă în anumite condi ții prin alegerea func ției de interpolare sub
forma unui polinom algebric.

METODA ELEMENTULUI FINIT

06.10.2012
8 Condițiile de compatibilitate între elemente impune ca func ția care descrie comportamentul
necunoscutelor problemei pe domeniul elementului finit și o parte din derivatele ei s ă fie continue.
Astfel în cazul barelor solicitate numai de sarcini axiale este suficient ă satisfacerea continuit ății
funcției de deplasare u(x). În cazul barelor solicitate la încovoiere pe lâng ă funcția de deplasare v(x)
trebuie asigurat ă și continuitatea derivatei dv/dx.
La elementele finite din aceast ă categorie continuitatea poate fi satisf ăcută dacă se aleg ca și
grade de libertate în noduri deplas ările a căror continuitate este cerut ă.
La elementele finite cu dou ă sau trei dimensiuni, ca de exemplu în cazul st ărilor plane de
tensiune și deforma ție, probleme de elasticitate tridimensionale, sau în cazul pl ăcilor, asigurarea
continuității are un caracter diferit.
Elementele finite care conduc la o modelare în care ca o consecin ță a impunerii condi țiilor
de continuitate pe direc țiile gradelor de libertat e din noduri este satisf ăcută în mod automat
continuitatea la nivelul zone lor interelemente se numesc compatibile sau conforme.
Privitor la continuitatea func țiilor de interpolare în literatura de specialitate sunt prezentate
notații unificate pentru diferitele clase existente, dup ă cum urmeaz ă:
– în cazul în care se asigur ă continuitatea func țiilor poart ă denumirea de polinoame
generalizate Lagrange și fac parte din clasa C0.
– în cazul în care pe lâng ă continuitatea func țiilor este asigurat ă și continuitate derivatelor
acesteia, polinoamele de interpolare poart ă denumirea de polinoame Hermite și fac parte din clasa
C1 ,C2 ,…, Cn. În aceste nota ții la exponent apare ordinul maxim al derivatei pentru care este
asigurată continuitatea.
În cazul metodei elementelor finite precizia de calcul depinde de num ărul de elemente
utilizate în discretizarea structurii. În ca zul în care printr-o discretizare mai dens ă precizia de calcul
crește în raport cu o alt ă discretizare mai grosier ă, atunci solu ția problemei este convergent ă, fig.2.

Figura 2

METODA ELEMENTULUI FINIT

06.10.2012
9 Condi ția de convergen ță este satisf ăcută dacă funcțiile de interpolare sunt astfel alese încât
sunt îndeplinite urm ătoarele condi ții:
– s ă poată reprezenta corect deplas ările de corp rigid, adic ă pentru astfel de deplas ări
tensiunile deduse pe baza func țiilor de interpolare s ă rezulte cu valori nule;
– s ă conțină termeni care s ă conducă la expresii ale te nsiunilor capabile s ă reprezinte starea de
tensiune omogen ă pe element;
Condi țiile de continuitate și convergen ță pot fi satisf ăcute integral dac ă polinoamele de
interpolare sunt polinoame complet de un grad cel pu țin egal cu cel mai mare ordin de derivare care
apare în rela țiile diferen țiale dintre deforma ții și deplasări. De exemplu pentru problema plan ă se pot
utiliza polinoame complete de gradul întâi, pentru pl ăci în care rela țiile curbur ă deplasare apar
derivate de ordinul doi, este necesar ă utilizarea unui polinom de interpolare cu gradul cel pu țin doi.
În cazul în care polinomul astfel ales nu are un num ăr suficient de parametri pentru
satisfacerea condi ției de egalitate cu num ărul gradelor de libertate pe element atunci se adaug ă
termeni suplimentari de un grad mai mare.
Elementele finite se împart din punct de ve dere al principiilor care stau la baza formul ării
continuității lor în elemente finite structurale din care fac parte elementele finite de tip bar ă și
elementele de tip înveli ș și în elemente finite continue din care fac parte elementele finite de stare
plană și elementele finite tip masiv.
Dup ă configura ția geometric ă elementele finite se împart în urm ătoarele categorii:
1) Elemente finite unidimensionale, sunt cele mai simple și au o configura ție rectilinie sau
curbilinie pentru care la capete sunt plasate nodurile externe sau principale prin intermediul c ărora
elementele finite se conecteaz ă cu elementele finite învecinate, fig.3. Elementele finite
unidimensionale pot avea unul sau dou ă noduri suplimentare numite noduri secundare plasate
echidistant fa ță de extremit ățile elementului, fig.3b).

a) b)
Figura 3

METODA ELEMENTULUI FINIT

06.10.2012
10 Elementele finite unidimensionale pot apar ține unor structuri plane sau tridimensionale.
Acestor elemente finite li se asociaz ă ca și constante reale caracteristicile geometrice care intervin în
funcție de num ărul gradelor de libertate pe nod. Num ărul gradelor de libertate poate varia de la 1 la
6 în funcție de solicit ările care intervin sau de care se ține seama.
2) Elemente finite bidimensionale , sunt elemente la care configura ția geometric ă și parametrii
asociați se definesc în func ție de două coordonate independente.
Dintre elementele finite bidimensionale cel mai simp lu este elementul finit tr iunghiular, fig.4, pentru
care sunt prezentate urm ătoarele cazuri: a) element finit triunghi ular cu trei noduri pe element; b)
element finit triunghiular cu un secundar interior; c) element fini t triunghiular cu noduri secundare
externe, plasate pe laturile elementului finit; d) element finit triunghiular curbiliniu, cu noduri
secundare externe și un nod secundar intern. Conexiunile acestor tipuri de elemente finite cu
elementele finite învecinate se realizeaz ă prin intermediul nodurilor externe. Nodurile secundare sunt
necesare atunci când num ărul coordonatelor generalizate dep ășește numărul gradelor de libertate ale
elementului finit.

Figura 4

3) Elemente finite axial simetrice, fac parte din categoria elementelor finite uni sau
bidimensionale și prezintă un interes practic deosebit întrucât atunci când utilizarea lor devine
posibilă se reduce considerabil volumul calculelor. Stru cturile tridimensionale ax ial simetrice se reduc
la studiul unor probleme unidimensionale sau bidimensionale. Simetria axial ă trebuie satisf ăcută din
toate punctele de vedere și anume geometric, al rigidit ății și al condițiilor pe contur. În figura 5, se
prezintă câteva cazuri de înc ărcări axial simetrice.

METODA ELEMENTULUI FINIT

06.10.2012
11

Figura 5

Pentru ca o structur ă să fie încadrat ă în această categorie este necesar ca materialul din care
este realizat ă structura s ă fie izotrop. Cazurile de anizotropie general ă nu pot fi încadrate în categoria
structurilor axial simetrice.
În cazul în care structura de rezisten ță este un vas de revolu ție cu pere ți subțiri și satisface și
celelalte condi ții de axial simetrie atunci studiul st ării de tensiune și deformație se poate face utilizând
elemente finite unidimensionale, Fig.6.

Figura 6

În cazul în care structura de rezisten ță este un vas de revolu ție cu pere ți groși, problema se reduce la
studiul unei sec țiuni plane a structurii, fig.7.

METODA ELEMENTULUI FINIT

06.10.2012
12

Figura 7

4) Elementele finite tridimensionale reprezint ă categoria elementelor finite utilizate pentru
studiul structurilor de tip masiv sau altor structuri cu pere ți groși care nu pot fi modelate cu
elementele finite enumerate anterior.
Elementele finite tridimensionale pot fi tetraedrale sau hexaedrale, Fig.8.

Figura 8
În cazul utiliz ării unor elemente finite p ătratice sau cubice pe laturile muchiile tetraedrului
sau hexaedrului mai apar câte un nod sau dou ă noduri suplimentare plasat e la mijlocul sau la o
treime pe aceste muchii.
Tipuri de elemente finite:
 Elemente unidimensionale – bare, grinzi drepte sau curbe

METODA ELEMENTULUI FINIT

06.10.2012
13  Elemente bidimensionale – elasticitate plan ă, plăci, suprafe țe
 Elemente tridimensionale – elemente de volum, suprafe țe cu grosime mare
 Elemente axialsimetrice – piese toroidale cu sec țiuni triunghiulare, p ătrate sau
dreptunghiulare
Entitățile cu care opereaz ă Metoda elementului finit sunt nodurile și elementele . Mărimea
fizică urmărită pentru calculul structurilor mecanice este deplasarea. În urma discretiz ării rezultă
deplasarea nodurilor.
Discretizarea este func ția care descrie comporta rea structurii se define ște pentru domenii
mici. aceasta permite ca în interiorul domeniului s ă se poată alege funcții de form ă simple, de
ordin inferior.
Func ția de aproximare pentru întreaga structur ă rezultă din asamblarea func țiilor
domeniilor individuale , parțiale, mici. Domeniile individuale sunt denumite elemente . Punctele în
care se realizeaz ă legătura dintre elemente sunt denumite noduri .

Pentru rezolvarea ecua țiilor diferen țiale se stabile ște o reprezentare aproximativ ă pentru
funcția necunoscut ă. Problema descris ă de ecuația diferențială se transform ă într-un sistem de ecua ții
algebrice. Se pot analiza astfel structuri cu forme mai complexe.