1 Matrici  si determinant i 1 1.1 Din istoria matricilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [601585]

NOT IUNI DE INVERSARE A
MATRICILOR
Bratosin Gabriela Simona

2

Cuprins
Prefat  a iii
1 Matrici  si determinant i 1
1.1 Din istoria matricilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Not iuni generale despre matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Matrici particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Matricea linie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Matricea coloan a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.3 Matricea zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.4 Matricea p atratic a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.5 Matricea unitate de ordin n . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.6 Matricea triunghiular a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.7 Matricea diagonal a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Clase speciale de matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Matrici diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2 Matrici bloc-diagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.3 Matrici triangulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.4 Matrici Bloc-Triangulare . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.5 Matrici de permutare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.6 Matrici circulante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.7 Matrici Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.8 Matrici Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Operat ii cu matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.1 Egalitatea a dou a matrici . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.2 Transpusa unei matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.3 Adunarea matricilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.4 ^Inmult irea cu scalari a matricilor . . . . . . . . . . . . 15
1.5.5 ^Inmult irea matricilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
i

ii CUPRINS
1.6 Determinant i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.1 Determinant i de ordinul doi . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6.2 Determinant i de ordinul trei . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Inversarea matricilor prin metode elementare 19
2.1 Operat ii elementare pentru simplicarea matricilor . . . . . . 19
2.1.1 Schimbarea de linii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 ^Inmult irea unei linii cu un scalar nenul . . . . . . . . . 20
2.1.3 Adunarea unui multiplu scalar al unei linii altei linii . . 20
2.2 Metode de inversare a matricilor . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Reducerea ^ n treapt a relativ la coloan a (RTC) . . . . . 21
2.2.2 Metoda folosirii denit iei . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.3 Metoda utiliz arii transform arilor elementare de linii
asupra matricelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.4 Metoda utiliz arii matricii adjuncte . . . . . . . . . . . 24
3 Alte metode de inversare a matricilor 27
3.1 Inversarea prin partit ionare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 Matrici partit ionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 Partit ii  si multiplicare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.3 Inversa unei matrici partit ionate . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Inversa unei ajust ari de rang mic . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Teorema Hamilton – Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Bibliograe 37

Prefat  a
^In viat a de zi cu zi ^ nt^ alnim ^ ntotdeauna probleme cu mai multe
necunoscute pentru a c aror rezolvare avem nevoie de de sisteme de ecuat ii.
Rezolvarea acestor ecuat ii  si sisteme de ecuat ii este mult mai simpl a dac a
transpunem totul ^ n ecuat ii cu matrici, iar pentru rezolvarea acestora avem
nevoie s a cunoa stem metodele de inversare a matricilor.
^In aceast a lucrare am c autat s a prezint c^ at mai multe metode de inversare
a matricilor, de la cele clasice la unele mai put in cunoscute.
Capitolul 1 este dedicat not iunilor introductive despre matrici  si determi-
nant i, cum ar  tipuri de matrici  si determinant i, precum  si operat ii cu
matrici.
^In capitolul 2 am prezentat metodele elementare de inversare a matricilor
cum ar  Metoda folosirii denit iei sau Metoda folosirii matricii adjuncte.
Capitolul 3 l-am dedicat metodelor mai put in cunoscute cum ar  inver-
sarea prin partit ionare, inversarea folosind micile deviat ii, sau metoda lui
Hamilton-Cayley.
Nu consider c a am epuizat toate metodele de inversare a matricilor, dar
m acar cunosc^ andu-le pe acestea rezolv arile sistemelor de ecuat ii devin mult
mai u soare.
iii

iv PREFAT  A

Capitolul 1
Matrici  si determinant i
1.1 Din istoria matricilor
^Inceputurile matricelor  si determinant ilor se^ nt^ alnesc^ n secolul 2^ .e.n,
c^ and apar datorit a studiului sistemelor de ecuat ii liniare.
Babilonienii au studiat probleme care anticipeaz a sistemele de ecuat ii
liniare,  si c^ ateva dintre acestea sunt p astrate p^ an a azi pe t ablit e de lut. De
exemplu o pl acut  a din anul 300 ^ .e.n. cont ine urm atoarea problem a: "Dou a
terenuri care au ^ mpreun a 1800 yard1sunt cultivate cu gr^ au. De pe primul
teren s-au recoltat 2/3 dintr-un bu sel (aproximativ 36l) pe yard, ^ n timp ce
de pe al doilea teren se recolteaz a 1/2 bu sel pe yard. Dac a product ia total a
e de 1100 bu seli, care este m arimea ec arui teren?"
Deasemeni,  si ^ n manuscrisele chineze sti din anii 200-100 ^ .e.n. s-au g asit
informat ii despre matrici. Primul exemplu ^ n acest sens este documentul
"9 Capitole din Arta Matematicii" scris ^ n timpul dinastiei Han. Problema
descoperit a ^ n acest document este la fel structurat a ca  si ^ n exemplul ba-
bilonian:
"Avem 3 tipuri de cereale, dintre care o gr amad a din primul tip de cereale,
dou a din al doilea tip  si una din al treilea tip, care c^ ant aresc ^ mpreun a 39
m asuri. Dou a gr amezi din primul tip, trei din al doilea  si o gr amad a din al
treilea au ^ mpreun a 34 m asuri. Una din primul tip, dou a din al doilea  si trei
din al treilea fac 26 de m asuri. C^ ate m asuri din ecare tip de cereale cont ine
ecare gr amad a?"
1yard = unitate de m asur a pentru lungime ^ n UK  si US egal a cu 0,9144m
1

2 CAPITOLUL 1. MATRICI S I DETERMINANT  I
^In continuare autorul a f acut ceva remarcabil. El a aranjat coecient ii
sistemului de 3 ecuat ii liniare cu 3 necunoscute ^ ntr-un tablou de forma:0
BB@1 2 3
2 3 2
3 1 1
26 34 391
CCA
Ceea ce este remarcabil este c a autorul, cu 200 de ani ^ . e. n. instruia
cititorul c a poate ^ nmult i coloana din mijloc cu 2  si apoi s a o scad a pe cea
din dreapta de c^ ate ori este posibil, apoi s a ^ nmult easc a prima coloan a cu 3
 si s a o scad a pe ultima de c^ ate ori este posibil. Se obt ine astfel:
0
BB@0 0 3
4 5 2
8 1 1
39 24 391
CCA
Apoi prima coloan a este ^ nmult it a cu 5  si a doua se scade din prima de c^ ate
ori este posibil, obt in^ andu-se astfel:
0
BB@0 0 3
0 5 2
36 1 1
99 24 391
CCA
Aceast a metod a cunoscut a acum ca metoda de eliminare a lui Gauss, nu
devine foarte cunoscut a p^ an a ^ n secolul al XIX-lea. Multe rezultate stan-
dard din teoria elementar a a matricelor au ap arut mult ^ nainte ca matricele
s a devin a subiect de investigat ie. De exemplu, de Witt2^ n "Elements of
curves" a publicat o parte a comentariilor din versiunea latin a a geometriei
lui Descartes (ap arut a ^ n 1660) care arat a cum printr-o transformare a axelor
putem reduce ecuat ia unei conice date la forma ei canonic a.
Aceste rat ionamente f acute de Witt sunt echivalente de fapt cu reducerea
unei matrice simetrice la forma diagonal a, dar de Witt nu a g^ andit niciodat a
^ n ace sti termeni.
Termenul de "determinant" a fost introdus pentru prima oar a ^ n "Discut ii
aritmetice" de Gauss3^ n timp ce studia formele p atratice. Totu si acest con-
cept nu este acela si cu determinantul pe care ^ l  stim noi ast azi.
2Johann de Witt-politician  si matematician german a scris^ n 1659 "Elements of curves"
3Johan Carl Friedrich Gauss – matematician german 30Aprilie1777 – 23Februarie1855

1.2. NOT  IUNI GENERALE DESPRE MATRICI 3
^In aceea si lucrare Gauss a aranjat coecient ii formelor p atratice ^ ntr-un
sistem de axe rectangulare. El a descris ^ nmult irea matricelor  si a descris  si
construct ia inversei unei matrice.
Metoda elimin arii lui Gauss a fost utilizat a de Gauss ^ n lucrarea sa care
studia orbitele asteroidului Pallas. ^In aceast a lucrare el a obt inut un sistem
de 6 ecuat ii liniare cu 6 necunoscute. Gauss a dat mai multe metode de re-
zolvare a acestor ecuat ii care precizeaz a eliminarea Gaussian a a coecient ilor
matricelor.
1.2 Not iuni generale despre matrici
Poate nici un capitol al matematicii nu beneciaz a de at^ at de multe
aplicat ii ^ n cele mai diverse domenii ale viet ii sociale, cum este calculul
matriceal. Multe probleme practice se rezolv a utiliz^ and operat ii aritmetice
asupra unor date asociate problemelor.
Astfel e( C);mult imea numerelor complexe,  si dou a submult imi Nm siNn
ale acesteia, unde Nm=f1;2;:::mg siNn=f1;2;:::ng;m;n2(N).
Denit ia 1 Se nume ste matrice de tip (m;n)sau(mn)cu elemente
dinC, o funct ie A: NmNn!C:
Valorile funct iei A( ij)=aij;i=1;m;j =1;nse numesc elementele
matricei .
Matricea A se reprezint a printr-un tabel dreptunghiular cu mlinii  sin
coloane, corespunz ator celor m;n elemente.
A=0
BB@a11a12a13::: a 1n
a21a22a23::: a 2n
::: ::: ::: ::: :::
am1am2am3::: a mn1
CCA:
Aceast a matrice se noteaz a A= (aij);i=1;m;j =1;n, sau c^ and nici o
confuzie nu este posibil a, doar A=( aij):
Pentru elementul aij,iarat a linia pe care se a
 a elementul  si jindic a pe ce
coloan a este situat.
Liniile matricei sunt mult imile ordonate:
L1=
a11a12a13::: a 1n

4 CAPITOLUL 1. MATRICI S I DETERMINANT  I
L2=
a21a22a23::: a 2n

Lm=
am1am2am3::: a mn

:
Coloanele matricei sunt mult imile ordonate
C1=0
BB@a11
a21
:::
am11
CCA;C2=0
BB@a12
a22
:::
am21
CCA;:::;C n=0
BB@a1n
a2n
:::
amn1
CCA:
Mult imea matricelor de tip ( m;n) cu elemente complexe o not am cu
Mm;n(C):
Analog se noteaz a  si Mm;n(R);Mm;n(Z);Mm;n(N) pentru mult imile de
matrice de tip( m;n) cu elemente numere reale, rat ionale, ^ ntregi  si naturale.
CumNZQRC, deducem c a:
M(m;n )(N)M (m;n )(Z)M (m;n )(Q)M (m;n )(R)M (m;n )(C):
1.3 Matrici particulare
1.3.1 Matricea linie
O matrice de tipul(1 ;n) cu o linie  si ncoloane se nume ste matrice linie  si
are forma
A=
a1a2a3::: a n

:
Exemplu :A=
1 2 3

1.3.2 Matricea coloan a
O matrice de tipul( m;1) cu m linie  si o coloan a se nume ste matrice coloan a
 si are forma
A=0
BBBB@a1
a2
a3
:::
am1
CCCCA:
Exemplu :A=0
@1
2
31
A

1.3. MATRICI PARTICULARE 5
1.3.3 Matricea zero
O matrice de tip ( m;n) cu toate elementele egale cu zero se nume ste ma-
tricea zero (nul a)  si se noteaz a cuOm;n.
Om;n=0
BB@0 0::: 0
0 0::: 0
::: ::: ::: :::
0 0::: 01
CCA:
1.3.4 Matricea p atratic a
Dac a ^ ntr-o matrice num arul de linii este egal cu num arul de coloane, adic a
m=n, atunci matricea se nume ste p atratic a de ordinuln,  si are forma:
A=0
BB@a11a12a13::: a 1n
a21a22a23::: a 2n
::: ::: ::: :::
am1am2am3::: a mn1
CCA:
Sistemul ordonat de elemente
a11a22a33::: a nn

reprezint a diag-
onala principal a a matricei A, iar suma acestor elemente a11+a22+:::+ann
se nume ste urma matricei A  si se noteaz a cu Tr(A) =nP
i=1aij:
Sistemul ordonat de elemente
a1na2n1a3n2::: a n1

se nume ste
diagonala secundar a a matricei A.
Exemplu Fie
A=0
@1 23
45 6
78 71
A2M 3(Z):
diagonala principal a este
15 9

,
diagonala secundar a este
35 7

,
iar urma matricei A este Tr(A) =15 + 9 = 3:
1.3.5 Matricea unitate de ordin n
Matricea unitate de ordin n este matricea p atratic a care are toate el-
ementele de pe diagonala principal a egale cu 1  si ^ n rest toate elementele

6 CAPITOLUL 1. MATRICI S I DETERMINANT  I
matricei sunt egale cu 0, astfel:
In=0
BB@1 0 0 ::: 0
0 1 0 ::: 0
::: ::: ::: ::: :::
0 0 0 ::: 11
CCA:
1.3.6 Matricea triunghiular a
Matricea p atratic a A2M n(C) se nume ste triunghiular a dac a are una din
formele:
A=0
BBBB@a11a12a13::: a 1n
0a22a23::: a 2n
0 0a33::: a 3n
::: ::: ::: ::: :::
0 0 0 ::: a nn1
CCCCA;
sau
A=0
BB@a11 0 0::: 0
a21a22 0::: 0
::: ::: ::: ::: :::
an1an2an3::: a nn1
CCA:
Exemplu :A=0
BB@1 2 3 4
0 5 6 7
0 0 8 9
0 0 0 101
CCA siB=0
BB@1 0 0 0
2 3 0 0
4 5 6 0
7 8 9 101
CCA
sunt matrici p atratice triunghiulare de ordinul patru.
1.3.7 Matricea diagonal a
Matricea p atratic a Mn(C) se nume ste diagonal a dac a
Mn=0
BBBB@a110 0::: 0
0a220::: 0
0 0a33::: 0
::: ::: ::: ::: :::
0 0 0 ::: a nn1
CCCCA:

1.4. CLASE SPECIALE DE MATRICI 7
Exemplu :A=0
BB@1 0 0 0
0 2 0 0
0 0 3 0
0 0 0 41
CCA
1.4 Clase speciale de matrici
1.4.1 Matrici diagonale
Denit ia 2 MatriceaD= (dij2M nse nume ste diagonal a dac adij= 0
pentrui6=j. Se va nota o astfel de matrice cu D=diag(d11;


;dnnsau
D=diagd; unde d este vectorul elementelor de pe diagonala matricii D.
Dac a toate intr arile de pe diagonala unei matrici diagonale sunt pozitive,
atunci matricea este o matrice diagonal a pozitiv a . Matricea identic a I2M n
este un exemplu de matrice diagonal a strict pozitiv a.
Exemplu
D=0
@1 0 0
0 2 0
0 0 31
A
este o matrice diagonal a pozitiv a de rangul trei.
O matrice diagonal a D2M nse nume ste matrice scalar a dac a toate
elementele de pe diagonal a sunt egale. D=Ipentru un anumit 2Cn:
^Inmult irea la dreapta sau la st^ anga a unei matrici cu o matrice scalar a are
ca efect ^ nmult irea elementelor matricii cu acel scalar.
Determinantul unei matrici diagonale este chiar produsul elementelor de
pe diagonal a: D=nQ
i=1dii:
1.4.2 Matrici bloc-diagonale
O matriceA2M nde forma0
BBB@A11 0::: 0
0A22::: 0
…………
0 0::: A kk1
CCCA^ n careAii2M ni;
i= 1;:::;k  sikP
i=1ni=n;se nume ste bloc- diagonal a .

8 CAPITOLUL 1. MATRICI S I DETERMINANT  I
De obicei se folose ste notat ia A=A11A22:::;Akksau pe scurt
kP
i=1Aii;numindu-se  si suma direct a a matricilor A11;:::;A kk:
Rat ion^ and ^ n termenii ^ nmult irii partit ionate, multe din propriet at ile ma-
tricilor bloc-diagonale le extind pe acelea ale matricilor diagonale.
De exemplu det(kP
i=1Aii) =kQ
i=1detA ii;ceea ce implic a faptul c a A=PAii
este nesingular a dac a  si numai dac a ecare Aiieste nesingular a, i= 1;:::;k:
^In plus rang(kP
i=1Aii) =kP
i=1rangA ii:
1.4.3 Matrici triangulare
MatriceaT= (tij2M nse nume ste superior triangular a dac atij= 0
pentrui<j:
Dac atij= 0 pentru jise spune c a matricea este strict superior tri-
angular a . Analog, T se nume ste inferior triangular a (respectiv strict
inferior triangular a) dac a transpusa ei este superior triangular a ( respectiv
strict superior triangular a).
Matricea triangular a se aseam an a cu matricile diagonale prin aceea c a
determinantul lor este produsul intr arilor de pe diagonal a, Pe de alt a parte,
^ n general, matricea triangular a nu comut a.
^Inmult irea la st^ anga a matricii A2M ncu o matrice inferior triangular a
L, adic aL
A, produce ^ nlocuirea liniei i a matricei A cu o combinat ie liniar a
a primelor i linii ale lui A.
Uneori se folose ste terminologia de matrice triangular a la dreapta
(respectiv la st^ anga) pentru superior (respectiv inferior) triangularitate.
Rangul unei matrice triangulare este cel put in egal cu num arul intr arilor
nenule ale diagonalei principale.

1.4. CLASE SPECIALE DE MATRICI 9
1.4.4 Matrici Bloc-Triangulare
Denit ia 3 O matriceA2M nde forma
0
BBBBB@A11 :::
0A22:::
0 0A33:::
……………
0 0 0 ::: A kk1
CCCCCA;
^ n careAii2M ni;i= 1;:::;k;kP
i=1Aii=n;iar * reprezint a o valoare oare-
care, se nume ste matrice bloc superior- triangular a .
Determinantul unei astfel de matrice bloc-triangulare este produsul determi-
nant ilor blocurilor diagonale.
Rangul unei matrice bloc-triangulare este cel put in egal cu suma ran-
gurilor blocurilor diagonale.
1.4.5 Matrici de permutare
Denit ia 4 O matriceP2M nse nume ste matrice de permutare dac a
pe ecare linie  si coloan a a ei se a
 a o singur a valoare 1, celelalte intr ari ale
liniei (coloanei) respective ind 0.
^Inmult irea cu o astfel de matrice detrmin a o permutare a obiectului ^ nmult it.
Exemplu Dac aP=0
@0 1 0
1 0 0
0 0 11
A2M 3este o matrice de permutare de
rang 3, atunci P
0
@1
2
31
A=0
@2
1
31
Aeste o permutare a coloanelor vectorilor
(1,2,3); mai precis permutarea care mut a prima component a pe pozit ia a
doua, a doua component a pe prima pozit ie  si las a neschimbat a pozit ia a
treia.
^In general, ^ nmult irea la st^ anga a unei matrice A2M m;ncu o matrice de
permutareP2M m, permut a liniile lui A, ^ n timp ce ^ nmult irea la dreapta
cu o matrice de permutare P2M n;permut a coloanele matricei A.

10 CAPITOLUL 1. MATRICI S I DETERMINANT  I
Exemplu FieA2M 2;3;A=1 2 3
4 5 6
 siP2M 2;P=0 1
1 0
;
atunci
P
A=0 1
1 0

1 2 3
4 5 6
=4 5 6
1 2 3
:
^In cazul ^ n care matricea P2M 3cuP=0
@0 1 0
1 0 0
0 0 11
Aatunci vom avea
A
P=1 2 3
4 5 6

0
@0 1 0
1 0 0
0 0 11
A=2 1 3
5 4 6
:
1.4.6 Matrici circulante
Denit ia 5 O matriceA2M nde forma
A=0
BBBBB@a1a2a3::: a n
ana1a2::: a n1
an1ana1::: a n2
……………
a2a3a4::: a 11
CCCCCA
se nume ste matrice circulant a .
Fiecare linie se obt ine din precedenta printr-o translat ie cu un pas ^ napoi;
a sadar ecare linie se obt ine din prima printr-o permutare circular a.
Matricea de permutare
C=0
BBBBB@0 1 0:::0
0 0 1:::0
…………0
0 0 0:::1
1 0 0:::01
CCCCCA
se nume ste matricea circulant a fundamental a .
O matrice A2M npoate  scris a ^ n forma A=n1P
k=0ak+1
Ck, dac a  si
numai dac a este circulant a.

1.4. CLASE SPECIALE DE MATRICI 11
^In aceast a formul a C0=I=Cn;iar coecient ii a1;a2;:::;a nsunt ele-
mentele de pe prima linie a matricei A.
Datorit a acestei reprezent ari, matricile circulante au o structur a simpl a
ce se raporteaz a la aceea a matricei C.
DeoareceCn=I, produsul a dou a matrici circulante este deasemenea o
matrice circulant a.
1.4.7 Matrici Toeplitz
Denit ia 6 O matriceA= (aij)2M n+1de forma
A=0
BBBBBBB@a0a1a2::: ::: a n
a1a0a1::: ::: a n1
a2a1a0a1::: a n2
………………
an+1an+2:::……a1
anan+1::: ::: a1a01
CCCCCCCA
se nume ste matrice Toeplitz .
Termenul general aij=ajieste denit de  sirul an;an+1;:::;a1;a0;
a1;:::;a n2Cn:
Intr arile matricei A sunt constante pe diagonalele paralele cu diagonala
principal a.
Matricile Toeplitz B=0
BBB@0 1:::0
0 0……
………1
0 0:::01
CCCA siF=0
BBB@0 0:::0
1 0:::0
…………
0::: 1 01
CCCA
se numesc "translat ia la st^ anga", respectiv"translat ia la dreapta", datorit a
efectului lor asupra bazei standard e1;:::;e n+1:O matriceA2M n+1poate
 scris a sub forma
A=nX
k=1akFk+nX
k=0akBk
dac a  si numai dac a este matrice Toeplitz.

12 CAPITOLUL 1. MATRICI S I DETERMINANT  I
1.4.8 Matrici Hankel
Denit ia 7 O matriceA2M n+1de forma
A=0
BBBBB@a0a1a2::: ::: a n
a1a2a3::: a nan+1
a2a3a4::: a n+1an+2
………………
anan+1an+2an+3::: a 2n1
CCCCCA
se nume ste matrice Hankel . Termenul general aij=ai+j2este dat de
 sirula0;a1;a2;:::;a 2n:
A sadar intr arile matricei A sunt constante pe diagonalele perpendiculare pe
diagonala principal a.
S a observ am c a dac a P=0
BBB@0 0:::0 1
0 0:::1 0
……:::……
1 0:::0 01
CCCAeste "permutarea^ napoi",
atunci PT este matrice Hankel pentru orice matrice Toeplitz T, iar PH este
matrice Toeplitz pentru orice matrice Hankel H. Deoarece P=Pr=P1;
iar matricile Hankel sunt evident simetrice, rezult a c a orice matrice Toeplitz
este produsul a dou a matrici simetrice (P  si o matrice Hankel).
1.5 Operat ii cu matrici
1.5.1 Egalitatea a dou a matrici
Denit ia 8 Fie matricele A:NmNn!K  siB:Nm1Nm1!K1, unde
K1C:Spunem c a matricele A siBsunt egale dac a:
1)m=m1 sin=n1;
2)k=k1;
3)Ai;j=Bi;j,8i=1;m si8j=1;nsauai:j=bi;j,8i=1;m,8j=1;n,
elementele corespunz atoare sunt egale . Vom scrie atunci c a A=B.
Deci dou a matrici de acela si tip sunt egale dac a elementele lor core-
spunz atoare sunt egale.

1.5. OPERAT  II CU MATRICI 13
Exemplu : S a se determine x;y;z;t2Rastfel ^ nc^ at s a avem egalitatea
matricilor: y+ 1 3x2
2z+ 1 0
=4 1
2t3
:
Din denit ie avem egalit at ile:
y+ 1 = 4
3x2 = 1
2z+ 1 =2
0 =t3adic a
x= 1;y= 3;z=3
2;t= 3:
1.5.2 Transpusa unei matrice
Denit ia 9 FieA2M (m;n )(C):Transpusa matricei A este matricea
notat a cutAcare se obt ine prin schimbarea liniilor ^ n coloane sau a coloanelor
^ n linii; astfel linia ^ nt^ ai din Adevine coloana ^ nt^ ai din tA, etc.
Observat ia 1 Prin operat ia de transpunere a unei matrice p atratic a de or-
dinul n, elementele de pe diagonala principal a r am^ an pe loc, astfel Tr(tA) =
Tr(A)
A=0
BB@a11a12::: a 1n
a21a22::: a 2n
::: ::: ::: :::
am1am2::: a mn1
CCA;
tA=0
BB@a11a21::: a m1
a12a22::: a m2
::: ::: ::: :::
a1na2n::: a mn1
CCA;
Observat ia 2t(tA) =A;8A2M n(C)
Exemplu : FieA=0
@1 2 3
4 5 6
7 8 91
A;tA=0
@1 4 7
2 5 8
3 6 91
A;
ttA

=0
@1 2 3
4 5 6
7 8 91
A=A

14 CAPITOLUL 1. MATRICI S I DETERMINANT  I
Tr(A) = 1 + 5 + 9 = 15
Tr(tA) = 1 + 5 + 9 = 15
)Tr(A) =Tr(tA):
Observat ia 3 O matrice p atratic a este simetric a dac aA=tA;adic aaij=
aji;8i=1;n:Prin urmare ^ ntr-o matrice p atratic a simetric a elementele de
pe diagonala principal a r am^ an pe loc, iar celelalte elemente sunt simetrice ^ n
raport cu aceast a diagonal a.
Exemplu :A=0
@x a b
a y c
b c z1
Aeste o matrice simetric a.
1.5.3 Adunarea matricilor
Denit ia 10 FieA= (aij);B= (bij);C= (cij)2M m;n(C):MatriceaCse
nume ste suma matricelor A siBdac acij=aij+bij;8i=1;n:
Operat ia prin care oric aror dou a matrice de acela si tip li se asociaz a suma
lor, se nume ste adunarea matricelor .
Astfel: Fie
A=0
BB@a11a12::: a 1n
a21a22::: a 2n
::: ::: ::: :::
am1am2::: a mn1
CCA;
 si
B=0
BB@b11b12::: b 1n
b21b22::: b 2n
::: ::: ::: :::
bm1bm2::: b mn1
CCA)
C=A+B=0
BB@a11+b11a12+b12::: a 1n+b1n
a21+b21a22+b22::: a 2n+b2n
::: ::: ::: :::
am1+bm1am2+bm2::: a mn+bmn1
CCA:
Adunarea matricelor se poate face doar dac a matricele sunt de acela si tip.
Exemplu
A=0
@1 2 3
4 5 6
7 8 91
A;

1.5. OPERAT  II CU MATRICI 15
 si
B=0
@a b c
d e f
g h i1
A
Atunci
C=A+B=0
@1 +a2 +b3 +c
4 +d5 +e6 +f
7 +g8 +h9 +i1
A:
1.5.4 ^Inmult irea cu scalari a matricilor
Denit ia 11 FieA= (aij)2M (C):
Se nume ste produsul dintre scalarul 2C si matricea A, matricea notat a
A2M (C)denit a prin A= (aij):
Deci a ^ nmult i o matrice cu un scalar revine la a ^ nmult i toate elementele
matricei cu acest scalar.
Exemplu : Fie
A=0
BB@a11a12::: a 1n
a21a22::: a 2n
::: ::: ::: :::
am1am2::: a mn1
CCA
 si
2C)A=0
BB@a11a12::: a 1n
a21a22::: a 2n
::: ::: ::: :::
am1am2::: a mn1
CCA:
Exemplu : Dac aA=12 0
3 4 5
;atunci 3A=36 0
9 12 15
:
1.5.5 ^Inmult irea matricilor
Denit ia 12 Produsul a dou a matrici se poate deni astfel:
Dac aA=
a1a2::: a n

;A2M 1;n(C)

16 CAPITOLUL 1. MATRICI S I DETERMINANT  I
 siB=0
BB@b1
b2
:::
bn1
CCA;B2M n;1(C);atunci produsul matricilor A;B este
matriceaA
B= (a1b1+a2b2+:::+anbn)2M 1;1(C):
Sau dac aA= (aij)2M m;n(C) siB= (bjk)2M n;p(C), atunci
produsul lui AcuB, ^ n aceast a ordine este matricea de tip (m;p);
C= (cij)2M mp(C);undecij=
ai1ai2::: a in
0
BB@b1j
b2j
:::
bnj1
CCA=
=nP
n=1aikbkj;i=1;m;j =1;p:
Dac a se consider a matricea A denit a prin cele m linii L1;L2;:::L m;
iar matricea B prin cele p coloane c1;c2;:::c p;adic a
A=0
BB@L1
L2
:::
Lm1
CCA si respectiv B=
c1c2::: c p

;
atunci elementele matricei C=A
Bsunt numerele cij=Li
Cj;
adic a explicit
AB=0
BB@L1
L2
:::
Lm1
CCA
c1c2::: c p

=0
BB@L1C1L1C2::: L 1Cp
L2C1L2C2::: L 2Cp
::: ::: ::: :::
LmC1LmC2::: L mCp1
CCA:
Regula prezentat a mai sus se nume ste "regula de ^ nmult ire a liniilor
cu coloanele. "
Exemplu : S a se calculeze produsul AB pentru:
A=1 2 3
5 4 2
;B=0
@0 3 1 4
2 4 1 0
1 2 0 21
A;A2M 2;3(Z);B2M 3;4(Z)
AB=8 17 3 10
10 35 9 24
2M 2;4(Z):

1.6. DETERMINANT  I 17
1.6 Determinant i
Determinant ii au fost descoperit i de matematicianul japonez Seki Kowa
(1642-1708). Totu si matematicianul german G.W.Leibinz (1646-1716) este
considerat creatorul determinant ilor de si contribut ia sa a venit 10 ani mai
t^ arziu(1693) dup a cea a lui Kowa.
Bazele teoriei determinant ilor au fost puse de c atre G. Cramer(1704-
1752), PF Sarrus (1798-1861)  si AT Vandermonde (1735-1796) care au f acut
parte din S coala Francez a de Matematic a.
FieA= (aij)2M (C) o matrice p atratic a.
Se asociaz a acestei matrice un num ar complex, notat cu det(A), numit
determinantul matricei A.
Elementele matricei A vor  elemente ale determinantului det(A).
1.6.1 Determinant i de ordinul doi
Denit ia 13 Dac aA= (a11)2M 1(C)este o matrice p atratic a de ordinul
^ nt^ ai, atunci det(A) =a11:
PentruA=a11a12
a21a22
2M 2(C),
determinantul matricei A sau determinantul de ordinul doi este num arul
denit astfel;
det(A) =a11a12
a21a22=a11a22a12a21:
Termeniia11a22;a12a21, se numesc termenii dezvolt arii determinantului
de ordin doi.
Deci pentru o matrice p atratic a de ordinul doi determinantul ei este suma
a doi termeni, unul cu plus (produsul elementelor de pe diagonala principal a)
 si altul cu minus (produsul elementelor de pe diagonala secundar a).
Exemplu :
A=1 2
3 4
2M 2(Z)
)det(A) =1 2
3 4= 1
43
2 = 46 =2)det(A) =2:

18 CAPITOLUL 1. MATRICI S I DETERMINANT  I
1.6.2 Determinant i de ordinul trei
Denit ia 14 FieA= (aij)2M 3(C):Num arul
det(A) =a11a22a33+a13a21a32+a12a23a31a13a22a31a12a21a33a11a23a32
se nume ste determinantul matricei A sau determinant de ordin trei .
Pentru calculul determinantului de ordinul trei cele mai utilizate metode
suntRegula lui Sarrus sauRegula triunghiului .
Exemplu : S a se calculeze determinantul: D=1 2 3
2 1 0
3 1 2
Prin regula lui Sarrus vom avea:
D= 1
1
2+2
1
3+3
2
03
1
31
1
02
2
2 = 2+6+0908 =9
Prin regula triunghiului vom avea:
D= 1
1
2+3
2
1+2
0
33
1
31
0
12
2
2 = 2+6+0908 =9

Capitolul 2
Inversarea matricilor prin
metode elementare
Pentru anumite matrice p atratice A2M n(C) se poate deni inversa
matricei ^ n raport cu operat ia de ^ nmult ire a matricilor pe Mn(C).
Denit ia 15 FieA2 M n(C). Matricea A se nume ste inversabil a dac a
exist a matricea B2M n(C)cu proprietatea:
A
B=B
A=In;
undeIneste matricea unitate.
Matricea B se nume ste inversa matricei  si se noteaz a cu B=A1
2.1 Operat ii elementare pentru simplicarea
matricilor
Exist a trei tipuri de operat ii simple prin succesiunea c arora o matrice poate
 pus a ^ ntr-o form a simpl a, unic a  si util a pentru rezolvarea ecuat iilor, cal-
culul determinant ilor, inversarea matricilor sau determinarea rangului unei
matrice. Acestea sunt:
2.1.1 Schimbarea de linii
Schimbarea liniilor i  si j ale unei matrice ^ ntre ele poate  realizat a prin
^ nmult irea la st^ anga cu matricea de transpozit ie Ti;j^ n care ^ n afara diago-
nalei, singurele elemente nenule sunt 1 pe pozit iile (i,j)  si (j,i), iar pe diagonal a
19

20CAPITOLUL 2. INVERSAREA MATRICILOR PRIN METODE ELEMENTARE
doar elementele de pe pozit iile (i,i)  si (j,j) sunt 0.
Exemplu : Fie matricea A=0
BB@a b c d
e f g h
i j k l
m n o p1
CCA:
Pentru a schimba liniile 2  si 3 vom ^ nmult i la st^ anga matricea A cu matricea
de transpozit ie
T=0
BB@1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 11
CCA
Deci0
BB@1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 11
CCA
0
BB@a b c d
e f g h
i j k l
m n o p1
CCA=0
BB@a b c d
i j k l
e f g h
m n o p1
CCA.
2.1.2 ^Inmult irea unei linii cu un scalar nenul
^Inmult irea liniei i a matricei A cu un scalar k se poate realiza prin ^ nmult irea
la st^ anga cu matricea de multiplicare Ti(k) unde scalarul k apare pe pozit ia
(i,i), diagonala cont ine numai 1, iar restul elementelor sunt 0.
Exemplu : Fie matricea A=0
BB@1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 161
CCA
Pentru a ^ nmult i linia 3 cu scalarul k vom efectua T4(k)
A
Deci
0
BB@1 0 0 0
0 1 0 0
0 0k0
0 0 0 11
CCA
0
BB@1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 161
CCA=0
BB@1 2 3 4
5 6 7 8
9k10k11k12k
13 14 15 161
CCA
2.1.3 Adunarea unui multiplu scalar al unei linii altei
linii
Adunarea liniei i ^ nmult it a cu scalarul k la linia j, se obt ine prin ^ nmult irea
matricei la st^ anga cu matricea de adunare Ti;j(k) unde scalarul k apare pe

2.2. METODE DE INVERSARE A MATRICILOR 21
pozit ia (j,i), diagonala cont ine numai 1, iar restul elementelor sunt 0.
Exemplu : Fie matricea A=0
BB@1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 161
CCA
Pentru a aduna linia 2 ^ nmult it a cu scalarul k la linia 3 vom avea:
0
BB@1 0 0 0
0 1 0 0
0k1 0
0 0 0 11
CCA
0
BB@1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 161
CCA
=0
BB@1 2 3 4
5 6 7 8
5k+ 9 6k+ 10 7k+ 11 8k+ 12
13 14 15 161
CCA:
Se observ a c a matricile celor 3 operat ii elementare precedente sunt exact
rezultatul respectivelor operat ii aplicate matricei identice I.
Efectul operat iei de tip 1 asupra determinantului este ^ nmult irea acestuia
cu factorul -1.
Efectul operat iei de tip 2 este multiplicarea determinantului cu scalarul
k, ^ n timp ce operat ia de tip 3 nu schimb a determinantul.
Rezult a c a o matrice cu o linie format a din zerouri, sau cu dou]u a linii
dependente ori cu mai multe linii dependente are determinant 0.
Deci o matrice are determinant 0 dac a  si numai dac a o submult ime a liniilor
(sau coloanelor) sale este liniar dependent a.
2.2 Metode de inversare a matricilor
2.2.1 Reducerea ^ n treapt a relativ la coloan a (RTC)
Fiecare matrice A2M m;n(C) ^ i corespunde o form a canonic a 2M m;n(C),
a sa numita redus a ^ n trepte relativ la coloan a (RTC) a matricei A, ce
poate  obt inut a printr-o secvent  a (nu unic a) de operat ii elementare.
Mai multe matrici pot avea aceea si RTC, dar ecare matrice are o unic a RTC
relativ la secvent a de operat ii elementare folosit a.
RTC este denit a prin urm atoarele condit ii:
a) Orice linie ce nu este forma a numai din zerouri are 1 ca prim element

22CAPITOLUL 2. INVERSAREA MATRICILOR PRIN METODE ELEMENTARE
nenul;
b) Toate celelalte elemente ale coloanei corespunz atoare unui astfel de 1 sunt
0;
c) Toate liniile ce cont in numai zerouri sunt ultimele linii ale matricei;
d) Elementele 1 de la punctul a) apar sub form a de "scar a", de la st^ anga la
dreapta.
Primul element nenul dintr-o linie inferioar a (acesta ind 1 conform a)) apare
la dreapta celui corespunz ator ^ ntr-o coloan a superioar a.
Exemplu : Matricea0
BB@0 11 0 0 2
0 0 0 1 0 
0 0 0 0 1 4
0 0 0 0 0 01
CCAeste o RTC.
Determinantul unei matrice A2(Mn(C) este nenul dac a  si numai dac a
matricea RTC a ei este identitatea matriceal a ( al c a rei determinant este 1).
Valoarea de adev ar poate  calculat a  si prin evaluarea efectelor ec arei
operat ii elementare ce duc la forma RTC asupra determinantului.
Pentru un sistem de ecuat ii liniare A
x=bcuA2M m;n(C)  sib2Cm,
cu necunoscuta x2Cn, mult imea solut iilor r am^ ane neschimbat a dac a se
efectueaz a operat ii elementare asupra lui A  si b.
Solut iile pot  citite atunci din forma RTC a matricei ( A
b).
De fapt RTC este unic a  si dou a sisteme de forma A
x=bsunt echivalente
( au aceea si mult ime de solut ii) dac a matricile corespunz atoare extinse (Ab)
au acelea si RTC.
2.2.2 Metoda folosirii denit iei
FieA=1 2
1 3
. S a se determine inversa lui A.
Dac a exist a A1=a b
c d
;a;b;c;d2R, atunci trebuie s a avem:
A
A1=I2,1 2
1 3a b
c d
=1 0
0 1
,
,a+ 2c b + 2d
a+ 3cb+ 3d
)a+ 2c= 1
a+ 3c= 0;b+ 2d= 0
b+ 3d= 1)

2.2. METODE DE INVERSARE A MATRICILOR 23
5c= 1)c=1
5; 5d= 1)d=1
5
a= 12c)a= 12
1
5=3
5;b=2d)b=2
5
Deci
A1=3
52
51
51
5
:
2.2.3 Metoda utiliz arii transform arilor elementare de
linii asupra matricelor
Aceast a metod a se mai nume ste  si Metoda elimin arii Gauss-Jordan
Consider am aceea si matrice de la metoda 1, A=1 2
1 3
.
Vom considera matricea M, extinsa lui A prin ad augarea coloanelor matricei
unitateI2=1 0
0 1
, astfel:M=1 2
1 31 0
0 1
.
DeciM= (AjI2).
Pentru determinarea inversei utiliz am algoritmul:
Pasul 1 – Se formeaz a matricea M= (AjIn)
Pasul 2 – Utiliz^ and transform arile elementare se aduce matricea M la
forma (InjB), dac a este posibil.
Pasul 3 -A1=B.
Transform arile elementare care se pot face asupra liniilor sunt:
– Schimbarea a dou a linii ^ ntre ele;
-^Inmult irea unei linii printr-un num]u ar real nenul;
-^Inlocuirea unei linii prin suma dintre aceast a linie  si o alt a linie^ nmult it a
cu un num ar.
Revenind la matricea noastr a vom avea:
A=1 2
1 3
)M=1 2
1 31 0
0 1
)
1 2
1 31 0
0 1
L2+L1$1 2
0 51 0
1 11
5L2$1 2
0 11 0
1
51
5
L12L2$

24CAPITOLUL 2. INVERSAREA MATRICILOR PRIN METODE ELEMENTARE
1 0
0 13
52
51
51
5
)B=3
52
51
51
5
=A1:
2.2.4 Metoda utiliz arii matricii adjuncte
FieA(aij)2M 3(C) cuA=0
@a11a12a13
a21a22a23
a31a32a331
A.
Pasul 1 . Matricea A2M (C) este inversabil a dac a  si numai dac a ma-
tricea A este nesingular a, adic a det(A)6= 0.
Deci A este inversabil a ,det(A)6= 0.
Pasul 2 . Calcul am Attranspusa matricei A.
At=0
@a11a21a31
a12a22a32
a13a23a331
A
Adjuncta matricei A este Aale c arei elemente A
ij=Aij, reprezint a
complement ii algebrici ai elementelor aijdin matricea At,8i=1;3;8j=1;3.
Deci
A=0
@A11A21A31
A12A22A32
A13A23A331
A
, unde:
A11= (1)1+1
(a22
a33a23
a32)
A21= (1)1+2
(a12
a33a13
a32)
A31= (1)1+3
(a12
a23a13
a22)
A12= (1)2+1
(a21
a33a23
a31)
A22= (1)2+2
(a11
a33a13
a31)
A32= (1)2+3
(a11
a23a13
a21)
A13= (1)3+1
(a21
a32a22
a31)
A23= (1)3+2
(a11
a32a12
a31)
A33= (1)3+3
(a11
a22a12
a21)
Pasul 3 . Inversa matricei A=A1=1
det(A)
A

2.2. METODE DE INVERSARE A MATRICILOR 25
Exemplu :S a determin am inversa matricei A=0
@1 2 3
2 3 4
3 4 11
A.
Pasul 1. Calcul am mai ^ nt^ ai det(A) = (316)2(212) + 3(89) =
4;)det(A)6= 0)A este inversabil a;
Pasul 2. Calcul am At=0
@1 2 3
2 3 4
3 4 11
A;
Pasul 3. Calcul am complement ii algebrici:
A11= (1)1+1(316) =13
A21= (1)1+2(212) =(10) = 10
A31= (1)1+3(89) =1
A12= (1)2+1(212) =(10) = 10
A22= (1)2+2(19) =8
A32= (1)2+3(46) =(2) = 2
A13= (1)3+1(89) =1
A23= (1)3+2(46) =(2) = 2
A33= (1)3+3(34) =1
DeciA=0
@13 101
108 2
1 211
A)A1=A
det(A))
A1=1
4
0
@13 101
108 2
1 211
A)
A1=0
@13
45
21
45
221
2
1
41
21
41
A:
.

26CAPITOLUL 2. INVERSAREA MATRICILOR PRIN METODE ELEMENTARE

Capitolul 3
Alte metode de inversare a
matricilor
3.1 Inversarea prin partit ionare
3.1.1 Matrici partit ionate
Partit ionarea unei matrice este o descompunere exhaustiv a a matricei ^ n
submatrici disjuncte, astfel c a ecare intrare a matricei init iale s a fac a parte
exact dintr-o submatrice a partit iei.
Partit ionarea unei matrice este adesea un instrument foarte util ^ n rezolvarea
unor probleme.
FieA2M m;n(C). Pentru mult imi de indici f1;:::;mg si
f1;:::;ngvom nota prin A(;) submatricea format a cu elemente ce au
indicii de linie ^ n iar indicii de coloan a ^ n .
Exemplu :0
@1 2 3
4 5 6
7 8 91
A:
Pentruf1;3g sibetaf1;2;3g)A(;) =1 2 3
7 8 9
.
Dac am=n si=, matriceaA(;) se nume ste submatrice principal a a
lui A,  si se folose ste abrevierea A().
Uneori este convenabil de a indica submatricile sau submatricile princi-
27

28CAPITOLUL 3. ALTE METODE DE INVERSARE A MATRICILOR
pale prin excluderea liniilor, respectiv coloanelor. Aceasta se face prin com-
plementarea mult imilor de indici prin semnul '(prim). De exemplu A(0;0)
este submatricea obt inut a prin  stergerea elementelor cu indice de linie  si a
elementelor cu indice de coloan a .
Determinantul unei submatrice p atrate a matricei A se va numi minor
al lui A, iar ^ n cazul unei submatrice principale, minor principal .
Un minor cu semn, ca ^ n cazul dezvolt arii Laplace (0 ;3;1)((1)i+jdetA ij)
se nume ste cofactor ^ n A.
Prin convent ie, minorul principal vid este 1; detA () = 1.
3.1.2 Partit ii  si multiplicare
Dac a1;:::; leste o partit ie a mult imii f1;:::;mgiar1;:::; seste
o partit ie a mult imii f1:::;ng, vom spune c a matricile A(i;j) formeaz a o
partit ie a matricii A2M m;n(C);1il;1js.
Dac aA2M m;n(C)  siB2M n;p(C) sunt partit ionate astfel ^ nc^ at
partit iile mult imii f1;:::;ngcoincid, se spune c a cele dou a partit ion ari sunt
conforme.
^In acest caz ( AB)(ai;
j) =sP
k=1A(i;k)
B(k;
j), undeA(i;k)  si
B(k;
j) sunt partit ion ari conforme ale matricilor A  si B.
Membrul st^ ang este submatrice a produsului uzual AB, iar ecare sumand
din dreapta este produsul obi snuit a dou a matrici.
A sadar, multiplicarea matricilor conforme copiaz a regula ^ nmult irii
obi snuite, iar adunarea matricilor partit ionate are sens deasemenea c^ and
partit ionarea este aceea si.
3.1.3 Inversa unei matrici partit ionate
O important a aplicat ie a partit ion arii ^ n blocuri o constituie inver-
sarea unei matrice.
S a presupunem c a B este inversa matricei A. Atunci
AB=I
sau prin partit ionare
A11A12
A21A22B11B12
B21B22
=I O
O I

3.1. INVERSAREA PRIN PARTIT  IONARE 29
Efectu^ and^ nmult irile  si identic^ and matricile din cei doi membri, vom obt ine:
A11B11+A12B21=I (3.1)
A11B12+A12B22=O (3.2)
A21B11+A22B21=O (3.3)
A21B12+A22B22=I (3.4)
Din (3.2) avem
B12=A1
11
A12
B22
care ^ nlocuit a ^ n (3.4) ne conduce la
B22= (A22A21A1
11A12)1:
DeoareceBA=I, vom avea:
B21A11+B22A21 = 0;
de unde
B21=B22A21A1
11
iar din (3.2) vom avea:
B11=A1
11A1
11A12B21:
Exemplu : S a se a
e inversa matricei
A=0
@2 3 4
4 2 1
3 211
A
Partit ion am lu^ and
A11= 2;A12= (3 4 );A21=4
3
siA 22=2 1
21
Calcul amB22=P1;unde
P=A22A21A1
11A12=47
5
27

30CAPITOLUL 3. ALTE METODE DE INVERSARE A MATRICILOR
Pentru a a
a P1proced am prin acela si algoritm, consider^ and A=P si
f ac^ and partit ionarea
A11=4;A12=7;A21=5
2;A22=7:
Avem urm atoarele calcule:
B22=
7 +5
2
1
4
(7)1
=8
21
B12=1
4(7)
8
21
=2
3
B21=8
21
5
2
1
4
=5
21
B11=1
4+1
4(7)5
21
=2
3
P1=2
32
35
218
21
Acum revenim la calculul inversei matricei A init ial a. Vom avea:
B22=P1
B12=A1
11A12B22=1
2(3 4 )2
32
35
218
21
=11
215
21

B21=B22A21A1
11=1
32
21
B11=A1
11A111A12B21=1
21
2(3 4 )1
32
21
=
4
21
Din care rezult a:
A1=B11B12
B21B22
=0
@4
2111
215
211
32
32
32
215
218
211
A

3.2. INVERSA UNEI AJUST ARI DE RANG MIC 31
3.2 Inversa unei ajust ari de rang mic
Dac a se cunoa ste inversa unei matrice se pune uneori problema felului
^ n care aceasta se modic a dac a se adun a matricii init iale o matrice de rang
mic.
Exist a o formul a care ^ n situat ia ^ n care ajustarea este sucient de simpl a,
noua invers a poate  calculat a convenabil.
S a presupunem c a matricea nesingular a A2M n(C) are inversa A1 si
s a consider am
B=AXRY;
undeX=nr;Y=rn;iarR=rr si este nesingular a.
Dac a B este nesingular a atunci
B1=A1A1(R1+YA1X)1YA1:
Demonstrat ia 1
B=A+XRYjA1
BA1=I+XRYA1jX
BA1X=X+XRYA1X=XRR1+XRYA1X
BA1X=XR(R1+YA1X)j(R1+YA1X)1
BA1X(R1+YA1X)1=XRjY
BA1X(R1+YA1X)1Y=XRY =BA
BA1X(R1+YA1X)1Y=BAjA1
BA1X(R1+YA1X)1YA1=BA1I
BA1BA1X(R1+YA1X)1YA1=I
B1=A1BA1X(R1+YA1X)1YA1:
Dac a r este mult mai mic dec^ at n, atunci R  si R1+YA1Xsunt mult
mai u sor de inversat dec^ at B, iar dac a A este u sor de inversat  si are o form a
ce determin a multiplic ari simple, formula de mai sus poate  mai competitiv a
dec^ at inversarea direct a a lui B.
Dac a de exemplu, ajustarea are rang 1, X=n1;Y= 1n siR= (1);
formula devine:
B1=A11
1 +YA1XA1XYA1

32CAPITOLUL 3. ALTE METODE DE INVERSARE A MATRICILOR
(^ n acest caz XY=BA):
^In particular, dac a B=I+xyr;pentrux;y2Cn;I2M n(C);atunci
B1=I1
1 +yrxxyr;
pentruyrx6=1:
3.3 Teorema Hamilton – Cayley
O ecuat ie matriceal a AX=Xpoate  scris a sub forma ( AI)X= 0
 si este echivalent a sistemului liniar omogen de ecuat ii:
8
>><
>>:(a11)x1+a12x2+:::+a1nxn= 0
a21x1+ (a22)x2+:::+a2nxn= 0
:::::::::::::::
an1x1+an2x2+:::+ (ann)xn= 0
care admite solut ii distincte dac a
P() =det(AI) =(a11)a12::: a 1n
a21 (a22)::: a 2n
::: ::: ::: :::
an1an2:::(ann)= 0
Denit ia 16 PolinomulP() =det(AI)se nume ste polinom carac-
teristic al matricei A  si ecuat ia P() = 0 se nume ste ecuat ie caracter-
istic a a matricei A.
Polinomul caracteristic poate  scris deasemeni  si sub forma:
P() = (1)n[n1n1+:::+ (1)nn]
undeieste suma principalilor minori de ordinul i ai matricei A.
Observat ia 4 Solut iile ecuat iei caracteristice det(AI) = 0 sunt dease-
meni valori ale matricei A.
Observat ia 5 Dac a mult imea Keste ^ nchis a, atunci toate r ad acinile ecuat iei
caracteristice sunt ^ n mult imea K, deci vectorii corespondent i
6apart in spat iului vectorial K2M n+1(C).
Dac a mult imea Keste deschis a, spre exemplu K=R, atunci ecuat ia carac-
teristic a poate avea deasemeni r ad acini complexe  si vectorii caracteristici vor
apart ine spat iului real vectorial R.

3.3. TEOREMA HAMILTON – CAYLEY 33
Observat ia 6 Dou a matrici identice au acela si polinom caracteristic.
^Intr-adev ar, dac a A  si A' sunt identice, atunci A0=C1ACpentru orice
matrice nesingular a C  si
P0() =det(A0I) =det(C1ACI) =det[C1(AI)C] =
=det(C1)det(AI)detC =det(AI) =P()
Dac aA2M n(K)  siP(x) =a0xn+a1xn1+:::+an2K(X) atunci poliomul
P(A) =a0An+a1An1+:::+anIse nume ste polinom matriceal .
Teorema 1 Dac aP()este polinomul caracteristic al matricei A, atunci
P(A) = 0 . (Teorema Hamilton-Cayley )
Demonstrat ia 2 S a consider am P() =det(AI) =a0n+a1n1+
:::+an:
Deasemeni matricea adjunct a a lui AIeste dat a de relat ia
(AI)=Bn1n1+Bn2n2+:::+B1+B0;Bi2M n(K)
 si este satisf acut a de relat ia (AI)
(AI)=P()
I, deci:
(AI)(Bn1n1+Bn2n2+:::+B1+B0) = (a0n+a1n1+:::+an)I
Identic^ and coecient ii polinomului ^ n vom obt ine:
a0I=Bn1
a1I=ABn1Bn2
a2I=ABn2Bn3
::: ::::::
an1I=AB 1B0
anI=AB 0An
An1
An2
:::
A
:
Adun^ and ecuat iile termen cu termen vom avea:
a0An+a1An1+:::+anI= 0
Consecint  a 1) . Orice puterena matriceiA2M n(K) poate  scris a ^ n
termeni ai puterii n1 .
Consecint  a 2) . Inversa matricei A poate  exprimat a prin ridicarea matricei
A la diferite puteri, inferioare ordinului ei.

34CAPITOLUL 3. ALTE METODE DE INVERSARE A MATRICILOR
Inversarea unei matrici cu ajutorul coecient ilor polinomului
caracteristic .
Fie A o matrice p atratic a de ordinul n. Consider am polinomul caracter-
istic cu semn schimbat ( detA6= 0):
det(IA) =n+a1n1+:::+an
Din identitatea Hamilton-Cayley avem
An1+a1An2+:::+an1I=anA1
sau, pentru an6= 0, avem:
A1=1
an(An1+a1An2+:::+an1I)
Exemplu : S a se determine prin metoda Hamilton-Cayley inversa ma-
tricii nesingulare
A=0
BB@1 2 3 4
2 1 2 3
3 2 1 2
4 3 2 11
CCA:
Rezolvare :
det(IA) =det8
>><
>>:0
BB@1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 11
CCA0
BB@1 2 3 4
2 1 2 3
3 2 1 2
4 3 2 11
CCA9
>>=
>>;
det(IA) =det0
BB@1234
2123
3212
43211
CCA
Astfel polinomul caracteristic este:
det(IA) =4434025620

3.3. TEOREMA HAMILTON – CAYLEY 35
Puterile lui A vor :
A2=0
BB@1 2 3 4
2 1 2 3
3 2 1 2
4 3 2 11
CCA0
BB@1 2 3 4
2 1 2 3
3 2 1 2
4 3 2 11
CCA=0
BB@30 22 18 20
22 18 16 18
18 16 18 22
20 18 22 301
CCA
A3=A2A=0
BB@30 22 18 20
22 18 16 18
18 16 18 22
20 18 22 301
CCA0
BB@1 2 3 4
2 1 2 3
3 2 1 2
4 3 2 11
CCA=0
BB@208 178 192 242
178 148 154 192
192 154 148 178
242 192 178 2081
CCA
DeciA1=1
208
>><
>>:0
BB@208 178 192 242
178 148 154 192
192 154 148 178
242 192 178 2081
CCA40
BB@30 22 18 20
22 18 16 18
18 16 18 22
20 18 22 301
CCA
400
BB@1 2 3 4
2 1 2 3
3 2 1 2
4 3 2 11
CCA560
BB@1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 11
CCA9
>>=
>>;
A1=0
BB@0;4 0;5 0 0;1
0;51 0;5 0
0 0;51 0;5
0;1 0 0;50;41
CCA:
Vericarea preciziei calculelor se face prin egalitatea AA1=I

36CAPITOLUL 3. ALTE METODE DE INVERSARE A MATRICILOR

Bibliograe
[1] J.Florea, G.Zidaru, Mecanica Fluidelor , Ed. Didactic a  si pedagogic a,
1986
37