1 Ecuat ii diferent iale ordinare,de ordinul n 4 1.1 Not iuni preliminare. Exemple Forma general a a unei ecuat ii diferent iale lineare de… [604261]

Capitolul 1
1 Ecuat ii diferent iale ordinare,de ordinul n 4
1.1 Not iuni preliminare. Exemple
Forma general a a unei ecuat ii diferent iale lineare de ordinul n este:
Lya0(x)y(n)+a1(x)y(n1)+::::+a(n1)(x)y0+an(x)y=F(x);(1)
unde
aj2C0(I);j=0;n;F2C0(I);IR: (2)
Dac aa0(x)6= 0;x2I^ mp art im cu a0 si obt inem:
Lyy(n)+p1(x)y(n1)+::::+p(n1)(x)y0+pn(x)y=f(x); (3)
^ n care am f acut urm atoarele notat ii:
pj(x) =aj(x)
a0(x);j=1;n;f (x) =F(x)
a0(x): (4)
S a presupunem c a exist a puncte x ^ n care a0(x) = 0 . ^In aceste puncte
ecuat ia ^  si pierde ordinul; ele sunt puncte de singularitate.
Reamintim c a un operator L:X!Y, unde X ,Y sunt spat ii vectoriale, se
nume ste linear dac a
L(x1+x2) =Lx 1+Lx 2;8;2RnC;8×1;x22X: (5)
Demonstr am c a L denit prin (1) este operator liniar.
^Intr-adev ar, e y;z2Cn(I); ;2RnC. Avem:
L(y+z) = (y+z)(n)+p1(x)(y+z)(n1)+:::+
+pn1(x)(y+z)0+pn(x)(y+z) =
= (y)(n)+ (z)(n)+p1(x)((y)(n1)+ (z)(n1)) +:::+
+p(n1)(x)((y)0+ (z)0) +pn(x) + ((y) + (z) =
=[yn+p1(x)y(n1)+:::+p(n1)(x)y0+pn(x)y] +
+[zn+p1(x)z(n1)+:::+p(n1)(x)z0+pn(x)z];
adic a
L(y+z) =Ly+Lz; (6)
care este tocmai ce trebuia demonstrat.
1

S i ^ n acest caz, recunoa stem un operator linear dup a faptul c a funct ia ne-
cunoscut a  si derivatele sale p^ an a la ordinul n inclusiv, apar la puterea ^ nt^ ai.
Deci o ecuat ie diferent ial a ordinar a de ordinul n2 este linear a dac a este
de gradul ^ nt^ ai ^ n raport cu funct ia necunoscut a y  si cu derivatele acesteia p^ an a
la ordinul n inclusiv.
Exemplu:
|Ecuat iay(4)+x2y0+x4exy= 0 este linear a, deoarece este de gradul 1 ^ n
raport cu y, y0 siy(4).
Ecuat iile (1)  si (3)sunt lineare deoarece operatorul diferent ial L,
L:Cn(I)!C0(I) este liniar.
1.1.1 Propriet at i generale ale EDO liniare de ordinul n
Orice schimbare nesingular a de variabil a transform a o EDO linear a tot ^ ntr-o
ecuat ie linear a de acela si ordin.
^Intr-adev ar, e schimbarea:
x=f(t);f2Cn([;]);[;]R;
cuf0(t)6= 0;t2[;]:. Conform teoremei funct iilor implicite ), exist a transfor-
marea invers a t='(x).
Calcul am derivatele succesive ale lui y ^ n raport cu noua variabil a t. Avem:
dy
dx=dy
dt
dt
dx=1
f0(t)
dy
dt;
d2y
dx2=1
f0(t)
d
dt1
f0(t)
dy
dt
=1
f02(t)
d2y
dt2f00(t)
f03(t)
dy
dt;
Calcul^ andu-le ^ n continuare, vom g asi tot expresii lineare, care, introdu-se ^ n
(1), vor conduce ^ n nal la o EDO linear a de acela si ordin.
Orice schimbare linear a de funct ie ^ ntr-o EDO linear a ^ i conserv a lineari-
tatea  si ordinul.
2

1.2 Ecuat ii diferent iale liniare  si omogene de ordinul n
Ecuat iile (1)  si (3) sunt neomogene, deoarece au termen liber.
Le putem asocia ecuat ii omogene corespunz atoare astfel:
Ecuat iei (1) ^ i corespunde ecuat ia omogen a:
Lya0(x)y(n)+a1(x)y(n1)+::::+a(n1)(x)y0+an(x)y= 0; (7)
iar ecuat iei (3) ^ i asociem ecuat ia omogen a:
Lyy(n)+p1(x)y(n1)+::::+p(n1)(x)y0+pn(x)y= 0: (8)
Dup a cum am ment ionat, ne vom ocupa de (8).
Nucleul operatorului L este Ker L=
y2Cn(I)jLy= 0
Cn(I).
Cu alte cuvinte,Ker L este mult imea solut iilor ecuat iei de ordinul n(8),linear a
 si omogen a.
Teorema 1.1 Ker L este un subspat iu linear al lui Cn(I).
Demonstrat ie: Fiey;z2KerL . Aceasta ^ nseamn s c a Ly=0, Lz=0 pe I.
^Ins a L este linear, deci
L(y+z) = Ly|{z}
=0+ Lz|{z}
=0= 0; (9)
de unde rezult a c a ( y+z)2KerL:
Conform cuno stint elor despre spat ii vectoriale, putem face urm atoarele armat ii:
Deoarece Ker L este spat iu vectorial, orice element din Ker L se exprim a
ca o combinat ie linear a de elementele unei baze din Ker L .
Pentru a rezolva ecuat ia omogen a (8) este deci sucient s a determin am o
baz a ^ n Ker L .
Putem demonstra c a dimensiunea lui Ker L este n,adic a:
dim Ker L=n : (10)
Acest fapt are  si o conrmare intuitiv a evident a. Dac a derivata de ordinul
^ nt^ ai introduce, prin integrare, o constant a arbitrar a , derivata de ordinul n in-
troduce, dup a cum se  stie, n constante arbitrare (adic a n grade de libertate).
O baz a ^ n Ker L este deci format a din n funct ii linear independente din
Ker L , adic a din n solut ii linear independente ale ecuat iei omogene (8).
3

Denitie 1 Numim sistem fundamental de solut ii pentru ecuat ia(8) o baz a ^ n
Ker L .
Reamintim denit ia linear independent ei unui sistem de funct ii.
Fie
yj
j=1;nC0(I):
Denitie 2
yj
j=1;nse nume ste sistem linear dependent dac a exist a constan-
tele realec1;c2;::;cn, nu toate nule (mai precisPn
j=1c2
j6= 0) ,astfel ^ nc^ at
c1y1(x) +c2y2(x) +:::+cnyn(x) = 0;8x2I (11)
^In caz contrar, sistemul se nume ste lindependent.Adic a:
Denitie 3
yj
j=1;nse nume ste sistem linear independent dac a egalitatea
c1y1(x) +c2y2(x) +:::+cnyn(x) = 0; (12)
valabil a pentru orice x2I, implic a :
cj= 0;j=1;n: (13)
1.2.1 Cum veric am dac a un sistem este linear independent?
Pentru simplicarea expunerii,lu am n=3; cazul n arbitrar se trateaz a absolut
similar. Consideram deci sistemul fy1;y2;y3g2C3(I)
Dac a este valabil a relat ia:
c1y1(x) +c2y2(x) +c3y3(x) = 0; (14)
atunci  si derivatele sale sunt nule:
c1y0
1(x) +c2y0
2(x) +c3y0
3(x) = 0;
c1y00
1(x) +c2y00
2(x) +c3y00
3(x) = 0;(15)
pentru orice x2I.
Cele trei relat ii din (14)  si (15) formeaz a un sistem algebric linear  si omogen,
av^ and drept necunoscute pe c1;c2;c3. Determinantul asociat este:
W[y1;y2;y3]y1(x)y2(x)y3(x)
y0
1(x)y0
2(x)y0
3(x)
y00
1(x)y00
2(x)y00
3(x);x2I; (16)
 si il numim Wronskian. Din cele spuse mai sus rezult a c a
Dac aW0 , atunci sistemul algebric linear de mai sus admite solut ii
nenule, decify1;y2;y3gformeaz a un sistem linear dependent;
4

Dac aW6= 0 ^ n I, atunci sistemul admite doar solut ia identic nul a, deci
ffy1;y2;y3gformeaz a un sistem linear independent.
Fiefy1;y2;y3gsolut ii ale ecuat iei lineare
Lyy000+p1(x)y00+p2(x)y0+p3(x)y= 0: (17)
Teorema 1.2 Dac afy1;y2;y3gKer L formeaz a un sistem linear independent,
atunciW[y1;y2;y3]6= 0,8x2I.
Denitie 4 Determinantul
W[y1;y2;



;yn]y1(x)y2(x)



yn(x)
y0
1(x)y0
2(x)



y0
n(x)
y00
1(x)y00
2(x)



y00
n(x)


















y(n1)
1 (x)y(n1)
2 (x)



y(n1)
n (x)
se nume ste Wronskianul funct iilor fy1;y2;::::;yng.
Teorema 1.2,ca  si armat iile de mai sus asupra Wronskianului unui sistem
de trei funct ii, se pot demonstra cu u surint  a  si pentru n oarecare.
^In concluzie, pentru un sistem fy1;y2;::::;yngKerL , cu L dat de(8), este
valabil a urm atoarea alternativ a :
sauW[y1;y2;:::;yn]0pe I rezult a c afy1;y2;:::;yngformeaz a un sistem
linear dependent;
W[y1;y2;:::;yn]6= 0pe I  si rezult a c a sistemul fy1;y2;:::;yngformeaz a un
sistem linear independent;
Fiefyjgj=1;nKerL dat de (8), o baz a Ker L.
Atunci orice solut ie y a ecuat iei (8), linear a  si omogen a, se exprim a sub
forma combinat iei lineare:
y(x) =c1y1(x) +c2y2(x) +::::+cnyn(x);x2I;cj2R;j=1;n (18)
Putem conchide deci c a solut ia general a a ecuat iei omogene
Lyy(n)+p1(x)y(n1)+::::+p(n1)(x)y0+pn(x)y= 0;x2I (19)
se exprim a sub forma:
y(x) =c1y1(x) +c2y2(x) +::::+cnyn(x); (20)
undecjsunt constante arbitrare,iar fyjgj=1;nformeaz a un sistem fundamental
de solut ii.
Teorema 1.3 Un sistem fundamental dat fyjgj=1;n^ i corespunde o singur a
ecuat ie diferent ial a linear a omogen a de forma(8)(av^ and coecientul lui y(n)egal
cu 1)
5

Demonstrat ie:
Demonstrat ia se face pentru n=3, pentru u surint a expunerii.
Fiefy1;y2;y3gKerL este sistem fundamental de solut ii, el este o baz a
^ n Ker L,deci putem g asi 3 constante reale c1;c2;c3astfel ^ nc^ at:
y(x) =c1y1(x) +c2y2(x) +c3y3(x);x2I: (21)
Dar asta ^ nseamn a c a funct iile fy1;y2;y3gformeaz a un sistem linear dependent,
ceea ce echivaleaz a cu a spune c a W[y1;y2;y3]0 ^ n I.
Adic a: y1y2y3y
y0
1y0
2y0
3y0
y00
1y00
2y00
3y00
y000
1y000
2y000
3y000= 0;x2I: (22)
Dezvolt^ and membrul st^ sng dup a ultima coloan a, ajungem la o ecuat ie diferent ial a
ordinar a linear a, ^ n y. Ea este de ordinul 3, deoarece coecientul lui y000este
tocmai determinantul:
y1y2y3
y0
1y0
2y0
3
y00
1y00
2y00
3=W[y1;y2;y3] (23)
care coincide cu Wronskianul sistemului fy1;y2;y3g si este nenul, deoarece
sistemul este fundamental. Dezvolt^ and determinantul (22) mai departe, coe-
cientul luiy00va :
y1y2y3
y0
1y0
2y0
3
y00
1y00
2y00
3=d
dxW[y1;y2;y3] (24)
Ecuat ia care admite sistemul fy1;y2;y3gdrept sistem fundamental va  de
forma:
W(x)y000d
dxW(x)y00+:::= 0: (25)
^Imp art ind cu coecientul lui y000, obt inem ecuat ia c autat a:
y0001
W(x)
d
dxW(x)y00+:::= 0: (26)
Pentru n arbitrar, ecuat ia precedent a se scrie:
y(n)1
W(x)
d
dxW(x)y(n1)+:::= 0: (27)
Din (24), compar^ and cu forma general a (8) a ecuat iei, rezult a:
p1(x) =1
W(x)
d
dxW(x); (28)
6

sau, integr^ and o dat a,
lnjW[y1;y2;:::;yn]j=Z
p1(x)dx+lnjCj: (29)
Trec^ snd la exponent ial a, obt inem formula lui Liouville,  si anume:
W[y1;y2;:::;yn] =C
eR
p1(x)dx: (30)
1.2.2 Unicitatea
Deoarece dimKer L=n , ^ nseamn a c a n+1 solut ii ale unei ecuat ii lineare  si omo-
gene, de ordinul n, sunt linear dependente.
Presupunem c a sistemului fundamental fyjgj=1;n^ i corespund dou a aseme-
nea ecuat ii lineare  si omogene, diferite
L1yy(n)+p1(x)y(n1)+:::+pn1(x)y0+pn(x)y= 0;
L2yy(n)+q1(x)y(n1)+:::+qn1(x)y0+qn(x)y= 0:(31)
Sc^ az^ and membru cu membru,obt inem:
(p1q1)y(n1)+ (p2q2)y(n2)+:::+ (pn1qn1)y0+ (pnqn)y= 0:(32)
Deoarece oricare yj;j=1;nsatisface ambele ecuat ii (31), rezult a c a ea sat-
isface  si (32). Dac a p16=q1, ordinul ecuat iei este, evident, ( n1) .
Cumfyjgj=1;neste sistem fundamental, ^ nseamn a c a ecuat ia (32), de ordinul
(n1) , admite n solut ii linear independente, ceea ce reprezint a o contradict ie.
Decip1(x)q1(x);8x2I.
Analog se demonstreaz a c a pk(x)qk(x);8x2I, pentru orice k=2;n.
1.3 Ecuat ii diferent iale de ordinul n,lineare  si neomogene
Relu^ am ecuat ia diferent ial a linear a  si neomogen a
Lyy(n)+p1(x)y(n1)+:::+pn1(x)y0+pn(x)y=f(x); (33)
undepj;f2C0(I):
Putem demonstra c^ ateva fapte matematice de mare important  a pentru re-
zolvarea ei.
Dac a Y este o solut ie particular a a ecuat iei neomogene (33), iar z este
solut ia general a a EDO omogene asociate Ly= 0 , rezult a c a solut ia general a a
EDO neomogene este:
y=Y+z: (34)
Demonstrat ie:
S a facem schimbarea de funct ie y=Y+z, z ind noua funct ie necunoscut a.
Introducem ^ n (33)  si, t in^ and cont c a L este linear, rezult a:
7

Ly=L(Y+z) =LY+Lz=f+Lz;
Ly=f;)f=f+Lz)Lz= 0:(35)
Presupunem c a termenul liber al ecuat iei(33)este o sum a de forma:
f=f1+f2+:::+fk; (36)
 si eYjsolut iile particulare corespunz atoare ec arui fj,adic a:
LYj=fj;j=1;k: (37)
Atunci:
Y=kX
j=1Yj (38)
este solut ie particular a pentru ecuat ia neomogen a LY=f:
Demonstat ia se face prin calcul direct:
LY=LkX
j=1Yj
=|{z}
LlinearkX
j=1LYj=kX
j=1fj=f (39)
Dac a se cunoa ste un sistem fundamental de solut ii pentru ecuat ia (19),
atunci putem determina o solut ie particular a pentru ecuat ia neomogen a (33)
folosind metoda variat iei constantelor.
Dac a se cunoa ste un sistem fundamental de solut ii pentru ecuat ia neo-
mogen (33), atunci solut ia sa general a se determin a prin cuadraturi (integr ari,primitive).
Demonstrat ie:
Dac afyjgj=1;neste sistem fundamental de solut ii,rezult a c a solut ia general a
a ecuat iei omogene asociate lui (33), adic a Ly= 0,este:
yomog =nX
j=1cjyj;x2I: (40)
Atunci:
I.O solut ie particular a Y a lui(33)este:
Y=nX
j=1Z
'j(x)dx

yj; (41)
undec0
j='jsunt solut ii ale sistemului algebric:
c0
1y1+c0
2y2+:::+c0
nyn= 0;
c0
1y0
1+c0
2y0
2+:::+c0
ny0
n= 0;
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
c0
1y0
1+c0
2y0
2+:::+c0
ny0
n=f:(42)
8

II.Conform I,y=Y+z, deci solut ia general a a ecuat iei (33) este:
y(x) =nX
j=1cjyj+nX
j=1Z
'j(x)dx

yj; (43)
unde'j=c0
j;j=1;nsatisfac sistemul(42).
1.4 Ecuat ii diferent iale lineare de ordinul n, cu coecient i
constant i
Forma general a a acestor ecuat ii este:
Lya0y(n)+a1y(n1)+a2y(n2)+:::+an1y0+any=f(x); (44)
undeak2R;k=0;n:
Am v azut c a solut ia general a a unei ecuat ii diferent iale ordinare lineare  si
neomogene se exprim a ca o sum a dintre o solut ie particular a a sa  si solut ia gen-
eral a a ecuat iei omogene asociate.
Cunoa sterea unui sistem fundamental de solut ii a ecuat iei omogene asociate
conduce imediat la solut ia general a a ecuat iei neomogene.
1.4.1 Ecuat ii diferent iale lineare  si omogene
Fie:
Lya0y(n)+a1y(n1)+a2y(n2)+:::+an1y0+any= 0; (45)
ecuat ia omogen a asociat a lui (44). Operatorul L, denit prin membrul
st^ ang al acestei ecuat ii, este linear, ^ n sensul aceleia si denit ii dat a la ecuat iile
diferent iale de ordinul I.
S i ^ n acest caz recunoa stem un operator linear dup a faptul c a funct ia ne-
cunoscut a  si derivatele sale p^ an a la ordinul n inclusiv apar la puterea I.
Nucleul operatorului este:
kerL =fy2Cn(R)jLy= 0g; (46)
Pentru rezolvarea unei ecuat ii lineare de ordinul n trebuie s a g asim o baz a
^ n ker L.
Reamintim c a o baz a a unui spat iu vectorial n-dimensional este o mult ime
format a din n elemente linear independente ale spat iului.
Fiefy1;y2;:::;yngo baz a ^ n ker L. Atunci solut ia general a a ecuat iei (45) se
scrie ca o combinat ie linear a cu coecient i arbitrari de elementele bazei, deci:
y(x) =c1y1(x) +c2y2(x) +::::+cnyn(x): (47)
9

MOD DE REZOLVARE:
^In cazul coecient ilor constant i, se caut a solut ii de forma exponent ial a y=
erx,dup a a ideea lui Leonhard Euler.
Deriv am succesiv  si introducem ^ n ecuat ie:
an y=erx
an1 y0=rerx
an2 y00=r2erx
::::::::::::::::::: ::::::::::::::::::::::::::
a1 y(n1)=rn1erx
a0 y(n)=rnerx
Ly=erx(a0rn+a1rn1+:: :: +an1r+an) = 0;(48)
deci,pentru ca erxs a e solut ie trebuie ca:
a0rn+a1rn1+:::+ar1r+an= 0: (49)
Ecuaia (49) se nume ste ecuat ie caracteristic a. Ea admite ^ ntotdeauna n r ad acini
^ n corpul complex.
Fiefr1;r2;::;rngaceste r ad scini.
A. R ad acini reale  si distincte.
^In acest caz, baza din ker L pe care o c aut am este format a din funct iile
er1x;er2x;::::;ernx, prin urm atoarea corespondent  a:
er1xer2xer3x::::ernx(50)
prin urmare solut ia general a a ecuat iei este:
y(x) =c1er1x+c2er2x+:::+cnernx: (51)
B. R ad acini complex conjugate.
Fier1=a+ib. Atunci ecuat ia caracteristic a, av^ and coecient i reali, mai
admite  si pe r2=aibca r ad acin a.
Pentru simplitatea expunerii, s a presupunem c a celelalte r ad acini sunt reale.
Pentru a r am^ ane ^ n cadrul real, vom ^ nlocui e(a+ib)x,e(aib)xcu combinat ii
lineare reale ale acestora, folosind formulele lui Euler:
eaxcosbx =eaxeibx+eibx
2;
eaxsinbx =eaxeibxeibx
2i:(52)
10

Atunci schema (50) devine:
eaxcosbx eaxsinbx er3x:::ernx: (53)
 si solut ia general a a ecuat iei este:
y(x) =eax(c1cosbx +c2sinbx ) +c3er3x+:::+cnernx: (54)
C. R ad acini multiple.
Spre deosebire de cazurile precedente, acesta necesit a  si alte preciz ari.
Nu putem folosi direct schema (50), deoarece am obt ine, evident, un sistem
linear dependent.
S a consider am mai ^ nt^ ai ecuat ia de ordinul II:
Lyay00+by0+cy= 0: (55)
Presupunem c a ecuat ia sa caracteristic a:
ar2+br+c= 0; (56)
admite r ad acinile reale r1;r2, foarte apropiate ca valoare, dar, totu si, dis-
tincte.
Atunci putem folosi schema (50), care, ^ n acest caz, devine:
er1xer2x(57)
Dac ar2!r1, atunci schema nu funct ioneaz a. Pentru a ^ nl atura acest
inconvenient, putem nlocui pe er2xcu combinat ia linear a:
er2xer1x
r2r1; (58)
care, evident, este  si ea solut ie a ecuat iei (55).
Trec^ and la limit a pentru r2!r1obt inem:
lim
r2!r1er2xer1x
r2r1= lim
r2!r1d
dr2(er2xer1x)
d
dr2(r2r1)= lim
r2!r1xer2x
1=xer1x: (59)
^Inseamn a c a, dac a r2=r1, putem considera pentru ecuat ia (55) schema:
er1xxer1x: (60)
11

^Intr-adev ar, cele dou a funct ii din schem a sunt solut ii ale ecuat iei  si sunt  si
linear independente, deoarece Wronskianul lor:
W
er1x;xer1x
=er1xxer1x
r1er1xxr1er1x+er1x=e2r1x1x
r1xr1+ 1=e2r1x
(61)
este nenul. Solut ia general a a ecuat iei(55)este:
y(x) =c1er1x+c2xer1x; (62)
sau:
y(x) =er1x(c1+c2x): (63)
Ne situ am acum ^ n cazul general. Presupunem, pentru simplitate, c a r1
este r ad acin a multipl a de ordinul m a ecuat iei caracteristice (49), iar celelalte
r ad acinirm+1;rm+2;:::;rnsunt reale  si distincte.
La fel ca mai ^ nainte, se demonstreaz a c a ^ n acest caz schema (50) devine:
er1xxer1x:::xm1er1xerm+1x:::ernx; (64)
 si deci solut ia general a a ecuat iei este:
y(x) =er1x
c1+c2x+:::+cmxm1
+c3er3x+:::+cnernx: (65)
CONCLUZIE:
Pentru ecuat iile diferent iale ordinare cu coecient i constant i putem
determina efectiv ^ ntotdeauna un sistem fundamental de solut ii, ex-
primat prin funct ii elementare.
1.4.2 Polinom Diferent ial
Fie din nou ecuat ia:
Lya0y(n)+a1y(n1)+a2y(n2)+:::+an1y0+any=f(x); (66)
Observ am c a ea se mai poate scrie  si ^ n felul urm ator:
Lya0dn
dxny+a1dn1
dxn1y+:::+an1d
dxy+any=f(x): (67)
S a not am cu D operatorul derivat a,adic a :
Dd
dx: (68)
Atunci:
dk
dxk=Dk; (69)
12

 si operatorul L se mai poate scrie  si sub forma:
Lya0Dny+a1Dn1y+:::+an1Dy+anEy=f(x); (70)
unde am notat cu E operatorul identitate, adic a:
Ey=y: (71)
Forma:
Lya0Dny+a1Dn1y+:::+an1Dy+anEy=f(x); (72)
mai poate  modicat a astfel:
Ly
a0Dn+a1Dn1+:::+an1D+anE
y=f(x): (73)
Operatorul din paranteza de mai sus este,formal, un polinom de grad ^ n D.
El se nume ste polinom diferent ial.
Vom folosi urm atoarea notat ie pentru polinomul diferent ial:
Pn(D)a0Dn+a1Dn1+:::+an1D+anE: (74)
Rezult a c a ecuat ia:
Lya0Dny+a1Dn1y+:::+an1Dy+anEy=f(x); (75)
se mai poate scrie  si in alt mod:
LyPn(D)y=f(x): (76)
Observat ie. ^Inlocuind ^ n Pn(D)a0Dn+a1Dn1+:::+an1D+anEpe D cu r
 si deriv arile succesive cu puteri,obt inem polinomul caracteristic asociat ecuat iei
diferent iale.
Formule de calcul I. S a aplic am polinomul diferent ial unei exponent iale:
y=ex: (77)
T  in^ and seama de faptul c a:
D(ex) =ex;Dk(ex) =kex; (78)
obt inem:
Pn(D)(ex) =
a0Dn+a1Dn1+:::+an1D+anE
ex=
=a0Dnex+a1Dn1ex+:::+an1Dex+anEex=
=a0nex+a1n1ex+:::+an1ex+anex=
=
a0n+a1n1+:::+an1+an
ex;(79)
deci:
Pn(D)(ex) =Pn()ex: (80)
II.Putem demonstra o alt a formul a de calcul foarte util a, valabil a pentru
orice polinom diferent ial:
13

Lema 1.1 Dac au;v2Cn(I),atunci:
Pn(D)(uv) =uPn(D)v+1
1!u0P0
n(D)v+1
2!u00P00
n(D)v+:::+
+1
(n1)!u(n1)P(n1)n(D)v+1
n!u(n)P(n)
n(D)v:(81)
Demonstrat ia se face folosind formula lui Leibniz:
Dk(uv) =uDkv+u0Dk1v+C2
nu00Dk2v+
+:::+Cn1
nu(n1)Dv+vDnu:(82)
O vom da pentru n=2.
Pentru n arbitrar, rezult a imediat prin indut ie complet a.
Fie operatorul:
P(D)aD2+bD+cE: (83)
Avem:
D2(uv) =uD2v+C1
2DuDv +vD2uja
D(uv) =uDv +vDujb
E(uv) =uvjc)P(D)(uv) =u(aD2v+bDv+cv)+
+Du(aC1
2Dv+bEv) +avD2u:
(84)
Observ am c a :
u(aD2v+bDv+cEv) =uP(D)v;
Du(aC1
2Dv+bEv) =Du(2aDv +bEv) =DuP0(D)v;
D2u(av) =1
2D2u(2av) =1
2!D2uP00(D)v:(85)
Formula:
Pn(D)(uv) =uPn(D)v+1
1!u0P0
n(D)v+1
2!u00P00
n(D)v+:::+
+1
(n1)!u(n1)P(n1)n(D)v+1
n!u(n)P(n)
n(D)v:(86)
este astfel demonstrat a.
1.4.3 ECUAT II DIFERENT IALE LINEARE S I NEOMOGENE
Conform celor spuse^ n paragraful anterior, deoarece^ n cazul ecuat iilor diferent iale
ordinare cu coecient i constant i se determin a ^ ntotdeauna un sistem fundamen-
tal de solut ii sub form a de funct ii elementare, r am^ ane s a determin am o solut ie
particular a a ecuat iei neomogene:
Lya0y(n)+a1y(n1)+a2y(n2)+:::+an1y0+any=f(x); (87)
Desigur, putem aplica metoda variat iei constantelor, ^ ns a, ^ n cazul coecient ilor
constant i, dac a termenul liber se exprim a prin funct ii elementare, putem g asi
metode mai simple dec^ at aceasta.
Distingem mai multe cazuri:
I.Termenul liber este polinom de gradul m ^ n x, adic a:
f(x) =Pm(x): (88)
14

Dac aan6= 0 , cutm solut ia particular a Y(x) pentru ecuat ia LY=Pm(x) sub
forma unui polinom de acela si grad, deci :
Y(x) =Qm(x): (89)
Coecient ii lui Qm(x) se determin a simplu, prin identicare.
Dac aan;an1;:::;anr(r<n ) sunt nuli, c aut am pe Y sub forma:
Y(x) =xr1Qm(x): (90)
II.. Termenul liber este o exponent ial a, adic a:
f(x) =Aex: (91)
Distingem  si aici dou a cazuri:
nu este r ad acin a a ecuat iei caracteristice, deci Pn()6= 0 . ^In acest caz,
c aut am o solut ie particular a a ecuat iei neomogene de forma termenului liber,
adic a:
Y(x) =aex: (92)
Deriv^ and  si introduc^ and ^ n ecuat ie, obt inem:
aPn()ex=Aex; (93)
de unde,prin identicare,deducem:
a=A
Pn(): (94)
este r ad acin a multipl a de ordinul m;mn, a ecuat iei caracteristice, deci:
Pn() = 0;P0
n() = 0;P00
n() = 0;:::;P(m1)
n ()6= 0; (95)
dar
P(m)
n()6= 0: (96)
^In acest caz, c aut am o solut ie particular a a ecuat iei neomogene de forma:
Y(x) =axmex: (97)
Deriv am,lu am u=axm;v=ex.
Introduc^ and ^ n ecuat ie, obt inem:
a0axmPn()ex+a1maxm1P0
n()ex+:::+
+1
(m1)!(m+ 1)!ax
am1P(m1)
n ()ex+
+1
m!a
amP(m)
n()ex=Aex;(98)
15

de unde, prin identicare,deducem:
a=A
amP(m)
n(): (99)
III.Termenul liber este o exponent ial a ^ nmult it a cu un polinom, adic a:
f(x) =Pm(x)ex: (100)
Distingem din nou dou a cazuri:
nu este r ad acin a a ecuat iei caracteristice. ^In acest caz, c aut am o solut ie
particular a a ecuat iei neomogene de forma termenului liber, adic a:
Y(x) =Qm(x)ex: (101)
este r ad acin a multipl a de ordinul r;rn, a ecuat iei caracteristice.
^In acest caz, c aut am o solut ie particular a a ecuat iei neomogene de forma:
Y(x) =xrQm(x)ex: (102)
Observat ie. Dac aeste r ad acin a multipl a a ecuat iei caracteristice, este mai
simplu s a folosim mai ^ nt^ ai schimbarea de funct ie:
y(x) =z(x)ex: (103)
Obt inem o ecuat ie diferent ial a ordinar a ^ n z, ^ n care exponent iala se simplic a
 si al c arui termen liber este un polinom; suntem deci ^ ntr-unul din cazurile A.
IV.Termenul liber este o funct ie trigonometric a (sin ;cos)
f(x) =asinx+bcosx: (104)
Distingem din nou dou cazuri:
inu este r ad acin a a ecuat iei caracteristice. ^In acest caz, c aut am o solut ie
particular a a EDO neomogene de forma termenului liber, adic a:
Y(x) =Acosx+Bsinx: (105)
ieste r ad acin a multipl a de ordinul m a ecuat iei caracteristice. ^In acest
caz, c aut am o solut ie particular a a ecuat iei neomogene de forma:
Y(x) =xm(acosx+bsinx): (106)
16

V.Dac a termenul liber este o funct ie de forma:
f(x) =Pm(x)(acosx+bsinx)ex; (107)
am putea c auta din nou solut ia particular a sub o form a asem anatoare cu
termenul liber,t in^ and seama  si de r ad acinile ecuat iei caracteristice.
^Ins a este mai simplu s a efect am mai ^ nt^ ai schimbarea
y(x) =z(x)ex; (108)
dup a simplicarea cu ex, s a determin am o solut ie particular a pentru ecuat ia
^ n z, conform celor ar atate la punctul precedent.
1.5 ECUAT II DIFERENT IALE DE ORDIN SUPERIOR,
INTEGRABILE PRIN CUADRATURI
1.Cea mai simpl a ecuat ie de ordinul n, integrabil a prin cuadraturi este:
y(n)=f(x); (109)
undef2C0(I);IR.
Solut ia general a se poate obt ine prin n cuadraturi  si este dat a de formula:
y=1
(n1)!Rx
x0(xt)n1f(t)dt+C0+C1xx0
1!+:::+Cn1(xx0)n1
(n1)!;
x2I;C0;C1;:::;Cn12R:(110)
^Intr-adev ar, din ecuat ia y(n)=f(x) se obt ine:
y(n1)=Zx
x0f(t)dt+Cn1;x2I; (111)
y(n2)=Zx
x0dxZx
x0f(t)dt+Cn1(xx0) +Cn2;x2I; (112)
Rezult a:
y=Zx
x0dxZx
x0dx:::Zx
x0f(t)dt+C0+C1xx0
1!+:::+Cn1(xx0)n1
(n1)!;x2I;
(113)
unde integrala este luat a de n ori.
Egalitatea:
Zx
x0dxZx
x0dx:::Zx
x0f(t)dt=1
(n1)!Zx
x0(xt)n1f(t)dt; (114)
numit a formula lui Cauchy, se demonstreaz a prin induct ie complet a.
Pentru n=2 avem: Zx
x0dxZx
x0f(t)dt=I

f(t)dxdt; (115)
17

unde
este triunghiul av^ and v^ arfurile x0;x0);(x;x0);(x;x).
Schimb^ and ordinea de integrare, obt inem:
Zx
x0dxZx
x0f(t)dt=Zx
x0dtZx
tf(t)dx=Zx
x0f(t)dtZx
tdx=Zx
x0(xt)f(t)dt;
(116)
Deci: Zx
x0dxZx
x0f(t)dt=Zx
x0(xt)f(t)dt (117)
Presupun^ and c a egalitatea este adev arat a pentru n1, vrem s a o demon-
str am pentru n.
Avem:
Zx
x0dxZx
x0dx::::Zx
x0f(t)dt=1
(n2)!Zx
x0(xt)n2f(t)dt; (118)
unde integrala este luat a de n1ori. Integr^ and ^ nc a o dat a ^ n raport cu x  si
folosind cazul n= 2 , obt inem:
Rx
x0dxRx
x0dx::::Rx
x0f(t)dt=1
(n2)!Rx
x0(xt)n2f(t)dt=
=1
(n1)!Rx
x0(xt)n1f(t)dt:(119)
^In felul acesta, formula solut iei generale a ecuat iei y(n) =f(x) este demon-
strat a. Dac a f= 0 , atunci solut ia general a a ecuat iei este un polinom arbitrar
de graduln1:
y=C0+C1x+:::+Cn1xn1;x2I;C0;C1;:::;Cn12R: (120)
2.Alte ecuat ii de ordinul n integrabile prin cuadraturi sunt:
F
x;y(n)
= 0;
F
y(n1);y(n)
= 0;
F
y(n2);y(n)
= 0:(121)
Dac a se cunoa ste o reprezentare parametric a a curbei F(u;v) = 0,
u='(t); v= (t); '; 2C1(I);IR; (122)
18

atunci, ^ n ecare caz din:
F
x;y(n)
= 0;
F
y(n1);y(n)
= 0;
F
y(n2);y(n)
= 0:(123)
solut ia general a se obt ine prin n cuadraturi.
Pentru ecuat ia:
F
x;y(n)
= 0;IR: (124)
avem:
x='(t);y(n)= (t);'; 2C1(I);IR: (125)
Observ am c a:
d
y(n1)
= (t)'(t)dt; (126)
de unde deducem c a:
y(n1)=Z
(t)'(t)dt+C0: (127)
Repet^ and acela si procedeu obt inem:
y= (t) +Pn1('(t));t2I; (128)
undePn1este un polinom arbitrar de gradul n1. Cumx='(t), rezult a c a
am obt inut solut ia general a sub form a parametric a:
x='(t);
y= (t) +Pn1('(t));t2I:(129)
Pentru ecuat ia:
F
y(n1);y(n)
= 0;x2IR; (130)
avem:
y(n1)='(t);y(n)= (t);'; 2C1(I);IR: (131)
Observ a m c a:
d
y(n1)
= (t)dx; (132)
19

de unde deducem:
dx='0(t)
(t)dt: (133)
Prin integrare obt inem:
x=Z'0(t)
(t)dt+C1: (134)
^In felul acesta, am redus problema la cea precedent a:
x= (t);
y(n1)='(t):(135)
Avem:
d
y(n1)
='(t)dx='(t)'0(t)
(t)dt; (136)
deci:
y(n2)=Z
'(t)'0(t)
(t)dt+C2: (137)
Solut ia general a se obt ine prin n2 cuadraturi.
Pentru ecuat ia:
F
y(n2);y(n)
= 0;x2IR; (138)
avem:
y(n2)='(t);y(n)= (t);'; 2C1(I);IR: (139)
Observ am c a:
d
y(n1)
= (t)dx (140)
de unde deducem:
d
y(n1)
=y(n)dx
d
y(n2)
=y(n1)dx(141)
Obt inem:
d
y(n1)
y(n)=d
y(n2)
y(n1); (142)
sau:
y(n1)d
y(n1)
=y(n)d
y(n2)
= (t)'0(t)dt: (143)
20

Rezult a:
y(n1)2
=Z
(t)'0(t)dt+C: (144)
^In felul acesta, cunosc^ and y(n1) siy(n2), ecuat ia s-a redus la tipul studiat
anterior cu:
y(n1)=R
(t)'0(t)dt+C1
2
y(n2)= (t):(145)
3.Multor ecuat ii diferent iale de ordin superior li se poate mic sora ordinul.
De exemplu, este cazul ecuat iilor difereniale de forma:
F
x;y(k);y(k+1);:::;y(n)
= 0;
F
y;y0;:::;y(n1);y(n)
= 0:(146)
Pentru ecuat ia:
F
x;y(k);y(k+1);:::;y(n)
= 0; (147)
prin schimbarea de funct ie:
y(k)=u; (148)
obt inem o ecut ie de ordinul n-k:
F(x;u;u0;:::;u(nk)) = 0: (149)
Dac a reu sim s a integr am aceast a ecuat ie, rezult a:
u='(x;C 2;C2;:::;Cnk); (150)
 si:
y(k)='(x;C 2;C2;:::;Cnk): (151)
Pentru ecuat ia:
F
y;y0;:::;y(n1);y(n)
= 0; (152)
prin transformarea:
y0=p; (153)
 si lu and pe y ca variabil a independent a, obt inem redus cu o unitate.
21

^Intr-adev ar, dac a:
dy
dx=p; (154)
atunci:
d2y
dx2=d
dxdy
dx
=dp
dx=dp
dy
dy
dx=p
dp
dy; (155)
Analog:
d2y
dx2=pdp
dy2
+p2
d2p
dy2: (156)
Observ am c a derivateledky
dxkse scriu cu ajutorul lui p  si a derivatelordp
dy;:::;dk1
p
dyk1.
Obt inem o ecuat ie diferent ial a de ordinul n-1, unde p este funct ia necunos-
cut a, iar y este variabila independent a.
4.Reducerea ordinului se poate realiza  si pentru ecuat ia diferenial a
de ordinul n:
F
x;y(k);y(n1);:::;y(n)
= 0; (157)
omogen a ^ n y;y0;:::;y(n1);y(n). Prin transformarea:
y0
y=u; (158)
ecuat iei i se reduce ordinul cu o unitate.
^Intr-adev ar, ecuat ia se scrie:
F
x;y(k)
y;y(n1)
y;:::;y(n)
y
= 0: (159)
F ac^ and substitut ia y0=yu, obt inem succesiv:
y00=y0u+yu0=y
u2+u0
;
y000=y0
u2+u0
+y
2uu0+u00
=y
u3+ 3uu0+u00
:(160)
Se observ a c a y(k)se exprim a cu ajutorul lui y ^ nmult it cu o expresie care
cont ine derivatele u;u0;:::;u(k1).
Rezult a c a ecuat iei init iale i se poate reduce ordinul cu o unitate.
5.O alt a ecuat ie diferent ial a important a, c areia i se poate reduce ordinul
este de forma:
F
y;xy0;:::;xn1y(n1);xny(n)
= 0: (161)
22

Ecuat iile lineare de forma (161) se numesc ecuat ii de tip Euler.
Prin schimbarea de variabil a: x=et,x>0, obinem:
dy
dx=etdy
dt;
d2y
dx2=e2t
d2y
dt2dy
dt
;
d3y
dx3=e3t
d3y
dt33d2y
dt2+ 2dy
dt
:(162)
deci:
x
dy
dx=dy
dt;
x2
d2y
dx2=d2y
dt2dy
dt;
x3
d3y
dx3=d3y
dx33
d2y
dt2+ 2
dy
dt:(163)
Prin urmare xkse exprim numai cu , iar ecuaia se transform n
23