1. Capitolul 1 – Introducere ………………………….. ………………………….. .. 3 2. Capitolul 2 – Teorie… [621183]

1

CUPRINS

1. Capitolul 1 – Introducere ………………………….. ………………………….. .. 3
2. Capitolul 2 – Teorie ………………………….. ………………………….. ……….. 5
2.1 Distanța Hausdorff ………………………….. ………………………….. ……… 5
2.2 Sisteme de funcții iterative: ………………………….. ………………………. 8
2.3 Fractali Clasici ………………………….. ………………………….. …………. 10
2.4 Triunghiul lui Sierpinski ………………………….. ………………………….. 13
2.5 Covorul lui Sierpinski ………………………….. ………………………….. … 13
2.4 Dimensiunea Fractală ………………………….. ………………………….. .. 14
2.5 Metoda Box Counting ………………………….. ………………………….. .. 22
2.5.1 Descrierea Metodei ………………………….. ………………………….. .. 22
2.5.2 Tipuri de scanare ………………………….. ………………………….. …… 24
2.5.2.1 Scanări grilă fixă ………………………….. ………………………….. . 24
2.5.2.2 Box Sliding ………………………….. ………………………….. ……… 26
2.5.2.3 Mostră și dimensiunile locale ………………………….. ………….. 27
Consideratii tehnologice ………………………….. ………………………….. …. 28
3. Capitolul 3 – Aplicatie ………………………….. ………………………….. …… 29
Familie de poze 1 – celule sănătoase: ………………………….. …………… 30
Familie de poze 1 – celule nesănătoase: ………………………….. ……….. 32
Familie poze 2 – celule sănătoase: ………………………….. ……………….. 34
Familie poze 2 – celule nesănătoase: ………………………….. ……………. 36
Interpretarea rezultatelor: ………………………….. ………………………….. .. 38
4. Capitolol 4 – Concluzii ………………………….. ………………………….. ….. 39
Bibliografie: ………………………….. ………………………….. ……………………… 40
Fractals Found ation: ………………………….. ………………………….. ………. 40
Yale University Courses: ………………………….. ………………………….. … 40
Fami lie poze 1: ………………………….. ………………………….. ……………… 40
Familie de poze 2: ………………………….. ………………………….. …………. 40
Fractals Useful Beauty ………………………….. ………………………….. …… 40

2
Crysta links ………………………….. ………………………….. ……………………. 40
Harvard courses ………………………….. ………………………….. ……………. 40
Anexe ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 41
Algoritm rgb2gray ………………………….. ………………………….. ………….. 41
Algoritm im2bw ………………………….. ………………………….. ………………… 43
Algoritm Box -Counting ………………………….. ………………………….. ……. 45

3

1. Capitolul 1 – Introducere

Geometria fractal ă este o ram ură a matematicii care prezint ă orice
obiect din mediul înconjur ător sub o alt ă percep ție. Aceasta poate
schimba viziunea asupra lucrurilor cu care am fost obișnuiț i cum ar fi
norii, fulgerele, plantele ș i multe altele.
Probabil cel mai remarcabil lucru despre studiul fractalilor este că
există modele fractal e peste tot în jurul nostru . Chiar dacă cre dem că nu
știm nimic despre fractali încă, de fapt, deja știm, pentru că a m crescut
într-o lume plină de fractali.
În aces t prim capitol vom afla mai întâi despre fractali de ramificare
natural ă și apoi despre fractali matematici .
Regnul vegetal este plin de modele fractale și în timp ce noi am
început doar de curând să discutăm despre aceste modele sub numele
de "fractal i" (din anii 1970 ), oamenii au observat aceste tipuri de modele
de mult timp. Poate că prima descriere a unui model fractal în natură a
venit d e la marele artist și om de știință Leonardo da Vinci în secolul al
15-lea.
Există câteva lucruri esen țiale pentru a observa structura fractală a
unui copac. În primul rând, un copac este compus din ramuri aproximativ
auto similare. Prin asta in țelegem că o mică bucată de copac arată
oarecum ca un întreg copac.
În al doilea rând, în timp ce un copac este un obiect mare,
complex, acesta este format prin repetarea unui proces simplu din nou si
din nou.

4
Acesta este un principiu de bază pe care il vom vedea deseori în
toate modelele de fractali pe care le vom întâlni, fie ele în natură, în
matematica scris ă sau într -un calc ulator.
Termenii “dimensiune fractală” și “fractali” au fost introduș i de
matematicianul Benoit B. Mandelbrot în 1975 , aproximativ la un deceniu
după ce a fost publicat ă lucrarea sa cu privir e la auto -similaritate despre
coast a Marii Britanii.
Un fractal este o curb ă sau o form ă foarte neregulat ă pentru care
orice parte aleasă în mod convenabil devine similară ca form ă cu o alt a
mai mare sau mai mic ă în momen tul în care cea dintâi este scalată la
dimensiunea celei de a doua.
Astfel , făcând zoom î ntr-un fractal vom putea g ăsi anumite str ucturi
repet ându-se la infinit.
Fractalii se reg ăsesc peste tot în mediul înconjur ător. Putem reg ăsi
șabloane de toate dimensiunile, pornind de la cochiliile scoicilor p ână la
spiralele galaxiilor.
Cele mai vechi rădăcini a ceea ce Mandelbrot a sintetizat ca
dimensiune fractală au fost trasate în mod clar în publicaț ii despre
funcțiile non -diferenț iabile, infinit de auto similare, care sunt importante în
definirea matematică a fractali lor, în jurul a nilor 1600.
A existat o perioadă de acalmie în lucrările publicate cu privire la
aceste funcții pentru o durată de timp după aceea, apoi o reînnoire
începând de la sfârșitul anilor 1800 odată cu publicarea funcțiilor
matematice și mulțimi care sun t numite astăzi “fractali canonici” (cum ar
fi lucrările lui Koch, Sierpinski și Julia), dar la momentul formulări i lor au
fost adesea consideraț i "monș tri" ai matematicii antitetice.
Aceste lucrări au fost însoțite probabil de punctul esențial în
dezvoltarea conceptului de “dimensiune fractală ” prin activitatea

5
matematicianului Felix Hausdorff la începutul anilor 1900, care a definit o
dimensiune "fracționată" care a ajuns să fie numit ă după el și este
frecvent invocată în defin irea fractali lor modern i.
2. Capitolul 2 – Teorie
2.1 Distanț a Hausdorff

Dimensiunea Hausdorff este definită doar pentru spa ții metrice ,
folosind concepte de lungime și volum, ce necesită o metric ă.
Definiț ie 1. Fie X o metric ă și C o colecț ie de sub mulțimi . Atunci
norma lui C este
Norm(C) = sup{diam(B) | B ∈ C}
Definiț ia dimensiunii Hausdorff este dată folosind o măsur ă a
spațiului, deci vom defini în primul rând mă sura Hausdorff.
Definiț ie 2: Fie
),(dX un spaț iu metric complet și fie
)(XK mulțimea
părților compacte ale lui
X . Vom defini pe
)(XK o distanță (numit ă
distan ța Hausdorff) dup ă cum urmeaz ă. Pentru orice
)(XKA și pentru
orice
0 definim
}),(, ; {    yxdAy Xx A . Distan ța Hausdorff pe
)(XK
este
).( , }, ; inf{),( XKBA ABsiBA BAh   

Se demonstreaz ă că spaț iul
)),(( hXK este spaț iu metric complet.

Definiț ie 2: Fie A o submulțime a lui X. Atunci
Hd(A,e) = inf{ ∑diam(B i)d | C ={B i},norm(C )< e} , unde C este o
acoperire numă rabilă a lui A.
Încercă m să folosim o noț iune geomtric ă pentru a defini o nouă
dimensiune.

6
Suma ∑diam(B i) poate fi gândită ca mă rimea unui segment 1−d în
spațiu.
Suma ∑diam(B i)d este volumul num ărului de cuburi d -dimensionale
necesare pentru a acoperi spaț iul.
Pentru a putea folosi H d cu usurinț ă, definim mă sura:
Definiț ie 3: P-dimensiunea Hausdorff M d este
Md(A) =sup{H d(A,e)}.
Observa ție 1: a < b ⇔ Hd(A,a )≥ Hd(A,b), de aceea
Md (A) =lim e→0(A,e).
Aceast ă măsură ne spune volumul lui A dacă ar fi într-un spa țiu
d-dimensiona l.
Definiț ie 4: Dimensiunea Hausdorff a lui A e ste
DimH(A) = sup{d: 0 < M d(A)<∞}.
Observaț ie 2: Dacă p ≤ d , atunci Mp(A) ≥ Md(A).
Definiția este naturală , dimensiunea lui A fiind cea mai mare
dimensiune pentru care volumul lui A este finit.
Teorema 1 : Dacă 0 < M d (A) < ∞ atunci dim H (A) =d.
Demonstraț ie: Arătă m în primul rând că dacă p < d , atunci
Mp(A) = ∞. M d(A) > 0 ⇒ există 1 > δ > 0,t > 0 astfel încât Hd(A,δ ) =t , din
defini ția lui Hd. Iar prin definiț ie, pentru orice e < σ avem Hd(A,e)≤t .
Alegem e astfel încat ed−p < 𝑡
𝑁 ;e < δ , unde N este un numă r arbitrar.
Fie C ={B i}, cu norm(C )< e.
Amintim ca x<y ⇔x−1>y−1.
∑diam (Bi)p =∑ diam (Bi)p−ddiam (Bi)d ≥ep−d∑diam (Bi)d≥
≥ep−dHd(A,e)≥≥𝑁
𝑡 =N.

7
Pentru orice n, există un e astfel încât ∑diam (Bi)p nu converge,
pentru orice mulțime C, cu norm (C) ≤ e. Rezult ă că
Mp(A) = lime→0 Hd(A,e) =∞.
Atunci, dacă d < p , din demonstrația anterioară rezult ă că Md(A)=∞,
contrazic ând presupunerea. Rezultă că demonstra ția este complet ă.
Cele de monstrate anterior sunt logice în sensul în care pentru a
acoperi un pă trat (o formă geometrică bidimensio nală) cu linii (o formă
geometrică unidimensio nală) avem ne voie de o infinitate de linii. Așa
cum am mai spus, mă sura ne dă un ”volum” al mulțimii .
Dacă dimensiunea este d, atunci, dacă încerc ăm să măsurăm o
mulțime A cu o dimensiune p < d volumul s ău p-dimensional va fi ∞.
Ultima teoremă ne ajută în determinarea mă surii unui spa țiu. Atunci
când găsim o m ăsură Hausdorff d care nu este 0 înseamnă că am g ăsit
dimensiunea c ăutată .
Din punct de veder e vizual, acest concept ne oferă un cursor
continuu pentru complexitatea vizual ă a unui fractal. Partea întreagă din
dimensiunea fractală , adică 2 spre ex emplu, ne arată în ce dimensiune
euclidiană se află fractalul. Iar partea fra cționară , de exemplu , 3 din 2,3,
se nume ște incrementul fractalic.
În esentă, cu cât acest increment crește, fractalul ocupă local din
ce în ce mai mult din dimensiunea euclidiană în care se află , spre
exemp lu un plan, spre ocuparea locală a unei părț i din dimensiunea
euclidian ă imediat urmatoare, adica spaț iu.
Pentru a explica de ce folosesc cuvântul local în exemplul de mai
sus, ofer următorul exemp lu: chiar dacă o minge este un obiect
tridimensional, suprafa ța sa nu este, iar cu c ât mărim sau cu câ t facem
zoom pe acea supr afață, ea devine local planar ă.

8
Deci, în principiu o suprafață nu trebuie s ă fie neap ărat un plan
euclidian plat pentru a avea o d imensiune fractal ă de 2, și nici nu trebuie
să ocupe toate cele trei dimensiuni pen tru a avea o dimensiune frac tală
de 3.
Principala atracț ie a geometriei fractale st ă în abilitatea acesteia de
a descrie formele iregulate sau fragmentate ce nu pot fi analiz ate cu
geometria clasi că euclidiană .
Conceptul ofer ă o modalitate de scalar e a sistemelor din planul real
și oferă o interpretare geometric ă relativ simplă ș i ușor de manipulat prin
tehnici matematice.
2.2 Sisteme de funcț ii iterative:

În matematică, sistemele de funcții iterative ( IFS ) sunt o metodă
de construire a fractalilor. Construcțiile rezultate sunt întotdeauna auto
similare.
Fractali i IFS, așa cum sunt numiț i în mod normal , pot avea orice
număr de dimensiuni , dar sunt de obic ei calculaț i și desena ți în 2D .
Fractal ul este format din unirea mai multor c opii ale sale , fiecare
exemplar fiind transformat de o funcție ( deci "sistem funcțional" ) .
Exemplul canonic este numit „triunghiul lui Sierpinski” .
Funcți ile sunt în mod norm al, contracț ii, ceea ce înseamnă că ele
aduc formele din ce î n ce mai aproape și le fac din ce î n ce mai mici . Prin
urmare, forma unui fractal IFS este form at din mai multe copii mai mici ,
care se suprapun , eventual , fiecare dintre acestea fii nd, de asemen ea,
formate din copii ale sale . Aceasta este sursa naturii sale fractale auto
similară.

9
Un sistem de func ții iterati ve este un mulțime finită de contracț ii
peste un spa țiu metric complet:
{fi:X→ X | i=1,2, … , N}, N ∈N
Este un sistem de funcț ii itera tive dacă fiecare fi este o contracție
a spaț iului metric complet X.
Hutchinson a arătat că, pentru spațiul metric Rn, un astfel de
sistem de funcții are un mulțime compact ă fixă S, unică și nevid ă
(închis ă și delimitat ă). O modalitate de construire a un ei mulțimi fixe este
de a începe cu un punct inițial sau o mulțime S0 și iter ăm acțiunile fi,
luând S n + 1 să fie unirea imaginil orSn;
𝑆=⋃𝑓𝑖(𝑆)𝑁
𝑖=1

Mulțimea S este , așadar, mulțimea fixă a operatorului Hutchinson.
𝐻(𝐴)= ⋃𝑓𝑖(𝐴)𝑁
𝑖=1

Existența și unicitatea lui S este o consecință a principiului contracție i,
așa cum este și faptul că
lim
𝑛→∞𝐻𝑛(𝐴)=𝑆

10

2.3 Fractali Clasici

În continuare , vom descrie modul de obț inere a câ torva fractali
clasici.
În matematică, mulțimea Cantor este o mulțime de puncte situate
pe un segment de dreapt ă care are un număr de proprietăți remarcabile.
Aceasta a fost descoperit ă în 1874 de că tre Henry John Stephen Smith
și introdus ă de matematicianul german Georg Cantor în 1883.
Prin luar ea în considerare a acestei mulțimi , Cantor și alții au
ajutat la pune rea bazel or moderne pentru topologi a punct – mulțime . Cu
toate că însuși Cantor a definit mulțimea într-un mod general, abstract ,
cea mai comună construcție modernă este mulțimea lui Cantor construit ă
prin eliminarea treime i mijlocii a unui segment de dreaptă .
Mulțimea lui Ca ntor este creat ă iterativ, prin ș tergerea treimei
mijlocii dintr -un set de segmente de dreapt ă. Se începe prin ș tergerea
intervalului
[1
3,2
3]𝑑𝑖𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑢𝑙 [0,1]

obținându-se astfel dou ă segmente de dreaptă :

[0,1
3]⋃[2
3,1]

11
Apoi, se elimin ă treimea mijlocie din aceste segmente r ămase,
obținâ nd astfel 4 segmente de drept ă:

[0,1
9]⋃[2
9,1
3]⋃[2
3,7
9]⋃[8
9,1]

Acest proces se poate repeta de o infinitate de ori. La pasul n
mulțimea este

𝐶𝑛=𝐶𝑛−1
3⋃(2
3+𝐶𝑛−1
3)𝑠𝑖𝐶0=[0,1]

Mulțimea lui Cantor este format ă din totalitatea punctelor care nu
vor fi eliminate la niciun pas din acest proces infinit.

𝐶∶= lim
𝑛→∞𝐶𝑛=⋂𝐶𝑛∞
𝑛=1

Primii șase paș i din acest proces sunt ilustra ți în figura urm ătoare.

12

Formulele explicite care descriu mulțimea lui Cantor sunt:

𝐶= ⋂ ⋂ ([0,3𝑘+1
3𝑛]⋃[3𝑘+2
3𝑛,1])3𝑛−1−1
𝑘=0∞
𝑛=1

Sau

𝐶= [0,1]\⋃ ⋃ (3𝑘+1
3𝑛,3𝑘+2
3𝑛)3𝑛−1−1
𝑘=0∞
𝑛=1

Rezultatul dup ă 6 iteraț ii va fi:

13

2.4 Triunghiul lui Sierpinski
Consideră m un triunghi căruia îi vom aplica urm ătoarea
transformare (repetitiv ă):
Elimină m triunghiul d efinit de mijloacele laturilor . După primul pas
vom obț ine trei triunghiuri negre. La urm ătorul pas aplic ăm procedeul
pentru fiecare din cele 3 triunghiuri.
Astfel , vom obț ine 9 triunghiuri negre. Progresia va c ontinua s ă se
tripleze, iar numă rul triunghiurilor negre la fiecare pas n va fi T=3n

Un lucru important despre fractali i geometric i este că nu trebuie să
se sfârsească . Ei pot cont inua să se repete pentru totdeauna. Acest
lucru ne permite să facem zoom adânc în aceș ti fractali și pentru a găsi
mai multe detalii.
2.5 Covorul lui Sierpinski
Un exemplu similar este covorul lui Sierpinski. În acest caz vom
considera un pă trat c ăruia îi vom aplica repetitiv urm ătoarea
transformare: împărțim pătratul în 9 pătrate și eliminăm de fiecare dată
pătratul din mijloc.

14
Rezultatul dup ă 4 itera ții va fi urm ătorul:

Aceste exemple de fractali matematici nu vor ajunge niciodat ă la
un sf ârșit. Procedurile pot fi repetate la infinit, iar dacă mărim imaginea
vom observa că structura fractală rămâne identic ă.
2.4 Dimensiunea Fractal ă
Înainte de a de fini dimensiuni fractale , să trecem în revistă
dimensiunile standard cu care suntem familiarizați.

Un cub, o sferă și un con sunt toate obiecte 3 -dimensionale simple.
Cercuri, pă trate, triunghiuri ș i alte poligoane sunt obiecte 2 -dimensionale
Mai simpl ă decât acestea este o linie, care este 1 -dimensional .
Cel mai simplu dintre toa te este un punct infinit de mic , care este zero –
dimensional .

15

Începem cu o linie de o unitate, în partea din stânga sus a figurii .
Dacă am mări imaginea cu un fac tor de doi , vom obține o linie formată
din dou ă unități, așa cum se poate observa din mijlocul imaginii din
stânga . Mărindu -l cu un factor de 3 vom obține o linie de trei unități.
Acum vom face același lucru cu un pătrat unitate. Dacă am mări
imaginea de două ori, pentru a forma un pă trat cu margini de două ori
mai mici, am ob ține patru pătrate. Mărind imaginea în unităț i de trei părți,
vom ajunge cu un pătrat format din nouă pătrate unitate.
În cele din urmă , să facem același lucru cu un cub de o dimensiune
unitate. Mărindu -l cu un factor de doi, rezult atul este de opt cuburi
unitate . Mărindu -l cu un factor de 3 vom obține un cub din douăzeci și
șapte de cuburi unitate.
Linia se extinde liniar (1,2,3 ) atunci cand o mărim, pătratul extinde
ca unitate pătrat ă ( U x U sau 1,4,9 ) , iar cubul extinde ca unitate la
puterea a treia ( U x U x U sau 1,8,27 ) .

16
Așadar, putem descrie relația dintre numărul total de obiecte, N ,
facto rul de mărire , r, și dimensiunea, D , cu următoarea ecuație:
N = rD
Logaritmând ecuaț ia, aceasta devine:
log(N) = log(rD)
Aplicând propriet ățile logaritmilor :
log(rD) = D*log(r).
Obținem astfel ecua ția:
D= log(N) / log(r)
Asta înseamn ă că dimensiunea D este egală cu logaritmul
numărului de părț i împărțită la logaritmul factorului de scalare.
Alegem spre exemplu cubul. Pentru un factor de scalare egal cu 3
obținem 27 de cuburi. A șadar:
D = log(27) / log(3) deci D=3
Rezultatul este corect deoarece cubul este un obiect tridimensiona l.

În matematică, mai precis în geometria fractală, dimensiune a
fractală este un raport care furnizează un indice statistic de complexitate
pentru a compara în detaliu modul î n care un obiect fractal se schimb ă la
scala la care se măsoară.
Ideea es ențială a dimensiunilor fractale , are o lungă istorie în
matematică, dar termenul în sine a fost adus în prim -plan de Benoit
Mandelbrot într-o publicaț ie din 1967 cu privire la auto -similaritate în care
a discutat despre dimensiunile fractale .
În această publicaț ie, Mandelbrot a citat lucrările anterioare ale lui
Lewis Fry Richardson care descrie contra -intuitiv noțiunea că modificările
de lungime măsurate pe o zonă de coastă se modifică odată cu
lungimea obiectului de măsurare utilizat. În ceea ce privește această

17
noțiune, dimensiunea fractală a unei coaste cuantifică modul în care
numărul de obiecte de măsur are scalate necesare pentru a mă sura
schimb ările coastei se modifică cu scala aplicată pe coast ă.
Există mai multe definiții matematice formale ale dimensiunii
fractale c are se bazează pe aces t concep t de bază al schimbării în
detaliu cu schimbarea la scar ă.
Un astfel de exemplu non -trivial este dimensiunea fractală a unui
fulg de nea Koch. Ea are o dimensiune topologică 1, dar aceasta nu este
deloc o curbă care se poate rectifica: lungimea curbei între oricare două
puncte de pe Koch este infinit în acest fulg de nea.
Orice bucată este mai degrabă compus ă dintr-un număr infinit de
segmente unite la unghiuri diferite. Dimensiunea fractală a unei curbe
poate fi explicată , într-un mod intuitiv de gândire a unei linii fractale , ca
un obiect prea detaliat pentru a fi uni -dimensional, dar prea sim plu
pentru a fi bidimensional.
De aceea, dimensiunea sa ar putea fi cel mai bine descrisă nu prin
dimensiunea topologică obișnuită de 1, dar prin dimensiunea sa fractal ă,
care în acest caz este un număr între unu și doi.

18

Acum vom aplica metoda unor fractali geo metrici. Să alegem curba lui
Koch.

Fractalii geometrici pot fi creaț i porn ind de la un simplu generator,
înlocuind fiecare secț iune cu o copie mai mic ă a generatorului.
Generatorul d e ordin 1 este format din 4 secț iuni, fiecare av ând
dimensiunea de 1/3 din lungimea ini țiatorului de ordin 0.
În ordinul 2 din cur ba lui Koch am luat fiecare secț iune din cele 4
ale generatorului și le -am înlocuit folosind același model. Am obț inut
astfel 16 segmente mai mici fiecare având dime nsiunea de 1/9 din
lungimea inițial ă.

19
Obținem astfel o dimensiune to tală de 16/9.
În ordinul 3 am folosit acela și model, obț inând astfel 64 de
segmente mai mici, ob ținând lungimea total ă de 64 / 27.
Pe masur ă ce progresia continu ă, curba devine din ce î n ce mai
lungă tinzând spre infinit.
Folosind formu la D = lo g(N) / log(r) putem să calculăm
dimensiunea D observând cum numă rul de unita ți N se modifică odată
cu fiecare factor de amplificare r.
În acest caz putem observa că numărul de unit ăți din generator, N,
este 4 iar factorul de scala re este 3, deoarece fiecare secț iune din
generator are lung imea 1/3 din lungimea iniț ială.
Aceeaș i rela ție se păstrează î ntre oricare 2 ordine ale curbei.
Ordinul 4 are de 4 ori mai multe segmente decâ t ordinul 3, iar fiecare
piesă are 1/3 din dimensiune.

Conform formulei :
D= log (N) / log(r) obtinem D = log(4) / log(3) = 1.26

Dimensiunea fractală este utilă pentru a descrie obiectele fractale.
Toți fractalii au o dimensiune, dar a ceasta nu este un num ăr întreg.
Dacă o linie este unidimensională , iar un plan este bidimensio nal, atunci
o dimesiune fractală de 1.26 se va afla în acest int erval între o linie și un
plan.
Aceasta descrie perfect curba lui Koch deoarece ea se abate de la
o linie, dar nici nu um ple un plan bidimensional. Cu câ t un fractal ocup ă
mai mult dintr -un plan cu atâ t dimensiunea fractal ă a acestuia se va
apropia de 2.

20

Să folosim acum aceea și formulă pentru a determina dime nsiune a
fractală a triunghiului lui Sierpinski.

Triunghiul de bază va avea ordinul 0. La urm ătoarea iteraț ie,
ordinul 1, triunghiul este format din 3 triunghiuri mai mici. Ordinul 2 este
format din 9 triunghiuri mai mici. Deci , la fiecare iteraț ie a fractalului
obținem de 3 ori mai multe triunghiuri. Astfel N = 3. Lungimea unui
segment ce compune un triunghi este jum ătate din segmentul iniț ial.
Astfel factorul de scalare r=2.

Obținem a șadar:
D = log(3) / log(2) = 1.585
În urma aplic ării algorit mului box -counting propus am obținut
următoarea dreaptă de regresie.

21

Panta acestei drepte este de 1.591, ceea ce î nseamn ă că am avut
o eroare de 0.00 6
Aplicând aceleași operaț ii pentru covorul lui Sierpin ski obți nem
urmă torul rezultat:
D = log(8) / log(3) = 1.8928
În urma aplică rii algorit mului box -counting propus am obținut
următoarea dreaptă de regresie.

22

Panta acestei drepte este de 1.901, ceea ce înseamnă că am avut
o eroare de 0.009.
2.5 Metoda Box Counting
2.5.1 Descrierea Metodei
Teoretic, intenția metodei Box-Counting (numă rarea de casete)
este de a cuantifica scalare a fractală, dar , dintr-o perspectivă practică ,
acest lucru ar necesita ca scalarea să fie cunoscută de dinainte . Acest
lucru se poate vedea în figurile urm ătoare , unde alegerea casetei de
dimensiuni relative , potrivite cu ușurință , arată modul în care modelul se
repetă la scări mai mici.
Cu toate acestea, î n analiza fractală, factorul de scalare nu este
întotdeauna cunoscut înainte de timp, astfel încât algoritmul Box-
Counting încearcă să găsească o modalitate opti mizată de tăiere a unui
model , care va dezvălui factorul d e scalare.

23
Metoda fundamentală pentru a face acest lucru începe cu o
mulțime de elemente de măsurare a cutiilor constând dintr -un număr
arbitrar, numit ∑, de dimensiuni sau calibre, pe care le vom numi
mulțimea ε. Apoi, aceste cutii de dimensiune ε sunt aplicate modelului și
numărate. Pentru a face acest lucru, pentru fiecare ε din ∑, un element
de măsurare este, de obicei , un pătrat 2 -dimensional sau o cutie 3-
dimensional, cu o lungime laterală corespunzătoare ε.
Acesta este utilizat pentru a scan a o mulțime de model e sau de
date (de exemplu, o imagine sau obiect) în conformitate cu un plan de
scanare prestabilit pentru a acoperi partea relevantă a setului de date .
Un exemplu este numărare a la fiecare pas a caracteristicilor de scanare
relevante din cadrul elementului de măsurare.
Caracteristicile relevante colectate în timpul numără rii depind de
subiectul investigat și tipul de analiză care se face. Doi subiecți bine
studiaț i de metoda Box -Counting sunt imaginile binare (adică având doar
două cu lori, de obicei, alb -negru) și imagini le în nuanț e de gri (imagini
digitale adică jpeg, tiff , etc). Box-Counting se aplică, în general , pe
modele extrase din aceste imagini, caz în care informația brută
înregistrată se bazează , de obicei , pe caracteristici le de pixeli, cum ar fi
o valoare de culoare predeterminată sau o gamă de culori sau intensități.
Atunci când Box-Counting se aplică pentru a determina o
dimensiune fractală cunoscută sub numele de dimensiunea Box-
Counting , informația înregistrată este , de obicei , o informa ție booleana
(“da” sau “nu”) pentru a stabili dacă box-ul conținea sau nu pixelii de
culoare sau intervalul predeterminat (de exemplu, numărul de cutii care
conțin pixeli relevanți la fiecare ε este luată în calcul).
Pentru alte tipuri de analiză, datele solicitate pot fi numărul de pixeli
care se încadrează în caseta de măsurare, intervalul sau valorile medii

24
ale culorilor sau intensități i, dispunerea spațială între pixelii din cadrul
fiecărei cutii, sau proprietăți, cum ar fi vi teza medie (de exemplu, de la
fluxul de particule)
În acest caz, vom a coperi imaginea cu o grilă de pă trate și apoi
numărăm cât de multe pă trate acoperă o parte a imaginii. Apoi facem
același lucru, dar cu aj utorul unei grile mai fine cu pă trate mai mici. Prin
scădere a dimensiunei grilei repetat, ajungem la capturarea structurii
modelului cu o precizie mai mare.
Folosind metoda Box -Counting, dimensiun ea fractală este panta
dreptei atunci când reprezent ăm valoarea log (N) pe axa Y si valoarea
log (r) pe axa X.
Aceeași ecuație este folosit ă pentru a defini dimensiunea fractală,
D. De data aceasta, N este numărul de cutii care acoperă modelul, și r
este factorul de mărire, de inversul dimensiunii casetei .
2.5.2 Tipuri de scanare
În fiecare algoritm caseta de numărare are un plan de scanare,
care descrie modul în care vor fi colectate datele. În esență, planul
descrie modul în care cutia va fi mutat ă peste spațiul c e conține modelul.
O varietate de strategii de scanare a fost folos it în algoritmi Box-
Counting , în cazul în care câteva abordări de bază au fost modificate în
scopul de a aborda aspecte, cum ar fi prelevarea de probe, metode de
analiză, etc.
2.5.2.1 Scanări grilă fixă
Abordarea tradițională este de a scana într -un model prin care nu
se suprapun grilele sau zăbrele le regulate.

25
Pentru a ilustra, figura prezintă modelul tipic utilizat în software -ul
care calculeaz ă dimensiun ea Box-Counting de la modelele extrase în
imagi ni digitale bin are de contururi.
Conturul fractal ilustrat în figura de mai jos sau exemplul clasic al
coastei Marii Britanii a u fost folosiț i adesea pentru a explica metoda de a
găsi o dimensiune Box-Counting .
Strategia de stabilire simuleaza î n mod repetat o casetă pătrată, ca
și cum ar fi o parte dintr -o grilă suprapus ă pe imagine, astfel încât cutia
pentru fiecare ε nu se suprapune în cazul în care acesta a fost anterior
folosit.
Acest lucru se face până când întreaga suprafață de interes a fost
scanat ă utilizând fiecare ε și au fost înregistrat e toat e informațiile
relevante.
Atunci când este utilizat pentru a găsi o dimensiune Box-Counting ,
metoda este modificată pentru a găsi o acoperire optimă.

26
2.5.2.2 Box Sliding
O altă abordare , în care a fost folosit un algoritm Box-Sliding , este
cea în care fiecare cutie glisează peste imagine și se suprapun e peste
plasarea anterioară.
Figura următoare ilustrează modelul de bază de scanare utilizând o
casetă de alunecare.
Abordarea grilă fixă poate fi văzută ca un algoritm box-counting cu
sporurile pe orizontală și pe verticală, egal e cu ε. Algoritmi i box-counting
sunt adesea folosi ți pentru analiza texturilor în analiza lacunarităț ii și au
fost aplica ți în analiza multifractal ă.

27
2.5.2.3 Mostră și dimensiunile locale

Box-Counting poate fi , de asemenea , utilizat pentru a determina
variații locale față de măsurile globale care descriu un model î ntreg.
Variația locală poate fi evaluată după ce datele au fost colectate și
analizate (de exemplu, unele coduri de culoare din zona software în
funcție de dimensiunea fractală pentru fiecare subeșantion), dar o a treia
abordare la caseta de numărare este de a muta caseta în funcție de
unele caracteristi ci ce țin de pixeli de interes.
În algoritmi Box-Counting pentru dimensiuni co nectate local caseta
pentru fiecare ε este centrat ă pe fiecare pixel de interes, așa cum este
ilustrat în figur ile de mai jos .

28
Considera ții tehnologice
Pentru p unerea în aplicare a oricărui algoritm Box-Counting trebuie
să se precizeze anumite detalii, cum ar fi modul de a determina valorile
reale din ε, inclusiv dimensiuni maxime de utilizare și metoda de
increment are între mărimi.
Multe astfel de detalii reflect ă aspecte practice, cum ar fi
dimensiunea unei imagini digitale, dar și probleme tehnice legate de
analiza specifică care vo r fi realizate pe baza datelor.
O altă problemă care a primit o atenție considerabilă este modul în
care să se apropie de acoperirea optim ă pentru determinarea
dimensiunilor Box-Counting și evaluarea scalar ă multifractal ă.
Algor itmul Box -Counting implementat în forma stand ardizată va
căuta pixelii negri, așadar, anumite ajustă ri trebuiesc ap licate anumitor
imagini astfel î ncat rezultate le sa fie concludente.

29
3. Capitol ul 3 – Aplicatie
Pentru studiul practic am a les o familie de poze reprezentând
celule s ănătoase de sânge și una în care am ales celule de sânge care
au suferit modificări în structură, acestea putând fi traduse prin boli,
mutaț ii genetice etc.
Imaginea originală este prelucrată folosind urm ătorii paș i:

– Inițial aplică m algortimul grayscale transformâ nd imagine a
originală în nuanțe de gri

– Folosim imaginea în forma grayscale pentru a ob ține forma
binarizată a imaginii. În urma acestui pas imaginea iniț ială va
deveni o imagine fo rmată doar din pixeli albi și negr i.

– În funcție de zona de interes aplicăm transformări ale pixelilor
albi în cei negr i și invers

– Aplică m algo ritmul box -counting pentru a obț ine dreapta de
regresie a imaginii și calculă m panta acestei drepte pentru a
obține dimensiunea fractal ă

30
Familie de poze 1 – celule să nătoase :

Celule în forma să nătoasă

Celule sănă toase transformate î n grayscale

31

Celule sănătoase în forma binară

Dreapta de regresie

32
Familie de poze 1 – celule nesăn ătoase :

Celule în formă nesănătoasă

Celule nes ănătoase transformate în grayscale

33

Celule nesănătose în forma binară

Dreapta de regresie

34
Familie poze 2 – celule sănă toase :

Celule în forma sănătoasă

Celule sănă toase transformate în grayscale

35

Celule sănăto ase în forma binară

Dreapta de regresie

36
Familie poze 2 – celule nesănă toase :

Celule în forma nesănătoasă

Celule nesănătoase transformate î n grayscale

37

Celule nesănăto ase în forma binară

Dreapta de regresie

38
Interpretarea rezultatelor:
În urma aplică rii metodei box -counting asupra familiilor de poze
prezentate anterior am obținut urmă toarele rezultate:

Familia de poze nr. 1:

Dimensiune fractal ă
Celule sănătoase 1.7130
Celule nesănătoase 1.9241

Familia de poze nr. 2:

Dimensiune fractal ă
Celule sănătoase 1.6867
Celule nesănătoase 1.8991

Dimensiunile pozelor folosite au fost de 512×512 pixeli.

Metoda box -counting favorabilă acestui tip de experienț e a fost
“Metoda Gril a Fixă ”

Pentru cea de a doua familie de poze , algoritmul a fost adaptat
pentru a face o transformare a pixelilor albi în pixeli negri ș i vice -versa.

Nivelul de gri folosit pentru acceptarea zonelor de interes a fost 0.3

39
4. Capitolol 4 – Concluzii

În lucrarea prezent ă am testat ini țial veridicitatea datelor ob ținute
de algoritmul box -counting implementat în programul MatLab. Eroarea
dintre valoarea ob ținută în urma aplic ării algoritmului implementat și
valoarea calculat ă matematic este neglijabil ă, confirm ând astfel
funcționalitatea aplica ției.
Analiza facută în acestă lucrare demonstrează că aplicar ea unui
algoritm de calcul al dimensiunii fractale asupra unui set de date ce ține
de sănătatea uman ă dezv ăluie s tarea de normalitate sau prezența unor
afecț iuni sanguine.
În urma stabil irii grilei potrivite pentru o astfel de analiz ă putem
afirma cu certitudine c ă starea normal ă de sănătate este sugerat ă de o
valoare de 1.7 a dimensiunii fractale, iar prezen ța unei an omalii in
sistemul sanguin este dat ă de o valoare de 1.9 a dimensiunii fractale.
Un astfel de proces automatizat poate conduce la o eliberare mult
mai rapid ă a analize lor de s ănătate, iar algoritmul box -counting este
adaptabil la orice tip de dat ă de intra re.
In concluzie , sper c ă acest studiu ar putea ajuta la o automatizare
în domeniul gener ării rezultatelor medicale în urma prelev ării de s ânge
reduc ând astfel timpul de a șteptare uneori îndelu ngat.

40
Bibliografie:

Fractals Foundation:
http://fractalfoundation.org/OFC/OFC -index.htm
Yale University Courses:
http://users.math.yale.edu/public_html/People /frame/Fractals/
Familie poze 1:
https://thehealthnetworkblog.wordpress.com/2014/10/08/sick -slow-
hungry -cells/
Familie de poze 2:
http://www.westonaprice.org/health -topics/how -does -pork-prepared -in-
various -ways -affect -the-blood/
Fractals Useful Beauty
http://www.fractal.org/Bewustzijns -Besturings -Model/Fractals -Useful –
Beauty.htm
Crystalinks
http://www.crystalinks.com/fractal s.html
Harvard courses
http://www.math.harvard.edu/library/sternberg/slides/1180910.pdf

41
Anexe
Algoritm rgb2gray

function a = rgb2gray(r,g,b)
%RGB2GRAY Convert RGB image or colormap to grayscale.
% RGB2GRAY converts RGB images to grayscale by eliminating the
% hue and saturation information while retaining the
% luminance.
%
% I = RGB2GRAY(RGB) converts the truecolor image RGB to the
% grayscale intensity image I .
%
% NEWMAP = RGB2GRAY(MAP) returns a grayscale colormap
% equivalent to MAP.
%
% Class Support
% ––––-
% If the input is an RGB image, it can be of class uint8 or
% double; the output image I is of the same class as the input
% imag e. If the input is a colormap, the input and output
% colormaps are both of class double.
%
% See also IND2GRAY, NTSC2RGB, RGB2IND, RGB2NTSC.

% Clay M. Thompson 9 -16-92
% Copyright 1993 -1998 The MathWorks, Inc. All Rights Reserved.
% $Revision: 5.10 $ $Date: 1997/11/24 15:36:13 $

42

if nargin==0,
error('Need input arguments.');
end
threeD = (ndims(r)==3); % Determine if input includes a 3 -D array

if nargin==1,
if threeD,
rgb = reshape(r(:),size(r,1)*size(r,2),3);
a = zeros( [size(r,1), size(r,2)]);
else % Colormap
rgb = r;
a = zeros(size(r,1),1);
end

elseif nargin==2,
error('Wrong number of arguments.');

else
if (any(size(r)~=size(g)) | any(size(r)~=size(b))),
error('R, G, and B must all be the same size .')
end
rgb = [r(:), g(:), b(:)];
a = zeros(size(r));
end

T = inv([1.0 0.956 0.621; 1.0 -0.272 -0.647; 1.0 -1.106 1.703]);

43
if isa(rgb, 'uint8')
a = uint8(reshape(double(rgb)*T(1,:)', size(a)));
else
a = reshape(rgb*T(1,:)', size(a));
end

if ((nargin==1) & (~threeD)), % rgb2gray(MAP)
if isa(a, 'uint8')
a = double(a)/255;
end
a = [a,a,a];
end
Algoritm im2bw

## Copyright (C) 2000 Kai Habel
##
## This program is free software; you can redistribute it and/or modify
## it under the terms of the GNU General Public License as published by
## the Free Software Foundation; either version 2 of the License, or
## (at your option) any later version.
##
## This program is distributed in the hope that it will be useful,
## but WI THOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty
of
## MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.
See the
## GNU General Public License for more details.

44
##
## You should have received a copy of the GNU General Public License
## along with this program; if not, write to the Free Software
## Foundation, Inc., 59 Temple Place, Suite 330, Boston, MA 02111 –
1307 USA

## -*- texinfo -*-
## @deftypefn {Function File} @var{BW}= im2bw (@var{I},threshold)
## @deftypefnx {Function File} @var{BW}= im2 bw
(@var{X},@var{cmap},threshold)
## converts image data types to a black -white (binary) image.
## The treshold value should be in the range [0,1].
## @end deftypefn

## Author: Kai Habel <kai.habel@gmx.de>
## Date: 19. March 2000

functionBW =im2bw (img,a,b)

if(nargin <2||nargin >3)
usage ("im2bw(I) number of arguments must be 2 or 3" );
endif

if(isgray (img))
if(is_scalar (a))
BW=(img>=a);
else
error ("threshold value must be scalar" );

45
endif
elseif (isind(img))
if(is_matrix (a)&&columns (a)==3)
if(is_scalar (b))
I=ind2gray (img,a);
BW=(I>=b);
endif
endif
else
error ("image matrix must be of index or intensity type" );
endif

endfunction
Algoritm Box -Counting

%=================================================
========================
%
% Acest program va calcula dimensiu nea fractala a unei imagini
de dimesiune 512×512
% folosind metoda Box -Counting
%
%
%=================================================
========================

clear;

46
clc;

% imaginea este citită ș i modificat ăîn nuanț e de gri
% apoi modificată în imagine binară
sm=imread('C: \Users \Bujor Adrian \Desktop \poza.jpg');
image = imresize(sm,[512 512]);
image=rgb2gray(image);
image=image>190;

% inițializăm variabilele folosite pentru a plo ta graficul. Scala este
folosită pentru a stoca
% factorii de scalare iar contorul este folosit pentru a num ăra
numarul de cutii
% care con țin o parte din imagine . Pentru o scala data cu valoarea
scale(1,i), numă rul
% de cutii folosite de imagine va fi disponibil în contor la locaț ie
(1,i)scale=zeros(1,9);
count=zer os(1,9);

[width,height,cols]=size(image);
% având în vedere că programul este proiectat pentru imagini de
512*512 limita este setat ă la
% 9 deoarce 2^9=512
for i=1:9
% factorii de scalare sunt 2,4,8,16… 512.

% Pentru fiecare factor de scalare numărul total Ns urmeaz ă să
fie calculat

47
% iar numărul de pixeli din Ns care conț in culoarea ne agră vor fi
% număraț i.

% De exemplu , când factorul de scalare este 2, înseamn ă că
imaginea este î mpărțită
% în jum ătate, deci vom obț ine 4 Ns. Trebuie să observăm câ te
din aceste Ns
% Conț in puncte negre
s=2^i;
Ns=s^2;
pieceWidth=width/s;
pieceHeight=height/s;

%inițial presupunem ca avem 0 Ns
blackpieces=0;

% Acum iteram prin fiecare Ns ca să vedem c ât de multe
elemente dintre cele Ns
% conțin pixeli negri .
for pieceIndex=0:Ns -1

pieceRow=idivide(int32(pieceIndex), int32(s));
pieceCol=rem(pieceIndex,s);
xmin=(pieceCol*pieceWidth)+1;
xmax=(xmin+pieceWidth) -1;
ymin=(pieceRow*pieceHeight)+1;
ymax=(ymin+pieceHeight) -1;

48

% fiecare pixel este extras și stocat î ntr-un alt vector
eachPiece=image(ymin:ymax,xmin:xmax);

% acum verificăm dacă fiecare pixel conț ine o valoare neagr ă
% iar numărul de elemente Ns care conț in negru este
incrementat
if (min(min(eachPiece))== 0)
blackpieces=blackpieces+1;
end
end

% Aici obținem numărul de Ns care conțin puncte negre pentru o
scală predefinită
% și stocăm rezultate î n variabilele aferente
fprintf('%d \t->\t%d\n', s, blackpieces);
scale(1,i)=s;
count(1,i)=blackpieces;
end

% Trasă m graficul
% Dimensiunea fractal ă este calculat ă din dreapta de regresie
folosind funcț ia polyfit aceasta fiind chiar panta dreptei
plot(log(scale),log(count))
tmp = polyfit(log(scale),log(count),1);
Ds = tmp(1)