0.1. O biectul și scopul astronomiei . Astronomia este știința care studiază mișcările, structura, originea și evoluția corpurilor cerești și a… [619028]

INTRODUCERE

0.1. O biectul și scopul astronomiei .
Astronomia este știința care studiază mișcările, structura, originea și evoluția corpurilor cerești și
a sistemelor de corpuri, precum și interacțiunile dintre acestea. Înțelegem prin c uvântul corp ceresc
orice astru: Soarele, Luna, planetele, cometele, stelele etc. Într -o altă ordine de idei, totalitatea corpur i-
lor cerești și a câmpurilor cu care ele interacționează constituie ceea ce, în mod curent, numim univers .
Astronomie este cuvântul dat științei despre univers . El provine din cuvintele grecești "astron" –
astru și "nomos" – nume.
Apariția acestei științe se pierde în negura vremurilor, fiind strâns legată de necesitățile vieții co-
tidiene. Atât pentru navigație, dar și pentru dezvoltarea agriculturii, omul trebuia sa cunoască pozițiile
corpurilor cerești; precum și fenomenele naturale (succesiunea anotimpur ilor).
Acum mai bine de 4 000 de ani, chinezii cunoșteau succesiunea eclipselor și mișcările aparente
ale Soarelui și Lunii. Maiașii fo loseau un calendar după ciclul v enusian. Vechii babiloniei cunoșteau
mișcările aparente ale planetelor. Tot din civilizațiile antice, putem aminti aici de egipteni, care au d e-
terminat cu o bună precizie (pe ntru acea epocă) durata anului la 365 zile.
Astron omia devine știință modernă abia în evul mediu când geocentrismul este "învins" și înloc u-
it de heliocentrism.
Geocentrismul este curentul conform c ă-
ruia Pământul se află în centrul lumii ( univers u-
lui). Astfel era priv ită lumea în Grecia antică.
Soarele și celelalte obiecte observate se cons i-
dera că se mișcă în jurul Pământului. Sus ținători
ai geocentrismului: Aristotel, Ptolemeu (antich i-
tate).
Heliocentrismul este teoria conform căreia
Soarele este centrul sistemului solar. Susținători
ai heliocentrismului: Aristarh din Samos (sec. III
î.Hr.); Nicolaus Copernic (preot, matematician,
astronom, 1437 -1543 ), a răsturnat toate conce p-
țiile, enunțând sistemul heliocentric – plasând
Soarele și nu P ământul în centrul sistemului
solar ; Johanes Kepler (matematician, astronom,
precursor al calcului integral, 1571 -1630), adop-
tând sistemul copernican, a reușit să descopere
adevărate legi care impun mi șcarea planetelor în
jurul So arelui pe orbite eliptice; Giordano Bruno
(teolog, filos of umanist, sec. XVI), Galileo Galilei
(matematician, astronom -părintele astronomiei
obser vaționale, filosof, 1564 -1642).
Cele două teorii au stârnit multe contr o-
verse de -a lungul istoriei, chiar religioase, astfel
că Giordano Bruno a fost ars pe rug de că tre
Inchiziție în anul 1600 , pentru convingeile sale
că Pământul nu se află în centrul sistemului
solar și că lumea este infinită. Galileo Galiei a
susținut heliocentrismul, a construit prima lunetă
cu care a observat petele solare, sateliți ai lui
Jupiter . Pentru convingeile sale, Galileo Galilei a
fost judecat de un tribunal laic în urma și fost
excomunicat și condamnat la închisoare pe vi ață. A retractat și conform procedurii a fost jud ecat de
către un tribunal inchizitorial. În urma unui proces papal în care a fost găsit suspect de erezie, Galileo a
fost pus sub arest la domiciliu.
Dacă la începuturile ei ca știință, astronomia era doar descriptivă, având ca scop descrierea c i-
nematică a univers ului, astronomia și -a extins, cu timpul, tot mai mult domeniu l de cercetare, abordâ nd
partea mecanică, începând cu Isaac Newton (teolog, alchimist, matematician, fizician care a revoluți o-
nat știința mai ales în domeniile: optică, matematic ă, mecanică, 1643 -1727) și cea fizică la sfârșitul
secolului XIX, prin primele determinări spectroscopice în cadrul fizicii stelare.
În prima parte a secolului XX, Albert Einstein (1879 -1955) și marele matematician, David Hilbert
(1862 -1943) au formulat aproape simultan ecua țiile numite ecua țiile de cîmp ale lui Einstein , care re-
zolvate, cu anumite condi ții de frontier ă, permit să se ob țină solu ții particulare, care reprezint ă câmpul
gravita țional de o simetrie concret ă. Există solu ții statice, staționare, nestaționare în funcție de
dependen ța sau independența de timp și de forma ace stei dependen țe, soluții de simetrie plan ă, sferi-

Fig. 0.1. Schema sistemului solar.

că, cilindrică etc. Numărul solu țiilor cunoscute pân ă în prezent întrece miile, dar cele mai importante
sunt solu ția Schwarzschild, soluția Reissner -Nordström, solu ția ce prezint ă undele gravita ționale și
soluția cosmologic ă Fridman -Robertson -Walker, care prezintă Universul.
Ecua țiile lui Einstein conduc la ideea unui univers aflat în plină expansiune. Încercând să obțină
modelul unui univers sta ționar, Einstein introdusese, în cadrul celebrelor sale ecuații de câmp, o con-
stantă cosmologică . Ulterior, observa țiile lui Edwin Hubble (1889 -1953) au dovedit contrariul.
În această introducere apar două dintre numeroasele legături dintre matematică și astronomie,
alese aleator și câteva nume celebre dintre foarte nu meroasele , ce de-a lungul timpului au adus
percep ția umanit ății asupra lumii ce o înconjoar ă, de la modelul Pământului plat ținut de elefanți sau
broaște țestoase , la lupta pentru modelul heliocentric ; apoi mai departe la modelul unui univers în e x-
pansiune și pân ă la teoria M și a stringurilor, care s ă explice natura și istoria universului.
De-a lungul timpului , matematica a dat răspuns tuturor prolemelor ridicate de studiul universului .
Astronomia a fost și este utilă omului, ajutându -ne încă la orientarea pe mare, pe uscat sau în
zborurile spațiale. Odată cu evoluția și modernizarea astronomiei, s -au putu stabili un itățile de timp, ora
exactă, calendarul și s -au putu prevedea o serie de fenomene naturale (eclipsele, fazele Lunii, apariția
cometelor etc.). Din studiul aștrilor rezultă proprietățile materiei în alte condiții față de cele de pe plan e-
ta noastră.
Astronomia, alături de alte științe, a oferit omenirii posibilitatea de a cunoaște natura și manife s-
tările ei, legile ei, ne ajută să ne formăm o conce pție justă despre lumea înconjurăto are.
0.2. Structura părții accesibile a universului . Pământul, planeta pe care trăim, este un corp
rece (fără l umină proprie) și face parte din familia celor opt planete mari, ce alcătuiesc sistemul solar
(numit și sistem planetar). Raza ecuatorială medie a Pământului, care este aproape sferică măsoară
aproximativ 6 !371 km. Planeta noastră, este a treia planetă de la Soare și grav itează în jurul acestuia
la aproximativ 150 milioane de km, adică 1,5 × 1011 m (lungime care r eprezintă unitatea a stronomică ).
În ordinea depărtării de Soare, corpul central al sistemului nostru planetar, mai gravitează alte
trei planete de tip terestru: Me rcur, Venus, apoi Marte, urmată de o zonă întinsă, ocupată de câteva
milioane de corpuri mici , care formează centura de asteroizi , iar dincolo de aceasta exi stă cele patru
planete gazoase (gigante): Jupiter (cea mai mare din sistemul solar), Saturn, Uranus și Neptun. Dinc o-
lo de Neptun, spre marginea sistemului solar gravitează un număr mare de pla nete mici precum Pl u-
ton, Haumea, Makemake etc.
Cu excepția planetelor Mercur și Venus, restul planetelor din sistemului solar au sateli ți, iar inel e-
le sunt o caracteristică aparte a planetelor gigante. Mai există câteva sute de comete de scoperite.
La marg inea sistemului solar, există o a doua zonă ce poartă numele de "centură". Formată
dintr-un număr impresionant de corpuri mici, centura lui Kuiper , se înti nde până la circa 55 de u.a. de
centrul sistemului solar, iar tot ceea ce am enumerat până aici, se p resupune că se află în interiorul
unei mari zone de formă aproape sferică formată din corpuri similare cometelor, numită norul lui Oort .
Dincolo de această zonă, începe spațiul interst elar.
Pe lângă aceste corpuri (relativ mari) de care am
amintit mai sus, care constituie materia organ izată în
cadrul sistemului nostru planetar, se mai află și materia
neorganizată, alcătuită din corpurile meteorice, gaz și
pulberi de praf interplanetar, iar toate acestea laolaltă,
ocupă un spațiu cu raza de aproximativ 160 !000 de unități
astronomice (aproximativ 2 ani -lumină1).
În galaxia noastră, care poartă numele de Calea
Lactee , Soarele este una din miliardele stele. Unele di n-
tre aceste stele posedă sis teme planetare asemăn ătoare
cu al nostru; compuse din una sau mai multe planete.
Proxima Centauri este următoarea cea mai apropiată stea
față de noi (după So are), aflată la 4, 3 ani-lumină adică,
este mai depărtată de 267 !000 de ori decât Pământul de
Soare. Recent, în jurul ace stei stele , misiunile spațiale au
identificat două planete, pe lângă cele peste 5!000 (din
care aproape 2 !500 sunt confirmate) de alte planete care orbitează în jurul a câtorva mii de stele relativ
apropiate de noi.
Cele mai mari dintr e stele sunt atât de mari, încât, dacă s -ar afla poziționate în locul Soarelui, ar
ocupa sistemul nostru solar până aproape 13 u nități astronomice , adică dincolo de orbita planetei S a-
turn, cu tot cu Pământul și cel elalte planete. În extremă, printre cele m ai mici stele, se numără așa –
numitele pitice albe. În cele mai numeroase cazuri, aceste pitice sunt cu mult inferioare față de mă ri-
mea planetei noastre. Dar, există și stele și mai mici, numite stele neutronice, care pot avea un di ame-
tru de dimensi unile un ui mic oraș de circa 10 -20 de km.

1 Anul-lumină reprezintă distanța parcursă (în vid) de un fascicul de lumină cu viteza de aproximativ 300 0 00 km/s,
timp de un an iulian de 365,25 zile. Aceasta înseamnă aproape 9 500 de miliarde de km.

Fig. 0.2. Galaxia M33 din Triangulum .
(Credit: Alexandru Babiuc )

Galaxia noastră este un sistem stelar gigantic, de formă lenticulară, ce conține între 200 și 400
de miliarde de stele. Secțiunea prin planul ecuatorial al Galaxiei2, prezintă șase brațe spirale (princip a-
le), care se înfăș oară sub acțiunea câmpului magnetic galactic în jurul unui bulb central, numit nucleu
galactic.
Calea Lactee este una dintre cele trei mari galaxii spirale, ce întră în comp onența grupului local
de galaxii , care mai conține câteva zeci de galaxii mici. Vecini noștri galactici cei mai apropiați, totodată
și sateliții Gal axiei, sunt Norii lui Magelan . Galaxia spirală din Andromeda, M31, este asemănătoare cu
Calea Lactee, dar de două ori mai mare, ea se află la circa 2 m ilioane de ani lumină de noi. Cea de a
treia galaxie spirală din grupul local, este M33 din Triangulum.
Galaxia este doar una dintr e miile de galaxii într -un
spațiu de aproximativ 100 de milioane de ani -lumină.
Galaxiile și roiurile de galaxii nu sunt distribuite
uniform în univers . Ele se află grupate în roiuri și super –
roiuri de g alaxii, care formează filamente și pereți
enormi sepa rați prin spații imense în care se află foarte
puține galaxii.
Cel mai mare astfel de roi de lângă grupul local
este roiul de galaxii din Virgo, care are în co mponență
câteva sute de galaxii și care domină grupurile de gal a-
xii din jur. Toate aceste grupur i de g alaxii formează
ceea ce se numește super -roiul Virgo (Fecioarei) co m-
pus din peste 2 !000 de galaxii. Prin urm are, un super –
roi de galaxii reune ște mai multe grupuri și roiuri de
galaxii, iar Laniakea este o astfel de structură imensă,
ce numără aproxi mativ 100 !000 galaxii, care intră în
componența a 300 -500 de roiuri de galaxii. Conform analizei datelor colectate de mai multe observ a-
toare din întreaga lume, super -roiul Laniakea are un diametru de 520 milioane ani lumină și o mas ă
estimată de 1017 (o su tă de biliarde) mai mare decât So arele.
Galaxia nostră se află la periferia super -roiului de galaxii Laniakea, aproape de grani ța cu un alt
super -roi denumit Perseu -Pisces. Laniakea include super -roiurile de galaxii Virgo și Hydra -Centaurus,
iar descoper irea sa i -ar putea ajuta pe cercetători să înț eleagă de ce galaxia noastră se deplasează
către constela ția Centaurus. Deci, P ământul face parte din sistemul solar, inclus în galaxia Calea La c-
tee, care face parte din grupul local, inclus în super -roiul Fecioa ra, la râ ndul său subsumat super –
roiului de galaxii Laniakea. Asta până la descoperirea unei structuri cosmice și mai mari. Câteva s uper-
roiuri asemănătoare cu cel în care ne aflăm și mar ile goluri dintre ele formează univers ul de lângă noi
cu dimensiunea de 1 miliard de ani -lumină . Acesta reprezintă mai puțin de 10% din univers ul cunoscut.
La marginea univers ului cunoscut au fost descoperite obiecte care au fost numite quasari. Qu a-
sarii au dimensiuni comparabile cu sistemul solar și produc mai multă energi e decât 1 !000 de galaxii la
un loc.
Numărul stelelor din univers ul cunoscut este un număr foarte mare de ord inul 1024 (un
quadrilion).
În prezent, se estimează că univers ul ar avea o vârsta de aproximativ 13,8 miliarde de ani. Uni-
versul are în compunerea s a materia vizibilă (galaxii, stele, planete, asteroizi, praf cosmic etc.), care
reprezintă circa 10% din masa totală a sa precum și materia întunecată, care ar reprezenta aproxim ativ
90% din masa univers ului.
Totalitatea galaxiilor cunoscute3, materia inte rgalactică și câmpurile corespunzătoare formează
Metagalaxia – care nu este un sistem material mai mare decât Galaxia, ci o denumire convențională
pentru spațiul accesibil observațiilor actuale. Raza Metagalaxiei a crescut continuu în ultimele dec enii
și va cre ște odată cu perfecționarea instrumentelor și tehnicilor de observații.

2 Majuscula arată faptul că este vorba de galaxia în interiorul căreia ne găsim – Calea Lactee.
3 Astronomii estimează existența a peste 2 bilioane de galaxii (2 × 1012) în univers, de până la 20 de ori mai mult
decât se credea în urmă cu două decenii. Constatarea surprinzătoare, este bazată pe modelarea 3D a imaginilor
colectate de peste 20 de ani cu ajutorul Telescopul ui Spațial Hubble .

Fig. 0. 3. Secțiune meridiană (schematică) a Galaxiei.

Fig. 0. 4. Super -roiul de galaxii Laniakea.
Punctul alb marchează poziția Galaxiei.
(Credit: Sdvision)

În univers , întreaga materie, în totalitatea ei, este în continuă mișcare și transformare. Mișcarea
este un atribut al materiei , o proprietate fundamentală a acesteia. Mișcarea es te indestructibilă ca și
materia, neputând fi "creată" sau "distrusă", ci numai transformată dintr -o formă în alta, ca rezultat al
schimbăr ilor ce se produc în structura corpurilor cerești, ca rezultat al automișcării materiei.

CAPITOLUL 1

NOȚIUNI ȘI FORMULE DE TRIGONOMETRIE SFERIC Ă

În acest capitol se fac referiri asupra câtorva elemente de geometrie pe sfer ă și se vor stabili r e-
lații matematice simple între elementele triunghiului sferic. Asimilarea acestor cunoștințe v a face mai
ușoar ă înțel egerea unor probl eme din capitolele ce vor urma.
1.1. Geometria sferic ă se ocup ă cu studiu l figurilor așezate pe o sfer ă (Fig. 1. 1). Spre deoseb i-
re de geometria plană, linilor le corespund arce de cercuri, deoarece intersecția unei s fere cu un plan
este un cerc.
a). Propriet ățile sferei.
1). Sfera este definit ă ca fiind suprafața tuturor pun c-
telor situate la aceeași distanț ă de un punct fix. Acest punct
se numește centru l sferei și distanța constant ă este raza
sferei. Spre deosebire de geometria plan ă, liniilor le core s-
pund arce de cercuri, deoarece inte rsecția sferei cu un plan
este un cerc.
2). Suprafața format ă prin rotația unui semicerc în ju-
rul diametrul s ău este o sfer ă. Centrul semice rcului este fix,
iar distan ța de la orice punct de pe s uprafa ța generat ă va fi
egală cu raza semicerc ului.
3). Fie PA'AP' orice pozi ție a semicercului în r otație al
cărui diametru PP' este fix. Fie OA raza pe rpendicular ă pe
PP'; CA' oricar e altă linie perpendic ulară pe PP', întâln ește
semicercul în A'. (Se poate pr esupune c ă aceste linii sunt
marcate pe un disc semicircular de carton). Pe m ăsură ce
semicercul se rotește, liniile OA, CA' vor mătura plan ele
perpendiculare pe PP', iar punctele A, A' vor descrie cercur i-
le Q'ABQ , q'A'B'q, de raze OA, respectiv CA'. Din aceasta ,
se poate observa cu u șurință că fiecare sec țiune pl ană a
unei sfere este un cerc.
b). Definiții
1). Un cerc mare al unei sfere este cercul creat de orice plan care trece p rin centru l sferei (de
exemplu , Q'ABQ , PA'AP' sau PB'BP'). Într-adev ăr, un cerc mare este determinat prin dou ă puncte cu
condiția ca aces tea s ă fie extremit ățile unui diametru al sferei Q'Q sau PP' (Fig. 1. 1).
2). Un cerc mic este cercul obținut atunci câ nd sfera este t ăiată de orice plan care nu trece prin
centru (de exemplu, q'A'B'q). Măsura unui arc de cerc mic se poate exprima cu ajut orul m ăsurii arcului
de cerc mare. În acest scop, fie cercul mare prin punctele A, B și polii P, P'. Se consider ă un cer c mic
cu ce ntrul în C și paralel cu cercul mare Q'AB, cercurile mari PAP' și PBP' taie pe cercul mic arcul A'B'.
Se obț ine

' 'A B = CA' · A'CB', AB = OA · AOB

dar A'CB' = AOB având laturile paralele rezult ă:


' ' 'A B CA
OA AB , ' 'A B = ABcos δ.

3). Axa unui cerc mare sau mic este diametrul sferei perpendicular pe planul cercului. Polii cer-
cului sunt extremit ățile acestui diametru. Astfel, linia PP' este axa, iar P, P' sunt poli ai cercurilor
Q'ABQ , și respectiv, q'A'B'q .
4). Distan ța sferic ă (unghiular ă) dintre dou ă puncte de pe o sfer ă care nu sunt diametral opuse,
este cel mai mic dintre arcele de cerc mare, având ca extremit ăți aceste dou ă puncte. În cazul în care
cele d ouă puncte sunt diametral opuse, distanța sferic ă este o jum ătate de cerc mare.
Distanța sferic ă este m ăsurat ă prin arcul de cerc mare care le une ște sau prin unghiul pe care
acest arc îl subîntinde la centrul sferei. Astfel, distan ța dintre AB este măsura arcul ui AB, fie de unghiul
AOB . Deoarece m ăsura circular ă a AOB = (arc AB)/(raza sferei), est e obi șnuită măsurarea arcurilor
de cercuri mari prin unghiurile pe care le subîntind la centru. (Aceast ă observa ție nu se aplic ă cercur i-
lor mici ).
5). Fusul sferic este cea mai simpl ă figur ă de pe o sfer ă și este porțiunea cuprins ă între dou ă ar-
ce de cercu ri mari care au un diametru comun . În cazul nostru, este suprafața sferic ă cuprins ă între
planele PAA'P' și PBB'P' (Fig. 1. 1).

Fig. 1.1. Arce de cerc mare, de cerc mic
și fusul sferic

6). Unghiul dintre dou ă cercuri mari este unghiul dintre plan ele lor și este format de tangentele t
și u, duse în unul din puncte le lor comune . Deci unghiul dintre cercurile PA, PB este unghiul α dintre
planele PAP' , PBP' . Astfel unghiul sferic APB, exprimat în grade sau în radiani, este egal cu: unghiul
diedru al planel or PAP' și PBP'; unghiul plan al diedrului, anume AOB; arcul AB corespu nzător de cerc
mare cu polul în vârful unghiului, exprimat în grade.
7). Calota sferică reprezintă una dintre cele două păr ți ale unei sfere obținute prin secționarea
acesteia cu un plan – q'q (Fig. 1.1) . Calota sferică este un caz aparte de zonă sferică în care una di n-
tre baze se reduce la un punct – C.
1.2. M ăsurarea unghiuri lor și arcelor de cercuri
Unitățile de m ăsură pentru unghi sunt diviziuni ale cercului:
a). Gradul sexazecimal sau simplu spus, gradul (°), este fracțiunea 1/90 din unghiul drept sau
1° este egal cu a 360 -a parte din lungimea cercului; minutul sexazecimal (') este fracțiunea 1/60 din
gradul sexazecimal și mai departe, secunda sexazecimal ă (") este fracțiunea 1/60 din minutul
sexazecimal , deci 1° numără 60', respectiv 3!600 ".
În acest fel de unit ăți, valoarea unui unghi sau arc de cerc se scrie sub forma:

25°48'37'',12

Pentru a transforma un unghi scris în forma dat ă mai sus, în grade și fracțiuni zecimale de grad,
trebuie efectuat ă următoarea operație:

25° + (48'  60 + 37 ",12)/3600 = 25°,810311

Pe meridianul terestru, un grad m ăsurat în unit ăți sexazecimale, are la ecuator o lungime de
aproximativ 111 km; minutul echivaleaz ă cu mila marin ă, care are o lungime de 1,852 km, iar s ecunda
măsoară lungimea a dou ă noduri marin e adic ă, circa 32 m.
b). Radianul este unitate de m ăsură pentru unghiuri, egal ă cu u n-
ghiul care, având vârful în ce ntrul unui cerc, subîntinde un arc a c ărui
lungime este eg ală cu raza cercului.
Raportul dintre circumferința și diame trul s ău se noteaz ă cu π și
este exprimat în radiani prin fracția z ecimal ă infinit ă:

π = 3,1415 9265 359… radiani,

deci lungimea unei circumferințe cuprinde

2π = 6,2831 8530 718… rad iani.

Exprimat în radiani, un unghi drept m ăsoară π/2; dou ă unghiuri
drepte (adică 180° ), se scrie π; în timp ce 270° m ăsoară 32π.
Relațiile de mai jos fac cunoscut ă corespondența dintre valorile unui unghi exprimat în grade
sexazecimale și radiani.
1° este echivalent cu 180π sau 0,0174 5329 252 radiani,
1' este echivalent cu 10 0.80π sau 0,000 2 9088 8209 radiani,
1'' este echivalent cu 648 0.00π sau 0,0000 0 484 8137 radiani,

Punând problema invers, se obține:

1 radian este echivalent cu 180π sau 57°,2957 7951,
1 radian este echivalent cu 10 0.80π sau 3437',7467 7079,
1 radian este echivalent cu 648 0.00π sau 206 264",806 247.

1.3. Triunghiul sferic
Proprietățile și metodele de rezo lvare a triunghiurilor sferice fac ob iectul trigonometriei sferice.
Se numește triunghi sferic figura ABC determinat ă pe suprafața unei sfere care se formează d in
trei cercuri mari ce trec prin trei puncte ale sferei – numite vârfurile triunghiului sferic (Fig. 1.3) . Arcele

Fig. 1.2. Radianul

Fig. 1.3. Triunghiul sferic și tri edrul
corespunz ător.

Fig. 1.4. Triunghi sferic
tridreptunghic și trirectilate r. de cercuri mari ce leagă vârfurile triunghiului sferic se numesc laturile acestui triunghi și se note ază, ca
și în geometria plană, cu a, b și c pentru care, a = BC, b = CA și c = AB. Se numește unghi al triunghi u-
lui sferic unghiul dintr e tangentele la laturile sale în vârf sau măsura unghiului diedru dintre planele ce r-
curilor mari care formează laturile triunghiului sferic (vezi definiția 6 de la 1.1 și Fig. 1.1). Unghiurile se
notează, ca și în tr igonometria plană, cu A, B, C sau α, β,
γ.
Trei cercuri mari formează pe sferă opt triunghiuri
sferice. Dintre acestea, vom considera numai pe acela care
are toate laturile și toate unghiurile mai mici decât π,
respectiv 180°; acestea se numesc triunghiuri euleriene .
În figura 1.3, triedrul OABC, numit triedrul
corespunz ător al triunghiului sferic ABC, este obținut prin
unirea v ârfurilor acestuia cu centrul O al sferei de rază R.
O latur ă a triungh iului este un arc de cerc mare cuprins
între dou ă mu chii, deci m ăsura lui este m ăsura feței
cores punz ătoare a triedrului.
Un unghi al triunghiului , are ca m ăsură unghiul
diedru corespunz ător al triedrului. Rezult ă că o latur ă este
mai mic ă decât suma celo rlalte dou ă, iar suma laturilor
este mai mic ă de 360°, adic ă a + b + c ≤ 360°. În cazul
egalit ății, triedrul se reduce la un plan. Dac ă un unghi este
90° triun ghiul va fi drep tunghic; dac ă o latur ă este 90°
triunghiul va fi rectilater (vezi secținuea 1.7).Sunt triunghiuri
tridrep tunghice și trirectilatere; spre exemplu triun ghiul
format de ecuator și dou ă meridiane perpend iculare Fig.
1.4 (de ecuator, mer idianul de 0° și cel de 90°).
În cazul în care arcele laturilor sunt mai mici de 180°,
atunci triunghiul se numește triunghi eulerian .
Triunghiul sferic dreptunghic poate avea unul , dou ă
sau trei ung hiuri drepte, în timp ce t riunghiul sferic
oarecare poate avea unul, dou ă sau trei u nghiuri obtuze.
Proprietățile de baz ă ale unui triunghi sferic sunt:
a) suma lat urilor unui triunghi sferic este cuprins ă
între 0° și 360°:
0° < a + b + c < 360°, respecti v 0 < a b c   < 2π.
b) suma a dou ă laturi este mai mare decât a treia. Diferența a dou ă laturi este mai mic ă decât a
treia:
a < b + c etc.
c > a – b etc.
c) mărimea E prin care suma unghiurilor dep ășește 180° se numește exces sferic .
2E = A + B + C – 180° . (1.1
Deci A + B + C = 180° + 2 E este o proprietate caracterist ică triunghiului sferic.
d) suma unghiurilor într -un triunghi sferic este cuprins ă între 180° și 540°:
180° < A + B + C < 540°, respectiv π < A + B + C < 3π.
e) suma a dou ă unghiuri este mai mic ă decât al treilea m ărit cu 180°.
A + B – C < 180° .
f) latura mai mare se opune unghiului mai mare: dac ă a > b, atunci A > B.
1.4. Formulele fundamentale ale trigonometriei sferice . Grupul de form ule a lui Gauss
Din pu nct de vedere matematic, în m ăsura în care nu suntem interesați de distanțele reale p â-
nă la aștri, vom opera doar cu direcțiile pe care aceștia se g ăsesc faț ă de observator. În acest caz, p u-
tem construi o sfer ă de raz ă arbitrar ă și putem echivala în mod tr ivial "direcțiile" din spațiul tridimensi o-
nal cu "punctele" acestei sfere. Astfel, formalismul calculelor ce trebuiesc efectuate pentru determ inări-
le astronomice se simplific ă de la geometria tridimensional ă cartezian ă la o geometrie bidimensi onală
sferic ă.
În cadrul acestei geometrii, "dreptele" sunt înlocuite de cercurile mari de pe suprafața sferei.
Pentru calculele astronomice este important ă problema rezolv ării triunghiurilor sferice. Pentru aceasta,
vor fi demonstrate formulele fundamentale ale trigo nometriei sferice, formulele lui Gauss , acesta fiind
principalul scop al acestei secțiuni . Aceste formule corespund într -o anumit ă măsură relațiilor trigon o-

metrice ce determin ă triunghiurile plane cum sunt teorema sinusurilor sau teorema cosinusului .
Rezol varea triunghiului sferic implic ă relațiile dintre laturile și unghiurile acestuia. Pentru ded u-
cerea lor, se consider ă un triunghi sferic ABC, de laturi a,b, c și de unghiuri A, B, C pe suprafața unei
sfere cu centrul O și de raz ă egal ă cu unitatea (R = 1) .
1.4.1 . Formule trigonometrice fundamentale de ordinul I
Fie triunghiul sferic ABC așa cum arat ă figura de mai jos.

Semidreapta OB intersecteaz ă tangenta în A la latura AB în punctul B1. Semidreapta OC inter-
secteaz ă tangenta în A la latura AC în punctul C1.
Din triunghiul plan C1OB 1 obținem, conform teoremei lui Pitagora generalizat ă:
C1B12 = OC 12 + OB 12 – 2OC 1 OB 1 cos a (1.2
Din triunghiul plan C1OA 1 obținem, conform teoremei lui Pitagora generalizat ă:
C1B12 = AC 12 + AB12 – 2AC 1 AB1 cos A (1.3
Din triunghiul plan dreptunghic OAC 1 obținem:
OA2 = OC 12 – AC 12 (1.4
Din triunghiul plan dreptunghic OAB 1 obține m:
OA2 = OB 12 – AB12 (1.5
Scădem relația (1.3) din (1.2):
(OC 12 – AC 12) + (OB 12 – AB12) – 2OC 1 OB 1 cos a + 2AC 1 AB1 cos A = 0
Ținând seama de 1.4 și 1.5 obținem:
OA2 – OC 1 OB 1 cos a + AC 1 AB1 cos A = 0
De unde rezult ă:
1 1 1 1cos cosOA OA AB ACa AOB OC OB OC     . (1.6
Din triunghiurile plane dreptunghice în A, OAB 1 și OAC 1, avem:

cos c = OA
OB 1 cos b = OA
OC 1 sin c = AB1
OB 1 sin b = AC 1
OC 1

Înlocuind aceste valori în relația (1.6) obținem:

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A,

care se numește relația cosinusurilor pentru laturi .
Prin permut ările literelor în aceast ă relație, obținem grupul de trei formule fundamentale de ord i-
nul I.
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B

cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C (I
Toate cele trei relații de mai sus cuprind patru elemente, toate laturile și un unghi.
1.4.2 . Formulele a cinci elemente
Amplificând prima relație din ( I) cu cos c și adunând cu cea de -a doua, obținem:

Fig. 1.5. Pentru rezolvarea triungh iul sferic.

cos a cos c + cos b = cos b cos2 c + cos a cos c + sin b sin c cos c cos A + sin a sin c cos B
sau
cos b (1 – cos2 c) = sin b sin c cos c cos A + sin a sin c cos B,
deci:
cos b sin2 c = sin b sin c cos c cos A + sin a sin c cos B.

După simplificarea cu sin c rezult ă:

sin a cos B = cos b sin c – sin b cos c cos A.

Prin permutarea elementelor în relația de mai sus obținem șase formule cu câte cinci elemente ;
numite formulele a cinci elemente . Ele stabilesc relații între cinci din cele șase elemente (trei laturi și
trei u nghiuri) ale unui triunghi sferic.

sin a cos B = cos b sin c – sin b cos c cos A
sin a cos C = cos c sin b – sin c cos b cos A
sin b cos A = cos a sin c – sin a cos c cos B
sin b cos C = cos c sin a – sin c cos a cos B (II
sin c cos A = cos a sin b – sin a cos b cos C
sin c cos B = cos b sin a – sin b cos a cos C

1.4.3 . Teorema sinusurilor
Consider ăm în figura 1.6 un triedru având ca baz ă triunghiul sferic ABC dat și muchia egal ă cu
unitatea.
Din punctul A coborâ m perpendiculara AD pe planul OBC . Prin AD ducem planele normale la
muchiile OB și OC, care taie muchiile respective în E și F. Conform teorem ei celor trei perpendiculare ,
avem:

( )
( )AD OBCAE OBDE OB
AD OBCAF OCAF OC 
 

Atunci:

∠AED = ∠B, ∠AFD = ∠C,
AE = sin c, AF = sin b.

Prin urmare, din triunghiurile plane dreptunghice ADE și ADF, obținem (Fig. 1.7) :

AD = sin c sin B, AD = sin b sin C.
Egalând, obținem:
sin b sin C = sin c sin B
sau
sin b
sin B = sin c
sin C

Repetând operația pe celelalte dou ă fețe ale triedrului (Fig. 1.6) , obținem proprietatea num i-
tă analogia sinusurilor :

Fig. 1.6. Măsurile laturilor în triunghiu rile sferic e.

Fig. 1.7

CAPITOLUL 2

ASTRONOMI A SFERICĂ

2.1. Sfera cerească și aparențele ei
Din orice punct al suprafeței Pământului, p rivind cerul înstelat într -o noapte senină, o primă ap a-
rență este că deasupra noastră vedem o boltă nemărginită, de forma unei calote sfe rice, pe a cărei
suprafață interioară sunt situate stelele și toate celelalte corpuri cerești ; care în vorbirea cu rentă se
numește boltă cereasc ă, sau simplu, cer. Aceasta intersectează suprafața terestră după o linie nereg u-
lată, numită or izont fizic.
Aces t fenomen nu este dec ât o aparență . În realitate, toți aștrii se află la dista nțe diferite de noi;
ochiul nostru neputâ nd discerne diferența între acestea, aștrii par dispuși la distanțe egale, adică pe o
suprafața sferică.
Ziua, pe timp frumos, cerul sen in are culoare albastră, iar pe el se observă Soarele. Uneori se
observă ziua și Luna, iar seara și dimineața – planetele mai strălucitoare (mai ales Venus – numit ă Lu-
ceafărul și rare ori Mercur ).
Culoarea albastră a cerului e tot o aparență și se explică prin fenomenul de difuziune a luminii,
deoarece radiațiile albastre sunt mult mai puternic difuzate dec ât cele roșii și infraroșii , care aproape că
lipsesc din lumina difuză, de aici nuanța albastră a cerului.
Atmosfera terestră absoarbe mult mai puternic radiațiile albastre dec ât pe cele roșii. Din acest
motiv lumina pe care o primim de la Soare nu este albă , ci are o nuanță gălbuie. Cel mai bine se o b-
servă efectul absorbției luminii albastre , atunci c ând Soarele este la răsărit sau la asfințit. Atunci, ra zele
de lumin ă parcurg oblic atmosfer a (deci, un strat mai gros de aer ), lumina albastră este, în co nsecință ,
mai mult absorbită ; așa se explică faptul că, la orizont, discurile Soarelui și Lunii, turtite din cauza r e-
fracției, au acea culoare roși atică apr insă.
Noaptea, cerul senin apare întunecat, iar pe el se observă stelele, planetele, Luna și alți aștri.
Prima impresie produs ă de cerul înstelat este numărul foarte mare de stele și așezarea lor dezordon a-
tă. În realitate, cu ochiul liber, dintr -un punct o arecare de pe Păm ânt, nu putem observa mai mult de
3!000 de stele; deci pe întreg cerul se vor observa circa 6 !000 de stele.
O altă aparență, este percepută atunci când, într-o noapte senină, fără Lună, aflându -ne în mi j-
locul unei c âmpii întinse, departe d e luminile orașelor , nu avem impresia un ui întuneric total, deoarece
primim o slabă lumină difuză , care ne vine de la cer.
Lumina stelelor contribuie cu doar 3/10 la lumina totală a nopții. S -a calculat că lumina tuturor
stelelor ar echivala cu cea dată de 1!000 de stele de magnitudine 1 sau cu o lum ânare așezată la 70
de metri de observator. Ipotetic vorbind, d acă s -ar stinge toate stelele vizibile cu ochiul liber, care sunt
cam vreo 6 !000 pe amb ele emisfere, lumina generală a cerului n -ar slăbi dec ât cu 1 /10. Aceasta ne
arată un alt aspect, anume c ât de puține stele sunt vizibile cu ochiul liber, în comparație cu cele care
se văd cu l unetele sau telescoapele. De exemplu, există circa 18 !000 de stele de magnitudine 7,
aproape 5!300!000 de magn itudine 12 și vreo 27!000!000!000 de magnitudine 20.
Tot o aparență este și faptul că, stelele nu -și schimbă poziția relativă (una față de alta), de u nde
gruparea lor, după aparențe, în constelații .
2.2. Pozițiile aparente ale aștrilor. Constelațiile
Întrucât cu ochiul liber nu putem evalua distanțele reale ale corpurilor cerești, avem impresia că
toate acestea se găsesc la aceeași distanță, ca și cum ar fi proiectate pe suprafața interioară a unei
sfere . Astfel, constelațiile sunt figuri aparente pe această sferă, figur i pe care se proiectează toate co r-
purile cerești dintr -un an umit unghi solid (con) cu vârful în centrul sferei.
Nimeni nu poate spune cine și -a imaginat și numit primele constela ții. Exist ă mărturii rămase de
la culturi antice ca: babilonienii, grecii, rom anii, indienii, chinezii, amerindienii. Dispuse pe trei contine n-
te, civilizațiile amintite și -au dus existența în emisfera nordică și de aceea au creat constelațiile vizibile
pe cer din această pa rte a planetei noastre.
Din cele mai vechi timpuri, oamenii diferitelor culturi ale lumii au grupat stelele în constelații, pr o-
iectând pe cer imagini închipuite de ei. Multe din acestea sunt reprezentări ale unor personaje mitol o-
gice, animale, obiecte sau figuri fanteziste. Acesta este motivul pentru care multe din constelații ne
spun povești de spre mituri și legende.
Ptolemeu, astronomul greco -egiptean care a trăit în secolul al 2 -lea d.Hr. , a men ționat existența
a 48 de constelatii în lucrarea sa Almagesta (150 d.Hr). Aceste constela ții erau cuno scute încă cu trei
secole în aintea sa, fiind menționate și de către Eudoxus din Knidos (n. 410 sau 408 î.Hr. – d. 355 sau
347 î.Hr.). Ele sunt numite constela ții antice și o parte dintre ele s -au păstrat și în prezent. Ptolemenu,
nu a "creat" constela țiile antice (în afară de câteva), ci le -a men ționat pe cele create deja la vremea sa.

Lista constela țiilor menționate de Ptolemeu

Constelații nordice

Ursa Minor: Ursa Mică
Ursa Major: Ursa Mare
Draco: Dragonul
Cepheus: Regele Etiopei
Bootes: Boarul
Corona Borealis: Coroana Boreală
Hercules: Hercule
Lyra: Lira
Cygnus: Lebăda
Cassiopeia: Regina Etiopiei
Perseus: Perseu
Auriga: Vizitiul
Ophiuchus: Omul cu Șarpele
Serpens: Șarpele
Sagitta: Săgeata
Aquila: Vulturul
Delphinus: Delfinul
Equuleus: Calul mic sau Mânzul
Pegasus : Pegas , calul înaripat
Andromeda: Andromeda , prin țesa Eti opiei
Triangulum: Triunghiul

Constelații nordice din zodiac

Aries: Berbecul
Taurus: Taurul
Gemini: Gemenii
Cancer: Racul
Leo: Leul
Virgo: Fecioara

Constelații sudice din zodiac

Libra: Balanța
Scorpius: Scorpionul
Sagittarius: Săgetătorul
Capricornus: Capricornul
Aquarius: Vărsătorul
Pisces: Peștii

Constelații sudice

Cetus: Balena
Orion: Orion , Vânătorul
Eridanus: Râul
Lepus: Iepurele
Canis Major: Câinele Mare
Canis Minor: Câinele Mi c
Argo: Nava Argonau ților; este în prezent diviz a-
tă în trei constela ții (Carina , Puppis și Vela) Hydra: Hidra , șarpele de ap ă
Crater: Cupa
Corvus: Corbul
Centaurus: Centaurul
Lupus (Bestia): Lupul sau Bestia
Ara: Altarul
Corona Australis: Coroana Australă
Psicis Austrinus: Peștele Austral

La începutul secolului al 16 -lea, când navigatorii europeni au călătorit peste oceane să explor e-
ze emi sfera sudică, nevoia de orientare precisă a dus la catalogarea stelelor ne mai văzute până
atunci și la crearea de no i constela ții. Așa au ap ărut constela țiile emisferei sudice, care au nume mai
tehnice, spre deosebire de cele din emisfera nordică, în care sunt reprezentate păsări, animale și eroi
mitologici.
Amerigo Vespuci crează în 1503, constelațiile Crux și Triangul um Australe. Gerard Mercator
crează în 1551, constelația Coma Berenices.
Doi dintre navigatorii olandezi aveau să creeze câteva constela ții în anii 1596 și 1597. Pieter
Dirkszoon Keyser și Frederick de Houtman au realizat un catalog de 300 stele și au crea t 11 constela ții
pe cerul sudic. Finan țatorul celor doi, Petrus Plancius, a introdus alte trei constelații: Camelopardalis
(1613), Columba (1592) și Monoceros (1613).

Lista constelatiilor create de navigatorii
Pieter Dirksz Keyser și Frederick de Houtman

Apus: Pasărea Paradisului
Chameleon: Cameleonul
Dorado: Peștele de Aur
Grus: Cocorul
Hydrus: Hydra Australă
Indus: Indianul Musca: Musca
Pavo: Păunul
Phoenix: Pasărea Phoenix
Tucana: Tucana
Volans: Peștele Zburător

La începutul secolului 17, astronom ul german Johann Bayer (1572 -1625) a creat alte 12
constelatii sudice, iar compatriotul său Jakob Bartsch (1600 -1633) a alte trei, toate acestea au fost
desfințate. Marele astr onom polonez Johannes Hevelius, (1611 -1687), a introdus alte șapte constelații.

Lista constelatiilor create de Hevelius

Canes Venatici: Câinii de vânătoare
Lacerta: Șopârla
Leo Minor: Leul Mic
Lynx: Linxul Scutum: Scutul lui Sobieski al III
Sextans: Sextantul
Vulpecula: Vulpea

În timpul unei călătorii în Africa de Sud, Abbe Nicol as-Louis de Lacaille a creat încă 14
constela ții și a catalogat mii de stele. Aceste noi constelatii sunt cunoscute sub numele de "constel ații
moderne". Temele constela țiilor lui Lacaiile nu erau mitologice , ci moderne. Inspirat fiind de mi șcarea
renascent istă, astronomul francez cre ează constela ții care redau descoperirile științifice ale perio adei
sale.
Lista constelatiilor create de Lacaille

Antila: Pompa pneumatică
Caelum: Dalta
Carina: Carena (navei Argo)
Circinus: Compasul
Fornax: Cuptorul
Horologi um: Orologiul
Mensa: Platoul (muntele din Cape Town)
Microscopium: Microscopul
Norma: Echerul Octans: Octantul
Pictor: Pictorul
Puppis: Pupa (navei Argo)
Pyxis: Compasul
Reticulum: Reticulul
Sculptor: Sculptorul
Telescopium: Telescopul
Vela: Velele (navei Argo)

În general constela țiile antice sunt numite dup ă figura pe care o reprezintă. Constela ții ca Aquila
și Bootes seam ănă cu personajul după care au fost create – un vultur și un om).
Constela țiile moderne, majoritatea vizibile din emisfera sudic ă, au fost num ite după obiecte ale
diferitelor inven ții (cum ar fi compasul, telescopul și microscopul).
În interiorul constelațiilor, începând din secolul al XVII -lea, stelele mai strălucitoare, au început
sa fie notate cu literele alfabetului grecesc α, β, γ, ș.a.m.d. Mai târziu, pentru stelele mai puțin străluc i-
toare s -a intro dus numerotarea cu numere arabe. Stelele strălucitoare (circa 130) poartă și n u-
me proprii precum: Vega , Procyon , Sirius etc.
Înainte de anul 1922 orice astronom putea să traseze constela ții dup ă bunul plac și imaginația s –
a și din cauza acestui lucru s -au creat multe confuzii. Pentru a elimina orice problemă, Uniunea Astr o-
nomică Interna țional ă (UAI) , a decis să stabilească un numar fix de con stela ții cu granițe precis delim i-
tate. Astfel, prin conven ție, s -au stabilit 88 de constela ții care au numele în latin ă, o limbă univers ală.
În 1930 a fost publicată lucrarea „Délimitation scientifique des constellations”, de catre Eugène
Delporte, în care sunt trecute delimitările științifice ale constelațiilor. Aceast ă lucrare co nstituie referin ța
pricipală în domeniul constela țiilor.
Lista cu nume de constela ții și abrevierile adoptate de Uniunea Astronomică Interna țional ă cu
ocazia Adunării Generale care a avut loc la Roma, în mai 1922 , și publicată în jurnalul UAI, vol. 1,
p.158 , se găsește în Anexa 2.
2.3. Mișcarea diurnă aparentă a sferei cerești
Pentru determinarea pozițiilor aparente și a mișcărilor apa rente ale corpurilor cerești nu este n e-
cesar s ă cunoaștem dis tanțele p ână la ele, deoarece toate ne apar situate pe suprafața interioara a
sfere i de rază arbitrară. Astfel, deter minarea pozițiilor aparente înseamnă determinarea direcțiilor co r-
purilor cer ești, față de un anumit punct di n spațiu în ca re se găsește (în mod real sau ipotetic ) observ a-
torul. Aceste direcții se fixează în raport cu anumite repere luate pe sferă.
Se numește sfer ă cerească o sferă imaginară, cu raza arbitrară, av ând centrul într -un punct arb i-
trar al spațiului, pe a cărei supr afață se trec pozițiile aștrilor așa cum se văd ei pe cer, la un m oment
dat, din punctul considerat al spați ului.
Deși, în realitate, nu există nici o suprafață sferică împreună cu care toți aștrii să efectueze
această mișcare diurnă, în astronomie se util izează totuși noțiunea de sferă cerească, fiind un auxil iar
important la determinarea pozițiilor și mișcărilor aparente ale aștr ilor.
Raza sferei cerești fiind arbitrar de mare, în numeroase probleme dimensiunile Păm ântului se
pot neglija în raport cu acea stă rază (put ând cons idera centrul Păm ântului ca centru al sferei cerești,
pentru observații terestre). Acest lucru nu este valabil dacă observațiile se referă la corpurile di n sist e-
mul solar și mai ales la sateliții artificiali ai P ământului1.
Privind cerul înstelat, vedem stelele răsărind, apoi ajungând la înălțimea maximă față de or izont
(culminând) și apun ând, în mod periodic, de unde s untem conduși la aparența c ă cerul, în într egimea

1 Sfera cerească cu centrul considerat în ochiul observatorului, se numește sfera topocentrică ; așa cum sfera al
cărui centru considerat este centrul Pământului, se numește sferă geocentrică sau put em avea sferă helioce ntrică,
atunci când centrul Soarelui desemnează sfera heliocentric ă.

lui, se rotește de la est spre vest, cu o perioadă de 23h56m04s,1 timp mediu ( ziua sideral ă). Numai
steaua α Ursae Minoris, numit ă stea polară , pare nemișcată. Întorc ându-ne cu privirea spre steaua
polară, observăm că stelele se mișcă de la est spre vest, în sensul contrar mersului acelor ceasornic u-
lui. Acest sens al mișcării aparente diurne este sensul retrograd (Fig. 2.1). Cauza adevărată a ace stui
fenomen aparent este, după cum se știe, mișcarea reală de rotație a Păm ântului în jurul axei proprii , cu
aceeași perioad ă, dar în sensul contrar, numit sens direct . Admite m aici uniformitatea mișcării de rot a-
ție a Păm ântului.
Putem avea o imagine a mișcării diurne ap a-
rente fotografiind cer ul cu un astr ograful centrat pe
Polară, cu o expunere de aproximativ o oră. Vom v e-
dea pe imaginea rezultată dârele create de stele în
mișcarea lor d iurnă, dâre cu at ât mai lungi cu c ât
steaua este mai departe de Polară.
Toate cercurile corespunzătoare au a celași
centru, situat într -un punct (apro piat de Polară) numit
Pol Nord ceresc , P. Punctul de pe sfera c erească,
diametral opus acestuia, vizibil din emisfera s udică a
Pământului, se numește Pol Sud ceresc , P'. Dreapta
(diametrul sferei cerești) care uneș te cei doi poli se
numește axa lumii. Toate punctele sferei cerești (toți
aștrii) participă la mișcarea diurnă ap arentă, mișcare
care ne apare ca o rotație în jurul axei lumii. Obse r-
vând în nopțile senine mișcarea diurnă a stel elor și
Lunii, iar în zile le însorite mișcarea diurnă a Soar elui
se constată că ( în emisfera nordică a Păm ântului) rotația diurnă aparentă se efectuează în sens retr o-
grad. Pentru rezolvarea problemelor de astronomi e este mai convenabil să se vorbească în termenii
mișcării aparente, de aceea în continuare vom utiliza tot această terminologie .
Modul cum apare mișcarea diurnă depinde de locul de observație. Astfel Fig. 2.2 prezintă mișc a-
rea diurnă așa cum este văzută de un observato r situat la diferite latitudini ale Pământului .

Pentru stele punctele de răsărit și de apus, ca și paralelele diurne nu se schimbă de la o zi la a l-
ta (numai după intervale foarte mari de timp și prin măsurări de mare precizie se pot pune în ev idență
mici variații în mișcarea lor d iurnă). Spre deo sebire de stele, Soarele și Luna prezintă variații vizibile
ale mișcării diurne. Punctele lor de răsărit și apus, precum și parale lele diurne corespunz ătoare variază
continuu, de la o zi la alta. Soarele se deplasează printre stele cu cir ca 1° pe zi. Asupra acestei pr o-
bleme vom reveni în secțiunea 2.7. De asemenea Luna se deplasează printre constelații cu circa 13 °
pe zi, d atorită miș cării pe care o efectuează în jurul Păm ântului.
Împărțirea aștrilor în aștri cu răsărit și apus, și aștri circumpolari depinde de locul de observație
(poziția observatorului pe suprafața Păm ântului). Astfel, în partic ular, la poli toate stelele sunt circu m-
polare; paralele lor diurne fiind paralele cu planul orizontului, acestea rămân mereu vizibile (fig. 2.2.a).
La lat itudini medii, aștrii au răsărit și apus, paralele lor diurne coborând sub planul orizontului (fig.
2.2.b). Pentru un loc dat, stelele circumpolare ocupă calot a sferică de nuanță gri deschis, situată de a-
supra orizontului. Analog, pe calota sferi că situată sub planul orizontului, se află aștrii care nu se văd
niciodată (nu răs ar) din acel loc. La ecuator , toate stelele s unt cu răsărit și apus, așa cum se obse rvă
din fig. 2.2.c, paralele lor diurne sunt perpendiculare pe planul orizontului.
2.4. Punctele, planele și liniile fundamentale ale sferei cerești
În reprezentările grafice, sfera cerească este mereu desenată ca fiind văzută de un observator
ipotetic aflat în afara ei . Privind Fig . 2.3 identificăm următoarele elemente :
Planul orizontului este planul dus prin ce ntrul sferei cerești și care este perpendicular pe direcția

Fig. 2.1. Fotografie a regiunii din vecinătatea
stelei polare, care pune în evidență mișcarea
de rotație diurnă ap arentă a acesteia.

a) b) c)
Fig. 2 .2. Mișcarea aparentă a sferei cerești la trei latitudini diferite: a) la Polul no rd; b) la latitudinea de 45° N;
c) la Ecuator.

firului de plumb, adică verticala locului . El taie sfera cerească după un cerc mare NESV numit orizont
matematic (sau adevărat), pe care bolta cerească pare că se sprijină pe su prafața tere stră și separă
partea vizibilă a sferei cerești de cea invizib ilă (aflată sub linia orizontului ).
Axa lumii – dreapta PP' este diametrul ce unește cei doi poli ( P – polul nord, P' – polul sud). Axa
de rotație a sferei cerești (topocentrice2) este paralelă cu axa de rotație a Pământului (în cazul sferei
cerești g eocentrice cele două axe coincid).
Verticala locului – direcția firului cu plumb
OZ, într -un loc dat. Punctele de intersecție ale
acest eia cu sfer a cerească sunt: Z – zenitul și Z' –
nadirul – punctul diametral opus cu zenitul loc ului,
deci este prelungirea verticalei locului OZ', în emi s-
fera invizibilă (aflată sub observ ator).
Ecuatorul ceresc este p lanul Q'Q dus prin
centrul sferei cerești , plan perpendicular pe axa
lumii. El taie sfera cerească după un cerc mare
QVQ 'E, care împarte sfera cerească în două emi s-
fere: emisfera boreală (nordică) și emisfera austr a-
lă (sud ică).
Orizontul matematic și ecuatorul ceresc se
intersectează în două puncte car e sunt pun ctele
cardinale E (est) și V (vest).
Cele două drepte, axa lumii și verticala loc u-
lui, determină un plan numit planul meridian loc al.
El taie sfera cerească după un cerc mare numit
meridian ceresc PZQSP 'Z'Q'N, iar planul orizont ului
după o linie numită meridiana locului NS. Meridiana
locului taie orizontul în două puncte: cel aflat pe d irecția polului nord ceresc este punctul nord N, iar
diametral opusul lui este punctul sud S. Pe orizont, la mijl ocul distanței dintre cele două puncte – pentru
un observator orientat cu fața spre polul nord – în dreapta se află punctul est E și di ametral opus lui
punctul vest V. Deci meridianul se rvește pentru orientarea într -un punct dat de pe suprafața Pământ u-
lui.
Orice plan dus prin verticala locului se numește plan vertical și taie sfera cerească după un cerc
mare numit vertical. Planul vertical perpendicular pe planul meridian al locului determină primul vertical .
Paralelul ceresc (sau diurn) este cercul mic descris de fiecare stea σ și este paralel cu ecuatoru l
ceresc . Paralelul ceresc are cu meridianul ceresc două puncte comune numite culminații . În culmin ația
superioară c – steaua atinge înălțimea cea mai mare deasupra orizontului, iar în culminația inf erioară c'
– steaua atinge înălțimea cea mai mică deasupr a orizontului. Stelele pentru care vedem ambele culm i-
nații c' și c'1, deci care nu apun niciodată, se numesc stele circumpolare . Aceasta se datorează fapt ului
că paralele lor cerești se află în întregimea lor, deasupra orizontului. Altele răsar (în Fig. 2. 3) din pun c-
tul r, culminează și apun în punctul a; în timp ce stelele ale căror paralel ceresc se situează sub or i-
zont, nu sunt vizib ile niciodată.
2.5. Coordonate geografice
Acest sistem de coordonate define ște poziția oricărui loc de pe suprafața Pământ ului considerat
sferic, prin două sau trei coordonate într -un sistem de coordonate sferice care este aliniat la axa de
rotație a Pă mântului.
Poziția reciprocă a cercurilor și punctelor de pe sfera cerească pe care le -am definit mai devr e-
me, sunt dependente de direcția verticalei locului, adică de poziția observatorului de pe suprafața gl o-
bului terestru (Fig. 2. 4). Această dependență se traduce prin relația fundamentală a latitudinii astron o-
mice: înălțimea polului ceresc deasupra orizontului unui loc dat de pe suprafața terestră este egală cu
latitudinea astronom ică a acelui loc (Fig. 2. 5).
Originea : centrul Pământului.
Planul fundamental : ecuatorul terestru.
Polii : polii geografici ai Pământului.
Punct de referință : intersecția dintre meridianul (origine) Gr eenwich și ecuatorul terestru.
Coordonate : latitudine și longitudine .
– Latitudinea geografică φ a unui punct de pe suprafața Pământului este dată de măsura unghi u-
lui format de verticala locului cu planul ecuatorului terestru. Acest unghi este egal (Fig. 2 .5) cu unghiul
format de axa lumii cu planul orizontului, numit înălțimea polului deasupra orizontului.
Considerând Pământul sferic, verticala locului (punctului B) OB, trece prin centrul globului p ă-
mântesc, d eci avem :

2 Coordonatele astronomice care utilizează pozi ția observatorului ca centru al al sferei (al sistemului de coordon a-
te), de exe mplu coordonatele azimu t și altitudine (vezi 2.61).

Fig. 2. 3. Elementele sferei cerești .

CAPITOLUL 3

FENOMENE CARE MODIFICĂ POZIȚIILE A ȘTRILOR PE CER

Direcțiile și pozițiile în care se văd corpurile cerești de pe Pământ sunt influențate, mai mult sau
mai puțin, de unele fenomene de care trebuie să ținem seama. Ele modifică rezultatele observațiilor și
îngreunează determinarea coordonatelor aștrilor. Printre acestea, se numără: efectul optic al refrac ției
astronomice; efectul optic al mișcărilor Pământului: aberația diurnă, anuală și seculară; efectul ge ome-
tric al mișcărilor Pământului: paralaxa diurnă, anuală și seculară; deplasarea planetelor fundamentale
de referință: precesia și nutația ; mișcările proprii ale stelelor.
3.1. Refracția astr onomică
Putem considera spațiul interstelar ca fiind un spațiu omogen, în care o rază de lumină (s au or i-
ce radiație electromagnetică) se prop agă în linie dreaptă. Acest lucru este valabil până când raza de
lumină ajunge la atmosferă. Atmosfera, însă, este un mediu neomogen; datorită atracț iei Pământului,
fiecare strat atmosferic exercită o presiune as upra celui inferior lui, având ca rezultat o creștere a de n-
sității pe măsura aproprierii de suprafața terestră. Creșterea densității, face ca și indicele de refracție
să varieze (să scadă) cu înălțimea. Variația acestui indice, se datorează neomogenității și diferenței de
densitate a aerului din straturile atmosferei terestre, variație ce depinde de: altitudine, temperat ură,
presiune și umiditate. De aceea direcția aparentă a unui obiect vizibil se va abate de la direcția adev ă-
rată, raza de lumină descriind o linie frântă cu laturi infinit de mici și infinit de multe, ad ică într -o linie
curbă, până ajunge în ochiul observa torului O ( Fig. 3.1.a).
Refracția astronomică , este unghiul dintre direcția în care se vede aparent astrul σ și direcția d u-
pă care se pro pagă razele de lumină în afara atmosferei t erestre. Acest unghi scade de la orizont spre
zenit și este dat de formula:
R = z' – z. (3.1

Această formulă arată că, datorită fenomenului refrac ției, distanța zenitală a astrului se micș o-
rează cu mărimea R. Conform primei legi a refracției, întreaga traiectorie a razei este situată în ac elași
plan (planul vertical), adică refracția astronomică nu modifică azimutul astrului. Refracția astronomică
micșorează distanța doar zenitală, făcând ca aștri să pară mai sus față de orizont decât sunt ei în r eali-
tate. Un astru situat în zenit are refracția n ulă.
Pe Fig. 3.1.a, observatorul așezat în punctul O vede astrul în direcția tangentei în punctul final al
razei, adică în direcția aparentă Oσ, având distanța zenitală aparentă z = ZOσ. Însă direcția adevăr ată
a astrului este Oσ' , adică paralela prin O la dire cția razei în afara atmosferei. Astfel, distanța zenitală
adevărată a astrului este ungh iul z' = ZOσ' .
Valoarea exactă a refracției se exprimă printr -o formulă de integrală definită după care sunt î n-
tocmite tabele speciale1 menite să ușureze munca astronomilor. Cu toate acestea, o aproximare suf i-
cient de bună pentru cele mai multe scopuri practice este u șor de derivat. S ă ne închipuim un model
simplu de atmosferă omogenă asemenea unui teanc de straturi plan -paralele , deasup ra unui Pământ
plat, fiecare având un anumit indice de refrac ție ni (Fig. 3.1.b). În afara atmosf erei, avem n = 1.
Fie distan ța zenital ă adevărată z' și cea aparent ă, z. Folosind nota țiile din figura 3.1.b, obținem
următoarele ecua ții pentru limitele strat urilor succ esive:

1 Efemeridele dau tabele de refracție astronomică pentru condiții normale și tabele auxiliare pentru c ondiț ii de
temperatură și presiune diferite de cele normale.

Fig. 3.1. a) Schema refracției astronomice.

b) Schema refracției astronomice pentru straturi
plan-paralele.

sin z = nk sin zk,
:
:
n 2 sin z2 = n1 sin z1,
n 1 sin z1 = n0 sin z'.

Simplificând acest set de ecua ții, obț inem:
n0 sin z' = sin z (3.2

Ținând cont că refracția are valori foarte mici, putem considera: cos R = 1, sin R = R sin 1", unde
sin 1" = 1/206 265, dacă R se măsoară în secunde de arc. Punând din relația (3.1) z' = z + R, relația
(3.2) se mai scrie
n0 sin z = sin z + R cos z,
de unde obținem
R = aR tan z'. (3.3
unde am notat aR = n0 – 1 este constanta refracției astronomice . Ea are valoarea de 60",3 pentru cond i-
țiile: temperatura T = 0°C și presiunea atmosferică P = 760 mm Hg). În general,

27360",3760 273RPaT .

Pentru z > 70° formula (3.3) numai este aplicabilă (dând eroarea mai mare de 1°).
O formulă surprinzător de simplă pentru refrac ție, cu o precizie bun ă pentru toate altitudinile de
la 90° la 0°, a fost dat de Bennett, G.G. de la Univers ity of New South Wales. Dacă refrac ția R este
exprim ată în minute de arc, formula lui Bennett are forma :
1,7,31tan4,4R
hh
    (3.4
unde h – înălțimea aparentă în grade de arc. Conform lui Bennett, această formulă are precizia de
0,07 minute de arc pentru toate valorile lui h. Cea mai mare eroare, 0,07 minute de arc, apare la altit u-
dinea de 12 °.
Pentru că la zenit h = 90° , formula (3.4) dă ca rezultat R = –0",08 în loc de zero. Acea sta poate fi
rectificată adăugând +0,001 3515 la rezultat.
Bennett a arătat, de asemenea, modul în care formula lui poate fi rafinată. Calcula ți R cu ajutorul
formul ei (3.4); apoi se calculează corec ția pentru R, exprimată în minute de arc, este
0,06sin(14,7 13) R   ,
unde expresia dintre paranteze este exprimată î n grade. Calculând în acest fel, eroarea maximă este
stabilită la doar 0,015 minute de arc sau 0",9, pentru întreg intervalul de la 90° la 0°.
Formula (3.4) presupune că observa ția se face la nivelul m ării, când presiunea atmosferică este
de 1010 milliba ri și când temperatura aerului este de 10°C. Efectul refracției crește atunci când crește
presiunea sau când temperatura scade.
Dacă presiunea de la suprafa ța Pământului este P millibari și temperatura aerului este T grade
Celsius, atunci valoarea lui R dată de formula (3.4) ar trebui să fie înmul țită cu

283
1010 273P
T.

Pentru conversia presiunii atmosferice, din milimetri coloană de mercur în milibari, avem:

1 mbar = 0,75218 mm Hg.

În acest caz, se scrie: P = (presiune în mm Hg) (1 mbar/0 ,75218 mm Hg) pres iune în mbar.
Așa cum spuneam, rezultatul acestor formule trebuie interpretat ca fiind aproximativ. Problema
este mai complicată , deoarece refrac ția depinde și de lungimea de und ă a luminii. Expresiile d ate mai
sus sunt pentru lumina ga lbenă, unde ochiul uman are sensibilitate maximă.
Refracția astronomică are următoarele consecințe:
– Descreșterea distanței zenitale este cu atât mai mare, cu cât astrul este mai aproape de linia
orizontului.
– Deformarea discurilor aparente ale aștrilor î n vecinătatea orizontului. Corpurile cere ști, care

Fig. 3.2. Schema aberației luminii. prezintă un disc aparent: Soarele și Luna, prezintă deformări majore atunci când sunt situate în apr opi-
erea orizontului, coardele lor verticale părând că se scurtează. Fenomenul se explică ușor: bordul i nfe-
rior al discului cu distanța zenitală mai mare, este ridicat mai mult urmare a refracției, decât bor dul s u-
perior, care are distanța zenitală mai m ică.
– Modifică momentele de apus și răsărit ale aștrilor. Dacă astrul se ridică deasupra orizontului,
refrac ția face ca răsăritul astrului să se producă mai devreme, respectiv apusul să se producă mai tâ r-
ziu cu câteva minute. În cazul Soarelui, al cărui diametru aparent este de aproximativ 32 ′, e lesne de
înțeles, că acesta se vede deasupra orizontului (sau ta ngent la el), când de fapt el este complet sub
linia orizontului. În consecință, răsăritul Soarelui având loc mai devr eme și apusul mai târziu decât
adevăratul răsărit și apus, face ca lungimea zilei să fie m ărită.
– Scânteierea (scintilația) stelelor, fenom en observat ușor în apropierea orizontului: razele de
lumină, trecând prin atmosfera terestră agitată de curenți și variații bruște ale densității, își sc himbă
repede direcția urmare a refracției și se produc și f enomene de interferență.
– Crepusculul , este iluminarea atmosferei inferioare atunci când Soarele nu este direct vizibil,
acesta aflându -se sub orizont. Crepuscul este produs de refracția și difuzia (dispersarea) luminii Soar e-
lui în atmosfera superioară, luminând atmosfera inferioară, astfel încât la suprafa ța Pământului nu este
nici complet luminată, nici complet întunecată.
Partea de zi de la apusul Soarelui, până când înălțimea lui devine h = – 6° se numește crepu s-
cul de seară. În mod analog, înainte de răsăritul Soarelui avem crepusculul de dim ineață. Crepusculul
astfel definit se numește crepuscul civil . Spre deosebire de acesta, crepusculul astronomic (de seară și
dimineață) se definește prin condiția h = – 18°. La sfârșitul acestuia (seara) încep să se vadă stel ele
aflate la limita vizibilit ății cu ochiul liber (de magnitudine stelară +6) și astfel putem spune că a început
noaptea. Analog, la începutul crepusculului (dimineața) stelele de magnitudinea +6 dispar, semn că
noaptea a luat sfârșit și cerul î ncepe să se lumineze.
La latitudini mai mari de 66°34', în jurul solstițiului de vară, cele două intervale de crepuscul (de
seară și de dimineață) se succed unul după altul, apărând fenomenul nopților albe .
În navigația maritimă se utilizează noțiunea de crepuscul nautic , definit prin condiția h = – 12°.
Caracteristica distinctivă a crepusculului este în primul rând absen ța umbrelor și vizibilitatea a ș-
trilor strălucitori pe cerul încă luminat.
3.2. Aberația luminii . Aberația este schimbarea
aparentă a d irecției unui astru, datorită atât mișcări i relative
a observatorului în raport cu astrul, cât și a propagării luminii
cu viteză finită. Dacă co rpurile cerești ar fi în repaus unele în
raport cu altele, sau dacă viteza luminii ar fi infinită,
fenomenul de aberație n -ar exista și pozițiile aștrilor ar
corespunde cu pozițiile lor geometrice.
În Fig.3.2, C este centrul obiectivului unei lunete și E
reticulul (ocularului) în momentul în care o rază de lumină
(fotonul) de la steaua σ ajunge în C. Fie EF paralela în acest
moment, cu direcția în care Pămâ ntul se mișcă în jurul
Soarelui. Fie t, timpul necesar ca fotonul să parcurgă
lungimea CE a lunetei cu viteza luminii c; în acest interval de
timp, Pământul a parcurs distanța EE' sau vt, unde v este
viteza orbitală a Pământului în jurul Soarelui.
Apoi, câ nd raza de lumină ajunge la reticul , acesta se
află în E' și avem CE' = ct. Dacă Pământul ar fi staționar, direcția în care ar fi îndreptată l uneta este de –
a lungul dreptei E'C, pe care o descriem ca direcția adevărată a stelei. De fapt, datorită mișcării Pă-
mântului, luneta va fi îndreptată în direcția EC. În paralelogramul rezultat EE'C'C , avem E'C' paral elă
cu EC, deci E'C' este direcția aparentă a stelei la momentul observației.
Fie unghiul θ =1CE F și θ1 =1 1C E F . Atunci diferența dintre unghiurile θ – θ1 se numeș te unghi
de aberație , pe care îl vom nota cu d θ.
În triunghiul CE'C' avem,
sin ' ' '.sin 'E' 'CE C CC
CC CE

Dar CC' = EE' = vt și CE' = ct. De unde derivăm

sin d θ" = v
c sin θ.

Ungh iul dθ fiind mic, se poate considera sin d θ ≈ dθ, sau, în secunde arc:

dθ" = v
c 206 264,81 sin θ. (3.5

Când direcția aparentă a unei stele este perpendiculară pe direcția de mișcarea a Pământului,
deci când θ = 90°, d θ va avea mă rimea:

v
c 206 264",81 = k, (3.6

mărime numită constanta de aberație .
Dacă în formula (3.6), considerăm doar mișcarea de revoluție a Pământului, avem: v = 29,78
km/s și c = 299 792,25 km/s, se obține k = 20",496, adică constanta de aberație anuală la J2000,0.
Deoarece apexul mișcării anuale a observatorului se află în planul eclipticii și se deplasează într –
un an cu 360°, din formula:
dθ = 20",50 sin θ,

rezultă că steaua aflată în polul eclipticii descrie în jurul poziției adev ărate un cerc de rază egală cu
20",50, pe când stelele situate în planul eclipticii descriu în jurul poziției lor reale o mișcare o scilatorie
de-a lungul arcului de lungime egală cu 20",50  2 ≈ 41". Stelele din alte direc ții descriu, datorită aber a-
ției lu minii, elipse numite elipse de aberație, care au semiaxa mare egală cu 41" și semiaxa mică egală
cu 41" sin β, unde β, este latitudinea ecliptică a stelei respective.
După cum se deduce cu ușurință, aberația anuală a stelelor precum și paralaxa anuală, de spre
care vom discuta în secțiunea următoare, sunt dovezi fizice ale mișcării de revoluție a P ământului în
jurul Soarelui.
Aberația în cazul corpurilor din sistemul solar determină intervalul de timp τ, în care lumina pa r-
curge distanța de la astru la Pămâ nt, interval de timp cunoscut sub numele de timp de ab erație (sau
ecuația luminii ):

τ = 0z,005 776 Δ = 499s,004 78 Δ, (3.7

unde Δ este distanța astrului la Pământ în unități astronomice.
În cazul unei planete din sistemul solar, problema aberației se p rezintă mai simplu astfel: direcția
aparentă a planetei la un moment dat t coincide cu direcția adevărată a planetei la momentul t – τ. Alt-
fel spus, direcția aparentă a planetei coincide cu dreapta care unește pozițiile ocupate de Pământ ș i
planetă la mome ntul t – τ.
O altă aberație, al cărei efect nu poate fi neglijat, corespunde mișcării de rotație a Pământului și
poartă numele de aberație diurnă .
Viteza de rotație a unui punct de pe ecuatorul terestru este:

020,465186 4 0.0πRV  km/s.

În obținere a acestei valori am ținut seama că Pământul are o circumferință circulară la ecuator
cu o r ază R = 6378 km și el face o rotație completă în 24 ore = 3600 x 24 = 86400 secunde.
Viteza de rotație a unui loc de latitudine φ este:

V = V 0 cos φ

Apexul mișcări i de rotație diurne a Pământului este punctul cardinal est, ale cărui coordonate
orare sunt: H = 18h, δ = 0.
Constanta aberației diurne pentru un observator aflat pe ecuator este de 0'',31; în orice alt loc
valoarea sa este 0'',31 cos φ, unde φ este latitu dinea terestră a locului de observație.
După cum se observă, aberația diurnă este cu mult mai mică decât aberația anuală și acest l u-
cru se întâmplă , deoarece viteza de rotație a Pământului este cu mult mai mică decât viteza sa de
translație (viteza de rota ție la ecuator este de aproape 65 de ori mai mică decât viteza de translație).
Aberația seculară este determinată de deplasarea sistemului nostru solar ca ansamblu, printre
stelele vecine spre apexul solar, urmare a revoluției galactice. Această mișcare, a fectează poz ițiile
aparente ale stelelor îndepărtate și obiectelor extragalact ice.
1. Reduceri pentru aberație
– aberația diurnă
α = α0 + (0s,0213 ρ cos φ cos H sec δ),
δ = δ0 + (0s,319 ρ cos φ cos H sin δ), (3.8
unde se notează: α0 și δ0 coordonate le ecuatoriale aparente ale astrului, ρ – raza geocentrică a obse r-
vatorului (vezi capitolul 6) , φ – latitudinea geografică, H – unghiul orar al astrului.
– aberația anuală (formule aproximative) .
α = α0 + (–X' sin α0 + Y' cos α0)/(cos δ0),
δ = δ0 + (–X' cos α0 sin δ0 – Y' sin α0 sin δ0) + Z' cos δ0)/c, (3.9

unde c = 173,1446 u.a./zi și X', Y', Z' sunt componentele vitezei Pământului, care se pot calcula cu
aproximație prin:

X' = +0,0172 sin λ , Y' = –0,0158 cos λ , Z' = –0,0068 cos λ , (3.10

unde λ – longitudinea aparentă a Soarelui (vezi Anexa 3 )
3.3. Paralaxele și determinarea distanțelor cerești
Determinarea paralaxei este una dintre cele mai vechi metode de măs urare a distanțelor.
Se numește paralaxă schimbarea direcției aparente a unui ast ru datorită deplasării observator u-
lui. Deoarece observatorul terestru participă la mișcările Pământului, există ca și în cazul aberați ei, mai
multe tipuri de paralaxe.
3.3.1. Paralaxa diurnă sau geocentrică este unghiul dintre direcțiile în care se vede as trul σ' din
centrul Pământului și un punct oarecare O, de pe suprafața terestră, adică unghiul p' (Fig. 3. 3).
Să considerăm, pe figura dată, Pământul T sferic de rază ρ, un punct O pe suprafața sa și un a s-
tru σ.
Din punctul O, astrul se vede la distanța t opocentrică Δ' = Oσ și la distanța zenitală
topocentrică z' = ZOσ, unde prin Z am notat zen itul. Elementele Δ' și z' variază în funcție de poziția
punctului O pe glob.
Efemeridele indică însă coordonatele ge o-
centrice ale aștrilor, adică coordonatele raport a-
te la centrul Pământului.
Definim distanța geocentrică Δ = Tσ și dis-
tanța zenitală geocentrică z =ZTσ, raport ate
la un observator fictiv situat în centrul Pământ u-
lui și având același zenit ca și O.
Se numește, prin definiție, paralaxă ge o-
centrică de înălțime a astrului σ unghiul p =
OσT sub care se vede din astru raza geoce n-
trică a locului de observație O. Așadar, p aralaxa
geocentrică de înălțime depinde de locul de pe
glob și de momentul când s -a efectuat observ a-
ția.
Din triunghiul OσT rezultă: z = z' – p
și
sin p
ρ = sin z'
Δ
Obținem:
sin sin 'Δρp z .
Deoarece unghiul p este foarte mic, sin p poate fi înlocuit cu p, deci:
sin 'Δρp z . (3.11
În același loc de pe Pământ, paralaxa geocentrică de înălțime este maximă atu nci când z' = 90°,
adică atunci când astrul se află la orizont. În acest caz, ea capătă denumirea de paralaxă orizont ală și
este dată de formula:
Δρπ. (3.12
3.3.2. Paralaxa orizontală a unui astru depinde de distanța ρ de la observ ator la centrul Pămâ n-
tului. Această distanță este maximă la ecuator, când ρ = a, și minimă la poli, când ρ = b (unde a este
semiaxa mare a elipsoidului, iar b este semiaxa mică a elipsoid ului).
Avem:
0Δaπ, (3.13
valoare exprimată în radiani și poartă numele de paralaxă orizontală ecuatori ală.
Valoarea paralaxei în secunde de arc este dată de formula:
0" 206 5Δ.26aπ . (3.14
Paralaxa diurnă se utilizează pentru determinarea distanțelor și dimensiunilor corpurilor din si s-
temul solar, după formula:

Fig. 3.3. Cele trei latitudini de pe elipsoidul t erestru

CAPITOLUL 4

TIMPUL ȘI MĂSURAREA LUI

4.1. Timpul
Timpul, lungimea și masa sunt cele trei mărimi fundamentale ale mecanicii și fizicii. Pentru fiec a-
re dintre ele au fost instituite unități de măsură corespunzătoare. Aici ne interesează, însă, insti tuirea
unității de măsură pentru măsurarea duratelor în astronomie.
În fizică, pentru măsurarea duratei de timp de -a lungul unei experiențe, se poate folosi un etalon
fizic, cum ar fi, de exemplu, perioada de vibrație a unui oscilator stabil, ceea ce face di n acesta un or o-
logiu efemer, suficient pentru durata scurtă a experienței.
În mecanică, pentru studiul mișcării unui punct material, se exprimă ecuațiile de mișcare care
determină poziția, viteza și accelerația, în funcție de un parametru t, numit timp și care este considerat
ca un parametru cu variație continuă și uniformă. Problema determinării acestui parametru nu implică
efectuarea niciunei observații, a niciunei experiențe. El poate fi determinat din înseși relațiile c are se
scriu în funcție de acesta, dacă reușim să întocmim efemerida mișcării. În acest caz mobilul nostru a
devenit un orologiu.
În astronomie, problema timpului se pune cu totul diferit. În observațiile astronomice efectuate
căutăm să fixăm data evenimentelor în raport cu o origine deter minată, să situăm această dată într -o
scară de timp uniform. În aceste condiții, avem nevoie de un orologiu perpetuu, adică un orologiu ca re
să funcționeze neîntrerupt și care să poată măsura orice durate, oricâ t de mari.
Ca fenomen de raportare a timpului , știința a ales pe cel mai simplu și ușor de observat, mișc a-
rea uniformă. Efemerida mișcării uniforme ne permite să fixăm momentele timpului prin locurile ocup a-
te în spațiu de un mobil an imat de o astfel de mișcare uniformă, adică să măsurăm timpul prin s pațiul
străbătut de mobil.
Mișcările cerești prezintă multe resurse și una din problemele importante ale astronomiei este să
găsească și să studieze mișcări uniforme sau, cel puțin, aproape uniforme, găsind astfel orologii na tu-
rale în scopul de a măsura ti mpul.
Multă vreme s -a crezut că mișcarea de rotație a Păm ântului, deci mișcarea aparentă diurnă a
sferei cerești, este uniformă. Ace st lucru s -a dovedit a nu fi adev ărat. Mișcarea de rotație a Pămâ ntului
nu corespunde teoriei clasice a mișcării unui corp s olid indeformabil. Globul terestru este un corp ela s-
tic, lucru dovedit de mareele scoarței terestre. Acest fapt, precum și fenomenele geologice, meteorol o-
gice sau geofizice, atrag o deformare a dimensiunilor elipsoidului terestru. Efectele acestor schimb ări
sunt mici, însă ele sunt măsurabile și contează în problema noastră. La toate acestea se mai adaugă și
efectul forțelor exterioare perturbatoare, atracțiile Soarelui, Lunii și planetelor, ceea ce face ca rotația
diurnă a Pămâ ntului să se compună cu alte rotații, precesia și nutația mai ales. Toate acestea influe n-
țează rotația Pămâ ntului, aceasta își pierde uniformitatea și se execută în jurul unei axe insta ntanee de
direcție variabilă în spațiu.
În aceste condiții, nu am mai fi în drept de a considera ca riguros valabilă efemerida timpului s i-
deral sau a timpului terestru, adică a timpului dete rminat cu ajutorul rotației Pămâ ntului, pe care am
stabilit-o în funcție de timpul t al mecanicii.
Totuși, în mod practic, vom putea presupune, că rotația Pămâ ntului poate fi considerată ca o
scară de timp uniform pentru un interval scurt, câteva luni și, mai puțin, pentru câ țiva ani.
4.2. Scări de timp
Un sistem de timp este un sistem la fel ca orice alt sistem de referin ță, cu excep ția faptului că
acesta este unidime nsional. Definirea unui sistem implică un fel de teorie asociată cu schimbarea f e-
nomenelor. În cazul în care universul în întregime a lui ar fi complet stat ic, nu ar mai fi niciun timp așa
cum îl înțelegem, iar singurul motiv prin care putem percepe timpul , este că lucrurile se schimbă. Noi
avem acces relativ u șor la unită ți de timp, deoarece multe dintre schi mbările pe care le observăm sunt
periodice. Dacă fenomenul "schimbare " variază uniform, atunci scara de timp asociată este un iformă.
În mod evident, da că dorim să definim un sistem de timp, atunci acesta ar trebui să aibă o scară un i-
formă de timp; cu toate acestea, foarte pu ține sistemele dinamice observate au unită ți de timp rig uros
uniforme. În trecut, rota ția Pământului a furnizat cel mai adecvat și evident fenomen pentru a repreze n-
ta scara de timp, unitatea fiind ziua (solară). A fost cunoscut de mult timp, că rota ția Pământului nu e s-
te uniformă , ea variind la mai multe sc ări diferite (zil nic, bi săptămânal, lunar, etc. ). În plus , în afară de o
scară s au de unită țile ei, trebuie să definim o origine pen tru sistemul nostru de timp, adică un punct de
zero sau o epocă, în care este specificată o valoare de timp. În sfârșit, indiferent de sist emul de timp
pe care îl definim, el ar trebui să fie accesibil și prin aceasta, să fie realizabil, oferindu -ne un timp c a-
dru.
Înainte de 1960, secunda a fost definit ă ca fracția 1/86 400 a le unei zile solare medii. În prezent ,
scara de timp este definit ă de oscila ția naturală a atomului de Cesiu și toate sistemele de ti mp pot fi
menționate sau transformate la această scară. Mai exact, în SI (Sistemul Interna țional) secunda este
definit ă ca:

Secunda SI = 9.192.631.770 de oscila ții ale atomului de Cesiu -133 între două niveluri hiperfine
ale acestui atom.

Există patru tip uri de bază pentru sisteme de timp , după cum se arată mai jos :
1. Timpul sideral : scar ă definită prin rota ția Pământului în ceea ce prive ște sfera cerească.
2. Timp ul universal: scar ă definită prin rota ția Pământului în raport cu Soarele mijlociu .
3. Timp ul dinamic: scar ă definită de variabila timp în ecua țiile de mi șcare, descriind dinamica si s-
temului solar.
4. Timp ul atomic: scar ă definită de numărul de oscila ții în stările energetice ale atomului de Ce-
siu-133.

Ne-am întâlnit deja cu timpul sideral atunc i când am discut at despre coordonatele astronomic e
(secțiunea 2.6.3) și cu timpul dinamic atunci când am prezentat precesi a și nuta ția (sec țiunea 3.4). Le
prezentăm din nou , punând de această dată în evidență transform ările între toate sistemele de timp.
Pentru a evita ambiguitatea, în notațiile ce vor urma, vom păstra acronimele așa cum apar ele în lucr ă-
rile de specialitate (e ngleză).
4.2.1. Timpul sideral , s , este unghiul orar al punctului vernal γ.

s = Hγ,

pentru un astru de coordonate ( α , δ) observa t într-un loc dat avem (ecuația 2.9)

s = α + H, (4.1

unde H este unghiul orar al astrului. Observând trecerea astrului prin meridianul locului, avem

H = 0 → s = α. (4.2

Timpul sideral reprezintă rota ția Pământului în ceea ce prive ște sfera cerească și reflectă rata de
rotație reală a Pământului, plus efecte datorate de precesi a și nuta ția echinoc țiului. Din cauza nuta ției,
distingem între timpul sideral aparent (AST), care este unghiul orar adevărat al punctului vernal insta n-
taneu și timpul sideral mijlociu (MST), care este unghiul orar al punctului vernal mijlociu (de asemenea,
instantaneu ). Unitatea de bază în si stemul de timp sideral este ziua siderală mijlocie , care este egal ă
cu intervalul de timp dintre două treceri consecutive ale punctului vernal mijlociu prin acela și meridian
(corectat pentru mi șcarea polară).

1 zi sideral ă = 24 or e sideral e = 86 .400 secunde siderale .

Timpul sideral aparent nu este utilizat ca o sca ră de timp din cauza neuniformității sale, dar e ste
folosit ca o epocă în observ ațiile astronomice. Rela ția dintre timpul sideral mijlociu ș i timpul sideral ap a-
rent der ivă din nuta ție. Referindu -ne la figura 3.5.b , avem :

AST = MST + Δ ψ cosε, (4.3

unde ultimul termen se nume ște ecua ția echinoc țiului și este diferența în ascensia dre aptă dintre echi-
nocțiului mijlociu și echinoc țiul ecuatorului adevărat . Având în vedere că termenul de maximă amplit u-
dine în seria pentru nuta ție în longitudine este de aproximativ (17,2 Δ ψ) ≈ secunde de arc , mărimea
aproximativă a ecua ției echinoc țiului e ste de 17",2 cos (23 °,44)/15 = 1,05 s, folosind conve rsia unghi –
timp: 15 ° = 1 oră.
Acum că n e-am familiarizat cu defini țiile pentru timpul sideral , în func ție de meridianul astron o-
mic la care se referă, avem după cum urmează: Timpul sideral local (LST) (mijlociu , notat cu LMST, și
aparent, LAST ); Timpul sideral la Greenwich (GST) ( mijlociu , notat cu GMST și aparent, GAST), unde

GST = LST – Lt,

și longitudinea, Lt, se referă la CEP, nu la CIO (IRP). În mod evident, ecua ția echinoc țiului se aplică în
mod egal și la GST și la LST. Din cauza precesiei (în ascensi e dreapt ă), 24 de ore de timp sideral nu
corespund exact unei rotații a Pământului în raport cu spa țiu iner țial. Rata precesie i general e în asce n-
sie dreapt ă este de aproximativ (folosind formulele 3 .32 și 3. 33 din secțiunea 3.4.1):

m = 4612",160 408 T + 1",391 585 T2 + 0",036 35 T3 , (4.4

unde . .2 451 545,0
36525JDT secole iuliene .

Valoarea pentru o zi, a precesie i general e în asce nsie dreapt ă este:

36525m= 0",126 /zi = 0s,0084 /zi = 6,1 2 × 10-7 radiani/zi = 7,09 × 10-12 radiani/s.

4.2.2. Timpul universal , este scara de timp utilizat ă pentru păstrarea în general, a timpului civil
și se bazează pe mișcarea diurn ă a Soarelui. Riguros vorbind, S oarele a șa cum este văzut d e un ob-
servator terestru, nu se mi șcă nici pe ecuatorul ceresc, nici pe ecliptic ă și nici mișcarea sa nu este un i-
formă pe sfera cerească. De aceea, unghiul orar al Soarelui nu variază uniform. Din aceste motive,
precum și din necesitatea unei scări uniform e de timp, este introdus un a șa-numit Soare mijlociu (fictiv)
a cărei p erioad ă de timp corespunzătoare , este cunoscut ă sub numele de timp solar mediu (MT). Un i-
tatea de bază a timpului universal este ziua solară medie , fiind intervalul de timp între două tr eceri co n-
secutive ale Soarelui mijlociu ecuatorial prin meridian ul unui loc dat . O zi solară medie are 24 de ore
solare medii , care numără 86.400 de secunde solare medii. Timpul universal este definit ca timp ul so-
lar mediu pe merid ianul Greenwich.
Dacă HM este unghiul orar al soarelui mijlociu în raport cu meridianul local, atunci în termenii
unei epoci (un unghi acumulat), timpul solar mediu este dat de:

MT = HM + 180 °, (4.5

unde am scris inten ționat unită țile unghiurilor de pe ecuatorul ceresc pe ntru a denota o epocă. Unghiul
de 180 °, se adaugă pentru că atunci când este amiază ( Soarele mijlociu trece prin meridianul local , și
HM = 0), epoca timpului mijlociu solar este ora 12 (sau 180 de grade ). Din nou, în ceea ce prive ște un
anumit unghi, epoca în timp unive rsal la Greenwich este :

UT = G
MH+ 180 °. (4.6

Relația dintre timpul universal și scara de timp sideral mijlociu poate fi stabilită prin ascensia
dreaptă a Soarelui mijlociu , αM, care este determinată. Întotdeauna, în ceea ce prive ște unghiurile
(epoc ii), avem relația LST = α – H și (4.6)

GMST = αM + G
MH= αM + UT – 180°. (4.7

Folosind constantele adoptate în prezent, a scensia dreapt ă a Soarelui mijlociu, se calculează
prin:
αM = 18h41m50s.548.41 + 8.640.184s,812.866T + 0s,093.104T2 – 0s,000.0062 T3

= 280 °,460.618.374 + 36 .000°,770.0536 T + 0°,000.387.933T2 – 2°,6 × 10-8T3 , (4.8

unde T este numărul de secole iuliene de 36525 zile solare medii de la epoca standard J2000 ,0.
Observăm că amiaz a la Greenwich define ște începutul unei zile iuliene, de unde timpul sideral
mijlociu la meridianul Greenwich , GMST, se poate calcula d in (4.7) și (4.8) prin relația :

GMST (Du, T) = 86.400s (0,779 .057.273 + 0,002 .737.812 DU + dU) + 0s,000.967.07
+ 307s,477.102.27 + 0s,092.772.113 T2, (4.9

unde DU este numărul de zile întregi, scurse de la 1 ianuarie 2000, 12h UT și dU este fracția de zi în UT
rămasă după scăderea numărului de zile întregi. Al doilea termen din (4.9) este unghiul de rotație al
Pământului (Earth Rotation Angle – ERA).
Înlocuind ( 4.8) în (4.9), pentru rezolvarea UT ( la epoc ă), găsim:

UT = GMST – (100°,460.618.374/15)
– (36.000°,770.0536 T + 0°,000 387 933T2 – 2°,6 × 10-8T3)/15, (4.10

unde T este numărul de secole iuliene de 36525 zile solare medii de la epoca standard J2000 ,0; prin
divizarea la 15 , se face conversi a din unități de grad în cele de timp. Desigur este necesară reducerea
la 24h.
4.3. Relația între timpul universal și timpul sideral
Numărul de secunde de timp sideral într -un seco l iulian de 36525 de zile, este:

s' = 8.640.184s,812.866 + 0,186 .208T – 1,86 × 10-8T2.

Împărțind pe s' la 36525 (numărul de zile dintr -un secol iulian) dă numărul de secunde de timp

Fig. 4.1. Ziua solară și ziua siderală

Fig. 4.2. Pentru Soarele mijlociu și
Soarele adevărat . sideral mijlociu di ntr-o zi de timp universal (UT 1 mai precis):

s = 866 36s,5553 .6790 .872 + 5s,098 097 × 10–6T – 5s,09 × 10–10T2,

unde T este numărul de secole iuliene de 36525 zile solare medii de la epoca standard J2000 ,0.
Împărțind pe s la 86 .400 se obține raportul de timp sideral mijlociu la UT 1.

r' = 1,0027 3790 9350 795 + 5 ,9006 × 10-11T – 5,9 × 10-15T2 . (4.11

Inversul expresie i (4.11) dă raportul dintre UT 1 și timpul sideral

1/r' = 0,9972 6956 6329 – 5,868 × 10-11T + 5,9 × 10-15T2 . (4.12

Cu toate că lungime a unei zile în UT1 sau a unei zi de timp sideral mijlociu variază u șor odată cu
varia ția în rota ția P ământului, raportul dintre UT1 și timpul sideral , dat de ecua țiile de mai sus, este
neafectat de varia țiile de rotație. Astfel, metoda stabilit ă de determinare a timpului unive rsal prin
înmul țirea unui interva l de timp sideral scurs de la 0h UT cu un factor de conversie fix , men ține co n-
stant a raportului de timp universal pentru timp sideral, indiferent de varia țiile ratei de rotație a P ământ u-
lui .
Aproximativ vorbind, UT 1 poate fi considerat ca fiind timp solar sau timp dinamic în aceste
ecua ții. Ecuația (4.12) poate fi considerată că exprimă lungimea de o zi sideral ă în unită ți de zile sol a-
re. N eglijând micii termeni seculari (imperceptibil i), măsurile echivale nte ale lungimilor zile i sunt :

1 ziua solară mijlocie = 24h03m56s,5554 de timpul sideral,

1 zi siderală = 23h56m04s,0905 de timp solar mijlociu.

O zi solar ă mijlocie este mai mare decât o zi sideral ă,
deoarece, pentru ca Soarele să se ajungă la meridianul
observatorului, Pământul trebuie să se rotească o cantitate
suplimentară, deoarece ace sta a avansat pe orbita sa și
Soarele se află acum într -o pozi ție diferită pe sfera cerească
(Fig. 4.1).
Trebuie m enționat faptul că UT și ST nu sunt timpuri
uniforme din cauza neregularităților în rota ția a Pământulu i.
Cel mai important efect, pentru a determina UT din
observa ții, se datore ază mi șcării polare . Meridianul la care
sunt efectuate măsurătorile de tranzit este CIO , care este
meridi anul "fixat" pe suprafa ța Pământului, în timp ce UT
face referire la axa de rotație instantanee. As tfel, se face distinc ție între epoci:
– UT0: timp universal determinat din observa ții în ceea ce privește meridianul fix (CIO sau IRP);
– UT1: timpul universal determinat în raport cu meridianul ata șat la CEP.
UT1 este afectat în con tinuare de nereguli în rota ția Pământului (varia ția polului ), care po ate fi
corectat într-o anumită măsură și de variațiile sezoniere , obținându-se astfel,

UT2 = UT1 + 0s,022 sin(2 π T) – 0s,012 cos(2 π T) – 0s,006 sin(4 π T) + 0s,007 cos(4 π T),

unde T = 20 00,0 + (MJD – 51544 ,03)/365 ,2422 secole besseliene; MJD este epoca iuliană modificată
(vezi secțiunea 4.15).
În prezent, UT2 este cea mai bună aproximare a UT ca timp uniform (de și este afectat ă în co n-
tinuare de mici varia ții seculare). Cu toate acestea, UT1 este folosit pentru a defini orientarea meridi a-
nului astronomic Greenwich , în relația sa cu longit udinea, iar UT1 se aplică în principal, atunci când
observa țiile sunt men ționate într -o anumită epocă, deoarece ea
reprezintă adevărata rota ție a P ământului.
4.4. Timpul solar aparent, timpul solar mediu și
ecuația timpului
Timpul Solar Aparent (sau timpul adevărat ), este dat de
relația:

ta = H – 12h, (4.13

fiind unghiul orar al centrului Soarelui adevărat , în locul și la m o-
mentul respectiv. El este măsurat de la culminația inferioară
(miezul nopții) și descrie atât mișcarea de rotație a Pământului

cât și mișcarea de translație. Această scară de timp este afectată de neregularitățile rotației Pămâ ntu-
lui.
Timpul Solar Mediu (sau timpul mediu ), a fost def init în secțiunea 4.2.2. și este dat de relația:

tm = ta + ET . (4.14

Începutul zilei medii este momentul culminației inferioare a Soarelui mijlociu (miezul nopții m e-
dii). Din definiția Soarelui mijlociu ecuatorial , rezultă că ziua medie are durată egal ă cu media zilelor
solare adevărate dintr -un an tropic. Ziua medie (z.m.) se subdivide în ore medii (h.m), minute și secu n-
de medii (m.m și s.m) , conform relațiilor

1 z.m. = 24 h.m. = 1!440 m.m. = 86!400 s.m.

4.5. Relația dintre timpul sideral și timpul m ediu
Pentru a transforma un interval de timp exprimat în unități siderale, într -un interval de timp egal
cu el, exprimat în unități medii, trebuie să stabilim relația între unitățile corespunzătoare.
Așa cum am menționat și în capitolul 3, durata anului tr opic, numără 365,242 189 z.m. Deoar ece
Soarele se deplasează, în mișcarea anuală aparentă, cu aproximativ 1°/zi în sens direct față de pun c-
tul vernal γ (pe ecliptică); înseamnă că rămâne în urmă față de punctul γ, la trecerea prin merid ian,
zilnic cu aproa pe 4m. Altfel spus, ziua medie este mai lungă decât ziua siderală cu exact 3m56s,555
unități siderale. Într -un an tropic Soarele va rămâne în urmă față de punctul vernal cu o rotație diurnă
compl etă (cu o zi siderală). Deci

1 an tropic = 365,2422 z.m. = 3 66,2422 z.s.

Aceasta este relația fundamentală dintre timpul sideral și cel mediu. Diferența între ziua medie și ziua
siderală este explicată în fig ura 4.1.
Notând cu σ = 1/365,2422 = 0,002 737 91, rezultă următoarele relații între unitățile de timp m e-
diu (u.m.) și unitățile de timp sideral (u.s.) corespunzătoare:

1 z.m. = (1 + σ) z.s. 1 z.s. + 3m56s,555 u.s.
1 h.m. = (1 + σ) h.s. 1 h.s. + 9s,856 u.s.
1 m.m. = (1 + σ) m.s. 1 m.s. + 0s,164 u.s. (4.15
1 s.m. = (1 + σ) s.s. 1 s.s. + 0s,003 u.s.

Punâ nd apoi τ = 1/366,2422 = 0,002 730 43, se obțin relațiile inverse, dintre unitățile de timp sideral și
cele de timp mediu:

1 z.s. = (1 – τ) z.m. 1 z.m. – 3m56s,909 u.m.
1 h.s. = (1 – τ) h.m. 1 h.m. – 9s,830 u.m.
1 m.s. = (1 – τ) m.m. 1 m.m. – 0s,164 u.m. (4.16
1 s.s. = (1 – τ) s.m. 1 s.m. – 0s,003 u.m.

Dacă într -un punct dat de pe suprafața Pământului a avut loc un eveniment la momentul sideral
s, să determinăm momentul de timp mediu tm corespunzător lui s pentru același punct terestru.
Pentru a t rece de la ora siderală la ora mijlocie, la un moment dat, într -un anumit loc, avem n e-
voie de ora siderală la miezul nopții în acel loc.
Anuarele astronomice dau timpul sideral la 0h timp universal la meridianul Greenwich pe care îl
notăm cu s0; pentru un punct de longitudine geografică L vom avea:
s0L = s0 – 9s,856 L. (4.17
Termenul 9s,856 L, reprezintă corecția corespunzătoare longitudinii L, pentru că timpul sideral
avansează cu 9s,856 pe oră de timp mediu, iar în locul dat miezul nopții va veni cu L ore mai devreme
decât la Greenwich (aici L se exprimă în ore zi unități zecimale de oră).
Pentru Bumbești -Jiu, timpul sideral la 0h timp mediu local se obține scăzând 15s,4 din timpul s i-
deral la 0h timp universal (din efemerida Soarelui).
Se dau două exempl e de transformări de timp la Bumbești -Jiu, în care se folosesc tabelele 4.1 și
4.2 din Anexa 4.

Exemplul 1 . Să se găsească ora siderală la Bumbești -Jiu la 14 februarie 2017, ora legală fiind
10h24m37s,56 (se folosește tabelul 4.2).

CAPITOLUL 5

MIȘC ĂRILE APARENT E ȘI FAZELE PLANETELOR

5.1. Sistemul solar de la geocentrism la heliocentrism
Deși inițial dezvoltat ă ca parte a conceptului antic grecesc al unui univers cu Pământul în centru ,
adică, un model geocentric al universul ui (Fig. 5.1.a), sfera cerească ipotetică a oferit un instrument
important pentru astronomi în stabilirea amplasării și reprezentării grafic e a mișcări obiectelor cerești.
Sfera cerească este descrisă acum ca o extindere a liniilor de longitudine și latitu dine, pe care se pr o-
iectează toate obiecte cere ști vizibile, sferă ipotetică care înconjoară Pământul din toate direcți ile.
Vechii astronomi și filozofi1 greci conducându -se după aparențe și mai ales din lipsa unor cuno ș-
tințe suficient de precise, admiteau existența unor sfere cristaline concentrice, pe care Soarele, Luna,
planetele și stelele, erau fixate, sfere care se roteau în jurul Pământului imobil, acesta din urmă fiind
centru l umii.

Fig. 5.1. Modele de sistem solar, de la geocentrism la heliocent rism.

1 Platon (427 – 347 î.Hr.) și Aristotel (384 – 322 î.Hr.) erau adepți ai sistemul ui geoce ntric.

Cu toate că modelul heliocentric (cu Soarele în centru lumii) a fost de asemenea, propus de uni
astronomi greci, acesta a fost considerat ca fiind "contra -intuitiv", neputând să explice mi șcările ap a-
rente ale co rpurilor cere ști pe cer (Fig. 5.1.d).
În acele vremuri erau cunoscute doar cinci planete: Mercur, Venus, Marte, Jupiter și Saturn. În
afară de acestea , Luna și Soarele erau considerate la rândul lor planete.
Astronomii antici, neputând să de a o interpretare riguroasă despre ceea ce se putea ve dea ev i-
dent și urmare a mișcărilor aparente caracteristice, planetele Mercur și Venus au fost considerate pla-
nete inferioare , fiind – în cadrul sistemului geocentric – plasate între Pământul fix și Soarele care î n-
conjura Pământul (Fig. 5.1.b). Aceste două planete sunt văzute mereu în apropierea Soarelui, fie se ara
după ce Soarele apune, fie dimineața în ainte ca astrul zilei să răsară.
Celelalte trei planete, Marte, Jupiter și Saturn (Uranus și Neptun nefiind descoperite atunci) erau
numite superioare , fiind plasate în ordinea depărtării de Pământ, dincolo de Soare.
Câteva secole mai târziu, marele savant Claudius Ptolemeu (87? d.Hr. -165? d.Hr.), sintetiz ează
în lucrarea Almagestum , toate sisteme geocentrice (de până la el) și prezintă sistemul lumii, care a vea
la bază patru postulate fundament ale:
– Pământul este în centrul universului;
– Pământul este imobil;
– Toți aștri se mișcă în jurul Pământului;
– Mișcările aștrilor sunt circulare și uniforme.
Pentru a putea explica complicatele mișcări aparente el su sține că, exceptând Luna și Soarele,
fiecare planetă descrie un cerc mic (numit epiciclu), al cărui centr u descrie în jurul Pământului un cerc
mare , numit deferent (Fig. 5.2 ).
Odată cu trecerea secolel or, inte r-
pretarea exactă a observațiilor astronom i-
ce tot mai precise, scot la iveală grave
neconcordanțe față de acest sistem. As t-
fel, unii astronomi , precum Apollonius,
Hiparcos și alții , au încercat (pentru a p u-
ne în concordanță observ ațiile cu teoria),
să suplimenteze epic iclurile planetelor,
însă acest lucru a dus și mai mult la co m-
plicarea sistemului , față de cel in ițial.
După aproape 1500 de ani, la î n-
ceputul secolului al XVI -lea, astron omul
polonez Nicolaus C opernic (1473 -1543) a
reafirmat teoria hel iocentrică abandon ată
de grecii antici (Fig. 5.1.d). Cu toate că
sistemul lui Cope rnic a dus la o revolu ție
în astronomie, el a fost profund viciat prin
faptul că Soarele nu este cu siguran ță
centrul Universului așa cum susținea C o-
pernic și nici orbitele p lanetare nu sunt
circulare. Chiar și așa, modelul helioce n-
tric dezvoltat de Copernic se potrivea d a-
telor obse rvate, mai bine decât conceptul
antic grecesc. De exemplu, mi șcarea p e-
riodică în sens retrograd pe cer, a plan e-
telor Marte, Jupiter și Saturn și lipsa unei
astfel de mi șcări a lui Mercur și Venus a
fost mai u șor de e xplicat prin plasarea
orbitelor acestor două planete între P ă-
mânt și Soare . Astfel, pozi țiile planetare
puteau fi prezise cu mult mai multă prec izie, folosind acest model de sistem solar . Ipotezele lui Cope r-
nic, care au stat la b aza noului sistem pl anetar , sunt:
1. Nu există niciun centru al tuturor cercurilor cere ști sau al sferelor.
2. Centrul Pământului nu este centrul universului, ci numai al sferei Lunii.
3. Toate sferele se rotesc în jurul Soarelui ca punct de mijloc al acestora și prin urmare, Soar ele
este centrul universului.
4. Distan ța de la Pământ la Soare este imperceptibilă în compara ție cu înăl țimea sferei stele lor
fixe.
5. Indiferent de mi șcarea ce apare în întinderea cerului , ea nu provine din nicio mi șcare a înti n-
derii, ci din mi șcarea Pământului. Pământul efectuează o rota ție completă pe polii săi ficși într -o mișca-
re de zi cu zi, în timp ce întinderea și cele mai înalte ceruri rămân n eschimbate.
6. Ce ne apar ca mi șcări al e Soarelui nu provin din mi șcarea lui, ci din mi șcarea Pămâ ntului și a

Fig. 5.2. Sistemul solar geocentric după Ptolemeu.

sferei noastre, cu care ne învârtim în jurul Soarelui ca oricare altă planetă. Pământul are, atunci, mai
mult de o singură mi șcare.
7. Mi șcarea aparentă retrogradă și directă a planetel or, nu provine din mi șcarea lor, ci din cea a
Pământului. Mi șcarea este suficient ă pentru a explica atât de multe inegalită ți evidente în ceruri.
Creația lui Copernic este cuprinsă în opera sa De revolutionibus orbium coelestium . Această l u-
crare vede lumin a tiparului chiar în anul morții sale, 1543, fiind opera întregii sale vieți.
Sistemul copernican explica mișcările aparente însă, nu dispunea de dovezile necesare . Dar, în
timp, acest sistem a fost mult îmbunătățit de urmașii săi. Puțini la număr, dar mar i astronomi ai acelor
timpuri, la rândul lor au susținut sistem ul heliocentric. Dintre aceștia enumerăm în cont inuare:
Giordano Bruno (1548 -1600) filozof italian, care a emis ipoteza că Universul este n emărginit; că
stelele sunt sori la fel ca Soarele și c ă în jurul lor pot exista planete care, la fel ca și P ământul, sunt
locuite de alte lumi.
Astronom danez Tycho Brahe (1546 -1601) a fost unul din cei mai experimentați astronomi ai
acelor vremuri. Precizia observațiilor astronomice efectuate de el, ajunse -se la valoarea de 1'. Susțin ă-
tor al sistemului geoce ntric, Tycho a contribuit totuși, indirect la dezvoltarea concepției heliocentrice
prin încercarea de a crea un compromis între geocentrism și he liocentrism (Fig. 5.1.C) . Ani în șir el fa-
ce numeroase obser vații asupra planetei Marte, însă nu a reușit să explice mișcările pl anetelor. Toate
însemnările observațiilor lui, i le lasă lui Kepler cu care a lucrat un timp la Observatorul astron omic din
Praga, pentru ca acesta să continue lucrările în care se încerc a introducerea unui sistem planetar în
care planetele se rotesc în jurul Soarelui, iar acesta împreună cu toate planetele se rotesc în juru l Pă-
mântului im obil.
Galileo Galilei (1564 -1642), fizician și astronom italian, susținea în cursurile sale ținute la unive r-
sitățile din Padova și Pisa convingerile despre heliocentrism. Galilei a fost primul astronom , care a st u-
diat aștri cu ajutorul unei lunete construite de el în 1609. El aduce primele dovezi științifice care susț i-
neau sistemul heli ocentric, după cum u rmează:
– observă succesiunea fazelor lui Venus, demonstrând faptul că planeta se rotește în jurul So a-
relui;
– descoperă patru sateliți în jurul lui Jupiter, dându -și seama că aceștia înconjoară planeta așa
cum și Luna înconjoară Pământul;
– descoperă pete le solare și as tfel, rotația axială a Soarelui;
– confirmă ipoteza lui Democritus (430 -370 î.Hr.) , atunci când îndreaptă luneta spre Calea La c-
tee și constată că aceasta es te o enormă aglomerare de stele;
– descoperă suprafața accidentată a Lunii, observând cratele, munții și întinderile de culoare î n-
chisă , pe care le crede a fi î ntinderi de apă.
5.2. Explicarea mișcărilor planetelor
Mișcările aparente ale acestor două grupe de pl a-
nete, inferioare și superioare , sunt diferite și pot fi expl i-
cate.
Plantele inferioare , așa cum știm din propriile
noastre observații , se pot vedea în bune condiții numai în
apropierea momentelor de elongații maxime, la est sau
la vest de So are. Datorită ma rii apropieri față de Soare,
Mercur nu se înd epărtează la mai mult de 1 8° – 28° față
de astrul zilei. În cazul lui Venus, elongațiile acestuia pot
ajunge până la valori de 45° – 48° ( Fig. 5.3).
Să luăm cazul unei planete interioare și să expl i-
căm deplasare a aparentă a acesteia pe cer (Fig. 5. 5).
Având o deplasare în sens retrograd pe cerul de
seară (între 1" și 2") , ajunge la elongația m aximă de est
(în 2"). Imediat după acest moment , planeta se aproprie
tot mai mult de Soare , pierzându -se vederii în lumin a
acestuia . Ea va ocupa la un moment dat poziția numită
conjuncție inferioară, planeta aflându -se acum între P ă-
mânt și Soare (imediat după 3") . După câteva zile, ea
apare în cr epusculul de dimineață înainte ca So arele să răsară. Zi după zi, se îndepărtează tot mai
mult de astrul zilei (3" spre 4") și ajunge din nou în elongație maximă, de data aceasta, de vest (în 4") .
Trecând de această p oziție, planeta se depl asează pe cer în sens direct (între 4" și 6") , apropiindu -se
din nou de Soare , dispare în razele Soarelui, apropiindu -se de momentul co njuncției superioare (după
6") când se află dincolo de Soare, acesta din urmă, fiind situat acum între planetă și P ământ.
Continuându -și mișcarea directă (de la 6" și din nou spre 1" și 2"), planeta revine în poziția d e elong a-
ție maximă estică și un alt ciclu se repetă firesc. Datorită acestor mișcări, planetele inferioare par să
aibă o mișcare de oscilație în jurul So arelui ( Fig. 5.5).
Pentru mișcarea planetelor superioare, mișcarea are cu totul alt aspect, în acest ca z diferența f i-
ind evidentă (fig. 5.6).

Fig. 5. 3. Elongațiile maxime ale planetelor
interioare: Mercur și Venus.

Fig. 5.4. Configurația unei planete interioare;
puncte caracteristice. Fig. 5.5. Explicarea mișcării aparente pentru o planetă
interioară.
Să privim Fig. 5.7 și p ornind de la perioada în care planeta se vede se ara, după apusul Soarelui ,
constatăm că ea se mișcă printre stele în sens direct ca și Soarele, dar mai încet ca acesta (din 1" spre
2"). Treptat, odată cu trecerea zilelor, distanța se diminuează, So arele ajungând planeta din urmă, p â-
nă când aceasta se pierde în razele Soarelui. Ac est moment marchează conjuncția când longitudin ile
cerești ale celor doi aștri sunt egale ( λP – λS = 0°) și Soarele se află între planetă și Pământ (între 1" și
2"). Având o viteză unghiulară mult mai mare, Soarele depășește planeta, acea sta putând fi văzută
după câteva zile la est, în crepusculul de dimine ață, înainte ca Soarele să răsară (din 2" spre 3") . După
un timp, planeta formează cu Pământul și Soarele un unghi drept (undeva îndre 4" și 5"), fiind în pu nc-
tul de cuadra tură vestică (λS – λP = 90°). Mișcarea directă a planetei scade tre ptat, până la un moment
dat când aceasta încetează, aflându -se acum în punctul de staționare (în 5"), care precede schimb a-
rea sensului mișcării în cel retr ograd (între 5" și 7") . Îndepărtân du-se tot mai mult de Soare, planeta
poate fi văzută toată noaptea datorită faptului că se apropie de momentul de opoziț iei. În acest punct
longitudinile lor diferă cu (λP – λS = 180°), Pământul fiind situat acum între planetă și Soare (în 6") . Du-
pă trecer ea prin această fază, mișcarea retrogradă scade treptat și din nou urmează un punct de staț i-
onare (puțin înainte de 7") , punct care precede de această dată schi mbarea mișcării în sens direct.
Planeta începe să apună tot mai devreme, ajunge de această dată în punctul de

Fig. 5.6. Configurația unei planete superio are;
puncte caracteristice. Fig. 5.7. Explicarea mișcării aparente pentru o planetă
exterioară.
cuadratură estică (între 8" și 9" ), rămânând vizibilă doar în prima parte a nopții și un nou cic lu se rep e-
tă.
Intervalul de timp dintre două faze succesive de același fel, de exemplu două conjuncții sau op o-
ziții, se numește revoluție sinodică . Intervalul de timp , în care longitudinea unei planete cre ște cu 360°,
și care își descrie complet orbita sa, se numește revoluție siderală . Să notăm cu PM și PP perioadele
siderale pentru Mercur și Pământ și cu S, perioada revoluției sinodice a lui Mercur; mărimile lor fiind
exprimate în zile medii.
Avem două ecuații care ne permit să determin ăm perioada de rota ție sideral ă a planete lor din
sistemul nostru solar folosind perioada sinodică ( determinată din observații ). Din cele spuse mai sus

rezultă că mișcarea unghiulară în unitatea de timp este 360°/ PM pentru Mercur și 360°/ PP pentru P ă-
mânt. În această s ituație, înseamnă că deplasarea aparentă a lui Mercur față de Pământ într -o zi, este
360°/ PM – 360°/ PP. Notând cu S, revoluția sinodică în zile putem scriem ecuați ile mișcării sinodice

1 1 1
P MP S P  . (5.1
Punând valori în 5.1 se obține:

1 1 1
365,26 115,88 87,97 

sau exprimat în ani iulieni: 87,97/365,25 = 0,241.

Analog, pentru planetele exterioare luând exemplu de caz pe Jupiter, se obține

1 1 1
J PP P S  . (5.2
Înlocuind cu valori în (5.2) se obține:

1 1 1
365,26 398,88 4332,17 

sau exprimat în ani iulieni: 4332,17 ÷ 365,25 = 11,87.

Ecuațiile 5.1 și 5.2 sunt ecuațiile mișcării sinodice.
5.3. Legile lui Kepler
Dispunând de un bogat și precis material lăsat de Tycho, Johannes Kepler (1581 -1631) cont inuă
observațiile asupra p lanetei Marte. Prin compararea rezultatelor observațiilor în ipoteza sistemului ge o-
centric, el ob servă diferențe mari care nu p uteau fi ale predecesorului său (erori de 7'). În situația dată,
Kepler interpretează mi șcarea lui Marte în sistemul heliocentric , deducând că orbita planetei are formă
eliptică la fel și celelalte planete cunoscute, reușind să deducă cele trei legi care îi poartă num ele.
Modelul matematic al cinematicii unei planete supuse acestor legi, permite o gamă largă de ca l-
cule pe care le vo m expune în context.

Fig. 5.8. Elementele elipsei. Fig. 5. 9. Legea ariilor.

În anul 1609 apare lucrarea lui Kepler Astronomia nova …, în care dă primele două legi:

I. Legea elipselor . Orbita unei planete este o elipsă, Soarele ocupând unul din focar e.

În figura 5.8, este o elipsă în care punctele F și F' sunt cele două focare. Vom considera că So a-
rele se găsește în F'.
Suma distanțelor FP și F'P' rămânând constantă, locul geometric al punctului P este o elipsă .
Matematic, o elipsă poate fi reprezent ată în coordonate polare printr-o ecuație de form a:

1 cospre θ, (5.3

unde p, este semi latus rectus, calculat prin: 2bpa ; e, este excentricitatea elipsei; r, este distan ța de

CAPITOLUL 6

SISTEMUL SOLAR

6.1. Formarea sistemului solar
Ipoteza nebuloasei, care explică modul în care au fost create Soarele și planetele, a fost inițial
propusă de Emanuel Swedenborg în 1734 și mai târziu , în mod indepe ndent, de Pierre -Simon L aplace
în 1796. În anul 1755 și filozoful german Immanuel Kant a emis o teorie, revoluționară pentru acea vr e-
me, și anume că universul s -a format dintr -o nebuloasă. Această teorie, a nebuloasei origin are, care
este de fapt una dintre primele teorii moderne asupra formării universului, susținea că la râ ndul ei a dat
naștere la alte nebuloase care prin condensare au dat naștere la alte corpuri: stele, plan ete etc.
În prezent, d in studierea meteoriților (cele mai vechi rămă șițe ale sistemului solar timpuriu), se
presupune că Soarele și planetele noastre s -au format cu 4,6 miliarde de ani în urmă dintr -un nor m o-
lecular gigant. Gazul și praful care formeaz ă un astfel de nor, au fost create de -a lungul a mil iarde de
ani prin procesarea hidrogenului și heliului în stele, pentru a crea elemente mai grele, care sunt apoi
eliberate violent în spa țiu la sfârșitul vieții lor.
Se crede că norul ini țial de praf și gaz ar fi fost de aproximativ 4 a.l. și că posibil, prăbu șirea lui a
fost declan șată de undele de șoc de la o supernovă (sfârșitul exploziv al stelelor g igantice, despre care
vom vorbi în capitolul 8). Undele de șoc rezultate în urma supernovei au comprimat gazul din materia
nebuloasei , care s -a prăbu șit apoi sub propria -i gravitație. Regiunea care a dat na ștere s istemului no s-
tru solar ar fi avut un diametru de circa 10 000 – 15 000 de u.a., cu o masă totală, poate de două ori
mai mare decât cea a Soarelui nostru. Compozi ția sa ar fi fost similar ă cu cea a Soarelui, cu 98% co n-
stituit din h idrogen ~ 74% și heliu ~ 24% și aproximativ 2% din elementele mai grele.
Este prob abil ca nebuloasa solară să fi avut o anumită energie rotativă. Pe măsură ce nebuloasa
sa prăbu șit, conservarea momentului cinetic a imprimat o mi șcare rotativă și, pe m ăsură ce dev enea
mai tot mai dens ă, coliziunile în interiorul ei au cauzat încălzirea gaz ului. Aceasta ar mări presiunea din
nebuloasă, astfel încât să se extindă și astfel s ă se împiedice o altă colapsare.
Datorită for țelor gravitați onale și a impulsului cinetic al nebuloasei, ea s-a aplatizat devenind un
disc protoplanetar în rotație. Diametrul său total a r fi fost între 150 și 200 u.a. în centru formându -se un
bulb, un nucleu de materie, care a crescut rapid în temperatură ducând la ceea ce se nume ște proto s-
tea (Fig. 6.1).
După aproximativ 100 de milioane de ani,
temperatura și presiunea din centrul nucleului
proto stelei a devenit atât de mare (~10 milioane
K) încât hidrogenul a început să fuzione ze în
heliu, iar pr esiunea produsă de razele gamma
rezultate a devenit capabilă să co ntracareze
forța gravitației. Noua stea ap ărută a trecut
printr -o fază de instabilitate a existenței s ale,
aruncând probabil jumătate din masa ei, p ână
când sa stabilizat definitiv. Protoasteaua dev e-
nise o stea, Soarele no stru.
Concomitent cu formarea protostelei, m a-
sa de praf rămasă în orbită în jurul protostelei s –
a agl omerat în mai multe discuri protoplanetare
în rotație, formând corpurile planetesimale , cu
dimensiuni pr obabile între 1 km și 10 km în d i-
ametru. Cum au reușit particulele de praf să
formeze aglomerări masive? Răspunsul la
această întrebare este simplu. În imponderabil itate, particulele de praf prin frecare (ciocnire) s -au unit
electrostatic, astfel că "bulgă rele de pa rticule " și-a mărit masa până la o valoare critică ce a declanșat
acțiunea forțelor gravitaționale. Acest proces este cunoscut sub numele de acreție . Prin efectul "bulgă-
relui de zăpadă ", în decursul a circa un milion de ani (poate mai mult), aglo merările au devenit tot mai
mari, co ntinuând să crească până când au devenit, din protoplanete , plan ete.
Gravitația a menținut planetele pe orbită în jurul Soarelui, le -a dat o formă sferică, au dobândit
rotația axială și pentru fiecare din tinerele planet e, compoziția chimică se datorează temperaturii din
zona în care se afla materia din care s -au format. Astfel, d atorită radia ției solare, în zona sistemului
solar intern temperatura a fost prea ridicată pentru ca moleculele volatile cum ar fi apa și metanu l să se
condens eze, deci tinerele planetele formate au fost de dimensiuni relativ mici și compuse în mare parte
din compu și cu puncte de topire ridicate, cum ar fi silicații și metalele. Aceste corpuri de roc ă au dev e-
nit în cele din urmă planet ele terestre : Mercur, Venus, Pământ și Marte. Ca rezultat al efectelor
gravita ționale ale lui Jupiter, formarea unei planete între Marte și Jupiter a fost întrerupt ă, lăsând obie c-
te stâncoase, cunoscute sub numele de planete mici sau aster oizi, în zona care se numește astăzi

Fig. 6.1. Impresie artistică a nebuloasei solare.
(Credit: Ames Research Centre, NASA )

centura de asteroizi .
Pe măsură cu depărtarea de Soare, temperatura tot mai scăzută a permis compu șilor volatili să
rămână în stare solidă (înghețați) – dincolo de ceea ce se nume ște limita de înghe ț. Planetele g igant,
Jupiter și Saturn au reușit s ă adune mult mai multe materie decât planetele terestre . Globurile giga nte
s-au format prin suprapun erea în jurul condensării centrale, probabil din ghea ță și rocă , a unor straturi
de hidrogen metalic și molecular. Ele au devenit gigan ți de gaze și conțin în proporții mari, hidrogen și
heliu. Mai departe de Soare, la temperaturi foarte reduse și cu materie foarte rarefiată, planetele
Uranus și Neptun au captat mult mai puțin ă materi e și sunt cunoscu te ca gigan ți de gheaț ă, deoarece
se crede că miezurile lor sunt în mare parte alcătuite din ghea ță, care este acoperită de straturi hidr o-
gen molecular și de gaze, precum amoniacul, metanul și monoxidul de ca rbon.
Pe măsură ce Soarele a devenit o stea stabilă având la bază arderea hidrogen ului, a trecut
printr -o fază – numită faza T -Tauri – când a avut loc o eliberare importantă de material "fie rbinte" de pe
suprafa ța sa. Acest lucru continu ă încă, dar la o rată mult mai redusă și se numește vântul solar . Drept
urmare , protost eaua a pierdut o mare parte din masa inițială. Acest vânt solar puternic a îndepărtat tot
gazul rămas și praful de pe discu rile protoplan etare în spa țiul interstelar, blocând astfel cre șterea în
dimensiuni ale planetel or.
Majoritatea sateliților naturali ai planetelor s-au format probabil în acela și timp cu planete lor. Cu
toate acestea, este foarte probabil ca Luna noastră să se fi form at mai târziu , când a corp de dimens i-
unea planetei Marte s -a ciocnit cu planeta noastră încă nerăcită în întregimea ei . Impactul devastator a
dislocat o import antă cantitate de rocă topită , ce a rămas în orbită în jurul Pământului, care apoi s -a
răcit pentru a fo rma singurul nostru satelit natural, Luna.
Cercetătorii, cred că în perioada de după condensarea protoplanetelor, tânărul sistem planetar
conținea până la 20 de planete, care aveau orbite haotice, ce se intersectau între ele, ceea ce a făcut
posibil să aibă loc evenimente cosmice dramatice: ciocniri între planete; bombardarea violentă a pla ne-
telor; devieri ale orbitelor datorită influențelor gravitațional e ale planetelor gigantice, care au cauzat
expulzări ale unor plan ete în zone foarte îndepărtate de centrul sistemului solar.
Din datele radiometrice ale unor roci extrem de vechi din nordul Quebec -ului, în Canada, și este
vorba de Acasta gneiss, a rezult at o vârstă de 4 miliarde de ani. Datarea rocilor se bazează pe cantit a-
tea de izotop neodymiu -142 din componen ța lor. Este drept c ă cea mai mare vârstă de pe Terra o
au cristalele de silicat de zirconiu din NV Australiei, adică 4,375 miliarde de ani.
Cu siguranță trebuie ca s istemul solar să fie mai vechi de atât, deoarece suprafa ța Pământului
evoluează în mod constant ca urmare a eroziunii cauzate de apă și aer , a vulc anismului și a tectonicii
plăcilor. Se crede că meteoritii s -au format mai devreme în ne buloasa solar ă, astfel încât estimările
vârstei lor ar trebui să ne indice o vârstă a sist emului solar.
Se constată că cei mai vechi meteori ți au o vârst ă de ~4 ,6 miliarde de ani, oferindu -ne o vârst ă
minimă a sistemului solar. În prezent urme ale trecutul ui tumultuos al sistemului nostru solar se găsesc
în Centura Kuiper și Norul lui Oort .
Sistemul solar este compus din Soare, planete și alte multe corpuri cerești . Uneori, în literatur ă
se mai folosește și numele de sistem planetar . Acestui sistem îi apar țin urm ătoarele co rpuri1:

Structura sistem ului solar

Corpuri c erești Detalii generale
Soarele 1 și este steaua central ă.
Planete mari 8, din care sunt 4 telurice și 4 gazoase .
Sateli ții naturali 179 cunoscu ți. Un satelit natural este un corp (mic) ca re orbitează un
corp mai mare, cum ar fi o planetă, și este ținut pe orbita planetei de gr a-
vitație.
Planetele mici 5 cu diametre cuprinse între 1 000 și 2 370 km; peste 2 40 catalogate și
peste 10 !000 în centura Kuiper .
Asteroizi
(sau planet oizi) peste 7 33!000, pentru care, la peste 48 8!000, li s-au determinat cu prec i-
zie orbitele și au fost numerotate ; se estimeaz ă că num ărul lor dep ășește
1011.
Comete peste 340 de comete periodice cu perioade de revolu ție între 1,2 și >300
de ani, dar num ărul este mult mai mare (circa 4 000 observate la încep u-
tul anului 2017 ); se e stimeaz ă că num ărul lor dep ășește 1011.
Meteorii peste 50 de roiuri meteorice cunoscute (dar, probabil, exist ă mai mu lte).
Materie mete orică meteori ți, de diverse dimensiuni: de la micromete oriți la praf meteor itic.
Praful și gazul
interpl anetar care formeaz ă lumina zodiacal ă și Gegenschein , care se împrăștiate în
spațiul interplanetar .

1 Datele din tabel se raportează la începutul anului 2017 .

Planetele terestre
Mercur Venus Pământ Marte
Semiaxa mare a orbitei (106 km) 57,909 108,208 149,5 98 227,943
Revoluția siderală (ani iulieni) 0,241 0,615 1,000 02 1,880
Revoluția sinodică (zile medii) 115,88 583,92 – 779,94
Viteza medie pe orbită (km/s) 47,36 35,02 29,78 24,13
Excentricitatea orbitei 0,206 0,007 0,017 0,093
Înclinarea orbitei pe ecliptică 7°,0 3,39 0 1,85
Raza ecuatorială medie (km) 2 439,7 6 051,8 6 371,0 3389,5
Raza ecuatorială medie (Pământ = 1) 0,383 0,950 1 0,151
Înclinarea ecuatorului pe orbită 0° 177,3 R 23,44 25,2
Volumul (kg3) 6,083 × 1010 9,284 × 1011 1,083 × 1012 1,631 × 1011
Masa (kg) 3,301 × 1023 4,867 × 1024 5,972 × 1024 6,417 × 1023
Masa (Pământ = 1) 0,055 0,815 1 0,107
Densitatea medie (g/m3) 5,427 5,243 5,513 3,934
Perioada de rotație siderală (zile) 58,646 -243,018 0,997 1,026
Accelerația la ecuator (m/s) 3,7 8,87 9,807 3,71
Viteza de evadare (km/s) 4,25 10,36 11,2 5,03

Planetele gazoase
Jupiter Saturn Uranus Neptun
Semiaxa mare a orbitei (106 km) 778,341 1 426,666 2 870,658 4 498,396
Revoluția siderală (ani iulieni) 11,863 29,447 84,017 164,791
Revoluția sinodică (zile medii) 398,88 378,09 369,66 367,48
Viteza medie pe orbită (km/s) 13,06 9,64 6,81 5,45
Excentricitatea orbitei 0,048 0,054 0,047 0,009
Înclinarea orbitei pe ecliptică 1°,304 2°,49 0°,77 1°,77
Raza ecuatorială medie (km) 69 911 58 232 25 362 24 622
Raza ecuatorială medie (Pământ = 1) 10,973 9,140 3,981 3,865
Înclinarea ecuatorului pe orbită 3°,1 26°,7 97°,8 R 28°,3
Volumul (kg3) 1,431 × 1015 8,271 × 1014 6,833 × 1013 6,253 × 1013
Masa (kg) 1,898 × 1027 5,683 × 1026 8,681 × 1025 1,024 × 1026
Masa (Pământ = 1) 317,828 95,161 14,536 17,148
Densitatea medie (g/m3) 1,326 0,687 1,270 1,638
Perioada de rotație siderală (zile) 0,414 0,444 -0,718 0,671
Accelerația la ecuator (m/s) 24,79 10,4 8,87 11,15
Viteza de evadare (km/s) 60,02 36,09 21,38 23,56

Sistemul solar este un sistem legat gravita țional, alc ătuit din Soare, care ocupă poziția centrală
în cadrul sistemului, planete și sateli ții lor, obiecte mai mici, cum ar fi asteroizii, planete mici și comet e-
le, mediul interplanetar și norul i potetic al lui Oort. Toate corpurile cerești ale sistemului solar, se rotesc
în jurul centrului de masă al acestuia. Este un sistem planar cu orbitele tuturor planetelor situate apr o-
ximativ în acela și plan. Mișcarea fiec ărei planete este dominată de atracț ia gravita țional ă a Soar elui.
Efectul tuturor celorlalte corpuri este relativ mic și poate fi neglijat uneori . Masa totală a sistemului solar
este de aproximativ 1,994 × 1030 kg, Soarele oferind o contribu ție dominant ă, de aproximativ 99,86% .
Dimensiunile sale, însă, sunt mult mai mici în compara ție cu raza sistem ului solar. Planeta exterioară,
Neptun, se află la o distan ță de aproximativ 30 u.a., ceea ce înseamnă de aproximativ 6 !500 de ori mai
mult decât raza Soarelui. Datorită acestor distan țe mari, mome ntul cinetic al sistemului solar este d o-
minat de pl anete și nu de Soare. Sistemul solar se extinde de fapt la distanțe mult mai mari. Dincolo de
Neptun se află centura Kuiper, la o distan ță între 30 u.a. și 55 u.a. Se compune dintr -un număr mare
de obiecte mici, iar forma sa puțin bombată (umflată) amintește de aspectul unei g ogoși.
La distan țe mult mai mari, de ordinul a 50 !000 UA până la 200 !000 AU, se află norul ipotetic al
lui Oort2. Se crede că este o regiune simetrică; de formă sferică, ce înconjoar ă sistemul nostru planetar
din toate părțile și care con ține un num ăr imens de obiecte mici. Cometele pr ovin din centura Kuiper și
din norul lui Oort.
Cele patru planete, Mercur, Venus, Pământ si Marte, sunt numite planete telurice sau terestre ,
datorită a semănării lor (fizice) cu Pământul. Celelalte patru, Jupiter, Saturn, Uranus și Neptun, sunt
numite planete joviene (asemănătoare cu Jupiter) sau gigante de gaz . După cum se poate observa din
tabel ul de mai sus , există o diferen ță clară în proprietă țile fi zice ale acestor două clase. Planetele gi-
gante au raz e și mas e mult mai mari. În plus, planetele terestre au o suprafa ță solidă și o compoziție
similară cu cea a Pământului. Planetele joviene, în schimb, sunt predominant gazoase și lichide. Cu
excepția pl anetei Mercur, toate planetele mari au atmosferă.
În anul 1766 astronomul german Johann Daniel Tietz (1729 -1796), cunoscut sub numele său
latinizat Titius, a enunțat și publicat în anul 1766 o lege aritmetică a proporțiilor sistemului sol ar, lege
ce complet ează descoperirea lui Kepler despre armonia dintre orbitele planetelor.
Titius a scris mai întâi distanțele medii (rotunjite la o singură zecimală) ale fiecărei planete c u-
noscute, luând distanța medie dintre Pământ și Soare drept unitate:

Mercur Venus Pământ Marte Jupiter Saturn
0,4 0,7 1,0 1,5 5,2 9,5

În prima coloană a tabelului de mai jos, a scris un număr de ordine corespunzător fiecărei plan e-
te urmată progresia geometrică și, după ce a pus la început termenul 0 (pentru Mercur), a ad ăugat 4
unități fiecărui termen, obținând: 4; 7; 10; 16; 28; 52; 100. La sfârșit, a împărțit toți termenii cu 10, ob ți-
nând mărim ile din coloana 3.

Distan ța în u.a. Planeta Num ăr de
ordine ( n) Progresia
geom etrică calculat ă observat ă
Mercur 0 0 00,4 00,39
Venus 1 3 00,7 00,70
Pământ 2 6 01,0 01,00
Marte 3 12 01,6 01,54
? 4 24 02,8 02,903
Jupiter 5 48 05,2 05,20
Saturn 6 96 10,0 09,54
Uranus 7 192 19,6 19,18
Neptun 8 – 38,8 30,06

Distan ța planetelor se calculează cu ajutorul ecua ției:

a = 0,4 + 0,3  2n – 1.

Exist ă două excep ții în acest șir . La 2,8 u.a. nu exist ă nici o planet ă mare, dar golul este ocupat
de asteroizi. Planetei Neptun nu îi corespund e nici un termen în acest șir, deoarece termenul 384 care
urmeaz ă după termenul lui Uranus îi corespunde p lanetei Pluton.
Descoperirea lui Titius a rămas aproape neluată în seamă până când astronomul german

2 După numele astronom olandez Jan Hendrick Oor t, care a emis ipoteza existenței acestui nor.
3 Distanța medie a centurii de asteroizi.

Johann Elert Bode (1747 -1826) a reluat -o și popularizat -o, așa încât astăzi este cunoscută sub numele
de Legea lui Bode (totuși, unii o numesc Legea lui Ti tius-Bode).
Această lege empirică nu are valoare științifică. Ea trebuie privită doar ca pe un mijloc ușor sau
o regulă mnemonică pentru reținerea dimensiunilor sistemului solar. Totuși legea lui Bode a jucat un
important rol istoric la descoperirea plante lor mici.

Fig. 6.2. Drumul Soarelui spre apex și
drumul sinusoidal real descris de P ământ . Fig. 6.3 Dimensiunile comparative dintre Soare și pl anetele
mari din Sistemul Solar.

Distribu ția masei în Sistemul Solar

Grupuri de corpuri Masa Pământ ului = 1
Soarele ~333!000,0000
Planetele 448,1 000
Sateli ții 0,1200
Asteroizii 0,000 5
Cometele 0,1000
Masa total ă ~333!448,3000

Orbitele tuturor planetelor din jurul Soarelui sunt eliptice, cu Soarele în unu din focare. A șa cum
am prezentat în capitolul 5, mi șcările lor sunt descris e de legile lui Kepler.
Mercur este cea mai apropiată planetă de Soare în timp ce Neptun este cea mai îndepărtată.
Câteva proprietă ți remarcabile, sunt după cum urmează:
– Toate planetele se învârt în jurul Soarelui în aceea și direcție, de la vest la est, îns ă există și
excepții dovedite de unele cometele, ale căror înclinări orbitale pe ecliptică, mai mari de 90°, le conferă
mișcarea retrogradă și de unii sateliți ai planetelor gigante, ce își efectuează revoluția î n sens retr o-
grad.
– Rota ția axial ă a Soarelui, precum și a celor mai multe planete, se afl ă în aceea și direcție cu
direc ția lor de revoluție, adic ă de la vest la est. Singurele excep ții sunt planetele Venus și Uranus.
– Orbitele tuturor planetelor se află aproximativ în acela și plan.
– Orbitele sunt aproape circulare. Excentricitatea orbitei eliptice este mică.
Această regularitate sugerează că sistemul solar poate s -a format prin colapsul unui nor rot ativ
mare de gaz și praf. Dup ă cum vom vedea, această ip oteză explică principalele caracteristici ale si s-
temului solar.
Întreg sistemul solar execut ă o mișcare de revolu ție în jurul centrului galaxiei. Direc ția de depl a-
sare se afl ă spre un punct din constela ția Hercules și se numește apex solar . Așa cum se poat e obse r-
va în figura 6.2, Pământul , împreun ă cu toate corpurile , care intr ă în alcătuirea sistemului solar execut ă
o mișcare în form ă de spiral ă în jurul traiectoriei Soarelui , spre apex.

Structura fizic ă a Sistem ului Solar
Forma corpurilor și starea lor d e agregare în cadrul Sistemului Solar

Corpuri cerești de form ă sfer ică
– în stare de agregare gazoas ă Soarele
– în stare de agregare solid ă planetele telurice, sateli ții planetelor, asteroizii
– în stare de agregare gazo -lichidă planetele gigante

CAPITOLUL 7

NOȚIUNI ELEMENTARE DE MECANICĂ CEREASCĂ

7.1. Princip iile, problemele și metodele fundamentale ale mecanicii cerești.
Cadrul restrâns al cărții nu ne permite detalierea probleme lor și metodelor fundamentale ale m e-
canicii cerești, de ace ea ne vom rezuma la o prezentare sumară a legilor fundamentale ale mecanicii
cerești și a legii atracției universale a lui Newton.
Continuând opera lui Galilei, Newton, în opera sa de excepție " Principiile matematice ale filoz o-
fiei naturale ", apăruta prima dată în 1687, pune bazele multor științe, printre care și ale mecanicii c e-
rești. El a intuit necesitatea definirii unor noțiuni fundamentale ale mecanicii, ca acelea de spați u, timp
și masă, și a enunțat legile fundamentale ale mecanicii care îi poartă nu mele.
Mecanica cerească clasică se bazează pe aceste noțiuni și principii fundamentale, se dezvoltă
în cadrul acestora ca o știință teoretică și aplicată, punând mereu față în față teoriile cu realita tea co s-
mosului.
La enunțarea principiilor (legilor) lui Newton, prin "corp" va trebui să se înțeleagă punct material1.
– În prima lege a mișcării, Newton afirmă că orice corp rămâne în repaus sau în mișcare rectilinie
uniformă atâta timp cât asupra lui nu acționează alte forțe sau suma tuturor forțelor care acț ionează
asupra co rpului este nulă .
Această lege, numită de obicei principiul inerției , a fost stabilită de Galilei pe cale experimentală.
– A doua lege a lui Newton spune că o forță netă care acționează asupra unui obiect îl face să
accelereze (să -și schim be viteza) direct proporțional cu mărimea lui. Astfel, cu cât masa unui obiect
este mai mică, cu atât accelerația lui este mai mare și invers .
Numită și legea acțiunii forțelor poate fi exprimată din punct de vedere matematic as tfel:

( )dF mvdt . (7.1

Și ținând seama că masa este o mărime constantă în ecuația de mai sus, această lege se mai scrie:

( )F ma, (7.2

care este ecuația fundamentală a mecanicii newtoniene; dând legătura dintre forța F
, masa (de ine r-
ție) m și accelerația a.
– A treia lege susține că pentru o acțiune exis tă o reacțiune, opusă și egală, sau: acțiunile rec i-
proce a două corpuri sunt în totdeauna egale și dirijate în sensuri contr arii.
Această lege constituie principiul acțiunii și reacțiunii , care a fost enunțat pentru prima dată de
Newton.
Ca probleme fundamentale ale mecanicii cerești se consideră următoarele:
1). problema mișcării de translație a unei planete sau a uni satelit în jurul corpului central, adică
problema celor două corpuri ;
2). problema mișcării de translație a câtorva planete în jurul Soarelui – problema celor n corpuri ;
3). problema mișcării de translație a sa teliților unei planete oarecare; și
4). problema mișcă rii de rotație a planetei sau a satelitului în jurul centrului propriu de inerție.
Metodele fundamentale ale mecanicii cerești actuale sunt:
1). integrarea exactă (atunci când este posibilă) a ecuațiilor diferențiale ale mișcării, metodă f o-
losită în prima din problemele mai sus enumerate;
2). integrarea ecuațiilor diferențiale ale mișcării cu metoda variației constantelor de integrare a r-
bitrare; și
3). dezvoltarea integralelor ecuațiilor diferențiale ale mișcării în serii infinite de diferite form e (me-
todel e de aproximații succesive).
În capitolul de față ne vom referi într -un mod sumar și accesibil numai asupra problemei celor
două corpuri și a aplicaților ei.
7.2. Legea atracției universale a lui Newton
Un pas important după descoperirea celor trei legi , care explicau mișcările planetelor și dov e-
deau că sistemul solar este un sistem unitar, dar care nu puteau e xplica și cauza acestor mișcări, îl
face tot Newton, prin descoperirea atracției universale dintre corpuri. Newton deduce pe baza ace stor
legi ale lu i Kepler și apoi demonstrează că legea atracției planetelor de către Soare este o lege cu
caracter universal.

1 Punct material : un punct geometric (obiect) al spațiului, fără dimensiuni, dar dotat c u o masă finită. În modelele
mecanice se asimilează cu puncte materiale și corpuri de dimensiuni care nu mai sunt neglijabile faț ă de dimens i-
unile mișcării.

Enunțul legii atracției univ ersale
"Oricare două puncte materiale de mase m1 și m2 aflate la distanța r unul de celălalt ( Fig. 7.1) se
atrag reciproc cu o forță direct proporțională cu produsul maselor lor și invers proporțională cu pă tratul
distanței dintre ele, orientată pe direc ția dreptei ce une ște centrele de greutate ale celor dou ă corpuri ".
Prin urmare:
1 2
2C Cm mF G
r (7.3

unde F este mărimea forței de atracție și G – un coeficient de propor ționalitate egal cu forța cu care se
atrag două puncte materiale.
Altfel spus, G este constanta atracției universale (sau constanta gravitației). Valoarea ei, co n-
form COD ATA (2014) este în Sistemul Internațional (SI) este:

G = 6,674 08 x 10-11 m3 kg-1 s-2 (7.4

Pentru a verifica universalitatea acestei legi, Ne wton
arată identitatea dintre forța de atracție și forța de gravitație.
Notând cu g accelerația gravitațională la suprafața Pământ u-
lui (g = 9,81 m/s2) și cu g' accelerația gravitațională la dista n-
ța Lunii , r ≈ 60 R, atunci avem :

2
2(60 )3600'R g
g R
  ,

de unde

9,81'3600 3600gg  m/s2 = 0,0027 m/ s2. (7.5

Pe de altă parte, considerând orbita Lunii circul ară,
mărimea accelerației ei centripete, ac , în mișcarea de revol uție în jurul Pămân tului este :

2 2
24
( 86400)cV π RaR P  
m/s2 = 0,0027 m/s2, (7.6

unde R este raza cercului ( R = 384 400 000 m) și P – perioada siderală de revoluție a L unii (P =
27z7h43m11s,5 = 27,32 17.
În astronomie, pentru a defini rela ția dintre unitatea astronomică (u.a.) și constanta gravitațion ală
heliocentrică GMs, continuă să fie utilizată constanta gravita țională a lui Gauss (k), care este consider a-
tă o constantă de definiție auxili ară. Cu toate acestea, valoarea GMs, se poate determina în mod direct
din efemer idele planetare moderne (de exemplu INPOP13, DE435, EPM2010) , în urma observa țiilor.
Constanta gravitațională a lui Gauss are valoarea

G ≡ k2 = n2a3 = 0,017 202 098 95 radiani

sau 0°,985 607 671 , (7.7

unde n = mișcarea diurnă și a = unitatea astr onomic ă.
În felul acesta Newton a calculat în fond forța prin care Luna este menținută pe orbita sa și a tras
concluzia că forța pe care o numim gravitație este cea care menține Luna pe orbita ei.
Tot Newton a stabilit, de asemenea, că sateliții lui Jupiter sunt atrași, prin forța gravitației de c ă-
tre Jupiter, cei din jurul lui Saturn – de Saturn, planetele din jurul Soarelui – de Soare, și sunt abătuți
totdeauna de la mișcările rectilinii și reținuți pe orbite curbilinii, toate aceste fenomene fiind de a ceeași
natură.
Legea atracției a constituit un instrument cu ajutorul căruia s -au putut scrie legile lui Kepler într -o
formă generalizată , pe care le enunțăm sumar mai jos:
I. Orbita unei planete , care se mișcă în jurul Soarelui este o secțiune conică2.
II. Legea ariilor revizuită se referă la conservarea momentului.
III. Legea armonică generalizată de Newton are forma :

2 3
2 4
( )π aPG M m, (7.8

2 Vezi Anexa 7 .

Fig. 7.1. Problema celor două corpuri care
se atrag reciproc.

în care avem: P – perioada de revoluție , G – constanta gravitației, M – masa Soarelui, m – masa pl a-
netei.
7.3. Noțiuni de c alculul efemeridelor și a determinări lor de orbite
Mecanica cerească este ramura astr onomiei care se ocupă cu studiul mișcărilor corpurilor
cerești. Din punct de vedere istoric, mecanica cereasc ă aplică principiile fizicii (mecanica clasică ) copu-
rilor cosmice , cum ar fi planetele și stelele, pentru a produce efemeride. Ca domeniu de studiu în ca-
drul astronomi ei, mecanica cerească include sub ramurile: mecanica orbitelor (astrod inamica), care se
ocupă cu studiul orbitelor sateli ților artificia li și teoria lunară , care se ocupă cu studiul orbitei Lunii.
Cauza mișcări lor planetare se datorează gravitației. Am arătat mai sus că două corpuri se atrag
reciproc cu o forță proporțională cu masele corpurilor și invers proporțională cu pătratul distanțe i dintre
ele. Mișcarea punctului de masă în cadrul unui sistem este determinată unic de legea gravitaț iei, dar în
cele mai multe cazuri aceasta nu este direct calculabilă. În general, trebuie să se recurgă la o sol uție
aproximativă sau o metodă numerică.
În cazul în care ne -am rezuma la două corpuri, între acestea nu vor apărea dificultăți și este p o-
sibil sa obținem expresii analitice pentru mișcarea a două corpuri pentru condiția arbitrară de porn ire.
Cele mai importante rezultate ale legii gravitației sun t următoarele:
– În raport cu centrul de masă al celor două corpuri, care se deplasează prin spa țiu cu o vitez ă
uniformă, cele d ouă corpuri se mi șcă în același plan fix .
– Fiecare corp se mișcă în jurul centrului de masă, pe o orbită care are forma unei se cțiuni con i-
ce. Deoarece raportul distanței de la centrul de masă depinde doar de m ase și este prin urmare fixat,
cele două orbite sunt similare și orbita unui singur corp este relativă la ce alaltă, care este de asemenea
o secțiune conică.
În cele ce urmeaz ă, vom prezenta cum mișcarea relativă a două mase în cadrul sistemul solar,
poate fi descrisă în cadrul problemei celor două corpuri. În mod normal, unul din corpuri va fi Soarele.
Al doilea corp poate fi un asteroid, o cometă sau o altă planetă. În ordine , pentru a vă forma o imagine
cuprinzătoare despre posibilele forme de orbite, vom discuta, nu doar de orbita eliptică și p arabolică,
dar și de cea hiperbolică.
Este în natura lucrurilor ca fiecare aplicație a problemei celor două corpuri în cadrul sistemu lui
solar, să poată fi doar o aproximație a situați ei reale . Ea este adesea, baza și prima aproximație a sol u-
ției în problema celor n corpuri.
Întreaga operațiune de determinare a orbitelor asteroizilor și cometelor este destul de laborio a-
să, implicând mai multe etape. Odată localizat un corp nou, trebuie ob ținute imagini (poziții) , ace stea
trebuie măsurate și măsurătorile convertite în date utile, și anume asce nsia dreaptă și declinația.
Din observa țiile disponibile trebuie determinat ă orbita corpului; în special , trebuie să determinăm
un set de parametri , care descriu orbita. Pentru un corp nou descoperit, se determină elemente prel i-
minare din primele câteva observa ții obținute. Pe m ăsură ce se ac umulează mai multe observa ții, se
vor recalcula elementele p reliminare. După ce s -au ob ținut toate observațiile (cel puțin pentru o singur ă
opozi ție) și nu s e mai așteaptă alte observa ții la aceast ă opozi ție, se poate ca lcula o orbită definitivă.
Dacă se folose ște orbita preliminar ă sau orbita definitivă, atunci tr ebuie să se calculeze și o efemeridă;
adică o predic ție zilnic ă a pozi ției sale (ascensia dreapt ă și declina ția) pe cer.
Calculul unei efemeride din elementele orbitale face obiectul primei secțiuni al acestui capitol , în
timp ce d eterminarea elementelor o rbitale din observa ții este un calcul destul de complex și va fi pre-
zentat în pa rtea a doua.
7.4. Mișcările asteroizilor și cometelor
7.4.1. Mișcarea aparentă a acestor corpuri (despre care, în general, am discutat în capitolul 5),
este mișcarea lor, așa c um o vedem noi de pe Pământ. Mișcările aparente ale asteroizilor și cometelor
se aseamănă, oarecum, cu cele ale planetelor mari. Se știe că , acestea din urmă , descriu aparent (de
la vest spre est), printre stelele fixe, traiectorii destul de complicate, cu bucle mai mari sau mai mici și
mereu situate în apropierea planului eclipticei. Tot astfel, un asteroid mișcându -se pe cer, descrie o
curba sferică cu bucle, în timp ce cometele pot descrie asemenea bucle, uneori când ele se află la
periheliul orbitelor l or și întotdeauna când se situează în afara orbitei terestre .
Asteroizii se observă mai ales în preajma opozițiilor, când se apropie cel mai mult de Pământ, în
contrast cu cometele , care devin vizibile doar în preajma trecerii la periheliu. Asteroizii de mici dime n-
siuni nu se pot observa decât la opoziții și devin invizibili în porțiunile mai depărtate ale orbitelor l or. În
timpul opoziției sale, un asteroid culminează (trece la meridian) la miezul nopții și este vizibil p e cer în
tot cursul nopții de la a pusul Ia răsăritul Soarelui. Cometele pot fi vizibile atunci când sunt în apropierea
Pământului, numai dacă nucleul lor este suficient de strălucitor sau cozile lor sunt bine dezvoltate (de
mari lungimi) și strălucitoare.
7.4.2. Mișcarea heliocentrică a as teroizilor și cometelor este identică cu cea a planetelor mari.
Ea se supune celor trei legi stabilite de Kepler (în secțiunea 5.3), legi care se deduc drept consecințe
din legile generale ale mecanicii și din legea atracției universale a lui Newton .
Luând cazurile distincte a acestor corpuri, despre asteroizi putem scrie: Se consideră că orbita
unui asteroid este perfect determinată, dacă se cunosc șase constante numite elementele orbitei . Pri-
vind Fig. 7.2, acestea se definesc astfel: Fie planul orbitei Pă mântului ( care se confundă cu planul

eclipticei) și planul orbitei considerate. Fie încă, în planul eclipticii, axa S γ, care pleacă din Soare ( S) în
direcția punctul ui vernal γ. Aceste plan e se intersectează după dreapta numită linia nodurilor . Ea taie
orbita în două puncte: N1, se numește nod ascendent și este pun ctul unde asteroidul trece la nord de
planul ecliptic (latitudinea cerească devenind pozitivă); punctul N2 – diametral opus față de N1 – se n u-
mește nod descendent și este punctul în care asteroidu l trece la sud de ecliptică (latitudinea dev enind
negativă). Poziția acestei linii în spațiu este determinată de unghiul γSN' 1 = Ω, unghi numit longitudinea
nodului asce ndent. Unghi ce se măsoară de la punctul vernal în sens direct (contrar mișcării acelor de
ceaso rnic), putând să ia toate valori le cuprinse între 0° și 360°.
Unghiurile în planul orbital au ca referință nodul ascendent, în timp ce longitudinile (c erești) sunt
calculate din direcția punctului vernal γ, care nu se află în planul orbital.
Poziț ia planului orbitei față de planul eclipticei este dată de unghiul diedru i, numit înclinație .
Acest unghi poate lua valori între 0° și 180°, pentru care facem următoarele precizări: mișcarea unu i
corp este directă dacă i < 90° și retrogradă dacă i > 90°. Orbita fiind eliptică cu unul din focare în So a-
re, pe ea există periheliul π, punctul orbitei cel mai apropiat de S. Poziția axei Sπ este dată de ungh iul
ω dintre linia nodurilor N1N2 și axa Sπ. Acest unghi se numește argumentul de latitudine al periheli ului
(sau simplu – argumentul periheliului ) și se măsoară în planul orbitei, în sensul mișcării asteroidului, de
la 0° la 360°. Din figură reiese că unghiul π = Ω + ω, și reprezintă longitudinea periheliului . Forma eli p-
sei este dată de excentricitatea e, iar dimensiunea elipsei este dată de semiaxa mare a, care se expr i-
mă în unități astronomice.
Am definit până aici cele cinci elemente ale orbitei Ω, i, ω, e și a; ele sunt elemente geometrice
și determină poziția în spațiu, forma și mărimea elipsei (orbitei).

Fig. 7.2. Elementele unei orbite
Cel de -al șaselea element este de natură cinematică și se numește anomalia mijlocie . În mec a-
nica cerească, anomalia mijlocie M este un unghi utilizat pentru a calcula pozi ția unui corp de pe o
orbită eliptică în proble ma clasică a celor două corpuri. M este distan ța unghiular ă de la periapsidă3, pe
care un corp fictiv ar avea -o dacă ar fi mutat pe o orbită c irculară, cu o viteză constantă și cu aceea și
perioadă orbitală ca și corpul real pe orbita eliptic ă.
În teoria mi șcării cometelor, în locul anomaliei mijlocii, se folosește momentul unei treceri la p e-
riheliu, care se notează cu t0.
7.5. Orbite eliptice
Să vedem acum în ce mod se studiază mișcarea eliptică , de exemplu a unui asteroid, când se
cunosc elementele orbitei sale. În acest scop vom deduce formulele mișcării eliptice. Să considerăm
(Fig. 7. 3) elipsa descrisa de planetă (asteroid sau cometă) P în mișcarea sa heliocentrică și πA – axa
mare a acestei elipse. Fie P, poziția la momentul t a asteroidului pe elipsă ș i S, Soarele aflat într -un
focar al elipsei. Ducem cercul principal (cercul circumscris sau bitangent exterior) al elipsei, apo i din P,
o perpendiculară pe πA, care taie acest cerc în P'. Introd ucem următoarele unghiuri:

PS = ν = anomalia adevărată și

P'S = E = anomalia excentrică .

În figura 7.3, notațiile semnifică: O – centrul elipsei. a – semiaxa mare OΠ a elipsei, e – excentr i-

3 Apsid a, desemnează două puncte extreme ale orbitei unui corp ceresc , pentru care distan ța este minimă
(periapsidă ori periapsă ) sau maximă ( apoapsidă ori apoapsă ) în raport cu focarul acestei orbite.
La singular, cuvântul se folose ște foarte rar, pentru a desemna unul sau celălalt dintre cele două puncte.
Linia care leagă periapsida și apoaps ida unei orbite date este numită linia apsidelor sau linia apsidială . Cea
mai lungă linie care une ște cele dou ă puncte cele mai îndepărtate este axa principală a apsidei sau axa m are.

citatea, r – raza vectoare SP, c – segmentul OS, de unde avem:

c ae, 21 b a e  , 2' 1 ,bKP ea 

unde b este semiaxa mică a elipsei, K – piciorul perpendicularei din P pe axa ΠA și unghiul dintre pl a-
nul cercului principal și planul elipsei, acesta din urmă fiind considerată proiecția ortogonală a c ercului
situat într -un alt plan .
Introducând acum sistemul de coordonate orbitale rectangulare Sξη (Fig. 7.3), având axe par a-
lele cu axele sistemului putem scrie: Sξ'η' și cu originea în focarul S. Atunci avem, pe de o parte egal i-
tățile :
2cos (cos )
cos 1 sin ,ξ a E ae a E e
η b E a e E   
   (7.9
iar pe de altă parte:
ξ = r cos v, η = r sin v. (7.10
Din compararea egalităților (7. 9) și (7. 10), se
obțin formulele de mai jos, care nu sunt altceva
decât e cuațiile parametrice ( carteziene ) ale mișcării
eliptice:
2cos (cos )
sin 1 sin .ξ r v a E e
η r v a e E     (7.11

Ajunși în acest punct, trebuie menționat că
mărimile r și v sunt coordonatele polare ale astero i-
dului P într-un sistem polar de coordonate cu axa
polară SΠ și polul z. A cunoaște mișcarea lui P în
jurul orbitei înseamnă a cunoaște modul în care r și v variază cu timpul, adică a c unoaște funcțiile de
timp.
Dificultatea constă în faptul că funcțiile r(t) și v(t) nu sunt elementare: ele nu se pot reprezenta
prin relații conținând un număr finit de termeni. Vom vedea că problema se reduce, în esență , la rezo l-
varea unei ecuații transcendente.
Să continuăm însă cu stabilirea relațiilor fundamentale ale mișcării eliptice. Eliminând v între cele
două ecuații (7. 11) – în acest scop le ridicăm la pătrat și le adunăm – avem succesiv:

r2 = a2 cos2 E – 2a2 e cos E + a2 e2 + a2 sin2 E – a2 e2 sin2 E = a2(1 – e cos E)2

și, deoarece r este întotdeauna > 0, prin eliminarea anomaliei adevărate, obținem formula:

r = a(1 – e cos E). (7.12

Observăm, în continuare, că eliminând E între ecuațiile sistemului (7. 11) sau între prima ecuație
(7.11) și ecuația (7. 12), se obține:

2(1 ),1 cosa ere v (7.13

în care, a(1 – e2) = p, este parametrul orbitei, adică ordonata punctului elipsei a cărui anomalie adev ă-
rată este egala cu 90° și după cum se poate constata, ec uația (7. 13), pentru 0 < e < 1, este însăși
ecuația polară a elipsei.
Din relația (7. 12) și prima relațiile din (7. 11) se obține prin adunare și scădere:

2 2cos (1 )cos ,2 2v Er a e 

2 2sin (1 )sin .2 2v Er a e  (7.14

Din împărțirea în (7. 14) și extrăgând rădă cina pătrată, se obține următoarea formulă (perechea
formulei 7. 13):

Fig. 7. 3. Mișcarea eliptică

CAPITOLUL 8

NOȚIUNI DE ASTRONOMIE STELAR Ă ȘI ASTROFIZIC Ă

8.1. Considerații generale
Astronomii ar dori s ă poată privi și să studieze mai înde a-
proape s telele , altele decât Soarele . Din nefericire , acest lucru nu
este înc ă posibil . Chiar și cele mai apropiate stele de noi sunt prea
îndep ărtate pentru a fi explorate de navele spa țiale de ast ăzi și
chiar privite cu cele mai pute rnice telescoape de care disp unem în
prezent, imaginea lor se înf ățișeaz ă ca un mic punct de lum ină.
Având în vedere distan țele aproape inimaginabile fa ță de
stele, a ți putea crede c ă vom avea șanse pu ține s ă învățăm ceva
despre ele. Cu toate acestea, astronomii au reu șit să înve țe sufici-
ent de mult despre stele. Avem dovezi suficiente despre m odul în
care ele se formeaz ă teorii bine dezvoltate ne prezint ă structura lor
intern ă, modul în care acestea evolueaz ă și cum mor. Exi stă încă
numeroase întreb ări fără răspuns despre stele, dar m ulte dintre
cele mai importante caracteristici ale acestora sunt cunosc ute.
Acest capitol se refer ă la propriet ățile de baz ă ale stelelor și la m o-
dul, în care astronomii le -au desc ifrat tainele .
Este important , în primul rând, s ă discut ăm despre ce sunt
stelele. Vom descrie propriet ățile st elelor, astfel încât ele s ă fie
ușor de în țeles, s ă le facem s ă pară corpuri cere ști obi șnuite. Cu sigura nță nu vom reuși s ă atingem
acest scop pentru c ă, în ciuda faptului c ă stelele sunt puncte de lumin ă minunate , uneor i viu col orate,
atunci când le privim prin instrumentele noastre, nu exist ă stele obi șnuite. Dar, ce este o stea ?
O stea este o sfer ă enor mă de gaz fierbinte. Ea este cara cterizat ă printr -o stare de echili bru între
forța de atracție gravitați onală, mișca rea haotic ă a atomilor de gaz și presiunea radiațiilor îndreptat ă
spre exterior. Cu alte cuvinte, în fiecare punct din interi orul unei stele, forța gravitațional ă de c ădere
spre inte rior este egalat ă de c ătre forța presiunii interne, o rezu ltantă a pre siunii și a celei de radiație. În
cazul când un astfel de echi libru nu este realizat, sfera de gaz se contract ă sau se dilat ă. Desigur, pr o-
cesele implicate în existența și implicit în întreținerea vieții unei st ele sunt, dup ă cum este de așteptat,
foarte co mplexe. Gazele care compun o stea, sunt în primul rând: hidrogenul (H), care este cel mai des
întâlnit element în univers, heliul (He) și alte elemente. Cele mai multe stele sunt compuse aproape în
întregime din hidrogen, mai pu țin heliu și cantit ăți foart e mici de alte elemente chimice . Amestecul pen-
tru stele foarte tinere, este de obicei , aproximativ 90% hidrogen, 9% heliu și restul de 1%, îl ocup ă
elementele grele . Acest e cifre se schimb ă atunci când discut ăm de stele foarte b ătrâne, care sunt
compuse di n 70% hidrogen , heliu 27% , cu mici cantit ăți de elemente grele și metale , de până la 2-3%.
Energia necesar ă pentru a crea și apoi pentru a men ține o stea este rezultat ă din fuziunea nu-
clear ă; proces fizic în care h idrogenul este transformat în heliu din ca uza a dou ă forțe imense din inte r-
iorul stelei , și anume : o temperatur ă foarte ridicat ă și forța gravita țional ă foarte puternic ă. Datorit ă ma-
sei foarte mari și a câmpului gravita țional foarte puternic, condi țiile din centrul sferei de gaz sunt de a șa
natur ă încât te mperatura poate ajunge la aproximativ 10 milioane K. La astfel de condiții e xtreme de
presiune și căldură, fuziunea nuclear ă poate s ă apar ă și hidrogenul este transformat în heliu într -o re-
acție termonuclear ă, auto-întreținută și permanent ă. Rezul tatul reac țiilor termo nucleare , este eliber area
de energie, sub form ă radiații X, gamma , neutrini și lumin ă și care încălzesc gazul . Toate aceste reacții
au loc în fi ecare secund ă, iar cantitatea de energie eliberat ă este substan țială și suficient ă pentru a
face ca o stea să străluceasc ă.
Pe m ăsură ce stelele îmbătrânesc consum ă din ce în ce mai mult hidrogen în nucleul lor, pentru
a întreține reac țiile nucleare. Un produs al acestei reac ții este heliul. Astfel, odat ă cu trecerea timp ului,
cantitatea de hid rogen din nucleu scade , fiind dep ășită de cea a heliul ui. În situația în care, acolo con-
dițiile sunt optime (acestea necesi tând o temperatur ă mai mare și o mas ă mare), atunci heliul în sine
va începe s ă se supun ă fuziunii nucleare în nucleul stelei. Dup ă o anumit ă perioad ă de timp (de ordinul
zecilor și sut elor de milioane de ani) , heliul , la rândul s ău, va produce prin fuziune, carbon ul ca produs
secundar al reac ției; ca și în cazul de mai devreme , dac ă condi țiile din nucleul stelei sunt ade cvate,
acest lu cru va ini ția fuziunea nuclear ă și va produce mai mult ă energie. Un punct important de subliniat
este c ă fiecare etap ă necesit ă o temperatur ă mai ridicat ă pentru a începe reac țiile nucleare și dac ă o
stea nu are condi țiile necesare pentru a produce aceast ă temperatur ă, nu vor ap ărea alte rea cții. Deci,
arderea hidrogenului și a heliului este sursa de energie pentru aproape toate stelele, iar masa unei
stele determin ă modul , în care reac țiile vor continua , determinând un traseu evolutiv specific fiec ărei
stele.
Fiecare stea are parametrii s ăi proprii , care definesc starea , în care se g ăsește materia respect i-

Fig. 8.1. Imaginea stelelor privite
printr -un telescop.
(Credit: Sandu Val Cosmin)

vă: raza R, masa M, temperatura T, presiunea P, densitatea ρ, compoziția chimic ă, luminozitatea L etc.
Se consider ă că o stea este cunoscut ă când sunt cun oscuți parametrii de stare. Despre unii dintre
acești parametri , vom discuta și noi pe parcursul acestui capitol.
8.2. Câteva cuvinte despre formarea stelelor
Locul în care stelele se formeaz ă sunt norii interstelari de gaz și praf cunoscuți sub numele de
nori moleculari. Acest nume – molecular – este p ăstrat în continuare deoarece sunt zone reci, cu dens i-
tăți oarecum mari și ale c ăror gaze conțin mai degrab ă forme moleculare decât atomi sau ioni. Astfel,
gaze precum ar fi H 2 (hidrogenul molecular) și CO ( monoxidul de carbon) au fost descoperite în acești
nori.
Până când tehnica observațional ă nu a avansat, acest lucru era ascuns vederii noastre din cauza
cantit ății mari de particulele solide (de praf) pe care le conțin. Praful blocheaz ă lumina din inte riorul
unui astfel de nor, îns ă zona infraroșie sau radio este mai puțin afectat ă de aceast ă obstrucție. Prin
folosirea telescoapelor în infraroșu și radiotelescoapelor , astronomii au putut astfel studia interiorul
acestor nori. Au fost puse în evidenț ă cantit ăți importante de CO și amoniac (NH 3) care produc linii de
emisie în partea radio a spectrelor. Putem trage concluzia importanței colect ării de informații despre
unele din etapele care conduc la formarea unor noi stele în interiorul norilor moleculari.
Norii molecularii au dimensiuni foarte mari și mase semnificative. Pot avea dimensiuni mai mari
de 10 parseci și peste un milion de mase solare. În galaxia noastr ă exist ă sute de mii de nori giganți în
care se nasc și în prezent stele noi. Cel mai cunoscut și cel mai apropiat nor de noi este Marea neb u-
loasă din Orion. Cunoscut cu indicativul de catalog M42 și desigur admirat de mulți dintre voi, în nopțil e
senine de iarn ă, el ofer ă posibilitatea observ ării câtorva stele tinere în interiorul norului. Neb uloasa din
Orion se întinde pe multe grade p ătrate pe cer și se extinde mult dincolo de ceea ce putem observa
vizual prin telescop. Aici există numeroase stelele tinere, însă pe multe d intre ele nu le putem v edea
prin telescop dat orită absor bției luminii de către particulele de praf și gaz.
Zona central ă a unui nor este relativ rece. Aici exist ă nuclee , ce emit în infraroșu. Acestea sunt
locurile în care se formeaz ă protostelele, care sunt stelele înc ă în curs de formare și care în cele mai
multe cazuri se afl ă în zona central ă a norului. Dac ă nucleele sunt relativ reci, stelele ce se fo rmeaz ă
vor avea dimensiuni mici și mase de 1 -2 mase solare sau mai mici. În cazul nucleelor calde, înc ă de la
formare ele sunt mai masive .
Mișcarea turbulent ă a gazelor și prafului în norii moleculari fac ca materia s ă se condenseze în j u-
rul nucleelor, pe când zona exterioar ă a norului (o mare parte a norului) devine tot mai rece și se di s-
perseaz ă în spațiu.
8.2.1. Colapsul nucleului stelei . Așa cum am menționat mai sus, într -un nor molecular pot exista
mai multe nuclee reci și multe smocuri de gaz care le înconjoar ă și care pot fi suspectate c ă la un m o-
ment dat se pot pr ăbuși spre interior. Acestea exercit ă o forț ă gravitațional ă spre interior, suficient de
mare, care reușește s ă depășească presiunea gazului din nucleu, f ăcându -l astfel s ă se pr ăbușeasc ă
sub propria gre utate.
Acest proces r ămâne înc ă de cercetat pentru astronomi, care nu pot explica de ce acest proces
se desf ășoară foarte lent în timp1. Altfel spus, formarea stelelor ar trebui s ă aibă loc (în norii molec u-
lari) cu o rat ă mult mai mare și într -un timp mult mai scurt.
O ipotez ă a aceste i întârzieri ar fi c ă: analog particulelor înc ărcate din atmosfera terestr ă care ci r-
culă în câmpul magnetic, dar nu pot s ă-l părăseasc ă, așa și câmpurile magnetice ale nucleelor influe n-
țează particulele norului. Cu toate acestea, în cele din urm ă, atomii și moleculele , fac ca la ce ntru,
densitatea s ă creasc ă simțitor, odat ă cu ea și temperatura, gravitația totul având o mișcare de rot ație
lentă a nucleului. Atunci când momentul critic este atins se produce cola psul, care are loc mult mai
repede probabil, în decursul a 100 000 de ani. Rezultatul final a l unui colaps într -un nucleu duce la
formarea unei protostele . Anumite teorii susțin c ă este posibil ca în anumite cazuri câmpul magnetic s ă
nu fie suficient de puternic pentru a genera un colaps, iar in acea stă situație pr ăbușirea spre interior
duce la fragmentarea în mai multe nuclee mici. Rezultatul este formarea unui num ăr mai mare de n u-
clee într-un spațiu relativ restrâns, ceea ce poate forma în timp, un roi stelar.
8.2.2. Stelele tinere. Teoriile despre formarea stelelor sufer ă modific ări odat ă cu progresul o b-
servațiilor. Cele prezentate mai sus sunt bazate pe observații asupra stelelor tine re și a propriet ăților
acestora.
Cele mai multe dintre stele tinere sunt grupate în asociații (categorie) ce poart ă numele stele T
Tauri . Aceste corpuri cerești fac parte din categoria stelelor pre-secvenț ă principal ă în cadrul diagr amei
Hertzsprung -Russel l (despre diagrama H -R vom discuta pe larg mai târziu) și au m ase mai mici de 3
M. Deși stelele T Tauri sunt în general stele reci din clasele spectrale G, K și M2 multe dintre ele pr e-
zintă în spectrele lor linii de em isie intense, asem ănătoare cu cele di n cromosfera Soarelui, dovad ă că
la suprafața lor are loc o inte nsă activitate.
Grație tehnicii avansate și a meticulozit ății cu care cercet ătorii urm ăresc aceste stele, s -au depi s-
tat la suprafața lor (în fotosfer ă) regiuni întunecate de mari dimensiuni ai doma petelor solare de mari

1 Se estimeaz ă că acest proces dureaz ă între 1 și 10 milioane de ani.
2 Protostele aparțin claselor spectrale târzii.

dimensiuni. Astfel, prin urm ărirea variației str ălucirii unei stele T Tauri, s -a determinat c ă perioada lor
de rotație axial ă dureaz ă în medie 5 zile.
O alt ă proprietate aparte a acestui tip de stele este emisia puternic ă în inf raroșu. Acest fapt se d a-
toreaz ă prafului , care înc ă orbiteaz ă în jurul stele abia formate.
8.3. Depărtarea stelelor
Este foarte important s ă cunoa ștem distan ța dintr e o stea și Pământ deoarece, cu ajutorul ace s-
teia, putem afla parametrii de stare amintiți mai sus.
Mulți astronomi din trecut , printre care Copernic și Tycho, au încercat s ă determine paralaxe în a-
inte de inventarea telescopului. Incapacitatea lui Tycho de a detecta paralaxele mai mici de 1 minut de
arc3 sau mai mari , a dus la concluzia c ă stele le sunt situate la distan țe mai mari de câteva mii de unități
astronomice .
După inventarea telescopului a devenit posibil ă măsurarea unghiurilor mult mai mici decât 1 m i-
nut de arc. În al treilea deceniu de dup ă 1700 , James Bradley (1693 -1762) a încercat împreun ă cu de
Samuel Molyneux (1689 -1728) să măsoare paralaxa stelei γ (gama) Draconis , făcând m ăsurători foar-
te precise a altitud inii stelei la trecerea la meridian. M ăsurătorile sale privind varia ția anual ă a altitudinii
au condus la descoperirea abera ției lumin ii a stelelor (vezi Capitolul 3, secțiunea 3.6). Nu a reu șit însă
să determine paralax a stelei în cauz ă pentru c ă nu a putut m ăsura u nghiuri mai mici de o secund ă de
arc.
Urmând metoda lui Bradley, a devenit evident pentru astronomi c ă, pentru a det ecta paralaxele,
ar trebui s ă măsoare pozi țiile stelelor cu o acurate țe mult mai bun ă decât o secund ă de arc. Pentru a
face acest lucru, astronomii au m ăsurat poziția unei stele apropiate fa ță de stele mai îndep ărtate care
se afl ă aproape în aceea și direc ție. Cele mai îndep ărtate stele au paralaxe extrem de mici, astfel încât
ele formeaz ă un fundal constant (de stele "fixe") , pe care pot fi v ăzute mici le schimb ări de poziție ale
stele lor mai apropiate . Combinarea acestei metode cu utilizarea unor instrument e de m ăsurare tot mai
performante a dus la d etectarea aproape simultan ă a paralaxelor stelare de c ătre Friedrich Bessel,
Wilhelm Struve și Thomas Henderson (în perioada 1835 -1838 ). Bessel, primul care a reu șit o astfel de
măsurătoare , a determinat paralax a stelei 61 Cygni , care era de 0,30 ".
În prezent, num ărul de stele , pentru care avem paralaxe exacte, trece de 20 milioane , ca urm are
a măsurătorilor f ăcute de sateliții Hipparcos și Gaia. Cea mai mare paralax ă stelar ă cunoscut ă este
0,74212" pentru α (alfa ) Centauri, o stea pentru care Th. Henderson a f ăcut una dintre primele m ăsură-
tori de paralax ă. Proxima Centauri se afl ă la o distan ță de circa 277!940 u.a (sau 4,3 al) .
Uneori este dificil de în țeles, chiar și cu ajutorul analogiilor, cât de departe sunt stele faț ă de
Pământ. S ă facem un exercițiu de imaginație și s ă compar ăm dimensiunea regiunii spa țiului pe care l –
am e xplorat pân ă acum, cu distan ța pân ă la cea mai apropiat ă stea. Sonda spa țială Voyager 1, care
călătorește în spațiul cosmic din septembrie 1977 , este acum (în luna mai, 2017) la 138,6 u.a. , sau 13
ore și 11 minute lumin ă, de la Soare. Dac ă reducem distanța de 138,6 u.a. la 1 cm, atunci cea mai
apropiat ă stea cunosc ută, Proxima Centauri, ar fi la 20,1 de metri distan ță.
Așa cum am ar ătat în Capitolul 3, p entru a m ăsura distan țele stelare se utilizeaz ă metoda de p a-
ralax ă. Pute ți vedea efectul de paralax ă dacă țineți una din mâini întins ă în faț ă cu degetul mare ridicat.
Acum închideți alternativ fiecare ochi. Degetul se va "muta", în compara ție cu un obiect mai îndep ărtat
(un arbore , o cl ădire de exemplu) (Fig. 8.2).
Metoda paralaxei necesit ă observarea
unui obiect din dou ă pozi ții la o anumit ă distan ță
în timp (formând o linie de baz ă) și măsurarea
unghiului cu care , aparent, steaua s -a deplasat
față de stelele de pe fundalul stelelor îndep ărta-
te. Din fericire, avem la dispoziție , distan ța de-a
lungul orbitei P ământului în jurul Soarelui , adică
diametrul orbitei terestre (Fig. 3.11). Majorit atea
stelelor sunt prea departe pentru a ar ăta orice
schimbare în pozi ția lor , atunci când sunt ob-
servate, de exemplu, în ianuarie și în iulie , când
Pământul se afl ă în puncte diametral opuse pe
orbită. Schimbarea unghiu lară a pozi ției stelelor
mai apropiate , coroborat ă cu orbit a Pământului (folosit ă ca baz ă), poate fi astfel utilizat ă pentru a de-
termina trigonometric distan ța. Unghiurile m ăsurate sunt foarte mici, inferioare secundei de arc și de-
pind de timpul exact la care s -au făcut m ăsurătorile. Pentru a determ ina dista nța, schimbarea în unghi
a pozi ției unei stele (c are a fost m ăsurat ă cu ajutorul lini ei de baz ă de ~2 u.a.) este transformat ă în
ceea ce se n umește paralax ă stelară ( sau anual ă), notat ă cu π (pi). Deoarece unghiurile sunt foarte
mici, se poate de duce im ediat distan ța din:

3 Precizia observațiilor efectuate d e Tycho Brahe atingea valoarea de 1'.

Fig. 8.2. Pentru interpretarea paralaxei .

1 u.a. 206 265r 206 265".!" π π  unități astronomice (8.1

în care factorul 206 !265 se introduce pentru transformarea radianilor în secunde de arc astfel încât r să
fie exprimat în u.a. De aici v ă puteți da seama ușor c ă un astru afl at la distanța de 206 !265 u.a., va
avea paralaxa egal ă cu 1".
1
"rπ parseci (8.2

Așa cum am spus și în capitolul 3 (secțiunea 3.3.3 ), în astronomie se mai întâlnește și anul l u-
mină, care este egal cu 1/3,26 2 parseci. Prin urmare

3,262
"rπ ani lumin ă (8.3

8.4. Luminozitatea stelelor
Poate c ă una din cele mai importante caracteristic i ale unei stele este luminozitatea sa , care nu
este altceva decât cantitatea total ă de energie emis ă pe secund ă, pe întreaga ei supra față și în toate
lungimile de und ă. În Capitolul 6 am v ăzut c ă Soarele emite 3,828 × 1026 W/s, ceea ce î nseamn ă o
cantitate enormă de energie în fiecare secund ă. Pentru a face ușor compara ție între stele, astronomii
exprim ă luminozitatea altor stele în rap ort de luminozitatea Soarelui. De exemplu, luminoz itatea stelei
Arcturus este de aproximativ 170 de ori mai mare decât a Soarelui. În literatura de specialitate se fol o-
sește si mbolul L pentru a indica multiplul luminozit ății Soarelui. Prin urmare, cea a l ui Arcturus poate
fi scris ă ca 170 L. După cum am menționat mai devreme pe scurt, îns ă vom detalia în secțiunile u r-
mătoare, vom vedea c ă dacă se poate măsura cât de mult ă energie elibereaz ă o stea și de asemenea
cunoa ștem masa ei, atunci putem calcula cât timp poate continua s ă străluceasc ă, înainte de a -și epu-
iza energia nuclear ă și a începe s ă se sti ngă (să moar ă).
Să privim figura 8.3, unde o sfer ă de raz ă R este centrat ă pe sursa de lumin ă (o stea în cazul
nostru). Observ ăm că pe m ăsură ce radiația se îndep ărteaz ă de sursa ei, ea se r ăspânde ște pe supra-
față tot mai mar e în spa țiu.
Cantitatea de energie care trece în fiecare secund ă printr -un metru p ătrat al suprafe ței sferei este l u-
minozitatea total ă a sursei L, împărțită la suprafa ța total ă a sferei ( S = 4πR2). Aceast ă cantitate se n u-
mește strălucire aparent ă sau simplu strălucire4 E, deoarece , cât de str ălucitoare apare o surs ă de
lumină, depinde de cantitatea de energie luminoas ă, care este recepționat ă pe secund ă de un receptor
de lumin ă (cum ar fi o chiul, fotometru, senzor CCD ). Strălucirea aparent ă este m ăsurat ă în wa ți pe
metru p ătrat (W/m2). Relația dintre str ălucirea aparent ă și luminozitate poate fi scris ă sub forma unei
ecua ții de fo rma:
24LE
πr , (8.4
unde E – strălucirea aparent ă a stelei, exprimat ă în W/m2; L = luminozitatea stelei, în W și r – distanța
la stea exprimat ă în metri.
Aceast ă relație se nume ște legea inversului pătratului distanței , deoarece strălucirea aparent ă
pe care un observator o poate vedea (și este m ăsurabil ă) este invers propor țional ă cu p ătratul distan ței
r, dintre observator și surs a de lumin ă. Un exemplu concludent poate fi dat în cazul luminii primite de la
stâlpii de iluminat public. D acă ne dubl ăm distan ța de la o surs ă de lumin ă, radia ția este împrăștiată pe
o suprafa ță de 4 ori mai mare, astfel încât strălucirea aparent ă pe care o vede m este sc ăzută cu un
factor de 1/4. În mod similar, la o distanț ă triplă, luminozitatea ap arentă, este de 1/9 mai mare ș.a.m.d.
Pentru un exemplu numeric s ă luăm cazul Soarelui și s ă aplic ăm legea inversului pătratului di s-
tanței . Cunoaștem distanța față de P ământ r, care este de 1,495 978 71 × 1011 m. Atunci, str ălucirea

4 În literatura de astronomie, termeni precum intensitate și strălucire sunt folosi ți mai degrab ă într-un sens
vag. Densitatea fluxului se nume ște de fapt, flux sau intensitate . Flux , înseamn ă energia tran sportat ă de r adiații,
care trece printr -o anumit ă suprafa ță de arie așezat ă perpe ndicular pe direcția cons iderat ă, în unitatea de timp, în
unitatea de unghi solid și în unit atea de frecvenț ă. Intensitatea specific ă radiației se m ăsoară în wa ți (W/m2sr).
Fluxul emis de o stea într -un unghi solid ω este L = ωr2F, unde F este densitatea de flux observat ă la distan ța r.
Fluxul total , este fluxul , care trece printr -o suprafa ță închisă, ce cuprinde sursa.
Astronomii numesc de obicei fluxul total al stelei, luminozitate . Ea es te o m ărime fizic ă în sens de flux
energetic. Luminozitatea integral ă se mai numește și bolometric ă. Dacă steaua are form ă sferic ă (cum de obicei
au stelele), atunci câmpul de radiație generat de aceasta se poate considera omogen și luminozitatea integrală va
avea expresia: L = 4π R2  π F ≡ L = 4π R2  E.

aparent ă integral ă E, este calcul abilă prin:

26
2
11 23,828 101 361 /
4 (1 ,495 978 71 10.
. . )WE W m
π m 
. (8.5

Adică, un pan ou solar cu o suprafa ță de 1 m2 prime ște 1 361 wați, în condiții ideale (fără absor b-
ția atmosferei) .
Astronomii m ăsoară strălucirea aparent ă a unei stele utilizând un telescop ce are atașat u n fo-
tometr u. Strălucirea aparent ă este o m ăsură, care exprim ă cât de puțin luminoasă ne apare o stea;
Luminozitatea este o m ăsură a luminii totale a st e-
lei. Măsurarea strălucirii aparente a stelelor se n u-
mește fotometrie.
Legea inversului pătratului distanței ne ind ică
faptul că putem g ăsi luminozitatea unei stele , dacă
știm distan ța și strălucirea apare ntă. Pentru a face
acest lucru cu ecuația (8.5), aceast ă lege se scrie
într-o formă diferit ă:
24L πr E . (8.6
Cunoscând distanța, luminozitatea și strălu-
cirea aparent ă a Soarelui, folosind simbolul , pen-
tru Soare, determinarea str ălucirii unei stele oar e-
care, se face din raportul:

2L r E
L r E    . (8.7

După cum puteți ușor deduce, t rebuie s ă știm doar dou ă lucruri pentru a g ăsi lumino zitatea unei
stele: distan ța față de o stea și raportul str ălucirii ei cu strălucirea Soarelui. Cu alte cuvinte, acea stă
ecua ție este o regul ă general ă referitoare la luminozitatea, distan ța și strălucirea aparent ă a unei stele .
În alt ă ordine de idei, lum inozitatea unei stele se poate determina dac ă se cunoaște temperatura
ei efectiv ă. Aproximând steaua printr -un corp negru, înseamn ă că putem aplica legea Stefan -Boltzman,
care spune c ă fluxul integral emis de unitatea de arie de pe suprafața corpului negru este proporțional
cu puterea a patra a temperaturii lui absolute :

H = π F = π B = σT4 ≡ σTe4, (8.8

în care σ este constanta Boltzman: 5,6037 × 10-8 W m-2 K-4, T este temperatura efectiv ă a stelei, în
grade Kelvin (°K). Deci între L, R și Te , avem rela ția de definiție

L = 4π R2σTe4. (8.9

8.5. Noțiuni de fotometrie stelar ă. Magnitudini aparente și absolute
8.5.1. Scara magnitudinilor stelare
Am luat cunoștinț ă că procesul de m ăsurare a str ălucirii aparente a stelelor se nume ște fotom e-
trie. Fotometria astronomic ă a început cu de la Hipparchus care a alc ătuit un catalog de aproape 1000
de stele, care incl udea nu numai pozi țiile lor, ci și estim ările str ălucirii lor aparente.
Hipparchus nu a dispus de telescop sau de un alt instrument astronomic de observ ație, cu c are
să poat ă măsura exact str ălucirea aparent ă, așa că a făcut pur și simplu estim ări cu ochiul liber. A cl a-
sificat stelele în șase categorii de str ălucire, fiecare dintre ele numind o magnitudine. El a considerat
stelele cele mai str ălucitoare s unt stele de magnitudine 1, în timp ce cele mai slabe (la limita vizibilit ății)
erau stele le cu magnitudine a șasea.
Abia în secolul al XIX -lea, astronomii au încercat s ă facă scara mai precis ă, stabilind exact c are
este diferența de str ălucire aparent ă între o stea de magnitudine 1, faț ă de a unei stele de magnitud ine
6. Măsurătorile au ar ătat că primim aproximativ de 100 de ori mai mult ă lumin ă de la o stea de magn i-
tudine 1, decât de la o stea de magnitudine 6.
Magnitudinea unei stele este deci un num ăr care indic ă senzația luminoas ă produs ă asupra
ochiului omenesc de lumina stelei respective. Odat ă cu m ărirea preciziei m ăsurătorilor fotometrice
asupra stelelor s -a constatat c ă exist ă și stele mai str ălucitoare decât cele de prim ă magnitudine. Ele
au primi t cifre mai mici decât unitatea, cum ar fi 0 sau chiar valori negative. Astfel, cea mai str ălucito are
stea de pe cerul nopții, Sirius, din Canis Majoris, are magnitudinea -1,44, Venus, la maximum de str ă-

Fig. 8.3. Legea inversului pătratului distanței .